Đề thi cuối kỳ học kỳ III năm học 2015 - 2016 môn: Hàm biến phức và phép biến đổi laplace - Mã môn học: Math 121201

- 1 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ III NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (9/8/2016) Đề thi gồm 3 trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 2016-0003-1008-0304-0001 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (Chọn 1 trong các câu A, B, C, D rồi điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM ở trang 6) Câu 1 Cho số phức z = 93 10 ii  + e -9i . Khi đó: A) Rez = 3 + cos9, Imz = 2-sin9 B) Rez = 10 + cos9, Imz = -sin9 C) Rez = 3 + cos9, Imz = 2+sin9 D) Rez = 3+ cos9, Imz = -2 – sin9 Câu 2 Trong mặt phẳng phức cho các tập hợp điểm  izzzE 33:  , F  462:  izz . Khẳng định nào sau đây sai? A) Tập E không bị chặn. B) Tập F là tập bị chặn. C) Tập F là hình tròn đóng tâm 2-6i bán kính bằng 4. D) Tập E là đường trung trực của đoạn thẳng nối 3i với 3. Câu 3 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu hàm u(x,y) và v(x,y) điều hịa và thỏa điều kiện (C-R) trên hình trịn mở  rzzzD o  : thì hàm )(zf = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D . B) Hàm phức )(zf = u(x,y) + iv(x,y) liên tục trên miền D khi và chỉ khi các hàm u(x,y), v(x,y) liên tục trên miền D. C) Nếu hàm u(x,y) khơng điều hịa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích trên D. D) Nếu hàm phức )(zf = u(x,y) + iv(x,y) không khả vi trên miền D thì các hàm u(x,y) và v(x,y) không khả vi trên miền D. Câu 4 Hàm phức f(z) = 28 z z z  = u + iv có phần thực và phần ảo là: A) u = 229 yx x  , v = 22 9 yx y  B) u = 229 yx x  , v = 22 7 yx y   C) u = 229 yx x  , v = 22 9 yx y   D) một kết quả khác Câu 5 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu a là điểm bất thường cô lập của hàm f(z) và  )(lim zfaz , Azfaz maz  )()(lim (với  A0 ) thì a là cực điểm cấp m của hàm f(z). B) iz 3 là cực điểm cấp 2 của hàm 2)3()( 10 iz ezf z z   C)     34 2)3( 10 iz dziz e zz = 2 i      iiz es z z 3,)3(Re 2 10 D)     34 2)3( 10 z dziz e zz = )10(2 3 iei Câu 6 Để giải phương trình tích phân: y(t)= te 5 -10 duutt uy )(3cos 0 )(  ta làm như sau:  Aùp dụng tích chập, phương trình tương đương với: y(t) = te 5 -10y(t)*cos3t  Đặt Y = Y(p) = L y(t) và biến đổi Laplace hai vế phương trình ta được L y(t) = L [ te 5 ] -10 L [y(t)*cos3t] - 2 -  Aùp dụng công thức Borel ta được Y = 5 1 p - 10L y(t) L cos3t  Y = 5 1 p -10Y 92 p p  Giải phương trình với Y là ẩn ta được: Y = )5)(9)(1( 92   ppp p  Phân tích thành phân thức đơn giản: Y= 1p A + 9p B + 5p C (với A, B, C = const mà chúng ta chưa tìm)  Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được nghiệm : y(t) = ttt CeBeAe 59   A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai. B) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng. C) Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai. D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai. Câu 7 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai? A)Nếu f(t) là hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T thì L f(t) = 1 1 0  Tp pt f t dte e T ( ) B)Nếu       22cos 00)( tkhit tkhitf và f(t+2) = f(t) thì L f(t) = tdtptp ee 2cos21 1 2π 0    C) L 0 ( )( ) t F pf u du p      D)L )4)3(( 32 2 0 3     pp puduche t u Câu 8 Trong mặt phẳng phức cho các hàm số 3810),(  xxyyxu , 6855),( 22  yxyyxv . Khẳng định nào sau đây đúng? A) u điều hịa, v khơng điều hịa. B) u, v là các hàm điều hịa liên hợp. C) u, v điều hịa nhưng khơng là các hàm điều hịa liên hợp. D) v điều hịa, u khơng điều hịa Câu 9 Cho phương trình vi phân: yy 8' = )(3)(   tetu (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 10. Để giải phương trình vi phân này ta làm như sau: Đặt Y = Y(p)= L y(t)  Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: YpY 8 = 3  p e p +10 (2)  Giải phương trình (2) với Y là ẩn ta được : Y= )8)(3(   pp e p + 8 10 p (3)  Phân tích vế phải của (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y =       3 1 8 1 5 1 ppe p + 8 10 p  Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được nghiệm: y =   )(51 (3)(8    tuee tt +10 te8 A)Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng. B)Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai. C)Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai. D)Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai. Câu 10 Giả sửL f(t) = F(p),L g(t) = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai? A)L af(t) + bg(t) = aF(p) + bG(p) B)L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) +bg(t) C)L 25 5 )3( !48]5sin8[ 24234   ppptett t D)L -1 tshtchp p 881064 810 2      PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1,5 điểm) Khai triển Laurent hàm 1)( 2  pepF quanh điểm bất thường cô lập 0p . - 3 - Dựa vào kết quả khai triển tìm gốc hàm ảnh )( pF và tính tích phân    5 2 )1( iz z dzeI . Câu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân      teyyx yx 34' 35' với điều kiện x(0) = 0 và y(0) = 0 Câu 13 (2 điểm) a) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân tyyy 3sin27'8''  với điều kiện 0)0( y và 1)0(' y b) Chứng tỏ rằng sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm của phương trình vi phân, )(ty , biểu diễn xấp xỉ một dao động điều hịa theo thời gian t . Xác định biên độ dao động này. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------  Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi. CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Từ câu 1 đến câu 10 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Câu 11: Khai triển được chuỗi Laurent, tính được thặng dư và áp dụng tính tích phân. Câu 12, Câu 13: Aùp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân rồi ứng dụng vào đời sống. G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngày 8 tháng 8 năm 2016 Thông qua Bộ môn Toán - 4 - - 5 - - 6 - TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ III NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã đề: 2016-0003-1008-0304-0001 Giám thị 1 Giám thị 2 Giáo viên chấm thi 1&2 ĐIỂM Họ, tên sinh viên: ..................................... Mã số sinh viên:................................ Số báo danh (STT):........ Phòng thi: Thời gian : 90 phút (9/8/2016) Lưu ý: Sinh viên làm bài thi lần lượt trên trang 6, 5, 4,3. Đối với các hệ phương trình đại số tuyến tính thì chỉ cần ghi kết quả vào bài làm mà không cần trình bày cách giải. Sinh viên nộp lại đề thi cùng với bài làm. BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN - 1 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ III NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (9/8/2016) Đề thi gồm 3 trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 2016-0003-1008-0304-0010 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (Chọn 1 trong các câu A, B, C, D rồi điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM ở trang 6) Câu 1 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai? A)Nếu f(t) là hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T thì L f(t) = 1 1 0  Tp pt f t dte e T ( ) B)Nếu       22cos 00)( tkhit tkhitf và f(t+2) = f(t) thì L f(t) = tdtptp ee 2cos21 1 2π 0    C) L 0 ( )( ) t F pf u du p      D)L )4)3(( 32 2 0 3     pp puduche t u Câu 2 Trong mặt phẳng phức cho các hàm số 3810),(  xxyyxu , 6855),( 22  yxyyxv . Khẳng định nào sau đây đúng? A) u điều hịa, v khơng điều hịa. B) u, v là các hàm điều hịa liên hợp. C) u, v điều hịa nhưng khơng là các hàm điều hịa liên hợp. D) v điều hịa, u khơng điều hịa Câu 3 Cho phương trình vi phân: yy 8' = )(3)(   tetu (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 10. Để giải phương trình vi phân này ta làm như sau: Đặt Y = Y(p)= L y(t)  Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: YpY 8 = 3  p e p +10 (2)  Giải phương trình (2) với Y là ẩn ta được : Y= )8)(3(   pp e p + 8 10 p (3)  Phân tích vế phải của (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y =       3 1 8 1 5 1 ppe p + 8 10 p  Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được nghiệm: y =   )(51 (3)(8    tuee tt +10 te8 A)Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng. B)Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai. C)Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai. D)Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai. Câu 4 Giả sửL f(t) = F(p),L g(t) = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai? A)L af(t) + bg(t) = aF(p) + bG(p) B)L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) +bg(t) C)L 25 5 )3( !48]5sin8[ 24234   ppptett t D)L -1 tshtchp p 881064 810 2      Câu 5 Cho số phức z = 93 10 ii  + e -9i . Khi đó: A) Rez = 3 + cos9, Imz = 2-sin9 B) Rez = 3 + cos9, Imz = 2+sin9 C) Rez =10 + cos9, Imz = -sin9 D) Rez = 3+ cos9, Imz = -2 – sin9 Câu 6 Trong mặt phẳng phức cho các tập hợp điểm  izzzE 33:  , F  462:  izz . Khẳng định nào sau đây sai? - 2 - A) Tập E không bị chặn. B) Tập F là tập bị chặn. C) Tập F là hình tròn đóng tâm 2-6i bán kính bằng 4. D) Tập E là đường trung trực của đoạn thẳng nối 3i với 3. Câu 7 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu hàm u(x,y) và v(x,y) điều hịa và thỏa điều kiện (C-R) trên hình trịn mở  rzzzD o  : thì hàm )(zf = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D . B) Hàm phức )(zf = u(x,y) + iv(x,y) liên tục trên miền D khi và chỉ khi các hàm u(x,y), v(x,y) liên tục trên miền D. C) Nếu hàm u(x,y) khơng điều hịa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích trên D. D) Nếu hàm phức )(zf = u(x,y) + iv(x,y) không khả vi trên miền D thì các hàm u(x,y) và v(x,y) không khả vi trên miền D. Câu 8 Hàm phức f(z) = 28 z z z  = u + iv có phần thực và phần ảo là: A) u = 229 yx x  , v = 22 9 yx y  B) u = 229 yx x  , v = 22 7 yx y   C) u = 229 yx x  , v = 22 9 yx y   D) một kết quả khác Câu 9 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu a là điểm bất thường cô lập của hàm f(z) và  )(lim zfaz , Azfaz maz  )()(lim (với  A0 ) thì a là cực điểm cấp m của hàm f(z). B) iz 3 là cực điểm cấp 2 của hàm 2)3()( 10 iz ezf z z   C)     34 2)3( 10 iz dziz e zz = 2 i      iiz es z z 3,)3(Re 2 10 D)     34 2)3( 10 z dziz e zz = )10(2 3 iei Câu 10 Để giải phương trình tích phân: y(t)= te 5 -10 duutt uy )(3cos 0 )(  ta làm như sau:  Aùp dụng tích chập, phương trình tương đương với: y(t) = te 5 -10y(t)*cos3t  Đặt Y = Y(p) = L y(t) và biến đổi Laplace hai vế phương trình ta được L y(t) = L [ te 5 ] -10 L [y(t)*cos3t]  Aùp dụng công thức Borel ta được Y = 5 1 p - 10L y(t) L cos3t  Y = 5 1 p -10Y 92 p p  Giải phương trình với Y là ẩn ta được: Y = )5)(9)(1( 92   ppp p  Phân tích thành phân thức đơn giản: Y= 1p A + 9p B + 5p C (với A, B, C = const mà chúng ta chưa tìm)  Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được nghiệm : y(t) = ttt CeBeAe 59   A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai. B) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng. C) Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai. D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai. PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1,5 điểm) Khai triển Laurent hàm 1)( 2  pepF quanh điểm bất thường cô lập 0p . - 3 - Dựa vào kết quả khai triển tìm gốc hàm ảnh )( pF và tính tích phân    5 2 )1( iz z dzeI . Câu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân      teyyx yx 34' 35' với điều kiện x(0) = 0 và y(0) = 0 Câu 13 (2 điểm) a) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân tyyy 3sin27'8''  với điều kiện 0)0( y và 1)0(' y b) Chứng tỏ rằng sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm của phương trình vi phân, )(ty , biểu diễn xấp xỉ một dao động điều hịa theo thời gian t . Xác định biên độ dao động này. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------  Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi. CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Từ câu 1 đến câu 10 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Câu 11: Khai triển được chuỗi Laurent, tính được thặng dư và áp dụng tính tích phân. Câu 12, Câu 13: Aùp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân rồi ứng dụng vào đời sống. G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngày 8 tháng 8 năm 2016 Thông qua Bộ môn Toán - 4 - - 5 - - 6 - TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ III NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã đề: 2016-0003-1008-0304-0010 Giám thị 1 Giám thị 2 Giáo viên chấm thi 1&2 ĐIỂM Họ, tên sinh viên: ..................................... Mã số sinh viên:................................ Số báo danh (STT):........ Phòng thi: Thời gian : 90 phút (9/8/2016) Lưu ý: Sinh viên làm bài thi lần lượt trên trang 6, 5, 4,3. Đối với các hệ phương trình đại số tuyến tính thì chỉ cần ghi kết quả vào bài làm mà không cần trình bày cách giải. Sinh viên nộp lại đề thi cùng với bài làm. BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN - 1 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ III NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (9/8/2016) Đề thi gồm 3 trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 2016-0003-1008-0304-0011 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (Chọn 1 trong các câu A, B, C, D rồi điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM ở trang 6) Câu 1 Để giải phương trình tích phân: y(t)= te 5 -10 duutt uy )(3cos 0 )(  ta làm như sau:  Aùp dụng tích chập, phương trình tương đương với: y(t) = te 5 -10y(t)*cos3t  Đặt Y = Y(p) = L y(t) và biến đổi Laplace hai vế phương trình ta được L y(t) = L [ te 5 ] -10 L [y(t)*cos3t]  Aùp dụng công thức Borel ta được Y = 5 1 p - 10L y(t) L cos3t  Y = 5 1 p -10Y 92 p p  Giải phương trình với Y là ẩn ta được: Y = )5)(9)(1( 92   ppp p  Phân tích thành phân thức đơn giản: Y= 1p A + 9p B + 5p C (với A, B, C = const mà chúng ta chưa tìm)  Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được nghiệm : y(t) = ttt CeBeAe 59   A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai. B) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng. C) Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai. D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai. Câu 2 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai? A)Nếu f(t) là hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T thì L f(t) = 1 1 0  Tp pt f t dte e T ( ) B)Nếu       22cos 00)( tkhit tkhitf và f(t+2) = f(t) thì L f(t) = tdtptp ee 2cos21 1 2π 0    C) L 0 ( )( ) t F pf u du p      D)L )4)3(( 32 2 0 3     pp puduche t u Câu 3 Trong mặt phẳng phức cho các hàm số 3810),(  xxyyxu , 6855),( 22  yxyyxv . Khẳng định nào sau đây đúng? A) u điều hịa, v khơng điều hịa. B) u, v là các hàm điều hịa liên hợp. C) u, v điều hịa nhưng khơng là các hàm điều hịa liên hợp. D) v điều hịa, u khơng điều hịa Câu 4 Cho phương trình vi phân: yy 8' = )(3)(   tetu (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 10. Để giải phương trình vi phân này ta làm như sau: Đặt Y = Y(p)= L y(t)  Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: YpY 8 = 3  p e p +10 (2)  Giải phương trình (2) với Y là ẩn ta được : Y= )8)(3(   pp e p + 8 10 p (3)  Phân tích vế phải của (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y =       3 1 8 1 5 1 ppe p + 8 10 p - 2 -  Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được nghiệm: y =   )(51 (3)(8    tuee tt +10 te8 A)Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng. B)Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai. C)Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai. D)Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai. Câu 5 Giả sửL f(t) = F(p),L g(t) = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai? A)L af(t) + bg(t) = aF(p) + bG(p) B)L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) +bg(t) C)L 25 5 )3( !48]5sin8[ 24234   ppptett t D)L -1 tshtchp p 881064 810 2      Câu 6 Cho số phức z = 93 10 ii  + e -9i . Khi đó: A) Rez = 3 + cos9, Imz = 2-sin9 B) Rez = 10 + cos9, Imz = -sin9 C) Rez = 3 + cos9, Imz = 2+sin9 D) Rez = 3+ cos9, Imz = -2 – sin9 Câu 7 Trong mặt phẳng phức cho các tập hợp điểm  izzzE 33:  , F  462:  izz . Khẳng định nào sau đây sai? A) Tập E không bị chặn. B) Tập F là tập bị chặn. C) Tập F là hình tròn đóng tâm 2-6i bán kính bằng 4. D) Tập E là đường trung trực của đoạn thẳng nối 3i với 3. Câu 8 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu hàm u(x,y) và v(x,y) điều hịa và thỏa điều kiện (C-R) trên hình trịn mở  rzzzD o  : thì hàm )(zf = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D . B) Hàm phức )(zf = u(x,y) + iv(x,y) liên tục trên miền D khi và chỉ khi các hàm u(x,y), v(x,y) liên tục trên miền D. C) Nếu hàm u(x,y) khơng điều hịa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích trên D. D) Nếu hàm phức )(zf = u(x,y) + iv(x,y) không khả vi trên miền D thì các hàm u(x,y) và v(x,y) không khả vi trên miền D. Câu 9 Hàm phức f(z) = 28 z z z  = u + iv có phần thực và phần ảo là: A) u = 229 yx x  , v = 22 9 yx y  B) u = 229 yx x  , v = 22 7 yx y   C) u = 229 yx x  , v = 22 9 yx y   D) một kết quả khác Câu 10 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu a là điểm bất thường cô lập của hàm f(z) và  )(lim zfaz , Azfaz maz  )()(lim (với  A0 ) thì a là cực điểm cấp m của hàm f(z). B) iz 3 là cực điểm cấp 2 của hàm 2)3()( 10 iz ezf z z   C)     34 2)3( 10 iz dziz e zz = 2 i      iiz es z z 3,)3(Re 2 10 D)     34 2)3( 10 z dziz e zz = )10(2 3 iei PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1,5 điểm) Khai triển Laurent hàm 1)( 2  pepF quanh điểm bất thường cô lập 0p . - 3 - Dựa vào kết quả khai triển tìm gốc hàm ảnh )( pF và tính tích phân    5 2 )1( iz z dzeI . Câu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân      teyyx yx 34' 35' với điều kiện x(0) = 0 và y(0) = 0 Câu 13 (2 điểm) a) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân tyyy 3sin27'8''  với điều kiện 0)0( y và 1)0(' y b) Chứng tỏ rằng sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm của phương trình vi phân, )(ty , biểu diễn xấp xỉ một dao động điều hịa theo thời gian t . Xác định biên độ dao động này. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------  Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi. CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Từ câu 1 đến câu 10 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Câu 11: Khai triển được chuỗi Laurent, tính được thặng dư và áp dụng tính tích phân. Câu 12, Câu 13: Aùp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân rồi ứng dụng vào đời sống. G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngày 8 tháng 8 năm 2016 Thông qua Bộ môn Toán - 4 - - 5 - - 6 - TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ III NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã đề: 2016-0003-1008-0304-0011 Giám thị 1 Giám thị 2 Giáo viên chấm thi 1&2 ĐIỂM Họ, tên sinh viên: ..................................... Mã số sinh viên:................................ Số báo danh (STT):........ Phòng thi: Thời gian : 90 phút (9/8/2016) Lưu ý: Sinh viên làm bài thi lần lượt trên trang 6, 5, 4,3. Đối với các hệ phương trình đại số tuyến tính thì chỉ cần ghi kết quả vào bài làm mà không cần trình bày cách giải. Sinh viên nộp lại đề thi cùng với bài làm. BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN - 1 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ III NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã môn học: MATH 121201 Thời gian : 90 phút (9/8/2016) Đề thi gồm 3 trang Được phép sử dụng tài liệu Mã đề: 2016-0003-1008-0304-1000 (Nộp lại đề này) PHẦN TRẮC NGHIỆM LỰA CHỌN (5,0 điểm) (Chọn 1 trong các câu A, B, C, D rồi điền vào BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM ở trang 6) Câu 1 Trong mặt phẳng phức cho các hàm số 3810),(  xxyyxu , 6855),( 22  yxyyxv . Khẳng định nào sau đây đúng? A) u điều hịa, v khơng điều hịa. B) u, v là các hàm điều hịa liên hợp. C) u, v điều hịa nhưng khơng là các hàm điều hịa liên hợp. D) v điều hịa, u khơng điều hịa Câu 2 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu a là điểm bất thường cô lập của hàm f(z) và  )(lim zfaz , Azfaz maz  )()(lim (với  A0 ) thì a là cực điểm cấp m của hàm f(z). B) iz 3 là cực điểm cấp 2 của hàm 2)3()( 10 iz ezf z z   C)     34 2)3( 10 iz dziz e zz = 2 i      iiz es z z 3,)3(Re 2 10 D)     34 2)3( 10 z dziz e zz = )10(2 3 iei Câu 3 Để giải phương trình tích phân: y(t)= te 5 -10 duutt uy )(3cos 0 )(  ta làm như sau:  Aùp dụng tích chập, phương trình tương đương với: y(t) = te 5 -10y(t)*cos3t  Đặt Y = Y(p) = L y(t) và biến đổi Laplace hai vế phương trình ta được L y(t) = L [ te 5 ] -10 L [y(t)*cos3t]  Aùp dụng công thức Borel ta được Y = 5 1 p - 10L y(t) L cos3t  Y = 5 1 p -10Y 92 p p  Giải phương trình với Y là ẩn ta được: Y = )5)(9)(1( 92   ppp p  Phân tích thành phân thức đơn giản: Y= 1p A + 9p B + 5p C (với A, B, C = const mà chúng ta chưa tìm)  Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được nghiệm : y(t) = ttt CeBeAe 59   A) Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai. B) Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng. C) Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai. D) Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai. Câu 4 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai? A)Nếu f(t) là hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ T thì L f(t) = 1 1 0  Tp pt f t dte e T ( ) B)Nếu       22cos 00)( tkhit tkhitf và f(t+2) = f(t) thì L f(t) = tdtptp ee 2cos21 1 2π 0    C) L 0 ( )( ) t F pf u du p      D)L )4)3(( 32 2 0 3     pp puduche t u - 2 - Câu 5 Cho phương trình vi phân: yy 8' = )(3)(   tetu (1) với điều kiện ban đầu y(0) = 10. Để giải phương trình vi phân này ta làm như sau: Đặt Y = Y(p)= L y(t)  Biến đổi Laplace hai vế phương trình (1 ) ta được: YpY 8 = 3  p e p +10 (2)  Giải phương trình (2) với Y là ẩn ta được : Y= )8)(3(   pp e p + 8 10 p (3)  Phân tích vế phải của (3) thành phân thức đơn giản ta được: Y =       3 1 8 1 5 1 ppe p + 8 10 p  Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được nghiệm: y =   )(51 (3)(8    tuee tt +10 te8 A)Cách làm đúng, tính toán đúng, kết quả đúng. B)Cách làm sai, tính toán đúng, kết quả sai. C)Cách làm sai, tính toán sai, kết quả sai. D)Cách làm đúng, tính toán sai, kết quả sai. Câu 6 Giả sửL f(t) = F(p),L g(t) = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai? A)L af(t) + bg(t) = aF(p) + bG(p) B)L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) +bg(t) C)L 25 5 )3( !48]5sin8[ 24234   ppptett t D)L -1 tshtchp p 881064 810 2      Câu 7 Cho số phức z = 93 10 ii  + e -9i . Khi đó: A) Rez = 3 + cos9, Imz = 2-sin9 B) Rez = 3 + cos9, Imz = 2+sin9 C) Rez =10 + cos9, Imz = -sin9 D) Rez = 3+ cos9, Imz = -2 – sin9 Câu 8 Trong mặt phẳng phức cho các tập hợp điểm  izzzE 33:  , F  462:  izz . Khẳng định nào sau đây sai? A) Tập E không bị chặn. B) Tập F là tập bị chặn. C) Tập F là hình tròn đóng tâm 2-6i bán kính bằng 4. D) Tập E là đường trung trực của đoạn thẳng nối 3i với 3. Câu 9 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu hàm u(x,y) và v(x,y) điều hịa và thỏa điều kiện (C-R) trên hình trịn mở  rzzzD o  : thì hàm )(zf = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D . B) Hàm phức )(zf = u(x,y) + iv(x,y) liên tục trên miền D khi và chỉ khi các hàm u(x,y), v(x,y) liên tục trên miền D. C) Nếu hàm u(x,y) khơng điều hịa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) khơng giải tích trên D. D) Nếu hàm phức )(zf = u(x,y) + iv(x,y) không khả vi trên miền D thì các hàm u(x,y) và v(x,y) không khả vi trên miền D. Câu 10 Hàm phức f(z) = 28 z z z  = u + iv có phần thực và phần ảo là: A) u = 229 yx x  , v = 22 9 yx y  B) u = 229 yx x  , v = 22 7 yx y   C) u = 229 yx x  , v = 22 9 yx y   D) một kết quả khác PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Câu 11 (1,5 điểm) Khai triển Laurent hàm 1)( 2  pepF quanh điểm bất thường cô lập 0p . - 3 - Dựa vào kết quả khai triển tìm gốc hàm ảnh )( pF và tính tích phân    5 2 )1( iz z dzeI . Câu 12 (1,5 điểm) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân      teyyx yx 34' 35' với điều kiện x(0) = 0 và y(0) = 0 Câu 13 (2 điểm) a) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân tyyy 3sin27'8''  với điều kiện 0)0( y và 1)0(' y b) Chứng tỏ rằng sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm của phương trình vi phân, )(ty , biểu diễn xấp xỉ một dao động điều hịa theo thời gian t . Xác định biên độ dao động này. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------  Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi. CHUẨN ĐẦU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Từ câu 1 đến câu 10 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Câu 11: Khai triển được chuỗi Laurent, tính được thặng dư và áp dụng tính tích phân. Câu 12, Câu 13: Aùp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân rồi ứng dụng vào đời sống. G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Ngày 8 tháng 8 năm 2016 Thông qua Bộ môn Toán - 4 - - 5 - - 6 - TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP.HCM BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ III NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Mã đề: 2016-0003-1008-0304-1000 Giám thị 1 Giám thị 2 Giáo viên chấm thi 1&2 ĐIỂM Họ, tên sinh viên: ..................................... Mã số sinh viên:................................ Số báo danh (STT):........ Phòng thi: Thời gian : 90 phút (9/8/2016) Lưu ý: Sinh viên làm bài thi lần lượt trên trang 6, 5, 4,3. Đối với các hệ phương trình đại số tuyến tính thì chỉ cần ghi kết quả vào bài làm mà không cần trình bày cách giải. Sinh viên nộp lại đề thi cùng với bài làm. BÀI LÀM PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trả lời BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN - 1 - ĐÁP ÁN MÔN HÀM BIẾN PHỨC VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE (Ngày thi: 9/8/2016) PHẦN TRẮC NGHIỆM Mã đề: 2016-0003-1008-0304-1000 Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trả lời B D B B A C A C D C Mã đề: 2016-0003-1008-0304-0001 Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trả lời A C D C D B B B A C Mã đề: 2016-0003-1008-0304-0010 Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trả lời B B A C A C D C D B Mã đề: 2016-0003-1008-0304-0011 Câu hỏi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Trả lời B B B A C A C D C D BÀI LÀM PHẦN TỰ LUẬN Câu hỏi Nội dung Điểm Câu 11 1,5 điểm Khai triển Laurent Ta có: pe 2 = 0 2 ! )( n n p n =   0 ! 2 n n n pn )( pF 1 2 pe = = 1 ! 2 n n n pn = 0     ...!3 2 !2 22 3 3 2 2 ppp  Phần đều Phần chính Vì phần chính cĩ vơ số số hạng nên 0p là điểm bất thường cốt yếu. 0,25đ 0,25đ - 2 - Tìm gốc của )( pF : )( pF  1 ! 2 n n n pn      1 1)1()!1(! )!1(2 n n n pnn n  )]([1 pFL 1L          1)1( 1 )!1( )!1(! 2 n n n p n nn      1 1 )!1(! 2 n nn nn t Tính tích phân: Vì hàm số )(zf 1 2 ze giải tích trên \ 0 và đường trịn 5 iz bao quanh điểm bất thường cơ lập 0z nên áp dụng thặng dư ta được    5 2 )1( iz z dzeI = 2 i ]0,1[Re 2 zes = ii  422  0,5đ 0,5đ Câu12 1,5đ Đặt    yY,xX LL  ; biến đổi Laplace hai vế ta được:                  teyx yx 34 35 LLLL LLL y       3 1)4( 35 pYpX pYpX         513)5)(1)(3( 93 513)5)(1)(3( 3683 2 2 p H p G p F p E pppp ppY p D p C p B p A pppp ppX Biến đổi ngược hai vế ta được:       ][ ][ 1 1 Y X y x L L           ]5 1 1 1 3 11[ ]5 1 1 1 3 11[ 1 1 pHpGpFpE pDpCpBpA y x L L        ttt ttt HeGeFeEy DeCeBeAx 53 53  Tìm DCBA ,,, dựa vào 513)5)(1)(3( 3683 2   p D p C p B p A pppp pp 5 12 )50)(10)(30( 360803 2  A , 16 5 )53)(13)(3( 36)3(8)3(3 2  B , 12 25 )51)(31)(1( 36)1(8)1(3 2  C , 240 1 )15)(35(5 36)5(8)5(3 2  D 0.5đ 0.5đ 0.5đ - 3 -  Tìm HGFE ,,, dựa vào 513)5)(1)(3( 932   p H p G p F p E pppp pp 5 3 )50)(10)(30( 90302  E , 16 3 )53)(13)(3( 9)3(3)3( 2  F , 12 5 )51)(31)(1( 9)1(3)1( 2  G , 240 1 )15)(35(5 95352  H Câu 13 2đ Đặt )( pYY  =  )t(yL . Biến đổi Laplace hai vế phương trình, áp dụng tính chất tuyến tính và tính chất đạo hàm hàm gốc ta được:   YypYypyYp 7)0(8)0(')0(2  =  t3sin2 L   )78( 2 ppY 19 32 2  pp  Y )9)(7)(1( 18122 2 23   pppp ppp 0.5đ 0.25đ Phân tích thành phân thức đơn giản Y 9 3 71)9)(7)(1( 18122 2 (*) 2 23    p EDp p C p B p A pppp ppp Biếi đổi Laplace ngược hai vế và áp dụng tính chất tuyến tính ta được )(ty ][1 YL = ]9 3 97 1 1 11[ 221   pEp pDpCpBpAL  )(ty tEtDCeBeA tt 3sin3cos7   Tìm EDCBA ,,,, dựa vào đẳng thức: 9 3 71)9)(7)(1( 18122 2 (*) 2 23    p EDp p C p B p A pppp ppp A 7 2 )90)(70)(10( 18012020 2 23   , 60 7 )9)1)((71)(1( 18)1(12)1(2)1( 2 23  B 2436 311 )9)7)((17)(7( 18)7(12)7(2)7( 2 23  C 0.25đ 0.5đ - 4 - Từ đẳng thức (*)        9)2( 32 7212265 3:2 91 3 71111160 33:1 2 2 EDCBApCho EDCBApCho Thay 2436 311,60 7,7 2  CBA vào hệ trên rồi giải tìm ED, ta được 290 3,145 6  ED Vậy nghiệm phương trình vi phân là )(ty ttee tt 3sin290 33cos145 6 2436 311 60 7 7 2 7   b) Cách giải tổng quát như sau: )(ty tEtDCeBeA tt 3sin3cos7   Vì 0)(lim 7   ttt CeBe nên sau khoảng thời gian t đủ lớn thì nghiệm phương trình vi phân )3sin3cos(3sin3cos)( 2222 22 tED DtED DEDAtEtDAty     Đặt 2222 cos,sin ED D ED D      )3sin()3sincos3cos(sin)( 2222   tEDAttEDAty Vậy sau khoảng thời gian t đủ lớn thì nghiệm phương trình vi phân, )(ty , xấp xỉ dao động điều hịa theo thời gian t cĩ biên độ dao động 22 ED  quanh điểm cân bằng cĩ tọa độ 7 2 Ayo . 0.5đ *** HẾT***