Đề thi thử Đại học, Cao đẳng môn toán khối A - Trường THPT Chuyên Atlantic

www.vnmath.com Sáng tác: Nguyễn Sơn Tùng SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC TRƯỜNG THPT CHUYÊN ATLANTIC HOTLINE:01659199199 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG NĂM 2011-2012 Môn thi: TOÁN – Khối A ngày 2/8/2011 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề GV ra đề :Nguyễn Sơn Tùng-Bình Phước PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I.(2 điểm) Cho hàm số 4 22 2 1y x mx m= − + − 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m =2 2) Tìm m để hàm số có ba cực trị và 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có chu vi bằng 4(1 65)+ Câu II(2 điểm) 1) Giải phương trình lượng giác: 8 8 1sin 2 os 2 8 x c x+ = 2) Giải phương trình sau: 2 4 2 23 6 12 5 10 9 3 4 2x x x x x x+ + + − + = − − Câu III.(1 điểm) Tính tích phân sau:. 4 0 ln(1 t anx)I dx pi = +∫ Câu IV. .(1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD. Tâm O có cạnh AB = a. đường cao SO của hình chóp vuông góc với mặt đáy ( ABCD) và có SO = a. tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và AB. Câu V. .(1 điểm) cho ( )1 1 1; ;x y z và ( )2 2 2; ;x y z là nghiệm của hệ phương trình: ( ) ( ) ( )2 2 2 2 4 9 189 1 3 4 2 2 3 9 3 x y z xz y x y z + + = = − + =    Tính giá trị biểu thức:P= 1 2 1 2 1 2. . .x x y y z z+ + +1963 PHẦN RIÊNG (3 điểm) : Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn: Câu VIa (2 điểm) 1.cho đường tròn ( )C có phương trình ( ) ( )2 21 2 9x y− + − = xác định tọa độ các đỉnh B,C của tam giác đều nội tiếp đường tròn ( )C biết A ( )2, 2− . 2 .Lập phương trình mặt phẳng ( )α đi qua M ( )1,2,3 và cắt 3 tia ox, ,oy oz lần lượt tại A,B,C sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Câu VIb.(1 điểm) Tìm các số nguyên dương ,x y sao cho: z x yi= + thỏa mãn: 3 18 26z i= + . B. Theo chương trình Nâng Cao: CâuVIIa. (2 điểm) 1.cho hai đường thẳng : ( )1d : 2 5 0x y− + = , ( )2d :3 6 1 0x y+ − = Lập phương trình đường thẳng qua điểm P ( )2, 1− sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường thẳng ( )1d và ( )2d tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng ( )1d và ( )2d . 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( )5,5,0 và đường thẳng d: 1 1 7 2 3 4 x y z+ + − = = − . a.Tìm tọa độ điểm ,A đối xứng với điểm A qua đường thẳng d. b.Tìm tọa độ các điểm B,C thuộc d sao cho tam giác ABC vuông tại C và BC= 29 www.vnmath.com Sáng tác: Nguyễn Sơn Tùng CâuVIIb: (1 điểm) Cho các số thực dương a,b,c thoa mãn : 2 2 2 27a b c+ + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3P a b c= + + ĐÁP ÁN TOÁN 2/8/2011-TRƯỜNG THPT CHUYÊN ATLANTIC CÂU I: 1. Đồ thị học sinh tự vẽ. 2. giải và biện luận điều kiện để hàm số có 3 cực trị… Gọi A ( )0;2 1m − , B ( )2; 2 1m m m+ − và C 2( ; 2 1)m m m− + − là tọa độ các điểm cực trị . Ta có 4AB m m= +


 . 4BC m=


 . 4AC m m= +


 . Theo đề 4(1 65)AB BC AC+ + = +








 42 4 4(1 65)m m m⇔ + + = + giải pt này bằng 2 cách : - cách 1: sử dụng tính đồng biến ,nghịch biến của hàm số ta được m=4 -cách 2:trục căn thức ở tử số thu được m=4 thỏa yêu cầu bài toán. Câu II: 1.giải pt lượng giác: 8 8 1sin 2 os 2 8 x c x+ = CÁCH 1: sử dụng hằng đẳng thức 8 8 2 2 4 4 21 1 1sin 2 os 2 (1 sin 4 ) sin 4 sin 4 sin 4 1 2 8 8 x c x x x x x+ = − − = − + nên pt đã cho ⇔ 4 2 2 2 21 7 1sin 4 sin 4 0 (sin 4 1)(sin 4 7) 0 os 4 0 8 8 8 8 4 k x x x x c x x pi pi − + = ⇔ − − = ⇔ = ⇔ = + (k∈Z) CÁCH 2: sử dụng BĐT Cauchy cho 4 số không âm ta có: 8 4 4 4 21 1 1 1os 2 ( ) ( ) ( ) os 2 2 2 2 2 c x c x+ + + ≥ và 8 4 4 4 21 1 1 1sin 2 ( ) ( ) ( ) sin 2 2 2 2 2 x x+ + + ≥ cộng 2 vế BĐT nhận được suy ra : 8 8 4 2 21 1 1sin 2 os 2 6( ) sin 2 os 2 , 2 2 8 x c x x c x x+ + ≥ ⇒ + ≥ ∀ do đó phương trình đã cho chỉ thực hiện khi và chỉ khi : 8 8 4 2 21 1sin 2 os 2 ( ) os 2 sin 2 os4 0 2 2 x c x c x x c x= = ⇔ = = ⇔ = 4 8 k x pi pi ⇔ = + với ( k∈Z) 2.Giải phương trình sau: 2 4 2 23 6 12 5 10 9 3 4 2x x x x x x+ + + − + = − − (1) Theo tôi đây là một bài phương trình vô tỷ mà khá nhiều học sinh phải bó tay.Bài này nhằm phát hiện học sinh giỏi toán. Theo tôi nghĩ đây có lẽ là cách giải tối ưu nhất! các em có thể giải bằng 2 cách : Cách 1: trục căn thức ở tử số. Cách 2: pp đánh giá: để ý rằng vế trái pt được viết lại: 2 4 23 6 12 5 10 9x x x x+ + + − + = ( ) ( )22 23 1 9 5 1 4x x+ + + − + 9 4 5≥ + = (2). Và ta có: ( )223 4 2 5 2 1 5x x x− − = − + ≤ (3) kết hợp với (2) phương trình: www.vnmath.com Sáng tác: Nguyễn Sơn Tùng 2 4 2 23 6 12 5 10 9 3 4 2x x x x x x+ + + − + = − − chỉ xảy ra khi hai vế bằng 5 ,tức là khi ( ) ( )2 22 1 0 1 0 1x x x + = − =  ⇔ = −  Vậy nghiệm pt là 1x = − CâuIII.(1 điểm) Tính tích phân sau:. 4 0 ln(1 t anx)I dx pi = +∫ Câu tích phân này cũng có tính phân loại sau đây tôi trình bày cách giải tổng quát: lý thuyết: nếu hàm số ( )f x liên tục trên [ ]0 : a với a dương thì: ( ) ( ) 0 0 a a f x dx a x dx= −∫ ∫ bằng cách đổi biến số t= a x− ta thu được kết quả trên. ÁP DỤNG: xét hàm số ( )f x liên tục trên 0; 4 pi     nhờ KQ trên ta có : 4 4 4 4 0 0 0 0 2ln 1 t an ln ln 2 ln(1 t anx) ln 2 4 1 t anx 4 I x dx dx dx dx I pi pi pi pi pi pi     = + − = = − + = −     +     ∫ ∫ ∫ ∫ vậy ln 28I pi = CÂU IV: HD: HS tự vẽ hình . dễ cm được khoảng cách giữa SC và AB chéo nhau bằng kc giữa AB và ( )SCD chứa SC song song AB .Gọi I,K là trung điểm của AB,CD thì ta có O là trung điểm của IK và IK ⊥ CD giải tiếp tục ta được đáp số là : ( ) ( )( ) ( )( ) 2 5, , 2 , 5 ad SC AB d AB SCD d O SCD= = = Câu V. (1 điểm) RẤT ĐẲNG CẤP! Bình phương 2 vế phương trình (3) : 2 2 24 9 4 6 12 81x y z xy xz yz+ + − + − = (4) Trừ vế cho vế (1) và (4) ta có: 4 6 12 108xy xz yz− + = kết hợp với (2) ( )2 27y x y z− + = nhưng theo (3) ∈ 2 9x y z− + = 3y⇒ = hệ có 2 nghiệm ( )3;3;4 , ( )12;3;1 ⇒ 49 1963 2012P = + = A. Theo chương trình Chuẩn: Câu VIa: 1.Bài này có tới 4 cách để giải, ở đây tôi trình bày cách giải tối ưu nhất: -Gọi 1A là điểm đối xứng với A qua I⇒ tọa độ điểm 1A ( )4, 2 . Đường tròn ( )1C thỏa mãn: ( )1C có tâm 1A ( )4, 2 và bán kính 3R = vậy ( )1C có pt: ( ) ( )2 24 2 9x y− + − = khi đó : ( )C ∩ ( )1C ={ },B C , tọa độ B,C là nghiệm của hệ: ( ) ( ) ( ) ( ){ 2 22 21 2 94 2 9x yx y− + − =− + − = ( ) ( ){ 2 2 5 3 3 ,2 2 21 2 9 6 15 0 5 3 3 ,2 2 2 B x y x C   −   − + − =   − =   +       ⇔ ⇒   2. Gọi giao điểm của ( )α với 3 tia ox, ,oy oz lần lượt là : ( ),0,0A a , ( )0, ,0B b , ( )0,0,C c ( , ,a b c dương) www.vnmath.com Sáng tác: Nguyễn Sơn Tùng mp ( )α có pt theo đoạn chắn là: 1x y z a b c + + = (1) do ( )α đi qua M ( )1,2,3 nên thay tọa độ M vào (1) ta có: 1 2 3 1 a b c + + = . Thể tích tứ diện OABC là : 1 1 1. . . . 3 3 2OABC V B h OAOB OC= = 1 6 abc= . Áp dụng bdt Cauchy ta có: 1 2 31 a b c = + + 3 6 27.63 1 27.6 27abc V abc abc ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ Vậy thể tích đạt GTNN 27V⇔ ≥ ⇔ 1 2 3 a b c = = ⇔ 3a = , 6b = , 9c = . Vậy ptmp ( )α thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 6 3 2 18 0x y z+ + − = Câu VIb.(1 điểm) Tìm các số nguyên dương ,x y sao cho: z x yi= + thỏa mãn: 3 18 26z i= + . Ta có: ( ) { ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 3 18 2 3 3 2 3 2618 26 18 3 26 3 0 x xy x y x iy i x y x xy y tx x − = − = + = + ⇔ ⇔ − = − = ≠ đặt Ta được 1 3 3 t x= ⇒ = , 1y = vậy số phức thỏa đề bài là: 3Z i= + B. Theo chương trình Nâng Cao: CâuVIIa. 1.Gọi 1k , 2k theo thứ tự là hsg của ( )1d và ( )2d , ta có 1 2k = , 2 12k = − Nhận xét rằng 1 2. 1k k = − ( ) ( )1 2d d⇔ ⊥ vậy gọi ( )d là đường thẳng qua P ( )2.1− có phương trình ( )d : ( ) ( )2 1 0A x B y− + + = … ( ) ( )( )1, 4g d d pi = … đáp số: ( ) ( ), :3 5 0 : 3 5 0 d x y d x y + − = − − =   2.Ôi đề dài quá đáp số: a. ( ), 1,5, 2A − b. ( )1,2,3B , ( )3,5, 1C − hoặc ( )5,8, 5B − , ( )3,5, 1C − CâuVIIb: áp dụng bdt bcs hoặc bdt cauchy , ( )( )2 2 2 2 2 2.1 .1 .1 1 1 1a b c a b c+ + ≤ + + + + 9a b c⇒ + + ≤ và ( )( )2 2 2 3 3 3 3 3 3. . .a b c a a b b c c a b c a b c+ + = + + ≤ + + + + ( )3 3 3 .9a b c≤ + + do đó: 3 3 3 81a b c+ + ≥ vậy min P=81 Ra đề và làm đáp án : NGUYỄN SƠN TÙNG. Do đây là lần đầu tiên tôi ra đề và làm trên Microsoft Word nên không tránh được những sai xót nếu có thắc mắc gì về đề thi vui lòng liên hệ tác giả qua SDT:01659199199 www.vnmath.com Sáng tác: Nguyễn Sơn Tùng Dự kiến thi thử đợt 2 trường THPT chuyên ATLANTIC sẽ tỗ chức ngày 25/8/2011.các em có thắc mắc gì vui lòng gọi trực tiếp sdt :01659199199 để được giải đáp. Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các em học sinh ,gv toán đánh giá về đề thi.(hay,dở…ở phần nào?) để hoàn thiện hơn trong các lần ra đề tiếp theo.