Điện, điện tử - Chương 3: Mạch Logic (hệ tổ hợp)

Chương 3 Mạch Logic ( hệ tổ hợp) 3.1 Bài toán thiết kế 3.2 Bài toán bìa Karnaugh 3.3 Bài tập áp dụng 3.1.Phương pháp biểu diễn hàm đại số Boole . A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 Ví dụ : Cho bảng sự thật của một hàm logic như sau: Biểu diễn hàm logic trên dưới dạng đại số Boole? 3.1.Phương pháp biểu diễn hàm đại số Boole Hàm bool có thể viết ở một trong 2 dạng: •Hàm dạng thực (tổng của tích): hàm tồn tại ở dạng tổng của các tích. Các biến ở dạng thực tương ứng giá trị 1, các biến dạng bù tương ứng giá trị 0. Hoặc cũng có thể viết hàm ở dạng thực bằng (các giá trị thập phân của các ô có giá trị 1 trong bìa Karnaugh). Ví dụ 3: Hàm tổng của các tích: CABABCBCACBAY 1 cũng có thể được viết ở dạng thực )7,6,3,1(),,(1  CBAY . 3.1.Phương pháp biểu diễn hàm đại số Boole Ví dụ 4: Hàm tích của các tổng: Hàm dạng bù (tích của tổng): hàm tồn tại ở dạng tích của các tổng. Các biến ở dạng thực tương ứng giá trị 0, các biến dạng bù tương ứng giá trị 1. Hoặc hay cũng có thể viết ở dạng bù (các giá trị thập phân của các ô có giá trị 0 trong bìa Karnaugh).  ))()()((2 CBACBACBACBAY  cũng có thể được viết ở dạng bù )5,4,2,0(),,(2  CBAY Để ý rằng hàm Y1 và Y2 là một nhưng tồn tại ở hai dạng khác nhau ( dạng thực và dạng bù). Bìa Karnaugh và rút gọn hàm bool - Bảng Karnaugh thực chất là một dạng khác của bảng sự thật, trong đó mỗi ô của bảng tương đương với một hàng trong bảng sự thật. Để vẽ bảng Karnaugh cho n biến, người ta chia số biến ra làm đôi, phân nửa dùng để tạo 2n/2 cột, phân nửa còn lại tạo 2n/2 hàng (nếu n là số lẻ, người ta có thể cho số lượng biến trên cột lớn hơn số lượng biến cho hàng hay ngược lại cũng được). Như vậy, với một hàm có n biến, bảng Karnaugh gồm 2n ô, mỗi ô tương ứng với tổ hợp biến này. Các ô trong bảng được sắp đặt sao cho hai ô kề nhau chỉ khác nhau một đơn vị nhị phân (khác nhau một bit), điều này cho thấy rất thuận tiện nếu chúng ta dùng mã Gray. Chính sự sắp đặt này cho phép ta đơn giản bằng cách nhóm các ô kề nhau lại. Với 2 biến AB, sự sắp đặt sẽ theo thứ tự: AB = 00, 01, 11, 10 (đây là thứ tự mã Gray, nhưng để cho dễ ta dùng số nhị phân tương ứng để đọc thứ tự này: 0, 1, 3, 2) Bìa Karnaugh và rút gọn hàm bool Thí dụ : Bảng Karnaugh cho hàm 3 biến (A = MSB, và C = LSB) (H 2.3) Với 3 biến ABC, ta được: ABC = 000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100 (số nhị phân tương ứng: 0, 1, 3, 2, 6, 7, 5, 4) Lưu ý là ta có thể thiết lập bảng Karnaugh theo chiều nằm ngang hay theo chiều đứng. Do các tổ hợp ở các bìa trái và phải kề nhau nên ta có thể coi bảng có dạng hình trụ thẳng đứng và các tổ hợp ở bìa trên và dưới cũng kề nhau nên ta có thể coi bảng có dạng hình trụ trục nằm ngang. Bìa Karnaugh và rút gọn hàm bool Và 4 tổ hợp biến ở 4 góc cũng là các tổ hợp kề nhau. Hình (H 2.4) là bảng Karnaugh cho 4 biến. (H 2.4) Bìa Karnaugh và rút gọn hàm bool Bìa Karnaugh là một bảng gồm 2n ô vuông chứa hàm có n biến. Như vậy hàm 2 biến có 4 ô, hàm 3 biến có 8 ô và hàm 4 biến có 16 ô. Hai ô được xem là kế cận khi thoả mãn điều kiện tổ hợp biến của chúng chỉ khác nhau về trị số của một biến. Xây dựng bìa Karnaugh: - Vẽ một bảng gồm 2n ô cho hàm có n biến. Bảng 4 ô cho hàm 2 biến A,B. Bảng 8 ô cho hàm 3 biến A,B,C. Bảng 16 ô cho hàm 4 biến A,B,C,D. Bìa Karnaugh và rút gọn hàm bool - Đặt tên biến và gắn các giá trị cho bìa: tên biến phụ thuộc vào hàm đã cho, các giá trị trên bìa phải thoả mãn điều kiện tổ hợp biến của hai ô kế cận chỉ khác nhau về trị số của một biến. Bảng 4 ô cho hàm 2 biến A,B. Bảng 8 ô cho hàm 3 biến A,B,C. Bảng 16 ô cho hàm 4 biến A,B,C,D. Chuyển hàm logic vào bảng Karnaugh. Trong mỗi ô của bảng ta đưa vào giá trị của hàm tương ứng với tổ hợp biến, để đơn giản chúng ta có thể chỉ ghi các trị 1 mà bỏ qua các trị 0 của hàm. Ta có các trường hợp sau: Từ hàm viết dưới dạng tổng chuẩn: Nếu hàm không phải là dạng chuẩn, ta phải đưa về dạng chuẩn bằng cách thêm vào các số hạng sao cho hàm vẫn không đổi nhưng các số hạng chứa đủ các biến Hàm này gồm 4 biến, nên để đưa về dạng tổng chuẩn ta làm như sau: Chuyển hàm logic vào bảng Karnaugh. Từ dạng tích chuẩn: Ta lấy hàm đảo để có dạng tổng chuẩn và ghi trị 0 vào các ô tương ứng với tổ hợp biến trong tổng chuẩn này. Các ô còn lại chứa số 1. Chuyển hàm logic vào bảng Karnaugh. Từ bảng sự thật: A B C F(A,B,C) NUMBER 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 2 0 1 1 1 3 1 0 0 0 4 1 0 1 0 5 1 1 0 0 6 1 1 1 1 7 Ta ghi 1 vào các ô tương ứng với các tổ hợp biến ở hàng 1, 3 và 7, kết quả giống như ở thí dụ 1. Chuyển hàm logic vào bảng Karnaugh. Trường hợp có một số tổ hợp cho giá trị hàm không xác định: nghĩa là ứng với các tổ hợp này hàm có thể có giá trị 1 hoặc 0, do đó, ta ghi dấu X vào các ô tương ứng với các tổ hợp này, lúc gom nhóm ta sử dụng nó như số 1 hay số 0 một cách tùy ý sao cho có được kết quả rút gọn nhất. Thí dụ 7: f(A,B,C,D) = Σ(3,4,5,6,7) với các tổ hợp từ 10 dến 15 cho hàm có trị bất kỳ (không xác định) Chuyển hàm logic vào bảng Karnaugh. Qui tắc rút gọn trong bảng Karnaugh Các tổ hợp biến có trong hàm logic hiện diện trong bảng Karnaugh dưới dạng các số 1 trong các ô, vậy việc gom thành nhóm các tổ hợp kề nhau được thực hiện theo qui tắc sau: - Gom các số 1 kề nhau thành từng nhóm sao cho số nhóm càng ít càng tốt. Điều này có nghĩa là số số hạng trong kết quả sẽ càng ít đi. - Tất cả các số 1 phải được gom thành nhóm và một số 1 có thể ở nhiều nhóm. - Số số 1 trong mỗi nhóm càng nhiều càng tốt nhưng phải là bội của 2m (mỗi nhóm có thể có 1, 2, 4, 8 ... số 1). Cứ mỗi nhóm chứa 2m số 1 thì tổ hợp biến tương ứng với nhóm đó giảm đi m số hạng. - Kiểm tra để bảo đảm số nhóm gom được không thừa. Hàm rút gọn là tổng của các tích Các ví dụ: Chú ý: Kết hợp 2m ô kế cận thì loại được m biến , các biến có giá trị thay đổi sẽ bị loại, hàm có giá trị bằng 1 được viết dưới dạng thực, hàm có giá trị bằng 0 được viết dưới dạng bù. Ví dụ 5: Dùng bìa Karnaugh rút gọn hàm dạng bù 3 biến: )5,4,2,0(),,(1  CBAF ))(( BACA F= Chú ý: Kết hợp 2m ô kế cận thì loại được m biến , các biến có giá trị thay đổi sẽ bị loại, hàm có giá trị bằng 1 được viết dưới dạng thực, hàm có giá trị bằng 0 được viết dưới dạng bù. Ví dụ 6: Dùng bìa Karnaugh rút gọn hàm dạng thực 4 biến:   )7,5,4,3,1,0(),,,(2 DCBAF DACAF 2 Các bước giải bài toán thiết kế logic: 3.1 Bài toán thiết kế  Bước 1: Lập bảng sự thật theo yêu cầu của đề bài.  Bước 2: Viết hàm logic quan hệ giữa ngõ vào và ngõ ra.  Bước 3: Đơn giản hàm logic.  Bước 4: Kết nối mạch theo hàm logic. Ví dụ: Thiết kế mạch logic điều khiển một đèn Y bằng 3 ngõ A, B, C. Đèn chỉ sáng khi có hai ngõ vào điều khiển ở mức cao. - Bảng sự thật: 3.1 Bài toán thiết kế A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 Hàm logic: )()()()( CBACBACBCBACBABACABCBABCAY  - Mạch logic: Bài tập 1: Viết dưới dạng tổng chuẩn (dạng thực) các hàm xác định bởi: Bài tập: Bài tập 2: Viết dưới dạng tích chuẩn (dạng bù) các hàm xác định bởi: Bài tập 3: Viết dưới dạng số các bài tập 1: Bài tập 4: Viết dưới dạng các bài tập 2 Bài tập 5: Dùng bảng Karnaugh rút gọn các hàm sau: (A = MSB) Bài tập: Bài tập 6: Chứng minh các đẳng thức sau bằng đại số) Bài tập: ))()(( DBCADADCBDABA  ))()(( DBCBCABDACBDC  Bài tập 7:Cho bảng chân trị sau C B A F1 F2 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 a. Viết biểu thức của hàm F1 và F2 b. Viết biểu thức hàm F1 dưới dạng tích các tổng (POS) c. Viết biểu thức hàm F2 dưới dạng tổng các tích (SOP) d. Viết hàm F1 dưới dạng Σ và Π e. Viết hàm F2 dưới dạng Σ và Π Bài tập: Bài tập 8:Cho bảng chân trị sau a. Viết biểu thức của hàm F1 và F2 b. Viết biểu thức hàm F1 dưới dạng tích các tổng (POS) c. Viết biểu thức hàm F2 dưới dạng tổng các tích (SOP) d. Viết hàm F1 dưới dạng Σ và Π e. Viết hàm F2 dưới dạng Σ và Π A B C F1 F2 0 0 0 1 1 0 0 1 0 X 0 1 0 X 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 X 1 1 0 X X 1 1 1 0 0 Bài tập 9:Hãy lập bảng chân trị của F1 và F2 CAACDDBADBCADCBAF .),,,(1      ).15,14,12,11,5,4,3,1(),,,( )12,8,6,4,2,1,0(),,,( 2 1 DCBAF DCBAF Bài tập: Bài tập 10: Cho sơ đồ mạch như sau Lập bảng chân trị và viết các hàm trong các trường hợp sau a. E=0 và D=0 b. E=0 Tìm dạng chuấn tắc tuyển và chuẩn tắc hội của các hàm sau Bài tập 11: CBABACBAF BACACBAF ZXXYZYXF XZYZXYZYXF     )(),,( ),,( ),,( ),,( 4 3 2 1 Dùng bìa Karnaugh rút gọn và vẽ mạch logic (nếu có) các hàm sau Bài tập 12:        ).29,28,25,22,21,20,14,12,9,6,5,4,3,1(),,,,( )(),,,( )7,6,5,4,3,2,1(),,( )14,12,10,8,5,4,2,1,0(),,,( 4 3 2 1 EDCBAF DCABCDCABADCBADCBAF CBAF DCBAF Dùng bìa Karnaugh rút gọn và vẽ mạch logic (nếu có) các hàm sau Bài tập 13:  )15,9,7,4,2,1(),,,(1 DCBAF  )15,14,11,10,8,5,4,2,1,0(),,,(2 DCBAF  )13,12,10,8,6,5,4,2,0(),,,(4 DCBAF .)15,10,13,8,7,5,2,0(),,,(3 DCBAF Cho các hàm sau Bài tập 14:     ).15,14,12,10,9,8,3,2(),,,( )8,7,6,4,3,2,0(),,,( 2 1 DCBAF DCBAF a. Rút gọn hàm F1 và thực hiện F1 dùng cấu trúc cổng AND-OR b. Rút gọn hàm F2 và thực hiện F2 dùng cấu trúc cổng OR-AND c. Thực hiện F1 dùng cấu trúc toàn bộ bằng cổng NAND d. Thực hiện F2 dùng cấu trúc toàn bộ bằng cổng NOR Rút gọn hàm sau và thực hiện bằng cổng NAND 2 ngõ vào Bài tập 15:  )14,12,10,9,6,4(),,,( DCBAF Rút gọn hàm sau và thực hiện bằng cổng NOR 2 ngõ vào .)11,10,9,6,4,3,2,0(),,,( DCBAF THE END