Giáo trình Lý thuyết bậc topo trên đa tạp compact định hướng được

LYÙ THUYEÁT BAÄC TOÂPOÂ TREÂN ÑA TAÏP COMPACT ÑÒNH HÖÔÙNG ÑÖÔÏC Nguyeãn Quoác Höng - Phan Hoà Anh Thö - Voõ Nguyeãn Thuûy Tieân June 26, 2009 2 Muïc luïc 1 Moät soá kieán thöùc cô sôû 5 1.1 Khaùi nieäm vaø moät soá tính chaát veà ña taïp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Giaù trò chính qui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Ñònh lyù veà phaân loaïi ña taïp 1-chieàu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Pheùp ñoàng luaân vaø pheùp hôïp luaân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Ña taïp ñònh höôùng ñöôïc 11 2.1 Ñònh höôùng treân khoâng gian vectô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Ñònh höôùng treân ña taïp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Ñònh höôùng treân ña taïp tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 Ñònh höôùng treân bieân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Xaây döïng baäc toâpoâ treân ña taïp 21 3.1 Ñònh nghóa baäc toâpoâ treân ña taïp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Baäc toâpoâ baát bieán vôùi pheùp ñoàng luaân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3 Baäc toâpoâ baát bieán vôùi söï löïa choïn giaù trò chính qui . . . . . . . . . . . . . 26 3.4 Keát luaän . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4 ÖÙng duïng cuûa Baäc Topo treân ña taïp 29 3 4 MUÏC LUÏC PHAÀN 1 Moät soá kieán thöùc cô sôû 1.1 Khaùi nieäm vaø moät soá tính chaát veà ña taïp Meänh ñeà 1. Tích cuûa moät ña taïp khoâng coù bieân X vaø moät ña taïp coù bieân Y laø moät ña taïp coù bieân. Hôn nöõa: ∂(X × Y ) = X × ∂Y , dim(X × Y ) = dimX + dimY vaø T (X × Y )(x0,y0) = T (X)x0 × T (Y )y0 , vôùi moïi (x0, y0) ∈ X × Y . Chöùng minh Xeùt X laø ña taïp khoâng coù bieân m chieàu trong Rk, Y laø ña taïp coù bieân n chieàu trong Rl. (i) Chöùng minh X × Y laø ña taïp m+ n Laáy ñieåm (x0, y0) ∈ X × Y , ta chöùng minh (x0, y0) coù moät laân caän vi ñoàng phoâi vôùi taäp môû trong Hm+n Vì x0 ∈ X neân x0 coù laân caän Ux0 vi ñoàng phoâi vôùi taäp môû U 1ϕ(x0) trong R m qua aùnh xaï ϕ. ϕ : Ux0 → U 1 ϕ(x0) Vì y0 ∈ Y neân y0 coù laân caän Vy0 vi ñoàng phoâi vôùi taäp môû V 1ψ(y0) trong H n qua aùnh xaï ψ. ψ : Vy0 → V 1 ψ(y0) Maø: U1ϕ(x0) × V 1 ψ(y0) ⊂ Rm ×Hn = Hm+n neân (x0, y0) coù laân caän Ux0 × Vy0 vi ñoàng phoâi vôùi taäp môû U 1ϕ(x0) × V 1 ψ(y0) cuûa Hm+n qua aùnh xaï Φ = ϕ× ψ : Ux0 × Vy0 → U 1 ϕ(x0) × V 1ψ(y0) (x, y) 7→ (ϕ(x), ψ(y)) Roõ raøng ϕ× ψ laø vi ñoàng phoâi vôùi aùnh xaï ngöôïc laø Φ−1(x, y) = (ϕ−1(x), ψ−1(y)). Do ñoù,X × Y laø ña taïp m+ n (ii) ∂(X × Y ) = X × ∂Y Theo ñònh nghóa, ∂(X × Y ) laø caùc ñieåm töông öùng vôùi caùc ñieåm treân ∂Hm+n qua pheùp tham soá hoaù naøo ñoù. Nhö vaäy: 5 6 PHAÀN 1. MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CÔ SÔÛ ∂(X × Y ) = ⋃ (x0,y0)∈X×Y { (x, y) ∈ Ux0 × Vy0 | (ϕ(x), ψ(y)) ∈ [( U1ϕ(x0) × V 1 ψ(y0) ) ∩ ∂Hm+n ]} = ⋃ (x0,y0)∈X×Y { (x, y) ∈ Ux0 × Vy0 |ψ(y) ∈ V 1 ψ(y0) ∩ ∂Hn } = ⋃ x0∈X,y0∈Y { (x, y)|x ∈ Ux0, y ∈ Vy0 , ψ(y) ∈ V 1 ψ(y0) ∩ ∂Hn } (∗) = {(x, y)|x ∈ X, y ∈ ∂Y } = X × ∂Y Trong ñoù ta caàn chöùng toû ñaúng thöùc (*). Ta ñaõ bieát: ∂Y = ⋃ y0∈Y { y ∈ Vy0 |ψ(y) ∈ V 1 ψ(y0) ∩ ∂Hn } Ñaët A = ⋃ x0∈X,y0∈Y { (x, y)|x ∈ Ux0, y ∈ Vy0 , ψ(y) ∈ V 1 ψ(y0) ∩ ∂Hn } B = {(x, y)|x ∈ X, y ∈ ∂Y } Ta seõ chöùng minh A=B. Laáy (x, y) ∈ A nhö vaäy toàn taïi (x0, y0) ∈ X × Y sao cho x ∈ Ux0, y ∈ Vy0 , ψ(y) ∈ V 1ψ(y0) ∩ ∂H n. Suy ra x ∈ X vaø y ∈ ∂Y . Ngöôïc laïi, cho (x, y) ∈ B ta coù x ∈ Ux vaø y ∈ ⋃ y0∈Y { y ∈ Vy0 |ψ(y) ∈ V 1 ϕ(y0) ∩ ∂Hn } Vaäy toàn taïi y0 sao cho y ∈ Vy0 , ψ(y) ∈ V 1ψ(y0) ∩ ∂H n Ta suy ra (x, y) ∈ A. Toùm laïi ta coù ∂(X × Y ) = X × ∂Y (iii) T (X × Y )(x0,y0) = T (X)x0 × T (Y )y0 , vôùi moïi (x0, y0) ∈ X × Y Theo treân ta coù, T (X × Y )(x0,y0) = dΦ(ϕ(x0),ψ(y0))(H m+n) = ( dϕϕ(x0) 0 0 dψψ(x0) ) (Hm+n) = dϕϕ(x0)(R m)× dψψ(x0)(H n) = T (X)x0 × T (Y )y0  Chöùng minh hoaøn toaøn töông töï, ta coù keát quaû sau Meänh ñeà 2. Tích cuûa moät ña taïp coù bieân X vaø moät ña taïp khoâng coù bieân Y laø moät ña taïp coù bieân. Hôn nöõa: ∂(X × Y ) = ∂X × Y , dim(X × Y ) = dimX + dimY vaø T (X × Y )(x0,y0) = T (X)x0 × T (Y )y0 , vôùi moïi (x0, y0) ∈ X × Y . 1.2. GIAÙ TRÒ CHÍNH QUI 7 1.2 Giaù trò chính qui Meänh ñeà 3. Cho M, N laø caùc ña taïp khoâng coù bieân m chieàu. AÙnh xaï f : M → N laø haøm trôn vaø y laø giaù tròï chính quy cuûa f . Khi aáy {x ∈M : f(x) = y} = f−1(y) rôøi raïc. Ngoaøi ra neáu M laø compact thì f−1(y) höõu haïn Chöùng minh Ta giaû söû y ∈ f(M). Khi aáy f−1(y) 6= ∅ laáy x ∈ f−1(y), töùc laø x laø ñieåm chính quy. Khi ñoù, theo ñònh lyù haøm ngöôïc thì coù moät laän caän cuûa x maø f song aùnh. Do ñoù, f−1(y) rôøi raïc. Khi M laø compact, thì f−1(y) compact ( vì f−1(y) ñoùng trong M). Khi ñoù, neáu f−1(y) voâ haän giaù trò thì coù x0 ∈ f−1(y) laø ñieåm tuï, ñieàu naøy khoâng theå (vì f−1(y) rôøi raïc ). Do ñoù, f−1(y) höõu haïn.  Cho Y, Z laø ña taïp baát kyø ( coù bieân hoaëc khoâng coù bieân ) vaø dim(Y ) ≥ dim(Z). Cho f : Y → Z laø haøm trôn. Ta ñaët S(f) laø taäp hôïp caùc giaù trò chính qui cuûa f . Ñònh lyù 1 (Sard). S(f) truø maät trong Z Chöùng minh Chi tieát xem trong [2], Corollary, page 11.  1.3 Ñònh lyù veà phaân loaïi ña taïp 1-chieàu Ñònh lyù 2 (Phaân loaïi ña taïp 1-chieàu). Cho M laø ña taïp 1-chieàu lieân thoâng, chæ coù 4 khaû naêng xaûy ra: (i) neáu M laø ña taïp 1-chieàu compact, khoâng coù bieân thì vi ñoàng phoâi vôùi S1 (ii) neáu M laø ña taïp 1-chieàu compact, coù bieân thì vi ñoàng phoâi vôùi [0,1] (iii) neáu M laø ña taïp 1-chieàu khoâng compact, khoâng coù bieân thì vi ñoàng phoâi vôùi (0,1) (iv) coøn khoâng thì M laø ña taïp 1-chieàu khoâng compact, coù bieân luùc naøy M vi ñoàng phoâi vôùi (0,1] Chöùng minh Chi tieát xem trong "Topology from the Differentiable viewpoint" cuûa John W.Milnor ( page 55,56 & 57 )  Löu yù 1. Neáu M laø ña taïp baát kyø thì noù seõ laø hoäi nhöõng ña taïp lieân thoâng coù chieàu laø dim(M). Do ñoù,M laø ña taïp 1-chieàu baát kyø thì M seõ vi ñoàng phoâi T , trong ñoù T laø hoäi cuûa nhöõng S1, [0,1], [0,1), (0,1). 8 PHAÀN 1. MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CÔ SÔÛ 1.4 Pheùp ñoàng luaân vaø pheùp hôïp luaân Ñònh nghóa 1. (Pheùp ñoàng luaân) Cho X ⊂ Rk, Y ⊂ Rn vaø 2 aùnh xaï trôn f, g töø X vaøo Y. Ta noùi f vaø g laø 2 aùnh xaï ñoàng luaân ( kyù hieäu f ∼ g) neáu toàn taïi haøm trôn F: F : [0, 1] ×X → Y vaø F (0, x) = f(x), F (1, x) = g(x) vôùi moïi x ∈ X. Luùc ñoù, haøm F ñöôïc goïi laø moät pheùp ñoàng luaân giöõa f vaø g. Ñònh nghóa 2. (Pheùp hôïp luaân) Cho X ⊂ Rk, Y ⊂ Rn vaø hai vi ñoàng phoâi f, g töø X vaøo Y. Ta noùi f vaø g laø 2 aùnh xaï hôïp luaân neáu toàn taïi moät pheùp ñoàng luaân F : [0, 1]×X → Y giöõa f vaø g sao cho vôùi moïi t ∈ [0, 1], aùnh xaï x→ F (t, x) laø moät vi ñoàng phoâi töø X vaøo Y. Luùc ñoù, haøm F ñöôïc goïi laø moät pheùp hôïp luaân giöõa f vaø g. Meänh ñeà 4. Quan heä ñoàng luaân vaø quan heä hôïp luaân laø caùc quan heä töông ñöông treân taäp hôïp taát caû caùc aùnh xaï töø X vaøo Y. Chöùng minh 1/ Chöùng minh quan heä ñoàng luaân laø quan heä töông ñöông. Ta coù f ∼ f vì toàn taïi pheùp ñoàâng luaân F giöõa f vaø f laø: F : [0, 1] ×X → Y (t, x) 7→ f(x) Quan heä ñoàng luaân coù tính ñoái xöùng. Thaät vaäy, cho f ∼ g qua pheùp ñoàng luaân F . Khi ñoù, aùnh xaï G(t, x) = F (1− t, x) laø pheùp ñoàng luaân giöõa g vaø f. Cuoái cuøng ta chöùng minh quan heä ñoàng luaân coù tính baéc caàu. Cho f∼g qua pheùp ñoàng luaân F , g∼h qua pheùp ñoàng luaân G. Ta seõ tìm pheùp ñoàng luaân K giöõa f vaø h. Ñaët ϕ(x) = { e− 1 x neáu x > 0 0 neáu x ≤ 0. ψ(x) = ϕ(x− 1 3 ) ϕ(x− 1 3 ) + ϕ(2 3 − x) Khi ñoù ψ : R → [0, 1] laø haøm trôn vaø ψ(x) = { 0 neáu 0 ≤ t ≤ 1 3 1 neáu 2 3 ≤ t ≤ 1 1.4. PHEÙP ÑOÀNG LUAÂN VAØ PHEÙP HÔÏP LUAÂN 9 Ñaët: F1 : [0, 1 2 ]×X → Y F1(t, x) = F (ψ(2t), x) G1 : [ 1 2 , 1]×X → Y G1(t, x) = G(ψ(2t− 1), x) Khi ñoù F1, G1 laø caùc haøm trôn vaø: F1(t, x) =   f(x) neáu 0 ≤ t ≤ 1 6 g(x) neáu 1 3 ≤ t ≤ 1 2 G1(t, x) =   g(x) neáu 1 2 ≤ t ≤ 2 3 h(x) neáu 5 6 ≤ t ≤ 1 Baây giôø ñaët: K(t, x) =   F1(t, x) neáu 0 ≤ t ≤ 12 G1(t, x) neáu 12 ≤ t ≤ 1 Ta seõ chöùng minh K chính laø pheùp ñoàng luaân giöõa f vaø h. Roõ raøng K(0, x) = f(x) vaø K(1, x) = h(x) Vaán ñeà coøn laïi laø chöùng minh K trôn. Laáy (t0, x0) ∈ [0, 1] ×X . Ta seõ chöùng minh K trôn taïi (t0, x0) * Neáu (t0, x0) ∈ [0, 12)×X : ( coøn (t0, x0) ∈ ( 1 2 , 1] ×X laø töông töï ) Vì F1 trôn taïi (t0, x0) neân F1 coù moät môû roäng trôn F2, F2 xaùc ñònh treân moät taäp môû cuûa R×Rk chöùa (t0, x0) . Ta kyù hieäu taäp môû naøy laø (a, b)× U , vôùi U môû trong Rk , t0 ∈ (a, b) neân a < t0 < b . Ñaët c = min { 1 2 , b } , ta coù (a, c)× U laø taäp hôïp môû trong R×Rk chöùa (t0, x0) Khi aáy F2|((a,c)×U )∩([0,1]×X) = F1|((a,c)×U )∩([0,1]×X) = K Do ñoù , K trôn taïi (t0, x0). * Neáu (t0, x0) ∈ {12} ×X : Treân mieàn (1 3 , 2 3 ) × X ta coù K(t,x) = g(x). Vì g trôn treân X , ta suy ra K (t,x) trôn treân (1 3 , 2 3 )×X . Vaäy K trôn taïi (t0, x0) . Toùm laïi f ∼ h qua pheùp ñoàng luaân K. Vaäy quan heä ñoàng luaân laø moät quan heä töông ñöông. 2/ Chöùng minh quan heä hôïp luaân laø quan heä töông ñöông : deã thaáy  10 PHAÀN 1. MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CÔ SÔÛ Meänh ñeà 5. Cho h laø aùnh xaï trôn töø X vaøo Y, f vaø g laø caùc aùnh xaï trôn töø Y vaøo Z, neáu f ∼ g thì ta cuõng coù (f ◦ h) ∼ (g ◦ h) Chöùng minh Goïi F : [0, 1] × Y → Z laø pheùp ñoàng luaân giöõa f vaø g, khi ñoù G : [0, 1]×X → Z , G(t, x) = F (t, h(x)) chính laø pheùp ñoàng luaân giöõa (f ◦ h) vaø (g ◦ h) .  PHAÀN 2 Ña taïp ñònh höôùng ñöôïc 2.1 Ñònh höôùng treân khoâng gian vectô Tieáp theo, ta seõ laøm roõ khaùi nieäm ñònh höôùng treân ña taïp tích. Tröôùc heát, ta nhaéc laïi ñònh höôùng treân khoâng gian vectô vaø ñònh höôùng treân ña taïp. Cho V laø moät khoâng gian vectô höõu haïn chieàu, β vaø β ′ laø hai cô sôû cuûa V. Ta noùi β vaø β ′ cuøng ñònh höôùng neáu ma traän chuyeån cô sôû töø β sang β ′ coù ñònh thöùc döông. Ngöôïc laïi, ta noùi β vaø β ′ ngöôïc ñònh höôùng neáu ma traän chuyeån cô sôû töø β sang β ′ coù ñònh thöùc aâm. Nhö vaäy, quan heä " cuøng ñònh höôùng " laø moät quan heä töông ñöông treân taäp hôïp caùc cô sôû cuûa V vaø phaân hoaïch taäp hôïp naøy thaønh hai lôùp töông ñöông. Moät ñònh höôùng cho V laø moät caùch gaùn daáu (+1) cho caùc phaàn töû thuoäc moät lôùp töông ñöông vaø gaùn daáu (−1) cho caùc phaàn töû thuoäc lôùp coøn laïi. Nhö vaäy, khi V ñaõ ñöôïc ñònh höôùng thì moät cô sôû β baát kyø cuûa V seõ coù sign(β) = 1 hoaëc sign(β) = −1. Hôn nöõa, ñeå ñònh höôùng cho V, ta chæ caàn choïn moät cô sôû β naøo ñoù cuûa V vaø ñaët sign(β) = 1; sau ñoù, gaùn daáu 1 cho caùc cô sôû cuøng ñònh höôùng vôùi β , gaùn daáu laø −1 cho caùc cô sôû ngöôïc höôùng vôùi β . Xeùt V, W laø hai khoâng gian vector ñöôïc ñònh höôùng. Cho A : V → W laø moät ñaúng caáu. Khi ñoù,neáu β vaø β ′ cuøng thuoäc moät lôùp töông ñöông treân V thì 2 cô sôû , Aβ vaø Aβ ′ töông öùng cuõng thuoäc cuøng lôùp töông ñöông treân W. Nhö vaäy, vôùi moïi cô sôû β cuûa V, Aβ luoân luoân cuøng daáu hoaëc luoân luoân ngöôïc daáu vôùi β , ta noùi A baûo toaøn ñònh höôùng hoaëc ñaûo ngöôïc ñònh höôùng. Neáu A baûo toaøn ñònh höôùng, ñaët sign(A) = 1, neáu A ñaûo ngöôïc ñònh höôùng, ñaët sign(A) = −1. 2.2 Ñònh höôùng treân ña taïp Cho X laø moät ña taïp m chieàu ( coù bieân hoaëc khoâng coù bieân ) , ta nhaéc laïi ñònh nghóa ñònh höôùng treân ña taïp. Moät ñònh höôùng cuûa ña taïp X laø moät caùch löïa choïn ñònh höôùng cho taát caû caùc khoâng gian tieáp xuùc TXx (x thuoäc X ) sao cho : taïi moãi ñieåm x ∈ X , toàn taïi moät laân caän ñöôïc tham soá hoùa bôûi aùnh xaï ϕ : U → X vaø vôùi moïi u ∈ U , dϕu : Rm → TXϕ(u) mang ñònh höôùng döông cuûa Rm thaønh ñònh höôùng döông treân TXϕ(u) . Luùc ñoù ta goïi 11 12 PHAÀN 2. ÑA TAÏP ÑÒNH HÖÔÙNG ÑÖÔÏC ϕ laø tham soá hoùa baûo toaøn ñònh höôùng. Ña taïp X goïi laø "ñònh höôùng ñöôïc" neáu coù theå xaùc ñònh treân X moät ñònh höôùng nhö ñònh nghóa treân. 2.3 Ñònh höôùng treân ña taïp tích Baây giôø ta xeùt khaùi nieäm ñònh höôùng treân tích caùc ña taïp. Cho X laø ña taïp m chieàu, Y laø ña taïp n chieàu, moät trong hai ña taïp laø ña taïp coù bieân. Khi ñoù X × Y laø ña taïp m+ n chieàu coù bieân theo meänh ñeà 1 Hôn nöõa, qua caùch chöùng minh trong meänh ñeà 1, ta coù khoâng gian tieáp xuùc taïi ñieåm (x,y) laø: T (X × Y )(x,y) = TXx × TYy Neáu X vaø Y laø laø caùc ña taïp ñònh höôùng ñöôïc thì X × Y cuõng ñònh höôùng ñöôïc nhö sau: Cho α = (v1, ..., vm) laø cô sôû cuûa TXx , β = (w1, ..., wn) laø cô sôû cuûa TYy vaø kyù hieäu (α× 0, 0 × β) laø cô sôû {(v1, 0), ..., (vm, 0), (0, w1), ..., (0, wn)}cuûa T (X × Y )(x,y) . ta xaùc ñònh ñònh höôùng cho T (X × Y )(x,y) nhö sau: sign(α× 0, 0× β) = sign(α)sign(β) (2.1) Tröôùc heát ta chöùng minh raèng ñònh höôùng nhö treân khoâng phuï thuoäc vaøo vieäc choïn cô sôû α, β . Xeùt α1, β1 laø hai cô sôû khaùc cuûa X vaø Y , ta seõ chæ ra raèng sign(α × 0, 0 × β) = sign(α1 × 0, 0 × β1) khi vaø chæ khi ma traän chuyeån cô sôû töø (α × 0, 0 × β) sang (α1 × 0, 0 × β1) coù ñònh thöùc döông. Ñaët (α1 × 0, 0 × β1) = (a1 × 0, a2 × 0, ...am × 0, 0 × b1, ..., 0× bn) (α× 0, 0 × β) = (c1 × 0, c2 × 0..., cm × 0, 0× d1, ..., 0× dn) aj × 0 = γ1j(c1 × 0) + ...+ γmj(cm × 0) + δ1j(0 × d1) + ...+ δnj(0 × dn) (2.2) 0× bj = ξ1j(c1 × 0) + ...+ ξmj(cm × 0) + ε1j(0× d1) + ...+ εnj(0 × dn) (2.3) Nhö vaäy, ma traän chuyeån cöû töø (α× 0, 0 × β) sang (α1 × 0, 0× β1) laø : P = ( A B C D ) trong ñoù A, B, C, D laø caùc ma traän khoái: A = (γij)1≤i≤m,1≤j≤m B = (ξij)1≤i≤m,1≤j≤n C = (δij)1≤i≤n,1≤j≤m D = (εij)1≤i≤n,1≤j≤n 2.3. ÑÒNH HÖÔÙNG TREÂN ÑA TAÏP TÍCH 13 Hôn nöõa, do (2) , (3) ta coù aj = m∑ i=1 γijci, ∀j = 1..., m Suy ra ma traän chuyeån cô sôû töø α qua α1 laø A 0 = n∑ i=1 δijdi, ∀j = 1..., m Suy ra C = 0 vì caùc di , j = i, ..., n chính laø caùc vectô cuûa cô sôû β . 0 = m∑ i=1 ξijci, ∀j = 1..., n Suy ra B = 0 vì caùc ci laø caùc vectô cuûa cô sôû α bj = n∑ i=1 εijdi, ∀j = 1..., n Suy ra ma traän chuyeån cô sôû töø β qua β1 laø D . Töø ñoù ta coù: detP = detA.detD . Maët khaùc , sign(α× 0, 0× β) = sign(α1 × 0, 0× β1) khi vaø chæ khi sign(α)sign(β) = sign(α1)signn(β1) Ñieàu naøy töông ñöông :{ sign(α)sign(α1) > 0, sign(β)sign(β1) > 0 hoaëc sign(α)sign(α1) < 0, sign(β)sign(β1) < 0 töùc laø : { detA > 0, detD > 0 hoaëc detA < 0, detD < 0 hay det P > 0 Vaäy sign(α1 × 0, 0 × β1) = sign(α × 0, 0 × β) khi vaø chæ khi (a1 × 0, 0 × β1) vaø (α× 0, 0 × β) cuøng ñònh höôùng . Nhö vaäy caùch ñònh höôùng cho T (X × Y )(x,y) nhö (1) khoâng phuï thuoäc caùch choïn cô sôû α, β ; Tieáp theo ta caàn kieåm chöùng raèng caùch ñònh höôùng cho töøng khoâng gian tieáp xuùc nhö (1) thaät söï laø moät ñònh höôùng cho ña taïp X × Y . Thaät vaäy , qua quaù trình chöùng minh X × Y laø ña taïp , ta thaáy moãi ñieåm (x, y) ∈ X × Y coù moät tham soá hoùa laø : φ = ϕ× ψ : U × V → X × Y (u, v) → (ϕ(u), ψ(v)) φ (0, 0) = (x, y) 14 PHAÀN 2. ÑA TAÏP ÑÒNH HÖÔÙNG ÑÖÔÏC Trong ñoù ϕ : U → X laø tham soá hoùa baûo toaøn ñònh höôùng cuûa ña taïp X taïi x , ψ : V → Y laø tham soá hoùa baûo toaøn ñònh höôùng cuûa ña taïp Y taïi y , U ∈ Rm, V ∈ Rn. Xeùt (u,v) laø ñieåm baát kyø treân U × V , ta seõ chöùng minh dφ(u, v) : Rm+n → T (X × Y )(ϕ(u),ψ(v)) = TXϕ(u) × TYψ(v) baûo toaøn ñònh höôùng döông cuûa Rm+n . Goïi e = (e1, e2, ..., em) laø cô sôû chính taéc cuûa Rm f = (f1, f2, ..., fn) laø cô sôû chính taéc cuûa Rn Khi ñoù (e× 0, 0× f) laø cô sôû chính taéc cuûa Rm+n Goïi α laø aûnh cuûa cô sôû e qua aùnh xaï dϕ(u) , ta coù α cuõng laø moät cô sôû cuûa TXϕ(u), α = (dϕ(u)(e1), dϕ(u)(e2) . . . , (dϕ(u)(em)) . Töông töï β laø aûnh cuûa f qua dψ(v), β = (dψ(v)(f1), dψ(v)(f2) . . . , dψ(v)(fn)). Vì ϕ vaø ψ baûo toaøn ñònh höôùng neân sign(α) = 1, sign(β) = 1 Maët khaùc , vôùi (a,b) ∈ Rm ×Rn = Rm+n dφ(u, v)(a, b) = limt→0 φ((u, v) + t(a, b))− φ(u, v) t = limt→0 φ(u+ ta, v + tb)− φ(u, v) t = limt→0 ( ϕ(u+ ta)− ϕ(u) t , ψ(v + tb)− ψ(v) t ) = (dϕ(u)(a), dψ(v)(b)) Vaäy dφ(u, v)(ei, 0) = (dϕ(u)(ei), 0), i = 1, ..., m dφ(u, v)(0, fj) = (0, dψ(u)(fj)), j = 1, ..., n Ta suy ra aûnh cuûa cô sôû (e× 0, 0 × f) qua aùnh xaï dφ(u, v) laø (α × 0, 0 × β).Theo (1), sign(α × 0, 0 × β) = 1 . Vaäy dϕ(u, v) baûo toaøn ñònh höôùng döông cuûa Rm+n. 2.4 Ñònh höôùng treân bieân Baây giôø ta nhaéc laïi khaùi nieäm " ñònh höôùng treân bieân" cuûa moät ña taïp ñaõ ñöôïc ñònh höôùng . Giaû söû X laø moät ña taïp m chieàu ñaõ ñöôïc ñònh höôùng . khi ñoù, bieân cuûa X, kyù hieäu ∂X , laø ña taïp khoâng coù bieân (m-1) chieàu. Ñeå ñònh höôùng cho ∂X , ta seõ ñònh höôùng cho moãi khoâng gian tieáp xuùc T (∂X)x , vôùi x ∈ ∂X . Tröôùc heát ta caàn noùi roõ hôn veà 2.4. ÑÒNH HÖÔÙNG TREÂN BIEÂN 15 khoâng gian tieáp xuùc T (∂X)x . Goïi ϕ laø moät tham soá hoùa baûo toaøn ñònh höôùng cho laân caän V trong ña taïp X cuûa x . ϕ : U ⊂ Hm → V ⊂ X ϕ(0) = x Khi ñoù : dϕ : Rm → TXx Ngoaøi ra, ψ = ϕ |U∩(∂Hm) laø moät vi ñoàng phoâi töø U ∩ (∂Hm) vaøo laân caän V ∩ ∂X cuûa x Ñaët W = {(x1, ..., xm−1) ∈ Rm−1 | (x1, ..., xm−1, 0) ∈ U ∩ ∂Hm} Ta coù W môû trong Rm−1 vaø vi ñoàng phoâi vôùi U ∩ ∂Hm qua aùnh xaï: δ : W → U ∩ ∂Hm (x1, ..., xm−1) 7→ (x1, ..., xm−1, 0) Xeùt θ = ψ ◦ δ , khi ñoù θ : W → V ∩ ∂X vaø θ(0) = x , θ laø moät tham soá hoùa cho laân caän V ∩ ∂X treân ∂X cuûa x . Ñaïo haøm taïi 0 cuûa θ laø dθ0 : R m−1 → T (∂X)x Vôùi u ∈ Rm−1 , dθ0(u) = dψ0(dδ0(u)) = dψ0((u, 0)) Suy ra dθ0(Rm−1) = dϕ0(∂Hm). Theo ñònh nghóa khoâng gian tieáp xuùc ta coù : T (∂X)x = dθ0(R m−1) = dϕ0(∂H m) Khoâng gian T (∂X)x ñöôïc ñònh höôùng nhö sau: Goïi (b2, . . . , bm) laø cô sôû cuûa ∂Hm sao cho sign(−em, b2, . . . , bn) = 1 , vôùi em ∈ Rm, em = (0, . . . , 0, 1), ñònh höôùng treân R m laø ñònh höôùng döông thoâng thöôøng (standard positive), . Khi ñoù T (∂X)x ñöôïc ñònh höôùng baèng caùc ñaët sign(dϕ0(b2), . . . , dϕ0(bm)) = 1 , noùi caùch khaùc, neáu (b2, ..., bm) laø cô sôû baát kyø cuûa ∂Hm thì sign(dϕ0(b2), . . . , dϕ0(bm)) = sign(−em, b2, . . . , bm) trong ñoù keát quaû beân veá phaûi xaùc ñònh theo ñònh höôùng döông thoâng thöôøng treân Rm Kieåm tra chi tieát ta seõ thaáy ñònh höôùng treân bieân cuûa ña taïp ñöôïc ñònh nghóa toát , töùc laø caùch ñònh höôùng treân T (∂Xx) vöøa neâu khoâng phuï thuoäc vieäc choïn cô sôû (b2, . . . , bm), khoâng phuï thuoäc ∈ tham soá hoùa ϕ vaø ñònh höôùng treân moãi T (∂X)x nhö vaäy thaät söï laø moät ñònh höôùng cho caû ña taïp ∂X . Cho X laø ña taïp m (m ≥ 2) chieàu trong Rk . Khi ñoù M = [0, 1] ×X laø moät ña taïp (m+1) chieàu trong Rk+1 vôùi bieân laø X0 ∪X1 , trong ñoù X0 = {0} × X,X1 = {1} ×X . Ta thaáy X0 vaø X1 vi ñoàøng phoâi moät caùch töï nhieân vôùi X qua aùnh xaï: F : X → X0 x → (0, x) G : X → X1 x → (1, x) 16 PHAÀN 2. ÑA TAÏP ÑÒNH HÖÔÙNG ÑÖÔÏC Khi [0,1] vaø X ñöôïc ñònh höôùng, M X0 vaø X1 cuõng ñöôïc ñònh höôùng . Ta noùi X0 coù cuøng ñònh höôùng vôùi X neáu vôùi moïi x ∈ X , aùnh xaï dFx : TXx → TX0(0,x) baûo toaøn ñònh höôùng . X0 ñöôïc goïi laø traùi ñònh höôùng vôùi X neáu ∀x ∈ X , aùnh xaï dFx ñaûo ngöôïc ñònh höôùng . Caùch hieåu hoaøn toaøn töông töï khi ta noùi X1 cuøng hoaëc traùi ñònh höôùng vôùi X. Trong phaàn tieáp theo ta seõ chöùng minh raèng trong 2 ña taïp X0 vaø X1 , coù moät ña taïp cuøng ñònh höôùng vôùi X vaø moät ña taïp traùi ñònh höôùng vôùi X. Khoâng maát tính toång quaùt , ta xeùt [0,1] ñöôïc ñònh höôùng nhö sau: Vôùi moïi t ∈ [0, 1], khoâng gian tieáp xuùc taïi t chính laø R , ta ñònh höôùng cho khoâng gian tieáp xuùc naøy baèng caùch ñaët sign(1) = 1. Chöùng minh X0 traùi ñònh höôùng vôùi X Laáy x0 ∈ X baát kyø, ta seõ chöùng minh dFx0 ñaûo ngöôïc ñònh höôùng , Goïi ϕ laø tham soá hoùa baûo toaøn ñònh höôùng cho laân caän V cuûa x0 trong X : ϕ : U ⊂ Rm → V ⊂ X ϕ(0) = x0 Vôùi moïi u ∈ U , dϕu : R m → TXϕ(u) Laáy e = (e1, e2, ..., em) laø cô sôû chuaån taéc cuûa Rm. Ñaët: αu = (dϕu((−1)me1), dϕu(e2), ..., dϕu(em)). Do ϕ baûo toaøn ñònh höôùng, ta coù: sign(αu) = sign((−1) me1, e2, ..., em) = (−1) m (2.4) Laáy a ∈ (0, 1) , xeùt aùnh xaï: θ : [0, a)× U → [0, a)× V (t, u) → (t, ϕ(u)) Vôùi moïi (t,u)∈ [0,a)× U vaø h = (h1, h2, ..., hm+1) ∈ Rm+1, ta coù dθ(t,u)(h) = (h1, ϕu(h2, h3, ..., hm+1)) Γ : Rm × [0, a) → [0, a)× Rm (x1, x2, ..., xm, xm+1) 7→ (xm+1, (−1)mx1, x2, ..., xm) Khi ñoù, Γ−1([0, a)× U) coù daïng W × [0, a) , trong ñoù W = {(x1, ..., xm) | ((−1) mx1, x2, ..., xm) ∈ U} Vì U môû trong Rm , Ta coù W cuõng môû trong Rm , töø ñoù suy ra W × [0, a) môû trong ∂Hm+1 . Goïi δ laø aùnh xaï haïn cheá cuûa Γ treân W × [0, a) : δ : W × [0, a) → [0, a)× U 2.4. ÑÒNH HÖÔÙNG TREÂN BIEÂN 17 Vôùi moïi (w, s) ∈W × [0, a) dδ(w,s) : R m+1 → Rm+1 (u1, u2, ..., um, um+1) 7→ (um+1, (−1)mu1, u2, ..., um) Ñaët ψ = θ◦δ . Roõ raøng ψ laø vi ñoàng phoâi do θ vaø δ laø caùc vi ñoàng phoâi. ψ : W × [0, a) 7→ [0, a)× V . Vôùi moïi (w, s) ∈W × [0, a) , ñaët (t,u) = δ(w, s) khi ñoù (t, u) ∈ [0, a)× U , ta coù dψ(w,s) : R m+1 → TM(t,ϕ(u)) = T ([0, 1])t × TXϕ(u) Vôùi h = (h1, ..., hm+1) ∈ Rm+1 baát kyø, ta coù: dψ(w,s)(h) = dθ(t,u)(dδ(w,s)(h1, h2, ..., hm, hm+1)) = dθ(t,u)(hm+1, (−1) mh1, h2, ..., hm) Vaäy dψ(w,s)(h) = (hm+1, dϕu((−1) mh1, h2, ..., hm)) (2.5) Ta seõ chöùng minh ψ laø tham soá hoùa baûo toaøn ñònh höôùng cho laân caän [0, a)×V cuûa ñieåm (0, x0) treân ña taïp M . Nghóa laø, vôùi moïi (w, s) ∈ w×[0, a) , ta chæ ra raèng dψ(w,s) baûo toaøn ñònh höôùng . Xeùt cô sôû chuaån taéc cuûa Rm+1 : ((e1, 0), (e2, 0), ..., (em, 0), (0, ..., 0, 1)), ñaët β = (dψ(w,s)(e1, 0), dψ(w,s)(e2, 0), ..., dψ(w,s)(0, 0, ..., 0, 1)) ta chöùng minh sign(β) = 1 . Töø (2.5) suy ra: dψ(w,s)(e1, 0) = (0, dϕu((−1) me1)) dψ(w,s)(ei, 0) = (0, dϕu(ei)) i = 2, ..., m dψ(w,s)(0, ..., 0, 1) = (1, 0, ..., 0) Suy ra β = (0× αu, 1× 0) vôùi αu laø cô sôû cuûa TXϕ(u), 1 laø cô sôû cuûa T ([0, 1])t . Vì trong khoâng gian TM(t,ϕ(u)) = T ([0, 1])t× TXϕ(u) , cô sôû (0×αu, 1× 0) ñöôïc taïo thaønh baèng caùch dôøi vectô 1× 0 trong cô sôû (1× 0, 0 × αu) veà phía sau m laàn, ta coù: sign(β) = (−1)msign(1 × 0, 0× αu) Theo ñònh nghóa ñònh höôùng treân ña taïp tích vaø do (2.4) sign(β) = (−1)m sign(1).sign(αu) = (−1) 2m = 1 Vaäy ψ laø tham soá hoùa baûo toaøn ñònh höôùng . Ta coù: TX0,(0,x0) = dψ(0,0)(∂H m+1) 18 PHAÀN 2. ÑA TAÏP ÑÒNH HÖÔÙNG ÑÖÔÏC Xeùt moät cô sôû cuûa ∂Hm+1 laø (e1 × 0, e2 × 0, ..., em × 0) . Ñaët γ = (dψ(0,0)(e1 × 0), ..., dψ(0,0)(em × 0)) . Theo ñònh nghóa ñònh höôùng treân bieân. sign(γ) = sign((−1, 0, ..., 0), e1 × 01, ..., em × 0) = (−1)m(−1) = −(−1)m . Maø theo (2.5) , ta coù : γ = ((0, dϕ0(−1 me1)), (0, dϕ0(e2)), ..., (0, dϕ0(en))) = 0× α0 Suy ra sign(0× α0) = −(−1) m (2.6) Trôû laïi vi ñoàng phoâi F giöõa X vaø X0 ban ñaàu , ta thaáy : F : X ⊂ Rk → X0 ⊂ R k+1 x 7→ (0, x) dFx0 : TXx0 → TX0(0,x0) u = (u1, ..., uk) 7→ (0, u) = (0, u1, ..., uk) Nhö vaäy, cô sôû α cuûa TXx0 qua aùnh xaï dFx0 seõ thaønh cô sôû 0 × α cuûa TX0(0,x0) . Maø theo (2.4) vaø (2.6) , sign(α) = (−1)m, sign(0× α) = −(−1)m . Vaäy dFx0 ñaûo ngöôïc ñònh höôùng . Toùm laïi ta ñaõ chöùng minh ñöôïc X0 traùi ñònh höôùng vôùi X . Chöùng minh X1 cuøng ñònh höôùng vôùi X: Quaù trình chöùng minh cuõng töông töï nhö treân. Laáy x0 ∈ X baát kyø , ta seõ chöùng minh dGx0 baûo toaøn ñònh höôùng. Vaãn goïi ϕ laø tham soá hoùa baûo toaøn ñònh höôùng nhö treân . Baây giôø vôùi moïi u ∈ U , ñaët α1u = (dϕu((−1)m+1e1), dϕu(e2), ..., dϕu(em)) . Do ϕ baûo toaøn ñònh höôùng, ta coù: sign(α1u) = sign((−1) m+1e1, e2, ..., em) = (−1) m+1 (2.7) Laáy b ∈ (0, 1), xeùt aùnh xaï : θ1 : (b, 1] × U → (b, 1]× V (t, u) 7→ (t, ϕ(u)) θ1(1, 0) = (1, x0) Vôùi moïi (t, u) ∈ (b, 1]× U, h = (h1, h2, ..., hm+1) ∈ Rm+1 , ta coù dθ1(t,u)(h) = (h1, dϕu(h2, h3, ..., hm+1)) Ñaët Γ1 : R m × [0, 1− b) → (b, 1] × Rm (x1, x2, ..., xm, xm+1) 7→ (1 − xm+1, (−1)m+1x1, x2, ..., xm) 2.4. ÑÒNH HÖÔÙNG TREÂN BIEÂN 19 Lyù luaän töông töï trong chöùng minh treân, ta coù Γ−11 ((b, 1]×U) coù daïng W1× [0, 1−b) vaø W1 × [0, 1− b) môû trong ∂Hm+1 . Goïi δ1 = Γ1 |W1×[0,1−b) , ta coù : δ1 : W1 × [0, 1− b) −→ (b, 1]× U (x1, x2, ..., xm, xm+1) 7−→ (1− xm+1, (−1)m+1x1, x2, ..., xm) Vôùi (w, s) ∈W1 × [0, 1− b), dδ1(w,s) : R m+1 −→ Rm+1 (u1, u2, ..., um, um+1) 7−→ (−um+1(−1)m+1u1, u2, ..., um) Baây giôø, tieáp tuïc ñaët ψ1 = θ1 ◦ δ1 , roõ raøng ψ1 : W1 × [0, 1 − b) → (b, 1] × V , ψ1(0, 0) = (1, x0), ψ1 laø vi ñoàng phoâi do θ1, δ1 laø caùc vi ñoàng phoâi. Hôn nöõa, ta seõ chöùng minh ψ1 baûo toaøn ñònh höôùng. Vôùi (w, s) ∈W1 × [0, 1− b) ñaët (t,u) = δ1(w, s), nhö vaäy (t,u) ∈ (b, 1] × U , ta coù : d ψ1(w,s) : R m+1 → TM(t,ϕ(u)) = T ([0, 1])t × TX1ϕ(u) Vôùi moïi h = (h1, h2, ..., hm+1) ta coù: dψ1(w,s)(h) = dθ1(t,u)(dδ1(w,s)(h1, h2, ..., hm, hm+1)) = dθ1(t,u)(−hm+1, (−1) m+1h1, h2, ..., hm) Vaäy dψ1(w,s)(h) = (−hm+1, dϕu((−1) m+1h1, h2, ..., hm)) (2.8) Do ñoù, ta coù: dψ1(w,s)(e1 × 0) = (0, dϕu((−1)m+1e1)) dψ1(w,s)(ei × 0) = (0, dϕu(ei) ∀i = 2, ..., m dψ1(w,s)(0, ..., 0, 1) = (−1, 0..., 0) Vaäy neáu ñaët β1 = (dψ1(w,s)(e1 × 0), ..., dψ1(w,s)(em × 0), dψ1(w,s)(0, ..., 0, 1)) ta ñöôïc β1 = (0× α1u, (−1)× 0). Theo ñònh nghóa ñònh höôùng treân ña taïp tích vaø (2.7) sign(β1) = (−1)msign((−1)× 0, 0 × α1u) = (−1)msign(−1).sign(α1u) = (−1)m+1(−1)m+1 = 1 Vì dψ1(w,s baûo toaøn ñònh höôùng döông cuûa Rm−1 vôùi moïi (w, s) ∈ W1 × [0, 1 − b) neân ψ1 laø tham soá hoùa baûo toaøn ñònh höôùng. TX1(1,x0) = dψ1(0,0)(∂H m+1) Xeùt moät cô sôû cuûa ∂Hm+1 laø (e1 × 0, e2 × 0, ..., em × 0) . Ñaët γ1 = (dψ1(0,0)(e1 × 0), ..., dψ1(0,0)(em × 0)) 20 PHAÀN 2. ÑA TAÏP ÑÒNH HÖÔÙNG ÑÖÔÏC Theo ñònh nghóa ñònh höôùng treân bieân : sign(γ1) = sign((−1, 0, ..., 0), e1 × 0, ..., em × 0) = −(−1)m = (−1)m+1 Hôn nöõa , theo (2.8) ta coù: γ1 = 0× α10. Nhö vaäy, sign(0× α10) = (−1) m+1 (2.9) Trôû laïi vi ñoàng phoâi G giöõa X vaø X1 , ta coù : G : X → X1 x 7→ (1, x) dGx0 : TXx0 → TX1(1,x0) u = (u1, ..., uk) 7→ (0, u) = (0, u1, u2, ..., uk) . Nhö vaäy cô sôû α1 cuûa TXx0 qua aùnh xaï dGx0 seõ thaønh cô sôû 0×α1 cuûa TX1(1,x0) . Theo (2.7) vaø (2.9) ta suy ra dGx0 baûo toaøn ñònh höôùng. Vaäy ña taïp X1 cuøng ñònh höôùng vôùi X.  PHAÀN 3 Xaây döïng baäc toâpoâ treân ña taïp 3.1 Ñònh nghóa baäc toâpoâ treân ña taïp Baây giôø, cho M, N laø caùc ña taïp khoâng coù bieân, ñöôïc ñònh höôùng , dim(M) = dim(N). M compaéc, N lieân thoâng, ta coù ñònh nghóa sau Ñònh nghóa 3 (Baäc Brouwer cuûa aùnh xaï). : Cho f laø aùnh xaï trôn töø M vaøo N. Khi ñoù , ta ñònh nghóa aùnh xaï deg(f, .) : S(f) → Z, ñöôïc xaùc ñònh bôûi deg(f, y) = ∑ x∈f−1(y) sign(dfx) vôùi moïi y ∈ S(f) Trong ñoù: sign(dfx) = { 1 neáu dfx baûo toaøn ñònh höôùng −1 neáu dfx ñaûo ngöôïc ñònh höôùng laø aùnh xaï baäc cuûa f taïi y ∈ S(f). Löu yù 2. Trong ñònh nghóa treân,vôùi y ∈ S(f) neân vôùi moïi x ∈ f−1(y) ( töùc laø x laø ñieåm chính qui ) thì dfx laø ñaúng caáu töø TMx vaøo TNf(x), do ñoù ta coù theå noùi veà sign(dfx). Meänh ñeà 6. aùnh xaï deg(f, .) : S(f) → Z laø haèng ñòa phöông Chöùng minh Giaû söû f−1(y) = {x1, ..., xk}, thì theo ñònh lyù haøm ngöôïc, coù laän caän U1, ..., Uk cuûa x1, .., xk rôøi nhau sao cho f : Ui → f(Ui) laø vi ñoàng phoâi,vôùi i = 1, k. Khi ñoù, V = ( k⋂ i=1 f(Ui) ) ∩ ( N\f(M\ k⋂ i=1 Ui) ) laø môû trong N . Suy ra, treân V ∩ S aùnh xaï deg(f, .) laø aùnh xaï haèng.  21 22 PHAÀN 3. XAÂY DÖÏNG BAÄC TOÂPOÂ TREÂN ÑA TAÏP 3.2 Baäc toâpoâ baát bieán vôùi pheùp ñoàng luaân Boå ñeà 1. Cho X laø ña taïp ñònh höôùng ñöôïc n chieàu. Neáu A(x) = {v1(x), ..., vn(x)} vaø B(x) = {v1(x), ..., vn(x)} laø caùc cô sôû phuï thuoäc lieân tuïc vaøo x cuûa TXx thì {A(x)}x∈X vaø {B(x)}x∈X cuøng ñònh höôùng hoaëc laø ngöôïc höôùng Chöùng minh VôùiM(x)laø ma traän chuyeån cô sôû töø A(x) thaønh B(x) vôùi moïi x ∈ X . Neân M(x) lieân tuïc (vì A vaø B trôn) vaø det(M(x)) 6= 0 vôùi moïi x ∈ X . Ñieàu naøy coù 2 khaû naêng det(M(x)) > 0 vôùi moïi x ∈ X hoaëc det(M(x)) < 0 vôùi moïi x ∈ X , vaø ta coù ñöôïc ñieàu phaûi chöùng minh  Meänh ñeà 7. Cho X laø ña taïp compact ñònh höôùng ñöôïc (n+1)- chieàu coù bieân, ñaët M = ∂X Neáu f : M → N trôn môû roäng ñöôïc thaønh haøm trôn F : X → N , khi ñoù deg(f, y) = 0 vôùi moïi y ∈ S(f) Chöùng minh Laáy y ∈ S(f) Tröôøng hôïp 1: y ∈ S(F ) thì F−1(y) laø ña taïp moät chieàu compact vôùi bieân laø ∂X ∩ F−1(y) = M ∩ F−1(y) = f−1(y) Theo ñònh lyù phaân loaïi ña taïp 1 chieàu thì F−1(y) laø hoäi caùc cung ñoùng ( vi ñoàng phoâi vôùi [0, 1] ) vaø hình troøn ( hình troøn laø hình vi ñoàng phoâi vôùi S1 ). Cho neân f−1(y) laø taát caû caùc ñieåm bieân cuûa caùc cung trong F −1(y) Giaû söû A laø 1 cung ñoùng trong F−1(y), vôùi ∂A = {a, b} Vôùi x ∈ A, vì x laø ñieåm chính qui cuûa F neân dFx : TXx → TNy laø toaøn aùnh, ker cuûa dFx laø TAx Ta caàn chöùng minh sign(dfa) = −sign(dfb) (3.1) khi aáy , daãn ñeán deg(f, y) = 0 *Nhaän xeùt : coù (v1(x), v2(x), ..., vn+1(x)) laø cô sôû phuï thuoäc lieân tuïc vaøo x cuûa TXx, vôùi moïi x ∈ A, trong ñoù v1(x) ∈ TAx . Luùc ñoù, theo boå ñeà 1 thì sign(v1(x), ..., vn+1(x)) = 1 vôùi moïi x ∈ A hoaëc sign(v1(x), ..., vn+1(x)) = −1 vôùi moïi x ∈ A . Neáu sign(v1(x), ..., vn+1(x)) = −1 vôùi moïi x ∈ A, ta seõ hoaùn vò v2(x) vaø v3(x) cho nhau ta seõ ñöôïc boä môùi coù sign laø +1 treân A. Nhö vaäy ta coù theå choïn (v1(x), v2(x), ..., vn+1(x)) laø cô sôû phuï thuoäc lieân tuïc vaøo x cuûa TXx, vôùi moïi x ∈ A, trong ñoù v1(x) ∈ TAx, maø 3.2. BAÄC TOÂPOÂ BAÁT BIEÁN VÔÙI PHEÙP ÑOÀNG LUAÂN 23 coù höôùng cuøng vôùi höôùng döông ñaõ choïn treân X Ngoaøi ra ta muoán, taïi x = a thì vi(a) ∈ TMa vôùi i = 2, n + 1, taïi x = b thì vi(b) ∈ TMb vôùi i = 2, n+ 1. Muoán coù ñöôïc ñieàu naøy ta chæ caàn thay (v1(x), v2(x), ..., vn+1(x)) bôûi (v1(x), q2(x), ..., qn+1(x)) laø cô sôû phuï thuoäc lieân tuïc vaøo x cuûa TXx, vôùi qk(x) = vk(x)+ 1 ||a−b|| (||x−b||αk+||x−a||βk)v1(x),k = 2, n + 1, trong ñoù (α2, ...αn+1)vaø (β2, ...βn+1) xaùc ñònh (duy nhaát) bôûi vk(a) + αkv1(a) ∈ TMa, vk(b) + βkv1(b) ∈ TMb ( ñieàu naøy coù ñöôïc taïi vì v1(a) /∈ TMa vaø v1(b) /∈ TMb ) Toùm laïi ta coù theå choïn (v1(x), v2(x), ..., vn+1(x)) laø cô sôû phuï thuoäc lieân tuïc vaøo x cuûa TXx, vôùi moïi x ∈ A, trong ñoù v1(x) ∈ TAx, maø coù höôùng cuøng vôùi höôùng döông ñaõ choïn treân X vaø taïi x = a thì vi(a) ∈ TMa vôùi i = 2, n+ 1, taïi x = b thì vi(b) ∈ TMb vôùi i = 2, n+ 1. Nhö theá (v2(a), ..., vn+1(a)) vaø (v2(b), ..., vn+1(b)) laàn löôït laø cô sôû cuûa TMa vaø TMb Luùc ñoù, {dFx(v2(x)), ..., dFx(vn+1(x))} laø cô sôû phuï thuoäc lieân tuïc vaøo x cuûa TNy, thì sign({dFx(v2(x)), ..., dFx(vn+1(x))}) = −1 vôùi moïi x ∈ A hoaëc sign({dFx(v2(x)), ..., dFx(vn+1(x))}) = 1 vôùi moïi x ∈ A Vì vôùi det(M(x)) laø ma traän chuyeån cô sôû töø cô sôû döông chính taéc cuûa TNy thaønh cô sôû {dFx(v2(x)), ..., dFx(vn+1(x))} vôùi moïi x ∈ A neân det(M(x)) 6= 0 vôùi moïi x ∈ A vaø M(x) lieân tuïc, ñieàu naøy daãn ñeán det(M)|A > 0 hoaëc laø det(M)|A < 0 töø naøy coù ñöôïc ñieàu ta caàn. *Chuù yù raèng , v1(x) laø côû sôû phuï thuoäc lieân tuïc vaøo x cuûa TAx neân {v1(x)}x∈A xaùc ñònh 1 höôùng treân A Do ñoù, taïi 1 ñieåm treân bieân cuûa A ( ta coù theå giaû söû laø a) thì v1(x) höôùng ra ngoaøi( outward ) X vaø ñieåm coøn laïi ( laø b) thì v1(x) höôùng vaøo trong ( inward ) X ) Daãn ñeán, *Taïi x = a: (v2(a), ..., vn+1(a)) laø cô sôû cuûa TMa vaø coù höôùng treân TMa xaùc ñònh bôûi sign(v1(a), v2(a), ..., vn+1(a)) (laø +1) ( vì v1(a) höôùng ra ngoaøi ( outward ) X ) *Taïi x = b: (v2(b), ..., vn+1(b)) laø cô sôû cuûa TMb vaø coù höôùng treân TMb xaùc ñònh bôûi sign(−v1(b), v2(b), ..., vn+1(b)) (laø -1) ( vì −v1(b) höôùng ra ngoaøi ( outward ) X ) Cho neân, Neáu sign({dFx(v2(x)), ..., dFx(vn+1(x))}) = 1 vôùi moïi x ∈ A: Taïi x=a thì sign({dfa(v2(a)), ..., dfa(vn+1(a))}) = sign({dFa(v2(a)), ..., dFa(vn+1(a))}) = 1 Maøø sign(v2(a), ..., vn+1(a)) = 1 Töùc laø dfa baûo toaøn höôùng nghóa laø sign(dfa) = 1 Taïi x=b thì sign({dfb(v2(b)), ..., dfb(vn+1(b))}) = sign({dFb(v2(b)), ..., dFb(vn+1(b))}) = 1 Maø sign(v2(b), ..., vn+1(b)) = −1 Töùc laø dfb ñaûo ngöôïc höôùng nghóa laø sign(dfb) = −1 Töông töï, neáu sign({dFx(v2(x)), ..., dFx(vn+1(x))}) = −1 vôùi moïi x ∈ A thì sign(dfa) = −1 vaø sign(dfb) = 1 24 PHAÀN 3. XAÂY DÖÏNG BAÄC TOÂPOÂ TREÂN ÑA TAÏP Toùm laïi, ta coù ñöôïc (3.1) Tröôøng hôïp 2: y khoâng phaûi laø giaù trò chính qui cuûa F Theo Boå ñeà (6) coù Oy laø laän caän cuûa y sao cho deg(f, z) = const vôùi moïi z ∈ S(f) ∩ Oy ( S(f) ∩ Oy 6= ∅ vì S(f) truø maät trong N ). Vì S(F) truø maät trong N neân coù y0 ∈ (S(f) ∩ Oy) ∩ S(F ), vaø luùc ñoù deg(f, y) = deg(f, y0). Maø theo Tröôøng hôïp 1 thì deg(f, y0) = 0. Do ñoù, deg(f, y) = 0  Meänh ñeà 8. Xeùt ñoàng luaân F : [0,1]×M → N giöõa hai aùnh xaï trôn f(x) = F (0, x), g(x) = F (1, x) trong M . Cho y laø giaù trò chính qui chung cuûa f vaø g . Ta coù: deg(g, y) = deg(f, y) Chöùng minh Nhö ñaõ noùi ôû treân, [0, 1] ×M laø moät ña taïp coù bieân laø ∂([0, 1] ×M) = M0 ∪M1, vôùi M0 = {0} ×M, M1 = {1} ×M . Vì M compaéc neân [0, 1] ×M cuõng compaéc. Xeùt aùnh xaï h : ∂([0, 1]×M) → N ñöôïc xaùc ñònh bôûi h(0, x) = f(x), h(1, x) = g(x). Ta thaáy h chính laø haïn cheá cuûa H treân ∂([0, 1] ×M) . Noùi caùch khaùc , H laø moät môû roäng trôn cuûa h leân ña taïp [0, 1] ×M . AÙp duïng meänh ñeà 7 , vôùi moïi z ∈ S(h) , ta coù deg(h, z) = 0 Maët khaùc, M0 vaø M1 vi ñoàng phoâi vôùi M qua aùnh xaï : G : M → M0 u 7→ (0, u) K : M → M1 u 7→ (1, u) Ta coù: f = h◦G, g = h◦K ( ta cuõng coù theå vieát h|M0 = f ◦G−1, h|M1 = g ◦K−1 . Laáy y ∈ S(f) ∩ S(g) . Giôø ta chöùng minh y ∈ S(h). Töùc laø ta caàn khaúng ñònh h−1(y) chæ chöùa nhöõng ñieåm chính qui, thaät vaäy: Ta coù, h−1(y) = {z ∈ ∂([0, 1] ×M)|h(z) = y} = {z ∈M0|h(z) = y} ∪ {z ∈M1|h(z) = y} = {z ∈M0|f ◦G −1(z) = y} ∪ {z ∈M1|g ◦K −1(z) = y} = {(0, x) ∈M0|f ◦G −1((0, x)) = y} ∪ {x ∈M1|g ◦K −1((0, x)) = y} = {(0, x) ∈M0|f(x) = y} ∪ {(1, x) ∈M1|g(x) = y} = {(0, x) ∈M0|x ∈ f −1(y)} ∪ {(1, x) ∈M1|x ∈ g −1(y)} Hay h−1(y) = A ∪B 3.2. BAÄC TOÂPOÂ BAÁT BIEÁN VÔÙI PHEÙP ÑOÀNG LUAÂN 25 Trong ñoù, A = {(0, x) ∈M0|x ∈ f −1(y)} B = {(1, x) ∈M1|x ∈ g −1(y)} *Vôùi (0, a) ∈ A, thì dh(0,a) = dfa ◦ dG−1(0,a) . Do dGa song aùnh vaø dfa toaøn aùnh ( vì a laø ñieåm chính qui cuûa f ) neân dh(0,a) laø toaøn aùnh. Töùc laø (0, a) laø ñieåm chính qui cuûa h *Vôùi (1, a) ∈ B , thì dh(1,a) = dga ◦ dK−1(1,a) . Do dKa song aùnh vaø dga toaøn aùnh ( vì a laø ñieåm chính qui cuûa g ) neân dh(1,a) laø toaøn aùnh . Töùc laø (0, a) laø ñieåm chính qui cuûa h Neân, h−1(y) chæ chöùa nhöõng ñieåm chính qui. Vaäy, y ∈ S(h). Luùc ñoù, deg(h, y) = 0 Cuoái cuøng ta chöùng minh deg(h, y) = deg(g, y)− deg(f, y) (3.2) thì meänh ñeà 8 ñöôïc chöùng minh xong. Thaät vaäy, Ta coù deg(h, y) = ∑ (0,x)∈A sign(dh(0,x)) + ∑ (1,y)∈B sign(dh(1,y)) Trong phaàn tröôùc, ta ñaõ chöùng minh raèng trong hai ña taïp M0 vaø M1 , coù moät ña taïp cuøng ñònh höôùng vôùi M , moät ña taïp traùi ñònh höôùng vôùi M . Khoâng maát tính toång quaùt, giaû söû M0 traùi ñònh höôùng vôùi M, M1 cuøng ñònh höôùng vôùi M . Nhö vaäy vôùi moïi x ∈ M, dGx : TMx → TM0(0,x) ñaûo ngöôïc ñònh höôùng, dKx : TMx → TM1(1,x) baûo toaøn ñònh höôùng. Khi ñoù, sign(dfx) = −sign(dh(0,x)) ( vì dfx = dh(0,x) ◦ dGx ) vaø sign(dgx) = sign(dh1,x) ( vì dgx = dh(1,x) ◦ dKx ) Daãn ñeán deg(h, y) = ∑ x∈f−1(y) −sign(dfx) + ∑ x∈g−1(y) sign(dgx) Vaäy deg(h, y) = deg(g, y)− deg(f, y)  26 PHAÀN 3. XAÂY DÖÏNG BAÄC TOÂPOÂ TREÂN ÑA TAÏP 3.3 Baäc toâpoâ baát bieán vôùi söï löïa choïn giaù trò chính qui Tröôùc heát, ta coù boå ñeà sau ñaây Boå ñeà 2 (Veà tính thuaàn nhaát). Cho N laø moät ña taïp lieân thoâng. Cho y vaø z laø caùc ñieåm trong tuøy yù cuûa N. Khi ñoù, coù moät vi ñoàng phoâi h : N → N bieán y thaønh z vaø h hôïp luaân vôùi aùnh xaï ñoàng nhaát . Chöùng minh Chi tieát xem trong [2], Homogeneity Lemma (page 22, 23 & 24)  Meänh ñeà 9. Cho N laø moät ña taïp m chieàu trong Rk, h laø moät vi ñoàng phoâi töø N vaøo N, h hôïp luaân vôùi aùnh xaï ñoàng nhaát. Khi ñoù, h baûo toaøn ñònh höôùng. Chöùng minh Ñeå chöùng minh h baûo toaøn ñònh höôùng, ta laáy x ∈ N baát kyø vaø chöùng minh dhx : TNx → TNh(x) baûo toaøn ñònh höôùng. Goïi F laø pheùp hôïp luaân giöõa Id vaø h , F : [0, 1] × N → N , vôùi F (0, x) = x vaø F (1, x) = h(x) Ñaët, F t(x) = F (t, x), nhö vaäy F 0 = Id, F 1 = h. Cho ϕ laø tham soá hoùa baûo toaøn ñònh höôùng töø Rm vaøo laân caän V cuûa x trong N vaø ϕ(0) = x. Xeùt G : [0, 1] × Rm → N ñöôïc xaùc ñònh bôûi G(t, x) = F (t, ϕ(x)) vôùi moïi (t, x) ∈ [0, 1] × Rm. Ñaët Gt(x) = G(t, x), nhö vaäy Gt(x) = F t(ϕ(x)) , suy ra dGt0 = dF tx ◦ dϕ0. Goïi e = (e1, ..., em) laø cô sôû chuaån taéc cuûa Rm , khi ñoù α = (dϕ0(e1), ..., dϕ0(em)) laø cô sôû cuûa TNx vaø sign(α) = 1 do ϕ baûo toaøn ñònh höôùng . Ñaët β = (dF tx(dϕ0(e1)), ..., dF t x(dϕ0(em))) = (dG t 0(e1), ..., dG t 0(em)) Ta coù F t vaø ϕ laø nhöõng vi ñoàng phoâi neân Gt cuõng laø moät vi ñoàng phoâi. Nhö vaäy dGt0 vaø dF tx laø caùc ñaúûng caáu giöõa hai khoâng gian vectô. Do ñoù , dGt0 vaø dF tx baûo toaøn ñònh höôùng khi chuùng mang moät cô sôû döông thaønh moät cô sôû döông . Nhö vaäy, dF tx baûo toaøn ñònh höôùng khi vaø chæ khi sign(β) = 1 , ñieàu naøy cuõng töông ñöông dGt0 baûo toaøn ñònh höôùng . Toùm laïi, ñeå chöùng minh dhx = dF 1x laø baûo toaøn ñònh höôùng, ta chæ caàn chöùng minh dG10 baûo toaøn ñònh höôùng . AÙnh xaï G : [0, 1]×Rm → N ⊂ Rk, G coù k thaønh phaàn laø G = (G1, ..., Gk). Khi ñoù Gt cuõng coù k thaønh phaàn töông öùng Gt = (Gt1, Gt2, ..., Gtk) vôùi Gti = Gi(t, .), i = 1, . . . , k. Gt : Rm → N dGt0 : R m → TNx 3.3. BAÄC TOÂPOÂ BAÁT BIEÁN VÔÙI SÖÏ LÖÏA CHOÏN GIAÙ TRÒ CHÍNH QUI 27 AÛnh cuûa cô sôû e = (e1, ..., em) qua aùnh xaï dGt0 laø αt = (αt1, ..., αtm) vôùi αti = dG t 0(ei) = (∇G t 10 .ei,∇Gt20.ei, . . . ,∇G t k0 .ei) T = ( ∂Gt1(0) ∂xi , ∂Gt2(0) ∂xi , ..., ∂Gtk(0) ∂xi )T Vì G laø haøm trôn, ta suy ra ∂Gti(0) ∂xj , 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ m laø caùc haøm trôn theo t . Nhö vaäy caùc toïa ñoä cuûa αi ñeàu laø caùc haøm trôn theo t . Coá ñònh b = (b1, ..., bm) laø moät cô sôû döông cuûa TNx . Ma traän M(t) chuyeån ñoåi cô sôû töø b sang αt. Cho neân, M(t) lieân tuïc theo t vaø det(M(t)) 6= 0. Hôn nöõa, khi t = 0 thì G0(x) = ϕ(x) neân dG00 baûo toaøn ñònh höôùng suy ra sign(α0) = 1, töùc laø det(M(0)) > 0. Cho neân det(M(t)) > 0 vôùi moïi t ∈ [0, 1]. Ñaëc bieät, det(M(t)) > 0 Vaäy dG10 baûo toaøn ñònh höôùng , töùc laø dhx baûo toaøn ñònh höôùng . Toùm laïi, ta ñaõ chöùng minh ñöôïc h laø moät vi ñoàng phoâi baûo toaøn ñònh höôùng.  Ñònh lyù 3. Baäc Brouwer deg (f,y) khoâng phuï thuoäc vaøo vieâïc löïa choïn giaù trò chính qui y. Chöùng minh Laáy y, z ∈ S(f) Theo boå ñeà 2, coù moät vi ñoàng phoâi h : N → N bieán y thaønh z vaø h hôïp luaân vôùi aùnh xaï ñoàng nhaát Id . Theo meänh ñeà 9, h laø vi ñoàng phoâi baûo toaøn ñònh höôùng Neân vôùi moïi x ∈M sign(d(h ◦ f)x) = sign(dhf(x) ◦ dfx) = sign(dfx) Hôn nöõa: f−1(y) = {x ∈M | f(x) = y} = {x ∈M | f(x) = h−1(z)} = {x ∈M | h ◦ f(x) = z} = (h ◦ f)−1(z) Maët khaùc, do Id ∼ h neân f ∼ h ◦ f ( meänh ñeà 5 ). Theo meänh ñeà 8 deg(f, z) = deg(h ◦ f, z) = ∑ x∈(h◦f)−1(z) sign(d(h ◦ f)x) = ∑ x∈f−1(y) sign(dfx) = deg(f, y)  28 PHAÀN 3. XAÂY DÖÏNG BAÄC TOÂPOÂ TREÂN ÑA TAÏP 3.4 Keát luaän Theo muïc 3.3 thì aùnh xaï baäc khoâng phuïï thuoâc vaøo giaù trò chính qui. Töùc laø deg(f, .)|(f) = const Cho neân, ta ñaët deg(f) := deg(f, .)|S(f) (3.3) Ñònh lyù 4. Neáu f vaø g ñoàng luaân thì deg f = deg g Chöùng minh Laáy y ∈ S(f) ∩ S(g). Theo meänh ñeà 8 thì deg(f, y) = deg(g, y). Do ñoù deg(f) = deg(g) (3.4)  Meänh ñeà 10. Giaû söû M, N, P laø caùc ña taïp ñònh höôùng khoâng coù bieân, compaéc, lieân thoâng. Cho f : M → N, g : N → P laø caùc aùnh xaï trôn. Khi ñoù deg(g ◦ f) = deg(g)deg(f). Chöùng minh Ñaët h = g◦f , S(g) vaø S(h) laàn löôït truø maät trong P neân ta tìm ñöôïc y ∈ S(g)∩S(h) . Ñaët g−1(y) = {u1, u2, . . . un}. Giaû söû toàn taïi i sao cho ui laø giaù trò tôùi haïn cuûa f. Khi ñoù, xeùt x ∈ f−1(ui) laø moät ñieåm tôùi haïn. Ta coù dfx suy bieán. Maët khaùc, x ∈ h−1(y) vaø dhx = dgui ◦ dfx neân dhx cuõng suy bieán. Ñieàu naøy maâu thuaãn vôùi ñieàu kieän y laø giaù trò chính qui cuûa h. Ta ñaõ chöùng minh ui laø giaù trò chính qui cuûa f vôùi moïi i. Coù h−1(y) = ⋃n i=1 f −1(ui) vaø caùc f−1(ui) rôøi nhau, ta suy ra deg(h) = ∑ x∈h−1(y) sign(dhx) = ∑n i=1 ∑ x∈f−1(ui) sign(dgui ◦ dfx) = ∑n i=1 ∑ x∈f−1(ui) sign(dgui)sign(dfx) = ∑n i=1 sign(dgui) ∑ x∈f−1(ui) sign(dfx) = ∑n i=1 sign(dgui)deg(f) = deg(g)deg(f)  PHAÀN 4 ÖÙng duïng cuûa Baäc Topo treân ña taïp Ví duï1: Cho f : R→ R, f(x) = x2. Tính deg(f, 1) Vì f−1(1) = {−1, 1} neân deg(f, 1) = sign(df1) + sign(df−1) df : R → R x 7→ 2x det(df1) = 2 > 0 neân sign(df1) = 1, det(df−1) = −2 < 0 neân sign(df−1) = −1. Vaäy deg(f, 1) = 0 Ví duï 2: Cho p : R → R laø ña thöùc baäc n, y laø giaù trò chính quy cuûa p. Chöùng minh deg(p, y) = n mod 2 Khoâng maát tính toång quaùt ta ñöa veà vieäc tính deg(p, 0) trong ñoù 0 laø giaù tò chính quy cuûa p. Vì 0 laø giaù trò chính quy neân p(x) = 0 (4.1) khoâng coù nghieäm boäi. Neáu n leû, soá nghieäm phöùc cuûa 4.1 laø chaün, 4.1 khoâng coù nghieäm boäi neân 4.1 coù (2k + 1) nghieäm thöïc phaân bieät. Goïi x1 < x2 < ... < x2k+1 laø 2k + 1 nghieäm cuûa 4.1 Ta coù p(x) = f(x)g(x) vôùi * f(x) = (x− x1)...(x− x2k+1). * g(x) > 0 hoaëc g(x) 0 vôùi moïi x ∈ R Ta coù p′(xi) = f ′(xi)g(xi) + f(xi)g ′(xi) = f ′(xi)g(xi) + f(xi)g ′(xi) = f ′(xi)g(xi) (dof(xi) = 0) Maø g(xi) > 0 ∀i = 1, . . . , 2k + 1 suy ra sign(p′(xi)) = sign(f ′(xi)) Ta coù f ′(x) = (x− x2)...(x− x2k+1) + (x− x1)(x− x3)...(x− x2k+1) + ...+ (x− x1)...(x− x2k) 29 30 PHAÀN 4. ÖÙNG DUÏNG CUÛA BAÄC TOPO TREÂN ÑA TAÏP Do x1 < x2 < ... < x2k+1, ta tính ñöôïc signf ′(xi) = (−1)2k+1−i = (−1)i−1 Vaäy deg(p, 0) = 2k+1∑ i=1 sign p′(xi) = 2k+1∑ i=1 signf ′(xi) = 2k∑ i=0 (−1)i = 1 Neáu n chaün, lyù luaän töông töï ta coù deg(p, 0) = 2k−1∑ i=0 (−1)i = 0 Vaäy deg(p, 0) = nmod 2. Ví duï 3: Cho f : S1 ⊂ R2 → S1 ⊂ R2, f(z) = zn Chöùng minh deg(f, y) = n ∀y ∈ S1, n > 1 ÔÛ ñaây f laø haøm vectô, f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) Tröôùc heát ta seõ chöùng minh det(Jfz) = |f ′(z)|2 Töø ñoù suy ra taát caû giaù trò cuûa f laø chính quy.{ x = cosϕ y = sinϕ f(x, y) = (u(x, y), v(x, y)) u(cosϕ, sinϕ) = cosnϕ v(cosϕ, sinϕ) = sinnϕ Do ñoù   ∂u ∂x ∂x ∂ϕ + ∂u ∂y ∂y ∂ϕ = −n sinnϕ ∂v ∂x ∂x ∂ϕ + ∂v ∂y ∂y ∂ϕ = n cos nϕ (4.2) Maët khaùc vì f(z) = zn laø haøm giaûi tích neân theo ñieàu kieän Cauchy Riemann ta coù   ∂u ∂x = ∂v ∂y ∂v ∂x = − ∂u ∂y (4.3) Töø 4.2 vaø 4.3 suy ra   ∂u ∂x ∂x ∂ϕ + ∂u ∂y ∂y ∂ϕ = −n sinnϕ − ∂u ∂x ∂x ∂ϕ + ∂u ∂y ∂y ∂ϕ = n cos nϕ ⇔   − ∂u ∂x sinϕ+ ∂u ∂y cosϕ = −n sinnϕ ∂v ∂x cosϕ+ ∂u ∂y sinϕ = n cos nϕ 31 ⇔   ∂u ∂x = n cos(n− 1)ϕ ∂u ∂y = −n sin(n− 1)ϕ Ta coù Jfz = ( ∂u ∂x ∂u ∂y ∂v ∂x ∂v ∂y ) det (Jfz) = ∂u ∂x ∂v ∂y − ∂v ∂x ∂u ∂y = ( ∂u ∂x )2 + ( ∂u ∂y )2 = n2 cos2(n− 1)ϕ+ n2 sin2(n− 1)ϕ = n2 |f ′(z)|2 = |nzn−1|2 = n2|zn−1|2 = n2 Vaäy det(Jfz) = |f ′(z)|2 ∀z ∈ S1 Vì |f ′(z)|2 = n2 > 0 ∀z ∈ S1 Do ñoù taát caû caùc giaù trò cuûa f ñeàu chính quy. * Tính deg(f, y) Ta coù phöông trình zn = y coù n nghieäm neân f−1(y) = {z1; z2; ...; zn} deg(f, y) = n∑ i=1 signdfzi = n (vì signdfzi = 1 ∀i = 1, n) Ñieåm baát ñoäng Meänh ñeà 11. Cho f : Sn → Sn laø aùnh xaï trôn. Neáu deg(f) 6= (−1)n+1 thì f coù ñieåm baát ñoäng. Chöùng minh Giaû söû f(x) 6= x vôùi moïi x ∈ Sn. Xeùt g : Sn → Sn, g(x) = −x. Do f(x) 6= x, ta suy ra ‖(1− t)f(x) + tg(x)‖ 6= 0 vôùi moïi t, x ∈ [0, 1] × Sn. Xeùt aùnh xaï F : [0, 1] × Sn → Sn (t, x) 7→ (1− t)f(x) + tg(x) ‖(1− t)f(x) + tg(x)‖ Roõ raøng F ñònh nghóa toát, F trôn vaø F (0, x) = f(x), F (1, x) = g(x). Nhö vaäy f(x) ñoàng luaân vôùi g(x). Ta suy ra deg(f) = deg(g) = deg(−id) = (−1)n+1, traùi giaû thieát. Vaäy f coù ñieåm baát ñoäng. 32 PHAÀN 4. ÖÙNG DUÏNG CUÛA BAÄC TOPO TREÂN ÑA TAÏP Meänh ñeà 12. . i) Cho f, g : S2k → S2k laø caùc haøm trôn. Khi ñoù, ít nhaát moät trong caùc aùnh xaï f, g, g ◦ f coù ñieåm baát ñoäng. Ñaëc bieät, f ◦ f coù ñieåm baát ñoäng. ii) Moät aùnh xaï trôn f : S2k → S2k thì hoaëc coù ñieåm baát ñoäng hoaëc bieán moät caëp ñieåm x, y thaønh y, x. Chöùng minh i) Neáu deg(f) 6= −1 hoaëc deg(g) 6= −1 thì theo meäng ñeà 11, f hoaëc g coù ñieåm baát ñoäng. Neáu deg(f) = −1 vaø deg(g) = −1, ta suy ra deg(g ◦ f) = deg(g)deg(f) 6= 1 vaø g ◦ f coù ñieåm baát ñoäng. Ñaëc bieät, deg(f ◦ f) = [deg(f)]2 6= −1 neân f ◦ f coù ñieåm baát ñoäng. ii) Theo i), toàn tai x sao cho f(f(x)) = x. Ñaët y = f(x), ta coù ñieàu caàn chöùng minh.  Tröôøng vectô treân ña taïp Ñònh nghóa 4. Cho M ⊂ Rn+1 laø ña taïp n-chieàu khoâng coù bieân. Tröôøng vectô tieáp xuùc trôn cuûa M laø aùnh xaï F : M → Rk trôn sao cho F (x) ∈ TMx vôùi moïi x ∈M . Löu yù 3. khi M laø Sn ⊂ Rn+1 thì F : M → Rk laø tröôøng vectô tieáp xuùc treân M khi vaø chæ khi x.F (x) = 0 vôùi moïi x ∈ Sn Ñònh lyù 5. Treân Sn coù F laø tröôøng vectô tieáp xuùc trôn sao cho F (x) 6= 0 vôùi moïi x ∈ Sn neáu vaø chæ neáu n laø leû Chöùng minh 1. Giaû söû n leû ( n = 2k + 1 ). Ta xeùt F : S2k+1 → R2(k+1) ñöôïc xaùc ñònh bôûi: F (x1, ..., x2(k+1)) = (−x2, x1,−x4, x3, ...,−x2(k+1), x2k+1) Laø haøm trôn vaø x.F (x) = 0 vôùi moïi x ∈ Sn 2. Giaû söû treân Sn coù F laø tröôøng vectô tieáp xuùc trôn sao cho F (x) 6= 0 vaø x.F (x) = 0 vôùi moïi x ∈ Sn Xeùt H : Sn × [0, pi] → Sn, ñöôïc xaùc ñònh bôûi: H(x, t) = xcost + F (x) ||F (x)|| sint Laø haøm trôn vaø H ñöôïc ñònh nghóa toát vì ||H(x, t)||2 = (xcost+ F (x) ||F (x)|| sint).(xcost+ F (x) ||F (x)|| sint) = x.xcos2t+ F (x) ||F (x)|| . F (x) ||F (x)|| sin2t = cos2t+ sin2t = 1 vôùi moïi (x, t) ∈ Sn × [0, pi] Do ñoù, deg(H(., 0)) = deg(H(., pi)) hay deg(id) = deg(−id) Suy ra, (−1)n+1 = 1 ñieàu naøy chöùng toû n laø leû  Taøi lieäu tham khaûo [1] Huyønh Quang Vuõ, Lecture notes on Topology and Geometry, 2007. [2] John W.Milnor, Topology from the Differentiable Viewpoint, 1997. [3] Victor Guillemin/Alan Pollack, Differential Topology, 1974 33