Đồ án Dùng phương pháp sai phân để giải bài toán biên đối với phương trình vi phân cấp bốn tổng quát một cách chi tiết

Lời nói đầu Trong lĩnh vực toán ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan tới phương trình vi phân thường. Việc nghiên cứu phương trình vi phân thường vì vậy đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết toán học. Nhiều hiện tượng khoa học và kỹ thuật dẫn đến các bài toán biên của phương trình vật lý toán. Giải các bài toán đó đến đáp số bằng số là một yêu cầu quan trọng của thực tiễn. Trong một số ít trường hợp, thật đơn giản việc đó có thể làm được nhờ vào nghiệm tường minh của bài toán dưới dạng các công thức sơ cấp, các tích phân hoặc các chuỗi hàm. Còn trong đại đa số trường hợp khác, đặc biệt là đối với các bài toán có hệ số biến thiên, các bài toán phi tuyến, các bài toán trên miền bất kỳ thì nghiệm tường minh của bài toán không có hoặc có nhưng rất phức tạp. Chính vì vậy chúng ta phải nhờ tới các phương pháp xấp xỉ để tìm nghiệm gần đúng. Do nhu cầu của thực tiễn và của sự phát triển lý thuyết toán học, các nhà toán học đã tìm ra rất nhiều phương pháp để giải gần đúng các phương trnhf vi phân thường (các phương pháp giải tích như phương pháp chuỗi Taylo, phương pháp xấp xỉ liên tiếp Pica, các phương pháp số như phương pháp một bước, phương pháp Ađam, phương pháp Runghe - Kuta,…). Trong phạm vi đồ án của mình, em xin trình bày một phương pháp gần đúng để giải phương trình vi phân cấp bốn tổng quát và phương pháp sai phân. Đây là một trong hai lớp phương pháp gần đúng quan trọng được nghiên cứu nhiều và phương pháp sai phân và phương pháp phần tử hữu hạn. Cả hai phương pháp đều tìm cách đưa bài toán đã cho về một bài toán đại số, thường là một hay nhiều hệ đại số tuyến tính. Trong phương pháp này miền trong đó ta tìm nghiệm của phương trình thường được phru bằng một lưới gồm một số hữu hạn điểm (nút), còn các đạo hàm trong phương trình được thay bằng các sai phân tương ứng của các giá trị của hàm tại các nút lưới. Đồ án được chia thành các chương như sau: Chương 1: Trình bày những khái niệm cơ bản cảu phương pháp sai phân tổng thông qua bài toán biến đổi với phương trình vi phân cấp hai. Chương 2: Dùng phương pháp sai phân để giải bài toán biên đối với phương trình vi phân cấp bốn tổng quát một cách chi tiết. Phần phụ lục ở cuối là chương trình và ví dụ minh hoạ. Do hạn chế về thời gian cũng như khả năng bản thân nên đồ án còn thiếu xót. Rất mong được sự thông cảm và đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn. Em xin cảm ơn thầy Lê Trọng Vinh đã tận tình hướng dẫn em trong thời gian làm đồ án vừa qua. Hà Nội, ngày 19 tháng 5 năm 2004 Sinh viên thực hiện Nguyễn Viết Thanh Chương 1 Khái niệm mở đầu về phương pháp sai phân 1.1. Mở đầu. Trong chương này để trình bày những khái niệm cơ bản của phương pháp sai phân ta sẽ xét bài toán biên đối với phương trình vi phân cấp hai. 1.2. Khái niệm bài toán biên. Bài toán biên có phương trình vi phân cấp lớn hơn hoặc bằng hai và điều kiện bốung được cho tại nhiều hơn một điểm. Chẳng hạn bài toán biên đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có dạng: [p(x)y'(x)k]' - q(x) y(x) = -f(x) a < x < b y(a) = a; y(b) = b Bài toán trên được gọi là bài toán biênloại một. Nếu điều kiện biên y(a) = a; y(b) = b được thay thế bởi điều kiện biên: -p(a)y'(a) + s1y(a) = a; p(b) y'(b) + s2y(b) =b thì ta có bài toán biên loại ba nếu s1 ³ 0; s2 ³ 0; s1 +s2 > 0. Còn nếu s1 = s2 = 0 thì ta có bài toán biên loại hai. Trong thực tế tat còn gặp những bài toán mà tại x = a và x = b có điều kiện biên khác nhau (chẳng hạn tại x = a ta có điều kiện biên loại một còn tại x = b ta có điều kiện biên loại hai hoặc ba) khi đó ta có bài toán biên hỗn hợp. Sau đây ta sẽ xem xét các khái niệm về phương pháp sai phân thông qua bài toán biên loại một. 1.3. Bài toán vi phân. Cho hai số a và b với a < b. Tìm hàm y = y(x) xác định tại a < x < b thoả mãn: Ly = -(py')' + qy = f(x) (1.1) y(a) = a, y(b) = b (1.2) Trong đó p = p(x), q = q(x), f(x) là những hàm số cho trước đủ trơn thoả mãn: 0 < c0Ê p(x) Ê c1, c0, c1 = const, q(x) ³ 0. còn a, b là những số cho trước. Giả sử bài toán (1.1) - (1.2) có nghiệm duy nhất y đủ trơn để [a, b]. 1.4. Lưới sai phân. Ta chia đoạn [a, b] thành N đoạn con bằng nhau, mỗi đoạn con dài h= (b - a)/N bởi các điểm xi = a + ih, i = 0, 1, …, N. Mỗi điểm xi gọi là một nút lưới, h gọi là bước lưới. Tập Wh = {xi, 1 Ê i Ên - 1} gọi là tập các nút trong. Tập Gh = {x0, xn gọi là tập các nút biên. Tập gọi là một lưới trên [a, b]. a=x0 x1 xi xN = b 1.5. Hàm lưới. Đó là những hàm số xác định tại các nút của lưới . Giá trị của hàm lưới n tại nút xi viết là ni. Một hàm số y(x) xác định tại mọi x ẻ [a, b] sẽ tạo ra hàm lưới y có giá trị tại nút xi là yi = y(xi). 1.6. Đạo hàm lưới. Xét hàm lưới n. Đạo hàm lưới tiến cấp một của n. Ký hiệu là nx, có giá trị tại nút xi là: nxi = Đạo hàm lưới lùi cấp một của n , ký hiệu là , có giá trị tại nút xi là: Sau đây ta sẽ thấy rằng khi h bé thì đạo hàm lưới "xấp xỉ" được đạo hàm thường (xem các công thức (1.5), (1.6), (1.7)). Do đó có đạo hàm lưới cấp hai : Nếu a là một hàm lưới thì: 1.7. Qui ước viết vô cùng bé. Khái niệm "xấp xỉ" liên quan đến khái niệm vô cùng bé. Để viết các vô cùng bé một cách đơn giản ta sẽ áp dụng qui ước sau đây: Giả sử đại lượng r(h) là một vô cùng bé khi h đ 0. Nếu tồn tại số a > 0 và hằng số M > 0 không phụ thuộc h sao cho: Thì ta viết: r(h)= O(ha) Viết như trên có nghĩa là: khi h nhỏ thì r(h) là một đại lượng nhỏ và khi h đ 0 thì r(h) tiến đến số 0 không chậm hơn Mha. 1.8. Công thức Taylor. Ta nhắc lại công thức Taylor ở đây vì nó là công thức quan trọng được sử dụng để xấp xỉ bài toán vi phân bởi bài toán sai phân. Giả sử F(x) là một hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp m + 1 trong một khoảng (a, b) chứa x và x + Dx có thể dương hay âm. Khi đó theo công htức Taylor ta có: F(x+Dx)=F(x)+DxF'(x)+(1.3) Trong đó c là một điểm ở trong khoảng từ x đến x + Dx. Có thể viết: c = x + qDx với 0 < q < 1. Ta giả thiết thêm: Khi đó là một vô cùng bé khi Dx đ 0. Tức là tồn tại hằng số K > 0 không phụ thuộc vào Dx sao cho: Công thức Taylor ở trên có thể viết gọn hơn như sau: F(x+Dx) = F(x)+DxF'(x) + (1.4) 1.9. Liên hệ giữa đạo hàm và đạo hàm lưới. Giả sử hàm y(x) đủ trơn. Theo công thức Taylor (1.4) ta có: Ta suy ra (1.5) (1.6) Ngoài ra với quy ước Ta còn Ta suy ra Do đó (1.7) Đồng thời (1.8) 1.10. Phương pháp sai phân Ta tìm cách tính gần đúng giá trị của nghiệm đúng y(xi) tại các nút . Gọi là các giá trị gần đúng đó là ni. Muốn có ni ta thay bài toán vi phân (1.1) - (1.2) bởi bài toán sai phân: (1.9) n0 = a, nN =b (1.10) trong đó: ai = p(xi - h/2), qi = q(xi), fi = f(xi) 1.11. Giải bài toán sai phân (1.9) - (1.10) bằng phương pháp truy đuổi Viết cụ thể bài toán (1.9) - (1.10) ta có: (1.11) (1.12) Đó là một hệ số tuyến tính dạng ba đường chéo có thể giải bằng phương pháp truy đuổi. Xét hệ đường chéo tổng quát (1.13) (1.14) Trong đó (1.15) (1.16) Như vậy hệ (1.11) - (1.12) là trường hợp riêng của hệ (1.13) - (1.14) khi: 1.11.1. Phương pháp truy đuổi từ phải Ta tìm nghiệm của hệ (1.13) - (1.14) ở dạng (1.17) Khi đã biết các ai và bi thì (1.17) cho phép tính các yi lùi từ phải sang trái. Vì lẽ đó phương pháp mang tên phương pháp truy đuổi từ phải. Để tính các ai, bi ta viết (1.17) trong đó thay i bởi i -1. Thay này vào (1.13), ta được: (1.18) Do Ci - Aiai ạ 0 (1.18) Điều kiện này được thoả mãn nhờ giả thiết (1.15) - (1.16). Vì ta có: Theo giả thiết (1.16), ta có do đó: C1 - A1a1 ³ A1 + B1 - A1a1 = B1 + (1 - a1) A1 ³ B1 > 0 ị 0 < a2 = Một cách tương tự, giả sử 0 < a1 Ê 1, i = 2,…k. Ta chứng minh đúng với i = k + 1. Điều này rõ ràng vì Ta suy ra: Giả thiết (1.15) - (1.16) cũng là điều kiện đảm bảo cho công thức truy đuổi ổn định. Với điều kiện (1.19) thì (1.18) cho: Đối chiếu với (1.17), ta suy ra (1.20) Tại i = 0, công thức (1.17) viết (1.21) Sau đó từ (1.20) cho phép tính tất cả các ai, bi. Bây giờ công thức (1.17) tại i = N - 1 viết Kết hợp với công thức thứ hai của (1.14), ta được. (1.12) Do giả thiết (1.16) và các 0 0. Suy ra (1.22) cho: Sau đó (1.17) cho phép tính ra các yi, i = N - 1, N - 2,…0. Vậy thuật toán: 1.11.2. Phương pháp truy đuổi từ trái Ta tìm nghiệm ở dạng Ta có thuật toán sau: 1.12. Sự ổn định của bài toán sai phân Trước hết để đo độ lớn của hàm lưới và hàm lưới f = (f1, f2,…,fN-1) , ta sử dụng các chuẩn. (1.24) Định nghĩa. Nói bài toán sai phân (1.9) - (1.10) là bài toán ổn định nếu nó có nghiệm duy nhất với mọi vế phải và điều kiện biên, đồng thời nghiệm thoả mãn: (1.25) ý nghĩa của bài toán ổn định là: Bài toán sai phân có nghiệm duy nhất, đồng thời nghiệm đó phụ thuộc liên tục vào vế phải của phương trình sai phân và điều kiện biên, nghĩa là khi vế phải của phương trình sai phân và điều kiện biên thay đổi ít thì nghiệm cũng thay đổi ít. Bất đẳng thức (1.25) nói lên ý nghĩa đó, ta gọi đó là bất đẳng thức ổn định của bài toán (1.9) - (1.10). 1.13. Sự xấp xỉ Bằng công thức Taylor (1.4) ta có: ị = Một cách tương tự: Ta suy ra: Do đó: (1.26) Vì lẽ đó ta nói toán tử sai phân Lh xấp xỉ toán tử vi phân L tới cấp O(h2) Hơn nữa, vì n0 - y0 = a - a = 0 và nN - yN = b - b = 0 nên ta cũng nói: bài toán sai phân (1.9) - (1.10) xấp xỉ bài toán vi phân (1.1) - (1.2) 1.14. Sự hội tụ Định nghĩa. Gọi y(x) là nghiệm của bài toán vi phân (1.1) - (1.2) và ni là nghiệm của bài toán sai phân (1.9) - (1.0). Nói phương pháp sai phân (1.9) - (1.10) hội tụ nếu: Tức là: Hay: Nói phương pháp sai phân có cấp chính xác O(hm), m > 0 nếu: Định lý. Phương pháp sai phân (1.9) - (1.10) là phương pháp hội tụ vơí cấp chính xác O(h2). Chứng minh. Đặt z = n - y ta có: = Theo (1.26): Theo (1.2) và (1.10): Vậy z thoả mãn Do đó, áp dụng bất đẳng thức ổn định (1.25) ta được: Suy ra: Định lý được chứng minh 1.15. Trường hợp điều kiện biên loại b s1, s2, a, b - là những hằng số s1 ³ 0; s2 ³ 0; s1 + s2 > 0 Ta có: ị = (1.27) Như vậy, ta thấy nếu thay p(a)y'(a) ằ thì sai số địa phương tại biên chỉ đạt cấp O(h) do đó sẽ ảnh hưởng đến sai số trên toàn lưới. Để đạt được sai số tại biên cấp O(h2), ta sử dụng thêm chính chương trình (1.1) tại x = a. Thay đẳng thức này vào (2.17): Bỏ qua O(h2) và thay hàm cần tìm y bởi n, ta nhận được đẳng thức xấp xỉ của điều kiện biên tại x = a, đạt sai số O(h2) hoàn toàn tương tự với biên x = b, ta có Vậy ta có hệ phương tình sau đối với bài toán biên loại ba. Đây là hệ đại số tuyến tính có ma trận hệ số dạng ba đường chéo, giải được bằng công thức truy đuổi. Thí dụ: Xét bài toán Giải ta chọn , nghĩa là chia đoạn làm 4 đoạn bằng nhau bởi các điểm chia. Ta có thể viết lại phương trình đã cho như sau: Suy ra Nghiệm gần đúng ni, i = 1, 2, 3 là nghiệm của hệ phương trình sau: Tính các hệ số: Thay số vào ta được. Đây là hệ đại số tuyến tính dạng ba đường chéo được giải theo phương pháp truy đuổi nêu ở trên. Sau khi giải ra ta được kết quả. n1 = -0,19943, n2 = -0,26393, n3 = -0,20295 Ta có thể tìm được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: Dựa vào các điều kiện biên, ta tìm được C1 = 0, C2 = -0,274156 Suy ra nghiệm riêng tương ứng của phương trình là So sánh với các nghiệm gần đúng tại các nút lưới, ta có bảng kết qủa sau: i xi Nghiệm gần đúng ni Nghiệm đúng y(xi) 0 -0.5 0 0 1 -0.25 -0.19943 -0.21031 2 0 -0.26393 -0.27415 3 0.25 -0.2095 -0.21031 4 0.5 0 0 Sai số đạt: Chương 2 Phương pháp sai phân giải gần đúng phương trình vi phân cấp bốn Trong chương một ta đã xét các khái niệm của phương pháp sai phân thông qua bài toán biênđói với phương trình vi phân cấp hai nhằm hiểu được tư tưởngcủa phương pháp. Chương này đi vào nội dung chính của đồ án là dùng phương pháp sai phân để giải gần đúng phương trình vi phân cấp bốn tổng quát một cách chi tiết. 1.1. Bài toán vi phân. Cho hai số a và b với a < b. Tìm hàm y = y(x) xác định tại a < x < b thoả mãn: (2.1) y(a) = ya, y(b)= yb, y'(a) = y'a, y'(b) = y'b (2.2) Trong đó: p = p(x) liên tục và các đạo hàm p', p" liên tục q = q(x) liên tục và đạo hàm q' liên tục. G(x), f(x) là những hàm số liên tục. Đồng thời: 0 < c0 Ê q(x) Ê c1 0 < c2 Ê p(x) Ê c3 (c0, c1, c2, c3 = const) g(x) ³ 0 p(x), q(x), g(x), f(x) là những hàm số cho trước. ya, yb, y'a, y'b là những hàm số liên tục cho trước. Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm. Phương trình (1.1) có dạng: = F(x, y, y', y", y"') (2.3) Nếu: F(x,y,y',y",y"'), và Liên tục trong một miền D nào đó trong R5 và nếu (x0,y0,y'0,y"0,y"'0) là một điểm thuộc D thì trong một lân cận nào đó của điểm x = x0, tồn tại một nghiệm duy nhất y = y(x) của phương trình (2.3) thoả mãn các điều kiện: Xem [5] phần tài liệu tham khảo. 1.2. Lưới sai phân. Ta chia đoạn [a,b] thành N đoạn con bằng nhau, mỗi đoạn con dài h=(b-a)/ N bởi các điểm xi= a +ih(i= 0,1,…,N). Mỗi điểm xi gọi là một nút lưới, h gọi là bước lưới. a = x0 x1 xi xN = b Tập Wh = {xi, 2 Ê i Ê N - 2} gọi là tập các nút trong. Tập Gh = {x0, x1, xN-1, xN} gọi là tập các nút biên. Tập gọi là một lưới trên [a, b] 1.3. Hàm lưới. Đó là những hàm số xác định tại các nút của lưới . Giá trị của hàm lưới n tại nút xi viết là ni. Một hàm số y(x) xác định tại mọi x ẻ [a, b] sẽ tạo ra hàm lưới y có giá trị tại nút xi là yi = y(xi). 1.4. Đạo hàm lưới. Giả sử hàm y(x) đủ trơn. Theo công thức Taylor, ta có: y(xi+1) = y(xi + h) = y(xi) + hy'(xi) + O(h2) Ta suy ra: (2.4) y(xi+1) = y(xi - h) = y(xi) - hy'(xi) + O(h2) (2.5) (2.4) và (2.5) như ta đã biết gọi là đạo hàm lưới tiến và lùi cấp một của y. Qui ước: Ta còn có: Ta suy ra: Do đó: (2.6) Đồng thời: (2.7) (2.8) (2.9) 1.5. Phương pháp sai phân Giả sử bài toán vi phân (2.1)- (2.2) thoả mãn định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm, ta tìm cách tính gần đúng giá trị của nghiệm đúng (y(xi) tại các nút xi ẻ Gọi các giá trị gần đúng đó là ni. Muốn có ni ta thay bài toán vi phân (2.1) - (2.2) bởi bài toán sai phân tương ứng. ã Đặt w(x) = (p(x)y")' Từ (2.9) ta suy ra: w'(xi) = (p(x)y")"i Theo (2.6) ta có: (2.10) (theo 2.6) = (2.11) (theo 2.6) = (2.12) Ta có: Cộng vế với vế hai đẳng thức trên ta được: Suy ra: Hay (2.13) Thay (2.23) vào (2.11) ta được: Thay (2.13) vào (2.12) ta được: ã Đặt Z(x) = q(x)y'(x) Cũng từ (2.9) ta suy ra: Thật vậy: (Giả thiết: ị = Vậy: Tương tự, ta có thể chỉ ra rằng: Bằng cách khai triển các yi tới đạo hàm cấp 5 theo công thức Taylor, với giả thiết C ã Đặt ni ằ y (xi), coi ni là nghiệm gần đúng của y(xi) và bỏ qua các vô cùng bé của h ta được phương trình sau: Viết lại: Trong đó: Có thể tính: Đặt: , Ta có phương trình sau: Aini-2 - Bini-1 + Cini - Dini+1 + Eini+2 = Fi, 2 Ê i Ê N - 2 (2.14) Kết hợp với các điều kiện biên (2.2), ta có: Bây giờ, ta cần xấp xỉ đạo hàm y"0 tại điểm x0 = a: Nhân cả hai vế của đẳng thức ý với (-2) sau đó cọng với hai đẳng thức y0 và y2 ở trên, ta được: f Mà: Vậy: y Trong đó: y Thay vào, ta có: Thay y bởi n và bỏ qua sai số địa phương cấp 2 O(h2), ta được: ị -3n0 + 4n1 - n2 = 2hy'a Tương tự với điều kiện biên y'(b) = y'b, ta có: Ta cần xấp xỉ đạo hàm cấp 2 y"N tại xN= b: yN = y(b) = yN Nhân cả hai vế của đẳng thức ứng với yN-1 với (-2) sau đó cộng với hai đẳng thức yN-2, yN, ta được: Mà: Vậy: Trong đó: Thay vào, ta có: Cũng thay y bởi n và bỏ qua sai số địa phương cấp 2 O(h2), ta được: ị -nN-2 + 4nN-1 - 3nN = -2hy'b Như vậy ta có hệ phương trình sau: (I) Hệ (I) cũng được gọi là lược đồ sai phân đối với bài toán biên đã cho. Thay cho bài toán vi phân (2.1) - (2.2) đối với ẩn hàm y = y(x) ta có bài toán sai phân (I) đối với ẩn hàm n. (I) là hệ phương trình đại số bậc nhất tuyến tính có dạng năm đường chéo. 1.6. Cách giải bài toán sai phân (I). 1.6.1. Phương pháp truy đuổi. Bài toán sai phân có dạng: Đó là một hệ đại số tuyến tính năm đường chéo. Bây giờ ta sẽ xét phương pháp truy đuổi giải hệ năm đường chéo tổng quát sau: 1.6.1.1. Phương pháp truy đuổi từ phải. Ta tìm nghiệm của hệ (1.17) - (1.21) ở dạng: 0 Ê i Ê N - 2 (2.22) , i = N - 1 (2.23) Khi đã biết các hệ số ai, bi, gi thì (2.22) - (2.23) cho phép tính các yi lùi từ phải sang trái. Vì lẽ đó phương pháp mang tên phương pháp truy đuổi từ phải. Từ các công thức (2.22) - (2.23) yN và các hệ số ai, bi, gi là chưa biết. Để tính các hệ số ai, bi, gi. Từ (2.22) ta thay i bởi i - 1 và i - 2 ta được: yi-1 = aiyi - biyi+1 + gi, 1 Ê i Ê N - 1 (2.24) yi-2 = ai-1yi-1 - bi-1yi + gi-1 = ai-1 (aiyi - biyi+1 +gi) - bi-1yi + gi-1. yi-2 = (aiai-1 - bi-1)yi - biai-1yi-1 + ai-1gi + gi-1, 2 Ê i Ê N (2.25) Thay (2.24) và (2.25) vào phương trình (2.19), ta được: Û Đối chiếu với (2.22) ta suy ra: , (2.26) Trong đó: Từ (2.26) ta thấy để xác định được ai+1, bi+1 và gi+1 ta phải biết được a, ai-1, bi, bi-1, gi và gi-1. Như vậy, trước hết ta cần xác định các ai, bi và gi với 3 ÊiÊN-1 Từ (2.17) ta suy ra: Từ (2.22) với i = 0, ta có: y0 = a1y1 - b1y2 + g1. Suy ra: a1 = (2.27) Tương tự, từ (2.24) với i = 1 và (2.28) ta có: Từ (2.22) với i = 1, ta có: Suy ra: (1.28) Như vậy, từ (2.26) - (2.28) ta tính được các hệ số ai, bi và gi với 1 Ê i Ê N - 1. Tiếp theo, ta cần xác định aN, gN và yN theo công thức (2.23). Bây giờ, ta cần sử dụng các phương trình (2.20) - (2.21) trong hệ. Từ (2.24) và (2.25) với i = N- 1 kết hợp với phương trình (2.20) và sử dụng công thức (2.23), ta có: Suy ra: Ta thấy rằng aN, gN ở trên chính là giá trị aN, gN được tính theo công thức (2.26) ứng với i = N - 1, trong đó mẫu số chính là DN-1. Để tính yN, ta sử dụng (1.22) với i = N -2 và (2.23) với phương trình (2.21) Với gN+1 được tính từ (2.26) tại i = N. Như vậy, ta có thể tóm tắt lại qui trình giải hệ năm đường chéo (2.17)-(2.21) theo phương pháp truy đuổi từ phải như sau: 1. Tính các hệ số a, bi, gi. , i = 2, 3,…, N - 1 (2.29) , i = 2, 2, …, N - 2 (2.30) , i = 2, 3, …, N (2.31) Trong đó: 2 Ê i Ê N; D1 = c1 - b1a1 (2.32) 2. Tính các yi (i = ) theo công thức: yN = gN+1, i= N yN-1 = aNyN + gN, i= N - 1 (2.33) yi = ai+1yi+1 - bi+1yi+2 + gi+1, i = N - 2, N - 3, …, 0 1.6.1.2. Phương pháp truy đuổi từ trái. Ta tìm trong nghiệm hệ (2.17) – (2.21) ở dạng Từ (2.34) – (2.35) y0 và các hệ số là chưa biết. Từ (1.34) thay i = i +1, ta được: (1.36) Từ (1.34) thay i = i + 2, ta được: (2.37) Thay (2.36) – (2.37) vào (2.19) Đối chiếu với (2.34) ta suy ra: (2.38) Trong đó: 2 Ê i Ê N-2. Từ (2.38) ta thấy, để xác định được các hệ số xi, hi, ti ta phải biết được . Như vậy, trước hết ta cần phải xác định xi, hi vf ti với i = N – 1, N. Sau đó từ (2.38) ta tính được hệ số xi, hi, ti với 1 Ê i Ê N – 2 Từ (2.21), ta suy ra: Từ (1.34) tại i = N, ta có: Suy ra: (2.39) Tương tự, từ (2.20) và (2.36) tại i = N – 1 ta có: Từ (2.34) tại i = N – 1, ta có: Suy ra: (2.40) Như vậy, từ (2.38) – (2,40) ta tính được các hệ số với 1 Ê i Ê N-2 Tiếp theo ta cần xác định xi, ti và y0 theo công thức (2.35) Từ (2.34) với i = 2 và i = 3. Thay y2, y3 ở trên vào (2.18) cho ta: Đối chiếu với (2.35) tat suy ra: Ta thấy rằng x1, t1 ở trên trùng với các giá trị x1, t1 suy ra từ công thức (2.38) ứng với i = 1. Để tính y0, ta sử dụng (2.34) tại i = 2 và (2.35) rồi thay vào phương trình (2.17) ta có: Suy ra: Tóm lại, qui trình giải hệ (2.17) – (2.21) theo phương pháp truy đuổi từ trái như sau: 1. Tính các hệ số xi, ni, ti. Trong đó: 0 Ê i Ê N – 2 (2.44) 2. Tính các ) theo công thức. 1.6.2.3. Sự ổn định. Nhận xét rằng, các công thức (2.29) – (2.33) chỉ có nghĩa khi và chỉ khi: , D1= c1 - a1b1 ạ 0 Để đảm bảo rằng việc giải hệ (2.17) – (2.21) theo các công thức (2.29) – (2.33) là ổn định thì các hệ số của hệ phương trình thoả mãn các điều kiện của định lý sau: Định lý: Khi tìm nghiệm hệ (2.17) – (2.21) theo công thức truy đuổi (2.29) – (2.33) ta sẽ gặp phải sai số quy tròn, vì vậy có thể dẫn đến sự mất ổn định của công thức tính. Quá trình tính sẽ ổn định nếu các điều kiện sau đây được thoả mãn. Đồng thời có ít nhất một bất đẳng thắc mạnh trong các bất đẳng thức dưới đây: (2.46) Khi đó ta có: Chứng minh: Thật vậy, từ (2.29) và (2.31) ta có: do giả thiết: Do (giả thiết). Mà ị Suy rra: Tương tự, ta có thể chứng minh được: Nếu thì (2.47) Bây giờ, ta sẽ chỉ ra rằng: và Thật vậy, từ (2.46) – (2.47) ta có: (2.48) Từ (2.29), (2,31) suy ra: , i Ê N – 2 (do (2.48)) Tương tự, với i = N – 1 dựa vào (2.48) ta suy ra: (Sử dụng giả thiết và (2.47)) ị Do đó: Cuối cùng, tta cần chỉ ra rằng DN ạ. Như vậy, với giả thiết đã cho cùng với các điều kiện đã được chứng minh ở trên ta cần giả thiết thêm là các bất đẳng thức thứ này không đồng thòi xảy ra dấu bằng. Khi đó, ta có DN ạ 0. Định lý được chứng minh đầy đủ. Với cách đánh giá hoàn toàn tương tự như định lý trên, nếu các giả thiết của định lý được thoả mãn thì ta cũng chỉ ra được rằng: 2.6.2. Phương pháp lặp Seidel co dãn Hệ số (I) có thể viết lại ở dạng ma trận Av = F E' D E Gọi aij là phần tử tổng quát của ma trận A A = Ta tách ma trận A thành A = D - E - E' Trong đó D, E, E' lần lượt là các ma trận đường chéo chính, dưới đường chéo chính và trên đường chéo chính của ma trận A. Khi đó hệ Av = F có thể biến đổi thành: Dv = (E + E')v + F Hay v = D-1 (E + E')v + d-1F Phương pháp lặp xuất phát thị trường xấp xỉ đầu v(0) cho trước và tính v các bước tiếp theo dựa vào công thức: Tức là, đối với thành phần thứ i ; Tăng cường tốc độ hội tụ bằng phép co dãn (2.15) Quá trình lặp co dãn dừng khi sai số tương đối. Trong đó d là mức độ chính xác tương đối định trước 2.7. Sự xấp xỉ Ta có: Vì lẽ đó ta nói toán tử sai phân Lh xấp xỉ toán tử vi phân L tới cấp O(h2) 2.8. Sự ổn định của bài toán sai phân Định lý: Bài toán sai phân (I) là bài toán ổn định: Chứng minh: ở trên, bài toán sai phân đã đưa về dạng (I) với các hệ số thoả mãn định lý về sự ổn định của hệ năm đường chéo. Để đánh giá v ta đặt v = V + Z Trong đó: V thoả mãn (II) Z thoả mãn. (III) khi đó v thỏa mãn (I) Công thức truy đuổi từ phải áp dụng vào bài toán (II) cho: Ta có: Do định lý về sự ổn định của hệ năm đường chéo, ta có ; Trong đó các hệ số hi chính là số hạng thứ i của dãy số Fibonacci Dãy số thể hiện hi ứng với các giá trị i = 1, 2, 3,…, có dạng: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 … Viết lại Ta có: Trong đó: Với Xét quan hệ giữa các hệ số Ai, Bi, Ci, Di và Ei Suy ra: (Định lý về sự ổn định của hệ năm đường chéo) Bây giờ ta đánh giá Ta có: Do đó: Ta suy ra: Đặt: Suy ra: Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được: Dựa vào điều kiện biên của bài toán (III), ta có: Suy ra: Do đó: Trong đó: …………. ……… tương tự như ở phần trên đối với Vi ta sẽ chỉ ra được nên suy ra: Và cũng tương tự, ta cũng dễ dàng chứng tỏ rằng các . Khi đó có thể đánh giá như sau: ị Suy ra: Với : Vậy: Rõ ràng ta thấy rằng tương tự bài toán (II) nghiệm của bài toán (III) cũng chỉ phụ thuộc vào vế phải của phương trình sai phân và điều kiện biên của nó. Như vậy từ v = V + Z ta suy ra. Tức là Trong đó: K1 = hi-1 + hi, K2 = hN-i-1 + hN-1 K, K1, K2 = Const. Định lý được chứng minh 2.9. Bài toán sai phân đối với sai số Gọi y là nghiệm của bài toá vi phân (2.1) - (2.2) và v là nghiệm của bài toán sai phân (I). Đặt z = v - y ị zi = vi - yi (zi - biểu thị sai số tại nút i khi ta lấy vi ằ y(xi)). Ta có bài toán sai phân đối với sai số z. ị Suy ra: Vậy ta có hệ 2.10.Sự hội tụ và sai số Định lý: phương pháp sai phân (I) là phương pháp hội tụ với cấp chính xác O(h2). Chứng minh Với mọi hàm lưới w xác định trên , ta định nghĩa chuẩn áp dụng định lý về sự ổn định vào bài toán sai phân đối với sai số, ta suy ra: Bất đẳng thức này chứng tỏ zi = vi - yi đ 0 tức là vi đ y(xi) khi h đ 0. Hơn nữa bất đẳng thức trên còn là một ước lượng của sai số . Cỡ của sai số là O)h2) (tức là Định lý chứng minh xong Chú ý: Từ chứng minh trên của định lý ta có thể phát biểu gọn Xấp xỉ + ổn định = hội tụ Xấp xỉ cấp 2 + ổn định = hội tụ cấp 2 Thí dụ 1: Để kiểm tra sự đúng đắn của phương pháp, ta xét thí dụ sau: Trong đó: f(x) chưa biết Bây giờ ta sẽ “mò” lấy một nghiệm và coi là nghiệm đúng của phương trình đã cho, sau đó tính các đạo hàm y”, y(4) và thay vào phương trìh để tính ra hàm f(x). Khi đó áp sụng phương pháp sai phân đã trình bày ở trên để tính ra nghiệm gần đúng rồi so sánh với nghiệm đúng . Từ đó ta có thể đưa ra nhận xét về sự phù hợp của phương pháp. Nhận xét rằng phương trình đã cho là phương trình vi phân cấp 4 tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng. Ta có thể tìm được nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là: Để tìm nghiệm tổng quát của phương trìh không thuần nhất đã cho, ta sử dụng phương pháp biến thiên hằng số, nghĩa là coi các hằng số tuỳ ý, Ci, là các hàm số. Ta tìm Ci, để cho nghiệm tìm được ở trên là nghiệm của phương trình không thuần nhất. Sau khi tính toán các đạo hàm y’, y”, y”, y(4) và thay vào phương trình đã cho ta sẽ chọn các hệ số Ci, thoả mãn hệ phương trình sau: Trong đó Giả ra ta có: K1, K2, K3, K4 = const Do f(x) là hàm chưa biết (cần tìm) nên các hệ số Ci, chưa xác định được. Như vậy dựa vào dạng của nghiệm y ta tìm được trên ta có thể chọn: Y = 2x(cosx - sinx) - 6e2x + 5 Và coi là nghiệm đúng của phương trìh không thuần nhất Sau khi tính toán các đạo hàm y”, y(4) và thay vào phương trình đã cho, ta được: f(x) = 28(sinx + cosx) - 90e2x - 25 Bây giờ đã biết p(x), q(x), g(x), f(x). Ta cần giải bài toán sau: Py(4)(x) + qy”(x) + gy(x) = f(x) Với các điều kiện biên: ya = -0.9998; yb = -4.5317 y’a = -9.9998; y’b = -18.9499 Chọn h = 0,025, nghĩa là chia đoạn làm 10 phần bằng nhau bởi các điểm chia. x0 = 0, x1 = 0.025, x2 = 0.05, x3 = 0.075,x2 = 0.1 x5= 0.125, x6 = 0.15, x7 = 0.175, x8 = 0.2, x9 = 0.225, x2=0.25, Dựa vào phương pháp sai phân đã nêu ở phần lý thuyết, ta đưa về hệ năm đường chéo sau đây để tính nghiệm gần đúng của phương trình vi phân đẫ cho. Trong đó: Ai = pi-1 = p(xi-1) = 2 Bi = 2(pi + pi-1) - h2qi-1/2 = 8.001875 Ci = pi+1 + 4 pi - pi-1 - h2 (qi+1/2 + qi-1/2) + h4gi = 12.00374805 Di = 2(pi+1 + pi) - hqi+1/2 = 8.001875 Ei = pi+1 = 2 Fi = h4fi = h4f(xi) Giải ra ta được các vi, đồng thời so sánh với các nghiệm đúng y(xi), i = cho trong bảng sau: I Xi Nghiệm gần đúng vi Nghiệm đúng y(x) 0 -0.9998 -1 0.025 -1.2589 -1.2588 0.05 -1.5362 -1.5361 0.075 -1.8327 -1.8326 0.1 -2.1493 -2.1494 0.125 -2.4871 -2.4873 0.15 -2.4870 -2.4874 0.175 -3.2303 -3.2307 0.2 -3.6380 -3.6384 0.225 -4.0714 -4.0716 0.25 -4.5317 -4.5316 Sai số đạt: Thí dụ 2. Giải gần đúng phương trìh vi phân sau: Û ở đây: p(x) = 1, q(x0 = 1 - x2, g(x) = -2 Do ta không thể timd được dạng nghiệm tổng quát của phương trình đã cho nên ta phải lấy y(x) tuỳ ý coi là nghiệm đúng của phương trình. Giả sử y(x) có dạng như sau: y(x) = (x2 + 1)ex - xcosx (coi là nghiệm đúng) Sau khi tính các đạo hàm và thay vào phương trình đã cho, ta được: Tương tự như ở thí dụ 1, bây giờ biết các hàm p, q, g, f ta dùng phương pháp sai phân để tìm nghiệm gần đúng của phương trình. Với các điều kiện biên: Ta chọn h = 0.02, tức là chia đoạn làm 25 phần bằng nhau bởi các điểm chia x0 = 0, x1 = 0.02, x2 = 0.04, x3 = 0.06, …,x25 =0.5 Như vậy ta có bài toán sai phân tương ứng với bài toán vi phân đã cho là: Tính các hệ gần đúng Ai, Bi, Ci, Di, Ei, Fi rồi thay vào hệ trên và giải ra được các nghiệm gần đúng vi, đồng thời so sánh với các nghiệm đúng y(xi), ta được bảng kết quả sau I Xi Vi, Y(xi), 0 0.9998 1.0006 0.02 1.0004 1.0025 0.04 1.0024 1.0058 0.06 1.0056 1.0105 0.08 1.0103 1.0167 0.1 1.0166 1.0246 0.12 1.0245 1.0342 0.14 1.034 1.0456 0.16 1.0454 1.0589 0.18 1.0587 1.0742 0.2 1.0741 1.0917 0.22 1.0915 1.1114 0.24 1.1111 1.1333 0.26 1.1331 1.1578 0.28 1.1575 1.1847 0.3 1.1845 1.2468 0.32 1.2141 1.3205 0.34 1.2466 1.4069 0.36 1.2819 1.4552 0.38 1.3203 1.5071 0.4 1.3618 1.5627 0.42 1.4067 1.6221 0.44 1.455 1.455 0.46 1.5069 1.5069 0.48 1.5625 1.5625 0.5 1.6220 1.6220 Sai số đạt: Chú ý 1: vi - y(x) = O(h2) ị Runge xem: vi- y(xi) ằ Ch2, C = const > 0 (tồn tại nhưng chưa biết) Tính Sai số: Chú ý 2: Xét bài toán Giả sử khi tính F, không được tính các giá trị đúng củaF, mà chỉ được F* ằ F, với (e, d là hai số dương bé) Khi đó thay cho bài toán ban đầu ta có, Là bài toán mà vế phải F và ỹ bị nhiễu một chút Bài toán sai phân đối với sai số (tính toán) áp dụng bất đẳng thức ổn định. . Mục lục Trang