Chuyên đề phương pháp số giải bài toán truyền nhiệt không ổn định

Chuyªn ®Ò ph­¬ng ph¸p sè gi¶i bµi to¸n truyÒn nhiÖt kh«ng æn ®Þnh DÉn nhiÖt kh«ng æn ®Þnh lµ bµi to¸n rÊt hay gÆp trong thùc tÕ khi nhiÖt ®é cña vËt thÓ thay ®æi theo thêi gian. Mét c¸ch tæng qu¸t, ta cã ph­¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt tæng qu¸t, m« t¶ quan hÖ cña nhiÖt ®é t¹i c¸c thêi ®iÓm theo thêi gian khi trong vËt kh«ng cã nguån sinh nhiÖt: , (1) Trong ®ã: + : ®¹o hµm cña nhiÖt ®é theo thêi gian; + a = : hÖ sè khuyÕch t¸n nhiÖt ®é; + , to¸n tö Laplace. §Ó gi¶i mét bµi to¸n dÉn nhiÖt kh«ng æn ®Þnh theo ph­¬ng tr×nh vi ph©n (1) th× rÊt phøc t¹p vµ ®ßi hái nhiÒu ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ. Trªn thùc tÕ ng­êi ta chØ ¸p dông ph­¬ng ph¸p nµy khi gi¶i bµi to¸n dÉn nhiÖt æn ®Þnh. §èi víi bµi to¸n dÉn nhiÖt kh«ng æn ®Þnh ta sö dông c¸c ph­¬ng ph¸p: quy tô, ph­¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n... 1. C¸c bµi to¸n dÉn nhiÖt kh«ng æn ®Þnh a. Bµi to¸n dÉn nhiÖt kh«ng æn ®Þnh dïng ph­¬ng ph¸p quy tô Bµi to¸n kh¶o s¸t mét vËt thÓ tÝch V, khèi l­îng M, nhiÖt dung riªng c, nhiÖt ®é ban ®Çu ®ång nhÊt b»ng t0. VËt thÓ ®­îc ®Æt vµo m«i tr­êng cã nhiÖt ®é kh«ng ®æi tl < t0 . Khi hÖ sè to¶ nhiÖt t¹i bÒ mÆt xung quanh vËt víi m«i tr­êng lµ rÊt nhá so víi hÖ sè dÉn nhiÖt cña vËt , th× nhiÖt ®é trong vËt sÏ ®ång nhÊt t¹i mäi ®iÓm vµ gi¶m chËm theo thêi gian. L­îng nhiÖt mÊt ®i do to¶ nhiÖt ra m«i tr­êng qua bÒ mÆt ngoµi vËt cã diÖn tÝch F, sau thêi gian d b»ng ®é gi¶m néi n¨ng cña vËt : , (2) Tõ ®ã gi¶i ra nghiÖm lµ nhiÖt ®é cña vËt phô thuéc vµo thêi gian : , (3) BiÓu thøc (3) cho phÐp x¸c ®Þnh nhiÖt ®é bªn trong vËt theo thêi gian hoÆc x¸c ®Þnh thêi gian ®Ó nhiÖt ®é cña vËt ®¹t ®­îc gi¸ trÞ t cho tr­íc. Víi ®iÒu kiÖn v× khi ®ã kh¶ n¨ng to¶ nhiÖt t¹i bÒ mÆt vËt nhá h¬n dÉn nhiÖt trong vËt rÊt nhiÒu, nhiÖt ®é trªn mÆt vËt gi¶m rÊt chËm, ph©n bè nhiÖt ®é trong vËt gÇn nh­ gÇn nh­ ®­êng th¼ng n»m ngang vµ nhiÖt ®é trong vËt ®­îc coi lµ ®ång nhÊt. b. Bµi to¸n dÉn nhiÖt kh«ng æn ®Þnh mét chiÒu + Lµm nguéi hoÆc gia nhiÖt tÊm ph¼ng réng v« h¹n Bµi to¸n kh¶o s¸t tÊm ph¼ng réng v« h¹n cã bÒ dµy , lµ h»ng sè. NhiÖt ®é lóc ®Çu ®ång nhÊt trong toµn bé vËt b»ng t0. VËt ®­îc ®Æt trong m«i tr­êng cã nhiÖt ®é tL = const. Khi ®ã nhiÖt ®­îc truyÒn tõ vËt ra m«i tr­êng víi hÖ sè to¶ nhiÖt kh«ng ®æi trªn hai mÆt vËt. NhiÖt ®é lµ hµm cña thêi gian vµ chØ thay ®æi theo bÒ dµy tÊm, nªn ®­îc biÓu thÞ b»ng ph­¬ng tr×nh vi ph©n mét chiÒu: , (4) B»ng c¸ch ®­a vÒ nhiÖt ®é d­ vµ dïng ph­¬ng ph¸p t¸ch biÕn: NhËn ®­îc nghiÖm : , (5) Tõ c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ, sau c¸c biÕn ®æi nhËn ®­îc nghiÖm cuèi cïng cã d¹ng chuçi v« h¹n: , (6) Trong ®ã : +; k =1,2,3… lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng: víi + DÉn nhiÖt vËt thÓ cã 1 phÝa dµy v« h¹n Bµi to¸n dÉn nhiÖt kh«ng æn ®Þnh cña vËt thÓ cã mét phÝa dµy v« h¹n còng ®­îc m« t¶ bëi ph­¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt kh«ng æn ®Þnh mét chiÒu: , (5) B»ng c¸ch ®æi biÕn kÐp , ®Ó chuyÓn ph­¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng (5) thµnh ph­¬ng tr×nh vi ph©n th­êng: , (6) Tõ ®ã gi¶i ra nghiÖm : , (7) TÝch ph©n (7) gäi lµ tÝch ph©n sai sè Gauss, lµ biÕn sè gi¶. NhËn xÐt C¸c bµi to¸n trªn ®Òu ®­îc m« t¶ bëi ph­¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt. Ph­¬ng ph¸p gi¶i tÝch chØ cã thÓ gi¶i c¸c bµi to¸n khi c¸c ®iÒu kiÖn biªn lµ kh«ng ®æi: + Bµi to¸n quy tô, ®iÒu kiÖn lµ m«i tr­êng cã nhiÖt ®é kh«ng ®æi, hÖ sè to¶ nhiÖt t¹i mÆt ngoµi lín h¬n rÊt nhiÒu hÖ sè dÉn nhiÖt trong vËt + Bµi to¸n gia nhiÖt tÊm ph¼ng réng v« h¹n, cã ®iÒu kiÖn biªn lo¹i 3 lµ nhiÖt ®é m«i tr­êng kh«ng ®æi + Bµi to¸n dÉn nhiÖt vËt thÓ cã 1 phÝa dµy v« h¹n, cã c¸c ®iÒu kiÖn biªn lo¹i 1, lo¹i 2, lo¹i 3 ®Òu lµ kh«ng ®æi. C¸c kÕt qu¶ trªn kh«ng thÓ ¸p dông cho bµi to¸n ®Þnh kh¶o s¸t lµ sù thay ®æi nhiÖt ®é trong vËt thÓ cã kÝch th­íc h÷u h¹n. V× vËy, ®èi víi c¸c bµi to¸n dÉn nhiÖt kh«ng æn ®Þnh 1 chiÒu: x¸c ®Þnh nhiÖt ®é cña tuêng phßng l¹nh, cña líp ¸o ®­êng nhùa, mÆt ®­êng bªt«ng xi m¨ng d­íi t¸c ®éng cña bøc x¹ mÆt trêi vµ nhiÖt ®é kh«ng khÝ thay ®æi theo thêi gian trong ngµy, trong n¨m hoÆc kh¶o s¸t sù biÕn thiªn nhiÖt ®é cña s¶n phÈm ®«ng l¹nh, s¶n phÈm nung (gèm, g¹ch)... §Ó gi¶i c¸c bµi to¸n nµy ta sö dông ph­¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n. 2. Ph­¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n B¶n chÊt cña ph­¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n (SPHH) lµ thay ph­¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt b»ng ph­¬ng tr×nh sai ph©n. Ph­¬ng ph¸p SPHH lµ c¬ së ®Ó x©y dùng ch­¬ng tr×nh tÝnh to¸n trªn m¸y. Khi dïng ph­¬ng ph¸p SPHH th× ph­¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt lµ kh«ng æn ®Þnh, mét chiÒu vµ kh«ng cã nguån nhiÖt bªn trong. 2.1. Ph­¬ng ph¸p c©n b»ng n¨ng l­îng ph©n tö XÐt tÊm ph¼ng rÊt réng cã bÒ dµy , hÖ sè dÉn nhiÖt vµ nhiÖt dung riªng c kh«ng thay ®æi. BiÕt ph©n bè nhiÖt ®é ban ®Çu cña tÊm thay ®æi theo h­íng bÒ dµy tÊm, gäi lµ h­íng x. MÆt trªn cña tÊm tiÕp xóc víi kh«ng khÝ cã a nh­ng nhiÖt ®é thay ®æi theo thêi gian tK = g(), mÆt phÝa d­íi tiÕp xóc víi vËt liÖu cã hÖ sè dÉn nhiÖt vµ nhiÖt ®é kh«ng ®æi lµ N, tN. Do dßng nhiÖt truyÒn chñ yÕu theo chiÒu s©u nªn nhiÖt ®é chØ thay ®æi theo h­íng x. L­îng nhiÖt phÇn tö nhËn ®­îc sau mét kho¶ng thêi gian b»ng biÕn thiªn n¨ng l­îng cña phÇn tö trong thêi gian ®ã. Chia bÒ dµy tÊm thµnh n kho¶ng ®Òu nhau, mçi kho¶ng dµy x = bëi c¸c mÆt giíi h¹n ký hiÖu i = 1, 2, 3,…, n. Chóng ta cÇn ph¶i x¸c ®Þnh nhiÖt ®é t¹i c¸c mÆt nµy, ký hiÖu: t1, t2, t3,…, tn. C¸c phÇn tö ®­îc chän ®Ó tÝnh to¸n c¸c nhiÖt ®é trªn lµ tÊm ph¼ng réng cã diÖn tÝch bÒ mÆt 1 m x 1 m, bÒ dµy x/2 t¹i c¸c mÆt trªn cïng vµ d­íi cïng, bÒ dµy x t¹i c¸c líp bªn trong cña tÊm. Thø tù phÇn tö lµ i = 1, 2, 3,…, n. B­íc thêi gian chän lµ víi chØ sè ch¹y m = 1, 2, 3… phÇn tö 1 phÇn tö 2 phÇn tö 3 phÇn tö n - 1 phÇn tö na phÇn tö nb phÇn tö 4 ®Õn (n – 2) mÆt 1, t1 mÆt 2, t2 mÆt 3, t3 mÆt 4 ®Õn (n – 2) mÆt n, tn mÆt n – 1, tn-1 VËt liÖu 1 VËt liÖu 2 tN = const H×nh 1. Chia kho¶ng vµ chän phÇn tö tÝnh to¸n trong tÊm ph¼ng Ph­¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cña c¸c phÇn tö: XÐt c¸c phÇn tö t¹i thêi ®iÓm (m+1): PhÇn tö 1: dµy Dx/2, l­îng nhiÖt nhËn ®­îc sau thêi gian do to¶ nhiÖt víi kh«ng khÝ q0: q0 = a . ( tK m+1 - t1 m+1). , (8) tkm+1 t2m+1 PhÇn tö 1 PhÇn tö 2 H×nh 2. C©n b»ng n¨ng l­îng t¹i phÇn tö 1 MÆt d­íi nhËn dßng nhiÖt q2 tõ phÇn tö 2: q2 = .( t2m+1 - t1m+1 ). , (9) L­îng nhiÖt nhËn ®­îc lµm t¨ng néi n¨ng cña phÇn tö: .(t1 m+1 - t1 m) , (10) Theo ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l­îng ta cã: a . ( tK m+1 - t1 m+1). + .( t2m+1 - t1m+1 ). = .(t1 m+1 - t1 m), (11) PhÇn tö 2: mÆt trªn nhËn nhiÖt q1 do dÉn nhiÖt tõ phÇn tö 1, mÆt d­íi nhËn nhiÖt q3 do phÇn tö 3 truyÒn lªn. phÇn tö 1 phÇn tö 3 phÇn tö 2 t1m+1 t2m+1 t3m+1 q1 = .(t1m+1 – t2m+1). q3 = .(t1m+1 – t2m+1). H×nh 3. C©n b»ng n¨ng l­îng t¹i phÇn tö 2 T­¬ng tù ta cã: . ( t 1m+1 – t2 m+1). + .( t3m+1 – t2m+1 ). = .(t2 m+1 – t2 m), (12) T­¬ng tù nh­ trªn, tõ phÇn tö 3 ®Õn phÇn tö (n – 1) ta cã: . ( t i - 1m+1 – ti m+1). + .( ti + 1m+1 – t2m+1 ). = .(ti m+1 – ti m), (13) PhÇn tö n gåm 2 phÇn tö cã bÒ dµy Dx/2 lµm b»ng vËt liÖu kh¸c nhau, mçi phÇn tö t­¬ng tù nh­ phÇn tö 1. Ph­¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt viÕt chung cho 2 phÇn tö nµy: . ( t n - 1m+1 – tn m+1). + .( tNm+1 – tnm+1 ). = (.(tn m+1 – tn m), (14) §Æt: Fo = a.Dt / (Dx)2 ; Bi = a. Dx/ l . Sau khi biÕn ®æi (11), (12), (13), (14) sÏ ®­îc : ( 1 + 2.Fo + 2Fo.Bi ) t1m +1 - 2.Fo. t2m +1 = t1m + 2Fo.Bi.tKm, (15) - Fo.ti-1m +1 + ( 1+ 2Fo).tim +1 - Fo.ti +1m +1 = t1m, (16) - 2. Fo. tn – 1 m+1 + [ 2. Fo ( 1 + ) + 1 ] tnm +1 = tnm + 2. Fo. tN , (17) HÖ ph­¬ng tr×nh (15), (16), (17) gåm n phÇn tö bËc nhÊt, trong ®ã vÕ tr¸i chøa c¸c nhiÖt ®é ph¶i t×m ë thêi ®iÓm m +1 t¹i n vÞ trÝ, vÕ ph¶i cã nhiÖt ®é ë thêi ®iÓm m t¹i n vÞ trÝ, ®¹i l­îng kh«ng khÝ vµ ®¹i l­îng kh¸c ®Òu ®· biÕt. 2.2. Ph­¬ng ph¸p ma trËn nghÞch ®¶o HÖ ph­¬ng tr×nh trªn viÕt ë d¹ng chung nh­ sau: a11t1m+1 + a12t2m+1 + a13t3m+1 + .....+ a1ntnm+1 = C1m +1 a21t1m+1 + a22t2m+1 + a23t3m+1 + .....+ a2ntnm+1 = C2m +1 ....................................................... (18) an1t1m+1 + an2 t2m+1 + an3t3m+1 + .....+ anntnm+1 = Cnm +1 Trong ®ã : + aij : c¸c hÖ sè nhiÖt ®é ®­îc x¸c ®Þnh theo Fo , Bi , lN , l ®· biÕt; + Cjm +1: hÖ sè tù do cña mçi ph­¬ng tr×nh ®­îc x¸c ®Þnh theo nhiÖt ®é t¹i thêi ®iÓm tr­íc; + tjm+1: c¸c nhiÖt ®é ph¶i t×m ë thêi ®iÓm sau (m+1). HÖ (17) khi viÕt ë d¹ng vÐc t¬ sÏ lµ: [aij]. [tjm+1] = [Cjm +1], (19) Tõ ®ã sÏ rót ra ®­îc : [tjm+1] = [Cjm +1]* [aij] – 1, (20) Trong ®ã [aij] - 1: ma trËn nghÞch ®¶o cña [aii]. 3. Kh¶o s¸t sù thay ®æi nhiÖt ®é cña tÊm bªt«ng b»ng ph­¬ng ph¸p SPHH 3.1. Th«ng sè ban ®Çu a. Kh¶o s¸t tÊm bªt«ng mÆt ®­êng d = 30 cm, L = 7,5m; l = 1,265 W/m.®é; r = 2200 kg/m3; c = 1215 J/kg.®é; a = 4,73.10 -7 m2/s. TÊm bªt«ng ®­îc chia lµm 12 líp, mçi líp dµy Dx = d/ 2 = 0,3/ 12 = 0,025m. ChØ sè biÓu thÞ mÆt c¸c líp: 1, 2, 3, 4,… 12, 13. Víi i =1 lµ mÆt trªn cïng, i = 13 lµ mÆt d­íi cïng. b. Th«ng sè tr¹ng th¸i cña kh«ng khÝ NhiÖt ®é trung b×nh ngµy ®ªm: tKTB = t. dt/ 24 = 28,8 0C; g = 16.10 -6 m2/s; l = 2,67 .10- 2 W/m.®é, Pr = 0,7; Tèc ®é giã trung b×nh mïa hÌ = 2,4 m/s. Ph­¬ng tr×nh tiªu chuÈn to¶ nhiÖt : Nu = 0,032. Re0,8 hÖ sè to¶ nhiÖt: a = Nu. l/L = 7,89 W/m2.®é c . NÒn ®­êng C¸c tÝnh chÊt nhiÖt t­¬ng tù nÒn ®Êt phÝa d­íi: lN = 0,52 W/m.®é; r = 2050 kg/m3; c = 1840 J/kg.®é; a = 1,38.10 -7 m2/s. NhiÖt ®é trong nÒn ®Êt ë ®é s©u cã dao ®éng t¾t h¼n ®­îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc: x = 1,6 ( p.a,To )0,5 , víi To chu kú dao ®éng. VËy ®é s©u nÒn ®Êt cã nhiÖt ®é 28,8 0C lµ: x = 1,6 (p. 0,138. 10-6. 24.360 )0,5 = 0,3095m Chän ®é s©u nÒn ®Êt x0 = 0,325 m , cã nhiÖt ®é nÒn ®Êt : t N = 28,8 0C = const. d. §iÒu kiÖn ban ®Çu Do ®Æc ®iÓm cña (20) lµ cã tÝnh liªn hoµn vµ ®iÒu kiÖn biªn lËp l¹i theo chu kú nªn cã thÓ chän nhiÖt ®é ban ®Çu mét gi¸ trÞ tuú ý. Chän nhiÖt ®é ban ®Çu (m = 0) cña toµn bé tÊm bªt«ng lµ 28,80C: tim = 0 = t10 = t20 = t30 = ..... = t120 = t130 = 28,8 0C Chän b­íc thêi gian kh¶o s¸t Dt = 1h = 3600s . Thay c¸c gi¸ trÞ trªn vµo c¸c ®¹i l­îng trong hÖ sè cña nhiÖt ®é sÏ ®­îc : + Bi = a.Dx/l = 7,89´0,025/1,265 = 0,15 + Fo = a. Dt/(Dx)2 = 4,73.10-7.3600/(0,025)2 = 2,725 + lN/l = 0,041; tN = 28,8 0C 3.2. Thµnh lËp ph­¬ng tr×nh nhiÖt ®é a. Ph­¬ng tr×nh nhiÖt ®é t¹i mÆt trªn Thay gi¸ trÞ tõ b, d (3.1) tõ trªn vµo (15) ta cã : 8,085. t1m +1 - 5,45. t2m +1 = t1m + 1,635. tKm +1, (21) b.Ph­¬ng tr×nh nhiÖt ®é t¹i c¸c ®iÓm trong tÊm bªt«ng Thay c¸c gi¸ trÞ tõ d (3.1) vµo (16) ta cã: - 2,725. ti-1m +1 + 6,45 tim +1 - 2,725.tm +1 = tim +1 , (22) c. Ph­¬ng tr×nh nhiÖt ®é t¹i mÆt d­íi Thay gi¸ trÞ c¸c ®¹i l­îng tõ c, d (3.1) vµo (17) ta cã: - 5,45 t12m +1 + 8,69. t13m +1 = t13m + 64,51, (23) 3.3. HÖ ph­¬ng tr×nh nhiÖt ®é , c¸c ma trËn t¹i mçi thêi ®iÓm : Thµnh phÇn 1,635. tKm +1 cña ma trËn cét hÖ sè ë c¸c thêi ®iÓm trong ngµythÓ hiÖn b¶ng1. Chän thêi ®iÓm m = 0 lµ lóc nhiÖt ®é kh«ng khÝ b»ng nhiÖt ®é trung b×nh ngµy 28,80C vµo 20 h. Khi ®ã : ti1 =28,80C ( i = 1, 2, 3 ...,13). Ma trËn cét hÖ sè Ci1 cã gi¸ trÞ thÓ hiÖn b¶ng 2. [tj1] = I * [Cj1], (24) Tõ c¸c gi¸ trÞ [tj1] ®· nhËn ®­îc , tÝnh ra [Cj2] : t11 + 46,43 t21 [Cj2] = t31 ..... t131+ 64,51 Tõ ®ã sÏ tÝnh [tj2] : [tj2] = I *[Cj2], (25) NhiÖt ®é t¹i c¸c thêi ®iÓm sau tiÕp tôc ®­îc x¸c ®Þnh bëi : [tjm +1] = I * [Cjm +1], (26) Qu¸ tr×nh tÝnh to¸n ®­îc tiÕn hµnh cho tíi khi nµo c¸c gi¸ trÞ cña [tim] trong vßng mét chu kú (tøc m thay ®æi 24 b­íc) l¹i lËp l¹i gi¸ trÞ cò th× sÏ dõng. B¶ng 1 m m m m m Giê trong ngµy tKK I I.e /a tKm +1 1,635 tKm +1 0 24 48 72 96 20 28,80 0,0 0 28,80 47,08 1 25 49 73 97 21 28,40 0,0 0 28,40 46,43 2 26 50 74 98 22 28,20 0,0 0 28,20 46,1 3 27 51 75 99 23 27,60 0,0 0 27,60 45,13 4 28 52 76 100 24 27,20 0,0 0 27,20 44,47 5 29 53 77 101 1 27,00 0,0 0 27,00 44,14 6 30 54 78 102 2 26,80 0,0 0 26,80 43,81 7 31 55 79 103 3 26,50 0,0 0 26,50 43,32 8 32 56 80 104 4 26,40 0,0 0 26,40 43,16 9 33 57 81 105 5 26,30 0,0 0 26,30 43 10 34 58 82 106 6 26,50 34,9 0,87 29,39 48,02 11 35 59 83 7 27,20 209,3 17,24 44,44 72,65 12 36 60 84 8 27,70 407,1 33,53 61,53 100,6 13 37 61 85 9 28,50 610,6 50,3 78,80 128,84 14 38 62 86 10 28,40 779,2 64,19 93,59 153,05 15 39 63 87 11 30,10 896,5 75,77 105,87 173,09 16 40 64 88 12 30,70 930,4 76,65 107,35 175,52 17 41 65 89 13 31,30 872,3 71,85 103,15 168,65 18 42 66 90 14 31,80 744,3 61,32 93,12 152,25 19 43 67 91 15 32,00 593,1 48,86 80,86 132,2 20 44 68 92 16 31,70 401,2 33,04 67,74 105,85 21 45 69 93 17 31,30 203,5 16,77 48,07 78,59 22 46 70 94 18 30,20 58,2 4,79 34,99 57,2 23 47 71 95 19 29,60 0,0 0 29,60 48,39 B¶ng 2 C11 C11= t10 + 1,635 tSK1 = 28,8 + 46,43 C21 C21= t20 = 28,8 Ci1 = C31 = C31= t30 = 28,8 ...... ............ C131 C131= t130 + 64. 51 = 28,8 + 64. 51 Tõ (21): 8,085.t11 - 5,45. t2 + 0.t31 + .... = 28,8 + 46,43 Tõ (22): - 2,725.t1 1 + 6,45 t21 - 2,725.t 31 = 28,8 0.t11 - 2,725.t2 1 + 6,44 .t31 - 2,725.t 41 + 0.t51 + ... = 28,8 0.t11 + 0. t21 - 2,725.t3 1 + 6,45 t41 - 2,725.t 51 = 28,8 ........................................ 0.t11 + 0.t21 + .... - 2,725.t11 1 + 6,45 t121 - 2,725.t 131 = 28,8 Tõ (23): 0.t11 + 0.t21 + ... - 5,45 t12m +1 + 8,69. t13m +1 = 28,8 + 64,51 C¸c hÖ sè cña nhiÖt ®é ®­îc xÕp thµnh mét ma trËn vu«ng [aij] thÓ hiÖn b¶ng 3. Tõ ®ã tÝnh ®­îc nhiÖt ®é t¹i thêi ®iÓm 1 víi m = 0 : B¶ng 3 j = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 i = 1 8,80 -5,45 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 -2,72 6,45 -2,72 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 6,45 -2,72 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 -2,72 6,45 -2,72 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 -2,72 6,45 -2,72 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 -2,72 6,45 -2,72 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 -2,72 6,45 -2,72 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 -2,72 6,45 -2,72 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 -2,72 6,45 -2,72 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 -2,72 6,45 -2,72 0 0 11 0 0 0 0 0 0 0 0 -2,72 6,45 -2,72 0 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2,72 6,45 -2,72 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -5,45 8,69 3.5. Ph©n tÝch kÕt qu¶ tÝnh to¸n : KÕt qu¶ tÝnh to¸n nhiÖt ®é tÊm bªt«ng t¹i 106 thêi ®iÓm thÓ hiÖn qua b¶ng phÇn phô lôc. Qua ®ã ta thÊy nhiÖt ®é t¹i c¸c ®iÓm trong bªt«ng dÇn héi tô tíi gi¸ trÞ cè ®Þnh. a. Thay ®æi nhiÖt ®é t¹i mÆt trªn tÊm bª t«ng Gi¸ trÞ nhiÖt ®é t¹i bÒ mÆt trªn ( i = 1) theo 105 thêi ®iÓm ( tõ m = 0 ®Õn m = 104) biÓu thÞ trªn ®å thÞ sÏ ®­îc quy luËt thay ®æi nhiÖt ®é t¹i bÒ mÆt tÊm bªt«ng nh­ h×nh 4. H×nh 4.Thay ®æi nhiÖt ®é t¹i mÆt trªn tÊm bªt«ng sau 105 thêi ®iÓm Tõ ®å thÞ h×nh 4 rót ra nhËn xÐt sau : + Thay ®æi nhiÖt ®é t¹i mÆt trªn cïng cña tÊm bª t«ng lµ hµm chu kú, nh­ng râ rµng kh«ng ph¶i lµ hµm tuÇn hoµn, nghÜa lµ kh«ng thÓ biÓu thÞ bëi hµm sè sin cña thêi gian t; + NhiÖt ®é t¹i mçi ®iÓm ë cïng thêi ®iÓm t­¬ng øng trong chu kú t¨ng dÇn tíi gi¸ trÞ æn ®Þnh; + D¹ng dao ®éng cña nhiÖt ®é nh­ nhau trong mçi chu kú. + Chu kú cuèi tøc sau bèn ngµy gi¸ trÞ nhiÖt ®é sÏ ®­îc lËp l¹i theo cïng mét quy luËt b. Thay ®æi nhiÖt ®é t¹i mÆt trªn trong hai chu kú cuèi BiÓu thÞ c¸c gi¸ trÞ nhiÖt ®é t¹i hai chu kú cã cïng thêi ®iÓm t­¬ng øng trong chu kú, thÊy r»ng chóng trïng nhau (h×nh 5). Tõ ®å thÞ h×nh 5 rót ra nhËn xÐt: + Tõ chu kú thø 3 trë ®i, thay ®æi nhiÖt ®é trong tÊm bªt«ng tu©n theo mét quy luËt nhÊt ®Þnh. Tuy nhiªn ®Ó b¶o ®¶m ch¾c ch¾n chóng t«i chän chu kú thø t­ lµ chu kú ®iÓn h×nh ®Æc tr­ng cho thay nhiÖt ®é trong ngµy cña tÊm bªt«ng; + Thay ®æi nhiÖt ®é theo thêi gian trong ngµy t¹i mÆt trªn cïng lµ hµm tuÇn hoµn kh«ng ph¶i lµ hµm ®iÒu hoµ nghÜa lµ kh«ng thÓ biÓu diÔn bëi hµm sin ®¬n thuÇn. H×nh 5. Thay ®æi nhiÖt ®é t¹i mÆt trªn tÊm bªt«ng 2 chu kú cuèi. c. Thay ®æi nhiÖt ®é t¹i mÆt d­íi cïng LÊy gi¸ trÞ nhiÖt ®é t¹i mÆt d­íi cïng ( i = 13) biÓu thÞ trªn ®å thÞ h×nh 6 sÏ ®­îc d¹ng dao ®éng nhiÖt ®é nh­ h×nh 6. Tõ h×nh ®å thÞ 6 rót ra nhËn xÐt: + NhiÖt ®é mÆt d­íi cïng lóc ®Çu t¨ng nhanh sau chËm l¹i tíi gi¸ trÞ æn ®Þnh ë cïng thêi gian t­¬ng øng trong mét chu kú cè ®Þnh; + D¹ng dao ®éng nhiÖt ®é sau hai chu kú ®Çu tiÕn dÇn tíi d¹ng dao ®éng ®iÒu hoµ; + ë c¸c chu kú sau nhiÖt ®é thay ®æi theo d¹ng dao ®éng ®iÒu hoµ; + Chu kú thø 4 trë ®i, nhiÖt ®é thay ®æi theo cïng mét quy luËt. Tõ nhËn xÐt a vµ b thÊy chu kú thay ®æi nhiÖt thø 4 ®¹i diÖn cho quy luËt thay ®æi nhiÖt ®é cña tÊm bªt«ng trong ngµy. Bëi vËy cÇn kh¶o s¸t kü ë chu kú nµy . H×nh 6. Thay ®æi nhiÖt ®é t¹i mÆt d­íi cïng sau 105 thêi ®iÓm d. Thay ®æi nhiÖt ®é t¹i c¸c líp trong mét chu kú ®iÓn h×nh: BiÓu thÞ c¸c trÞ sè nhiÖt ®é trong tÊm bªt«ng t¹i 5 mÆt cã thø tù i = 1; i = 4; i = 7; i = 10; i =13 cïng thêi ®iÓm t­¬ng øng trong mét chu kú ngµy ®ªm tõ thêi ®iÓm m = 80 ®Õn m =104 trªn ®å thÞ nh­ sau, h×nh 7. Tõ ®å thÞ h×nh 7 rót ra nhËn xÐt: + Biªn ®é dao ®éng nhiÖt ®é cña c¸c líp trong tÊm bªt«ng gi¶m dÇn tõ mÆt trªn cïng ®Õn mÆt d­íi cïng; + Thêi ®iÓm ®¹t trÞ sè nhiÖt ®é cùc ®¹i chËm dÇn tõ mÆt trªn cïng qua c¸c líp gi÷a, ®Õn mÆt d­íi cïng nhiÖt ®é ®¹t cùc ®¹i muén nhÊt; + D¹ng dao ®éng cña nhiÖt ®é t¹i mÆt trªn kh«ng ph¶i h×nh sin, nh­ng cµng vµo s©u trong tÊm bªt«ng, d¹ng dao ®éng nhiÖt ®é cµng tiÕn tíi h×nh sin. H×nh 7. Thay ®æi nhiÖt ®é t¹i c¸c líp trong mét chu kú ®iÓn h×nh 4. KÕt luËn Tõ viÖc kh¶o s¸t tÊm bªt«ng dµy 30 cm víi c¸ch chän b­íc to¹ ®é Dx = 2,5 cm b­íc thêi gian Dt = 1h, trong ®iÒu kiÖn cô thÓ cña bµi to¸n cã thÓ rót ra nh÷ng kÕt luËn sau: + Do ¶nh h­ëng trùc tiÕp cña nhiÖt ®é kh«ng khÝ vµ bøc x¹ mÆt trêi, nhiÖt ®é mÆt trªn cïng cña tÊm bªt«ng dao ®éng theo hµm tuÇn hoµn, kh«ng ph¶i hµm ®iÒu hoµ. Ng­îc l¹i, nhiÖt ®é t¹i mÆt d­íi cïng cña tÊm bªt«ng biÕn ®æi theo hµm ®iÒu hoµ. Hai dao ®éng trªn cã cïng chu kú víi dao ®éng nhiÖt ®é kh«ng khÝ vµ bøc x¹ mÆt trêi lµ mét ngµy ®ªm; + Biªn ®é dao ®éng nhiÖt ®é cña c¸c líp trong tÊm bªt«ng gi¶m dÇn tõ mÆt trªn cïng ®Õn mÆt d­íi cïng. Thêi ®iÓm nhiÖt ®é cùc ®¹i t¹i mÆt trªn cïng vµo 12 h tr­a, qua c¸c líp gi÷a thêi ®iÓm nhiÖt ®é cùc chËm dÇn, ®Õn mÆt d­íi cïng nhiÖt ®é ®¹t cùc ®¹i muén nhÊt. D¹ng dao ®éng cña nhiÖt ®é t¹i mÆt trªn kh«ng ph¶i h×nh sin, nh­ng cµng vµo s©u trong tÊm bªt«ng , d¹ng dao ®éng nhiÖt ®é cµng tiÕn tíi d¹ng h×nh sin; C¸c kÕt qu¶ nhËn ®­îc ë trªn hoµn toµn phï hîp víi c¸c ®Ò suÊt trong lý thuyÕt vÒ ®Æc tÝnh nhiÖt dao ®éng cña vËt liÖu x©y dùng. §ã lµ kh¶ n¨ng lµm gi¶m biªn ®é, lµm chËm pha cña dao déng nhiÖt ®é vµ läc dao ®éng kh«ng ®iÒu hoµ thµnh ®iÒu hoµ. Tõ ®ã thÊy r»ng nÕu chän Dt < 1h , th× nhiÖt ®é cùc ®¹i mÆt trªn tÊm sÏ xuÊt hiÖn muén h¬n 12 h; + §é chªnh nhiÖt ®é gi÷a hai mÆt trªn vµ d­íi cña tÊm x¶y ra vµo 12h, lóc ®ã øng suÊt nhiÖt c­ìng bøc lµ lín nhÊt vµ cã xu h­íng g©y uèn vång; + Trong mét ngµy ®ªm ®­êng ph©n bè nhiÖt ®é trong tÊm bªt«ng lu«n lµ nh÷ng ®­êng cong cã ®é cong vµ chiÒu cong biÕn ®æi liªn tôc, bëi vËy trong tÊm bªt«ng lu«n tån t¹i øng suÊt nhiÖt riªng. C¸c øng suÊt riªng nµy biÕn ®æi lu©n phiªn vµ ng­îc chiÒu nhau t¹o thµnh c¸c miÒn kÐo gi·n trong tÊm bªt«ng g©y nªn hiÖn t­îng mái nhiÖt l©u dÇn sÏ gãp phÇn lµm tÊm bªt«ng xuÊt hiÖn r¹n nøt; + Ph­¬ng ph¸p tÝnh trªn cã thÓ ¸p dông ®Ó kh¶o s¸t tr¹ng th¸i nhiÖt vµ ®Æc ®iÓm øng suÊt riªng ®èi víi c¸c d¹ng cÊu kiÖn kh¸c, trong ®iÒu kiÖn khÝ hËu biÕn ®æi kh¸c nhau.