Chuyên đề Phương pháp tọa độ trong không gian

CHUYEÂN ÑEÀ 9 PHÖÔNG PHAÙP TOÏA ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN Caùc baøi toaùn veà toïa ñoä trong khoâng gian thöôøng coù caùc yeâu caàu xaùc ñònh toïa ñoä cuûa ñieåm, vectô, ñoä daøi ñoaïn thaúng, tính goùc 2 vectô, caùc vaán ñeà veà maët phaúng vaø ñöôøng thaúng trong khoâng gian (phöông trình, vò trí töông ñoái, song song, vuoâng goùc, soá ño goùc, khoaûng caùch,… ). Tuøy theo töøng tröôøng hôïp ta caàn löu yù vaän duïng caùc kieán thöùc cô baûn sau ñaây : I. Toaï ñoä ñieåm. Toaï ñoä vectô Trong khoâng gian toïa ñoä vuoâng goùc Oxyz coù 3 vectô ñôn vò treân ba truïc Ox, Oy, Oz laàn löôït laø , , . 1e G G G JJJJG G 2e 3e * Cho M(x, y, z) thì OM = x. + y.1e 2e G + z. 3e G . * Cho a = (a1, a2, a3) thì a = a1. G G 1e G + a2. 2e G + a3. 3e G . II. Caùc pheùp toaùn treân toïa ñoä ñieåm, vectô 1. Caùc pheùp toaùn treân toïa ñoä ñieåm Cho hai ñieåm A(x1, y1, z1) vaø B(x2, y2, z2). Ta coù nhoùm coâng thöùc tính toïa ñoä vectô AB JJJG , khoaûng caùch giöõa hai ñieåm A, B vaø toïa ñoä ñieåm M laø chia ñoaïn AB theo tæ soá k ≠ 1 * AB JJJG = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) * AB JJJG = ( ) ( ) ( )2 22 1 2 1 2 1x x y y z z− + − + − 2 * ( x = 1 1 x kx k − − 2 , y = 1 1 y ky k − − 2 , z = 1 2 1 z kz k − − ) 2. Caùc pheùp toaùn treân toïa ñoä vectô Cho hai vectô a = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3). Vôùi G Gb α vaø β laø 2 soá thöïc ta coù caùc coâng thöùc tính vaø coâng thöùc quan heä sau : a) Coâng thöùc tính toaùn . + β . = (α .a1 + .b1, .a2 + α aG G b β α β .b2, α .a + 3 β .b ) 3 aG . b = a1.b1 + a2.b2 + a 3 .b 3 G ) cos = n(a,bGG 1 1 2 2 3 32 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 a .b a .b a .b a a a . b b b + + + + + + 2 b) Coâng thöùc quan heä 1 = aG b G ⇔ 1 1 2 2 3 3 a b a b a b =⎧⎪ =⎨⎪ =⎩ cuøng phöông aG b G ⇔ ( 1 1 a b = 2 2 a b = 3 3 a b ) (b1, b2, b 3 ≠ 0) ⊥ a1.b1 + a2.b2 + a .b = 0 aG G b ⇔ 3 3 Chuù yù : Goùc hai ñöôøng thaúng cheùo nhau trong khoâng gian laø goùc nhoïn taïo bôûi hai vectô chæ phöông cuûa 2 ñöôøng thaúng ñoù. MAËT PHAÚNG I. Phöông trình maët phaúng 1.* Phöông trình tham soá cuûa maët phaúng α qua M(x0, y0, z0) coù caëp vectô chæ phöông aG = (a1, a2, a 3 ), G = (b1, b2, b ) vieát laø : b 3 t1, t2 0 1 1 2 1 0 1 2 2 0 1 3 2 3 x x t a t b y y t a t b z z t a t b = + +⎧⎪ = + +⎨⎪ = + +⎩ 2 ∈ R 2.* Phöông trình toång quaùt cuûa maët phaúng α laø : Ax + By + Cz + D = 0 vôùi A2 + B2 + C2 > 0 Maët phaúng α coù : phaùp vectô : nG = (A, B, C) 3.* Phöông trình maët phaúng qua M(x0, y0, z0) vaø vuoâng goùc vôùi vectô nG G G = (A, B, C) vieát laø : (x – x0)A + (y – y0)B + (z – z0)C = 0 4.* Phöông trình maët phaúng qua M(x0, y0, z0) vaø nhaän 2 vectô chæ phöông a = (a1, a2, a ), = (b1, b2, b 3 ) vieát laø 3 b ( ) ( ) ( )2 3 3 1 1 20 0 2 3 3 1 1 2 0 a a a a a a x x y y z z b b b b b b − + − + − =0 . 5.* Phöông trình maët phaúng caét ba truïc toïa ñoä taïi A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c) vôùi a.b.c ≠ 0 vieát laø : x a + y b + z c = 1 II. Toaùn treân maët phaúng 1. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät maët phaúng Khoaûng caùch töø M(x0, y0, z0) ñeán 2 α : Ax + By + Cz + D = 0 laø : MH = 0 0 0 2 2 2 Ax By Cz D A B C + + + + + 2. Vò trí töông ñoái giöõa hai maët phaúng Cho hai maët phaúng α , β coù 2 phaùp vectô laàn löôït laø nG = (A, B, C), = (A1, B1, C1) 1n G Vò trí giöõa hai maët phaúng , laø vò trí giöõa 2 phaùp vectô α β nG , 1nG : // β // α ⇔ nG G G 1n α ⊥ β ⇔ n ⊥ 1nG caét β khaùc phöông α ⇔ nG 1nG ÑÖÔØNG THAÚNG I. Phöông trình ñöôøng thaúng 1.* Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng Δ qua M(x0, y0, z0) coù vectô chæ phöông a G = (a1, a2, a ) vieát laø 3 0 1 0 0 3 2 x x ta y y ta z z ta = +⎧⎪ = +⎨⎪ = +⎩ ,t ∈ R (Heä I). Neáu a1.a2.a3 ≠ 0 ta coù phöông trình chính taéc laø: x x a y y a z z a − = − = −0 1 0 2 0 3 2.* Phöông trình toång quaùt cuûa ñöôøng thaúng Δ xaùc ñònh bôûi giao tuyeán 2 maët phaúng α vaø β vieát laø : 1 1 1 1 0 0 Ax By Cz D ( ) A x B y C z D ( ) + + + = α⎧⎨ + + + =⎩ β (II) Ghi chuù: Cho phöông trình ñöôøng thaúng Δ xaùc ñònh bôûi heä (II). Ñeå vieát thaønh phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng ta coù theå ñaët z = t vaø tính x, y theo t töø heä (II) vaø nhôø heä (I) ta coù ñöôïc vectô chæ phöông vaø ñieåm cuûa (hoaëc x = t, Δ hoaëc y = t, neân choïn löïa aån phuï t ñeå pheùp tính hai bieán coøn laïi theo t ñöôïc ñôn giaûn). 3.*Phöông trình maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng (d) : A x B y C z D A x B y C z D 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 + + + = + + + = ⎧⎨⎩ 3 Coù daïng : m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (*) vôùi m, n khoâng ñoàng thôøi baèng 0. Phöông trình (*) goïi laø phöông trình cuûa chuøm maët phaúng xaùc ñònh bôûi ñöôøng thaúng (d). Chuù yù :Neáu m= 0 thì n khaùc 0, chia hai veá cuûa (*) cho n ta coù (*) thaønh A2x + B2y + C2z + D2 = 0 Neáu m khaùc 0 chia hai veá cuûa (*) cho m ta coù: A1x + B1y + C1z + D1 + h (A2x + B2y + C2z + D2) = 0 vôùi nh m = . Vaäy chuøm maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng (d) coù daïng: A1x + B1y + C1z + D1 + h (A2x + B2y + C2z + D2) = 0. hay A2x + B2y + C2z + D2 = 0. Vaán ñeà 1 TÌM PHÖÔNG TRÌNH MAËT PHAÚNG ¾ Phöông phaùp : Thoâng thöôøng ta coù 3 caùch sau : - Caùch 1 : Tìm moät ñieåm vaø moät caëp vectô chæ phöông cuûa maët phaúng. - Caùch 2 : Tìm moät ñieåm vaø moät phaùp vectô cuûa maët phaúng. - Caùch 3 : Duøng phöông trình chuøm maët phaúng. Vaán ñeà 2 : TÌM PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG THAÚNG ¾ Phöông phaùp : Thoâng thöôøng ta coù 2 caùch sau : - Caùch 1 : Tìm moät ñieåm vaø moät vectô chæ phöông cuûa ñöôøng thaúng. - Caùch 2 : Tìm phöông trình toång quaùt cuûa 2 maët phaúng phaân bieät cuøng chöùa ñöôøng thaúng caàn tìm. - Ghi chuù : Trong 2 caùch, thöïc chaát cuûa vieäc tìm phöông trình ñöôøng thaúng laø tìm phöông trình 2 maët phaúng cuøng chöùa ñöôøng thaúng aáy. Caùi khoù laø phaûi xaùc ñònh ñöôïc 2 maët phaúng phaân bieät naøo cuøng chöùa ñöôøng thaúng caàn tìm. Thoâng thöôøng ta hay gaëp 3 giaû thuyeát sau : + Ñöôøng thaúng (Δ) ñi qua ñieåm A vaø caét ñöôøng thaúng d : Khi ñoù ñöôøng thaúng (Δ) naèm trong maët phaúng ñi qua A vaø chöùa d. + Ñöôøng thaúng (Δ) ñi qua ñieåm A vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d : Khi ñoù ñöôøng thaúng (Δ) naèm trong maët phaúng ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi d. + Ñöôøng thaúng (Δ) song song vôùi d1 vaø caét d2 : Khi ñoù ñöôøng thaúng (Δ) naèm trong maët phaúng chöùa d2 vaø song song vôùi d1. Chaúng haïn : 1. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng (Δ) ñi qua ñieåm A, vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng a vaø caét ñöôøng thaúng aáy. ª Caùch giaûi : - (Δ) ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi d neân (Δ) naèm trong maët phaúng α ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi d. - (Δ) ñi qua A vaø caét d neân (Δ) naèm trong maët phaúng β ñi qua A vaø chöùa d. Khi ñoù (Δ) chính laø giao tuyeán cuûa α vaø β. 2. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng (Δ) ñi qua ñieåm A vaø caét caû hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2. ª Caùch giaûi : - (Δ) ñi qua A vaø caét d1 neân (Δ) naèm trong maët phaúng α ñi qua A vaø chöùa d1. 4 - (Δ) ñi qua A vaø caét d2 neân (Δ) naèm trong maët phaúng β ñi qua A vaø chöùa d2. Khi ñoù (Δ) chính laø giao tuyeán cuûa α vaø β. 3. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng (Δ) ñi qua giao ñieåm A cuûa ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng α, vuoâng goùc vôùi d vaø naèm trong α. ª Caùch giaûi : - Töø giaû thuyeát ta ñaõ coù (Δ) ⊂ α. - (Δ) qua A vaø vuoâng goùc vôùi d neân (Δ) naèm trong maët phaúng β ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi d. Khi ñoù (Δ) chính laø giao tuyeán cuûa α vaø β. 4. Laäp phöông trình ñöôøng thaúng (Δ) song song vôùi ñöôøng thaúng (D) vaø caét 2 ñöôøng thaúng d1 vaø d2. ª Caùch giaûi : - (Δ) song song vôùi (D) vaø caét d1 neân (Δ) naèm trong maët phaúng α chöùa d1 vaø song song vôùi (D). - (Δ) song song vôùi (D) vaø caét d2 neân (Δ) naèm trong maët phaúng β chöùa d2 vaø song song vôùi (D). Khi ñoù (Δ) chính laø giao tuyeán cuûa α vaø β. Vaán ñeà 3 HÌNH CHIEÁU Baøi toaùn 1 : Tìm hình chieáu vuoâng goùc H cuûa ñieåm A treân ñöôøng thaúng (d) ¾ Phöông phaùp : (d) A H - Caùch 1 : (d) cho bôûi phöông trình tham soá : + H ∈ (d) suy ra daïng toïa ñoä cuûa ñieåm H phuï thuoäc vaøo tham soá t. + Tìm tham soá t nhôø ñieàu kieän ⊥ a AH→ d → - Caùch 2 : (d) cho bôûi phöông trình chính taéc, goïi H(x, y, z) + AH → ⊥ a (*) d → + H ∈ (d) : Bieán ñoåi tæ leä thöùc naøy ñeå duøng ñieàu kieän (*), töø ñoù tìm ñöôïc x, y, z. - Caùch 3 : (d) cho bôûi phöông trình toång quaùt : + Tìm phöông trình maët phaúng α ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng (d). + Giao ñieåm cuûa (d) vaø (α) chính laø hình chieáu H cuûa A treân (d). Baøi toaùn 2 : Tìm hình chieáu vuoâng goùc H cuûa ñieåm A treân maët phaúng (α) - Caùch 1 : Goïi H(x, y, z) + H ∈ α (*) + AH → cuøng phöông vôùi : Bieán ñoåi tæ leä thöùc naøy ñeå duøng ñieàu kieän (*), töø ñoù tìm ñöôïc x, y, z. nα → - Caùch 2 : + Tìm phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (α). + Giao ñieåm cuûa (d) vaø (α) chính laø hình chieáu H cuûa A treân maët phaúng (α). 5 Baøi toaùn 3 : Tìm hình chieáu vuoâng goùc (Δ) cuûa ñöôøng thaúng (d) xuoáng maët phaúng α. - Tìm phöông trình maët phaúng β chöùa ñöôøng thaúng d vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng α. - Hình chieáu (Δ) cuûa d xuoáng maët phaúng α chính laø giao tuyeán cuûa α vaø β. Baøi toaùn 4 : Tìm hình chieáu H cuûa A theo phöông ñöôøng thaúng (d) leân maët phaúng (α). ¾ Phöông phaùp : - Tìm phöông trình ñöôøng thaúng (Δ) ñi qua A vaø song song vôùi (d). - Hình chieáu H chính laø giao ñieåm cuûa (Δ) vaø (α). Baøi toaùn 5 : Tìm hình chieáu (Δ) cuûa ñöôøng thaúng (d) theo phöông cuûa ñöôøng thaúng (D) leân maët phaúng (α). (Δ) A H (d) ¾ Phöông phaùp : (D) d (Δ) - Tìm phöông trình maët phaúng (β) chöùa (d) vaø song song vôùi (D) - Hình chieáu (Δ) chính laø giao tuyeán cuûa (α) vaø (β) Vaán ñeà4 ÑOÁI XÖÙNG Baøi toaùn 1 : Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua ñöôøng thaúng d. ¾ Phöông phaùp : - Tìm hình chieáu H cuûa A treân d. - H laø trung ñieåm AA’. Baøi toaùn 2 : Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua maët phaúng α. ¾ Phöông phaùp : - Tìm hình chieáu H cuûa A treân α. - H laø trung ñieåm AA’. Baøi toaùn 3 : Tìm phöông trình ñöôøng thaúng d ñoái xöùng vôùi ñöôøng thaúng (D) qua ñöôøng thaúng (Δ) ¾ Phöông phaùp : - Tröôøng hôïp 1 : (Δ) vaø (D) caét nhau : + Tìm giao ñieåm M cuûa (D) vaø (Δ). (D) d (Δ)M A A’ + Tìm moät ñieåm A treân (D) khaùc vôùi ñieåm M. + Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua (Δ) + d chính laø ñöôøng thaúng ñi qua 2 ñieåm A’ vaø M. 6 - Tröôøng hôïp 2 : (Δ) vaø (D) song song : + Tìm moät ñieåm A treân (D) + Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua (Δ) + d chính laø ñöôøng thaúng qua A’ vaø song song vôùi (Δ) - Tröôøng hôïp 3 : (Δ) vaø (D) cheùo nhau : + Tìm 2 ñieåm phaân bieät A, B treân (D) + Tìm ñieåm A’, B’ laàn löôït laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A, B qua (Δ) + d chính laø ñöôøng thaúng ñi qua 2 ñieåm A’, B’. Baøi toaùn 4 : Tìm phöông trình ñöôøng thaúng d ñoái xöùng vôùi ñöôøng thaúng (D) qua maët phaúng α. ¾ Phöông phaùp : - Tröôøng hôïp 1 : (D) caét α + Tìm giao ñieåm M cuûa (D) vaø (α) + Tìm moät ñieåm A treân (D) + Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua maët phaúng α . + d chính laø ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm A’ vaø M . - Tröôøng hôïp 2 : (D) song song vôùi α. A A’ d (D) - Tìm moät ñieåm A treân (D) - Tìm ñieåm A’ ñoái xöùng vôùi A qua maët phaúng α. - d chính laø ñöôøng thaúng qua A’ vaø song song vôùi (D) Vaán ñeà 5 KHOAÛNG CAÙCH Baøi toaùn 1 : Tính khoaûng caùch töø ñieåm M(x0, y0, z0) ñeán maët phaúng α : Ax + By + Cz + D = 0 ¾ Phöông phaùp : d M Ax By Cz D A B C ( , )α = + + + + + 0 0 0 2 2 2 Baøi toaùn 2 : Tính khoaûng caùch töø ñieåm M ñeán ñöôøng thaúng (Δ) ¾ Phöông phaùp : - Tìm hình chieáu H cuûa M treân (Δ) - Khoaûng caùch töø M ñeán (Δ) chính laø ñoä daøi ñoaïn MH. Baøi toaùn 3 : Tính khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng song song d1 vaø d2. ¾ Phöông phaùp : 7 - Tìm moät ñieåm A treân d1. - Khoaûng caùch giöõa d1 vaø d2 chính laø khoaûng caùch töø ñieåm A ñeán d2. Baøi toaùn 4 : Tính khoaûng caùch giöõa 2 maët phaúng song song α : Ax + By + Cz + D1 = 0 Vaø β : Ax + By + Cz + D2 = 0 ¾ Phöông phaùp : Khoaûng caùch giöõa α vaø β ñöôïc cho bôûi coâng thöùc : d D D A B C ( , )α β = − + + 1 2 2 2 2 Baøi toaùn 5 : Tính khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng cheùo nhau d1 vaø d2 ¾ Phöông phaùp : - Caùch 1 : + Tìm phöông trình maët phaúng α chöùa d1 vaø song song vôùi d2. + Tìm moät ñieåm A treân d2. + Khi ñoù d(d1, d2) = d(A, α) - Caùch 2 : + Tìm phöông trình maët phaúng α chöùa d1 vaø song song vôùi d2. + Tìm phöông trình maët phaúng β chöùa d2 vaø song song vôùi d1. + Khi ñoù d(d1, d2) = d(α, β) Ghi chuù : Maët phaúng α vaø β chính laø 2 maët phaúng song song vôùi nhau vaø laàn löôït chöùa d1 vaø d2. - Caùch 3 : + Vieát döôùi daïng phöông trình tham soá theo t. + Vieát d2 döôùi daïng phöông trình tham soá theo t2. + Xem A ∈ d1 ⇒ daïng toïa ñoä A theo t1. + Xem B ∈ d2 ⇒ daïng toïa ñoä B theo t2. + Tìm vectô chæ phöông laàn löôït cuûa d1 vaø d2. a a1 2 → → , + AB laø ñoaïn vuoâng goùc chung d1, d2. ⇔ tìm ñöôïc t1 vaø t2 AB a AB a → → → → ⊥ ⊥ ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 1 2 + Khi ñoù d(d1, d2) = AB Vaán ñeà 6 GOÙC Cho 2 ñöôøng thaúng d vaø d’ coù phöông trình : d : x x a y y b z z c − = − = −0 0 0 d’ : x x a y y b z z c − = − = −0 0 ' ' 0 ' Cho 2 maët phaúng α vaø β coù phöông trình : α : Ax + By + Cz + D = 0 β : A’x + B’y + C’z + D’ = 0 1. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng d vaø d’ : cos ' ' ' ' ' ' ϕ = + + + + + + aa bb cc a b c a b c2 2 2 2 2 2 2. Goùc giöõa hai maët phaúng α vaø β : 8 cos ' ' ' ' ϕ = + + + + + + AA BB CC' A B C A B C'2 2 2 2 2 2 3. Goùc giöõa ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng α : sinϕ = + + + + + + Aa Bb Cc A B C a b c2 2 2 2 2 2 Chuù yù : - d ⊥ d’ ⇔ aa’ + bb’ + cc’ = 0 - α ⊥ β ⇔ AA’ + BB’ + CC’ = 0 - d song song (hoaëc naèm treân) maët phaúng α ⇔ aA + bB + cC = 0 Vaán ñeà 7 VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI CUÛA HAI MAËT PHAÚNG Cho hai maët phaúng α vaø β coù phöông trình : α : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 β : A2x + B2y + C2z + D2 = 0 Goïi n A laàn löôït laø phaùp vectô cuûa 2 maët phaúng treân vaø M laø moät ñieåm treân maët phaúng α. B C n A B C1 1 1 1 2 2 2 → →= =( , , ), ( , , 2 ) - α caét β ⇔ vaø khoâng cuøng phöông. n1 → n2 → - α song song β ⇔ n vaø n cuøng phöông M 1 2 → → ∉ ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ β - α truøng β ⇔ n vaø n cuøng phöông M 1 2 → → ∈ ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ β Neáu A2, B2, C2, D2 ≠ 0 thì ta coù caùch khaùc : - α caét β ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 - α song song β ⇔ A A B B C C D D 1 2 1 2 1 2 1 2 = = ≠ - α truøng β ⇔ A A B B C C D D 1 2 1 2 1 2 1 2 = = = Vaán ñeà 8 VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI CUÛA 2 ÑÖÔØNG THAÚNG - Caùch 1 : Xeùt heä phöông trình toïa ñoä giao ñieåm cuûa hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2. + Heä coù moät nghieäm duy nhaát : d1 caét d2. + Heä coù voâ soá nghieäm : d1 vaø d2 truøng nhau. + Heä voâ nghieäm : cuøng phöông : d1 // d2. a vaø ad d1 → → 2 2 khoâng cuøng phöông : d1 vaø d2 cheùo nhau. a vaø ad d1 → → - Caùch 2 : + Tìm vectô chæ phöông a cuûa d1 vaø d2. ad d1 2 → → , + Tìm ñieåm A ∈ d1 vaø B ∈ d2. a) a v cuøng phöông aø ad d1 → → 2 A d d d A d d d ∈ ≡ ∉ 2 1 2 2 1 2 : : / / 9 b) a v khoâng cuøng phöông ta coù: aø ad d1 → → 2 0 0 i) neáu thì d1,d2 caét nhau. 1 2 , .d da a AB⎡ ⎤ =⎣ ⎦ JJJGG G ii) neáu thì d1,d2 cheùo nhau. 1 2 , .d da a AB⎡ ⎤ ≠⎣ ⎦ JJJGG G Vaán ñeà 9 VÒ TRÍ TÖÔNG ÑOÁI GIÖÕA ÑÖÔØNG THAÚNG VAØ MAËT PHAÚNG - Caùch 1 : Xeùt heä phöông trình toïa ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng α. + Heä voâ nghieäm : d // α. + Heä coù nghieäm duy nhaát : d caét α + Heä voâ soá nghieäm : d ⊂ α - Caùch 2 : Tìm vectô chæ phöông cuûa d, phaùp vectô cuûa α vaø tìm ñieåm A ∈ d. a→ n→ + a ≠ 0 ( khoâng vuoâng goùc ) : d caét α. n→ →. a→ n→ + a = 0 ( )n → → . a n → →⊥ A d A d ∉ ∈ ⊂ α α α α : / / : Ví duï 1: Laäp phöông trình maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng (D) 2 0 3 2 3 x z x y z − =⎧⎨ − + − =⎩ 0 vaø vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P) : x – 2y + z + 5 = 0 Giaûi Phöông trình tham soá cuûa (D) vieát 2 7 3 2 2 x t y t z t =⎧⎪⎪ = −⎨⎪ =⎪⎩ Maët phaúng (Q) chöùa (D) vaø vuoâng goùc (P) seõ ñi qua ñieåm M ( 0, 3 2 − , 0 ∈ (D) vaø coù caëp vectô chæ phöông laø a) G = ( 2, 7 2 , 1 (vectô chæ phöông cuûa (D) vaø = (1, –2, 1) (phaùp vectô cuûa (P)). ) nG Do ñoù, moät phaùp veùctô cuûa ( Q) laø 1 2 1 1 21 1 2 ; ;7 71 21 2 2 2 n ⎛ − − ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ G = (– 11, 2, 15) 10 Vaäy phöông trình (Q) vieát –11x + 2 ( y 3 2 + ) + 15z = 0 11x – 2y - 15 z – 3 = 0. ⇔ Caùch khaùc: Pt maët phaúng (Q) chöùa (D) vaø vuoâng goùc (P) coù daïng: x-2z = 0 (loaïi) hay m(x-2z) +3x -2y+z -3= 0. Vaäy pt (Q) coù daïng: (m+3)x –2y +(1 –2m)z – 3 = 0. (Q) vuoâng goùc vôùi (P) neân ta coù: m + 3 + 4 + 1- 2 m= 0 ⇒ m = 8. Vaäy pt mp (Q) laø: 11x – 2y - 15 z – 3 = 0. Ví duï 2: Xaùc ñònh caùc tham soá m vaø n ñeå maët phaúng 5x + ny + 4z + m = 0 thuoäc chuøm maët phaúng coù phöông trình : (3x – 7y + z – 3) + β (x – 9y – 2z + 5) = 0 α Giaûi Chuøm maët phaúng coù phöông trình (3x – 7y + z – 3) + β (x – 9y – 2z + 5) = 0 α chöùa ñöôøng thaúng (D) coù phöông trình : 3 7 3 9 2 5 x y z x y z − + − =⎧⎨ − − + =⎩ 0 0 Ñeå maët phaúng (P) : 5x + ny + 4z + m = 0 thuoäc chuøm maët phaúng treân thì (P) chöùa (D) nghóa laø chöùa 2 ñieåm A 1 18,0, 7 7 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ , B 31 9 0 10 10 , ,⎛⎜⎝ ⎠ ⎞⎟ ∈ (D). Ñieàu kieän ñeå (P) chöùa A, B thì m, n thoûa heä phöông trình : 5 184 0 7 7 31 95 0 10 10 . m . .n m ⎧ + + =⎪⎪⎨⎪ + + =⎪⎩ ⇒ 11 5 m n = −⎧⎨ = −⎩ Ví duï 3: ( ÑH KHOÁI A-2002) Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho hai ñöôøng thaúng: Δ1 : vaø Δ2 : ⎩⎨ ⎧ =+−+ =−+− 04z2y2x 04zy2x ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ += += += t21z t2y t1x a) Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñöôøng thaúng Δ1 vaø song song vôùi ñöôøng thaúng Δ2. 11 b) Cho ñieåm M (2; 1; 4). Tìm toïa ñoä ñieåm H thuoäc ñöôøng thaúng Δ2 sao cho ñoaïn thaúng MH coù ñoä daøi nhoû nhaát. BAØI GIAÛI: a) (P) chöùa Δ1 vaø // Δ2 1 aΔ = (2, 3, 4); 2aΔ = (1, 1, 2); Δ1 qua M (0, −2, 0) Maët phaúng (P) coù pvt [ ] 21 a,a ΔΔ =(2, 0, −1) (P) : 2x – z = 0 b) M (2, 1, 4); H ∈ Δ2; MH min ⇔ MH ⊥ Δ2 C1 : Goïi (Q) laø maët phaúng qua M vaø vuoâng goùc vôùi Δ2. Pt (Q) : x + y + 2z – 11 = 0; {H} = (Q) ∩ Δ2 ⇒ H (2, 3, 3) C2 : MH = (−1 + t, 1 + t, −3 + 2t), vôùi H ∈ Δ2 Do MH . 2aΔ = 0 ⇒ t = 1. Vaäy ñieåm H (2, 3, 3). Ví duï 4: ( ÑH KHOÁI B-2002) Cho hình laäp phöông ABCDA1B1C1D1 coù caïnh baèng a. a) Tính theo a khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng A1B vaø B1D . b) Goïi M,N,P laàn löôït laø caùc trung ñieåm cuûa caùc caïnh BB1, CD,A1D1 .Tính goùc giöõa hai ñöôøng thaúng MP vaø C1N . BAØI GIAÛI: Choïn heä truïc toïa ñoä Axyz sao cho ta coù : A (0, 0, 0); A1 (0, 0, a); B (a, 0, 0); B1 (a, 0, a) C (a, a, 0); C1 (a, a, a); D (0, a, 0); D1 (0, a, a) Suy ra M (a, 0, 2 a ); N ( 2 a , a, 0); P (0, 2 a , a) a) BA1 = (a, 0, −a) DB1 = (−a, a, −a) Goïi (P) laø mp qua B1D vaø (P) // A1B ⇒ (P) coù phaùp vectô n = (1, 2, 1) ⇒ Pt (P) : x + 2y + z – 2a = 0 ⇒ d (A1B, B1D) = d (B, (P)) = 6 a b) MP = (−a, 2a , 2a ) . NC1 = (− 2a , 0, −a) Ta coù : MP . NC1 = 0 ⇒ MP ⊥ C1N. Vaäy goùc giöõa MP vaø C1N laø 900. Ví duï5 ( ÑH KHOÁI D-2002): Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz, cho maët phaúng (P): 2x – y + 2 = 0 vaø ñöôøng thaúng dm : (m laø tham soá) ⎩⎨ ⎧ =++++ =−+−++ 02m4z)1m2(mx 01my)m1(x)1m2( Xaùc ñònh m ñeå ñöôøng thaúng dm song song vôùi maët phaúng (P). BAØI GIAÛI: 1 vectô chæ phöông cuûa (dm) laø : a = (−2m2 + m + 1, −(2m +1)2, - m(1 – m)) 1 pvt cuûa (P) laø n = (2, −1, 0) ycbt ⇔ a . n = 0 ⇔ −4m2 + 2m + 2 + (4m2 + 4m + 1) = 0 ⇔ 6m + 3 = 0 ⇔ m = 2 1− 12 Ví duï 6 ( ÑH KHOÁI A-2003): Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho hình hoäp chöõ nhaät ABCD.A’B’C’D’ coù A truøng vôùi goác toïa ñoä, B(a;0;0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b) ( a > 0, b > 0). Goïi M laø trung ñieåm CC’. a. Tính theå tích khoái töù dieän BDA’M theo a vaø b. b. Xaùc ñònh tyû soá a b ñeå hai maët phaúng (A’BD) vaø (MBD) vuoâng goùc vôùi nhau. BAØI GIAÛI: A (0, 0, 0); B (a, 0, 0); C (a, a, 0); D (0, a, 0) A’ (0, 0, b); C’ (a, a, b); M (a, a, b 2 ) a) ; ; = −JJJGBD ( a,a,0) = −JJJJGBA' ( a,0,b) =JJJJG bBM (0,a, ) 2 ⇒ ⎡ ⎤ =⎣ ⎦ JJJG JJJJG 2BD,BA' (ab,ab,a ) ⇒ V= ⎡ ⎤ = +⎣ ⎦ JJJG JJJJG JJJJG 2 21 1 a b 2 BD,BA' .BM (a b ) 6 6 = = 2 23a b a b 12 4 (ñvtt) b) (A’BD) coù vectô phaùp tuyeán hay ⎡ ⎤ =⎣ ⎦ JJJG JJJJG 2BD,BA' (ab,ab,a ) =JJGn (b,b,a) (MBD) coù vectô phaùp tuyeán ⎡ ⎤ = −⎣ ⎦ JJJG JJJJG 2ab abBD,BM ( , , a ) 2 2 hay = −JJJG m (b,b, 2a) Ta coù : (A’BD) ⊥ (MBD) ⇔ =JJJG JJG m . n 0 ⇔ b2 + b2 – 2a2 = 0 ⇔ a = b (a, b > 0) ⇔ =a 1 b Ví duï 7 ( ÑH KHOÁI B-2003): Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho hai ñieåm A(2;0;0), B(0;0;8) vaø ñieåm C sao cho (0;6;0)AC =JJJG . Tính khoaûng caùch töø trung ñieåm I cuûa BC ñeán ñöôøng thaúng OA. BAØI GIAÛI: A (2; 0; 0); B (0; 0; 8). = (0; 6; 0) ⇔ ⇔ C (2; 6; 0). I trung ñieåm BC ⇒ I (1; 3; 4) JJJGAC =⎧⎪ =⎨⎪ =⎩ C C C x 2 y z 0 6 Pt tham soá OA : =⎧⎪ =⎨⎪ =⎩ x t y 0 z 0 (α) qua I ⊥ = (2; 0; 0) : 2(x – 1) = 0 ⇔ x – 1 = 0 JJJGOA Toïa ñoä {H} = OA ∩ (α) thoûa : ⇔ = = =⎧⎨ − =⎩ x t,y 0,z 0 x 1 0 =⎧⎪ =⎨⎪ =⎩ x 1 y 0 z 0 . Vaäy H (1; 0; 0). d(I, OA) = IH = − + − + −2 2(1 1) (0 3) (0 4)2 = 5. Ví duï 8 ( ÑH KHOÁI D-2003): Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Ñeâcac vuoâng goùc Oxyz cho ñöôøng thaúng 3 2: 1 0 x ky z dk kx y z + − + = − + + = ⎧⎨⎩ 0 Tìm k ñeå ñöôøng thaúng dk vuoâng goùc vôùi maët phaúng (P): x – y – 2z + 5 =0 BAØI GIAÛI: JJG 1n = (1, 3k, −1); = (k, −1, 1) JJG 2n 13 = (3k – 1, −k – 1, −1 – 3k2) JJG da = (1, −1, 2) JJG Pn − dk ⊥ (P) ⇔ cuøng phöông JJG da JJG Pn ⇔ − − − − −= =− − 23k 1 k 1 1 3k 1 1 2 ⇔ =⎧⎪⎨ = ∨ = −⎪⎩ k 1 1k 1 k 3 ⇔ k = 1 Ví duï9 ( ÑH KHOÁI A-2004): Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi, AC caét BD taïi goác toïa ñoä O. Bieát A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 2 ). Goïi M laø trung ñieåm cuûa caïnh SC. a) Tính goùc vaø khoaûng caùch hai ñöôøng thaúng SA, BM. b) Giaû söû maët phaúng (ABM) caét ñöôøng thaúng SD taïi ñieåm N. Tính theå tích khoái choùp S.ABMN. BAØI GIAÛI: Caùch 1: S M C N H D O B A GT ⇒ SO ⊥ (ABCD); SA = SC = 2 3 a) Ta coù OM // SA ⇒ Goùc (SA, MB) laø nOMB OB ⊥ (SAC) ⇒ OB ⊥ OM ΔOBM coù tg n OBOMB OM = ⇒ n 1tgOMB 3 = ⇒ nOMB =300 Veõ OH ⊥ SA ⇒ OH ⊥ OM vaø OH ⊥ OB ⇒ OH ⊥ (OMB) Vì SA // OM ⇒ SA // (OMB) ⇒ d (SA, MB) = d(H, (OMB)) = OH = 2 6 3 . b) (ABM) ∩ SD = N ⇒ N laø trung ñieåm SD Ta coù: SBMN SBCD V SM SN. V SC SD = 1 4 = ⇒ VSMNB = SBCD SABCD1 1V V4 8= Töông töï: VSABN = SABCD 1 V 4 Vaäy: VSABMN = VSMNB + VSABN = SABCD 3 V 8 = 3 1 (ñvtt) 1 1. . AC.BD.SO .4.2.2 2 2 8 3 2 16 = = Caùch 2: a) O laø trung ñieåm BD ⇒ D (0; −1; 0) O laø trung ñieåm AC ⇒ C (−2; 0; 0) M laø trung ñieåm SC ⇒ M ( 1;0; 2)− 14 =(2; 0;- SA JJJG 2 2 ); BM ( 1; 1; 2)= − −JJJJG Goïi ϕ laø goùc nhoïn taïo bôûi SA vaø BM cosϕ = − + −+ + + 2 0 4 4 8 1 1 2 = 3 2 ⇒ ϕ = 300 Goïi (α) laø mp chöùa SA vaø // BM ⇒ PT (α) : 2x z 2 2 0+ − = Ta coù d(SA, BM) = d(B, α) = 2 6 3 . b) Pt mp(ABM): 2x 2 2y 3z 2 2 0+ + − = Pt tham soá SD: ⎧ =⎪ = − +⎨⎪ =⎩ x 0 y 1 z 2 2t t (t ∈ R). N laø giao ñieåm cuûa SD vaø mp (ABM) ⇒ N 1(0; ; 2) 2 − BS (0; 1;2 2)= −JJJG ; BA (2; 1;0)= −JJJG 3BN (0; ; 2) 2 = −JJJG ; BM ( 1; 1; 2)= − −JJJJG BS,BN (2 2;0;0)⎡ ⎤ =⎣ ⎦ JJJG JJJG ; BS,BN .BA 4 2⎡ ⎤ =⎣ ⎦ JJJG JJJG JJJG BS.BN .BM 2 2⎡ ⎤ = −⎣ ⎦ JJJG JJJG JJJJG VSABMN= VSABN + VSBNM = 1 1.4 2 .2 2 2 6 6 + = (ñvtt) Ví duï 10 ( ÑH KHOÁI D -2004): Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hình laêng truï ñöùng ABCA1B1C1. Bieát A(a;0;0); B(−a;0;0); C (0; 1; 0); B1(−a; 0; b) a > 0, b > 0. a) Tính khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng B1C vaø AC1 theo a, b. b) Cho a, b thay ñoåi nhöng luoân thoûa maõn a + b = 4. Tìm a, b ñeå khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng B1C vaø AC1 lôùn nhaát. BAØI GIAÛI: a) C1 (0; 1; b) Goïi (α) laø maët phaúng chöùa B1C vaø song song vôùi AC1 ; 1B C (a;1; b)= − JJJJG 1C A (a; 1; b)= − − JJJJG Suy ra: 1 1B C,C A ( 2b;0; 2a)⎡ ⎤ = − −⎣ ⎦ JJJJG JJJJG Suy ra ptrình (α): . − + − + − =b(x 0) 0(y 1) a(z 0) 0 ⇔ bx + az = 0. Ta coù: d=d(B1C, AC1)=d(A, α)= 2 2 2 2 ab ab a b a b = + + . b) Caùch 1: Ta coù: d= 2 2 ab ab ab 2ab 2a b ≤ = + a b 4 2 2 2 2 2 +≤ = = Max d ⇔ d = 2 ⇔ ⇔ a = b = 2 a b a b 4 a 0,b 0 =⎧⎪ + =⎨⎪ > >⎩ 15 Caùch 2: d = ab 16 2ab− , ñaët x = ab, ñk 0 < x ≤ 4. vì x = ab 2a b 4 2 +⎛ ⎞≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ Xeùt f(x) = x 16 2x− f’(x) = 3 16 x (16 2x) − − > 0 ∀x ∈ (0; 4] ⇒ d ñaït max khi x = ab = 4 ⇒ a = b = 2 (vì a + b = 4) Ví duï 11 ( ÑH KHOÁI B-2004): Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho ñieåm 3 2 : 1 1 4 x t d y t z t = − +⎧⎪ = −⎨⎪ = − +⎩ A (-4; -2; 4) vaø ñöôøng thaúng Vieát phöông trình ñöôøng thaúng Δ ñi qua ñieåm A, caét vaø vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng d. BAØI GIAÛI: Caùch 1: A (−4; −2; 4) (d) : ⎪⎨ x 3 2t y 1 t z 1 4t = − +⎧ = − ⎪ = − +⎩ Laáy M (−3+2t; 1 – t; −1 + 4t) ∈ (d) ⇒ = (1 + 2t; 3 – t; −5 + 4t) AMJJJJG Ta coù: AM ⊥ (d) ⇔ (vôùi dAM. a 0= JJJJG JJJJG da JJJG =(2; −1; 4)). ⇔ 2 + 4t – 3 + t – 20 + 16t = 0 ⇔ 21t = 21 ⇔ t = 1. Vaäy ñöôøng thaúng caàn tìm laø ñt AM qua A coù VTCP AM JJJJG =(3;2;−1) ⇒ phöông trình (Δ) : x+4 y 2 z 4 3 2 + −= = −1 . Caùch 2: Goïi (α) laø mp qua A chöùa d ,Goïi (β) laø mp qua A vaø ⊥ d ⇒ d qua B (−3; 1; −1); = (2; −1; 4) d a JJJG (α) qua A (−4; −2; 4) (α) coù 1 caëp VTCP : ⇒ d a (2; 1;4 AB (1;3; 5) ⎧ = −⎪⎨ = −⎪⎩ JJJG JJJG ) ( ) n α JJJJG = (−7; 14; 7) = −7(1; −2; −1) Pt mp (α) : x – 2y – z + 4 = 0 ( ) d ( ) qua A (-4; -2; 4) ( ) (d) n a (2; 1;4)β β β ⎧⎪⎨ ⊥ → = = −⎪⎩ JJJJG JJJG Pt (β) : 2x – y + 4z – 10 = 0 Pt (Δ) : x 2y z 4 0 2x y 4z 10 0 − − + =⎧⎨ − + − =⎩ Ví duï 12 ( ÑH KHOÁI A-2005): Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho ñöôøng thaúng: d : x 1 y 3 z 3 1 2 1 − + −= =− vaø maët phaúng (P) : 2x + y – 2z + 9 = 0 a) Tìm toïa ñoä ñieåm I thuoäc d sao cho khoaûng caùch töø I ñeán maët phaúng (P) baèng 2. b) Tìm toïa ñoä giao ñieåm A cuûa ñöôøng thaúng d vaø maët phaúng (P). Vieát phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng Δ naèm trong maët phaúng (P), bieát Δ ñi qua A vaø vuoâng goùc vôùi d. BAØI GIAÛI: a) Phöông trình tham soá cuûa d : ⎧⎪⎨⎪⎩ = − = − + = + x 1 t y 3 2t z 3 t (t∈ R) 16 I ∈ d ⇔ I (1–t ; –3+2t ; 3+t) Ta coù : d (I, (P)) = 2 ⇔ − − + − − + =+ + | 2 2t 3 2t 6 2t 9 | 2 4 1 4 ⇔ Suy ra : I (3 ; -7 ; 1) hay I (-3 ; 5 ; 7). t| 1 t | 3 t 4 = −⎡− = ⇔ ⎢ =⎣ 2 b) Theá phöông trình d vaøo phöông trình (P) ta ñöôïc t = 1. Theá t = 1 vaøo phöông trình d, ta ñöôïc x = 0; y = -1; z = 4 Suy ra A (0; -1 ; 4) Vectô chæ phöông cuûa d : = −JGa ( 1;2;1) Vectô phaùp tuyeán cuûa (P): = −JGn (2;1; 2) Suy ra vectô chæ phöông cuûa Δ : = − −G G[a,n] ( 5; 0; 5) hay (1; 0; 1) Maët khaùc Δ ñi qua A neân phöông trình tham soá cuûa Δ laø : ⎧⎪⎨⎪⎩ = = − = + x t ' y 1 z 4 t ' (t’∈ R) Ví duï 13 ( ÑH KHOÁI B-2005): Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hình laêng truï ñöùng ABC.A1B1C1 vôùi A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B1(4; 0; 4). a) Tìm toïa ñoä caùc ñænh A1, C1. Vieát phöông trình maët caàu coù taâm laø A vaø tieáp xuùc vôùi maët phaúng (BCC1B1). b) Goïi M laø trung ñieåm cuûa A1B1 . Vieát phöông trình maët phaúng (P) ñi qua hai ñieåm A, M vaø song song vôùi BC1. Maët phaúng (P) caét ñöôøng thaúng A1C1 taïi ñieåm N. Tính ñoä daøi MN. BAØI GIAÛI: a) Hình chieáu cuûa A1 xuoáng mp (Oxy) laø A ⇒ A1(0; -3; 4) Hình chieáu cuûa C1 xuoáng mp (Oxy) laø C ⇒ C1(0; 3; 4) Caëp veùc tô chæ phöông cuûa (BCC1B1) laø : BC ( 4;3;0)= − JJJG 1BB (0;0;4)= JJJJG Suy ra veùc tô phaùp tuyeán cuûa (BCC1B1) laø : = (12; 16; 0) hay = (3; 4; 0) 1n BC,BB⎡= ⎣ JJG JJJG JJJJG⎤⎦ m JJG Maët khaùc (BCC1B1) qua B neân coù phöông trình: 3(x – 4) + 4y + 0z = 0 ⇔ 3x + 4y – 12 = 0 Baùn kính maët caàu laø : R = d (A, (BCC1B1)) = 0 12 12 24 59 16 − − =+ Suy ra phöông trình maët caàu laø : x2 + (y + 3)2 + z2 = 576 25 b) M laø trung ñieåm cuûa A1B1 ⇒ M (2; 32− ; 4) Mp (P) coù caëp veùc tô chæ phöông 3AM (2; ;4) 2 =JJJJG vaø 1BC ( 4;3;4)= − JJJJG ⇒ veùc tô phaùp tuyeán cuûa mp (P): = = (−6; −24; 12) hay (1; 4; −2) Pn JJG 1AM;BC⎡⎣ JJJJG JJJJG⎤⎦ Maët khaùc (P) ñi qua A neân coù phöông trình : x + 4(y + 3) – 2z = 0 ⇔ x + 4y – 2z + 12 = 0 A1C1 ñi qua A1 vaø coù veùc tô chæ phöông 1 1A C JJJJJG = (0; 6;0) hay (0; 1; 0) neân coù phöông trình : (t ∈ R) x 0 y 3 z 4 =⎧⎪ = − +⎨⎪ =⎩ t 17 Theá phöông trình A1C1 vaøo phöông trình (P) ta ñöôïc t = 2 Theá t = 2 vaøo phöông trình (A1C1) ta ñöôïc x = 0, y = −1, z = 4 ⇒ N (0; −1; 4) vaø MN = 2 2 23 1(0 2) ( 1 ) (4 4) 2 2 − + − + + − = 7 Ví duï 14 ( ÑH KHOÁI D-2005): Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz cho hai ñöôøng thaúng : d1 : x 1 y 2 z 1 3 1 2 − + += =− vaø d2: x y z 2 0 x 3y 12 0 + − − =⎧⎨ + − =⎩ a) Chöùng minh raèng d1 vaø d2 song song vôùi nhau. Vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa caû hai ñöôøng thaúng d1 vaø d2. b) Maët phaúng toïa ñoä Oxz caét hai ñöôøng thaúng d1, d2 laàn löôït taïi caùc ñieåm A, B. Tính dieän tích tam giaùc OAB (O laø goác toïa ñoä). a JJG BAØI GIAÛI: a) d1 qua N (1; −2; −1) vaø coù 1 vectô chæ phöông laø =(3; −1; 2) b JJG d2 qua B (12; 0; 10) vaø coù 1 vectô chæ phöông laø =(3; −1; 2) Ta coù : = vaø = (11, 2, 11) khoâng cuøng phöông vôùi a JJG b JJG NB JJJG a JJG . Vaäy d1 // d2 Mp (P) qua N vaø coù phaùp vectô : =[ n JJG a JJG NB JJJG , ] = (−15; −11; 17) Phöông trình (P) laø: −15(x–1) – 11(y+2) + 17(z+1) = 0 ⇔ 15x + 11y – 17z – 10 = 0 b) A(−5, 0, −5); B (12, 0, 10) ⇒ = (0, −10, 0) OA,OB⎡⎣ JJJG JJJG⎤⎦ 1 OA,OB 2 ⎡⎣ JJJG JJJG ⇒ Dieän tích (ΔOAB) = ⎤⎦ = 5 (ñvdt). * * * 18