Đồ án Nghiên cứu lý thuyết wavelet trong xử lý tín hiệu

ặt ra như sau: có bao nhiêu tín hiệu bị giới hạn -tỷ lệ? Một phương pháp để xây dựng một tín hiệu như thế được đưa vào, ví dụ như các wavelet Haar từ một phạm vi của các tỷ lệ m0 Ê m Ê m1. Do đó chuỗi wavelet sẽ có một số giới hạn các tỷ lệ; hoặc là các hệ số biến đổi F[m,n] sẽ tồn tại chỉ với m0 Ê m Ê m1. ã Đặc điểm của tính chất đều: Biến đổi Fourier và chuỗi Fourier có thể dùng để mô tả tính chất đều của một tín hiệu bằng cách quan sát sự suy giảm của biến đổi hoặc của các hệ số chuỗi. Có thể làm tương tự như vậy đối với chuỗi wavelet và biến đổi wavelet. Khi đó có một ưu điểm nổi bật hơn so với trường hợp Fourier là có thể mô tả tính chất đều địa phương (local regularity). Biến đổi Fourier chỉ mô tả tính chất toàn cục. Biến đổi wavelet và chuỗi wavelet cho phép quan sát tính chất đều ở một vị trí riêng độc lập với những vị trí khác. 2.4.2-Một số wavelet: 1 -1 0 1 y(t)t t 2.4.2.1- Wavelet Haar: 2.4.2.2-Wavelet Morlet: Wavelet Morlet được cho bởi : (2.4.2.1.1) và biến đổi của nó: Hình 2.14- wavelet Morlet. (a).miền thời gian (b).phổ biên độ Một số loại wavelet liên tục khác: 2.4.3-Tính chất của các hàm cơ sở: ã Tính chất phương trình tỷ lệ hai (two-scale equation property): hàm tỷ lệ có thể tự xây dựng. Nhắc lại định nghĩa của một phân tích đa phân giải. Hàm tỷ lệ f(t) thuộc V0. Tuy nhiên vì V0 è V1 nên f(t) cũng thuộc V1. Ta biết là f(t-n) là một cơ sở trực chuẩn của V0 và do đó là cơ sở trực chuẩn của V1. Nghĩa là một hàm bất kỳ thuộc V0 ,bao gồm cả f(t), là một tổ hợp tuyến tính của các hàm cơ sở trong V1, đó là f(2t-n). Điều này dẫn đến phương trình tỷ lệ hai sau: (3.1) đối với wavelet y(t) ẻ W0 è V1 ta cũng có: (3.2) Biểu diễn trong miền Fourier của hai phương trình trên ta được: hình4.24-subband Hình 2.15-phương trình tỷ lệ hai Hình vẽ trên là đồ thị của phương trình tỷ lệ hai trong trường hợp hàm tỷ lệ Daubechies. Từ đó ta thấy hàm tỷ lệ D2 được xây dựng nhờ sử dụng các bản ảnh trễ và tỷ lệ của chính nó. Hàm M0(w) và M1(w) là các hàm tuần hoàn chu kỳ 2p và tương ứng với các bản ảnh tỷ lệ của các bộ lọc g0(n), g1(n) và được dùng để xây dựng các bank lọc. Phương trình tỷ lệ hai cũng có thể là điểm khởi đầu trong việc xây dựng phân tích đa phân giải. Nói cách khác thay vì bắt đầu từ các điều kiện định nghĩa phân tích đa phân giải thì ta chọn f(t) sao cho thoả mãn (3.1) với . Sau đó định nghĩa Vm là không gian con kín được mở rộng bởi 2-m/2f(2-mt-n). ã các tính chất tức thời của các wavelet (moment) : Một bộ lọc thông thấp g0[n] trong bank lọc có ít nhất một điểm không ở w = p và do đó g1[n] có ít nhất một điểm không ở w = 0. Vì F(0) = 1 (do chuẩn hoá M0(w)) nên Y(w) có ít nhất một điểm không ở w = 0. Do đó: có thể nói wavelet không có thành phần một chiều. Nói chung nếu G0(ejw) có điểm không thứ N ở w = p thì wavelet Y(w) có một điểm không thứ N ở w = 0. Mặt khác: n = 0 . . . . . N-1 nghĩa là N điểm đầu tiên của wavelet thì bằng không. Tầm quan trọng của các điểm không: giả sử một wavelet có chiều dài L với N điểm không. Giả sử hàm f(t) được biểu diễn bằng chuỗi wavelet là một đa thức bậc N-1 trong khoảng [t0, t1]. Khi đó với các tỷ lệ đủ nhỏ thì các hệ số mửo rộng wavelet sẽ triệt tiêu trong miền ứng với [t0, t1] vì tích vô hướng với mỗi thành phần trong đa thức sẽ bằng không. Các đặc điểm xấp xỉ này của wavelet với các điểm không rất quan trọng trong việc xấp xỉ các hàm bằng phẳng và các toán tử cũng như trong nén tín hiệu. ã Các tính chất suy giảm và bằng phẳng của các wavelet: Khi nghiên cứu về wavelet Daubechies đã bỏ qua các tính chất hội tụ, liên tục và tính khả vi của wavelet. Trong khi tính chất đều này của wavelet được liên kết các điểm không ở w = p của bộ lọc thông thấp thì sự liên kết không trực tiếp như trong trường hợp tính chất điểm không . Không có sự liên hệ trực tiếp nào giữa hai tính chất này. Tính chất đều, sự định vị hoặc suy giảm của tất cả các wavelet được cho trong bảng: Wavelet Số các điểm không Tính đều r Sự suy giảm hoặc giá theo thời gian Sự suy giảm hoặc giá theo tần số Haar 1 0 [0,1] 1/w Sinc Ơ Ơ 1/t [p, 2p] Meyer Ơ Ơ 1/poly [2p/3, 2p/3] Battle-Lemairie N N Hàm mũ 1/wN Daubechies N N [a(N)] [0,2N-1] 1/wa(N) Chương 3: Biến đổi wavelet 3.1- Các khái niệm: 3.1.1- Phép phân chia 3.1.1.1-Định nghĩa phân chia: việc giảm tần số lấy mẫu từ giá trị Fs về một giá trị Fs’ (Fs’ < Fs) được định nghĩa là phân chia. Nếu Fs’ = Fs / M (M>1 và nguyên dương) thì ta gọi là phân chia theo hệ số M. 3.1.1.2-Định nghĩa bộ phân chia: hệ thống chỉ làm nhiệm vụ giảm tần số lấy mẫu được gọi là bộ phân chia. Kí hiệu: ¯M x(n) Fs y¯M(n) Fs’ M - hệ số phân chia Kí hiệu toán tử biểu diễn phép chia: ¯M[x(n)] = y¯M(n) ¯M hay: x(n) y¯M(n) ¯M x(n) Fs Ws Ts y¯M(n) Fs’ Ws’ Ts’ 3.1.1.3-Biểu diễn phép phân chia trong miền biến số n: Ta thấy rằng tần số lấy mẫu Fs của tín hiệu rời rạc x(n) sau khi đi qua bộ phân chia này sẽ bị giảm đi M lần , tức là: hoặc là chu kỳ lấy mẫu: Ts = 1/Fs sẽ tăng lên M lần: Ts’ = MTs để hiểu rõ quá trình phân chia này ta sẽ biểu diễn dãy vào và ra của bộ phân chia này ở dạng không chuẩn hoá như sau: ¯M x(nTs) x(nTs’) = x(nMTs) = y¯M(n) nM nguyên Như vậy tín hiệu rời rạc trước khi vào bộ phân chia là x(nTs) và sau khi ra khỏi bộ phân chia sẽ là x(nTs’), chiều dài của x(n) bị co lại M lần, tức là: L[x(n)] / L[y¯M(n)] = M 3.1.1.4-Biểu diễn phép chia trong miền tần số: Chúng ta có thể biểu diễn quá trình phân chia bằng bộ phân chia trong miền Z tần số như sơ đồ sau: ¯M X(ejw) Y¯M(ejw) Trong miền biến số độc lập, ta có: y¯M(n) = x(nM) ị Dãy p(m) được định nghĩa: hoặc có thể viết dưới dạng: Nhận xét: - Thành phần với l = 0 X() chính là bản ảnh dãn rộng M lần của X(). M-1 thành phần, với 1Ê l Ê M-1, Xlà bản ảnh trễ đồng dạng của bản trải rộng X(). cũng có chu kỳ là 2p theo w, là kết quả tổ hợp của M thành phần, bởi vì thực chất nó là tổ hợp biến đổi Fourier của các dãy hợp lại. Trường hợp M = 2, với l = 0 thì là bản ảnh dãn rộng 2 lần của X(ejw), tức là bề rộng phổ lớn hơn 2 lần nhưng bản thân không gây chồng phổ. Nhưng vì còn thành phần l = 1 là bản ảnh trễ đồng dạng với. Chính thành phần l = 1 sẽ xếp chồng với thành phần l = 0 gây hiện tượng chồng phổ và như vậy hiện tượng này sẽ làm mất thông tin chứa trong x(n) khi đi qua bộ phân chia. Do lý do làm hư thông tin nên thành phần với 1 Ê l Ê M-1 được gọi là thành phần hư danh (aliasing). Nhưng thành phần hư danh này cũng có thể không gây hiện tượng chồng phổ nếu tín hiệu vào bộ phân chia x(n) có dải tần hữu hạn là -p/M < w < p/M. Tức là x(n) được lấy mẫu với tần số lấy mẫu Fs lớn gấp M lần FNy từ một tín hiệu tương tự xa(t) có bề rộng phổ hữu hạn Fa, tức là: Fs = 2MFa. Một logic đơn giản là nếu tăng tần số lấy mẫu M lần, tức là ta cho xa(t) qua bộ lấy mẫu với Fs = MFNy, sau đó lại cho qua bộ phân chia hệ số M tức là giảm đi M lần thì ta sẽ thu được kết quả như cho xa(t) qua bộ lấy mẫu với Fs’ = FNy. Phép phân chia làm x(n) co hẹp trong miền thời gian (nếu n là thời gian) thì dẫn đến hiện tượng dãn rộng trong miền tần số. 3.1.2- Phép nội suy 3.1.2.1-Định nghĩa phép nội suy: Việc tăng tần số lấy mẫu từ giá trị Fs đến một giá trị Fs’ (Fs’ > Fs ) được định nghĩa là phép nội suy. Nếu Fs’ = LFs (L >1 và nguyên dương) thì ta gọi đó là phép nội suy theo hệ số L và L gọi là hệ số nội suy. 3.1.2.2-Định nghĩa bộ nội suy: Hệ thống chỉ làm nhiệm vụ tăng tần số lấy mẫu được gọi là bộ nội suy. Ký hiệu: ưL x(n) yưL(n) Ký hiệu toán tử biểu diễn phép nội suy: ưL[x(n)] = yưL(n) x(n) ưL yưL(n) hay 3.1.2.3-Biểu diễn phép nội suy trong miền biến số n: Giả sử ta có bộ nội suy theo hình: ưL x(n) Fs Ws Ts yưL(n) = x(n/L) Fz’ Ws’ Ts’ Thấy rằng: tần số lấy mẫu Fs của tín hiệu rời rạc x(n) sau khi qua bộ nội suy với hệ số L sẽ tăng lên L lần, tức là: Fs’ = LFs, Ws = 2pFs, Ws’ = 2pFs’ = 2pLFs = LWs. Hoặc chu kỳ lấy mẫu Ts = 1/Fs sẽ giảm đi L lần: Ts’ = Ts / L. Để hiểu rõ phép nội suy về mặt bản chất, ta sẽ biểu diễn tín hiệu vào và tín hiệu ra của bộ nội suy ở dạng không chuẩn hoá: ưL x(nTs) x(nTs’) = x(nTs/L)= yưL(n) Tín hiệu vào bộ nội suy là x(nTs) và tín hiệu ra sẽ trở thành yưL(n). Chú ý : - tín hiệu ra chính là tín hiệu vào x(n) mà giữa L mẫu bất kỳ của nó được chèn thêm (L-1) mẫu có biên độ là 0, là do tần số lấy mẫu được tăng lên L lần sau khi đi qua bộ nội suy có hệ số L. - chiều dài của x(n) bị dãn ra L lần, tức là: L[yưL(n)] / L[x(n)] = L 3.1.2.4-Biểu diễn phép nội suy trong miền tần số: ưL X(ejw) YưL(ejw) Trong miền biến số độc lập n ta có: Vậy: đổi biến: m = n/L, ta có: Vậy: Nhận xét: YưL(ejw) là bản ảnh co hẹp L lần của X(ejw), nhưng lại xuất hiện (L-1) bản sao chụp phổ cơ bản. (L-1) bản sao chụp này là các ảnh được tạo ra bởi bộ nội suy hệ số L. Hiện tượng xuất hiện các bản sao chụp phụ này gọi là hiệu ứng tạo ảnh. Với L = 2 thì hiệu ứng tạo ảnh không gây hiện tượng chồng phổ, như vậy nó không làm mất thông tin. Phép nội suy làm tín hiệu x(n) dãn rộng trong miền thời gian (nếu n là biến thời gian) thì sẽ dẫn đến hiện tượng co hẹp trong miền tần số, đây là tính chất của biến đổi Fourier. Phép nội suy làm chèn thêm (L-1) mẫu có biên độ 0 vào giữa 2 mẫu của x(n) thì trong miền tần số sẽ tạo ra (L-1) bản sao chụp phụ phổ cơ bản, tức là (L-1) bản sao chụp phụ này sẽ chèn vào giữa 2 phổ cơ bản . Nội suy ở đây có nghĩa là nén tín hiệu x(n) với tần số lấy mẫu Fs sau khi qua bộ nội suy sẽ có tần số lấy mẫu Fs’ = LFs và với các mẫu có biên độ 0, sau đó cho qua bộ lọc có tần số cắt là p/L thì ở đầu ra của bộ lọc ta sẽ thu được tín hiệu với tần số lấy mẫu LFs nhưng các mẫu biên độ 0 đã được nội suy từ các mẫu biên độ khác 0 của x(n), tức là ta có tín hiệu x(n) có tần số lấy mẫu LFs với các mẫu biên độ khác không, quá trình nội suy này được thực hiện bằng mạch lọc nội suy. 3.1.3- Dãy lọc số (Filter Bank): 3.1.3.1-Định nghĩa: Dãy lọc số là một tập hợp các bộ lọc số với cùng chung một đầu vào và nhiều đầu ra hoặc với nhiều đầu vào và một đầu ra. Có hai loại dãy lọc số là dãy lọc số phân tích và dãy lọc số tổng hợp. 3.1.3.2-Định nghĩa dãy lọc số phân tích (analysis filter bank): Dãy lọc số phân tích là một tập hợp các bộ lọc số có đáp ứng tần số là Hk(ejw) được nối với nhau theo kiểu một đầu vào và nhiều đầu ra. Cấu trúc của dãy lọc phân tích: H0(ejw) H1(ejw) HM-1(ejw) x(n);X(ejw) x0(n);X0(ejw) x1(n);X1(ejw) XM-1(n);XM-1(ejw) Hình 3.1-Cấu trúc của dãy lọc số phân tích Ta thấy tín hiệu x(n) đưa vào đầu vào và được phân tích thành M tín hiệu ở đầu ra là xk(n) (0 Ê k Ê M-1). Như vậy trong miền tần số mỗi tín hiệu xk(n) sẽ chiếm một dải tần số con trong dải tần số của x(n) nên M tín hiệu xk(n) được gọi là tín hiệu dải con (subband). Còn các bộ lọc số: H0(ejw) là bộ lọc thông thấp, H1(ejw) đến HM-2(ejw) là các bộ lọc thông dải, còn HM-1(ejw) là bộ lọc số thông cao mà các tần số cắt của các bộ lọc số này sẽ kế tiếp nhau. Như vậy các bộ lọc H0(ejw),...,HM-1(ejw) được gọi là các bộ lọc số phân tích. Tập hợp các bộ lọc số này gọi là dãy lọc phân tích. 3.1.3.3-Định nghĩa dãy lọc số tổng hợp(synthesis filter bank): Dãy lọc số tổng hợp là tập hợp các bộ lọc số có đáp ứng tần số là Gk(ejw) được nối với nhau theo kiểu nhiều đầu vào và một đầu ra. Cấu trúc của dãy lọc số tổng hợp: G0(ejw) G1(ejw) GL-1(ejw) Hình 3.2-Dãy lọc tổng hợp 3.2- Biến đổi wavelet (wavelet transform): 3.2.1- Giới thiệu Sự biến đổi một hàm hoặc một tín hiệu s(t) là một phép toán mà kết quả của nó là sự biểu diễn khác của s(t). chúng ta đã được nghiên cứu hoặc biết về biến đổi Fourier và Short Time Fourier Transform như là các phương pháp biến đổi truyền thống. Hiện nay, người ta đang nghiên cứu và phát triển một phương pháp biến đổi tín hiệu mới trong cả hai lĩnh vực: toán học thuần tuý và khoa học ứng dụng. Đó là biến đổi Wavelet. Xét ba phương pháp để biến đổi tín hiệu Biến đổi Fourier (biến dổi tín hiệu thành các sóng cosin) Biến đổi Fourier thời gian ngắn STFT (biến đổi tín hiệu thành các dạng sóng cosin) Biến đổi Wavelet. Trước đây người ta sử dụng phương pháp phân tích tín hiệu thành các hài cơ bản. khi đó tín hiệu là một tổng các cosin: a0 + a1cost + a2cos2t + ... + Đây là phép biến đổi Fourier, được Fourier tìm ra cách đây 180 năm ở Paris. Tất cả các tín hiệu đều có thể được phân tích thành các sóng hài nhờ biến đổi Fourier. Những người thực hiện nó hầu hết là thực hiện theo bản năng - cường độ tín hiệu tại mỗi thời điểm được thay thế bằng biên độ của mỗi sóng. Từ đó xuất hiện một câu hỏi lớn. Đó là cần phải sử dụng bao nhiêu tần số cho một tín hiệu có mật độ cao. Có lẽ là phải rất nhiều thì kết quả nén mới tốt được. Phương pháp thứ hai là biến đổi Fourier thời gian ngắn. ở phương pháp này các đoạn tín hiệu ngắn được biến đổi riêng rẽ. ở trong mỗi đoạn, tín hiệu được phân tích thành các sóng cosin như ở phương pháp trước. Theo phương pháp này thì hầu hết các tín hiệu dài đều được chia nhỏ ra và sau đó được biến đổi theo từng phần một. Nó khắc phục được nhược điểm của biến đổi Fourier, vì theo Fourier thì nó không đúng hoàn toàn vì tín hiệu biến đổi phải tuần hoàn và tiến ra xa vô cùng. Tuy nhiên nó cũng có hạn chế lớn, đó là có những điểm cắt đột ngột gây ra hiệu ứng blocking. Chúng ta có thể nghe thấy hoặc không khi nghe nhạc nhưng luôn có thể thấy chúng khi xem các hình ảnh. Hiệu ứng này làm giảm độ tin cậy của STFT và nó yêu cầu phải có một phương pháp khác thay thế. Có một ý tưởng mới trong việc xử lý tín hiệu. Đó là thay vì các sóng cosin kéo dài đến vô cùng hoặc là bị cắt đột ngột thì ta sẽ sử dụng các khối xây dựng mới là các Wavelet (nguyên bản tiếng Pháp là Ondelet). Đó là các sóng nhỏ có điểm bắt đầu và điểm kết thúc. Những sóng nhỏ này được xuất phát từ Wavelet mẹ w(t)-là mức tín hiệu chuẩn ở thời điểm t. Theo phương pháp này thì một tín hiệu dài được chia nhỏ ra thành một cơ sở của các tín hiệu - đó là các Wavelet. Các Wavelet xuất phát từ một hàm đơn w(t) nhờ tăng tốc độ lấy mẫu(tăng tần số lên gấp đôi) và thời gian trễ. Các biên độ được gửi đến bên thu, ở đó nó được khôi phục lại tín hiệu ban đầu 3.2.2- Biến đổi Wavelet Cũng tương tự như biến đổi Fourier thời gian ngắn, biến đổi Wavelet cũng ánh xạ một hàm thời gian thành một hàm hai chiều của a và t (thay vì của w và t trong STFT). Tham số a được gọi là tỷ lệ. Nó chia tỷ lệ một hàm bằng việc nén hoặc dãn nó, và t là tịnh tiến của hàm Wavelet dọc theo trục thời gian. 3.2.2.1-. Biến đổi wavelet liên tục: 3.2.2.1.1-Định nghĩa: Biến đổi wavelet liên tục (Continuous Wavelet Transform) của một hàm f(t) ẻ L2(R) được định nghĩa như sau: (3.2.2.1.1) trong đó y(t) được gọi là wavelet mẹ. Và: (3.2.2.1.2) Nếu một hàm f(t) có biến đổi wavelet liên tục là CWT(a,b) thì hàm đó được khôi phục lại theo công thức sau: (3.2.2.1.3) trong đó Tổng quát hoá các công thức phân tích / tổng hợp cho hai wavelet khác nhau: y1(t) cho phân tích và y2(t) cho tổng hợp. Nếu hai wavelet thoả mãn: thì công thức khôi phục là: (3.2.2.1.4) trong đó 3.2.2.1.2-Các tính chất của CWT: ã Tuyến tính: tính chất tuyến tính của CWT nhận được từ sự tuyến tính của tích vô hướng. ã Tính chất trễ: Hình 3.3-Tính chất trễ của biến đổi wavelet liên tục. Nếu f(t) có biến đổi wavelet liên tục là CWT(a,b) thì f’(t) = f(t-b’) có biến đổi như sau: CWTf’(a,b) = CWTf(a,b-b’) ã Tính chất tỷ lệ: Hình5.2- subband Hình 3.4-Tính chất tỷ lệ. (a)tỷ lệ với hệ số 2. (b)bình phương năng lượng trong mặt phẳng biến đổi wavelet. Nếu f(t) có biến đổi wavelet liên tục là CWTf(a,b) thì f’(t) = có biến đổi wavelet liên tục như sau: CWTf’(a,b) = CWTf(a/s, b/s) ã Bảo toàn năng lượng: CWT có tính chất bảo toàn năng lượng tương tự như công thưc Parseval của biến đổi Fourier. Nếu f(t) ẻ L2(R) có biến đổi wavelet liên tục là CWT(a,b) thì ta có: (3.7) Tổng quát hoá công thức bảo toàn năng lượng này gồm tích vô hướng của hai hàm theo thời gian và theo miền wavelet. Khi đó (3.7) trở thành: (3.8) ã Các tính chất định vị: Định vị thời gian: xét xung Dirac ở thời điểm t0 , d(t-t0), và một wavelet y(t). Biến đổi wavelet liên tục của xung Dirac là: với tỷ lệ a0 cho trước, nghĩa là một đường ngang trong miền wavelet, thì biến đổi chính bằng wavelet đã được tỷ lệ (và chuẩn hoá) nghịch đảo trong miền thời gian và tập trung ở sự định vị của Dirac. Hình5.3-subband Hình 3.5-Tính chất định vị thời gian trong trường hợp wavelet Haar pha không. Hình vẽ trên cho thấy sự định vị của wavelet Haar giá compact (với pha không). Định vị tần số: xét wavelet sinc (nghĩa là bộ lọc thông dải hoàn hảo), phổ biên độ của nó bằng 1 khi w nằm giữa khoảng p và 2p. Xét một hàm sin phức có biên độ bằng 1 tại tần số w0. Wavelet tần số cao nhất cho hàm sin đi qua có hệ số tỷ lệ amin = p/w0, còn wavelet tần số thấp nhất cho hàm sin đi qua có amax = 2p/w0. a (b) 2w0 w0/2 w0 p 2p d(w-w0) (a) w a Hình 3.6-Định vị tần số của biến đổi wavelet sử dụng wavelet sinc. (a) phổ biên độ và các bản ảnh tỷ lệ. (b) Độ lớn khác không của biến đổi wavelet liên tục. 3.2.2.1.3- Wavelet Morlet: Wavelet Morlet là một ví dụ về biến đổi wavelet liên tục và được cho như sau: (3.2.2.1.3.1) Biến đổi Fourier của wavelet này là: Magnitude response Frequency(radian) Hình 3.7-wavelet Morlet. (a) miền thời gian. (b) phổ biên độ Hệ số để đảm bảo là . Tần số trung tâm w0 được chọn sao cho giá trị thực của y(t) thứ hai bằng một nửa của giá trị thứ nhất. 3.2.2.2- Biến đổi Wavelet rời rạc (DWT): Người ta đã chứng minh được là biến đổi wavelet liên tục có nhiều ứng dụng rất hiệu quả. Tuy nhiên trong một số ứng dụng thì biến đổi wavelet rời rạc lại tỏ ra phù hợp hơn. Có nhiều nguyên nhân: ngược lại với biến đổi fourier, biến đổi wavelet liên tục không đưa ra một sự biểu diễn ngắn gọn nào của tín hiệu x(t) bởi vì nó thay đổi một tín hiệu một chiều thành một hàm hai chiều. Do đó sử dụng biến đổi wavelet liên tục sẽ hướng chúng ta đến việc xử lý tín hiệu mà gồm nhiều phép tính hơn so với xử lý tín hiệu một chiều. Đối với nhiều chuỗi thời gian, biến đổi wavelet liên tục dư thừa theo cả thời gian và tỷ lệ, nghĩa là sự chênh lệch giữa W(t, t) và W(t’, t) khi ỗt-t’ỗ nhỏ so với t hoặc W(t, t) và W(t, t’) khi ỗt-t’ỗ nhỏ so với t. Với sự tiến dần của các máy tính số hiện đại, hầu hết các tín hiệu đều được chọn lọc hoặc được giả thiết là một sự chuyển đổi “tương tự sang số” một lần. Số liệu mà các nhà khoa học sử lý được rời rạc hoá cho nên cũng cần phải rời rạc hoá biến đổi wavelet liên tục. Như đã thảo luận trước đó, biến đổi wavelet rời rạc có ưu điểm lơn trong thực trạng của chính nó, bởi vì ngược lại với biến đổi wavelet liên tục, nó là một biến đổi trực chuẩn mà giải tương quan một lớp quan trọng của các quá trình stochastic. 3.2.2.2.1- Định nghĩa: Phân tích wavelet phân tích một tín hiệu thành các bản ảnh tỷ lệ và trễ của một wavelet gốc (wavelet mẹ). Wavelet y(t) có giá trị trung bình bằng không sao cho: (3.2.2.1.1) Biến đổi wavelet liên tục CWT(a,b) của một hàm f(t) với một wavelet mẹ được định nghĩa như sau: (3.2.2.1.2) Từ phương trình CWT(a,b) ta thấy các hệ số CWT được biểu diễn như một hàm của tỷ lệ a và vị trí b. Tỷ lệ thấp tương ứng với một tín hiệu được nén cho nên tỷ lệ nhỏ thì các chi tiết thay đổi nhanh còn tỷ lệ lớn thì thay đổi chậm. Khi đó biến đổi wavelet rời rạc thu được bằng cách lẫy mẫu biến đổi wavelet liên tục ở các tỷ lệ và vị trí là luỹ thừa của hai: a = 2j, b = ka, j,k ẻ Z. trong đó Biến đổi Wavelet trực giao rời rạc được dùng để phân tích một tín hiệu thành một số mức phân giải. Sự phân tích đa phân giải được thực hiện nhờ việc chiếu tín hiệu lên các không gian con xấp xỉ và các không gian con chi tiết trực giao. Một cách hiệu quả thực hiện DWT là sử dụng bank lọc. Phương pháp này do Mallat phát triển năm 1988. Sự thực hiện bank lọc của DWT dựa trên tính chất đa phân giải của nó. 3.2.2.2.1- Phân tích đa phân giải và việc thực hiện DWT bằng QMF. Như tên gọi, phân tích MRA đề cập tới việc phân tích một tín hiệu tại một số độ phân giải khác nhau. Một phân tích đa phân giải trong L2(R) là một chuỗi tăng dần của các không gian con kín. Mỗi không gian con Vj được gọi là một không gian xấp xỉ {fjk(t)=2-j/2.f(2-j.t-k), kẻZ} tạo thành một cơ sở trực giao của Vj. Độ phân giải giảm từ 2j xuống 2j+1 vì Vj là không gian con của Vj-1cho nên tồn tại một phần bù trực giao Wj của Vj trong Vj-1 sao cho: Cũng tồn tại một hàm wavelet mẹ y là {yjk(t)=2-j/2y(2-j.t-k), kẻZ} tạo thành một cơ sở trực giao của Wj. Sau đây ta xét đến việc thực hiện bank lọc của Mallat với biến đổi wavelet rời rạc. Gọi Vj là một xấp xỉ đa phân giải, f(t) là hàm tỷ lệ tương ứng và f(t) thuộc V0.f(t) thuộc V0 có thể được biểu diễn bằng các hệ số xấp xỉ của nó ở tỷ lệ 20 là: Định nghĩa S0={Sk0=} là một chuỗi các hệ số xấp xỉ của f ở tỷ lệ 20. Hình chiếu trực giao của f trong Vj-1 được phân tích thành tổng của các hình chiếu trực giao của Vj và Wj. Khi đó có: Trong đó P là toán tử chiếu trực giao Là xấp xỉ thô của f ở tỷ lệ 21 là các thành phần tinh của f ở tỷ lệ 20 mỗi được đặc trưng bởi một chuỗi các hệ số xấp xỉ : Sj={Skj=} Và mỗi được đặc trưng bởi một chuỗi các hệ số chi tiết: Dj={Dkj=} Gọi h là một bộ lọc rời rạc sao cho: Tương tự gọi g là một bộ lọc rời rạc sao cho: Với: g(n)=(-1)n.h(-n+1) h(m-2k)= g(m-2k)= với mọi j, k thuộc Z Vì Vj-1là hợp của Vj và Wj nên ta có Việc khôi phục được thực hiện theo công thức: H(w) và G(w) thoả mãn các quan hệ sau: H(w) là bộ lọc thông thấp và G(w) là bộ lọc thông cao. Cả H(w) và G(w) đều có đáp ứng xung hữu hạn và có thể khôi phục hoàn hảo. Sơ đồ phân tích một tín hiệu f bằng biến đổi wavelet rời rạc: g h ¯2 ¯2 f Sơ đồ tổng hợp bằng biến đổi wavelet rời rạc ngược ư2 ư2 g h Sơ đồ bank lọc thực hiện biến đổi Wavelet a1 a2/a1 1 ũ ũ ũ CWT(1,t) CWT(a1,t) CWT(aL,t) S(t) 3.2.2.2.3- Các tính chất của biến đổi Wavelet rời rạc: Biến đổi Wavelet cung cấp một phép phân tích đa phân giải của một hàm. Bản ảnh dịch và tỉ lệ của hàm cơ sở cho phép sự định vị tần số – thời gian của số liệu được phân tích. DWT tạo ra sự phân giải tần số tốt hơn cho các tần số cao và phân giải thời gian tốt hơn cho các tần số thấp. Biến đổi Wavelet là sự tương quan giữa x(t) và y(t’.a). Do đó biến đổi wavelet phù hợp với các ứng dụng cục bộ nhờ bộ lọc Match. Biến đổi wavelet tập trung hầu hết năng lượng trong các hệ số tần số thấp nhất Sử dụng hai bank lọc kênh cho phép thực hiện nhanh phép biến đổi wavelet. Hàm wavelet được thiết kế sao cho có ít điểm triệt tiêu nhất 3.2.2.3- Biến đổi wavelet hai chiều (Two-dimensional wavelet transform): Phân tích đa phân giải của một tín hiệu hai chiều được tạo ra nờ tích tensor. Các cơ sở trực chuẩn của các không gian tích tensor thu được từ các tích riêng của hai cơ sở trực giao. Khi đó nếu Vj là một phân tích đa phân giải thì là một phân tích đa phân giải với cơ sở trực giao: đối với (3.2.2.3.1) đối với (3.2.2.3.2) trong đó là thành phần trực giao của trong và được đặc trưng bởi ba không gian con trong trường hợp hai chiều. Ba chuỗi chi tiết này: theo các hướng ngang, dọc, chéo của f ở tỷ lệ 2j. Khi thực hiện bằng bank lọc thì biến đổi wavelet hai chiều được coi như là một tầng các phép toán biến đổi wavelet một chiều. Biến đổi wavelet đầu tiên tính theo hướng ngang, biến đổi thứ hai tính theo hướng dọc. Sau mỗi giai đoạn phân tích wavelet hai chiều thì số liệu đầu vào hai chiều được chiếu lên bốn không gian con có các tần số low-low, high-low, low-high, high-high. Các phân tích tiếp theo lại được áp dụng cho băng con có các tần số low-low. h ¯2 g ¯2 h g h g ¯2 ¯2 ¯2 ¯2 fll fhh flh fhl Xử lý theo hướng ngang Xử lý theo hướng dọc Hình3.8 -Biến đổi wavelet hai chiều LL LH HL HH Hình3.9-sơ đồ các hệ số biến đổi wavelet hai chiều 3.2.3- So sánh STFT và WT WT STFT ã ở một tần số mang w0 độ rộng cửa sổ thay đổi nghĩa là dãn hoặc nén, thì tần số mang trở thành w0/a với độ rộng cửa sổ thay đổi từ T đến aT, còn số chu kỳ trong cửa số thì vẫn không đổi ã ở một tần số phân tích của w0, việc thay đổi độ rộng cửa sổ sẽ tăng hoặc giảm số chu kỳ của w0 trong cửa sổ ã ổn định về độ dài thời gian của các đoạn, nhưng độ dài tần số của WT thì không cố định mà thay đổi. Nghĩa là Df tăng khi Dt giảm. ã ổn định về độ dài thời gian và tần số ã Khác với STFT, biến đổi wavelet có số lượng các dao động cố định trong một chu kỳ thời gian-tần số. ã số lượng các dao động trong một chu kỳ thời gian tần số không cố định ã Wavelet có một ưu điểm lớn so với STFT là wavelet tự giới hạn về thời gian, bởi vậy tín hiệu động không cần được chia thành các đoạn tĩnh trước khi áp dụng biến đổi . ã Tín hiệu động trước khi áp dụng STFT phải được chi thành các đoạn nhỏ có tính chất tĩnh ã ở các tỷ lệ tần số cao, biến đổi wavelet tạo ra sự phân giải thời gian tốt hơn so với STFT. Khi tần số trung tâm wavelet giảm thì độ phân giải tần số tăng nhưng độ phân giải thời gian giảm. Hình 3.10-Sự trái ngược giữa STFT và Wavelet Từ hình vẽ ta thấy độ phân giải tần số tỷ lệ trực tiếp với độ rộng cửa số đối với cả hai phép biến đổi, tuy nhiên trong trường hợp cuối cùng tần số trung tâm kèm theo độ rộng cửa số thay đổi (tỷ lệ với thời gian) Wavelet mẹ Y(t) có thể là thực hoặc phức nên ứng với nó thì kết quả biến đổi Wavelet cũng có thể là thực hoặc phức. Khi Y(t)là phức thì liên hợp phức của nó được sử dụng trong các công thức (1) và (2). Trong một số ứng dụng nó có thể có lợi trong việc sử dụng Wavelet phức vì pha của biến đổi Wavelet có thể mang thông tin có ích. 3.3 -Các Wavelet trực giao hai chiều: Ngoài các họ wavelet trực giao có một phương pháp có thể xây dựng các wavelet trực giao hai chiều. Chúng ta sẽ nới lỏng các điều kiện trực giao đã sử dụng, đồng thời vẫn duy trì các yêu cầu về tập hợp các hàm ym,n độc lập tuyến tính và tạo thành một cơ sở. Gọi {ym,n(t)} và là các họ wavelet tương ứng với bộ tổng hợp và phân tích (m,n là các đại lượng dãn và trễ). Khi đó ở họ trực giao hai chiều thì chúng phải thoả mãn điều kiện sau: (3.3.1) Nếu họ wavelet tạo thành không gian L2(R) thì bất kỳ hàm nào của không gian đều có thể viết như sau: vì y và có vai trò đối xứng với nhau. Có nhiều phương pháp khác nhau để tìm ra các họ trực giao hai chiều như thế. Ví dụ có thể xây dựng một cơ sở spline trực giao hai chiều bằng việc không trực giao hoá wavelet Battle-Lemarie. Một phương pháp khác bắt đầu với một dãy lọc trực giao hai chiều (biorthogonal filter bank) và sử dụng phương pháp lặp dãy lọc. Cả các bộ lọc tổng hợp và các bộ lọc phân tích đều phải được lặp lại. Ví dụ có thể sử dụn các bộ lọc pha tuyến tính chiều dài hữu hạn và thu được các wavelet đối xứng và giá compact mà điều này không thể thực hiện được trong trường hợp trực giao. Trong một dãy lọc trực giao hai chiều với các bộ lọc phân tích / tổng hợp H0(z), H1(z), G0(z), G1(z) thì khôi phục hoàn hảo với các bộ lọc FIR nghĩa là: G0(z) H0(z) - G0(-z) H0(-z) = 2 (3.3.4) Và H1(z) = -z2k+1 G0(-z) (3.3.5) G1(z) = z-2k-1 H0(-z) (3.3.6) Chúng ta có thể lặp một dãy lọc trực giao như thế ở kênh thông thấp và tìm ra các đáp ứng xung tương ứng. Có thể định nghĩa các bộ lọc thông thấp được lặp như sau: trên đây là sự trình bày ngắn gọn về việc xây dựng wavelet trực giao hai chiều dựa trên các bank lọc. Hình 3.12-Đáp ứng xung của bộ lọc trực giao hai chiều phân tích / tổng hợp. (a) h(n). (b) g(n). (c) . (d) . Hình 3.13-Đáp ứng pha của các bộ lọc phân tích / tổng hợp. 3.4- Gói Wavelet: Trong biến đổi Wavelet rời rạc, mỗi không gian xấp xỉ Vj được phân tích thành Vj+1 và Wj+1 còn các không gian con chi tiết Wj thì không thay đổi. Các gói Wavelet tạo ra một tập các cơ sở nhờ việc phân hoạch cả không gian con xấp xỉ và không gian con chi tiết thành các không gian con xấp xỉ và không gian con chỉ tiết nhỏ hơn nữa. Biến đổi gói Wavelet thường được kết hợp với một giải thuật chọn cơ sở tốt nhất để đạt được một cơ sở phù hợp trong tập hợp các cơ sở phân tích có thể. Giải thuật chọn cơ sở tốt nhất cần một hàm chi phí được tối thiểu hoá. Nếu hàm chi phí được cộng thêm vào thì giải thuật đơn giản hơn vì mỗi không gian con trực giao có thể được kiểm tra độc lập và chi phí của mỗi không gian con có thể được so sánh. Hàm chi phí được chọn phụ thuộc vào từng ứng dụng. Sự tối ưu hoá méo nhịp được thực hiện bằng sự phân tích gói Wavelet trong ứng dụng nén ảnh. Trong trường hợp này : J = distortion + l. rate là hàm chi phí, ở đó méo (distortion) là sai số trung bình bình phương giữa các hệ số biến đổi lượng tử hoá và không lượng tử hoá , còn nhịp (rate) là tốc độ bit đo bằng hàm entropy. Do việc tối thiểu hoá méo dẫn đến sự tăng tốc độ bit, tham số l giúp cân bằng giữa hai mục đích đang bị xung đột nhau ở trên. Có một giải thuật nhanh tìm kiếm cơ sở tốt nhất do Coifman và Wickerhauer tìm ra: Tính toán các chi phí của mỗi khối con trong cây phân tích Với t = lowest_level đến l=top, So sánh chi phí của mỗi bố mẹ với tổng các chi phí của các con của chúng. Nếu chí phí của bố mẹ cao hơn, thì giữ lại các con của chúng Nếu chi phí của bố mẹ thấp hơn, thì loại bỏ các con. h g ¯2 ¯2 Hình 3.14-Sơ đồ phân tích gói wavelet Chương IV: Một số ứng dụng của wavelet Lý thuyết và công nghệ wavelet đang trong giai đoạn phát triển quan trọng và có nhiều ưu điểm hơn so với các phương pháp truyền thống đang tồn tại. Wavelet và phép biến đổi wavelet được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực, trong xử lý tín hiệu, nén tín hiệu trong cả các ứng dụng xử lý ảnh và âm thanh, là công cụ phân tích các hệ thống động. Các phương pháp xử lý tín hiệu như là các bộ lọc gương cầu phương (Quadrature Mirror Filter-QMF) kết hợp với kỹ thuật wavelet đang được nghiên cứu trong nhiều ứng dụng của viễn thông. Các lĩnh vực ứng dụng khác của lý thuyết wavelet như là vật lý lý thuyết, thăm dò dầu khí, ứng dụng trong y học, trong các dự đoán, trong việc xây dựng các giải thuật nhanh, các toán tử tích phân đều, .... 4.1- Nén ảnh (Image Compression): “Một bức tranh có giá trị bằng hàng ngàn lời nói”. Câu ngạn ngữ Anh đã nhắc nhở chúng ta về tầm quan trọng của các bức ảnh. Điều này cũng đặc biệt đúng trong thời đại thông tin và đa phương tiện như hiện nay. Khối lượng số liệu vô cùng to lớn và việc nén thì làm tăng khả thông của mạng và dung lượng của bộ nhớ. Một bức ảnh màu 24 bit với 256 ´ 256 điểm ảnh thì cần hơn 0,2 MByte để lưu. Một chiếc đĩa dung lượng 1,4 Mbyte có thể chứa được 7 bức ảnh. Nhưng nếu bức ảnh được nén lại với tỷ lệ 50:1 thì lúc đó cũng với chiếc đĩa trên lại chứa được 350 bức ảnh. Có nhiều kỹ thuật mã hoá ảnh, ngày nay mã hoá băng con (subband coding) đang là phương pháp thành công nhất. Mã hoá băng con sử dụng các wavelet (nghĩa là các bank lọc cấu trúc cây) tránh được hiệu ứng blocking ở tốc độ bit trung bình, bởi vì các hàm cơ sở của nó có chiều dài thay đổi. Các hàm cơ sở dài biểu diễn tín hiệu tần số thấp, còn các hàm cơ sở ngắn thì biểu diễn tín hiệu ở tần số cao. Khối tín hiệu Biến đổi Bộ lượng tử Mã hoá Entropy Dự đoán phổ Thiết bị lưu Hình 4.1-Các bước của bộ mã hoá ảnh biến đổi Một tính chất rất hấp dẫn của các wavelet là khả năng điều chỉnh chiều dài của các hàm cơ sở. Một phân tích bốn mức và dãy lọc tương đương của nó có thể minh hoạ như sau: H0 H1 ¯2 ¯2 H0 H1 ¯2 ¯2 H0 H1 ¯2 ¯2 H0 H1 ¯2 ¯2 H0 ¯16 ¯16 H1 H2 ¯8 H3 ¯4 H4 ¯2 Hình 4.2-biến đổi wavelet rời rạc bốn mức và dãy lọc tương đương của nó Hàm cơ sở tần số thấp là một chuỗi các bản ảnh nội suy của bộ lọc thông thấp H0. Chiều dài của nó rất lớn. Các tần số cao hơn ít được lặp hơn, các hàm cơ sở trở nên ngắn hơn. Tín hiệu được xấp xỉ bởi một số hàm cơ sở, khi đó hầu hết năng lượng tập trung ở băng con thấp. Hình 4.3-ảnh của Barbara được phân tích với wavelet 4 mức Hình 4.4- ảnh Barbara mã hoá bằng DWT 4.2- Nén video (video compression): Các tín hiệu video là các chuỗi ảnh 2D khoảng 30 khung trên giây. chiều mới là thời gian, có thể mở rộng việc xử lý trừ 2D đ 3D. Khi đó một hệ thống nén video nên sử dụng một bank lọc riêng 3D trước khi kết thúc. Các chuỗi biến đổi được lượng tử hoá và mã hoá entropy và sử dụng giải thuật định vị bit dựa trên lý thuyết méo nhịp để tìm ra sự phân bố tối ưu. Một phương pháp khác để tiếp cận với nén video là dựa trên dự đoán sự chuyển động. ở tốc độ 30 khung trên một giây, thông tin ở các khung m và m ± 1 được tương quan cao. Giả thiết là có thể dự đoán được các vectơ chuyển động (motion vector) cho tất cả các điểm ảnh để chỉ ra nơi mà mỗi phần của bức ảnh di chuyển trong các khung tiếp theo. Khi đó đủ điều kiện để gửi khung đầu tiên (đã được nén) và các véc tơ chuyển động. ở dãy lọc tổng hợp (synthesis bank) khung đầu tiên được khôi phục và các khung tiếp theo được hình thành nhờ sử dụng các véc tơ chuyển động (cộng thêm sự liên hệ với ảnh). Chất lượng của ảnh được khôi phục phụ thuộc vào độ chính xác của các véc tơ chuyển động được dự đoán. Xét một bộ mã hoá ảnh dựa theo khối 8 ´ 8 được biến đổi bằng DCT. Khung đầu tiên được lượng tử hoá, mã hoá Entropy và phát đi. Khung thứ hai được biến đổi theo các khối. Đối với một khối xác định (K,L), cần tìm một giả thuật liên quan đến các khối lân cận (K ± 1, L ± 1) để dự đoán các véc tơ chuyển động, cũng được mã hoá và được phát đi. Tuy nhiên một dự đoán không chính xác sẽ làm giảm chất lượng của khung thứ hai khi được khôi phục lại. Chuẩn MPEG [MPEG 2] sử dụng cả dự đoán ngược và xuôi để dự đoán véc tơ chuyển động. Các giải thuật tương tự dựa trên biến đổi wavelet cũng đang được phát triển. Những nơi MPEG xử lý các khối con thì giải thuật wavelet có các khối với các kích thước khác nhau ở độ phân giải khác nhau. Việc dự đoán sự chuyển động cũng rất phức tạp vì có nhiều tỷ lệ hơn: đầu tiên dự đoán sự chuyển động theo một tỷ lệ thô và sau đó theo các tỷ lệ tinh dần. Các vùng giá (support regions) cũng phụ thuộc vào chiều dài bộ lọc. 4.3- Nén thoại và nén audio (speech and audio compression): Trong một hệ thống nén thoại / audio, tín hiệu được biến đổi bằng một dãy lọc cấu trúc cây. Sự định vị tần số xấp xỉ các băng tới hạn của tai người. Các tần số fm với công suất đáng dể được tìm ra và tính toán được T(fm, f). Nén thoại Nén thoại có một tầm quan trọng lớn để giảm thời gian truyền trong thông tin di động. Thoại được phân chia thành hai loại có thanh (voiced) và không thanh (unvoiced). Thoại có thanh chủ yếu là ở tần số thấp. Trong CELP (Code Excitation Linear Predictor) thoại có thanh được mô hình như là đầu ra của một bộ lọc IIR all-pole với đầu vào là nhiễu trắng. Các hệ số lọc được tìm ra nhờ việc dự đoán tuyến tính. Bộ lọc này biểu diễn hàm truyền của vùng âm thanh (vocal tract). Thoại không thanh có các thành phần ở tất cả các dải tần số và tương đồng với nhiễu trắng. Nén audio: Xét một tín hiệu âm thanh CD lấy mẫu ở tốc độ 44,1 kHz với độ phân giải là 16 bit. Tốc độ bít tổng cộng là 705,6 kbit/s. Đối với các ứng dụng đa phương tiện thì cần phải nén lại trong phạm vi từ 64 đến 192 kbit/s (11:1 đến 4:1). Từ việc nén audio cho thấy không có hiện tượng suy hao trong tín hiệu được khôi phục. Điều này đóng vai trò quyết định trong quảng bá audio số và truyền hình vệ tinh vì ở đó chất lượng âm thanh là đặc tính quan trọng nhất. ứng dụng của các hệ thống nén audio là: Quảng bá audio số Truyền hình vệ tinh, HDTV Các đường liên kết phân phối và tập trung Các thiết bị lưu trữ Các ứng dụng đa phương tiện 4.4- Wavelet Shrinkage Trong phân tích wavelet mức L của một tín hiệu thì số các hệ số wavelet có năng lượng lớn là rất ít. Đây là kết quả trực tiếp của tính chất xấp xỉ của wavelet, giả thiết có đủ số điểm triệt tiêu. Khi đó tín hiệu được biểu diễn một cách chính xác bằng một số ít các hệ số. Wavelet shinkage ,do Johnstone và Donoho phát triển, lựa chọn các hệ số này dựa vào việc lấy ngưỡng. Giải thuật wavelet shinhkage phân tích tín hiệu thành L mức và khi đó: ở mỗi lớp, chọn một ngưỡng và gọi là ngưỡng cứng (hard thresholding), nó sẽ loại bỏ một số hệ số và giữ lại các hệ số biểu diễn tín hiệu. Việc lẫy ngưỡng là một giải thuật suy hao: Tín hiệu gốc có thể không được khôi phục lại chính xác. Thay thế cho ngưỡng cứng là ngưỡng mềm (soft thresholding) ở mức d chọn theo hiệu suất nén hoặc sai số quan hệ. Đầu ra yhard(t) và ysoft(t) với ngưỡng d là: ngưỡng cứng ngưỡng mềm ysoft(t) yhard(t) x(t) 4.5-Phương pháp loại nhiễu ảnh bằng Wavelet Phân tích Wavelet là một kỹ thuật toán học hiện đại mở rộng cho việc phân tích Furier. Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu việc loại bỏ nhiễu khỏi tín hiệu và ảnh thông qua biến đổi Wavelet. Đầu tiên sẽ thuận về lý thuyết wavelet và sau đó tập trung vào các phương pháp cơ sở wavelet để giảm nhiều nhất là kỹ thuật do Mallat đề xuất. 4.5.1-Giới thiệu : Việc triệt nhiễu ở ảnh thực rất có lợi, giúp cho việc kiểm tra và hiểu giải thích hoặc làm tăng kết quả của việc xử lý máy tính một cách dễ dàng. Lý thuyết wavelet được nghiên cứu nhiều và thấy rằng nó có ứng dụng rất hiệu quả trong việc giảm nhiễu. Phương pháp loại nhiễu sử dụng biến đổi wavelet có nhiều ưu điểm hơn các phương pháp cũ bởi vì nó phân chia các thành phần tham số của tín hiệu thành các dải con, được biến đổi bằng nhiều mức, trong khi duy trì sự định vị của tín hiệu. 4.5.2-Wavelet. Trong phần này sẽ xét một số tính chất của wavelet ứng dụng trong các ứng dụng loại nhiễu : 4.5.2.1- Định vị theo không gian và tham số : Biến đổi wavelet được coi là một sự thay thế cho biến đổi Furier vì cả hai phương pháp đều được sử dụng để nghiên cứu các tham số của tín hiệu vào. Sự khác nhau chủ yếu giữa biến đổi wavelet và biến đổi Furier là biến đổi wavelet có thể định vị trong cùng miền như tín hiệu vào. Sự định vị ở đây là định vị theo thời gian đối với tín hiệu một chiều và theo không gian điểm(pixel space) đối với một ảnh. Điều này được minh hoạ trong hình vẽ dưới đây, ở đó biểu diễn một tín hiệu và biến đổi Furier và biến đổi wavelet của nó. Tín hiệu là rời rạc và do đó đều là hai biến đổi : chúng gồm các chuỗi hệ số, các giá trị của chúng được minh hoạ trong hình. Mỗi mức của biến đổi wavelet có chứa thông tin biểu diễn trong một khoảng của miền tham số biến đổi Furier, được gọi là một giải tần số. Mức và giải tần số cao nhất biểu diễn các tham số cao nhất của tín hiệu : ở đó biến đổi wavelet có các thành phần khác 0, tín hiệu gốc có một sự phân bố trong một giải tham số tương ứng. Nó cũng cho thấy sự định vị xấp xỉ của sự phân bố tham số này, đây là một ưu điểm của biến đổi wavelet so với biến đổi Furier. Đối với biến đổi wavelet Biểu diễn sự phân bố tín hiệu theo các giải tần số như các hệ số trong nhiều mức và Biểu diễn sự định vị của sự phân bố này trong cùng miền như tín hiệu gốc. Các phương pháp cơ sở wavelet để khử nhiễu thường có ưu điểm về cả hai tính chất trên. Các hệ số của biến đổi wavelet là các hệ số trong một cơ sở của các hàm tỷ lệ được gọi là các wavelet và ký hiệu là y các wavelet ở các mức cao hơn thì có giá nhỏ hơn so với các mức thấp hơn. Các wavelet ở một mức thì có cùng tỷ lệ, gọi là characteristic scale (tỷ lệ đặc trưng). Mức càng cao thì tỷ lệ đặc trưng càng nhỏ và tham số càng cao. Cũng có một loại hàm cơ sở khác bao gồm sự phân tích wavelet. Các hàm này ký hiệu là f , gọi là các hàm tỷ lệ. Trong đó các hệ số wavelet biểu diễn sự phân bố tín hiệu theo một dải tần, các hệ số hàm tỷ lệ biểu diễn tất cả các phân bố tham số thấp hơn. 4.5.2.2- Tính chất đều: Tính đều của một tín hiệu có thể được mô tả bằng hàm mũ Lipschitz địa phương của nó: tín hiệu càng đều thì số mũ Lipschitz của nó càng cao. Ví dụ : một xung Dirac có số mũ Lipschitz là -1, một hàm không liên tục bị giới hạn có số mũ bằng 0, một hàm liên tục không khả vi có số mũ nằm trong khoảng 0 đến 1 và một hàm khả vi liên tục có số mũ lớn hơn 1. Số điểm của một wavelet y được định nghĩa : Số điểm triệt tiêu N là: mk = 0 với 0Ê k < N và mN ạ 0. Số điểm triệt tiêu N được liên hệ với sự bằng phẳng của hàm wavelet. Tính chất 1: giả sử một wavelet có N điểm triệt tiêu. Một hàm f(x) có số mũ Lipschitz đơn a trên một khoảng nếu và chỉ nếu biến đổi wavelet với N > a thoả mãn: Trong đó s là tỷ lệ đặc trưng và dj,l là các hệ số của wavelet có giá nằm trong khoảng đó. Một ví dụ thực tế của tính chất này là: nếu số mũ Lipschitz âm thì các hệ số wavelet có xu hướng tăng khi tỷ lệ đặc trưng giảm. Cách xử lý các hệ số wavelet ở các tỷ lệ khác nhau có thể đặc trưng tính chất đều của một tín hiệu. Tuy nhiên việc phân tích hàm wavelet phải có đủ số điểm triệt tiêu. 4.5.2.3- Biến đổi wavelet hai chiều: Một phương pháp để có thể tiến tới biến đổi wavelet hai chiều là dựa trên các hàm cơ sở hai chiều, là tích tensor của các wavelet và các hàm tỷ lệ theo biến thứ nhất và biến thứ hai là x và y. Các hệ số được tính phù hợp. Ví dụ các hệ số của các hàm cơ sở y(x) và f(y) biểu diễn sự phân bố mà có các tần số cao thưo phương x và các tần số thấp theo phương y. Khi trục x là trục hoành và trục y là trục tung thì các hệ số này bộc lộ các đặc trưng ảnh như là các step edge theo phương thẳng đứng. Một tập hợp các hệ số như thế được gọi là một thành phần dọc của biến đổi. Tương tự, các thành phần dọc và ngang được kết hợp tương ứng với các hàm cơ sở f(x)´y(y) và y(x)´y(y). Ba thành phần này có thể minh hoạ như các bức ảnh trong cùng miền với ảnh gốc. Chúng được tính toán với một số mức, mỗi mức biểu diễn một dải tần. Do đó sẽ thu được biến đổi wavelet bình phương (square wavelet transform). b b b c a a c b b c a Hình-Sự phân tích của mặt phẳng tần số bằng biến đổi wavelet hai chiều bình phương. a, b, c là các thành phần theo phương ngang, phương thẳng đứng và phương chéo. 4.5.2.4- Thực hiện biến đổi wavelet rời rạc: Các giải thuật thực tế để tính toán biến đổi wavelet rời rạc một chiều, bao gồm các tích chập đượclặp lại của một tín hiệu với các chuỗi rời rạc hoặc các bộ lọc, tạo ra các hệ số wavelet. Các hệ số hàm tỷ lệ được tính toán tương tự như các trung gian. Các bộ lọc được liên hệ với loại wavelet và hàm tỷ lệ được sử dụng. Chúng có nhiều tính chất như tính đối xứng, bằng phẳng, giá và suy giảm. Đối với biến đổi hai chiều, sự thay thế các tích chập theo các hướng khác nhau được thực hiện để tạo ra các hệ số của các thành phần theo phương ngang, chéo và phương thẳng đứng. 4.5.2.5- Đối xứng và phản đối xứng: Khi một tín hiệu có một step edge với một bộ lọc đối xứng thì tích chập có một điểm không ở vị trí edge. Tích chập với bộ lọc phản đối xứng có giá trị là vô cùng ở vị trí edge. Vì các edge rất quan trọng trong việc loại nhiễu, vì vậy rất dễ làm việc với các giá trị vô cùng hơn là với các điểm không, bởi vậy thường sử dụng các wavelet phản đối xứng hơn. 4.5.2.6- Sự bằng phẳng (smoothness): Bằng phẳng là một tính chất rất quan trọng vì nó là sự liên kết giữa tính bằng phẳng và các điểm triệt tiêu. Trong ứng dụng loại nhiễu wavelet, yếu tố giới hạn các hệ số wavelet là phải giảm nhiễu và giữ lại các tín hiệu khác. Vì các tiêu chuẩn để quy định sự loại bỏ trên không bao giờ hoàn hảo, nên có thể xảy ra trường hợp mà một hệ số có nghĩa bị loại bỏ . ảnh hưởng của loại lỗi này là trong tín hiệu được khôi phục lại thì phân bố của một phần tín hiệu có bóng (dạng) của một wavelet bị mất. Nếu wavelet không bằng phẳng thì ảnh hường này có thể làm xáo trộn sự quan sát của con người. Khối lượng tính toán biến đổi wavelet cần có giá compact hoặc ít nhất có sự suy giảm đủ nhanh. 4.5.3- Nhiễu và loại nhiễu wavelet. Trong nhiều phương pháp loại nhiễu cơ sở wavelet, biến đổi wavelet của ảnh nhiễu được thực hiện các hệ số wavelet được xử lý và các hệ số đã được xử lý lại được biến đổi trở lại ảnh kết quả. Việc xử lý các hệ số bao gồm việc giảm các hệ số nhiễu. Một số tiêu chuẩn để phân biệt các hệ số có nhiễu và các hệ số không có nhiễu ảnh được giới thiệu ngắn gọn dưới đây. Trong kỹ thuật “wavelet shrinkage ” của Donoho sử dụng một tiêu chí chung cho các lớp. Phương pháp sử dụng một sự không tuyến tính ngưỡng mềm (soft-threshold nonlinearity) sao cho các hệ số wavelet nằm dưới mức ngưỡng bị loại bỏ. Mức ngưỡng không đổi trong một mức và cùng một giá trị đối với tất cả các mức trong trường hợp nhiễu trắng. Phương pháp này không biểu thị mọi ưu điểm mà biến đổi wavelet có được nhưng nó có một cơ sở lý thuyết tốt. Trong phương pháp của Mallat và các đồng sự của ông thì tiêu chí được điều chỉnh phù hợp với từng hệ số. Do đó chúng ta gọi nó là phương pháp thích nghi (adaptive method). Tiêu chí dựa trên sự giả định là ảnh không nhiễu là đều và nhiễu không đều. Phương pháp của Healy, Weaver là một sự biến đổi của phương pháp Mallat, trong đó tiêu chí được dựa trên sự quan sát các hệ số wavelet của một ảnh không nhiễu. Coifman phát triển một phương pháp không dựa vào sự điều chỉnh các hệ số wavelet nhiễu, nhưng dựa vào việc sử dụng thư viện các dạng sóng trực giao. Tín hiệu được phân chia thành mỗi phần được loại nhiễu mà được biểu diễn bằng một dạng sóng đã chọn và một phầnkhông thể biểu diễn được. Các phương pháp loại nhiễu được miêu tả xử lý nhiễu trắng Gaussian có trung bình bằng không. Để đánh giá hiệu suất của việc loại nhiễu, ta sử dụng tỷ số tín hiệu trên nhiễu để đo chất lượng. Tỷ số tín hiệu trên nhiễu được biểu diễn bằng dB và được định nghĩa như sau: Trong đó Psignal là công suất của tín hiệu hay của ảnh. Pnoise là công suất của nhiễu. 4.5.4- Dự đoán đều từ các hệ số wavelet. Trong giải thuật loại nhiễu wavelet do Mallat và Hwang phát triển thì sự khác biệt giữa các hệ số wavelet originating từ nhiễu và các hệ số wavelet originating từ tín hiệu được thực hiện bằng cách kiểm tra tính chất đều. Tính chất một ở trong phần trên cho thấy là số mũ Lipschitz đặc treng cho tính chất đều địa phương của một hàm có thể được dự đoán từ biến đổi wavelet. Dựa vào các thông tin này và vào các tính chất bằng phẳng, Mallat và các đồng sự của ông đã suy ra một tiêu chí báo hiệu có nhiễu. Các hệ số tương ứng với nhiễu được giả thiết và có số mũ Lipschitz âm sau đó được giới hạn từ phép biến đổi. Phương pháp có thể đạt được tỷ số S/N cao và chất lượng hiển thị của ảnh thu được cũng rất tốt, vừa ý. Tuy nhiên cũng rất phức tạp và đắt bởi vì việc khôi phục từ các hệ số wavelet yêu cầu một phép chiếu tương tác. 4.5.5- Tương quan các hệ số giữa các lớp wavelet. Xu, Healy, Weaver và một số người khác đã đề xuất một kỹ thuật mới để loại nhiễu mà nhiễu được phân biệt rõ ràng từ tín hiệu có ích bằng một kỹ thuật tương quan. Sự phân bố tham số của nhiều đặc tính tín hiệu đáng kể được tương quan giữa các mức kế cận. Tỷ lệ tương quan chéo được sử dụng để phân biệt sự phân bố tham số nhiễu cao từ các đặc tính tín hiệu. Kết quả là các hàm giải thuật như một bộ lọc thông tháp được điều chỉnh : các tham số cao bị triệt trừ khi ở đó một đặc tính tín hiệu có một số phân bố tham số được tách. Việc tách này được thực hiện bằng cách tính toán sự tương quan giữa một số có tỷ lệ liên tiếp. Xu đề xuất tính toán sự tương quan này là tính của các hệ số wavelet trong các mức liên tiếp của cùng sự định vị. Nó được kiểm nghiệm từ sự thực nhưng các hệ số nhiễu không được tương quan và các hệ số có ích được tương quan, khi sử dụng phân tích wavelet. Giải thuật : Algorithm Tương quan giữa các mức For j = 0 to số mức do Dự đoán công_suất_nhiễuj End for Biến đổi = { di,jời=1(1)n , j =1(1)số_mức} For j = 0 to số_mức - độ_sâu_tương_quan do Tương_quan = Tính_toán_tương_quan(biến_đổi, j, độ_sâu_tương_quan) Công_suất_trước = Tính_toán_công_suất(biến_đổi, j) Repeat For j = 1(1)n do If di,j ạ 0 và tương_quanj nhỏ then di,j = 0 endif endfor công_suất_sau =Tính_toán_công_suất(biến_đổi, j) until công_suất_trước - công_suất_sau ằ công_suất_nhiễuj endfor end algorithm. Biến đổi wavelet đang dần trở thành một công cụ mạnh và thiết thực để loại bỏ nhiễu trong tín hiệu. Phép biến đổi đưa ra một sự phân tích các tần số của tín hiêu, được biểu diễn trong miền tín hiệu gốc. Các phương pháp loại nhiễu có thể hiện rõ hai cơ sở lập luận trên. Chúng được xây dựng và áp dụng cho các cơ sở lý thuyết xấp xỉ của các wavelet. Kết luận Trong đồ án tốt nghiệp này em đã được tìm hiểu về lý thuyết wavelet và phép biến đổi wavelet. Đây là một lĩnh vực mới nhất đang được nghiên cứu và đưa vào ứng dụng trên thế giới. Trong đồ án tốt nghiệp của mình, đầu tiên em đã trình bày tổng quan về một số phương pháp biến đổi tín hiệu vẫn đang được sử dụng. Tiếp đó là phần giới thiệu về wavelet, cách xây dựng wavelet từ đa phân giải và các phương pháp biến đổi wavelet như biến đổi wavelet liên tục, biến đổi wavelet rời rạc và biến đổi wavelet hai chiều. Đồng thời em cũng nêu ra một số ứng dụng điển hình của wavelet trong xử lý tín hiệu như các ứng dụng về nén tín hiệu. Wavelet và phép biến đổi wavelet có nhiều ưu điểm và khắc phục được những hạn chế của các phương pháp xử lý tín hiệu trước đây vẫn được sử dụng. Với sự giới hạn của một đồ án tốt nghiệp em cũng mới chỉ trình bày được một phần lý thuyết về wavelet. Là một công cụ mạnh nhất hiện nay wavelet còn có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau nhất là trong xử lý tín hiệu. Nếu có điều kiện nghiên cứu tiếp thì nội dung về nén ảnh và lọc nhiều ảnh sẽ là một đề tài ứng dụng khá hay của wavelet. Trên đây là toàn bộ nội dung đồ án tốt nghiệp của em với đề tài “Nghiên cứu lý thuyết wavelet trong xử lý tín hiệu”. Chắc chắn là trong quá trình thực hiện em không thể tránh khỏi những sai sót, em rất mong các thầy cô và bạn bè xem xét và góp ý cho em. Cuối cùng em muốn bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc của mình tới PGS-TS Hồ Anh Túy đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn em hoàn thành đồ án tốt nghiệp này. Tài liệu tham khảo Wavelet and Operators, Cambridge University Press 1992. Wavelet Basis, Jonathan Allen, Kluwer Academic Publishers 1995 Wavelets and Their Applications, J.S. Byrnes-Jennifer L. Byrnes-Kathryn A. Hargreaves-Karl Berry, Kluwer Academic Publishers 1992 Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets, Ingrid Daubechies, 1988 Wavelets and Filter Banks, Gilbert Strang and Truong Nguyen, Wellesley-Cambridge Press, 1996 Approximation Theory, Wavelets and Applications, S.P.Singh, Kluwer Academic Publishers 1994 Wavelet Based Approximation in the Optimal Control of Distributed Parameter Systems, Chris Brislawn and I.G.Rosen, 1991. 8- Wavelet with Convolution-Type Orthogonality Conditions, Koichi Niijima and Koichi Kuzume, IEEE .