Giáo trình Giải tích 1 - Chương 3: Phân tích tích phân hàm một biến số

TÀI LIỆU MÔN GIẢI TÍCH 1 LÝ THUYẾT CHƢƠNG 3: PHÂN TÍCH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ 3.1. Tích phân bất định (nguyên hàm) 3.1.1. Khái niệm Nguyên hàm: Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên tập xác định D nếu đạo hàm của F(x) là f(x), tức là F’(x) = f(x), Nhận xét: Hiển nhiên nếu hàm f(x) có một nguyên hàm thì nó sẽ có vô số nguyên hàm và hai nguyên hàm bất kỳ của f(x) chỉ sai khác nhau một hằng số. Tích phân bất định: Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) được gọi là họ nguyên hàm hay tích phân bất định của nó và kí hiệu là Như vậy, nếu f(x) có một nguyên hàm là F(x) thì tích phân bất định của nó là: 3.1.2. Bảng các tích phân bất định cơ bản 3.1.3. Các tính chất Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 1 3.2 Tích phân xác định 3.2.1. Công thức NEWTON – LEIBNIZ trong đó F(x) là nguyên hàm của f(x). 3.2.2. Các tính chất 3.2.3. Các phƣơng pháp tính tích phân xác định 3.2.3.1. Phƣơng pháp tích phân từng phần Các dạng áp dụng và cách đặt u, dv tương tự trường hợp tích phân bất định. 3.2.3.1. Phƣơng pháp đổi biến số Các bước thực hiện: - Chọn biến số mới, tính vi phân của nó - Đổi cận tích phân theo biến số mới - Viết tích phân ban đầu theo biến số mới và tính tích phân mới. 3.3. Tích phân suy rộng Khi xét tích phân xác định , ta đòi hỏi các cận a, b là các số hữu hạn và hàm số lấy tích phân f(x,y) liên tục trên [a,b]. Dưới đây ta mở rộng khái niệm tích phân cho trường hợp các cận của nó là vô hạn. 3.3.1. Định nghĩa tích phân suy rộng với cận vô hạn trong đó c là hằng số bất kì, còn f(x) là hàm số liên tục trên khoảng lấy tích phân. Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 2 Khi các giới hạn bên các vế phải tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng ở vế trái tương ứng hội tụ và có giá trị bằng giới hạn hữu hạn ở vế phải tương ứng. Trường hợp ngược lại, tức là (một trong) các giới hạn ở vế phải không tồn tại hoặc vô hạn thì ta nói tích phân suy rộng ở vế trái tương ứng phân kỳ. 3.3.2. Vài tích phân suy rộng hội tụ kinh điển và tiêu chuẩn hội tụ của tích phân suy rộng của hàm không âm a. Vài tích phân suy rộng kinh điển hội tụ Tích phân suy rộng (a > 0) + Hội tụ khi (và chỉ khi) a > 1; + Phân kỳ khi (và chỉ khi) a ≤ 1. b. Các tiêu chuẩn so sánh - Tiêu chuẩn so sánh thứ nhất Giả thiết: 0 ≤ f(x) ≤ g(x), mọi x ≥ a. -Tiêu chuẩn so sánh thứ hai Tài liệu môn Giải tích 1 https://www.facebook.com/tailieuhust Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website: TAILIEUHUST.COM 3