Đề thi Phương pháp tính và Matlab - Học kì 20183

ĐỀ I Đề thi Phương pháp tính và Matlab-MI2110-20183 (Thời gian: 90 phút)  Lưu ý: Khi tính lấy ít nhất 7 chữ số sau dấu phẩy Câu 1. Cho hệ phương trình: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0,3 2 0,5 3,2 0,1 0,2 2,5 3 1,5 0,2 0,2 1,7 x x x x x x x x x − + = −  + + =  + − = 1) Kiểm tra điều kiện hội tụ của phương pháp lặp đơn (sử dụng chuẩn hàng). 2) Tính đến nghiệm gần đúng X(3), với xấp xỉ đầu X(0) = (0; 0; 0)T. 3) Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng X(3) bằng công thức sai số qua hai xấp xỉ liên tiếp. 4) Tìm số lần lặp tối thiểu để tính được nghiệm gần đúng đạt độ chính xác < 10-6 với xấp xỉ đầu X(0) = (0; 0; 0)T. Câu 2. Cho bảng giá trị của hàm số y = f(x) như sau: x 0 1 2 3 4 y –7 2 65 344 1001 1) Viết đa thức nội suy Newton tiến, xuất phát từ x0 = 0, của hàm số f(x) ứng với bảng giá trị trên (dạng tối giản). 2) Dùng đa thức vừa nhận được để tính gần đúng f(0,5) và f’(0,5). Câu 3. Cho 4,8 2 3,2 1 (3 5) I dx x = + 1) Tính gần đúng tích phân trên bằng công thức hình thang, với phép chia đoạn [3,2; 4,8] thành 8 đoạn bằng nhau. 2) Nếu sử dụng công thức Simpson thì cần chia [3,2; 4,8] thành ít nhất bao nhiêu đoạn bằng nhau để giá trị gần đúng nhận được có sai số < 10-7. Câu 4. Viết hàm Matlab tính gần đúng nghiệm của phương trình f(x)=0 trên khoảng phân ly nghiệm [a,b] với sai số tuyệt đối  cho trước bằng phương pháp chia đôi với điều kiện dừng: | 𝑥𝑛+1−𝑥𝑛 𝑎𝑥𝑛 | < ɛ ĐỀ II Đề thi Phương pháp tính và Matlab-MI2110-20183 (Thời gian: 90 phút)  Lưu ý: Khi tính lấy ít nhất 7 chữ số sau dấu phẩy Câu 1. Cho hệ phương trình: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0,5 2 0,3 3,2 0,2 0,1 2,5 2,9 1,5 0,2 0,1 1,8 x x x x x x x x x − + = −  + + =  + − = 1) Kiểm tra điều kiện hội tụ của phương pháp lặp đơn (sử dụng chuẩn hàng). 2) Tính đến nghiệm gần đúng X(3), với xấp xỉ đầu X(0) = (0; 0; 0)T. 3) Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng X(3) bằng công thức sai số qua hai xấp xỉ liên tiếp. 4) Tìm số lần lặp tối thiểu để tính được nghiệm gần đúng đạt độ chính xác < 10-6 với xấp xỉ đầu X(0) = (0; 0; 0)T. Câu 2. Cho bảng giá trị của hàm số y = f(x) như sau: x –2 –1 0 1 2 y –511 –124 –7 2 65 1) Viết đa thức nội suy Newton lùi, xuất phát từ x4 = 2, của hàm số f(x) ứng với bảng giá trị trên (dạng tối giản). 2) Dùng đa thức vừa nhận được để tính gần đúng f(1,7) và f’(1,7). Câu 3. Cho 3,8 2 2,2 1 (5 2) I dx x = + 1) Tính gần đúng tích phân trên bằng công thức Simpson, với phép chia đoạn [2,2; 3,8] thành 8 đoạn bằng nhau. 2) Nếu sử dụng công thức hình thang thì cần chia [2,2; 3,8] thành ít nhất bao nhiêu đoạn bằng nhau để giá trị gần đúng nhận được có sai số < 10-5. Câu 4. Viết hàm Matlab tính gần đúng nghiệm của phương trình f(x)=0 trên khoảng phân ly nghiệm [a,b] với sai số tuyệt đối  cho trước bằng phương pháp chia đôi với điều kiện dừng: | 𝑥𝑛+1−𝑥𝑛 𝑏𝑥𝑛+1 | < ɛ ĐÁP ÁN ĐỀ 1: Nếu SV lấy ít hơn 4 chữ số phần thập phân ở câu nào thì trừ 0,5 điểm của câu đó. Câu 1. (4 điểm) 1) Sắp xếp lại thứ tự các pt để hpt có phần tử chéo trội 0 -0.1333333 0.1333333 g = (1.1333333; 1.6; 1.2)T B = 0.15 0 0.25 ||B||0 = 0.4 < 1 –0.04 -0.08 0 Phương pháp lặp đơn hội tụ 2) x(1) = (1.1333333; 1.6; 1.2)T x(2) = (1.08; 2.07; 1.0266667)T x(3) = (0.9942222; 2.0186667; 0.9912)T 3) ||x(3) – x(2)||0 = 0.0857778; Sai số là: ||x(3) – x*||0 ≤ 0.0571852 4) ||x(1) – x(0)||0 = 1.6; n=17 Câu 2. (2 điểm) 1) –7.0000000 9.0000000 2.0000000 54.0000000 63.0000000 162.0000000 65.0000000 216.0000000 0.0000000 279.0000000 162.0000000 344.0000000 378.0000000 657.0000000 1001.0000000 Đặt x = x0 + th = t.h. Đa thức ns Newton tiến là: P(x0 + th) = 27*t^3 - 54*t^2 + 36*t - 7 2)Tại x = 0.5 -> t = 0.5. f(0,5)  0.875. P’= 81*t^2 - 108*t + 36 -> f’(0,5)  2.25 Câu 3. (2 điểm) i xi f(xi) h = 0.2 1) 0 3.2000000 0.0046913 1 3.4000000 0.0043282 2 3.6000000 0.0040057 3 3.8000000 0.00371802 4 4.0000000 0.0034602 5 4.2000000 0.0032283 6 4.4000000 0.0030189 7 4.6000000 0.0028293 8 4.8000000 0.00265703 Tích phân theo CT hình thang là IT = 0.0056526 2) (4) (4) 6 9720 ( ) (3.2) (3 5) f x f x =  + = 0.00100357 = M4 . Từ 4 74 (4,8 3,2) 10 180 M h −−  , n >= 2.4586050 . Vậy cần chia thành 6 đoạn bằng nhau. Câu 4. (2 điểm) -Viết được input tham số đầu vào (0.5 điểm). -Viết đúng cú pháp function, vòng lặp while, if theo thuật toán (1 điểm). -Viết được output đầu ra cho (0.5 điểm). ĐÁP ÁN ĐỀ 2: Nếu SV lấy ít hơn 4 chữ số phần thập phân ở câu nào thì trừ 0,5 điểm của câu đó. Câu 1. (4 điểm) 1) 0 – 0.1333333 0.0666667 g = (1.2; 1.6; 1.16)T B = 0.25 0 0.15 ||B||0 = 0.4  1 –0.08 –0.04 0 Phương pháp lặp đơn hội tụ. 2) x(1) = (1.2; 1.6; 1.16)T x(2) = (1.064; 2.074; 1 )T x(3) = (0.9901333; 2.016; 0.99192)T 3) ||x(3) – x(2)||0 = 0.0738667 ; Sai số là: ||x(3) – x*||0 ≤ 0.0492444 4) ||x(1) – x(0)||0 = 1.6; n=17 Câu 2. (2 điểm) 1) 65 63.0000000 2 54.0000000 9.0000000 162.0000000 -7 -108.0000000 0.0000000 117.0000000 162.0000000 -124 -270.0000000 387.0000000 -511 Đặt x = x4 + th, Đa thức nội suy Newton lùi: 27*t^3 + 108*t^2 + 144*t + 65 2) Tại x = 1.7, t = –0.3 . f(1,7)  30.791 f’(x) = h tf )(' = f’(t) ; f’(1,7)  86.4899999 Câu 3. (2 điểm) i xi f(xi) 1) 0 2.2000000 0.0059171 1 2.4000000 0.0051020 2 2.6000000 0.0044444 3 2.8000000 0.0039062 4 3.0000000 0.0034602 5 3.2000000 0.0030864 6 3.4000000 0.0027700 7 3.6000000 0.0025000 8 3.8000000 0.0022675 Tích phân theo CT Simpson là IS = 0.0058608. 2) 4 150 ''( ) ''(2.2) (5 2) f x f x =  + = 0.0052519 = M2 Từ 4 2 2 10)2.28,3( 12 −− hM , n  6.6944912. Vậy n  7. Câu 4. (2 điểm) - Viết được input tham số đầu vào (0.5 điểm). - Viết đúng cú pháp function, vòng lặp while, if theo thuật toán (1 điểm). - Viết được output đầu ra cho (0.5 điểm).