Đề tài Phương pháp giả thế thực nghiệm

sóng đầy đủ. Đường đứt nét là hàm mềm ở trong bán kính nhân, ở ngoài bán kính nhân thì hàm mềm và hàm sóng đầy đủ trùng nhau. Hàm mềm ở đây là phần mềm của hàm hóa trị được định nghĩa bởi phương trình tựa trực giao sóng phẳng (1.6). Biểu diễn hệ thức này lại như một phép biến đổi: Biểu thức này thể hiện ý tưởng ngắn gọn đó là nghiệm cho hàm mềm là đầy đủ. Người ta có thể khôi phục hàm đầy đủ bằng cách sử dụng phép biến đổi tuyến tính ký hiệu là T như trong biểu thức (1.7). - Tiếp theo tìm thế tương tác và phương trình Schrödinger: Xây dựng hàm sóng thử riêng của phương trình Schrödinger , bằng cách sử dụng hàm sóng phẳng trực giao làm hệ hàm sóng cơ sở cho hàm sóng thử riêng, lúc đó sóng thử riêng có dạng: . Thay (1.9) vào (1.8) chú ý (1.2) và (1.3) ta được tập hợp phương trình đồng nhất tuyến tính cho hệ số C(k+gn) như sau: , với . E là năng lượng của electron hóa trị, Ei là năng lượng của electron nhân, E luôn lớn hơn Ei nên (E-Ei) luôn dương. Tập hợp phương trình (1.10) có nghiệm chỉ khi hệ số của định thức ma trận bằng 0. Trị riêng E được xác định dựa vào k như nghiệm của phương trình định thức. Vì tất cả các thành phần của ma trận tuyến tính về năng lượng nên nêu hệ phương trình này có thể giải bằng cách chéo hóa nó. Hình 4: a) Hàm sóng mô tả trạng thái điện tử hóa trị và thế năng tương tác hút của hạt nhân theo khoảng cách. b) Sử dụng hiệu ứng màng chắn, khái niệm sóng phẳng trực giao. Vậy khi trực giao hóa hàm sóng thì ta thu được hàm sóng trực giao không có nút trong vùng bán kính nhân, hàm sóng trực giao và thế trực giao có dạng như trong hình 4b (đường liền nét). Ra khỏi vùng bán kính nhân thì hàm sóng trực giao trùng với hàm sóng thực, thế trực giao trùng với thế Coulomb. Chỉ với một vài hàm sóng trực giao chồng chất đã có thể đưa ra đầy đủ trị riêng năng lượng cho một vài loại chất rắn. Phương pháp này gặp khó khăn khi hàm sóng của electron lõi trong tinh thể không đồng nhất với orbital nguyên tử trong nguyên tử tự do, và do đó phương pháp trực giao hóa không chặt chẽ trong chất rắn. Phương pháp trực giao sóng phẳng thuận lợi hơn khi hàm thế V(r) giữa các nguyên tử cạnh nhau chồng lên nhau như trong chất rắn có liên kết cộng hóa trị (Si và Ge). Phương pháp trực giao ít hiệu quả cho kim loại chuyển tiếp, ở đây vùng hóa trị bao gồm cả lectron ở sp và electron ở d. Các electron này không liên kết mạnh với hạt nhân, nhưng chúng cũng không được xem là electron tự do, do đó sóng phẳng trực giao không mô tả được chuyển động của các electron này. 1.2. Phương pháp xấp xỉ đóng băng nhân (FCA) Khi thực hiện tính toán năng lượng tổng cộng của chất rắn và các phân tử, trên thực tế, thường thì người ta không xác định năng lượng tổng cộng mà người ta tìm sự khác nhau về năng lượng giữa các cấu trúc nguyên tử khác nhau. Bởi mỗi phương pháp xấp xỉ khác nhau sẽ dẫn đến một kết quả năng lượng tổng cộng khác nhau. Một phương pháp thường được sử dụng mà có thể giảm bớt sự phức tạp trong tính toán đó là phương pháp xấp xỉ đóng băng nhân. Căn cứ vật lý của phương pháp này là: hầu hết các khía cạnh hóa học được quan tâm thường gắn liền với các electron ở các lớp vỏ bên ngoài (electron hóa trị). Sự thay đổi các orbital điện tử ứng với các electron ở nhân, khi nguyên tử chuyển động từ môi trường này đến môi trường khác thường là khá nhỏ và có thể được bỏ qua. Nhưng một câu hỏi đặt ra là có bao nhiêu electron thuộc về electron (gần) nhân trong một nguyên tử? Và độ lớn của sai số trong giá trị năng lượng cuối cùng?. Nói chung là không dễ dàng xác định số electron có vai trò hóa học quan trọng. Các câu hỏi thường được trả lời bằng cách so sánh kết quả thu được cho hệ đơn giản với các tính toán sử dụng tất cả electron (phương pháp này gọi là phương pháp tất cả electron). Tuy nhiên, đối với hệ lớn hơn, phương pháp tính toán sử dụng tất cả electron trở nên mất nhiều thời gian và thường thì không thực thi được vấn đề đưa ra. Khi sử dụng phương pháp xấp xỉ đóng băng nhân (FCA), số thông số biến phân phải được tối ưu trong tính toán năng lượng tổng cộng giảm đi rất nhiều. Trong phương pháp FCA, do không tính đến các số hạng năng lượng gắn với các electron nhân nên giá trị năng lượng tổng cộng thu được nhỏ hơn rất nhiều so với phương pháp tất cả electron. Tuy nhiên, sự khác nhau về năng lượng (giữa các hệ khác nhau) hầu như không thay đổi. Chương 2: Phương pháp giả thế thực nghiệm 2.1. Lịch sử hình thành và phát triển Năm 1933, Wigner và Seitz đã sử dụng phương trình Schrödinger để xây dựng phép tính gần đúng cho chất rắn, từ đó để nghiên cứu tính chất của chất rắn. Hai ông đã sử dụng để tính toán tính chất của kim loại Natri. Họ cho rằng: Nếu có một máy tính thật lớn thì ta có thể giải quyết phương trình Schrödinger một cách dễ dàng cho kim loại và có rất nhiều điều thú vị quanh vấn đề này như: năng lượng liên kết, hằng số mạng, và các tham số tương tự. Tuy nó không rõ ràng nhưng nó sẽ phù hợp với thực nghiệm. Ý kiến của Wigner và Seitz đưa ra không hoàn toàn chính xác. Dù có máy tính lớn, hiện đại, nó có thể giải quyết số lượng phép tính lớn, thì kết quả đưa ra chưa chắc đã phù hợp với thực nghiệm. Do đó nhiều thập kỷ sau đó các nhà khoa học đã đưa ra và sử dụng nhiều phương pháp gần đúng, từ đó tìm ra phương án thành công nhất, hiệu quả nhất. Kết quả ngày nay chúng ta có một bộ sưu tập các phương pháp gần đúng theo hướng tính cấu trúc vùng năng lượng. Tất cả các phép tính đều đưa bài toán nhiều hạt về bài toán cho một điện tử độc nhất, tức giả sử rằng ta có thể nghiên cứu hết tính chất của chất rắn bằng việc chọn một thế tuần hoàn và nghiên cứu tính chất của một electron chuyển động trong thế tuần hoàn đó. Vào năm 1940, Herring giới thiệu phương pháp trực giao sóng phẳng, phương pháp này là cơ sở cho phép tính định lượng đầu tiên để tính cấu trúc vùng năng lượng trong vật liệu khác kim loại có liên kết được hình thành bởi lai hóa sp. Năm 1950, Herman và Callaway sử dụng phương pháp trực giao sóng phẳng cho Ge, phương pháp này cung cấp cho con người những lý thuyết đầu tiên về bán dẫn. Kết hợp với quan sát thực nghiệm, bản chất của khe vùng năng lượng lộ rõ trong một số vật liệu quan trọng. Phương pháp trực giao sóng phẳng là tiền đề để các nhà khoa học đưa ra phương pháp giả thế và phương pháp sóng liên kết toán tử hình chiếu (PAW). Khái niệm giả thế được Fermi giới thiệu để nghiên cứu các trạng thái nguyên tử ở mức cao. Sau đó Hellman đã đề suất rằng giả thế được sử dụng để tính cấu trúc kim loại kiềm. Từ năm 1950 trở đi, phương pháp giả thế đã được mở rộng. Đến năm 1960 phương pháp giả thế đã được phát triển như một cách để giải phương trình Schrödinger cho tinh thể mà không biết thế năng của một điện tử trong mạng tinh thể. Mở đầu là thuyết cân bằng của Philips, Kleinman và Antoncik, đưa ra khái niệm giả thế, giả thế này là tương tác đẩy, yếu hơn thế thật ban đầu. Phương pháp giả thế phục vụ đồng thời hai mục đích. Một mặt nó đưa ra khái niệm quyết định để chứng minh mô hình electron gần tự do của vật rắn, chỉ ra rõ ràng việc tìm hàm sóng trong thế Coulomb ion. Đồng thời nó cung cấp công cụ tính toán tăng độ chính xác việc giải quyết các vấn đề của chất rắn, các bài toán đưa ra có thể tính toán được. Từ lý thuyết cân bằng của Phillips-Kleinman, phương pháp giả thế đã phát triển và mở rộng: giả thế bảo toàn chuẩn, giả thế mềm, giả thế siêu mềm, giả thế sóng phẳng..., hoặc kết hợp phương pháp giả thế với phương pháp khác để nghiên cứu cấu trúc vùng năng lượng. Sự phát triển của phương pháp giả thế bảo toàn chuẩn ban đầu và giả thế siêu mềm cho phép tính chính xác, các phương pháp này làm cơ sở cho các nghiên cứu hiện nay và nhiều phương pháp mới nghiên cứu cấu trúc vùng điện tử. 2.2. Khái niệm giả thế, mô hình Phillips-Kleinman Khi sử dụng hệ sóng phẳng cơ sở trong khai triển hàm sóng, ta cần phải lưu ý đặc biệt tới vùng gần hạt nhân nguyên tử. Điều này xuất phát từ hai nhân tố chính. Đầu tiên là thế tương tác hạt nhân-electron thay đổi theo dạng , vì vậy nó sẽ phân kì khi . Thứ hai, để đảm bảo hàm sóng của các electron hóa trị trực giao với hàm sóng của các electron nhân (yêu cầu xuất phát từ nguyên lý ngoại trừ Pauli) thì hàm sóng của các electron hóa trị phải dao động rất nhanh trong vùng gần hạt nhân. Hai nhân tố đó dẫn đến phải có động năng lớn, do đó cần thiết phải có một số lượng lớn sóng phẳng. Và cũng cần một lượng lớn sóng phẳng để mô tả các trạng thái được bó hẹp ở gần nhân. Như ta đã biết, hầu hết các tính chất vật lý của chất rắn phụ thuộc rất vào các electron hóa trị so với các electron nằm trong vùng giới hạn gần nhân. Vì lý do này người ta đã đề xuất sử dụng phương pháp gần đúng dùng giả thế. Phương pháp giả thế giả thiết rằng các điện tử lõi liên kết chặt chẽ với hạt nhân của chúng, tính chất của hầu hết các nguyên tử được xác định bởi các điện tử hóa trị của chúng, các điện tử lõi hầu như không tham gia vào bất kỳ tương tác hóa học nào. Vì thế năng có thể được khai triển Fourier như sóng phẳng nên có thể thành lập một phương trình xác định mối quan hệ giữa E và . Mặc dù các hệ số Fourier cho các thế năng này không biết được nhưng chúng có thể xác định bằng thực nghiệm đối với một tinh thể cho trước. Vậy: phương pháp giả thế đã bỏ qua các electron nhân và thế tương tác mạnh của hạt nhân và thay thế chúng bằng một giả thế yếu hơn. Tương ứng với việc này là một tập hợp các giả hàm sóng cũng thay thế luôn các hàm sóng thực sự của các electron hóa trị. Đây là một sự mở rộng rất hiệu quả của phương pháp FCA và phương pháp trực giao sóng phẳng (OPW). Giống phương pháp trực giao sóng phẳng, ban đầu ta đi tìm hàm sóng trực giao. Giả sử hàm sóng của các electron gần nhân (electron lõi) là , hàm sóng của các electron hóa trị là hay còn gọi là hàm mềm. Chọn hàm sóng trực giao với hàm sóng lõi có dạng: , trong đó là hệ số trực giao, ta dựa vào điều kiện trực giao để tìm hệ số trực giao như ở phương pháp trực giao sóng phẳng. Ta có điều kiện trực giao chuẩn hóa: thay và vào (2.2) để tìm , (2.2) tương đương: Thay vào ở (2.1) ta được: . Ta có phương trình Kohn- Sham cho nguyên tử cô lập có dạng: . Dẫn đến phương trình Schrödinger cho sóng trực giao mới: Thay vào và đưa về dạng của phương trình Schrödinger cho hàm sóng như sau: . Đặt: suy ra ở đây thế năng đẩy, EC là trị riêng của toán tử Hamiltonian lên hàm sóng lõi , E là trị riêng của toán tử Hamiltonian lên hàm sóng . Vì , và các trạng thái nhân được định xứ, nên VR có tác dụng như thế đẩy tác dụng gần. Do đó (2.6) tương đương: . hay gọi Veff=VC được xem như thành phần Fourier của thế hiệu dụng, (2.7) viết lại: Từ đây suy ra phương trình Schrodinger cho các hàm mềm cũng có dạng: Các giả hàm mềm không trực giao. Ta đặt gọi là giả thế hay còn gọi là giả thế Phillips- Kleinman được sinh ra để cân bằng với VC. Nó là thế không địa phương, vì nó phụ thuộc vào hàm sóng . Toán tử VR này tác dụng lên hàm mềm thì: Hình 5. Sự thay thế thế thực và hàm sóng bằng giả thế và giả hàm sóng. Ngoài ra VP còn phụ thuộc năng lượng, điều này tạo nên sự khác biệt với thế thực và đây cũng chính là lí do tại sao nó được gọi là giả thế. Hàm sóng gọi là hàm sóng giả. Bên ngoài vùng nhân thì khi hàm sóng lõi bị biến mất. Như vậy, vùng xung quanh nguyên tử với bán kính , gọi là bán kính lõi thì sự tác dụng của nguyên tử đó lên giả thế là không đáng kể. Ngoài ra sự tác động này là tuyến tính theo hướng tách ra và thêm tác dụng độc lập từ mỗi nguyên tử. Vì sự góp thêm lực đẩy trong nhân, giả thế nói chung yếu hơn nhiều so với hàm thế ban đầu. Ta xác định VR qua thực nghiệm hoặc bằng phương pháp tự phù hợp xuất phát từ lời giải gần đúng nào đó rồi tính VR, dùng giá trị thu được đó để giải phương trình (2.8), rồi lại dùng lời giải này để tìm VR và cứ làm như thế cho đến khi các lời giải thu được trong hai lần liên tiếp khác nhau rất ít thì dừng quá trình tính toán. Những kết quả trên đây được biết đến như thuyết cân bằng của Philips-Kleinman. Vậy thuyết cân bằng của Philips-Kleinman đã đơn giản hóa bài toán vùng năng lượng thành bài toán một điện tử. Hình 5 chỉ cho ta thấy sự thay thế tương đương giữa thế thực, hàm sóng thực và giả thế, giả hàm sóng. Hàm sóng dao động rất nhanh trong vùng được chiếm giữ bởi các electron nhân bởi vì thế thực của ion rất mạnh. Những dao động đó duy trì sự trực giao giữa trạng thái nhân và các trạng thái của electron hóa trị. Như ta có thể thấy, trong vùng bán kính giới hạn thì giả hàm sóng không hề có nút như là hàm sóng thực. Bên ngoài bán kính giới hạn, giả thế và giả hàm sóng hoàn toàn giống với thế thực và hàm sóng thực. Điều này đảm bảo các kết quả tính toán sử dụng giả thế phải tương đồng với các tính toán từ phương pháp tất cả electron. Việc thay thế bởi giả thế sẽ giảm tính phức tạp của vấn đề đi rất nhiều. Đầu tiên, việc bỏ đi các electron gần nhân nghĩa là số hàm sóng cần thiết để tính toán sẽ ít hơn; thứ hai, giả thế sẽ không bị phân kì khi như thế thực, và hàm sóng sẽ phẳng hơn khi ở gần nhân (trong vùng bán kính giới hạn), số lượng sóng phẳng cần thiết để mô tả cho phù hợp với các hàm sóng hóa trị cũng vì thế mà ít đi. Giả thế cũng được xây dựng để các tính chất nhiễu xạ của giả hàm sóng tương đồng với tính chất nhiễu xạ của ion và electron gần nhân. Nhìn chung, điều này sẽ khác đối với mỗi thành phần momen góc của hàm sóng hóa trị, như vậy giả thế sẽ phụ thuộc vào momen góc, thông thường giả thế có dạng: ở đây là hàm cầu điều hòa, V(r) là giả thế đối với thành phần momen góc thứ . Phương pháp hữu dụng thường dùng để xác định giả thế là đầu tiên xác định trị riêng của hàm sóng của tất cả các electron trong một nguyên tử bằng cách giải phương trình Schrödinger. Một tập hợp thông số ban đầu cho giả thế sẽ được chọn theo một vài điều kiện và các trị riêng, hàm riêng sẽ được tính toán lại. Trị riêng và hàm riêng thu được từ tính toán sử dụng giả thế được so sánh với các tính toán từ phương pháp tất cả electron. Nếu như chúng sai lệch nhau trong một giới hạn cho phép thì ta chấp nhận giả thế đó. Còn không ta lại lựa chọn một bộ thông số mới và quá trình trên lại tiếp tục. 2.3. Tiêu chuẩn để xây dựng giả thế Cùng với sự phát triển của khoa học, yêu cầu đặt ra càng cao, cần một phương pháp nghiên cứu cấu trúc điện tử chính xác hơn, do đó, phương pháp giả thế cũng không ngừng được các nhà khoa học nghiên cứu để hình thành phương pháp tối ưu nhất. Có nhiều cách khác nhau để tạo ra giả thế, hầu hết các phương pháp hiện đại đều thu được hiệu quả tốt, và rất đáng tin cậy. Hiện nay, có rất nhiều giả thế tạo từ các cách khác nhau được sử dụng. Tuy nhiên, chúng phải tuân theo một vài tiêu chuẩn, đó là: - Điện tích hạt nhân thu được từ giả hàm sóng phải giống với điện tích thu được từ hàm sóng nguyên tử. Điều này đảm bảo rằng giả nguyên tử sẽ tạo ra tính chất nhiễu xạ giống như nguyên tử thật. - Giá trị riêng của giả hàm sóng phải giống với trị riêng thu được từ hàm sóng thực của nguyên tử. - Giả hàm sóng cũng như đạo hàm bậc nhất và bậc hai của nó phải liên tục tại bán kính nhân và cũng không dao động. - Ngược lại với phương trình Schrödinger cho tất cả các electron của nguyên tử, các trạng thái kích thích có thể cũng bao gồm trong tính toán (nếu thích hợp với vấn đề vật lý chất rắn được cho). Đó là một vài điều kiện để xây dựng giả thế. Khi những điều kiện đó được tuân theo, ta sẽ thu được một giả thế thích hợp. Điều này có nghĩa là giả thế có thể được sử dụng để cho ta một mô tả tốt của một nguyên tử trong các môi trường hóa học khác nhau. Điều kiện về điện tích trong khi xây dựng giả thế ở trên thường biểu thị sự bảo toàn chuẩn. Điều kiện về giả hàm sóng này sẽ không được thỏa mãn bởi giả thế cực mềm được xây dựng bởi Vanderbilt. Trong những giả thế này, một gia số điện tích được bao gồm như là phần bổ sung đối với giả hàm sóng. Điều này làm cho hình thức luận trở nên phức tạp hơn, nhưng cũng làm cho nó dễ dàng hơn khi miêu tả giả hàm sóng bên ngoài vùng giả thế. Việc đưa ra giả thế cực mềm là rất quan trọng, nó làm cho việc tính toán trên các hệ thống lớn cũng như các hệ thống có các nguyên tử phức tạp (chẳng hạn kim loại chuyển pha, các nguyên tố ở hàng thứ nhất trong bảng tuần hoàn) trở nên dễ dàng hơn. Việc ứng dụng hệ sóng phẳng cơ sở trong khai triển Fourier cùng với giả thế thường được ám chỉ là phương pháp giả thế-sóng phẳng (PPW–Pseudopotential and Plane Wave). Trong khi nguồn gốc xuất hiện của chúng là nghiên cứu các hệ tinh thể (hệ tuần hoàn), thì ngày nay chúng cũng được áp dụng cho cả các hệ không tuần hoàn chẳng hạn như các phân tử và polyme. 2.4. Một số phương pháp giả thế 2.4.1. Định luật giả thế đầu tiên Sự phát triển của giả thế vượt xa sự tính toán đầu tiên (mô hình Phillips-Kleinman) được tiến hành theo hai hướng: Hình 6: Giả thế nhân trống của Ashcroft bằng 0 trong khoảng bán kính nhân . Thế này được xem là thế Coulomb bị che chắn. Một mặt người ta có thể đưa vào thế yếu đơn giản, ta có thể lựa chọn để thế giả có những đặc điểm phù hợp với thực nghiệm. Ví dụ như “giả thế nhân trống” của Ashcroft đưa ra năm 1966. Xem hình 6 ta thấy: + Khi : giả thế nhân trống bằng 0, tức ta bỏ qua tác dụng của hạt nhân cũng như các electron lõi. + Khi r=rc: giả thế bắt đầu xuất hiện. Tức ta chỉ xét thế từ bán kính nhân ra ngoài, đây là thế do các electron hóa trị gây ra. + Khi r>rc: giả thế chính là thế Coulomb bị che chắn . Công thức này cho thấy sự che chắn được biểu diễn thông qua hệ số suy giảm . Ba tham số tự do của thế Coulomb bị che chắn này (cường độ V0, ngưỡng rc, và giảm theo dạng hàm mũ của độ dài d) có thể được điều chỉnh cho phù hợp với các phép đo được làm từ thí nghiệm quang và thí nghiệm từ. Phương pháp này được sử dụng cho một vài kim loại đơn giản như kim loại kiềm hoặc nhôm. Năm 1970 Heine đã xem xét lại pháp vi áp dụng của phương pháp này và mở rộng: thế này có thể được sử dụng cho liên kết của nhiều kim loại. Mặt khác, có thể xây dựng định luật giả thế đầu tiên để giải mã các thông tin về hàm sóng nguyên tử trong một dạng đặc biệt thuận tiện cho sự dịch chuyển trong chất rắn. Giả thế này hứa hẹn tạo ra nhiều phương pháp gần đúng, và các phương pháp này được đánh giá cao. Các phương pháp này được thu gọn trong ba bước: + Bước 1: Chọn một nguyên tử và viết phương trình Kohn-Sham cho nó. Sử dụng phép gần đúng với mật độ điện tử tạo thành một mặt cầu đối xứng bao quanh nhân. Từ đó hàm sóng cũng phải đối xứng cầu , trong đó là hàm cầu, là hàm sóng bán kính. Khi đó phương trình Schrödinger cho electron chuyển động trong thế xuyên tâm có dạng: . Ta xét phương trình bán kính: , trong đó , nhưng ở đây ta xét thêm thế tương quan- trao đổi và thế gây ra bởi mật độ electron nên Hamiltonian viết lại như sau: . Từ đó suy ra phương trình Schrödinger cho hàm bán kính có dạng: , với là năng lượng tương quan- trao đổi, Enl là năng lượng trên các trạng thái. Nghiệm của các phương trình (2.13) là nghiệm cho tất cả electron của nguyên tử. Hình 7: Hàm sóng thực và giả hàm sóng cho các mức 5s, 5p và 4d cho bạc. + Bước 2: xét tất cả các trạng thái ngoài cùng s, p, d và f nằm trong vỏ nguyên tử ta xét. Đây là những trạng thái có vai trò quan trọng trong việc hình thành các liên kết giữa các nguyên tử trong phân tử và trong chất rắn, và những trạng thái này sẽ được chọn ra để xử lý đặc biệt. Vẽ hàm sóng bán kính. Ví dụ với bạc ta có như hình 7, trong đó đường liền nét là hàm sóng bán kính thực, đường đứt nét là giả hàm sóng. Quan sát hình vẽ ta thấy giả hàm sóng không có nút, trong vùng bán kính nhân hai hàm sóng khác nhau nhưng ngoài bán kính nhân hai hàm sóng trùng nhau. Mức 5p không bị chiếm giữ trong trạng thái cơ bản của vàng nhưng nó cũng được tính vào trong giả thế. Dạng của hàm sóng giả được rút ra từ nghiệm phương trình (2.13), từ đó đưa ra một cách đơn giản hàm sóng bán kính, chọn một điểm cao nhất phía bên phải của nút, vẽ một đường cong mềm về gốc tọa độ. Đường cong mềm này cần thõa mãn một số điều kiện: không có nút ngoại trừ tại gốc tọa độ nó biến mất. Nó tham gia vào hàm bán kính gốc với ít nhất hai đạo hàm liên tục. Cuối cùng, các hàm sóng được xây dựng từ các hàm sóng bán kính mới đều được chuẩn hóa chính xác. Bất kỳ hàm sóng nào với những tính chất này tạo ra hàm sóng giả đều chấp nhận được. + Bước 3: thay thế Coulomb ban đầu bởi giả thế vào phương trình (2.13) để giải quyết phương trình Kohn- Sham cho hàm sóng giả bán kính . Từ (2.13) ta có: . Hình 8: Giả thế cho trạng thái 4s, 5p, và 4d của bạc Ta thấy rằng giả thế phụ thuộc vào hàm bán kính. Ví dụ: giả thế này được xây dựng cho bạc được mô tả như hình 8. Bởi vì mỗi trạng thái momen góc l có mỗi giả thế khác nhau nên: - Đầu tiên, hướng giả thế tác dụng lên hàm bất kỳ xuyên qua phá vỡ trong thành phần momen động lượng của nó: . - Sau đó, nhân với trong khi hình thành Hamiltonian để giả thế không địa phương. Vậy phương pháp giả thế cải thiện được nhược điểm của phương pháp Hartree-Fock không xét đến hiện tượng màn chắn của nhiều điện tử, gây ra kết quả không chính xác cho electron ở gần bề mặt Fermi. Các electron xung quanh mỗi hạt nhân tạo thành màn chắn thế Coulomb, nhưng phương pháp Hartree- Fock và các phương pháp phát triển từ phương pháp Hartree- Fock lại không xử lý hiện tượng này một cách chính xác. Thế Coulomb bị che chắn có tác dụng như phép biến đổi Fourier một lần , tác dụng chính của màn chắn này là loại bỏ các điểm kỳ dị tại q=0, tạo ra dạng giả thế như sau: , trong đó là độ dài màn chắn. Đám mây electron bao quanh mỗi hạt nhân trần để: , với EF là năng lượng Fermi , là giá trị của một ô đơn vị. Đây là điều kiện liên kết áp dụng cho phép biến đổi Fourier cho thành phần l=0 của giả thế. Điều kiện này có thể xem như một điều kiện ràng buộc của giả thế để tính trong (2.16). Đối với các nguyên tử nặng, hiệu ứng tương đối cũng trở nên quan trọng. Giả thế sử dụng điều kiện này bằng việc khái quát phương trình Kohn-Sham để giải quyết phương trình Dirac, và sau đó là sắp xếp cho nghiệm của phương trình Schrödinger cho giả thế để tạo ra hàm sóng và năng lượng bằng với nghiệm của phương trình Dirac cho thế ban đầu. Một đặc điểm thuận lợi nữa của giả thế là trạng thái kích thích như 4s hoặc 5p được mô tả như trạng thái cơ bản của giả thế tương ứng của chúng. Như vậy số thao tác đã biến đổi từ việc tìm kiếm số lượng lớn các trạng thái kích thích trong thế kỳ dị sang việc tìm kiếm trạng thái cơ bản đơn giản trong một thế yếu. Hạn chế của phương pháp này là giả thế sẽ bổ sung vào trạng thái cơ bản một vài trạng thái thấp nằm dưới và có mặt trong nhiều phép tính nhưng lại không giống bất kỳ trạng thái ban đầu. Các trạng thái này được gọi là “ma” cho phép tính không chính xác, điều này được Gonze đưa ra thảo luận vào năm 1991. 2.4.2. Mô hình thế ion Dựa trên nền tảng của giả thế trong lý thuyết tán xạ, phép biến đổi của phương trình trực giao sóng phẳng, giả thế trở thành lĩnh vực màu mỡ cho việc phát triển nhiều phương pháp mới và phát triển sự hiểu biết về cấu trúc điện tử của phân tử và chất rắn. Có hai cách tiếp cận: - Để định nghĩa giả thế ion, dẫn đến bài toán chỉ có tương tác của các electron hóa trị. - Để định nghĩa giả thế toàn phần mà bao gồm cả các dụng của các electron hóa trị khác. Mô hình này là cách tiếp cận tổng thể hơn khi các giả thế ion dịch chuyển nhiều hơn với một thế ion đơn giản áp dụng được cho nguyên tử trong các môi trường khác nhau. Sự tiếp cận sau này là rất có ích cho việc mô tả cấu trúc vùng năng lượng một cách chính xác. Chúng được điều chỉnh để phù hợp với thế thực. Thế thực đóng vai trò rất quan trọng trong việc tìm hiểu cấu trúc điện tử và như một các tiếp cận có ích cho việc hiểu cấu trúc vùng trong sóng phẳng cơ sở. Hình 9: a) Mô hình thế nhân trống trong đó thế bằng 0 trong bán kính rc với mỗi giá trị khác nhau của l. b) Mô hình giếng thế hình vuông với giá trị Al trong ngưỡng bán kính rc. Ở đây chúng ta tập trung trên giả thế ion và dạng của mô hình thế mà cho các tính chất tán xạ giống nhau như toán tử giả thế của công thức: và . Khi một mô hình thế thay thế cho thế của các nhân và các electron hóa trị, thì mô hình thế đó phải đối xứng cầu và mỗi momen góc , phải được khảo sát một cách riêng rẽ, từ đó dẫn đến mô hình giả thế phụ thuộc l không địa phương: . Đặc điểm định tính của giả thế phụ thuộc l có thể được minh họa bởi dạng chỉ ra trong hình 9. Hình 9a mô tả thế nhân trống của Ashcroft. Hình 9b mô tả mô hình giếng thế hình vuông, trong khoảng bán kính lõi thế không đổi có giá trị là Al. Ngoài bán kính lõi, thế chính là thế liên kết Coulomb của nhân và các eletron nhân . Thế bên trong bán kính nhân là thế đẩy phụ thuộc vào momen góc l, như sự giải thích chính xác VR ở phần trước. Sự phụ thuộc vào momen góc l nghĩa là: giả thế là toán tử không địa phương mà nó có thể được viết dưới dạng “bán địa phương” (SL): , với là dạng bán địa phương vì nó không định xứ khi góc biến đổi mà định sứ khi bán kính biến đổi. Khi toán tử tác dụng lên hàm có dạng như sau: . Cấu trúc điện tử bao gồm cả phép tính của các yếu tố ma trận giữa các trạng thái và : . Sử dụng ký hiệu như (2.19) ta viết lại (2.20) như sau: . Vậy dạng đơn giản của giả thế là thế nhân trống và mô hình giếng thế hình vuông. Mô hình này sử dụng cho chất rắn vô hạn, mô hình này cho năng lượng không chính xác. Những giả thế được đưa ra bởi việc tính toán trên nguyên tử (hoặc các trạng thái tựa nguyên tử) được gọi là giả thế nguyên thủy bởi vì nó không phù hợp với thực nghiệm. Giả thế ion và giả thế nhân trống đều được gọi là giả thế nguyên thủy. Những giả thế nguyên thủy này được tạo ra để khớp với tính chất hóa trị được tính cho nguyên tử. Sau này khi phương pháp giả thế bảo toàn chuẩn ra đời cung cấp một hướng đơn giản để tính thế rất thành công trên phân tử và chất rắn. 2.4.3. Giả thế bảo toàn chuẩn Giả thế bảo toàn chuẩn có thể thõa mãn các mục tiêu quan trọng này. Giả thế bảo toàn chuẩn là phần phát triển đặc biệt của giả thế nguyên thủy, nó là đơn giản hóa việc vận dụng và chính xác hơn và có thể biến đổi được. Ở ngoài bán kính lõi rc, phương pháp này xây dựng giả hàm sóng và giả thế bằng với hàm sóng hóa trị thực và thế thực, còn ở bên trong bán kính lõi rc thì khác nhau. Giả hàm bảo toàn chuẩn phải thõa mãn điều kiện chuẩn hóa và phải đối xứng cầu, nó là nghiệm của mô hình thế được chọn để mô tả được tính chất của tất cả electron hóa trị. Giả hàm của electron hóa trị thõa mãn điều kiện trực chuẩn thông thường: Suy ra phương trình Kohn- Sham cho một hạt viết lại như sau: trong đó , với VH được xác định như biểu thức (1.39). Thế ngoài Vext được đưa ra trong quá trình thiết lập giả thế. Đối với mỗi momen góc khác nhau thì ứng với mỗi hàm sóng và mỗi trị riêng khác nhau, nghĩa là giả thế cũng phụ thuộc l. Giả thế này được gọi là bán địa phương. 2.4.3.1. Điều kiện bảo toàn chuẩn Sau mô hình Phillips-Kleinman, các phương pháp giả thế sau này càng hiệu quả và chính xác hơn. Sự phát triển này đã được định hướng bởi phần lớn các mục tiêu do Bachelet, Hamann, Schluter (gọi tắt là BHS) đưa ra: 1. Trị riêng của tất cả electron hóa trị bằng giả trị riêng hóa trị cho hệ nguyên tử mẫu. 2. Hàm sóng của tất cả electron hóa trị bằng giả hàm sóng hóa trị ở ngoài bán kính lõi rc. 3. Đạo hàm logarit của hàm sóng tất cả electron bằng đạo hàm logarit giả hàm sóng tại rc. 4. Tích phân điện tích bên trong rc cho mỗi hàm sóng bằng nhau (bảo toàn chuẩn). 5. Đạo hàm bậc nhất năng lượng của đạo hàm logarit hàm sóng tất cả electron bằng đạo hàm bậc nhất năng lượng của đạo hàm logarit giả hàm sóng tại rc. 6. Giả thế càng mềm càng tốt, nghĩa là giả thế cho phép hàm sóng hóa trị mở rộng bằng cách sử dụng một vài sóng phẳng. 7. Giả thế càng biến đổi được thì càng tốt, nghĩa là giả thế tạo thành cho một cấu trúc nguyên tử xác định thì hình thành cho nguyên tử khác cũng chính xác. Do đó đảm bảo việc áp dụng giả thế cho chất rắn là chính xác, với thế tinh thể nhất thiết phải khác thế nguyên tử. 8. Mật độ điện tích giả (mật độ điện tích được xây dựng từ giả hàm sóng) càng giống với mật độ điện tích hóa trị càng tốt. Từ điều kiện 1 và 2 suy ra giả thế bảo toàn chuẩn bằng thế nguyên tử ngoài bán kính lõi rc vì thế xác định duy nhất (thế bằng 0 tại vô cùng). Từ điều kiện 3 ta thấy hàm sóng và đạo hàm theo bán kính của nó liên tục tại rc cho bất kỳ thế mềm nào. Đạo hàm logarit không thứ nguyên được định nghĩa như sau: . Điều kiện 3 có thể viết lại với biểu thức sau: , với là năng lượng mẫu. Phương trình này thể hiện một cách chính xác bằng trị riêng nguyên tử mẫu. Trong vùng bán kính lõi rc, giả thế và giả orbital bán kính khác với bản sao tất cả electron của chúng, tuy nhiên, điều kiện 4 đòi hỏi rằng: tích phân điện tích, , của orbital bán kính tất cả electron (hoặc ) giống với (hoặc ) cho một trạng thái hóa trị. Ql không đổi đảm bảo rằng: Điện tích toàn phần trong vùng lõi đều đúng. Giả orbital được chuẩn hóa bằng orbital thực bên ngoài rc. Áp dụng cho phân tử hoặc chất rắn, những điều kiện này bảo đảm rằng giả orbital đúng trong vùng ngoài nhân rc giữa các nguyên tử xuất hiện liên kết, và để thế bên ngoài rc đúng thì thế ngoài phải đối xứng cầu và điện tích tác dụng chỉ phụ thuộc vào điện tích toàn phần bên trong mặt cầu. Điều kiện thứ 5 là điều kiện quyết định để xây dựng được một giả thế tốt. Giả thế phải được xây dựng trong một môi trường đơn giản như nguyên tử hình cầu và sau đó được sử dụng trong nhiều môi trường phức. Trong phân tử hoặc chất rắn, hàm sóng và trị riêng thay đổi, giả thế thõa mãn điều kiện 5 sẽ tạo nên sự biến đổi của trị riêng đến bậc tuyến tính trong sự thay đổi của thế nhất quán. Đạo hàm bậc nhất năng lượng của đạo hàm logarit của giả hàm sóng bằng đạo hàm bậc nhất năng lượng của đạo hàm logarit của hàm sóng tất cả electron tại ngưỡng bán kính rc: . Những nghiên cứu sau đó BHS và những người khác cho rằng điều kiện 5 bao gồm cả điều kiện 4. Điều kiện bảo toàn chuẩn này có thể đưa ra một cách đơn giản. Phương trình bán kính cho nguyên tử hình cầu hoặc ion hình cầu có dạng: , với đạo hàm bậc nhất theo r có thể được viết lại theo , mà được định nghĩa như sau: Thật dễ dàng để thấy (2.28) đẳng trị với phương trình vi phân không tuyến tính bậc nhất, . Lấy vi phân phương trình (2.30) theo năng lượng: Mà hệ thức hợp lệ cho bất kỳ hàm nào và bất kỳ l nào như sau: nhân thêm và lấy tích phân (2.31), tại R ta tìm được: , Hoặc dưới dạng đạo hàm logarit không thứ nguyên : . Vậy nếu có độ lớn giống như hàm sóng tất cả electron tại rc và tuân theo bảo toàn chuẩn (như Ql), thì đạo hàm bậc nhất năng lượng của đạo hàm logarit và giống như hàm sóng của tất cả electron. 2.4.3.2. Phương pháp tạo ra giả thế bảo toàn chuẩn. Hình 10: Quá trình hình thành giả thế Hamann và cộng sự đã xây dựng nhiều phương pháp giả thế bảo toàn chuẩn nhân mềm và giả thế bảo toàn chuẩn bán địa phương, sau đó thì được Bachelet và cộng sự tiếp tục phát triển thêm. Các nhà khoa học Bachelet, Hamann, Schluter (gọi tắt là BHS) đã lập bảng giả thế chính xác cho tất cả các yếu tố trong bảng hệ thống tuần hoàn. Việc tạo bảng của BHS là khá quan trọng bởi vì nó tách phép tính nguyên thủy khỏi sự tạo thành giả thế và hạ thấp đáng kể hàng rào để đến bảng của trường mẫu. Cách hình thành giả thế bảo toàn chuẩn theo BHS (hình 10) như sau: 1. Đầu tiên chọn cấu trúc phân tử mẫu và tính hàm sóng phân tử, trị riêng, mật độ điện tích và thế bằng cách sử dụng nguyên tử hình cầu. Hình 11: Cách chọn giá trị rc 2. Chọn bán kính nhân rc cho mỗi l, nên được ký hiệu rc,l và rc,l phải nằm ở khoảng giữa nút ngoài cùng và hàm sóng tất cả electron hóa trị và cực đại cuối cùng của hàm sóng đó. Ví dụ như hình 11. Lấy giá trị rc nhỏ để sự biế đổi giả thế cao, nếu rc lớn gần đến nút ngoài cùng thì dẫn đến sự bất ổn về số. 3. Xây dựng . Bậc đầu tiên của giả thế, được xây dựng bởi việc bỏ đi điểm kỳ dị trong thế nguyên tử tất cả electron. trong đó là hàm một nguyên tử với và tiến về 0 nhanh chóng khi x=1. Hằng số được điều chỉnh để tìm nghiệm thấp nhất của phương trình Schrodinger cho hàm bán kính với thế có trị riêng bằng trị riêng nguyên tử hóa trị. Khi và V(r) như nhau cho r ở ngoài bán kính ngưỡng rc, nghiệm của phương trình Schrodinger cho hàm bán kính với thế (tức là ) giống với V(r) (đó là ). 4. Áp dụng bảo toàn chuẩn bằng cách thêm vào hàm hiệu chỉnh trong vùng nhân: , trong đó là tỉ số bên ngoài bán kính lõi rc,l, là tham số được chọn để thực hiện bảo toàn chuẩn và là hàm chính quy biến đổi nhanh khi r>rc. BHS đã sử dụng Ta có hàm tương quan- trao đổi chỉ gồm mật độ hoặc độ chênh lệch (gradient) của nó tại mỗi điểm, thế tương quan- trao đổi hiệu dụng đó vai trò quan trọng trong thế không sán lọc. Thế tương quan- trao đổi hiệu dụng được định nghĩa như sau: Trong đó là giả phiếm hàm mật độ điện tử, Vxc là hàm không tuyến tính của n (có thể cũng không địa phương) dẫn đến tính toán khó khăn và không rõ ràng. Thành phần trong dấu ngoặc vuông của là một hiệu chỉnh nhân. Nó đóng vai trò quan trọng trong việc tăng khả năng biến đổi của giả thế. Mật độ điện tích nhân phải được lưu trữ cùng với giả mật độ và bổ sung trong chất rắn phải dùng ở (2.37), và mật độ nhân biến đổi nhanh tạo nên sự bất lợi cho phương pháp sóng phẳng. Ta có thể tự do lựa chọn giả thế riêng để mật độ nhân riêng mềm hơn . Louie, Froyen, và Cohen đề suất dạng ban đầu của như sau: trong đó A, B được định nghĩa bởi giá trị và gradient của mật độ điện tích nhân tại r0. Và r0 được chọn sao cho ncore bằng 1 đến 2 lần nvalence. 5. Giả thế đã sàng lọc (thế mà sinh ra có trị riêng chính xác) được tìm ra bằng cách đảo ngược phương trình Schrodinger cho hàm bán kính. Do đó hàm sóng bên ngoài bán kính lõi rc giống hàm sóng thực. Khi đảo ngược phương trình Schrodinger cho hàm nút cho mỗi giá trị riêng biệt sẽ sinh ra: . Khi đảo ngược ta sẽ có dạng giả thế khác nhau. Ví dụ, khi xây dựng giả thế cho Cacbon, ta có đồ thị như hình vẽ (hình 12). Hình 12 tương ứng với giả thế cho không gian thực (phía trên) và không gian nghịch đảo ở phía dưới. Bốn đồ thị từ trái sang phải tương ứng với kết quả của các nhà khoa học khác nhau, theo thứ tự từ trái sang phải: Troullier và Martins (hình 12a); Kerker (hình 12b); Hamann, Schluter và Chiang (hình 12c); Vanderbilt (hình 12d). Trong đó đường liền nét ứng với trạng thái p, đường đứt nét ứng với trạng thái s). Qua hình vẽ ta thấy có sự biến đổi lớn trong các thế bảo toàn chuẩn và có độ dịch pha tại năng lượng đã chọn. Hình 12: Đồ thị so sánh giả thế trong không gian thực và không gian nghịch đảo 6. Tiếp theo, tìm giả thế bằng việc loại bỏ tác dụng của thế Hartree và thế tương quan trao đổi, từ đó suy ra giả điện tích hóa trị toàn phần. Để sàng lọc VS người ta loại bỏ tổng của thế Hartree và thế tương quan- trao đổi ra khỏi thế toàn phần. Gọi là tổng của thế Hartree và thế tương quan- trao đổi. Lúc đó : trong đó được xác định cho các electron hóa trị trong giả orbital của chúng. Việc tách rời giả thế ion thành phần địa phương của thế cộng với dạng không địa phương rất có ích : . Vì trị riêng và orbital đạt được đòi hỏi trị riêng và orbital của giả thế giống với tất cả electron khi r>rc. Phần thế địa phương này xác định cho tất cả electron, nó không phụ thuộc l. Vậy ngoài bán kính lõi thì : , và tác dụng trong khoảng dài của thế Coulomb được bao gồm trong thế địa phương Vl(r). Khi thì . Cuối cùng toán tử bán địa phương có thể viết dưới dạng : Mặc dù yêu cầu phải bảo toàn chẩn nhưng ở đây ta vẫn được tự do chọn dạng của Vl(r) trong quá trình xây dựng giả thế. Có nhiều lựa chọn, người ta sẽ chọn dạng tối ưu nhất. 7. Cuối cùng độ chính xác, sự dịch chuyển và ‘‘độ cứng’’ của giả thế được kiểm tra bằng cách so sánh phép tính nguyên tử cho tất cả electron và phép tính nguyên tử giả thế cho nhiều cấu trúc. Từ ‘‘độ cứng’’ ở đây có hai nghĩa : + Thứ nhất : ‘‘độ cứng’’ là phép đo sự biến đổi của giả thế trong không gian thực mà bị lượng tử hóa bởi sự mở rộng của thế trong không gian Fourier. Hiểu một các tổng thể, thế cứng mô tả tính chất của ion nhân tập trung cố định và tính chất dịch chuyển từ vật liệu này sang vật liệu khác nhiều hơn. Do đó cố gắng để làm cho thế ‘mềm’ để dẫn đến sự biến đổi yếu hơn. Tức là làm cho chính xác và thế biến đổi không mở rộng ra xa không gian Fourier, đây gọi là thế tối ưu hóa. + Thứ hai : ‘‘độ cứng’’ là phép đo khả năng đúng đắn của electron hóa trị mô tả đặc trưng của hệ thay đổi trong môi trường. Chúng ta thấy rằng bảo toàn chuẩn bảo đảm rằng các trạng thái electron của nguyên tử có đạo hàm bậc nhất chính xác theo sự thay đổi của năng lượng. Nghĩa là ‘‘độ cứng’’ là phép đo chính xác của đặc trưng biến đổi của thế. BHS đã sử dụng phương pháp này để hình thành giả thế cho tất cả các nguyên tố từ H đến Po. Các thế này được suy ra từ dạng tính toán của thế và tham số biến đổi đến khi hàm sóng có tính chất như mong muốn. Hình 13 mô tả giả thế bảo toàn chuẩn, giả hàm, đạo hàm logarit cho nguyên tố Mo. + Hình 13d : đường liền nét là Vl ứng với l=0,1,2. Đường đứt nét là Vl=Zion/r. + Hình 13a,b,c : đường liền nét là giả hàm bảo toàn chuẩn, đường đứt nét là hàm bán kính của tất cả electron hóa trị. Trong vùng bán kính lõi hai hàm này khác nhau nhưng ngoài bán kính lõi thì hai hàm này giống nhau. Hình 13a,b,c tương ứng với l=2,1,0. Hình 13: Giả thế bảo toàn chuẩn, giả hàm, đạo hàm logarit cho nguyên tố Mo ứng với các giá trị l khác nhau + Hình 13e,g,h : so sánh đạo hàm logarit của giả thế (đường liền nét) và đạo hàm logarit của phép tính nguyên tử đầy đủ (đường liền nét) ứng với các giá trị l=0,1,2 tương ứng với hình 13h,g,e. Công thức của BHS và Kerker đã được thay đổi nhiều lần nhằm cải thiện kết quả giả thế cả về dạng biến đổi và dạng của độ cứng. Về cơ bản, những sửa đổi này khai thác tính linh hoạt trong việc lựa chọn hàm sóng giả (và giả thế cũng vậy) trong bán kính lõi rc. Sau này Louie và cộng sự đã phát triển việc mở rộng sự không sàng lọc mà có sự đóng góp của thế tương quan- trao đổi dẫn đến tổng giả điện tích hóa trị và độ mềm thay thế cho điện tích hạt nhân được xóa bỏ khỏi VS. Nhân thay thế gồm giả điện tích hóa trị trong đó có sự đóng góp của thế tương quan- trao đổi vào thế và năng lượng khi sử dụng kết quả giả thế. Phương pháp này cải thiện kết quả tính toán cho kim loại chuyển tiếp, đặc biệt chính xác cho trạng thái d. 2.4.4. Phép biến đổi Kleinman-Bylander Khi sử dụng giả thế bảo toàn chuẩn với sóng phẳng gặp rất nhiều khó khăn, số lượng phép tính rất lớn, thiết lập ma trân Hamiltonian rất phức tạp. Mặt khác hiệu quả tính toán không cao do sự phức tạp của vecto sóng trong mỗi phép tích phân. Kleinman và Bylander (KB) đề suất phương án khắc phục nhược điểm này bằng cách sử dụng giả thế bán địa phương và phát triển thành phép biến đổi. Phép biến đổi bắt đầu bằng việc xây dựng một toán tử giả thế tách . KB đã chỉ ra rằng tác dụng của thế bán địa phương trong (2.41) có thể được thay thế bởi một toán tử tách để giả thế toàn phần có dạng : ở đây là giả hàm sóng phụ thuộc momen góc cho trạng thái mẫu. có dạng tách, nó không giống dạng bán địa phương như (2.18), nó không định xứ đầy đủ trong các góc và bán kính r. Khi tác dụng lên các trạng thái nguyên tử mẫu , có tác dụng như , và nó có thể là phương pháp gần đúng tuyệt vời nhất cho tác dụng của giả thế trên các trạng thái hóa trị trong phân tử hoặc chất rắn. Các hàm là các toán tử hình chiếu tác dụng lên hàm sóng. Mỗi toán tử hình chiếu được định xứ trong không gian, do đó nó chỉ khác 0 ngoài ngưỡng bán kính giả thế mà tại ngưỡng bán kính này khác 0. Đây là sự mở rộng độc lập của các hàm , có sự mở rộng của các orbital nguyên tử hóa trị hoặc đều là các trạng thái khác biên. Sự phát triển của dạng tách là vì các thành phần ma trận chỉ đòi hỏi các sản phẩm của các toán tử hình chiếu có dạng: Biểu thức này trái với biểu thức (2.21), ở (2.21) là tích phân bán kính cho mỗi cặp hàm và . Điều này dẫn đến sự lưu trữ trong các phép tính mà có thể trở nên rất quan trọng trong các phép tính lớn. Tuy nhiên, nó làm tăng thêm một bước mà có thể gây ra nhiều lỗi hơn. Mặc dù tác dụng lên trạng thái nguyên tử được đưa ra là không thay đổi, nhưng tác dụng lên các trạng thái khác tại các năng lượng khác lại có thể bị biến đổi, và sự lưu trữ phải đảm bảo rằng không có các trạng thái “ma” nhân tạo được giới thiệu ( các trạng thái “ma” tại năng lượng thấp được chú ý khi Vlocal (r) là thế hút còn thế không địa phương là thế đẩy. Trường hợp cặp spin - quỹ đạo được hình thành rất đơn giản bằng cách sử dụng các trạng thái của nguyên tử được suy ra từ phương trình Dirac với momen góc toàn phần . Toán tử hình chiếu không địa phương trở thành: Cấu trúc KB có thể bị biến đổi để hình thành thế tách một cách trực tiếp mà không cần phải thông qua bước xây dựng giả thế bán địa phương Vl(r). Cách tạo thành thế tách này cũng giống như cách tạo thành giả thế bảo toàn chuẩn, bước đầu tiên là định nghĩa giả hàm và một giả thế địa phương Vlocal(r). Mà giả hàm này bằng hàm của tất cả electron ở bên ngoài ngưỡng bán kính r>rc. Nếu chúng ta định nghĩa các hàm mới có dạng: dễ dàng thấy rằng bên ngoài rc và để toán tử có tính chất giống như toán tử KB (2.43), là một nghiệm của phương trình với . 2.4.5. Giả thế siêu mềm (Giả thế Vanderbilt) Một trong những mục tiêu của giả thế là tạo ra giả hàm càng ‘‘mềm’’ càng tốt, và đúng đắn. Ví dụ : trong phép tính sóng phẳng thì các hàm sóng hóa trị là các thành phần khai triển Fourier, và số phép tính lớn như số các thành phần Fourier cần trong tính toán. Do đó một trong những nghĩa đầy đủ của ‘‘độ mềm’’ cực đại là khoảng nhỏ nhất trong không gian Fourier cần để mô tả chính xác tính chất hóa trị. Giả thế bảo toàn chuẩn đạt được mục tiêu chính xác tại một vài sự đóng góp của ‘‘độ mềm’’. Vanderbilt và đồng nghiệp đã đề nghị phương pháp giả thế siêu mềm được bắt đầu từ giả thế bảo toàn chuẩn. Giả thế siêu mềm đạt được mục tiêu của các phép tính đúng bởi một phép biến đổi để biểu diễn lại bài toán trong các dạng của một hàm mềm và hàm bổ sung quanh mỗi ion nhân. Các hàm này mô tả phần biến đổi nhanh của mật độ. Mặc dù các phương trình liên quan chính thức với phương trình OPW và cấu trúc Phillips-Kleinman-Antoncik, giả thế siêu mềm là cách tiếp cận thực tế cho việc giải quyết phương trình trên cả khả năng áp dụng của việc thiết lập công thức đó. Chúng ta tập trung trên các trạng thái mẫu để mô tả những khó khăn lớn nhất trong sự thiết lập giả hàm mềm đúng đắn. Giả hàm mềm mô tả các trạng thái hóa trị tại điểm bắt đầu của lớp vỏ nguyên tử, tức là các trạng thái 1s, 2p, 3d,... Với những trạng thái này, phép biến đổi OPW không có tác dụng vì phương pháp này bỏ qua các trạng thái lõi của momen góc giống nhau. Do đó hàm sóng không có nút và mở rộng trong vùng lõi. Vanderbilt và đồng nghiệp đề nghị, ở ngoài bán kính lõi thì giả hàm sóng bằng hàm sóng của tất cả electron, bên trong bán kính lõi thì giả hàm được phép mềm như có thể. Để làm được điều đó thì sử dụng điều kiện bảo toàn chuẩn. Nhưng để đúng đắn, bởi giả thế bảo toàn chuẩn đòi hỏi hàm sóng tốt nhất chỉ mềm hơn hàm tất cả electron ở mức độ vừa phải. Đây chính là sự phức tạp của phương pháp mà Vanderbilt đề suất. Điều kiện này có thể làm giảm một cách nhanh chóng hàm sóng ngưỡng cần thiết trong các phép tính, đặc biệt giá trị khá lớn của rc có thể được sử dụng trong phương pháp này. Sự phức tạp này gây nên những hạn chế sau : + Thứ nhất : do giả hàm sóng bằng hàm sóng tất cả electron bên ngoài rc, nhưng không có chuẩn giống nhau bên trong rc nên chúng không nhất thiết phải được chuẩn hóa. Sự mô tả này làm phương trình đặc trưng không rõ ràng. + Thứ hai : mật độ giả điện tích không tính được bằng phép tính như giả thế bảo toàn chuẩn, từ đó điện tích toàn phần cũng sai. Đúng hơn, dạng liên kết cần được thêm vào vùng nhân. + Thứ ba : Sự phức tạp nói trên là giảm bảo toàn chuẩn, do đó kết quả giả thế ít biến đổi. Dù có những hạn chế trên nhưng nó được sử dụng trong các tính toán có quy mô lớn, mà chi phí tạo ra giả thế là không đáng kể so với giá trị các phép tính. Theo đó, nó khá khả thi để tính toán lại giả thế như mô hình rút ra suốt quá trình tính toán. Trong phương pháp giả thế siêu mềm của Vanderbilt năng lượng toàn phần được viết lại như sau : , trong đó : T là toán tử động năng, VL là thành phần địa phương của giả thế, VNL là giả thế Vanderbilt không địa phương, là giả hàm sóng. Bloch và Vanderbilt đề xuất phép biến đổi viết lại thế không địa phương dưới một dạng bao gồm một hàm mềm mà không bảo toàn chuẩn. Sự khác nhau trong phương trình chuẩn (2.26), từ đó hàm bảo toàn chuẩn có dạng: , với: , Một thế không địa phương mới tác dụng lên có thể viết như sau: với: Ở đây ta chỉ xét một nguyên tử, giả hàm được đặc trưng bởi các hàm, , hệ số , và thành phần địa phương Vlocal(r). đựoc biểu diễn trong sự mở rộng góc, tức nó là hàm điều hòa được nhân lên bởi các hàm bán kính. Các hàm bán kính triệt tiêu ngoài bán kính rc. Cho mỗi trạng thái nguyên tử mẫu , thật dễ dàng để thấy các hàm riêng là nguyệm của bài toán trị riêng nói chung: với và là toán tử chồng lấp, toán tử chồng lấp này không giống phần tử đơn vị chỉ bên trong bán kính nhân. là toán tử đồng nhất. Trị riêng phù hợp với phép tính tất cả electron tại nhiều mức năng lượng n. Mật độ đầy có thể được giới thiệu từ hàm Qnm(r), hàm này có thể bị thay thế bởi kiểu mềm của mật độ tất cả electron. Hình 14: Đồ thị hàm mềm không chuẩn hóa và hàm bảo toàn chuẩn. Lợi thế của việc giảm điều kiện bảo toàn chuẩn qnm=0 là để cho mỗi giả hàm mềm có thể được tạo thành một cách độc lập, chỉ với điều kiện là giá trị của các hàm tại bán kính lõi rc. Do đó có thể chọn rc cho phương pháp này lớn hơn rc cho giả thế bảo toàn chuẩn, trong khi vẫn giữ nguyên các hàm bổ sung Qnm và toác tử chồng lấp . Ví dụ như hàm mềm không chuẩn hóa cho trạng thái 2p của Ôxi được chỉ ra ở hình 14. Hình 14 so sánh hàm mềm không chuẩn hóa với hàm bảo toàn chuẩn biến đổi nhanh. Đường liền nét là hàm tất cả electron, đường chấm chấm là giả hàm được hình thành do sử dụng phương pháp của Hamann - Schluter- Chiang, đừng đứt nét là phần mềm của giả hàm của phương pháp siêu mềm. Trong phương pháp giả thế siêu mềm này thì các hàm mềm phải được trực giao chuẩn hóa như sau: , và mật độ hóa trị trở thành với . Năng lượng toàn phần có dạng: trong đó giả thế ion màn chắn trần với , và tương tự với , từ đây ta có phương trình trị riêng suy rộng: . Phương pháp giả thế siêu mềm như quá trình lặp lại nhất quán. Đây là đặc điểm thú vị của giả thế. Sự tác động của yếu tố thêm vào điện tích bên trong mặt cầu thay đổi dọc theo hàm sóng. Điện tích tác dụng vào thế được sử dụng trong phương trình Kohn- Sham. Do đó, sự đóng góp này có thể được mô tả như một phần của giả thế. Trong bất kể trường hợp nào, sự phát triển của sự tăng điện tích và tác động của nó đến thế suốt quá trình tính toán cho phép giá trị rc tương đối lớn để sử dụng trong cấu trúc Vanderbilt. Điều này tạo ra rất nhiều giả thế mềm, mà không làm mất đi tính chính xác của phép tính. 2.5. Ưu điểm và nhược điểm phương pháp giả thế 2.5.1. Ưu điểm - Phương pháp giả thế là phương pháp để gửi phương trình Schrödinger cho các tinh thể không xác định được chính xác dạng thế của điện tử trong mạng. - Từ phương trình này ta có thể tính được cấu trúc vùng năng lượng một cách khá chính xác với một phương trình đơn giản hơn. - Không những cho kết quả chính xác đáng ngạc nhiên mà còn tiết kiệm được thời gian và công sức nghiên cứu. 2.5.2. Nhược điểm - Vẫn có tương tác ở lõi nên năng lượng tính được không hoàn toàn chính xác. - Giả thế đúng nhất cho các nguyên tử cá nhân nhỏ và sâu, và không chính xác với các nguyên tử có nhân nông. - Tương tác spin - quỹ đạo bị bỏ qua. KẾT LUẬN Phương pháp giả thế thực nghiệm tuy không phải là phương pháp tính cấu trúc vùng năng lượng tối ưu nhất nhưng phương pháp này có những thế mạnh riêng. Phương pháp này áp dụng hiệu quả nhất cho bán dẫn. Mục tiêu ban đầu của đề tài có ý muốn nêu thêm cách ứng dụng phương pháp giả thế vào bán dẫn nhưng do hạn chế về mặt thời gian nên không nêu trong bào tiểu luận này. Vậy qua quá trình nghiên cứu đề tài “Phương pháp giả thế thực nghiệm”. Tôi đã thu được các kết quả về lý thuyết, có thể tóm tắt như sau: Nêu được cơ sở của phương pháp giả thế thực nghiệm để hiểu rõ hơn phương pháp giả thế thực nghiệm. Nêu được khái niệm, cách hình thành giả thế và điều kiện hình thành giả thế. Nêu được các phương pháp giả thế từ phương pháp ban đầu đến các phương pháp phát triển về sau: giả thế nhân trống, giả thế ion, giả thế bảo toàn chuẩn, giả thế siêu mềm, phép biến đổi Kleinman-Bylander. Đã rút ra được một số ưu và nhược điểm của phương pháp. Tuy đã rất cố gắng nghiên cứu và đọc tài liệu tiếng anh để hoàn thành bài tiểu luận nhưng do còn thiếu kinh nghiệm nên không tránh khỏi sai sót. Vì vậy tôi kính mong Cô giáo và các bạn góp ý để bài tiểu luận được tốt hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn ! TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh: [1] Richard-Martin, “Electronic-Structure”, Cambridge University Press, 2004, 205 - 224. [2] David J. Singh và Lars Nordstrom, “Singh, Planewaves, Pseudopotentials and LAPW Method”, Springer, 2006, 23- 36. [3] Uichiro Mizutani, “Introduction to the Electron Theory of Metals”, Cambridge University Press, 2001, 202- 207. [4] Axel GorB, “Theoretical Solid State Physics”, The Technical University Munich, 2003, 41- 43. [5] Charles Kittel, “Introduction to Solid State Physics”, John Wiley & Sons, Inc, 2004, 239- 242. [6] Micheal P.Marder, “Condensed Matter Physics”, John Wiley & Sons, Inc, 2000, 230- 235. [7] Peter E. Blochl, Johannes Kastner, and Clemens J. Forst, “Electronic structure methods: Augmented Waves, Pseudopotentials and the Projector Augmented Wave Method”, arXiv:cond-mat. 0407205v1, 2008, 7- 12. Tiếng Việt: [8] Đào Trần Cao, Cơ sở vật lý chất rắn, NXB Đại học quốc gia Hà Nội (2007). [9] Trần Thị Thanh Thúy, “Ứng dụng phương pháp giả thế thực nghiệm để tính cấu trúc vùng năng lượng của Si”, khóa luận tốt nghiệp ĐHSP huế, 2010. [10] Nguyễn Văn Ninh, “Ứng dụng phương pháp giả thế thực nghiệm để tính cấu trúc vùng năng lượng của chất bán dẫn GaP”, khóa luận tốt nghiệp ĐHSP huế, 2010. [11] Nguyễn Tiến Quang, “ Sử dụng phương pháp phiếm hàm mật độ với gói chương trình Dacapo để khảo sát một vài tính chất Perovskite”, Luận văn thạc sỹ ĐHKHTN Hà Nội, 2006.