Đề tài Cải tiến phương pháp dạy học với yêu cầu tích cực hóa hoạt động học tập theo hướng giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề qua việc tổ chức dạy học hàm số liên tục

Nhìn chung ở đề này các em nắm được kiến thức cơ bản về hàm số liên tục: liên tục tại một điểm, trên một khoảng, một đoạn; cơ bản biết vận dụng định lý 3 để chứng minh phương trình có nghiệm nhưng chưa đồng bộ. Đề 2: Nhìn chung mức độ của đề 2 cũng tương tự như đề 1 nên mức độ nắm kiến thức của các em cũng giống như các học sinh làm đề 1. 1.3.3 Kết quả thực nghiệm lớp 11A4 trường THPT Mỹ Hội Đông STT Họ Tên Điểm 1 Nguyễn Hữu Ái 8 2 Trần Thị Mỹ An 5 3 Phan Thanh Bút 5 4 Bùi Thị Chi 5 5 Phạm Thị Kim Chung 6 6 Kiều Văn Đệ 5 7 Nguyễn Huỳnh Mẫn Di 7 8 Nguyễn Thị Xuân Diệu 6 9 Nguyễn Thị Thùy Dung 6 10 Đoàn Mỹ Giang 5 11 Nguyễn Thành Giang 5 12 Nguyễn Thị Cẩm Giang 5 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 48 1.3.4 Phân tích kết quả: Phân phối điểm số: 13 Nguyễn Văn Hiền 8 14 Phan Minh Hiển 5 15 Nguyễn Thái Hoan 6 16 Trần Thị Diễm Hương 6 17 Võ Minh Kỵ 9 18 Lâm Kinh Luận 6 19 Nguyễn Thị Diễm Mi 8 20 Phạm Thị Bảo Ngọc 8 21 Nguyễn Cá Nhám 5 22 Nguyễn Thị Cẩm Nhung 5 23 Nguyễn Quốc Phong 8 24 Nông Kỳ Phùng 4 25 Nguyễn Mỹ Phương 5 26 Lê Minh Quí 6 27 Phan Thị Ngọc Quý 5 28 Nguyễn Thị Tố Quyên 6 29 Nguyễn Cơ Thạch 5 30 Nguyễn Tuấn Thanh 7 31 Lâm Trọng Thảo 5 32 Trần Đức Thịnh 4 33 Trương Thị Mỹ Tiên 7 34 Hồ Thị Trang 8 35 Phạm Thị Diễm Trinh 5 36 Lê Thanh Tuấn 7 37 Lại Ngọc Tuyền 5 38 Nguyễn Thị Ngọc Tuyền 5 39 Lê Thị Xuyến 8 40 Phạm Thị Như Ý 4 41 Đoàn Thị Thu Yến 5 42 Nguyễn Thị Oanh Yến 4 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 49 Điểm xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tổng số Số hs ni 0 0 0 0 3 18 9 4 7 1 0 42 Trung bình cộng: 5,93i i x n x n = ∑ Phương sai và độ lệch chuẩn: ix in ix x− 2( )ix x− 2( )i in x x− 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 0 0 3 18 9 4 7 1 0 -5,93 -4,93 -3,93 -2,93 -1,93 -0,93 0,07 1,07 2,07 3,07 4,07 35,16 24,30 15,44 8,58 3,72 0,86 0,005 1,14 4,28 9,42 16,56 0 0 0 0 11,16 15,48 0,05 4,56 29,96 9,42 0 70,63 Phương sai: 2 2 1 ( ) 70,63 1,68 1 42 i in x xs n −= =− ∑ Độ lệch chuẩn: 1 1,3s Tần suất: Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 50 Số % học sinh đạt điểm ix ix 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 % 0 0 0 0 7,14 42,86 21,43 9,52 16,67 2,38 0 1.3.5. So sánh kết quả: Trung bình cộng: o Lần I: 1 5,91i i x n x n = ∑ o Lần II: 2 5,93i i x n x n = ∑ Phương sai và độ lệch chuẩn: Phương sai: ○ Lần I: 2 2 1 ( ) 394,55 7,31 1 55 i in x xs n −= =− ∑ ○ Lần II: 2 2 2 ( ) 70,63 1,68 1 42 i in x xs n −= =− ∑ Độ lệch chuẩn: ƒ Lần I: 1 2,70s 0 0 0 7.14 42.86 21.43 9.52 16.67 2.38 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 % h ọc si nh Điểm Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 51 ƒ Lần II: 1 1,30s 1.4 Nhận xét chung: Qua kết quả trên, nhìn chung cả 2 lớp không chuyên Toán (1 lớp chuyên văn thuộc trường Thoại Ngọc Hầu, 1 lớp cơ bản thuộc trường Mỹ Hội Đông) đạt được kết như trên thì có thể phần nào thấy được hiệu quả của phương pháp dạy học tích cực nói chung và phương pháp dạy học “ phát hiện và giải quyết vấn đề ” nói riêng. Đối với lớp 11V trường Thoại Ngọc Hầu thì đạt kết quả khá hơn lớp 11A4 trường THPT Mỹ Hội Đông. Kết quả đó có thể chấp nhận được bởi Trường THPT Mỹ Hội Đông là một trường mới thành lập, các em trường Thoại Ngọc Hầu hiểu bài sâu hơn, vận dụng linh hoạt hơn các em trường Mỹ Hội Đông bởi đầu vào học sinh trường Mỹ Hội Động tương đối thấp. Nhìn chung, các em : ¾ Biết cách xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, trên một khoảng, một đoạn. ¾ Biết xác định miền liên tục của hàm số thông qua dạng hàm số. ¾ Biết cách vận dụng các định lý để chứng minh phương trình có nghiệm. 2. Trắc nghiệm giáo viên 2.1. Tiến trình thực nghiệm: 2.1.1 Cô Nguyễn Thị Ngọc Yến (Tồ trưởng tổ toán -Trường THPT Mỹ Hội Đông) Câu hỏi 1: Cô có nhìn nhận gì về trình độ và khả năng tiếp cận bộ môn Toán của học sinh trong trường? Đặc biệt là bài “Hàm số liên tục” ? Trả lời: Nhìn chung trình độ và khả năng tiếp cận bộ môn Toán của học sinh trong trường còn thấp so với yêu cầu của bậc trung học phổ thông, một lý do chủ yếu là hình thức thi tốt nghiệp trung học cơ sở chưa thật sự nghiêm túc. Mặt khác là do chất lượng đầu vào của học sinh còn chưa đạt yêu cầu, phần đông là từ trung bình trở xuống, thói quen làm bài tập, đặc biệt là bài tập về nhà còn rất ít nên kĩ năng biến đổi để giải toán còn sai, chậm, thiếu chính xác. + Về khả năng tiếp cận bộ môn Toán thì gặp nhiều khó khăn trong cách biến đổi Toán học + Tiếp thu còn yếu các khái niệm cơ bản, phép biến đổi,. Ngoài ra các em nắm và hiểu về các phương pháp giải về hàm số liên tục còn mơ hồ, chưa rõ ràng. Một phần là do không nắm vững các kiến thức bài trước, trong đó có bài tính giới hạn hàm số, dãy số., một phần là do tính toán có quá nhiều sai lầm và giải toán còn khá chậm ( chẳng hạn như: không tin tưởng vào bài làm của mình), một phần là tiếp nhận tri thức khoa học về phương pháp giải từng loại toán còn lẫn lộn, kiểu bài này lại áp dụng cách giải của kiểu bài kia. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 52 Nói tóm lại là rất kém trong việc giải một bài toán về hàm số liên tục, đặc biệt là khâu biến đổi để tính giới hạn hàm số . Câu hỏi 2: Các phương pháp dạy học của giáo viên trong trường hiện nay hầu hết là theo kiểu truyền thống hay tích cực? Trả lời: Các phương pháp dạy học của giáo viên bộ môn Toán trong trường thường sử dụng các phương pháp dạy học cổ điển là thuyết trình, giảng giảivà có lẽ đây là phương pháp tích cực nhất đối với đối tượng học sinh trường này. Tuy nhiên, ở một số bài giáo viên có sử dụng phương pháp tích cực để giảng dạy cho học sinh, chiếm 35% nội dung chương trình giảng dạy. Và trong tương lai, phương pháp tích cực có lẽ sẽ được phát huy hơn nữa. Câu hỏi 3: Cô có nhìn nhận gì về khả năng tiếp thu kiến thức môn Toán đối với từng kiểu dạy học: truyền thống và tích cực ? Trả lời: Nói chung phương pháp nào cũng có ưu điểm và nhược điểm riêng dựa trên đặc thù của bộ môn Đại số và Hình học, các đối tượng học sinh. Nhưng phần lớn cũng tùy thuộc vào kiến thức và năng khiếu giảng dạy của giáo viên. Dạy theo kiểu truyền thống, theo tiến trình suy diễn: Học sinh tiếp thu kiến thức mới một cách áp đặt, không tự nhiên, thường là dẫn đến thụ động. Dạy học theo kiểu tích cực, theo tiến trình quy nạp: Học sinh hiểu bài một cách tự nhiên, tiếp thu bài dễ hơn trong việc lĩnh hội tri thức mới. Câu hỏi 4: Cô có nghĩ rằng chúng ta nên thay đổi kiểu dạy học của giáo viên trong trường hay không? Trả lời: Theo ý kiến chủ quan của tôi, trong trường nên dần dần thay đổi kiểu dạy, nên dạy theo tiến trình quy nạp. Một số khái niệm đơn giản thì dùng suy diễn, tuy nhiên phải làm sao cho học sinh hiểu được bản chất của khái niệm, và cần chú trọng bước nhận dạng và thể hiện khái niệm. Câu hỏi 5: Cô có suy nghĩ gì về kiểu dạy mới : “Kiểu dạy học phát huy tính tích cực của học sinh ” ? Trả lời: Kiểu dạy phát huy tính tích cực của học sinh là một phương pháp dạy tốt vì: + Kiến thức có tính chất kế thừa + Kiến thức có tính hệ thống + Phát huy được tính tích cực của học sinh, của các đối tượng học sinh trong lớp học, học sinh tự phát hiện kiến thức mới nên sẽ nhớ bài lâu hơn. Mặc dầu vậy khi dạy phương pháp này cần chú ý: + Câu hỏi phải rõ ràng và vừa sức với từng đối tượng học sinh : Giỏi – Khá – Trung bình – Yếu. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 53 + Hệ thống câu hỏi đặt ra phải có tính gợi mở, tồn tại tình huống có vấn đề. + Người thầy phải nhìn tổng quát về chương trình môn học, có thể cả cấp dưới và phải có thời gian chuẩn bị chu đáo về hệ thống câu hỏi. 2.1.2 Thầy Trần Văn Sự (Giáo viên toán-Trường THPT Mỹ Hội Đông) Câu hỏi 1: Thầy có nhìn nhận gì về trình độ và khả năng tiếp cận bộ môn Toán của học sinh trong trường? Đặc biệt là bài “Hàm số liên tục”? Trả lời: Theo ý kiến chủ quan của tôi, trình độ và khả năng tiếp cận bộ môn Toán của học sinh trong trường còn rất yếu, đa số các em bị mất căn bản từ lớp dưới nên việc tiếp thu kiến thức mới rất vất vả, dẫn đến sự chán nản trong tâm lí học sinh khi học tiết học môn Toán. Điều quan trọng là các em rất thụ động, chỉ biết áp dụng những bài tập tương tự mà không tư duy theo hướng tích cực, những bài không giống dạng bài ví dụ thì không chịu suy nghĩ làm bài, không tự mình tìm hiểu nghiên cứu giải quyết vấn đề. Về bài Hàm Số Liên Tục cũng không ngoại lệ, học sinh chỉ biết áp dụng lại các bài tập khuôn mẫu, mà không nắm vững về phương pháp chung để giải các bài toán hàm số liên tục, các em không biết biến đổi từ dạng chưa biết về dạng quen thuộc. Nói vậy, một phần là do chất lượng đầu vào còn quá thấp, nhiều giáo viên còn khá trẻ và còn nhiều hạn chế. Về trình độ : nói chung học sinh trong trường học còn yếu về môn toán nói riêng và các môn tự nhiên nói chung. Câu hỏi 2: Các phương pháp dạy học của giáo viên trong trường hiện nay hầu hết là theo kiểu truyền thống hay tích cực ? Trả lời: Theo tôi, phương pháp dạy học của giáo viên hiện nay hầu hết đi theo xu hướng truyền thống (chỉ mới một phần nào đó theo hướng tích cực). Đôi khi trong một bài phải kết hợp cả 2 phương pháp truyền thống lẫn tích cực để hổ trợ cho nhau. Vì còn phải tùy vào đối tượng học sinh, tùy vào trình độ và khả năng tiếp thu của học sinh để có cách dạy cho phù hợp. Câu hỏi 3: Thầy có nhìn nhận gì về khả năng tiếp thu kiến thức môn Toán đối với từng kiểu dạy học: truyền thống và tích cực ? Trả lời: Nếu dạy theo phương pháp truyền thống, tức là thầy đọc, trò chép và học theo những gì thầy dạy sẽ làm cho học sinh thụ động, không phát huy được tính chủ động, tích cực, sáng tạo của học sinh. Điều đó làm cho học sinh có tâm lý thụ động, ỷ lại, tới đâu tính tới đó, nhiều khi các em không hiểu, muốn hỏi nhưng lại không dám hỏi. Điều này làm cho chất lượng giảng dạy ngày càng đi xuống một cách vô hình. Còn dạy theo phương pháp tích cực, vì các em hoạt động là chủ yếu, các em có thể tự mình khám phá ra những kiến thức mới thông qua những câu hỏi, gợi ý hướng dẫn của giáo viên, từ đó tạo nên sự hứng thú, mở rộng khả năng tư duy sáng tạo cho học Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 54 sinh, và như thế chất lượng học tập và giảng dạy sẽ tốt hơn. Đi đối với phương pháp này thì giáo viên cũng phải chú ý đến nhiều vấn đề trong đó hệ thống câu hỏi phải kích thích được học sinh suy nghĩ, phải có tình huống gợi vấn đề từ cái cũ để học sinh có thể khám phá ra được Câu hỏi 4: Thầy có nghĩ rằng chúng ta nên thay đổi kiểu dạy học của giáo viên trong trường hay không? Trả lời: Theo suy nghĩ của tôi, chúng ta nên từng bước thay đổi kiểu dạy học của giáo viên, nên đưa ra phương pháp dạy học mới, có khả năng phát huy được tính tích cực và tính sáng tạo của học sinh trong quá trình tiếp nhận tri thức khoa học mới. Tức là lấy người học làm trung tâm để giảng dạy. Theo tôi phải đổi mới nhưng phải đổi mới dần lồng ghép ở một số bài học cơ bản và dễ suy diễn, khi học sinh quen dần thì ta đổi mới dần kiểu dạy đó là điều hay nhất. Nếu ta thay đổi quá đột ngột thì càng làm cho học sinh khó hiểu hơn, không thích nghi kịp phương pháp mới, điều đó hoàn toàn không nên. Câu hỏi 5: Thầy có suy nghĩ gì về kiểu dạy mới : “Kiểu dạy học phát huy tính tích cực của học sinh ” ? Trả lời: Theo đánh giá chủ quan của tôi, kiểu dạy học mới phát huy tính tích cực của học sinh là kiểu dạy học rất tốt, rất phù hợp. Nhưng phải tùy vào trình độ và khả năng tiếp thu của học sinh từng lớp mà dạy cho hợp lí. Đối với học sinh miền nông thôn (như ở địa phương tôi đang dạy) thì ta không nên đổi mới tất cả một cách nhanh chóng mà phải làm dần dần mà tốt nhất là đổi mới từ lớp dưới, tập cho các em có thói quen học tích cực từ trước. Nhất là lớp 10, ta nên lồng ghép một số bài dạy có tính tích cực và tăng dần lên cho các năm sau đó thì học sinh tiếp thu tốt hơn, và sẽ ít ảnh hưởng đến từng đối tượng học sinh. Bằng cách nào đó làm cho mặt bằng học sinh ngày càng đồng đều thì việc sử sụng phương pháp dạy học mới dễ phát huy tác dụng hơn. Câu hỏi 6: Theo ý kiến của thầy thì chúng ta có nên sử dụng phương pháp dạy học tích cực (chẳng hạn như phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề) của học sinh trong giảng dạy bài “hàm số liên tục” hay không? Và nó sẽ đem lại tác dụng như thê nào đối với khả năng tiếp thu tri thức khoa học của học sinh? Trả lời: Tôi nghĩ nên đưa phương pháp giảng dạy tích cực vào dạy học là rất hay, đối với toàn bộ chương trình toán học nói chung và đối với bài “Hàm số liên tục” nói riêng. Nó sẽ giúp cho học sinh hiểu và nắm vững hơn về việc xét tính liên tục của hàm số khi nào xét trên khoảng, khi nào xét trên đoạn, khi nào xét tại điểm và vận dụng tính liên tục trên đoạn của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm. 2.2 Phân tích trắc nghiệm giáo viên Nhìn chung các giáo viên tán thành việc vận dụng phương pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực của học sinh. Nhưng tất cả đều có một điểm chung là nên chú ý đến trình độ của học sinh khi áp dụng phương pháp dạy học này. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 55 Bên cạnh đó, các giáo viên cũng nêu lên những điều khó khăn khi thực hiện phương pháp này, vì nó khó phù hợp với trình độ học sinh lớp mình trực tiếp giảng dạy. Tuy nhiên, về vấn đề có nên áp dụng hay không vào việc đưa phương pháp dạy học phát huy tính tích cực của học sinhvào giảng dạy môn Toán nói chung và bài Hàm Số Liên Tục (Chương trình Giải Tích lớp 11- SGK chỉnh lí năm 2007) nói riêng thì hầu hết các giáo viên đều tán đồng việc tận dụng phương pháp này, vì cho rằng nó khá phù hợp với mọi đối tượng, góp phần tích cực trong việc giúp cho học sinh hiểu bài và nắm rõ phương pháp giải cho từng kiểu bài về tính liên tục của hàm số, cũng như trong việc nhận dạng và có cách giải phù hợp để giải quyết bài toán một cách nhanh chóng và chính xác. V. Giáo án giảng dạy: GIÁO ÁN BÀI HÀM SỐ LIÊN TỤC Đối tượng học sinh: khá Ngày soạn: 10/03/2008 Lớp : 11 I. Mục đích,yêu cầu: 1. Về kiến thức: Giúp học sinh nắm được khái niệm hàm số liên tục tại một điểm, hàm số liên tục trên một khoảng, các định lý của hàm số liên tục. Giúp học sinh bước đầu hình thành được biểu tượng trực quan về hàm số liên tục tại một điểm, nắm được phương pháp sử dụng hàm số liên tục để chứng minh một phương trình có nghiệm. 2. Về kỹ năng và tư tưởng: Giúp học sinh rèn luyện kĩ năng khảo sát sự liên tục của hàm số tại một điểm, một khoảng và chứng minh phương trình có nghiệm. Học sinh rèn luyện đức tính cẩn thận, tính kỉ luật trong tính toán. 3. Về tư duy: Rèn luyện tư duy thuật toán, tư duy biện chứng cho học sinh. 4. Trọng tâm của bài: Khái niệm hàm số liên tục tại một điểm, hai định lý đầu về hàm số liên tục và ứng dụng hàm số liên tục trong việc chứng minh phương trình có nghiệm Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths.Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 56 II. Phương pháp , phương tiện dạy học,chuẩn bị của giáo viên và học sinh: Giáo viên: chủ yếu là phương pháp vấn đáp gợi mở có xen phương pháp thuyết trình. Phương pháp vấn đáp gợi mở là trọng tâm. Phương tiện: thước thẳng, phấn màu, bảng phụ, giáo án. Học sinh: Xem lại kiến thức của bài giới hạn hàm số và cách tính giới hạn hàm số. III. Tiến trình: Luận văn tốt nghiệp GVHD : Ths Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 57 Thời lượng Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung lưu bảng 1 phút 10 phút I.Ổn định lớp II.Kiểm tra bài cũ: Hoạt động 1: Giáo viên chia bảng làm 4,ở góc bảng bên phải, cho 3 hàm số: 1 neáu 2 ( ) 2 neáu 2 x x y f x x x ⎧ >= = ⎨ + ≤⎩ ( )1C 2 2 neáu 2( ) 1 neáu 2 x x y f x x ⎧ ≠⎪= =⎨ =⎪⎩ ( )2C ( )23 3( ) y f x x C= = Tính các giá trị sau (nếu có): 1 12 (2) ?, lim ( ) ? x f f x→= = 3 32 (2) ?, lim ( ) ? x f f x→= = Một học sinh lên bảng điền vào: 1 1 2 2 (2) 2, lim ( ) lim 2 x x f f x x− −→ →= = = 1 22 lim ( ) lim ( 2) 4 xx f x x+ → +→ = + = 1( )f x⇒ không có giới hạn khi 2x→ 2 2 22 2 (2) 1 lim ( ) lim 4 x x f f x x→ → = = = 3 2 32 2 (2) 4 lim ( ) lim 4 x x f f x x→ → = = = Câu trả lời mong ước của học sinh : Đồ thị C3 là một đường liền. Hai đồ thị còn lại không là một (Phần đồ thị và các thông số này học sinh không phải ghi vào vở) 1 1 2 2 (2) 2, lim ( ) lim 2 x x f f x x− −→ →= = = 1 22 lim ( ) lim ( 2) 4 xx f x x+ → +→ = + = Tiết 1 y 2 y=x + 2 x O 2 4 y=x Luận văn tốt nghiệp GVHD : Ths Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 58 2 22 (2) ?, lim ( ) ? x f f x→= = Sau khi học sinh đã tính các kết quả, giáo viên đưa ra 3 bảng phụ của 3 hàm số trên. Yêu cầu học sinh quan sát 3 đồ thị và nên nhận xét về 3 đồ thị tại điểm có hoành độ 0 2x = (Nếu học sinh gặp lúng túng,ta có thể gợi ý: đồ thị của hàm số đó có liền nét không?...) Giáo viên chỉ từng đồ thị, dựa vào kết quả học sinh tính được để giải thích cho học sinh biết vì sao đồ thị liền nét hay ngắt quãng tại điểm có hoành độ bằng 2. Sau đó giáo viên đưa ra kết luận : trong trường hợp trên người ta nói rằng hàm số 1 2( ), ( )f x f x không liên tục tại điểm x = 2, còn hàm số 3 ( )f x là liên tục tại điểm x = 2. Vậy nếu hàm số ( )f x xác định tại x = 2 thì hàm số ( )f x liên tục tại điểm x = 2 khi nào? đường liền, bị ngắt quãng tại điểm có hoành độ 0 2x = . Câu trả lời mong ước của học sinh: hàm số liên tục tại điểm 2x = khi 2 lim ( ) (2) x f x f→ = Hàm số ( )y f x= liên tục tại một điểm 2 thuộc tập xác định của hàm số khi ta có: lim ( ) ( ) x a f x f a→ = 1( )f x⇒ không có giới hạn khi 2x→ 2 22 2 2 (2) 1 lim ( ) lim 4 x x f f x x → → = = = 3 32 2 2 (2) 4 lim ( ) lim 4 x x f f x x → → = = = x y O 1 2 (C2) B (2;4) A (2;1) 4 x y O 4 1 2 (C3) B (2;4) A (2;1) Luận văn tốt nghiệp GVHD : Ths Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 59 7 phút Một cách tổng quát, em hãy nêu định nghĩa một hàm số ( )y f x= liên tục tại một điểm a thuộc tập xác định của hàm số? III.Vào bài mới: Hoạt động 2: Định nghĩa khái niệm: Giáo viên viết tóm tắt định nghĩa lên bảng. Vậy một hàm số liên tục tại nột điểm 0x khi có các điều kiện gì? Suy ra hàm số không liên tục tại 0x khi nào? Khi có 0 lim ( ) x x f x→ và 0 0lim ( ) ( )x x f x f x→ = Khi ( )f x không có giới hạn khi 0x x→ hoặc có 0( )f x và 0 lim ( ) x x f x→ nhưng 0 0lim ( ) ( )x x f x f x→ ≠ Bài 5: HÀM SỐ LIÊN TỤC I.Hàm số liên tục tại một điểm: Cho hàm số ( )y f x= xác định trên khoảng ( ; )a b , ( )0 ;x a b∈ . Ta định nghĩa: a) Hàm số ( )f x gọi là liên tục tại điểm 0x nếu : 0 0lim ( ) ( )x x f x f x→ = . * ( )f x liên tục tại điểm 0x → → ⎧⎪⇔ ⎨ =⎪⎩ 0 0 0 Toàn taïi lim ( ) lim ( ) ( ) x x x x f x f x f x Suy ra ( )f x không liên tục tại điểm 0x nếu xảy ra một trong hai điều kiện sau: - Hàm số ( )f x không có giới hạn khi 0x x→ (C2) -Có 0( )f x và 0 lim ( ) x x f x→ nhưng 0 0lim ( ) ( )x x f x f x→ ≠ (C3) Luận văn tốt nghiệp GVHD : Ths Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 60 3 phút 5 phút Hoạt động 3: Củng cố khái niệm: Vậy hàm số 1( )f x x = liên tục hay gián đoạn tại x = 0 ? Hàm số ( )f x x= có liên tục hay gián đoạn tại 0 hay không ? Ví dụ 1: Trước khi học sinh làm bài, giáo viên đặt câu hỏi: vậy muốn xét tính liên tục của hàm số tại điểm, ta làm thế nào? Câu trả lời mong ước là không thể xét tính liên tục của hàm số này tại 0 vì 0 không thuộc tập xác định.Tuy nhiên sẽ rất nhiều học sinh trả lời không liên tục. Câu trả lời mong ước là không trả lời được vì 0 không thuộc khoảng xác định . -Tính 0( )f x - Tính 0 lim ( ) x x f x→ - So sánh 0( )f x và 0 lim ( ) x x f x→ b)Hàm số không liên tục tại 0x thì được gọi là gián đoạn tại điểm đó, 0x được gọi là điểm gián đoạn. Chú ý : Hàm số 1( ) , ( )f x f x x x = = không có khái niệm liên tục tại điểm 0.x = Luận văn tốt nghiệp GVHD : Ths Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 61 Thời lượng Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung lưu bảng 5 phút Các định lý: Trong bài giới hạn hàm số, ta đã có các định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số có giới hạn khi 0x x→ , tương tự như vậy, em nào có thể dự đoán về tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số liên tục tại điểm 0x x= ? Từ định lý 1, ta có định lý 2. Các định lý này ta thừa nhận mà không chứng minh. Vận dụng định lý Ví dụ a: Trả lời: Tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số liên tục tại điểm 0x cũng liên tục tại điểm 0x x= IV.Các định lý: Ta thừa nhận không chứng minh các định lý sau: Định lý 1: Tổng, hiệu, tích, thương (với mẫu khác 0) của những hàm số liên tục tại một điểm là liên tục tại điểm đó. Định lý 2: Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác là liên tục trên tập xác định của chúng Tiết 2: Luận văn tốt nghiệp GVHD : Ths Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 62 20 phút Hàm số này dạng gì? Vậy trong hai định lý trên, ta vận dụng định lý nào để xét tính liên tục của hàm số? Giáo viên hướng dẫn cho học sinh giải Hàm số này được định nghĩa trên hai miền: ( );1−∞ , ( )1;+∞ và tại điểm 1x = . Muốn xét tính liên tục của hàm số này, ta phải xét tính liên tục của hàm số trên mấy miền? Giáo viên cho học sinh đứng tại chỗ xét tính liên tục của hàm số trên ( );1−∞ , ( )1;+∞ bằng cách vận dụng định lý 2. Tại điểm 1x = , ta xét tính liên tục của hàm số như thế nào? Giáo viên cho học sinh lên bảng làm. Thương của hai hàm đa thức Định lý 2 Ta có hàm số xác định trên hai miền, nên ta xét tính liên tục trên từng miền. Ta dùng định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm. Ví dụ: a)Xét tính liên tục và tìm điểm gián đoạn (nếu có) của hàm số sau : 2 1( ) 2 3 xf x x x += + − Giải: TXĐ: { }\ 1; 3D = − ( ; 3),( 3;1),(1; )x∀ ∈ −∞ − − +∞ , ( )f x xác định ( )f x⇒ liên tục { }\ 3;1x∀ ∈ − Kết luận: ( )f x liên tục trên { }\ 3;1− , không có điểm gián đoạn. b) Xét tính liên tục của hàm số sau: 2 2 ( 1) 1 ( ) 2 ( 1) 3 ( 1) x x x x f x x x x ⎧ + − >⎪ −⎪⎪= <⎨⎪ =⎪⎪⎩ Giải: TXĐ: = ( ) 2 21; , ( ) 1 x xx f x x + −∀ ∈ +∞ = − xác định ( )f x⇒ liên tục trên ( )1;+∞ Tại 1:x = Luận văn tốt nghiệp GVHD : Ths Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 63 15 phút Qua hai ví dụ trên ta có kết luận chung gì? (Giáo viên lưu ý học sinh là xét hàm số liên tục trên đoạn) Vậy muốn xét tính liên tục của hàm số, ta làm những bước nào?( giáo viên nói lại ví dụ 1 và ví dụ 2 để học sinh tổng quát lên) Ứng dụng: Cho một hàm số có đồ thị như hình bên. Em có nhận xét gì về tính liên tục của hàm số trên đoạn ;a b⎡ ⎤⎣ ⎦ ? Yêu cầu học sinh tìm trên đồ thị điểm nào có tung độ lớn nhất và nhỏ nhất? Người ta chứng minh được rằng, nếu một hàm số liên Ta tìm tập xác định của hàm số Trên từng khoảng xác định ta dùng định lý Tại các đầu mút của khoảng , ta dùng định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm Sau cùng là kết luận chung Hàm số này liên tục trên đoạn ;a b⎡ ⎤⎣ ⎦ Điểm B có tung độ lớn nhất, điểm A có tung độ nhỏ nhất. 2 1 1 1 1 1 (1) 3 2lim ( ) lim lim( 2) 3 1 lim ( ) lim 2 2 x x x x x f x xf x x x f x x + + + − + → → → → → = + −= = + =− = = 1 1 lim ( ) (1) lim ( ) x x f x f f x + −→ → = ≠ Vậy hàm số không liên tục tại 1 Kết luận: Hàm số liên tục tên ( );1 −∞ và ( )1;+∞ Phương pháp xét tính liên tục của hàm số: - Tìm tập xác định của hàm số - Trên từng khoảng xác định ta áp dụng hai định lý trên - Tại các đầu mút của khoảng, ta dùng định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm - Tổng kết các khoảng/đoạn liên tục V.Ứng dụng của hàm số liên tục: Luận văn tốt nghiệp GVHD : Ths Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 64 tục trên một đoạn ;a b⎡ ⎤⎣ ⎦ thì nó đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó.Ta thừa nhận định lý sau mà không chứng minh. Theo định lý trên, nếu ta có ( ). ( ) 0f a f b < (như hình vẽ bên) ta có nhận xét gì về vị trí của đồ thị và trục hoành? Điều đó cũng có nghĩa là phương trình ( ) 0f x = luôn có nghiệm.Ta có được hệ quả . Theo hệ quả, nếu hàm số ( )f x liên tục trên ;a b⎡ ⎤⎣ ⎦ và ( ). ( ) 0f a f b < thì chứng minh được phương trình ( ) 0f x = có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng ( );a b . Vậy muốn làm bài toán trên, ta phải vận dung hệ quả này mấy lần và trên những đoạn nào? Giáo viên hướng dẫn cho Trục hoành cắt đồ thị tại 3 điểm Hai lần trên hai khoảng rời nhau Định lý: SGK Nếu hàm số ( )y f x= liên tục trên đoạn ;a b⎡ ⎤⎣ ⎦ và ( ). ( ) 0f a f b < thì tồn tại ít nhất một điểm ( );c a b∈ sao cho ( ) 0f c = . (1) 1 2 1 2 , ; x ; : ( ) ( ) ( ) x x a b sao cho a b m f x f x f x M ⎡ ⎤∃ ∈ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤∀ ∈⎣ ⎦ = ≤ ≤ = O M A B m b a y x Luận văn tốt nghiệp GVHD : Ths Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 65 5 phút học sinh giải Bài tập về nhà Giáo viên củng cố cho học sinh khái niệm hàm số liên tục tại một điểm, cách chứng minh hàm số liên tục tại một điểm,cách xét tính liên tục của hàm số cho bởi nhiều công thức và chứng minh (2) ;L m M⎡ ⎤∀ ∈⎣ ⎦ tồn tại ít nhất 1 điểm ( ); ( )c a b sao cho f c L∈ = Hệ quả: Cho hàm số ( )f x liên tục trên ;a b⎡ ⎤⎣ ⎦ . Nếu ( ). ( ) 0f a f b < thì tồn tại ít nhất 1 điểm ( ); : ( ) 0c a b f c∈ = Nghĩa là c là một nghiệm của phương trình ( ) 0f x = . Chú ý : Ta thường sử sụng hệ quả này để chứng minh phương trình có nghiệm Ví dụ: Chứng minh phương trình : 3 23 5 1 0x x x+ − − = luôn có ít nhất 2 nghiệm trên ( )2;2− . Giải: Đặt 3 2( ) 3 5 1f x x x x= + − − Vì ( )f x là hàm đa thức nên liên tục trên 2;2⎡ ⎤−⎣ ⎦ Ta có: ( 2) 8 12 10 1 13f − = − + + − = (0) 1 (2) 8 12 10 1 9 f f = − = + − − = (0). ( 2) 0 (0). (2) 0 f f f f ⎧ − <⇒ ⎨ <⎩ Vậy phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc Luận văn tốt nghiệp GVHD : Ths Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 66 phương trình có nghiệm. Bài tập về nhà: bài tập sách giáo khoa về hệ thống bài tập sau. ( )2;0− và 1 nghiệm thuộc ( )0;2 . Vậy phương trình luôn có ít nhất 2 nghiệm trên ( )2;2− Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 67 Bài tập Mục đích Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm 0x a) 2 5 6 neáu 1( ) 1 7 neáu 1 x x xf x x x ⎧ + − ≠⎪= ⎨ −⎪ =⎩ tại 0 1x = b) ( ) 1 x f x x = + tại 0 0x = c) 2 1 neáu 0 ( ) 0 neáu 0 1 neáu 0 x x f x x x x ⎧ + ⎩ tại 0 0x = d) 2 2 4 4 neáu 1 ( ) neáu 0 1 0 neáu 0 x x x f x x x x ⎧− + − ≥⎪= ≤ <⎨⎪ <⎩ tại 0 1x = Học sinh biết xét tính liên tục của hàm số tại một điểm và củng cố hai dấu hiệu khi hàm số không liên tục tại một điểm. Đồng thời, các bài tập cũng trải rộng đủ dạng để học sinh ôn tập cách tính giới hạn của hàm số. Bài 2: Xác định hằng số a để các hàm số sau đây liên tục tại điểm 0x : a) 2 3 2 1 neáu 2 ( ) 2 4 2 neáu 2 4 ax x f x x x x ⎧ + ≤⎪= ⎨ + − >⎪ −⎩ tại 0 2x = b) 2 2 2 neáu 0( ) neáu 0 x x xf x x a x ⎧ + ≠⎪= ⎨⎪ =⎩ tại 0 0x = c) sin cos neáu 4 4( ) neáu 2 4 x x x xf x a x π π π π ⎧ − ≠⎪⎪ −= ⎨⎪ + =⎪⎩ 0 x 4 taïi π= d) 2 1 cos . 2 neáu 0 ( ) neáu 0 x co x x f x x a x ⎧ − ≠⎪= ⎨⎪ =⎩ tại 0 0x = Học sinh luyện tập bài toán có chứa tham số và tính giới hạn hàm số lượng giác. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 68 Bài 3: Tìm các khoảng đoạn mà hàm số sau liên tục, chỉ ra điểm gián đoạn nếu có: a. 3 2 1 4 5 xy x x −= + − b. 2 5 6y x x= + − c. 3 sin neáu 0 ( ) 2 neáu 0 x x x f x x ⎧ ≤= ⎨ >⎩ d. 2 2 3 4 2 neáu 2( ) 3 2 2 neáu 2 x x x xf x x x x a x ⎧ − − + −⎪ >= ⎨ − +⎪ + ≤⎩ e. 3 3sin neáu 0 ( ) 3 neáu 0 x x f x x x x ⎧ >⎪= ⎨⎪ + ≤⎩ Học sinh luyện tập xét tính liên tục của hàm số trên khoảng/đoạn và củng cố khái niệm hàm số liên tục trên khoảng/đoạn Câu a và b mục đích để học sinh xét tính liên tục của hàm số phải xét trên tập xác định của chúng. Bài 4: Định m để các hàm số sau liên tục trên : a. 2 3 2 cos 2 cos neáu 0( ) 2 neáu 0 x x xf x x mx x ⎧ − − −⎪ ≠= ⎨⎪ + =⎩ b. 3 2 3 2 4 8 5 neáu -1( ) 2 2 neáu -1 x x x xf x x x x m x ⎧ + + + ≠⎪= ⎨ + + +⎪ =⎩ c. 2 2 3 5 2 neáu 2( ) 2 2 neáu 2 x x x xf x x x x m x ⎧ + + − +⎪ >= ⎨ −⎪ + ≤⎩ Học sinh vận dụng, luyện tập làm bài toán có tham số Bài 5: Củng cố cho học sinh khái Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 69 Tìm điểm gián đoạn của các hàm số sau: a. 24 2y x x= − + − b. 2 3 3 5 2 x xy x x + += + − c. 2 2 11 2 4 3 2 neáu 1 4 3( ) 3 neáu 1 4 x x x x x xf x x ⎧ + − − +⎪ >⎪ + += ⎨⎪ ≤⎪⎩ d. 2 16 neáu 4( ) 4 8 neáu 4 x xf x x x ⎧ − ≠⎪= ⎨ −⎪ =⎩ niệm điểm gián đoạn và nhớ điểm gián đoạn trước tiên phải là một điểm thuộc tập xác định của hàm số Bài 6: Chứng minh rằng phương trình : a. 4 24 2 3 0x x x+ − − = có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên ( )1;1− b. 5 25 4 1 0x x x− + − = có đúng 5 nghiệm c. 42 tan 2 3 0x x+ − = luôn có nghiệm trong 50; 6 π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ Học sinh luyện tập kĩ năng vận dụng hàm số liên tục để chứng minh phương trình có nghiệm.Câu c mục đích chỉ cho học sinh thấy sai lầm nếu chọn 0a = và 5 6 b π= là sai vì trên 50; 6 π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ hàm số không liên tục tại 2 x π= Bài 7: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m: a. 4tan 4 tan 0m x x m+ − = b. 1 1 0 cos sin m x x − + = c. 7 2 0x x m+ − = Bài 7, 8, 9 cho học sinh thấy có nhiều cách chọn a, b và chứng minh ( ). ( ) 0f a f b < hoặc ( ). ( ) 0f a f b ≤ sao cho có thể vận dụng được hệ quả. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 70 Trên đây chỉ là một phương án dạy học hàm số liên tục theo hướng tích cực cho học sinh, dĩ nhiên trên cơ sở chúng tôi vừa nêu sẽ còn nhiều phương án khác tùy thuộc vào từng đối tượng học sinh. Hệ thống bài tập trên có một số câu khó, giáo viên có thể đưa vào hoặc không đưa vào tùy theo từng đơn vị lớp. Bài 8: Chứng minh phương trình 2 1 ( 1)( 2)( 4) 2 0x m x x x− + + − − − = luôn có nghiệm trong ( )1;4− với mọi m. Bài 9: Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 ab x a x b ac x a x c bc x b x c − − + − − + − − = Bài 10: a.Chứng minh rằng nếu ( )f x liên tục trên và phương trình ( ) 0f x = vô nghiệm thì ( )f x không thể đổi dấu trên . b.Cho ( )f x liên tục trên và phương trình ( )f x x= vô nghiệm.Chứng minh rằng phương trình ( )f f x x⎡ ⎤ =⎣ ⎦ cũng vô nghiệm Bài 10 cho học sinh thấy được một ứng dụng khác của hàm số liên tục dựa trên các kiến thức đã học: nếu phương trình ( ) 0f x = vô nghiệm trên 1 khoảng thì hàm số ( )y f x= mang một dấu trên khoảng đó. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 71 PHẦN KẾT LUẬN CHUNG Với yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực ở tất cả các cấp học, bậc học thì vấn đề đặt ra là cần phải tạo ra môi trường học tập đích thực với các hình ảnh trực quan (đồ thị), những ví dụ, phản ví dụ, những bài tậpvới các cấp độ thích hợp, gắn liền với đời sống thực tiễn, với vốn sống và kiến thức tích lũy được của học sinh, làm nền tảng cho học sinh nối tiếp tư duy, phát triển nhận thức một cách chủ động, sáng tạo, tích cực dưới sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên. Bài luận văn này được viết với mong muốn đóng góp một phần nhỏ bẻ vào việc góp phần cải tiến phương pháp dạy học, góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán nói chung và hàm số liên tục nói riêng. I. Quá trình nghiên cứu của luận văn đã thu được những kết quả: 1. Mục đích của dạy học môn Toán không những là cung cấp và truyền thụ tri thức mà còn chỉ ra con đường để chiếm lĩnh tri thức đó. Dạy học học môn toán là một hoạt động nhận thức toán học, mà phương tiện có hiệu quả để phát triển hoạt động toán học cho học sinh là dạy học qua từng bài toán cụ thể ở trường phổ thông. 2. Hoạt động giải toán về hàm số liên tục đòi hỏi học sinh phải nắm vững các thủ thuật hoạt động, các kiến thức, công thức liên quan đến hàm số liên tục để giải bài toán hàm số liên tục. 3. Giải bài toán hàm số liên tục thực chất là quá trình đưa bài toán về dạng chuẩn : Hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng hay một đoạn, cũng có thể là bài toán vận dụng hàm số liên tục để chứng minh phương trình có nghiệm. Sau đó tùy theo từng dạng mà có hướng giải quyết phù hợp. 4. Hệ thống hóa một số khía cạnh cơ bản của tư tưởng tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh đó là : 4.1 Đề cao tính nhân văn, thừa nhận và tôn trọng nhu cầu, lợi ích và mục đích của cá nhân học sinh. 4.2 Đề cao vai trò hoạt động chủ thể, phát huy tối đa tính tích cực, độc lập, sáng tạo của mỗi học sinh theo nghĩa “học sinh cần phài chủ động trong quá trình học tập, và bằng cách đó tìm ra được kiến thức mới cần lĩnh hội”. 4.3 Đề cao vai trò tổ chức hướng dẫn, điều khiển của giáo viên, đặt ra những vấn đề, tạo ra tình huống có vấn đề cho học sinh và tổ chức hướng dẫn cho học sinh tự mình giải quyết vấn đề. Theo Vưgotxki, đó là việc chuyển học sinh từ vùng phát triển gần nhất tới vùng phát triển tích cực và ở đây, các em có thể tự mình thực hiện các hoạt động này. 5. Thiết kế qui trình dạy học “ Phát hiện và giải quyết vấn đề ” đối với hàm số liên tục. o Bước 1: Tri giác về vấn đề Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 72 o Bước 2: Giải quyết vấn đề o Bước 3: Kiểm tra – vận dụng 6. Các biện pháp sư phạm tương thích giúp giáo viên thực hiện qui trình đánh giá tính khả thi và hiệu quả giảng dạy. II. Các kết quả thu nhận được cho phép chúng tôi kết luận: 1. Có thể tích cực hóa hoạt động nhận thức, bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, đồng thời phát huy tính tích cực của học sinh. 2. Những nghiên cứu và quá trình tiến hành thực nghiệm cho thấy giả thiết khoa học của luận văn là chấp nhận được. 3. Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên giảng dạy môn Toán ở trường phổ thông. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 73 PHỤ LỤC (Các đề kiểm tra và đáp án) 1. Đề kiểm tra và đáp án của lớp 11A3 trường THPT Nguyễn Công Trứ Đề 1: Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số: 2 3 2 ( ) 1 1 x x f x x ax ⎧ + −⎪= −⎨⎪ +⎩ Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số và tìm điểm gián đoạn nếu có: 3 2 1( ) 2 xf x x x += − − Bài 3: Tìm điểm gián đoạn của hàm số: 2 4 3 10 ( ) 5 6 1 x x g x x x x ⎧ + − +⎪= ⎨ + +⎪ +⎩ Bài 4:Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0 2 1 cos ( ) x h x x a −⎧⎪= ⎨⎪⎩ Bài 5: Chứng minh rằng phương trình : 4cos 2 1 0a x x a− − + = luôn có nghiệm với mọi a. Đáp án và thang điểm: Bài 1: (2,5 điểm) ( ;1) : ( ) 1x f x ax∀ ∈ −∞ = + xác định ( )f x⇒ liên tục trên ( ;1)−∞ nếu x≤ 1 nếu x >1 nếu 2x > − nếu 2≤ −x nếu x≠ 0 nếu x = 0 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 74 2 3 2(1; ) : ( ) 1 x xx f x x + −∀ ∈ +∞ = − xác định ( )f x⇒ liên tục trên (1; )+∞ 0,5 Tại x = 1: (1) 1f a= + 0,25 2 3 21 1 1 2 2lim ( ) lim lim 1 1 1x x x x x xf x x x x+ + +→ → → + − += = =− + + 0,5 1 1 lim ( ) lim( 1) 1 x x f x ax a− −→ →= + = + 0,25 Biện luận: 1 1 0 : (1) lim ( ) lim ( ) (1) x x a f f x f x f+ −→ →= = = = ⇒Hàm số ( )f x liên tục trên 0,5 1 1 0 : (1) lim ( ) lim ( ) x x a f f x f x− +→ →≠ = ≠ ⇒ Hàm số không liên tục tại x = 1 Kết luận: Hàm số liên tục trên ( ;1), (1; )−∞ +∞ 0,5 Bài 2 :(1,5 điểm) Tập xác định: { }\ 1;2D = − 0,5 { } 32 1\ 1;2 : ( ) 2 xx f x x x +∀ ∈ − = − − liên tục 0,5 Tại điểm 1x = − và 2x = không thuộc tập tập xác định nên ta không xét Vậy hàm số ( )f x liên tục trên { }\ 1;2D = − và không có điểm gián đoạn 0,5 Bài 3: (2,5 diểm) ( ; 2) : ( ) 1x g x x∀ ∈ −∞ − = + xác định ( )g x⇒ liên tục trên ( ; 2)−∞ − 2 4 3 10( 2; ) : ( ) 5 6 x xx g x x x + − +∀ ∈ − +∞ = + + xác định ( )g x⇒ liên tục trên ( 2; )− +∞ 0,5 Tại x = -2 : g(-2)= -1 0,25 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 75 2 2 22 2 2 4 3 10 5 6lim ( ) lim lim 5 6 ( 5 6)( 4 3 10)x x x x x x xg x x x x x x x+ + +→ → → + − + + += =+ + + + + + + 2 1 1lim 44 3 10x x x+→ = =+ + + 0,5 2 2 2 lim ( ) lim ( 1) 1 lim ( ) x x x g x x g x− − +→ → →= + = − ≠ 0,25 Vậy hàm số gián đoạn tại x = -2 0,5 Bài 4: (1,5 điểm) (0)h a= 0,25 2 2 20 0 0 2sin1 cos 12lim ( ) lim lim 2x x x x xh x x x→ → → −= = = 0,75 Hàm số h(x) liên tục tại điểm x = 0 0 lim ( ) (0) x h x h→⇔ = 0,25 1 2 a⇔ = 0,25 Bài 5: (2 điểm) Đặt 4( ) cos 2 1f x a x x a= − − + 0,25 ( )f x liên tục trên 0,5 (0) 1f > ( ) 2 1 0f π π= − + < 0,75 Vậy phương trình f(x) = 0 luôn có hai nghiệm trong (0; )π , a∀ 0,5 Đề 2: Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số: 3 2 2 14 ( ) 3 10 7 3 x x x f x x x x ⎧ + + −⎪= ⎨ + −⎪ +⎩ Bài 2: Tìm điểm gián đoạn của hàm số: nếu x >2 nếu x≤ 2 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 76 2 2 1 3 2 5 3 ( ) 1 8 2 x x x g x x x ⎧ + − + −⎪= ⎨ −⎪ +⎩ Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số và tìm điểm gián đoạn nếu có: 3 2 8( ) 6 xf x x x −= + − Bài 4: Tìm a để hàm số h(x) liên tục tại x = 0: 2 2 cos 3cos 2 ( ) 2 x x h x x a ⎧ − +⎪= ⎨⎪⎩ Bài 5: Chứng minh phương trình 4sin 2 1 0m x x m− − + = luôn có nghiệm với mọi m. Đáp án và thang diểm: Bài 1: (2,5 điẻm) ( ;2), ( ) 7 3∀ ∈ −∞ = +x f x x xác định ( )f x⇒ liên tục trên ( ;2)−∞ 3 2 2 14(2; ) : ( ) 3 10 + + −∀ ∈ +∞ = + − x x xx f x x x xác định ( )f x⇒ liên tục trên (2; )+∞ 0,5 Tại x = 2: (2) 17=f 0,25 3 2 2 22 2 2 14 3 7 17lim ( ) lim lim 3 10 5 7x x x x x x x xf x x x x+ + +→ → → + + − + += = =+ − + 0,5 2 2 lim ( ) lim (7 3) 17− −→ →= + =x xf x x 0,25 2 2 (2) lim ( ) lim ( ) x x f f x f x − +→ → ⇒ = ≠ 0,5 ⇒ Hàm số không liên tục tại x = 2 Kết luận : Hàm số ( )f x liên tục trên ( ;2), (2; )−∞ +∞ 0,5 Bài 2: (2,5 điểm) nếu x >1 nếu x≤ 1 nếu 0x ≠ nếu x = 0 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 77 ( ;1) : ( ) 8 2x g x x∀ ∈ −∞ = + xác định ( )g x⇒ liên tục trên ( ;1)−∞ xác định ( )g x⇒ liên tục trên (1; )+∞ 0,5 Tại x = 1: (1) 10g = 0,25 2 2 2 2 21 1 1 1 3 2 5 3 2 2 4lim ( ) lim lim 1 ( 1)( 1 3 2 5 3)x x x x x x x xg x x x x x x+ + +→ → → + − + − − − += =− − + + + − 21 2 4 3lim 4( 1)( 1 3 2 5 3)x x x x x x+→ − −= = −+ + + + − 0,5 1 1 1 lim ( ) lim(8 2) 10 lim ( ) x x x g x x g x− − +→ → →= + = ≠ 0,25 Vậy hàm số gián đoạn tại x = 2. 0,5 Bài 3: ( 1,5 điểm) TXĐ : { }\ 3;2D = − 0,5 { } 32 8\ 3;2 : ( ) 6 xx f x x x −∀ ∈ − = + − liên tục 0,5 Hàm số không có điểm gián đoạn (do 3, 2 D− ∉ ) 0,5 Bài 4: (1,5 điểm) (0)h a= 0,25 2 2 20 0 0 cos 3cos 2 (cos 2)(cos 1)lim ( ) lim lim 2 2x x x x x x xh x x x→ → → − + − −= = 2 20 2sin (cos 2) 12lim 2 4x x x x→ − − = = 0,75 Hàm số h(x) liên tục tại điểm x = 0 0 lim ( ) (0) x h x h→⇔ = 0,25 1 4 a⇔ = 0,25 Bài 5: ( 2 điểm) Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 78 Đặt 4( ) sin 2 1f x a x x m= − − + 0,25 ( )f x liên tục trên 0,5 ( ) 1 0 2 f π π− = − > ( ) 1 0 2 f π π= − − < 0,75 Vậy phương trình ( ) 0f x = luôn có nghiệm trong ( ; ), . 2 2 mπ π− ∀ 0,5 2. Đề kiểm tra và đáp án của lớp 11V trường THPT Thoại Ngọc Hầu Đề 1: Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số sau: 3 2 3 2 2 2 2( ) 5 7 x x x x x xf x ⎧ − + −⎪⎪ − − −= ⎨⎪⎪⎩ Bài 2: Tìm điểm gián đoạn của hàm số sau 2 2 11 2 4 3 2 4 3( ) 3 4 x x x x xg x ⎧ + − − +⎪⎪ + += ⎨⎪⎪⎩ Bài 3: Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 0 2 1 sin cos ( ) x x x h x x a ⎧ + −⎪= ⎨⎪⎩ Bài 4: Chứng minh phương trình 4tan 2 0x x+ − = luôn có nghiệm trong 5(0; ) 6 π Bài 5: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi a 5 0x x a+ − = nếu x ≠ 2 nếu x = 2 nếu x >1 nếu x≤ 1 nếu x ≠ 0 nếu x = 0 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 79 Đề 2: Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số sau: 3 2 3 2 2 2 1 2 1( ) 5 9 x x x x x xf x ⎧ − + −⎪⎪ + + −= ⎨⎪⎪⎩ Bài 2: Tìm điểm gián đoạn của hàm số sau: 2 2 11 2 4 3 2 2( ) 3 4 x x x x xg x ⎧ + − − +⎪⎪ + −= ⎨⎪⎪⎩ Bài 3: Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = 0 1 tan 1 tan ( ) sin 2 x x h x x a ⎧ − − +⎪= ⎨⎪⎩ Bài 4: Chứng minh rằng phương trình 42 tan 2 3 0x x+ − = luôn có nghiệm trong 5(0; ) 6 π Bài 5: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m 5 2 0x x m+ − = Đáp án và thang điểm Đề 1: Bài 1 : (2 điểm) }{ 3 23 22 2\ 2 : ( ) 2x x xx f x x x x− + −∀ ∈ = − − − xác định ⇒ liên tục trên { }\ 2 0,5 Tại x = 2: 5(2) 7 f = 0,25 nếu 1 2 x ≠ nếu 1 2 x = nếu x >-1 nếu x ≤ -1 nếu 0x ≠ nếu x = 0 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 80 2 22 2 1 5lim ( ) lim (2) 1 7x x xf x f x x→ → += = =+ + 0,5 Vậy f(x) liên tục tại 2 0,5 Kết luân: f(x) liên tục trên R 0,25 Bài 2: (2 điểm) 2 2 2 31: ( ) 2 x x xx g x x x + + − +∀ > = + − xác định ⇒ g(x) liên tục 1x∀ > 11: ( ) 3 x g x∀ < = liên tục ⇒ g(x) liên tục 1x∀ < 0,5 Tại x = 1; 1 1 1(1) , lim ( ) 3 3x g g x−→= = 0,5 2 21 1 21 2 3lim ( ) lim 2 1 1lim (1) 6( 2)( 2 3 ) x x x x x xg x x x x g x x x x + + + → → → + + − += + − += = ≠+ + + + + 1,0 Vậy g(x) gián đoạn tại x = 1 Bài 3( 2 điểm) h(0) = a 2 20 0 2 20 1 sin coslim ( ) lim ( 1 sin cos ) sin sinlim 1 ( 1 sin cos ) ( 1 sin cos ) x x x x x xh x x x x x x x x x x x x x x x → → → + −= + + ⎡ ⎤= + =⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦ 1,25 h(x) liên tục tại x = 0 0 lim ( ) (0) x h x h→⇔ = 1a⇔ = 0,75 Bài 4: (2 điểm) Đặt 4( ) tan 2f x x x= + − 0,5 (0) 2 0f = − < ( ) 7 0 3 3 f π π= + > 1,0 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 81 f(x) liên tục trên ; 3 o π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 0,25 Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm trong (0; ) 3 π .Suy ra đpcm. 0,25 Bài 5: (2 điểm) Đặt 5( )f x x x a= + − ( )f x liên tục trên 0,5 5 (0) ( ) f a f a a = − = 1,0 6(0). ( ) 0,f f a a a= − ≤ ∀ Suy ra phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi a. 0,5 Đề 2: Bài 1: (2 điểm) 3 2 3 2 1 2 2 1\ , ( ) 2 2 1 x x xx f x x x x − + −⎧ ⎫∀ ∈ =⎨ ⎬ + + −⎩ ⎭ xác định ( )f x⇒ liên tục trên 1\ 2 ⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭ 0,5 Tại 1 : 2 x = 1 5( ) 2 9 f = 0,25 2 21 1 2 2 1 5 1lim ( ) lim ( ) 2 1 7 2x x xf x f x x→ → += = ≠+ + 0,5 Vậy ( )f x không liên tục tại 1 2 x = 0,5 Kết luận: ( )f x liên tục trên 1\ 2 ⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭ , không liên tục tại 1 2 x = 0,25 Bài 2: (2 điểm) 2 2 11 2 4 3 2( 1; ), ( ) 4 3 x x xx g x x x + − − +∀ ∈ − +∞ = + + xác định Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 82 ( )g x⇒ liên tục trên ( 1; )− +∞ 3( ; 1), ( ) 4 x g x∀ ∈ −∞ − = 0,5 Tại 1x = − : 3( 1) 4 g − = 0,25 2 21 1 11 2 4 3 2lim ( ) lim 4 3x x x x xg x x x+ +→− →− + − − += + + 2 21 2 5 7 3lim 4( 1)( 3)( 11 2 4 3 2 )x x x x x x x x+→− − + += =+ + + + − + 0,5 1 1 3lim ( ) lim ( ) ( 1) 4x x g x g x g− +→− →= = = − Vậy g(x) liên tục tại x = -1 0,25 Kết luận: hàm số g(x) không có điểm gián đoạn 0,5 Bài 3: (2 điểm) (0)h a= 0,25 0 0 2 tanlim ( ) lim sin 2 ( 1 tan 1 tan )x x xh x x x x→ → −= − + + 20 1 1lim 2cos ( 1 tan 1 tan )x x x x→ −= = −− + + 1,0 h(x) liên tục tại x = 0 0 lim ( ) (0) 1 2 x h x h a →⇔ = ⇔ = − 0,75 Bài 4: (2điểm) Đặt 4( ) 2 tan 2 3f x x x= + − 0,25 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 83 4 (0) 3 0 2( ) 2( 3) 3 0 3 3 f f π π = − < = + − > (0). ( ) 0 3 f f π⇒ < 1,0 ( )f x liên tục trên 0; 3 π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 0,25 Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm trong 0; 3 π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ . Suy ra đpcm. 0,5 Bài 5: (2 điểm) Đặt 5( ) 2f x x x m= + − ( )f x liên tục trên 0,5 (0)f m= − 0,5 5 ( ) 2 32 m mf = 6 (0). ( ) 0 2 32 ⇒ = − <m mf f , với mọi m. 0,5 Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m. 0,5 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 84 3. Đề kiểm tra và đáp án trường THPT Mỹ Hội Đông: Đề 1: Bài 1: a) Xét tính liên tục của hàm số 2 2 2 ( ) 1 2 2 x x f x x x x ⎧ + −⎪= −⎨⎪ + +⎩ tại x0 = 1 b) Xét tính liên tục của hàm số 2 1 cos .cos 2 ( ) 5 4 x x xg x −⎧⎪⎪= ⎨⎪⎪⎩ tại x0 = 0 Bài 2: CMR các phương trình sau luôn có nghiệm : a) 4cos 2 1 0a x x a− − + = b) 5 0x x a+ − = Đề 2: Bài 1 : a) Xét tính liên tục của hàm số 2 3 2cos 2 cos ( ) 1 x x f x x ⎧ − − −⎪= ⎨⎪⎩ tại x0 = 0 b) Có giá trị nào của a để hàm số 3 2 3 2 2 1 ( ) 4 5 2 x x g x x x x a ⎧ − −⎪= − + −⎨⎪⎩ liên tục tại điểm 0 1x = Bài 2 : CMR các phương trình sau luôn có nghiệm : a) 4sin 2 1 0m x x m− − + = b) 3 2 0x x m+ − = nếu x > 1 nếu x ≤ 1 nếu x = 1 nếu x ≠ 0 nếu x = 0 nếu x ≠ 0 nếu x ≠ 1 nếu x = 0 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 85 Đáp án và thang điểm: Đề 1: Bài 1: a) (2,5 điểm) 2 1 1 1 1 2 ( 1)( 2)lim ( ) lim lim lim( 2) 3 1 1x x x x x x x xf x x x x+ + + +→ → → → + − − += = = + =− − 0,5 2 1 1 lim ( ) lim( 2 2) 5 x x f x x x− −→ →= + + = 0,5 1 1 lim ( ) lim ( ) x x f x f x+ −→ →⇒ ≠ 0,5 f(x) không có giới hạn khi 1x→ 0,5 Vậy hàm số f(x) không liên tục tại tại điểm x = 1. 0,5 b) (2,5 điểm) 2 20 0 0 2 2 2 22 2 20 0 0 0 1 cos .cos 2 1 cos cos cos .cos 2lim ( ) lim lim 2sin 2sincos (1 cos 2 ) cos .2sin2 2lim lim lim lim 4 4 1 52 2 2 x x x x x x x x x x x x xg x x x x x x x x x xx x x → → → → → → → − − + −= = −= + = + = + = 1,5 0 5 5lim ( ) (0) 2 4x g x g→= ≠ = 0,5 Vậy hàm số g(x) gián đoạn tại 0 0,5 Bài 2: a) (2 điểm) Đặt 4( ) cos 2 1f x a x x a= − − + 0,5 f(x) liên tục trên 0,5 (0) 1f = 0,25 ( ) 2 1f π π= − + 0,25 (0). ( ) 2 1 0,f f aπ π= − + < ∀ 0,25 Vậy phương trình đã cho có nghiêm trên (0; )π , với mọi a. Suy ra đpcm 0,25 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 86 b) (2 điểm) Đặt 5( )f x x x a= + − 0,5 f(x) liên tục trên R 0,25 f(0).f(a) = -a6, a∀ 0,75 Vậy phương trình đã cho có nghiệm với mọi a 0,5 Đề 2; Bài 1: a) (2,5 điểm) 2 20 0 0 2 20 3 2cos 2 cos 1 coslim ( ) lim lim ( 3 2cos 2 cos ) 2sin 2 12lim 4(1 1) 44 ( 3 2cos 2 cos ) 4 x x x x x x xf x x x x x x x x x → → → → − − − −= = − + − = = =+− + − 1,5 0 1 lim ( ) (0) 1 4 x f x f→= ≠ = 0,5 Vậy hàm số f(x)gián đoạn tại 0 0,5 b) ( 2,5 điểm) g(1) = a 0,5 3 2 2 3 2 21 1 1 2 2 21 1 2 1 ( 1)(2 1)lim ( ) lim lim 4 5 2 ( 1)( 3 2) 2 1 2 1lim lim 3 2 ( 1)( 2) x x x x x x x x x xg x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → − − − + += =− + − − − + + + + += = = ∞− + − − 1,0 ⇒g(x) không có giới hạn khi 1x→ 0,5 Vậy không có giá trị thực nào của a để hàm số g(x) liên tục. 0,5 Bài 2: a) (2,5 điểm) Đặt 4( ) sin 2 1f x m x x m= − − + 0,5 f(x) liên tục trên R 0,5 ( ) 1 1 2 f m mπ π π= − − + = − 0,25 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 87 ( ) 1 1 2 f m mπ π π− = + − + = + 0,25 2( ). ( ) 1 0 2 2 π π π− = − <f f với mọi m. 0,5 Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm trong ( ; ) 2 2 π π− với mọi m. 0,5 b) Đặt 3( ) 2f x x x m= + − 0,5 f(x) liên tục trên R 0,5 3 (0) ( ) 2 8 = − = f m m mf 1,0 4 (0). ( ) 0 2 8 = − ≤m mf f ,với mọi m. Vậy phương trình đã cho có nghiệm với mọi m 0,5 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Ths. Nguyễn Văn Vĩnh Sinh viên : Lê Quang Vinh Trang 88 TÀI LIỆU THAM KHẢO " # ™ Đỗ Văn Thông : • Giáo trình Tâm Lý Học đại cương • Giáo trình Tâm Lý Học Sư Phạm và Lứa Tuổi • Phương pháp nghiên cứu khoa học giáo dục ™ Hoàng Chúng _ Sáng Tạo Toán Học – NXB Giáo dục 1998 ™ Lê Thành Đạt _ Luận Văn Tốt Nghiệp 2004 – GVHD: Ths Nguyễn Văn Vĩnh ™ Nguyễn Hải Châu – Nguyễn Thế Thạch – Phạm Đức Quang Giới thiệu Giáo án Giảng dạy Toán 11 ™ Nguyễn Bá Kim – Vũ Dương Thụy – Những Xu Hướng Dạy Học Không Truyền Thống 1993 ™ Tô Thị Hoàng Lan _ Luận Văn Tốt Nghiệp 2004 – GVHD: Ths Nguyễn Văn Vĩnh ™ Trần Bá Hoành – Ths Lê Tràn Định – TS.Phó Đúc Hòa _ Áp Dụng Dạy và Học Tích Cực Trong Tâm Lý Học – Giáo Dục Học ™ Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), Vũ Tuấn (chủ biên) _ Đại số và Giải tích 11.NXBGD 2007 ™ Văn Như cương – Ngô Thúc Lanh – Trần Văn Hạo _ Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 11 ™ Vương Vĩnh Phát _Giáo trình Lí Luận Dạy Học 2007