Các phương pháp số trong phân tích kết cấu

1Các Phương Pháp Số Trong Phân Tích Kết Cấu Ts. Nguyễn Trọng Phú Hà nội, 03 - 2014 Phần I Phương Pháp Ma Trận Phân Tích Kết cấu I. Giới Thiệu - Tính toán và bố trí các cấu kiện sao cho công trình có thể làm việc an toàn trong toàn bộ thời gian dự kiến làm việc. - Tính toán sự phân bố của nội lực và biến dạng của công trình dưới tác động của các nguyên nhân bên ngoài ( tải trọng, nhiệt độ, con người, phương tiện, ). - Phản ứng của các dạng kết cấu khác nhau: kết cấu khung, tấm, vỏ, hay khối được mô tả bởi các phương trình vi phân. Fu L EA ' 2- Các phương pháp số: Sai phân hữu hạn, Biến phân, và Phần tử hữu hạn được sử dụng để giải các phương trình vi phân phức tạp. - Ý tưởng cơ bản của các phương pháp số biến các phương trình vi phân thành các phương trình đại số và sử dụng máy tính để trợ giúp việc giải các phương trình đại số này. - Ý tưởng của phương pháp phần tử hữu hạn: chia một miền bài toán liên tục thành các phần tử ( số lượng hữu hạn). Sử dụng phương pháp gần đúng để xấp xỉ trên từng phần tử. )( xqEIv iv  )(" xMEIv  )(tPKuuCuM   Trong thực hành, phương pháp số trong phân tích kết cấu gồm các bước sau: 1. Thiết lập quan hệ cơ học cơ bản: ứng suất-biến dạng, điều kiện tương thích, và điều kiện cân bằng. 2. Sử dụng phương pháp số tìm lời giải gần đúng của các phương trình vi phân 3. Thiết lập các phương trình đại số của hệ 4. Giải hệ các phương trình 5. Sử lý số liệu đầu ra. 31.1 Các chương trình máy tính phân tích kết cấu - Các phần mềm thương mại đa năng phục vụ phân tích kết cấu được sử dụng phổ biến: SAP 2000, ETABS, SAFE, STAAD PRO, TEKLA, . . . 1.2 Cấu trúc của các phần mềm phân tích kết cấu - Các phương pháp số được lập trình cho máy tính để giải các bài toán trong cơ học kết cấu. - Cấu trúc chung của các phần mềm phân tích kết cấu: (1). Số liệu đầu vào: Định nghĩa các thông số hình học của hệ và các phần tử, tính chất vật liệu, điều kiện tải trọng và điều kiện biên của hệ. (2). Thư viện các chương trình cơ sở: Tạo các mô hình toán học cho các phần tử kết cấu và điều kiện tải trọng. (3). Giải hệ phương trình: Xây dựng và giải hệ phương trình của mô hình toán học của hệ kết cấu. 4(4). Xử lý số liệu đầu ra: Biểu diễn, hiển thị số liệu đầu ra: nội lực, biến dạng của hệ kết cấu. 2. Các Định Nghĩa và Các Khái niệm 2.1 Bậc Tự Do - Số các thành phần chuyển vị hoặc tọa độ độc lập cần thiết để xác định vị trí trong không gian của hệ tại một thời điểm xác định. - Trong mặt phẳng, một điểm có hai bậc tự do, một vật có ba bậc tự do. Trong không gian, một điểm có ba bậc tự do, và một vật có sáu bậc tự do. 52.2 Hệ tọa độ và các tọa độ phân tích 6- Các thành phần của vector lực tại một điểm: Fxg, Fyg, Fzg - Các thành phần chuyển vị thẳng của một điểm: ug = xh-xg vg = yh-yg wg = zh-zg - Chiều dương của các thành phần vector lực và chuyển vị tương ứng theo chiều dương của các trục tọa độ. - Giới hạn các hệ làm việc trong miền đàn hồi tuyến tính. Các biến dạng là nhỏ, tính chất vật liệu không đổi trong quá trình chịu tải. - Các phương trình được thiết lập tương ứng với trạng thái không biến dạng của hệ. - Phản ứng của hệ tuân theo nguyên lý cộng tác dụng. - Tên gọi “Lực” bao hàm cả lực và mômen. - Chiều dương của góc xoay và mômen được xác định theo quy tắc “bàn tay phải”. - Ứng xử của kết cấu được xác định qua các thành phần nội lực và chuyển vị tại các nút của hệ. - Nút được định nghĩa là điểm giao của các phần tử của hệ. 7   Tzyxzyx MMMFFFF 222121    Tzyxwvu 221111  - Các lực và chuyển vị tại các nút của một phần tử được biểu diễn dưới dạng vector cột: - Số hạng thứ i trong vector chuyển vị nút là bậc tự do thứ i của hệ.    Tni  ......1 - Hệ tọa độ tổng thể (của hệ) và hệ tọa độ địa phương (phần tử). - Hệ tọa độ địa phương có các trục tọa gắn với phần tử. Trục tọa độ x’ hướng dọc theo trục của phần tử, trục tọa độ y’ vuông góc với trục tọa độ x’ tại gốc của hệ tọa độ địa phương. 8- Hệ tọa độ địa phương được dùng để thiết lập các phương trình của phần tử. - Nút tại hoặc gần gốc tọa độ được ký hiệu là nút thứ nhất (1) và nút còn lại là nút thứ hai (2). - Hệ tọa độ tổng thể được dùng để thiết lập các phương trình cho hệ kết cấu. 92.3 Sơ đồ tính của kết cấu - Bước quan trọng nhất trong phân tích kết cấu bằng phương pháp ma trận là thiết lập mô hình toán học rời rạc tương đương với mô hình thực liên tục. - Quá trình thiết lập mô hình rời rạc (mô hình lý tưởng) được thực hiện bằng cách cân bằng năng lượng giữa các hệ liên tục thực và hệ rời rạc. - Để có thể được phân tích, các hệ kết cấu thực phải được mô hình hóa như những hệ lý tưởng. - Mức độ chính xác của quá trình mô hình hóa phụ thuộc vào mức độ phức tạp của kết cấu và vào yêu cầu chính xác của kết quả phân tích. 2.3.1 Mô hình hóa - Các phần tử dầm, cột, sàn trong mặt phẳng được lý tưởng hóa bằng các phần tử đường. - Các phần tử đường trùng với trục của các phần tử thực. 10 11 - Đường truyền tải trọng: + Tải trọng tác dụng lên kết cấu sẽ được truyền đến các phần tử kết cấu rồi truyền xuống đất qua hệ thống móng của công trình. + Sàn, dầm phụ được đỡ bởi dầm chính, cột, tường, các phần tử kết cấu này đến lượt lại được đỡ bởi móng của công trình. + Tải trọng giữa các phần tử kết cấu được truyền qua các điểm nối giữa chúng. Có các kiểu nút khác nhau: nút khớp lý tưởng, nút cứng, nút bán cứng. + Kiểu của liên kết tại các nút ảnh hưởng đến bậc tự do và phương pháp phân tích kết cấu. 12 - Tải trọng: + Có các kiểu tải trọng khác nhau tác dụng lên công trình: tải trọng bản thân, tải trọng do con người, thiết bị, tải trọng gió, tải trọng sóng, tải trọng động đất, v.v + Tải trọng tập trung nên được xem xét sao cho tải trọng gây ra trạng thái nguy hiểm nhất: lực cắt, mômen, chuyển vị lớn nhất, 13 14 2.4 Phần tử kéo nén: Các quan hệ Lực-Chuyển vị 2.4.1 Các phương trình độ cứng phần tử {F} = [k]{} [k] là ma trận độ cứng phần tử kij là hệ số độ cứng phần tử {F} là vector lực nút phần tử {} là vector chuyển vị nút 15 - {F} = {kij} i = 1,2 {F} = [F1 F2]T {ki1} = [k11 k21]T 2.4.2 Các phương trình độ mềm phần tử {f} = [d]{Ff} [d] là ma trận độ mềm phần tử dij là hệ số độ mềm phần tử {Ff} là vector lực nút {f} là vector chuyển vị nút 16 2.5 Phần tử kéo nén – Các phương trình độ cứng trong hệ tọa độ tổng thể - Để xác định hệ số độ cứng, áp đặt chuyển vị tại nút 2 theo phương x và giữ tất cả các bậc tự do khác cố định Lu2 = u2.cos - Hợp lực trong thanh, F2 là: - Tương tự cho chuyển vị tại nút 2 theo phương y: 222 . cos u L EAL L EAF u   2 2 212 . coscos u L EAFFF xx    2212 . sincossin u L EAFFF yy    2212 . sincoscos v L EAFFF xx    2 2 212 . sinsin v L EAFFF yy    17                                              2 2 1 1 22 22 22 22 2 2 1 1 sincossinsincossin cossincoscossincos sincossinsincossin cossincoscossincos v u v u L EA F F F F y x y x     - Chuyển hệ tọa độ: + Khi các phần tử của kết cấu có các hướng khác nhau, nó cần thiết chuyển các quan hệ độ cứng phần tử từ hệ tọa độ địa phương sang hệ tọa độ tổng thể áp dụng cho toàn kết cấu. + Các quan hệ độ cứng phần tử được biểu diễn trong hệ tọa độ tổng thể được kết hợp để biểu diễn các quan hệ độ cứng cho toàn bộ hệ. - Chuyển từ hệ tọa độ tổng thể sang hệ tọa độ địa phương: 18 Ma trận chuyển từ hệ tọa độ tổng thể sang hệ tọa độ địa phương: - Tương tự ta có quan hệ chuyển hệ tọa độ cho vector chuyển vị nút: - Chuyển hệ tọa độ từ hệ tọa độ địa phương sang hệ tọa độ tổng thể: 19 Các quan hệ độ của phần tử trong hệ tọa độ tổng thể: Ta có quan hệ độ giữa vector lực nút và vector chuyển vị nút phần tử trong hệ tọa độ tổng thể: 20 - Quan hệ độ cứng cho hệ kết cấu: Sau khi đã thiết lập được quan hệ độ cứng phần tử trong hệ tọa độ tổng thể. Quan hệ độ cứng cho toàn hệ biểu diễn tải trọng bên ngoài P tác dụng tại nút như các hàm của chuyển vị nút u của hệ. 21 Phương trình cân bằng: Phương trình tương thích: Các quan hệ độ cứng phần tử: Phần tử 1: 22 Phần tử 2: Phần tử 3: 23 3. Phương pháp độ cứng trực tiếp 3.1 Phương pháp độ cứng trực tiếp – Các phương trình cơ bản - Trên cơ sở phương pháp chuyển vị ta có hệ phương trình đại số thể hiện quan hệ giữa lực và các thành phần chuyển vị nút của một hệ kết cấu như sau: nnnjnjnnn ninjijiii njj kkkkF kkkkF nkkkkF           2211 2211 112121111 (3.1) - Hệ phương trình được thiết lập trong hệ tọa độ tổng thể. Các phương trình có thể được viết trực tiếp trong hệ tọa độ tổng thể hoặc được viết trong hệ tọa độ địa phương sau đó áp dụng các công thức toán học cho chuyển hệ tọa. - Số 1, i, n chỉ bậc tự do tại các nút của phần tử trong hệ tọa độ tổng thể. Hệ thống đánh số nút trong hệ tọa độ tổng thể độc lập với cách đánh số nút trong hệ tọa độ địa phương. - Không có quy định cụ thể về cách đánh số nút trong hệ, nhưng cách số nút trong hệ ảnh hưởng đến quá trình giải hệ phương trình đại số. - Hệ phương trình biểu diễn quan hệ lực-chuyển vị tại nút của hệ khi chưa áp đặt điều kiện biên chính là phương trình bao gồm các dạng chuyển động của vật thể. - Để minh họa quá trình thiết lập các phương quan hệ lực-chuyển vị, chúng ta xem xét hệ dàn dưới đây: 24 AA i AA i AA i A i A ii A i kkkkF 443322  D i C i B i A ii FFFFP  BB i BB i BB i B i B ii B i kkkkF 665522  CC i CC i CC i C i C ii C i kkkkF 887722  DD i DD i DD i D i D ii D i kkkkF 992211  992222211 )()(  D i D i C i B i A i D ii D ii C ii B ii A iii kkkkkkkkkkP  99332211  iiiiiiii KKKKKP  25 - Các số hạng Kii, Ki1, Ki2, . . ., Ki9 là các hệ số độ cứng tổng thể. 3.2 Phương pháp độ cứng trực tiếp – Phương pháp tổng quát - Mỗi hệ số độ cứng phần tử được gán hai chỉ số kii. Chỉ số thứ nhất chỉ vị trí của nút, chỉ số thứ hai chỉ bậc tự do liên quan ( bậc tự do gây ra lực tại nút đang xem xét). - Ma trận độ cứng hệ có bậc bằng số bậc tự do hệ. Mỗi hệ số có hai chỉ số liên quan. Chỉ số thứ nhất (hàng) liên quan đến phương trình lực. Chỉ số thứ hai (cột) liên quan đến bậc tự do. - Giá trị hệ số độ cứng tại một nút được xác định bằng tổng độ cứng thành phần của các phần tử thanh quy tụ tại nút đó. K1i = k1i - Áp đặt điều kiện biên được thực hiện bằng cách loại bỏ các hàng, cột của ma trận độ cứng liên quan với các bậc tự do có chuyển vị bằng không. - Giải hệ phương trình sau khi loại bỏ các hàng và cột liên quan đến các thành chuyển vị bằng không ta có được các thành chuyển vị của các bậc tự càn tìm. Nội lực của các thanh có được bằng cách thay ngược các chuyển vị tìm được vào các phương trình quan hệ lực-chuyển vị của phần tử. - Trình tự thực hiện phương pháp độ cứng trực tiếp:      KP                      s f sssf fsff s f KK KK P P     ffff KP    0 s         fffff PDPK  1     fsfs KP          fsffsfs DKKP      iii kF  26 Xây Dựng Ma Trận Độ Cứng Hệ Bằng Phương Pháp Đánh Số Phần Tử - Hệ số độ cứng kết cấu tại một nút theo một hướng cụ thể bằng tổng đại số của các hệ số độ cứng phần tử, cùng hướng đó, của tất cả các phần tử quy tụ tại nút đó. - Ma trận độ cứng hệ có thể được xây dựng trực tiếp bằng cách cộng các hệ số của các ma trận phần tử được sắp xếp hợp lý trong ma trận độ cứng hệ. 27 28 3.3 Đặc tính của các phương trình độ cứng - Ma trận độ cứng của phần tử và hệ luôn có dạng đối xứng qua đường chéo chính của ma trận - Hệ số độ cứng trong ma trận độ cứng của một bậc tự do cho trước bị ảnh hưởng bởi các bậc tự do của các phần tử mà quy tụ tại bậc tự do nói trên. 4. Phương pháp ma trận cho hệ khung, dầm. 4.1 Hệ dầm - Dầm là phần tử kết cấu thẳng, được đỡ và chịu tải theo cách để sao cho tất cả các ngoại lực và các moment tác động trong mặt phẳng đối xứng của tiết diện ngang của nó, có tất cả các lực vuông góc với trục phần tử. - Dầm dưới tác động của ngoại lực chỉ phát sinh moment và lực cắt (không có thành phần lực dọc). 29 4.1.1 Mô hình của phần tử dầm - Để phân tích hệ dầm bằng phương pháp ma trận, một hệ dầm liên tục được mô hình như một chuỗi liên tiếp của các phần tử thẳng, tiết diện đều, liên kết với nhau tại các nút hai đầu đoạn, để sao cho các phản lực bên ngoài chỉ tác động tại các nút. 4.1.2 Hệ tọa độ tổng thể và hệ tọa độ địa phương - Hệ tọa độ tổng thể được sử dụng để phân tích hệ dầm là hệ tọa độ vuông góc XYZ, với trục X hướng nằm ngang (dương hướng sang phải), và trùng với trục hệ dầm ở trạng thái chưa biến dạng. Trục Y hướng thẳng đứng (dương hướng lên), với tất cả ngoại lực và phản lực nằm trong mặt phẳng XY. - Gốc của hệ tọa độ địa phương xyz for một phần tử dầm được đặt tại đầu bên trái của phần tử ở trạng thái chưa biến dạng, với trục x hướng dọc theo trục thanh ở trạng thái chưa biến dạng, và trục y hướng thẳng đứng. 30 4.1.3 Bậc tự do của phần tử dầm - Bậc tự do của phần tử dầm (tọa độ tự do) là số thành phần chuyển vị chưa biết của các nút. Vì bỏ qua biến dạng dọc trục nên 1 nút của phần tử dầm có 2 bậc tự do (1 chuyển vị thẳng, 1 chuyển vị xoay). 4.1.4 Vector tải trọng và vector phản lực (a). Vector tải trọng + Lực nút + Lực phần tử 31 4.1.5 Quan hệ độ cứng phần tử - Các phương trình biểu diễn các lực (moment) tại các đầu thanh như hàm của các chuyển vị nút, dưới dạng các ngoại lực tác dụng tại lên phần tử, được xem như các phương trình quan hệ độ cứng phần tử dầm. - Hệ số độ cứng kij biểu diễn lực tại vị trí và theo hướng Qi được yêu cầu, cùng với các lực nút khác, gây ra một chuyển vị đơn vị uj, trong khi tất cả các thành phần chuyển vị nút khác bằng không, và phần tử không chịu tác dụng lực trên phần tử. 32 33 Tính toán hệ số độ cứng kij - Sử dựng phương pháp tích phân trực tiếp để tính hệ số độ cứng kij 34 - Áp đặt điều kiện biên tính các hằng số tích phân: 35 36 37 38 Finite Element Formulation Using Virtual Work - In the finite element method, a displacement function is usually assumed in the form of a complete polynomial of such a degree that all of its coefficients can be evaluated from the available boundary conditions of the member. 39 Hàm dạng Quan hệ ứng suất-biến dạng 40 Ma trận độ cứng phần tử, k 41 Vector lực nút tại hai đầu phần tử 42 43 44 Quan hệ độ cứng của kết cấu 45 Sử dựng các phương trình cân bằng lực tại các nút, ta có: 46 Vector lực nút kết cấu-Vector tải trọng nút tương đương - Quan hệ lực-chuyển vị của một hệ kết cấu có thể biểu diễn: - Pf lực nút kết cấu biểu diễn các phản lực phát sinh tại các vị trí và theo hướng các bậc tự do kết cấu do các ngoại lực gây ra khi tất cả các nút của kết cấu bị ngản tất cả bậc tự do (chuyển vị thẳng và chuyển vị xoay). 47 Vector tải trọng nút tương đương - Vector tải trọng nút tương đương được xem như ngược của vector lực nút kết cấu. Điều này có được vì các lực nút cố định kết cấu khi được áp đặt lên kết cấu với chiều ngược lại sẽ gây ra cùng chuyển vị nút như tải trọng thực tác dụng trên phần tử. 48 Ví dụ: Xác định chuyển vị nút, lực nút phần tử, và các phản lực liên kết của hệ dầm cho trên hình vẽ. 49 50 51 4.2 Mô hình phần tử khung phẳng - Khung phẳng là hệ bao gồm các phần tử thẳng nối với nhau bằng các liên kết cứng hoặc các liên kết khớp, chịu tải trọng và các phản lực trong cùng mặt phẳng của hệ. - Dưới tác động của ngoại lực, phần tử khung có thể chịu kéo, nén giống như phần tử hai đầu khớp và chịu uốn, cắt giống như phần tử dầm. Do đó, quan hệ độ cứng phần tử khung có thể có được một cách thuận lợi bằng cách kết hợp quan hệ độ cứng của các phần tử dàn và phần tử dầm. 4.2.1 Mô hình phần tử - Một khung phẳng được rời rạc và liên kết với nhau để sao cho (i) các phần tử là thẳng và có độ cứng không đổi, (ii) tất cả các phản lực tác dụng tại nút. Hệ tọa độ tổng thể và hệ tọa độ địa phương 52 53 4.2.2 Quan hệ độ cứng phần tử trong hệ tọa độ địa phương 54 55 56 Vector lực nút hai đầu ngàm trong hệ tọa độ địa phương Vector lực nút hai đầu ngàm trong hệ tọa độ địa phương chịu tải trọng dọc trục 57 58 Chuyển hệ tọa độ 59 60 Quan hệ độ cứng phần tử trong hệ tọa độ tổng thể 61 - Hệ số độ cứng phần tử kij biểu diễn lực tại vị trí và theo hướng Fi được yêu cầu, cùng với các lực nút khác, để gây ra chuyển vị đơn vị vj, trong khi tất cả các thành phần chuyển vị khác bằng 0, và phần tử không chịu tác động của tải trọng bên ngoài dọc theo chiều dài phần tử. - Ý nghĩa vật lý của hệ số độ cứng phần tử được diễn giải qua quá trình tính toán như sau: 62 Vector lực nút hai đầu ngàm của phần tử trong hệ tọa độ tổng thể Quan hệ độ cứng của hệ kết cấu 63 Quan hệ độ cứng phần tử trong hệ tọa độ tổng thể Quan hệ độ cứng phần tử 1 sau khi áp điều kiện biên 64 Quan hệ độ cứng cho phần tử 2 sau khi áp điều kiện biên Áp điều kiện tương thích cho phần tử 1 Áp điều kiện tương thích cho phần tử 2 Sử dụng các phương trình được thiết lập ở trên 65 (Ma trận độ cứng hệ kết cấu) (Vector lực nút cố định kết cấu) - Sij biểu diễn lực tại vị trí và theo hướng Pi được yêu cầu, cùng với các lực nút khác, gây ra một chuyển vị đơn vị dj, trong khi tất cả các chuyển vị nút khác bị giữ bằng 0, và khung không chịu tác dụng của tải trọng bên ngoài. 66 67 Vector lực nút cố định và Vector tải trọng nút tương đương (a) Vector lực nút cố định hệ kết cấu Vector tải trọng nút tương đương 68 Ví dụ: Phần tử 1: 69 Phần tử 2: Phần tử 1: Phần tử 2: 70 Ví dụ: Xác định chuyển nút, lực nút phần tử trong hệ tọa độ địa phương, và các phản lực gối tựa cho hệ khung 2 tầng chịu tải trọng như hình vẽ. 71 Ma trận độ cứng phần tử 1, 2, và 3 trong hệ tọa độ tổng thể Ma trận độ cứng của phần tử 4 72 Ma trận độ cứng của phần tử 5 Vector tải trọng nút hệ kết cấu 73 Ma trận độ cứng hệ kết cấu Giải hệ phương trình Vector chuyển vị và lực nút hai đầu phần tử Phần tử 1: 74 Phần tử 2 75 Phần tử 3 Phần tử 4 Phần tử 5 76 Các phản lực của hệ kết cấu 77 Các phần tử nối khớp trong hệ khung, dầm 78 Quan hệ độ cứng của phần tử khung, dầm có liên kết khớp Phần tử khung khớp-ngàm Thay u3 vào các phương trình ở trên 79 Phần tử khung ngàm-khớp Thay u6 vào các phương trình của Qi 80 Phần tử khung khớp-khớp 81 Phần tử dầm khớp-ngàm 82 Phần tử dầm ngàm-khớp Phần tử dầm khớp-khớp Ma trận độ cứng phần tử là ma trận 0. Điều này có nghĩa rằng phần tử dầm hai đầu khớp không có độ cứng ngăn cản chuyển vị nhỏ theo phương vuông góc với trục thanh của phần tử. 83 Nút khớp là nút mà tất cả các phần tử quy tụ vào nút đó bởi liên kết khớp. 84 Hệ kết cấu chịu nguyên nhân chuyển vị cưỡng bức