Giáo trình Kinh tế lượng 1 - Bài 3: Mô hình hồi quy bội

v1.0015108225 BÀI 3 MÔ HÌNH HỒI QUY BỘI ThS. Hoàng Bích Phương Trường Đại học Kinh tế Quốc dân 1 v1.0015108225 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG Khi phân tích những nguyên nhân dẫn đến sự thay đổi của chi tiêu trong một năm của hộ gia đình (số liệu mẫu là 100 hộ gia đình – VHLSS), nếu chỉ quan tâm đến thu nhập là nguyên nhân chính thì chưa đủ vì còn nhiều yếu tố khác cũng ảnh hưởng đáng kể đến chi tiêu. Do đó để tăng tỷ lệ giải thích cho sự thay đổi của chi tiêu (CT), ngoài thu nhập (TN) ta có thể thêm các biến độc lập khác như số người trong hộ (SN), tuổi chủ hộ (TCH) Mô hình hồi quy bội giản lược nhất trong tình huống này là mô hình với hai biến độc lập là thu nhập và số người trong hộ. 1. Phải chăng khi thu nhập tăng lên thì chi tiêu cũng tăng trong điều kiện số nhân khẩu trong hộ không đổi? 2. Có thể nói rằng việc có thêm người sẽ khiến chi tiêu của hộ tăng lên với mức thu nhập vẫn như trước? 3. Bao nhiêu phần trăm sự thay đổi của chi tiêu được giải thích bởi hai yếu tố thu nhập và số người? 2 v1.0015108225 MỤC TIÊU • Hiểu rõ sự cần thiết của mô hình hồi quy bội trong phân tích thực tế. • Định dạng được cấu trúc mô hình hồi quy bội (bao gồm các biến và hệ số hồi quy). • Hiểu và phân tích được ý nghĩa của các hệ số hồi quy trong mô hình. • Biết sử dụng phương pháp ước lượng OLS để tìm hàm hồi quy mẫu. • Nắm được các giả thiết của mô hình và tiêu chí đánh giá độ tin cậy của các ước lượng hệ số. • Biết cách tính và ý nghĩa của hệ số xác định bội trong mô hình. • Biết sử dụng các thông tin từ mẫu để dự báo điểm giá trị của biến phụ thuộc. 3 v1.0015108225 NỘI DUNG Mô hình hồi quy k biến Phương pháp bình phương nhỏ nhất Hệ số xác định bội Một số ví dụ minh họa trong phân tích kinh tế - xã hội 4 v1.0015108225 1. MÔ HÌNH HỒI QUY K BIẾN 1.2. Các giả thiết của mô hình 1.1. Giới thiệu mô hình 1.3. Ý nghĩa của các hệ số hồi quy 5 v1.0015108225 1.1. GIỚI THIỆU MÔ HÌNH • Mô hình hồi quy k biến (hồi quy bội) với k > 2, trong đó: biến phụ thuộc Y phụ thuộc vào (k – 1) biến độc lập X2,, Xk có dạng như sau:  Hàm hồi quy tổng thể (PRF) : E(Y| X2,..., Xk) = 1 + 2 X2 + + kXk  Mô hình hồi quy tổng thể (PRM): Y = 1 + 2 X2 + + kXk + u • Trong mô hình vẫn tồn tại sai số ngẫu nhiên u đại diện cho các yếu tố khác ngoài các biến Xj ( j = 2,3,..,k) có tác động đến Y nhưng không đưa vào mô hình như là biến số. Với mẫu ngẫu nhiên n quan sá, ta có hàm hồi quy mẫu như sau: Hoặc Với ei là phần dư tại quan sát I, được tính bởi công thức sau:     1 2 2 ...i i k kiY X X         1 2 2 ...i i k ki iY X X e        i i ie Y Y  6 v1.0015108225 1.2. CÁC GIẢ THIẾT CỦA MÔ HÌNH • Giả thiết 1: Việc ước lượng được dựa trên cơ sở mẫu ngẫu nhiên. • Giả thiết 2: Kỳ vọng của sai số ngẫu nhiên tại mỗi giá trị (X2i,,, Xki) bằng 0: E(u| X2i,, Xki) = 0 • Giả thiết 3: Phương sai của sai số ngẫu nhiên tại các giá trị (X2i,,, Xki) đều bằng nhau: Var(u| X2i,, Xki) = σ2 • Giả thiết 4: Giữa các biến độc lập Xj không có quan hệ cộng tuyến hoàn hảo, nghĩa là không tồn tại hằng số λ2,..., λk không đồng thời bằng 0 sao cho: λ 2 X2 + + λ kXk = 0 7 v1.0015108225 1.3. Ý NGHĨA CÁC HỆ SỐ HỒI QUY Xuất phát từ hàm hồi quy tổng thể: E(Y| X2,, Xk) = 1 + 2 X2 + + kXk • Hệ số 1: Bằng giá trị trung bình của biến phụ thuộc Y khi các biến độc lập trong mô hình nhận giá trị bằng 0. Tuy nhiên, trong thực tế, hệ số này ít được quan tâm. • Các hệ số góc j (j = 2,3,..,k): Thể hiện tác động riêng của biến Xj lên giá trị trung bình của biến phụ thuộc (còn được gọi là hệ số hồi quy riêng). Cụ thể, khi Xj tăng hoặc giảm 1 đơn vị, trong điều kiện các biến độc lập khác không đổi, thì Y trung bình sẽ thay đổi j đơn vị. • Đặc biệt:  Hệ số j > 0: Y và Xj là thuận chiều, nghĩa là Xj tăng (hoặc giảm) thì Y cũng sẽ tăng (hoặc giảm).  Hệ số j < 0: Y và Xj là ngược chiều, nghĩa là khi Xj tăng (hoặc giảm) thì Y sẽ giảm (hoặc tăng).  Hệ số j = 0: Y và Xj không có tương quan với nhau, cụ thể là Y có thể không phụ thuộc vào Xj hay là Xj không thực sự ảnh hưởng tới Y. 8 v1.0015108225 VÍ DỤ 1 • Khi phân tích tác động của lượng phân bón hữu cơ và lượng phân bón vô cơ lên năng suất lúa, ta có thể xây dựng mô hình như sau: NS = 1 + 2 HC + 3VC + u • Trong đó NS là năng suất lúa/ha là biến phụ thuộc, các biến độc lập : HC là lượng phân bón hữu cơ/ha, VC là lượng phân bón vô cơ/ha • Kết quả ước lượng mô hình với số liệu của 30 vùng chuyên canh nông nghiệp như sau: Giải thích về mối quan hệ giữa các biến như sau: • Khi không sử dụng phân bón cả hai loại hữu cơ và vô cơ (biến HC = VC = 0), năng suất lúa/ha trung bình đạt 1,5 đơn vị. • Nếu lượng phân bón hữu cơ tăng (giảm) 1 đơn vị và mức phân bón vô cơ không thay đổi thì năng suất lúa/ha trung bình sẽ tăng (giảm) 0,35 đơn vị. • Nếu lượng phân bón vô cơ tăng (giảm) 1 đơn vị và mức phân bón hữu cơ không thay đổi thì năng suất lúa/ha trung bình sẽ tăng (giảm) 0,12 đơn vị.  1,5 0,35 0,12NS HC VC   9 v1.0015108225 2. PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG NHỎ NHẤT (OLS) 2.2. Tính chất tốt nhất của ước lượng OLS – Định lý Gauss - Markov 2.1. Mô tả phương pháp 10 v1.0015108225 2.1. MÔ TẢ PHƯƠNG PHÁP • Xét mô hình k biến: Y = 1 + 2 X2 + + kXk + u • Mẫu có n quan sát, tại mỗi quan sát i, hàm hồi quy mẫu được viết thành: • Tương tự như mô hình hồi quy hai biến, phương pháp OLS nhằm xác định các giá trị sao cho tổng bình phương các phần dư là nhỏ nhất. • Hàm mục tiêu: • Khi đó là nghiệm của hệ phương trình sau:    1 2 2 ...i i k ki iY X X e       ( 1,2,..., )j j k 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ( ) ( ... ) ( , ,..., ) n n n i i i i i k ki k i i i e Y Y Y X X f Min                    1 2 1 2 2 11 1 2 2 1 2 2 12 1 2 1 2 2 1 ˆ ˆ ˆ( , ,..., ) ˆ ˆ ˆ2 ( ... ) 0 ˆ ˆ ˆ ˆ( , ,..., ) ˆ ˆ ˆ2 ( ... ) 0 ˆ ..................... ˆ ˆ ˆ( , ,..., ) ˆ ˆ ˆ2 ( ... ) ˆ n k i i k ki i n k i i i k ki i k ki i i k ki ik f Y X X f X Y X X f X Y X X                                               0 n    ( 1,2,..., )j j k  11 v1.0015108225 2.2. TÍNH CHẤT TỐT NHẤT CỦA ƯỚC LƯỢNG OLS – ĐỊNH LÝ GAUSS - MARKOV • Định lý Gauss – Markov: Khi các giả thiết từ 1 đến 4 thỏa mãn thì các ước lượng thu được từ phương pháp OLS là ước lượng tuyến tính, không chệch và có phương sai nhỏ nhất trong lớp các ước lượng tuyến tính không chệch. • Hay nói một cách khác, nếu giả thiết từ 1 đến 4 được thỏa mãn thì ước lượng OLS là ước lượng tốt nhất trong lớp các ước lượng tuyến tính không chệch. • Để đánh giá độ chính xác của các ước lượng ta sử dụng giá trị phương sai của các ước lượng hệ số. Rj2 là hệ số xác định của mô hình hồi quy Xj theo hệ số chặn và các biến độc lập còn lại trong mô hình. • Trong thực tế, ta có thể đánh giá độ chính xác của các ước lượng hệ số bằng sai số chuẩn (độ lệch chuẩn).  2 2 1 n i i e n k     ji ji jx X X      2 2 2 1 ar 1 j n j ji i V R x σβ        arj jSe Vβ β 12 v1.0015108225 VÍ DỤ 2 Cho mô hình hàm cầu về sản phẩm tủ lạnh nhãn hiệu HITACHI: • Q: số tủ lạnh HITACHI bán trong 1 tháng của các cơ sở (đơn vị tính: 10 chiếc). • PH: Giá 1 chiếc tủ lạnh HITACHI (đơn vị tính: trăm nghìn đồng). • PS: Giá 1 chiếc tủ lạnh SANYO (đơn vị tính: trăm nghìn đồng). Mẫu lựa chọn là 52 đại lý bán sản phẩm ở Việt Nam. 13 v1.0015108225 VÍ DỤ 2 • Mô hình hồi quy: Q = 1 + 2 PH + 3 PS + u • Kết quả ước lượng: Hệ số chặn = 250,8222, độ lệch chuẩn Se( ) = 9,088676 Hệ số góc = -1,579476, độ lệch chuẩn Se( ) = 2,786193 Hệ số góc = 2,118829, độ lệch chuẩn Se( ) = 2,730654  1 2  3  1  2  3 14 v1.0015108225 3. HỆ SỐ XÁC ĐỊNH BỘI 3.2. Ý nghĩa của hệ số xác định bội 3.1. Cách tính hệ số xác định bội 15 v1.0015108225 3.1. CÁCH TÍNH HỆ SỐ XÁC ĐỊNH BỘI        2 2 1 1 22 1 1 2 2 1 1 ES n n i i i i n n ii i i n n i i i i i TSS y Y Y S y Y Y RSS e Y Y                      2 ES 1 S RSSR TSS TSS    16 v1.0015108225 3.2. Ý NGHĨA CỦA HỆ SỐ XÁC ĐỊNH BỘI Với mô hình hồi quy k biến, R2 có ý nghĩa như sau: • R2 bằng phần trăm sự thay đổi của biến phụ thuộc được giải thích bởi các biến độc lập trong mô hình. • R2 thể hiện mức độ tương quan tuyến tính giữa biến phụ thuộc với các biến độc lập. Ví dụ: Cho kết quả hồi quy sau, với Q là lượng bán, P là giá bán, AD là chi phí quảng cáo. Mẫu có n = 20 quan sát. Hệ số xác định bội R2 = 0,739941 = 73,9941% cho biết có tới 73,9941% sự thay đổi của lượng bán Q được giải thích bởi hai nguyên nhân là giá P và chi phí quảng cáo AD. 17 v1.0015108225 4. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ - Xà HỘI • Vấn đề 1: Phân tích mối quan hệ kinh tế ở cấp độ vĩ mô. • Vấn đề 2: Phân tích mối quan hệ kinh tế ở cấp độ vi mô (phân tích hành vi của người sản xuất và người tiêu dùng). Ví dụ: Sử dụng kết quả của ví dụ 2: Q: Số tủ lạnh HITACHI bán trong 1 tháng của các cơ sở (đơn vị tính: 10 chiếc). PH: Giá 1 chiếc tủ lạnh HITACHI (đơn vị tính: trăm nghìn đồng). PS: Giá 1 chiếc tủ lạnh SANYO (đơn vị tính: trăm nghìn đồng). 18 v1.0015108225 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG 19 • Có thể nói rằng việc có thêm người sẽ khiến chi tiêu của hộ tăng lên với mức thu nhập vẫn như trước? Với số liệu mẫu trên, có hệ số βଷ෢ = 15,432 > 0 cho thấy SN và CT biến động cùng chiều, nghĩa là khi hộ có thêm người thì chi tiêu cũng tăng khi thu nhập không thay đổi. Cụ thể là nếu hộ có them 1 người thì mức chi tiêu trung bình sẽ tăng 15,432 đơn vị. • Bao nhiêu phần trăm sự thay đổi của chi tiêu được giải thích bởi hai yếu tố thu nhập và số người? • Hệ số xác định bội R2 = 0,82 cho biết 82% sự thay đổi của chi tiêu được giải thích bởi hai nguyên nhân là thu nhập và số nhân khẩu của hộ. v1.0015108225 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1 Cho mô hình Lạm phát (P) phụ thuộc vào cung tiền thực tế (M) và tổng sản phẩm quốc nội (GDP) với kết quả ước lượng như sau: ܲ ൌ 0,5 ൅ 0,01ܯ െ 0,12ܩܦܲ Theo kết quả này, nếu cung tiền tăng 1 đơn vị, GDP không đổi thì lạm phát trung bình sẽ tăng: A. 0,5 đơn vị. B. 0,01 đơn vị. C. 0,12 đơn vị. D. 0,11 đơn vị. Trả lời: • Đáp án: B. 0,01 đơn vị. • Giải thích: Vì đây là giá trị của ước lượng hệ số gắn với biến cung tiền M, nó phản ánh khi M tăng 1 đơn vị thì lạm phát trung bình sẽ tăng bao nhiêu đơn vị. 20 v1.0015108225 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 2 Hệ số xác định bội R2 sẽ nhận giá trị thỏa mãn điều kiện nào? A. R2 < -1 B. -1 ≤ R2 ≤ 0 C. 0 ≤ R2 ≤1 D. R2 > 1 Trả lời: • Đáp án: C. 0 ≤ R2 ≤1 • Giải thích: Hệ số R2 = ESS/TSS, cả ESS và TSS đều dương, ESS < TSS nên giá trị hệ số xác định sẽ đi từ 0 đến 1 21 v1.0015108225 BÀI TẬP 1. Viết mô hình hồi quy tổng thể và hàm hồi quy mẫu. 2. Với số liệu mẫu trên, nếu giá tủ lạnh HITACHI tăng 1 trăm nghìn đồng (giá PS không đổi) thì doanh số của các đại lý sẽ tăng hay giảm và mức độ bao nhiêu? 3. Với số liệu mẫu, có người cho rằng việc giá sản phẩm cạnh tranh PS (tủ lạnh SANYO) tăng sẽ là khiến cho số lượng tủ lạnh HITACHI bán được nhiều hơn. Hãy giải thích điều này. 4. Theo kết quả mẫu, nếu giá của cả hai sản phẩm cùng tăng them 1 trăm nghìn đồng thì số lượng tủ lạnh HITACHI bán ra thay đổi như thế nào? 5. Hệ số xác định bội bằng bao nhiêu? Ý nghĩa của con số này là gì? 6. Dự báo ước lượng điểm của số lượng tủ lạnh HITACHI bán ra nếu giá một chiếc tủ HITACHI là 5 triệu đồng và giá tủ lạnh SANYO là 6 triệu đồng. 22 v1.0015108225 BÀI TẬP 23 1. Mô hình hồi quy tổng thể: Q = 1 + 2 PH + 3 PS + u Hàm hồi quy mẫu: 2. Với số liệu mẫu, khi giá tủ lạnh HITACHI tăng lên 1 trăm nghìn đồng thì doanh số bán sản phẩm này sẽ giảm (do = -1,579496 < 0), và cụ thể sẽ giảm trung bình xấp xỉ 15,79 chiếc. 3. Với số liệu mẫu, do = 2,118829 > 0 nên khi giá tủ lạnh SANYO tăng lên thì số lượng tủ lạnh SANYO bán được sẽ giảm đi và người tiêu dùng chuyển sang mua tủ lạnh HITACHI nên số lượng tủ HITACHI bán được nhiều hơn. 4. Theo kết quả mẫu, nếu cả hai mức giá PH và PS cùng tăng thêm 1 trăm nghìn đồng thì số lượng tủ lạnh HITACHI sẽ tăng: (-1,579476 + 2,118829) = 0,539353 (đơn vị) tương đương với xấp xỉ 5,4 chiếc.  2  3  250,8222 1,579496 2,118829Q PH PS     v1.0015108225 BÀI TẬP 24 5. Hệ số xác định bội R2 = 0,814906. Hệ số này cho biết 81,4906% sự thay đổi của số lượng tủ lạnh HITACH bán ra của hệ thống siêu thị được giải thích bởi hai nguyên nhân là giá của chính tủ lạnh HTACHI và giá của sản phẩm cạnh tranh là tủ lạnh SANYO. 6. Nếu giá một chiếc tủ HITACHI là 5 triệu đồng (50 đơn vị) và giá tủ lạnh SANYO là 6 triệu đồng (60 đơn vị) thì dự báo số lượng tủ lạnh HITACHI mà hệ thống đại lý của siêu thị Nguyễn Kim sẽ bán ra trong một tháng là:  50, 60 250,8222 1,579496 50 2,118829 60 298,9771PH PSQ         v1.0015108225 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI • Trong thực tế, có rất nhiều nguyên nhân khiến cho một đại lượng kinh tế thay đổi. Do đó, việc xây dựng mô hình hồi quy bội với nhiều biến độc lập là cần thiết. • Mô hình hồi quy bội tổng quát k biến: với 1 biến phụ thuộc và k-1 biến độc lập. Mặc dù có nhiều biến độc lập nhưng trong mô hình vẫn có u là sai số ngẫu nhiên. • Có 4 giả thiết đưa ra với mô hình (giả thiết 1-3 giống mô hình hai biến, giả thiết 4 về việc không có quan hệ cộng tuyến hoàn hảo giữa các biến độc lập được áp dụng cho mô hình hồi quy bội). • Các hệ số góc (hệ số hồi quy riêng) trong mô hình sẽ cho phép đánh giá tác động riêng của từng biến độc lập tới biến phụ thuộc trong điều kiện các biến khác không đổi. • Phương pháp ước lượng mô hình là phương pháp bình phương nhỏ nhất (OLS). Định lý Gauss – Markov được xem như là cơ sở cho việc sử dụng các kết quả ước lượng từ OLS. • Có thể đánh giá độ chính xác của các ước lượng hệ số hồi quy qua phương sai và độ lệch chuẩn (sai số chuẩn). • Sử dụng hệ số xác định bội để phân tích độ phù hợp của hàm hồi quy. • Mô hình hồi quy bội có thể áp dụng trong rất nhiều tình huống kinh tế - xã hội khác nhau. 25