Đề thi cuối kỳ học kỳ I năm học 2015 - 2016 môn: Hàm biến phức và phép biến đổi laplace - Mã môn học: Math 121201

Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (14/1/2016) Đề thi gồm 3 trang Được phép sử dụng tài liệu M ã đề: 0001-0014-0001-2016-314116-0001 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (chọn 1 trong các câu A, B, C, D rồi điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM ở trang 6) Câu 1 Khẳng định nào sau đây sai? A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z. B) Phương trình ez vô nghiệm. ie π3.2016 −= C) Cho hai số phức khác 0 là z1 = r1 1 ϕi e , z2 = r2 2 ϕi e . Khi đó : z1 = z2 ⇔ ⎩⎨ ⎧ ±= = πϕϕ k rr 212 21 D) n)]isin[r(cos ϕ = nϕ m r (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z. Câu 2 Phần thực và phần ảo của hàm phức = là: ),(),()( yxivyxuzf += zei i i 35 21 31 +−− + A) , yeyxu x 3cos1),( 3+−= yeyxv x 3sin),( 3= B) , yeyxu x 3cos1),( 3+= yeyxv x 3sin),( 3= C) , yeyxu x 3cos),( 3= yeyxv x 3sin),( 3= D) , yeyxu x 3cos1),( 3+−= yeyxv x 3sin),( 3−= Câu 3 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hịa và thỏa điều kiện Cauchy – Riemann trên miền D thì f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên miền D. B) Nếu hàm u(x,y) khơng điều hịa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích trên D. C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khơng khả vi trên miền D thì các hàm u(x,y) và v(x,y) khơng khả vi trên miền D. D) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y), v(x,y) khả vi và thỏa điều kiện Cauchy – Riemann tại (xo,yo). Câu 4 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số , . Khẳng định nào sau đây đúng? 5933),( 22 +−−= yyxyxu 596 ++= xxyv A) u, v là các hàm điều hịa liên hợp B) u điều hịa, v khơng điều hịa. C) u, v điều hịa nhưng khơng là các hàm điều hịa liên hợp. D) v điều hịa, u khơng điều hịa Câu 5 Khẳng định nào sao đây sai? A) Hàm f(z) có đạo hàm trên toàn mặt phẳng phức khi và chỉ khi f(z) giải tích trong toàn mặt phẳng phức. B) Hàm f(z) = zez 58 + có đạo hàm trên toàn mặt phẳng phức nên giải tích trên toàn mặt phẳng phức. C) ( ) )58(21 8 5 6 5 2 2 eidzz ez iz z += − +∫ =+ π D) ( ) )58(21 8 5 2 5 6 2 eidzz ez iz z += − +∫ =− π Câu 6 Ảnh của đường thẳng y = -x qua phép biến hình = u +iv là z w 3 1= A) đường thẳng u = v. B) nửa đường thẳng u = v, với v > 0. C) đường thẳng u = -v. D) nửa đường thẳng u = -v, với v < 0. Câu 7 Khẳng định nào sau đây sai? - 1 - A) Nếu khai triểm Laurent hàm f(z) quanh điểm bất thường cô lập a có dạng thì ∑∞+ −∞= −= n )az(a)z(f nn [ ] 1aa),z(fsRe −= B) f(z) = 3z ze 2 = 3z + ... !4. 2 !3 222 43 2 ++++ z zz và z = 0 là điểm bất thường cốt yếu của f(z). C) ∫ =− 52 3 2 iz dzez z = = iπ2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 0,Re 2 3 zezs 3 4π D) Hàm f(z)=(z+i) iz + 1cos = ( ) 12 1 0 )!2( 1)1( −+ ∞ = −∑ nn izn n nên thặng dư 2 1,1cos)(Re −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −++ iizizs . Câu 8 Cho phương trình vi phân: y’+6y = u(t-5) (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 14. )5(2 −te Để giải phương trình vi phân này ta làm như sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)] ♦ Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: pY+6Y = 2 5 − − p e p +14 (2) ♦ Giải phương trình (2) với Y là ẩn ta được : Y= )6)(2( 5 +− − pp e p + 6 14 +p (3) ♦ Phân tích vế phải của (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−− − 6 1 2 1 8 1 5 pp e p + 6 14 +p ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được nghiệm: y = ( ) )5( 8 1 5(6)5(2 −− −−− tuee tt +14 te 6− A) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng. B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai. C) Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai. D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai. Câu 9 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai? A) L 0 ( )( ) t F pf u du p ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ B) L ( )36)5( 56 20 5 −− −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡∫ pp puduche t u C) Nếu f(t) là hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T thì L [f(t)] = 1 1 0− − −∫Tp pt f t dte e T ( ) D) Nếu và f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =⎩⎨ ⎧ << <<= ππ π 29sin 00 )( tkhit tkhi tf tdtpt p ee 9sin 1 1 2π∫ −−− ππ Câu 10 Để giải phương trình tích phân: y(t)= 2 +10 ta làm như sau: te 7− duut t uy )(3cos 0 )( −∫ ♦ Aùp dụng tích chập, phương trình tương đương với: y(t) = 2 te 7− +10y(t)*cos3t ♦ Đặt Y = Y(p) = L [y(t)] và biến đổi Laplace hai vế phương trình ta được L [y(t)] = L [ ] +10 L [y(t)*cos3t] te 72 − ♦ Aùp dụng công thức Borel ta được Y = 7 2 +p + 10L [y(t)] L [cos3t] ⇔ Y = 7 2 +p +10Y 92 +p p ♦ Giải phương trình với Y là ẩn ta được: Y = )7)(9)(1( )9(2 2 +−− + ppp p - 2 - ♦ Phân tích thành phân thức đơn giản: Y= 1−p A + 9−p B + 7+p C (với A, B, C = const mà chúng ta chưa tìm) ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được nghiệm : y(t) = t tt CeBeAe 79 −++ A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai. B) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng. C) Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai. D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai. PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1,5 điểm) Khai triển Laurent hàm iz izzf −−= 1sin)()( 2 quanh điểm bất thường cô lập . Tính tích phân iz = ∫ =− ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+= 63 52 1sin)( iz z dze iz izI . Câu 12 (2 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y’’ + 6y’ +20 y = 50 + e-6t với điều kiện y(0) = 0 và y’(0) = 0 Tính rồi dựa vào kết quả đó xác định giá trị (gần đúng) của sau khoảng thời gian t đủ lớn. )(lim ty t +∞→ )(ty Câu 13 (1,5 điểm) Cho mạch điện RL như hình vẽ thỏa phương trình vi phân dt tdiL )( + R )(ti = , i(0) = 0 oE với là các hằng số dương. LREo ,, Aùp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân để tìm . Tính rồi dựa vào kết quả đó xác định giá trị (gần đúng) của sau khoảng thời gian t đủ lớn. )(ti )(lim ti t +∞→ )(ti --------------------------------------------------------------------------------------------------------- ? Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi. CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Từ câu 1 đến câu 10 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Câu 11: Khai triển được chuỗi Laurent, tính được thặng dư và áp dụng tính tích phân. Câu 12, Câu 13: Aùp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân rồi ứng dụng vào đời sống. G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngày 13 tháng 1 năm 2016 Thông qua Bộ môn Toán - 3 - - 4 - - 5 - - 6 - TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã đề: 0001-0014-0001-2016-314116-0001 Giám thị 1 Giám thị 2 Giáo viên chấm thi 1&2 ĐIỂM Họ, tên sinh viên: ..................................... Mã số sinh viên:................................ Số báo danh (STT):........ Phòng thi: Thời gian : 90 phút (14/1/2016) Lưu ý: Sinh viên làm bài thi lần lượt trên trang 6, 5, 4,3. Đối với các hệ phương trình đại số tuyến tính thì chỉ cần ghi kết quả vào bài làm mà không cần trình bày cách giải. Sinh viên nộp lại đề thi cùng với bài làm. BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (14/1/2016) Đề thi gồm 3 trang Được phép sử dụng tài liệu M ã đề: 0010-0014-0001-2016-314116-0010 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (chọn 1 trong các câu A, B, C, D rồi điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM ở trang 6) Câu 1 Cho phương trình vi phân: y’+6y = u(t-5) (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 14. )5(2 −te Để giải phương trình vi phân này ta làm như sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)] ♦ Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: pY+6Y = 2 5 − − p e p +14 (2) ♦ Giải phương trình (2) với Y là ẩn ta được : Y= )6)(2( 5 +− − pp e p + 6 14 +p (3) ♦ Phân tích vế phải của (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−− − 6 1 2 1 8 1 5 pp e p + 6 14 +p ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được nghiệm: y = ( ) )5( 8 1 5(6)5(2 −− −−− tuee tt +14 te 6− A) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng. B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai. C) Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai. D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai. Câu 2 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai? A) L 0 ( )( ) t F pf u du p ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ B) L ( )36)5( 56 20 5 −− −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡∫ pp puduche t u C) Nếu f(t) là hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T thì L [f(t)] = 1 1 0− − −∫Tp pt f t dte e T ( ) D) Nếu và f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =⎩⎨ ⎧ << <<= ππ π 29sin 00 )( tkhit tkhi tf tdtpt p ee 9sin 1 1 2π∫ −−− ππ Câu 3 Khẳng định nào sau đây sai? A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z. B) Phương trình ez vô nghiệm. ie π3.2016 −= C) Cho hai số phức khác 0 là z1 = r1 1 ϕi e , z2 = r2 2 ϕi e . Khi đó : z1 = z2 ⇔ ⎩⎨ ⎧ ±= = πϕϕ k rr 212 21 D) n)]isin[r(cos ϕ = nϕ m r (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z. Câu 4 Phần thực và phần ảo của hàm phức = là: ),(),()( yxivyxuzf += zei i i 35 21 31 +−− + A) , yeyxu x 3cos1),( 3+−= yeyxv x 3sin),( 3= B) , yeyxu x 3cos1),( 3+= yeyxv x 3sin),( 3= C) , yeyxu x 3cos),( 3= yeyxv x 3sin),( 3= D) , yeyxu x 3cos1),( 3+−= yeyxv x 3sin),( 3−= Câu 5 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hịa và thỏa điều kiện Cauchy – Riemann trên miền D thì f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên miền D. - 1 - B) Nếu hàm u(x,y) khơng điều hịa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích trên D. C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khơng khả vi trên miền D thì các hàm u(x,y) và v(x,y) khơng khả vi trên miền D. D) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y), v(x,y) khả vi và thỏa điều kiện Cauchy – Riemann tại (xo,yo). Câu 6 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số , . Khẳng định nào sau đây đúng? 5933),( 22 +−−= yyxyxu 596 ++= xxyv A) u, v là các hàm điều hịa liên hợp B) u điều hịa, v khơng điều hịa. C) u, v điều hịa nhưng khơng là các hàm điều hịa liên hợp. D) v điều hịa, u khơng điều hịa Câu 7 Khẳng định nào sao đây sai? A) Hàm f(z) có đạo hàm trên toàn mặt phẳng phức khi và chỉ khi f(z) giải tích trong toàn mặt phẳng phức. B) Hàm f(z) = zez 58 + có đạo hàm trên toàn mặt phẳng phức nên giải tích trên toàn mặt phẳng phức. C) ( ) )58(21 8 5 6 5 2 2 eidzz ez iz z += − +∫ =+ π D) ( ) )58(21 8 5 2 5 6 2 eidzz ez iz z += − +∫ =− π Câu 8 Ảnh của đường thẳng y = -x qua phép biến hình = u +iv là z w 3 1= A) đường thẳng u = v. B) nửa đường thẳng u = v, với v > 0. C) đường thẳng u = -v. D) nửa đường thẳng u = -v, với v < 0. Câu 9 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu khai triểm Laurent hàm f(z) quanh điểm bất thường cô lập a có dạng thì ∑∞+ −∞= −= n )az(a)z(f nn [ ] 1aa),z(fsRe −= B) f(z) = 3z ze 2 = 3z + ... !4. 2 !3 222 43 2 ++++ z zz và z = 0 là điểm bất thường cốt yếu của f(z). C) ∫ =− 52 3 2 iz dzez z = = iπ2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 0,Re 2 3 zezs 3 4π D) Hàm f(z)=(z+i) iz + 1cos = ( ) 12 1 0 )!2( 1)1( −+ ∞ = −∑ nn izn n nên thặng dư 2 1,1cos)(Re −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −++ iizizs . Câu 10 Để giải phương trình tích phân: y(t)= 2 +10 ta làm như sau: te 7− duut t uy )(3cos 0 )( −∫ ♦ Aùp dụng tích chập, phương trình tương đương với: y(t) = 2 te 7− +10y(t)*cos3t ♦ Đặt Y = Y(p) = L [y(t)] và biến đổi Laplace hai vế phương trình ta được L [y(t)] = L [ ] +10 L [y(t)*cos3t] te 72 − ♦ Aùp dụng công thức Borel ta được Y = 7 2 +p + 10L [y(t)] L [cos3t] ⇔ Y = 7 2 +p +10Y 92 +p p ♦ Giải phương trình với Y là ẩn ta được: Y = )7)(9)(1( )9(2 2 +−− + ppp p - 2 - ♦ Phân tích thành phân thức đơn giản: Y= 1−p A + 9−p B + 7+p C (với A, B, C = const mà chúng ta chưa tìm) ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được nghiệm : y(t) = t tt CeBeAe 79 −++ A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai. B) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng. C) Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai. D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai. PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1,5 điểm) Khai triển Laurent hàm iz izzf −−= 1sin)()( 2 quanh điểm bất thường cô lập . Tính tích phân iz = ∫ =− ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+= 63 52 1sin)( iz z dze iz izI . Câu 12 (2 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y’’ + 6y’ +20 y = 50 + e-6t với điều kiện y(0) = 0 và y’(0) = 0 Tính rồi dựa vào kết quả đó xác định giá trị (gần đúng) của sau khoảng thời gian t đủ lớn. )(lim ty t +∞→ )(ty Câu 13 (1,5 điểm) Cho mạch điện RL như hình vẽ thỏa phương trình vi phân dt tdiL )( + R )(ti = , i(0) = 0 oE với là các hằng số dương. LREo ,, Aùp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân để tìm . Tính rồi dựa vào kết quả đó xác định giá trị (gần đúng) của sau khoảng thời gian t đủ lớn. )(ti )(lim ti t +∞→ )(ti --------------------------------------------------------------------------------------------------------- ? Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi. CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Từ câu 1 đến câu 10 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Câu 11: Khai triển được chuỗi Laurent, tính được thặng dư và áp dụng tính tích phân. Câu 12, Câu 13: Aùp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân rồi ứng dụng vào đời sống. G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngày 13 tháng 1 năm 2016 Thông qua Bộ môn Toán - 3 - - 4 - - 5 - - 6 - TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã đề: 0010-0014-0001-2016-314116-0010 Giám thị 1 Giám thị 2 Giáo viên chấm thi 1&2 ĐIỂM Họ, tên sinh viên: ..................................... Mã số sinh viên:................................ Số báo danh (STT):........ Phòng thi: Thời gian : 90 phút (14/1/2016) Lưu ý: Sinh viên làm bài thi lần lượt trên trang 6, 5, 4,3. Đối với các hệ phương trình đại số tuyến tính thì chỉ cần ghi kết quả vào bài làm mà không cần trình bày cách giải. Sinh viên nộp lại đề thi cùng với bài làm. BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (14/1/2016) Đề thi gồm 3 trang Được phép sử dụng tài liệu M ã đề: 0011-0014-0001-2016-314116-0011 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (chọn 1 trong các câu A, B, C, D rồi điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM ở trang 6) Câu 1 Ảnh của đường thẳng y = -x qua phép biến hình = u +iv là z w 3 1= A) đường thẳng u = v. B) nửa đường thẳng u = v, với v > 0. C) đường thẳng u = -v. D) nửa đường thẳng u = -v, với v < 0. Câu 2 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu khai triểm Laurent hàm f(z) quanh điểm bất thường cô lập a có dạng thì ∑∞+ −∞= −= n )az(a)z(f nn [ ] 1aa),z(fsRe −= B) f(z) = 3z ze 2 = 3z + ... !4. 2 !3 222 43 2 ++++ z zz và z = 0 là điểm bất thường cốt yếu của f(z). C) ∫ =− 52 3 2 iz dzez z = = iπ2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 0,Re 2 3 zezs 3 4π D) Hàm f(z)=(z+i) iz + 1cos = ( ) 12 1 0 )!2( 1)1( −+ ∞ = −∑ nn izn n nên thặng dư 2 1,1cos)(Re −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −++ iizizs . Câu 3 Cho phương trình vi phân: y’+6y = u(t-5) (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 14. )5(2 −te Để giải phương trình vi phân này ta làm như sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)] ♦ Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: pY+6Y = 2 5 − − p e p +14 (2) ♦ Giải phương trình (2) với Y là ẩn ta được : Y= )6)(2( 5 +− − pp e p + 6 14 +p (3) ♦ Phân tích vế phải của (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−− − 6 1 2 1 8 1 5 pp e p + 6 14 +p ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được nghiệm: y = ( ) )5( 8 1 5(6)5(2 −− −−− tuee tt +14 te 6− A) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng. B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai. C) Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai. D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai. Câu 4 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai? A) L 0 ( )( ) t F pf u du p ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ B) L ( )36)5( 56 20 5 −− −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡∫ pp puduche t u C) Nếu f(t) là hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T thì L [f(t)] = 1 1 0− − −∫Tp pt f t dte e T ( ) - 1 - D) Nếu và f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =⎩⎨ ⎧ << <<= ππ π 29sin 00 )( tkhit tkhi tf tdtpt p ee 9sin 1 1 2π∫ −−− ππ Câu 5 Khẳng định nào sau đây sai? A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z. B) Phương trình ez vô nghiệm. ie π3.2016 −= C) Cho hai số phức khác 0 là z1 = r1 1 ϕi e , z2 = r2 2 ϕi e . Khi đó : z1 = z2 ⇔ ⎩⎨ ⎧ ±= = πϕϕ k rr 212 21 D) n)]isin[r(cos ϕ = nϕ m r (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z. Câu 6 Phần thực và phần ảo của hàm phức = là: ),(),()( yxivyxuzf += zei i i 35 21 31 +−− + A) , yeyxu x 3cos1),( 3+−= yeyxv x 3sin),( 3= B) , yeyxu x 3cos1),( 3+= yeyxv x 3sin),( 3= C) , yeyxu x 3cos),( 3= yeyxv x 3sin),( 3= D) , yeyxu x 3cos1),( 3+−= yeyxv x 3sin),( 3−= Câu 7 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hịa và thỏa điều kiện Cauchy – Riemann trên miền D thì f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên miền D. B) Nếu hàm u(x,y) khơng điều hịa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích trên D. C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khơng khả vi trên miền D thì các hàm u(x,y) và v(x,y) khơng khả vi trên miền D. D) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y), v(x,y) khả vi và thỏa điều kiện Cauchy – Riemann tại (xo,yo). Câu 8 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số , . Khẳng định nào sau đây đúng? 5933),( 22 +−−= yyxyxu 596 ++= xxyv A) u, v là các hàm điều hịa liên hợp B) u điều hịa, v khơng điều hịa. C) u, v điều hịa nhưng khơng là các hàm điều hịa liên hợp. D) v điều hịa, u khơng điều hịa Câu 9 Khẳng định nào sao đây sai? A) Hàm f(z) có đạo hàm trên toàn mặt phẳng phức khi và chỉ khi f(z) giải tích trong toàn mặt phẳng phức. B) Hàm f(z) = zez 58 + có đạo hàm trên toàn mặt phẳng phức nên giải tích trên toàn mặt phẳng phức. C) ( ) )58(21 8 5 6 5 2 2 eidzz ez iz z += − +∫ =+ π D) ( ) )58(21 8 5 2 5 6 2 eidzz ez iz z += − +∫ =− π Câu 10 Để giải phương trình tích phân: y(t)= 2 +10 ta làm như sau: te 7− duut t uy )(3cos 0 )( −∫ ♦ Aùp dụng tích chập, phương trình tương đương với: y(t) = 2 te 7− +10y(t)*cos3t ♦ Đặt Y = Y(p) = L [y(t)] và biến đổi Laplace hai vế phương trình ta được L [y(t)] = L [ ] +10 L [y(t)*cos3t] te 72 − ♦ Aùp dụng công thức Borel ta được Y = 7 2 +p + 10L [y(t)] L [cos3t] ⇔ Y = 7 2 +p +10Y 92 +p p ♦ Giải phương trình với Y là ẩn ta được: Y = )7)(9)(1( )9(2 2 +−− + ppp p - 2 - ♦ Phân tích thành phân thức đơn giản: Y= 1−p A + 9−p B + 7+p C (với A, B, C = const mà chúng ta chưa tìm) ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được nghiệm : y(t) = t tt CeBeAe 79 −++ A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai. B) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng. C) Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai. D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai. PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1,5 điểm) Khai triển Laurent hàm iz izzf −−= 1sin)()( 2 quanh điểm bất thường cô lập . Tính tích phân iz = ∫ =− ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+= 63 52 1sin)( iz z dze iz izI . Câu 12 (2 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y’’ + 6y’ +20 y = 50 + e-6t với điều kiện y(0) = 0 và y’(0) = 0 Tính rồi dựa vào kết quả đó xác định giá trị (gần đúng) của sau khoảng thời gian t đủ lớn. )(lim ty t +∞→ )(ty Câu 13 (1,5 điểm) Cho mạch điện RL như hình vẽ thỏa phương trình vi phân dt tdiL )( + R )(ti = , i(0) = 0 oE với là các hằng số dương. LREo ,, Aùp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân để tìm . Tính rồi dựa vào kết quả đó xác định giá trị (gần đúng) của sau khoảng thời gian t đủ lớn. )(ti )(lim ti t +∞→ )(ti --------------------------------------------------------------------------------------------------------- ? Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi. CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Từ câu 1 đến câu 10 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Câu 11: Khai triển được chuỗi Laurent, tính được thặng dư và áp dụng tính tích phân. Câu 12, Câu 13: Aùp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân rồi ứng dụng vào đời sống. G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngày 13 tháng 1 năm 2016 Thông qua Bộ môn Toán - 3 - - 4 - - 5 - - 6 - TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã đề: 0011-0014-0001-2016-314116-0011 Giám thị 1 Giám thị 2 Giáo viên chấm thi 1&2 ĐIỂM Họ, tên sinh viên: ..................................... Mã số sinh viên:................................ Số báo danh (STT):........ Phòng thi: Thời gian : 90 phút (14/1/2016) Lưu ý: Sinh viên làm bài thi lần lượt trên trang 6, 5, 4,3. Đối với các hệ phương trình đại số tuyến tính thì chỉ cần ghi kết quả vào bài làm mà không cần trình bày cách giải. Sinh viên nộp lại đề thi cùng với bài làm. BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (14/1/2016) Đề thi gồm 3 trang Được phép sử dụng tài liệu M ã đề: 0100-0014-0001-2016-314116-0100 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (chọn 1 trong các câu A, B, C, D rồi điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM ở trang 6) Câu 1 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số , . Khẳng định nào sau đây đúng? 5933),( 22 +−−= yyxyxu 596 ++= xxyv A) u, v là các hàm điều hịa liên hợp B) u điều hịa, v khơng điều hịa. C) u, v điều hịa nhưng khơng là các hàm điều hịa liên hợp. D) v điều hịa, u khơng điều hịa Câu 2 Khẳng định nào sao đây sai? A) Hàm f(z) có đạo hàm trên toàn mặt phẳng phức khi và chỉ khi f(z) giải tích trong toàn mặt phẳng phức. B) Hàm f(z) = zez 58 + có đạo hàm trên toàn mặt phẳng phức nên giải tích trên toàn mặt phẳng phức. C) ( ) )58(21 8 5 6 5 2 2 eidzz ez iz z += − +∫ =+ π D) ( ) )58(21 8 5 2 5 6 2 eidzz ez iz z += − +∫ =− π Câu 3 Ảnh của đường thẳng y = -x qua phép biến hình = u +iv là z w 3 1= A) đường thẳng u = v. B) nửa đường thẳng u = v, với v > 0. C) đường thẳng u = -v. D) nửa đường thẳng u = -v, với v < 0. Câu 4 Cho phương trình vi phân: y’+6y = u(t-5) (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 14. )5(2 −te Để giải phương trình vi phân này ta làm như sau: Đặt Y = Y(p)= L [y(t)] ♦ Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: pY+6Y = 2 5 − − p e p +14 (2) ♦ Giải phương trình (2) với Y là ẩn ta được : Y= )6)(2( 5 +− − pp e p + 6 14 +p (3) ♦ Phân tích vế phải của (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−− − 6 1 2 1 8 1 5 pp e p + 6 14 +p ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được nghiệm: y = ( ) )5( 8 1 5(6)5(2 −− −−− tuee tt +14 te 6− A) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng. B) Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai. C) Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai. D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai. Câu 5 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai? A) L 0 ( )( ) t F pf u du p ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ B) L ( )36)5( 56 20 5 −− −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡∫ pp puduche t u C) Nếu f(t) là hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T thì L [f(t)] = 1 1 0− − −∫Tp pt f t dte e T ( ) - 1 - D) Nếu và f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =⎩⎨ ⎧ << <<= ππ π 29sin 00 )( tkhit tkhi tf tdtpt p ee 9sin 1 1 2π∫ −−− ππ Câu 6 Khẳng định nào sau đây sai? A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z. B) Phương trình ez vô nghiệm. ie π3.2016 −= C) Cho hai số phức khác 0 là z1 = r1 1 ϕi e , z2 = r2 2 ϕi e . Khi đó : z1 = z2 ⇔ ⎩⎨ ⎧ ±= = πϕϕ k rr 212 21 D) n)]isin[r(cos ϕ = nϕ m r (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z. Câu 7 Phần thực và phần ảo của hàm phức = là: ),(),()( yxivyxuzf += zei i i 35 21 31 +−− + A) , yeyxu x 3cos1),( 3+−= yeyxv x 3sin),( 3= B) , yeyxu x 3cos1),( 3+= yeyxv x 3sin),( 3= C) , yeyxu x 3cos),( 3= yeyxv x 3sin),( 3= D) , yeyxu x 3cos1),( 3+−= yeyxv x 3sin),( 3−= Câu 8 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu khai triểm Laurent hàm f(z) quanh điểm bất thường cô lập a có dạng thì ∑∞+ −∞= −= n )az(a)z(f nn [ ] 1aa),z(fsRe −= B) f(z) = 3z ze 2 = 3z + ... !4. 2 !3 222 43 2 ++++ z zz và z = 0 là điểm bất thường cốt yếu của f(z). C) ∫ =− 52 3 2 iz dzez z = = iπ2 =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 0,Re 2 3 zezs 3 4π D) Hàm f(z)=(z+i) iz + 1cos = ( ) 12 1 0 )!2( 1)1( −+ ∞ = −∑ nn izn n nên thặng dư 2 1,1cos)(Re −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −++ iizizs . Câu 9 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hịa và thỏa điều kiện Cauchy – Riemann trên miền D thì f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên miền D. B) Nếu hàm u(x,y) khơng điều hịa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích trên D. C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khơng khả vi trên miền D thì các hàm u(x,y) và v(x,y) khơng khả vi trên miền D. D) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y), v(x,y) khả vi và thỏa điều kiện Cauchy – Riemann tại (xo,yo). Câu 10 Để giải phương trình tích phân: y(t)= 2 +10 ta làm như sau: te 7− duut t uy )(3cos 0 )( −∫ ♦ Aùp dụng tích chập, phương trình tương đương với: y(t) = 2 te 7− +10y(t)*cos3t ♦ Đặt Y = Y(p) = L [y(t)] và biến đổi Laplace hai vế phương trình ta được L [y(t)] = L [ ] +10 L [y(t)*cos3t] te 72 − ♦ Aùp dụng công thức Borel ta được Y = 7 2 +p + 10L [y(t)] L [cos3t] ⇔ Y = 7 2 +p +10Y 92 +p p ♦ Giải phương trình với Y là ẩn ta được: Y = )7)(9)(1( )9(2 2 +−− + ppp p - 2 - ♦ Phân tích thành phân thức đơn giản: Y= 1−p A + 9−p B + 7+p C (với A, B, C = const mà chúng ta chưa tìm) ♦ Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được nghiệm : y(t) = t tt CeBeAe 79 −++ A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai. B) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng. C) Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai. D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai. PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1,5 điểm) Khai triển Laurent hàm iz izzf −−= 1sin)()( 2 quanh điểm bất thường cô lập . Tính tích phân iz = ∫ =− ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+= 63 52 1sin)( iz z dze iz izI . Câu 12 (2 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y’’ + 6y’ +20 y = 50 + e-6t với điều kiện y(0) = 0 và y’(0) = 0 Tính rồi dựa vào kết quả đó xác định giá trị (gần đúng) của sau khoảng thời gian t đủ lớn. )(lim ty t +∞→ )(ty Câu 13 (1,5 điểm) Cho mạch điện RL như hình vẽ thỏa phương trình vi phân dt tdiL )( + R )(ti = , i(0) = 0 oE với là các hằng số dương. LREo ,, Aùp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân để tìm . Tính rồi dựa vào kết quả đó xác định giá trị (gần đúng) của sau khoảng thời gian t đủ lớn. )(ti )(lim ti t +∞→ )(ti --------------------------------------------------------------------------------------------------------- ? Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi. CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Từ câu 1 đến câu 10 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Câu 11: Khai triển được chuỗi Laurent, tính được thặng dư và áp dụng tính tích phân. Câu 12, Câu 13: Aùp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân rồi ứng dụng vào đời sống. G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngày 13 tháng 1 năm 2016 Thông qua Bộ môn Toán - 3 - - 4 - - 5 - - 6 - TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ I NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã đề: 0100-0014-0001-2016-314116-0100 Giám thị 1 Giám thị 2 Giáo viên chấm thi 1&2 ĐIỂM Họ, tên sinh viên: ..................................... Mã số sinh viên:................................ Số báo danh (STT):........ Phòng thi: Thời gian : 90 phút (14/1/2016) Lưu ý: Sinh viên làm bài thi lần lượt trên trang 6, 5, 4,3. Đối với các hệ phương trình đại số tuyến tính thì chỉ cần ghi kết quả vào bài làm mà không cần trình bày cách giải. Sinh viên nộp lại đề thi cùng với bài làm. BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN ĐÁP ÁN MÔN HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE (Ngày thi: 14/1/2016) PHẦN TRẮC NGHIỆM Mã đề: 0001-0014-0001-2016-314116-0001 Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trả lời B A C A C C C A D B Mã đề: 0010-0014-0001-2016-314116-0010 Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trả lời A D B A C A C C C B Mã đề: 0011-0014-0001-2016-314116-0011 Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trả lời C C A D B A C A C B Mã đề: 0100-0014-0001-2016-314116-0100 Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trả lời A C C A D B A C C B BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN Câu hỏi Nội dung Điểm Câu 11 1 điểm iz − 1sin = ∑∞ = + + −− 0 12 )!12( )1( )1( n n n n iz = ∑∞ = +−+ − 0 12)()!12( )1( n n n izn iz izzf −−= 1sin)()( 2 = ∑∞ = +−+ −− 0 12 2 )()!12( )1()( n n n izn iz = ∑∞ = −−+ − 0 12)()!12( )1( n n n izn ∫ =− ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+= 63 52 1sin)( iz z dze iz izI = ∫ =− ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+63 2 1sin)( iz dz iz iz + ∫ =− 63 5 iz z dze 0,75đ - 1 - 0 63 5 =∫ =− iz z dze ( vì hàm có đạo hàm trên toàn mặt phẳng phức nên giải tích trên toàn mặt phẳng phức) ze5 ∫ =− ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+63 2 1sin)( iz dz iz iz = iπ2 ],1sin)[(Re 2 i iz izs −+ 4)(4)()2()( 222 −−+−=+−=+ iziiziiziz Suy ra iz iz −+ 1sin)( 2 = ∑∞ = −−+ − 0 12)()!12( )1( n n n izn +∑∞ = −+ − 0 2)()!12( )1(4 n n n izn i +∑∞ = +−+ −− 0 12)()!12( )1(4 n n n izn Nên ],1sin)[(Re 2 i iz izs −+ = 6 254 !3 1 −=−− ∫ =− ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+63 2 1sin)( iz dz iz iz = iπ2 ) 6 25(− +0 = 3 25 iπ− 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu12 1,5đ Đặt = )( pYY = [ ])t(yL . Biến đổi Laplace hai vế phương trình, áp dụng tính chất tuyến tính và tính chất đạo hàm hàm gốc ta được: ( ) YypYypyYp 20)0(6)0(')0(2 +−+−− = [ ]te 650 −+L ⇔ =++ )206( 2 ppY 6 150 ++ pp ⇔ =Y ]11)3)[(6( 30051 2 +++ + ppp p = p A + 6+p B + 11)3( 11)3( 2 ++ ++ p DpC Biếi đổi Laplace ngược hai vế và áp dụng tính chất tuyến tính ta được =)(ty = ][1 Y−L ] 11)3( 11 11)3( 3 6 11[ 22 1 +++++ ++++ − p D p pC p B p AL ⇔ =)(ty tDetCeBeA ttt 11sin11cos 336 −−− +++ =+∞→ )(lim tyt +At +∞→lim t t eB 6lim −+∞→+ [lim+∞→t )]11sin11cos( 3 tDtCe t +− = A Sau khoảng thời gian t đủ lớn thì 2 5)( =≈ Aty (tính A bên dưới) Tìm dựa vào đẳng thức: DCBA ,,, ]11)3)[(6( 30051 2 +++ + ppp p = p A + 6+p B + 11)3( 11)3( 2 ++ ++ p DpC =A 2 5 ]11)30)[(60( 300051 2 =+++ +× , =B 20 1 ]11)36[(6 300)6(51 2 =++−− +−× 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ - 2 - Cho : 3−=p =− 99 147 3− A + 3 B + 11 D Cho : 2−=p =− 48 99 2− A + 4 B + 12 11DC + Suy ra =C 20 51− , 11 220 147−=D Câu 13 1,5đ dt tdiL )( + = , i(0) = 0 R )(ti oE với là các hằng số dương. LREo ,, Đặt I = I(p) = [ )t(i ]L ⇒ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ dt diL = [ ])t('iL = pI-i(0) = pI + Ri = Eo . Biến đổi Laplace hai vế phương trình ta được )t('i.L LIp +RI = p Eo ⇔ I (Lp +R) = p Eo ⇔ I = )RLp(p Eo + ⇔ I = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − L Rp 1 p 1 R Eo Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được : i(t) = [ ] = I -1L ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − t L R o e1 R E =+∞→ )(lim tit +∞→tlim ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − t L R o e1 R E = R Eo Sau khoảng thời gian t đủ lớn R E ti o≈)( 0.5đ 0.5đ 0.5đ *** HẾT*** - 3 -