Đại số tuyến tính - Chương 2: Định thức

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng --------------------------------------------------------------- Đại số tuyến tính Chương 2: Định thức Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008) www.tanbachkhoa.edu.vn NỘI DUNG --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I – Định nghĩa định thức và ví dụ. II – Tính chất của định thức III – Khai triển Laplace I. Định nghĩa và ví dụ --------------------------------------------------------------------- Cho là ma trận vuông cấp n. Định thức của A là một số ký hiệu bởi det   nnij aA   AaA nnij   )( Ký hiệu là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j của ma trận A; ijM ij( 1) i j ijA M  Bù đại số của phần tử aij là đại lượng Định nghĩa bù đại số của phần tử aij I. Định nghĩa và ví dụ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- b) k =2: 11 12 11 22 12 21 11 11 12 12 21 22 a a A A a a a a a A a A a a            a) k =1:   1111 aAaA  c) k =3: 11 12 13 21 22 23 11 11 12 12 13 13 31 32 33 a a a A a a a A a A a A a A a a a              d) k =n: 11 12 1 11 11 12 12 1 1* n n n a a a A A a A a A a A              ............... Định nghĩa định thức bằng qui nạp I. Định nghĩa và ví dụ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 11 12 131 2 ( 3)A A A A       23 32 )1()3( 43 02 )1(2 42 03 )1(1 312111  A 11151612 A 1 1 1 1 11 1 2 3 3 0 2 3 0 ( 1) 12 2 4 3 ( ) 2 4 1A       Tính det (A), với             423 032 321 A Ví dụ Giải 12 1 1 2 2 * * j j j j j j nj nj nj a a A a A a A a A a       II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------- 1. Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo bất kỳ hàng hoặc cột tùy ý nào đó 1 2 1 1 2 2 * * i i in i i i i in inA a a a a A a A a A      II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tính định thức det (A), với             004 225 313 A Ví dụ Khai triển theo hàng thứ 3 32 22 31 )1(4 004 225 313 )1(4 004 225 313 1313        A Giải. II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tính định thức det (A), với 2 3 3 2 3 0 1 4 2 0 3 2 4 0 1 5 A            Ví dụ II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Khai triển theo cột thứ hai 12 22 32 42 12 2 3 3 2 3 0 1 4 ( 3) 0 0 0 3 2 0 3 2 4 0 1 5 A A A A A A                3 1 4 3 2 3 2 87 4 1 5 A       Giải II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo. 120145)3(2 10000 94000 82500 17630 40312    A Ví dụ II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Sử dụng biến đổi sơ cấp đối với hàng để tính định thức 1.Nếu thìi i h h A B   | | | |B A 2.Nếu thìi i j h h h A B    | | | |B A 3. Nếu thìi j h h A B   | | | |B A  II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp, tính định thức                 1312 2623 0532 1211 A 1504 101 211 ||  A Khai triển theo cột đầu tiên 1730 1010 2110 1211    II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải 1312 2623 0532 1211 ||    A 2 2 12 h h h 3 3 13 h h h 4 4 12 h h h || A 173 101 211 )1(1 11    19 154 11 )1(1 21      II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bước 1. Chọn 1 hàng (hoặc một cột) tùy ý; Bước 2. Chọn một phần tử khác không tùy ý của hàng (hay cột) ở bước 1. Dùng biến đổi sơ cấp, khử tất cả các phần tử khác. Bước 3. Khai triển theo hàng (hay cột) đã chọn. Nguyên tắc tính định thức sử dụng biến đổi sơ cấp II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Sử dụng biến đổi sơ cấp, tính định thức                 1314 2413 0232 1123 A 2 3 2 | | 5 8 0 5 5 0 A    411 253 232 )1(1 41     0411 0253 0232 1123    1314 2413 0232 1123 ||    A II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải 3 3 12 h h h 4 4 1 h h h 1 3 5 8( 2) ( 1) 30 5 5        Khai triển theo cột số 4 || A II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- det (AT) = det (A) det(AB) = det(A) det(B) Ma trận có một hàng (cột) bằng không, thì det (A) = 0 Ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau, thì det (A) = 0 Chú ý: det(A+B) det(A) + det(B). II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giả sử A là ma trận khả nghịch nxn. Khi đó tồn tại ma trận khả nghịch A-1, sao cho AA-1 = I. Suy ra 1 1 AA P A   , với 11 12 1 21 22 2 1 2 T n n A n n nn A A A A A A P A A A                   Chứng minh Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) 0. Định lý Giả sử det(A) 0. Khi đó det(AA-1) = det (I) det(A).det(A-1) = 1 det(A) 0 II. Tính chất của định thức ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------                  * * * 111 111 jjj jjj aaa aaa B   1 1 2 2 0 | |, , i j i j in jn A i j a A a A a A i j                          * * * 111 111 iii jjj aaa aaa A   II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tính chất của ma trận nghịch đảo 1. 1 1det( ) det( ) A A   2. Nếu A khả nghịch, thì 1det( ) (det( ))nAP A  Chứng minh. II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho A là ma trận khả nghịch. Khi đó 1 1 AA P A   , với 11 12 1 21 22 2 1 2 T n n A n n nn A A A A A A P A A A                   Công thức tính ma trận nghịch đảo A-1 II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo của            043 132 111 A Giải. 02)det( A A khả nghịch Tính 9 bù đại số của các phần tử 1 1 11 3 1 ( 1) 4; 4 0 A     1 212 2 1 ( 1) 3; 3 0 A    1 313 2 3 ( 1) 1 3 4 A     21 22 23 31 32 334; 3; 1; 2; 1; 1A A A A A A         1 4 4 2 1 3 3 1 2 1 1 1 A             Tính det(A), nếu Ví dụ 1 2 1 1 3 3 2 1 2 4 1 0 1 3 3 2 2 A             Tính det(A), với Ví dụ 2 4 1 1 0 3 2 4 1 2 1 3 1 5 1 2 3 A             Khẳng định nào sau đây đúng? Ví dụ 3 2 3 2 1 3 3 2 3 1 ( ) 3 5 2 1 6 3 2 1 9 x x f x x x x      a) Bậc của f(x) là 5. b) Bậc của f(x) là 4. c) Bậc của f(x) là 3. d) Các câu khác đều sai. Tính định thức của ma trận sau Ví dụ 4 1 0 1 0 1 1 1 i A i i i           Tính định thức Ví dụ 5 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 I  Giải phương trình, với a, b, c là các số thực. Ví dụ 6 2 3 2 3 2 3 2 3 1 1 0 1 1 x x x a a a b b b c c c  Giải phương trình Ví dụ 7 1 1 1 1 1 1 1 1 01 1 2 1 1 1 1 x x n x             Tính định thức Ví dụ 8 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 I           Tính định thức Ví dụ 9 1 2 3 1 0 3 1 2 0 0 1 2 3 0 n n n D                 Tính định thức Ví dụ 10 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 nD           Giải phương trình trong C Ví dụ 11 2 2 3 2 3 4 0 0 0 7 6 0 0 5 3 x x   Tính định thức Ví dụ 12 7 5 0 0 2 7 5 0 0 2 7 0 0 0 0 7 nD           Khai triển theo hàng 1, ta cóGiải ví dụ 9 11 127 5nD A A  1 1 1 1 7 5 0 0 2 5 0 0 2 7 5 0 0 7 5 0 7( 1) 5( 1)0 2 7 0 0 2 7 0 0 0 0 7 0 0 0 7 nD                        1 1 1 7 5 0 0 2 7 5 0 7 5.2( 1) 0 2 7 0 0 0 0 7 n nD D              1 27 10n n nD D D   1 1 25 2( 5 )n n n nD D D D      1 2 2 35 2( 5 )n n n nD D D D      2 1 2 35 2 ( 5 )n n n nD D D D      2 1 2 15 2 ( 5 ) * ( ) n n nD D D D      1 27 10n n nD D D   1 1 22 5( 2 )n n n nD D D D      1 2 2 32 5( 2 )n n n nD D D D      2 1 2 12 5 ( 2 ) * )*( n n nD D D D      2 1 2 15 2 ( 5 ) * ( ) n n nD D D D      1 2* **( )& ( ) theo vaø nD D D Tính định thức Ví dụ 13 5 3 0 0 2 5 3 0 0 2 5 0 0 0 0 5 nD           Tính định thức Ví dụ 14 9 5 0 0 4 9 5 0 0 4 9 0 0 0 0 9 nD           Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách tính định thức Ví dụ 15 1 2 1 2 3 1 3 5 2 A            Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau Ví dụ 16 1 0 0 0 2 1 0 0 5 4 1 0 1 2 3 2 A             Tìm tất cả các giá trị của m để ma trận sau khả nghịch Ví dụ 17 1 1 2 1 2 1 5 3 5 0 7 1 2 3 3 A m              Tìm tất cả các giá trị thực của m để ma trận sau khả nghịch. Ví dụ 18 1 2 1 1 1 1 2 3 2 3 2 3 2 1 5 7 5 A m               Cho . 1) Tính det (A-1). Ví dụ 19 1 1 1 2 3 1 3 3 5 A           2) Tính det (5A)-1. 3) Tính det (PA). Cho Ví dụ 20 3 3[ ]; [ ];det( ) 2;det( ) 3.A M R B M R A B     1) Tính det (4AB)-1. 2) Tính det (PAB). Cho k là số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng n; i1, i2, , ik và j1, j2, , jk là những số tự nhiên thỏa 1 2 1 21 ... ;1 ...k ki i i n j j j n          III. Khai triển Laplace ----------------------------------------------------------------------------- Định thức con cấp k, ký hiệu bởi , là định thức thu được từ A bởi những phần tử giao của k hàng i1, i2, , ik và k cột j1, j2, , jk . 1 1 ,..., ,..., k k i i j ja Định nghĩa định thức con cấp k III. Khai triển Laplace ----------------------------------------------------------------------------- Định lý (Khai triển Laplace) Định thức của ma trận vuông A bằng tổng tất cả các tích của định thức con cấp k rút ra từ k hàng (hoặc k cột) nào đó với bù đại số của chúng. Đại lượng 1 11 1 1 1 . . . . . . ,,. . . , , . . . , . . . , ,. . . ,( 1) n n n n n n i ii i j j j j i i j jMA       được gọi là bù đại số cấp k của 1 1 ,..., ,..., k k i i j ja III. Khai triển Laplace ----------------------------------------------------------------------------- Tính định thức bằng khai triển Laplace. bước 1. Chọn k hàng (hoặc k cột) tùy ý bước 2. Tính tất cả các định thức con cấp k thu được từ k hàng đã chọn. Tổng cộng có định thức con cấp k.knC bước 3. Tìm tất cả các bù đại số cấp k tương ứng của các định thức con cấp k ở bước 2. bước 4. Định thức của ma trận A bằng tổng tất cả các tích của định thức con cấp k với bù đại số của chúng. III. Khai triển Laplace ----------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 21 Tính định thức của A bằng cách sử dụng khai triển Laplace. 2 3 1 1 3 0 1 0 5 2 4 1 1 0 2 0 A            III. Khai triển Laplace ----------------------------------------------------------------------------- Giải Chọn k = 2, chọn 2 hàng: hàng 2 và hàng 4. 3 0 1 0 1 0 2 0      Tồn tại định thức con cấp 2 nhưng chỉ có 1 khác không.2 4 6C  2,4 1,3 3 1 5 1 2 a     2,4 2 4 1 3 1,3 3 1 ( 1) 1 2 1 A      2,4 2,4 1,3 1,3det( ) . 5.1 5A a A   Tính det(A) sử dụng khai triển Laplace Ví dụ 22 2 1 2 3 5 1 0 3 0 2 3 4 2 5 1 2 0 1 0 4 3 2 5 2 1 A                  III. Khai triển Laplace ---------------------------------------------------------------------------- Chọn k = 2, chọn 2 hàng: hàng 2 và hàng 4. 1 0 3 0 2 2 0 1 0 4       Tồn tại định thức con cấp 2 nhưng chỉ có 2 khác không.25 10C  2,4 1,3 1 3 5 2 1 a    2,4 1 3 2 4 1,3 1 3 5 ( 1) 4 5 1 2 2 1 A     2,4 2,4 2,4 2,4 2,4 2,4 1,3 1,3 1,5 1,5 3,5 3,5det( ) . . .A a A a A a A   2,4 1,5 1 2 0 2 4 a   2,43,5 3 2 10 1 4 a   II. Tính chất của định thức --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tính định thức bằng bù đại số cần n! phép toán. Nếu một máy tính siêu tốc độ có thể tính tỉ tỉ phép toán trong một giây thì để tính một định thức cấp 25 cần 500.000 năm (cần 25! , khoảng 1.5x1025 phép toán). Phần lớn các máy tính sử dụng biến đổi sơ cấp để tính det (A). Các phép biến đổi sơ cấp cần (n3+2n-3)/3 phép nhân và chia. Bất kể máy tính nào cũng có thể tính định thức cấp 25 trong vòng phần của 1 giây, chỉ cần khoảng 5300 phép toán.