Đề thi cuối kỳ học kỳ II năm học 2014 - 2015 môn: Hàm biến phức và phép biến đổi laplace - Mã môn học: Math 121201

Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC CÔ BAÛN BOÄ MOÂN TOAÙN ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ II NAÊM HOÏC 2014-2015 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (1/6/2015) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu M aõ ñeà: 00-0001-0110-2015-1615-0001 (Noäp laïi ñeà naøy) PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm) (choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6) Câu 1 Phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc z = laø: ie i e 22 31 −+− A) Rez = + cos2, Imz = - sin2 2e 23e B) Rez = 10 2e + cos2, Imz = 10 3 2e + sin2 C) Rez = 10 2e + cos2, Imz = 10 3 2e - sin2 D) Rez = + cos2, Imz = + sin2 2e 23e Câu 2 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) không giải tích trên mieàn D thì các hàm u(x,y) và v(x,y) không điều hòa trên miền D. B) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y) và v(x,y) thỏa điều kiện Cauchy – Reimann tại (xo,yo). C) Nếu hàm v(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D. D) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän Cauchy – Reimann trên miền D thì f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên mieàn D. Caâu 3 Trong maët phaúng phöùc cho caùc taäp hôïp ñieåm { }izizzE −−=+−= 31: , =F { }643: <+− izz . Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Taäp E laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng noái hai ñieåm i−1 vaø i+3 . B) Taäp F laø hình troøn môû taâm i43− baùn kính baèng 6 . C) Caùc taäp E vaø F ñeàu laø caùc taäp lieân thoâng. D) Hai taäp E vaø F khoâng coù ñieåm chung )( ∅=∩ FE . Câu 4 Ảnh của đường thẳng y = 0 qua phép biến hình = u +iv là izew += 3 A) ñöôøng thẳng u = 0. B) ñöôøng tròn u2 + v2 = 6e . C) ñöôøng tròn u2 + v2 = 3e . D) ñöôøng thẳng v = 0. Caâu 5 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Hình troøn hoäi tuï cuûa chuoãi luõy thöøa (neáu coù) thì duy nhaát. B) Baùn kính hoäi tuï cuûa chuoãi luõy thöøa (neáu coù) thì duy nhaát. C) Chuoãi ∑∞ = + − 1 52 )3( n n nizn coù baùn kính hoäi tuï laø 5 1 )52( )52( lim 1 =+ +⋅+= + ∞→ n nR n nn D) Chuoãi ∑∞ = + − 1 52 )3( n n nizn coù hình troøn hoäi tuï laø 53 ≤− iz . Caâu 6 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm f(z) vaø ∞=→ )(lim zfaz , A)z( (vôùi ∞≠≠ A0 ) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm f(z). f)az(lim m az =−→ - 1 - B) iz 3= laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm f(z) = 2)3( 5 iz e z − C) ∫ =− −6 2)3( 5 iz dz iz e z =2 iπ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − iiz es z 3, )3( Re 2 5 = iie1510π D) ∫ =+ −65 2)3( 5 iz dz iz e z = 2 iπ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − iiz es z 3, )3( Re 2 5 Caâu 7 Cho phöông trình vi phaân: y’-8y = u(t-π) (1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 1. π−te Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L [y(t)] ♦ Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc: pY-8Y = 1− − p e pπ +1 (2) ♦ Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y= )8)(1( −− − pp e pπ + 8 1 −p (3) ♦ Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−− − 1 1 8 1 7 pp e pπ + 8 1 −p ♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y = ( ) )( 7 1 )(8 πππ −− −− tuee tt + t e8 A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. B) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai. Câu 8 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai? A) L 0 ( )( ) t F pf u du p ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ B) L ( )9)6( 63cos 20 6 +− −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡∫ pp pudue t u C) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L [f(t)] = 1 1 0− − −∫Tp pt f t dte e T ( ) D) Neáu vaø f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =⎩⎨ ⎧ << <<= ππ π 20 05sin )( tkhi tkhit tf tdtpt p ee 5sin 1 1 π 0 ∫ −−− π Câu 9 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai? A) L [af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) B) L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) + bg(t) C) L D) L -1 9 3 )2( !35]35[ 24 23 −+−+=++ ppptshet t tshtch p p 8583 64 53 2 +=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − + Caâu 10 Ñeå giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= e3t+5 ta laøm nhö sau: duut t uy )(2cos 0 )( −∫ ♦ Aùp duïng tích chaäp, phöông trình töông ñöông vôùi: y(t) = te3 +5y(t)*cos2t ♦ Ñaët Y = Y(p) = L [y(t)] vaø bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc L [y(t)] = L [ ] +5 L [y(t)*cos2t] te3 ♦ Aùp duïng coâng thöùc Borel ta ñöôïc Y = 3 1 −p + 5L [y(t)] L [cos2t] ⇔ Y = 3 1 −p +5Y 42 +p p ♦ Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc: Y = )4)(3)(1( 42 −−− + ppp p - 2 - ♦ Phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn: Y= 1−p A + 3−p B + 4−p C (vôùi A, B, C = const maø chuùng ta chöa tìm) ♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm : y(t) = tt t CeBeAe 43 ++ A) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai. PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Caâu 11 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân y’’ + 6y’ +13 y = 10 + e-3t vôùi ñieàu kieän y(0) = 0 vaø y’(0) = 0 Caâu 12 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi heä phöông trình vi phaân ⎩⎨ ⎧ =++ =+ 62' 3' 3 yyx eyx t vôùi ñieàu kieän x(0) = 0 vaø y(0) = 0 Caâu 13 (1 ñieåm) Khai trieån Laurent haøm izeizzf −−= 1 3)()( quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp iz = . Tính tích phaân ∫ =− −−= 32 1 3)( iz iz dzeizI . Caâu 14 (1 ñieåm) Tìm taát caû caùc ñieåm trong maët phaúng phöùc maø taïi ñoù haøm soá coù ñaïo haøm vaø tính ñaïo haøm cuûa haøm soá taïi caùc ñieåm ñoù. izzizzf ++= Im)6()( --------------------------------------------------------------------------------------------------------- ? Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi. Ngaøy 28 thaùng 5 naêm 2015 Tröôûng Boä moân Toaùn - 3 - - 4 - - 5 - - 6 - TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ II NAÊM HOÏC 2014-2015 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ ñeà: 00 – 0001 - 0110-2015-1615- 0001 Giaùm thò 1 Giaùm thò 2 Giaùo vieân chaám thi 1&2 ÑIEÅM Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: Thôøi gian : 90 phuùt (1/6/2015) Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm. BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Traû lôøi BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC CÔ BAÛN BOÄ MOÂN TOAÙN ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ II NAÊM HOÏC 2014-2015 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (1/6/2015) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu M aõ ñeà: 01-0001-0110-2015-1615-0010 (Noäp laïi ñeà naøy) PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm) (choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6) Câu 1 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai? A) L 0 ( )( ) t F pf u du p ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ B) L ( )9)6( 63cos 20 6 +− −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡∫ pp pudue t u C) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L [f(t)] = 1 1 0− − −∫Tp pt f t dte e T ( ) D) Neáu vaø f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =⎩⎨ ⎧ << <<= ππ π 20 05sin )( tkhi tkhit tf tdtpt p ee 5sin 1 1 π 0 ∫ −−− π Câu 2 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai? A) L [af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) B) L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) + bg(t) C) L D) L -1 9 3 )2( !35]35[ 24 23 −+−+=++ ppptshet t tshtch p p 8583 64 53 2 +=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − + Caâu 3 Ñeå giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= e3t+5 ta laøm nhö sau: duut t uy )(2cos 0 )( −∫ ♦ Aùp duïng tích chaäp, phöông trình töông ñöông vôùi: y(t) = te3 +5y(t)*cos2t ♦ Ñaët Y = Y(p) = L [y(t)] vaø bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc L [y(t)] = L [ ] +5 L [y(t)*cos2t] te3 ♦ Aùp duïng coâng thöùc Borel ta ñöôïc Y = 3 1 −p + 5L [y(t)] L [cos2t] ⇔ Y = 3 1 −p +5Y 42 +p p ♦ Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc: Y = )4)(3)(1( 42 −−− + ppp p ♦ Phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn: Y= 1−p A + 3−p B + 4−p C (vôùi A, B, C = const maø chuùng ta chöa tìm) ♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm : y(t) = tt t CeBeAe 43 ++ A) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai. Câu 4 Phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc z = laø: ie i e 22 31 −+− A) Rez = + cos2, Imz = - sin2 2e 23e B) Rez = 10 2e + cos2, Imz = 10 3 2e + sin2 C) Rez = 10 2e + cos2, Imz = 10 3 2e - sin2 D) Rez = + cos2, Imz = + sin2 2e 23e Câu 5 Khẳng định nào sau đây sai? - 1 - A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) không giải tích trên mieàn D thì các hàm u(x,y) và v(x,y) không điều hòa trên miền D. B) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y) và v(x,y) thỏa điều kiện Cauchy – Reimann tại (xo,yo). C) Nếu hàm v(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D. D) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän Cauchy – Reimann trên miền D thì f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên mieàn D. Caâu 6 Trong maët phaúng phöùc cho caùc taäp hôïp ñieåm { }izizzE −−=+−= 31: , =F { }643: <+− izz . Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Taäp E laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng noái hai ñieåm i−1 vaø i+3 . B) Taäp F laø hình troøn môû taâm i43− baùn kính baèng 6 . C) Caùc taäp E vaø F ñeàu laø caùc taäp lieân thoâng. D) Hai taäp E vaø F khoâng coù ñieåm chung )( ∅=∩ FE . Câu 7 Ảnh của đường thẳng y = 0 qua phép biến hình = u +iv là izew += 3 A) ñöôøng thẳng u = 0. B) ñöôøng tròn u2 + v2 = 6e . C) ñöôøng tròn u2 + v2 = 3e . D) ñöôøng thẳng v = 0. Caâu 8 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Hình troøn hoäi tuï cuûa chuoãi luõy thöøa (neáu coù) thì duy nhaát. B) Baùn kính hoäi tuï cuûa chuoãi luõy thöøa (neáu coù) thì duy nhaát. C) Chuoãi ∑∞ = + − 1 52 )3( n n nizn coù baùn kính hoäi tuï laø 5 1 )52( )52( lim 1 =+ +⋅+= + ∞→ n nR n nn D) Chuoãi ∑∞ = + − 1 52 )3( n n nizn coù hình troøn hoäi tuï laø 53 ≤− iz . Caâu 9 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm f(z) vaø ∞=→ )(lim zfaz , A)z( (vôùi ∞≠≠ A0 ) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm f(z). f)az(lim m az =−→ B) iz 3= laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm f(z) = 2)3( 5 iz e z − C) ∫ =− −6 2)3( 5 iz dz iz e z =2 iπ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − iiz es z 3, )3( Re 2 5 = iie1510π D) ∫ =+ −65 2)3( 5 iz dz iz e z = 2 iπ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − iiz es z 3, )3( Re 2 5 Caâu 10 Cho phöông trình vi phaân: y’-8y = u(t-π) (1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 1. π−te Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L [y(t)] ♦ Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc: pY-8Y = 1− − p e pπ +1 (2) ♦ Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y= )8)(1( −− − pp e pπ + 8 1 −p (3) ♦ Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−− − 1 1 8 1 7 pp e pπ + 8 1 −p - 2 - ♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y = ( ) )( 7 1 )(8 πππ −− −− tuee tt + t e8 A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. B) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai. PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Caâu 11 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân y’’ + 6y’ +13 y = 10 + e-3t vôùi ñieàu kieän y(0) = 0 vaø y’(0) = 0 Caâu 12 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi heä phöông trình vi phaân ⎩⎨ ⎧ =++ =+ 62' 3' 3 yyx eyx t vôùi ñieàu kieän x(0) = 0 vaø y(0) = 0 Caâu 13 (1 ñieåm) Khai trieån Laurent haøm izeizzf −−= 1 3)()( quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp iz = . Tính tích phaân ∫ =− −−= 32 1 3)( iz iz dzeizI . Caâu 14 (1 ñieåm) Tìm taát caû caùc ñieåm trong maët phaúng phöùc maø taïi ñoù haøm soá coù ñaïo haøm vaø tính ñaïo haøm cuûa haøm soá taïi caùc ñieåm ñoù. izzizzf ++= Im)6()( --------------------------------------------------------------------------------------------------------- ? Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi. Ngaøy 28 thaùng 5 naêm 2015 Tröôûng Boä moân Toaùn - 3 - - 4 - - 5 - - 6 - TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ II NAÊM HOÏC 2014-2015 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ ñeà: 01 – 0001 - 0110-2015-1615- 0010 Giaùm thò 1 Giaùm thò 2 Giaùo vieân chaám thi 1&2 ÑIEÅM Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: Thôøi gian : 90 phuùt (1/6/2015) Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm. BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Traû lôøi BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC CÔ BAÛN BOÄ MOÂN TOAÙN ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ II NAÊM HOÏC 2014-2015 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (1/6/2015) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu M aõ ñeà: 10-0011-0111-2015-1615-0011 (Noäp laïi ñeà naøy) PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm) (choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6) Câu 1 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai? A) L [af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) B) L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) + bg(t) C) L D) L -1 9 3 )2( !35]35[ 24 23 −+−+=++ ppptshet t tshtch p p 8583 64 53 2 +=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − + Caâu 2 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm f(z) vaø ∞=→ )(lim zfaz , A)z( (vôùi ∞≠≠ A0 ) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm f(z). f)az(lim m az =−→ B) iz 3= laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm f(z) = 2)3( 5 iz e z − C) ∫ =− −6 2)3( 5 iz dz iz e z =2 iπ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − iiz es z 3, )3( Re 2 5 = iie1510π D) ∫ =+ −65 2)3( 5 iz dz iz e z = 2 iπ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − iiz es z 3, )3( Re 2 5 Câu 3 Phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc z = laø: ie i e 22 31 −+− A) Rez = + cos2, Imz = - sin2 2e 23e B) Rez = 10 2e + cos2, Imz = 10 3 2e + sin2 C) Rez = 10 2e + cos2, Imz = 10 3 2e - sin2 D) Rez = + cos2, Imz = + sin2 2e 23e Câu 4 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) không giải tích trên mieàn D thì các hàm u(x,y) và v(x,y) không điều hòa trên miền D. B) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y) và v(x,y) thỏa điều kiện Cauchy – Reimann tại (xo,yo). C) Nếu hàm v(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D. D) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän Cauchy – Reimann trên miền D thì f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên mieàn D. Caâu 5 Trong maët phaúng phöùc cho caùc taäp hôïp ñieåm { }izizzE −−=+−= 31: , =F { }643: <+− izz . Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Taäp E laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng noái hai ñieåm i−1 vaø i+3 . B) Taäp F laø hình troøn môû taâm i43− baùn kính baèng 6 . C) Caùc taäp E vaø F ñeàu laø caùc taäp lieân thoâng. D) Hai taäp E vaø F khoâng coù ñieåm chung )( ∅=∩ FE . Câu 6 Ảnh của đường thẳng y = 0 qua phép biến hình = u +iv là izew += 3 - 1 - A) ñöôøng thẳng u = 0. B) ñöôøng tròn u2 + v2 = 6e . C) ñöôøng tròn u2 + v2 = 3e . D) ñöôøng thẳng v = 0. Caâu 7 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Hình troøn hoäi tuï cuûa chuoãi luõy thöøa (neáu coù) thì duy nhaát. B) Baùn kính hoäi tuï cuûa chuoãi luõy thöøa (neáu coù) thì duy nhaát. C) Chuoãi ∑∞ = + − 1 52 )3( n n nizn coù baùn kính hoäi tuï laø 5 1 )52( )52( lim 1 =+ +⋅+= + ∞→ n nR n nn D) Chuoãi ∑∞ = + − 1 52 )3( n n nizn coù hình troøn hoäi tuï laø 53 ≤− iz . Caâu 8 Cho phöông trình vi phaân: y’-8y = u(t-π) (1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 1. π−te Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L [y(t)] ♦ Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc: pY-8Y = 1− − p e pπ +1 (2) ♦ Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y= )8)(1( −− − pp e pπ + 8 1 −p (3) ♦ Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−− − 1 1 8 1 7 pp e pπ + 8 1 −p ♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y = ( ) )( 7 1 )(8 πππ −− −− tuee tt + t e8 A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. B) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai. Câu 9 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai? A) L 0 ( )( ) t F pf u du p ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ B) L ( )9)6( 63cos 20 6 +− −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡∫ pp pudue t u C) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L [f(t)] = 1 1 0− − −∫Tp pt f t dte e T ( ) D) Neáu vaø f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =⎩⎨ ⎧ << <<= ππ π 20 05sin )( tkhi tkhit tf tdtpt p ee 5sin 1 1 π 0 ∫ −−− π Caâu 10 Ñeå giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= e3t+5 ta laøm nhö sau: duut t uy )(2cos 0 )( −∫ ♦ Aùp duïng tích chaäp, phöông trình töông ñöông vôùi: y(t) = te3 +5y(t)*cos2t ♦ Ñaët Y = Y(p) = L [y(t)] vaø bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc L [y(t)] = L [ ] +5 L [y(t)*cos2t] te3 ♦ Aùp duïng coâng thöùc Borel ta ñöôïc Y = 3 1 −p + 5L [y(t)] L [cos2t] ⇔ Y = 3 1 −p +5Y 42 +p p ♦ Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc: Y = )4)(3)(1( 42 −−− + ppp p - 2 - ♦ Phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn: Y= 1−p A + 3−p B + 4−p C (vôùi A, B, C = const maø chuùng ta chöa tìm) ♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm : y(t) = tt t CeBeAe 43 ++ A) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai. PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Caâu 11 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân y’’ + 6y’ +13 y = 10 + e-3t vôùi ñieàu kieän y(0) = 0 vaø y’(0) = 0 Caâu 12 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi heä phöông trình vi phaân ⎩⎨ ⎧ =++ =+ 62' 3' 3 yyx eyx t vôùi ñieàu kieän x(0) = 0 vaø y(0) = 0 Caâu 13 (1 ñieåm) Khai trieån Laurent haøm izeizzf −−= 1 3)()( quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp iz = . Tính tích phaân ∫ =− −−= 32 1 3)( iz iz dzeizI . Caâu 14 (1 ñieåm) Tìm taát caû caùc ñieåm trong maët phaúng phöùc maø taïi ñoù haøm soá coù ñaïo haøm vaø tính ñaïo haøm cuûa haøm soá taïi caùc ñieåm ñoù. izzizzf ++= Im)6()( --------------------------------------------------------------------------------------------------------- ? Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi. Ngaøy 28 thaùng 5 naêm 2015 Tröôûng Boä moân Toaùn - 3 - - 4 - - 5 - - 6 - TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ II NAÊM HOÏC 2014-2015 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ ñeà: 10 – 0011 - 0111-2015-1615- 0011 Giaùm thò 1 Giaùm thò 2 Giaùo vieân chaám thi 1&2 ÑIEÅM Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: Thôøi gian : 90 phuùt (1/6/2015) Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm. BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Traû lôøi BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC CÔ BAÛN BOÄ MOÂN TOAÙN ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ II NAÊM HOÏC 2014-2015 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (1/6/2015) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu M aõ ñeà: 11-0001-0100-2015-1615-0100 (Noäp laïi ñeà naøy) PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm) (choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6) Câu 1 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai? A) L 0 ( )( ) t F pf u du p ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ B) L ( )9)6( 63cos 20 6 +− −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡∫ pp pudue t u C) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L [f(t)] = 1 1 0− − −∫Tp pt f t dte e T ( ) D) Neáu vaø f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =⎩⎨ ⎧ << <<= ππ π 20 05sin )( tkhi tkhit tf tdtpt p ee 5sin 1 1 π 0 ∫ −−− π Caâu 2 Ñeå giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= e3t+5 ta laøm nhö sau: duut t uy )(2cos 0 )( −∫ ♦ Aùp duïng tích chaäp, phöông trình töông ñöông vôùi: y(t) = te3 +5y(t)*cos2t ♦ Ñaët Y = Y(p) = L [y(t)] vaø bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc L [y(t)] = L [ ] +5 L [y(t)*cos2t] te3 ♦ Aùp duïng coâng thöùc Borel ta ñöôïc Y = 3 1 −p + 5L [y(t)] L [cos2t] ⇔ Y = 3 1 −p +5Y 42 +p p ♦ Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc: Y = )4)(3)(1( 42 −−− + ppp p ♦ Phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn: Y= 1−p A + 3−p B + 4−p C (vôùi A, B, C = const maø chuùng ta chöa tìm) ♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm : y(t) = tt t CeBeAe 43 ++ A) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai. Câu 3 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai? A) L [af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) B) L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) + bg(t) C) L D) L -1 9 3 )2( !35]35[ 24 23 −+−+=++ ppptshet t tshtch p p 8583 64 53 2 +=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − + Câu 4 Phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc z = laø: ie i e 22 31 −+− A) Rez = + cos2, Imz = - sin2 2e 23e B) Rez = 10 2e + cos2, Imz = 10 3 2e + sin2 C) Rez = 10 2e + cos2, Imz = 10 3 2e - sin2 D) Rez = + cos2, Imz = + sin2 2e 23e Câu 5 Khẳng định nào sau đây sai? - 1 - A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) không giải tích trên mieàn D thì các hàm u(x,y) và v(x,y) không điều hòa trên miền D. B) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y) và v(x,y) thỏa điều kiện Cauchy – Reimann tại (xo,yo). C) Nếu hàm v(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D. D) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän Cauchy – Reimann trên miền D thì f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên mieàn D. Caâu 6 Trong maët phaúng phöùc cho caùc taäp hôïp ñieåm { }izizzE −−=+−= 31: , =F { }643: <+− izz . Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Taäp E laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng noái hai ñieåm i−1 vaø i+3 . B) Taäp F laø hình troøn môû taâm i43− baùn kính baèng 6 . C) Caùc taäp E vaø F ñeàu laø caùc taäp lieân thoâng. D) Hai taäp E vaø F khoâng coù ñieåm chung )( ∅=∩ FE . Câu 7 Ảnh của đường thẳng y = 0 qua phép biến hình = u +iv là izew += 3 A) ñöôøng thẳng u = 0. B) ñöôøng tròn u2 + v2 = 6e . C) ñöôøng tròn u2 + v2 = 3e . D) ñöôøng thẳng v = 0. Caâu 8 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Hình troøn hoäi tuï cuûa chuoãi luõy thöøa (neáu coù) thì duy nhaát. B) Baùn kính hoäi tuï cuûa chuoãi luõy thöøa (neáu coù) thì duy nhaát. C) Chuoãi ∑∞ = + − 1 52 )3( n n nizn coù baùn kính hoäi tuï laø 5 1 )52( )52( lim 1 =+ +⋅+= + ∞→ n nR n nn D) Chuoãi ∑∞ = + − 1 52 )3( n n nizn coù hình troøn hoäi tuï laø 53 ≤− iz . Caâu 9 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm f(z) vaø ∞=→ )(lim zfaz , A)z( (vôùi ∞≠≠ A0 ) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm f(z). f)az(lim m az =−→ B) iz 3= laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm f(z) = 2)3( 5 iz e z − C) ∫ =− −6 2)3( 5 iz dz iz e z =2 iπ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − iiz es z 3, )3( Re 2 5 = iie1510π D) ∫ =+ −65 2)3( 5 iz dz iz e z = 2 iπ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ − iiz es z 3, )3( Re 2 5 Caâu 10 Cho phöông trình vi phaân: y’-8y = u(t-π) (1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 1. π−te Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L [y(t)] ♦ Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc: pY-8Y = 1− − p e pπ +1 (2) ♦ Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y= )8)(1( −− − pp e pπ + 8 1 −p (3) ♦ Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−− − 1 1 8 1 7 pp e pπ + 8 1 −p - 2 - ♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y = ( ) )( 7 1 )(8 πππ −− −− tuee tt + t e8 A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. B) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai. PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Caâu 11 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân y’’ + 6y’ +13 y = 10 + e-3t vôùi ñieàu kieän y(0) = 0 vaø y’(0) = 0 Caâu 12 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi heä phöông trình vi phaân ⎩⎨ ⎧ =++ =+ 62' 3' 3 yyx eyx t vôùi ñieàu kieän x(0) = 0 vaø y(0) = 0 Caâu 13 (1 ñieåm) Khai trieån Laurent haøm izeizzf −−= 1 3)()( quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp iz = . Tính tích phaân ∫ =− −−= 32 1 3)( iz iz dzeizI . Caâu 14 (1 ñieåm) Tìm taát caû caùc ñieåm trong maët phaúng phöùc maø taïi ñoù haøm soá coù ñaïo haøm vaø tính ñaïo haøm cuûa haøm soá taïi caùc ñieåm ñoù. izzizzf ++= Im)6()( --------------------------------------------------------------------------------------------------------- ? Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi. Ngaøy 28 thaùng 5 naêm 2015 Tröôûng Boä moân Toaùn - 3 - - 4 - - 5 - - 6 - TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ II NAÊM HOÏC 2014-2015 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ ñeà: 11 - 0001- 0100 -2015-1615- 0100 Giaùm thò 1 Giaùm thò 2 Giaùo vieân chaám thi 1&2 ÑIEÅM Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: Thôøi gian : 90 phuùt (1/6/2015) Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm. BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Traû lôøi BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN - 7 - CHUAÅN ÑAÀU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Töø caâu 1 ñeán caâu 10 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3 Caâu 11, caâu 12 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 Caâu 13, caâu 14 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 ÑAÙP AÙN MOÂN HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE (Ngaøy thi: 1/6/2015) PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM Maõ ñeà: 00 – 0001 - 0110-2015-1615- 0001 Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Traû lôøi C A D B D D A D D B Maõ ñeà: 01 – 0001 - 0110-2015-1615- 0010 Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Traû lôøi D D B C A D B D D A Maõ ñeà: 10 – 0011 - 0111-2015-1615- 0011 Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Traû lôøi D D C A D B D A D B Maõ ñeà: 11 - 0001- 0100 -2015-1615- 0100 Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Traû lôøi D B D C A D B D D A BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN Caâu hoûi Noäi dung Ñieåm Caâu 11 1,5ñ Ñaët = )( pYY = [ ])t(yL . Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình, aùp duïng tính chaát tuyeán tính vaø tính chaát ñaïo haøm haøm goác ta ñöôïc: = ( ) YypYypyYp 13)0(6)0(')0(2 +−+−− [ ]te 310 −+L ⇔ =++ )136( 2 ppY 3 110 ++ pp 0.5ñ ⇔ =Y ]4)3)[(3( 3011 2 +++ + ppp p = p A 3++ p B + 4)3( 2)3( 2 ++ ++ p DpC 0.5ñ Bieái ñoåi Laplace ngöôïc hai veá vaø aùp duïng tính chaát tuyeán tính ta ñöôïc =)(ty = ][1 Y−L ] 2)3( 2 4)3( 3 3 11[ 22 1 +++++ ++++ − p D p pC p B p AL ⇔ =)(ty tDetCeBeA ttt 2sin2cos 333 −−− +++ Tìm döïa vaøo ñaúng thöùc: DCBA ,,, ]4)3)[(3( 3011 2 +++ + ppp p = (*)= p A 3++ p B + 4)3( 2)3( 2 ++ ++ p DpC =A ]4)30)[(30( 30011 2 +++ +× 13 10= , =B ]4)33)[(3( 30)3(11 2 ++−− +−× = 4 1 Töø (*) cho ñöôïc: 1=p =× 204 41 A 4 B+ + 20 24 DC + Töø (*) cho ñöôïc: 2−=p 5 4− = 5 2 2 DCBA +++− . 0.5ñ 1 Suy ra =C 52 53− , =D 13 15− Caâu 12 1.5ñ Ñaët [ ] [ ]yY,xX LL == ; bieán ñoåi Laplace hai veá ta ñöôïc: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]⎩⎨ ⎧ =+′+ =+′ 162 3 3 LLLL LLL yx eyx t y ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =++ −=+⇔ p YpX p YpX 6)2( 3 13 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ++−+−=+−− −= ++−+−+=+−− +−= ⇔ 331)3)(3)(1( 196 331)3)(3)(1( 54162 p G p F p E ppp pY p D p C p B p A pppp ppX Bieán ñoåi ngöôïc hai veá ta ñöôïc: ⎩⎨ ⎧ = = − − ][ ][ 1 1 Y X y x L L ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ++−+− ++−+−+ = = − − ] 3 1 3 1 1 1[ ] 3 1 3 1 1 11[ 1 1 p G p F p E p D p C p B p A y x L L ⇔ ⎩⎨ ⎧ ++= +++= − − ttt tttt GeFeEey DeCeBeAex 33 33 ♦ Tìm DCB dựa vào A ,,, 331)3)(3)(1( 54162 ++−+−+=+−− +− p D p C p B p A pppp pp 6 )30)(30)(10( 5401602 =+−− +×−=A , 8 39 )31)(31(1 5411612 −=+− +×−=B , 12 5 )33)(13(3 5431632 =+− +×−=C 24 37 )33)(13(3 54)3(16)3( 2 −=−−−−− +−×−−=D 0.5ñ 0.5ñ 0.5ñ ♦ Tìm GFE ,, dựa vào 331)3)(3)(1( 196 ++−+−=+−− − p G p F p E ppp p 8 13 )31)(31( 1916 =+− −×=E , 12 1 )33)(13( 1936 −=+− −×=F , 24 37 )33)(13( 19)3(6 −=−−−− −−×=G Caâu 13 1 ñieåm Khai trieån Laurent izeizzf −−= 1 3)()( = ∑∞ = −− 0 1 3 ! )( )( n n iz n iz = ∑∞ = −− 0 3 )(! 1)( n nizn iz =∑∞ = −−0 3)(! 1 n nizn Tính tích phaân ∫ =− −−= 32 1 3)( iz iz dzeizI = 2 iπ ],)[(Re 1 3 ieizs iz−− = !4 12 iπ = 12 iπ 0.5ñ 0.5ñ Caâu 14 1 ñieåm Taäp xaùc ñònh haøm soá laø C 2 izzizzf ++= Im)6()( )()6( iyxiyiiyx ++++= = 443442143421 vu yyxiyxy )6()( 2 +++− Caùc ñaïo haøm rieâng , ñeàu lieân tuïc treân R2 neân u, v khaû vi treân R2 = C (1). 1, '' −== xuyu yx 62,1 '' +== yvv yx Ñieàu kieän (C-R): (2). ⎪⎩ ⎪⎨⎧ −= = '' '' xy yx vu vu ⎩⎨ ⎧ −=− +=⇔ 11 62 x yy ⎩⎨ ⎧ −= =⇔ 6 0 y x Haøm soá coù ñaïo haøm khi vaø chæ khi haøm soá khaû vi (3). Töø (1),(2) vaø (3) suy ra taäp taát caû caùc ñieåm haøm soá coù ñaïo haøm laø { }. i6− =− )6(' if )6,0()6,0( '' −+− xx ivu = ii +−=+− 66 *** HEÁT*** 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ CHUAÅN ÑAÀU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Töø caâu 1 ñeán caâu 10 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3 Caâu 11, caâu 12 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 Caâu 13, caâu 14 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 3