Dáng điệu tiệm cận và tính ổn định của nghiệm của phương trình sai phân ẩn tuyến tính chỉ số 1

Dáng điệu tiệm cận và tính ổn định của nghiệm của phương trình sai phân ẩn tuyến tính chỉ số 1 Ngô Thị Thanh Nga Khoa Toán-Tin, Đại học Thăng Long Tóm tắt: Trong những năm gần đây phương trình sai phân ẩn (IDEs), hay còn gọi là phương trình sai phân kỳ dị (SDEs), nhận được mối quan tâm lớn bởi sự xuất hiện của chúng trong nhiều lĩnh vực thực hành, ví dụ như mô hình động lực Leontiev cho hệ kinh tế đa ngành, mô hình tăng trưởng dân số Leslie, các bài toán điều khiển tối ưu rời rạc suy biến,... Phương trình sai phân ẩn cũng xuất hiện một cách tự nhiên trong quá trình rời rạc hóa để giải phương trình vi phân đại số (DAEs) và phương trình đạo hàm riêng đại số, những đối tượng đã và đang thu hút nhiều sự chú ý của các nhà nghiên cứu. Trong báo cáo này, chúng tôi đưa ramột số định lý về dáng điệu tiệm cận và tính ổn định của nghiệm của phương trình sai phân ẩn tuyến tính chỉ số 1. Ở trường hợp hệ số hằng, chúng tôi đã đưa ra một số điều kiện củaB(n) và F (n) để nếu phương trình ban đầu Ex(n+1) = Ax(n); n ∈ N (n0) ổn định (tương ứng ổn định tiệm cận) thì phương trình (E + F (n))x(n+ 1) = (A+ B(n))x(n); n ∈ N (n0) cũng ổn định (tương ứng ổn định tiệm cận). Trường hợp hệ số biến thiên, kết quả chúng tôi đạt được đang dừng lại ở việc đưa ra được một số định lý về tính ổn định đều và ổn định mũ đều cho tình huống nhiễu tuyến tính bên phải. 1 Một số kiến thức về đại số tuyến tính và phương trình sai phân thường 1.1 Một số kiến thức về đại số tuyến tính: Định nghĩa 1.1. Cho A là một ma trận, A ∈ R dd. Chỉ số Kronecker của ma trận A, ký hiệu indA là số tự nhiên k sao cho ImAk = ImAk+1, và ImAk1 ̸= ImAk. Định nghĩa 1.2. Cho E, A là hai ma trận, E;A ∈ R dd. Cặp ma trận {E;A} được gọi là chính quy nếu tồn tại số thực c sao cho: ma trận cE + A là ma trận khả nghịch. Định nghĩa 1.3. Cho cặp ma trận chính quy {E;A}. Chỉ số Kronecker của cặp ma trận {E;A}, ký hiệu ind{E;A}, là chỉ số Kronecker của ma trận (cE + A)1E. Bổ đề 1.4. Cho E, A là hai ma trận thuộc R dd, rank(E) = r. Giả sử cặp ma trận {E;A} là chính quy. Khi đó tồn tại U , V khả nghịch sao cho: UEV = ( E11 0 0 0 ) ; UAV = ( A11 A12 A21 A22 ) ; trong đó E11 là ma trận vuông cấp r không suy biến. Chú ý: • ind{E;A} = 1 tương đương với A22 không suy biến. • Cách xây dựng U; V : Để thuận lợi cho các tính toán phía sau, ở đây ta đưa ra cách xây dựng U; V khá đặc biệt. Chọn U1; V1 ∈ R d(dr) có các cột tạo thành cơ sở của không gian hạch trái, tương ứng hạch phải của E, ký hiệu U?1 ; V ?1 tương ứng là hai không gian con trực giao với U1 và V1. Khi đó U = [U?1 U1]T ; V = [V ?1 V1]. Bổ đề 1.5. Cho p; q là hai số thực không âm, f(l) ≥ 0 với mọi l ∈ N ; l ≥ n0, n0 ∈ N cho trước (có thể viết gọn là l ∈ N (n0)). Giả sử u(k) ≤ p+ q k1∑ l=n0 f(l)u(l); ∀k ∈ N (n0): Khi đó, u(k) ≤ p k1∏ l=n0 (1 + qf(l));∀k ∈ N (n0): 1.2 Một số định lý về dáng điệu tiệm cận của phương trình sai phân thường chịu nhiễu Xét phương trình sai phân thường hệ số hằng: x(n+ 1) = Ax(n); n ∈ N (n0); (1) trong đó: x(n) ∈ R d; ∀n ∈ N (n0); A ∈ R dd là một ma trận cho trước. Khi có nhiễu tuyến tính bên phải ta được phương trình x(n+ 1) = (A+B(n))x(n); n ∈ N (n0); (2) trong đó ma trận nhiễu B(n) ∈ R dd; ∀n ∈ N (n0). Định lý 1.6. (Xem trong [1]) Giả sử tất cả các nghiệm của phương trình (1) đều bị chặn trên N (n0) và 1∑ l=n0 ∥B(l)∥ <∞: Khi đó tất cả các nghiệm của phương trình (2) cũng bị chặn trên N (n0). Định lý 1.7. (Xem trong [1]) Giả sử tất cả các nghiệm x(k) của phương trình (1) đều tiến về 0 khi k → ∞ và ∥B(k)∥ → 0 khi k → ∞. Khi đó tất cả các nghiệm y(k) của phương trình (2) cũng tiến về 0 khi k →∞. 2 Một số định lý về dáng điệu tiệm cận của phương trình sai phân ẩn tuyến tính chỉ số 1 chịu nhiễu 2.1 Các kết quả đạt được đối với trường hợp hệ số hằng Xét phương trình sai phân ẩn tuyến tính hệ số hằng, chỉ số 1 Ex(n+ 1) = Ax(n); n ∈ N (n0); (3) trong đó: E;A ∈ R dd; rank(E) = r; x(n) ∈ R d; n ∈ N (n0). Phương trình (3) được gọi là có chỉ số 1 nếu ind{E;A} = 1 hay A22 không suy biến. Khi đó, đặt x(n) = V y(n) = V ( y1(n) y2(n) ) và UAV = ( A11 A12 A21 A22 ) , phương trình (3) trở thành ( E11 0 0 0 )( y1(n+ 1) y2(n+ 1) ) = ( A11 A12 A21 A22 )( y1(n) y2(n) ) ; hay ta có hệ: { E11y1(n+ 1) = A11y1(n) + A12y2(n) 0 = A21y1(n) + A22y2(n) (4) Do E11 và A22 khả nghịch nên (4) tương đương với hệ:{ y1(n+ 1) = E 1 11 (A11 − A12A122 A21)y1(n) y2(n) = A 1 22 A21y1(n) Xét dạng nhiễu tuyến tính của phương trình (3) Ex(n+ 1) = (A+B(n))x(n); n ∈ N (n0); (5) trong đó: B(n) ∈ R dd; n ∈ N (n0) là ma trận nhiễu. Sử dụng cách biến đổi như đối với phương trình (3), đồng thời đặtUB(n)V = ( B11(n) B12(n) B21(n) B22(n) ) ta đưa phương trình (5) về dạng sau:{ E11y1(n+ 1) = (A11 +B11(n))y1(n) + (A12 +B12(n))y2(n) 0 = (A21 +B21(n))y1(n) + (A22 +B22(n))y2(n) (6) Nếu A22+B22(n) khả nghịch với mọi n ∈ N (n0) thì từ phương trình thứ hai của hệ (6) ta rút ra được y2(n) = (A22 +B22(n)) 1(A21 +B21(n))y1(n): (7) Thay vào phương trình đầu ta thu được phương trình sai phân thường y1(n+ 1) = [E 1 11 (A11 − A12A122 A21) + E111 R(n)]y1(n); (8) trong đó R(n) = B11(n) +B12(n)A 1 22 A21 −B12(n) ~B22(n)A21 − A12 ~B22(n)A21 + A12A122 B21(n) +B12(n)A122 B21(n) −B12(n) ~B22(n)B21(n)− A12 ~B22(n)B21(n); với ~B22(n) = A122 B22(n)(A22 +B22(n))1. Một số điều kiện được sử dụng trong các định lý và hệ quả sẽ phát biểu: Điều kiện (A1): A22 +B22(n) khả nghịch, với mọi n ∈ N (n0). Điều kiện (A2): Tồn tại hằng số c > 0 sao cho ∥(A22 + B22(n))1(A21 + B21(n))∥ < c, với mọi n ∈ N (n0). Điều kiện (A3): 1∑ l=n0 ∥E111 R(l)∥ <∞: Điều kiện (A4): ∥E111 R(k)∥ → 0 khi k →∞ Nhận xét: Có thể thấy các điều kiện này là các điều kiện đặt lên cho hệ nhiễu (6) của hệ gốc ban đầu (4). Định lý 2.1. Giả sử phương trình (3) có chỉ số 1, và các giá trị riêng của cặp ma trận {E,A} đều có mô đun nhỏ hơn hoặc bằng 1 và những giá trị riêng có mô đun bằng 1 đều là nửa đơn. Nếu thêm vào đó các điều kiện (A1), (A2) và (A3) đều được thỏa mãn thì mọi nghiệm của phương trình (5) đều bị chặn. Chứng minh: Các điều kiện đặt lên cho cặp ma trận {E,A} đã đảm bảo cho mọi nghiệm của phương trình (3) bị chặn. Khi điều kiện (A1) được thỏa mãn thì mọi nghiệm v(n) của phương trình (5) đều được xác định bởi v(n) = V y(n) = V ( y1(n) y2(n) ) , trong đó y1(n) là nghiệm của (8) và y2(n) được xác định qua phương trình đại số (7). Khi điều kiện (A3) được thỏa mãn, áp dụng định lý 1.6 ta được y1(n) bị chặn. Kết hợp thêm điều kiện (A2) ta cũng suy ra được y2(n) cũng bị chặn. Từ đó nghiệm v(n) của (5) là bị chặn. Hệ quả 2.2. Giả sử cặp ma trận {E,A} thỏa mãn các điều kiện đã nêu trong định lý 2.1, thêm vào đó nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: (i) sup n2N (n0) ∥A122 B22(n)∥ < 1; (ii) với mọi i; j ∈ {1; 2}, ta có 1∑ l=n0 ∥Bij(l)∥ <∞; thì ta cũng thu được kết luận giống như trong định lý 2.1. Chứng minh: Dễ dàng chỉ ra được, điều kiện (i) kéo theo điều kiện (A1) và (A2). Khi điều kiện (ii) được thỏa mãn, ta cũng suy ra được điều kiện (A3). Áp dụng định lý 2.1 ta được điều phải chứng minh. Định lý 2.3. Giả sử phương trình (3) có chỉ số 1 và mọi giá trị riêng hữu hạn của cặp {E,A} đều có mô đun nhỏ hơn 1. Khi đó nếu các điều kiện (A1), (A2) và (A4) đều được thỏa mãn thì mọi nghiệm v(n) của phương trình (5) đều tiến về 0 khi n→∞: Chứng minh Các điều kiện đặt lên cho cặp ma trận {E,A} đã đảm bảo cho mọi nghiệm u(n) của phương trình (3) tiến về 0 khi n → ∞. Khi điều kiện (A1) được thỏa mãn thì mọi nghiệm v(n) của phương trình (5) được xác định như đã nêu trong chứng minh định lý 2.1. Khi điều kiện (A4) được thỏa mãn, áp dụng định lý 1.7 ta được y1(n) tiến về 0 khi n → ∞. Kết hợp thêm điều kiện (A2) ta cũng suy ra được y2(n) cũng tiến về 0 khi n→∞. Từ đó nghiệm v(n) của (5) tiến về 0 khi n→∞. Hệ quả 2.4. Giả sử cặp ma trận {E,A} thỏa mãn các điều kiện đã nêu trong định lý 2.3, thêm vào đó nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: (i) sup n2N (n0) ∥A122 B22(n)∥ < 1; (ii) với mọi i; j ∈ {1; 2}, ∥Bij(k)∥ → 0 khi k →∞; thì ta cũng thu được kết luận giống như trong định lý 2.3. Chứng minh: Dễ dàng chỉ ra được, điều kiện (i) kéo theo điều kiện (A1) và (A2). Khi điều kiện (ii) được thỏa mãn, ta cũng suy ra được điều kiện (A4). Áp dụng định lý 2.3 ta được điều phải chứng minh. Nhận xét: Các định lý và hệ quả nói trên thực chất là phát biểu cho hệ có nhiễu (6) và hệ gốc ban đầu (4). Sau đây ta xét phương trình có nhiễu tuyến tính cả hai bên của phương trình (3): (E + F (n))x(n+ 1) = (A+B(n))x(n); n ∈ N (n0); (9) trong đó: F (n); B(n) ∈ R dd là các ma trận nhiễu, với F (n) có cấu trúc đặc biệt. Nhiễu F (n) thỏa mãn điều kiện sau: Điều kiện (B1): KerE ⊂ KerF (n) hay KerE = Ker(E + F (n)), với mọi n ∈ N (n0). Khi điều kiện (B1) được thỏa mãn, ta chứng minh được ma trận UF (n)V có dạng: UF (n)V = ( F11(n) 0 F21(n) 0 ) : Tiếp tục sử dụng cách đổi biến và biến đổi giống như trước ta đưa được phương trình (9) về hệ:{ (E11 + F11(n))y1(n+ 1) = (A11 +B11(n))y1(n) + (A12 +B12(n))y2(n) F21(n)y1(n+ 1) = (A21 +B21(n))y1(n) + (A22 +B22(n))y2(n) (10) Điều kiện (B2): E11 + F11(n) khả nghịch, với mọi n ∈ N (n0). Khi điều kiện (B2) được thỏa mãn, ta có (E11 + F11(n)) 1 = E111 − E111 F11(n)(E11 + F11(n))1: Nhân cả hai vế phương trình đầu của hệ (10) với E11(E11 + F11(n))1, ta được: E11y1(n+ 1) = (A11 + B11(n))y1(n) + (A12 + B12(n))y2(n); trong đó B11(n) =B11(n)− F11(n)(E11 + F11(n))1(A11 +B11(n)) B12(n) =B12(n)− F11(n)(E11 + F11(n))1(A12 +B12(n)) Nhân cả hai vế phương trình đầu của (10) với−F21(n)(E11+F11(n))1 rồi cộng vế với vế vào phương trình thứ hai của hệ, ta thu được phương trình: 0 = (A21 + B21(n))y1(n) + (A22 + B22(n))y2(n); trong đó B21(n) =B21(n)− F21(n)(E11 + F11(n))1(A11 +B11(n)) B22(n) =B22(n)− F21(n)(E11 + F11(n))1(A12 +B12(n)) Như vậy hệ (10) tương đương với hệ{ E11y1(n+ 1) = (A11 + B11(n))y1(n) + (A12 + B12(n))y2(n) 0 = (A21 + B21(n))y1(n) + (A22 + B22(n))y2(n) (11) Nhận xét: hệ (11) là hệ có nhiễu có dạng giống với (6) của hệ gốc ban đầu (4). Đặt R(n) = B11(n) + B12(n)A 1 22 A21 − B12(n) ~B22(n)A21 − A12 ~B22(n)A21 + A12A122 B21(n) + B12(n)A122 B21(n) − B12(n) ~B22(n) B21(n)− A12 ~B22(n) B21(n); với ~B22(n) = A122 B22(n)(A22 + B22(n))1. Các điều kiện được đưa ra như sau: Điều kiện (B3): A22 + B22(n) khả nghịch, với mọi n ∈ N (n0). Điều kiện (B4): Tồn tại hằng số c > 0 sao cho ∥(A22 + B22(n))1(A21 + B21(n))∥ < c, với mọi n ∈ N (n0). Điều kiện (B5): 1∑ l=n0 ∥E111 R(l)∥ <∞: Điều kiện (B6): ∥E111 R(k)∥ → 0 khi k →∞ Định lý 2.5. Giả sử cặp ma trận {E,A} thỏa mãn các điều kiện đã nêu trong định lý 2.1, thêm vào đó nếu các điều kiện (B1), (B2), (B3), (B4) và (B5) đều được thỏa mãn. Khi đó mọi nghiệm của phương trình (9) đều bị chặn. Chứng minh: Điều kiện (B1) và (B2) đảm bảo cho phương trình (9) được đưa về hệ (11). Từ đó áp dụng trực tiếp định lý 2.1 ta được điều phải chứng minh. Hệ quả 2.6. Giả sử phương trình (3) thỏa mãn các điều kiện như trong định lý 2.1. Khi đó nếu điều kiện (B1) và các điều kiện dưới đây được thỏa mãn: (i) sup n2N (n0) ∥E111 F11(n)∥ < 1; (ii) sup n2N (n0) ∥A122 (B22(n)− F21(n)(E11 + F11(n))1(A12 +B12(n)))∥ < 1; (iii) với mọi i; j ∈ {1; 2}, ta có 1∑ l=n0 ∥Bij(l)∥ <∞; (iv) với mọi i ∈ {1; 2}, ta có 1∑ l=n0 ∥Fi1(l)∥ <∞; thì ta cũng thu được kết luận giống như trong định lý 2.5. Chứng minh: Từ (i) ta suy ra (B2). Khi điều kiện (B1), (B2) được thỏa mãn thì phương trình (9) đưa được về hệ (11). Các điều kiện (i), (ii), (iii), (iv) suy ra hệ (11) thỏa mãn các điều kiện trong hệ quả 2.2, từ đó áp dụng trực tiếp hệ quả này ta có điều phải chứng minh. Định lý 2.7. Giả sử cặp ma trận {E,A} thỏa mãn các điều kiện đã nêu trong định lý 2.3, thêm vào đó nếu các điều kiện (B1), (B2), (B3), (B4) và (B6) đều được thỏa mãn. Khi đó mọi nghiệm v(n) của phương trình (9) đều tiến về 0 khi n→∞: Chứng minh: Nhờ có điều kiện (B1) và (B2) ta đưa được phương trình (9) đưa được về hệ (11). Từ đó, do các điều kiện (B3), (B4) và (B6) đều được thỏa mãn nên áp dụng định lý 2.3 ta được điều phải chứng minh. Hệ quả 2.8. Giả sử phương trình (3) thỏa mãn các điều kiện như trong định lý 2.3. Khi đó nếu điều kiện (B1) và các điều kiện dưới đây được thỏa mãn: (i) sup n2N (n0) ∥E111 F11(n)∥ < 1; (ii) sup n2N (n0) ∥A122 (B22(n)− F21(n)(E11 + F11(n))1(A12 +B12(n)))∥ < 1; (iii) với mọi i; j ∈ {1; 2}, ta có ∥Bij(k)∥ → 0 khi k →∞; (iv) với mọi i ∈ {1; 2}, ta có ∥Fi1(k)∥ → 0 khi k →∞; thì ta cũng thu được kết luận giống như trong định lý 2.7. Chứng minh: Tương tự cách chứng minh hệ quả 2.6, ta đưa phương trình (9) về hệ (11), rồi từ đó áp dụng hệ quả 2.4 để thu được điều phải chứng minh. 2.2 Phương trình sai phân ẩn tuyến tính hệ số biến thiên chỉ số 1 2.2.1 Định nghĩa phương trình sai phân ẩn tuyến tính chỉ số 1 Định nghĩa về phương trình sai phân ẩn tuyến tính chỉ số 1 và một số tính chất đã được trình bày chi tiết trong [5]. Phương trình sai phân ẩn tuyến tính là phương trình có dạng sau: Enx(n+ 1) = Anx(n); n ∈ N (n0); (12) trong đó: En; An ∈ R dd là các ma trận cho trước và các ma trận En suy biến với mọi n ∈ N (n0). Định nghĩa 2.9. Phương trình (12) được gọi là có chỉ số 1 nếu thỏa mãn các điều kiện sau: (i) rank(En) = r với mọi n ∈ N (n0), (ii) Sn ∩Nn1 = {0}, với mọi n ∈ N (n0 + 1), trong đó Sn = {z ∈ R d : Anz ∈ ImEn}. Để điều kiện (ii) trong định nghĩa 2.9 có thể đúng với n ∈ N (n0), ta giả sử thêm dimS0 = r, và cho En01 ∈ R dd là một ma trận cố định thỏa mãn R d = S0 ⊕KerEn01. Đặt Gn = En − AnTnQn; n ∈ N(n0), trong đó: Qn là một phép chiếu lên Nn = Ker(En); Tn là các phép biến đổi khả nghịch trên R d sao cho khi hạn chế trên Nn ta được một đẳng cấu từ Nn lên Nn1. Mệnh đề 2.10. Ta có ba điều kiện sau là tương đương nhau: • Sn ∩Nn1 = {0}, trong đó Sn = {z ∈ R d : Anz ∈ ImEn}; • ma trận Gn = En − AnTnQn khả nghịch; • R d = Sn ⊕Nn1: Mệnh đề 2.11. Khi phương trình (12) có chỉ số 1 ta có một số tính chất quan trọng sau: (i) Pn = G1n En, (ii) PnG1n An = PnG1n AnPn1 và PnG1n An = QnG1n AnPn1 − T1n Qn1, (iii) ~Qn1 = TnQnG1n An là phép chiếu lên Nn1 dọc theo Sn ( ~Qn1 được gọi là phép chiếu chính tắc lên Nn1). 2.2.2 Ma trận nghiệm cơ bản: Khi phương trình (12) có chỉ số 1, nhân bên phải cả hai vế của phương trình lần lượt với PnG1n và QnG 1 n , đồng thời chú ý rằng PnG1n En = P 2n = Pn; QnG1n En = QnPn = 0 (theo tính chất (i) của mệnh đề 2.11), ta được:{ Pnx(n+ 1) = PnG 1 n Anx(n); với mọi n ∈ N (n0); 0 = QnG 1 n Anx(n); với mọi n ∈ N (n0): Tiếp tục sử dụng tính chất (ii) của mệnh đề 2.11 ta biến đổi được về hệ tương đương sau: Pn1x(n) = Pn1G1n1An1x(n− 1); với mọi n ∈ N (n0 + 1); Qn1x(n) = TnQnG1n AnPn1x(n); với mọi n ∈ N (n0 + 1); Qn01x(n0) = Tn0Qn0G 1 n0 An0Pn01x(n0): Cộng vế với vế hai phương trình đầu của hệ, cùng với lưu ý ma trận TnQnG1n AnPn1 là lũy linh cấp hai nên (I − TnQnG1n AnPn1)1 = I + TnQnG1n AnPn1, ta có:{ x(n) = (I + TnQnG 1 n AnPn1)Pn1G 1 n1An1x(n− 1); với mọi n ∈ N (n0 + 1); Qn0G 1 n0 An0x(n0) = 0: Khi ta sử dụng phép chiếu chính tắc ~Qn1 = −TnQnG1n An; n ∈ N (n0), hệ có thể viết dưới dạng sau: { x(n) = ~Pn1 ~G1n1An1x(n− 1);∀n ∈ N (n0 + 1); ~Qn01x(n0) = 0: Từ đó, toán tử Cauchy (k; l) của (12) có thể xác định theo công thức sau: (k; l) = l∏ i=k1 ~Pi ~G 1 i Ai; ~Pl1(l; l) = ~Pl1;∀k ≥ l; k; l ∈ N (n0): Giả sử 0(k; l) là ma trận Cauchy của phương trình x(n) = ~Pn1 ~G1n1An1x(n− 1);∀n ∈ N (n0 + 1): Tức là ta có { 0(k + 1; l) = ~Pk ~G 1 k Ak0(k; l);∀k; l ∈ N (n0); k ≥ l; 0(l; l) = I: Khi đó ta có: (k; l) = ~Pk0(k; l) ~Pl1. Dễ dàng chỉ ra được (k; l) có những tính chất sau: • (n;m) = (n; k):(k;m), với mọi n ≥ k ≥ m; và k;m; n ∈ N (n0); • ~Pm1(m;m) = ~Pm1; • (n;m) ~Pm1 = (n;m); 2.2.3 Công thức biến thiên hằng số: Xét phương trình có nhiễu bên phải của phương trình (12): Enx(n+ 1) = (An +Bn)x(n); n ∈ N (n0); (13) trong đó B(n) ∈ R dd là các ma trận nhiễu. Nghiệm y(n) bất kỳ của phương trình (13) đều có thể biểu diễn bởi công thức biến thiên hằng số sau: y(n) = (n; n0) ~Pn01y(n0) + n1∑ i=n0 (n; i+ 1) ~Pi ~G 1 i Biy(i) + Tn ~Qn ~G 1 n Bny(n): Nếu I − Tn ~Qn ~G1n Bn khả nghịch, ta có: y(n) = (I − Tn ~Qn ~G1n Bn)1((n; n0) ~Pn01y(n0) + n1∑ i=n0 (n; i+ 1) ~Pi ~G 1 i Biy(i)): (14) 2.2.4 Các kết quả đạt được: Các điều kiện sẽ được sử dụng trong các định lý: Điều kiện (C1) Tồn tại hằng số c1 > 0 sao cho: sup nm;m;n2N (n0) ∥(n;m)∥ < c1: Điều kiện (C2) Các ma trận I − Tn ~Qn ~G1n Bn khả nghịch và tồn tại hằng số c2 > 0 sao cho ∥(I − Tn ~Qn ~G1n Bn)1∥ < c2; ∀n ∈ N (n0): Điều kiện (C3) ∃c3 > 0; 0 <  < 1 sao cho: ∥(k; l)∥ ≤ c3kl;∀k ≥ l; k; l ∈ N (n0): Điều kiện (C4) Tồn tại hằng số " đủ nhỏ để  + c2" < 1 và tồn tại N đủ lớn sao cho: ∥ ~Pl ~G1l Bl∥ < "; ∀l ∈ N (N): Điều kiện (C5) 1∑ l=n0 ∥ ~Pl ~G1l Bl∥ <∞: Điều kiện (C6) ∥ ~Pl ~G1l Bl∥ → 0 khi l→∞: Điều kiện (C7) sup n2N (n0) ∥Tn ~Qn ~G1n Bn∥ < 1: Nhận xét: • Điều kiện (C2) dễ dàng được suy ra từ điều kiện (C7). • Hơn nữa, điều kiện I − Tn ~Qn ~G1n Bn khả nghịch kéo theo phương trình (13) có chỉ số 1. • Khi điều kiện (C5) được thỏa mãn, ta có tồn tại hằng số c4 > 0 sao cho: k∑ l=n0 ∥ ~Pl ~G1l Bl∥ < c4;∀k ∈ N (n0): Định lý 2.12. Giả sử các điều kiện (C1); (C2); (C5) được thỏa mãn. Khi đó, tồn tại hằng số c > 0 sao cho: mọi nghiệm y(k) của (13) đều thỏa mãn ∥y(k)∥ < c∥y(l)∥; với mọi k ≥ l; k; l ∈ N (n0): Chứng minh: Khi điều kiện (C2) được thỏa mãn, ta có mọi nghiệm y(k) của phương trình (13) đều có thể viết dưới dạng: y(k) = (I − Tk ~Qk ~G1k Bk)1((k; l) ~Pl1y(l) + k1∑ i=l (k; i+ 1) ~Pi ~G 1 i Biy(i)): Do đó, ∥y(k)∥ ≤ ∥(I − Tk ~Qk ~G1k Bk)1∥:(∥(k; l)∥:∥y(l)∥+ k1∑ i=l ∥(k; i+ 1)∥:∥ ~Pi ~G1i Bi∥:∥y(i))∥ ≤ c2:c1:∥y(l)∥+ c2:c1: k1∑ i=l ∥(k; i+ 1)∥:∥ ~Pi ~G1i Bi∥:∥y(i)∥( theo (C1); (C2)): Áp dụng bổ đề 1.5, ta thu được: ∥y(k)∥ ≤ c1:c2:∥y(l)∥: k1∏ i=l (1 + c1:c2:∥ ~Pi ~G1i Bi∥); ≤ c1:c2:∥y(l)∥: k1∏ i=l exp(c1:c2:∥ ~Pi ~G1i Bi∥); ≤ c1:c2:∥y(l)∥: exp(c1:c2: k1∑ i=l ∥ ~Pi ~G1i Bi∥); < c1:c2: exp(c1:c2:c4):∥y(l)∥: Đặt c = c1:c2: exp(c1:c2:c4), ta có điều phải chứng minh. Định lý 2.13. Giả sử các điều kiện (C2); (C3) và (C5) được thỏa mãn. Khi đó, tồn tại hằng số c > 0 và 0 < 1 < 1 sao cho: mọi nghiệm y(k) của (13) đều thỏa mãn ∥y(k)∥ < ckl1 ∥y(l)∥; với mọi k ≥ l; k; l ∈ N (n0): Chứng minh: Giả sử y(k) là một nghiệm bất kỳ của phương trình (13). Trước tiên ta chú ý một nhận xét quan trọng sau: với mọi N ∈ N (n0), tồn tại K > 0 sao cho ∥y(k)∥ ≤ K:∥y(l)∥;∀k ∈ N (n0); k ≤ N (ở đâyK chỉ phụ thuộc vàoN và bản chất của phương trình (13) mà không phụ thuộc vào nghiệm y(k) cụ thể nào). Khi các điều kiện (C2), (C3) và C4 đều được thỏa mãn, ta có: ∥y(k)∥ ≤ c2:c3:kl:∥y(l)∥+ c2: k1∑ i=l k(i+1):∥ ~Pi ~G1i Bi∥:∥y(i)∥; ≤ c2:c3:kl:∥y(l)∥+ c2: N1∑ i=l k(i+1):∥ ~Pi ~G1i Bi∥:K:∥y(l)∥+ c2: k1∑ i=N k(i+1):":∥y(i)∥: Nhân cả hai vế với k, ta được: k:∥y(k)∥ ≤ (c2:c3:l:∥y(l)∥+ c2: N1∑ i=l (i+1):∥ ~Pi ~G1i Bi∥:K:∥y(l)∥) + "c2  : k1∑ i=N i:∥y(i)∥: Áp dụng bổ đề 1.5, ta có: k:∥y(k)∥ ≤ (c2:c3:l +K:c2: N1∑ i=l (i+1):∥ ~Pi ~G1i Bi∥):∥y(l)∥: k1∏ i=N (1 + "c2  : hay ∥y(k)∥ ≤ (c2:c3 +K:c2: N1∑ i=l l(i+1):∥ ~Pi ~G1i Bi∥)Nl( + "c2)kN :∥y(l)∥; < (c2:c3 +K:c2: N1∑ i=l l(i+1):∥ ~Pi ~G1i Bi∥):( + "c2)kl:∥y(l)∥; ≤ c:kl1 :∥y(l)∥; trong đó c = c2:c3 +K:c2: ∑N1 i=l  l(i+1):∥ ~Pi ~G1i Bi∥, và 1 =  + "c2. Như vậy định lý 2.13 được chứng minh. Hệ quả 2.14. Giả sử các điều kiện (C2); (C3) và (C6) được thỏa mãn. Khi đó, ta cũng thu được kết quả giống như trong định lý 2.13 Chứng minh: Dễ thấy điều kiện (C6) suy ra được điều kiện (C4), từ đó áp dụng định lý 2.13 ta được điều phả chứng minh. Nhận xét: Trong các định lý 2.12, 2.13, và hệ quả 2.14, khi thay điều kiện (C2) bởi điều kiện (C7) ta thu được các hệ quả tương ứng. Tài liệu tham khảo [1] R. P. AGARWAL, Difference Equations and Inequalities, Theory, Methods and Applications, vol. 228 of Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker, New York, NY, USA, 2nd edition, 2000. [2] S. N. ELAYDI, An Introduction to Difference Equations, Springer, London, UK, 3rd edition, 2005. [3] P. K. ANH, D. S. HOANG, Stability of a class of singular difference equations, Inter. J. Differ- ence Equ., 1, 181-193(2006). [4] P. K. ANH, N. H. DU, L. C. LOI Singular difference equations: an overview, Vietnam J. Math. 35, 339- 372(2007). [5] P.K. ANH, N. H. DU, AND L. C. LOI, Connections between implicit difference equations and differential-algebraic equations, Acta Math. Vietnam. 29 (2004) 23–39. [6] L.C. LOI, Linear Implicit Nonautonomous Difference Equations, Ph.D. disserta- tion, Hanoi, Vietnam National Univ., 2004. [7] L.C. LOI, N.H. DU, and P.K. ANH, On linear implicit non-autonomous systems of difference equations, J. Difference Eqns. Appl. 8 (2002) 1085–1105. [8] P.K. ANH AND H.T.N. YEN, On the solvability of initial-value problems for nonlinear implicit difference equations, Adv. Difference Eqns. 3 (2004) 195–200. [9] L. YA.ADRIANOVA, Introduction to Linear Systems of Differential Equations,Trans. Math. Monogr. 146, AMS, Providence, RI, 1995. [10] J. L. DALECKII ANDM. G. KREIN, Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Spaces, American Mathematical Society, Providence, RI, 1974. [11] K. BALLAANDV. H. LINH, Adjoint pairs of differential-algebraic equations and Hamiltonian systems, Appl. Numer. Math., 53 (2005), pp. 131–148. [12] C. J. CHYAN, N.H.DU, AND V. H. LINH, On data-dependence of exponential stability and the stability radii for linear time-varying differential-algebraic systems, J. Differential Equations, 245 (2008), pp. 2078–2102. [13] N. H. DU AND V. H. LINH, Robust stability of implicit linear systems containing a small pa- rameter in the leading term, IMA J. Math. Cont. In [14] B. RODJANADID, N. V. SANH, N. T. HA ANDN. H. DU, Stability radii for implicit difference equations, Asian-European Journal of Mathematics, Vol. 2, No. 1 (2009) pp. 95-115.