Chuyên đề cao học ngành Toán - Lý thuyết tôpô

xi ). Ta có U là tập mở chứa A, V là tập mở chứa B và U ∩ V = φ. Trường hợp X là không gian Hausdorff compắc . Khi đó với hai tập đóng bất kỳ A, B rời nhau, vì X compắc , theo Định lý 4.2.1 A,B là các tập con compắc rời nhau của X . Theo chứng minh trên tồn tại các tập mở U chứa A và tập mở V chứa B sao cho U ∩ V = φ. Vậy X là không gian chuẩn tắc. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 78 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.2. Tính compắc và các tiên đề tách 4.2.5. Định lý. Nếu X là không gian tôpô chính qui, A là tập con compắc và U là lân cận của A, thì tồn tại lân cận đóng V của A sao cho V ⊂ U. Do đó mỗi không gian chính qui, compắc là không gian chuẩn tắc. Chứng minh. Gỉa sử A là tập con compắc của X và U là lân cận của A. Vì X là không gian chính qui, nên với mỗi x ∈ A, tồn tại lân cận mở Wx của x sao cho Wx ⊂ U. Họ {Wx : x ∈ A} là phủ mở của A. Vì A compắc , tồn tại họ hữu hạn Wx1 , . . . ,Wxk phủ A sao cho Wxi ⊂ U, i = 1, 2, . . . , k. Đặt V = k⋃ i=1 Wxi . Khi đó V là lân cận đóng của A thoả mãn A ⊂ V ⊂ U. Chứng minh phần còn lại xem như bài tập. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 79 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.2. Tính compắc và các tiên đề tách 4.2.6. Định lý. Giả sử X là không gian chính qui, compắc , A là tập con compắc và U là lân cận của A. Khi đó tồn tại một hàm liên tục f : X → [0, 1] sao cho f (x) = 1 với mọi x ∈ A và f (y) = 0 với mọi y ∈ X \ U. Chứng minh. Gỉa sử A là tập con compắc của X và U là lân cận mở của A. Vì X là không gian chính qui, compắc , nên theo Định lý 4.2.5 X là không gian chuẩn tắc và tồn tại một lân cận đóng V của A sao cho A ⊂ V ⊂ U. Sử dụng Định lý Urưxơn cho cặp tập đóng rời nhau trong X là V và X \ U ta suy ra tồn tại hàm liên tục f : X → [0, 1] sao cho f (x) = 1 với mọi x ∈ V và f (y) = 0 với mọi y ∈ X \U. Vì A ⊂ V ta suy ra f (x) = 1 với mọi x ∈ A và f (y) = 0 với mọi y ∈ X \ U. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 80 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.3. Lọc và siêu lọc 4.3. Lọc và siêu lọc 4.3.1. Định nghĩa. Họ L các tập con của tập hợp X được gọi là một lọc trong X nếu thoả mãn các điều kiện (a) Nếu A ∈ L thì A 6= φ; (b) Nếu A,B ∈ L, thì A ∩ B ∈ L; (c) Nếu A ∈ L và A ⊂ B ⊂ X , thì B ∈ L. Ví dụ. Nếu Y ⊂ X và Y 6= φ, thì họ tất cả các tập con của X chứa Y là một lọc trong X . Họ U(x) tất cả các lân cận của của điểm x thuộc không gian tôpô X là một lọc trong X . 4.3.2. Định nghĩa. Lọc L trong không gian tôpô X được gọi là hội tụ đến điểm x ∈ X nếu L chứa họ tất cả các lân cận của điểm x . Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 81 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.3. Lọc và siêu lọc 4.3. Lọc và siêu lọc 4.3.1. Định nghĩa. Họ L các tập con của tập hợp X được gọi là một lọc trong X nếu thoả mãn các điều kiện (a) Nếu A ∈ L thì A 6= φ; (b) Nếu A,B ∈ L, thì A ∩ B ∈ L; (c) Nếu A ∈ L và A ⊂ B ⊂ X , thì B ∈ L. Ví dụ. Nếu Y ⊂ X và Y 6= φ, thì họ tất cả các tập con của X chứa Y là một lọc trong X . Họ U(x) tất cả các lân cận của của điểm x thuộc không gian tôpô X là một lọc trong X . 4.3.2. Định nghĩa. Lọc L trong không gian tôpô X được gọi là hội tụ đến điểm x ∈ X nếu L chứa họ tất cả các lân cận của điểm x . Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 81 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.3. Lọc và siêu lọc 4.3.3. Định lý. Nếu X là một T2-không gian, thì mỗi lọc trong X chỉ hội tụ đến một điểm duy nhất. Chứng minh. Giả sử lọc L hội tụ đến hai điểm x và y với x 6= y . Khi đó vì X là T2-không gian, nên tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho U ∩ V = φ. Vì lọc L hội tụ đến x và y , nên U ∈ L và V ∈ L. Từ định nghĩa của lọc ta suy ra φ = U ∩ V ∈ L. Điều này mâu thuẩn với định nghĩa của lọc. 4.3.4. Định nghĩa. Lọc L trong tập hợp X được gọi là một siêu lọc nếu không tồn tại một lọc L′ nào mà L ⊂ L′ và L 6= L′. 4.3.5. Định lý. Với mọi lọc L trong tập hợp X đều tồn tại một siêu lọc U chứa lọc L. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [1]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 82 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.3. Lọc và siêu lọc 4.3.3. Định lý. Nếu X là một T2-không gian, thì mỗi lọc trong X chỉ hội tụ đến một điểm duy nhất. Chứng minh. Giả sử lọc L hội tụ đến hai điểm x và y với x 6= y . Khi đó vì X là T2-không gian, nên tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho U ∩ V = φ. Vì lọc L hội tụ đến x và y , nên U ∈ L và V ∈ L. Từ định nghĩa của lọc ta suy ra φ = U ∩ V ∈ L. Điều này mâu thuẩn với định nghĩa của lọc. 4.3.4. Định nghĩa. Lọc L trong tập hợp X được gọi là một siêu lọc nếu không tồn tại một lọc L′ nào mà L ⊂ L′ và L 6= L′. 4.3.5. Định lý. Với mọi lọc L trong tập hợp X đều tồn tại một siêu lọc U chứa lọc L. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [1]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 82 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.3. Lọc và siêu lọc 4.3.3. Định lý. Nếu X là một T2-không gian, thì mỗi lọc trong X chỉ hội tụ đến một điểm duy nhất. Chứng minh. Giả sử lọc L hội tụ đến hai điểm x và y với x 6= y . Khi đó vì X là T2-không gian, nên tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho U ∩ V = φ. Vì lọc L hội tụ đến x và y , nên U ∈ L và V ∈ L. Từ định nghĩa của lọc ta suy ra φ = U ∩ V ∈ L. Điều này mâu thuẩn với định nghĩa của lọc. 4.3.4. Định nghĩa. Lọc L trong tập hợp X được gọi là một siêu lọc nếu không tồn tại một lọc L′ nào mà L ⊂ L′ và L 6= L′. 4.3.5. Định lý. Với mọi lọc L trong tập hợp X đều tồn tại một siêu lọc U chứa lọc L. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [1]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 82 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.3. Lọc và siêu lọc 4.3.6. Định lý. Nếu U là một siêu lọc trong tập hợp X và nếu A,B là hai tập hợp con khác rỗng của X với A ∪ B ∈ U , thì hoặc A ∈ U hoặc B ∈ U . Chứng minh. Giả sử ngược lại rằng A /∈ U và B /∈ U . Xét họ U∗ = {C ⊂ X : A ∪ C ∈ U}. Khi đó U∗ là một lọc trong X , vì (a) Vì A ∪ φ = A /∈ U , nên φ /∈ U∗; (b) Nếu C1, C2 ∈ U∗, thì ta có A ∪ C1 ∈ U và A ∪ C2 ∈ U . Suy ra A ∪ (C1 ∩ C2) = (A ∪ C1) ∩ (A ∪ C2) ∈ U . Vậy, C1 ∩ C2 ∈ U∗; (c) Nếu C ∈ U∗ và C ⊂ D, thì vì A ∪ C ∈ U ta có A ∪ D ∈ U . Điều này kéo theo D ∈ U∗. Mặt khác, nếu C ∈ U , thì A ∪ C ∈ U . Do đó C ∈ U∗, nghĩa là ta có U ⊂ U∗. Ta lại có B ∈ U∗, nhưng B /∈ U . Do đó U 6= U∗. Điều này mâu thuẩn với giả thiết rằng U là một siêu lọc. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 83 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.3. Lọc và siêu lọc 4.3.6. Định lý. Nếu U là một siêu lọc trong tập hợp X và nếu A,B là hai tập hợp con khác rỗng của X với A ∪ B ∈ U , thì hoặc A ∈ U hoặc B ∈ U . Chứng minh. Giả sử ngược lại rằng A /∈ U và B /∈ U . Xét họ U∗ = {C ⊂ X : A ∪ C ∈ U}. Khi đó U∗ là một lọc trong X , vì (a) Vì A ∪ φ = A /∈ U , nên φ /∈ U∗; (b) Nếu C1, C2 ∈ U∗, thì ta có A ∪ C1 ∈ U và A ∪ C2 ∈ U . Suy ra A ∪ (C1 ∩ C2) = (A ∪ C1) ∩ (A ∪ C2) ∈ U . Vậy, C1 ∩ C2 ∈ U∗; (c) Nếu C ∈ U∗ và C ⊂ D, thì vì A ∪ C ∈ U ta có A ∪ D ∈ U . Điều này kéo theo D ∈ U∗. Mặt khác, nếu C ∈ U , thì A ∪ C ∈ U . Do đó C ∈ U∗, nghĩa là ta có U ⊂ U∗. Ta lại có B ∈ U∗, nhưng B /∈ U . Do đó U 6= U∗. Điều này mâu thuẩn với giả thiết rằng U là một siêu lọc. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 83 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.3. Lọc và siêu lọc 4.3.7. Định lý. Để không gian tôpô X là compắc điều kiện cần và đủ là mọi siêu lọc trong X đều hội tụ. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [1]. 4.3.8. Định lý. Để tích X = ∏ α∈Λ Xα của các không gian tôpô Xα, α ∈ Λ là một không gian compắc điều kiện cần và đủ là Xα là không gian compắc, với mọi α ∈ Λ. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [1]. 4.3.9. Định lý. Tập con của không gian Ơclit n-chiều là compắc khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 84 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.3. Lọc và siêu lọc 4.3.7. Định lý. Để không gian tôpô X là compắc điều kiện cần và đủ là mọi siêu lọc trong X đều hội tụ. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [1]. 4.3.8. Định lý. Để tích X = ∏ α∈Λ Xα của các không gian tôpô Xα, α ∈ Λ là một không gian compắc điều kiện cần và đủ là Xα là không gian compắc, với mọi α ∈ Λ. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [1]. 4.3.9. Định lý. Tập con của không gian Ơclit n-chiều là compắc khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 84 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.3. Lọc và siêu lọc 4.3.7. Định lý. Để không gian tôpô X là compắc điều kiện cần và đủ là mọi siêu lọc trong X đều hội tụ. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [1]. 4.3.8. Định lý. Để tích X = ∏ α∈Λ Xα của các không gian tôpô Xα, α ∈ Λ là một không gian compắc điều kiện cần và đủ là Xα là không gian compắc, với mọi α ∈ Λ. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [1]. 4.3.9. Định lý. Tập con của không gian Ơclit n-chiều là compắc khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 84 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.4. Không gian compắc địa phương 4.4. Không gian compắc địa phương 4.4.1. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là compắc địa phương, nếu tại mỗi điểm x ∈ X có một lân cận đóng, compắc. Nhận xét. Mỗi không gian compắc là compắc địa phương. Mỗi không gian con đóng của không gian compắc địa phương là không gian compắc địa phương. Chứng minh Nhận xét này xem như bài tập. 4.4.2. Định lý. Nếu không gian compắc địa phương X là T2-không gian hoặc không gian chính qui, thì họ các lân cận đóng, compắc của mỗi điểm lập thành một cơ sở lân cận tại điểm đó. Chứng minh. Giả sử x là điểm bất kỳ của không gian compắc địa phương X và U là một lân cận bất kỳ của x . Vì X compắc địa phương, Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 85 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.4. Không gian compắc địa phương 4.4. Không gian compắc địa phương 4.4.1. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là compắc địa phương, nếu tại mỗi điểm x ∈ X có một lân cận đóng, compắc. Nhận xét. Mỗi không gian compắc là compắc địa phương. Mỗi không gian con đóng của không gian compắc địa phương là không gian compắc địa phương. Chứng minh Nhận xét này xem như bài tập. 4.4.2. Định lý. Nếu không gian compắc địa phương X là T2-không gian hoặc không gian chính qui, thì họ các lân cận đóng, compắc của mỗi điểm lập thành một cơ sở lân cận tại điểm đó. Chứng minh. Giả sử x là điểm bất kỳ của không gian compắc địa phương X và U là một lân cận bất kỳ của x . Vì X compắc địa phương, Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 85 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.4. Không gian compắc địa phương nên tồn tại lân cận đóng compắc C của x . Khi đó C ∩ U cũng là một lân cận của x . Nếu X là không gian chính qui, thì tồn tại lân cận đóng V của x sao cho x ∈ V ⊂ C ∩ U. Vì C compắc, ta suy ra V là lân cận compắc. Nếu X là T2-không gian và W = IntC ∩U, thì vì mỗi không gian con của T2-không gian là T2-không gian ta suy ra W cũng là một T2-không gian, compắc. Nhờ Định lý 4.2.4 ta có W là không gian chính qui. Vì thế lân cận mở W chứa một lân cận đóng compắc V của x trong W . Vì W mở và X là T2-không gian suy ra V cũng là một lân cận của x trong X . 4.4.3. Hệ quả. Mỗi T2-không gian compắc địa phương là không gian chính qui. Chứng minh suy trực tiếp từ Định lý 4.4.2. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 86 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.4. Không gian compắc địa phương nên tồn tại lân cận đóng compắc C của x . Khi đó C ∩ U cũng là một lân cận của x . Nếu X là không gian chính qui, thì tồn tại lân cận đóng V của x sao cho x ∈ V ⊂ C ∩ U. Vì C compắc, ta suy ra V là lân cận compắc. Nếu X là T2-không gian và W = IntC ∩U, thì vì mỗi không gian con của T2-không gian là T2-không gian ta suy ra W cũng là một T2-không gian, compắc. Nhờ Định lý 4.2.4 ta có W là không gian chính qui. Vì thế lân cận mở W chứa một lân cận đóng compắc V của x trong W . Vì W mở và X là T2-không gian suy ra V cũng là một lân cận của x trong X . 4.4.3. Hệ quả. Mỗi T2-không gian compắc địa phương là không gian chính qui. Chứng minh suy trực tiếp từ Định lý 4.4.2. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 86 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.4. Không gian compắc địa phương 4.4.4. Định lý. Giả sử A là tập con đóng, compắc của không gian chính qui, compắc địa phương X và U là lân cận của A. Khi đó tồn tại lân cận đóng, compắc V của A sao cho A ⊂ V ⊂ U. Hơn nữa, trên X tồn tại một hàm liên tục f : X → [0, 1] sao cho f (x) = 0 với mọi x ∈ A và f (y) = 1 với mọi y ∈ X \ V . Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2]. 4.4.5. Hệ quả. Mỗi không gian chính qui, compắc địa phương là hoàn toàn chính qui. Mỗi T2-không gian compắc địa phương là không gian Tikhônôp. 4.4.6. Định lý. Để tích X = ∏ α∈Λ Xα của các không gian tôpô Xα, α ∈ Λ là không gian compắc địa phương điều kiện cần và đủ là tất cả các không gian Xα, α ∈ Λ là không gian compắc, trừ ra một số hữu hạn các không gian Xαi , i = 1, . . . , k là không gian compắc địa phương. Chứng minh dành cho độc giả, tham khảo [2]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 87 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.4. Không gian compắc địa phương 4.4.4. Định lý. Giả sử A là tập con đóng, compắc của không gian chính qui, compắc địa phương X và U là lân cận của A. Khi đó tồn tại lân cận đóng, compắc V của A sao cho A ⊂ V ⊂ U. Hơn nữa, trên X tồn tại một hàm liên tục f : X → [0, 1] sao cho f (x) = 0 với mọi x ∈ A và f (y) = 1 với mọi y ∈ X \ V . Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2]. 4.4.5. Hệ quả. Mỗi không gian chính qui, compắc địa phương là hoàn toàn chính qui. Mỗi T2-không gian compắc địa phương là không gian Tikhônôp. 4.4.6. Định lý. Để tích X = ∏ α∈Λ Xα của các không gian tôpô Xα, α ∈ Λ là không gian compắc địa phương điều kiện cần và đủ là tất cả các không gian Xα, α ∈ Λ là không gian compắc, trừ ra một số hữu hạn các không gian Xαi , i = 1, . . . , k là không gian compắc địa phương. Chứng minh dành cho độc giả, tham khảo [2]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 87 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.4. Không gian compắc địa phương 4.4.4. Định lý. Giả sử A là tập con đóng, compắc của không gian chính qui, compắc địa phương X và U là lân cận của A. Khi đó tồn tại lân cận đóng, compắc V của A sao cho A ⊂ V ⊂ U. Hơn nữa, trên X tồn tại một hàm liên tục f : X → [0, 1] sao cho f (x) = 0 với mọi x ∈ A và f (y) = 1 với mọi y ∈ X \ V . Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2]. 4.4.5. Hệ quả. Mỗi không gian chính qui, compắc địa phương là hoàn toàn chính qui. Mỗi T2-không gian compắc địa phương là không gian Tikhônôp. 4.4.6. Định lý. Để tích X = ∏ α∈Λ Xα của các không gian tôpô Xα, α ∈ Λ là không gian compắc địa phương điều kiện cần và đủ là tất cả các không gian Xα, α ∈ Λ là không gian compắc, trừ ra một số hữu hạn các không gian Xαi , i = 1, . . . , k là không gian compắc địa phương. Chứng minh dành cho độc giả, tham khảo [2].Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 87 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.5. Sự compắc hoá 4.5. Sự compắc hoá Giả sử (X , T ) là không gian tôpô không compắc . Ký hiệu X ∗ = X ∪ {∞} với ∞ /∈ X . Trên X ∗ ta xét họ các tập con của nó cho bởi U = {U ⊂ X ∗ : U ∈ T,hoặc X ∗ \ U là tập đóng, compắc trong X}. Khi đó ta có 4.5.1. Định lý. (X ∗,U) là không gian compắc và (X , T ) là không gian con của nó. X ∗ là T2-không gian khi và chỉ khi X là T2-không gian. Chứng minh. (a) U là tôpô trên X ∗. Thật vậy, dễ thấy rằng φ ∈ U và X ∗ ∈ U . Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 88 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.5. Sự compắc hoá 4.5. Sự compắc hoá Giả sử (X , T ) là không gian tôpô không compắc . Ký hiệu X ∗ = X ∪ {∞} với ∞ /∈ X . Trên X ∗ ta xét họ các tập con của nó cho bởi U = {U ⊂ X ∗ : U ∈ T,hoặc X ∗ \ U là tập đóng, compắc trong X}. Khi đó ta có 4.5.1. Định lý. (X ∗,U) là không gian compắc và (X , T ) là không gian con của nó. X ∗ là T2-không gian khi và chỉ khi X là T2-không gian. Chứng minh. (a) U là tôpô trên X ∗. Thật vậy, dễ thấy rằng φ ∈ U và X ∗ ∈ U . Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 88 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.5. Sự compắc hoá Giả sử Ui , i ∈ I là họ tuỳ ý thuộc U . Nếu ∞ /∈ ⋃ i∈I Ui , thì ∞ /∈ Ui với mọi i ∈ I . Do đó Ui ∈ T với mọi i ∈ I . Vì vậy, ⋃ i∈I Ui ∈ T . Nếu ∞ ∈ ⋃ i∈I Ui , thì ký hiệu S = {i ∈ I :∞ ∈ Ui}. Khi đó tập X ∗ \ [ ⋃ i∈S Ui ] là tập đóng compắc và vì X ∗ \ [⋃ i∈I Ui ] là tập con đóng của tập compắc X ∗ \ [ ⋃ i∈S Ui ] nên ⋃ i∈I Ui là tập mở theo tôpô U . Giả sử U,V ∈ U . Khi đó nếu ∞ ∈ U ∩ V , thì ∞ ∈ U và ∞ ∈ V . Do đó X ∗ \ (U ∩ V ) = (X ∗ \ U) ∪ (X ∗ \ V ) là tập đóng compắc trong X . Vậy, U ∩ V ∈ U .. Nếu ∞ /∈ U ∩ V . Khi đó ta xét các trường hợp Nếu ∞ /∈ U và ∞ /∈ V , thì U,V ∈ T . Do đó U ∩ V ∈ T . Nếu ∞ /∈ U và ∞ ∈ V , thì U ∩ V = U ∩ V ∩ X . Vì ∞ ∈ V , nên Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 89 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.5. Sự compắc hoá X ∗ \ V = X \ V là tập đóng trong X , nên V ∩ X là tập mở trong X . Vì vậy, U ∩ V = U ∩ V ∩ X là tập mở trong X . Trường hợp ∞ ∈ U và ∞ /∈ V chứng minh tương tự. Vậy U là một tôpô trên X ∗. Dễ dàng chứng minh rằng tôpô T là tôpô cảm sinh của tôpô U lên X . Vậy (X , T ) là không gian con của không gian tôpô (X ∗,U). (b) (X ∗,U) là không gian compắc. Giả sử V là một phủ mở bất kỳ của X ∗. Khi đó tồn tại U ∈ V sao cho ∞ ∈ U. Khi đó ta có X \ U là tập con compắc của X . Do đó tồn tại một phủ con hữu hạn V1 của V phủ X \ U. Khi đó họ V1 ∪ U là phủ hữu han của X ∗. Vậy X ∗ là không gian compắc. (c) Nếu X ∗ là T2-không gian, thì không gian con của nó cũng là T2-không gian. Hơn nữa X là không gian compắc địa phương. Thật Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 90 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.5. Sự compắc hoá vậy, với bất kỳ x ∈ X và điểm ∞. vì X ∗ là T2-không gian nên tồn tại các lân cận mở U của x và V của ∞ sao cho U ∩ V = φ. Khi đó ta có X ∗ \ V = X \ V là tập đóng compắc chứa U. Do đó X \ V là lân cận đóng compắc của x . Ngược lại, nếu X là T2-không gian compắc địa phương và x , y là các điểm bất kỳ của X ∗. Nếu x , y ∈ X , thì dó X là T2-không gian nên tồn tại các tập mở U,V trong X để U ∩ V = φ. Khi đó U,V cũng là các tập mở trong X ∗. Nếu y =∞, thì vì X là không gian compắc địa phương, nên tại điểm x có một lân cận đóng và compắc U. Khi đó đặt V = X ∗ \ U ta có V là lân cận của ∞ và U ∩ V = φ. Vậy, X ∗ là T2-không gian. Nhận xét. Dễ thấy rằng X là không gian con trù mật trong X ∗. Nếu (X , T ) là không gian compắc , thì điểm ∞ là điểm cô lập của tôpô U trên X ∗ và ngược lại. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 91 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.5. Sự compắc hoá vậy, với bất kỳ x ∈ X và điểm ∞. vì X ∗ là T2-không gian nên tồn tại các lân cận mở U của x và V của ∞ sao cho U ∩ V = φ. Khi đó ta có X ∗ \ V = X \ V là tập đóng compắc chứa U. Do đó X \ V là lân cận đóng compắc của x . Ngược lại, nếu X là T2-không gian compắc địa phương và x , y là các điểm bất kỳ của X ∗. Nếu x , y ∈ X , thì dó X là T2-không gian nên tồn tại các tập mở U,V trong X để U ∩ V = φ. Khi đó U,V cũng là các tập mở trong X ∗. Nếu y =∞, thì vì X là không gian compắc địa phương, nên tại điểm x có một lân cận đóng và compắc U. Khi đó đặt V = X ∗ \ U ta có V là lân cận của ∞ và U ∩ V = φ. Vậy, X ∗ là T2-không gian. Nhận xét. Dễ thấy rằng X là không gian con trù mật trong X ∗. Nếu (X , T ) là không gian compắc , thì điểm ∞ là điểm cô lập của tôpô U trên X ∗ và ngược lại. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 91 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.5. Sự compắc hoá 4.5.2. Định nghĩa. (Compắc hoá một điểm) Không gian tôpô (X ∗,U) được gọi là cái compắc hoá một điểm của không gian tôpô X . 4.5.3. Định nghĩa. Cho không gian tôpô X . Compắc hoá của X là cặp (f ,Y ) trong đó Y là không gian compắc , f là ánh xạ đồng phôi của X lên không gian con trù mật của Y . Compắc hoá (f ,Y ) là Hausdorff nếu Y là không gian Hausdorff. Nhận xét. Theo Định nghĩa 4.5.3, compắc hoá một điểm của không gian X là compắc hoá (i ,X ∗) với i là ánh xạ đồng nhất. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 92 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.5. Sự compắc hoá 4.5.2. Định nghĩa. (Compắc hoá một điểm) Không gian tôpô (X ∗,U) được gọi là cái compắc hoá một điểm của không gian tôpô X . 4.5.3. Định nghĩa. Cho không gian tôpô X . Compắc hoá của X là cặp (f ,Y ) trong đó Y là không gian compắc , f là ánh xạ đồng phôi của X lên không gian con trù mật của Y . Compắc hoá (f ,Y ) là Hausdorff nếu Y là không gian Hausdorff. Nhận xét. Theo Định nghĩa 4.5.3, compắc hoá một điểm của không gian X là compắc hoá (i ,X ∗) với i là ánh xạ đồng nhất. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 92 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.5. Sự compắc hoá 4.5.4. Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô tuỳ ý, F (X ) là họ tất cả các hàm liên tục nhận giá trị trong Q = [0, 1], e : X → QF (X ) là ánh xạ định giá từ X vào hình lập phương QF (X ). Compắc hoá Stône-Cech của không gian X là cặp (e, β(X )), ở đây β(X ) là bao đóng của tập e(X ) trong hình lập phương QF (X ). 4.5.5. Định lý. Nếu X là không gian Tikhônôp và f : X → Y là ánh xạ liên tục của X vào T2-không gian compắc Y , thì tồn tại một thác triển liên tục f : β(X )→ Y từ compắc hoá β(X ) vào Y Chính xác hơn, giả sử (e, β(X )) là compắc hoá Stône-Cech. Khi đó foe −1 có thể thác triển thành ánh xạ liên tục từ không gian β(X ) vào Y . Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 93 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.5. Sự compắc hoá 4.5.4. Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô tuỳ ý, F (X ) là họ tất cả các hàm liên tục nhận giá trị trong Q = [0, 1], e : X → QF (X ) là ánh xạ định giá từ X vào hình lập phương QF (X ). Compắc hoá Stône-Cech của không gian X là cặp (e, β(X )), ở đây β(X ) là bao đóng của tập e(X ) trong hình lập phương QF (X ). 4.5.5. Định lý. Nếu X là không gian Tikhônôp và f : X → Y là ánh xạ liên tục của X vào T2-không gian compắc Y , thì tồn tại một thác triển liên tục f : β(X )→ Y từ compắc hoá β(X ) vào Y Chính xác hơn, giả sử (e, β(X )) là compắc hoá Stône-Cech. Khi đó foe −1 có thể thác triển thành ánh xạ liên tục từ không gian β(X ) vào Y . Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 93 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.6. Tính paracompắc 4.6. Tính paracompắc 4.6.1. Định lý. Nếu U là phủ mở của tập con compắc A của không gian giả mêtric (X , d), thì tồn tại một số r > 0 sao cho một r -hình cầu mở tâm tại điểm bất kỳ của A được chứa trong một phần tử nào đó của phủ U . Chứng minh. Do A compắc , U là cái phủ của A, nên tồn tại họ con hữu hạn của U phủ A gồm các tập U1, . . . ,Un. Ký hiệu fi : X → R là hàm xác định trên X cho bởi fi (x) = d(x ,X \ Ui ) với mọix ∈ X , i = 1, . . . , n và f : X → R là hàm cho bởi f (x) = max 1≤i≤n fi (x) với mọi x ∈ X . Khi đó fi và f là hàm liên tục, i = 1, . . . , n. Vì với mỗi điểm x ∈ A tồn tại 1 ≤ i ≤ n sao cho x ∈ Ui . Do đó ta có f (x) ≥ fi (x) > 0, với mỗi x ∈ A. Khi đó f (A) là tập con compắc của (0,+∞). Do đó với mỗi x ∈ A có một 1 ≤ i ≤ n sao cho fi (x) > r . Từ đó suy ra hình cầu mở B(x , r) ⊂ Ui . Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 94 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.6. Tính paracompắc 4.6.2. Hệ quả. Nếu A là tập con compắc của không gian giả mêtric và U là lân cận của A, thì với số r > 0 nào đó U chứa r -hình cầu mở tâm tại điểm tuỳ ý của A. Bây giờ giả sử (X , d) là không gian giả mêtric. Ký hiệu V = {(x , y) ∈ X × X : d(x , y) < r} và V [x ] = {y ∈ X : (x , y) ∈ V }. Khi đó V [x ] là hình cầu mở tâm tại x , bán kính r . Ký hiệu ∆ = {(x , x) ∈ X × X : x ∈ X} và gọi ∆ là đường chéo. Khi đó V là tập con mở của X × X và ∆ ⊂ V . Từ Định lý 4.6.1 ta có 4.6.3. Hệ quả. Nếu U là phủ mở của không gian giả mêtric compắc , thì có một lân cận V của đường chéo ∆ trong X × X sao cho với mỗi x ∈ X tập hợp V [x ] được chứa trong một phần tử nào đó của họ U . Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 95 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.6. Tính paracompắc 4.6.2. Hệ quả. Nếu A là tập con compắc của không gian giả mêtric và U là lân cận của A, thì với số r > 0 nào đó U chứa r -hình cầu mở tâm tại điểm tuỳ ý của A. Bây giờ giả sử (X , d) là không gian giả mêtric. Ký hiệu V = {(x , y) ∈ X × X : d(x , y) < r} và V [x ] = {y ∈ X : (x , y) ∈ V }. Khi đó V [x ] là hình cầu mở tâm tại x , bán kính r . Ký hiệu ∆ = {(x , x) ∈ X × X : x ∈ X} và gọi ∆ là đường chéo. Khi đó V là tập con mở của X × X và ∆ ⊂ V . Từ Định lý 4.6.1 ta có 4.6.3. Hệ quả. Nếu U là phủ mở của không gian giả mêtric compắc , thì có một lân cận V của đường chéo ∆ trong X × X sao cho với mỗi x ∈ X tập hợp V [x ] được chứa trong một phần tử nào đó của họ U . Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 95 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.6. Tính paracompắc 4.6.4. Định nghĩa. Cho không gian tôpô (X ,U). Phủ U của không gian tôpô X được gọi là đơn kiểu nếu tồn tại một lân cận V của đường chéo ∆ sao cho với mỗi x ∈ X tập hợp V [x ] được chứa trong một phần tử nào đó của họ U . 4.6.5. Định lý. Nếu phủ mở U của không gian tôpô (X ,T) có cái mịn đóng hữu hạn địa phương, thì U là cái phủ đơn kiểu. Do đó, mỗi phủ mở của không gian chính qui compắc là đơn kiểu. Chứng minh. Gỉa sử U là một phủ mở của không gian tôpô X và B là cái mịn đóng hữu hạn địa phương. Với mỗi A ∈ B ta chọn phần tử UA ∈ U sao cho A ⊂ UA. Ký hiệu VA = (UA × UA) ∪ [X \ A)× (X \ A)]. Khi đó VA là lân cận mở của đường chéo ∆ trong X × X , đồng thời nếu x ∈ A, thì VA[x ] = UA. đặt V = ∩{VA : A ∈ B}. Khi đó với mỗi x ∈ X ta có V [x ] ⊂ VA[x ] = UA. Do đó hệ tất cả các tập hợp dạng Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 96 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.6. Tính paracompắc 4.6.4. Định nghĩa. Cho không gian tôpô (X ,U). Phủ U của không gian tôpô X được gọi là đơn kiểu nếu tồn tại một lân cận V của đường chéo ∆ sao cho với mỗi x ∈ X tập hợp V [x ] được chứa trong một phần tử nào đó của họ U . 4.6.5. Định lý. Nếu phủ mở U của không gian tôpô (X ,T) có cái mịn đóng hữu hạn địa phương, thì U là cái phủ đơn kiểu. Do đó, mỗi phủ mở của không gian chính qui compắc là đơn kiểu. Chứng minh. Gỉa sử U là một phủ mở của không gian tôpô X và B là cái mịn đóng hữu hạn địa phương. Với mỗi A ∈ B ta chọn phần tử UA ∈ U sao cho A ⊂ UA. Ký hiệu VA = (UA × UA) ∪ [X \ A)× (X \ A)]. Khi đó VA là lân cận mở của đường chéo ∆ trong X × X , đồng thời nếu x ∈ A, thì VA[x ] = UA. đặt V = ∩{VA : A ∈ B}. Khi đó với mỗi x ∈ X ta có V [x ] ⊂ VA[x ] = UA. Do đó hệ tất cả các tập hợp dạng Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 96 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.6. Tính paracompắc V [x ] lập thành một cái mịn của U . Ta chỉ còn chứng minh rằng rằng V là lân cận của đường chéo ∆. Thật vậy, với mỗi (x , x) ∈ ∆ ta tìm được một lân cận W của x chỉ cắt một số hữu hạn phần tử của phủ B. Nếu W ∩ A = φ, thì W ⊂ X \ A và W ×W ⊂ VA. Do đó V chứa giao của W ×W với một số hữu hạn tập hợp VA. Vì thế V là lân cận của điểm (x , x). Cuối cùng, nếu X là không gian compắc, chính qui thì mỗi phủ mở U có cái mịn hữu hạn đóng. Do đó mỗi phủ mở là đơn kiểu. 4.6.6. Định nghĩa. Không gian tôpô (X , T ) được gọi là paracompắc nếu nó chính qui và mỗi phủ mở của nó có cái mịn mở hữu hạn địa phương. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 97 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.6. Tính paracompắc V [x ] lập thành một cái mịn của U . Ta chỉ còn chứng minh rằng rằng V là lân cận của đường chéo ∆. Thật vậy, với mỗi (x , x) ∈ ∆ ta tìm được một lân cận W của x chỉ cắt một số hữu hạn phần tử của phủ B. Nếu W ∩ A = φ, thì W ⊂ X \ A và W ×W ⊂ VA. Do đó V chứa giao của W ×W với một số hữu hạn tập hợp VA. Vì thế V là lân cận của điểm (x , x). Cuối cùng, nếu X là không gian compắc, chính qui thì mỗi phủ mở U có cái mịn hữu hạn đóng. Do đó mỗi phủ mở là đơn kiểu. 4.6.6. Định nghĩa. Không gian tôpô (X , T ) được gọi là paracompắc nếu nó chính qui và mỗi phủ mở của nó có cái mịn mở hữu hạn địa phương. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 97 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.6. Tính paracompắc Bây giờ giả sử U là tập con của X × X . Với mỗi x ∈ X ta ký hiệu U[x ] = {y ∈ X : (x , y) ∈ U} và với mỗi A ⊂ X ta ký hiệu U[A] = {y ∈ X : (x , y) ∈ U, với x nào đó thuộc A}. Dễ thấy rằng U[A] = ⋃ x∈A U[x ]. Ký hiệu U−1 = {(x , y) : (y , x) ∈ U}. Tập U ⊂ X × X được gọi là tập đối xứng, nếu U = U−1. Dễ thấy rằng tập U ∩ U−1 là tập đối xứng. Nếu U,V là các tập con của tích X × X thì ta ký hiệu UoV = {(x , z)|(x , y) ∈ V , (y , z) ∈ U, với y nào đó thuộc X}. Nếu V đối xứng, thì VoV = ⋃ y∈X (V [y ]× V [y ]). Đối với mỗi tập A ⊂ X ta có UoV [A] = U[V [A]]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 98 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.6. Tính paracompắc 4.6.7. Bổ đề. Nếu không gian X là chính qui và mỗi phủ mở của nó có cái mịn mở hữu hạn địa phương, thì mỗi phủ mở của nó có cái mịn hữu hạn địa phương đóng. 4.6.8. Bổ đề. Giả sử X là không gian tôpô sao cho mỗi phủ mở là đơn kiểu. Nếu U là lân cận của đường chéo ∆ trong X × X , thì tồn tại lân cận đối xứng V của đường chéo sao cho VoV ⊂ U. 4.6.9. Bổ đề. Cho không gian tôpô (X , T ) mà mỗi phủ mở của nó là đơn kiểu và A là họ hữu hạn địa phương (hoặc rời rạc) các tập con của không gian tôpô X . Khi đó tồn tại một lân cận V của đường chéo ∆ trong X × X sao cho họ tất cả các tập {V [A] : A ∈ A} là hữu hạn địa phương (tương ứng, rời rạc). Chứng minh của các Bổ đề trên, xem tài liệu tham khảo[2]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 99 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.6. Tính paracompắc 4.6.7. Bổ đề. Nếu không gian X là chính qui và mỗi phủ mở của nó có cái mịn mở hữu hạn địa phương, thì mỗi phủ mở của nó có cái mịn hữu hạn địa phương đóng. 4.6.8. Bổ đề. Giả sử X là không gian tôpô sao cho mỗi phủ mở là đơn kiểu. Nếu U là lân cận của đường chéo ∆ trong X × X , thì tồn tại lân cận đối xứng V của đường chéo sao cho VoV ⊂ U. 4.6.9. Bổ đề. Cho không gian tôpô (X , T ) mà mỗi phủ mở của nó là đơn kiểu và A là họ hữu hạn địa phương (hoặc rời rạc) các tập con của không gian tôpô X . Khi đó tồn tại một lân cận V của đường chéo ∆ trong X × X sao cho họ tất cả các tập {V [A] : A ∈ A} là hữu hạn địa phương (tương ứng, rời rạc). Chứng minh của các Bổ đề trên, xem tài liệu tham khảo[2]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 99 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.6. Tính paracompắc 4.6.7. Bổ đề. Nếu không gian X là chính qui và mỗi phủ mở của nó có cái mịn mở hữu hạn địa phương, thì mỗi phủ mở của nó có cái mịn hữu hạn địa phương đóng. 4.6.8. Bổ đề. Giả sử X là không gian tôpô sao cho mỗi phủ mở là đơn kiểu. Nếu U là lân cận của đường chéo ∆ trong X × X , thì tồn tại lân cận đối xứng V của đường chéo sao cho VoV ⊂ U. 4.6.9. Bổ đề. Cho không gian tôpô (X , T ) mà mỗi phủ mở của nó là đơn kiểu và A là họ hữu hạn địa phương (hoặc rời rạc) các tập con của không gian tôpô X . Khi đó tồn tại một lân cận V của đường chéo ∆ trong X × X sao cho họ tất cả các tập {V [A] : A ∈ A} là hữu hạn địa phương (tương ứng, rời rạc). Chứng minh của các Bổ đề trên, xem tài liệu tham khảo[2]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 99 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.6. Tính paracompắc 4.6.10. Hệ quả. Mỗi không gian paracompắc là không gian chuẩn tắc. Chứng minh. Giả sử (X , T ) là không gian paracompắc . Khi đó mỗi phủ mở của nó là đơn kiểu. Giả sử A,B là hai tập đóng rời nhau trong X . Ký hiệu A = {A,B}. Khi đó A là họ rời rạc. Sử dụng Bổ đề 4.6.9 tồn tại một lân cận V của ∆ sao cho {V [A],V [B]} là rời rạc. Vì V [A], V [B] là các lân cận tương ứng của A và B, nên (X , T ) là không gian chuẩn tắc. 4.6.11. Bổ đề. Nếu X là không gian tôpô sao cho mỗi phủ mở là đơn kiểu, thì mỗi phủ mở của X có cái mịn mở σ-rời rạc.. 4.6.12. Bổ đề. Nếu mỗi phủ mở của không gian có cái mịn hữu hạn σ-địa phương mở, thì mỗi phủ mở có cái mịn hữu hạn địa phương. Chứng minh của các Bổ đề trên, xem tài liệu tham khảo[2]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 100 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.6. Tính paracompắc 4.6.10. Hệ quả. Mỗi không gian paracompắc là không gian chuẩn tắc. Chứng minh. Giả sử (X , T ) là không gian paracompắc . Khi đó mỗi phủ mở của nó là đơn kiểu. Giả sử A,B là hai tập đóng rời nhau trong X . Ký hiệu A = {A,B}. Khi đó A là họ rời rạc. Sử dụng Bổ đề 4.6.9 tồn tại một lân cận V của ∆ sao cho {V [A],V [B]} là rời rạc. Vì V [A], V [B] là các lân cận tương ứng của A và B, nên (X , T ) là không gian chuẩn tắc. 4.6.11. Bổ đề. Nếu X là không gian tôpô sao cho mỗi phủ mở là đơn kiểu, thì mỗi phủ mở của X có cái mịn mở σ-rời rạc.. 4.6.12. Bổ đề. Nếu mỗi phủ mở của không gian có cái mịn hữu hạn σ-địa phương mở, thì mỗi phủ mở có cái mịn hữu hạn địa phương. Chứng minh của các Bổ đề trên, xem tài liệu tham khảo[2]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 100 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.6. Tính paracompắc 4.6.10. Hệ quả. Mỗi không gian paracompắc là không gian chuẩn tắc. Chứng minh. Giả sử (X , T ) là không gian paracompắc . Khi đó mỗi phủ mở của nó là đơn kiểu. Giả sử A,B là hai tập đóng rời nhau trong X . Ký hiệu A = {A,B}. Khi đó A là họ rời rạc. Sử dụng Bổ đề 4.6.9 tồn tại một lân cận V của ∆ sao cho {V [A],V [B]} là rời rạc. Vì V [A], V [B] là các lân cận tương ứng của A và B, nên (X , T ) là không gian chuẩn tắc. 4.6.11. Bổ đề. Nếu X là không gian tôpô sao cho mỗi phủ mở là đơn kiểu, thì mỗi phủ mở của X có cái mịn mở σ-rời rạc.. 4.6.12. Bổ đề. Nếu mỗi phủ mở của không gian có cái mịn hữu hạn σ-địa phương mở, thì mỗi phủ mở có cái mịn hữu hạn địa phương. Chứng minh của các Bổ đề trên, xem tài liệu tham khảo[2]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 100 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.6. Tính paracompắc 4.6.13. Định lý. Nếu X là không gian tôpô chính qui, thì các điều kiện sau đây là tương đương (a) Không gian X là paracompắc ; (b) Mỗi phủ mở của X có cái mịn Hữu hạn địa phương; (c) Mỗi phủ mở của X có cái mịn σ-rời rạc mở; (d) Mỗi phủ mở của X là đơn kiểu; (e) Mỗi phủ mở của X có cái mịn σ-rời rạc mở; (f) Mỗi phủ mở của X có cái mịn hữu hạn σ-địa phương mở. Chứng minh. Phép suy (a) ⇒ (b) suy từ định nghĩa không gian paracompắc . Phép suy (b) ⇒ (c) suy từ Bổ đề 4.6.7. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 101 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.6. Tính paracompắc Phép suy (c) ⇒ (d) suy từ Định lý 4.6.5. Phép suy (d) ⇒ (e) suy từ Bổ đề 4.6.11. Phép suy (e) ⇒ (f) là hiển nhiên. Phép suy (f) ⇒ (a) suy từ Bổ đề 4.6.12. 4.6.14. Hệ quả. Mỗi không gian giả mêtric hoá được là không gian paracompắc. Chứng minh. Suy từ Định lý 3.3.11 và Định lý 4.6.13. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 102 / 111 Chương IV. Không gian compắc 4.6. Tính paracompắc Phép suy (c) ⇒ (d) suy từ Định lý 4.6.5. Phép suy (d) ⇒ (e) suy từ Bổ đề 4.6.11. Phép suy (e) ⇒ (f) là hiển nhiên. Phép suy (f) ⇒ (a) suy từ Bổ đề 4.6.12. 4.6.14. Hệ quả. Mỗi không gian giả mêtric hoá được là không gian paracompắc. Chứng minh. Suy từ Định lý 3.3.11 và Định lý 4.6.13. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 102 / 111 Chương V. Không gian liên thông, liên thông địa phương 5.1 Không gian liên thông 5.1. Không gian liên thông A. Liên thông đường 5.1.1. Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô, a, b ∈ X . ánh xạ liên tục s : [0, 1]→ X sao cho s(0) = a, s(1) = b được gọi là đường cong (hay cung) nối a với b. 5.1.2. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là liên thông tuyến tính (hay liên thông đường) nếu với hai điểm bất kỳ a, b ∈ X bao giờ cũng tồn tại một đường cong nối a với b. Ví dụ. - Đoạn [a, b] bất kỳ trong không gian các số thực R là liên thông đường. - Không gian Ơclit Rn là không gian liên thông tuyến tính. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 103 / 111 Chương V. Không gian liên thông, liên thông địa phương 5.1 Không gian liên thông B. Không gian liên thông 5.1.3. Định nghĩa. Không gian tôpô (X ,T) được là liên thông nếu X không thể biểu diễn được dưới dạng hợp của hai tập hợp con khác rỗng, tách được. Tập con A của không gian tôpô (X ,T) được là liên thông nếu không gian con A với tôpô cảm sinh là không gian liên thông. Nhận xét. Dễ dàng chứng minh rằng tập Y ⊂ X là liên thông khi và chỉ khi Y không là hợp của hai tập con khác rỗng tách được nào cả. 5.1.4. Mệnh đề. Tập con Y của không gian tôpô X là liên thông khi và chỉ khi các tập φ và Y là các tập vừa mở, vừa đóng duy nhất của Y . Chứng minh dành cho độc giả. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 104 / 111 Chương V. Không gian liên thông, liên thông địa phương 5.1 Không gian liên thông B. Không gian liên thông 5.1.3. Định nghĩa. Không gian tôpô (X ,T) được là liên thông nếu X không thể biểu diễn được dưới dạng hợp của hai tập hợp con khác rỗng, tách được. Tập con A của không gian tôpô (X ,T) được là liên thông nếu không gian con A với tôpô cảm sinh là không gian liên thông. Nhận xét. Dễ dàng chứng minh rằng tập Y ⊂ X là liên thông khi và chỉ khi Y không là hợp của hai tập con khác rỗng tách được nào cả. 5.1.4. Mệnh đề. Tập con Y của không gian tôpô X là liên thông khi và chỉ khi các tập φ và Y là các tập vừa mở, vừa đóng duy nhất của Y . Chứng minh dành cho độc giả. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 104 / 111 Chương V. Không gian liên thông, liên thông địa phương 5.1 Không gian liên thông 5.1.5. Mệnh đề. Đoạn [a, b] bất kỳ trong R là tập liên thông. Chứng minh. Gỉa sử ngược lại rằng đoạn [a, b] = A ∪ B trong đó A,B là các tập con khác rỗng vừa đóng, vừa mở rời nhau của [a, b] và giả thiết rằng a ∈ A. Ký hiệu M = {x ∈ [a, b] : [a, x) ⊂ A}. Vì A mở, nên M 6= φ. Đặt c = supM. Khi đó c ∈ M. Thật vậy, với mỗi điểm x ′ ∈ [a, c), theo định nghĩa cận trên đúng tồn tại một điểm y ∈ (x ′, c) Vì thế [a, y ] ⊂ A. Do đó x ′ ∈ A, nghĩa là [a, c) ⊂ A. Bởi vậy, c ∈ M. Lại vì A đóng nên [a, c] ⊂ A. Baay giờ ta sẽ chứng tỏ rằng c = b. Nếu ngược lại c 0 sao cho (c − ε, c + ε) ⊂ A. Vì thế c + ε ∈ M. Điều này mâu thuẩn với cách đặt c = supM. Toàn bộ chứng minh trên chứng tỏ rằng [a, b] ⊂ A. Kết luận này trái với giả thiết phản chứng. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 105 / 111 Chương V. Không gian liên thông, liên thông địa phương 5.1 Không gian liên thông 5.1.6. Định lý. Tập con A của không gian tôpô X là tập liên thông khi và chỉ khi với mỗi cặp các tập con mở U, V trong X sao cho A ⊂ U ∪ V , nếu A ∩ U 6= φ và A ∩ V 6= φ, thì A ∩ U ∩ V 6= φ. Chứng minh xem như bài tập. 5.1.7. Định lý. Gỉa sử A là tập hợp liên thông trong không gian tôpô X và B là tập con của X sao cho A ⊂ B ⊂ A. Khi đó B là tập liên thông. Từ đó suy ra nếu A liên thông thì A cũng liên thông. Chứng minh. Giả sử B là tập không liên thông. Khi đó B = B1 ∪ B2 trong đó B1,B2 là các tập mở khác rỗng và B1 ∩ B2 = φ. Vì A = (A ∩ B1) ∪ (A ∩ B2). Do A trù mật trong B và B1,B2 mở, nên A ∩ B1 6= φ, A ∩ B2 6= φ và (A ∩ B1) ∩ (A ∩ B2) = φ. Suy ra A là tập không liên thông. Điều này mâu thuẩn với giả thiết A liên thông. Vậy B là tập liên thông. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 106 / 111 Chương V. Không gian liên thông, liên thông địa phương 5.1 Không gian liên thông 5.1.6. Định lý. Tập con A của không gian tôpô X là tập liên thông khi và chỉ khi với mỗi cặp các tập con mở U, V trong X sao cho A ⊂ U ∪ V , nếu A ∩ U 6= φ và A ∩ V 6= φ, thì A ∩ U ∩ V 6= φ. Chứng minh xem như bài tập. 5.1.7. Định lý. Gỉa sử A là tập hợp liên thông trong không gian tôpô X và B là tập con của X sao cho A ⊂ B ⊂ A. Khi đó B là tập liên thông. Từ đó suy ra nếu A liên thông thì A cũng liên thông. Chứng minh. Giả sử B là tập không liên thông. Khi đó B = B1 ∪ B2 trong đó B1,B2 là các tập mở khác rỗng và B1 ∩ B2 = φ. Vì A = (A ∩ B1) ∪ (A ∩ B2). Do A trù mật trong B và B1,B2 mở, nên A ∩ B1 6= φ, A ∩ B2 6= φ và (A ∩ B1) ∩ (A ∩ B2) = φ. Suy ra A là tập không liên thông. Điều này mâu thuẩn với giả thiết A liên thông. Vậy B là tập liên thông. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 106 / 111 Chương V. Không gian liên thông, liên thông địa phương 5.1 Không gian liên thông 5.1.8. Định lý. ảnh liên tục của một không gian liên thông là một không gian liên thông. Chứng minh xem như bài tập. Nhận xét. Từ định lý 5.1.8 ta suy ra s([0, 1]) là tập liên thông trong X . 5.1.9. Định lý. Một không gian liên thông tuyến tính thì liên thông. Chứng minh. Giả sử ngược lại rằng X là không gian liên thông tuyến tính nhưng không liên thông, nghĩa là tồn tại các tập vừa mở, vừa đóng khác rỗng U và V sao cho X = U ∪ V , U ∩ V = φ. Khi đó với hai điểm bất kỳ a ∈ U, b ∈ V tồn tại đường cong s nối a với b. Xét tập s([0, 1]) ta có s([0, 1]) = (s([0, 1]) ∩ U) ∪ (s([0, 1]) ∩ V ), U ∩ V = φ, U,V mở U ∩ s([0, 1]) 6= φ, V ∩ s([0, 1]) 6= φ. Vậy tập s([0, 1]) không liên thông. Điều này mâu thuẩn. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 107 / 111 Chương V. Không gian liên thông, liên thông địa phương 5.1 Không gian liên thông 5.1.8. Định lý. ảnh liên tục của một không gian liên thông là một không gian liên thông. Chứng minh xem như bài tập. Nhận xét. Từ định lý 5.1.8 ta suy ra s([0, 1]) là tập liên thông trong X . 5.1.9. Định lý. Một không gian liên thông tuyến tính thì liên thông. Chứng minh. Giả sử ngược lại rằng X là không gian liên thông tuyến tính nhưng không liên thông, nghĩa là tồn tại các tập vừa mở, vừa đóng khác rỗng U và V sao cho X = U ∪ V , U ∩ V = φ. Khi đó với hai điểm bất kỳ a ∈ U, b ∈ V tồn tại đường cong s nối a với b. Xét tập s([0, 1]) ta có s([0, 1]) = (s([0, 1]) ∩ U) ∪ (s([0, 1]) ∩ V ), U ∩ V = φ, U,V mở U ∩ s([0, 1]) 6= φ, V ∩ s([0, 1]) 6= φ. Vậy tập s([0, 1]) không liên thông. Điều này mâu thuẩn. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 107 / 111 Chương V. Không gian liên thông, liên thông địa phương 5.1 Không gian liên thông Nhận xét. Không gian Ơclit Rn là không gian liên thông. 5.1.10. Định lý.Giả sủ U là họ nào đó các tập con liên thông của không gian tôpô X . Nếu không có hai phần tử nào của họ U tách được, thì ∪{A : A ∈ U} là tập liên thông. Chứng minh. Ký hiệu C = ⋃{A : A ∈ U} và D là tập con vừa mở, vừa đóng trong C . Khi đó với mỗi tập hợp A ∈ U , tập hợp A ∩ D vừa mở, vừa đóng trong A. Vì tập A liên thông, nên hoặc A ⊂ D hoặc A ⊂ C \D. Nếu A và B là các phần tử của họ U thì các bao hàm thức A ⊂ D và B ⊂ C \ D không đồng thời xẩy ra, vì nếu ngược lại thì do A và B tương ứng là các tập con của các tập tách được C và C \ D, nên chúng cúng tách được. Do đó hoặc mỗi phần tử của họ U là tập con của C \ D, khi đó D = φ, hoặc mỗi phần tử của họ U là tập con của D, khi đó C \ D = φ. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 108 / 111 Chương V. Không gian liên thông, liên thông địa phương 5.1 Không gian liên thông 5.1.11. Định nghĩa. Ta gọi mỗi tập con liên thông cực của không gian tôpô X là thành phần liên thông của không gian đó. Thành phần của tập con A của một không gian tôpô là thành phần của không gian con A với tôpô cảm sinh. 5.1.12. Định lý. (a) Mỗi tập con liên thông của một không gian tôpô được chứa trong một thành phần nào đó. (b) Mỗi thành phần là tập đóng. (c) Các thành phần khác nhau của một không gian tôpô là tách được. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2]. 5.1.13. Định lý. Để tích X = ∏ α∈Λ Xα của các không gian tôpô Xα, α ∈ Λ là không gian liên thôngđiều kiện cần và đủ là Xα liên thông, với mọi α ∈ Λ. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [1]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 109 / 111 Chương V. Không gian liên thông, liên thông địa phương 5.1 Không gian liên thông 5.1.11. Định nghĩa. Ta gọi mỗi tập con liên thông cực của không gian tôpô X là thành phần liên thông của không gian đó. Thành phần của tập con A của một không gian tôpô là thành phần của không gian con A với tôpô cảm sinh. 5.1.12. Định lý. (a) Mỗi tập con liên thông của một không gian tôpô được chứa trong một thành phần nào đó. (b) Mỗi thành phần là tập đóng. (c) Các thành phần khác nhau của một không gian tôpô là tách được. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2]. 5.1.13. Định lý. Để tích X = ∏ α∈Λ Xα của các không gian tôpô Xα, α ∈ Λ là không gian liên thôngđiều kiện cần và đủ là Xα liên thông, với mọi α ∈ Λ. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [1]. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 109 / 111 Chương V. Không gian liên thông, liên thông địa phương 5.2 Không gian liên thông địa phương 5.2. Không gian liên thông địa phương 5.2.1. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là liên thông địa phương nếu mỗi điểm x ∈ X có một cơ sở lân cận liên thông. Tập con A của không gian tôpô X được gọi là tập liên thông địa phương nếu A là không gian liên thông địa phương với tôpô cảm sinh. 5.2.2. Định lý. Không gian tôpô X là liên thông địa phương khi và chỉ khi mọi thành phần liên thông của tập mở là tập mở. Chứng minh. Cần. Giả sử X là không gian liên thông địa phương, U là tập con mở bất kỳ của X và C là thành phần liên thông nằm trong U. Ta cần chứng minh rằng C mở. Giả sử x là điểm tuỳ ý thuộc C . Khi đó x ∈ U. Vì U mở và X liên thông địa phương ta suy ra tồn tại một lân cận liên thông V sao cho x ∈ V ⊂ U. Do C là thành phần liên thông trong U nên x ∈ V ⊂ C . Vì thế C mở. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 110 / 111 Chương V. Không gian liên thông, liên thông địa phương 5.2 Không gian liên thông địa phương 5.2. Không gian liên thông địa phương 5.2.1. Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là liên thông địa phương nếu mỗi điểm x ∈ X có một cơ sở lân cận liên thông. Tập con A của không gian tôpô X được gọi là tập liên thông địa phương nếu A là không gian liên thông địa phương với tôpô cảm sinh. 5.2.2. Định lý. Không gian tôpô X là liên thông địa phương khi và chỉ khi mọi thành phần liên thông của tập mở là tập mở. Chứng minh. Cần. Giả sử X là không gian liên thông địa phương, U là tập con mở bất kỳ của X và C là thành phần liên thông nằm trong U. Ta cần chứng minh rằng C mở. Giả sử x là điểm tuỳ ý thuộc C . Khi đó x ∈ U. Vì U mở và X liên thông địa phương ta suy ra tồn tại một lân cận liên thông V sao cho x ∈ V ⊂ U. Do C là thành phần liên thông trong U nên x ∈ V ⊂ C . Vì thế C mở. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 110 / 111 Chương V. Không gian liên thông, liên thông địa phương 5.2 Không gian liên thông địa phương Đủ. Giả sử mọi thành phần liên thông của một tập mở là tập mở và x là điểm bất kỳ thuộc X . Ta cần chứng minh rằng x có một cơ sở lân cận gồm các tập hợp liên thông. Thật vậy, giả sử U là lân cận mở của x . Ký hiệu C là thành phần liên thông chứa điểm x và C ⊂ U. Theo giả thiết C mở, vì thế C là một lân cận liên thông của x thoả mãn x ∈ C ⊂ U. Vậy X là không gian liên thông địa phương. 5.2.3. Hệ quả. Nếu X là không gian compact và liên thông địa phương, thì số thành phần liên thông của nó là hữu hạn. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2]. 5.2.4. Định lý. Để tích X = ∏ α∈Λ Xα của các không gian tôpô Xα, α ∈ Λ là không gian liên thông địa phương, điều kiện cần và đủ là mọi Xα, α ∈ Λ đều là không gian liên thông địa phương, ngoài ra trừ ra một số hữu hạn còn hầu hết các Xα là không gian liên thông. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 111 / 111 Chương V. Không gian liên thông, liên thông địa phương 5.2 Không gian liên thông địa phương Đủ. Giả sử mọi thành phần liên thông của một tập mở là tập mở và x là điểm bất kỳ thuộc X . Ta cần chứng minh rằng x có một cơ sở lân cận gồm các tập hợp liên thông. Thật vậy, giả sử U là lân cận mở của x . Ký hiệu C là thành phần liên thông chứa điểm x và C ⊂ U. Theo giả thiết C mở, vì thế C là một lân cận liên thông của x thoả mãn x ∈ C ⊂ U. Vậy X là không gian liên thông địa phương. 5.2.3. Hệ quả. Nếu X là không gian compact và liên thông địa phương, thì số thành phần liên thông của nó là hữu hạn. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2]. 5.2.4. Định lý. Để tích X = ∏ α∈Λ Xα của các không gian tôpô Xα, α ∈ Λ là không gian liên thông địa phương, điều kiện cần và đủ là mọi Xα, α ∈ Λ đều là không gian liên thông địa phương, ngoài ra trừ ra một số hữu hạn còn hầu hết các Xα là không gian liên thông. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 111 / 111 Chương V. Không gian liên thông, liên thông địa phương 5.2 Không gian liên thông địa phương Đủ. Giả sử mọi thành phần liên thông của một tập mở là tập mở và x là điểm bất kỳ thuộc X . Ta cần chứng minh rằng x có một cơ sở lân cận gồm các tập hợp liên thông. Thật vậy, giả sử U là lân cận mở của x . Ký hiệu C là thành phần liên thông chứa điểm x và C ⊂ U. Theo giả thiết C mở, vì thế C là một lân cận liên thông của x thoả mãn x ∈ C ⊂ U. Vậy X là không gian liên thông địa phương. 5.2.3. Hệ quả. Nếu X là không gian compact và liên thông địa phương, thì số thành phần liên thông của nó là hữu hạn. Chứng minh xem tài liệu tham khảo [2]. 5.2.4. Định lý. Để tích X = ∏ α∈Λ Xα của các không gian tôpô Xα, α ∈ Λ là không gian liên thông địa phương, điều kiện cần và đủ là mọi Xα, α ∈ Λ đều là không gian liên thông địa phương, ngoài ra trừ ra một số hữu hạn còn hầu hết các Xα là không gian liên thông. Trần Văn Ân () Chuyên đề Cao học ngành Toán Vinh, 10/2008 111 / 111