Chapter 5: Other relational languages

Database System Concepts, 5th Ed. ©Silberschatz, Korth and Sudarshan See www.db­book.com for conditions on re­use  Chapter 5: Other Relational Languages  ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Chapter 5:  Other Relational Languages n Tuple Relational Calculus n Domain Relational Calculus n Query­by­Example (QBE) n Datalog ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Tuple Relational Calculus n A nonprocedural query language, where each query is of the form {t | P (t ) } n It is the set of all tuples t such that predicate P is true for t n t is a tuple variable, t [A ] denotes the value of tuple t on attribute A n t ∈ r denotes that tuple t is in relation r n P is a formula similar to that of the predicate calculus ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Predicate Calculus Formula 1. Set of attributes and constants 2. Set of comparison operators:  (e.g., , ≥) 3. Set of connectives:  and (∧), or (v)‚ not (¬) 4. Implication (⇒): x ⇒ y, if x if true, then y is true x ⇒ y ≡ ¬x v y 5. Set of quantifiers: ∃ t ∈ r (Q (t )) ≡ ”there exists” a tuple in t in relation r                         such that predicate Q (t ) is true ∀t ∈ r (Q (t )) ≡ Q is true “for all” tuples t in relation r ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Banking Example n branch (branch_name, branch_city, assets )  n customer (customer_name, customer_street, customer_city )  n account (account_number, branch_name, balance )  n loan (loan_number, branch_name, amount ) n depositor (customer_name, account_number ) n borrower (customer_name, loan_number ) ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Example Queries n Find the loan_number, branch_name, and amount for loans of over  $1200 n  Find the loan number for each loan of an amount greater than $1200         {t | ∃ s ∈ loan (t [loan_number ] = s [loan_number ] ∧ s [amount ] > 1200)}      Notice that a relation on schema [loan_number ] is implicitly defined by                   the query {t | t ∈ loan ∧ t [amount ] > 1200} ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Example Queries n Find the names of all customers having a loan, an account, or both at  the bank {t | ∃s ∈ borrower ( t [customer_name ] = s [customer_name ])       ∧ ∃u ∈ depositor ( t [customer_name ] = u [customer_name] ) n   Find the names of all customers who have a loan and an account        at the bank {t | ∃s ∈ borrower ( t [customer_name ] = s [customer_name ])      ∨ ∃u ∈ depositor ( t [customer_name ] = u [customer_name ]) ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Example Queries n Find the names of all customers having a loan at the Perryridge branch {t | ∃s ∈ borrower (t [customer_name ] = s [customer_name ]        ∧ ∃u ∈ loan (u [branch_name ] = “Perryridge”                            ∧  u [loan_number ] = s [loan_number ]))        ∧ not ∃v ∈ depositor (v [customer_name ] =                                                        t [customer_name ])} n  Find the names of all customers who have a loan at the       Perryridge branch, but no account at any branch of the bank {t | ∃s ∈ borrower (t [customer_name ] = s [customer_name ]       ∧ ∃u ∈ loan (u [branch_name ] = “Perryridge”                          ∧  u [loan_number ] = s [loan_number ]))} ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Example Queries n Find the names of all customers having a loan from the Perryridge  branch, and the cities in which they live {t | ∃s ∈ loan (s [branch_name ] = “Perryridge”         ∧ ∃u ∈ borrower (u [loan_number ] = s [loan_number ]     ∧  t [customer_name ] = u [customer_name ])             ∧ ∃ v ∈ customer (u [customer_name ] = v [customer_name ]                                  ∧  t [customer_city ] = v [customer_city ])))} ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Example Queries n Find the names of all customers who have an account at all branches  located in Brooklyn: {t | ∃ r ∈ customer (t [customer_name ] = r [customer_name ]) ∧     ( ∀ u ∈ branch (u [branch_city ] = “Brooklyn” ⇒           ∃ s ∈ depositor (t [customer_name ] = s [customer_name ]           ∧ ∃ w ∈ account ( w[account_number ] = s [account_number ]           ∧ ( w [branch_name ] = u [branch_name ]))))} ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Safety of Expressions n It is possible to write tuple calculus expressions that generate infinite  relations. n For example, { t | ¬ t ∈ r } results in an infinite relation if the domain of  any attribute of relation r is infinite n To guard against the problem, we restrict the set of allowable  expressions to safe expressions. n An expression {t | P (t )} in the tuple relational calculus is safe if every  component of t appears in one of the relations, tuples, or constants that  appear in P l NOTE: this is more than just a syntax condition.   E.g. { t | t [A] = 5 ∨ true } is not safe ­­­ it defines an infinite set  with attribute values that do not appear in any relation or tuples  or constants in P.  ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Domain Relational Calculus n A nonprocedural query language equivalent in power to the tuple  relational calculus n Each query is an expression of the form: {  | P (x1, x2, , xn)} l x1, x2, , xn  represent domain variables l P represents a formula similar to that of the predicate calculus ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Example Queries n Find the loan_number, branch_name, and  amount for loans of over $1200 n Find the names of all customers who have a loan from the Perryridge branch  and the loan amount: { | ∃ l ( ∈ borrower ∧ ∃b ( ∈ loan ∧                                                                              b = “Perryridge”))} { | ∃ l ( ∈ borrower ∧  ∈ loan)}    { | ∃ l, b, a ( ∈ borrower ∧  ∈ loan ∧ a > 1200)} n Find the names of all customers who have a loan of over $1200  { |  ∈ loan ∧ a > 1200} ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Example Queries n Find the names of all customers having a loan, an account, or both at  the Perryridge branch: { | ∃ s,n ( ∈ customer) ∧             ∀ x,y,z ( ∈ branch ∧ y = “Brooklyn”) ⇒                 ∃ a,b ( ∈ account ∧  ∈ depositor)}  n  Find the names of all customers who have an account at all       branches located in Brooklyn: { | ∃ l (  ∈ borrower                   ∧ ∃ b,a ( ∈ loan ∧ b = “Perryridge”))        ∨ ∃ a ( ∈ depositor                  ∧ ∃ b,n ( ∈ account ∧ b = “Perryridge”))} ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Safety of Expressions The expression: {  | P (x1, x2, , xn )} is safe if all of the following hold: 4. All values that appear in tuples of the expression are values  from dom (P ) (that is, the values appear either in P or in a tuple of a  relation mentioned in P ). 5. For every “there exists” subformula of the form ∃ x (P1(x )), the  subformula is true if and only if there is a value of x in dom (P1) such that P1(x ) is true. 6. For every “for all” subformula of the form ∀x (P1 (x )), the subformula is  true if and only if P1(x ) is true for all values x  from dom (P1). ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Query­by­Example (QBE) n Basic Structure n Queries on One Relation n Queries on Several Relations n The Condition Box n The Result Relation n Ordering the Display of Tuples n Aggregate Operations  n Modification of the Database ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 QBE — Basic Structure n A graphical query language which is based (roughly) on the domain  relational calculus n Two dimensional syntax – system creates templates of relations that  are requested by users n Queries are expressed “by example” ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 QBE Skeleton Tables for the Bank Example ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 QBE Skeleton Tables (Cont.) ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Queries on One Relation n Find all loan numbers at the Perryridge branch. l   _x is a variable (optional; can be omitted in above query) l   P. means print (display) l   duplicates are removed by default l   To retain duplicates use P.ALL  ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Queries on One Relation (Cont.) n Display full details of all loans P._x P._y P._z l Method 1: l Method 2: Shorthand notation ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Queries on One Relation (Cont.) n Find names of all branches that are not located in Brooklyn n Find the loan number of all loans with a loan amount of more than $700 ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Queries on One Relation (Cont.) n Find the loan numbers of all loans made jointly to Smith and  Jones. n Find all customers who live in the same city as Jones ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Queries on Several Relations n Find the names of all customers who have a loan from the  Perryridge branch. ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Queries on Several Relations (Cont.) n Find the names of all customers who have both an account and a loan  at the bank. ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Negation in QBE n Find the names of all customers who have an account at the bank,  but do not have a loan from the bank. ¬ means “there does not exist” ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Negation in QBE (Cont.) n Find all customers who have at least two accounts. ¬ means “not equal to” ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 The Condition Box n Allows the expression of constraints on domain variables that are  either inconvenient or impossible to express within the skeleton  tables. n Complex conditions can be used in condition boxes n Example: Find the loan numbers of all loans made to Smith, to  Jones, or to both jointly ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Condition Box (Cont.) n QBE supports an interesting syntax for expressing alternative values ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Condition Box (Cont.) n Find all account numbers with a balance greater than $1,300 and less than  $1,500  n Find all account numbers with a balance greater than $1,300 and  less than  $2,000 but not exactly $1,500. ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Condition Box (Cont.) n Find all branches that have assets greater than those of at least one  branch located in Brooklyn ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 The Result Relation n Find the customer_name, account_number, and balance for all  customers who have an account at the Perryridge branch. l We need to:  Join depositor and account.  Project customer_name, account_number and balance. l To accomplish this we:  Create a skeleton table, called result, with attributes  customer_name, account_number, and balance.  Write the query. ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 The Result Relation (Cont.) n The resulting query is:  ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Ordering the Display of Tuples n AO = ascending order; DO = descending order. n Example: list in ascending alphabetical order all customers who have an  account at the bank n When sorting on multiple attributes, the sorting order is specified by  including with each sort operator (AO or DO) an integer surrounded by  parentheses. n Example: List all account numbers at the Perryridge branch in ascending  alphabetic order with their respective account balances in descending order. ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Aggregate Operations n The aggregate operators are AVG, MAX, MIN, SUM, and CNT n The above operators must be postfixed with “ALL” (e.g., SUM.ALL.  or AVG.ALL._x) to ensure that duplicates are not eliminated. n Example: Find the total balance of all the accounts maintained at  the Perryridge branch. ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Aggregate Operations (Cont.) n UNQ is used to specify that we want to eliminate duplicates  n Find the total number of customers having an account at the bank. ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Query Examples n Find the average balance at each branch. n The “G” in “P.G” is analogous to SQL’s group by construct  n The “ALL” in the “P.AVG.ALL” entry in the balance column ensures that  all balances are considered n To find the average account balance at only those branches where the  average account balance is more than  $1,200, we simply add the  condition box: ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Query Example n Find all customers who have an account at all branches located in  Brooklyn.   l Approach:  for each customer, find the number of branches in  Brooklyn at which they have accounts, and compare with total  number of branches in Brooklyn l QBE does not provide subquery functionality, so both above tasks  have to be combined in a single query.    Can be done for this query, but there are queries that require  subqueries and cannot always be expressed in QBE. n In the query on the next page CNT.UNQ.ALL._w specifies the number of distinct branches in  Brooklyn.  Note: The variable _w is not connected to other variables  in the query CNT.UNQ.ALL._z specifies the number of distinct branches in  Brooklyn at which customer x has an account. ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Query Example (Cont.) ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Modification of the Database – Deletion n Deletion of tuples from a relation is expressed by use of a D. command.   In the case where we delete information in only some of the columns,  null values, specified by –, are inserted. n Delete customer Smith n Delete the branch_city value of the branch whose name is “Perryridge”. ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Deletion Query Examples n Delete all loans with a loan amount greater than $1300 and  less than  $1500. l For consistency, we have to delete information from loan and  borrower tables ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Deletion Query Examples (Cont.) n Delete all accounts at branches located in Brooklyn. ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Modification of the Database – Insertion n Insertion is done by placing the I. operator in the query  expression.  n Insert the fact that account A­9732 at the Perryridge branch has  a balance of $700. ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Modification of the Database – Insertion (Cont.) n Provide as a gift for all loan customers of the Perryridge branch, a new  $200 savings account for every loan account they have, with the loan  number serving as the account number for the new savings account.   ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Modification of the Database – Updates n Use the U. operator to change a value in a tuple without changing all   values in the tuple. QBE does not allow users to update the primary key  fields. n Update the asset value of the Perryridge branch to $10,000,000.  n Increase all balances by 5 percent. ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Microsoft Access QBE n Microsoft Access supports a variant of QBE called Graphical Query By  Example (GQBE) n GQBE differs from QBE in the following ways l Attributes of relations are listed vertically, one below the other,  instead of horizontally l Instead of using variables, lines (links) between attributes are used  to specify that their values should be the same.  Links are added automatically on the basis of attribute name,   and the user can then add or delete links  By default, a link specifies an inner join, but can be modified to  specify outer joins. l Conditions, values to be printed, as well as group by attributes are all  specified together in a box called the design grid ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 An Example Query in Microsoft Access QBE n Example query: Find the customer_name, account_number and balance  for all accounts at the Perryridge branch ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 An Aggregation Query in Access QBE n Find the name, street and city of all customers who have more than one  account at the bank ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Aggregation in Access QBE n The row labeled Total specifies  l which attributes are group by attributes l which attributes are to be aggregated upon (and the aggregate  function).   l For attributes that are neither group by nor aggregated, we can  still specify conditions by selecting where in the Total row and  listing the conditions below n As in SQL, if group by is used, only group by attributes and aggregate  results can be output ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Datalog n Basic Structure  n Syntax of Datalog Rules n Semantics of Nonrecursive Datalog n Safety  n Relational Operations in Datalog n Recursion in Datalog n The Power of Recursion ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Basic Structure n Prolog­like logic­based language that allows recursive queries; based on  first­order logic. n A Datalog program consists of a set of rules that define views.  n Example:  define a view relation v1 containing account numbers and  balances for accounts at the Perryridge branch with a balance of over  $700. v1 (A, B ) :– account (A, “Perryridge”, B ), B > 700. n Retrieve the balance of account number “A­217” in the view relation v1. ? v1 (“A­217”, B ). n To find account number and balance of all accounts in v1 that have a  balance greater than 800                                 ? v1 (A,B ), B > 800 ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Example Queries n Each rule defines a set of tuples that a view relation must contain. l E.g.    v1 (A, B ) :– account (A, “ Perryridge”, B ), B > 700    is  read as         for all A, B         if (A, “Perryridge”, B )  ∈ account and  B > 700         then (A, B )  ∈ v1 n The set of tuples in a view relation is then defined as the union of all the  sets of tuples defined by the rules for the view relation. n Example: interest_rate (A, 5) :– account (A, N, B ) , B < 10000 interest_rate (A, 6) :– account (A, N, B ), B >= 10000 ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Negation in Datalog n Define a view relation c that contains the names of all customers who  have a deposit but no loan at the bank: c(N) :– depositor (N, A), not is_borrower (N). is_borrower (N) :–borrower (N,L). n NOTE: using  not borrower (N, L) in the first rule results in a different  meaning, namely there is some loan L for which N is not a borrower.   l To prevent such confusion, we require all variables in negated  “predicate” to also be present in non­negated predicates ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Named Attribute Notation n Datalog rules use a positional notation that is convenient for relations with a  small number of attributes n It is easy to extend Datalog to support named attributes.   l E.g.,  v1 can be defined using named attributes as     v1 (account_number A, balance B ) :–    account (account_number A, branch_name “ Perryridge”, balance B ),   B > 700. ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Formal Syntax and Semantics of Datalog n We formally define the syntax and semantics (meaning) of Datalog  programs, in the following steps 1. We define the syntax of predicates, and then the syntax of rules 2. We define the semantics of individual rules 3. We define the semantics of non­recursive programs, based on a  layering of rules 4. It is possible to write rules that can generate an infinite number of  tuples in the view relation. To prevent this, we define what rules  are “safe”.  Non­recursive programs containing only safe rules  can only generate a finite number of answers. 5. It is possible to write recursive programs whose meaning is  unclear.  We define what recursive programs are acceptable, and  define their meaning. ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Syntax of Datalog Rules n A positive literal has the form p (t1, t2 ..., tn ) l p is the name of a relation with n attributes l each ti is either a constant or variable n A negative literal has the form  not p (t1, t2 ..., tn ) n Comparison operations are treated as positive predicates  l E.g.  X  > Y is treated as a predicate >(X,Y ) l “>” is conceptually an (infinite) relation that contains all pairs of  values such that the first value is greater than the second value n Arithmetic operations are also treated as predicates l E.g.  A = B + C  is treated as +(B, C, A), where the relation “+”  contains all triples such that the third value is the sum of the first two ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Syntax of Datalog Rules (Cont.) n Rules are built out of literals and have the form: p (t1, t2, ..., tn ) :– L1, L2, ..., Lm.                          head                   body l each Li  is a literal l head – the literal p (t1, t2, ..., tn )  l body – the rest of the literals n A fact is a rule with an empty body, written in the form: p (v1, v2, ..., vn ). l indicates tuple (v1, v2, ..., vn ) is in relation p n A Datalog program is a set of rules ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Semantics of a Rule n A ground instantiation of a rule (or simply instantiation) is the result  of replacing each variable in the rule by some constant. l Eg. Rule defining v1     v1(A,B) :– account (A,“Perryridge”, B ), B > 700. l An instantiation above rule:           v1 (“A­217”, 750) :–account ( “A­217”, “Perryridge”, 750), 750 > 700. n The body of rule instantiation R’ is satisfied in a set of facts (database  instance) l if 1. For each positive literal qi (vi,1, ..., vi,ni ) in the body of R’, l contains  the fact qi (vi,1, ..., vi,ni ). 2. For each negative literal not qj (vj,1, ..., vj,nj ) in the body of R’, l  does not contain the fact qj (vj,1, ..., vj,nj ). ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Semantics of a Rule (Cont.) n We define the set of facts that can be inferred from a given set of facts l  using rule R as: infer(R, l) = { p (t1, ..., tn) | there is a ground instantiation R’ of R               where p (t1, ..., tn ) is the head of R’, and                the body of R’ is satisfied in l } n Given an set of rules ℜ = {R1, R2, ..., Rn}, we define infer(ℜ, l) = infer (R1, l ) ∪ infer (R2, l ) ∪ ... ∪ infer (Rn, l ) ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Layering of Rules n Define the interest on each account in Perryridge interest(A, l) :– perryridge_account (A,B),                          interest_rate(A,R), l = B * R/100. perryridge_account(A,B) :– account (A, “Perryridge”, B). interest_rate (A,5) :– account (N, A, B), B < 10000. interest_rate (A,6) :– account (N, A, B), B >= 10000. n Layering of the view relations ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Layering Rules (Cont.) n A relation is a layer 1 if all relations used in the bodies of rules defining  it are stored in the database. n A relation is a layer 2 if all relations used in the bodies of rules defining  it are either stored in the database, or are in layer 1. n A relation p is in layer i + 1 if  l it is not in layers 1, 2, ..., i l all relations used in the bodies of rules defining a p are either  stored in the database, or are in layers 1, 2, ..., i Formally: ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Semantics of a Program n Define I0 = set of facts stored in the database. n Recursively define li+1 = li ∪ infer (ℜi+1, li ) n The set of facts in the view relations defined by the program  (also called the semantics of the program) is given by the set  of facts ln corresponding to the highest layer n. Let the layers in a given program be 1, 2, ..., n.  Let ℜi denote the set of all rules defining view relations in layer i. Note:  Can instead define semantics using view expansion like in relational algebra, but above definition is better for handling extensions such as recursion. ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Safety n It is possible to write rules that generate an infinite number of answers. gt(X, Y) :– X > Y not_in_loan (B, L) :– not loan (B, L) To avoid this possibility Datalog rules must satisfy the following  conditions. l Every variable that appears in the head of the rule also appears in  a non­arithmetic positive literal in the body of the rule.  This condition can be weakened in special cases based on the  semantics of arithmetic predicates, for example to permit the  rule p (A )  :­  q (B ), A = B + 1 l Every variable appearing in a negative literal in the body of the  rule also appears in some positive literal in the body of the rule. ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Relational Operations in Datalog n Project out attribute account_name from account. query (A) :–account (A, N, B ). n Cartesian product of relations r1 and r2. query (X1, X2, ..., Xn, Y1, Y1, Y2, ..., Ym ) :– r1 (X1, X2, ..., Xn ), r2 (Y1, Y2, ..., Ym ). n Union of relations r1 and r2.  query (X1, X2, ..., Xn ) :–r1 (X1, X2, ..., Xn ),   query (X1, X2, ..., Xn ) :–r2 (X1, X2, ..., Xn ),  n Set difference of r1 and r2. query (X1, X2, ..., Xn ) :–r1(X1, X2, ..., Xn ),                              not r2 (X1, X2, ..., Xn ),  ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Recursion in Datalog n Suppose we are given a relation  manager (X, Y ) containing pairs of names X, Y such that Y is a manager of X (or  equivalently, X is a direct employee of Y). n  Each manager may have direct employees, as well as indirect  employees l Indirect employees of a manager, say Jones, are employees of  people who are direct employees of Jones, or recursively,  employees of people who are indirect employees of Jones n Suppose we wish to find all (direct and indirect) employees of manager  Jones.  We can write a recursive Datalog program.     empl_jones (X )  :­  manager (X, Jones ).     empl_jones (X )  :­  manager (X, Y ), empl_jones (Y ). ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Semantics of Recursion in Datalog n Assumption (for now): program contains no negative literals n The view relations of a recursive program containing a set of rules ℜ are  defined to contain exactly the set of facts l  computed by the iterative procedure Datalog­Fixpoint procedure  Datalog­Fixpoint l = set of facts in the database repeat Old_l = l l = l  ∪ infer (ℜ, l ) until l = Old_l n At the end of the procedure, infer (ℜ, l ) ⊆  l l Infer (ℜ, l ) =  l  if we consider the database to be a set of facts that  are part of the program n l is called a fixed point of the program. ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Example of Datalog­FixPoint Iteration ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 A More General View n Create a view relation empl that contains every tuple (X, Y ) such  that X is directly or indirectly managed by Y. empl (X, Y ) :– manager (X, Y ). empl (X, Y ) :– manager (X, Z ), empl (Z, Y )  n Find the direct and indirect employees of Jones. ? empl (X, “Jones”). n Can define the view empl in another way too: empl (X, Y ) :– manager (X, Y ). empl (X, Y ) :– empl (X, Z ), manager (Z, Y ).  ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 The Power of Recursion n Recursive views make it possible to write queries, such as transitive  closure queries, that cannot be written without recursion or iteration. l Intuition:  Without recursion, a non­recursive non­iterative program  can perform only a fixed number of joins of manager with itself  This can give only a fixed number of levels of managers  Given a program we can construct a database with a greater  number of levels of managers on which the program will not work ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Recursion in SQL n Starting with SQL:1999, SQL permits recursive view definition n E.g. query to find all employee­manager pairs      with recursive empl (emp, mgr ) as (                select emp, mgr                 from    manager         union                select manager.emp, empl.mgr                from   manager, empl                where manager.mgr = empl.emp       )     select *      from    empl ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Monotonicity  n A view V is said to be monotonic if given any two sets of facts  I1 and I2 such that l1 ⊆ I2, then Ev (I1)  ⊆ Ev (I2 ), where Ev is the expression  used to define V. n A set of rules R is said to be monotonic if            l1 ⊆ I2  implies  infer (R, I1 ) ⊆ infer (R, I2 ),  n Relational algebra views defined using only the operations:  ∏, σ, ×, ∪, | X|, ∩, and ρ (as well as operations like natural join defined in terms of  these operations) are monotonic.  n Relational algebra views defined using set difference (–) may not be  monotonic. n Similarly, Datalog programs without negation are monotonic, but  Datalog programs with negation may not be monotonic. ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Non­Monotonicity n Procedure Datalog­Fixpoint is sound provided the rules in the program  are monotonic. l Otherwise, it may make some inferences in an iteration that  cannot be made in a later iteration.   E.g. given the rules       a :­  not b.       b :­  c.       c.       Then a can be inferred initially, before b is inferred, but not later. n We can extend the procedure to handle negation so long as the  program is “stratified”:  intuitively, so long as negation is not mixed  with recursion ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Non­Monotonicity (Cont.) n There are useful queries that cannot be expressed by a stratified  program l Example: given information about the number of each subpart in  each part, in a part­subpart hierarchy, find the total number of  subparts of each part. l A program to compute the above query would have to mix  aggregation with recursion l However, so long as the underlying data (part­subpart) has no  cycles, it is possible to write a program that mixes aggregation  with recursion, yet has a clear meaning l There are ways to evaluate some such classes of non­stratified  programs Database System Concepts, 5th Ed. ©Silberschatz, Korth and Sudarshan See www.db­book.com for conditions on re­use  End of Chapter 5 ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Figure 5.1 ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Figure 5.2 ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Figure 5.5 ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Figure 5.6 ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Figure 5.9 ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Figure in­5.2 ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Figure in­5.15 ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Figure in­5.18 ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Figure in­5­31 ©Silberschatz, Korth and Sudarshan5.Database System Concepts , 5th Ed., Aug 2005 Figure in­5.36