Cơ sở tự động học

các vòng hồi tiếp phụ, dùng biến đổi 4. - Bước 4: dời các điểm tổng về bên trái và cac điểm lấy về bên phải vòng chính, dùng biến đổi 7, 10 và 12. - Bước 5: lặp lại các bước từ 1-> 4, cho đến khi được dạng chính tắc đối với một input nào đó . - Bước 6: lặp lại các bước từ 1-> 5 đối với các input khác nếu cần . Các biến đổi 3, 5, 6, 8, 9 và 11 đôi khi cũng cần đến . Thí dụ 2.3 : Hãy thu gọn sơ đồ khối sau đây về dạng chính tắc. Thí dụ 2.4 : Hãy thu gọn sơ đồ khối thí dụ trên bằng cách cô lập H1 (để H1 riêng) . Thí dụ 2.5 : Hãy thu gọn hệ sau đây về dạng hệ điều khiển hồi tiếp đơn vị. Một thành phần phi tuyến ( trên đường truyền thẳng ) không thể thu gọn như biến đổi 5 được. Khối tuyến tính trên đường hồi tiếp có thể kết hợp vơí khối tuyến tính của đường truyền thẳng. Kết quả là: Thí dụ 2.6 : Hãy xác định output C của hệ nhiều input sau đây : Các bộ phận trong hệ đều tuyến tính, nên có thể áp dụng nguyên lý chồng chất . - Cho u1=u2=0. Sơ đồ khối trở nên. Ởû đó CR là output chỉ do sự tác đôïng riêng của R. từ phương trình (2.31 - Cho R=u2=0, Sơ đồ khối trở nên : Ở đó C1 là đáp ứng chỉ do sự tác đôïng riêng của u1. Sắp xếp lại các khối : Vậy: Cho R=u1=0. Sơ đồ khối trở nên : Ởû đó C2 là đáp ứng do tác đôïng riêng của u2 . Vậy: Thí dụ 2.7: Sơ đồ khối sau đây là một ví dụ về hệ nhiều input và nhiều output. Hãy xác định C1 và C2. a)Trước hết bỏ qua C2. Xét hệ thống với 2 input R1 ,R2 và output C1. Như vậy, C11 là output ở C1, chỉ do R1 gây ra. • Ðặt R1=0: Vậy: b. Bây giờ, bỏ qua C1. Xét hệ thống với 2 input R1,R2 và output C2. Vậy : - Ðặt R2=0. Cuối cùng: C2 =C21+C22 . CHƯƠNG III ÐỒ HÌNH TRUYỀN TÍN HIỆU NỘI DUNG: I. ĐẠI CƯƠNG II. NHỮNG ĐỊNH NGHĨA III. TÓM LƯỢC NHỮNG TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐTTTH IV. ĐẠI SỐ HỌC VỀ ĐỒ HÌNH TRUYỀN TÍN HIỆU V.CÁCH VẼ ĐỒ HÌNH TRUYỀN TÍN HIỆU VI. CÔNG THỨC MASON VII. ÁP DỤNG CÔNG THỨC MASON VÀO SƠ ĐỒ KHỐI I. ÐẠI CƯƠNG. Ðồ hình truyền tín hiệu ( signal flow graph - ÐHTTH) được giới thiệu đầu tiên bởi S.J. MASON được xem như là ký hiệu đơn giản hóa của sơ đồ khối, để trình bày mối tương quan nhân quả của một hệ tuyến tính. Bên cạnh sự khác biệt về hình trạng vật lý giữa ÐHTTH và sơ đồ khối, ta có thể thấy ÐHTTH chặc chẽ hơn về những liên hệ toán học. Nhưng những định luật dùng cho sơ đồ khối thì mềm dẻo hơn nhiều và kém rõ ràng hơn. Một ÐHTTH được định nghĩa như là một phương pháp đồ họa để miêu tả những liên hệ vào - ra giữa các biến của một tập hợp những phương trình đại số. Xem một hệ tuyến tính được diễn tả bởi tập hợp N phương trình đại số. Hay đơn giản hơn: Output =( (độ lợi).(input) (3.3) Ðồ hình truyền tín hiệu được vẽ dựa vào tiên đề quan trọng nhất này. Trường hợp hệ thống được mô tả bằng các phương trình vi tích phân, trước nhất ta phải biến đổi chúng thành các phương trình biến đổi Laplace và sắp xếp chúng theo dạng phương trình (3.1). (3.4) j=1,2,...N Khi vẽ ÐHTTH , các điểm nối hay là nút dùng để biểu diển các biến yj hay yk . Các nút được nối với nhau bởi các đoạn thẳng gọi là nhánh, tuỳ thuộc vào các phương trình nhân quả. Các nhánh được đặc trưng bởi độ lợi nhánh và chiều. Một tín hiệu chỉ có thể truyền ngang qua nhánh theo chiều mũi tên. Thí dụ, xem một hệ tuyến tính được trình bài bởi phương trình đơn giản. y2 =a12 .y1 (3.5) Trong đó, y1 là biến s vào , y2 là biến ra và a12 là độ lợi hay độ truyền dẫn (transmittansce) giữa hai biến số. Ðồ hình truyền tín hiệu biểu diển cho phương trình (3.5) được vẽ ở hình H.3_1. Chiều của nhánh từ nút y1 đến nút y2 chỉ sự phụ thuộc của biến ra với biến vào, và không có ngược lại. Vì thế, mặc dù phương trình (3.5) có thể viết lại: (3.6) Nhưng ÐHTTH ở hình H.3_1 không đưa đến một tương quan như vậy. Nếu phương trình (3.6) có giá trị như là một tương quan nhân quả theo ý nghĩa vật lý, thì phải vẽ một ÐHTTH khác. Một thí dụ khác, xem tập hợp các phương trình đại số : y2 = a12 y1 + a32 y3 y3 = a23 y2 + a43 y4 y4 = a24 y2 + a34 y3 + a44 y4 (3.7) y5 = a25 y2 + a45 y4 ÐHTTH cho các phương trình này được vẽ từng bước như hình H.3_2. Các nút biểu diễn các biến y1 , y2 , y3 , y4 và y5 được đặt theo thứ tự từ trái sang phải. H.3_2. : ÐHTTH của hệ phương trình (3.7) . II . NHỮNG ÐỊNH NGHĨA. 1) Nút vào (nguồn ) : Nút vào là một nút chỉ có những nhánh ra. Thí dụ nút y1 ở H.3_2 . 2) Nút ra : Nút ra là nút chỉ có những nhánh vào. Thí dụ nút y5 ở H.3_2. Tuy nhiên không phải lúc nào cũng có sẵn nút ra thỏa định nghĩa trên. Thí dụ ÐHTTH ở hình H.3_3a. Ởû đó không có nút nào phù hợp định nghĩa. Tuy nhiên, có thể xem y3 và/hoặc y2 là nút ra nếu ta đưa vào các nhánh với độ lợi đơn vị cho các biến y3 và y2 như H.3_3b. Các nút đưa thêm vào gọi là nút giả (dummy node). . Một cách tổng quát ta có thể thấy rằng, bất kỳ một nút nào không phải là nút vào đều có thể làm một nút ra theo cách trên. Tuy nhiên, ta không thể đổi một nút không phải là nút vào thành một nút vào theo cách tương tự. Thí dụ, nút y2 trong hình H.3_3a không phải là nút vào. Nhưng nếu ta cố đổi nó thành nút vào bằng cách thêm nút giả như H.3_4 thì phương trình mô tả tương quan tại nút y2 sẽ là: y2 = y2 + a12y1 + a32 y3 (3.8) Phương trình này khác với phương trình gốc, được viết từ hình H.3_3a: y2 = a12 y1 + a32 y3 (3.9) Trường hợp muốn chọn y2 là nút vào, ta phải viết lại phương trình nhân quả, với kiểu xếp đặt : các nguyên nhân nằm bên vế phải và hậu quả nằm bên vế trái. Sắp xếp phương trình (3.9) lại, ta có hai phương trình gốc cho ÐHTTH hình H. 3_3 như sau: y3 = a32 y2 (3.11) ÐHTTH cho hai phương trình trên, vẽ ở hình H.3_5. H.3_5: ÐHTTH với y2 là nút vào. 3) Ðường(path): Là sự nối tiếp liên tục theo một hướng của các nhánh , mà dọc theo nó không có một nút nào được đi qua quá một lần. 4) Ðường trực tiếp (forward path): Là đường từ nút vào đến nút ra. Thí dụ ở ÐHTTH hình H.3_2d, y1 là nút vào, và có 4 nút ra khả dĩ : y2 , y3 , y4 và y5 . Ðường trực tiếp giữa y1 và y2: là nhánh giữa y1 và y2. Có hai đường trực tiếp giữa y1 và y3: Ðường 1, gồm các nhánh từ y1 đến y2 đến y3. Ðường 2, gồm các nhánh từ y1 đến y2 đến y4 (ngang qua nhánh có độ lợi a24) và rồi trở về y3(ngang qua nhánh có độ lợi a43). Người đọc có thể xác định 2 đường trực tiếp từ y1 đến y4. Tương tự, có 3 đường trực tiếp từ y1 đến y5. 5) Vòng(loop): Là một đường xuất phát và chấm dứt tại cùng một nút, dọc theo nó không có nút nào khác được bao quá một lần. Thí dụ, có 4 vòng ở ÐHTTH ở hình H.3_2d. 6) Ðộ lợi đường (path Gain) : Tích số độ lợi các nhánh được nằm trên một đường. Thí dụ, độ lợi đường của đường y1- y2- y3- y4 trong hình H.3_2d là a12 a23 a34. 7) Ðộ lợi đường trực tiếp ( forward_path Gain) : Ðộ lợi đường của đường trực tiếp. 8) Ðộ lợi vòng (loop Gain) : Ðộ lợi đường của một vòng. Thí du, độ lợi vòng của vòng y2 - y3 - y4 - y2 trong hình H.3_2d là a24 a43 a32. III. TÓM LƯỢC NHỮNG TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ÐHTTH. 1. ÐHTTH chỉ áp dụng cho các hệ tuyến tính . 2. Các phương trình, mà dựa vào đó để vẽ ÐHTTH, phải là các phương trình đại số theo dạng hậu quả là hàm của nguyên nhân. 3. Các nút để biểu diễn các biến. Thông thường, các nút được sắp xếp từ trái sang phải, nối tiếp những nguyên nhân và hậu quả ngang qua hệ thống. 4. Tín hiệu truyền dọc theo nhánh, chỉ theo chiều mũi tên của nhánh. 5. Chiều của nhánh từ nút yk đến yj biểu diễn sự phụ thuộc của biến yj vào yk, nhưng không ngược lại. 6. Tín hiệu yk truyền dọc một nhánh giữa nút yk và yj thì được nhân bởi độ lợi của nhánh akj sao cho một tín hiệu akjyk nhận được tại nút yj . IV. ÐẠI SỐ HỌC VỀ ÐỒ HÌNH TRUYỀN TÍN HIỆU. Dựa trên những tính chất của ÐHTTH, ta có thể tóm lược như sau: 1) Trị giá cuả biến được biểu diển bằng một nút thì bằng tổng của tất cả tín hiệu đi vào nút. Như vậy, đối với ÐHTTH ở H.3_7, trị giá của y1 bằng tổng của các tín hiệu được truyền ngang qua mọi nhánh vào : y1= a21 y2 + a31 y3 + a41 y4 + a51 y5 (3.12) H.3_7: Nút như là một điểm tổng, và như là một điểm phát . 2) Trị giá của biến số được biểu diễn bởi một nút thì được truyền ngang qua tất cả các nhánh rời khỏi nút. Trong ÐHTTH hình H.3_7 , ta có : y6 = a16 y1 y7 = a17 y1 (3.13) y8 = a18 y1 3) Các nhánh song song theo cùng một chiều giữa hai nút có thể được thay bởi một nhánh duy nhất với độ lợi bằng tổng các độ lợi của các nhánh ấy. Thí dụ ở hình H.3_8. 4) Sự nối tiếp nhiều nhánh, như hình H.3_9, có thể được thay bởi một nhánh duy nhất với độ lợi bằng tích các độ lợi nhánh. V. CÁCH VẼ ÐỒ HÌNH TRUYỀN TÍN HIỆU. 1) ÐHTTH của một hệ tự kiểm tuyến tính mà các thành phần của nó chỉ rõ bởi các hàm chuyển thì có thể được vẽ một cách trực tiếp bằng cách tham khảo sơ đồ khối của hệ. Mỗi một biến của sơ đồ khối sẽ là một nút. Mỗi khối sẽ là một nhánh. Thí dụ 3.1: Từ sơ đồ khối dưới dạng chính tắc của một hệ thống tự kiểm như hình H.3_10, ta có thể vẽ ÐHTTH tương ứng ở hình H.3_11. H.3_11 : ÐHTTH tương ứng của hệ. Nhớ là dấu - hay + của điểm tổng thì được kết hợp với H. Từ H.3_11, viết phương trình cho tín hiệu tại các nút E và C : và C(s) = G(s).E(s) (3.15) Hàm chuyển vòng kín : (hay tỷ số điều khiển) (3.16) 2) Ðối với các hệ được mô tả bằng phương trình vi phân, ta vẽ ÐHTTH theo cách sau đây: a.Viết hệ phương trình vi phân dưới dạng : X1 = A11` X1 + A 12X2 + ... + A 1nXn X2 = A21X1 + A22X2 + ... + A2nXn (3.17) . . . . . . . . . .. . X m= Am1 X1 + Am2X2 + ... + AmnXn Nếu X1 là nút vào, thì không cần một phương trình cho nó. b. Sắp xếp các nút từ trái sang phải sao cho không gây trở ngại cho các vòng cần thiết . c. Nối các nút với nhau bằng các nhánh A11, A12 ... d. Nếu muốn vẽ một nút ra, thì thêm nút giả có độ lợi nhánh bằng 1 . e. Sắp xếp lại các nút và /hoặc các vòng để có một đồ hình rõ ràng nhất. Thí dụ 3.2 : Hãy vẽ ÐHTTH cho một mạch điện vẽ ở hình H.3_12 : Có 5 biến số : v1, v2, v3, i1 và i2 . Trong đó v1 đã biết. Ta có thể viết 4 phương trình độc lập từ các định luật Kirchhoff về thế và dòng. (3.18) Ðặt 5 nút nằm ngang nhau với v1 là một nút vào, nối các nút bằng những nhánh. Nếu muốn v3 là một nút ra, ta phải thêm vào một nút giả và độ lợi nhánh bằng 1. VI. CÔNG THỨC MASON. Ở chương trước, ta có thể rút gọn các sơ đồ khối của những mạch phức tạp về dạng chính tắc và sau đó tính độ lợi của hệ thống bằng công thức: Và ở phần trên, ta cũng có thể dùng đồ đồ hình truyền tín hiệu để ít tốn thì giờ hơn. Và ở đây, ta lại có thể dùng công thức Mason, như là công thức tính độ lợi tổng quát cho bất kỳ một đồ hình truyền tín hiệu nào. 9; 9; (3.19) Ðộ lợi : yout/yin ; yout: biến ra, yin: biến vào. pi : độ lợi đường trực tiếp thứ i. =1-( tổng các độ lợi vòng)+(tổng các tích độ lợi 2 vòng không chạm) - (tổng các tích độ lợi của 3 vòng không chạm)+.. (I = trị của ( tính với các vòng không chạm với các đường trực tiếp thứ i. ( Hai vòng, hai đường hoặc 1 vòng và 1 đường gọi là không chạm (non_touching) nếu chúng không có nút chung). Thí dụ : xem lại ÐHTTH của 1 hệ điều khiển dạnh chính tắc ở H.3_11. Chỉ có một đường trực tiếp giữa R(s) và C(s). Vậy : P1=G(s) P2=P3=...=0. - Chỉ có 1 vòng . Vậy: P11= ± G(s).H(s) Pjk=0; j¹ 1, k¹ 1. Váûy, D =1-P11=1± G(s).H(s), Vaì, D 1=1-0=1 Cuối cùng, 9; (3.20) Rõ ràng, ta đã tìm lại được phương trình (3.16). Thí dụ : Xem lại mạch điện ở VD3.2, mà ÐHTTH của nó vẽ ở hình H.3_13. Dùng công thức mason để tính độ lợi điện thế T= v3/v1. . - Chỉ có một đường trực tiếp. Ðộ lợi đường trực tiếp: 9; - Chỉ có 3 vòng hồi tiếp. Các độ lợi vòng: - Có hai vòng không chạm nhau (vòng 1 và vòng 3). Vậy: P12 = tích độ lợi của 2 vòng không chạm nhau: -Không có 3 vòng nào không chạm nhau. Do đó: D =1- ( P11+ P21+ P31)+ P12 D = Vì tất cả các vòng đều chạm các đường trực tiếp ( duy nhất), nên: Cuối cùng Ġ (3.21) VII. ÁP DÙNG CÔNG THỨC MASON VÀO SƠ ÐỒ KHỐI. Do sự tương tự giữa Sơ đồ khối và ÐHTTH, công thức độ lợi tổng quát có thể được dùng để xác định sự liên hệ vào ra của chúng. Một cách tổng quát, từ sơ đồ khối của 1 hệ tuyến tính đã cho, ta có thể áp dụng công thức độ lợi tổng quát MASON trực tiếp vào đó. Tuy nhiên, để có thể nhận dạng tất cả các vòng và các phần không chạm một cách rõ ràng, đôi khi cần đến sự giúp đỡ của ÐHTTH. Vậy cần vẽ ÐHTTH cho sơ đồ khối trước khi áp dụng công thức. Nếu G(s) và H(s) là một thành phần của dạng chính tắc, thì từ công thức Mason ta suy ra: Hàm chuyển đường trực tiếp G(s)=Ġ (3.22) Hàm chuyển đường vòng G(s).H(s) = ( - 1 (3.23) Thí dụ: Xác định tỉ số điều khiển C/R và dạng chính tắc của một hệ điều kiểm ở thí dụ 2.1. - Có 2 đường trực tiếp : P1 = G1.G2.G4 P2 = G1.G3.G4 - Có 3 vòng hồi tiếp: P11 = G1.G4.H1 P21 = - G1.G4.G2.H2 P31 = - G1.G3.G4.H2 D = 1 - ( G1.G4.H1 - G1.G2.H4.H2 - G1.G3.G4.H2) Không có vòng không chạm nhau, và tất cả các vòng đều chạm với các đường trực tiếp. Vậy : D 1 = 1 ; D 2 = 1 Do đó tỷ số điều khiển là: (3.24) Từ phương trình (3.23) và (3.24), ta có: G=G1G4(G2+G3) Và: GH=G1G4(G3H2+G2H2-H1) (3.25) Vậy:Ġ (3.26) Sơ đồ dạng chính tắc được vẽ ở hình H.3_17. Dấu trừ ở điểm tổng, là kết quả việc dùng dấu cộng trong công thức tính GH ở trên. Thí dụ: Xác định tỷ số điều khiển (hoặc hàm chuyển vòng kín) C/R của một hệ có sơ đồ khối như hình H.3_18. Ðồ hình truyền tín hiệu của hệ được vẽ ở hình H.3_19: . Có hai đường trực tiếp: P1= G1G2G3 ; P2= G1G4. Có 5 vòng hồi tiếp: P11= - G1G2H1 ; P21= - G2G3H2 ; P31= - G4H2 ; P41= - G1G2G3 ; P51= - G1G4. Vậy: D = 1- ( P11+ P21+ P31+ P41+ P51) Và (1 = (2 = 1. => BÀI TẬP CHƯƠNG III 3.1 : Hãy xác định tỷ số C/R và dạng sơ đồ khối chính tắc của một hệ điều khiển sau đây: sau đây: ; 3.2 : Xác định hàm chuyển cho sơ đồ khối sau đây, bằng kỹ thuật dùng ÐHTTH: 3.3 : Xem TD2.4, giải bài toán bằng ÐHTTH. 3.4 : Tìm hàm chuyển C/R của hệ thống sau đây, với k là hằng số. 3.6 : Dùng kỹ thuật ÐHTTH để giải bài tập 2.13. 3.7 : Tìm C/R cho hệ điều khiển sau đây: 3.8 : Vẽ ÐHTTH cho mạch điện sau: 3.9 : Vẽ ÐHTTH cho mạch điện sau: 3.10 : Vẽ ÐHTTH cho mạch điện sau, tính độ lợi: Gợi ý: 5 biến v1, i1, v2, i2, v3. Với v1 là input. Cần 4 phương trình độc lập. GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG III 3.1 : Ðồ hình truyền tín hiệu: Dùng công thức Mason để xác định C/R. Có hai đường trực tiếp: P1= G1G2G4 ; P2=G1G3G4 Có 3 vòng: P11=G1G4H1; P21= - G1G2G4H2 ; P31= - G1G3 G4H2 Không có vòng không chạm. Và tất cả các vòng đều chạm cả hai đường trực tiếp. Vậy: D 1= 1 ; D 2= 1 Do đó, tỷ số C/R: Với (= 1 - (P11+P21+P31). Suy ra: Từ ( 3.25 ) và (3.26) , ta có: G = G1G4(G2 + G3) Và : GH = G1G4(G3H2 +G2H2 - H1) Dạng chính tắc của sơ đồ khối của hệ thống : Dấu trừ tại điểm tổng là do việc dùng dấu cộng trong công thức tính GH ở trên. Sơ đồ khối ở trên có thể đưa về dạng cuối cùng như trong VD2.1 bằng cách dùng các định lý biến đổi khối. 3.2 : Ðồ hình truyền tín hiệu vẽ trực tiếp từ sơ đồ khối: Có hai đường trực tiếp, độ lợi là : P1 = G1G2G3 ; P2 = G4 Có 3 vòng hồi tiếp,độ lợi vòng là: P11 = - G2H1 ; P21 = G1G2H1 ; P31 = - G2G3H2 Không có vòng nào không chạm, vậy: ( = 1 - (P11 + P21 + P31) + 0 Và (1 = 1 Vì cả 3 vòng đều chạm với đường 1. Vì không có vòng nào chạm với các nút đường trực tiếp thứ nhì, nên: (2= ( ( Cả 3 vòng đều không chạm với đường trực tiếp thứ 2). Vậy: 3.3 : ÐHTTH vẽ trực tiếp từ sơ đồ khối. P1 = G1G2 ; P11 = G1G2H1H2 D = 1- P11 ; D 1 = 1 Vậy: Với u2 = R =0, Ta có: P1 = G2 ; P11 = G1G2H1H2 D = 1 - G1G2H1H2 ; D 1 = 1 Với R = u1 = 0 P1 = G1G2H1 ; P11 = G1G2H1H2 D = 1 - P11 ; D 1 = 1 3.4 : 3.5 : ÐHTTH vẽ trực tiếp từ sơ đồ khối: - 3.6 : 3.7 : ÐHTTH vẽ từ sơ đồ khối: có hai đường trừc tiếp: P1= G1G2G3 ; P2 = G1G4 có 5 vòng hồi tiếp: P11 = G1G2H1 ; P21 = G2G3H2 ; P31 = - G1G2G3 P41 = G4H2 ; P51 = - G1G4 D = 1 - (P11 + P21 + P31 + P41 + P51) ; D 1 = D 2 = 1 Cuối cùng: 3.10 : 5 biến v1, i1, v2, i2, v3. Với v1 là input, cần 4 phương trình độc lập. Ðộ lợi:Ġ 9; Tính theo công thức Mason. *********** Chương V MÔ HÌNH HOÁ CÁC HỆ THỐNG VẬT LÝ NỘI DUNG: 5.1) ĐẠI CƯƠNG 5.2) PHƯƠNG TRÌNH CỦA CÁC MẠCH ÐIỆN 5.3) MÔ HÌNH HOÁ CÁC BỘ PHẬN CỦA HỆ THỐNG CƠ. 5.4) PHƯƠNG TRÌNH CỦA CỦA CÁC HỆ THỐNG CƠ KHÍ • 5.5) MÔ HÌNH HÓA ÐỘNG CƠ DC. I. ÐẠI CƯƠNG. Một trong những công việc quan trọng nhất trong việc phân giải và thiết kế các hệ tự kiểm là mô hình hoá hệ thống. Ở những chương trước, ta đã đưa vào một số phương pháp mô hình hoá hệ thống thông dụng. Hai phương pháp chung nhất là hàm chuyển và phương trình trạng thái. Phương pháp hàm chuyển chỉ có giá trị đối với các hệ tuyến tính, không đổi theo thời gian. Trong khi các phương trình trạng thái, là những phương trình vi phân cấp một có thể dùng mô tả các hệ tuyến tính và cả phi tuyến. Vì trong thực tế, tất cả các hệ vật lý đều phi tuyến trong một vài phạm vi hoạt động. Nên để có thể sỉỵ dủng haìm chuyển và các phương trình trạng thái tuyến tính, hệ thống phải được tuyến tính hoá, hoặc là hoạt động của nó phải được hạn chế trong vùng tuyến tính. Dù sự phân giải và thiết kế các hệ điều khiển tuyến tính đã được phát triển tốt, nhưng bản sao của nó cho các hệ phi tuyến thì thường rất phức tạp. Kỹ thuật điều khiển thường phải xác định không chỉ việc làm sao để mô tả chính xác hệ thống một cách toán học, mà coìn phải, quan trọng hơn, làm sao để đặt các giả thuyết đúng, và phép tính xấp xỉ (nếu cần thiết) sao cho hệ thống có thể được đặc trưng hóa một cách tương xứng bởi một mô hình toán học tuyến tính. Thật quan trọng để thấy rằng, kỹ thuật điều khiển hiện đại phải dựa trên sự mô hình hoá hệ thống sao cho vấn đề phân giải và thiết kế có thể phù hợp với các lời giải nhờ máy tính. Như vậy, chủ đích của chương này là: - Ðể chứng tỏ sự mô hình hoá toán học của các hệ thông điều khiển và các bộ phận. - Ðể chứng tỏ bằng cách nào sự mô hình hoá sẽ dẫn đến các lời giải trên máy tính • II. PHƯƠNG TRÌNH CỦA CÁC MẠCH ÐIỆN. Phương pháp cổ điển để viết các phương trình của mạch điện được đặt trên cơ sở hai định luật về nút và vòng của kirchhoff. Tuy hai định luật này thì đơn giản nhưng các phương trình kết quả thì không tự nhiên đối với máy tính. Một phương pháp mới để viết các phương trình mạch điện là phương pháp biến trạng thái. Vì các mạch điện trong phần lớn các hệ tự kiểm thì không phức tạp lắm, ta sẽ trình bày ở đây chỉ ở mức độ giới thiệu. Những lý giải chi tiết về các phương trình trạng thái cho mạch điện có thể tìm ở các giáo trình lý thuyết mạch. H.5_1. Xem mạch RLC như hình H.5_1. Phương cách thực hành là xem dòng điện trong cuộn cảm L và điện thế ngang qua tụ C là các biến trạng thái (tức i(t) và ec(t)). Lý do của sự chọn lựa này là vì các biến trạng thái thì liên hệ trực tiếp với bộ phận tích trữ năng lượng của một hệ thống. Trong trường hợp này, cuộn cảm tích trữ động năng và tụ tích trữ thế năng. Bằng cách chọn i(t) và ec(t) là các biến trạng thái, ta có một sự mô tả hoàn toàn về quá khứ (tức trị giá đầu của chúng) hiện tại và trạng thái tương lai của mạch. Ta có: Dòng điện trong tụ C : ĉ (5.1) Ðiện thế ngang qua L : Ġ (5.2) Các phương trình trạng thái dưới dạng ma trận, được viết: 9; 9; 9; 9; (5.3) Thí dụ5_1 : Xem mạch điện như hình H.5_2. H.5_2 Ðiện thế ngang qua tụ ec(t), các dòng điện trong các cuộn cảm i1(t) và i2(t) được xem như là các biến số trạng thái. Các phương trình trạng thái có được bằng cách viết điện thế ngang qua các cuộn cảm và dòng trong tụ. Xắp xếp lại các hệ số hằng, các phương trình trạng thái được viết dưới dạng chính tắc như sau: III. MÔ HÌNH HOÁ CÁC BỘ PHẬN CỦA HỆ THỐNG CƠ. III.1 Chuyển động tịnh tiến III.2 Lực ma sát trong chuyển động tịnh tiến. III.3 Chuyển động quay. III.4 Sự tương quan giữa chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay. III.5 Cơ năng và công suất. III.6 Bánh răng - đòn bẩy dây courroir. Hầu hết các hệ tự kiểm đều có chứa các bộ phận cơ khí cũng như các bộ phận điện. Trên quan điểm toán học, sự mô tả các bộ phận cơ và điện thì tương đương nhau. Thật vậy, ta có thể chứng minh rằng một bộ phận cơ khí thường là một bản sao của một bộ phận điện tương đương, và ngược lại. Dĩ nhiên, sự tương đương chỉ trên ý nghĩa toán học. Hai hệ thống thì tương đương nhau nãúu chúng được diễn tả bằng các phương trình giống nhau. Sự chuyển động của các bộ phận cơ có thể là tịnh tiến, quay hoặc phối hợp cả hai. Các phương trình diãùn ra chuyển động của các hệ cơ thì thường được viết một cách trực tiếp hay gián tiếp từ định luật chuyển động của Newton. 1. Chuyển động tịnh tiến. Chuyển động tịnh tiến được định nghĩa như là một chuyển động dời chổ dọc theo một đường thẳng. Các biến được dùng mô tả chuyển động tịnh tiến là gia tốc, vận tốc và độ dời. Ðịnh luật Newton chứng tỏ rằng tổng đại số các lực tác động lên một cäú thãø theo một phương đã cho thì bằng tích số của khối lượng của cäú thãø và gia tốc của nó theo cùng phương đó. ( lực = Ma (5.8) Trong đó: M là khối lượng và a là gia tốc. Trong chuyển động tịnh tiến, các bộ phận sau đây thường được đưa vào: a. Khối lượng. Khối lượng được xem như là một đặc trưng của một bộ phận tích trữ động năng trong chuyển động tịnh tiến. Nó tương đương với cuộn cảm của mạch điện. Nếu W là trọng lượng của cäú thãø, thì M được cho bởi: (5.9) g: Gia tốc trọng trường. Trong hệ thống SI, đơn vị của M là kg, của g là m/s2; của lực là Newton(N). Hình H.5_3: Hệ thống lực- khối lượng. HìnhH. 5_3 mô tả vị trí mà ở đó một lực tác động lên một cäú thãø có khối lượng M. Phương trình được viết: 9; 9; 9; 9; (5.10) Trong đó y(t) chỉ độ dời; v(t): vận tốc; a(t): gia tốc. Tất cả được tham chiếu theo hướng của lực áp dụng. b. Lò xo tuyến tính. Một cách tổng quát, là xo được xem như là một bộ phận tích trữ thế năng. Nó tương đương với tụ điện trong các mạch điện. Trong thực tế, lò xo tuyến tính có thể là một lò xo thực sự, hoặc một dây courroir. Dù tất cả các lò xo đều phi tuyến ở vài vùng hoạt động. Nhưng, nếu sự biến dạng của lò xo nhỏ, trạng thái của nó có thể được xấp xỉ hoá (approximated) bằng một hệ thức tuyến tính: 9; 9; 9; f(t)= Ky(t) (5.11) Với K là hằng số lò xo, hoặc hằng số đàn hồi (Stifness) Ðơn vị của K: N/m Phương trình (5.11) cho thấy lực tác động lên lò xo thì tỷ lệ trực tiếp với độ dời (độ biến dạng) của lò xo. Mô hình biểu diển một bộ phận lò xo tuyến tính vẽ ở hình H.5_4. H.5_4: Hệ thống lực-lò xo. Nếu lò xo có mang trước một sức căng T thì (5.12) sẽ được cải biến thành: 9; 9; 9; f(t)-T= Ky(t) (5.12) 2. Lực ma sát trong chuyển động tịnh tiến. Mỗi khi có sự chuyển động hoặc khuynh hướng chuyển động giữa hai vật, lực ma sát sẽ xuất hiện. Lực ma sát gặp trong các hệ vật lý thường là phi tuyến. Những đặc tính của các loại lực ma sát giữa hai bề mặt tiếp xúc thường phụ thuộc vào các hệ số như là sự phối hợp bề mặt, áp suất giữa các bề mặt, vận tốc tương đối của chúng và những thứ khác, làm cho việc mô tả toán học một cách chính xác lực ma sát thì rất khó. Tuy nhiên, với chủ đích thực hành, lực ma sát có thể chia thành ba loại như sau: Ma sát trượt, ma sát nghĩ và ma sát coulomb. a. Ma sát trượt ( ma sát nhớt-Vicous Friction) Ma sát trượt biểu diễn một lực cản có liên hệ tuyến tính giữa lực tác dụng và vận tốc. Lực ma sát trượt thường được mô hình hoá bằng một dashpot (ống đệm), có ký hiệu như hình H.5_5. Phương trình biểu diễn lực ma sát trượt: (5.13) Trong đó: B là hệ số ma sát trượt. (N/m/sec) Hình H.5_5a, trình bày sự tương quan giữa lực ma sát trượt và vận tốc. b. Ma sát nghĩ (Static Friction). Ma sát nghĩ biểu diễn một lực cản, có khuynh hướng ngăn cản chuyển động lúc vừa bắt đầu (khi chuyển động bắt đầu ma sát nghĩ có trị cực đại bằng ma sát trượt). Ma sát nghĩ được biểu diễn bởi biễu thức: f(t) = ± (Fs)y’=0 (5.14) Trong đó: (Fs)y’ = 0 được định nghĩa như là lực ma sát nghĩ tồn tại chỉ khi vật đứng yên nhưng đang có khuynh hướng chuyển động. Dấu của lực tùy thuộc và chiều chuyển động hoặc chiều ban đầu của vận tốc. Sự tương quan giữa lực và vận tốc vẽ ở hình H.5_5b. Nhớ là một khi chuyển động bắt đầu, lực ma sát nghĩ biến mất, và loại lực ma sát khác xuất hiện. c. Ma sát coulomb. Lực ma sát coulomb là một lực cản, có độ lớn không đổi đối với sự biến thiên của vận tốc. Dấu của lực thì thay đổi khi vận tốc đổi chiều. Phương trình toán học của lực ma sát coulomb: 9; (5.15) Trong đó Fc là hệ số ma sát coulomb. Sự tương quan giữa lực và vận tốc vẽ ở hình H.5_5c. 3. Chuyển động quay. Chuyển động quay của một vật có thể được định nghĩa như là chuyển động của vật quanh một trục cố định. Các biến số thường dùng để mô tả chuyển động quay là moment; gia tốc góc (; vận tốc góc (; và góc dời (. Các bộ phạân sau đây thường được đưa vào để mô hình hoá chuyển động quay. Quán tính (Inertia). Quán tính J, được xem như là chỉ thị tính chất của một bộ phận tích trữ động năng trong chuyển động quay. Quán tính của vật phụ thuộc vào sự tổng hợp hình học quanh trục quay và khối lượng của nó. J còn gọi là moment quán tính. Thí dụ: quán tính của một dĩa tròn hoặc một trục tròn quay quanh trục hình học là: (5.16) Trong đó, M là khối lượng của dĩa hoặc của trục và r là bán kính của chúng. Khi một moment được áp dụng vào một cố thể với quán tính J, như hình H.5_7, thì phương trình moment được viết: (5.17) J : Kg.m2 ; T :N.m ; q :radian. H.5_7: Hệ thống moment _quán tính. b. Lò xo xoắn (torsional spring). Khi áp dụng một moment lên một thanh hay một trục quay có khối lượng không đáng kể, trục quay một góc (. Nếu k là hằng số xoắn, moment trên một đơn vị góc dời, thì hệ thống có thể biểu diễn bằng hình H.5_8 và phương trình: T(t)=Kq (t) (5.18) H.5_8: Hệ thống moment- lò xo xoắn. Nếu lò xo xoắn có mang trước một moment Tp, thì phương trình trên được cải tiến. T(t) –TP =Kq (t) (5.19) c. Ma sát trong chuyển động quay. Cả ba loại ma sát đã mô tả trong chuyển động tịnh tiến đều có thể áp dụng cho chuyển động quay. Do đó các phương trình (5.13), (5.14) và (5.15) có thể viết lại trong trường hợp này như sau: ; ; (5.20) T(t)= ± (Fs)q ’=0 9; 9; (5.21) (5.22) Trong đó, B :Hệ số ma sát nhớt, moment trên một đơn vị vận tốc góc. (Fs)(=0 là ma sát nghỉ. Fc : là ma sát coulomb. 4. Sự tương quan giữa chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay. Trong vấn đề điều khiển chuyển động, thường khi ta cần đổi một chuyển động quay thành một chuyển động tịnh tiến. Thí dụ, Hình H.5_9 : bộ điều khiển đổi một chuyển động quay thành một chuyển động thẳng nhờ motor và bộ screw (Vis Faraday) Hình H.5_10: cũng có chức năng tương tự, nhưng sự chuyển đổi thực hiện nhờ thanh răng (rack) và pinion(nhông)./ Hình H.5_11: Một bộ điều khiển chuyển động thông dụng khác, dùng pulley (ròng rọc) và dây couroir . Các hệ thống trên điều có thể được biểu diễn bằng một hệ thống đơn giản với một quán tính tương đương mắc trực tiếp vào một motor thúc. Thí dụ, khối lượng ở hình H.5_11, có thể xem như là một khối điểm (point mass) chuyển động quanh roìng roüc, bán kính r. Bỏ qua quán tính của roìng roüc, thì quán tính tương đương do motor làĺ (5.23) Nếu bán kính của pinion ở hình H.5_10 là r, quán tính tương đương do motor cho bởi phương trình (5.23). Bây giờ ta xem hệ thống ở hình H.5_9. Gọi L là khoảng di chuyển thẳng của khối lượng khi khoaíng cạch space convis xoay một vòng. Về nguyên tắc, hai hệ thống ở hình H.5_10 và H.5_11 thì tương đương. Ơû hình H.5_10 khoảng di chuyển thẳng của khối lượng trên mỗi vòng quay của pinion làL=2(r. Do đó, dùng phương trình (5.23) để tính quán tính tương đương của hệ ở hình H.5_9. (5.24) 5.Cơ năng và công suất. Năng lượng và công suất giữ vai trò quan trọng trong việc thiết kế các hệ thống điện cơ. Năng lượng được tích trữ dưới dạng động năng và thế năng âiãưu khiãøn tính "động" của hệ thống. Tuy nhiên, năng lượng tiêu tán thường ở dạng nhiệt, cũng cần được kiểm soát. * Khối lượng hoặc quán tính của một vật chỉ khả năng tích trữ động năng. Ðộng năng của một khối lượng di chuyển với vận tốc v là: (5.25) Wk: Joule, hoặc Nm ; M: N/m/sec2 ;v: m/s. đối với một hệ thống quay, động năng được viết: (5.26) J: moment quán tính Kg.m2 (: vận tốc góc rad/s. *Ġlò xo tuyến tính bị biến dạng một chiều dài y , sẽ tích trữ một thế năng: Ġ (5.27) * lò xo xoắn, tích trữ thế năng: (5.28) ( : Góc xoắn. Ðối với một bộ phận ma sát, năng lượng biểu diễn một sự mất hoặc tiêu hao bởi hệ thống khi đối kháng với lực ma sát. Công suất tiêu tán trong bộ phận có ma sát là tích số của lực và vận tốc. P=f.v (5.29) Vì f= B.v, với B là hệ số ma sát, nên: P=B.v2 (5.30) ( P: N.m/s2 hoặc watt (w)). Vậy năng lượng tiêu tán trong bộ phận ma sát la: (5.31) 6.Bánh răng - đòn bẩy dây courroir. Bánh răng, đòn bẩy hoặc dây courroir và pu-li là những cơ phận truyền năng lượng từ một bộ phận này đến một bộ phận khác của hệ thống đễ thay đổi lực, moment, vận tốc và độ dời. Chúng cũng được xem như là những bộ phận phối hợp nhằm đạt đến sự truyền công suất tối đa. Hai bánh răng nối nhau như hình H.5_12. Quán tính và ma sát của chúng được xem như không đáng kể trong trường hợp lý tưởng. Những hệ thức giữa moment T1 và T2, góc dời (1 và(2 , số răng N1 và N2 của bộ bánh răng được dẫn xuất từ các sự kiện sau đây: 1_ Số răng trên bề mặt các bánh răng tỉ lệ với bán kính r1và r2 của bánh răng: r1N2=r2N1 (5.32) 2_ Khoảng dịch dọc theo bề mặt của mỗi bánh răng thì bằng nhau. q 1r1=q 2r2 (5.33) 3_ Giả sử không có sự mất năng lượng, công tạo bởi bánh răng này bằng công của bánh răng kia. T1q 1=T2q 2 (5.34) Nếu (1 và (2 là vận tốc góc của chúng thì: (5.35) Thực tế, các bánh răng đều có quán tính và lực ma sát thường không bỏ qua. T= moment áp dụng (1, (2: góc dời. T1, T2: moment được truyền đến bánh răng J1, J2; quán tính của bánh răng N1, N2: số răng Fc1,Fc2: Hệ số ma sát coulomb. B1, B2: Hệ số ma sát nhớt (trượt). Phương trình moment của bánh răng 2 được viết: (5.36) Phương trình moment của bánh răng 1 là: (5.37) Dùng (5.35), phương trình (5.36) đổi thành: (5.38) Phương trình (5.38) chứng tỏ rằng có thể phản xạ quán tính, ma sát,momen,vận tốc và độ dời từ phía naỳ sang phía kia của bộ bánh răng. Như vậy, các đại lượng sau đây sẽ có được khi phản xạ từ bánh răng 2 sang bánh răng 1 : Quán tính :Ġ Hệ số ma sát nhớt :Ġ Momen : Góc dời :Ġ Vận tốc góc :Ġ Momen ma sát coulomb : Ġ Nếu có sự hiện diện của lò xo xoắn, hằng số lò xo cũng được nhán bởiĠ, khi phản xạ từ bánh răng 2 sang bánh răng 1. Bây giờ, thay (5.38) vào (5.37) : Dây courroir và dáy chain được dùng cùng mục đích như bộ bánh răng. Nhưng nó cho phép chuyển năng lượng với khoảng cách xa hơn mà không dùng các bánh răng với số răng quá lớn. Hình H.5_14 vẽ sơ đồ của một dây courroir (hoặc chain) giữa hai ròng rọc (pulley). Giả sử không có sự trượt giữa chúng. Dễ thấy rằng phương trình (5.41) vẫn còn được áp dụng trong trường hợp này. Thật vậy, sự phản xạ (hay sự truyền dẫn) của momen, quán tính ma sát thì tương tự như trong một bộ bánh răng. Ðòn bẩy (lever) như trong hình H.5_15 truyền chuyển động thẳng và lực tương tự cách thức mà bộ bánh răng truyền chuyển động quay. Hệ thức giữa lực và khoảng cách là : (5.43) IV. PHƯƠNG TRÌNH CỦA CỦA CÁC HỆ THỐNG CƠ KHÍ. Ðể viết các phương trình của một hệ cơ tuyến tính , trước nhất phải xây dựng trước một mô hình của hệ, bao gồm các bộ phận tuyến tính nối nhau. Sau đó áp dụng định luật Newton. Thí dụ 5.2 : Xem một hệ thống vẽ ở hình H. 5_16a . Sơ đồ vật thể tự do của hệ vẽ ở hình H.5_16b. Phương trình lực của hệ được viết : (5.44) Phương trình cấp 2 (5.44) có thể phân thành hai phương trình trạng thái cấp một. ÐặtĠ=y vàĠ=Ġ như là các biến số trạng thái. Ðể hệ thống cơ trên đây tương đương với mạch RLC nối tiếp của mạch điện. Với sự tương đương giữa một hệ thống cơ và một hệ thống điện, việc thành lập trực tiếp các phương trình trạng thái cho một hệ thống cơ sẽ trở nên đơn giản. Nếu ta xem khối lượng thì tương đương với điện cảm, hằng số lò xo K thì tương đương với nghịch đảo của điện dung 1/C . Vậy có thể chỉ định v(t): vận tốc và fk(t): lực tác động lên lò xo như là các biến số trạng thái. Lý do là cái trước tương tự dòng điện trong cuộn cảm, và cái sau tương tự như điện thế ngang qua tụ. Do đó phương trình trạng thái của hệ được viết bằng: Lực trên khối lượng: (5.47) Vận tốc của lò xo : (5.48) Phương trình trên thì giống như cách viết phương trình điện thế ngang qua 1 cuộn cảm. Còn phương trình dưới giống như phương trình ngang qua tụ. Thí dụ đơn giản trên cho thấy các phương trình trạng thái và biến số trạng thái của 1 hệ thống động thì không duy nhất. Thê dủ 5.3: Xem 1 hệ thống như hình H.5_17a. Vì lò xo bị biến dạng khi chịu tác dụng của lực f(t) hai độ dời y1 và y2 phải được chỉ định cho 2 đầu mút của lò xo. Sơ đồ vật thể tự do của hệ vẽ ở hình H.5_17b. 9; Từ H.5_17b, các phương trình lực được viết : f(t)=K[y1(t)-y2(t)] (5.49) (5.50) Ðể viết các phương trình trạng thái của hệ thống, ta đặt: 9; X1(t)=y2(t) 9; Thì các phương trình (5.49) và (5.50) được viết lại: Nếu ta chỉ định vận tốc v(t) của khối lượng M là 1 trạng thái biến số , lực fk(t) trên lò xo là 1 biến số, thì: (5.53) fk(t)=f(t) (5.54) Mạch điện tương đương với hệ cơ trên được vẽ ở hình H.5_18. Nếu muốn tìm độ dời y1(t) tại điển mà y(t) áp dụng vào, ta dùng hệ thức: 9; (5.55) Trong đó y2(0) là độ dời ban đầu của khối lượng M . Mặt khác, có thể giải cho y2(t) từ 2 phương trình trạng thái (5.51) và (5.52) và y1(t) được xác định bằng (5.49). Thê dủ 5.4: Hệ thống quay vẽ ở hình H.5_19 gồm 1 đầu thì cố định. Moment quán tính của dĩa quanh trục là J. Rìa của dĩa được lướt trên mặt phẳng và hệ số ma sát trượt là B. Bỏ qua quán tính của trục. Hằng số xoắn là K. Giả sử 1 moment áp dụng vào hệ thống như hình vẽ: Phương trình momen quanh trục được viết từ hình H.5_19b Hệ thống này tương tự như hệ thống chuyển động tịnh tiến ở H.5_16. Các phương trình trạng thái có thể viết bằng các định nghĩa các biến. x1(t)Ľ Và Ġ Ngươì đọc có thể thực hiện các bước tiếp theo để viết phương trình trạng thái như là 1 bài tập. V.MÔ HÌNH HÓA ÐỘNG CƠ DC. V.1) Sơ lược về các lọai động cơ DC: V.2) Mô hình hóa động cơ DC: 1/ Sơ lược về các lọai động cơ DC: Motor DC có thể được xếp thành 2 loại : loại có từ thông thay đổi được và loại không có từ thông thay đổi được. -Trong loại thứ nhất: Từ trường được tạo bởi cuộn cảm. Mà cuộn cảm thì đấu với 1 từ trường ngoài. Loại động cơ này lại được có thể chia làm 2 loại: kích từ nối tiếp và kích từ riêng. H.5_19a, ký hiệu của động cơ DC kích từ nối tiếp. Cuộn cảm đấu nối tiếp với phần ứng. H.5_19b động cơ nối tiếp kích từ riêng. Cuộn cảm cách ly với phần ứng và được cấp điện bởi 1 nguồn điện khác. + Trong loại kích từ nối tiếp, từ thông trong động cơ thì tỷ lệ với dòng điện cảm, mà dòng này thì thay đổi, sự liên hệ giữa moment và vận tốc thường là phi tuyến. Như vậy loại động cơ này chỉ dùng trong những ứng dụng đặt biệt cần đến moment lớn với vận tốc thấp. Momen của motor giảm rất nhanh khi vận tốc tăng. + Ðối vối loại kích từ riêng từ thông thì độc lập với dòng điện ứng. Vì vậy nó có thể được điều khiển từ bên ngoài trong 1 phạm vi rộng. -Trong loại thứ 2 motor DC có từ thông không đổi, từ trường phần cảm là do 1 nam châm vĩnh cửu và không thay đổi . Loại này gọi là PM motor. Ðiều này khiến đặc tuyến moment-vận tốc tương đối tuyến tính. Các động cơ DC qui ước đều có chổi và cổ góp. Nhưng hiện nay có loại động cơ DC mà cổ góp được thay bằng bộ phận điện tử . Loại này được gọi là động cơ DC không chổi(âDC brushless motor). 2/ Mô hình hóa động cơ DC: Vì các động cơ DC được dùng rất nhiều trong các hệ điều khiển ta cần quan tâm tới việc thiếp lập 1 mô hình toán học cho chúng. Sau đây ta khai triển mô hình toán học cho 2 lọai động cơ DC kích từ riêng và loại kích từ bằng nam châm vĩnh cữu (PM.motor). c. Ðộng cơ DC kích từ riêng: Phần ứng được mô hình hóa như là 1 mạch với điện trở Ra, nối tiếp với 1 cuộn cảm La. Một nguồn điện thế Eb biểu diễn cho sức điện động sinh ra trong phần ứng khi rotor quay.Phần cảm được biểu diễn bằng 1 điện trở Rf nối tiếp với 1 cuộn điện cảm Lf . Từ thông trong khe từ là rỗng. Các biến số và thông số tóm tắt như sau: Ea(t): điện thế phần ứng. Ef(t): điện thế phần cảm. Ra: điện trở phần ứng. Eb(t): suất điện động trong phần ứng. Rf: điện trở phần cảm. La: điện cảm phần ứng. Lf: điện cảm phần cảm. I a(t): dòng điện phần ứng. &#&#I f(t): dòng điện phần cảm. 9; 9; Ki: hằng số moment. Kb: hằng số suất điện động phần ứng. Tm(t): moment được khai triển bởi động cơ. 9; 9; Jm: quán tính của rotor. Bm: hệ số ma sát trượt. ĉ góc dời của rotor. ĉvận tốc dài của rotor. TL(t): moment tải. Giả sử ef(t) được cung cấp 1 cách hiệu quả để cho if(t) không đổi. Sự điều khiển được đặt lên 2 đầu phần ứng dưới dạng điện thế ea(t). Và để phân giải tuyến tính ta giả sử thêm: 1- Từ thông ở khe từ thì tỷ lệ với dòng điện cảm. 2- Moment khai triển bởi động cơ thì tỷ lệ với từ thông trong khe từ và dòng điện ứng . Vì K mKf If là hằng số, nên: Tm(t)=Ki ia(t) (5.65) Ki là hằng số moment. Bắt đầu với điện thế điều khiển ở ngõ vào các phương trình nhân quả của hệ được viết lại: (5.66) Tm(t)=Ki ia(t) (5.67) Trong đo,ù TL(t) là moment tải(cản). Một cách tổng quát TL(t) biểu diễn 1 moment mà động cơ phải vuợt quá mới có thể thay đổi được. TL(t) cũng có thể là moment ma sát không đổi thí dụ ma sát culomb. * Các phương trình (5.66) đến (5.69) là nguyên nhân của các nguyên nhân. Phương trình (5.56) xem diat)/dt là hậu quả trung gian do ea(t) gây ra. Trong phương trình (5.57) ia(t) tạo nên moment Tm(t). Phương trình (5.68) định nghĩa suất điện động phần ứng và cuối cùng trong phương trình (5.69) moment gây ra góc dời (m. Các biến số trạng thái của hệ có thể được định nhgĩa là (m , Wm và ia. Các phương trình trạng thái của động cơ DC , được viết dưới dạng ma trận (5.70): (5.70) Nhớ là trong trường hợp này TL(t) là input thứ 2 trong các phương trình trạng thái. Ðồ hình trạng thái của hệ được vẽ ở hình H.5_27, bằng cách dùng phương trình (5.70). Hàm chuyển giữa độ dời và điện thế suy được từ đồ hình trạng thái. (5.71) Trong đó TL đặt ở Zero. Chương VI TÍNH ỔN ÐỊNH CỦA HỆ THỐNG NỘI DUNG: 6.1) Đai cương 6.2) Định nghĩa tính ổn định 6.3) Khai triển phần bố từng phần 6.4) Mặt phẳng phức và sự ổn định của hệ thống 6.5) Các phương pháp xác định tính ổn định của hệ thống 6.6) Tiêu chuẩn ổn đinh ROUTH 6.7) Tiêu chuẩn HURWITZ I. ÐẠI CƯƠNG. Có nhiều đặc tính được dùng trong thiết kế hệ thống tự kiểm. Nhưng yêu cầu quan trọng nhất, đó là hệ thống có ổn định theo thời gian hay không? Nói chung, tính ổn định được dùng để phân biệt hai loại hệ thống: Hữu dụng và vô dụng. Trên quan điểm thực tế, ta xem một hệ thống ổn định thì hữu dụng, trong khi một hệ thống bất ổn thì vô dụng. Ðối với nhiều hệ thống khác nhau: tuyến tính, phi tuyến, không đổi theo thời gian và thay đổi theo thời gian, tính ổn định có thể được định nghĩa theo nhiều hình thức khác nhau. Trong chương này, ta sẽ chỉ xét tính ổn định của những hệ tuyến tính, không đổi theo thời gian. Một cách trực giác, tính ổn định của một hệ là khả năng quay trở về trạng thái ban đầu sau khi đã lệïch khỏi trạng thái này, khi tác động của các nguồn kích thích từ bên ngoài(hay các nhiểu) chấm dứt. II. ÐỊNH NGHĨA TÍNH ỔN ÐỊNH Một hệ thống là ổn định nếu đáp ứng xung lực giảm tới zero khi thời gian tiến tới vô cực. * Thí dụ 6.1: cho đáp ứng xung lực của vài hệ điều khiển sau đây. Trong mỗi trướng hợp, hãy xác định tính ổn định của hệ thống. a) g(t) = e-t. b) g(t) = t.e-t. c) g(t) = 1. d) g(t) = e-t.sin3t. e) g(t) = sinw t. H.6_1. Theo định nghĩa, hệ thống: a) ổn định. b) ổn định. c) bất ổn. d) ổn định. e)bất ổn • III.KHAI TRIỂN PHÂN BỐ TỪNG PHẦN (Parial Fraction expansion) Có thể tìm đáp ứng xung lực của một hệ thống bằng cách lấy biến đổi laplace ngược hàm chuyễn của hệ. Và để không phải dùng đến tích phân biến đổi laplace ngược. ta có thể dùng phương pháp khai triển phân số từng phần Xem hàm chuyển G(s) = C(s)/ R(s). (6.1) Trong đó, C(s) và R(s) là những đa thức theo s. Giả sữ R(s) có bậc lớn hơn C(s). Ða thức R(s) gọi là đa thức đặc trưng và có thể viết: R(s) = sn + a1sn-1 +....+an-1s +an. (6.2) Trong đó, a1,...an là những hệ số thực. Những nghiệm của phương trình đặc trưng R(s) = 0 có thể là thực, hay những cặp phức liên hợp đơn hay đa cấp (có lũy thừa hay không). Ta xem trường hợp những nghiệm này thực và đơn cấp, phương trình (6.1) có thể được viết: (6.3) Trong đó, -s1, -s2,....-sn là những nghiệm của phương trình đặc trưng zero của R(s) hay là những cực của G(s). (6.4) Những hệ số Ksi (i=1, 2, 3,...n) được xác định bằng cách nhóm 2 vế của (6.3) hoặc (6.4) cho (s+si) rồi đặt s = -si. Thí dụ, để tìm hệ số Ks1, ta nhóm cả hai vế (6.3) cho (s+s1) và đặt s = -s1. (6.5) * thí dụ 6.2: xem hàm chuyển của một hệ thống. (6.6). Hãy tìm đáp ứng xung lực của hệ. Trước hết, ta áp dụng kỹ thuật khai triển phân số từng phần. (6.7) các hệ số K-1, K-2, K-3 được xác định như sau: Vậy (6.7) trở thành: (6.8). Bây giờ ta có thể dùng bảng biến đổi để tính đáp ứng xung lực của hệ thống. g(t) =L-1[G(s)]. g(t) = -e-t + 7e-2t -6e-3t. (6.10) * Thí dụ 6.3: bài toán tương tự như trên, với hàm chuyển như sau: (6.13) * Thí dụ 6.4: Khai triển phân số từng phần: Biến đổi Laplace ngược : g(t) = - e-t + t e-t + e-2t. IV. MẶT PHẴNG PHỨC VÀ SỰ ỔN ÐỊNH CỦA HỆ THỐNG 1. Hàm chuyễn là một hàm hữu tỷ, bao gồm tỷ số của những đa thức theo biến số phức s. 2. Ở trên ta thấy đáp ứng xung lực của một hệ thống tuyến tính không thay đổi theo thới gian thì gồm tổng các hàm expo theo thời gian, mà các số mũ của chúng là nghiệm của phương trình đặc trưng. 1. Hàm chuyễn là một hàm hữu tỷ, bao gồm tỷ số của những đa thức theo biến số phức s. 9; 9; (6.14) Trong đ ó c ác (s+zi ) l à nh g th ư athöøa soá cuûa ña thöùc töû vaø ( s+pi ) laø nhöõng thừa số của đa thức mẫu. a) Những giá trị của s làm cho trị tuyệt đối của |G(s)| bằng zero thì gọi là các zero của G(s). b) Những giá trị của s làm cho trị tuyệt đối của |G(s)| tiến tới vô cực thì gọi là các cực (pole) của G(s). * Thí dụ 6.5 : Xem một hệ thống có hàm chuyễn (6.16) G(s) có các zero tại s = -1 và s = 2 G(s) có các cực tại s = -3 ; s = -1-j và s = -1+j Cực và zero là những số phức, được xác định bởi hai biến số s = ? + j?. Một để biểu diễn phần thực và một để biểu diễn phần ảo cho số phức. Một cực hay một zero có thể được biểu diễn trong tọa độ vuông góc. Trục hoành chỉ trục thực và trục tung chỉ trục ảo. Mặt phẳng xác địnhbởi hệ trục này gọi là mặt phẳng phức hoặc mặt phẳng s. H.6-2 Nữa mặt phẵng mà trong đó ( 0 gọi là nữa phải của mặt phẵng s. Vị trí của một cực trong mặt phẳng s được kí hiệu bằng dấu (X) và vị trí một zero bằng dấu (o). 2. Ở trên ta thấy đáp ứng xung lực của một hệ thống tuyến tính không thay đổi theo thới gian thì gồm tổng các hàm expo theo thời gian, mà các số mũ của chúng là nghiệm của phương trình đặc trưng. Vậy để đảm bảo hàm xung lực giãm theo hàm expo theo thời gian thì các nghiệm của phương trình đặc trưng phải có phần thực âm. Nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống cũng là cực của hàm chuyễn. Vậy có thể kết luận rằng, điều kiện cần để một hệ ổn định là các cực của hàm chuyển phải nằm ở nữa trái của mặt phẵng s. Trục ảo, bao gồm gốc tọa độ, thì thuộc về vùng bất ổn. H.6-3 * Thí dụ 6.5 : Xem một hệ thống có hàm chuyễn mà các cực ở tại -1 và -5 và các zero ở tại 1 và -2 H.6-4 Các cực đều nằm nữa trái mặt phẵng s. vậy hệ thống ổn định. Mặc dù có một zero nằm ở nữa phải, nhưng đều đó không tác động lên tính ổn định của hệ thống. V. CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ÐỊNH TÍNH ỔN ÐỊNH CỦA HỆ THỐNG Ta đã thấy tính ổn định của một hệ tự kiểm tuyến tính không đổi theo thời gian có thể xét bằng cách khảo sát đáp ứng xung lực, hoặc tìm vị trí các nghiệm của phương trình đặc trưng trong mặt phẳng s. Nhưng các tiêu chuẩn ấy thường là khó thực hiện trong thực tế. Thí dụ, đáp ứng xung lực có được bằng cách lấy biến đổi Laplace ngược của hàm chuyễn, nhưng không phải lúc nào cũng đơn giãn. Còn việc tìm nghiệm của phương trình bậc cao chỉ có thể nhờ vào máy tính. Vì vậy, trong thực tế phân giãi tính ổn định cho hệ thống, người ta có thể dùng phương pháp sau đây mà không cần đến việc giãi các phương trình đặc trưng. Tiêu chuẩn ROUTH và HURWITZ : là một phương pháp đại số, cho dữ kiện về tính ổn định tuyệt đối của một hệ tuyến tính không đổi theo thời gian. Các tiêu chuẩn này sẽ thử đễ chỉ có bao nhiêu nghiệm của phương trình đặc trưng nằm ở nữa trái, nữa phải và trên trục ảo. Ðồ hình quĩ tích nghiệm số (Root Locus Plot): trình bày một đồ hình của quĩ tích các nghiệm của phương trình đặc trưng khi một thông số nào đó của hệ thống bị thay đổi. Khi quĩ tích nghiệm số nằm trên nữa phải mặt phẳng s, hệ thống vòng kính bị bất ổn. Tiêu chuẩn NYQUIST : là một phương pháp bán - đồ - họa (Semi graphical), cho dữ kiện trên sự khác biệt giữa số cực và zero của hàm chuyễn vòng kín bằng cách quan sát hình trạng của đồ hình NYQUIST. Phương pháp này cần biết vị trí tương đối của các zero. Sơ đồ Bode : sơ đồ Bode của hàm chuyễn vòng kín G(s) H(s) có thể được dùng để xác định tính ổn định của hệ vòng kín. Tuy nhiên, chỉ có thể dùng khi G(s) H(s) không có các cực và zero trong nữa phải mặt phẳng s. Tiêu chuẩn LYAPUNOV : là phương pháp xác định tính ổn định của hệ phi tuyến, nhưng vẫn có thể áp dụng cho các hệ tuyến tính. Sự ổn định của hệ được xác định bằng cách kiểm tra các tính chất của hàm Lyapunov. VI. TIÊU CHẨN ỔN ÐỊNH ROUTH 9; Tiêu chuẩn Routh có thể xác định tính ổn định của hệ mà phương trình đặc trưng đến bậc n. 9; 9; ansn + an-1sn-1 + ….. + a1s + a0 = 0 Tiêu chuẩn này được áp dụng bằng cách dùng bảng Routh định nghĩa như sau : 9; Trong đó an , an-1 , …… , a0 là các hệ số của phương trình đặc trưng, và : Bảng được tiếp tục theo chiều ngang chiều dọc cho đến khi được toàn zero. Tấc cả nghiệm của phương trĩnh đặc trưng có phần thực âm nếu và chỉ nếu các phần tử ở cột thứ nhất của bảng Routh có cùng dấu (không đổi dấu). Nói cách khác số nghiệm có phần thực dương bằng với số lần đổi dấu. * Thí dụ 6 -6 : Hệ thống có phương trình đặc trưng 9; 9; s3 + 6s2 + 12s + 8 = 0 Xét tính ổn định Bảng Routh : vì không có đổi dấu ở cột thứ nhất, nên tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng đều có phần thực âm. Vậy hệ ổn định. * Thí dụ 6 -7 : Phương trình đặc trưng của một hệ thống là : 9; 9; s3 + 3s2 + 3s + 1 + k = 0 Hãy xác định điều kiện để hệ ổn định Bảng Routh : 9; 9; Ðể hệ ổn định, cần có sự không đổi dấu ở cột 1. Vậy các điều kiện là : 8-k > 0 và 1+k > 0 vậy phương trình đặc trưng có các nghiệm với phần thực âm nếu : 9; -1 < k < 8 * Thí dụ 6 -8 : Lập bảng Routh và xác định số nghiệm có phần thực dương của phương trình đặc trưng 2s3 + 4s2 + 4s + 12 = 0 Bảng Routh : s3 ; 2 4 0 Hàng s2 được chia 4 trước khi s2 1 3 0 tính hàng s1. Hàng s1 được chia 9; 9; s1 -1 0 2 trước khi tính hàng s0 s0 3 Vì có hai lần đổi dấu ở cột 1, nên phương trình trên có hai nghiệm có phần thực dương. * Thí dụ 6 -9 : Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng : 9; 9; 9; s4 + s3 - s - 1 = 0 Bảng Routh : Hệ số ở hàng s0 được tính bằng cách thay 0 ở hàng s1 bằng (, rồi tính hệ số của hàng s0 như sau : cần phương cách này khi có một zero ở cột một. Vì có một lần đổi dấu ở cột một, nên phương trình đặc trưng có một nghiệm có phần thực dương. Do đó, hệ thống không ổn định. VII. TIÊU CHUẨN HURWITZ 9; Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz là phương pháp khác để xác định tất cả nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực âm hay không . Tiêu chuẩn này được áp dụng thông qua việc sử dụng các định thức tạo bởi những hệ số của phương trình đặc trưng. Giả sử hệ số thứ nhất, an dương. Các định thức Ai với i = 1, 2, .... , n-1 được tạo ra như là các định thức con (minor determinant) của định thức : Các định thức con được lập nên như sau : Và tăng dần đến ?n Tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực âm nếu và chỉ nếu ?i > 0 với i = 1 , 2 , .. , n. * Thí dụ 6 -10: Với n = 3 Tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực âm nếu 9; 9; a2 > 0 , a2 a1 – a0 a3 > 0 a2 a1 a0 – a02 a3 > 0 * Thí dụ 6 -11 : Xét sự ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng 9; 9; 9; s3 + 8s2 + 14s + 24 = 0 Lập các định thức Hurwitz 9; 9; Các định thức đều lớn hơn không, các nghiệm của phương trình đặc trưng đều có phần thực âm, nên hệ thống ổn định. * Thí dụ 6 .12 : Với khoãng giá trị nào của k thì hệ thống sau đây ổn định : 9; 9; s2 + ks + ( 2k – 1 ) = 0 Ðể hệ ổn định, cần có : Vậy Ġ * Thí dụ 6 .13 : Một hệ thống thiết kế đạt yêu cầu khi mạch khuếch đại của nó có độ lợi k = 2 . Hãy xác định xem độ lợi này có thể thay đổi bao nhiêu trước khi hệ thống trở nên bất ổn, nếu phương trình đặc trưng của hệ là : s3+ s2 (4+k) + 6s + 16 + 8k = 0 Thay các tham số của phương trình đã cho vào điều kiện Hurwitz tổng quát ở thí dụ 6 .10. Ta được những điều kiện để hệ ổn định : 9; 4 + k > 0 , (4+k)6 – (16+8k) > 0 (4+k) 6 (16+8k) – (16 + 8k)2 > 0 Giã sử độ lợi k không thể âm, nên điều kiện thứ nhất thỏa. Ðiều kiện thứ nhì và thứ ba thỏa nếu k < 4 Vậy với một độ lợi thiết kế có giá trị là 2, hệ thống có thể tăng độ lợi lên gấp đôi trước khi nó trở nên bất ổn. Ðộ lợi cũng có thể giãm xuống không mà không gây ra sự mất ổn định.