Bài tập Xác suất thống kê - Biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục

https://sinhviendaihoc.com -------- https://facebook.com/sinhviendoc XÁC SUẤT THỐNG KÊ BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC VÀ LIÊN TỤC 1. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X được xác định và ký hiệu như sau:    , .F x P X x x    2. Tính chất hàm phân phối a.  0 1, .F x x    b.  F x là hàm không giảm trên . c.      -P a x b F b F a   3. Biến ngẫu nhiên rời rạc: Sử dụng bảng phân phối xác suất    1 2, ,..., nX x x x  X 1 2 nx x x p 1 2 np p p 1 4. Các tham số đặc trưng   i iE X x p      2 2D X E X E X     X D X        0,5 0,5 P X m Med X m P X m         5. Biến ngẫu nhiên liên tục Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm phân phối xác suất    F X P X x  . Nếu  f x không âm và    d , x F x f t t x     . a.   0, f x x   b.  d 1f x x    c.    'F x f x d.  F X liên tục trên e.  , 0a P X a    f.        , , d b a a b P a X b F b F a f x x        6. Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên liên tục    . dE X x f x x            2 2 2. dD X E X E X x f x x          X D X  https://sinhviendaihoc.com -------- https://facebook.com/sinhviendoc  Med X là nghiệm của     1 d 2 x F x f t t    CÁC LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 1. Luật phân phối xác suất nhị thức      , 0,1,2,...,X B n p X n   Sử dụng công thức Becnully      1 n kk k n nP X k P k C p p           , 1E X np D X np p   2. Luật phân phối Poisson       0,1,2,...X Poi X   Sử dụng công thức Poisson   . ! ke P X k k        E X D X   3. Luật phân phối xác suất mũ  X Exp  Cách tính   . , 0 0, 0 xe x f x x             1 , 0 d , 0, 0 x xe x F X P X x f t t x x                  2 1 1 , E X D X     4. Luật phân phối xác suất chuẩn  2,X N     2 1 21 , 2 x f x e x                    2 1 21d d 2 tx x F X P X x f t t e t                   Đồ thị dạng chuông, khi 0, 1    Biến ngẫu nhiên chuẩn tắc. Kí hiệu: , Z U Hàm của Z :     21 2 1 d , 2 x t F x x e t x         x là một hàm tăng thật sự        1 1x x x x                 2 2, , , X N E X Med X D X X           Chuẩn hóa:  2, X X N Z        Công thức tính https://sinhviendaihoc.com -------- https://facebook.com/sinhviendoc  P X             Định lý phân phối xác suất chuẩn Tích hằng số khác 0 với BNN chuẩn là một BNN chuẩn. Tổng n BNN chuẩn độc lập là BNN chuẩn. Hiệu 2 BNN chuẩn độc lập là BNN chuẩn. Trung bình cộng của n BNN chuẩn độc lập là BNN chuẩn. CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN 1. Định lý Poisson (Luật biến cố hiếm)    ,B n p Poi np  n khá lớn, p khá bé  n p , 5np  . 2. Định lý giới hạn tích phân Moiver-Laplace    , , 1B n p N np np p    30n  , p vừa,  5, 1 5np n p   . 3. Định lý giới hạn trung tâm Nếu 1 2, , nX X X là các BNN độc lập cùng phân phối xác suất với cùng 1 kì vọng toán  và phương sai 2 hữu hạn thì tổng n BNN là 1 BNN có phân phối xác suất xấp xỉ phân phối xác suất chuẩn.    2 1 , 0,1 n i i S n S X N n n Z N n          Hệ quả: Trung bình cộng của n BNN là 1 BNN có phân phối xác suất xấp xỉ phân phối xác suất chuẩn.  21 , n XX X S N n n n                THỐNG KÊ TOÁN 1. Các tham số đặc trưng của mẫu Gọi  1 2, ,..., nx x x là mẫu thực nghiệm kích thước n của biến ngẫu nhiên X Kì vọng toán (trung bình mẫu) 1 1 n i i x x n    Phương sai mẫu     2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 n n i i i i s x x x n x n n                 Độ lệch chuẩn mẫu 2s s Trung vị 2. Ước lượng tham số Ước lượng khoảng là đi tìm 1 khoảng số thực  ,L U sao cho xác suất  1 0,9  cho trước, ta có   1P L x U     t là tham số cần ước lượng,  ,L U là khoảng tin cậy, 1  là độ tin cậy https://sinhviendaihoc.com -------- https://facebook.com/sinhviendoc Giá trị tới hạn của BNN liên tục X với mức xác suất  cho trước là giá trị BNN X được kí hiệu là X và được xác định bởi  P X X   Có ba loại khoảng tin cậy: tối đa (trái), tối thiểu (phải), tốt nhất (đối xứng). Biến ngẫu nhiên Student:  T n với bậc tự do n  t n là giá trị tới hạn của phân phối xác suất  T n với  cho trước. Khi 30n  thì  t n z  Ước lượng khoảng trung bình biết trước 2 và có phân bố chuẩn 2 , x x z n           Ước lượng khoảng trung bình chưa biết 2 và có phân bố chuẩn   2 , 1 s x x t n n          Ước lượng khoảng trung bình có phân bố chưa chuẩn 2 , s x x z n         Ước lượng khoảng tỉ lệ   2 1 , F F F p F z n          3. Kiểm định chất lượng Khi 2 đã biết 0 0:H   1 0:H   1 0:H   1 0:H      0 0X n x n G g           ; z  2 2 ; ;z z                 ;z  Nếu g W thì ta bác bỏ 0H chấp nhận 1H Nếu g W tạm chấp hận 0H , bỏ 1H Khi 2 chưa biết 0 0:H   1 0:H   1 0:H   1 0:H      0 0X n x n G g s s         ; 1t n         2 2 ; 1 1 ;t n t n                    1 ;t n   https://sinhviendaihoc.com -------- https://facebook.com/sinhviendoc Nếu g W thì ta bác bỏ 0H chấp nhận 1H Nếu g W tạm chấp hận 0H , bỏ 1H Nếu X chưa biết phân phối xác suất 0 0:H   1 0:H   1 0:H   1 0:H      0 0X n x n G g s s        ; z  2 2 ; ;z z                 ;z  Nếu g W thì ta bác bỏ 0H chấp nhận 1H Nếu g W tạm chấp hận 0H , bỏ 1H Kiểm định về tỉ lệ n khá lớn, f vừa,  5, 1 5nf n f   0 0:H p p 1 0:H p p 1 0:H p p 1 0:H p p         0 0 0 0 0 01 1 F p n f p n G g p p p p         ; z  2 2 ; ;z z                 ;z  Nếu g W thì ta bác bỏ 0H chấp nhận 1H Nếu g W tạm chấp hận 0H , bỏ 1H So sánh 2 trung bình 1 2,   0 1 2:H   1 1 2:H   1 1 2:H   1 1 2:H   1 2 1 2 2 22 2 2 21 1 1 2 1 2 X X x x G g s ss s n n n n         ; z  2 2 ; ;z z                 ;z  Nếu g W thì ta bác bỏ 0H chấp nhận 1H Nếu g W tạm chấp hận 0H , bỏ 1H So sánh 2 tỉ lệ,  30, 5, 1 5n np n p    , p vừa. https://sinhviendaihoc.com -------- https://facebook.com/sinhviendoc 0 1 2:H p p 1 1 2:H p p 1 1 2:H p p 1 1 2:H p p     1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 F F f f G g F F f f n n n n                      ; z  2 2 ; ;z z                 ;z  Nếu g W thì ta bác bỏ 0H chấp nhận 1H Nếu g W tạm chấp hận 0H , bỏ 1H https://sinhviendaihoc.com -------- https://facebook.com/sinhviendoc Đề 7 – 2017 Câu 1. Kích thước (cm) của một loại có phân bố xác suất chuẩn. Chọn ngẫu nhiên 100 chi tiết máy cho bảng số liệu sau: ix 54,7 – 54,8 54,8 – 54,9 54,9 – 55 55 – 55,1 55,1– 55,2 55,2 – 55,3 55,3 – 55,4 55,4 – 55,5 in 3 7 16 24 22 17 8 3 a. Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng khoảng kích thước trung bình của chi tiết máy. b. Với mức ý nghĩa 0,05 có thể cho rằng kích thước trung bình của chi tiết máy lớn hơn 55 cm không? Giải: a. 55,103, 0,16x s  Gọi  (cm) là kích thước trung bình của chi tiết máy (nói chung). Khoảng ước lượng tin cậy của  là: x x      với   2 1 . s t n n     0,025 0,025 0,16 1 0,95 0,05 0,025 99 1,96 1,96. 0,031 2 100 t z                55,103 0,031 55,103 0,031 55,072 55,134         b. Kiểm định cặp giả thuyết: 0 0 1 0 : 55 : 55 H H             0 55,103 55 100 6,4375 0,16 x n g s         ; 1,645;W t g W        Bác bỏ 0H chấp nhận 1H . Với mức ý nghĩa 0,05 không thể cho rằng kích thước trung bình của chi tiết máy lớn hơn 55 cm. Câu 2. Tỉ lệ khách hàng tiêu dùng một loại sản phẩm ở địa phương A là 60% . Sau một chiến dịch quảng cáo người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 400 khách hàng thì thấy 250 khách hàng tiêu dùng sản phẩm. Với mức ý nghĩa 0,05 có thể cho rằng chiến dịch quảng cáo làm tăng tỉ lệ khách hàng sử dụng sản phẩm không? Giải: Gọi p là tỉ lệ khách hàng sử dụng sản phẩm nói chung. f là tỉ lệ khách hàng sử dụng sản phẩm trong mẫu. Theo đề bài, 250 0,625 0,6 400 m f n     Kiểm định cặp giả thuyết: 0 0 1 0 : 0,6 : 0,6 H p p H p p              0 0 0 0,625 0,6 400 1,0206 1 0,6 1 0,6 f p n g p p        https://sinhviendaihoc.com -------- https://facebook.com/sinhviendoc   0,05; 1,96;W z g W       . Tạm chấp nhận 0H Với mức ý nghĩa 0,05 không thể cho rằng chiến dịch quảng cáo làm tăng tỉ lệ khách hàng sử dụng sản phẩm. Câu 3. Một công ty sử dụng thiết bị chiếu sáng đang muốn lựa chọn một trong hai nhà cung cấp thiết bị. Công ty sẽ lựa chọn nhà cung cấp thiết bị có tuổi thọ cao hơn. Một thí nghiệm được thực hiện đối với 50 bóng đèn từ nhà cung cấp A và 50 bóng đèn từ nhà cung cấp B cho kết quả sau: Trung bình mẫu (giờ) Độ lệch chuẩn mẫu (giờ) Nhà cung cấp A 97,07x  13,61xs  Nhà cung cấp B 101,97y  13,74ys  Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng tuổi thọ trung bình của bóng đèn nhà cung cấp A thấp hơn tuổi thọ trung bình của nhà cung cấp B không? Câu 4. Tuổi thọ X (nghìn km) của một loại lốp oto có phân bố chuẩn. Biết rằng  11,5 0,08P X   và  8,95 0,65P X   a. Tìm tuổi thọ trung bình và độ lệch chuẩn của X . b. Chọn ngẫu nhiên ba chiếc lốp ô tô loại đó. Tìm xác suất để có ít nhất 2 chiếc có tuổi thọ lớn hơn 8950 km.                     2 3 , 11,5 0,08 1 11,5 0,08 11,5 0,92 11,5 11,5 0,92 1,405 1,405 11,5 1 8,95 0,65 0,385 8,95 2 1 , 2 8, 0 2,5 1 : Average age of death X N P X P X P X P X X km                                                              1 02 2 3 3 3 3 3 3 8950 8950 8000 8950 1 8950 1 0,35197 2500 8950 3 3, 0,35197 2 2 3 1 1 0,2844 M km P M P M Y trong lop Y B n p P Y P P C p p C p p                           Câu 5. Cho , X Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập có bảng phân phối xác suất: X 0 1 2 P 0,2 0,5 0,3 Y 0 1 P 0,6 0,4 a. Hãy lập bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Z X Y  . b. Tính phương sai của biến ngẫu nhiên 2 3T X Y  . https://sinhviendaihoc.com -------- https://facebook.com/sinhviendoc                                               0,1,2,3 0 0 0 0,2.0,6 0,12 1 0 0 1 0 0,2.0,4 0,5.0,6 0,38 2 1 1 2 0 0,5.0,4 0,3.0,6 0,38 3 2 1 0,3.0,4 0,12 0,49; 0,24 2 3 4 9 4,12 Z X Y P Z P X P Y P Z P X P Y P X P Y P Z P X P Y P X P Y P Z P X P Y D X D Y D T D X Y D X D Y                                           Câu 6. Tuổi thọ X (năm) của một loại thiết bị điện tử là biến ngẫu nhiên liên tục có phân bố mũ với tuổi thọ trung bình là 3 năm. Sử dụng 36 thiết bị loại trên một cách độc lập. Tìm xác suất tuổi thọ trung bình của 36 thiết bị đó lớn hơn 2,5 năm.               2 36 2 1 1 3 9 3 ; 36.3;36.9 108;324 108, 18 90 108 2,5.36 1 90 1 0,84134 18 i S S E X D X S X N n n N N P S P S                                    Cho biết 0,95 0,05 0,975 0,025 0,92 0,08 0,65 0,35 0,84 0,161,645; 1,96; 1,4; 0,38; 1U z U z U z U z U z          Đề 8 – 2017 Câu 1. Kích thước (cm) của một loại có phân bố xác suất chuẩn. Chọn ngẫu nhiên 100 chi tiết máy cho bảng số liệu sau: ix 54,7 – 54,8 54,8 – 54,9 54,9 – 55 55 – 55,1 55,1– 55,2 55,2 – 55,3 55,3 – 55,4 55,4 – 55,5 in 3 8 17 22 24 16 7 3 a. Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng khoảng kích thước trung bình của chi tiết máy. b. Với mức ý nghĩa 0,05 có thể cho rằng kích thước trung bình của chi tiết máy lớn hơn 55 cm không? Câu 2. Trong 10.000 trẻ sơ sinh chào đời được ghi nhận có 5106 bé trai. Với mức ý nghĩa 0,05 có thể cho rằng tỉ lệ trẻ sơ sinh là bé trai cao hơn 50% không?             0 0 1 0 0 0 0 0 5106 0,5106 0,5 10000 : 0,5 : 0,5 0,5106 0,5 10000 2,12 1 0,5. 1 0,5 ; 1,645; m f n H H f p n g p p W z g W H                              https://sinhviendaihoc.com -------- https://facebook.com/sinhviendoc Câu 3. Khảo sát tiền lương (triệu đồng) hàng tháng của sinh viên tốt nghiệp sau 10 năm của hai trường đại học cho kết quả sau: Kích thước mẫu Trung bình mẫu Độ lệch chuẩn mẫu Đại học X 50m  25,2x  4,9xs  Đại học Y 50n  23,9y  4,1ys  Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng mức lương trung bình của sinh viên tốt nghiệp sau 10 năm của đại học X cao hơn mức lương trung bình của sinh viên tốt nghiệp sau 10 năm của đại học Y không? Giả sử lương hàng tháng của sinh viên tốt nghiệp sau 10 năm ở đại học X và đại học Y có phân bố chuẩn. Câu 4. Một chi tiết máy được gọi là đạt chuẩn kỹ thuật nếu trị tuyệt đối sai lệch giữa đường kính của nó và đường kính thiết kế (đường kính trung bình) không quá 0,33 mm. Biết đường kính của trục này là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn là 0,3 mm. a. Tìm xác suất một chi tiết máy đạt chuẩn. b. Tìm xác suất để trong 100 chi tiết loại này có ít nhất 75 chi tiết đạt chuẩn. Câu 5. Khối lượng thịt heo bán ra trong 1 ngày tại một của hàng thịt là biến ngẫu nhiên X (kg) có bảng phân phối xác suất: X 20 25 30 35 40 P 0,1 0,25 0,3 0,2 0,15 a. Hãy tính khối lượng thịt heo trung bình và độ lệch chuẩn của khối lượng thịt heo bán ra trong 1 ngày của cửa hàng trên. b. Mỗi ngày cửa hàng nhập vào 50 kg thịt heo với giá 60.000đ/1kg. Hỏi cửa hàng phải bán ra với giá bao nhiêu đồng/1kg để thu được lợi nhuận trung bình 400.000 đ/1 ngày biết lượng thịt còn lại trong ngày cửa hàng bán lỗ cho quán ăn với giá 50.000đ/1kg. Câu 6. Doanh thu hàng tháng X (triệu đồng/tháng) của một cửa hàng là biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với doanh thu trung bình là 30 triệu đồng/tháng, độ lệch chuẩn là 15 triệu đồng/tháng. Hỏi cửa hàng cần kinh doanh tối thiểu bao nhiêu tháng để đạt được tổng doanh thu ít nhất là 1,5 tỉ đồng với xác suất lớn hơn 0,95? Biết rằng doanh thu các tháng của cửa hàng là độc lập nhau.         2 2 1 , 30;15 1500 0,95 1500 30 1 0,95 15 1500 30 1,645 56,16 15 n i i X N N S X P X n n n n month n                       Cho biết 0,95 0,05 0,975 0,025 0,05 0,95 0,684 0,3161,645; 1,96; 1,645; 0,48U z U z U z U z         Đề 1 – 2017 https://sinhviendaihoc.com -------- https://facebook.com/sinhviendoc Câu 1. Quản lý của một công ty vận chuyển hàng hóa cho dịch vụ thương mại điện tử nhận được phàn nàn của khách hàng về thời gian giao hàng chậm trễ. Để tìm hiểu về vấn đề này, người quản lý chọn ngẫu nhiên 32 đơn hàng, kết quả thời gian (ngày) giao hàng như sau: 13 13 13 7 7 21 14 12 16 14 15 2 15 15 12 15 14 6 13 12 15 7 6 7 9 9 9 13 14 16 14 11 a. Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng khoảng thời gian giao hàng trung bình. b. Thời gian giao hàng trung bình theo cam kết của công ty là không quá 10 ngày. Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng thời gian giao hàng trung bình thực tế lớn hơn 10 ngày không? Biết rằng thời gian giao hàng có xấp xỉ phân bố chuẩn. Câu 2. Một kỹ sư đề xuất phương pháp sản xuất chíp máy tính mới, người kỹ sư tin rằng phương pháp mới này sẽ làm giảm tỉ lệ chíp bị lỗi. Kết quả thử nghiệm như sau: Số chíp sản xuất Số chíp bị lỗi Phương pháp sản xuất mới 360m  76k  Phương pháp sản xuất cũ 320n  94l  Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng tỉ lệ chíp bị lỗi theo phương pháp sản xuât mới thấp hơn so với phương pháp sản xuất cũ không?           1 2 1 2 0 1 2 1 1 2 1 2 1 0 1 2 , 94 94 76 0,261; 0,211; 0,236 360 720 : : ; 1,645; 1,5795 _ _ , _ _ 1 1 1 p old p new f f f H p p H p p W z f f g W Bac bo H chap nhan H f f n n                             Câu 3. Một loại thuốc chuẩn có hiệu quả đạt 72% trường hợp được sử dụng để điều trị. Một loại thuốc mới được phát triển và thử nghiệm cho kết quả: trong số 50 trường hợp điều trị có 42 trường hợp có hiệu quả. Với mức ý nghĩa 0,05 có thể cho rằng thuốc mới có hiệu quả cao hơn 72% không? Câu 4. Tuổi thọ của một loại thiết bị điện là biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với tuổi thọ trung bình là 4 năm, độ lệch chuẩn 1,5 năm. a. Biết thời gian quy định bảo hành là 2 năm. Tìm tỉ lệ thiết bị bán ra phải bảo hành. b. Khi bán 1 thiết bị thì lãi 100.000 đồng nhưng nếu phải bảo hành thì lỗ 900.000 đồng. Hỏi muốn thu được tiền lãi trung bình khi bán 1 thiết bị là 50.000 đồng thì phải quy định thời gian bảo hành là bao nhiêu? https://sinhviendaihoc.com -------- https://facebook.com/sinhviendoc               2 2 3 , 4;1,5 2 4 2 0,091 1.5 10 _ _ _ , : _ _ _ _ _ 50 100 1 900 0,05 4 0,05 0,09 1,5325 1,5 X N N P X Y VND la tien lai t thoi gian quy dinh bao hanh p p p t P X t t year                               Câu 5. Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc  ,X Y có bản phân phối xác suất sau: Y X 1 0 1 0 m 13/72 1/8 1 n 13/90 1/10 a. Xác định m và n sao cho X và Y độc lập nhau. b. Tính phương sai của 2Z X Y  với , m n được tìm ở câu a.             13 11 13 0, 0 0 0 0,25 72 36 40 13 11 13 1, 0 1 0 0,2 90 45 40 P X Y P X P Y m m P X Y P X P Y n n                               Câu 6. Tuổi thọ của một loại van điện lắp trong một thiết bị điện là biến ngẫu nhiên X (nghìn giờ) có phân bố mũ với kỳ vọng   10E X  (nghìn giờ). Tính xấp xỉ xác suất để khi lắp 36 van điện vào thiết bị có ít nhất 20 van bị thay thế trước thời gian 5 nghìn giờ. Biết tuổi thọ của các van điện là độc lập nhau.                    1 103 0,5 1 1 , 010 10 10 0, 0 _ _ _ _ _ : 5 5 1 _la_so_van_bi_thay_the_trong_ 36 _ , 1 14,165;8,591 20 36 36 14,165 36 14 8,591 x e xE X hour F x x Xac suat mot van bi hu P X F F e p Y van Y B np np p B P Y                                     ,165 0,02325 8,591        Biết 0,95 0,05 0,975 0,025 0,05 0,95 0,977 0,0231,645; 1,96; 1,645; 2U z U z U z U z         Đề 1 – 2016 Câu 1. Một nghiên cứu lương kỹ sư tốt nghiệp trường đại học bách khoa tốt nghiệp sau 3 năm. 32 kỹ sư được chọn ngẫu nhiên có kết quả như sau (đơn vị: triệu đồng) 12,3 5,1 9,2 14,3 10,2 5,9 14,7 12,8 14,7 11,5 15,6 11,8 12,0 11,9 13,7 9,7 https://sinhviendaihoc.com -------- https://facebook.com/sinhviendoc 11,6 14,1 12,8 9,6 12,1 12,6 4,0 11,2 10,7 11,3 13,9 6,8 13,4 10,1 10,5 9,6 a. Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng khoảng lương trung bình của kỹ sư tốt nghiệp sau 3 năm. b. Với mức ý nghĩa 0,025 có thể cho rằng lương trung bình của kỹ sư tốt nghiệp sau 3 năm cao hơn 10 triệu đồng không? Câu 2. Chọn ngẫu nhiên 200 thí sinh thi THPT Quốc gia 2015 ở hai hội đồng thi DND và DHU mỗi hội đồng 100 thí sinh cho kết quả điểm thi môn toán như sau: Kích thước mẫu Trung bình mẫu Độ lệch chuẩn mẫu DND 100m  4,85x  2,1xs  DHU 100n  5,65y  1,9ys  Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng mức điểm trung bình môn Toán ở DND thấp hơn điểm trung bình môn Toán ở DHU không? Biết điểm thi môn Toán ở hai hội đồng thi trên có phân bố chuẩn. Câu 3. Một nghiên cứu sử dụng Aspirin để điều trị sau khi bệnh nhân được chuẩn đoán ung thư trực tràng cho kết quả: 549 bệnh nhân sử dụng Aspirin sau khi được chuẩn đoán ung thư trực tràng có 81 bệnh nhân tử vong; 730 bệnh nhân không sử dụng Aspirin sau khi được chuẩn đoán ung thư trực tràng có 141 bệnh nhân tử vong. Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng sử dụng Aspirin để điều trị sau khi bệnh nhân được chuẩn đoán ung thư trực tràng sẽ giảm nguy cơ tử vong không? Câu 4. Cho số liệu về phân tích phương sai hai nhân tố A và B như sau: B A 1B 2B 3B 4B 5B 1A 13,1 16,3 13,7 15,7 13,5 2A 15 15,7 13,9 13,7 13,4 3A 14 17,2 12,4 14,4 13,2 a. Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng tác dụng của các mức nhân tố A là như nhau không? b. Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng tác dụng của các mức nhân tố B là như nhau không? Câu 5. Tuổi thọ (năm) của một thiết bị điện là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ   0,1250,125 0 0 0 xe khi x f x khi x      Bán được một thiết bị, nếu không bảo hành thì lãi 15 nghìn đồng nhưng nếu phải bảo hành thì lỗ 5 nghìn đồng. a. Để trung bình mỗi thiết bị lãi 7 nghìn đồng thì nên quy định thời gian bảo hành là bao nhiêu năm? b. Với thời gian quy định bảo hành 3 năm, cửa hàng A nhập về 10.000 thiết bị để bán. Tính xác suất với 10.000 thiết bị được bán hết cửa hàng A lãi ít nhất 90 triệu đồng. Cho biết:      0,025 0,05 2,8 4,82,16 0,98; 1,96; 1,645; 0,05 4,459; 0,05 3,838z z f f      Đề 1 – 2018 Câu 1. Đo độ chịu lực X (kg/cm2) của 200 mẫu bê tông, người ta thu được số liệu sau: ix 190 - 200 200 - 210 210 - 220 220 - 230 230 - 240 240 - 250 in 10 26 56 64 30 14 https://sinhviendaihoc.com -------- https://facebook.com/sinhviendoc a. Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng khoảng đối xứng cho độ chịu lực trung bình của bê tông. b. Với mức ý nghĩa 0,05 có thể cho rằng tỷ lệ bê tông loại I (bê tông có độ chịu lực lớn hơn 220 kg/cm2) lớn hơn 50% không? Câu 2. Cơ quan cảnh sát giao thông kiểm tra hệ thống phanh của 500 xe tải trên đường quốc lộ. Họ phát hiện thấy có 40 chiếc có phanh chưa đảm bảo an toàn. Tìm khoảng tin cậy đối xứng cho tỷ lệ xe tải có phanh chưa an toàn với độ tin cậy 90% . Câu 3. Dùng phương pháp điện cực ion fluoride để phân tích hàm lượng Flo (đơn vị %) trong 2 loại thuốc đánh răng, ta thu được kết quả sau: Số sản phẩm Trung bình mẫu Độ lệch chuẩn mẫu Thuốc đánh răng A 36 0,391 0,004 Thuốc đánh răng B 40 0,375 0,006 Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng thuốc đánh răng A có hàm lượng Flo trung bình cao hơn thuốc đánh răng B không? Câu 4. Tuổi thọ của một loại thiết bị điện là biến ngẫu nhiên X có phân bố chuẩn với tuổi thọ trung bình là 4 năm và  2 0,0912P X   . a. Tìm phương sai của X . b. Mua ngẫu nhiên 5 thiết bị loại đó, tính xác suất để có ít nhất 4 thiết bị có tuổi thọ lớn hơn 2 năm. c. Khi bán 1 thiết bị nếu không phải bảo hành thì lãu 300.000đ nhưng nếu thiết bị phải bảo hành thì lỗ 500.000đ. Hỏi muốn thu được tiền lãi trung bình khi bán 1 thiết bị là 200.000đ thì phải quy định thời gian bảo hành là bao nhiêu? Câu 5. Có 2 chiếc hộp. Hộp thứ nhất có 3 bi đỏ và 2 bi xanh. Hộp thứ hai có 2 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ 2, sau đó từ hộp thứ hai lấy ngẫu nhiên ra 2 bi. Gọi X là số bi đỏ lấy ra từ hộp thứ nhất và Y là số bi xanh lấy ra từ hộp thứ hai. a. Lập bảng phân phối xác suất của  ,X Y . b. Tính  cov ,X Y . Câu 6. Mỗi số thực được chọn nhẫu nhiên trong đoạn  5;10 là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất sau:       0 khi 5;10 1 khi 5;10 5 x f x x        Chọn ngẫu nhiên 50 số thực trên đoạn  5;10 . Tính xấp xỉ xác suất tổng số điểm thu được nằm trong khoảng  350;400 . Cho biết 0,95 0,05 0,975 0,025 0,0912 0,90881,645; 1,96; 1,3334U z U z U z       Đề 3 – 2018 Câu 1. Kích thước (cm) của một loại có phân bố xác suất chuẩn. Chọn ngẫu nhiên 110 chi tiết máy cho bảng số liệu sau: ix 54,7 – 54,8 54,8 – 54,9 54,9 – 55 55 – 55,1 55,1– 55,2 55,2 – 55,3 55,3 – 55,4 55,4 – 55,5 https://sinhviendaihoc.com -------- https://facebook.com/sinhviendoc in 3 9 19 28 23 17 8 3 a. Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng khoảng đối xứng kích thước trung bình của chi tiết máy. b. Với mức ý nghĩa 0,05 có thể nói kích thước trung bình của chi tiết máy lớn hơn 55 cm không? Câu 2. Tỉ lệ học sinh đỗ tốt nghiệp phổ thông năm ngoái của tỉnh A là 88%. Trong kì thi năm nay trong 100 em được chọn ngẫu nhiên có 82 em thi đỗ. Với mức ý nghĩa 5% có thể nói tỉ lệ học sinh thi đỗ tốt nghiệp phổ thông năm nay của tỉnh A thấp hơn năm ngoái không? Câu 3. Kiểm tra chất lượng của 2 lô sản phẩm người ta thấy trong lô I có 50 phế phẩm trong 500 sản phẩm kiểm tra và trong lô II có 60 phế phẩm trong 400 sản phẩm kiểm tra. Với mức ý nghĩa 0,05 hỏi lô I chất lượng tốt hơn lô II không? Câu 4. Trong một cuộc thi, người ta có hai hình thức sau: Hình thức thứ nhất là mỗi người phải trả lời hai câu hỏi, mỗi câu trả lời đúng được 5 điểm; Hình thức thứ hai nếu trả lời đúng câu thứ nhất thì mới được trả lời câu thứ hai, nếu không thì dừng. Ở hình thức thứ hai, trả lời đúng được câu thứ nhất được 5 điểm, trả lời đúng câu thứ hai được 10 điểm. Trong cả hai hình thức trên thì trả lời sai đều không được điểm. Giả sử xác suất trả lời đúng mỗi câu đều là 0,75 . Việc trả lời đúng mỗi câu là độc lập nhau. Gọi iX là số điểm đạt được của mỗi người khi tham gia hình thức i . a. Lập bảng phân phối xác suất của , 1,2iX i  . b. Theo bạn nên chọn hình thức nào để số điểm trung bình đạt được nhiều hơn?               2 2 10 1 , 250,9 2500,810 2530 2500 2470 2500 2470 2530 0,85408 9 10 9 10 100, 0,85408 85,408;12,4627 100 85,408 80 85,408 80 100 0,937 12,4627 12,4627 i i X N N S X N P S Y B n p N P Y                                                   Câu 5. Tuổi thọ (giờ) của 1 loại bóng đèn là biến ngẫu nhiên X có phân bố mũ với trung bình là 1500 giờ. a. Tìm m sao cho   0,75P X m  . b. Khi bán bóng đèn loại đó nếu không phải bảo hành thì lãi 25.000đ nhưng nếu phải bảo hành thì lỗ 35.000đ. Hỏi muốn thu được tiền lãi trung bình khi bán một bóng đèn loại đó là 20.000đ thì phải quy định thời gian bảo hành là bao nhiêu giờ? Câu 6. Trong lượng các viên thuốc chữa bệnh B được sản xuất tại một xí nghiệp là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình là 250 mg và độ lệch chuẩn là 9 mg. Thuốc đóng thành vỉ, mỗi vỉ 10 viên. Một vỉ được gọi là đúng tiêu chuẩn nếu trọng lượng của nó nằm trong khoảng từ 2470 mg đến 2530 mg. Chọn ngẫu nhiên 100 vỉ thuốc loại đó để kiểm tra. Tính xấp xỉ xác suất để trong đó có ít nhất 80 vỉ đạt tiêu chuẩn. https://sinhviendaihoc.com -------- https://facebook.com/sinhviendoc               2 2 10 1 , 250,9 2500,810 2530 2500 2470 2500 2470 2530 0,85408 9 10 9 10 100, 0,85408 85,408;12,4627 100 85,408 80 85,408 80 100 0,937 12,4627 12,4627 i i X N N S X N P S Y B n p N P Y                                                   Cho biết: 0,95 0,05 0,975 0,025 0,05 0,95 0,84 0,161,645; 1,96; 1,645; 1U z U z U z U z         Đề 10 – 2017 Câu 1. Chỉ số IQ của 32 học sinh ở đại học A được cho ngẫu nhiên như sau: 103 118 99 105 134 125 117 106 117 103 120 98 100 130 141 119 100 130 125 117 119 113 104 108 109 115 109 104 128 106 110 102 a. Với độ tin cậy 95% hãy tìm khoảng tin cậy chỉ số IQ trung bình của sinh viên ở đại học A . b. Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng chỉ số IQ trung bình của sinh viên ở đại học A cao hơn 110 không? Giả sử chỉ số IQ của sinh viên đại học A có phân bố chuẩn. Câu 2. Tỉlệ khách hàng tiêu dùng một loại sản phẩm ở địa phương A là 60%. Sau một chiến dịch quảng cáo người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 400 khách hàng thì thấy có 260 khách tiêu dùng sản phẩm. Với mức ý nghĩa 0,025 có thể cho rằng chiến dịch quảng cáo làm tăng tỉ lệ khác hàng sử dụng sản phẩm không? Câu 3. Một công ty sử dụng thiết bị chiếu sáng đang muốn lựa chọn một trong hai nhà cung cấp thiết bị. Một thí nghiệm được thực hiện đối với 50 bóng đèn từ nhà cung cấp A và 50 bóng đèn từ nhà cung cấp B cho kết quả sau: Trung bình mẫu (giờ) Độ lệch chuẩn mẫu (giờ) Nhà cung cấp A 97,07x  11,61xs  Nhà cung cấp B 101,97y  15,74ys  Với mức ý nghĩa 0,025 có thể cho rằng tuổi thọ trung bình của bóng đèn nhà cung cấp A thấp hơn tuổi thọ trung bình của nhà cung cấp B không? Câu 4. Một nhà xã hội học muốn tìm hiểu mối quan hệ phụ thuộc giữa các dạng tội phạm (hình sự và không hình sự) với tuổi của phạm nhân. Chọn ngẫu nhiên 100 phạm nhân trong hồ sơ của tòa án, ông ta thu được kết quả sau: Tuổi Dạng tội phạm Dưới 25 Từ 25 đến 49 Trên 49 https://sinhviendaihoc.com -------- https://facebook.com/sinhviendoc Hình sự 15 30 10 Không hình sự 5 30 10 Với mức ý nghĩa 5% có thể kết luận dạng tội phạm và tuổi thọ là phụ thuộc nhau không? Câu 5. Một công ty vận chuyển thực hiện nghiên cứu để xem xét ảnh hưởng của lộ trình đến thời gian vận chuyển (phút) giữa hai địa điểm. Số liệu thống kê về thời gian vận chuyển của 9 chuyển trong một tuần được thực hiện trên các lộ trình và thời gian khác nhau trong ngày cho trong bảng sau: Thời gian Lộ trình A B C 10 – 12 giờ sáng 41 53 55 1 – 3 giờ chiều 45 65 62 7 – 10 giờ tối 46 48 52 a. Với mức ý nghĩa 5% , có sự khác biệt về thời gian vận chuyển trung bình giữa 3 lộ trình hay không? Nếu có, công ty nên chọn lộ trình nào? b. Với mức ý nghĩa 5% , có sự khác biệt về thời gian vận chuyển trung bình giữa thời gian khác nhau trong ngày hay không? Nếu có, công ty nên thực hiện vận chuyển vào thời gian nào? Câu 6. Cho biến ngẫu nhiên X và Y có hàm mật độ xác suất đồng thời   , 0 1, 0 x yye e C y xf x y y           a. Tìm hằng số C . b. Tìm mật độ xác suất của X với điều kiện 0Y y  . c. Với 0y  , tính  /E X Y y TOÁN CHUYÊN NGÀNH Đề 2 – 2017 Câu 1. (2 điểm) Tìm khai triển Laurent của hàm     2 1 1 f z z z   quanh 1.z  Câu 2. (2 điểm) Tính tích phân sau   2 3 2 3 3 d 2 8 z z I z z z z      Câu 3. (1 điểm) Tìm ảnh Laplace của hàm        3 21 2 sin2 2tf t t e t   Câu 4. (1 điểm) Tìm ảnh Fourier của hàm   0 0 cos 0at t f x e bt t     Câu 5. (2 điểm) Tìm gốc của hàm       2 2 24 9 p F p p p    Câu 6. (1 điểm) Tìm biến đổi Z của tín hiệu https://sinhviendaihoc.com -------- https://facebook.com/sinhviendoc   1 0 1 0 h ck á n N x n n       Câu 7. (1 điểm) Viết bảng chân lý của hàm Boole  , ,f x y z xyz xyz xy  