Đề tài Tăng cường hoạt động nhận thức của học sinh thông qua việc dạy học các yếu tố giải tích nguyên hàm – tích phân ở trường THPT

−+ + + + =+ + Bài 2:Chứng minh rằng: 1 0 1 21 1 1 1 2 1... 3 6 3 3 3 3( 1) n n n n n nC C C Cn n + −+ + + + =+ + Giải: Xét 2 3 2 0 1 3 2 6 1 1 3( ) (1 ) ( ... )n n n n nn n n n nP x x x x C C x C x C x C x − −= + = + + + + + Ta có: 1 1 1 3 1 1 2 3 3 3 0 0 0 1 1 (1 ) 2 1( ) (1 ) (1 ) (1 ) 3 3 1 3( 1) n n n n xP x dx x x dx x d x n n + ++ −= + = + + = =+ +∫ ∫ ∫ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 81 Mặt khác: 1 1 0 2 1 5 3 2 0 0 ( ) ( ... )n nn n nP x dx C x C x C x dx += + + +∫ ∫ 10 3 1 6 3 3 0 1 2 0 1 1 1 1... ... 3 6 3 3 3 6 3 3 3 n n nn n n n n n n C x C x C x C C C C n n +⎡ ⎤= + + + = + + + +⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ Vậy: 1 0 1 21 1 1 1 2 1... 3 6 3 3 3 3( 1) n n n n n nC C C Cn n + −+ + + + =+ + Bài tập tương tự: Bài 1:Chứng minh rằng: 1 1 21 1 ( 1)... 2 3 1 1 n n n n n nC C C n n +−− + + =+ + Bài 2:Tính 1 2 0 (1 )nnI x dx= −∫ . Từ đó suy ra rằng 0 1 21 1 ( 1) 2 4 5 2... . . ... 3 5 2 1 3 5 6 2 1 n n n n n n nC C C C n n −− + − + =+ + (ĐHQGTPHCM-1997) Bài 3: Tính 1 0 (1 )nnI x dx= −∫ . Từ đó suy ra rằng 2 3 1 1 0 1 22 2 (2) 3 12 ... 2 3 1 1 n n n n n n nC C C Cn n + + −+ + + + =+ + Bài 4:Tính 1 2 0 (1 )nnI x x dx= −∫ . Chứng minh rằng 0 1 2 31 1 1 1 ( 1) 1... 2 4 7 8 2 2 2( 1) n n n n n n nC C C C Cn n −− + − + + =+ + (ĐHQGHN-1997) 2.8.Sử dụng các công thức tính diện tích , thể tích : ►Tính diện tích hình phẳng: 2.8.1.Dạng 1:Diện tích giới hạn bởi một đường cong: 1.Bài toán: Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi : ( ) : ( ) : 0 ; C y f x Ox y x a x b =⎧⎪ =⎨⎪ = =⎩ 2. Công thức tính diện tích tổng quát : ( ) b a S f x dx= ∫ y O a b x f(x) S Hình 1 Hình 2 O a b x y f(x) S LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 82 3. Công thức khai triển của S: a) ( ) ( )= =∫ ∫b b a a S f x dx f x dx nếu ( ) 0f x ≥ ( hình 1) b) ( ) ( )= = −∫ ∫b b a a S f x dx f x dx nếu ( ) 0f x ≤ ( hình2) c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + = − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫c d b c d b a c d a c d S f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx (f(x) cắt trục Ox tại hai điểm c và d ) (hình 3). Ví dụ minh họa : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 2( ) : 2 4 6 : 0 2 ; 4 P y x x Ox y x x ⎧ = − −⎪ =⎨⎪ = − =⎩ Giải: Parabol (P) cắt Ox tại hai điểm x = -1 và x = 3 Cách 1: Lập bảng xét dấu : x 2 1 3 4− − f(x) 0 0+ − + Dựa vào bảng xét dấu ta có: 1 3 4 2 2 2 2 1 3 92(2 4 6) (2 4 6) (2 4 6) 3 S x x dx x x dx x x dx − − − = − − − − − + − − =∫ ∫ ∫ (đvdt) Cách 2: Vẽ đồ thị: x S1 S2 c a b S3 d O y f(x) Hình 3 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 83 Dựa vào đồ thị ta có: 1 3 4 2 2 2 2 1 3 92(2 4 6) (2 4 6) (2 4 6) 3 S x x dx x x dx x x dx − − − = − − − − − + − − =∫ ∫ ∫ (đvdt) Bài tập tương tự: Bài 1:Tính diện tích của miền kín giới hạn bởi đường cong: 2( ) : 1C y x x= + , trục Ox và đường thẳng x = 1 . Bài 2: Cho hàm ln , 0 ( ) 0 , 0 x x khi x f x khi x >⎧= ⎨ =⎩ , tính diện tích hình phẳng chắn bởi đồ thị hàm y = f(x) và đoạn [0;1]. 2.8.2.Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong và hai đường thẳng x = a ; x = b : 1.Bài toán: Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi : 1 2 ( ) : ( ) ( ) : ( ) ; C y f x C y g x x a x b =⎧⎪ =⎨⎪ = =⎩ 2. Công thức tính diện tích tổng quát : ( ) ( ) b a S f x g x dx= −∫ S1 S2 -1 -2 -8 S3 1 3 O y x O a b x y f(x) g(x) Hình 1 O a b x y g(x) f(x) Hình 2 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 84 3. Công thức khai triển của S: a) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))= − = −∫ ∫b b a a S f x g x dx f x g x dx nếu ( ) ( )f x g x≥ với mọi [ ; ]x a b∈ ( hình 1) b) ( )( ( ) ( )) ( ) ( )= − = −∫ ∫b b a a S f x g x dx g x f x dx nếu ( ) ( )f x g x≤ với mọi [ ; ]x a b∈ ( hình 2) c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( 3) = − + − = − + − = − + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ c b c b a c a c c b a c S f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx g x f x dx hình Ví dụ minh họa : Cho hàm số : 2 2 2y x x= − + có đồ thị là đường cong (P). Gọi (d) là tiếp tuyến với (P) tại điểm M(3,5). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P), (d) và trục Oy. Giải: ( Xem hình A) Ta có: ' 2 2y x= − . Hệ số góc của tiếp tuyến (d) tại M(3,5): ' 2.3 2 4My = − = Phương trình của (d): ( ) : ' ( ) ( ) : 5 4( 3) ( ) : 4 7M M Md y y y x x d y x d y x− = − ⇔ − = − ⇔ = − Diện tích phải tính là: 33 3 3 2 2 2 0 0 0 2 2 (4 7) ( 6 9) 3 9 9 3 xS x x x dx x x dx x x ⎡ ⎤⎡ ⎤= − + − − = − + = − + =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ (đvdt). Bài tập tương tự: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cho bởi phương trình: 0 ; 2 ; 3xx y y x= = = − (Học viện Công nghệ BCVT-1999) Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : 2 , 2( ) : 2 2 ; ( ) : 4 5 ; ( ) : 1C y x x C y x x D y= − + = + + = (ĐH thuỷ sản 2000) y x O a b c f(x) g(x) Hình 3 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 85 2.8.3.Dạng 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong tự cắt nhau khép kín: 1.Bài toán 1: Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi : 1 2 ( ) : ( ) ( ) : ( ) C y f x C y g x =⎧⎨ =⎩ Bước 1 :Giải phương trình: ( ) ( ) x a f x g x x b =⎡= ⇔ ⎢ =⎣ Bước 2: Sử dụng ( )( ) ( ) ( ) ( )b b a a S f x g x dx f x g x dx= − = −∫ ∫ 2 5 O y x 1 -7 (D) (P) M 3 Hình A y O x a b f(x) S g(x) LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 86 2.Bài toán 2: Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi : 1 2 3 ( ) : ( ) ( ) : ( ) ( ) : ( ) C y f x C y g x C y h x =⎧⎪ =⎨⎪ =⎩ Bước 1 :Giải các phương trình tìm hoành độ giao điểm: 1 2 2 3 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c C C a C C b C C = ∩⎧⎪ = ∩⎨⎪ = ∩⎩ Bước 2: Sử dụng ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) c b a c S f x h x dx g x h x dx= − + −∫ ∫ Chú ý : Cần phải điền “đvdt” vào kết quả cuối cùng trong các bài toán diện tích hình phẳng. Ví dụ minh họa: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong : 2 2; ( 0)ax y ay x a= = > Giải: Hoành độ giao điểm của 21( ) :P ax y= và 2 2( ) :P ay x= : 2 4 3 2 0 0 ax y x x a x x aay x ⎧ = =⎡⎪ ⇒ − = ⇒⎨ ⎢ ==⎪ ⎣⎩ Ta viết: 2 1 2 2 2 ( ) : , 0 ( ) : P ax y y ax x xP ay x y a ⎧ = ⇔ = ± ≥⎪⎨ = ⇔ =⎪⎩ Diện tích : 2 3 3 2 0 0 2 2 3 3 3 3 3 aa x a x a a aS ax dx x x a a a a a ⎡ ⎤⎛ ⎞= − = − = − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎣ ⎦∫ (đvdt) O A B C S x y a b c g(x) f(x) h(x) y a -a -a a O x (P1) (P2) LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 87 Bài tập tương tự: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol 2( ) : 2P y x= và đường tròn (C) tâm C bán kính 2 2R = . Bài 2: Tính S:{ }2 2 2 24 ; 2 0x y x y x+ = + + = Bài 3:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : 2 21 2( ) : 4 ; ( ) : 3 0C y x C x y= − − + = Bài 4:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 2 1 2 27( ) : ; ( ) : ; ( ) : 27 xP y x P y H y x ⎧ ⎫= = =⎨ ⎬⎩ ⎭ 2.8.4.Dạng 4: Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đường cong và đuờng cong (thẳng) và đường thẳng: Với S: 1 2 ( ) : ( ) ( ) : ( ) : C y f x C y g x y ax b =⎧⎪ =⎨⎪ ∆ = +⎩ Ví dụ minh họa: Tính S giới hạn bởi : 2( ) : 4 5P y x x= − + và 2 đường tiếp tuyến của (P) tại A(1,2) và B(4,5). Giải: Ta có: ' 2 4y x= − .Phương trình tiếp tại A(1,2): 1'(1)( 1) 2 (21 4)( 1) 2 2 4 ( )y y x x x d= − + = − − + = − + Phương trình tiếp tuyến tại B(4,5): 2'(4)( 4) 5 (24 4)( 4) 5 4 11 ( )y y x x x d= − + = − − + = − 2 1 5( ) ( ) : 4 11 2 4 6 15 2 d d x x x x∩ − = + ⇔ = ⇔ = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = − + − − + + − + − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ 5 42 2 2 1 2 51 2 ( 4 5) ( 2 4) ( 4 5) (4 11)S S S x x x dx x x x dx ∆ S f(x) G(x) O y x LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 88 = − + + − + = − − + − −∫ ∫ ∫ ∫ 5 5 4 42 2 2 2 2 2 5 51 1 2 2 ( 2 1) ( 8 16) ( 1) ( 1) ( 4) ( 4)x x dx x x dx x d x x d x ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − ⎢ ⎥= + = − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 3 33 35 4( 1) ( 4) 1 5 5 91 42 53 3 3 2 2 41 2 x x Bài tập tương tự: Tính S:{ }2( ) : 4 3 ( ) : 3P y x x D y x= − + = + ►Tính thể tích khối tròn xoay: 2.8.5.Dạng 5: Thể tích Vx sinh ra bởi diện tích S quay xung quanh Ox: Với 1 2 ( ) : ( ) : 0 : : : C y f x Ox y S x a x b =⎧⎪ =⎪⎨∆ =⎪⎪∆ =⎩ Công thức thể tích : 2 ( ) b x a V f x dxπ= ∫ O 2 4 5/2 1 4 2 5 x y 1 (P) (d1) (d2) O x y a b (C) S LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 89 Ví dụ minh họa: Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường ln , 0 , 1 ,y x y x x e= = = = . Giải: Ta có : ln 0y x x= ≥ , với mọi [1, ]x e∈ Thể tích vật thể tròn xoay là : 2 2 2 1 1 ( ) lnπ π= =∫ ∫e eV f x dx x xdx Đặt: 2 32 2 ln ln 3 xdxduu x x xdv x dx v ⎧ =⎪⎧ =⎪ ⎪⇒⎨ ⎨=⎪⎩ ⎪ =⎪⎩ Ta có : 3 3 2 2 2 1 11 2 2ln ln ln 3 3 3 3 e e ex eV x x xdx x xdxπ π ππ ⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ∫ Đặt: 2 3 ln 3 dxduu x x dv x dx xv ⎧ =⎪=⎧ ⎪⇒⎨ ⎨=⎩ ⎪ =⎪⎩ Tacó: 3 3 3 3 3 3 3 2 11 1 2 2 2 2 2 2ln 3 3 3 9 3 9 9 3 9 27 27 e eee x e e x e eV x x dxπ π π π π π π π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + = − + = + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ( )35 2 27 V eπ= − (đvtt) O x y 1 e 1 e e 1 e − LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 90 Bài tập tương tự: Tính Vx sinh ra bởi S: ( ) : : 0 1 xC y xe Ox y x ⎧ =⎪ =⎨⎪ =⎩ quay quanh trục Ox. 2.8.6.Dạng 6: Thể tích Vx sinh ra bởi diện tích S quay xung quanh Ox: Với 1 2 1 2 ( ) : ( ) ( ) : ( ) : 0 ( ) ( ) : : C y f x C y g x S g x f x x a x b =⎧⎪ =⎪⎪ ≤ ≤⎨⎪∆ =⎪∆ =⎪⎩ Công thức tính thể tích : 2 2( ) ( ) b x a V f x g x dxπ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦∫ Bài tập áp dụng: Cho S: 2 1 3 4 1( ) : 1 1( ) : 2 1 1: ; : 2 2 C y x y x x ⎧ =⎪ +⎪⎪ ∆ =⎨⎪⎪∆ = − ∆ =⎪⎩ Tính Vx sinh ra S quay quanh trục Ox. 2.8.7.Dạng 7: Thể tích Vx sinh ra bởi diện tích S quay xung quanh Ox: Với 1 2 ( ) : ( ) : ( ) : ( ) C y f x S C y g x =⎧⎨ =⎩ Bước 1 :Giải phương trình: ( ) ( ) x a f x g x x b =⎡= ⇔ ⎢ =⎣ Bước 2: Giả sử 0 ( ) ( )g x f x≤ ≤ với mọi [ ; ]x a b∈ .Khi đó: Công thức tính thể tích : 2 2( ) ( ) b x a V f x g x dxπ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦∫ Ví dụ minh họa: y O x a b S (C1) (C2) LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 91 Cho S: { }2 21 2( ) : 4 ; ( ) : 2P y x P y x= − = + .Tính Vx khi S quay quanh Ox. Giải: 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) : 4 2 1 1 x P P x x x x =⎡∩ − = + ⇔ = ⇔ ⎢ = −⎣ Vậy: Thể tích 1 1 3 2 2 2 2 2 0 0 1 2 (4 ) ( 2) 24 (1 ) 24 16 03 xV x x dx x dx xπ π π π⎛ ⎞⎡ ⎤= − − + = − = − =⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ ∫ Bài tập tương tự: Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường 2( 2)y x= − và y = 4 . Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra hình phẳng (D) khi nó quay quanh : a) Trục Ox b) Trục Oy 2.8.8.Dạng 8: Thể tích Vx sinh ra bởi diện tích S với S được tạo bởi đường cong bậc hai ( , ) 0f x y = quay xung quanh Ox: Bước 1: Tách đường cong bậc hai ( , ) 0f x y = thành 1 1 2 2 ( ) : ( ) ( ) : ( ) C y f x C y f x =⎧⎨ =⎩ x (P1) (P2) y -1 2 -2 1 2 4 O 3 O x y a b (C1) (C2) LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 92 Và giả sử : 2 10 ( ) ( )f x f x≤ ≤ Bước 2:Xác định cận x = a , x = b .Khi đó: Công thức tính thể tích : 2 21 2( ) ( ) b x a V f x f x dxπ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦∫ Bài tập áp dụng: Tính thể tích khối tròn xoay gây nên bởi hình tròn 2 2 2( ) (0 )x y b a a b+ − ≤ < ≤ quay quanh trục Ox. 2.8.9.Dạng 9: Thể tích Vy sinh ra bởi diện tích S của một đồ thị quay xung quanh Oy: Với 1 2 ( ) : ( ) : 0 : : ( ) : ( ) C y f x Oy x S y f a y f b =⎧⎪ =⎪⎨∆ =⎪⎪∆ =⎩ Bước 1: 1( ) ( )y f x x f y−= ⇔ = Bước 2:Công thức tính thể tích : ( ) 21 ( ) ( ) f b y f a V f y dyπ −⎡ ⎤= ⎣ ⎦∫ Bài tập áp dụng: Cho S: 2 1 2 ( ) : ( 0) : 0 : 1 ; : 4 P y x x Oy x y y ⎧ = >⎪ =⎨⎪∆ = ∆ =⎩ Tìm Vy khi S quay quanh Oy. 2.8.10.Dạng 10: Thể tích Vy sinh ra bởi diện tích S của một đồ thị quay xung quanh Oy: O x y a b f(b) f(a) (C) LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 93 Với 1 2 1 2 ( ) : ( ) ( ) : ( ) : : ( ) ( ) : ( ) ( ) C y f x C y g x S y f a g m y f b g n =⎧⎪ =⎪⎨∆ = =⎪⎪∆ = =⎩ Bước 1: 1 1 1 2 ( ) : ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) C y f x x f y C y g x x g y − − ⎧ = ⇔ =⎪⎨ = ⇔ =⎪⎩ Bước 2: Giả sử 1 10 ( ) ( )g y f y− −≤ ≤ . Công thức tính thể tích : ( )( ) 2 21 1 ( ) ( ) ( ) f b y f a V f y g y dyπ − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ Bài tập áp dụng: Cho D là miền kín giới hạn bởi các đường: , 2y x y x= = − và y = 0. Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi ta quay D quay trục Oy. O x y (C1) (C2) f(a) f(b) m a n b LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 94 CHƯƠNG IV: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM I.MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM: Kiểm tra tính khả thi của việc dạy học chủ đề nguyên hàm –tích phân theo các phương pháp đã nêu ở chương III. Tìm kiếm phương pháp dạy học có thể nâng cao hoạt động nhân thức, từ đó phát triển tư duy thuật toán cho HS thông qua việc dạy học các yếu tố và giải các bài tập về chủ đề nguyên hàm- tích phân. II.NỘI DUNG THỰC NGHIỆM: Vì nhiều lý do nên chúng tôi chỉ có thể tiến hành thực nghiệm trên một phần nhỏ trong toàn bộ nội dung của luận văn. Tuy nhiên, chúng tôi đã lựa chọn phần dạy học luyện tập giải các bài tập tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần .Đây là dạng bài tập phổ biến và chủ yếu của chủ đề nguyên hàm –tích phân. III.TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM: Đối tượng được chọn một cách ngẫu nhiên là HS lóp 12A3 Trường THPT BÌNH MỸ . Trình độ chung của HS ở mức trung bình – khá. Đã soạn và giảng dạy một tiết cho bài luyện tập về tích phân từng phần có phiếu học tập cho HS ( kèm theo trong phần phụ lục). Giáo án được xây dựng trên cơ sở lựa chọn những bài tập điển hình nhất trong việc nhận thức, phát triển và rèn luyện tư duy cho HS. Trong quá trình giảng dạy, đã đưa ra các phương pháp cho mỗi dạng bài tập và cố gắng xây dựng bộ câu hỏi hướng dẫn để HS tiếp thu bài và nhận thức một cách tự nhiên. Sau tiết dạy, tiến hành cho HS làm bài kiểm tra 20 phút để kiểm tra lại mức độ tiếp thu của HS. IV.PHÂN TÍCH ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM: 1.Nội Dung Kiểm Tra: Trong bài “Luyện tập tích phân từng phần”, đề kiểm tra gồm 3 bài toán là: 1) ( ) π = +∫2 2 0 1 sinI x xdx 2) = ∫ 2 2 1 ln e J x xdx 3) π = ∫2 2 0 s in3xdxxK e Đây là 3 bài toán đã được lựa chọn tương ứng với 3 dạng toán đã nêu trong bài giảng (dạng 1, dạng 2, dạng 3). Các bài toán này tương tự như các ví dụ trong bài giảng nhưng cũng đòi hỏi HS có mức độ tư duy nhận thức cao hơn. HS phải sử dụng cùng một phương pháp tính tích phân nhiều lần liên tiếp mới ra được kết quả. Dùng bài 1 và bài 2 để kiểm tra tính linh hoạt của HS trong việc áp dụng phương pháp tính tích phân . LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 95 2.Phân Tích Định Tính: HS có thái độ học tập nghiêm túc, thấy được sự bổ ích và quan trọng của tiết học, tích cực tham gia xây dựng bài. Bài kiểm tra thực nghiệm đựơc thực hiện một cách nghiêm túc, trug thực. Các em hiểu và nắm vững các phương pháp tính tích phân cho từng dạng bài tập hiểu biết thêm nhiều dạng bài tập về nguyên hàm – tích phân và vận dụng tốt để làm các bài tập tương tự. Có khả năng trình bày lời giải hợp lý, biết cách phối hợp các dạng toán khác nhau để hoàn thành những bài tập phức tạp hơn. 3. Phân Tích Định Lượng: Điểm số bài kiểm tra đánh giá được trình bày trong bảng dưới đây (tổng số 36 bài) Điểm số Số lượng bài Tỷ lệ phần trăm 0 0 0% 1 0 0% 2 0 0% 3 1 2.8% 4 3 8.3% 5 6 16.7% 6 7 19.4% 7 6 16.7% 8 5 13.9% 9 5 13.9% 10 3 8.3% 4. Kết Luận Thực Nghiệm: Dựa vào kết quả thực nghiệm có thể thấy rõ việc đưa vào bài dạy các phương pháp giải toán có tác dụng khá lớn trong vấn đề nhận thức của HS thông qua dạy học chủ đề nguyên hàm – tích phân. Cần hướng dẫn cho HS cách tính tích phân nhanh, gọn , chính xác qua việc giải các bài tập. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 96 PHẦN KẾT LUẬN I.NHỮNG KẾT QUẢ THU ĐƯỢC TỪ VIỆC NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI: ►Làm rõ được các khái niệm liên quan đến học tập, phát triển, nhận thức của HS như: đặc điểm hoạt động học tập, đặc điểm của sự phát triển trí tuệ, quan hệ giữa dạy học và phát triển trí tuệ, mô hình nhận thức hoạt động toán học,.. ►Phân tích kỹ SGK để nhận thấy rõ mục đích và hiệu quả của cách trình bày của SGK trong việc nhận thức của HS THPT thông qua dạy học các yếu tố giải tích về nguyên hàm-tích phân. ►Phân loại tương đối đầy đủ các kiến thức, phương pháp sử dụng cho các dạng toán chủ đề nguyên hàm – tích phân.Mỗi phần đều có những kiến thức cần dùng, phương pháp vận dụng các kiến thức đó cho từng dạng toán cụ thể, có các ví dụ minh hoạ và hệ thống các bài tập tương tự. ►Kết quả tiết dạy thực nghiệm cho thấy tính khả thi của các phương pháp đã nêu. ►Các kết quả nghiên cứu có thể dùng làm tài liệu tham khảo bổ ích trong việc dạy và học chủ đề về nguyên hàm – tích phân. II.NHỮNG HẠN CHẾ CỦA LUẬN VĂN: ♦Do thời gian hạn hẹp nên không thể tiến hành thực nghiệm với nội dung phong phú và đầy đủ hơn. ♦Nội dung luận văn chưa thực sự đầy đủ, chưa đưa ra nhiều phương pháp và cách giải khác nhau của bài toán. Mong rằng các đọc giả có thể bổ sung thêm một số nội dung mới và bổ ích. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 97 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Đỗ Thanh Sơn: Tuyển tập các bài toán chọn lọc Đại số và Giải tích 12, NXB TPHCM. 2) Hà Văn Chương - Phạm Hồng Danh: Giới thiệu đề thi tuyển sinh Đại Học và Cao Đẳng môn toán (từ năm 2002 đến năm 2005),NXB tổng hợp TPHCM. 3) Hoàng Chúng: Logic học Phổ thông , NXB giáo dục 1994. 4) Huỳnh Công Thái (biên soạn): Giải toán chuyên đsề tích phân 12 , NXB Đại học quốc gia TPHCM- 2003. 5) Nguyễn Bá Kim- Vũ Dương Thụy - Phạm Văn Kiều: Phát triển Lí luận dạy học môn toán (tập 1: NCKH giáo dục ), NXBGD. 6) Nguyễn Phụ Hy (chủ biên)- Nguyễn thị Trang – Trần Trọng Nguyên: Giảng dạy tích phân trong chương trình toán 12, NXBGD. 7) Nguyễn Thiết : tài liệu phương pháp giảng dạy Đại số. 8) Nguyễn Văn Mậu: Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT, Một số vấn đề chọn lọc về tích phân, NXBGD. 9) Phạm Gia Đức - Phạm Đức Quang: Giáo trình đổi mới PPDH môn toán ở trường THCS nhằm hình thành và phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh, NXB Đại học sư phạm. 10) Ths Đỗ Văn Thông: Phương pháp nghiên cứu khoa học giáo dục, An Giang 2005. 11) Ths Đỗ Văn Thông: Tâm lí học lứa tuổi và sư phạm , An Giang 2004 12) Ths Nguyễn Thị Cúc: Giáo dục học 2 ( lí luận dạy học – lí luận giáo dục) , An Giang 2005. 13) Ths Nguyễn Văn Vĩnh: Phát triển tư duy cho học sinh qua môn toán ( tài liệu bồi dưỡng thường xuyên chu kỳ III (2004-2007)). 14) Trần Đức Huyên thạc sĩ toán học, GV trường chuyên Lê Hồng Phong: Phương pháp giải đề thi tuyển sinh Đại Học Môn Toán , NXB trẻ. 15) Trương Tiếu Hoàng – Lê Đức Phúc - Trần Phúc - Nguyễn Kim Phượng - Trịnh Văn Tuấn - Nguyễn Mậu Anh Tuấn ( Nhóm GV chuyên toán các trường PTTH TPHCM): Phân loại và phương pháp giải toán tích phân, NXB trẻ -2001 16) Trần Văn Hạo ( tổng chủ biên)- Vũ Tuấn ( chủ biên)-Lê Thị Thiên Hương - Nguyễn Tiến Tài - Cấn Văn Tuất: Sách giáo khoa thí điểm Giải tích 12 ban tự nhiên. Cùng với sách giáo viên thí điểm Giải tích 12 ban tự nhiên. 17) TS.Vũ Thế Hựu: phương pháp giải toán giải tích 12 , NXBTPHCM. 18) Vương Vĩnh Phát: tài liệu lý luận dạy học môn toán. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐHAG - Chuyên nghành PPGD MÔN TOÁN Sinh viên: Dương Thị Bích Hạnh GVHD : TS Lê Văn Phúc 98 PHỤ LỤC GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 1 Trường THPT BÌNH MỸ Đề Kiểm Tra Thực Nghiệm Lớp: 12A3 Về Nguyên Hàm- Tích Phân Lớp 12 Họ và Tên : ............................... Thời gian: 20 phút ه Đề: Tính các tích phân sau: Bài 1: ( )2 2 0 1 sinI x xdx π = +∫ Bài 2: 2 2 1 ln e J x xdx= ∫ Bài 3: 2 2 0 sin3xdxxK e π = ∫ Bài làm: ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 2 ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 1 Trường THPT BÌNH MỸ GIÁO ÁN Tổ Toán – Tin Tên bài: Luyện Tập Tích Phân Từng Phần Số tiết: 1 Lớp thực nghiệm: 12A3 SVTH: Dương Thị Bích Hạnh MSSV:DTN040582 GVHD: Trần Công Tư Ngày 28 tháng 04 năm 2008 I.Mục Đích Và Yêu Cầu: 1.Về kiến thức: Học sinh xác định được một số dạng toán cơ bản phải sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Đó là tính tích phân khi hàm số dưới dấu tích phân là tích của hàm đa thức và hàm lượng giác, đa thức và hàm số mũ, đa thức và logarit, hàm số mũ và lượng giác. Nắm vững phương pháp đặt u và dv cho các trường hợp trên. Tính toán thành thạo tích phân của các hàm số đơn giản. 2.Về kỹ năng: Rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng tính đạo hàm và sử dụng bảng công thức nguyên hàm. 3.Về tư duy: Rèn luyện hoạt động nhận thức, tư duy thuật toán, tư duy tính toán. 4.Vế thái độ: Học sinh chú ý nghe giảng, không hiểu hỏi ngay. Hiểu được tầm quan trọng của bài học, có thái độ học tập nghiêm túc. Tích cực tham gia xây dựng bài. II.Đối Tượng Học Sinh: Trung bình – Khá. III.Phương Pháp: Thuyết trình kết hợp với vấn đáp gợi mở. IV.Công Việc Chuẩn Bị: Giáo viên: Tham khảo tài liệu: SGK Giải tích lớp 12 chương trình chưa cải cách, SGK Giải tích lớp 12 thí điểm, các tài liệu khác về chủ đề nguyên hàm- tích phân. Soạn giáo án. Làm phiếu học tập. Học sinh: Xem lại bài các phương pháp tính tích phân. V.Tiến Trình Lên Lớp: 1.Ổn định lớp: 5 phút 2.Nội dung tiết học: 2 Hoạt động 1:Nhắc lại định lý về phương pháp tích phân từng phần: Phân bố thời gian Nội dung ghi trên bảng Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh 05 phút Ghi tựa bài ở giữa bảng: Luyện Tập Tích Phân Từng Phần. = −∫ ∫b b a a b udv uv vdu a , Trong đó u = u(x) , v = v(x). GV: Đối với một bài toán tính tích phân, các em suy nghĩ xem thường là hàm số dưới dấu tích phân như thế nào mà chúng ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần? HS: ?? GV:khi hàm số dưới dấu tích phân là tích của hai loại hàm số hoàn toàn khác nhau. Ví dụ như tích của hàm đa thức và hàm lượng giác; đa thức và hàm số mũ; đa thức và logarit; hàm số mũ và lượng giác thường trong những trường hợp trên chúng ta không thể áp dụng phép đổi biến số mà chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp rất phổ biến và đặc biệt quan trọng trong tích phân là tích phân từng phần. GV: Gọi một học sinh lên bảng viết lại công thức tính tích phân từng phần. HS: Học sinh nhớ lại công thức tính tích phân từng phần. GV: Trong đó u, v là hai hàm số theo biến x và hai hàm số này có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b]. Sau đây cô sẽ giới thiệu cho các em một số dạng toán cơ bản phải sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Phát phiếu học tập cho học sinh. Hoạt động 2: Phương pháp tích phân từng phần (cách đặt u, v cho từng dạng toán cụ thể): Phân bố thời gian Nội dung ghi trên bảng Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh GV: Khi tính tích phân từng phần ta phải đặt u là một hàm số nào đó dưới dấu tích phân, phần 3 10 phút 1.Dạng 1: Hàm số dưới dấu tích phân là tích của hàm đa thức và hàm lượng giác; đa thức và hàm số mũ: Tính: ( )f x dx∫ Với sin( ) cos( ) ( ) ( ). ax b ax b ax b ax b f x P x e m + + +⎡⎢ +⎢= ⎢⎢⎢⎣ Phương pháp: Đặt u = P(x) dv phần còn lại. Chẳng hạn: ( )f x dx∫ = ( ).sin( )P x ax b dx+∫ Đặt: ( ) sin( ) u P x dv ax b dx =⎧⎨ = +⎩ '( ) 1 cos( ) du P x dx v ax b a =⎧⎪⇒ ⎨ =− +⎪⎩ Ví dụ : Tính 2 2 0 cosI x xdx π = ∫ Giải: còn lại sẽ là gì? HS: Phần còn lại là dv. GV: Phần còn lại là dv, tiếp theo chúng ta làm gì? HS: ?? GV: Tiếp theo chúng ta tính du bằng cách lấy đạo hàm u và nhân với dx, tính v bằng cách lấy nguyên hàm của dv. Sau đó ta áp dụng công thức tích phân từng phần. Việc đặt u và dv có phải là chúng ta đặt tùy ý không? HS: Không GV: Không, việc chọn u và dv phải thích hợp, khéo léo sao cho dv đơn giản và dễ tính được v từ dv. GV: Nhìn vào phiếu học tập, chúng có dạng 1:Hàm số dưới dấu tích phân là tích của hàm đa thức và hàm lượng giác; đa thức và hàm số mũ: P(x) là một hàm đa thức theo biến x , cách đặt u và dv như thế nào? HS: Đặt: u = P(x) dv phần còn lại. GV: Mục đích của việc đặt u = P(x) là nhằm hạ bậc của P(x). Chẳng hạn: ( )f x dx∫ = ( ).sin( )P x ax b dx+∫ Chúng ta đặt u và dv như thế nào? Tính du và v? Gọi 1 học sinh lên bảng ghi phương pháp. HS: tự rút ra phương pháp. GV:Nêu các ví dụ minh họa trong phiếu học tập của dạng 1. Cho học sinh giải ví dụ 1. Ở ví dụ 1 các em nên đặt ngay u =x Và dv = cos2xdx không? HS: không GV: không nên, vì chúng ta tìm v sẽ khó. Do đó trước hết chúng ta cần biến đổi hàm số dưới dấu tích phân, chúng ta sử dụng công thức hạ bậc của cos2x. cos2x = ? 4 10 phút ( )2 22 0 0 1cos 1 cos2 2 I x xdx x x dx π π = = +∫ ∫ 2 2 0 1 1 cos22 4 20 x x xdx ππ = + ∫ 2 2 0 1 cos2 16 2 x xdx π π= + ∫ Tính: 2 1 0 1 cos2 2 I x xdx π = ∫ Đặt: 1cos2 sin2x 2 du dxu x dv xdx v =⎧=⎧ ⎪⇒⎨ ⎨= =⎩ ⎪⎩ Do đó: 2 1 0 1 1 1sin2x sin2xdx2 2 2 20 1 1 1 1cos2x 2 8 8 8 40 I x ππ π ⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ = = − − = − ∫ Vậy: I = 2 16 π + I1 = 2 16 π 1 4 − 2.Dạng 2:Hàm số dưới dấu tích phân là tích của hàm đa thức và logarit, arcsinu, arccosu, arctanu: Tính: ( )f x dx∫ Với ln log ( ) ( ). arcsin arccos arctan u a u f x P x u u u ⎡⎢⎢⎢= ⎢⎢⎢⎣ Phương pháp: HS: 2 1+cos2x cos x = 2 GV: Gọi 1 học sinh lên bảng giải ví dụ 1. HS: Giải ví dụ 1 GV: nhận xét và sửa bài giải của học sinh. Như vậy đối với hàm số dưới dấu tích phân ở dạng 1 thì chúng ta đặt u là hàm đa thức và dv là phần còn lại. GV: Ở dạng 2 P(x) là một hàm đa thức theo biến x , cách đặt u và dv như thế nào? HS: Đặt: dv = P(x)dx , u là phần còn lại. GV: Vì nếu chúng ta đặt ngược lại thì sẽ không tính được v là nguyên hàm của ln ,log ,uau arcsinu ,arccos ,arctanu u . Trong nhiều trường hợp việc sử dụng tích phân từng phần sẽ khử bớt hàm số dưới dấu tích phân và cuối cùng chỉ còn lại một hàm số duy nhất. 5 10 phút Đặt: u = ln log arcsin arccos arctan u a u u u u ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ và dv = P(x)dx Chẳng hạn: ( )f x dx∫ = ( ).ln( )P x ax b dx+∫ Đặt: ln( ) ( ) ( ) adu dxu ax b ax b dv P x dx v P x dx ⎧ == +⎧ ⎪ +⇒⎨ ⎨=⎩ ⎪ =⎩ ∫ Ví dụ: Tính 2 5 1 ln xdxI x = ∫ Giải: Đặt: 5 4 ln 1 4 dxu x du x dxdv vx x ⎧= =⎧ ⎪⎪ ⎪⇒⎨ ⎨=⎪ ⎪ = −⎩ ⎪⎩ Do đó: 2 4 5 1 4 2ln 1 14 4 2ln2 1 1 164 16 ln2 1 1 1 64 16 16 15 ln2 256 64 x dxI x x x ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦ = − − ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠ = − ∫ 3.Dạng 3:Tích phân luân hồi: Ví dụ minh họa: Tính: 1 cos(ln ) e I x dx π = ∫ Giải: Đặt: =⎧⎨ =⎩ cos(ln )u x dv dx Chẳng hạn: ( )f x dx∫ = ( ).ln( )P x ax b dx+∫ Chúng ta đặt u và dv như thế nào? Tính u và dv? Gọi 1 học sinh lên bảng ghi phương pháp. HS: tự rút ra phương pháp. GV:Các ví dụ minh họa của dạng 2 Bài 3: sử dụng công thức ( ) 21arctan ' 1x x= + Bài 4:sử dụng công thức ( )2 2 2arcsinarcsin ' 1 xx x = − Cho học sinh giải ví dụ 1. Gọi 1 học sinh lên bảng giải ví dụ. HS: Giải ví dụ GV:nhận xét và sửa bài giải của học sinh. Cũng có nhiều trường hợp sau khi áp dụng phương pháp tích phân từng phần nhiều lần thì sẽ quay lại đúng tích phân ban đầu, ta gọi đó là tích phân luân hồi. Các ví dụ minh họa trong phiếu học tập. Ví dụ 1 có thể đặt u và dv như thế nào? HS: Đặt: cos(ln )u x dv dx =⎧⎨ =⎩ GV: Đây là cách đặt duy nhất cho dạng bài mà dưới dấu tích phân chỉ có một hàm số. 6 ⎧ = −⎪⇒ ⎨⎪ =⎩ 1 sin(ln )du x dx x v x Do đó: [ ] 1 1 1cos(ln ) . sin(ln ) 1 1 sin(ln ) e e e I x x x x dx x e x dx π π π π = + = − − + ∫ ∫ Tính: 1 1 sin(ln ) e I x dx π = ∫ Đặt: 1sin(ln ) cos(ln )u x du x dx x dv dx v x ⎧= =⎧ ⎪⇒⎨ ⎨=⎩ ⎪ =⎩ Do đó: [ ]1 1 1 1sin(ln ) . cos(ln ) 1 cos(ln ) e e e I x x x x dx x x dx I π π π = − = − = − ∫ ∫ Vậy: 11 1 2 1 1 2 I e I e I hay I e eI π π π π = − − + = − − − = − − − −= 4.Dạng 4: Các bài toán tổng hợp 5.Dạng 5:Tích phân truy hồi. Các ví dụ còn lại có hướng dẫn trong phiếu học tập. Cho học sinh giải ví dụ minh họa Gọi học sinh lên bảng giải ví dụ 1, các học sinh khác tự làm và nhận xét bài giải trên bảnb. HS: Giải ví dụ GV:Sửa bài giải của học sinh. Dạng 4: Các bài toán tổng hợp Dạng 5:Tích phân truy hồi. Hai dạng toán này có ví dụ minh họa và bài tập tương tự trong phiếu học tập cho các em tham khảo và tìm hiểu thêm. Đối với các bài toán tổng hợp ta cần phải khéo léo trong biến đổi, việc đặt u và dv sao cho thích hợp để tính được v từ dv. Tích phân truy hồi áp dụng các kiến thức về phép quy nạp và phương pháp tích phân từng phần. Cho học sinh tự tìm hiểu ví dụ minh họa trong phiếu học tập. VI.Củng Cố Và Dặn Dò: 5 phút Nhấn mạnh: Nếu hàm số dưới dấu tích phân là tích của hàm đa thức và hàm lượng giác hoặc hàm số mũ thì đặt u là hàm đa thức và dv là phần còn lại với mục đích là hạ bậc hàm đa thức và dễ dàng tính nguyên hàm của dv. Nếu hàm số dưới dấu tích phân ở dạng 2 thì đặt u là hàm logarit và dv là phần còn lại. Nếu hàm số dưới dấu tích phân là tích 7 của 2 trong 3 loại hàm số mũ, logarit, lượng giác thì phải tính tích phân theo kiểu luân hồi. Nói tóm lại mục đích mà ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần là làm cho hàm số dưới dấu tích phân trở nên đơn giản hơn, và ta có thể tính được tích phân, cách đặt u và dv sao cho dễ tính được v bằng cách lấy nguyên hàm của dv. Các em về nhà làm các bài tập còn lại trong phiếu học tập, giúp cho các em giải các bài toán về tích phân tốt hơn. Ngày soạn : 24/04/2008 GVHD Duyệt Người soạn: TRẦN CÔNG TƯ DƯƠNG THỊ BÍCH HẠNH Nhận xét- đánh giá của GVHD: .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... .......................................................................................................................................... Bình Mỹ, Ngày 28/04/2008 GVHD TRẦN CÔNG TƯ Xác nhận của tổ trưởng tổ toán: Ký tên: TRẦN CÔNG TƯ Xác nhận của hiệu trưởng Trường THPT BÌNH MỸ: ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... Bình Mỹ, Ngày 28/04/2008. Ký tên: PHIẾU HỌC TẬP Một số dạng toán cơ bản sử dụng phương pháp tích phân từng phần: 1.Dạng 1: Hàm số dưới dấu tích phân là tích của hàm đa thức và hàm lượng giác; đa thức và hàm số mũ: Tính: ( )f x dx∫ Với sin( ) cos( ) ( ) ( ). ax b ax b ax b ax b f x P x e m + + +⎡⎢ +⎢= ⎢⎢⎢⎣ Phương pháp: Đặt u = P(x) ; dv phần còn lại. Chẳng hạn: ( )f x dx∫ = ( ).sin( )P x ax b dx+∫ Đặt: =⎧=⎧ ⎪⇒⎨ ⎨= + =− +⎩ ⎪⎩ '( )( ) 1sin( ) cos( ) du P x dxu P x dv ax b dx v ax b a Ví dụ áp dụng: Tính các tích phân sau: 1. 2 2 0 cosI x xdx π = ∫ 2. 1 1 2xJ x dx − = ∫ 3. ( )1 2 2 0 1 xK x e dx= +∫ 2.Dạng 2:Hàm số dưới dấu tích phân là tích của hàm đa thức và logarit, arcsinu, arccosu, arctanu: Tính: ( )f x dx∫ Với ln log ( ) ( ). arcsin arccos arctan u a u f x P x u u u ⎡⎢⎢⎢= ⎢⎢⎢⎣ Phương pháp: Đặt: u = ln log arcsin arccos arctan u a u u u u ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ và dv = P(x)dx Chẳng hạn: ( )f x dx∫ = ( ).ln( )P x ax b dx+∫ Đặt: ⎧ == +⎧ ⎪ +⇒⎨ ⎨=⎩ ⎪ =⎩ ∫ ln( ) ( ) ( ) adu dxu ax b ax b dv P x dx v P x dx Ví dụ áp dụng: Tính các tích phân sau: 1. 2 5 1 ln xdxI x = ∫ 2. ( )21 e lnxdx 1+x e J = ∫ 3. ( )3 2 0 1arctan arctan ' 1 K x xdx x x ⎛ ⎞= =⎜ ⎟+⎝ ⎠∫ 4. ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 0 1 2arcsinarcsin arcsin ' , arcsin ' 1 1 xM xdx x x x x ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟− −⎝ ⎠∫ 3.Dạng 3:Tích phân luân hồi: Ví dụ minh họa: Tính các tích phân sau: 1. 1 cos(ln ) e I x dx π = ∫ 2. 2 0 sin2xdxxL e π = ∫ (HD: Đặt: sin2xdx xu e dv ⎧ =⎨ =⎩ ) 3. 2 0 2 cos4xN xdx π = ∫ (HD: Đặt: =⎧⎨ =⎩ cos4 2x u x dv dx ) 4. 2 0 sin x xP dx e π = ∫ (HD: sử dụng công thức biến đổi 1-cos2xsin2x= 2 , sau đó Đặt: cos2 x u x dv e dx− =⎧⎨ =⎩ ) 4.Dạng 4: Các bài toán tổng hợp Ví dụ minh họa: 1. 2 2 sin 3 0 sin cosxI e x xdx π = ∫ Hướng dẫn: ( ) 2 2 2 2 2 sin 2 sin 2 0 0 2 sin 0 1 12sin cos cos sin2 cos 2 2 1 sin2 1 cos2 4 x x x I e x x xdx e x xdx e x x dx π π π = = = + ∫ ∫ ∫ Đặt: 2 2sin sin 1 cos2 2sin2xdx sin2xx x u x du dv e dx v e = + = −⎧ ⎧⎪ ⎪⇒⎨ ⎨= =⎪ ⎪⎩ ⎩ (vì ( )2 2 2sin sin sin' 2sin cos sin2xx x xe x xe e= = ) Sau đó kết hợp với phương pháp đối biến số. 2. ( ) 1 2 0 11 1 xJ x dx x −= + +∫ Hướng dẫn: Đặt: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 dx 1 1 11 11 1 2 xduxu x xx dv x dx v x ⎧ −⎧ =− ⎪= +⎪ ⎪ +⇒+⎨ ⎨⎪ ⎪= + = +⎩ ⎪⎩ (Tương tự như ví dụ trên ta cũng kết hợp thêm phương pháp đối biến số). 5.Dạng 5:Tích phân truy hồi. Ví dụ minh họa: 1.Cho 1 0 1 ,nnI x xdx x N= − ∈∫ . Chứng minh rằng: 1 2 22 5n nnI In+ += + Giải: Ta có: 1 1 1 0 1nnI x xdx + + = −∫ Đặt: ( ) ( ) 1 1 2 1 11 3 n n du n x dxu x v x xdv xdx + ⎧ = +⎧ =⎪ ⎪⇒⎨ ⎨ = − − −= −⎪ ⎪⎩ ⎩ Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 12 21 1 . 1 1 1 03 3 2 21 1 1 1 3 3 2 21 1 3 3 : 2 5 2 1 n n n n n n n n n n I x x x n x x xdx n x xdx n x xdx I n I n I hay n I n I + + + + + + ⎡ ⎤= − − − + + − −⎢ ⎥⎣ ⎦ = + − − + − = + − + + = + ∫ ∫ ∫ Vậy: 1 2 2 2 5n n nI I n+ += + Bài tập tương tự : 2.Cho lnnnI xdx= ∫ . Tìm hệ thức liên hệ giữa In , In-1 và từ đó tìm I5 (HD: Đặt: lnnu x dv dx ⎧ =⎨ =⎩ , Hệ thức liên hệ là: 1 ln n n nI nI x x−+ = ) 3.Cho n xnI x e dx= ∫ . Tìm hệ thức liên hệ giữa In , In-1 và từ đó tìm I5 (HD: Đặt: n x u x dv e dx ⎧ =⎪⎨ =⎪⎩ , Hệ thức liên hệ là: 1 n x n nI nI x e−+ = ).