Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999 - Môn: Giải tích

Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh Kỷ niệm hố 2005 1 Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999 Môn: Giải tích Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu1. 1) Giả sử hàm RRf đ2: cho bởi công thức ( ) ù ợ ù ớ ỡ =+ ạ+ += 0 0 0 , 22 22 22 2 yx yx yx yx yxf nếu nếu a) Xét tính liên tục của f trên 2R . b) Xét tính khả vi của hàm f tại điểm ( )0,0 . 2) Tìm miền hội tụ của chuỗi n n n x x ữ ứ ử ỗ ố ổ + - +ồ Ơ = 1 1 12 1 0 Câu 2. Kí hiệu 1l = { } ỵ ý ỹ ợ ớ ỡ Ơ<ẻẻ= ồ Ơ =1 ,;: n nnn xNnCxxx ; ( ) ,, 1 1 ồ Ơ = -= n nn yxyxd ( ) 2 1 1 2 2 , ữ ứ ử ỗ ố ổ -= ồ Ơ =n nn yxyxd với { }nxx = ; { }nyy = thuộc 1l . Chứng minh rằng a) 1d , 2d lần lượt là các mêtric trên 1l ; b) không gian ( )11 ,dl đầy đủ ; khả li. c) Không gian ( )21 ,dl không đầy đủ. Câu 3. Giả sử [ ]1,0C là không gian định chuẩn các hàm số thực liên tục trên [ ]1,0 với chuẩn sup và A: [ ] đ1,0C [ ]1,0C biến x thành Ax cho bởi ( )( ) ( )txttAx 2= với mọi ẻx [ ]1,0C và [ ]1,0ẻt a) Chứng minh rằng A là ánh xạ tuyến tính liên tục. Tính A b) Chứng tỏ rằng [ ]( )1,0CA là không gian con đóng của [ ]1,0C . Câu 4. ánh xạ YXf đ: từ không gain tôpô X vào không gian tôpô Y được gọi là đóng nếu với tập đóng A bất kì ta có ( )Af đóng trong Y. Chứng minh rằng YXf đ: là đóng khi và chỉ khi ( ) ( )f A f Aè với mọi XA è . Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh Kỷ niệm hố 2005 2 Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999 Môn: Đại số Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Gọi 1+nE Là không gian véctơ tất cả các đa thức một ẩn có bậc nÊ với hệ số thực. Trong 1+nE cho các đa thức ( )xuk với nk ÊÊ0 được xác định như sau: 00 =u ; ( )xuk = ( )( ) ( )121 +--- kxxxx L với nk ÊÊ0 . a) Chứng minh rằng các đa thức { }nkku 0= lập thành một cơ sở của 1+nE . b) Hãy chứng tỏ tồn tại duy nhất một phép biến đổi tuyến tính j của 1+nE thoả mãn 1+n điều kiện ( ) kk ux =j , nk ,,2,1,0 K= . Và j là một song ánh. c) Xác định ánh xạ ả : 1+nE đ 1+nE bởi điều kiện ả ( )[ ] ( ) ( )xpxpxp -+= 1 ; ( ) 1np x E +" ẻ . Hãy chứng minh ả là một ánh xạ tuyến tính . Tìm nhân và ảnh củaả . Tìm các đa thức ( )( )xukả ; nk ,,2,1,0 K= . Câu 2. a) Cho G là một nhóm Xyclic. Chứng minh rằng mọi nhóm con G cũng là nhóm Xyclic. b) Gọi x là phần tử sinh của nhóm Xyclic G. Hãy tìm tất cả các nhóm con của G đẳng cấu với G. c) Chứng tỏ rằng mọi nhóm con cấp hữu hạn nguyên tố đều là nhóm Xyclic. Câu 3. Ta gọi một trường là nguyên tố nếu nó không chứa một trường con thực sự nào. a) Chứng minh rằng trường các ssó hữu tỉ Ô và trường các lớp đồng dư p (với p là số nguuyên tố ) là trường các số nguyên tố. b) Cho X là một trường nguyên tố bất kì. Chứng tỏ rằng X@ Ô hoặc X@ p (với p là một số nguyên tố nào đó). Câu 4. Giả sử phép biến đổi tuyến tính j của không gian R3 đối với cơ sở đơn vị có ma trận là: 8 1 5 2 3 1 4 1 1 A - -ộ ự ờ ỳ= -ờ ỳ ờ ỳ- -ở ỷ a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của j . b) Tìm một cơ sở của R3 mà đối với nó ma trận của j có dạng tam giác . Viết ma trận đó. c) Giá trị riêng của j có thay đổi không khi ta thay đổi cơ sở. Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh Kỷ niệm hố 2005 3 Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2000 Môn: Giải tích Ngành: Toán Đề số 1 Thời gian làm bài: 180 phút Câu1. Cho hàm số ( ) ù ợ ù ớ ỡ =+ ạ+ += 0 0 0 , 22 22 22 2 yx yx yx yx yxf nếu nếu Khảo sát tính liên tục và tính khả vi của hàm số đã chi trên miền xác định của nó. Câu 2. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm ( ) ( )ồ Ơ = - -- 1 1 3 21 n n n n x . Câu 3. Giả sử ( ){ } niRxxxxR inn ,,2,1,:,,, 21 LK =ẻ= } và ( )1,0ẻp . Vói mỗi tập ( )nxxx ,,1 K= ; ( )nyyy ,,1 K= ta đặt ( ) ồ = -= n i p ii yxyxd 1 , ; ( ) ồ = -= n i ii yxyx 1 ,r Chứng minh rằng: a) ( dR n , ) là không gian mêtric đầy đủ. b) ánh xạ đồng nhất :di ( dR n , ) ( )r,nRđ liên tục. Câu 4. Cho hàm :f đĂ Ă xác định bởi ( ) ( ] ùợ ù ớ ỡ ỳỷ ự ỗ ố ổ + =ẻ ẽ = nn Axifn xif xf n 1, 1 1 1,0 0 , K,2,1=n Với mỗi *ẻ Nn ta đặt ồ = = n k An nkf 1 l ( nA l là hàm đặc trưng của An). Chứng minh rằng a) ff n ư trênĂ . b) f khả tích Lơbe trên Ă và tính tích phân Lơbe ( )f x dxũ Ă . c) Hàm 2f không khả tích Lơ be trên Ă . Câu 5. Kí hiệu [ ]1,0C là không gian tất cả các hàm liên tục [ ]: 0,1x đ Ă với bất kì ẻyx, [ ]1,0C ta đặt ( ) [ ] ( ) ( ) 0,1 , sup t d x y x t y t ẻ = - . Chứng minh rằng a) ánh xạ [ ] [ ]1,01,0: CCf đ cho bởi ( )[ ]( ) ( )dssxtxf t ũ= 0 , ẻx [ ]1,0C là ánh xạ tuyến tính liên tục. Tính chuẩn của f. b) [ ]( )dC ,1,0 không phải là không gian compact. Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh Kỷ niệm hố 2005 4 Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2000 Môn: Giải tích Ngành: Toán Đề số 2 Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. a) Khảo sát sự hội tụ của chuổi: 1 ( 1) ln n n n Ơ = -ồ . b) Tìm miền hội tụ của chuỗi: 1 2 n n x n Ơ = ồ . c) Tính tổng của chuổi lũy thừa: 2 1 ( 1) n n n n x Ơ - = +ồ Câu 2. Ký hiệu { } 2 2 1 :n n n l x x Ơ = ỡ ỹù ù= è < Ớ ý ù ùợ ỵ ồC . Đặt ( ), sup n n n p x y x y ẻ = - N ( ) 1 22 1 , n n n d x y x y Ơ = ổ ử = -ỗ ữ ố ứ ồ với { }nxx = ; { }nyy = thuộc 2l a) Chứng minh rằng p, d là các metric trên 2l . b) ánh xạ đồng nhất dI : 2 2( , ) ( , )l d l pđ là ánh xạ liên tục. Câu 3. a) Cho hàm f ³ 0 đo được, hữu hạn h. k. n trên tập hợp A, đặt ( ) f(x) f(x) n 0 f(x) nn f x Êỡ = ớ ³ợ nếu nếu và fn f đ h. k. n Chứng minh rằng lim ( )A n Ax I f d L I fdm mđƠ = . b) Giả sử E là tập con của không gian tôpô X. Chứng minh rằng tập E đóng khi và chỉ khi E chứa tất cả các điểm giới hạn của nó. Câu 4. ánh xạ f: E đ F từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F được gọi là bị chặn nếu tồn tại một hằng số C > 0 sao cho ( )f x CÊ với mọi x ẻ E mà 1x Ê . Chứng minh rằng để f: E đ F bị chặn, điều kiện cần và đủ là f liên tục. Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh Kỷ niệm hố 2005 5 Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2000 Môn: Đại số Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Giả sử V là không gian véc tơ thực n chiều và VVf đ: là ánh xạ tuyến tính. a) Chứng minh ( ) ( ) nfimf =+ kerdimdim . b) Giả sử f đơn cấu. Chứng minh f là tự đẳng cấu của V. c) Giả sử ff =2 . Chứng minh Vfimf =Å ker . d) Giả sử mọi véc tơ khác không của V đều là véc tơ riêng của f . Chứng minh rằng f được xác định bởi ( ) xxf a= (a là số thực cho trước). Câu 2. Giả sử X là nhóm Xyclic cấp m và Ylà nhóm Xyclic cấp n. Chứng minh rằng: a) Nhóm con của nhóm X là nhóm Xyclic. b) X chỉ có một số hữu hạn nhóm con. c) X@ Y khi và chỉ khi m=n. d) X´Y là nhóm Xyclic cấp m´n khi và chỉ khi (m,n)=1. Câu 3. Giả sư X là một vành giao hoán có đơn vị . Một Iđêan Ạ X của X được gọi là Iđêan tối đại nếu cvà chỉ nếu các Iđêan của X chứa A chính là X và bản thân A. Một Iđêan P của X được gọi là nguyên tố nếu và chỉ nếu với u,v Xẻ thì tích u.v Pẻ kéo theo u Pẻ hoặc v Pẻ . Giả sử I là Iđêan của X. Chứng minh rằng: a) X/I là một miền nguyên khi và chỉ khi I là Iđêan tối đại. b) X/I là một trường khi và chỉ khi I là Iđêan tối đại . c) Nếu I là Iđêan tối đại thì I là Iđêan tối đại. Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh Kỷ niệm hố 2005 6 Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001 Môn: Giải tích Ngành: Toán Đề số 1 Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Cho chuổi hàm: ( ) ( ) 1 1 2 1 3 n n n x n Ơ = - -ồ . (1) a) Tìm miền hội tụ của chuỗi (1) b) Tính tổng của chuổi (1) trong khoảng hội tụ của nó. Câu 2. Cho hàm số ( ) 1y cos 0 , x 0 0 x f x y x ỡ ạù= ớ ù =ợ nếu nếu a) Tìm tất cả các điểm gián đoạn của f. b) Tập các điểm gián đoạn của f không đóng trong R2 nhưng mở trong tập { }(0, ) :y y ẻ Ă . Câu 3. Cho dãy hàm ( ) [ ] [ ] [ ] K,2,1, 1,0 0 1,0 1 = ùợ ù ớ ỡ ẽ ẻ = n x xnx nxf n nếu nếu Chứng minh rằng a) ( )lim nx f x xđƠ = với [ ]1,0ẻ"x b) 1lim 2nx If đƠ = trong đó nIf là tích phân Lơbe của nf trên R, [ ]nx là phần nguyên của nx . Câu 4. Giả sử Ơl là tập tất cả cá dãy số thực bị chặn ; 0c là tập tất cả các dãy số thực hội tụ tới 0. a) Chứng minh rằng công thức sup n n x x ẻ = N với { }nxx = ẻ Ơl xác định một chuẩn trên Ơl . b) Chứng minh rằng 0c là không gian con đóng trong Ơl với chuẩn nói trên. c) Cho ánh xạ Rlf đƠ: xác định bởi công thức ( ) 1 3 n n n xf x Ơ = = ồ , với mọi { }nxx = ẻ Ơl , Hãy chứng minh rằng f là một phiếm hàm tuyến tính, liên tục trên Ơl và tính f . Câu 5. Giả sử E là không gian định chuẩn hữu hạn chiều, B là hình cầu đơn vị đóng trong E. Chứng minh rằng với mọi x ẻ E, đều tồn tại y ẻ B sao cho x y- = d(x, B). Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh Kỷ niệm hố 2005 7 Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001 Môn: Giải tích Ngành: Toán Đề số 2 Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm ( ) ( )ồ Ơ = + - 1 1 1 n n n xn .(1) Xét tính khả vi của tổng chuỗi (1) tại những điểm trong miền hội tụ của nó. Câu 2. 1) Xét tính liên tục của hàm số ( ) ùợ ù ớ ỡ = ạ = 0 0 0 y 1sin , y yx yxf nếu nếu 2) Chứng minh rằng tập các điểm gián đoạn của hàm f không đóng , không mở trong 2R nhưng mở trong R. Câu 3. Cho dãy hàm ( ) [ ] [ ] [ ] K,2,1, 1,0 0 1,0 1 = ùợ ù ớ ỡ ẽ ẻ = n x xnx nxf n nếu nếu Chứng minh rằng a) ( )lim nx f x xđƠ = với [ ]1,0ẻ"x b) 1lim 2nx If đƠ = trong đó nIf là tích phân Lơ be của nf trên R, [ ]nx là phần nguyên của nx . Câu 4. Giả sử Ơl là tập tất cả cá dãy số thực bị chặn ; 0c là tập tất cả các dãy số thực hội tụ tới 0. a) Chứng minh rằng công thức ( ) nnNn yxyxd -= ẻsup, với { }nxx = ; { }nyy = ẻ Ơl xác định một mêtric trên Ơl và mêtric được sinh bởi một chuẩn trên Ơl . b)Chứng minh rằng 0c là tập con đóng trong Ơl . c) Cho ánh xạ Rlf đƠ: bởi công thức ( ) ồ Ơ = = 1 2n n nxxf với mọi { }nxx = thuộc Ơl . Hãy chứng minh rằng f là một phiếm hàm tuyến tính , liên tục trên Ơl và tính f . Câu 5. Giả sử E là không gian định chuẩn , *E là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E và a là một điểm thuộc E. Chứng minh rằng ánh xạ CEa đF *: được cho bởi công thức ( ) ( )affa =F ; *ẻ" Ef là ánh xạ tuyến tính liên tục trên E và aa =F . Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh Kỷ niệm hố 2005 8 Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001 Môn: Đại số Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Cho V là không gian tất cả các đa thức một ẩn có bậc nÊ với hệ số thực và j : VV đ là ánh xạ biến mỗi đa thức thành đạo hàm của nó. a) Chứng minh rằng j là một phép biến đổi tuyến tính của không gia véc tơ V. b) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của j . Câu 2. Cho ánh xạ 2 3:f -Ă Ă xác định bởi ( ) ( )myxyxyxyxf +-+-= 2,,2, a) Tìm m để f là ánh xạ tuyến tính . b) Tìm fker và ( )imfdim trong trường hợp f ánh xạ tuyến tính. Câu 3. a) Chứng minh rằng mọi vành con của vành số nguyên  đều có dạng m với mẻ . b) Tìm tất cả các tự đồng cấu của vành  [5] các số thực có dạng 5ba + với a, b là các số nguyên. Câu 4. Cho K là một trường có đặc số nguyên tố p. Chứng minh ánh xạ pxx đ ( )Kx ẻ là một tự đồng cấu khác không của trường K. Từ đó hãy chứng minh định lí Fecma bé: Với mọi số nguyên a và số nguyên tố p ta có ( )paa p modº . Câu 5. Xét nhóm Ô các số hữu tỉ với phép cộng thông thường. a) Chứng minh rằng Ô không phải là nhóm Xyclic. b)Nhóm thương Ô / có đẳng cấu với Ô hay không? Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh Kỷ niệm hố 2005 9 Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2002 Môn: Giải tích Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm ( )ồ Ơ = +1 221n xnn x . Câu 2. Cho hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ùợ ù ớ ỡ = ạ += 0,0, 0 0,0, 1cos , 22 3 yx yx yx x yxf nếu nếu a)Xét tính khả vi của hàm f tại điểm ( )0,0 . b) Xét tính liên tục của các đạo hàm riêng của f tại điểm ( )0,0 . Câu 3. Khảo sát tính khả tích Rieman, khả tích Lơbe và tính các tích phân đó (nếu có ) đối với hàm ( ) ù ù ợ ùù ớ ỡ ạ = = n xe n x yxf x 1 1 sinx , nếu nếu , K,3,2,1=n trên đoạn [ ]1,0 . Câu 4. Giả sử { }{ }Ơ<è=Ơ nnn xRxl sup: ; ( ){ }KKK ,2,1,,0,0,1,0,,0 === neA n Chứng minh rằng : a) Các công thức ( ) ồ Ơ = -= 1 1 , n nn yxyxd , ( ) nnn yxyxd -=Ơ sup, với { }nxx = ; { }nyy = lần lượt xác định mêtric trên 1l ; Ơl . b) Ơè ll1 nhưng ( )Ơdl ,1 không đóng trong ( )ƠƠ dl , . c) SpanA trù mật trong ( )11 ,dl nhưng không trù mật trong ( )ƠƠ dl , , trong đó SpanA là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của A. d) ánh xạ ( ) ( ) 11 ,,: ll đ ƠƠ j với ( ) { }, 2 n nn xx x x lj Ơ ỡ ỹ= " = ẻớ ý ợ ỵ là ánh xạ tuyến tính liên tục. Tính j ( nn xx sup=Ơ ; ồ Ơ = = 1 1 n nxx ) với { }nxx = ). Câu 5. Chứng minh rằng { }nA là dãy các tập mở trong không gian mêtric đầy đủ X sao cho XA = thì với mọi n thì I Ơ = = 1n nAX . Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh Kỷ niệm hố 2005 10 Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2002 Môn: Đại số Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1. a) Cho phép biến đổi tuyến tính j của 3Ă đối với cơ sở đơn vị có ma trận là: 8 1 5 2 3 1 4 1 1 - -ộ ự ờ ỳ-ờ ỳ ờ ỳ- -ở ỷ Hãy tìm giá trị riêng và vectơ riêng củaj . b) Chứng tỏ rằng nếu A là ma trận vuông phần tử thực thỏa mãn 2 0A I+ = thì A không có giá trị riêng thực. Từ đó suy ra không tồn tại ma trận vuông A cấp 3 phần tử thực thỏa mãn 2 0A I+ = (Trong đó I là ma trận đơn vị cùng cấp với A ). Bài 2. Cho nhóm G và AutG là nhóm tất cả các tự đẳng cấu của G với phép toán nhân ánh xạ. Với mỗi a ẻ G, xét ánh xạ fa : G đ G x a a-1xa a) Chứng minh rằng fa là một tự đẳng cấu của G, và ta gọi đó là tự đẳng cấu trong xác định bởi a. b) Chứng minh rằng tập tất cả các tự đẳng cấu trong của G lập thành một nhóm con, ký hiệu là IntG của nhóm AutG. Hơn nữa, IntG D AutG. c) Chứng minh rằng một nhóm con H của G là ước chuẩn của G khi và chỉ khi fa(H) = H với mọi fa ẻ IntG. d) Chứng minh rằng nếu G không giao hoán thì IntG không thể là Cyclic, do đó AutG cũng không là Cyclic. Bài 3. Cho tập X = 3: , x y x y y x ỡ ỹổ ử ẻớ ýỗ ữ-ố ứợ ỵ Z , trong đó 3 là trường các lớp đồng dư theo modul 3. a) Chứng minh rằng X cùng với phép cộng và nhân ma trận lập thành một trường. b) Tìm đặc số của trường X. Bài 4. a) Chứng minh rằng nếu K là một trường thì vành đa thức K[x] là một vành chính. b) Chứng minh rằng miền nguyên P không phải là trường thì P[x] không là vành chính. c) Gọi I = là Ideal sinh bởi hai phần tử x và 2 trong vành  [x]. Chứng minh rằng I gồm tất cả các đa thức với hệ số tự do là số nguyên chẵn và I không phải là Ideal chính. Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh Kỷ niệm hố 2005 11 Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2004 Môn: Giải tích Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Cho hàm số ( ) ù ợ ù ớ ỡ = ạữữ ứ ử ỗỗ ố ổ + = 0y 0 0y y x1lny , 2 2 2 nếu nếu yxf Chứng minh rằng a) ),('' yxf xy và ),( '' yxfỹ khôgnliên tục tại điểm (0,0). b) )0,0(''xyf = )0,0( '' yxf . Câu 2. a) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm ( )pnxx n n n n +ồ Ơ = sin4 2 1 . b)Tính tổng của chuỗi hàm ( ) 2 2 1 - Ơ = ồ + n n xnn trong miền hội tụ của nó. Câu 3. Giả sử (X, d) là không gian mêtric , XXf đ: là một ánh xạ liên tục. Chứng minh rằng a) Tập hợp ( ){ }xxfXxA =ẻ= : là đóng. b) Nếu X là tập compact và fạA thì tồn tại số c>0 sao cho xxxfd ³)),(( với mọi Xx ẻ . Câu 4. Giả sử { }nf là dãy các hàm đo được trên Aẻ A sao cho +Ơ<ồũ Ơ = mdf n A n 1 . Chứng minh rằng hàm ồ Ơ =1n nf khả tíc trên A và mm dfdf A n n n A n ũ ồồũ ữứ ử ỗ ố ổ Ơ = Ơ = 11 . Câu 5. Kí hiệu [ ] 2 1,0C là không gian tuyến tính các hàm khả vi liên tục đến cấp hai trên đoạn [0,1]. Với mỗi ẻx [ ] 2 1,0C ta đặt ( ) ( ) [ ] )(''max1'0 1,0 txxxx tẻ++= . a) Chứng minh rằng công thức trên xác định một chuẩn trên [ ] 2 1,0C ; b) Chứng minh rằng toán tử A: [ ] 2 1,0C đ [ ] 2 1,0C cho bởi công thức ( ) )('')(' txtxtAx += với mọi ẻx [ ] 2 1,0C , [ ]1,0ẻt tuyến tính nhưng không liên tục. Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh Kỷ niệm hố 2005 12 Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2004 Môn: Đại số Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Cho n là số nguyên dương, Pn(R) là tập hợp tất cả các đa thức ẩn x với hệ số thực có bậc không vượt quá n. a) Chứng minh Pn(R) cùng với phép cộng đa thức và phép nhân đa thức với một số là một không gian véc tơ thực. b) Chứng minh rằng hệ véc tơ nxxx )1(,,)1(,1,1 2 --- K là một cơ sở của Pn(R). Tìm số chiều của Pn(R). Câu 2. Giả sử V là không gai véc tơ n chiều trên trường K và V1 là không gian con của V với số chiều bằng m, nm <<0 . a)Chứng minh rằng tồn tại không gian con V2 của V sao cho V= 21 VV Å . Tìm số chiều của V2. b) Hãy nờu cách xây dựng không gian véc tơ thương 1/VV và tìm số chiều của không gian đó. Câu 3. Giả sử *Ê là nhóm nhân các số phức khác không, H là tập hợp các số phức của *Ê nằm trên trục thực và trục ảo , Ă là nhóm cộng các số thực,  là nhóm cộng các số nguyên. a) Chứng minh rằng H là ước chuẩn của *Ê . b) Chứng minh rằng  là ước chuẩn của Ă . c) Chứng minh rằng nhóm thương *Ê / H đẳng cấu với nhóm Ă /  . Câu 4. Giả sử  là vành các số nguyên . Lập tích đề các V= ´  . a) Chứng minh rằng V cúng với phép toán cộng và nhân xác định bởi : (a,b)+(x,y)=(a+x,b+y) (a,b).(x,y)=(ax,by) là một vành giao hoán có đơn vị . Tìm ước của không trong vành đó. b) Chứng minh rằng V cựng với phép cộng và phép nhân xác định bởi (a,b)+(x,y)=(a+x,b+y) (a,b).(x,y)=(ax,ay+bx+by) là một vành gaio hoán có đơn vị . Tìm ước của không trong vành đó. Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh Kỷ niệm hố 2005 13 Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi bổ túc thi cao học năm 2005 Môn: Giải tích Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. 1) Xét tính liên tục và khả vi của hàm số: ( ) 3 2 2 2 2 ( ; ) (0;0) , 0 ( ; ) (0;0) x x y x y f x y x y x y ỡ - ạù= +ớ ù =ợ nếu nếu 2) Cho chuỗi hàm: ( ) 1 1 2 2 n n n x Ơ = +ồ (1) a) Tìm miền hội tụ, hội tụ đều của chuổi (1) b) Tính tổng của chuổi (1) trong miền hội tụ của nó. Câu 2. Giả sử 1l = { } ỵ ý ỹ ợ ớ ỡ Ơ<ẻẻ= ồ Ơ =1 ,;: n nnn xNnCxxx . a) Chứng minh rằng công thức 1 n n x x Ơ = =ồ với { }nxx = ẻ 1l xác định một chuẩn trên 1l . b) Chứng minh rằng ánh xạ f: 1l đ R với ( ) { } 1 1 f , 2 n nn n xx x x l Ơ = = " = ẻồ là ánh xạ tuyến tính liên tục. Tính f . Câu 3. Gỉa sử X là một không gian metric, K là một tập compact của X, a và b là hai điểm thuộc X\ K. Chứng minh rằng tồn tại hai tập mở U, V trong X sao cho U ầ V = f, K Í U, {a, b} è V. Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh Kỷ niệm hố 2005 14 Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2005 Môn: Giải tích Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. a) Cho hàm số 2:f đĂ Ă xác định bởi ( ) 2 2 2 2 2 2 0 , 0 0 xy x y x yf x y x y ỡ + ạù += ớ ù + =ợ nếu nếu Chứng minh rằng hàm f(x, y) liên tục theo biến x khi cố định y và liên tục theo biến y khi cố định biến x nhưng không liên tục theo hai biến (x, y) b) Giả sử G è 2Ă và :f G đ Ă . Chứng minh rằng nếu hàm f(x, y)liên tục theo biến x với mỗi y cố định và có đạo hàm riêng theo biến y bị chặn trên miền G, thì f(x, y) liên tục trên G. Câu 2. a) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số: 1 2 4 1 1 n n n dx x + Ơ = + ồ ũ . b) Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm: 0 (2 3 )n n n n x Ơ = +ồ . Câu 3. a) Chứng minh rằng tập hợp các số thực Ă với hàm d: Ă ´ Ă đ Ă cho bởi d(x, y) = 3 3x y x y- + - , với mọi x, y ẻ Ă là không gian metric đầy đủ. b) Chứng minh rằng ánh xạ đồng nhất Id : (Ă , ) đ (Ă , d) từ không gian các số thực với metric khoảng cách thông thường vào không gian metric (Ă , d) là ánh xạ liên tục nhưng không liên tục đều. Câu 4. a) Chứng minh rằng không gian các số thực với tôpô thông thường là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai. b) Giả sử f: (0: 1] đ Ă là hàm bị chặn, đo được Lebesgue. Kí hiệu E = (0 ; 1] và En = ( 1 1, 1n n+ ] với n ³ 1. Chứng minh rằng: a) Hàm f khả tích Lebesgue trên E và En với mọi n ³ 1. b) 1 n n E E fd fdm m Ơ = =ồ ũ ũ . Câu 5. a) Giả sử X và Y là hai không gian Banach, Y* là không gian liên hợp của Y và A: X đ Y là toán tử tuyến tính. Chứng minh rằng nếu với mọi dãy {xn} è X sao cho xn đ 0 và với mọi f ẻ Y* ta có f[A(xn)] đ 0 khi n đ Ơ, thì f liên tục. b) Chứng minh rằng trong không gian định chuẩn 2l = { } 2 1 : ; ,n n n n x x x n x Ơ = ỡ ỹ = ẻ ẻ < Ớ ý ợ ỵ ồC N với chuẩn 1 2 2 1 n n x x Ơ = ổ ử = ỗ ữỗ ữ ố ứ ồ , x = {xn}ẻ 2l , hình cầu đóng B'(0, r) = { }{ }:nx x x r= Ê với r > 0 không là tập compact. Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh Kỷ niệm hố 2005 15 Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2005 Môn: Đại số Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Tìm tất cả các ma trận vuông cấp hai A trên trường các số thực Ă sao cho A2 = 0. Câu 2. Cho ánh xạ 3 2:f đĂ Ă xác định bởi : f(x, y) = (2x - y, x + y, x - 2y + 2a). a) Tìm a để f là ánh xạ tuyến tính. b) Tìm Ker(f) và Im(f) trong trường hợp f là ánh xạ tuyến tính. Câu 3. Chứng minh rằng: a) Có duy nhất một đồng cấu từ nhóm cộng các số hữu tỷ Ô đến nhóm cộng các số nguyên  . b) Nhóm cộng các số hữu tỷ Ô không phải là nhóm Cyclic. c) Nhóm thương Ô /  không đẳng cấu với nhóm cộng các số hữu tỷ Ô . Câu 4. Kí hiệu  [i] là vành các số phức dạng a + bi, với a, b là các số nguyên (với phép cộng và nhân số phức). a) Chứng minh rằng, ánh xạ f xác định bởi f(a + bi) = a - bi là một tự đẳng cấu của vành  [i]. b) Tìm tất cả các tự đẳng cấu của  [i]. c) Mô tả vành thương  [i]/ A, trong đó A là Ideal của vành  [i], gồm các số phức dạng a + bi, với a, b là các số nguyên chẳn. Câu 5. Cho X là một miền nguyên. Chứng minh rằng, X là một trường khi và chỉ khi X chỉ có hai Ideal tầm thường là {0} và X.