Đề thi môn: tTán cao cấp C2 - Mã môn học: Math 130901

Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM Khoa Khoa học Cơ bản Bộ môn Toán ĐỀ THI MÔN: TOÁN CAO CẤP C2 Mã môn học: MATH 130901 -Đề thi gồm 01 trang Thời gian : 90 phút Được sử dụng tài liệu (Ngày thi: 16/6/2014) Câu 1 (1,5 điểm) Cho hàm sản xuất dạng Cobb-Douglas : 3 1 3 2 .20),( KLLKQ = (Q là sản lượng-đơn vị là1000 sản phẩm; K là vốn-đơn vị là ; L là lực lượng lao động-đơn vị là 1000 người ) 000,000,1$ a) Tìm sản lượng biên tế của vốn KQ′ và sản lượng biên tế của lực lượng lao động LQ′ ở mức 5=K và 3=L . b) Giả sử 3,5 = , lực lượng lao động tăng 60 người/năm, vốn giảm 000,150$ /năm. Aùp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp, ước tính tốc độ thay đổi của sản lượng. = LK Câu 2 (1,5 điểm) Bài toán phân bổ vốn và đầu tư sao cho sản lượng lớn nhất Công ty ước tính được nếu đầu tư x (đơn vị là $1,000) cho lực lượng lao động và y (đơn vị là $1,000) cho trang thiết bị sản xuất thì số sản phẩm sản xuất được là 3 2 3 1 100),( yxyxQ = đơn vị sản phẩm Biết số tiền đầu tư của công ty không vượt quá $360,000. Hỏi công ty phải đầu tư bao nhiêu tiền cho lực lượng lao động, và bao nhiêu tiền cho trang thiết bị sản xuất để sản lượng lớn nhất ( lớn nhất)? ),( yxQ Câu 3 (2 điểm) (Resale value problem) Giá trị bán lại của một máy sau t năm(tính từ lúc mua) sẽ giảm với tốc độ tỷ lệ với hiệu giữa giá trị hiện tại và giá trị phế liệu của máy. Tức là, nếu là giá trị phế liệu của máy thì thỏa phương trình )(tr S )(tr ( Srk dt dr −−= ) , với 0>= constk là hằng số tỷ lệ Xác định biết giá trị mua mới của máy là $24,000, giá trị 3 năm sau là $12,000 và giá trị phế liệu = $500. )(tr S Câu 4 (2 điểm) (thời gian t tính bằng tháng, giá p tính bằng USD) Biết giá )(tpp = của một loại sản phẩm(hàng hóa) tại thời điểm t thỏa phương trình vi phân teppp −+=++ 80016'8'' , 70)0( =p , 1)0(' −=p Giải phương trình vi phân trên. Ước tính giá của sản phẩm sau khoảng thời gian t đủ lớn. Câu 5 (2 điểm) (Mô hình tăng trưởng logictic) Giả sử dân số một quốc gia sau t năm tính từ năm 2013 là , đơn vị tính 10 triệu người, được xấp xỉ bởi mô hình phương trình vi phân logictic )(tp ) 18 11(003.0)(' pptp −= , 9)0( =p (tức là, năm 2013 dân số quốc gia là triệu người) 90 Giải phương trình tìm và ước tính giá trị của khi t đủ lớn. )(tp )(tp Câu 6 (1 điểm) Tính tích phân kép I = ; với dxdy10ye -xy D ∫∫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤≤ ≤≤ 2 y 1 y 1 x 0:D . . ? Ghi chú : Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi. Ngày 13 tháng 6 năm 2014 Bộ môn duyệt ĐÁP ÁN TOÁN C2(ngày thi 16/6/2014) Câu hỏi Nội dung Điểm Câu1 1,5đ a) Sản lượng biên tế của vốn : KQ′ = 3 2 3 20 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ K L Sản lượng biên tế của lực lượng lao động: LQ′ = 3 1 3 40 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ L K 0.5đ Sản lượng biên tế của vốn ở mức 5=K và 3=L : )3,5(KQ′ = 3 2 5 3 3 20 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ≈ 4,74 (1000 sản phẩm) Sản lượng biên tế của lực lượng lao động LQ′ ở mức 5=K và : 3=L )3,5(LQ′ = 3 1 3 5 3 40 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ≈ (1000 sản phẩm) 81,15 0.25đ b) Lực lượng lao động tăng 60 người/năm: 06,0≈ dt dL Vốn giảm /năm: 000,150$ 15,0−≈ dt dK Ước tính tốc độ thay đổi sản lượng = dt dQ dt dK K Q ∂ ∂ + dt dL L Q ∂ ∂ ≈ )15,0(74,4 −× + 06,081,15 × = (1000 sản phẩm/năm) 2376,0 0.25đ 0.5đ Câu2 1.5đ Hệ phương trình xác định đểm dừng ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 0 3 200 0 3 100 3 1 ' 3 2 ' y xQ x yQ y x vô nghiệm. ♦ Xét trên biên: ⎩⎨ ⎧ ≤≤ = 3600 0 y x 0),( =yxQ ♦ Xét trên biên: ⎩⎨ ⎧ ≤≤ = 3600 0 x y 0),( =yxQ ♦ Xét trên biên: ⎩⎨ ⎧ ≤≤ −= 3600 360 x xy 3 2 3 1 )360(100),( xxyxQ −= = , )(xf ]360,0[∈x 0 =)(' xf 0.5đ 0.25đ ,0)0( =f 0)360( =f =)(' xf 3 2 360 3 100 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − x x - 3 1 3603 200 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − x x ⇔= 0)(' xf 3 2 360 3 100 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − x x - 3 1 3603 200 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − x x =0 Đặt x xt −= 360 rồi thay vào phương trình giải được 2=t , từ đó tính được và . 120=x 240=y =)120(f 3231 )240()120(100 = 3 412000 19049≈ (sản phẩm) Vậy công ty phải đầu tư cho lực lượng lao động và cho trang thiết bị sản xuất để sản lượng lớn nhất xấp xỉ 19049 (sản phẩm). 000,120$ 000,240$ 0.5đ 0.25đ Câu3 2đ Phương trình được viết lại kkrtr 5,0)(' =+ , với (đơn vị $1000) ⎩⎨ ⎧ = = 12)3( 24)0( r r Nghiệm tổng quát phương trình )(tr = = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +− ∫ ∫∫ Cdtkdtkekdte 5,0 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +− ∫ Cdtktkekte 5,0 = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +− Cktekte 5,0 = ktCe−+5,0 0.5đ 0.5đ 0.5đ ⎩⎨ ⎧ = = 12)3( 24)0( r r ⇔ ⎩⎨ ⎧ =−+ =+ 1235,0 245,0 kC C e ⇔ ⎩⎨ ⎧ = = 2382,0 5,23 k C Vậy = (đơn vị $1000) )(tr te 2382,05,235,0 −+ hay = (đơn vị $1) )(tr te 2382,023500500 −+ 0.5đ Câu4 2đ Phương trình thuần nhất tương ứng : =++ ppp 16'8'' 0 Phương trình đặc trưng: 01682 =++ kk 4−=⇔ k (nghiệm kép) 0.25đ Nghiệm tổng quát phương trình thuần nhất: = )(tPo tt teCeC 4241 −− + 0.25đ Nghiệm riêng phương trình 80016'8'' =++ ppp (1) dạng AY =1 Tính được . Thay vào (1) được 0,0 ''1'1 == YY 50=A . Suy ra 501 =Y 0.25đ Nghiệm riêng phương trình teppp −=++ 16'8'' (2) dạng tBeY −=2 Tính được . Thay vào (2) được tt BeYBeY −− =−= ''2'2 , 9 1=B . Suy ra teY −= 9 1 2 Theo nguyên lý chồng chất nghiệm thì nghiệm riêng của phương trình là teppp −+=++ 80016'8'' =)(tP +1Y 2Y = te−+ 9 150 0.25đ 0.25đ Nghiệm tổng quát phương trình teppp −+=++ 80016'8'' là )(tp = +)(tPo =)(tP tt teCeC 4241 −− + + te−+ 9 150 70)0( =p , 1)0(' −=p ⇔ 9 179 1 =C , 3 236 2 =C )(tp = tt tee 44 3 236 9 179 −− + + te−+ 9 150 0.25đ Khi t đủ lớn +tt teCeC 4241 −− + te−9 1 0≈ nên )(tp 50≈ (USD) Sau khoảng thời gian t đủ lớn, giá sản phẩm xấp xỉ . 50$ 0.5đ Câu 5 2đ Phương trình được viết lại 2 18 003,0003,0)(' pptp −=− ⇔ 18 003,01003,0'2 −=− pp p Đặt p y 1−= =⇒ 'y 2'p p . Thay vào phương trình được 18 003,0003,0' −=+ yy 0.5đ ⇔ =y ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−− ∫ ∫∫ Cdtdtedte 003,018003,0 003,0 0.5đ ⇔ =y ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−− ∫ Cdttete 003,018003,0003,0 ⇔ =y ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−− Ctete 003,0 18 1003,0 ⇔ =− p 1 tCe 003,0 18 1 −+− ⇔ teCp 003,0.181 18 −−= 0.5đ 9)0( =p ⇔ 18 1−=C )(tp te 003,0.1 18 −+= 0.25đ Khi t đủ lớn . Nói cách khác, sau khoảng thời gian t đủ lớn, dân số quốc gia xấp xỉ 180 triệu người. )(tp 18≈ 0.25đ Câu 6 1đ I = = dxdy10ye -xy D ∫∫ ∫ ∫ −2 1 1 0 10 y xydxyedy = ( )∫ −−2 1 1 0 10 dye yxy 0.5đ = ( )∫ −−2 1 1 1 0 1010 dye y = e 1010 − 0.5đ Hết