Đồ án Nghiên cứu bài toán dùng phương pháp xấp xỉ trung bình phương

Lời nói đầu Toán học là một môn khoa học chiếm vị trí quan trọng không thể thiếu trong cuộc sống con nguời. Cùng với sự phát triển nội tại của toán học và các ngành khoa học khác, toán học chia thành toán lý thuyết và toán ứng dụng. Giải tích số hay còn gọi là phương pháp số là môn khoa học thuộc lĩnh vực toán ứng dụng nghiên cứu cách giải gần đúng các phương trình, các bài toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối ưu. Việc giải một bài toán xấp xỉ hàm số nhằm mục đích thay một hàm số dưới dạng phức tạp như dạng biểu thức hoặc một hàm số dưới dạng bảng bằng những hàm số đơn giản hơn. Trong lý thuyết xấp xỉ hàm người ta thường nghiên cứu các bài toán nội suy, bài toán xấp xỉ đều và bài toán xấp xỉ trung bình phương. Trong đồ án này em đề cập đến bài toán dùng phương pháp xấp xỉ trung bình phương hay còn gọi là phương pháp bình phương tối thiểu để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm. Để hoàn thành đồ án này em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán tin ứng dụng- Trường đại học Bách Khoa Hà Nội đã quan tâm giúp đỡ em và tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá trình làm đồ án. Đặc biệt em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến PGS-TS Lê Trọng Vinh, người đã trực tiếp tận tình hướng dẫn, chỉ bảo về kinh nghiệm và tài liệu trong suốt quá trình em làm đồ án tốt nghiệp. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2008 Bùi Văn Bằng Chương I PHƯƠNG PHáP BìNH PHƯƠNG TốI THIểU LậP CÔNG THứC Từ THựC NGHIệM 1.1 Giới thiệu chung 1.1.1 Đặt vấn đề Có rất nhiều phương pháp khác nhau để lập những đa thức từ thực nghiệm mà ta đã biết đến như phép nội suy để lập đa thức cấp n: (đại số hoặc lượng giác) xấp xỉ hàm số mà ta đã biết các giá trị của hàm này là tại các điểm . Phương pháp nội suy nói trên khi sử dụng trong thực tiễn thì có những điều cần cân nhắc là: Trong các đa thức nội suy ta đòi hỏi) = . Tuy nhiên sự đòi hỏi này không có ý nghĩa nhiều trong thực tế. Bởi vì các số là giá trị của hàm tại các điểm , trong thực tế chúng ta cho dưới dạng bảng và thường thu được từ những kết quả đo đạc hoặc tính toán trong thực hành. Những số y này nói chung chỉ xấp xỉ với các giá trị đúng của hàm tại . Sai số mắc phải nói chung khác không. Nếu buộc thì thực chất đã đem vào bài toán các sai số của các số liệu ban đầu nói trên (chứ không phải là làm cho giá trị của hàm nội suy và hàm trùng nhau tại các điểm ). Để cho đa thức nội suy biểu diễn xấp xỉ hàm một cách sát thực đương nhiên cần tăng số mốc nội suy (nghĩa là làm giảm sai số của công thức nội suy). Nhưng điều này lại kéo theo cấp của đa thức nội suy tăng lên do đó những đa thức nội suy thu được khá cồng kềnh gây khó khăn cho việc thiết lập cũng như dựa vào đó để tính giá trị gần đúng hoặc khảo sát hàm . 1.1.2 Bài toán đặt ra Chính vì những lý trên nên phương pháp tìm hàm xấp xỉ có thể sẽ sát thực hơn thông qua hai bài toán: Bài toán 1(tìm hàm xấp xỉ). Giả sử đã biết giá trị của hàm tại các điểm tương ứng . Tìm hàm xấp xỉ với hàm trong đó (1 - 1) với là những hàm đã biết, là những hệ số hằng số. Trong khi giải quyết bài toán này cần chọn hàm sao cho quá trình tính toán đơn giản đồng thời nhưng sai số có tính chất ngẫu nhiên (xuất hiện khi thu được các số liệu ) cần phải được chỉnh lý trong quá trình tính toán. Trong bài toán tìm hàm xấp xỉ trên việc chọn dạng của hàm xấp xỉ là tùy thuộc ý nghĩa thực tiễn của hàm . Bài toán 2 (tìm các tham số của một hàm có dạng đã biết). Giả sử đã biết dạng tổng quát của hàm (1 – 2) Trong đó: là những hằng số. Giả sử qua thực nghiệm ta thu được n giá trị của hàm ứng với các giá trị của đối. Vấn đề là từ những số liệu thực nghiệm thu được cần xác định các giá trị của tham số để tìm được dạng cụ thể của biểu thức (1 – 2): về sự phụ thuộc hàm số giữa và . 1.2 Sai số trung bình phương và phương pháp bình phương tối thiểu tìm xấp xỉ tốt nhất với một hàm 1.2.1 Sai số trung bình phương Những hàm trong thực nghiệm thu được thường mắc phải những sai số có tính chất ngẫu nhiên. Những sai số này xuất hiện do sự tác động của những yếu tố ngẫu nhiên vào kết quả thực nghiệm để thu được các giá trị của hàm. Chính vì lý do trên, để đánh giá sự sai khác giữa hai hàm trong thực nghiệm ta cần đưa ra khái niệm về sai số (hoặc độ lệch) sao cho một mặt nó chấp nhận được trong thực tế, một mặt lại san bằng những sai số ngẫu nhiên (nghĩa là gạt bỏ được những yếu tố ngẫu nhiên tác động vào kết quả của thực nghiệm). Cụ thể nếu hai hàm thực chất khá gần nhau thì sai số chúng ta đưa ra phải khá bé trên miền đang xét. Khái niệm về sai số nói trên có nghĩa là không chú ý tới những kết quả có tính chất cá biệt mà xét trên một miền nên được gọi là sai số trung bình phương. 1.2.2 Định nghĩa Theo định nghĩa ta sẽ gọi là sai số (hoặc độ lệch) trung bình phương của hai hàm và trên tập , nếu = . (2 – 1) 1.2.3 ý nghĩa của sai số trung bình phương Để tìm hiểu ý nghĩa của sai số trung bình phương ta giả thiết , (x) là những hàm liên tục trên đoạn và là tập hợp các điểm cách đều trên Theo định nghĩa fích phân xác định ta có (2 – 2) Trong đó: = . (2 – 3) Giả sử có trên một số hữu hạn cực trị và là một số dương nào đó cho trước. Khi đó trên sẽ có k đoạn riêng biệt sao cho (với , ) Gọi là tổng các độ dài của k đoạn nói trên. Với n đủ lớn và đủ bé, từ (2 – 2) ta suy ra < ( bé tùy ý). Từ (2 – 3) suy ra > . Do đó . Nghĩa là tổng độ dài của các đoạn sẽ bé tùy ý. Tóm lại: với đủ bé (n khá lớn) thì trên đoạn (trừ tại những điểm của những đoạn mà có tổng độ dài bé tùy ý), ta có . Trong đó là một số dương tùy ý cho trước. Từ nhận xét trên ta rút ra những ý nghĩa thực tiễn của sai số trung bình phương như sau: Nếu sai số trung bình phương của hai hàm f(x) và trên tập hợp n điểm (n đủ lớn) mà khá bé thì với tuyệt đại đa số giá trị của x trên [a, b] cho sai số tuyệt đối giữa f(x) và khá bé. 1.2.4 Xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phương Từ ý nghĩa của sai số trung bình phương nói trên Ta nhận thấy nếu các giá trị của hàm tại các điểm và nếu sai số trung bình phương = khá bé thì hàm sẽ xấp xỉ khá tốt với hàm . Cách xấp xỉ một hàm số lấy sai số trung bình phương làm tiêu chuẩn đánh giá như trên gọi là xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phương. Rõ ràng: Nếu hàm thu được bằng thực nghiệm (nghĩa là ) thì cách xấp xỉ nói trên đã san bằng những sai lạc tại từng điểm (nảy sinh do những sai số ngẫu nhiên của thực nghiệm). Đó là lý do giải thích lý do vì sao phương pháp xấp xỉ theo nghĩa trung bình phương được sử dụng rộng rãi trong thực tiễn. Ta xét trường hợp là phụ thuộc các tham số . (2 – 4) Trong số những hàm có dạng (2 – 4) ta sẽ gọi hàm (2 – 5) là xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình phương với hàm nếu sai số trung bình phương với là bé nhất. Cụ thể là trong đó . (2 – 6) Từ (2 – 6) ta nhận thấy (2 – 5) tương đương với đẳng thức: . (2 – 7) Từ đó việc tìm hàm xấp xỉ tốt nhất (trong số những hàm dạng (2 – 4) với hàm ) sẽ đưa về tìm cực tiểu của tổng bình phương trong đó . Bởi vậy phương pháp tìm xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình còn gọi là phương pháp bình phương tối thiểu để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm. Chương II Các phương pháp xấp xỉ 2.1 Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức suy rộng 2.1.1 Định nghĩa Giả sử cho hệ hàm: Ta sẽ gọi hàm là đa thức suy rộng cấp m nếu có dạng . (3 – 1) Trong đó là các hệ số hằng số. Hệ hàm đã cho gọi là hệ cơ bản. 2.1.2 Nội dung Theo phần trên về tìm hàm xấp xỉ giả sử đã biết n giá trị thực nghiệm của hàm tại các điểm tương ứng . Khi đó việc tìm một đa thức suy rộng có dạng (3 – 1) mà xấp xỉ với hàm nói trên sẽ chuyển về việc tìm m+1 hệ số trong (3 – 1). Để quá trình tính toán được đơn giản ta xét đa thức suy rộng với cấp m không lớn lắm. Tuy nhiên ta vẫn phải chọn n đủ lớn do đó có thể giả thiết n m+1. Khác với bài toán nội suy ở đây ta không cần xác định m+1 giá trị từ n phương trình: (vì số phương trình thường nhiều hơn số ẩn). Ta sẽ áp dụng phương pháp bình phương tối thiểu để tìm đa thức suy rộng xấp xỉ tốt nhất với hàm trên . Trong (2 – 7) ta coi = = . Từ đó ta suy ra: là điểm cực tiểu của hàm m+1 biến = . (3 – 2) Do đó là nghiệm của hệ phương trình = 0 ; = 0 ; ……; = 0. Hoặc dạng tương đương với nó (3 - 3) Gọi là véc tơ n chiều với thành phần thứ i là . Gọi là véc tơ n chiều với thành phần thứ i là . Theo định nghĩa tích vô hướng các véc tơ ta có ; (3 – 4) Do đó (3 – 3) được chuyển về dạng (3 - 5) Ta nhận thấy (3 – 5) là hệ (m + 1) phương trình đại số tuyến tính dùng để xác định m + 1 hệ số: trong đa thức xấp xỉ . Ma trận của hệ phương trình tuyến tính (3 – 5) có các phần tử là , do đó là một ma trận đối xứng (dựa vào tính chất giao hoán của tích vô hướng). Ta sẽ gọi hệ phương trình (3 – 5) là hệ phương trình chuẩn. Định thức của hệ phương trình chuẩn có dạng G( = (3 – 6) Ta gọi định thức là định thức Gram của hệ véc tơ trên tập điểm . Mà ta đã biết: Nếu hàm cơ sở là hệ hàm độc lập tuyến tính trên thì trong số những đa thức suy rộng cấp m có dạng (3 – 1) luôn tồn tại một đa thức suy rộng . (3 – 1’) Là xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình phương đối với hàm . Ngoài ra còn có thể chứng minh khi hệ cơ sở là những độc lập tuyến tính trên thì . Nghĩa là trong trường hợp này hệ phương trình chuẩn (3 – 5) có và duy nhất nghiệm ứng với các hệ số của đa thức (3 – 1’) xấp xỉ tốt nhất với hàm (theo nghĩa trung bình phương). Do vậy ta có thể cho rằng hệ hàm cơ sở nghĩa là hệ hàm độc lập tuyến tính trên đoạn . 2.1.3 Sai số của phương pháp. Cùng với việc tìm hàm xấp xỉ cho hàm ta cần đánh giá sai số hoặc độ lệch của nó đối với hàm . Sai số ở đây hiểu theo nghĩa trung bình phương. Cụ thể là ta đi tìm đại lượng . (3 – 7) Từ (3 – 1’) ta có = [ . (3 – 8) Mặt khác =. (3 – 9) Kết hợp (3 – 9) với (3 – 5) ta có: . Thay kết quả trên vào (3 – 8) ta có: . (3 – 10) Thay (3 – 10) vào (3 – 7) ta có . (3 – 11) Trong đó là nghiệm của hệ phương trình chuẩn (3 – 5). 2.1.4. Mở rộng trên hệ trực giao. 2.1.4.1 Định nghĩa: Để đơn giản hóa kết quả trên thì ta định nghĩa về hệ hàm trực giao như sau: Hệ hàm gọi là hệ trực giao trên tập nếu (3 – 12) Số mà gọi là chuẩn của hàm trên tập hợp . Trong trường hợp hệ hàm trực giao mà thì hệ hàm được gọi là hệ trực chuẩn trên tập hợp . 2.1.4.2 Tiếp cận lời giải Từ một hệ cơ sở bất kỳ bao giờ cũng lập được một hệ trực chuẩn tương ứng sao cho mỗi hàm của hệ trực chuẩn là một tổ hợp tuyến tính của các hàm trong hệ cơ sở đã cho: . (3 – 13) Từ (3 – 5) và (3 – 12) ta nhận thấy rằng: Nếu là hệ trực giao thì đa thức xấp xỉ tốt nhất (3 – 1’) của có các hệ số cho bởi công thức . Hay . (3 – 14) Từ đó ta có 2.1.4.3 Sai số của phương pháp Dựa trên (3 – 11) ta suy ra sai số trung bình phương của đa thức xấp xỉ là: . (3 – 15) Vì nên tổng: là một đại lượng đơn điệu tăng theo m. Do đó từ (3 – 15) ta suy ra sai số trung bình phương sẽ giảm khi m tăng. Tóm lại nếu cấp m của đa thức xấp xỉ (3 – 1’) (với hệ cơ sở là trực giao) càng lớn thì đa thức xấp xỉ càng tốt. 2.1.4.4. Chú ý Một đặc điểm chú ý ở đây là: Trong trường hợp chung khi cần thay đổi cấp m của đa thức xấp xỉ (3 – 1’) thì hệ phương trình chuẩn (3 – 5) dùng để xác định các hệ số của đa thức hoàn toàn thay đổi. Do đó quá trình tình toán (giải hệ phương trình chuẩn) cần làm lại từ đầu. Tuy nhiên khi hệ hàm cơ sở là trực giao thì muốn thay đổi cấp m của đa thức xấp xỉ (3 – 1’) (chẳng hạn tăng từ m lên m+1) ta chỉ cần thêm số từ công thức (3 – 14). Còn các hệ số đã thu được cho đa thức vẫn dùng được cho đa thức . Nhận xét trên rất bổ ích về mặt thực hành tính toán vì khi muốn xấp xỉ một hàm thực nghiệm bằng một đa thức suy rộng cấp m (3 – 1’): do khuôn khổ của sự tính toán ta không cần chọn ngay từ đầu số m đủ lớn. Khi đó nếu hệ hàm cơ sở là một hệ trực giao thì khi xuất phát ta có thể chọn số m nhỏ (chẳng hạn m = 1 hoặc 2). Sau khi thực hành tính toán nếu thấy sai số trung bình phương tương ứng chưa đủ bé (so với yêu cầu) thì ta có thể tăng dần số m lên và tính thêm các hệ số bổ sung (từ công thức (3 – 14)). 2.2 Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức đại số 2.2.1 Đặt vấn đề Giả sử biết n giá trị thực nghiệm của hàm tại các điểm tương ứng. Ta đặt vấn đề xấp xỉ hàm bởi một đa thức cấp m có dạng . (4 – 1) 2.2.2 Tiếp cận lời giải Để giải bài toán này ta áp dụng những kết quả tổng quát ở phần II, trong đó hệ hàm cơ sở có dạng , , …, . (4 – 2) khi đó từ (3 – 4) ta có và . (4 – 3) Dựa vào (3 – 5) ta suy ra các hệ số của đa thức xấp xỉ (4 – 1) là nghiệm của hệ phương trình chuẩn có dạng sau (4 – 4) 2.2.3 Sai số trung bình Từ (3 – 7) và (3 – 11) ta suy ra sai số trung bình của đa thức xấp xỉ có dạng (4 – 4) là: . (4 – 5) Về mặt thực hành, để tìm các hệ số của phương trình chuẩn (4 – 4) ta làm theo lược đồ trong bảng 1. Các hệ số vế trái của phương trình đầu tiên cho bởi các tổng ô lần lượt từ cột (1) đến cột (m), của phương trình thứ 2 cho bởi các tổng lần lượt từ cột 2 đến cột (m+1), … còn các vế phải của (4 – 4) cho bởi các tổng ở lần lượt từ cột (2m+2) đến cột cuối cùng (3m+2). … … (1) (2) (3) (2m+1) (2m+2) (2m+3) (2m+4) (3m+2) 1 … 1 … … … … … … … … … … … … … … … n … … Bảng 1 2.2.4 Trường hợp các mốc cách đều Đối với trường hợp các điểm cách đều nhau: thì quá trình tính toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều. Dưới đây ta sẽ trình bày kết quả trong trường hợp này. Trường hợp 1: Nếu n là số lẻ (). Đặt hay . Do đó khi nhận các giá trị thì nhận các giá trị nguyên sau: . Sau phép đổi biến (4 – 8) thì đa thức (4 – 1) cũng có bậc m và có dạng . (4 – 9) Tương tự như (4 – 4) các hệ số b của (4 – 9) thu được từ hệ phương trình (4 – 10) Hệ phương trình (4 – 10) so với hệ (4 – 4) đơn giản hơn rất nhiều vì các tổng những lũy thừa lẻ của bằng 0 . (4 – 11) Trường hợp 2: chẵn () Ta đặt hoặc . (4 – 12) Khi đó nếu x nhận các giá trị x, x, … , x thì u nhận các giá trị nguyên sau đây và trong hệ (4 – 10) cũng vắng mặt những tổng các lũy thừa lẻ của u: . (4 – 13) Tóm lại, trong mội trường hợp ( lẻ hoặc chẵn) vế trái của (4 – 10) đều vắng mặt các hệ số có dạng ( là số lẻ). Ngoài ra các hệ số còn lại của vế trái (có dạng , chẵn) chỉ phụ thuộc vào n (vì nhận các giá trị nguyên). Do đó có thể lập những bảng tính sẵn các hệ số này (tùy thuộc vào n). Cuối cùng, sau việc giải phương trình (4 – 10) ta thu được dưới dạng (4 – 9). Để trở lại dưới dạng (4 – 1) ta cần làm phép đổi biến ngược lại để chuyển biến về biến x ban đầu. Cụ thể trong thu được ta sẽ dùng công thức đổi biến (4 – 8) nếu n lẻ, dùng công thức (4 – 12) nếu n chẵn. Dưới đây ta xây dựng công thức cụ thể hệ (4 – 10) trong các trường hợp m = 1, m = 2. Trường hợp m = 1, nghĩa là (4 – 9) có dạng: . Đồng thời (4 – 10) có dạng (4 – 4) Từ đó suy ra (4 – 14) Trường hợp m = 2 nghĩa là (4 – 9) có dạng Và khi đó (4 – 10) có dạng: Giải hệ 3 phương trình trên ta được (4 – 15) Nếu ta gọi (4 – 16) Khi đó các kết quả (4 – 14) và (4 – 15) có thể tóm tắt trong bảng 2. Ngoài ra từ (4 – 16) ta nhận thấy các số theo những giá trị lẻ của n từ 3 đến 21 ở bảng 3. Trong phần dưới của bảng 4 cho các số theo những giá trị chẵn của n từ 4 đến 22. m Các hệ số của Q(u) b b b 1 2 Bảng 2 (Để đơn giản trong phần này ta hiểu là ) Với n lẻ: n 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 333333.10 200000.10 142857.10 111111.10 909091.10 769231.10 666667.10 588235.10 526316.10 476190.10 500000.10 100000.10 357143.10 166667.10 909091.10 549451.10 357143.10 245098.10 175439.10 129870.10 100000.10 485714.10 333333.10 255411.10 207459.10 174825.10 151131.10 133127.10 118973.10 107551.10 100000.10 142857.10 476190.10 216450.10 116550.10 699301.10 452489.10 309598.10 221141.10 163452.10 150000.10 714286.10 119048.10 324675.10 116550.10 499500.10 242405.10 128999.10 737137.10 445778.10 Bảng 3 Với n chẵn: n 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 250000.10 166667.10 125000.10 100000.10 833333.10 714286.10 625000.10 555556.10 500000.10 454545.10 500000.10 142857.10 595283.10 303030.10 174825.10 109890.10 735294.10 515996.10 375940.10 282326.10 640625.10 394531.10 289062.10 228906.10 189732.10 162109.10 141555.10 125651.10 112973.10 102628.10 781250.10 195312.10 781250.10 390625.10 223214.10 139509.10 930060.10 651042.10 473485.10 355114.10 156250.10 167411.10 372024.10 118371.10 468282.10 214629.10 109419.10 604683.10 356004.10 220567.10 Bảng 4 2.3 Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức trực giao 2.3.1 Định nghĩa hệ hàm trực giao Xét hệ đa thức: (5 – 1) Trong đó , , , … Tổng quát . (5 – 2) Theo định nghĩa ta sẽ gọi (5 – 1) là hệ đa thức trực giao trên tập hợp , nếu (5 – 1) là hệ hàm trực giao trên tập . Cụ thể là: (5 – 3) 2.3.2 Đặt vấn đề Từ định nghĩa ta nhận thấy hệ đa thức trực giao là trường hợp đặc biệt của hệ hàm trực giao. Do đó ta áp dụng kết quả ở phần 2.3 với . Cụ thể là: khi cho u các giá trị thực nghiệm của hàm tại các điểm x (i = 1, 2, …, n) ta đặt vấn đề xấp xỉ hàm bởi một đa thức suy rộng cấp m (với hệ cơ sở (5 – 1)) có dạng . (5 – 4) Từ (3 – 14) ta suy ra các hệ số của (5 – 4) có thể thu được từ công thức . (5 - 5) Từ (3 - 11) ta suy ra sai số trung bình phương của đa thức xấp xỉ là . (5 - 6) ở đây (có dạng (5 – 4)) là một tổ hợp tuyến tínhcủa những đa thức đại số cấp từ 0 đến m, do đó thực chất cũng là một đa thức cấp m (như cho bởi (4 – 1)). Nghĩa là hàm xấp xỉ cũng là một đa thức đại số thông thường như đã thu được trong phần (2.4). Tuy nhiên do tính trực giao của hàm cơ sở (5 – 1) nên khác với phần 2.4 ở đây ta không cần giải hệ phương trình chuẩn mà tìm các hệ số của đa thức (5 – 4) trực tiếp từ công thức (5 – 5) đã chỉ ra ở trên. Ngoài ra do những đặc điểm của hệ hàm trực giao ta có thể tăng dần cấp của mà không cần phải làm lại từ đầu quá trình tính toán. Đó chính là ưu điểm của phương pháp xấp xỉ hàm ở đây so với những kết quả thu được trong phần (2.4). 2.3.3 Nội dung của phương pháp Nội dung chủ yếu của việc tìm đa thức xấp xỉ (5 – 4) thực chất là tìm hệ thức trực giao (5 – 1). Để làm được điều này ta tìm công thức truy hồi để xác định lần lượt các đa thức trực giao của hệ (5 – 1). Trước hết ta đi tìm những hàm đầu tiên: của hệ (5 – 1). Theo định nghĩa thì . Ngoài ra, từ (5 – 2) ta thấy có dạng . Để xác định hệ số trong (5 – 8) ta sử dụng điều kiện đầu tiên trong (5 – 3) với r = 1 và s = 0 . Từ đó suy ra: . Thay kết quả này vào (5 – 8) ta có . (5 – 9) Để xác định những đa thức trực giao của hệ còn lại của hệ (5 – 1): ta sẽ chứng minh bổ đề sau đây Bổ đề1: Mọi đa thức trực giao cấp r +1 (r 1): của hệ (5 – 1) được xác định theo các đa thức và từ công thức truy hồi sau . (5 – 10) Trong đó Chứng minh Từ (5 – 3) ta có: . (5 – 13) Từ (5 – 10) ta lại có == =. (5 – 14) Nhưng Vậy từ (5 – 14) suy ra . (5 – 15) Kết hợp (5 – 13) và (5 – 15) ta có . Hay (*) Từ (5 – 3) ta cũng có . (5 – 16) Từ (5 – 10) ta cũng có = = = . (5 – 17) Nhưng . Nên từ (5 – 17) suy ra . (5 – 18) Kết hợp (5 – 16) và (5 – 18) ta có: . Hay . (* *) Từ (*) và (* *) thì bổ đề 1 được chứng minh hoàn toàn. Tuy nhiên để đơn giản các tử số và mẫu số của các công thức và ta sẽ chứng minh bổ đề sau Bổ đề 2: Các tử và mẫu số của các công thức (5 – 11) và (5 – 12) có thể khai triển thành tổng những lũy thừa có dạng: . (5 – 19) Cụ thể là + = =. (5 – 20) + . (5 – 21) + (5 – 22) trong đó , , … , là các hệ số của đa thức cho dưới dạng (5 – 2). Chứng minh Từ (5 – 2) ta có thể viết lần lượt các đa thức dưới dạng (5 – 23) Ta có . . Tổng quát . Hay ta có thể thu được (5 – 24) Với k < r và dựa trên (5 – 24) ta có = = = = = = = + … + . Từ đó dựa trên (5 – 3) ta có (với k < r) = 0 + .0 + …+ .0 = 0. (5 – 25) Giả sử là đa thức bậc s < r . Khi đó = = = . Từ đó dựa trên (5 – 25) ta có . (5 – 26) Ngoài ra dựa trên (5 – 2) ta có = = = . Kết hợp với (5 – 25) ta có = . (5 – 27) Dựa trên (5 – 2) ta có = = . (5 – 28) Kết hợp (5 – 27) và (5 – 28) ta suy ra (5 – 20) Mặt khác vì là đa thức bậc r – 1 với hệ số của là 1 nên là đa thức bậc r với hệ số của là 1. Do đó ta có thể viết . (5 – 29) Trong đó là đa thức bậc r – 1. Từ (5 – 29) suy ra = = . (5 – 30) Nhưng dựa trên (5 – 26) ta có = 0. Do đó từ (5 – 30) ta thu được (5 – 21) . Cuối cùng từ (5 – 2) ta có . (5 – 31) Trong đó là một đa thức cấp r – 2 Từ (5 – 31) suy ra . (5 – 32) Trong đó là đa thức bậc r – 1. Từ (5 – 32) ta có . Do đó suy ra = = = . (5 – 33) Nhưng dựa trên (5 – 26) ta có . (5 – 34) Mặt khác dựa trên (5 – 2) ta có = = = . (5 – 35) Thay (5 – 34), (5 – 35) vào (5 – 33) ta thu được (5 – 22) tức là . Từ đó bổ đề 2 hoàn toàn được chứng minh. Từ bổ đề 1 và bổ đề 2 ta nhận thấy rằng: Để thu được các đa thức trực giao của hệ (5 – 1), từ các công thức (5 – 10) và (5 – 12) ta cần tính tất cả các tổng những lũy thừa có dạng . Ngoài ra khi áp dụng công thức (5 – 5) để tìm các hệ số của (5 – 4) lại cần tính các tổng , …, ở mẫu số của công thức. Nghĩa là dựa trên (5 – 20) cần tính các tổng những lũy thừa . Còn các tử số của công thức (5 – 5) lần lượt là . Để tính mỗi tử số này ta dựa vào (5 – 2) và dựa vào khai triển . = = . (5 – 36) Tóm lại: Để tìm hàm xấp xỉ ta cần tìm 2m tổng và m tổng . Khi đó trong bảng tính toán giải bài toán mỗi tổng nói trên được lập theo một cột. 2.3.4 Sai số của phương pháp Cuối cùng để tính sai số trung bình phương một cách thuận lợi ta dùng công thức (5 – 6) . Nên khi tính toán ta cần tính thêm tổng . Khi sai số trung bình phương tìm được chưa đủ bé (nghĩa là m chưa đủ lớn) ta cần tăng dần cấp m của hàm xấp xỉ . Khi đó trong bảng tính cũ cần bổ xung những cột tính và mới nhưng kết quả cũ vẫn được sử dụng. 2.4 Xấp xỉ hàm bằng đa thức lượng giác 2.4.1 Định nghĩa đa thức lượng giác Trong thực tế khi tính toán ta gặp những hàm có tính chất tuần hoàn. Ta tìm cách xấp xỉ một hàm để phản ánh được đặc điểm riêng của nó. Khi đó từ đa thức suy rộng tổng quát . (6 – 1) Lấy hệ hàm lượng giác làm hàm cơ sở. Ta giả thiết rằng các hàm xét trên đoạn . Trên đoạn có độ dài thì hệ hàm lượng giác . Là tuần hoàn và độc lập tuyến tính. Khai triển hàm theo cơ sở (6 – 1) gọi là khai triển lượng giác hay khai triển Fourier. Tức là hàm xấp xỉ là một đa thức lượng giác có dạng . (6 – 2) Trong đó là những hằng số và k là số tự nhiên nào đó. 2.4.2 Thuật toán 2.4.2.1 Trường hợp hàm cho bằng bảng Cụ thể biết n giá trị của hàm tại các điểm và giả sử ở đây ta coi . (6 – 3) Khi đó . (6 – 4) Với thì (6 – 5) (6 – 6) (6 – 7) Dựa trên các công thức (6 – 4) (6-7) ta thấy hệ phương trình chuẩn (3 – 5) để xác định các hệ số của đa thức xấp xỉ (6 – 1) có dạng (6 – 8) Trong giải tích người ta chứng minh rằng: Hệ hàm lượng giác cơ bản (6 – 1) là hệ hàm độc lập tuyến tính trên toàn trục số . Nghĩa là hệ phương trình chuẩn (6 – 8) luôn và có duy nhất nghiệm. Sai số trung bình phương của đa thức với hàm có dạng tổng quát là . (6 – 9) Hoặc tỉ mỉ hơn nếu sử dụng (3-11) và (6-7) ta thu được . (6 – 10) Các hằng số trong (6 – 10) là nghiệm của (6 – 8). Trên đây đã trình bày một phương pháp để xây dựng một đa thức lượng giác xấp xỉ với hàm trong đó các điểm có vị trí bất kỳ. Bây giờ ta xét trường hợp các điểm nằm trên khoảng và cách đều nhau. Nghĩa là: . Trong đó . (6 – 11) Để chỉ ra tính trực giao của hệ lượng giác (6-1) trên tập hợp nói trên ta sẽ chứng minh bổ đề sau Bổ đề 3 Với và là những điểm của tập hợp , ta có các đẳng thức sau (6 – 12) (6 – 13) (6 – 14) . (6 – 15) Chứng minh Như ta đã biết công thức Ole sau đây . (6 – 16) Trong đó x là một số thực còn i là đơn vị ảo (nghĩa là =-1) Bằng cách đồng nhất thức các phần thực và các phần ảo với nhau ta nhận thấy khi và chỉ khi (p là một số nguyên). Từ đó ta nhận thấy khi thì . Và áp dụng công thức tính tổng n từ một chuỗi số nhân (công bội là ) ta có . (6 – 17) Vì (nghĩa là một số nguyên) nên theo nhận xét rút ra từ công thức ơle (6 – 16) ta có . Từ đó dựa trên (6 – 17) ta có .(6 – 18) Từ (6 – 16) và (6 – 18) ta lại có . (6 – 19) Đồng nhất các phần thực và phần ảo từ vế đầu tiên và vế sau cùng của (6 – 19) ta được . (6 – 20) Trong (6 – 20) lấy q = r (r = 1, 2, …, k) ta thu được (6 – 12) và lấy q = r + s (r = 1, …, k; s = 1, …, k) ta có . (6 – 21) . (6 – 22) Trong (6 – 20) lấy q = r - s (r = 1, …,k; s = 1, …,k; r s). Ta có . (6 – 23) . (6 – 24) Nhưng khi r = s thì nên đẳng thức (6 – 24) dùng trong cả hai trường hợp r=s nghĩa là . (6 - 24’) Theo biến đổi lượng giác ta lại có . (6 – 25) . (6 – 26) . (6 – 27) Dựa trên (6 – 21), (6 – 23) từ (6 – 25) và (6 – 26) ta thu được (6 – 14) Dựa trên (6 – 22), (6 – 24) từ (6 – 27) ta thu được (6 – 13) Ta xét biến đổi lượng giác . (6 – 28) . (6 – 29) Từ (6 – 20) ta lại có . (6 – 30) Từ (6 – 28), (6 – 29) và (6 – 30) ta suy ra (6 – 15). Vậy bổ đề hoàn toàn được chứng minh. Và ta rút ra các hệ số của đa thức là: ; (r = 1, …, k). 2.4.2.2 Trường hợp hàm cho bằng biểu thức Ta vẫn xét các hàm trên đoạn và dùng hàm cơ sở như dạng hàm cho bằng bảng. Theo định nghĩa tích vô hướng , . (6 – 31) Với thì: (6 – 32) (6 – 33) (6 – 34) Trên đoạn có độ dài thì hệ cơ sở (6 – 1) là cơ sở trực giao. Do đó ta tính các hệ số theo công thức: Sai số trung bình phương của đa thức Chương III: Các ví dụ minh họa 3.1 Đa thức đại số 3.1.1 Ví dụ 1 Bài toán: Sử dụng phương pháp binh phương tối thiểu tìm đa thức bậc 2: xấp xỉ với hàm cho bởi bảng 5 sau Bảng 5 x 0.78 1.56 2.34 3.12 3.81 y 2.50 1.20 1.12 2.25 4.28 ở đây m = 2, n = 5 và từ bảng 1 ta thu được bảng 6 để tính các hệ số của phương trình chuẩn. (Quá trình tính toán thực hiện với 3 chữ số sau dấu phẩy). Bảng 6 1 1 1 1 1 0.78 1.56 2.34 3.12 3.81 0.608 20434 5.476 9.734 14.516 0.475 3.796 12.813 30.371 55.306 0.370 5.922 29.982 94.759 210.717 2.50 1.20 1.12 2.25 4.28 1.950 1.872 2.621 7.020 16.307 1.520 2.921 6.133 21.902 62.128 5 11.61 32.768 102.761 341.750 11.35 29.770 94.604 Từ đó suy ra các hệ số : của đa thức xấp xỉ cho từ hệ phương trình (4 – 6) Giải hệ phương trình (4 – 6), ta có . Do đó đa thức xấp xỉ cần tìm có dạng . Để so sánh các với P và chuẩn bị tính sai số trung bình phương ta thực hiện tính toán trên bảng 7. Bảng 7 x y P P-y [P-y] 0,78 1,56 2,34 3,12 3,81 2,50 1,20 1,12 2,25 4,28 2,505 1,194 1,110 2,252 4,288 0,005 -0,006 -0,010 0,002 0,008 0,000025 0,000036 0,000100 0,000004 0,000064 Suy ra =0,000229. Và sai số trung bình phương ==0,007. 3.1.2 Ví dụ 2 Bài toán: áp dụng phương pháp bình phương tối thiểu để tìm đa thức bậc 3: xấp xỉ với hàm cho theo bảng ở thí dụ 1. Trong thí dụ này ta có m = 3, n = 5 và từ bảng 1 ta thu được bảng 8 để tính các hệ số của phương trình chuẩn. (Quá trình tính toán được thực hiện với 3 chữ số sau dấu phẩy). Bảng 8 x x x x x x x y xy xy xy 1 1 1 1 1 0,78 1,56 2,34 3,12 3,81 0,608 2,434 5,476 9,734 14,516 0,475 3,796 12,813 30,371 55,306 0,370 5,922 29,982 94,759 210,717 0,289 9,239 70,158 295,647 802,832 0,225 14,413 164,171 922,418 3058,791 2,50 1,20 1,12 2,25 4028 1,950 1,872 2,621 7,020 16,307 1,520 2,921 6,133 21,902 62,128 1,186 4,556 14,350 68,335 236,711 5 11,61 32,768 102,761 341,750 1178,165 4160,017 11,35 29,770 94,604 305,139 Như vậy các hệ số của đa thức xấp xỉ là nghiệm của hệ phương trình sau (4 – 7) Giải hệ phương trình (4 – 7) ta có: ; ; ; . Do đó đa thức xấp xỉ cần tìm có dạng . (4 – 8) Để so sánh các với và tính sai số trung bình phương ta thực hiện tính toán trên bảng 9. Bảng 9 x y 0,78 1,56 2,34 3,12 3,81 2,50 1,20 1,12 2,25 4,28 2,504 1,195 1,114 2,251 4,286 0,004 -0,005 -0,006 0,001 0,006 0,000016 0,000025 0,000036 0,000001 0,000036 3.2 Đa thức trực giao 3.2.1 Ví dụ 1 Bài toán: Xấp xỉ hàm cho trong cột (2) và (3) của bảng 10 sao cho sai số trung bình phương của công thức xấp xỉ không vượt quá 0,1. Với n = 11 Bảng 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0,15411 0,19516 0,22143 0,28802 0,32808 0,38183 0,45517 0,57012 0,57930 0,91075 0,13895 19,47 21,83 23,11 26,11 27,60 28,89 33,17 33,38 32,31 31,88 25,46 0,02375 0,03809 0,04903 0,08296 0,10764 0,14579 0,20718 0,32504 0,57654 0,82947 1,29721 0,00366 0,00743 0,01086 0,02389 0,03531 0,05567 0,09430 0,18531 0,43776 0,75544 1,47745 0.00056 0,00145 0,00240 0,00688 0,01159 0,02126 0,04292 0,10565 0,33239 0,68801 1,68275 3,00052 4,26034 5,11725 7,52020 9,05501 11,03107 15,09799 19,03061 24,53298 29,03471 28,99767 0,46241 0,83150 1,13308 2,16609 2,97086 4,21187 6,87216 10,84984 18,62801 26,44350 33,02697 379,08 476,55 534,07 681,73 761,76 824,63 1100,25 1114,22 1043,94 1016,33 648,21 5,40292 303,21 3,68270 3,08708 2,89586 156,67835 107,59629 8590,77 Xét m = 1 và tìm hàm xấp xỉ có dạng . (2 – 1) Để tính ta lập các cột (2), (3), (4), (7) của bảng 10, từ đó ta có . Nghĩa là . Khi đó . Và . . . Thay kết quả bằng số , , vào (2 – 1) . Sai số trung bình phương là . Theo yêu cầu của bài toán thì sai số còn lớn (). Bởi vậy chúng ta cần tăng cấp của đa thức xấp xỉ lên một đơn vị. Cụ thể ta cần lập hàm xấp xỉ . (2 – 2) Để tìm trong dạng (2 – 2) ta chỉ cần tìm thêm và . Trong quá trình này ta thực hiện tính toán ở cột (5), (6) và (8). Và ta có Vậy dựa vào các công thức (5 – 11) và (5 – 12) ta có: Từ đó áp dụng (5 – 10) ta suy ra Nghĩa là ; . Để tính trước hết ta dựa trên (5 – 36) ta có Dựa trên (5 – 20) ta có Từ đó áp dụng công thức (5 – 5) ta được . Từ và mới tìm được, trở lại (5 – 38) ta có Để tính sai số trung bình phương của đa thức xấp xỉ ta tính áp dụng công thức (5 – 6) ta tìm được sai số trung bình phương đối với đa thức xấp xỉ là . Ta nhận thấy rằng sai số này đã thỏa mãn điều kiện bài toán (). Do đó ta có thể dùng đa thức bậc hai để xấp xỉ hàm đã cho. Vởy hàm xấp xỉ tìm được là: Trong trường hợp nếu yêu cầu bài toán cần nhỏ hơn nữa thì ta tiếp tục tăng cấp của đa thức lên rồi tính. ở đây ta xét m = 3 tức là ta tìm hàm xấp xỉ . Để tìm ta chỉ cần tính thêm và . Trong quá trình tính toán này ta thực hiện quá trình tính toán ở các cột (7), (8) và (11) của bảng 11. Bảng 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0,15411 0,19516 0,22143 0,28802 0,32808 0,38183 0,45517 0,57012 0,57930 0,91075 0,13895 19,47 21,83 23,11 26,11 27,60 28,89 33,17 33,38 32,31 31,88 25,46 0,02375 0,03809 0,04903 0,08296 0,10764 0,14579 0,20718 0,32504 0,57654 0,82947 1,29721 0,00366 0,00743 0,01086 0,02389 0,03531 0,05567 0,09430 0,18531 0,43776 0,75544 1,47745 0.00056 0,00145 0,00240 0,00688 0,01159 0,02126 0,04292 0,10565 0,33239 0,68801 1,68275 0,00009 0,00028 0,00053 0,00198 0,00380 0,00812 0,01954 0,06023 0,25239 0,62661 1,91565 0,00001 0,00006 0,00012 0,00057 0,00125 0,00310 0,00889 0,03434 0,19164 0,57068 2,18287 3,00052 4,26034 5,11725 7,52020 9,05501 11,03107 15,09799 19,03061 24,53298 29,03471 28,99767 0,46241 0,83150 1,13308 2,16609 2,97086 4,21187 6,87216 10,84984 18,62801 26,44350 33,02697 0,07126 0,16227 0,25091 0,62384 0,97465 1,60827 3,12800 6,18565 14,14416 24,08329 37,88129 379,08 476,55 534,07 681,73 761,76 824,63 1100,25 1114,22 1043,94 1016,33 648,21 5,40292 303,21 3,68270 3,08708 2,89586 2,98023 2,99353 156,67835 107,59629 89,114 8590,77 Thực hiện tính toán tương tự cuối cùng ta thu được kết quả như sau . . Vậy hàm xấp xỉ là . Sai số trung bình phương là: 0,06543. 3.2.2 Ví dụ 2 Bài toán: Trong sách “Hoá học cơ sở” của Menđêlêep, khi nghiên cứu sự phụ thuộc giữa độ hoà tan y của muối NaCO trong nước với nhiệt độ t của hỗn hợp tác giả đã đưa ra 9 thí nghiệm về sự phụ thuộc giữa lượng NaCOhoà tan trong 100g nước (cột 2 và cột 3 của bảng 11), từ đó kết luận rằng sự phụ thuộc giữa y và t cho bởi công thức: . Bây giờ ta sẽ làm lại quá trình tính toán dùng phương pháp xấp xỉ hàm đa thức trực giao để kiểm tra kết luận nói trên. Ta sẽ dùng đa thức trực giao để xây dựng hàm xấp xỉ ở đây n = 9 và m = 1 và hàm xấp xỉ cần tìm có dạng . Từ bảng 12 ta có . Nghĩa là: , . . . . Thay kết quả bằng số của ta có . (Như vậy kết luận của Menđêlêep về hàm phụ thuộc y(t) là đúng). Sai số trung bình phương của đa thức xấp xỉ là . Bảng 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 4 10 15 21 29 36 51 68 66,7 71,0 76,3 80,6 85,7 92,9 99,4 112,6 125,1 0 16 100 225 441 841 1296 2601 4624 0 284 763 1209 1799,7 2694,1 3578,4 5793,6 8506,8 4448,890 5041,000 5821,690 6496,360 7344,490 8630,410 9880,360 2904,960 5650,010 234 811,3 10144 24628,6 6218,170 Sai số như trên còn quá lớn, để làm giảm sai số ta cần tăng cấp của đa thức lên một đơn vị (m = 2). . Để tìm ta cần tính thêm . Trong quá trình này ta thực hiện những tính toán (5), (6), (8) ở bảng 13. Bảng 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 4 10 15 21 29 36 51 68 66,7 71,0 76,3 80,6 85,7 92,9 99,4 112,6 125,1 0 16 100 225 441 841 1296 2601 4624 0 64 1000 3375 9261 24389 46656 132651 314432 0 256 10000 50625 194481 707281 1679616 6765201 21381376 0 284 763 1209 1799,7 2694,1 3578,4 5793,6 8506,8 0 1136 7630 18135 37793,7 78128,9 128822,4 295473,6 578462,4 4448,890 5041,000 5821,690 6496,360 7344,490 8630,410 9880,360 2904,960 5650,010 234 811,3 10144 531828 30788836 24628,6 1145582 76218,170 Thực hiện tính toán tương tự như ở thí dụ trước, cuối cùng ta sẽ thu được kết quả như sau Các hệ đa thức trực giao: ; ; . Hàm xấp xỉ . Sai số trung bình phương: 0,61343. Tiếp tục làm giảm sai số ta lại tăng cấp của đa thức lên một đơn vị để tính toán. 3.3 Đa thức lượng giác Bài toán: Tìm đa thức lượng giác cấp 2: xấp xỉ hàm cho trên các cột (2), (3) của bảng 12 dưới đây Bảng 12 i (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2,611 3,120 2,912 2,105 0,612 -1,321 -1,906 -2,412 -2,802 -2,703 -1,610 1,500 0,866 0,500 0,000 -0,500 -0,866 -1,000 -0,866 -0,500 0,000 0,500 0,866 1,000 0,500 0.866 1,000 0,866 0,500 0,000 -0,500 -0,866 -1,000 -0,866 -0,500 -0,000 0,500 -0,500 -1,000 -0,500 0,500 1,000 0,500 -0,500 -1,000 -0,500 0,500 1,000 0,866 0,866 0,000 -0,866 -0,866 0,000 0,866 0,866 0,000 -0,866 -0,866 0,000 2,261 1,551 0,000 -1,052 -0,530 1,321 1,651 1,206 0,000 -1,351 -1,394 1,500 1,305 2,686 2,912 1,823 0,306 0,000 0,953 2,089 2,802 2,341 0,805 0,000 1,305 -1,551 -2,912 -1,052 0,306 -1,321 -0,953 1,206 2,802 1,351 -0,805 1,500 2,261 2,686 0,000 -1,823 -0,530 0,000 -1,651 -2,089 0,000 2,341 1,394 0,000 0,088 5,163 18,022 -0,124 2,589 Quá trình tính các hệ số , , , , của lần lượt cho trong các cột (3), (8), (9), (10), (11). Vậy ta có . . . . . Như vậy ta thu được hàm xấp xỉ là . Chương IV Sơ đồ khối biểu diễn thuật toán và chương trình viết bằng ngôn ngữ c Sơ đồ khối biểu diễn thuật toán Bắt đầu 4.1.1 Trường hợp dạng đa thức đại số Nhập m, n i = 1…n Tính Đặt i = 1.. m , j = 1.. n+1 Giải hệ phương trình A.X=Y Tính sai số: Kết thúc Bắt đầu Trường hợp dùng đa thức trực giao Nhập m, n i = 1…n Đặt k < m Sai Đúng Kết thúc Trường hợp dùng đa thức lượng giác Bắt đầu Nhập m, n i = 1…n Kết thúc Các kết quả chạy chương trình Trường hợp đa thức đại số Nhập mẫu quan sát n =5. Nhập các giá trị , X 0,78 1,56 2,34 3,12 3,81 Y 2,5 1,20 1,12 2,25 4,28 Nhập m = 2 thì kết quả chạy chương trình: Hàm xấp xỉ: 1,02341x - 4,01426x + 5,022148 . Sai số : 0,002724. Nhập m = 3 thì kết quả chạy chương trình: Hàm xấp xỉ: 0,002645x + 0,984154x - 3,97771x + 5,002113. Sai số : 0,00190. Trường hợp đa thức trực giao Nhập số mẫu quan sát n = 9 (Thí nghiệm trong sách hoá học cơ sở của Menđêlêep nghiên cứu về sự phụ thuộc giữa độ hoà tan của NaCO trong nước với nhiệt độ của hỗn hợp). Nhập các giá trị . X 0 4 10 15 21 29 36 51 68 Y 66,7 71,0 76,3 80,6 85,7 92,9 99,4 113,6 125,1 Nhập m =1 thì kết quả chạy chương trình: Hàm hệ trực giao cơ sở là: . . Hàm xấp xỉ: 0,87064x + 67,507794. Sai số : 0,846073. Nhập m = 2 thì kết quả chạy chương trình: Hàm hệ trực giao cơ sở là: Hàm xấp xỉ: - 0,001359x + 0,960401x + 66,706187 Sai số : 0,613428 Trường hợp đa thức lượng giác Nhập số mẫu quan sát n = 12. Nhập các giá trị . x 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 y 2,611 3,102 2,912 2,105 0,612 -1,321 -1,906 -2,412 -2,802 -2,703 -1,610 1,500 Nhập m =2 thì kết quả chạy chương trình: Hàm xấp xỉ 0,00733 +0,68025cosx +3,0377sinx – 0,02058cos2x +0,43171sin2x. Sai số : 0,44192. Nhập m = 3 thì kết quả chạy chương trình: Hàm xấp xỉ 0,00733 + 0,68025cosx +3,0377sinx – 0,02058cos2x +0,43171sin2x + 0,35250cos3x + 0,17083sin3x. Sai số: 0,31921. KếT LUậN Phương pháp bình phương tối thiểu lập công thức từ thực nghiệm là một bài toán cơ bản hay gặp trong toán học cũng như trong thực tế đời sống. Thông qua phương pháp này ta có thể tìm ra được gần như chính xác đa thức ban đầu. Thông qua chương trình cụ thể viết trên ngôn ngữ lập trình C thì ta có thể thấy phần nào tính ưu việt của phương pháp này. Tuy nhiên do sự hạn chế về thời gian và kinh nghiệm nên đồ án tốt nghiệp của em khó tránh khỏi còn có những thiếu sót trong cách trình bày cũng như chương trình. Do đó em rất mong sự thông cảm của các thầy cô giáo và mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp quý báu từ các thầy cô giáo và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn! TàI LIệU THAM KHảO Phạm Kỳ Anh, Giải tích số. Nhà xuất bản đại học quốc gia , 1996. Tạ Văn Đĩnh, Lê Trọng Vinh, Phương pháp tính, Nhà xuất bản đại học và trung học chuyên nghiệp, 1983. Phan Văn Hạp, Nguyễn Quý Hỷ, Hồ Thuần, Nguyễn Công Thúy, Cơ sở phương pháp tính, Nhà xuất bản Đại học và trung học chuyên nghiệp. Lê Trọng Vinh, Giải tích số, Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật, 2000. Dương Thủy Vỹ, Giáo trình phương pháp tính, Nhà xuất bản khoa học kỹ thuật , 2005. MụC LụC Trang Chương I Phương pháp bình phương tối thiểu lập công thức từ thực nghiệm: 1.1. Giới thiệu chung…...………………………………………………..1 1.1.1. Đặt vấn đề…………………………………………………..1 Bài toán đặt ra………………………………………………2 1.2. Sai số trung bình phương và phương pháp bình phương tối thiểu tìm xấp xỉ tốt nhất với một hàm……………………………………………...3 1.2.1. Sai số trung bình phương…………………………………...3 1.2.2. Định nghĩa………………………………………………….3 1.2.3. ý nghĩa của sai số trung bình phương……………………....3 1.2.4. Xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phương…………………5 Chương II Các phương pháp xấp xỉ: . Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức suy rộng…………..…7 Định nghĩa……………….…………………………………….7 Nội dung……………………………………………………….7 Sai số của phương pháp…………………………………..........9 Mở rộng trên hệ trực giao để đơn giản hóa kết quả……….…..11 Định nghĩa……………………………………………...11 Tiếp cận lời giải………………………………………...11 Sai số của phương pháp………………………………....12 Chú ý …………………………………………………...12 2.2. Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức đại số………………..14 Đặt vấn đề…………………………………………………….14 Tiếp cận lời giải………………………………………............14 Sai số trung bình……………………………………………...14 Trường hợp các mốc cách đều………………………………..15 Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức trực giao…………..20 Định nghĩa hệ hàm trực giao………………………..………...20 Đặt vấn đề…………………………………………………….20 Nội dung của phương pháp………………………….………...21 Sai số của phương pháp……………………………..………...30 Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức lượng giác…………32 Định nghĩa đa thức lượng giác………………………………..32 2.4.2. Thuật toán……………………………………………………..32 Chương III Các ví dụ minh họa: 3.1. Đa thức đại số…………………………………………………………..39 3.1.1. Ví dụ 1………………………………………………………..39 3.1.2. Ví dụ 2………………………………………………………...40 3.2. Đa thức trực giao………………………………………………………..43 3.2.1. Ví dụ 1………………………………………………………...43 3.2.1. Ví dụ 2………………………………………………………...48 3.3. Đa thức lượng giác……………………………………………………...52 Chương IV Sơ đồ khối biểu diễn thuật toán và chương trình viết bằng ngôn ngữ C: 4.1. Sơ đồ khối biểu diễn thuật toán…………………………………………54 4.1.1. Trường hợp dạng đa thức đại số………………………………. 54 4.1.2. Trường hợp dạng đa thức trực giao…………………………… 55 4.1.3. Trường hợp dạng đa thức lượng giác………………………… .56 4.2. Kết quả chạy chương trình……………………………………………...57 4.2.1. Trường hợp đa thức đại số…………………………………..…57 4.2.2. Trường hợp đa thức trực giao……………………………….....57 4.2.3. Trường hợp đa thức lượng giác………………………………..58 Kết luận…………………………………………………………….....……59 Tài liệu tham khảo…………………………………………………............60