Giáo trình Hình học vi phân

Phương trình đường trắc địa là Định lí 5.4.5 Nếu u(t) là đường trắc địa nối 2 điểm A và B, ứng với 2 tham số t1 và t2, chỉ khi 49 Chứng minh. Theo nguyên lý Fermat-Hugen và do đó thì đạo hàm biến phân là triệt tiêu Đạo hàm biến phân và tích phân có thể đổi chỗ cho nhau, cho nên Từ đó suy ra phương trình đường trắc địa. 5.5 Định lí Gauss - Bonnet Trước hết chúng ta nhắc lại đôi điều về tích phân đường và tích phân mặt trong giải tích. Tích phân đường loại I của hàm f(x, y, z) dọc theo đường cong tham số hoá γ cho bởi tham số hoá r(t) được định nghĩa là tích phân Riemman Ví dụ tích phân độ dài đường cong là tích phân đường loại I. Tích phân đường loại II ∫γω = ∮γω của một biểu thức vi phân, còn được gọi là 1 dạng vi phân, 50 với P, Q, R là các hàm số trơn theo các biến x1, x2, x3 là tích phân Riemman trong đó α(t), β(t), γ(t) lần lượt là các góc giữa dr(t) với ba trục toạ độ e1, e2, e3 1 Tích phân mặt loại I , ∫∫∑f(x(u1, u2))dS của hàm f(x, y, z) dọc theo mặt cong tham số hoá ∑ cho bởi tham số hoá r(u1, u2), (u1, u2)∈D được định nghĩa là tích phân Riemman Ví dụ tích phân diện tích mặt cong là tích phân mặt loại I. Tích phân mặt loại II ∫∑ω = ∮∑ω của một biểu thức vi phân bậc 2, còn được gọi là 2 - dạng vi phân, với P, Q, R là các hàm số trơn theo các biến x = (x1, x2, x3) là tích phân Riemman trong đó n(u1, u2) = (n1(u1, u2), n2(u1, u2), n3(u1, u2)) là ba thành phần của véctơ pháp tuyến ngoài với mặt định hướng thuận ∑ Giả sử ϕ: U ⊆ R2 → R3 là một tham số hoá địa phương của mặt M. Giả sử ∆A0BB0C0 là một tam giác trong U. Ảnh của tam giác này qua ánh xạ ϕ là một tam giác cong, kí hiệu là (ABC) với các đỉnh A= ϕ(A0), B = ϕ(B0), C = r(C0) và các cạnh (cong) 51 tương ứng là a = ϕ([B0B , C0]), b = ϕ([A0, C0]), c = ϕ([A0, B0]). Chúng ta cũng kí hiệu độ lớn đo bằng radian của góc ngoài tại đỉnh A trong mặt tiếp xúc TAM và tương tự cho . Chúng ta kí hiệu K là độ cong Gauss của M và μ là phần tử diện tích chính tắc (với hướng đã chọn) trên mặt M, kg là độ cong trắc địa của cung tương ứng. Ta kí hiệu Định lí 5.5.1 (Công thức Gauss-Bonnet) Chứng minh. Chúng ta chọn một trường mục tiêu trực chuẩn định hướng thuận e1, e2 trên V = ϕ(U) và gọi ω21 là dạng liên thông của M trong trường mục tiêu đó. Nếu ρ : I = [0, 1] → V là một cung định hướng, ||ρ’|| = 1 và nếu ta viết ρ’(a) = cos ϕ(s)e1(ρ(s))+ sin ϕ(s)e2(ρ(s)) thì Khi đó độ cong pháp dạng knorm = 0, và ta có trong đó ϕ(s0) = là độ lớn của góc định hướng tạo bởi e1(ρ(s0)) và (ρ’(s0). Vậy nên ta có 52 Tương tự, ta cũng có công thức cho ∫bkgds và ∫ckgds. Cuối cùng là chúng ta có Theo công thức Stokes, ta có Bây giờ ta chỉ cần chỉ ra là bội số 1 = 1. Thật vậy, chúng ta có công thức Chúng ta kí hiệu 0 là c ấu trúc Riemann trên V = r(U) ~ đẳng cấu đẳng cự với U ⊆ R2 . Khi đó với mỗi t∈[0, 1] công thức t := (1 – t) 0 + t xác định cấu trúc Riemann trên V và công thức của ta có dạng đúng với mọi t∈[0, 1] Hai tích phân ở vế trái phụ thuộc liên tục vào t . Suy ra l cũng phụ thuộc liên tục vào t . Nhưng l ∈ Z , nên l không phụ thuộc vào t . Khi t = 0 ta có K = 0, kg = 0, và , theo hình học Euclid trong R2. Vậy suy ra l = 1. Nhận xét 5.5.2 1 . Chúng ta kí hiệu các góc trong của một tam giác là . Công thức Gauss -Bonnet trở thành 2. Nếu a, b, c là những cung trắc địa thì công thức Gauss-Bonnet trở thành 53 Vậy tổng các góc trong của một tam giác với các cạnh là các đường cong trắc địa lớn hơn π nên độ cong Gauss K > 0, và bé hơn π nêu K < 0 và bằng π nên độ cong Gauss K = 0. 3. Độ cong trắc địa kg dọc theo một cung định hướng trên mặt hai chiều định hướng đổi dâu khi đổi định hướng của cung đó cho nên tích phân ∫γ kgds thực ra là tích phân đường loại II, tức là tích phân của dạng vi phân Kgds dọc theo đường cong định hướng γ . Định lí 5.5.3 (Đặc trưng Euler) Giả sử M là một mặt định hướng, compắc và được chia ra bởi một lưới các điểm thành các tam giác cong (được gọi là tam giác phân hoá). Kí hiệu β1,β2,β3 lần lượt là số đỉnh, số cạnh và số mặt tam giác của tam giác phân đó, Khi đó Chứng minh. Kí hiệu σ là tam giác cong của tam giác phân đó. Theo công thức Gauss-Bonnet cho tam giác ta co trong đó ∆(σ) là tổng các góc trong của tam giác cong σ. Vì mỗi cạnh của tam giác phân là cạnh của đúng hai tam giác cong kề nhau trong tam giác phân đó và cùng hướng với cạnh ấy khi coi nó là thuộc tam giác này và ngược hướng với cạnh ấy khi coi nó thuộc tam giác kia. Cho nên Tổng các góc trong của một tam giác cong tại mỗi đỉnh bằng 2π, nên 54 vậy nên ta có Mỗi cạnh của tam giác phân thuộc đúng hai tam giác cong, mà mỗi tam giác cong có ba cạnh cho nên 2β1 = 3β2 . Từ đó suy ra Nhận xét rằng đặc trưng Euler tổng quát trong tôpô học cũng chính là X(M)=Eul(M). 5.6 Bài tập củng cố lý thuyết 1. Tìm cung chính quy trong R3. Xác định bởi tham số hoá t 6 ρ(t) biết phương trình tiếp tuyến tại mỗi điểm t của nó trong toạ độ của không gian tiếp xúc cho bởi hệ phương trình Gợi ý: Dùng định lí tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân . 2. Tính độ dài của các cung trên đoạn t ∈[t0, t1]: a. Trong toạ độ Đề Các x(t) = t, y(t) = t n, z(t) = c0 ( = const) . b. Trong toạ độ trụ (r, ϕ , z), c Trong toạ độ cầu (r, ϕ , θ): 55 3 . Cho cung đinh ốc tròn II xác định bởi trong R3 . a. Hãy viết phương trình tiếp tuyến, pháp tuyến chính, trùng pháp tuyến, mặt phẳng mật tiếp, mặt pháp diện, mặt trực đặc của nó tại mỗi điểm. b. Chứng minh rằng các tiếp tuyến của nó nghiêng một góc không đổi so với mặt phẳng nằm ngang Oxy cong các pháp tuyến chính luôn luôn cắt trục Oz. 4. Tính độ cong Gauss và độ cong trung bình của: a. mặt đinh ốc dựng đứng. b. mặt paraboloid. c . mặt tiếp xúc . 5 . Cho mặt S trong R3 xác định bởi phương trình x2 + y4 + z6 - 1 = 0. Chứng minh rằng S là một đa tạp compắc, định hướng. Gọi μ là dạng diện tích chính tắc của S và K là độ cong Gauss của S. Hãy tính ∫S Kμ 56 Chương 6 Định lý ánh xạ ngược và Định lý ánh xạ ẩn Hình học vi phân cần đến các phép toán vi phân và tích phân khá tổng quát. Cho nên việc nghiên cứu được bắt đầu từ việc hệ thống hoá phép tính vi phân trong Rn . Trong chương này chúng ta sẽ tiếp cận khái niệm đa tạp khả vi từ khía cạnh giải tích, xem chúng như những tập nghiệm của một hệ phương trình hàm trong không gian Rn. Sau đó tư tưởng "bó hoá" dẫn dắt đến sự nghiên cứu đa tạp tổng quát. 6.1 Định nghĩa đạo ánh và các tính chất cơ bản Chúng ta kí hiệu Rn là tập tất cả các số thực, Rn là tích Đề Các (Descartes) của n phiên bản tập các số thực Nói một cách khác, mỗi phần tử của Rn là một bộ n số thực x = (x1,…, xn), xi∈R. Chúng ta kí hiệu theo truyền thống kí hiệu tensơ trong hình học và do vậy viết các chỉ số ở trên. Để cho gọn, ta sẽ kí hiệu các phần tử đơn giản là x, y,… và gọi chúng là các véctơ. Đôi khi để nhấn mạnh rằng chúng là các véctơ, ta sẽ kí hiệu thêm dấu mũi tên phía trên đầu hoặc viết bằng chữ đậm : x, y, … Không gian Euclid n-chiều Chúng ta định nghĩa các phép toán trên các véctơ như sau: Nếu x = (x1,…, xn), y = (y1,…, yn) là các véctơ thuộc Rn và λ∈Rn, thì Tổng các véctơ x và y là véctơ x + y: Tích véctơ với một vô hướng λ là véctơ λx: Mệnh đề 6.1.1 Cùng với các phép toán trên, Rn là một không gian véctơ. Chứng minh. Hiển nhiên là véctơ 0:= (0, … , 0) sẽ là véctơ trung hoà cho phép cộng. Phần tử đối của véctơ x là véctơ - x = (- x1,…, - xn) . Để chứng minh mệnh đề chúng ta chỉ cần kiểm tra các tiên đề của một cấu trúc không gian véctơ, bao gồm: • Luật kết hợp theo phép cộng: • Sự tồn tại phần tử trung hoà 0. 57 • Sự tồn tại phần tử đối: • Luật giao hoán của phép cộng • Luật phân phối của phép cộng và phép nhân: • Luật kết hợp của phép nhân • Tính chuẩn hoá : Chúng tôi dành cho bạn đọc kiểm tra chi tiết các tính chất trên. Xét các véctơ đặc biệt: (số 1 duy nhất đứng ở vị trí thứ i) Nhận xét rằng các véctơ e1 , … , en là độc lập tuyến tính và chúng lập thành một cơ sở của Rn. Mỗi véctơ bất kì x = (x1,…, xn) được phân tích duy nhất thành tổ hợp tuyến tính của các véctơ cơ sở Chú ý rằng trong công thức trên, theo truyền thống của hình học, viết một chỉ số trên và một chỉ số dưới bằng cùng một chữ cái có nghĩa là lấy tổng theo chỉ số đó. Nhưng đôi khi để cho đỡ nhầm lẫn, người ta cũng vẫn viết luôn cả dấu tổng, nếu thấy cần thiết nhấn mạnh. Chúng ta định nghĩa tích vô hướng của hai véctơ x = (x1,…, xn) và y = (y1,…, yn) theo công thức 58 Mệnh đề 6.1.2 Cùng với tích vô hướng tự nhiên trên, Rn trở thành không gian Euclid. Chứng minh. Chúng ta cần kiểm tra rằng tích vô hướng nói trên có các tính chất: • Tuyến tính: • Đối xứng: • Xác đính dương: Chúng tôi dành việc kiểm tra chi tiết các tính chất đó cho đọc giả. Nhận xét rằng cơ sở e1 , … , en nói trên là một cơ sở trực chuẩn , tức là trong đó δij là kí hiệu Kronecker quen biết. Mệnh đề 6.1.3 Mọi không gian Euclid n-chiều đều đẳng cấu với không gian Rn . Chứng minh. Giả sử n là một không gian Euclid n chiều tuỳ ý, tức là một không gian véctơ với một tích vô hướng trừu tượng Chọn một cơ sở trực chuẩn với Phép tương ứng xác định một đẳng cấu đẳng cự giữa ( En, ) và (Rn, (.,.)). Như vậy việc nghiên cứu không gian Euclid n chiều với sai khác đẳng cấu hoàn toàn tương đương với việc nghiên cứu không gian cụ thể Rn. Cấu trúc metric, tôpô và các vật thể hình học Trong không gian Rn ta đưa vào metric đo khoảng cách giữa các điểm như sau: Khoảng cách giữa hai véctơ x và y được 59 đo bằng đại lượng Mệnh đề 6.1.4 Rn là một không gian định chuẩn. Chứng minh. Chúng ta có thể kiểm tra rằng ánh xạ x 6 ||x|| thoả mãn tất cả các tính chất của không gian định chuẩn : • xác định dương ||x|| = 0 khi và chỉ khi x = 0. • Thuần nhất dương : • Bất đẳng thức tam giác: Chúng tôi dành phần kiểm tra chi tiết cho bạn đọc . Bây giờ chúng ta định nghĩa một số khái niệm hình cầu (đóng, mở), hình hộp (đóng, mở) và mặt cầu như sau. Định nghĩa 6.1.5 Mặt cầu S(a, r) tâm a∈Rn bán kính r ≥ 0 là tập các véctơ x∈Rn thoả mãn Hình cầu đóng B(a, r) tâm a ∈ Rn bán kính r ≥ 0 là tập các véctơ x ∈ Rn thoả mãn Hình cầu mở B(a, r) tâm a ∈ Rn bán kính r ≥ 0 là tập các véctơ x ∈ Rn thoả mãn 60 Hình hộp đóng P(a1;b1, … , an;bn) là tập các véctơ x = (x1, … , xn) mà các thành phần xi của chúng thoả mãn các bất đẳng thức Hình hộp mở P(a1;b1, … , an;bn) là tập các véctơ x = (x1, … , xn) mà các thành phần xi của chúng thoả mãn các bất đẳng thức Hình hộp đóng mở P(a1;b1, … , an;bn) là tập các véctơ x = (x1, … , xn) mà các thành phần xi của chúng thoả mãn một số bất đẳng thức hoặc đẳng thức trong đó chỉ có một số nhất định các dấu bằng xảy ra. Mệnh đề 6.1.6 Họ tất cả các hình cầu mở lập thành cơ sở của tôpô Euclid trên Rn Từ đó ta có hệ quả tự nhiên là Hệ quả 6.1.7 Ánh xạ f = (f 1, … , f n) :Rn → Rm là liên tục khi và chỉ khi các thành phần f i= f i(f 1, … , f n) là hàm liên tục Chứng minh. Tất cả dễ dàng suy ra từ nhận xét rằng ||xk – x|| → 0 khi và chỉ khi Phép biến đổi (đồng phôi) biến các hình hình học tương đương vào nhau được gọi là phép biến hình. Tập các phép biên hình cùng với phép hợp ánh xạ lập thành một nhóm, gọi là nhóm biến đổi . Nếu các phép biến hình là đẳng cự thì coi chúng là tương đương nhau (đồng nhất với nhau). Tổng đại cương nghiên cứu các hình hình học sai khác một đồng phôi (đẳng cự) . Bài toán nghiên cứu truyền thống của hình học là phân loại các hình hình học và nghiên cứu các tính chất nội tại của ông hình hình học . 6.2 Đạo hàm riêng và vi phân Chúng ta đã xác định đối tượng của hình học Euclid là Ra và các vật thể hình học trong nó, được cấu tạo từ các mảnh cầu, hay mảnh phẳng. Nghiên cứu các đối tượng này được hiểu theo nghĩa thông thường là tìm các vị trí tương đối trong không gian và tìm các đặc trưng bằng số của chúng như khối lượng, thể tích, … Bài toán trở nên phức tạp hơn nhiều nếu các hình đó không được ghép từ các mảnh cầu hay mảnh phẳng. Để giải quyết nhiều bài toán tương tự trong đó có cả các bài toán về vị trí tương đối, tiếp xúc, tiếp điểm, … chúng ta cần tới công cụ mới hơn những công cụ thông thường như đã nói ở trên. Đó chính là lí do chúng ta cần đưa phép tính vi phân và tích phân vào 61 trong hình học. Đạo ánh Định nghĩa 6.2.1 Cho y = f(x) , f : Rn → Rm. Chúng ta nói rằng ánh xạ f là khả vi tại điểm x0 ∈ Rn nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính sao cho với y0 = f(x0) với mọi x trong lân cận đủ bé của x0. Ánh xạ tuyến tính λ(x0) nếu nó tồn tại, được gọi là đạo ánh của ánh xạ f tại điểm x0 và được kí hiệu bằng một trong các kí hiệu cơ bản quen biết f’(x0), f*(x0), Nếu chúng ta cố định tất cả các biến trừ một biến xi , thì chúng ta có một hàm một biến, giá trị véctơ theo biến xi . Đạo ánh của ánh xạ này gọi là đạo hàm riêng của ánh xạ theo biến xi và được kí hiệu là Giả sử l(x0) là một đường thẳng đang x0 + tξ(x0) đi qua điểm x0. Khi đó ta có ánh xạ một biến Định nghĩa 6.2.2 Đạo ánh gọi là đạo hàm (đạo ánh) của f theo hướng ξ tại điểm x0 và được kí hiệu là (ξf)(x0) Chúng ta có công thức liên hệ nó với các đạo hàm riêng Nhận xét 6.2.3 Đạo ánh , nếu nó tồn tại, là duy nhất. Thật vậy giả sử λ1(x) và λ2(x) là hai đạo ánh của cùng một ánh xạ f tại cùng một điểm x. Khi đó, 62 Bởi thế nên Định lí 6.2.4 1. Nếu f là một ánh xạ hằng (nhận một giá trị véctơ cố định) thì Df(x) = 0 , ∈ Rx∀ n 2. Nếu f : Rn → Rm là một ánh xạ tuyên tính thì Df(x)= f(x), ∈ Rx∀ n 3. Ánh xạ f : Rn → Rm là khả vi tại a∈ Rn khi và chỉ khi các hàm thành phần f i: Rn → R là khả vì tại a và ta có Nói một cách khác Df(a) là một ma trận mà mỗi hàng thứ i của nó có các thành phần là đạo hàm riêng thứ i của thành phần f i . Ma trận đó còn được gọi là ma trận Jacobi của ánh xạ tại điểm a và kí hiệu là Chứng minh. Những tính chất 1. và 2. kể trên giống như những tính chất quen biết của hàm số một biến. Để chứng minh tính chất 3. chỉ cần phân tích ánh xạ f theo các hàm thành phần Chúng tôi dành cho bạn đọc kết thúc chứng minh chi tiết. Đạo ánh của hơn hai ánh xạ Định lí 6.2.5 Nếu f : Rn → Rm là ánh xạ khả vi tại a∈ Rn và g : Rm → Rp là ánh xạ khả vi tại f(a) thì hàm hợp g o f : Rn → Rp là ánh xạ khả vi tại avà ta có Chứng minh. Chúng ta có công thức 63 Cả hai số hạng đều là o-nhỏ của đại lượng ||x = a|| nên tổng cũng là một đại lượng vô cùng bé o(||x-a||) Vi phân toàn phần Trước hết chúng ta nhận xét rằng các đạo hàm riêng g xem như các ánh xạ tuyến tính áp lên hàm f = f(x1,…, x2) theo qui tắc là độc lập tuyến tính với nhau trong không gian các ánh xạ tuyến tính từ Rn vào R. Chúng lập thành một cơ sở tuyến tính. Cơ sở tuyến tính đối ngẫu với nó được đồng nhất với các vi phân dx1,…, dxn. Định nghĩa 6.2.6 Tổ hợp tuyên tính được gọi là vi phân toàn phần của hàm f : Rn → R. Công thức đổi biến Định lí 6.2.7 Giả sử ϕ : Rn → Rn là một phép đồng phôi, thực hiện việc đổi biến y = ϕ(x). Khi đó chúng ta có công thức đổi biến sau: Nghĩa là vi phân toàn phần của một hàm số không phụ thuộc việc chọn biến địa phương. Chứng minh. Định lí được suy ra trực tiếp từ công thức đạo hàm của hàm hợp, cùng với nhận xét rằng 64 6.3 Định lí hàm (ánh xạ) ngược Định lí 6.3.1 (Định lí ánh xạ ngược) Giả sử f : Rn → Rn khả vi liên tục trong lân cận mở của điểm a ∈ Rn và Df(a) là khả nghịch. Khi đó tồn tại một lân cận mở V chứa a và một lân cận mở W chứa f(a) sao cho ánh xạ f : V → W là khả nghịch, có ánh xạ ngược f -l : W → V là khả vi đối với mọi y∈W và Chứng minh. Để cho tiện, ta sẽ kí hiệu Dx là véctơ cột là ma trận Jacobi của ánh xạ tại điểm x. Khi đó chúng ta có thể viết Từ đó suy ra là nếu là khả nghịc,h , liên tục trong lân cận của điểm a, thì tồn tại lân cận mở W của điểm f(a) để ma trận Jacobi luôn là khả nghịch trên đó. Điều này dễ thấy từ công thức tính ma trận nghịch đảo Tức là, nếu Df(a) khả nghịch thì trong lân cận đủ nhỏ W của điểm f(a) các ma trận Jacobi chuỗi là hội tụ tuyệt đối và Df(a) cũng là khả nghịch. Trong lân cận đó chúng ta có phương trình Thay biểu thức x = f -1(y) ta có công thức cần chứng minh. Để chứng minh tính khả vi của hàm ngược, chúng ta cần dùng đến định lí về điểm trung bình: Với các giá trị x đủ gần với điểm x0 giá trị y = f(x) cũng đủ gần với điểm y0= f(x0). Do giả thiết liên tục của đạo ánh tại lân cận của điểm x + 0, chúng ta có công thức giá trị trung bình 65 trong đó x là một điểm trong lân cận đủ bé của x0. Do ánh xạ là liên tục trong lân cận điểm do nên nó cũng khả nghịch trong lân cận đủ bé của điểm đó. Tức là chúng ta có Chuyển qua giới hạn chúng ta được điều cần thiết. Chúng tôi dành cho đọc giả tiếp tục thực hiện nết các chi tiết chứng minh . [] 6.4 Định lí hàm (ánh xạ) ẩn Chúng ta kí hiệu các véctơ đạo hàm riêng đơn giản là Dyf(x,y). Định lí 6.4.1 (Định lí ánh xạ ẩn) Giả sử rằng ánh xạ F : Rn x Rm → Rm là khả vi liên tục trong một tập mở chứa (a,b) ∈ Rn x Rm và F(a, b) = 0. Giả sử ma trận Jacobi có ma trận con khả nghịch DyF(a,b), Khi đó tồn tại một lân cận mở A ⊆ Rn, chứa a, và một tập mở B ⊆ Rm chứa b sao cho tồn tại duy nhất một ánh xạ khả vi f : A → B, gọi là ánh xạ ẩn nghiệm đúng phương trình Đạo hàm của ánh xạ ẩn f(x) được tính theo công thức Chứng minh. Giả sử đã có tồn tại một ánh xạ ẩn như vậy Chúng ta có ngay công thức tính đạo hàm toàn phần 66 Từ đó suy ra ngay công thức tính đạo ánh của ánh xạ ẩn. Để chứng minh sự tồn tại ánh xạ ẩn f(x) chúng ta nhận xét rằng ánh xạ sẽ là một đồng phôi từ Rn+m vào chính nó. Ma trận Jacobi củ F là khả nghịch cho nên theo định lí ánh xạ ngược tồn tại ánh xạ ngược của . Thành phần thứ nhất của là ánh xạ đồng nhất cho nên thành phần thứ hai của ánh xạ ngược xác định ánh xạ f cần tìm. 6.5 Bó các hàm trơn Từ Định lí ánh xạ ẩn ta suy ra là với mỗi điểm (x, y) là nghiệm của hệ F(x, y) = 0 luôn tồn tại một lân cận mở U của điểm x và một lân cận mở V của điểm y sao cho f : U → V là một ánh xạ trơn. Định nghĩa 6.5.1 Hàm ϕ : (x, y) 6 ϕ (x, y)∈C trên tập nghiệm M của hệ phương trình M : F(x, y) = 0 thoả mãn điều kiện trong định lý hàm ẩn J(2cy ~F~ = ~ơ~f] là khả nghịch, được gọi là trơn nếu hợp của nó với f : U → V là một hàm trơn trên U. Kí hiệu C ∞(U) là tập tất cả các hàm trơn trên lân cận U của điểm x trên tập nghiệm M. Mệnh đề 6.5.2 Hàm ϕ là trơn khi và chỉ khi nó là trơn trong U khi và chỉ khi ϕ o ξ là trơn trong ξ(U) với mọi phép vi phôi ξ : U → U. Nói một cách khác khái niệm hàm trơn không phụ thuộc vào việc chọn hệ tọa độ địa phương x = (x1, … ,xr) . Chứng minh. Định lí 6.5.3 Các tập mở U trong định lí ánh xạ ẩn lập thành một phủ mở của tập nghiệm. Các đại số C ∞(U) có các tính chất bó sau đây: 1. Tồn tại ánh xạ hạn chế r : C ∞(U)→ C ∞(U1), nếu U1 là tập con trong U. 2. Nêu U = ∪Uα thì có dãy khớp Chứng minh. Mệnh đề thứ nhất là hệ quả trực tiếp của định lý hàm ẩn. Mệnh đề 67 thứ hai cũng được suy ra từ đó vì khi điểm x thuộc giao của hai lân cận địa phương trong định lí hàm ẩn thì chúng phải là xác định duy nhất trên giao. Định nghĩa 6.5.4 Một hàm trên tập nghiệm M của hệ phương trình F(x, y)=0 với là khả nghịch, được gọi là trơn nếu hạn chế của nó lên các tập mở trong phủ nói trên là các hàm trơn và thoả mãn tính chất bó. Kí hiệu C ∞(M) là bó các đại số các hàm trơn nói trên. Nó được gọi là bó cấu trúc của M. Định nghĩa 6.5.5 Nếu hệ phương trình M : F(x, y)=0 thoả mãn điều kiện có ma trận Jacobi trên các điểm thuộc tập nghiệm, có hạng không đổi r = rank(Jac(F) (x, y)) thì cặp (M, C ∞(M)) được gọi là một đa tạp và C ∞(M) được gọi là bó cấu trúc . Ví dụ. 1 . Vòng tròn đơn vị có thể xem là hợp của hai tập mở U1 = S1 \ {N} trong đó N là điểm cực bắc, U2 = S1 \ {S} với S là điểm cực nam . Dễ viết một cách tường minh công thức đổi biến từ U1 sang U2 và ngược lại (!). Bó cấu trúc của S1 là các hàm trơn trên toàn bộ vòng tròn đơn vị. 2 . Xuyến hai chiều T = S1 x S1 có thể chia thành hợp của các tập mở đồng phôi với R2 : U11 = (S1\{N} x S1\{N}), U12 = (S1\{N} x S1\{S}), U21 = (S1\{S} x S1\{N}), U22 = (S1\{S} x S1\{S}). Mỗi C ∞(Ui ) ≅ C ∞(R2). Chúng được xếp lại với nhau một cách tự nhiên, sau này sẽ thấy là , "định hướng". 3 . Lá Mobius có thể xem là hợp của hai bản đồ địa phương U1 = L \ (I x {0}, U2 = L \ {0} x I) . Chúng được xếp lại một cách "không định hướng". Mặc dù các bó hàm trơn địa phương đều là C ∞(R2) . 4. Không gian xạ ảnh RPn là không gian các đường thẳng qua gốc tọa độ trong Rn+1 . Bằng cách tọa độ hoá, RPn là tập các điểm trong Rn+l với toạ độ thuần nhất (x0 : x1 : … : xn) theo nghĩa, mỗi bộ toạ độ đó là một lớp tương đương (x0, x1,…., xn)~ (x’0, x’1,…., x’n) khi và chỉ khi tồn tại một số k≠ 0 để Do vậy có phủ mở là không gian con các bộ toạ độ thuần nhất với số 1 ở một vị trí thứ i. Đây là hệ phương trình trong toạ độ địa phương. Mỗi Ui ~ Rn Nên bó cấu trúc có dạng C ∞(Ui ) ≅ C ∞(R2) 5. Tương tự, không gian xạ ảnh phức CPn. là một đa tạp . 6. Chai Klein là hai lá Mobius đồng nhất hai biên tương ứng với nhau. Mỗi bó hàm trơn địa phương cũng là C ∞(R2) nhưng toàn cục chúng được sắp xếp rất không định hướng. Theo định lí ánh xạ ẩn, có tồn tại một hệ các hàm tọa độ cong trên mỗi tập mở 68 trong không gian nghiệm, đồng phôi với Rn-r. Định nghĩa 6.5.6 Nếu ϕ : Rn-r → U⊆ M là một vi phôi xây dựng theo định lí hàm ẩn thì ảnh của hệ tọa độ tuyên tính trong U là các đường cong mà phương tiếp tuyên luôn lập thành cơ sở. Khi đó ta nói là ta có một bản đồ toạ độ địa phương (U, x1, … , xn-r) Nhận xét 6.5.7 Nhận xét rằng hệ (x1, … , xn) là một hệ sinh của đại số hàm trơn C∞(U) theo nghĩa hàm, tức là mọi hàm khác đều là hợp của các hàm này với một hàm nào đó trên U. Nhận xét 6.5.8 Hệ các bản đồ toạ độ địa phương lập thành một phủ mở của đa tạp nghiệm. Cấu trúc vi phân được xác định bởi tính chất của đại số các hàm trơn C∞(U) và các hàm chuyển tọa độ. Trên thực tên theo phương pháp đại số, bó các nhát cắt toàn cục, tức là các hàm trơn toàn cục xác định cấu trúc vi phân. 6.6 Bài tập củng cố lý thuyết 1 . Tìm hàm số có mọi đạo hàm riêng liên tục nhưng không khả vi tại một điểm. 2. Tìm ví dụ hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm tại số đếm được các điểm. 3 . Cho hàm số f : R2 → R, xác định bởi công thức Chứng minh rằng f khả vi tại điểm (0, 0) nhưng các đạo hàm riêng Dxf, Dyf gián đoạn tại (0, 0) 4. Dùng hàm số f : R → R, xác định bởi công thức Hãy chứng minh rằng giả thiết liên tục trong định lí ánh xạ ẩn là không thể bỏ đi được . 5. Giả sử rằng ánh xạ f : Rn → Rn là khả vi và có ánh xạ ngược f -1 cũng khả vị Chứng tỏ rằng nói một cách khác, nếu ánh xạ cho bởi y = f(x) thì 69 Chương 7 Đa tạp khả vi Với phép toán vi phân, chúng ta có thể nghiên cứu nhiều tính chất của đa tạp: trước hết chúng ta có thể định nghĩa một cách chính xác khái niệm đa tạp, đa tạp con, đa tạp thương phân thớ tiếp xúc, phân thớ đối tiếp xúc, v.v. . . . Tông các đa tạp được nghiên cứu trong những năm gần đây. Trong chương này chúng ta sẽ chỉ giới thiệu một vài thành tựu đáng kể . 7.1 Định nghĩa. Ví dụ Trong phần cuối chương trước chúng ta đã đi đến một sự kiện là tập nghiệm của một hệ phương trình hàm có thể xem như là một đa tạp mà mỗi điểm đều có một lân cận mở vi phôi với Rn. Điều này dẫn đến một khái niệm tổng quát là đa tạp, đối tượng nghiên cứu của hình học vi phân. Định nghĩa 7.1.1 Giả sử M là một không gian tổng Hausdorff khả lị. Nếu trên M có tồn tại một phủ mở bởi các tập mở Uα,α ∈ I và với mỗiα ∈ I tồn tại một vi phôi ϕα : Rn → Uα. Ta nói mỗi Uα ,ϕα là một bản đồ toạ độ địa phương. Ảnh của một hệ toạ độ Đề-các (Cartesian), là một hệ các đường cong có tiếp tuyến trực giao, được gọi là hệ toạ độ địa phương và kí hiệu đơn giản là (x1, … , xn). Giả sử các bản đồ địa phương tương thích với nhau theo nghĩa sau: Với mọi điểm trên phần giao Uα ∩ Uβ mọi ánh xạ là khả vi (trơn). Khi đó ta nói rằng tập bản đồ lập thành một tập bản đồ khả vi (trơn) . Hai tập bản đồ trơn được coi là tương đương nhau nếu hợp của chúng lại là một tập bản đồ trơn. Một lớp tương đương của một tập bản đồ trơn được gọi là một cấu trúc trơn. Một không gian tổng M cùng với một cấu trúc trơn được gọi là một đa tạp khả vi (trơn) . Nhận xét 7.1.2 Khái niệm về cấu trúc trơn cho ta một định nghĩa rất cấu trúc cho khái niệm đa tạp. Rất tiếc là khái niệm đã đưa đến những điều kịch tính không ngờ tới. Định lí 7.1.3 (Luận án Tiến sĩ của J. Milnor)1 Trên mặt cầu S7 Có đúng 28 cấu 1. J. Milnor là một nhà đại số rất lớn. Tuy nhiên ông ta đã bắt đầu sự nghiệp bằng luận án tuyệt vời về tổng học. Kết quả này thường được nhắc tới như một kì quan chiêm nghiệm toán học 70 trúc trơn không tương đương nhau. Kịch tính hơn nữa ta có thể kể tới một định lí phân loại cấu trúc trơn trên R4.1 Định lí 7.1.4 Trên Rn n ≠ 4 chỉ có duy nhất một cấu trúc trơn thông thường. Trên R4 có continuum các cấu trúc trơn không tương đương vi phôi với nhau. Lý do vì đâu có hiện tượng lạ kì đó? Toán học chưa có câu trả lời thật xác đáng ? 7.2 Ánh xạ trơn giữa các đa tạp Định nghĩa 7.2.1 Giả sử ta có một ánh xạ f : M → N giữa hai đa tạp khả vi (M, {(Uα ,ϕα)} α∈ I) và (N, {(Vβ ,ψ β)} β∈ J). Ta nói rằng ánh xạ là khả vi (trơn), nếu với mọi là các ánh xạ trơn. Nhận xét 7.2.2 Từ định nghĩa trên ta thấy, một ánh xạ là trơn khi và chỉ khi các hàm đổi tọa độ địa phương là các ánh xạ khả vi. Mệnh đề 7.2.3 Mỗi hệ toạ độ địa phương xác định một ánh xạ khả vi từ Rn vào đa tạp M. Chứng minh. Xem ánh xạ tọa độ như chính một ánh xạ giữa đa tạp Rn và M, khi đó mỗi hệ tọa độ địa phương đều có hàm chuyển là ánh xạ trơn cho nên chúng liên hệ với nhau một cách trơn. Định nghĩa véctơ tiếp xúc với đa tạp tại x ∈ M là các véctơ trong đó Giả sử ϕ: X → Y là một ánh xạ trơn giữa hai đa tạp x ∈ X, y = ϕ(x) ∈ Y. Nếu x(t) là một đường cong trong X đi qua điểm x, x(0) thì ϕ(x(t)) là đường cong trong Y, đi qua y . Do đó có véctơ tiếp xúc Tương ứng này xác định một đạo ánh 1. Một trong những người có đóng góp đáng kể và sáng giá nhất là Donaldson, làm được trong thời gian làm nghiên cứu sinh ở Oxford. Anh ta đã được giải thưởng Fields nhờ kết quả này 71 Đạo ánh là một ánh xạ tuyến tính, do vậy ánh xạ đối ngẫu cũng là một ánh xạ tuyến tính. Định lí 7.2.4 (Vi phôi địa phương) Các mệnh đề sau đây là tương đương nhau: 1. Ánh xạ ϕ: X → Y là một vi phôi địa phương (tức là một vi phôi trong một lân cận mở, dù là đủ bé.) 2. Đạo ánh Tx(ϕ): Tx →TyY là một đảng cấu. 3. Ánh xạ đối ngẫu T*x(ϕ): T*y Y →T*x X là một đẳng cấu. Chứng minh. Định lí ánh xạ ngược. 7.3 Phân thớ tiếp xúc, đối tiếp xúc 7.3.1 Không gian tiếp xúc. Phân thớ tiếp xúc Trong lân cận toạ độ của mỗi điểm x ∈ X trên đa tạp X, mọi không gian tiếp xúc Tx X là đẳng cấu tuyến tính với nhau. Bởi thế nên ta có thể xây dựng một đồng phôi tự nhiên như là các tập mở trong R2n Mệnh đề 7.3.1 Không gian có cấu trúc của một đa tạp trơn. Chứng minh. Giả sử {(Uα , ϕα)}α∈I là tập bản đồ địa phương, xác định cấu trúc đa tạp. Khi ta thay đổi toạ độ địa phương từ bản đồ (Uα , ϕα) sang bản đồ (Uβ , ϕβ), trên miền giao Uα ∩ Uβ ta có phép biến đổi toạ độ trơn giữa các toạ độ theo công thức đạo ánh của ánh xạ hợp: Nhận xét 7.3.2 Phép chiếu tự nhiên từ TX lên X cho tương ứng mỗi véctơ tiếp xúc với điểm gốc của nó cho ta một ánh xạ trơn giữa các đa tạp p : TX → X 72 Định nghĩa 7.3.3 Bộ ba (TX, p, X) được gọi là phân thớ tiếp xúc với đa tạp X. Mỗi ánh xạ trơn s : X → TX cho tương ứng với mỗi điểm x ∈ X một véctơ tiếp xúc ξ(x) ∈ Tx X tức là p o s = IdX được gọi là một trường véctơ trơn trên đa tạp X . Ví dụ. Giả sử điểm x có toạ độ địa phương là (x1, … , xn). Ta kí hiệu là ảnh của véctơ Chúng ta có quy tắc đổi biến theo đạo hàm cua hàm hợp: Nhận xét 7.3.4 Tại mỗi điểm của đa tạp, các trường véctơ là ảnh đẳng cấu của cơ sở trực chuẩn ei,i = Bởi vậy chúng độc lập tuyên tính. Một véctơ tiếp xúc bất kì được phân tích thành tổ hợp tuyên tính theo chúng. Chúng ta có dạng tổng quát của một trường véctơ viết trong toạ độ địa phương là Chúng ta kí hiệu không gian vào các trường véctơ trơn trên đa tạp X là Vect(X). 7.3.2 Không gian đối tiếp xúc. Phân thớ đối tiếp xúc Định nghĩa 7.3.5 Giả sử X là một đa tạp trơn, x ∈ X là một điểm tuỳ ý, Tx X là không gian tiếp xúc với đa tạp tại điểm x. Chúng ta kí hiệu T*x X = HomR(Tx X, R) là không gian đối ngẫu với không gian véctơ Tx X và gọi là không gian đối tiếp xúc . Nhận xét 7.3.6 Khái niệm không gian tiếp xúc không phụ thuộc vào việc chọn hệ toạ độ dài phương, tức là một khái niệm hình học. Do vậy không gian đối tiếp xúc cũng là một khái niệm hình học. Nhận xét 7.3.7 Trong một lân cận toạ độ địa phương của mỗi điểm x trên đa tạp, các không gian đối tiếp xúc là đẳng cấu với nhau và đẳng cấu tuyên tính với không gian Euclide n-chiều Rn Bởi thế nên chúng ta có đồng phôi như là các tập mở vi phôi trong R2n Mệnh đề 7.3.8 Không gian có cấu trúc đa tạp trơn. 73 Chứng minh. Giả sử {(Uα , ϕα)}α∈I là tập bản đồ địa phương, xác định cấu trúc đa tạp. Khi ta thay đổi hệ toạ độ địa phương từ bản đồ (Uα , ϕα) sang bản đồ (Uβ , ϕβ), thì trên phần giao của chúng, ta có phép biến đổi trơn giữa các toạ độ theo công thức vi phân của hàm hợp. Nhận xét 7.3.9 Phép chiêu tự nhiên từ T*X lên X cho tương ứng mỗi véctơ đôi tiếp xúc với điểm gốc của nó cho ta một ánh xạ trơn giữa các đa tạp p: T*X → X Định nghĩa 7.3.10 Bộ ba (T*X, p, X) được gọi là phân thớ đối tiếp xúc với đa tạp X. Mỗi ánh xạ trơn ω : X → T*X cho tương ứng với mỗi điểm x ∈ X một véctơ đối tiếp xúc ξ(x) ∈ Tx X tức là p o s = IdX được gọi là một dạng vi phân trơn trên đa tạp X. Ví dụ. Giả sử điểm x có toạ độ giạ phương là (x1, … , xn). Ta kí hiệu dxi là cơ sở trong T*x X đối ngẫu của cơ sở cơ trong Tx X. Chúng ta có quy tắc đổi biến theo vi phân của hàm hợp: 7.4 Đa tạp con. Đa tạp thương. 7.4.1 Điều kiện dìm và điều kiện ngập Định lí 7.4.1 (Điều kiện dìm) Giả sử ϕ: X → Y là một ánh xạ trơn giữa hai đa tạp, khi đó các điều kiện sau là tương đương nhau: 1. Tx(ϕ) : Tx X→ Ty Y là một đơn cấu. 2. Tồn tại một lân cận mở U chứa x trong X, một lân cận mở V chứa y trong Y, và một lân cận mở W chứa 0 trong Rn-m và một vi phôi ψ : V → U x W sao cho (a) ϕ(U) ⊂ V, (b) Sơ đồ sau đây là giao hoán 3. Tồn tại bản đồ địa phương Ũ với toạ độ x1, … , xn trong lân cận điểm x và toạ độ địa phương y1, … , ym trong lân cận điểm y = ϕ(x) sao cho 74 4. Tồn tại lân cận mở U của điểm x và lân cận V của điểm y, và một ánh xạ trơn σ : V → U sao cho ϕ(U) = V, σ ϕ = IdU .. Chứng minh. Chúng ta chứng minh định lí theo sơ đồ sau: (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (l) . Các mệnh đề (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1) là hiển nhiên. Bây giờ ta chứng minh (1) ⇒ (2) . Ta định nghĩa ϕ' : X x W → Y ∩ V → Rn theo công thức ϕ' (x, ω =ϕ(x) + ω trong đó V là một lân cận mở đủ nhỏ trong Y, W = Rn-m, T(x, ω)ϕ'=Tx x Id là đơn cấu theo (1) nên ϕ' là vi phôi địa phương. Vậy ψ = ϕ' -l chính là ánh xạ cần tìm. Định nghĩa 7.4.2 Ánh xạ thoả mãn một trong các điều kiện tương đương trên được gọi là ánh xạ chính qui. Định nghĩa 7.4.3 Đa tạp X ⊆ Y được gọi là đa tạp con trong Y, nên phép nhúng tự nhiên X→ Y là ánh xạ chính quy giữa hai đa tạp. Nhận xét 7.4.4 Đa tạp con X trong Y luôn là đóng địa phương trong Y . Định lí 7.4.5 (Điều kiện ngập) Giả sử ϕ: X → Y là một ánh xạ trơn giữa hai đa tạp, khi đó các điều kiện sau là tương đương nhau : 1. Txϕ ~ : TxX → TyY là một toàn cấu. 2. Tồn tại một lân cận mở U chứa x trong X, một lân cận mở V chứa y trong Y, và một lân cận mở W chứa 0 trong Rm-n và một vi phôi ψ : V → U x W sao cho (a) ϕ(V) ⊃ U (b) Sơ đồ sau đây là giao hoán 3. Tồn tại bản đồ địa phương Ũ với toạ độ x1, … , xn trong lân cận điểm x và toạ độ địa phương y1, … , ym trong lân cận điểm y = ϕ(x) sao cho 4. Tồn tại lân cận mở U của điểm x và lân cận V của điểm y và một ánh xạ trơn σ : V → U sao cho ϕ(U) = V, ϕ o σ = IdV .. Định nghĩa 7.4.6 Ánh xạ thoả mãn một trong các điều kiện tương đương trên 75 được gọi là ánh xạ đối chính qui hay phép ngập. Định nghĩa 7.4.7 Đa tạp Y ⊇ X được gọi là đa tạp thương của đa tạp X, nếu phép chiếu tự nhiên X→ Y là ánh xạ đối chính quy giữa hai đa tạp. 7.4.2 Cấu trúc vi phân cảm sinh Định lí 7.4.8 Giả sử X là một không gian tổng, Y là một đa tạp trơn, f : X→ Y là một ánh xạ liên tục. Khi đó hai mệnh đề sau là tương đương: 1 Trên X có thể xây dựng một cấu trúc vi phân (duy nhất) để f là một ánh xạ chính quy 2. Với mọi x ∈ X tồn tại lân cận mở U ⊆ Rm, ϕ(U) ⊆ X tồn tại tập mở V trong Rn. và bản đồ ψ : V→ Y trong Y sao cho : Chứng minh. (l) ⇒ (2) là hiển nhiên theo định nghĩa ánh xạ chính quy. (2) ⇒ (1) : Chọn một phủ mở {ϕα(Uα)} của X sao cho với mọi α tồn tại một bản đồ ψα : Rn →Vα ⊆ Y sao cho là đồng phôi, Nhận xét 7.4.9 Cấu trúc vi phân cảm sinh trên X để f trở thành ánh xạ chính quy, nên nó tồn tại, là duy nhất. 7.4.3 Định lí Godeman Giả sử X là một đa tạp trơn, R ⊆ X x Y là một quan hệ tương đương. Kí hiệu X/R là tập các lớp tương đương theo quan hệ R và kí hiệu p : X → X/R là phép chiếu tự nhiên. Trang bị cho X/R tôpô thương như sau: là mở khi và chỉ khi p-1(U) là mở trong X Nhận xét 7.4.10 Nếu trên X có cấu trúc đa tạp để phép chiếu p : X → X/R là đối chính quy thì cấu trúc đó là duy nhất. Định nghĩa 7.4.11 Cấu trúc đa tạp trơn trên X/R để phép chiếu p : X → X/R là đối chính quy được gọi là cấu trúc đa tạp thương của X theo quan hệ R. Sự tồn tại cấu trúc đa tạp thương như vậy dựa trên định lí sau đây. Định lí 7.4.12 (Định lí Godeman về đa tạp thương) X/R là đa tạp trơn khi và 76 chỉ khi R ⊆ X x Y là một đa tạp con và phép chiếu lên thành phần thứ hai pr2 : R→X là đối chính quy. Chúng ta bỏ qua chứng minh định lí này. 7.4.4 Ví dụ 1. Đồ thị của hàm y = sin(1/x) , 0 < x < 1 là đa tạp con trong R2 nhưng hợp của nó với đoạn giới hạn I = {(0, y); - 1 ≤ y ≤ 1} không là đa tạp con. 2. Trong mặt phẳng E2 ≈ R2 xét đường thẳng qua gốc toạ độ, nghiêng với trục hoành một góc vô tỉ α ∈ R \ Q. Ảnh của nó trong xuyến T2 = R/Z là một đường cong trù mật trên xuyến và không thể thoả mãn điều kiện chính qui. 3 . Mặt cầu có thể xem là không gian thương của nhóm các ma trân trực giao SO (n + 1, R) theo nhóm con gồm các ma trân trực giao bảo toàn một điểm trên mặt cầu, đẳng cấu với SO(n, R). Nhóm SO(n, R) cho ta một quan hệ tương đương đóng ứng với tổng mặt cầu. Cho nên mặt cầu trở thành một đa tạp, như đã biết. 7.5 Tôpô các đa tạp Một trong những bài toán thú vị là bài toán phân loại đa tạp. Các kết quả đẹp đẽ sau đây đã thu được: Định lí 7.5.1 Mỗi đa tạp 1 -chiều liên thông compắc đều vi phôi với [0, 1] ⊂ R1 , hoặc vòng tròn S1 . Các đa tạp không compắc thu được từ chúng bằng cách và bỏ một số điểm . Định lí 7.5.2 Mỗi đa tạp 2-chiều compắc không biến liên thông đều vi phôi với một trong các mặt thu được bằng cách gắn k mặt trụ, xoắn mỗi mặt một sôi vòng và gắn l lá Mobius, vào mặt cầu S2 được khoét đi 2k + l lỗ thủng. Các đa tạp không compắc thu được từ đó bằng cách bỏ đi một số điểm. Một vấn đề của toán học đương thời : Có hay không một cách làm tương tự cho các đa tạp 3-chiều? Bằng cách làm tương tư như trên với hình cầu và hình trụ, người ta cũng thu được đủ nhiều đa tạp 3 chiều. Nhưng rất tiếc là lý thuyết tông các đa tạp 3- chiều chỉ ra là lý thuyết còn xa mới tới một phân loại tương tự như trên. 7.6 Bài tập củng cố lý thuyết 1. Hãy viết tên của mình bằng các chữ cái IN HOA KHONG CHAN không dấu. 77 Có những chữ cái nào là đa tạp, đa tạp đóng, đa tạp có biên. 2. Mặt nón trong Rp+q không là đa tạp con. Vì sao? 3 . Hình hộp đóng không là đa tạp con trong Rn . Chứng minh. 4. Tích Tchikhonov của các đa tạp trơn, nói chung không là đa tạp trơn. Chứng minh. 5. Không gian là một đa tạp tìm số chiều Tìm không gian tiếp xúc với nó tại một điểm. 6. Tìm không gian tiếp xúc với mặt cầu tại một điểm và không gian tiếp xúc với lá Mobius tại một điểm. 7. Chứng minh rằng mặt trụ trong Rn là một đa tạp. Hãy tìm phân thớ tiếp xúc. 7.7 Sơ lược về hình học Riemann tổng quát Hình học Riemann được xem như lý thuyết đa tạp mà tại mỗi không gian tiếp xúc có một metric Euclid, tức là một dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương trên các không gian tiếp xúc. Với cấu trúc như vậy người ta nghiên cứu các bài toán tương tự như lí thuyết đường và lí thuyết mặt ở trên. Bài toán tìm các mặt tích phân có các không gian tiếp xúc cho trước là việc nghiên cứu các hệ vi phân tổng quát. Bài toán các mặt cực tiểu theo phiếm hàm thể tích là một trong những bài toán thú vị trong trường hợp nhiều chiều. Bài toán phân loại các đa tạp Riemann là bài toán rất khó Ví dụ đơn giản là nó chứa nhiều bài toán hóc búa như bài toán Poincaré: Đa tạp đơn liên đồng luân với mặt cầu có phải là đồng phôi với mặt cầu hay không. Đa tạp Riemann thường được dùng làm không gian ràng buộc của chuyển động. Mô hình chuyển động của các chất điểm xem như mô hình đường cong trên đa tạp Riemann. Mô hình gần đây nhất của các chuyển động có đối xứng trong là lý thuyết sợi dây (string theory), có mô hình là các mặt hai chiều trên đa tạp Riemann n chiều . 7.8 Sơ lược về hình học symplectie tổng quát Nếu trên các không gian tiếp xúc ta cho các tích vô hướng phản xứng không suy biến, ta có đối tượng mới la đa tạp symplectic. Hình học các đa tạp symplectic được nghiên cứu khá nhiều vì lí do ứng dụng của nó cho hình thức luận Hamilton cho các hệ 78 cơ học. Hình học symplectic được dùng làm không gian pha cho các hệ cơ học chuyển động. Trên thực tế mỗi chuyển động được đặc trưng bằng hai đại lượng : vị trí và xung lượng (khối lượng nhân với tốc độ) . Giữa các biến vi trí qi = xi và biến xung lượng pj= có các hệ thức không xác định theo mo óc Poisson Đó chính là các hệ thức xác định cấu trúc symplectic trên phân thớ đối tiếp xúc. 79 Câu hỏi ôn tập 1. Thuật khử Gauss-jordan và đa tạp tuyến tính 2. Phân loại đường bậc 2 trong mặt phẳng 3 . Phân loại mặt bậc 2 trong không gian 4. Đinh tí tổng quát về phân loại siêu mặt bậc 2 5 . Độ dài đường cong trong Rn . Đường trắc địa Bài toán biến phân cho đường trắc địa. 6. Mục tiêu trực chuẩn. Mục tiêu Frenet. Độ cong. Độ xoắn. Các định lí cơ bản. 7. Mục tiêu Darboux của đường cong trên mặt dìm. Dạng toàn phương cơ bản. 8 . Độ cong pháp dạng và độ cong trực đặc của đường cong trên mặt. 9. Phương chính và độ cong Gauss 10. Các định tí cơ bản của tí thuyết mặt dìm 11. Định lí ánh xạ ngược và định tí ánh xạ ẩn. 12. Đa tạp khả vi như tập nghiệm của hệ phương trình hàm. 13. Ví dụ đa tạp: Đĩa mở, Sn, Tn, lá Mobius, chai Klein, RPPn, CP2n-2 P 14. Đại số hàm C∞(M) : hàm trơn trên đa tạp . Định nghĩa đa tạp tổng quát: Bản đồ, tập bản đồ tương thích, cấu trúc trơn. 15 . ánh xạ giữa các đa tạp. Phân thớ tiếp xúc . Phân thớ đối tiếp xúc. 16. Điều kiên chính quy và đa tạp con. 17. Điều kiện đối chính quy và đa tạp thương 18. Đa tạp compắc định hướng 2 chiều Bài tập ôn tập • Các ví dụ trong bài, • Các bài tập củng cố lí thuyết. 80 Tài liệu tham khảo chính 1. M. Spivak, Giải tích trên đa tạp (Bản dịch tiếng Việt) , NXB ĐH & THCN, 1985. 2. H. Cartan, Phép tính vi phân. Dạng vi phân (Bản dịch tiếng Việt), NXB ĐH & THCN, 1981. 3. Nguyễn Thúc Hào, Hình học vi phân, NXB Giáo dục, 1968. 4. Đoàn Quỳnh, Hình học vi phân, NXB Giáo dục, 1989. 81 Chỉ số 1 -dạng vi phân 91 1 -dạng vi phân trơn 135 2-dạng vi phân 92 ánh xạ ẩn 118 ánh xạ chính qui 137 ánh xạ đối chính qui 138 ánh xạ khả vi 111 ánh xạ khả vi (trơn) 129 ánh xạ Weingarten 63 bản đồ toạ độ địa phương 123, 128 bó cấu trúc 121 các tính chất bó 120 các bản đồ tương thích với nhau 128 cấu trúc trơn 128 cơ sở trực chuẩn 105 công thức Meusnier 86 cung chính quy 37 dạng liên kết 79 dạng cơ bản I 67 dạng cơ bản II 67 đa tạp 121 đa tạp con 137 đa tạp khả vi (trơn) 128 đa tạp thương 139 đạo ánh 111, 131 đạo ánh theo hướng 112 đạo hàm riêng 111 đạo hàm thuận biến theo trường véctơ 75 điểm chính quy 37, 60 điểm cầu 66 điểm dẹt 66 điểm elliptic 66 điểm hyperbolic 66 điểm kì dị 60 điểm parabolic 66 điểm rốn 66 độ cong 43 82 độ cong chính 65, 87 độ cong Gauss 65 độ cong pháp dạng 85, 86 độ cong trung bình 65 độ đài cung 39 độ xoắn 44 đường cong chính quy 37 đường cong dìm 38 đường cong tham số hoá 36 đường độ cong 89 đường toạ độ 59 đường tiệm cận 88 đường trắc địa 39, 89 hệ quy chiếu Frenet 44 hệ toạ độ địa phương 128 hình cầu đóng 107 hình cầu mở 108 hình hộp đóng 108 hình hộp đóng-mở 108 hình hộp mở 108 ký hiệu Christoffel 71 không gian đối tiếp xúc 134 ma trận Jacobi 113 mảnh tham số hoá 59 mặt cầu 107 mặt dìm 62 mặt mật tiếp 44 mặt pháp diện 44 mặt trực đặc 44 nhóm tuyến tính tổng quát 15 nhóm biến đổi 110 pháp tuyến 61 pháp tuyến trong 85 phân thớ đối tiếp xúc 135 phép biến hình 110 phép biến hình 110 phương tiệm cận 88 phương trình cơ bản 80 phương trình cấu trúc 80 phương trình đối xứng 80 phương trình Gauss 81 phương trình Peterson-kodazi 81 phương trình Gauss 81 tập bản đồ khả vi (trơn) 128 ten sơ độ cong Riemman 76 ten sơ Ricci 78 tích vô hướng 104 tham số hoá tự nhiên 41 tham số hoá địa phương tham số hoá tương thích tôpô thương 140 véctơ pháp tuyến 43, 44, 61 véctơ trùng pháp tuyến 44 vi phân toàn phần 114 83 Mục lục Chương 1 Đường và mặt bậc hai ...............................................................................................5 1.1 Siêu phẳng afin .................................................................................................................5 1.1.1 Thuật khổ Gauss-jordan giải hệ phương trình tuyến tính..........................................5 1.1.2 Đa tạp tuyến tính và phương pháp toạ độ..................................................................5 1.1.3 Các phép biến đổi (tuyến tính) trong hình học ..........................................................6 1.2 Đường hác hai với phương trình chính tắc.......................................................................7 1.2.1 Ellipse ........................................................................................................................7 1.2.2 Hyperbola ..................................................................................................................7 1.2.3 Parabola .....................................................................................................................7 1.3 Đưa phương trình đường bậc hai trong mặt phẳng về dạng chính tắc .............................8 1.4 Phân loại siêu mặt bậc 2 trong không gian 3 chiều ..........................................................8 1.5 Đưa phương trình mặt bậc hai tổng quát về dạng chính tắc ...........................................12 1.6 Phân loại dời hình các đường bậc hai trong mặt phẳng Euclid ......................................14 l.7 Phân loại dời hình các mặt bậc hai trong không gian Euclid 3 chiều..............................14 1.8 Phương pháp toạ độ cong ...............................................................................................14 1.8.1 Các đường bậc 2 tham số hoá..................................................................................15 1.8.2 Các mặt bậc hai tham số hoá ...................................................................................16 1.9 Bài tập củng cố lý thuyết ................................................................................................16 Chương 2 Lý thuyết đường cong trong Rn ...............................................................................17 2.1 Cung tham số hoá và cung chính quy.............................................................................17 2.2 Độ dài đường cong trong Rn. Đường trắc địa .................................................................18 2.3 Mục tiêu trực chuẩn. Mục tiêu Frenet. Độ cong. Độ xoắn. ............................................20 2.4 Định lí cơ bản .................................................................................................................23 2.5 Bài tập củng cố lý thuyết ................................................................................................26 Chương 3 Đại số tensơ, đại số ngoài, tensơ đối xứng ..............................................................27 3.1 Tích ten sơ các không gian véctơ ...................................................................................27 3.3 Đại số tensơ ....................................................................................................................29 3.4 Đại số ngoài ....................................................................................................................30 Chương 4 Lý thuyết mặt cong trong R3....................................................................................31 4.1 Mảnh tham số hoá chính quy và mặt tham số hoá .........................................................31 4.2 Mục tiêu Darboux của đường cong trên mặt dìm...........................................................31 4.3 Dạng toàn phương cơ bản...............................................................................................32 4.4 Đạo hàm Weingarten và ký hiệu Christoffel ..................................................................37 4.5 Đạo hàm thuận biến........................................................................................................40 4.6 Độ cong Riemann ...........................................................................................................41 4.7 Các định lí cơ bản của tí thuyết mặt dìm........................................................................43 Chương 5 Đường cong trên mặt cong ......................................................................................46 5.1 Đường cong trên mặt ......................................................................................................46 5.2 Độ công pháp dạng và độ cong trắc địa của đường cong trên mặt.................................46 5.3 Phương chính và độ cong Gauss ....................................................................................48 5.4 Một Số tính chất đặc trưng của đường trên mặt cong ....................................................49 5.5 Định lí Gauss - Bonnet ...................................................................................................50 5.6 Bài tập củng cố lý thuyết ................................................................................................55 Chương 6 Định lí ánh xạ ngược và Định lí ánh xạ ẩn ..............................................................57 6.1 Định nghĩa đạo ánh và các tính chất cơ bản ...................................................................57 6.2 Đạo hàm riêng và vi phân...............................................................................................61 6.3 Định lí hàm (ánh xạ) ngược............................................................................................65 6.4 Định lí hàm (ánh xạ) ẩn ..................................................................................................66 6.5 Bó các hàm trơn..............................................................................................................67 84 6.6 Bài tập củng cố lý thuyết ................................................................................................69 Chương 7 Đa tạp khả vi............................................................................................................70 7.1 Định nghĩa. Ví dụ ...........................................................................................................70 7.2 Ánh xạ trơn giữa các đa tạp............................................................................................71 7.3 Phân thớ tiếp xúc, đối tiếp xúc .......................................................................................72 7.3.1 Không gian tiếp xúc. Phân thớ tiếp xúc...................................................................72 7.3.2 Không gian đối tiếp xúc. Phân thớ đối tiếp xúc ......................................................73 7.4 Đa tạp con. Đa tạp thương. .............................................................................................74 7.4.1 Điều kiện dìm và điều kiện ngập.............................................................................74 7.4.3 Định lí Godeman .....................................................................................................76 7.4.4 Ví dụ ........................................................................................................................77 7.5 Tôpô các đa tạp...............................................................................................................77 7.6 Bài tập củng cố lý thuyết ................................................................................................77 7.7 Sơ lược về hình học Riemann tổng quát.........................................................................78 7.8 Sơ lược về hình học symplectie tổng quát......................................................................78 Câu hỏi ôn tập...........................................................................................................................80 Tài liệu tham khảo chính ..........................................................................................................81 Chỉ số........................................................................................................................................82 85