Đối xứng trong nghệ thuật

3Đối xứng trong nghệ thuật Hình 3.1: Mái nhà thờ Sagrada Familia ở Barcelona (Tây Ban Nha), do nghệ sĩ kiến trúc sư Antonio Gaudí (1852–1926) thiết kế, nhìn từ bên trong gian giữa. Nguồn: wikipedia. 59 Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật Các hình đối xứng là các hình có sự giống nhau giữa các phần, tức là chúng tuân thủ nguyên lý lặp đi lặp lại của cái đẹp. Chính bởi vậy mà trong nghệ thuật, và trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta gặp rất nhiều hình đối xứng đẹp mắt. Ngay các bài thơ, bản nhạc cũng có sự đối xứng. Tuy nhiên chương này sẽ chỉ bàn đến đối xứng trong các nghệ thuật thị giác (visual arts). Các phép đối xứng Hình 3.2: Mặt nước phản chiếu tạo hình ảnh với đối xứng gương. Trong toán học có định lý sau: Mọi phép biến đổi bảo toàn khoảng cách trong không gian bình thường của chúng ta (tức là không gian Euclid 3 chiều hoặc trên mặt phẳng 2 chiều) đều thuộc một trong bốn loại sau: 60 Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật 1) Phép đối xứng gương (mirror symmetry), hay còn gọi là phép phản chiếu (reflection): trong không gian 3 chiều thì là phản chiếu qua một mặt phẳng nào đó, còn trên mặt phẳng thì là phản chiếu qua một đường thẳng. 2) Phép quay (rotation): trong không gian 3 chiều thì là quay quanh một trục nào đó, còn trên mặt phẳng thì là quay quanh một điểm nào đó, theo một góc nào đó. Hình 3.3: Con sao biển có cả đối xứng gương lẫn đối xứng quay một phần năm vòng tròn. Có những loại sao biển có n chân với n > 5 (thậm chí với n = 18), và khi đó nó đối xứng quay theo góc 2pi/n. 3) Phép tịnh tiến (translation): dịch chuyển tất cả các điểm đi cùng một khoảng cách theo cùng một hướng nào đó. Như kiểu ánh xạ τ : (x, y) 7→ (x+T, y) trên mặt phẳng, dịch chuyển các điểm theo hướng của trục x một đoạn có độ dài bằng T . 61 Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật Hình 3.4: Đường viền sư tử tại thành cổ Persepolis (Iran). 4) Phép lượn (glide), là kết hợp của một phép đối xứng gương và một phép tịnh tiến theo hướng song song với trục giữa hay mặt giữa của đối xứng gương đó. Như kiểu ánh xạ g : (x, y) 7→ (x + T 2 ,−y) là kết hợp của phép đối xứng gương biến y thành −y và phép tịnh tiến biến x thành x + T 2 . Chú ý rằng nếu chúng ta thực hiện liên tiếp một phép lượn hai lần thì lại được một phép tịnh tiến. Hình 3.5: Một dải gỗ trang trí, từ invitinghome.com. 62 Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật Định lý trên không quá khó, và có thể dùng làm bài tập thú vị cho học sinh THCS (trường hợp 2 chiều) và THPT (trường hợp 3 chiều). Nếu chúng ta có một hình (hai chiều hoặc ba chiều), và có một trong các phép biến đổi như trên bảo toàn hình đó (tức là đổi chỗ các điểm của hình cho nhau nhưng biến hình vào chính nó), thì ta gọi đó là một phép đối xứng của hình. Tất nhiên, ta luôn có một phép đối xứng tầm thường, tức là phép giữ nguyên tất cả các điểm. Nhưng khi nói đến đối xứng, người ta thường hiểu là phép đối xứng không tầm thường. Nếu một hình có ít nhất một phép đối xứng không tầm thường, thì được gọi là một hình đối xứng. Hình nào mà có càng nhiều phép đối xứng, thì hình đó càng đối xứng. Phép tịnh tiến và phép lượn khác phép phản chiếu và phép quay ở chỗ nếu ta cứ lặp đi lặp lại cùng một phép tịnh tiến hay phép lượn lên một điểm ban đầu nào đó, thì điểm đó sẽ chạy dần ra vô cùng. Bởi vậy nếu nói một cách chặt chẽ thì không có một phép tịnh tiến hay phép lượn nào có thể bảo toàn một vật hay một hình hữu hạn. Nhưng nếu ta chấp nhận là phép tịnh tiến không cần được thực hiện trên toàn bộ hình mà chỉ trên một phần của hình, hoặc ta hình dung rằng hình có thể được trải dài nối tiếp ra đến vô cùng, thì các phép tịnh tiến và phép lượn cũng trở thành phép đối xứng, theo nghĩa mở rộng. Hình 3.4 khắc họa những con sư tử trên tường thành phố cổ Persepolis ở Iran là một ví dụ về phép đối xứng tịnh tiến theo nghĩa mở rộng: vector tịnh tiến ở đây là vector nối từ mũi 63 Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật một con sư tử đến mũi của con sư tử tiếp theo. Còn hình 3.5 có phép đối xứng lượn theo nghĩa mở rộng. Hình 3.6: Các công trình kiến trúc rất hay có đối xứng gương giữa hai bên. Trong ảnh là Mosque (nhà thờ Hồi Giáo) tại Abu Dhabi. Trong toán học, tập hợp các phép đối xứng của một vật hay một hình được gọi là một nhóm (group), bởi ta có thể làm hai phép toán trên đó, là phép nhân (tích của hai phần tử) và phép nghịch đảo. Nghịch đảo của một phép biến đổi đối xứng (bảo toàn hình) chính là phép biến đổi ngược lại, tất nhiên cũng bảo toàn hình. Còn tích của hai phép biến đổi đối xứng chính là phép "hợp thành" của chúng: đầu tiên ta thực hiện biến đổi theo phép thứ nhất, rồi biến đổi tiếp theo phép thứ hai. Tất nhiên, nếu cả hai phép biến đổi bảo toàn hình, thì hình vẫn được bảo toàn khi ta thực hiện liên tiếp hai phép biến đổi đó. Các công trình kiến trúc, đồ vật, hình họa và trang trí nghệ 64 Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật Hình 3.7: Tháp Phước Duyên ở chùa Thiên Mụ (Huế) có đối xứng theo hình bát giác, và kiến trúc xung quanh có đối xứng gương. thuật có thể được phân loại theo nhóm các đối xứng của chúng. Ví dụ, tháp Phước Duyên ở chùa Thiên Mụ (Hình 3.7) có tám mặt, với đáy giống như là một hình bát giác đều, và như vậy nhóm đối xứng của nó cũng giống như nhóm đối xứng của một hình bát giác đều (nếu ta bỏ qua các chi tiết không đối xứng trên tháp, ví dụ như không phải mặt nào cũng có cửa). Tháp Eiffel ở Paris (Hình 3.8) thì có bốn mặt giống nhau, đáy hình vuông, nên nhóm đối xứng của nó giống như là nhóm đối xứng của hình vuông. Ở dưới đây, chúng ta sẽ tìm hiểu sự phân loại theo nhóm đối xứng cho các hình đa giác, rồi cho các trang trí đường viền 65 Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật (frieze) và cho các kiểu lát gạch tuần hoàn (tessellation). Hình 3.8: Tháp Eiffel ở Paris với 4 mặt như nhau, có nhóm đối xứng D4 giống hình vuông. Phân loại đa giác theo nhóm đối xứng Vào quãng năm 2013, tôi có dành một buổi để tìm hiểu cùng với con gái, lúc đó đang học năm cuối THCS (ở Pháp gọi là "collège"), về các nhóm đối xứng của các đa giác. Kết quả của buổi tìm hiểu và thực hành cùng với giấy và kéo đó được ghi lại trên Hình 3.9 và được viết lại chi tiết thành một chương trong quyển sách "Các bài giảng về toán cho Mirella". Đây là một hoạt động thực hành toán học đơn giản mà thú vị, các bạn học sinh rất nên làm. 66 Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật Đầu tiên là xét các tam giác. Chúng có thể có 1 đối xứng (trong trường hợp tam giác không cân, chỉ có phép "để yên" là bảo toàn tam giác), 2 đối xứng (nếu là tam giác cân, ngoài phép để yên còn có phép đối xứng gương), hoặc mấy đối xứng nếu là tam giác đều? Có những người sẽ trả lời là 3, và có những người sẽ trả lời là 4. Câu trả lời chính xác là 6, trong đó có 3 phép đối xứng gương, và 3 phép quay theo các góc 0 độ, 120 độ và 240 độ. (Quay theo góc 0 độ có nghĩa là để yên). Hình 3.9: Các đa giác và số các đối xứng của chúng. Đến lượt tứ giác: nhiều đối xứng nhất là hình vuông, với 8 đối xứng (4 đối xứng gương và 4 phép quay), tiếp theo là đến hình chữ nhật và hình thoi đều có 4 đối xứng. Tiếp theo 67 Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật là các hình có 2 đối xứng: hình bình hành (với đối xứng quay 180 độ), hình thang cân, hình mũi tên và hình cánh diều (với đối xứng gương). Còn nếu lấy một hình tứ giác tùy ý, không có cạnh nào bằng cạnh nào, thì nhóm các đối xứng của nó sẽ là nhóm tầm thường, chỉ có mỗi một phần tử, là phép để yên. Đến lượt ngũ giác: lại chỉ có 3 trường hợp, tương tự như là với tam giác, chứ không có nhiều trường hợp như là tứ giác. Khi ngũ giác đều thì có 5× 2 = 10 đối xứng, nếu không đều thì hoặc là nhóm đối xứng chỉ có một phần tử (phép để yên) hoặc có hai phần tử (đối xứng gương và phép để yên). Con sao biển trên hình 3.3 có hình sao năm cánh đều, và nhóm đối xứng của nó bằng nhóm đối xứng của một ngũ giác đều. Đến lượt lục giác thì lại có rất nhiều trường hợp khác nhau, rồi đến thất giác thì lại chỉ có 3 trường hợp, và cứ thế. Từ các thí nghiệm này, ta rút ra được một số kết luận toán học sau: • Hình n-giác thì có thể có nhiều nhất là 2n đối xứng, ứng với trường hợp n-giác đều. Nhóm đối xứng trong trường hợp đó gồm n đối xứng gương và n phép quay, và gọi là nhóm nhị diện (dihedral group) Dn. Nếu n-giác không đều, thì nhóm đối xứng của nó là một nhóm con của nhóm Dn, và số các đối xứng là một ước số của 2n. • Nếu n là số nguyên tố thì chỉ có 3 khả năng xảy ra: hoặc nhóm đối xứng làDn, hoặc nhóm đó có hai phần tử trong đó phần tử không tầm thường là đối xứng gương, hoặc là nhóm tầm thường (chỉ có mỗi phép để yên). 68 Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật Khi mà số cạnh của đa giác đều tiến tới vô cùng thì ta được hình tròn, là hình có nhiều đối xứng nhất trong các hình phẳng: vô hạn đối xứng (quay quanh tâm theo góc tùy ý, và đối xứng gương theo đường kính tùy ý). Bảy kiểu trang trí đường viền Hình 3.10: Trang trí trên một mái nhà ở Toulouse. Các trang trí trên các dải mép tường, mép bàn, mép váy, hay những con đường dài và hẹp được gọi chung là trang trí đường viền ("frieze" tiếng Anh, "frise" tiếng Pháp). Có thể hình dung một đường viền như là một dải băng D hẹp và dài (coi như dài vô tận cho đơn giản) nằm ngang trên mặt phẳng: D = R× [−a, a] = {(x, y) ∈ R2 | − a ≤ y ≤ a} Theo nguyên lý lặp đi lặp lại của cái đẹp, người ta thường trang trí đường viền một cách tuần hoàn, tức là hình trang trí 69 Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật trên dải băng D có tính chất bất biến theo một phép tịnh tiến (dịch sang phải hoặc sang trái một khúc có độ dài T nào đó): τ : (x, y) 7→ (x+ T, y) Hình 3.11: Gạch đá hoa trang trí theo một kiểu phương Đông. Ví dụ như trên Hình 3.4, các con sư tử được xếp cách đều nhau trên một đường viền, và dịch một con sư tử sang bên phải một khúc bằng khoảng cách giữa hai cái mũi của hai con sư tử liên tiếp thì được con sư tử tiếp theo. Các phép tịnh tiến bảo toàn một trang trí đường viền tuần hoàn tạo thành một nhóm tương đương với Z, tức là tập các số nguyên: với mỗi số nguyên k ∈ Z thì ta có một phép "tịnh tiến k bước" bảo toàn hình trang trí: τ k : (x, y) 7→ (x+ kT, y). Ngoài các phép tịnh tiến ra, thì hình trang trí đường viền còn có thể bất biến theo các phép biến đổi khác nữa. Người ta phân loại các kiểu trang trí đường viền tuần hoàn qua nhóm các nhóm đối xứng của chúng. Tổng cộng có đúng bảy kiểu khác nhau: 70 Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật Hình 3.15: Quảng trường Rossio ở Lisbon với nền hình sóng tuần hoàn. Người bạn đồng nghiệp Rui Loja Fernandes của tôi, cựu chủ tịch Hội toán học Portugal và cựu giáo sư tại Đại học Bách khoa Lisbon (Instituto Superior Técnico de Lisboa) có kể rằng, sau khi nghe nói về các nhóm đối xứng trong việc lát gạch, đích thân ông thị trưởng thành phố đã mời các nhà toán học của trường làm cố vấn để đảm bảo rằng tất cả các kiểu nhóm lát gạch khác nhau đều xuất hiện trên các khu đi bộ của Lisbon. Khi trang trí một mặt phẳng, như là quảng trường Rossio (Hình 3.15) hay là tường nhà, sàn nhà, tấm vải, tấm thảm, v.v. người ta có thể chọn cách trang trí tuần hoàn hai chiều (tức là có hai hướng tịnh tiến khác nhau bảo toàn hình). Những kiểu trang trí như vậy được gọi là lát gạch (tiếng Anh là tessellation, 74 Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật tiếng Pháp là pavage) tuần hoàn. Bởi ta hình dung là có thể lấy những viên gạch trông giống nhau (hoặc vài kiểu gạch) rồi xếp chúng lại cạnh nhau là sẽ được hình trang trí như ý muốn. Hình 3.16: Ảnh quảng trường Restauradores ở Lisbon của Jee Wee, với nền được lát đá theo nhóm đối xứng p4. Tương tự như là các đường viền, các trang trí kiểu lát gạch tuần hoàn cũng có các nhóm đối xứng, mà chúng ta sẽ gọi là nhóm lát gạch theo tiếng Pháp (groupe de pavage, còn tiếng Anh gọi là wallpaper group, tức là nhóm của giấy dán tường). Ngoài các đối xứng tịnh tiến, còn có thể có các đối xứng quay, đối xứng gương và đối xứng lượn. Ví dụ như nền quảng trường Rossio trên Hình 3.15 có đối xứng quay theo góc pi (180 độ), còn nền đá hoa trên Hình 3.16 và Hình 3.19 có đối xứng quay theo góc pi/2 (90 độ). Nếu như một kiểu lát gạch tuần hoàn có đối xứng quay, thì vì tính chất tuần hoàn nên góc quay nhỏ nhất phải là một trong các số pi, 2pi/3, pi/2, pi/6 (ứng với chuyện có thể lát kín mặt phẳng bằng các viên gạch tam giác, tứ giác hay lục giác đều, nhưng không thể lát mặt phẳng chỉ bằng ngũ giác đều 75 Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật chẳng hạn). Khi có cả đối xứng quay lẫn đối xứng gương, người ta có thể xét xem trục của đối xứng gương có chứa tâm của đối xứng quay hay không. Ví dụ trên Hình 3.15 có tâm của phép quay nằm ngoài trục đối xứng (xem Hình 3.17), còn ví dụ trên Hình 3.19 có tâm của phép quay nằm trên trục đối xứng. Hình 3.17: Đường đỏ là trục đối xứng gương, điểm xanh là tâm của đối xứng xoay 180 độ. Nguồn: kleinproject.org Tương tự như là đối với các nhóm đường viền, ta có thể phân loại các nhóm lát gạch theo chuyện nó có đối xứng quay hay không và góc quay là bao nhiêu nếu có, rồi nó có đối xứng gương hay không, có đối xứng lượn hay không, và tâm của đối xứng quay có nằm trên trục đối xứng gương hay không. Người đầu tiên đưa ra phân loại đầy đủ cho các nhóm này là nhà toán học và khoáng vật học người Nga Evgraf Fedorov (1853–1919) vào cuối thế kỷ 19. Có tổng cộng 17 nhóm lát gạch khác nhau, ứng với 17 kiểu lát gạch tuần hoàn khác nhau. Hình 3.18 là sơ đồ minh họa toàn bộ 17 kiểu đó. Mỗi một hình con trên Hình 3.18 ứng với một kiểu lát gạch. Miền tô xanh là miền mà nếu làm viên gạch có hình như vậy, rồi dịch chuyển nó theo các phép biến đổi đối xứng trong nhóm 76 Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật có nghĩa là "primitive" (nguyên thủy): ở các kiểu này, các trục đối xứng hay glide song song với các vector tịnh tiến "nguyên thủy" của hình. Hình 3.19: Quảng trường Camoes ở Lisbon lát gạch theo nhóm p4m. Chữ số trong ký hiệu các kiểu cho biết nó có phép quay theo góc bao nhiêu: nếu chữ số là k thì góc quay nhỏ nhất là 2pi/k. Ví dụ nếu có chữ số 4 thì có phép quay theo góc pi/2 = 2pi/4. Chữ cái m trong ký hiệu dùng để chỉ đối xứng gương (mirror), còn chữ cái g dùng để chỉ đối xứng lượn (glide). Danh sách chi tiết 17 kiểu như sau: Kiểu thứ nhất, ký hiệu là p1, là kiểu chỉ có các đối xứng tịnh tiến, ngoài ra không còn thêm đối xứng nào khác. Hình 3.20 phía bên trái là một ví dụ. Kiểu thứ hai, ký hiệu là pg, có thêm glide, nhưng không có đối xứng quay hay đối xứng gương. Trong kiểu này có hai 78 Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật Hình 3.20: Một trang trí giấy dán tường có nhóm đối xứng p1, và một trang trí kiểu Ai Cập có nhóm đối xứng pm. hướng tịnh tiến vuông góc với nhau. Tranh lát gạch "Kỵ sĩ" của Maurits Cornelis Escher trên Hình 3.21 là một ví dụ tiêu biểu (nếu ta bỏ qua màu của các con ngựa): phép glide chuyển con ngựa màu nhạt thành con ngựa màu thẫm. Hình 3.21: Tranh lát gạch "kỵ sĩ" và "đầu Escher" của Escher. Kiểu thứ ba, ký hiệu là cm, không có đối xứng quay nhưng có đối xứng gương, và có thêm glide với trục của glide khác với 79 Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật trục đối xứng gương. Vải hoa lys (hoa loa kèn) trên Hình 3.22 bên trái là một ví dụ: Các trục đối xứng gương ở đây chính là các trục đối xứng của các bông hoa lys, còn mỗi trục glide thì song song và nằm giữa hai trục đối xứng gương liên tiếp. Hình 3.22: Vải trang trí hoa lys có nhóm đối xứng kiểu cm và tấm thảm phương Đông có nhóm đối xứng kiểu pmm. Kiểu thứ tư, ký hiệu là pm, không có đối xứng quay nhưng có đối xứng gương, và không có glide với trục nằm ngoài trục đối xứng gương như kiểu thứ ba. Một ví dụ là trang trí kiểu Ai Cập trên Hình 3.20 phía bên phải. Chú ý rằng kiểu này có một vector tịnh tiến song song với các trục đối xứng và một vector tịnh tiến vuông góc với các trục đối xứng. Kiểu thứ năm, ký hiệu là p2, ngoài các đối xứng tịnh tiến còn có thêm đối xứng quay theo góc pi, và ngoài ra không có thêm đối xứng nào khác. Hình lát gạch đầu ông Escher (với những đầu chổng ngược qua phép quay 180 độ) trên Hình 3.21 là một ví dụ. 80 Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật Kiểu thứ sáu, ký hiệu là pgg, không có đối xứng gương, nhưng có hai họ đối xứng glide với các trục glide vuông góc với nhau. Kiểu này cũng có đối xứng quay 180 độ, vì nếu lấy tích của hai glide với các trục vuông góc với nhau thì được một phép quay như vậy. Hình lát sàn gỗ 3.23 là một ví dụ (nếu ta coi tất cả các viên gỗ hình chữ nhật là giống hệt nhau). Kiểu lát này còn được gọi là kiểu "xương cá trích" (herringbone). Hình 3.23: Sát lát gỗ có nhóm đối xứng kiểu pgg, còn hình trang trí trên bình cổ từ Kerma (Sudan) đối xứng kiểu pmg. Kiểu thứ bảy, ký hiệu là pmg, vừa có đối xứng gương, vừa có đối xứng quay 180 độ với tâm không nằm trên đối xứng gương. Tích của hai phép đối xứng đó là phép glide, nên trong ký hiệu của kiểu này có cả m (mirror) và g (glide). Chiếc bình cổ đại trên Hình 3.23 có kiểu trang trí này trên thành bình. Kiểu thứ tám, ký hiệu là pmm. Thay vì có đối xứng gương theo một hướng và đối xứng glide theo hướng vuông góc với nó, kiểu pmm có hai đối xứng gương theo hai hướng vuông góc với nhau, và tích của chúng cũng là một phép quay 180 độ. Tấm thảm ở bên phải Hình 3.22 là một ví dụ. 81 Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật Hình 3.24: Mặt tường gạch có nhóm đối xứng kiểu cmm. Kiểu thứ chín, ký hiệu là cmm có các đối xứng giống như là kiểu pmm, nhưng ngoài ra còn có các phép quay 180 độ với tâm không nằm trên các trục của các đối xứng gương. Hình xây gạch thành tường như trên Hình 3.24 là một ví dụ về nhóm lát gạch kiểu cmm. Các điểm tô đỏ và tô xanh trên hình đều là tâm của các đối xứng quay 180 độ của hình. Các trục đối xứng gương chỉ đi qua các điểm đỏ chứ không đi qua các điểm xanh. Hình 3.25: Một mảnh tường ở Alhambra lát gạch theo nhóm p3. 82 Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật Kiểu thứ mười, ký hiệu là p3, có đối xứng quay với góc nhỏ nhất là 1/3 vòng tròn và không có đối xứng gương. Hình 3.25 là một ví dụ. Kiểu thứ mười một, ký hiệu là p3m1, có đối xứng quay với góc 1/3 vòng tròn, có đối xứng gương, và tâm của đối xứng quay nằm trên trục đối xứng gương. Hình 3.26: Một cửa sổ tại lăng Salim Chishti, Ấn Độ, có nhiều kiểu nhóm đối xứng lát gạch. Kiểu thứ mười hai, ký hiệu là p31m, có đối xứng gương, có đối xứng quay với góc 1/4 vòng tròn và tâm của nó không nằm trên trục của đối xứng quay. 83 Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật Kiểu thứ mười ba, ký hiệu là p4, có đối xứng quay với góc 1/4 vòng tròn (tức là pi/2) và không có đối xứng gương. Hình 3.16 là một ví dụ. Kiểu thứ mười bốn, ký hiệu là p4g, có đối xứng quay với góc 1/4 vòng tròn, có đối xứng gương, và có đối xứng glide với trục tạo thành góc 45 độ với trục của đối xứng gương. Kiểu thứ mười lăm, ký hiệu là p4m, có đối xứng quay với góc 1/4 vòng tròn, và có hai đối xứng gương với các trục tạo với nhau một góc 45 độ. Hình 3.19 là một ví dụ. Kiểu thứ mười sáu, ký hiệu là p6, có đối xứng quay với góc 1/6 vòng tròn (tức là pi/3) và không có có đối xứng gương. Hình 3.27 bên phải là một ví dụ. Hình 3.27: Sàn đá hoa ở Duomo di Siena (Toscana, Italia) có nhóm đối xứng p6m, còn tranh "Con bướm" của Escher có nhóm đối xứng p6.. Kiểu thứ mười bảy, ký hiệu là p6m, có góc quay 1/6 vòng tròn và có đối xứng gương. Hình 3.27 bên trái là một ví dụ. Ngoài Lisbon, có một nơi khác cũng được coi là có đủ 17 84 Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật kiểu nhóm lát gạch là khu cung điện Alhambra (tiếng Ả Rập có nghĩa là "Đỏ") do những người Hồi Giáo xây ở Granada, Tây Ban Nha, từ thế kỷ 13. Đây là một cung điện nguy ra, với rất nhiều trang trí tuần hoàn (và cả không tuần hoàn) đẹp trên tường. Tuy nhiên, chưa thấy ai công bố kiểm chứng là nó có đủ 17 kiểu lát gạch. Hình 3.28: Trần gian phòng Abencerrajes tại cung điện Alhambra, với nhiều trang trí kiểu lát gạch khác nhau trên tường. Người ta nói rằng họa sĩ Escher khi đi thăm Alhambra đã có được ý tưởng và cảm hứng vẽ các tranh lát gạch nổi tiếng của ông từ các hình trang trí trên tường của cung điện này, 85 Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật (gọi là nhóm tinh thể, crystallographic group) lên tới những 230. Để liệt kê chúng tất nhiên cần cả một quyền sách, và hình dung chúng còn khó hơn hiều so với hình dung các nhóm lát gạch hai chiều. Đối xứng trên không gian phi Euclid Ngoài mặt phẳng ra, còn có hai loại mặt khác mà trên đó cũng có các phép tịnh tiến, phép phản chiếu và phép quay bảo toàn khoảng cách, là mặt cầu và mặt hyperbolic (hay còn gọi là mặt Lobachevsky). Chúng là những không gian phi Euclid. Các không gian phi Euclid này cũng có thể được lát gạch tương tự như là mặt phẳng, và những hình lát gạch đó cũng có thể cho ra những tác phẩm đẹp mắt. Hình 3.30: Một quả cầu trang trí "Thiên thần và quỷ sứ" dựa theo tranh Escher có bán trên amazon, và hai mô hình lát gạch hình cầu bằng giấy và đất sét của Makoto Nakamura. Hình 3.30 là những ví dụ về lát gạch trên hình cầu. Vấn đề 87 Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật phẳng sao cho không thể lát chúng một cách tuần hoàn. Ông nghĩ ra một bộ 6 hình viên gạch như trên Hình 3.32 bên trái. Dùng các viên gạch như thế có thể lát kín mặt phẳng, như là minh họa trên Hình 3.33. Chỉ có điều, mỗi hình vuông màu da cam do gạch lát tạo nên đều bắt buộc nằm ở góc của một hình vuông màu da cam to hơn. Từ đó suy ra là hình lát gạch không thể tuần hoàn. Hình 3.33: Lát mặt phẳng bằng các viên gạch của Robinson. Bộ viên gạch lát không thể tuần hoàn đơn giản và nổi tiếng nhất có lẽ thuộc về nhà toán học và vật lý Roger Penrose (sinh năm 1931). Một bộ gạch của Penrose chỉ gồm có 2 hình viên 90 Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật gạch, đều là hình thoi, như trên Hình 3.32 ở giữa. Các góc của các hình thoi đó lần lượt là pi/5, 4pi/5, 2pi/5 và 3pi/5 (tương tự như là các góc của ngũ giác đều và của hình sao 5 cánh đều), và bởi vậy chúng có thể cộng với nhau thành 2pi để lát khớp tại các đỉnh. Một bộ gạch 2 viên khác của Penrose, với một viên hình cánh diều và một viên hình mũi tên, như trên Hình 3.32 bên phải, cũng có các tính chất tương tự. Các viên gạch kiểu Penrose có được sản xuất và dùng để lát sàn nhà ở nhiều nơi trên thế giới. Hình 3.34: Tranh sơn dầu của họa sĩ Urs Schmid (1995) vẽ một kiểu lát gạch Penrose dùng các viên gạch hình thoi. 91 Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật Penrose không phải là người đầu tiên nghĩ ra các viên gạch có góc là bội số của pi/5. Ông lấy ý tưởng đó từ các tác phẩm của Albrecht Du¨rer và Johannes Kepler từ thời thế kỷ 16-17. Từ trước đó nữa, các nghệ sĩ Hồi Giáo (ắt hẳn đồng thời cũng là những nhà toán học) đã nghĩ ra việc dùng các "viên gạch" như trên Hình 3.35, gọi là girih, có các góc là bội của pi/5, để lát trang trí. Viên girih to nhất có hình 10-giác đều. Tiếp đến là viên hình lục giác với các góc nhọn bằng 2pi/5 và các góc tù bằng 4pi/5. Tiếp đó là hình cái nơ con bướm với các góc nhọn cũng bằng 2pi/5, rồi hình thoi với các góc nhọn cũng bằng 2pi/5, và sau cùng là hình ngũ giác đều. Girih theo tiếng Persia có nghĩa là "đường nút", để chỉ các đường trang trí gấp khúc được vẽ trên các viên gạch. Hình 3.35: Các viên girih. Các viên gạch trên Hình 3.35 xuất hiện từ quãng cuối thế kỷ 12 ở Thổ Nhĩ Kỳ, với công dụng là giúp các nghệ nhân trong việc thiết kế hình trang trí, còn bản thân kiểu trang trí girih của Hồi Giáo đã có từ trước đó. Sau khi có bản thiết kế thì các nghệ nhân không cần phải làm ra các viên gạch như trên 92 Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật Hình 3.35, mà cốt làm sao xây được tường với hoa văn girih giống trong bản thiết kế. Trên các bức tường trang trí girih, nói chung sẽ không nhìn thấy biên của các "viên gạch girih" như trên, bởi vì thực ra không có các viên gạch đó. Hình 3.36: Bìa một quyển kinh Quoran từ thế kỷ 14, và thiết kế girih của nó. Nguồn: David James, Qur’ans of the Mamluks (Thames & Hud- son) & aramcowworld.com. Với kiểu thiết kế girih, người Hồi Giáo đã không chỉ tạo được những hình nghệ thuật lát tường tuần hoàn, mà cả những hình không tuần hoàn nhưng có đối xứng khác, ví dụ như là đối xứng kiểu sao 5 cánh hay 10 cánh (đối xứng quay theo góc pi/5; không thể tuần hoàn nếu có đối xứng quay này), như trên Hình 3.36 và Hình 3.37. Hơn nữa, các "viên gạch" girih chỉ có 93 Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật tính chất trợ giúp cho thiết kế cho dễ thôi, chứ một hình trang trí girih không nhất thiết phải xếp được từ đúng các "viên gạch girih" đó, mà có những chỗ có thể lệch đi, dùng những góc khác, "gạch" khác. Hình 3.37: Khu lăng tẩm "Shah-i Zinda" ("Vua Sống") ở Samarquand, Uzbekistan (ảnh của Fulvio Spada), và một trang trí girih bên trong. 94