Đại số tuyến tính - Chương 4: Không gian vectơ

Trường ĐH Bách khoa tp Hồ Chí Minh Khoa Khoa học ứng dụng - Bộ môn Toán ứng dụng ------------------------------------------------------ Ñaïi soá tuyeán tính Chöông 4: KHOÂNG GIAN VEÙCTÔ (tt) Giaûng vieân TS. Ñaëng Vaên Vinh www.tanbachkhoa.edu.vn Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I – Toạ độ của véctơ. II – Không gian con. III - Tổng và giao của hai không gian con. I. Toạ độ của véctơ ------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho E ={e1, e2, , en} là cơ sở sắp thứ tự của K-kgvt V Định nghĩa toạ độ của véctơ 1 1 2 2 ...     n nx x e x e x e 1 2[ ]E n x x x x              x V  Bộ số được gọi là tọa độ của véctơ x trong cơ sở E. 1 2( , ,..., )nx x x I. Toïa ñoä cuûa veùctô ------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2Cho { 1; 2 1; 2}E x x x x x x       Ví dụ Tìm véctơ p(x), biết toạ độ trong cơ sở E là 3 [ ( )] 5 2 Ep x            là cơ sở của không gian 2[x]P 3 [ ( )] 5 2            Ep x 2 2 2( ) 3( 1) 5( 2 1) 2( 2)         p x x x x x x x ( ) 5 2   p x x I. Toïa ñoä cuûa veùctô ------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho {(1,1,1);(1,0,1);(1,1,0)}E  Ví dụ là một véctơ của R3. Tìm toạ độ của véctơ x trong cơ sở E. là cơ sở của R3 và x = (3,1,-2) Giả sử 1 2 3 [ ]           E x x x x 1 1 2 2 3 3   x x e x e x e 1 2 3(3,1, 2) (1,1,1) (1,0,1) (1,1,0)    x x x 1 2 3 1 3 1 2 3 1 2           x x x x x x x 4 [ ] 2 5            Ex I. Toïa ñoä cuûa veùctô ------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2Cho { 1; 1;2 1} laø cô sôû [ ].E x x x x P x     Ví dụ Tìm toạ độ của véctơ p(x) = 3x2+4x-1 trong cơ sở E. Giả sử [ ( )]           E a p x b c 1 2 3( ) . . .   p x a e b e c e 2 23 4 1 ( 1) ( 1) (2 1)         x x a x x b x c x 3 2 4 1           a a b c a b c 3 [ ( )] 9 5             Ep x I. Toïa ñoä cuûa veùctô ------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 1 2 22. [ ]E n n x y x y x y x y              1 1 2 21. n n x y x y x y x y           1 2[ ]E n y y y y              Tính chất của tọa độ véctơ 1 2[ ]E n x x x x              1 23. [ ]E n x x x x                  I. Toïa ñoä cuûa veùctô ------------------------------------------------------------------------------------------------- Ý nghĩa của toạ độ véctơ. Trong không gian n chiều V cho một cơ sở E ={e1, e2, , en}. Tất cả các vectơ của V đều biễu diễn qua E dưới dạng tọa độ. Hai phép toán cơ bản: cộng hai vectơ và nhân vectơ với một số, và sự bằng nhau trong V có thể phức tạp. Theo tính chất của tọa độ, ta thấy các phép toán này giống hoàn toàn trong Rn. Suy ra cấu trúc của không gian vectơ V hoàn toàn giống Rn. Chứng minh được V và Rn đồng cấu với nhau, vậy nên trong nghiên cứu ta đồng nhất V và Rn. Tất cả các không gian n chiều đều coi là Rn. I. Toïa ñoä cuûa veùctô ------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 2 2 2{ 1;3 2 1;2 } [ ].Cho laø taäp con cuûa      M x x x x x x P x Ví dụ Hỏi M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính. Chọn cơ sở chính tắc của P2[x] là . 2, ,1{ }E x x 2 1 1 1 1 E[ ]x x             2 3 2 1 2 1 E[3 ]x x             2 2 1 0 E[2 ]x x            Hạng của M = hạng của họ vectơ của M ở dạng toạ độ. 1 3 2 1 2 1 1 1 0 A           ( ) 2r A  Vậy M phụ thuộc tuyến tính Tập con F II. Khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- V là K-kgvt Tập con F 2 phép toán trong V K- kgvt F Kg con F II. Khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tập con khác rỗng F của K-kgvt V là không gian con của V khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây thỏa. 1. , : f g F f g F    2. , :      f F K f F Định lý II. Khoâng gian con ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  1 2 3 3 1 2 3( , , ) | 2 0F x x x R x x x     Ví dụ 1. Chứng tỏ F là không gian con của R3 2. Tìm cơ sở và chiều của F. Giải câu 2. 1 2 3( , , )  x x x x F 1 2 32 0   x x x 3 1 22  x x x Khi đó 1 2 3 1 2 1 2( , , ) ( , , 2 )  x x x x x x x x 1 2(1,0,1) (0,1,2)  x x x Suy ra là tập sinh của F.(1,0,1);(0,1,2){ }E Kiểm tra thấy E độc lập tuyến tính. Vậy E là cơ sở của F. dim( ) 2 F II. Khoâng gian con ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  2( ) [x] | (1) 0 & (2) 0   F p x P p p Ví dụ 1. Chứng tỏ F là không gian con của P2[x]. 2. Tìm cơ sở và chiều của F. Giải câu 2. 2( )    p x ax bx c F (1) 0 (2) 0 &   p p Suy ra là tập sinh của F.2 3 2{ }  E x x Hiển nhiên E độc lập tuyến tính. Vậy E là cơ sở của F. dim( ) 1 F 0 4 2 0         a b c a b c ; 3 ; 2      a b c 2( ) 3 2     p x x x 2( ) ( 3 2)   p x x x II. Khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ  2 1 1 [ ] | 0 2 2 F A M R A           1. Chứng tỏ F là không gian con M2[R] 2. Tìm cơ sở và chiều của F. II. Khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- L(M)=Span 1 2 1 1 2 2{ , ,..., } { }n n n iv v v v v v R         1 2{ , , , }nM v v v V  1. L(M) là không gian con của V 2. dim(L(M)) = Hạng của họ M. II. Không gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giả sử dim(V) = n 1 2{ , ,..., }mM x x x Hạng M = Hạng Ma trận M phụ thuộc tt M độc lập tt hạng M < m M tập sinh của VM là cơ sở của Vx là tổ hợp tt của M hạng M = m hạng M = dim(V) hạng M = dim(V) = số vectơ trong M hạng M = hạng M thêm vectơ x Kgian con Chiều kgian con = hạng M II. Khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho (1,1,1);(2,1,1);(3,1,1)F   Tìm cơ sở và chiều của F. Ví dụ II. Khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho 2 2 21,2 3 1, 2 2F x x x x x x        Tìm cơ sở và chiều của F. Ví dụ II. Khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 2 , 2            a b a b F a b R b a Tìm cơ sở và chiều của F. II. Khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 1 1 2 1 3 1 1 0 , , , 2 1 0 1 2 1 2 0 F                          Tìm cơ sở và chiều của F. II. Khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho (1, 2,3); {(1,1,1);(2,1,0);(3, 1,3)}x M    x có thuộc không gian con sinh ra bởi M? Ví dụ II. Khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho (1,0, ); {(1,1,1);(2,3,1);(3,2,0)}x m M  Tìm tất cả giá trị của m để x thuộc không gian con sinh ra bởi M? Ví dụ III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho F và G là hai không gian con của K-kgvt V. Giao của hai không gian con F và G là tập hợp con của V, ký hiệu bởi Định nghĩa giao của hai không gian con { | vaø }F G x V x F x G    Tổng của hai không gian con F và G là tập hợp con của V, ký hiệu bởi Định nghĩa tổng của hai không gian con { | vôùi vaø }F G f g f F g G     III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. Định lý 1. là hai không gian con của V. & F G F G dim( ) dim( ) dim( ) dim( )F G F G F G     Kết quả F G F F G V    F G G F G V    III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Các bước để tìm không gian con F+G 1. Tìm tập sinh của F. Giả sử là {f1, f2, , fn} 1 2 1 23. , ,..., , , ,...,n mF G f f f g g g   2. Tìm tập sinh của G. Giả sử là {g1, g2, , gm} III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho F và G là hai không gian con của R3, với Ví dụ  1 2 3 1 2 3( , , ) | 2 0}F x x x x x x     1 2 3 1 2 3( , , ) | 0}G x x x x x x    .F G1. Tìm cơ sở và chiều của 2. Tìm cơ sở và chiều của .F G III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải câu 1. 1 2 1 3 2 3 0 2 0 x x x x x x          1 2 3( , , )x x x x F G    & x F x GÛ Î Î 1 2 3 3 2 x x x a a a ì =ïïïÛ =í ïï =ïî Khi đó 1 2 3( , , ) ( ,3 ,2 )x x x x     (1,3,2)x aÛ = (1,3,2){ }EÞ = là tập sinh của F GÇ vì E độc lập tuyến tính. Suy ra E là cơ sở của F GÇ dim( ) 1.F GÞ Ç = III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải câu 2. Bước 1. Tìm tập sinh của F. 1 {(-1,1,0),(2,0,1)}E  dim( ) ( ) 3.F G r AÞ + = = Bước 2. Tìm tập sinh của G. 2 {(1,1,0), ( 1,0,1)}E   ( 1,1,0), (2,0,1 (1,1,0), (, 1,0,1))F G -Þ + -= 1 1 0 2 0 1 1 1 0 1 0 1 A æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç-è ø 1 1 0 0 2 1 0 0 1 0 0 0 bñs haøngc ñv æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷¾ ¾ ¾ ¾ ¾® ç ÷ç ÷-ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø Cơ sở: ( 1,1,0), (0,2,1),(0,0, 1){ }E = - - III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho F và G là hai không gian con của R3, với Ví dụ  1 2 3 1 2 3( , , ) | 0}F x x x x x x    (1,01,);(2,3,1)G   .F G1. Tìm cơ sở và chiều của 2. Tìm cơ sở và chiều của .F G III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải câu 1. (1,0,1) (2,3,1)x G x      1 2 3( , , )x x x x F G    & x F x GÛ Î Î Vậy dim( ) 1.F GÞ Ç = ( 2 ,3 , )x a b b a bÛ = + + thoûa ñieàu kieän cuûa .x F x F  2 03        3    ( ,3 , 2 )x      ( 1,3, 2)   (1, 3,2)x     (1, 3,2){ }EÞ = - là tập sinh của F GÇ vì E độc lập tuyến tính. Vậy E là cơ sở III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho F và G là hai không gian con của R4, với Ví dụ  1 2 3 41 2 3 4 1 2 3 4 0 ( , , , ) 2 2 0 x x x x F x x x x x x x x              1 2 3 41 2 3 4 1 2 3 4 0 ( , , , ) 3 2 2 3 0 x x x x G x x x x x x x x             .F G1. Tìm cơ sở và chiều của 2. Tìm cơ sở và chiều của .F G III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cho F và G là không gian con của R3, với Ví dụ (1,0,1);(1,1,1) F   (1,1,0);(2,1,1) G   .F G1. Tìm cơ sở và chiều của 2. Tìm cơ sở và chiều của .F G III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- .F G Cho F và G là hai không gian con của P2[x], với Ví dụ 2{ ( ) [ ] | (1) 0}F p x P x p   1. Tìm cơ sở và chiều của 2. Tìm cơ sở và chiều của .F G 2{ ( ) [ ] | ( 1) 0}G p x P x p    III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- .F G Cho F và G là hai không gian con của P2[x], với Ví dụ 2 1,2 1 ;F x x x     Tìm cơ sở và chiều của 2 2, 1G x x x     Cách 1. Có thể giải như các ví dụ trước. Cách 2. Coi P2[x] là không gian R3. F và G là hai mặt phẳng. Cặp véctơ chỉ phương của F là: (1,1,-1); (0,2,1). Cặp véctơ chỉ phương của G là: (1,-1,2); (0,1,1). Pháp véctơ của F là (3,-1,2); pháp véctơ của G là (3,1,-1) Giao của F và G là đường thẳng có vectơ chỉ phương: (-1,9,6) Cơ sở của : E={(-1,9,6)};F G dim( ) 1.F F 