Đề tài Các định lý giới hạn của tổng ngẫu nhiên các biến ngẫu nhiên và ứng dụng

đơn điệu giảm theo δ; 2. ω(f ; δ) → 0 khi δ → +0; 3. ω(f ;λδ) ≤ (1 + λ)ω(f ; δ), ở đây λ ∈ R+. Ngoài ra, ta nói hàm f ∈ CB(Rd) thỏa mãn điều kiện Lipshitz bậc α, 0 < α ≤ 1, ký hiệu f ∈ Lip(α), nếu ω(f ; δ) = 0(δα). Chúng ta nói dãy các véc tơ ngẫu nhiên d chiều X1, X2, . . . , Xn thỏa mãn điều kiện Lindeberg tổng quát bậc r, r ≥ 1, nếu với mọi δ > 0, lim n→+∞ ∑n i=1E‖ Xi ‖rI(‖ Xi ‖≥ δ[ϕ(n)]−1)∑n i=1E‖ Xi ‖r = 0, (3.4.15) 28 ở đây, I(A) là hàm chỉ tiêu của tập A, còn ϕ là hàm đã được nhắc tới ở trên (xem [30] về điều kiện Lindeberg tổng quát bậc r, r ≥ 1 đối với trường hợp các biến ngẫu nhiên 1 chiều và điều kiện Lindeberg bậc 2 trong các tài liệu [9], [41], [45], [40] và [46]). Các kết quả trong phần này đã công bố trong [19], vì vậy chúng tôi bỏ qua các chứng minh chi tiết các kết quả dưới đây. Định lý 3.4.1. Giả sử {Xn, n ≥ 1} và {Yn, n ≥ 1} là hai dãy các véc tơ ngẫu nhiên d chiều độc lập (theo từng dãy), thỏa mãn với 1 ≤ j ≤ r, i = 1, 2, . . . , n E [ (Xi) j ] = E [ (Yi) j ] (3.4.16) và hai dãy {Xn, n ≥ 1}, {Yn, n ≥ 1} thỏa mãn điều kiện (3.4.16) với r ≥ 2. Khi đó, với mọi hàm f ∈ CrB(Rd) và n→ +∞, dT (S X n ;S Y n ; f) = o { [ϕ(n)]r r! r∑ i=1 (E‖ Xi ‖r + E‖ Yi ‖r) } . (3.4.17) Định lý 3.4.2. Giả sử {Xn, n ≥ 1} và {Yn, n ≥ 1} là hai dãy các véc tơ ngẫu nhiên d chiều độc lập (theo từng dãy), thỏa mãn điều kiện (3.4.17) với 1 ≤ j ≤ r−1, i = 1, 2, . . . , n. Khi đó, với mọi hàm f ∈ Cr−1B (Rd), ta có đánh giá dT (S X n , S Y n , f) ≤ 2[ϕ(n)]r−1 (r − 1)! × ω(f (r−1), ϕ(n) n∑ i=1 Ni(r)), (3.4.18) và, nếu f ∈ Lip(α), 0 < α ≤ 1, thì khi n→ +∞, dT (S X n , S Y n , f) = 0{ 2[ϕ(n)]r−1+α (r − 1)! × ω(f (r−1), ϕ(n) n∑ i=1 Ni(r))}, (3.4.19) ở đây Ni(r) = max(E‖ Xi ‖r, E‖ Xi ‖r−1) + max(E‖ Yi ‖r, E‖ Yi ‖r−1). (3.4.20) 3.5 Đánh giá khoảng cách Trotter đối với hai tổng ngẫu nhiên các véc tơ ngẫu nhiên độc lập Mục đích chính của phần này là thiết lập một số ước lượng đối với khoảng cách Trotter của hai tổng ngẫu nhiên của các véc tơ ngẫu nhiên d- chiều độc lập. Các ước lượng được xây dựng trong hai dạng "O-lớn" và "o-bé". Các kết quả nhận được là sự mở rộng của các kết quả của H.F. Trotter, P.L. Butzer, L. Hahn, H. Kirschfink và Trần Lộc Hùng (đối 29 với trường hợp 1 chiều); Prakasa B.L.S. Rao, V. Sakalauskas và Trần Lộc Hùng (đối với trường hợp d-chiều), (xem chi tiết trong các tài liệu [49], [1], [2], [30], [18]-[24]). Phải nhấn mạnh rằng ý tưởng và phương pháp tư duy trong phần này (cũng như trong tất cả các phần của báo cáo) thuộc về H.F. Trotter [49], P.L. Butzer [1], Prakasa B.L.S. Rao [40] và V. Sakalauskas [45]. Giả sử Rd = {x|x = (x(1), · · · , x(d))} là một không gian Ơclid d chiều (d ≥ 1) với chuẩn thông thường ‖x‖ = (∑d i=1 x (i)2 ) 1 2 . Giả sử rằng {Xn, n ≥ 1} và {Yn, n ≥ 1} là hai dãy các véc tơ ngẫu nhiên độc lập d- chiều, xác định trên cùng một không gian xác suất (Ω,A, P ). Ngoài ra, giả sử {Nn, n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương, sao cho với n ≥ 1, các biến ngẫu nhiên Nn và tất cả các véc tơ ngẫu nhiên d chiều từ hai dãy {Xn, n ≥ 1} và {Yn, n ≥ 1} là độc lập. Phần này của báo cáo mô tả các đánh giá đối với khoảng cách xác suất dạng Trotter (được xây dựng trên cơ sở toán tử Trotter) giữa hai tổng ngẫu nhiên các véc tơ ngẫu nhiên độc lập d chiều SXNn và S Y Nn (xem định nghĩa khoảng cách xác suất dạng Trotter trong phần trước hoặc [18] and [19]). dT (S X Nn , S Y Nn , f) = sup y∈Rd ‖Ef(SXNn + y)− Ef(SYNn + y)‖, (3.5.21) ở đây f ∈ CB(Rd) - lớp các hàm liên tục đều, bị chặn trên Rd với chuẩn ‖f‖ = supx∈Rd ‖f(x)‖;SXNn := ϕ(Nn) ∑Nn i=1Xi, S Y Nn := ϕ(Nn) ∑Nn i=1 Yi, và ϕ là một hàm số dương với ϕ(Nn) → 0 khi n→ +∞. Các đánh giá đối với khoảng cách Trotter trong phần này được thiết lập trong hai dạng cơ bản là "O-lớn" và "o-nhỏ". Các kết quả nhận dược là sự mở rộng của các kết quả đã có trong [49], [1], [2] [15], [16] và [30] (đối với trường hợp 1 chiều); [40], [45] và [17] (đối với trường hợp d chiều). Hoàn toàn cần thiết phải nhắc lại là ý tưởng và phương pháp sử dụng trong phần này tương tự như đã sử dụng trong [49], [1], [2], [40], [45]. Và trong các tài liệu [36] và [46] cũng khẳng định rằng phương pháp này có thể sử dụng trong các môi trường ngẫu nhiên tổng quát hơn. Trước khi bắt đầu các kết quả chính trong phần này, ngoài các tính chất của khoảng cách Trotter, xác định bởi (3.5.24) đã được xét trong phần trước (hoặc có thể xem chi tiết trong [30], [15] và [16] đối với trường hợp 1 chiều, [17] đối với trường hợp d chiều), chúng ta cần tới một bất đẳng thức mà chứng minh của nó không quá khó để nhận được. Giả sử X1, X2, . . . , Xn, . . . và Y1, Y2, . . . , Yn, . . . là các véc tơ ngẫu nhiên d chiều độc lập (trong mỗi nhóm và hai nhóm độc lập). Ngoài ra, giả sử rằng {Nn, n ≥ 1} là một dãy các véc tơ ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương, độc lập với mọi X1, X2, . . . , Xn, . . . và 30 Y1, Y2, . . . , Yn, . . . . Khi đó, với mọi f ∈ CrB(Rd), dT ( Nn∑ j=1 Xj, Nn∑ j=1 Yj; f ) ≤ ∞∑ n=1 P (Nn = n) n∑ j=1 dT (Xj, Yj; f). (3.5.22) Dưới đây chúng tôi sẽ giới thiệu một sự tổng quát của điều kiện Lindeberg đối với các véc tơ ngẫu nhiên d chiều. Cụ thể, giả sử {Xn, n ≥ 1} là một dãy các véc tơ ngẫu nhiên d chiều độc lập, có mô men bậc r hữu hạn, r, r ≥ 1. Ngoài ra, giả sử {Nn, n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương, độc lập với mọi véc tơ ngẫu nhiên Xn, n ≥ 1. Khi đó, dãy {Xn, n ≥ 1} được goi là thỏa mãn điều kiện Lindeberg ngẫu nhiên tổng quát bậc r, r ≥ 1, nếu với mọi δ > 0, lim n→+∞ E [ Nn∑ i=1 ∫ ‖x‖>δ/ϕ(Nn) ‖x‖rdFXi(x)/ Nn∑ i=1 E‖Xi‖r ] = 0. (3.5.23) Chú ý 3.5.1. 1. Trường hợp biến ngẫu nhiên Nn, n ≥ 1 nhận giá trị n với xác suất một, và nếu ϕ(n) = ‖Bn‖ (xem định nghĩa của Bn trong [40]), khi đó (3.5.26) trở về điều kiện Lindeberg cổ điển đối với các véc tơ ngẫu nhiên d chiều mà đã xét bởi Prakasa B. L. S. Rao trong [40]. 2. Nếu d = 1, thì (3.5.23) trở về điều kiện Lindeberg tổng quát định nghĩa bởi P. L. Butzer in [2]. Trước khi xét tới kết quả chính của phần này, chúng ta ký hiệu, với 1 ≤ j ≤ r− 1; i = 1, 2, . . . , n ϑi(j) := ∑ 1≤i1,...,ij≤d r1+...+rj=j ∣∣∣∣∫ Rd xr1i1 ...x rj ij d[FXi(x)− FYi(x)] ∣∣∣∣ , (3.5.24) và ϑi,r := ∫ Rd ‖x‖r|d[FXi(x)− FYi(x)]|. (3.5.25) Định lý 3.5.1. Giả sử {Xn, n ≥ 1} và {Yn, n ≥ 1} là hai dãy các véc tơ ngẫu nhiên d chiều độc lập với ϑi(j) = 0 (3.5.26) và ϑi,r < +∞, (3.5.27) ở đây, r ≥ 1 là một số cố định. Giả sử {Nn, n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương, độc lập với mọi {Xn, n ≥ 1} và {Yn, n ≥ 1}. Khi đó, với mỗi 31 f ∈ Cr−1B (Rd), dT (S X Nn , S Y Nn ; f) ≤ 2 (r − 1)!E { [ϕ(Nn)] r−1ω(f (r−1);ϕ(Nn)) Nn∑ i=1 max(ϑ 1−1/r i,r ;ϑi,r) } . (3.5.28) Ngoài ra, nếu f (r−1) ∈ Lip(α,M), 0 < α ≤ 1, thì dT (S X Nn , S Y Nn ; f) ≤ 2M (r − 1)!E { [ϕ(Nn)] r−1+α Nn∑ i=1 max(ϑ 1−1/r i,r ;ϑi,r) } . (3.5.29) Hệ quả 3.5.1. Giả sử {Xn, n ≥ 1} và {Yn, n ≥ 1} là hai dãy các véc tơ ngẫu nhiên d chiều độc lập cùng phân phối, với ϑ(j) := ∑ 1≤i1,...,ij≤d r1+...+rj=j ∣∣∣∣∫ Rd xr1i1 . . . x rj ij d[FX1(x)− FY1(x)] ∣∣∣∣ = 0, (3.5.30) và ϑ(r) := ∫ Rd ‖x‖r|d[FX1(x)− FY1(x)]| < +∞, (3.5.31) ở đây, r ≥ 1 là một số cố định. Giả sử {Nn, n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên xác định như trong Định lý 2.2.9. Khi đó, với mọi f ∈ Cr−1B (Rd), dT (S X Nn , S Y Nn ; f) ≤ [ϑ(r) + ϑ(r)1−1/r] (r − 1)! E{Nn[ϕ(Nn)] r−1ω(f (r−1), ϕ(Nn))}. (3.5.32) Ngoài ra, nếu f (r−1) ∈ Lip(α,M), 0 < α ≤ 1, thì dT (S X Nn , S Y Nn ; f) ≤ 2M (r − 1)! max[ϑ(r), ϑ(r) 1−1/r]E{Nn[ϕ(Nn)]r−1+α}. (3.5.33) Định lý 3.5.2. Giả sử {Xn, n ≥ 1} và {Yn, n ≥ 1} là hai dãy các véc tơ ngẫu nhiên d chiều độc lập, thỏa mãn điều kiện (3.5.34), với r ≥ 1. Giả sử {Nn, n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương, độc lập với mọi {Xn, n ≥ 1} và {Yn, n ≥ 1}. Ngoài ra, giả sử ϑi,r−1+δ < +∞, 0 < δ < 1, i = 1, 2, . . . , n. (3.5.34) Khi đó, với mọi f ∈ Cr−1B (Rd), khi n→ ∞, dT (S X Nn , S Y Nn ; f) = O { E ( [ϕ(Nn)] r−1+δ Nn∑ i=1 ϑi,r−1+δ )} . (3.5.35) Hệ quả 3.5.2. Giả sử {Xn, n ≥ 1} và Yn, n ≥ 1 là hai dãy các véc tơ ngẫu nhiên d chiều độc lập, cùng phân phối sao cho các điều kiện (3.5.34) và (3.5.35) thỏa mãn. Giả sử {Nn, n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên xác định như trong định lý 2.2.10. Khi đó, với mọi f ∈ Cr−1B (Rd), khi n→ ∞ dT (S X Nn , S Y Nn ; f) = O { E ( Nn[ϕ(Nn)] r−1+δ)} . (3.5.36) 32 Định lý 3.5.3. Giả sử {Xn, n ≥ 1} và {Yn, n ≥ 1} là hai dãy các véc tơ ngẫu nhiên d chiều độc lập với trung bình 0 và thỏa mãn điều kiện (3.5.37). Ngoài ra, giả sử ϑXr,i = E‖Xi‖r < +∞, ϑYr,i = E‖Yi‖r < +∞, E[ϕ(Nn)]r < +∞. (3.5.37) Giả sử lim n→+∞ ϕ(Nn) = 0 (3.5.38) và khi n→ +∞ [ϕ(Nn)] r ( Nn∑ i=1 ϑXr,i + Nn∑ i=1 ϑYr,i ) = O { E ( [ϕ(Nn)] r ( Nn∑ i=1 ϑXr,i + Nn∑ i=1 ϑYr,i ))} a.s. (3.5.39) Khi đó, với mọi f ∈ CrB(Rd), khi n→ ∞, dT (S X Nn , S Y Nn ; f) = o { 1 r! E ( [ϕ(Nn)] r ( Nn∑ i=1 ϑXr,i + Nn∑ i=1 ϑYr,i ))} . Hệ quả 3.5.3. Giả sử {Xn, n ≥ 1} và {Yn, n ≥ 1} là hai dãy các véc tơ ngẫu nhiên d chiều, độc lập cùng phân phối, thỏa mãn điều kiện (3.5.34). Ngoài ra, giả sử ϑXr := E‖X1‖r < +∞, ϑYr := E‖Y1‖r < +∞, E[ϕ(Nn)]r < +∞ và nếu hàm ϕ thỏa mãn điều kiện (3.5.32) và ϕ(Nn) = O(E[ϕ(Nn)]) a.s. khi n→ +∞. (3.5.40) Khi đó, với mỗi f ∈ CrB(Rd), khi n→ ∞, dT (S X Nn , S Y Nn ; f) = o { 1 r! E ( Nn[ϕ(Nn)] r ( ϑXr,i + ϑ Y r,i ))} . Chú ý 3.5.2. Từ các kết quả nhận được ở phần này, chúng ta có các chú ý sau 1. Trường hợp P (Nn = n) = 1, các kết quả nhận được trùng với các kết quả ở phần trước, và cũng là sự mở rộng và tổng quát các kết quả của Prakasa B.L. S. Rao trong [40] và của V. Sakalauskas trong [45]. 2. Với những dạng đặc biệt của hàm ϕ(n) và các véc tơ ngẫu nhiên Yj, j = 1, 2, . . . , các kết quả của phần này sẽ là sự tổng quát các kết quả của Định lý giới hạn trung tâm cho tổng ngẫu nhiên các véc tơ ngẫu nhiên độc lập hoặc Luật yếu các số lớn đối với tổng ngẫu nhiên các véc tơ ngẫu nhiên độc lập. 3.6 Tâm của một biến ngẫu nhiên 1. Đặt vấn đề. Giả sử {Xn, n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, xác định trên không gian xác suất (Ω,F, P ) với kỳ vọng hữu hạn E(Xn) < +∞, n ≥ 1. 33 Trong nghiên cứu Lý thuyết các định lý giới hạn, đặc biệt khi xét tới dáng điệu tiệm cận của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập Sn = ∑n i=1 ξi, một đặc trưng số của biến ngẫu nhiên thành phần Xi có tính cộng tính thường được sử dụng là kỳ vọng E(Xi). Rõ ràng, E(Sn) = ∑n i=1 E(Xi), ngay cả trong trường hợp các biến ngẫu nhiên Xi, i = 1, 2, . . . không độc lập. Rất tiếc, kỳ vọng của biến ngẫu nhiên không phải bao giờ cũng tồn tại, ví dụ quen thuộc là kỳ vọng không tồn tại đối với biến ngẫu nhiên thuộc phân phối Cauchy. Vì vậy, rất tự nhiên khi nêu ra câu hỏi là có tồn tại hay không các đặc trưng khác của biến ngẫu nhiên cho phép sử dụng các tính chất ưu việt của kỳ vọng và đồng thời cũng khắc phục được sự không tồn tại của kỳ vọng đối với một số phân phối xác suất. Với mục đích đó, năm 1986 V. M. Zolotarev lần đầu tiên sử dụng khái niệm tâm của biến ngẫu nhiên trong nghiên cứu lý thuyết các định lý giới hạn của tổng các đại lượng ngẫu nhiên độc lập (xem chi tiết trong [54]). Sau đó, khoảng những năm 1990 hai giáo sư của Trường đại học Tổng hợp Quốc gia Lomonoxov (Liên bang Nga) là V. M. Kruglov và V. Y. Korolov cũng đã sử dụng khái niệm này trong nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của tổng ngẫu nhiên các biến ngẫu nhiên độc lập (xem [33]). Từ những năm đó cho tới nay, hầu như rất ít các tài liệu đề cập tới tâm của biến ngẫu nhiên. Tuy nhiên, là một trong những đặc trưng của biến ngẫu nhiên, tâm cũng đóng vai trò quan trọng trong việc xác định phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên. Đó cũng là lý do để chúng tôi đặt vấn đề nghiên cứu tính chất và các ứng dụng của tâm của biến ngẫu nhiên trong Lý thuyết các định lý giới hạn. Kết quả chính của phần này là các tính toán cụ thể liên quan tới tâm của một số lớp phân phối xác suất quen thuộc và khảo sát thêm một số tính chất của tâm của biến ngẫu nhiên (ngoài các tính chất đã được V.M. Zolotarev, V. M. Kruglov và V. Y. Korolev đưa ra trong các tài liệu [33] và [54]). Việc tìm các ứng dụng của đặc trưng mới này trong lý thuyết các định lý giới hạn cũng được xét tới trong các bài báo tiếp theo. Chúng ta nhắc lại định nghĩa tâm của biến ngẫu nhiên do V.M. Zolotarev đưa ra đầu tiên, sau đó được V. M. Kruglov và V. Y. Korolov sử dụng trong cuốn sách "Các định lý giới hạn của tổng ngẫu nhiên" (xem chi tiết trong [33] và [54]). Giả sử biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối FX(x) = P (X < x) và hàm đặc trưng fX(t) = E(exp(itX)). Giả sử v ∈ (0,+∞), thỏa mãn f(v) 6= 0. Tâm của biến ngẫu nhiên X (hay của phân phối F ) tại v (còn được gọi là v-tâm của biến ngẫu nhiên), là đại lượng c(v,X) = c(v, F ) = v−1.=[ln fX(v)], trong đó =(z) là phần ảo của số phức z. Chúng ta cũng cần nhắc lại một số tính chất quan trọng của tâm c(v,X) đã được 34 xét bởi V. M. Zolotarev, V. M. Kruglov và V. Y. Korolev (xem các chứng minh chi tiết trong [33] và [54]). Định lý 3.6.1. (a) Giả sử X là một biến ngẫu nhiên bất kỳ, có tồn tại v-tâm. Khi đó, c(v,−X) = −c(v,X). (b) Giả sử {Xn, n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, với dãy các v-tâm tương ứng. Khi đó, c(v, n∑ k=1 Xk) = n∑ k=1 c(v,Xk). (c) Giả sử dãy {Xn, n ≥ 1} hội tụ yếu đến biến ngẫu nhiên X có hàm đặc trưng fX(v) 6= 0 tại v > 0 nào đó khi n→ +∞. Khi đó lim n→∞ c(v,Xn) = c(v,X). 2. Các kết quả chính Định lý 3.6.2. Giả sử X là biến ngẫu nhiên của một lớp phân phối xác suất. Khi đó, ∀ v > 0, ta có (a) Nếu P (X = a) = 1, thì c(v,X) = a. (b) Nếu X ∼ U(n), thì c(v,X) = n+ 1 2 . (c) Nếu X ∼ U [a, b], thì c(v,X) = a+ b 2 . (d) Nếu X ∼ N(µ, σ2), thì c(v,X) = µ. Nhận xét 3.6.1. Định lý 3.6.2 cho thấy tâm của một số phân phối bằng giá trị kỳ vọng của phân phối đó. Định lý 3.6.3. Giả sử X là biến ngẫu nhiên của một lớp phân phối xác suất. Khi đó, ∀ v > 0, ta có (a) Nếu X ∼ P (λ), thì c(v,X) = λ.v−1. sin v (b) Nếu X ∼ Bernoulli(p), thì c(v,X) = v−1. arcsin ( p sin v√ 1− 2pq(1− cos v) ) , p + q = 1. (c) Nếu X ∼ B(n, p), thì c(v,X) = n.v−1. arcsin ( p sin v√ 1− 2pq(1− cos v) ) , p + q = 1. (d) Nếu X ∼ Geometry(p), thì c(v,X) = v−1. arcsin ( sin v√ 1 + q2 − 2q cos v ) , p+q = 1. 35 (e) Nếu X ∼ Cauchy(c), thì c(v,X) = 0. (f) Nếu X ∼ Exp(λ), thì c(v,X) = v−1. arcsin ( v√ λ2 + v2 ) . (g) Nếu X ∼ χ2(n), thì c(v,X) = 1 2 n.v−1. arcsin ( 2v√ 1 + 4v2 ) . (h) Nếu X ∼ Gamma(α, p), thì c(v,X) = p.v−1. arcsin ( v√ α2 + v2 ) . Nhận xét 3.6.2. Trong Định lý 3.6.3 chúng ta thấy v-tâm không bằng giá trị kỳ vọng của phân phối đó. Đặc biệt, mục 5) cho thấy phân phối Cauchy không tồn tại kỳ vọng, nhưng lại có v-tâm. Định lý 3.6.4. Giả sử biến ngẫu nhiên X có tâm c(v,X) và tồn tại kỳ vọng E(X). Khi đó, nếu hàm đặc trưng của X khả vi trên R+, thì lim v→0+ c(v,X) = E(X). Nhận xét 3.6.3. Nói chung, c(v, aX) 6= ac(v,X), với a ∈ R. Nhưng lim v→0+ c(v, aX) = a lim v→0+ c(v,X). Định lý 3.6.5. Giả sử {Xn, n ≥ 1} là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với tâm c(v,Xn). Khi đó, nếu N là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương, độc lập với mỗi Xk và đại lượng SN = N∑ k=1 Xk có hàm đặc trưng f(v) 6= 0 tại v > 0 nào đó, thì lim v→0+ c(v, SN) = E(N).E(ξk). Lưu ý, trường hợp N ∼ P (λ), thì c(v, SN) = λ.c(v,Xk). Định lý 3.6.6. Giả sử biến ngẫu nhiên X có tâm c(v,X) và tồn tại kỳ vọng E(X). Khi đó, (a) c(v,X) ≤ E(X). (b) Nếu hàm mật độ của X đối xứng qua đường thẳng x = a, thì c(v,X) = a = E(X). Nhận xét 3.6.4. Từ Định lý 3.6.6, suy ra rằng kết quả của Định lý 3.6.5 là hiển nhiên. 36 Chương 4 Một số ứng dụng trong thống kê và mô phỏng Monte Carlo 4.1 Hàm phân phối xác suất dạng khi bình phương với chỉ số ngẫu nhiên 1. Đặt vấn đề. Giả sử X1, X2, . . . , Xn là n biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối chuẩn chính tắc N (0, 1). Khi đó tổng các bình phương X21 +X22 + . . .+X2n được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối khi bình phương với n bậc tự do, ký hiệu là χ2n. Biến ngẫu nhiên χ2n có hàm mật độ xác suất xác định bởi fn(x) = 0 nếu x ≤ 0,xn2−1 2 n 2 Γ(n 2 ) e− x 2 nếu x > 0 , (4.1.1) trong đó Γ(s) = ∫∞ 0 e−xxs−1dx là hàm Gamma. Từ khi xuất hiện (năm 1928), phân phối của biến ngẫu nhiên χ2n (đặc biệt phép thử χ2)đã đóng vai trò quan trọng trong một số bài toán của thống kê như xây dựng khoảng tin cậy cho phương sai của tổng thể, kiểm định giả thuyết thống kê liên quan tới phương sai tổng thể, kiểm định tính phù hợp giữa thực nghiệm và lý thuyết, kiểm định tính độc lập của các biến ngẫu nhiên... Một câu hỏi tự nhiên là nếu độ tự do n của biến ngẫu nhiên χ2n được thay bởi một biến ngẫu nhiên N, nhận các giá trị nguyên dương, thì điều gì sẽ xảy ra với các kết quả liên quan tới biến ngẫu nhiên dạng χ2N . 2. Kết quả. Ký hiệu Z là một biến ngẫu nhiên suy biến tại 1. Chúng ta cũng sử dụng ký hiệu d−→ là sự hội tụ theo phân phối, còn P−→ là sự hội tụ theo xác suất. 37 Định lý 4.1.1. Giả sử X1, X2, . . . , Xn là n biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối χ2n. Giả sử rằng N là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương và N độc lập với mỗi Xi, i = 1, 2, . . . , n. Xét tổng ngẫu nhiên SN := ∑N i=1Xi. Khi đó SN n d−→ N, n→ ∞. Dưới đây là một số kết quả thú vị liên quan đến biến ngẫu nhiên χ2n khi thay bậc tự do n bằng một biến ngẫu nhiên N nhận giá trị nguyên dương, độc lập với các Xi ∼ N (0, 1), i = 1, 2, . . . , N, mà ta sẽ ký hiệu là χ2N , nghĩa là χ2N = X21 + · · ·+X2N . Định lý 4.1.2. Giả sử {Nn, n ≥ 1} là dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên, dương, độc lập với các Xi ∼ N (0, 1), i = 1, 2, . . . và thỏa các điều kiện E(Nn) → ∞; E|Nn − E(Nn)| E(Nn) → 0 khi n→ ∞. Khi đó χ2Nn E(Nn) d−→ Z, n→ ∞. Chú ý 4.1.1. Ta có E(χ2(1)) = 1. Do đó, E(Nn) = E(χ 2 Nn ). Khi đó kết luận trong Định lý 3.6.6 có thể phát biểu như sau χ2Nn E(χ2Nn) d−→ Z, n→ ∞. Các kết quả sau là những hệ quả trực tiếp từ Định lý 4.1.2. Hệ quả 4.1.1. Giả sử Nn ∼ Binomial(n, p). Khi đó χ2Nn np d−→ Z, n→ ∞. Hệ quả 4.1.2. Giả sử Nn ∼ Poisson(λn) và λn → ∞ khi n→ ∞. Khi đó χ2Nn λn d−→ Z, n→ ∞. Định lý 4.1.3. Giả sử Nn ∼ Uniformn. Khi đó χ2Nn n d−→ U ∼ Uniform[0, 1], n→ ∞. Định lý 4.1.4. Giả sử Nn ∼ Geometry(pn) và pn → 0 khi n→ ∞. Khi đó pn.χ 2 Nn d−→ Y ∼ Exp(1), n→ ∞. 38 Định lý 4.1.5. Giả sử {Nn, n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương, độc lập với mọi Xi ∼ N (0, 1), i ≥ 1. Khi đó, nếu Nn n P−→ 1, thì χ2Nn n d−→ Z, n→ ∞. 3. Thuật toán tính hàm phân phối khi bình phương χ2 với bậc tự do ngẫu nhiên. Trong phần này, sử dụng kết quả của Lebedev trong [34], chúng tôi xây dựng thuật toán để tính các giá trị của hàm phân phối chi bình phương với độ tự do ngẫu nhiên χ2N(x), trong đó biến ngẫu nhiên N có các phân phối xác suất xác định như phân phối Poisson hoặc hình học. Định lý 4.1.6. (Định lý Lebedev, [34]) Ký hiệu χ2n(x) là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên χ2 với n bậc tự do. Khi đó với mọi n=1,2,.. χ2n+2(x) = χ 2 n(x)− δn xn/2 n!! e−x/2, χ21(x) = 2Φ( √ x)− 1, χ22(x) = 1− e−x/2, ở đây δx = 1, n = 2k√ 2 pi , n = 2k + 1, và Φ(x) = 1√ 2pi x∫ −∞ x−t/2dt. Hệ quả 4.1.3. Nếu n=2m, m=1,2,... thì χ22m(x) = 1− e−x/2 m−1∑ p=0 x/2p p! . Nếu n=2m+1, m=0,1,2,...thì χ22m+1(x) = 2Φ( √ x)− 1− √ 2 pi e−x/2 m∑ p=1 xp−1/2 (2p− 1)!! . Định lý 4.1.7. Giả sử N(λ) là biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên, không âm, tham số λ với phân phối xác suất P (N = k) = pk(λ). Giả sử N(λ) độc lập với mọi Xi ∼ N (0, 1), i=1,2... Đặt χ2n = ∑n i=1Xi 2;χ2N = ∑N i=1Xi 2, Xi ∼ N (0, 1), i = 1, 2.... Ký hiệu χ2n(x) và 39 FN(x, λ) lần lượt là hàm phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên χ 2 n và χ 2 N . Khi đó FN(x, λ) = ∞∑ 1 χ2k(x)pk(λ). 4. Thuật toán tính hàm phân phối xác suất χ2N(x) với bậc tự do ngẫu nhiên. (a) Xây dựng hàm phân phối xác suất χ2n(x) := P (χ 2 n < x) của biến ngẫu nhiên có phân phối khi bình phương với n bậc tự do χ2n dựa vào kết quả của Hệ quả 3.2. (b) Tính P (N = k) = pk(λ), k = 1, 2, .. của biến ngẫu nhiên rời rạc N. (c) Tính hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên χ2N với bậc tự do là một biến ngẫu nhiên N FN(x, λ) = ∞∑ 1 χ2k(x)pk(λ). 5. Khi bình phương với chỉ số ngẫu nhiên nhị thức âm. Xét tổng ngẫu nhiên χ2(N) = N∑ k=1 X2k với X1, X2, ..., Xk, ... là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối chuẩn tắc N(0, 1) và N là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức âm, tức là: P (N = k) = Cr−1k−1p rqk−r (p+ q = 1, k = r, r + 1, ...) Xét chuổi lũy thừa ϕ(x) = ∞∑ k=r Cr−1k−1 xn Γ(k 2 ) có miền hội tụ là R. Gọi fk(x) là hàm mật độ của phân phối χ2 với k bậc tự do. Khi đó, tổng ngẫu nhiên χ2(N) có hàm mật độ (x ≥ 0): f(x) = ∞∑ k=r fk(x)P (N = k) = ∞∑ k=r x k 2 −1e− x 2 2 k 2Γ(k 2 ) Cr−1k−1p rqk−r = x−1e− x 2 (p/q)r ∞∑ k=r Cr−1k−1 [ q √ x/2 ]k Γ(k 2 ) = x−1e− x 2 (p/q)rϕ(q √ x/2) Do đó, ta cần tính toán chuổi lũy thừa ϕ(x). Xét dãy chuổi hàm sau: φn(x) = ∞∑ k=1 knxk Γ(k 2 ) n = 0, 1, 2, ... có các tính chất sau: 40 i. φ0(x) = x√ pi + 2x2ex 2 Φ(x √ 2) với Φ(x) là hàm Laplace. ii. φn+1(x) = x ∂ ∂x φn(x). Dựa vào 2 tính chất trên và dùng các phần mềm tính toán Maple ta có thể tính tường minh chuổi hàm φn(x). Chẳng hạn: φ1(x) = x(1 + 2x2)√ pi + 4x2(1 + x2)ex 2 Φ(x √ 2), φ2(x) = x(1 + 10x2 + 4x4)√ pi + 8x2(1 + 3x2 + x4)ex 2 Φ(x √ 2), ........ Khi đó, với r = 1 thì ϕ(x) = φ0(x). Với r ≥ 2 thì ϕ(x) = 1 (r − 1)! ∞∑ k=r (k − r + 1)(k − r + 2)...(k − 1) x k Γ(k 2 ) Ta có thể biểu diễn ϕ(x) qua các chuổi hàm φn(x). Chẳng hạn: r = 2, ϕ(x) = φ1(x)− φ0(x) r = 3, ϕ(x) = 1 2! [φ2(x)− 3φ1(x) + 2φ0(x)] r = 4, ϕ(x) = 1 3! [φ3(x)− 6φ2(x) + 11φ1(x)− 6φ0(x)] ......... Các bảng bên cho giá trị hàm phân phối F (x) = ∫ x 0 f(t)dt trong các trường hợp cụ thể. 41 Bảng giá trị hàm phân phối Khi bình phương với chỉ số nhị thức âm (r=1,p=1/3) Hàm mật độ có dạng f(x) = 0 nếu x ≤ 0pqe−x(1−q2)/2Φ(q√x) + pe−x/2√ 2pix nếu x > 0 42 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0. 0 0.0949 0.1401 0.1768 0.2089 0.2379 0.2647 0.2897 0.3132 0.3355 1. 0.3566 0.3768 0.3961 0.4146 0.4324 0.4494 0.4659 0.4817 0.4970 0.5117 2. 0.5260 0.5397 0.5531 0.5660 0.5784 0.5905 0.6022 0.6135 0.6245 0.6352 3. 0.6455 0.6555 0.6652 0.6747 0.6838 0.6927 0.7013 0.7097 0.7178 0.7257 4. 0.7334 0.7408 0.7480 0.7550 0.7619 0.7685 0.7749 0.7812 0.7872 0.7931 5. 0.7989 0.8045 0.8099 0.8151 0.8202 0.8252 0.8300 0.8347 0.8393 0.8437 6. 0.8481 0.8523 0.8563 0.8603 0.8641 0.8679 0.8715 0.8751 0.8785 0.8819 7. 0.8851 0.8883 0.8913 0.8943 0.8972 0.9001 0.9028 0.9055 0.9081 0.9106 8. 0.9131 0.9155 0.9178 0.9200 0.9222 0.9244 0.9265 0.9285 0.9304 0.9323 9. 0.9342 0.9360 0.9378 0.9395 0.9411 0.9428 0.9443 0.9459 0.9473 0.9488 10. 0.9502 0.9516 0.9529 0.9542 0.9554 0.9567 0.9578 0.9590 0.9601 0.9612 11. 0.9623 0.9633 0.9643 0.9653 0.9663 0.9672 0.9681 0.9690 0.9698 0.9706 12. 0.9714 0.9722 0.9730 0.9737 0.9744 0.9751 0.9758 0.9765 0.9771 0.9778 13. 0.9784 0.9790 0.9795 0.9801 0.9806 0.9812 0.9817 0.9822 0.9827 0.9832 14. 0.9836 0.9841 0.9845 0.9849 0.9853 0.9857 0.9861 0.9865 0.9869 0.9872 15. 0.9876 0.9879 0.9883 0.9886 0.9889 0.9892 0.9895 0.9898 0.9901 0.9903 16. 0.9906 0.9909 0.9911 0.9914 0.9916 0.9918 0.9920 0.9923 0.9925 0.9927 17. 0.9929 0.9931 0.9933 0.9935 0.9936 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 18. 0.9946 0.9948 0.9949 0.9950 0.9952 0.9953 0.9954 0.9956 0.9957 0.9958 19. 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 20. 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9972 0.9973 0.9974 0.9975 0.9975 0.9976 21. 0.9977 0.9977 0.9978 0.9978 0.9979 0.9980 0.9980 0.9981 0.9981 0.9982 22. 0.9982 0.9983 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 23. 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 24. 0.9990 0.9990 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 25. 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 0.9993 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 26. 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 0.9995 0.9995 0.9995 0.9995 27. 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 28. 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 29. 0.9997 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 43 Bảng giá trị hàm phân phối Khi bình phương với chỉ số nhị thức âm (r=2,p=1/3) Hàm mật độ có dạng f(x) = 0 nếu x ≤ 0p2e−x(1−q2)/2Φ(q√x)(1 + q2x) + p2q√xe−x/2√ 2pi nếu x > 0 44 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0. 0 0.0068 0.0147 0.0233 0.0324 0.0419 0.0517 0.0618 0.0722 0.0829 1. 0.0937 0.1046 0.1157 0.1269 0.1382 0.1495 0.1609 0.1724 0.1839 0.1954 2. 0.2069 0.2184 0.2298 0.2413 0.2527 0.2641 0.2754 0.2866 0.2978 0.3090 3. 0.3200 0.3310 0.3419 0.3527 0.3634 0.3740 0.3845 0.3949 0.4052 0.4154 4. 0.4255 0.4355 0.4453 0.4551 0.4647 0.4742 0.4836 0.4929 0.5021 0.5111 5. 0.5200 0.5289 0.5375 0.5461 0.5545 0.5629 0.5710 0.5791 0.5871 0.5949 6. 0.6026 0.6103 0.6177 0.6251 0.6324 0.6395 0.6465 0.6534 0.6602 0.6669 7. 0.6735 0.6799 0.6863 0.6925 0.6987 0.7047 0.7106 0.7165 0.7222 0.7278 8. 0.7333 0.7388 0.7441 0.7493 0.7545 0.7595 0.7645 0.7693 0.7741 0.7788 9. 0.7834 0.7879 0.7923 0.7967 0.8009 0.8051 0.8092 0.8132 0.8172 0.8211 10. 0.8248 0.8286 0.8322 0.8358 0.8393 0.8427 0.8461 0.8494 0.8527 0.8558 11. 0.8589 0.8620 0.8650 0.8679 0.8708 0.8736 0.8763 0.8790 0.8817 0.8843 12. 0.8868 0.8893 0.8917 0.8941 0.8964 0.8987 0.9010 0.9032 0.9053 0.9074 13. 0.9095 0.9115 0.9134 0.9154 0.9173 0.9191 0.9209 0.9227 0.9244 0.9261 14. 0.9278 0.9294 0.9310 0.9325 0.9341 0.9356 0.9370 0.9384 0.9398 0.9412 15. 0.9425 0.9438 0.9451 0.9464 0.9476 0.9488 0.9500 0.9511 0.9522 0.9533 16. 0.9544 0.9554 0.9565 0.9575 0.9584 0.9594 0.9603 0.9612 0.9621 0.9630 17. 0.9639 0.9647 0.9655 0.9663 0.9671 0.9679 0.9686 0.9693 0.9701 0.9708 18. 0.9714 0.9721 0.9727 0.9734 0.9740 0.9746 0.9752 0.9758 0.9764 0.9769 19. 0.9775 0.9780 0.9785 0.9790 0.9795 0.9800 0.9805 0.9809 0.9814 0.9818 20. 0.9822 0.9827 0.9831 0.9835 0.9839 0.9842 0.9846 0.9850 0.9853 0.9857 21. 0.9860 0.9864 0.9867 0.9870 0.9873 0.9876 0.9879 0.9882 0.9885 0.9887 22. 0.9890 0.9893 0.9895 0.9898 0.9900 0.9903 0.9905 0.9907 0.9910 0.9912 23. 0.9914 0.9916 0.9918 0.9920 0.9922 0.9924 0.9926 0.9927 0.9929 0.9931 24. 0.9932 0.9934 0.9936 0.9937 0.9939 0.9940 0.9942 0.9943 0.9944 0.9946 25. 0.9947 0.9948 0.9950 0.9951 0.9952 0.9953 0.9954 0.9955 0.9957 0.9958 26. 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9963 0.9964 0.9965 0.9966 0.9967 27. 0.9968 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 0.9974 28. 0.9975 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 29. 0.9980 0.9981 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9983 0.9983 0.9984 0.9984 45 Bảng giá trị hàm phân phối Khi bình phương với chỉ số nhị thức âm (r=3,p=1/3) Hàm mật độ có dạng f(x) = 0 nếu x ≤ 01 2 qp3e−x(1−q 2)/2Φ(q √ x)(3 + q2x) + p 3√xe−x/2(2+q2x) 2 √ 2pi nếu x > 0 46 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0. 0 0.0004 0.0013 0.0025 0.0041 0.0061 0.0083 0.0108 0.0137 0.0168 1. 0.0201 0.0238 0.0277 0.0318 0.0361 0.0407 0.0455 0.0505 0.0557 0.0611 2. 0.0667 0.0724 0.0784 0.0844 0.0907 0.0971 0.1036 0.1102 0.1170 0.1239 3. 0.1309 0.1380 0.1452 0.1525 0.1599 0.1674 0.1749 0.1826 0.1902 0.1980 4. 0.2058 0.2136 0.2215 0.2294 0.2374 0.2453 0.2533 0.2614 0.2694 0.2775 5. 0.2855 0.2936 0.3016 0.3097 0.3178 0.3258 0.3338 0.3419 0.3499 0.3578 6. 0.3658 0.3737 0.3816 0.3895 0.3973 0.4051 0.4129 0.4206 0.4283 0.4359 7. 0.4435 0.4510 0.4585 0.4660 0.4734 0.4807 0.4880 0.4952 0.5024 0.5095 8. 0.5165 0.5235 0.5305 0.5373 0.5441 0.5509 0.5576 0.5642 0.5707 0.5772 9. 0.5836 0.5900 0.5963 0.6025 0.6086 0.6147 0.6207 0.6267 0.6326 0.6384 10. 0.6441 0.6498 0.6554 0.6610 0.6665 0.6719 0.6772 0.6825 0.6877 0.6929 11. 0.6979 0.7030 0.7079 0.7128 0.7176 0.7224 0.7270 0.7317 0.7362 0.7407 12. 0.7452 0.7495 0.7539 0.7581 0.7623 0.7664 0.7705 0.7745 0.7785 0.7824 13. 0.7862 0.7900 0.7937 0.7974 0.8010 0.8045 0.8080 0.8115 0.8149 0.8182 14. 0.8215 0.8247 0.8279 0.8310 0.8341 0.8372 0.8402 0.8431 0.8460 0.8488 15. 0.8516 0.8544 0.8571 0.8598 0.8624 0.8649 0.8675 0.8700 0.8724 0.8748 16. 0.8772 0.8795 0.8818 0.8840 0.8863 0.8884 0.8906 0.8927 0.8947 0.8967 17. 0.8987 0.9007 0.9026 0.9045 0.9063 0.9082 0.9099 0.9117 0.9134 0.9151 18. 0.9168 0.9184 0.9200 0.9216 0.9231 0.9246 0.9261 0.9276 0.9290 0.9304 19. 0.9318 0.9332 0.9345 0.9358 0.9371 0.9384 0.9396 0.9408 0.9420 0.9432 20. 0.9443 0.9454 0.9465 0.9476 0.9487 0.9497 0.9507 0.9517 0.9527 0.9537 21. 0.9546 0.9556 0.9565 0.9574 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9624 22. 0.9631 0.9639 0.9647 0.9654 0.9661 0.9668 0.9675 0.9682 0.9688 0.9695 23. 0.9701 0.9708 0.9714 0.9720 0.9726 0.9731 0.9737 0.9742 0.9748 0.9753 24. 0.9758 0.9764 0.9769 0.9773 0.9778 0.9783 0.9788 0.9792 0.9796 0.9801 25. 0.9805 0.9809 0.9813 0.9817 0.9821 0.9825 0.9829 0.9832 0.9836 0.9839 26. 0.9843 0.9846 0.9850 0.9853 0.9856 0.9859 0.9862 0.9865 0.9868 0.9871 27. 0.9874 0.9876 0.9879 0.9882 0.9884 0.9887 0.9889 0.9892 0.9894 0.9896 28. 0.9899 0.9901 0.9903 0.9905 0.9907 0.9909 0.9911 0.9913 0.9915 0.9917 29. 0.9919 0.9921 0.9922 0.9924 0.9926 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 30. 0.9935 0.9936 0.9938 0.9939 0.9941 0.9942 0.9943 0.9944 0.9946 0.9947 31. 0.9948 0.9949 0.9950 0.9951 0.9953 0.9954 0.9955 0.9956 0.9957 0.9958 32. 0.9959 0.9960 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 0.9965 0.9965 0.9966 33. 0.9967 0.9968 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9971 0.9972 0.9972 0.9973 34. 0.9974 0.9974 0.9975 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9978 0.9979 47 4.2 Một số bài toán ước lượng tham số tổng thể qua các ước tử là tổng ngẫu nhiên 1. Đặt vấn đề Phương pháp Monte Carlo (còn được gọi là các phép thử mẫu ngẫu nhiên) là một công cụ số trong phân tích các hệ thống ngẫu nhiên. Điều đặc biệt là việc sử dụng các số ngẫu nhiên để tính toán các số không ngẫu nhiên. Ví dụ, giả sử X là một biến ngẫu nhiên, với kỳ vọng µ = E(X). Mục đích của chúng ta là tính µ. Giả sử chúng ta có thể tạo ra n quan sát ngẫu nhiên từ X, ký hiệu X1, X2, . . . , Xn. Theo Luật yếu các số lớn nếu, E|X1| <∞, α(n) P−→ µ, khi n→ +∞, (4.2.2) ở đây α(n) = 1 n ∑n k=1Xk and P−→ là sự hội tụ theo xác suất. Chúng ta có thể có xấp xỉ, nếu n đủ lớn µ ' α(n). (4.2.3) Như vậy, chúng ta có thể bảo đảm rằng nếu chọn n đủ lớn thì , α(n) sẽ gần tới µ. Diều này có được nhờ Luật yếu các số lớn. Chú ý rằng Xk và α(n) là ngẫu nhiên trong khi µ lại không ngẫu nhiên. Chúng ta gọi thống kê α(n) là một ước tử vững của µ. Bên cạnh đó, Định lý giới hạn trung tâm cho phép xác định tốc độ hội tụ trong phương pháp Monte Carlo. Cụ thể, khi n→ +∞, phân phối của α(n)−µ σ √ n dần tới phân phối chuẩn chính tắc N(0, 1). Như vậy, tốc độ hội tụ có dạng O(n−1/2). Ngoài ra, Định lý giới hạn trung tâm cũng cho phép xây dựng khoảng tin cậy, cụ thể với δ ∈ (0, 1), có z δ 2 sao cho P (Z > z δ 2 ) = δ 2 , ở đây, Z là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩnchinhs tắc. Như vậy, với n đủ lớn P (| α(n)− µ |> z δ 2 σ√ n ) ' δ (4.2.4) suy ra rằng giá trị chưa biết µ nằm trong khoảng α(n) ± z δ 2 σ√ n với xác suất 1 − δ. Như vậy, với n đủ lớn khoảng α(n)± z δ 2 σ√ n là khoảng tin cậy 100(1− δ)% cho trung bình µ. It should be noted that in practice the normal Chú ý là trong thực tế, khi độ lệch tiêu chuẩn σ chưa xác định, chugs ta có thể sử dụng ước lượng sn = √√√√ 1 n− 1 n∑ i=1 (Xi − αn)2. (4.2.5) 48 Khi đó, khoảng tin cậy [ α(n)− z δ 2 sn√ n , α(n) + z δ 2 sn√ n ] (4.2.6) là 100(1− δ)% khoảng tin cậy cho trung bình µ = E(X). Có ý nghĩa nếu ta xét trường hợp số các phép thử thống kê được thay bởi các biến ngẫu nhiên Nn. Khi đó hai thống kê α1(Nn) = 1 E(Nn) Nn∑ i=1 Xi (4.2.7) và α2(Nn) = 1 Nn Nn∑ i=1 Xi (4.2.8) sẽ được sử dụng để đánh giá trung bình µ. Kết quả chính của phần này là xây dựng các ước lượng điểm và khoảng tin cậy cho trung bình µ, trên cơ sở các ước tử tổng ngẫu nhiên với số phép thử Nn có phân phối Bernoulli. Các kết quả nhận được là sự mở rộng các kết quả của [12], [48]. Chú ý rằng trong [48] thống kê α2(Nn) được xét trong trường hợp Nn có phân phối siêu hình học. 2. Các kết quả chính Xét số người vào siêu thị. Một số từ họ mua hàng, số khác không mua, đơn giản vào ngắm nhìn. Giả sử số người không mua hàng là lớn. Ký hiệu X là tổng số tiền thu vào của siêu thị. X là một biến ngẫu nhiên, có giá trị trong [0,+∞) và ta cần tính trung bình E(X) với p = P (X > 0) và X > 0 a.s. Khi mô hình hóa bài toán này, giả sử X1, X2, . . . , Xn, . . . là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối sinh bởi n quan sát độc lập từ biến X và µ = E(X1), 0 < σ 2 = D(X1). Ký hiệu Nn là một số các quan sát nhân giá trị nguyên dương. Dễ thất rằng Nn có phân phối nhị thức B(n, p). Khi đó, với Xi > 0, đặt Yi = Xi và chúng ta có thể xắp xếp lại thứ tự sao cho Xi > 0, i = 1, 2, . . . , Nn. Như vậy, chúng ta có thể nhận được dãy các biến ngẫu nhiên độc lập Y1, Y2, . . . , YNn có cùng phân phối như X khi X > 0 với trung bình µY và phương sai σ 2 Y . Quan hệ giữa các mô men của các biến ngẫu nhiên Xi và Yi được xét như sau. Định lý 4.2.1. Với các giả thiết của Xi và Yi, (a) µ = pµY , 49 (b) σ2 = p(σ2Y + qµ 2 Y ), (p+ q = 1). Xét hai ước tử αY,1(Nn) = SNn E(Nn) = SNn np ; αY,2(Nn) = SNn Nn . (4.2.9) Chú ý rằng, nếu Nn suy thoái tại n, tức là P (Nn = n) = 1, thì hai ước tử αY,1(Nn), αY,2(Nn) trở về dạng ước tử quen thuộc α(n). It has long been known that the Theo định lý Khinchin α(n) là ước lượng vững cho µ, tức là E[α(n)] = µ và α(n) P−→ µ, khi n → +∞. Tương ứng hai thống kê mới, chúng ta có kết qua sau. Bổ đề 4.2.1. Với các giả thiết cho Nn, chúng ta có n∑ k=1 P (Nn = k) k → 0, khi n→ ∞. Định lý 4.2.2. Xét hai thống kê trong (4.2.9). Khi đó, (a) αY,1(Nn) là ước lượng vững cho µY . (b) αY,2(Nn) là ước lượng tiệm cận vững cho µY , sao cho E[αY,2(Nn)] dần tới µY và D[αY,2(Nn)] dần tới 0, khi n→ ∞. Để xây dựng khoảng tin cậy cho µY trên cơ sở hai ước tử đang xét, chúng ta cần tới kết quả của Định lý giới hạn trung tâm cho tổng ngẫu nhiên với chỉ số của tổng là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức Định lý 4.2.3. SNn − E(SNn)√ V ar(SNn) → N (0, 1) in distribution as n→ ∞. (4.2.10) Định lý này là trường hợp riêng của Định lý H. Robbins ([42]) và chứng minh chi tiết có thể xem trong [15]. Hệ quả 4.2.1. Với các ước tử xác định trong (4.2.9), khi n→ ∞,[ αY,1(Nn)− µY√ σ2Y + qµ 2 Y ] √ np −→ N(0, 1) theo phân phối, (4.2.11) và [ αY,2(Nn)− µY σY √ np ] Nn −→ N(0, 1) theo phân phối. (4.2.12) 50 Theo (4.2.12) từ Hệ quả 4.2.1, ước tử αY,2(Nn) là xấp xỉ chuẩn với n đủ lớn, nên khoảng tin cậy cho µY với mức ý nghĩa δ, trên cơ sở ước tử αY,2(Nn), là[ αY,2(Nn)− z δ 2 σY √ np Nn ;αY,2(Nn) + z δ 2 σY √ np Nn ] . (4.2.13) ở đây z δ 2 là phân vị chuẩn mức δ 2 . Tuy nhiên, khoảng tin cậy cho µY , trên cơ sở ước tử αY,1(Nn), từ (??) quá phức tạp. Vì vậy, chúng ta có thể thay thế bằng các ước lượng điểm. Từ định lý 4.2.3, tốt nhất chúng ta sử dụng αY,1(Nn) để đánh giá µY . Tương tự cho σ 2 Y , chúng ta xét ba ước tử sau S2Y,1 = 1 E(Nn)− 1 Nn∑ i=1 [Yi − αY,1(Nn)]2 (4.2.14) S2Y,2 = 1 E(Nn)− 1 Nn∑ i=1 [Yi − αY,2(Nn)]2 (4.2.15) S2Y,3 = 1 Nn Nn∑ i=1 [Yi − αY,2(Nn)]2 (4.2.16) Chúng ta có kết quả sau. Định lý 4.2.4. a) E(S2Y,1) = σ 2 Y +O[n −1]. b) E(S2Y,2) = σ 2 Y +O[n −1qn]. c) E(S2Y,3) = σ 2 Y +O[q n]. Trong Định lý 4.2.4, chú ý rằng các thống kê S2Y,1, S 2 Y,2, S 2 Y,3 là các ước lượng không chệch của σ2Y , nhưng với n đủ lớn và q đủ bé, khi đó các kỳ vọng của chúng sẽ hội tụ tới σ2Y với tốc độ xác định. ở đây, chúng ta sử dụng S 2 Y,2 cho một ước tử của σ 2 Y với tốc độ hội tụ O[n−1qn], là ước tử tốt nhất. Trong trường hợp chưa xác định σY , khoảng tin cậy theo (4.2.13) với µY , trên cơ sở αY,2(Nn), được xác định như[ αY,2(Nn)− z δ 2 SY,2 √ np Nn ;αY,2(Nn) + z δ 2 SY,2 √ np Nn ] . (4.2.17) Với lý do tương tự, từ (4.2.17), khoảng tin cậy trên cơ sở αY,1(Nn) làαY,1(Nn)− z δ 2 √ S2Y,2 + qα 2 Y,1(Nn) np ;αY,1(Nn) + z δ 2 √ S2Y,2 + qα 2 Y,1(Nn) np  . (4.2.18) Trong trường hợp chưa xác định xác suất p có thể sử dụng ước lượng tốt cả p là Nn/n. 51 Chúng tôi kết thúc phần này, cũng là kết thúc Báo cáo bằng nhận xét với vai trò quan trọng trong lý thuyết cũng như ứng dụng, Lý thuyết các Định lý giới hạn cho tổng ngẫu nhiên các biến ngẫu nhiên tiếp tục nghiên cứu và triển khai các ứng dụng trong Thống kê, Tin học, Toán tài chính, ... Một hướng khác cần xét đối với các biến ngẫu nhiên không độc lập (có tính Markov, Martingales, ...) cần được nghiêm túc nghiên cứu. 52 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Sau 24 tháng thực hiện đề tài, chúng tôi nhận thấy đề tài đã có những đóng góp hiệu quả trong công tác NCKH, đào tạo đại học và sau đại học, tạo điều kiện thuận lợi cho nhiều cán bộ khoa học, giáo viên trẻ và học viên cao học, NCS tham gia nghiên cứu và giải quyết một số vấn đề mà đề tài đặt ra. Chúng tôi có thể mạnh dạn đưa ra những kết luận sau: Hướng nghiên cứu của đề tài và các kết quả của đề tài là mới (đặc biệt ở Việt Nam) và có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như Lý thuyết xấp xỉ, Thống kê ứng dụng, Tin học, Xác suất tài chính, ... Các kết quả chủ yếu của đề tài được trình bày trong các bài báo trong mục Những đóng góp của đề tài. 1. Đóng góp của đề tài: (a) Đánh giá tốc độ hội tụ trong Luật yếu số lớn tương tự kết quả của V.V. Petrov trong [39]. (b) Đánh giá tốc độ hội tụ trong một số định lý giới hạn của các biến ngẫu nhiên độc lập qua khoảng cách xác suất Trotter. Đây là sự phát triển các kết quả của P.L. Butzer trong [1], [2], [3], H. Robbins trong [42], A. Renyi trong [41], Z. Rychlick và Szynal trong [43], [44], ... (c) Đánh giá khoảng cách Trotter của hai tổng Abel các biến ngẫu nhiên độc lập, phát triển từ kết quả của M. V. Muchanov trong [37]. (d) Đánh giá khoảng cách Trotter của hai tổng các biến ngẫu nhiên d chiều độc lập, mở rộng kết quả của Prakasa B. L. S. Rao trong [40] và S. Sakalauskas trong [45]. (e) Đánh giá khoảng cách Trotter của hai tổng ngẫu nhiên các biến ngẫu nhiên d chiều độc lập. đây là sự ngẫu nhiên hóa các kết quả của Prakasa B. L. S. Rao trong [40] và S. Sakalauskas trong [45] và cũng là sự mở rộng các kết quả trong các trường hợp các biến ngẫu nhiên một chiều của P. L. Butzer, H. Robbins, H.F. Trotter, A. Renyi, W. Feller, ... 2. Hướng nghiên cứu tiếp tục triển khai: (a) Sử dụng phương pháp khoảng cách xác suất Trotter để tham gia giải bài toán xấp xỉ Weierstrass đối với một hàm liên tục, bị chặn trên đoạn đóng [0,1]. (b) Sử dụng phương pháp khoảng cách xác suất Trotter trong nghiên cứu tốc độ hội tụ của thuật tóan Quick-sort liên quan tới chỉ số ngẫu nhiên (so sánh với kết quả đã có liên quan tới khoảng cách Zolotarev). 53 (c) Sử dụng phương pháp khoảng cách xác suất Trotter trong nghiên cứu tốc độ hội tụ trong các định lý giới hạn không sử dụng điều kiện bằng nhau của các mô men (mở rộng kết quả của Z. Rychlik trong [43]). (d) Xây dựng khoảng cách xác suất Trotter có điều kiện và ứng dụng trong nghiên cứu tốc độ hội tụ trong các định lý giới hạn có điều kiện (mở rộng kết quả của H. Kirschfink trong [30]). 3. Đề xuất: (a) Tạo điều kiện cho nhóm nghiên cứu tiếp tục đăng ký đề tài các cấp để giải quyết dứt điểm các hướng nghiên cứu đặt ra ở trên. (b) Tăng nguồn kinh phí cho nghiên cứu cấp bộ tương xứng với sự đầu tư về thời gian và trí tuệ của nhóm nghiên cứu. (c) Nên có chính sách động viên khuyến khích các nhóm nghiên cứu thực hiện tốt đề tài, có nhiều kết quả tốt được công bố trên các tạp chí chuyên môn uy tín và các tạp chí nước ngoài. 54 LỜI CẢM ƠN 1. Cám ơn Trung tâm Nghiên cứu Châu á (VNU) và Quỹ hỗ trợ Cao học Hàn quốc đã tài trợ kinh phí để thực hiện đề tài. 2. Cám ơn Trường Đại Học Khoa học Huế, Đại học Huế (cơ quan chủ trì), Bộ môn Xác suất Thống kê (Trường Đại học khoa học Huế) và các đồng nghiệp đã tạo điều kiện để đề tài này được hoàn thành đúng thời hạn. 3. Cám ơn các Seminar khoa học của Bộ môn XSTK (Khoa Toán, Trường Đại học Khoa Học Huế), Seminar của Khoa Toán ứng dụng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, Bộ môn XSTK (Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại Học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh), Khoa Toán (Trường đại học Khon Kaen, Thái Lan) và Dự án Nghiên cứu Toán ứng dụng 2008-2010 (Khoa Toán, Trường Đại học Khon Kaen, Thái Lan) đã tạo điều kiện cho chúng tôi trao đổi ý tưởng với các đồng nghiệp và báo cáo các kết quả nghiên cứu của đề tài trong những năm 2007, 2008 và 2009. 55 Tài liệu tham khảo [1] P. L. Butzer, L. Hahn, U. Westphal, On the rate approximation in the central limit theorem, Journal of approximation theory, Vol. 13, N. 3, March, (1975), pp. 32-47. [2] P. L. Butzer, H. Kirschfink and D. Schulz, An extension of the Lindeberg-Trotter operator-theoretic approach to limit theorems for dependent random variables, Acta Sci. Math., (1987), 51, 423-433. [3] P. L. Butzer and H. Kirschfink, General limit theorems with o-rates and Markov processes under pseudo-moment conditions, Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwen- dungen, (1988), Bd. 7(4), 280-307. [4] Chaidee, N.; Neammanee, K. Berry-Esseen bound for independent random sum via Stein’s method. Int. Math. Forum 3 (2008), no. 13-16, 721–738. MR2386188 [5] Louis H.Y. Chen and Qi-Man Shao, A non-uniform Berry-Esseen bound via Stein’s method, Probab. Theory Related Fields, (120), (2001), pp. 236-254. [6] Louis H.Y. Chen and A.D. Barbour, An introduction to Stein’s Method, Singapore University Press and World Scientific, (2005). [7] R. M. Dudley, Distances of probability measures and random variables, The Annals of Mathematical Statistics, (1968), Vol 39, N. 5, 1563-1572. [8] R. M. Dudley, Probabilities and Metrics: convergence of laws on metric spaces, with a view to statistical testing (lect. Notes Series: N45), Aarhus Uni, Aarhus, (1976). [9] W. Feller, An Introduction to probability theory and its applications, volume II, 2nd edition, John Wiley & Sons, New York, (1971). [10] Formanov, Sh. K. On the Stein-Tikhomirov method and its applications to nonclas- sical limit theorems. (Russian) Diskret. Mat. 19 (2007), no. 1, 27–39; translation in Discrete Math. Appl. 17 (2007), no. 1, 23–36 MR2325901 [11] Alison L. Gibbs and Su Francis Edward, On choosing and bounding probability met- rics, Manuscript version (2002), 1-21 56 [12] Peter W. Gylnn, The Central Limit Theorem, Law of Large Numbers and Monte Carlo Methods, Technical Report, 2007, pp. 1-39. [13] B. Gnedenko Limit theorems for sums of a random number of positive independent random variables, Proceedings of the Sixth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability (Univ. California, Berkeley, Calif., 1970/1971), Vol. II: Probability theory, Univ. California Press, Berkeley, Calif., (1972), pp. 537-549. [14] B. Gnedenko On limit theorems for a random number of random variables, Probabil- ity theory and mathematical statistics (Tbilisi, 1982), Lecture Notes in Math., Vol. 1021, Springer, Berlin, (1983), pp. 167-176. [15] Trần Lộc Hùng, Về các ứng dụng của phương pháp toán tử trong luật yếu các số lớn, Tạp chí Toán học Việt nam, N 2, (1983), trang 20-24. [16] Trần Lộc Hùng, Phương pháp Trotter trong luật các số lớn với tổng ngẫu nhiên, Tạp chí Toán học Việt nam, N. 2, (1988), trang 4-9. [17] Tran Loc Hung, On Trotter metric and its an application in weak law of large numbers, Proc. International Conference on Theory Probability, Random Processes, Mathematical Statistics and Applications, 21-23 Feb. BSU, Minsk (Belarus), 519.2 (063), (2005), N. 22, T. 33, pp. 344-349. [18] Tran Loc Hung, On a probability metric based on Trotter operator, Vietnam Journal of Mathematics, 35, (2007), N. 3, pp. 21-32, MR2317431 [19] Trần Lộc Hùng, Đánh giá khoảng cách xác suất Trotter của hai tổng các véc tơ độc lập, Tạp chí Khoa học, Đại học Huế, Phần Khoa học Tự nhiên, (2007), số 42, trang 103-111. [20] Tran Loc Hung, On the Trotter’s distance of two weighted random sums of d- dimensional random variables, Probability Theory, Random Processes, mathematical Statistics and Applications, Proceedings of the International Scientific Conference, Minsk, September 15-19, (2008), pp. 417-422. [21] Trần Lộc Hùng và Trần Thiện Thành, Tốc độ hội tụ trong một số định lý giới hạn đối với tổng ngẫu nhiên qua khoảng cách Trotter, Tạp chí Khoa học Đại học Huế, Đại học Huế, Phần Khoa học Tự nhiên, N. 14 (48), (2008), trang 41-48. [22] Trần Lộc Hùng và Đặng thị Tố Như, Một đánh giá khoảng cách xác suất Trotter đối với hai tổng Abel các biến ngẫu nhiên độc lập, Thông tin khoa hoc, Trường Đại học Khoa học Huế, số XV, Phần Khoa học Tự nhiên, (2008), trang 1-7. 57 [23] Tran Loc Hung, On the rates of the Trotter’s probability distance concerning two weighted random sums of d-dimensional random variables, International Mathemat- ical Forum, (2008) (submitted) [24] Trần Lộc Hùng và Trần Thiện Thành, Tổng ngẫu nhiên các biến ngẫu nhiên độc lập, Tạp chí Khoa học Học Viện Kỹ thuật Quân sự, số 120, III, (2007), trang 12-22. [25] Tran Loc Hung and Tran Thien Thanh, (2008), Some results on random limit the- orems of random identically independent random variables, Communication of the Korean Mathematical Society 2008), (submitted). [26] Tran Loc Hung, Tran Thien Thanh, and Bui Quang Vu, (2008), Some results related to distribution functions of chi-square type random variables with random degrees of freedom, Bull. Korean Math.Soc., 45, No. 3, pp. 509-522. MR2442192. [27] Trần Lộc Hùng, Trần Thiện Thành và Bùi Quang Vũ, (2007), Phân phối dạng khi bình phương với độ tự do ngẫu nhiên, Tạp chí Ứng dụng Toán học Việt Nam, Tập 5, Số 1, trang. 13-26. [28] John E. Hutchinson and Ruschendorf Ludger, Random fractals and probability met- rics, Manuscript version 2002, 1-21. [29] R. A. Khan, Some probabilistic methods in the theory of approximation operator, Acta mathematica Academial scientiarun. Hungarical Tomus 35 (1-2), (1980), p.193-203. [30] H. Kirschfink, The generalized Trotter operator and weak convergence of dependet random variables in different probability metrics, Results in Math. (1989), Vol 15, 294-323) [31] A. N. Kolmogorov and Fomin, Foundations of theory of real functions and functional analysis, Moscow, 1975. [32] A. Krajka, Z. Rychlik, Necessary and sufficient conditions for weak convergence of random sums of independent random variables, Comment. Math. Univ. Carolinae 34,3 (1993), pp. 465-482. [33] V. Kruglov, V. Korolev Limit Theorems for Random Sums, Moscow University Press, Moscow, (1990), (bản tiếng Nga). [34] Lebedev E. A., On new properties distributions of mathematical statistics, Probability Theory, Random Processes, Mathematical Statistics and Applications, Proceedings of the Intertional Conference in honor of 70 years Jubilee of Professor, Doctor of Physical and Mathematical Sciences Gennady Medvedev, Minsk February 21-25, 2005, pp. 154-160. 58 [35] E. Lukacs, Characteristic Functions, London, 1960. [36] A. B. Molchanov, Central limit theorem for large deviations, (1975), Moscow, (bản tiếng Nga). [37] M. V. Muchanov, Limit theorem for Abel sums, Izvestia Acad. Sci. Turcmenistan, (1987), N 5987, 19-23, (bản tiếng Nga). [38] K. Neammanee and N. Chaidee, Berry-Esseen bound for independent random sum via Stein’s method, International Mathematical Forum, (3), no. 15, (2008), pp. 721-738. [39] V. V. Petrov, Summation of independent random variables, ,Moscow, (1970), (bản tiếng Nga). [40] Prakasa B.L. S. Rao, On the rate of approximation in the multidimensional central limit theorem, Liet. Matem. Rink, (1977), 17, pp. 189-194. [41] A. Renyi, Probability Theory, Budapest, (1970). [42] H. Robbins, The asymptotic distribution of the sum of a random number of random variables, Bull. Amer. Math. Soc., 54 (1948), pp. 1151-1161. [43] Z. Rychlik, D. Szynal, On the limit behaviour of sums of a random number of inde- pendent random variables, Colloq. Math., 28 (1973), pp. 147-159. [44] Z. Rychlik and T. Walczynski, Convergence in law of random sums with nonrandom centering, J. Math. Sci. (New York) 106 (2001), pp. 2860-2864. [45] V. Sakalauskas, On an estimate in the multidimensional limit theorem, Liet. matem. Rink, (1977), V. 17(4), pp. 195-201. [46] V. Sakalauskas, Lindeberg’s CLT in multidimensional and Banach spaces, Technical Report, 2006. [47] D. D. Stancu, Use of probabilistic methods in the theory of uniform approximation of continuous function, Rev. Rown. Math. Pures and appl, Tome XIV, No. 5, p. 673-691, Bucarest, (1969). [48] Yurii B. Shvetsov, John J. Borkowski, Random sum estimators and their efficiency, Technical Report, Department of Mathematical Sciences, Montana State University, 2004, pp.1-20. [49] H. F. Trotter, An elementary proof of the central limit theorem, Arch. Math (Basel), (1959), 10, 226-234. 59 [50] N. N. Troush and Tran Loc Hung, On the asymptotic behavior of statistics depend- ing on a random number, Mathematical Modelling and Statistical Analysis of Time Series, Belarus State University, (1993), pp. 101-110, (in Russian). [51] V. M. Zolotarev, Metric distances in spaces of random variables, Math. Uspekhi, (1976), Vol 101 (143), N3 (11), 417-454, (bản tiếng Nga). [52] V. M. Zolotarev, Ideal metrics in the problems of probability theory and mathematical statistics, Austral. J. Statist., (1979), 21, (3), 193-208. [53] V. M. Zolotarev, Probability metrics, Theory Prob. Appl. (1983), 28, 278-302. [54] V. M. Zolotarev, Modern Theory of Summation of random Variables, Utrecht, the Netherlands, (1997). 60