Bộ đề thi cao học kinh tế - Môn Toán cơ bản (tổng hợp)

135 ðáp án đề thi 2000. Câu 1. a/ ' 2 2 53 3 3y x y x x+ = + . Nghiệm tổng quát ( )( )pdx pdxy e q x e dx C−∫ ∫= ⋅ +∫ ( )( ) ( )2 2 3 3 33 2 5 3 3 3 33 3x dx x dx x x xy e x x e dx C e e dx x e dx C− −∫ ∫= + + = + +∫ ∫ ∫ ( )3 3 33 3.x x xy e e x C x Ce− −= + = + Nghiệm của phương trình 33 xy x Ce−= + . b/ Phương trình đặc trưng: 2 1 23 2 0 1 2k k k k+ + = ⇔ = − ∨ = − Nghiệm của phương trình thuần nhất: 20 1 2 x xy C e C e− −= + . Tìm nghiệm riêng: ( ) ( ) 1 2( ) 2 3 6 ( ) ( )xf x x e f x f x= + + = + , 1 2r r ry y y= + Tìm 1r y là nghiệm riêng của phương trình '' '3 2 2 3 (1)y y y x+ + = + 1 0 0 0( ) ( )s x xry x e Ax B x e Ax B= + = + , 0s = vì 0α = khơng là nghiệm của phương trình đặc trưng. Thay vào phương trình (1), đồng nhất, ta được 1, 0A B= = . Tìm 2r y là nghiệm riêng của phương trình '' '3 2 6 (2)xy y y e+ + = 2 0s x x ry x e A Ax e= = , 0s = vì 1α = khơng là nghiệm của phương trình đặc trưng. Thay vào phương trình (2), đồng nhất, ta được 1A = . x ry x e= + . Nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu: 2 0 1 2 x x x tq ry y y C e C e x e − − = + = + + + Câu 2. a/ 1 1 1 ( 1) 3 . ! ( 1) 1 11 33 .( 1)! 3 nn n n n n n n n a n n n a nn n n + + + + +   = ⋅ = = +  +   1 1 1lim lim 1 1 3 3 n n n n n a e a n + →∞ →∞   = + = <    . Chuỗi 1 na ∞ ∑ hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alembert. b/ ðặt ( )21 0X x= + ≥ . Xét chuỗi 1 4 2 1 n n n n X n ∞ = +  ∑  +  . Bán kính hội tụ: 1R ρ = , với 1lim 2 n n n a →∞ = =ρ 2R⇒ = . Xét tại 2X = . Cĩ chuỗi số: 1 2 8 2 1 n n n n ∞ = +  ∑  +  . Số hạng tổng quát của chuỗi số này: 7 / 22 8 71 0. 2 1 2 1 n n n n n a e n n →∞+    = = + → ≠   + +    Vậy chuỗi phân kỳ theo định lý điều kiện cần. Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi đã cho: ( )2 22 2 4 2 0 2 2 2 2x x x x+ < ⇔ + + < ⇔ − − < < − + . Câu 3. a/ ( ) ( ) ( ) ( )1 0 sin cos 1 .0 0 0 cos0 1 0x x x x C I e y y dx e y dy e e dy= − + − = − + − =∫ ∫ . b/ C là nửa trên đường trịn 2 2x y x+ = . ( ) ( )sin cos 1x x C C OA OA I e y y dx e y dy + = − + − = −∫ ∫ ∫ ( ) 1 0 cos cos 1 0 1 8 x x D D D I e y e y dxdy dx dxdy S pi= − + − = = =∫∫ ∫ ∫∫ Câu 4. Chia miền D bởi đường thẳng y x= làm hai miền 1D và 2D ( 1D là phần ứng với y x≥ ) 1 2 1 2 ( ) ( ) D D D D D I x y dxdy x y dxdy x y dxdy y x dxdy x y dxdy= − = − + − = − + −∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ 136 ( ) ( )5 / 4 1 / 4 1 / 4 0 3 / 4 0 2 2 2 2 4 2 sin cos cos sin 3 3 3 I d r r rdr d r r rdr pi pi pi − pi = ϕ ϕ − ϕ + ϕ ϕ − ϕ = + =∫ ∫ ∫ ∫ Câu 5a. 1/ ðiểm dừng: ' 3 ' 2 2 4 4 0 2 2 3 0 x y z x xy z x y y  = − =  = − + − = , cĩ 2 điểm dừng 1 2(0,0); (0,2 / 3)P P ðạo hàm riêng cấp hai: '' 212 4xxz x y= − ; '' ''4 ; 2 6xy yyz x z y= − = − Xét tại điểm dừng. '' '' ''1 1 1 1(0,0) : ( ) 0, ( ) 0, ( ) 2 0xx xy yyP A z P B z P C z P= = = = = = ⇒ ∆ = . Khơng thể kết luận được. Dùng định nghĩa để khảo sát. 4 2 2 3 2 2 3( , ) ( , ) (0,0) 2 ( )z x y z x y z x x y y y x y y= − = − + − = − −∆ Xét dãy điểm ( ) 1, ,0 (0,0)nn nx y n →+∞  = →    . Khi đĩ ( ) 41 1, ,0 0n nz x y z n n   = = >    ∆ ∆ . Xét dãy điểm ( )' ' 21 1, , (0,0)nn nx y n n →+∞ = →   . Khi đĩ ( )' ' 2 6 1 1 1 , , 0n nz x y z n n n   = = − <    ∆ ∆ . Trong mọi lân cận của (0,0), đều tồn tại những điểm mà 0z >∆ và những điểm mà 0z <∆ . Suy ra hàm khơng cĩ cực trị tại 1(0,0)P . 2 '' '' '' 2 2 2 2 0(0, 2 / 3) : ( ) 8 / 3, ( ) 0, ( ) 2 0xx xy yy AC BP A z P B z P C z P A ∆ = − > = = − = = = = − ⇒  < . Hàm đạt cực đại tại 2P , (0, 2 / 3) 4 / 27cdz z= = . Câu 5b. a/ Ta cĩ 10 sin | || |x xx≤ ≤ . Sử dụng định lý kẹp để tính giới hạn, ta cĩ: 0 0 1lim ( ) lim sin 0| |x xf x x x→ →   = =    . Hàm liên tục tại 0x = , nếu 0 lim ( ) (0) x f x f → = 0a⇔ = . b/ ( )1/ 55 31 3 1 3 1 ( ) 5 x x x o x+ = + = + + ; ( )1/ 44 1 2 1 2 1 ( ) 2 x x x o x+ = + = + + 5 4 111 3 1 2 1 ( ) 10 x x x o x⇒ + ⋅ + − = + ( )2 2 2 2cos 2 1 2 ( ) ( )x x x x x o x x x o x− = − + − = + . Vậy 5 4 20 0 0 11 11( )1 3 1 2 1 1110 10lim lim lim( ) 10cos 2x x x x x o x x x x o x xx x x→ → → ++ ⋅ + − = = = + − . ðáp án đề thi 2001. Câu 1. a/ ' 22 xy y x e x − = . Nghiệm tổng quát ( )( )pdx pdxy e q x e dx C−∫ ∫= ⋅ +∫ ( ) ( ) ( )2 / 2 2 / 2 2.xdx x xdx x xy e x e e dx C x e dx C x e C−∫ ∫= + = + = +∫ ∫ Nghiệm của phương trình ( )2 xy x e C= + . b/ Phương trình đặc trưng: 2 1 24 3 0 1 3k k k k− + = ⇔ = ∨ = Nghiệm của phương trình thuần nhất: 30 1 2 x xy C e C e= + . Tìm nghiệm riêng: 2 ( )s xry x e Ax B= + , s = 0 vì 2=α khơng là nghiệm của PTðT. ( ) 2xry Ax B e= + .Thay vào phương trình đã cho, đồng nhất hai vế, ta được: 4, 0A B= − = . 137 Nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu: 3 20 1 2 4 x x x tq ry y y C e C e xe= + = + − Câu 2. a/ 1 4.7.10...(3 1)(3 4) 2.6.10...(4 2) 3 4 2.6.10...(4 2)(4 2) 4.7.10...(3 1) 4 2 n n a n n n n a n n n n + + + − + = ⋅ = − + + + 1 3 4 3lim lim 1 4 2 4 n n n n a n a n + →∞ →∞ + = = < + . Chuỗi 1 na ∞ ∑ hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alembert. b/ ðặt 1X x= + . Xét chuỗi 1 .2 1 n n n X n n ∞ = ∑ ⋅ + . Bán kính hội tụ: 1R ρ = , với 1lim 2 n n n a →∞ = =ρ 2R⇒ = . Xét tại 2X = . Cĩ chuỗi số: 1 1 . 1n n n ∞ = ∑ + , chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. Xét tại 2X = − . Cĩ chuỗi số: 1 ( 1) . 1 n n n n ∞ = − ∑ + , chuỗi hội tụ tuyệt đối. Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi đã cho: 2 1 2 3 1x x− ≤ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ . Câu 3. 1/ ðổi biến: cos 0 2 sin 0 1 x r y r r = ≤ ≤  ⇒  = ≤ ≤  ϕ ϕ pi ϕ . Khi đĩ 22 1 1 0 0 0 2 ( 1)rI d e rdr dr e= = = −∫ ∫ ∫ pi ϕ pi pi 2/ 2 4 2 2 0 2( ) (4 3) 4 4 x C OAB x I x y dx y dy ydxdy dx ydy − = + + + = − = −∫ ∫∫ ∫ ∫ ∆
( )42 22 2 2 0 0 2 2 (4 ) 32 x x I y dx x x dx − = − = − − − = −∫ ∫ Câu 4. a/ ( )0 0 1 tan 1 tan 2 tanlim lim 1 tan 1 tanx x x x xI x x x x→ → + − − = = + + − ( )0 tan 2 2lim 1 1 21 tan 1 tanx xI x x x→ = = ⋅ = + + − b/ 3 3 3 2 20 0 0 0 1 1 arctan ( / 3 ( ) / 3lim lim lim lim 0 arctan arctanx x x x x x x x x o x x x x x x x x→ → → → − − − +  − = = = =    Câu 5a. 1/ ðiểm dừng: ' 3 ' 2 2 4 4 0 2 2 3 0 x y z x xy z x y y  = − =  = − + − = , cĩ 2 điểm dừng 1 2(0,0); (0,2 / 3)P P ðạo hàm riêng cấp hai: '' 212 4xxz x y= − ; '' ''4 ; 2 6xy yyz x z y= − = − Xét tại điểm dừng. '' '' ''1 1 1 1(0,0) : ( ) 0, ( ) 0, ( ) 2 0xx xy yyP A z P B z P C z P= = = = = = ⇒ ∆ = . Khơng thể kết luận được. Dùng định nghĩa để khảo sát. 4 2 2 3 2 2 3( , ) ( , ) (0,0) 2 ( )z x y z x y z x x y y y x y y= − = − + − = − −∆ Xét dãy điểm ( ) 1, ,0 (0,0)nn nx y n →+∞  = →    . Khi đĩ ( ) 41 1, ,0 0n nz x y z n n   = = >    ∆ ∆ . Xét dãy điểm ( )' ' 21 1, , (0,0)nn nx y n n →+∞ = →   . Khi đĩ ( )' ' 2 6 1 1 1 , , 0n nz x y z n n n   = = − <    ∆ ∆ . Trong mọi lân cận của (0,0), đều tồn tại những điểm mà 0z >∆ và những điểm mà 0z <∆ . Suy ra hàm khơng cĩ cực trị tại 1(0,0)P . 2 '' '' '' 2 2 2 2 0(0, 2 / 3) : ( ) 8 / 3, ( ) 0, ( ) 2 0xx xy yy AC BP A z P B z P C z P A ∆ = − > = = − = = = = − ⇒  < . Hàm đạt cực đại tại 2P , (0, 2 / 3) 4 / 27cdz z= = . 138 Câu 5b. 1/ Miền xác định R. y liên tục trên [ ]0,3 . ' 2 1/ 3 4( 1) 0 3( 2 ) xy x x − = = − 1⇔ =x . Khơng tồn tại đạo hàm khi 2x = và 0x = Cĩ một điểm dừng 1x = và một điểm tới hạn 2x = trong khoảng (0,3). 30 0 1 1 2 0 3 9( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )= = = =y y y y . Kết luận: Giá trị lớn nhất là 3 9 tại 3x = ; giá trị nhỏ nhất là 0 tại 0 2x x= ∨ = . ðáp án đề thi 2002. Câu 1. 1/ '( , ) 1 x x x xyP x y e y xe y P e xe= + + ⇒ = + , '( , ) 2x x xxQ x y xe Q e xe= + ⇒ = + . ' ' x yQ P⇒ = . Phương trình vi phân đã cho là phương trình vi phân tồn phần. Nghiệm của phương trình: ( , )u x y C= . ( ) 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 2 1 2 y yx x x x y x u x y Q x y dy P x y dx xe dy dx xye y x= + = + + = + +∫ ∫ ∫ ∫ Kết luận: nghiệm của phương trình 2xxye y x C+ + = . 2/ Phương trình đặc trưng: 2 1 25 6 0 2 3k k k k− + = ⇔ = ∨ = . Nghiệm của phương trình thuần nhất: 2 30 1 2 x xy C e C e= + . Tìm nghiệm riêng: 0 0 ( cos 2 sin 2 )xry x e A x B x= + vì 2i i+ =α β khơng là nghiệm của PTðT nên 0s = . Thay vào phương trình đã cho, đồng nhất hai vế, ta được: 5 25, 52 52 A B= = − . Nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu: 2 30 1 2 5 25 cos 2 sin 2 52 52 x x tq ry y y C e C e x x= + = + + − Câu 2. 1/ 1 1 5 ( 3)! (2 )! 5( 3) (2 2)! (2 1)(2 2)5 .( 2)! n n n n a n n n a n n nn + + ⋅ + + = ⋅ = + + ++ ( ) 1 5( 3)lim lim 0 1 2 1 (2 2) n n n n a n a n n + →∞ →∞ + = = < + + . Chuỗi 1 na ∞ ∑ hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alembert. 2/ ðặt 5X x= − . Xét chuỗi 1 1 0 ( 1) .2 . ( 1) ln( 1) n n n n X n n + + ∞ = − ∑ + + . Bán kính hội tụ: 1R ρ = , với lim 2n n n aρ →∞ = = 1/ 2R⇒ = . Xét tại 1/ 2X = . Cĩ chuỗi số: 1 0 ( 1) .2 ( 1) ln( 1) n n n n + ∞ = − ∑ + + , chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz. Xét tại 1/ 2X = − . Cĩ chuỗi số: 1 0 0 ( 1) .2( 1) 2 ( 1) ln( 1) ( 1) ln( 1) n n n nn n n n + ∞ ∞ = = − − = −∑ ∑ + + + + Chuỗi 0 2 ( 1) ln( 1)n n n ∞ = ∑ + + phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh với chuỗi 2 1 lnn n ∞ α β∑ hội tụ trong hai trường hợp: 1α > hoặc 1 1 α = β > Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi đã cho: 9 111/ 2 5 1/ 2 2 2 x x− < − ≤ ⇔ − < ≤ . Câu 3. 1/ ðổi biến: cos 0 2 sin / 6 / 3 x r y r r ϕ ϕ pi ϕ pi pi = ≤ ≤  ⇒  = ≤ ≤  . 139 Khi đĩ ( )/ 32 / 3 2 2 0 / 6 0 0/ 6 3 1 cos sin 3 1 2 I d rdr r d d pipi pi pi pi pi pi ϕ ϕ ϕ pi−= = = = −∫ ∫ ∫ ∫ . 2/ ðặt 2 2( , )u x y x y= − . ðiều kiện: ( ) ( ) ( )( ) ( )( )' '' ' 3 2 2 3. . ( ). ( ).y x x yh P h Q h u x xy h u x y y= ⇔ + = − − ' 3 2 2 2 ' 2 3 2 22 ( ) (3 ) 2 .( ) ( 3 )xh x xy h x y yh x y y h x y⇔ + + + = − − − + − − . 2 2 ' 4 4 ' 2 2(4 4 ) 2 ( ) 0 2 ( ) 0h x y h x y h h x y⇔ + + − = ⇔ + − = ' 2 / 2 2 0 udu Ch h h Ce u u − ∫⇒ + = ⇒ = = . Từ (1) 1 1h C= ⇒ = . Vậy ( ) 2 2 22 2 1( )h x y x y − = − . Câu 4. 1/ ( ) 2 2 ' ' 3 3 3 3 3 3 3 ; (1,1) 2 22 2 x y x y z z dz dx dy x y x y = = ⇒ = + + + . 2/ 2 4 3 42 4 3 2 4cos sin 1 ( ) ( ) 1 ( ) 2 3! 2 x x x xx x x e o x x x o x x o x−     − − = − + − − + − − + + =        4 45 ( ) 6 x o x− + 4 4 4 4 40 0 5 5( ) 56 6lim lim 6x x x x o x K x x→ → − − + = = = − Câu 5a. 1/ ðiểm dừng: ' ' 2 2 2 0 2 4 2 0 x y f x y f x y  = − − =  = − + + = , cĩ 1 điểm dừng 1(1,0)P ðạo hàm riêng cấp hai: '' '' ''2, 2, 4xx xy yyf f f= = − = . Xét tại điểm dừng. 2 '' '' '' 1 1 1 1 4 0(1,0) : ( ) 2, ( ) 2, ( ) 4 0xx xy yy AC BP A z P B z P C z P A ∆ = − = > = = = = − = = ⇒  > . Hàm đạt cực tiểu tại 1P , (1,0) 3ctf f= = 2/ 3 2 3 1 2 1 1 2 I I I= = + = +∫ ∫ ∫ Xét 1I ( ) 1 1/ 32 3 3 3 1 1 1 1( ) 2 2 1(4 3) ( 1) (3 ) x f x xx x x x → + = = − − − − −
Tích phân 1I hội tụ. Xét 2I ( ) 3 1/ 32 3 3 3 1 1 1 1( ) 2 2 3(4 3) ( 1) (3 ) x f x xx x x x → − = = − − − − −
Tích phân 2I hội tụ. Vậy tích phân đã cho hội tụ. Câu 5b. 1/ Miền xác định R. y liên tục trên [ ]1,1− . ( ) ' 2 2 2 1 0 1/ 2 1 1 xf x x x + = = ⇔ = − + + 2 3 21 1 1 2 5 2 2 ( ) ; ( ) ; ( / )= − − = − − = −y y y . Kết luận: Giá trị lớn nhất là 2 2 − tại 1x = ; giá trị nhỏ nhất là 5− tại 1/ 2x = − . 140 2/ Ta cĩ tích phân 0 xe dx +∞ ∫ phân kỳ. Dùng qui tắc Lơpital ta được 0 2lim lim lim lim2 44 x t x x t x x x t e dt e e eI x tx x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ ∫ = = = = = +∞ ðáp án đề thi 2003. Câu 1. 1/ ' 1 siny y x x x − = . Nghiệm tổng quát ( )( )pdx pdxy e q x e dx C−∫ ∫= ⋅ +∫ ( ) ( ) ( )1/ 1/sin . sin cosxdx xdxy e x x e dx C x xdx C x C x−∫ ∫= + = + = −∫ ∫ ( ) 2 2 ( cos ) 1y C Cpi = pi ⇔ pi = pi − pi ⇔ = ⇒ Nghiệm của phương trình ( )1 cosy x x= − . 2/ Phương trình đặc trưng: 2 1 27 6 0 1 6k k k k− + = ⇔ = ∨ = Nghiệm của phương trình thuần nhất: 60 1 2 x xy C e C e= + . Tìm nghiệm riêng: 0 2( )s xry x e Ax Bx C= + + , s = 0 vì 0α = khơng là nghiệm của PTðT. 2 ry Ax Bx C= + + .Thay vào phương trình đã cho, đồng nhất hai vế, ta được: 1, 1, 1A B C= = − = − . Nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu: 6 20 1 2 1 x x tq ry y y C e C e x x= + = + + − − Câu 2. 1/ ( ) 22 1 2lim lim lim 1 1 8 88. n n n n nn n n n e a nn→∞ →∞ →∞ +   = = + = <    1 na ∞ ⇒∑ hội tụ theo Cơsi. 2/ ðặt 2X x= − . Xét chuỗi 31 4 20 ( 1) 3 1 n n nn X n n ∞ + = − ∑ ⋅ + + . Bán kính hội tụ: 1R ρ = , với 1lim 3 n n n aρ →∞ = = 3R⇒ = . Xét tại 3X = . Cĩ chuỗi số: 3 4 20 ( 1) 3 1 n n n n ∞ = − ∑ ⋅ + + , chuỗi hội tụ tuyệt đối. Xét tại 3X = − . Cĩ chuỗi số: 3 4 20 1 3 1n n n ∞ = ∑ ⋅ + + , chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi đã cho: 3 2 3 1 5x x− ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ . Câu 3. 1/ ðổi biến: cos 0 / 4 sin 2cos 6cos x r y r r ϕ ϕ pi ϕ ϕ ϕ = ≤ ≤  ⇒  = ≤ ≤  . Khi đĩ 6cos26cos/ 4 / 4 / 4 2 0 2cos 0 02cos 16cos 2 rI d rdr d d ϕϕpi pi pi ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= = =∫ ∫ ∫ ∫ / 4 / 4 0 0 8(1 cos 2 ) 8 4sin 2 2 4d pi piϕ ϕ ϕ ϕ pi= + = + = +∫ 2/ Vì tích phân trên đường trịn 2 2 1x y+ = , nên ta cĩ thể thay 2 2( ) 1x ye e− + −= . Ta cĩ ( ) ( ) ( )2 2 2 2 ( ) 1 1 12 (1 4 ) 2 (1 4 ) 2 ( 4)x y C C x y I e xdy y dx e xdy y dx dxdy e − + − + ≤ = − + = − + = − −∫ ∫ ∫∫

2 2 1 6 6 6 + ≤ pi = = ⋅ =∫∫ hình tròn x y I dxdy S e e e Chú ý: 1/ Nếu để nguyên tích phân mà sử dụng cơng thức Green thì việc tính tốn rất khĩ khăn. 2/ Cĩ thể viết phương trình tham số của C: 1 2 cos , 0, 2 sin x t t t y t = = = pi = . Thay vào tích phân đã cho: ( ) ( )2 22 2(sin cos ) 2 2 0 0 1 62cos .cos (1 4sin )( sin ) 2cos 4sin sint tI e t tdt t t dt t t t dt e e pi pi − + pi = − + − = + + =∫ ∫ 141 Câu 4. 1/ ' 2 2 ' 2 '' '' ''3 2 ; 4 9 ; 6 ; 4 ; 4 18x y xx xy yyz x y z xy y z x z y z x y= − = − + = = − = − + . ( ) ( ) ( ) ( )2 '' 2 '' '' 21,1 1,1 2 1,1 1,1xx xy yyd z z dx z dxdy z dy⇒ = + + = 2 26 8 14dx dxdy dy= − + . 2/ Miền xác định: 3 3x x≤ − ∨ ≥ . Vậy khơng cĩ tiệm cận đứng ( ) ( )3 33 2 3 23 3 2 2 1 2 / | | 1 3 / 2 1 2 / 1 3/2 2 3lim lim lim 1 x x x x x x x x x x x x x x x→+∞ →+∞ →+∞ + − − + − −+ − − = = ( ) ( )3 33 2 3 23 3 2 2 1 2 / | | 1 3 / 2 1 2 / 1 3/2 2 3lim lim lim 3 x x x x x x x x x x x x x x x→−∞ →−∞ →−∞ + − − + + −+ − − = = = Cĩ hai tiệm cận ngang: 1y = và 3y = . Câu 5a. 1/ ðiểm dừng: ' 4 ' 4 5 5 0 5 5 0 x y z x y z y x  = − =  = − = , cĩ 2 điểm dừng 1 2(0,0); (1,1)P P ðạo hàm riêng cấp hai: '' 320xxz x= ; '' '' 35; 20xy yyz z y= − = Xét tại điểm dừng. '' '' '' 21 1 1 1(0,0) : ( ) 0, ( ) 5, ( ) 0 25 0xx xy yyP A z P B z P C z P AC B= = = = − = = ⇒ ∆ = − = − < . Vậy hàm khơng đạt cực trị tại 1P . 2 '' '' '' 2 2 2 2 0(1,1) : ( ) 20, ( ) 5, ( ) 20 0xx xy yy AC BP A z P B z P C z P A ∆ = − > = = = = − = = ⇒  > .Hàm đạt cực tiểu tại 2P . 2/. 1( ) xef x x x = > . Vì tích phân 1 dx x +∞ ∫ phân kỳ nên tích phân 1 xe dx x +∞ ∫ phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh 1. Lopital, / 1 1lim lim lim 0 t xx x xx x x e edt t xJ xe e ∞ ∞ →+∞ →+∞ →+∞ ∫ = = = = . Câu 5b. 1/ Miền xác định R. y liên tục trên [ ]1/ 3, 2− . 3 2 ' 2 2 3(6 6 ) 0x xy x x e −= − = 0 1⇔ = ∨ =x x 1 4 11 270 1 1 2 1 3 /( ) ; ( ) ; ( ) ; ( / )− −= = = − =y y e y e y e . Kết luận: Giá trị lớn nhất là 4e tại 2x = ; giá trị nhỏ nhất là 1e− tại 1x = . 2/ 2 21 / 2 ( )ln(1 ) / 2 ( ) 0 0 0 .lim lim lim x x o x x x o xx x x x x e e e e e e eI x x x − + + − + → → → − − − = = = / 2 ( ) 0 0 0 1 ( / 2 ( )) / 2lim lim lim 2 x o x x x x e x o x x eI e e e x x x − + → → → − − − + = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ðáp án đề thi 2004. Câu 1. 1/ Chia hai vế cho xdx : '1 13 sin 3 sindy y x x y y x x dx x x − = ⇔ − = . Nghiệm tổng quát ( )( )pdx pdxy e q x e dx C−∫ ∫= ⋅ +∫ ( ) ( ) ( )1/ 1/3 sin . 3sin 3cosxdx xdxy e x x e dx C x xdx C x C x−∫ ∫= + = + = −∫ ∫ 2/ Phương trình đặc trưng: 2 14 5 0 2k k k i− + = ⇔ = ± Nghiệm của phương trình thuần nhất: ( )20 1 2cos sinxy e C x C x= + . Tìm nghiệm riêng: 0 ( sin cos )s xry x e A x B x= + , s = 0 vì i iα β+ = khơng là nghiệm của PTðT. 142 0 0 ( sin cos )xry x e A x B x= + .Thay vào phương trình đã cho, đồng nhất hai vế, ta được: 1, 3A B= − = . Nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu: ( )20 1 2cos sin 3cos sinxtq ry y y e C x C x x x= + = + + − Câu 2. 1a/ ( ) 2 2 2 1/ 2lim lim 1 1 2 / n n nn n n u n v en→∞ →∞ + = = < + 1 n n u v ∞ ⇒∑ hội tụ theo Cơsi. 2/ ðặt 2 0X x= ≥ . Xét chuỗi 1 0 ( 1) 4 (3 1) n n n n X n − ∞ = − ∑ − . Bán kính hội tụ: 1R ρ = , với 1lim 4 n n n aρ →∞ = = 4R⇒ = . Xét tại 4X = . Cĩ chuỗi số: 1 0 ( 1) 3 1 n n n − ∞ = − ∑ − , chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz. Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi đã cho: 2 4 2 2x x≤ ⇔ − ≤ ≤ . Câu 3. 1/ Hàm xác định với mọi 1x > . ( ) ( ) 5 3 4 2 ' 2 22 2 2 2 2 3 2 (2 3 2) . 2 1 1 2 1 1 x x x x x xy x x x x − + − + = = − + − + Xét 4 2 ' 3 2( ) 2 3 2 ( ) 8 6 (8 6) 0, 1g x x x g x x x x x x= − + ⇒ = − = − > ∀ > Hàm ( )g x đồng biến, 1x∀ > . Suy ra ( ) (1) 1g x g> = ' 0y g⇒ = > . Vậy hàm đã cho đồng biến với 1x∀ > Tiệm cận đứng khơng cĩ, vì xét 1x > . 2 2 1 1lim lim 22 1x x y x x a x x→+∞ →+∞ − = = = − , ( ) ( )6 4 32 22 24 4 21lim lim lim 022 1 2 1x x x x x x xx x xb y ax x x→+∞ →+∞ →+∞    − − − −   = − = − = =    − −     , nhân liên hiệp của tử. Cĩ một tiệm cận xiên: 2 xy = . 2/ ( ) 2 3 2 3 2 2 4 2 2 4 ' ' '' 2 2 2 2 32 2 2 2 1 3 3 2 3 2 ; ; 1 1 1 x y xy y x y y x xy x x y x x y y z z z x y x y x y − − − − − − + + + = = = − − − − − − . ( ) ( )''0,0 0 0 ; 0,0 1xxdz dx dy z⇒ = + = . Câu 4. 1/ ðổi biến: cos / 3 / 2 sin 0 4cos x r y r r ϕ pi ϕ pi ϕ ϕ = ≤ ≤  ⇒  = ≤ ≤  . Khi đĩ 4cos/ 2 / 3 0 I d rdr ϕpi pi ϕ= =∫ ∫ 2 3 3 − pi . 2/ ðiều kiện: ' ' ' ' 2 2 2 22 2y x y x ax y bx yP Q x y x y     − + = ⇔ =    + +    ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 x y axy bx by xy x y axy bx by xy x y x y − + − − + − ⇔ = ⇔ − + − = − + − + + 1 , 1 2 a b⇒ = = . Tích phân khơng phụ thuộc đường đi. Tuy nhiên khơng thể tính theo cung AO và OB, vì ( , )P x y và ( , )Q x y khơng xác định tại gốc toạ độ. C AC CB I = = +∫ ∫ ∫ , với 2 ,1 2 C        . 2 / 2 0 2 2 0 1 1 / 2 2 / 2 2 41 2 1 y xI dy dx y x + − = + =∫ ∫ + + pi Chú ý: Cĩ thể tính tích phân bằng cách viết phương trình tham số của cung C, sử dụng toạ độ cực mở rộng. 143 ðổi biển 2 2 cos 1 , 2 1 1 sin 2 / 2 x r t x y r y r t  = + = ⇒ =  =  Phương trình tham số của C: 1 2 cos , 0, / 22 sin 2 x t t t y t =  = = =  pi / 2 0 1 2 2 2 cos sin ( sin ) cos sin cos 2 2 2 2 I t t t dt t t tdt pi     = − − + +   ∫         / 2 2 2 0 2 2 2 sin cos 2 2 4 I t t dt pi   pi = + = ∫     Câu 5a. 1/ ðiểm dừng: 2 2 ' 2 ' 2 ( 2 2 1) 0 (1 2 2 ) 0 y x x y x y z e x x xy z e x y − −  = − + + − =  = − + + = , cĩ 2 điểm dừng 1( 1/ 2,0)P − ðạo hàm riêng cấp hai: 2 '' 2 3 22 (1 6 2 2 4 4 )y xxxz e x y x x x y−= − − − − + + ; 2 2 '' 2 ''2 ( 2 2 1); (3 2 2 )y x y xxy xyyz e x x xy z e x y− −= + + − = − + + Xét tại điểm dừng. 2 1/ 2 '' 1/ 4 '' 1/ 4 '' 1/ 4 1 1 1 1 8 0( 1/ 2,0) : ( ) 6 , ( ) 2 , ( ) 2 0xx xy yy AC B eP A z P e B z P e C z P e A − − − − ∆ = − = > − = = − = = − = = − ⇒  < . Hàm cĩ cực đại tại 1P 2/. 22 1 1( ) 1 x f x xx x →+∞ = +
. Tích phân hội tụ vì 2 1α = > . Tính 2 23 1 xdxI x x +∞ = ∫ + . ðặt 2 2 21 1t x t x tdt xdx= + ⇒ = + ⇒ = 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ln 3ln 2 1 1 2 1 21 dt tI dt t t tt +∞ +∞ +∞ −  = = − = =∫ ∫   − + +−   . Câu 5b. 1/ Miền xác định R. y liên tục trên [ ]1,3− . ( ) ( ) 2 2 2 2 6 8 0 4 0 10 24 0 4 0 0 ' , ( ) , , ( ) −  − + >  − ≥  = ⇒ = − − + <  − <  =  không tồn tại, x x x x e x x x x e x y y e x x x x e x x 0 2 4 6' = ⇔ = ∨ = ∨ =y x x x Chú ý: cĩ một điểm dừng 2=x và một điểm tới hạn 0=x thuộc khoảng 1 3( , )− . 2 30 16 2 4 1 25 3( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )= = − = =y y e y e y e . Kết luận: Giá trị lớn nhất là 25e tại 1x = − ; giá trị nhỏ nhất là 16 tại 0x = . 2/ Khi 0x → , ta cĩ: ( ) 2 1/ 2 2 211 sin 1 sin ( ) 1 ( ) 2 2 x x x x x o x o x+ = + + = + + ; 2 2 2tan ( ) 2 4 x x o x= + ; 2 21 cos1 cos ( ) 41 cos x x x o x x − − = = + + . Thay vào giới hạn đã cho: 144 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 02 2 31 ( ) cos ( ) ( ) 2 2 4 4lim lim lim 3 ( ) ( ) 4 4 4 x x x x x x x o x x o x o x I x x x o x o x → → → + + − + + + = = = = + + . ðáp án đề thi 2005. Câu 1. 1/ a/ ' 1 3 xy y xe x − = . Nghiệm tổng quát ( )( )pdx pdxy e q x e dx C−∫ ∫= ⋅ +∫ ( ) ( ) ( )1/ 1/3 . 3 3xdx x xdx x xy e xe e dx C x e dx C x e C−∫ ∫= + = + = +∫ ∫ b/, ' 2 '3x yQ y P= = . Phương trình vi phân đã cho là phương trình vi phân tồn phần. Nghiệm của phương trình: ( , )u x y C= , với ( ) 0 0 2 3 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 3 4 0 y yx x x y u x y P x y dx Q x y dy x y x dx dy= + = + + +∫ ∫ ∫ ∫ 3 3 2( , ) 2u x y x xy x= + + . Kết luận: Nghiệm của phương trình: 3 3 22x xy x C+ + = 2/ Phương trình đặc trưng: 2 1 24 3 0 1 3k k k k− + = ⇔ = ∨ = . Nghiệm của phương trình thuần nhất: 30 1 2 x xy C e C e= + . Tìm nghiệm riêng: 1s x xry x e A x e A= = , s = 1 vì 1α = là nghiệm đơn của PTðT. Thay vào phương trình đã cho, đồng nhất hai vế, ta được: 3A = − . Nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu: 30 1 2 3 . x x x tq ry y y C e C e xe= + = + − Câu 2. 1a/ 3 . 3 33lim lim 1 1 n n n n n n n a e n − − − →∞ →∞      = − = <       1 na ∞ ⇒∑ hội tụ theo Cơsi. 1b/ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 3 1 . 3 2 ... 31.2... ( 1) 1 1.2... 3 13 1 . 3 2 ... 3 3 1 n n na n n n a n nn n + + + ++ + = ⋅ = + ++ + + + + 1 1lim lim 1 3 1 n n n n a n a n + →∞ →∞ + = = +∞ > + + . Chuỗi 1 na ∞ ∑ phân kỳ theo tiêu chuẩn D’Alembert. 2/ ðặt 3X x= − . Xét chuỗi 0 2 1 n n X n ∞ = ∑ + . Bán kính hội tụ: 1R ρ = , với lim 1n n n aρ →∞ = = 1R⇒ = . Xét tại 1X = . Cĩ chuỗi số: 0 1 2 1n n ∞ = ∑ + , chuỗi phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh. Xét tại 1X = − . Cĩ chuỗi số: 0 ( 1) 2 1 n n n ∞ = − ∑ + , chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz. Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi đã cho: 1 3 1 2 4x x− ≤ − < ⇔ ≤ < . Câu 3. 1/ Miền xác định R. ( ) 2 ' 23 23 1 3 2 20 3 3 x xy x x x − = = ⇔ = − ( vì xét 0x > ) x 0 2/3 +∞ 'y - 0 + y Hàm đạt cực tiểu tại 2 / 3x = , giá trị cực đại 3 4(2 / 3) 3 y f −= = . 145 Tiệm cận đứng khơng cĩ. 3 3 2 lim lim 1 x x y x x a x x→+∞ →+∞ − = = = , ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 2 33 2 3 2 23 1lim lim lim 3x x x xb y ax x x x x x x x x x →+∞ →+∞ →+∞ − − = − = − − = = − + − + Cĩ một tiệm cận xiên: 1/ 3y x= − . 2/ ( ) ( ) 2 2 3 2 ' ' 2 2 '' 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 4 ; ln ;x y xx xy y x y y x y z z x y z x y x y x y − − = = − − = − − − . ( ) ( )''2,1 2 2 2 ; 2,1 6xxdz dx dy z⇒ = − = − . Câu 4. 1/ ðổi biến: cos / 4 3 / 4 sin 0 3 x r y r r ϕ pi ϕ pi ϕ = ≤ ≤  ⇒  = ≤ ≤  . Khi đĩ 3 / 4 3 2 / 3 0 9I d r rdr pi pi ϕ= − ⋅∫ ∫ =9 / 2pi . 2/ ðiều kiện: ( ) ( )' '' ' 2 cos 2 sinxy x xy xy x y xP Q ye e y xe e yα α= ⇔ + = − 2 2 sin 2 2 sinxy xy x xy xy xe xye e y e xye ae yα α⇔ + − = + − 1α⇒ = ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 ' 2 ' 2 2 3 3 Green x y C x y x I P y dx Q x dy Q x P y dxdy + ≤ = − + + = + + − +∫ ∫∫
. Vì ' 'y xP Q= , nên ta cĩ: ( ) 2 2 2cos/ 2 2 2 2 / 2 02 3 3 . x y x x y dxdy d r rdr ϕpi pi ϕ −+ ≤ + =∫∫ ∫ ∫ ( )/ 2 / 24 4 / 2 / 2 3 92cos 12 cos 4 2 d d pi pi pi pi piϕ ϕ ϕ ϕ − − = = =∫ ∫ Câu 5a. 1/ ðiểm dừng: ' 2 ' 2 3 0 9 0 x y z y x z x y  = − =   = − =  , cĩ 1 điểm dừng 1(1,3)P ðạo hàm riêng cấp hai: '' '' ''3 3 6 18 , 1,xx xy yyz z z x y = = = . Xét tại điểm dừng. 2 '' '' '' 1 1 1 1 3 0(1,3) : ( ) 6, ( ) 1, ( ) 2 / 3 0xx xy yy AC BP A z P B z P C z P A ∆ = − = > = = = = = = ⇒  > . Hàm cĩ cực tiểu tại 1P 2/ 2 22 1 22 2 1 2 3 3 ( 1)( 1) ( 1)( 1) x xI dx dx I I x x x x x x +∞ − − = + = +∫ ∫ + + + + . Tích phân 1I là tích phân xác định, nên tính chất hội tụ của hai tích phân I và 2I là như nhau. Xét tích phân hàm khơng âm 2 2 2 2 3 ( 1)( 1) xI dx x x x +∞ − = ∫ + + 2 2 2 4 2 3 1( ) ( 1)( 1) xx xf x x x x x x →+∞ − = = + +
. Tích phân hội tụ vì 2 1α = > . Tính 2 2 1 3 ( 1)( 1) xI dx x x x +∞ − = ∫ + + . Phân tích 2 2 2 3 1( 1)( 1) 1 x A B Cx D x xx x x x − + = + + ++ + + Qui đồng, đồng nhất hai vế (hoặc dùng khai triển Heaviside): 3, 1, 2, 2A B C D= − = = = . ( )22 2 11 1 1 1 3 2 2 3ln | | ln | 1| ln( 1) 2arctan 1 1 1 dx dx xdx dxI x x x x x x x x +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ − = + + + = − + + + + +∫ ∫ ∫ ∫ + + + 146 ( )2 3 1 | 1 ( 1) | ln 2arctan x x I x x +∞  + +   = +     ln 4 2 pi = − . Câu 5b. 1/ Miền xác định R. y liên tục trên [ ]1/ 2,3− . ( )( ) 2 ' 2 / 32 3 4 0 2 x xy x x − + = = − 4 / 3x⇔ = . Cĩ một điểm dừng 4 / 3x = và một điểm tới hạn 0x = , vì khơng tồn tại đạo hàm tại 0x = . 3 3 32 4 5(0) 0; (4 / 3) ; (3) 9; ( 1/ 2) 3 2 y y y y= = = − − = . Kết luận: Giá trị lớn nhất là 32 4 3 tại 4 / 3x = ; giá trị nhỏ nhất là 3 9− tại 3x = . 2/ ( ) 1/ 4 0 1lim ln(1 4 ) lnx x x e xI e → + − = . Xét ( ) ( )2 2 0 0 1 1 1 1lim ln 1 4 4 lim 4 8 ( ) 4 x x x x x o x x x x x→ →     + − = − + − =        8 0 0 8 ( ) 8lim lim 8 x x x o x x I e x x − → → − + − = == = ⇒ = . ðáp án đề thi 2006. Câu 1. 1/ a/ Nghiệm tổng quát ( )( )pdx pdxy e q x e dx C−∫ ∫= ⋅ +∫ ( ) ( ) 42 / 5 2 / 2 3 2 55 5 4xdx xdx xy e x e dx C x x dx C x C−∫ ∫   = ⋅ + = + = +∫ ∫     b/ ' 'yy xP e Q= = . Phương trình vi phân đã cho là phương trình vi phân tồn phần. Nghiệm của phương trình: ( , )u x y C= . ( ) 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) sin cos y yx x y x y u x y P x y dx Q x y dy e x dx ydy= + = + +∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 00( , ) cos sin cos 1 sin x yy yu x y xe x y xe x y= − + = − + + Kết luận: Nghiệm của phtrình: 1cos sin yxe x y C− + = . 2/ Phương trình đặc trưng: 2 1 24 4 0 2k k k k− + = ⇔ = = . Nghiệm của phương trình thuần nhất: 2 20 1 2 x xy C e C xe= + . Tìm nghiệm riêng: 2( ) 8 , 2, ( )x nf x e P x= =α bậc 0. 2 2 2s x x ry x e A Ax e⇒ = = vì 2α = là nghiệm kép của PTðT, nên s = 2. Thay vào phương trình đã cho, đồng nhất hai vế, ta được: 4A = . Nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu: 2 2 2 20 1 2 4 . x x x tq ry y y C e C xe x e= + = + + Câu 2. 1a/ 3 .( 2)( 2) 2 3 33lim lim 1 1 2 n n n n n n n a e n − + − + + − →∞ →∞      = − = <  +     1 nv ∞ ⇒∑ hội tụ theo Cơsi. 1b/ 21 1 1.3.5...(2 1)(2 1) 2.4.6...(2 ) 1 6 33 2.4.6...(2 )(2 2) 1.3.5...(2 1) 2 23 nn n n a n n n n a n n n n ++ + − + + = ⋅ = + − + 1 6 3lim lim 3 1 2 2 n n n n a n a n + →∞ →∞ + = = > + . Chuỗi 1 nv ∞ ∑ phân kỳ theo tiêu chuẩn D’Alembert. 2/ ðặt 1X x= − . Xét chuỗi 1 2 30 ( 1) .3 . 4 . 1 n n n n n X n + ∞ + = − ∑ + . Bán kính hội tụ: 1R ρ = , với 3lim 4 n n n aρ →∞ = = 4 3 R⇒ = . 147 Xét tại 4 3 X = . Cĩ chuỗi số: 30 ( 1) .3 16. 1 n n n ∞ = − ∑ + . Hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz. Xét tại 4 3 X = − . Cĩ chuỗi số: 30 3 16. 1n n ∞ = ∑ + . Phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh. Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi đã cho: 4 4 1 71 3 3 3 3 x x− < − ≤ ⇔ − < ≤ . Câu 3. 1/ Miền xác định 0x ≠ . ' 2 2 4 21 0 2.y x x x   = + = ⇔ = −    x −∞ 2− 0 +∞ 'y + 0 - + y Hàm đạt cực đại tại 2x = − , giá trị cực đại ( 2) 4y f= − = . 2 20 0 3 4 4lim lim x x x xy x→ → − − = = −∞ . Tiệm cận đứng 0.x = 2 2 3 4 4lim lim 3 x x x xy x→±∞ →±∞ − − = = . Cĩ tiệm cận ngang: 3y = . 2/ 2 3 2 3 2 3 2 3 ' 3 ' 2 2 '' 2 3 56 ; 9 ; 18 18x y x y x y x yx y xyz xy e z x y e z xy e x y e= = = + . (1,1) 6 9dz edx edy= + ; '' (1,1) 36xyz e= . Câu 4. 1/ ðổi biến: / 4 / 3cos sin 1 33 x r y r r pi ϕ piϕ ϕ ≤ ≤=  ⇒  = ≤ ≤  . Vậy / 3 33 2/ 4 1 33 rI d dr r pi pi piϕ= =∫ ∫ + (đổi biến 23t r= + ) 2/ ðiều kiện: ( )' ' . .3.cos(3 ) .cos3 3 sin 3 . .cos3 sin 3 cos3mx mx mx mx mxy xP Q e x y e y ye y me x y y y e y= ⇔ + − = − + . 3 cos3 3 sin 3 cos3 sin 3 3x y y y mx y my y m⇔ − = − ⇒ = ( )( )' '( 3 ) ( 3 ) 3 ( 3 )yx C OAB I P x y dx Q y x dy Q y x P x y dxdy ∆ = + + + + − = + + − − + +∫ ∫∫
. Vì ' ' ( 3 3) 6 6y x OAB OAB P Q I dxdy S∆ ∆ = ⇒ = − − = − ⋅ = −∫∫ Câu 5a. 1/ ðiểm dừng: ' ' 3 4 4 0 4 4 0 x y z x y z x y  = − =  = − + = , cĩ 3 điểm dừng 1 2 3(0,0), (1,1), ( 1, 1)P P P − − ðạo hàm riêng cấp hai: '' '' '' 24, 4, 12xx xy yyz z z y= = − = . Xét từng điểm dừng. '' '' '' 2 1 1 1 1(0,0) : ( ) 4, ( ) 4, ( ) 0 16 0xx xy yyP A z P B z P C z P AC B= = = = − = = ⇒ ∆ = − = − < . Khơng cĩ cực trị tại 1P Tại 2 (1,1)P 2 '' '' '' 2 2 2 32 0( ) 4, ( ) 4, ( ) 12 0xx xy yy AC BA z P B z P C z P A ∆ = − = > = = = = − = = ⇒  > . Hàm đạt cực tiểu tại 2P . Tương tự hồn tồn, hàm đạt cực tiểu tại 3( 1, 1)P − − 2/ Chú ý: phải tách ra làm 2 tích phân: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 23 30 11 . 1 1 . 1 dx dxI I I x x x xα α +∞ = + = +∫ ∫ + + + + . Vì 1I là tích phân xác định thơng thường nên tính chất hội tụ của I và của 2I tương đương nhau. 148 Xét ( ) ( )2 31 1 . 1 dxI x xα +∞ = ∫ + + . Ta cĩ ( ) ( ) 0, 33 1 1( ) 1 . 1 x f x xx x > →+∞ + = + + α αα
. Tích phân hội tụ khi 3 1 2α α+ > ⇔ > − . Số nguyên dương bé nhất 1α⇒ = . Tính ( ) ( )30 1 . 1 dxI x x +∞ = ∫ + + . Phân tích ( ) ( ) ( )2 2 22 1 1 11 . 1 1 A B Cx D x x xx x x x + = + + + − + − + + + Qui đồng, đồng nhất hai vế (hoặc dùng khai triển Heaviside): 1 1, 3 3 A B D C= = = = − . ( ) ( ) ( ) ( )2 2 220 0 0 0 2 11 1 1 1 3 1 3 6 611 1/ 2 3 / 2 x dxdx dx dxI x x xx x +∞ +∞ +∞ +∞ − = + − +∫ ∫ ∫ ∫ + − ++ − + . 2 0 00 0 1 1 1 1 1 2 1ln |1 | ln | 1| arctan 3 1 3 6 3 3 3 xI x x x x +∞+∞ +∞+∞ − = − + + − − + + + ( )2 2 0 11 1 1 1 2 3ln 3 6 2 6 3 271 3 3 x I x x pi pi pi +∞ +   = + + + = +  − +   Câu 5b. 1/ Miền xác định R. y liên tục trên [ ]0,2 . ' 2( 1)(7 3 ) 0 1 7 / 3(3 )( 1) 1 x xy x x x x − − = = ⇔ = ∨ = − − + (loại) (0) ln 4; (1) 0; (2) ln 2y y y= = = . Kết luận: Giá trị lớn nhất là ln 4 tại 0x = ; giá trị nhỏ nhất là 0 tại 1x = . 2/ ( )2 1/ 320 11/ lim ln 1 33 0 lim 1 3 x xx x x x xI x e →   + −    →   = + − =    . Xét ( )1/ 320 1lim ln 1 3x x x x→   + −    ( ) 2 2 2 1/ 3 2 2 2ln 1 ln 1 ( ) ln 1 ( ) ( ) 3 3 9 3 9 9 x x x x x x x o x o x o x      + − = + − + − = − + = − +           . ( ) 2 2 2 1/ 3 2 2 20 0 0 1 / 9 ( ) / 9 1lim ln 1 lim lim 3 9x x x x x o x x x x x x→ → → − + −  + − = = = −    1/ 9I e−⇒ = . ðáp án đề thi 2007. Câu 1. 1/ a/ 3 2 2 302 2 y dx dydx x dy x y − = ⇔ = 2 32 dx dy C x y ⇒ = +∫ ∫ 2 1 1 1 2 2 C x y − ⇒ − = + ðiều kiện (4) 2 0.y C= ⇒ = Nghiệm của phtrình: 2x y= . b/ Nghiệm tổng quát ( )( )pdx pdxy e q x e dx C−∫ ∫= ⋅ +∫ ( ) ( ) ( )4 / 4 4 / 4 4cos cos sinxdx xdxy e x x e dx C x xdx C x x C−∫ ∫= ⋅ + = + = +∫ ∫ 2/ Phương trình đặc trưng: 2 1 22 3 0 1, 3k k k k+ − = ⇔ = = − . Nghiệm của phương trình thuần nhất: 30 1 2 x xy C e C e−= + . Tìm nghiệm riêng: 0 3 3( ) ( )x xry x e Ax B e Ax B= + = + vì 3α = khơng là nghiệm của PTðT. Thay vào phương trình đã cho, đồng nhất hai vế, ta được: 1 1, 2 4 A B −= = . Nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu: 3 30 1 2 1 1 . 2 4 x x x tq ry y y C e C e e x −   = + = + + −    149 Câu 2. 1/a ( )1 . 1(2 1) 2 1 1 1/ 21 1lim lim 1 1 2 1 n n n n n n n a e n e − − − + + − →∞ →∞      = − = = <  +     1 na ∞ ⇒∑ hội tụ theo Cơsi. 1b/ 2 2 3 2 1 2 2 1.4.9... ( 1) .5 1.3.5..(2 1) ! ( 1) 5 . 1.3.5..(2 1)(2 1).( 1)! 2 1 ( 1)1.4.9... .5 n n n n a n n n n n a n n n n nn + + + + − ⋅ + = ⋅ = − + + + + 1 5( 1) 5lim lim . 1 2 1 2 n n n n a n a n + →∞ →∞ + = = > + . Chuỗi 1 na ∞ ∑ phân kỳ theo tiêu chuẩn D’Alembert. Kết luận: chuỗi ( ) 1 n nu v ∞ +∑ phân kỳ. 2/ ðặt 3X x= + . Xét chuỗi 42 30 4 1 n nn X n ∞ + = ∑ ⋅ + . Bán kính hội tụ: 1R ρ = , với 1lim 4 n n n aρ →∞ = = 4R⇒ = . Xét tại 4X = . Cĩ chuỗi số: 4 30 1 16 1n n ∞ = ∑ + . Phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh. Xét tại 4X = − . Cĩ chuỗi số: 4 30 ( 1) 16 1 n n n ∞ = − ∑ + . Hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz. Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi đã cho: 4 3 4 7 1x x− ≤ + < ⇔ − ≤ < . Câu 3. 1/ Miền xác định 0x ≥ . ' 2 3 0 3. 6 10 xy x x x − = = ⇔ = − + x 0 3 +∞ 'y - 0 + y Hàm đạt cực tiểu tại 3x = , giá trị cực đại (3) 1y f= = . Khơng cĩ tiệm cận đứng . ( ) ( )2 26 10lim lim 1, lim lim 6 10 x x x x y x x a b y ax x x x x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ − + = = = = − = − + − 2 6 10lim 3 6 10x x x x x→+∞ − + = = − − + + . Cĩ tiệm cận xiên: 3y x= − . 2/ ' '2 2 2 1(1,1) 23x x x u u x y = ⇒ = + . ' ' 2 2 6 3(1,1) 23y y y u u x y = ⇒ = + 2u u x y ∂ ∂ ⇒ + = ∂ ∂ . ( ) 2 2 '' '' 22 2 6 2 1(1,1) 43 xx xx y x u u x y − = ⇒ = + ; ( ) '' '' 22 2 12 3(1,1) 43 xy xy xy u u x y − − = ⇒ = + '' '' 1 2xx yy u u − ⇒ + = Câu 4. 1/ ðổi biến: 0 2cos sin 0 3 x r y r r ϕ piϕ ϕ ≤ ≤=  ⇒  = ≤ ≤  . Khi đĩ 2 3 0 0 arctanI d r rdr pi ϕ= ∫ ∫ = 4 ( 3) 3 pi pi − . (tích phân từng phần, đặt arctan ,u r dv rdr= = ) 2/ ðiều kiện: ( ) ( )' ' '. . (1 ) (1 )y y y yy xh P h Q he x y e h h x y e he− − − −= ⇔ − + + = − − − ' 0h h⇔ − = 1dy xh Ce Ce∫⇒ = = . ðiều kiện (0) 1 1 xh C h e= ⇔ = ⇒ = . ( ) C I hPdx hQdy= +∫ . Tích phân khơng phụ thuộc đường đi. Thay vì tính tích phân trên cung trịn, ta tính tích phân theo đường thẳng đứng từ A(0,-3) đến B(0,3). 150 3 3 3 3 ( , ) ( , ) (1 ) 3 3x x y AB I e P x y dx e Q x y dy y e dy e e− − − = + = − = +∫ ∫ . Câu 5a. 1/ ðiểm dừng: ' 2 ' 2 3 6 3 3 0 3 3 3 0 x y z x x y z y x  = + − + =  = − − = , cĩ 2 điểm dừng 1 2(0,1), ( 1,0)P P − ðạo hàm riêng cấp hai: '' '' ''6 6, 3, 6xx xy yyz x z z y= + = − = . Xét từng điểm dừng. 2 '' '' '' 1 1 1 1 27 0(0,1) : ( ) 6, ( ) 3, ( ) 6 0xx xy yy AC BP A z P B z P C z P A ∆ = − = > = = = = − = = ⇒  > . Hàm đạt cực tiểu tại 1P . '' '' '' 2 2 2 2 2( 1,0) : ( ) 0, ( ) 3, ( ) 0 0xx xy yyP A z P B z P C z P AC B− = = = = − = = ⇒ ∆ = − < . Khơng cĩ cực trị tại 2P . 2/ 3/ 24 2 1 1( ) . 1 x f x xx x →+∞ = +
. Tích phân hội tụ vì 3/ 2 1α = > . 42 280 , 1 xdxI x x +∞ = ∫ + đặt 4 2 1t x= + ( ) 3 43 2 ln 2 arctan 3 2 21 tI t t pi+∞ ⇒ = = + −∫ − . Câu 5b. 1/ Miền xác định R, y liên tục trên [ ]1,3 . ' 2 2( 1) (12 5 ) 2 ( 1)(12 5 ) 5( 1) 0y x x x x x x x= − − + − − − − = ⇔ 2 1x x⇔ = ∨ = (loại) 3 /10x∨ = (loại). (2) 4; (1) 0; (3) 36y y y= = = − . Kết luận: Giá trị lớn nhất là 4 tại 2x = ; giá trị nhỏ nhất là 36− tại 3x = . 2/ 1 2 4 1 2 41 2 4 4 3 1lim . . lim 1 . 1 . 1 5 5 5 5 5 5 x x x x x x x x x x xI x x x x x x + + + + + + →+∞ →+∞ + + +            = = − − −           + + + + + +            . 4 3 1 8I e e e e− − − −= ⋅ ⋅ = . ðáp án đề thi 2008. Câu 1. 1/ a/ Nghiệm tổng quát ( )( )pdx pdxy e q x e dx C−∫ ∫= ⋅ +∫ ( ) ( )3/ 3 /3 3 36sin 1 16sin 6cosxdx xdxxy e e dx C xdx C C xx x x −∫ ∫  = ⋅ + = + = −∫ ∫    b/ 2 '( , ) 5 4 10 4yP x y xy y P xy= + ⇒ = + , 2 '( , ) 5 4 10 4xQ x y x y x Q xy= + ⇒ = + . ' ' x yQ P⇒ = . Phương trình vi phân đã cho là phương trình vi phân tồn phần. Nghiệm của phương trình: ( , )u x y C= . ' ' ( , ) ( , ) x y u P x y u Q x y  =  = 2 2 25( , ) ( , ) ( ) (5 4 ) ( ) 4 ( ) 2 u x y P x y dx g y xy y dx g y x y xy g y⇒ = + = + + = + +∫ ∫ ' 2 ' ' 15 4 ( ) ( , ) ( ) 0 ( ) .yu x y x g y Q x y g y g y C= + + = ⇒ = ⇒ = Vậy 2 2 1 5( , ) 4 2 u x y x y xy C= + + . Kết luận: Nghiệm của phương trình: 2 2 2 5 4 2 x y xy C+ = . 2/ Phương trình đặc trưng: 2 1 22 3 0 1, 3k k k k− − = ⇔ = − = . Nghiệm của phương trình thuần nhất: 30 1 2 x xy C e C e−= + . Tìm nghiệm riêng: 0( ) ( 30cos3 0.sin 3 ), 0, 3, ( )x nf x e x x P xα β= − + = = bậc 0, ( )mQ x bậc 0. 0 0 0( cos3 sin 3 ) ( cos3 sin 3 )s x xry x e A x B x x e A x B x⇒ = + = + vì 3i iα β+ = khơng là nghiệm của PTðT. Thay vào phương trình đã cho, đồng nhất hai vế, ta được: 2, 1A B= = . Nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu: 30 1 2 2cos3 sin 3 . x x tq ry y y C e C e x x − = + = + + + 151 Câu 2. 1/ 1 1 2.4...(2 2)( 1) 4.7...(3 1) ! 2 2 ( 1) . 4.7...(3 4)( 1)! 3 42.4...(2 ). n n n n n n v n n n n n n v n n nn n n + + + + + ⋅ + + = ⋅ = + + + 1 2 2 2lim lim .(1 1/ ) 1 3 4 3 nn n n n v n e n v n + →∞ →∞ + = + = > + . Chuỗi 1 nv ∞ ∑ phân kỳ theo tiêu chuẩn D’Alembert. 2 .4 14 1 4 14 1 2 24 1 2lim lim lim 1 1 4 1 4 1 n n nn n n n n n n u e n n − + − + ++ − →∞ →∞ →∞   −     = = − = <    + +       1 nv ∞ ⇒∑ hội tụ theo Cơsi. Kết luận: chuỗi ( ) 1 n nu v ∞ +∑ phân kỳ. 2/ ðặt 1X x= + . Xét chuỗi 2 60 ( 2). 5 1 n nn n X n ∞ + = + ∑ + . Bán kính hội tụ: 1R ρ = , với 1lim 5 n n n aρ →∞ = = 5R⇒ = . Xét tại 5X = . Cĩ chuỗi số: 60 2 25. 1n n n ∞ = + ∑ + . Hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. Xét tại 5X = − . Cĩ chuỗi số: 60 ( 1) 2 25. 1 n n n n ∞ = − + ∑ + . Hội tụ tuyệt đối. Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi đã cho: 5 1 5 6 4x x− ≤ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ . Câu 3. 1/ Miền xác định 5x ≠ . ' 2 2 2 5 0 5 / 2. ( 5) . 6 10 xy x x x x − + = = ⇔ = − − + x 0 5 / 2 5 +∞ 'y + 0 - - y Hàm đạt cực đại tại 5 / 2x = , giá trị cực đại 5(5 / 2) 5 y f −= = . 2 5 5 6 10lim lim 5x x x xy x→ → − + = = ∞ − . Tiệm cận đứng 5.x = 2 2 26 10 | | . 1 6 / 10 / . 1 6 / 10 /lim lim lim lim 1 5 (1 5 / ) (1 5 / )x x x x x x x x x x x xy x x x x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ − + − + − + = = = = − − − Cĩ tiệm cận ngang: 1y = . 2/ ' ' 2 2 6 12(2,1) 56 x x x u u x y = ⇒ = + ; ' ' 2 2 1(2,1) 56 y y y u u x y = ⇒ = + 272 3 5 u u x y ∂ ∂ ⇒ + = ∂ ∂ . ( ) '' '' 32 2 6 12(2,1) 1256 xy xy xy u u x y − − = ⇒ = + ; ( ) 2 '' '' 32 2 6 24(2,1) 1256 yy xy x u u x y = ⇒ = + '' '' 724 5 125xy yy u u⇒ + = Câu 4. 1/ ðổi biến: cos 0 2 sin 1 x r y r r e ϕ ϕ pi ϕ = ≤ ≤  ⇒  = ≤ ≤  . Khi đĩ 2 2 0 1 2 ln e I d r rdr pi ϕ= ∫ ∫ 2 3 1 42 .2 ln (2 1) 9 e r rdr e= = +∫ pi pi . (tích phân từng phần 2ln ,u r dv r dr= = ). 2/ ðiều kiện: ( ) ( )' ' ' ' ' 1. . . 2 . 0 0y xh P h Q y h h h y h h h hy= ⇔ + = ⇔ − = ⇔ − = 1/ ydyh Ce Cy∫⇒ = = . ðiều kiện (1) 1 1 ( )h C h y y= ⇔ = ⇒ = . 152 ( ) C I hPdx hQdy= +∫ . Tích phân khơng phụ thuộc đường đi. Thay vì tính tích phân trên cung ellipse, ta tính tích phân theo đường thẳng từ A đến 0 và từ 0 đến B. 2 2 2 2 2 2 2 0 (2 ) (2 ) 2 2y y y AO OB I y dx xy y e dy y dx xy y e dy y e dy e= + − + + − = − = −∫ ∫ ∫ . Câu 5a. 1/ ðiểm dừng: ' 2 ' 3 3 0 3 4 0 x y z x y z x y  = + =  = + = , cĩ 2 điểm dừng 1 2(0,0), (3 / 4, 9 /16)P P − ðạo hàm riêng cấp hai: '' '' ''6 , 3, 4xx xy yyz x z z= = = . Xét từng điểm dừng. '' '' '' 2 1 1 1 1(0,0) : ( ) 0, ( ) 3, ( ) 4 9 0xx xy yyP A z P B z P C z P AC B= = = = = = ⇒ ∆ = − = − < . Khơng cĩ cực trị tại 1P 2 '' '' '' 2 2 2 2 9 0(3 / 4, 9 /16) : ( ) 9 / 2, ( ) 3, ( ) 4 0xx xy yy AC BP A z P B z P C z P A ∆ = − = > − = = = = = = ⇒  > . Hàm đạt cực tiểu tại 2P . 2/ 2 / 33 2 1 1( ) . 1 x mm f x xx x →+∞ + = +
. Tích phân hội tụ khi 2 / 3 1 1/ 3m m+ > ⇔ > . 7 / 3 2 1/ 3 1 (1 )I x x dx +∞ − − = +∫ .Tích phân Trêbưsev: 1 1m p Z n + + = − ∈ . ðặt 2 3 2 1 x t x + = 2 3 2 3 2 33 2 dx t dt x dx t dt x − − − = ⇒ = ( )( ) ( )31/ 3 27 / 3 3 2 / 3 2 2 3 3 1 1 3 3 . . 1 . 4 1 2 4 I x x x x x x dx tdt −+∞ − − − − = + = = −∫ ∫ . Câu 5b. 1/ Miền xác định R. y liên tục trên [ ]2,0− . ' 3 212 24 12 24 0y x x x= − − + = 1 2x x⇔ = − ∨ = (loại) 1x∨ = (loại). ( 1) 17; (1) 15; ( 2) 42y y y− = − = − = . Kết luận: Giá trị lớn nhất là 42 tại 2x = − ; giá trị nhỏ nhất là 17− tại 1x = − . 2/ Ta cĩ 0 03 3( ) 0, ( ) 4 2x xg x f x x x b b→ + → +→ = + − + → − . ðể 0 lim x f g→ hữu hạn thì 8.b = Khi đĩ: 2 0 2 / 3 0 90 0 1 1 ( 8) 132 4lim lim 183 xx x xf xI g e − −→ + → + − + + = = = . ðáp án đề thi 2009. Câu 1. 1/ a/ ' 2 33 2 xy y e x x − = . Nghiệm tổng quát ( )( )pdx pdxy e q x e dx C− ∫ ∫= ⋅ +∫ ( ) ( ) ( )3/ 2 3 3 / 3 2 3 22 2xdx x xdx x xy e e x e dx C x e dx C x e C−∫ ∫= ⋅ + = + = +∫ ∫ b/ '( , ) sin 5 cos 5x xyP x y e y y P e y= + ⇒ = + , '( , ) cos 5 cos 5x xxQ x y e y x Q e y= + ⇒ = + . ' ' x yQ P⇒ = . Phương trình vi phân đã cho là phương trình vi phân tồn phần. Nghiệm của phương trình: ( , )u x y C= . ( ) ( ) 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) sin 5 cos 0 y yx x x x y u x y P x y dx Q x y dy e y y dx y dy= + = + + +∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 00( , ) sin 5 sin sin 5 sin sin sin 5 x yx x xu x y e y xy y e y xy y y e y xy= + + = + − + = + . 2/ Phương trình đặc trưng: 2 1 26 9 0 3k k k k+ + = ⇔ = = − . 153 Nghiệm của phương trình thuần nhất: 3 30 1 2 x xy C e C xe− −= + . Tìm nghiệm riêng: 3 0 3( ) ( )s x xry x e Ax B x e Ax B= + = + vì 3α = khơng là nghiệm của PTðT. Thay vào phương trình đã cho, đồng nhất hai vế, ta được: 1, 1A B= = − . Nghiệm tổng quát của phương trình ban đầu: 3 3 30 1 2 ( 1) .x x xtq ry y y C e C xe x e− −= + = + + − Câu 2. 1/ 1 1 3.5...(2 3)( 1)! 4.8...(4 ) 2 3 2 3 1 . . 3.5...(2 1). ! 4 4 4 44.8...(4 4)( 1) ( 1) (1 1/ ) n n n n n n n u n n n n n n n u n n n nn n n n + + + + ⋅ + + = ⋅ = = + + ++ + + + 1 2 3 1 1lim lim . 1 4 4 2(1 1/ ) n nn n n u n u n en + →∞ →∞ + = = < + + . Chuỗi 1 nu ∞ ∑ hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alembert. 3 .4 14 2 4 24 1 3 34 1 3lim lim lim 1 1 4 2 4 2 n n nn n n n n n n v e n n − + − + ++ − →∞ →∞ →∞   −     = = − = <    + +       1 nv ∞ ⇒∑ hội tụ theo Cơsi. Kết luận: chuỗi ( ) 1 n nu v ∞ +∑ hội tụ. 2/ ðặt 2X x= − . Xét chuỗi 10 ( 1) . . 2 (2 1) n n n n n X n ∞ + = − ∑ + . Bán kính hội tụ: 1R ρ = , với 1lim 2 n n n aρ →∞ = = 2R⇒ = . Xét tại 2X = . Cĩ chuỗi số: 0 ( 1) . 2.(2 1) n n n n ∞ = − ∑ + , chuỗi phân kỳ theo định lý điều kiện cần. Xét tại 2X = − . Cĩ chuỗi số: 0 2.(2 1)n n n ∞ = ∑ + , chuỗi phân kỳ theo định lý điều kiện cần. Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi đã cho: 2 2 2 0 4x x− < − < ⇔ < < . Câu 3. 1/ Miền xác định R. ( ) ' 32 1 . 1 xy x x − = + + ' 0 1.y x= ⇔ = x −∞ 1 +∞ 'y + 0 - y Hàm đạt cực đại tại 1x = , giá trị cực đại 2(1) 3 y f= = . Tiệm cận đứng khơng cĩ. 2 2 2 1 (1 1/ ) (1 1/ )lim lim lim lim 1 1 | | . 1 1/ 1/ . 1 1/ 1/x x x x x x x x xy x x x x x x x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ + + + = = = = + + + + + + 2 2 2 1 (1 1/ ) (1 1/ )lim lim lim lim 1 1 | | . 1 1/ 1/ . 1 1/ 1/x x x x x x x x xy x x x x x x x x→−∞ →−∞ →−∞ →+∞ + + + = = = = − + + + + − + + Cĩ hai tiệm cận ngang: 1y = ± . 2/ ' '1 1cos ( / 3,0) 1 1 2x x x u u y y pi= ⇒ = + + ; ( ) ' ' 2 cos ( / 3,0)1 61y y x x u u yy − − = ⇒ = ++ pi pi 2 6 u u x y pi pi ∂ ∂ ⇒ + = ∂ ∂ ; ( ) '' '' 2 1 3 sin ( / 3,0) 1 21 xx xx x u u yy pi − − = ⇒ = ++ . Câu 4. 1/ ðổi biến: cos 0 2 sin 1 ln 3 x r y r r ϕ ϕ pi ϕ = ≤ ≤  ⇒  = ≤ ≤  . Khi đĩ 2 ln 3 0 1 . rI d e rdr= ∫ ∫ pi ϕ = 6 (ln 3 1)pi − . 2/ ðiều kiện: ( ) ( )' ' ' '. . ( 2) cos . cos cos ( 1) 0y xh P h Q h x y h x y h y xh x h= ⇔ + = + ⇔ − + = . 154 ( )1 1/' 1 0 x dx xxh h h Ce Cxe x +∫+⇒ − = ⇒ = = . Từ (1) 1h e C= ⇒ = . Vậy ( ) xh x xe= . ( ) C I hPdx hQdy= +∫ . Tích phân khơng phụ thuộc đường đi. Thay vì tính tích phân trên cung ellipse, ta tính tích phân theo đường thẳng đứng từ A đến B. / 2 / 2 / 2 0 ( 2)sin cos .cos 2 .cos 2x x AB I xe x ydx xe x ydy e ydy e ydy e pi pi pi− = + + = = =∫ ∫ ∫ . Câu 5a. 1/ ðiểm dừng: ' ' ( ) 1 0 ( ) 1 0 x y z y x y xy z x x y xy  = + + + =  = + + + = , trừ hai ptrình, cĩ 2 điểm dừng 1 2(1, 1), ( 1,1)P P− − ðạo hàm riêng cấp hai: '' '' ''2 , 2( ), 2xx xy yyz y z x y z x= = + = . Xét từng điểm dừng. '' '' '' 2 1 1 1 1(1, 1) : ( ) 2, ( ) 0, ( ) 2 4 0xx xy yyP A z P B z P C z P AC B− = = − = = = = ⇒ ∆ = − = − < . Khơng cĩ cực trị tại 1P '' '' '' 2 2 2 2 2( 1,1) : ( ) 2, ( ) 0, ( ) 2 4 0xx xy yyP A z P B z P C z P AC B− = = = = = = − ⇒ ∆ = − = − < . Khơng cĩ cực trị tại 2P 2/ Trường hợp 1. 0.m > ( ) 12 1 1( ) 1 1 x mm f x xx x →+∞ + = + −
. Tích phân hội tụ khi 1 1 0m m+ > ⇔ > . Trường hợp 2. 0.m < ( ) 2 1 1( ) 1 1 x m f x xx x →+∞ = + −
. Tích phân phân kỳ. 22 ( 1) 1 dxI x x +∞ = ∫ + − . ðổi biến Euler: 2 2 2 2 1 1 11 2 2 t t x x t x dx dt t t + − − = + ⇒ = − ⇒ = 2 21 ( 1)1 1 2 2 t t x t t + − + = − + = − 0 2 1 2 2 2 2( 1) dtI t − ⇒ = = −∫ − . Câu 5b. 1/ Miền xác định R. y liên tục trên [ ]2,0− . 2 ' 2 2 2 3 0( 3) x xy x − + + = = + 1 3x x⇔ = − ∨ = (loại). ( 1) 1/ 2; (0) 1/ 3; ( 2) 3 / 7y y y− = − = − − = − . Kết luận: Giá trị lớn nhất là 1/ 3− tại 0x = ; giá trị nhỏ nhất là 1/ 2− tại 1x = − . 2/ Ta cĩ 0 0( ) 0, ( ) 1x xg x f x b→ →→ → + . ðể 0 lim x f g→ hữu hạn thì 1.b = − Khi đĩ: 2 2 2 0 ,Lopitalsin sin sin0 00 0 0 3 2sin cos 2 sin cos 2lim lim lim 3ln(1 sin 3 ) 3 sin 3 9ln(1 sin ) x x x x x x x e x xe x xeI x xt dt→ → → − − = = = = − ++∫ .