Giáo trình Lý thuyết điều khiển

Ự ĐỘNG PHI TUYẾN 331 Z1 - thành phần cơ bản ω (bậc một) của tín hiệu ra khâu phi tuyến Xm - biên độ tín hiệu sin của tín hiệu vào khâu phi tuyến. Phân tích dạng sóng ngõ ra bằng chuỗi Fourier cho bởi biểu thức k k o k k k k An t A k t B k t( ) cos( ) sin( ) =∞ =∞ = = ω = + ω + ω∑ ∑ 1 12 (9.22) trong đó: T k T A n t k t d t k T / / ( )sin( ) ( ), , , ... − = ω ω ω =∫ 2 2 2 0 1 2 (9.23) T k T B n t k t d t k T / / ( )cos( ) ( ), , , ... − = ω ω ω =∫ 2 2 2 0 1 2 Do chỉ sử dụng họa tần cơ bản nên ta có T T A n t t d t T / / ( )sin ( ) ( ) − = ω ω ω∫ 2 1 2 2 (9.24) T T B n t t d t T / / ( )cos( ) ( ) − = ω ω ω∫ 2 1 2 2 Chú ý: Nếu hàm lẻ không có trễ B1=0 Nếu hàm lẻ có trễ B ≠1 0 D là vùng chết; H là vùng trễ Hàm mô tả của các khâu phi tuyến điển hình 1- Hàm có vùng chết CHƯƠNG 9 332 V ì hàm trên là hàm lẻ, nên ta có B1=0 A M t D t d t( sin ( ) )sin ( ) pi α = ω − ω ω pi ∫ 2 1 4 M t D t d t¬ M cos( )(( ) sin ( )) pi α − ω = − ω ω pi ∫ 24 1 2 2 M t Dt t M sin( )( ( ) cos( )) pi α ω = ω − + ω pi 222 4 2 M ( sin ( ) cos sin )= pi − α + α − α α pi 2 2 4 M sin( )( )α + α= − pi 2 21 Do đó: N sin( )α + α = − pi 2 21 2- Khâu bão hòa HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 333 CHƯƠNG 9 334 Do hàm lẻ, nên ta có B1=0 A F t t d t( )sin ( ) pi = ω ω ω pi ∫ 2 1 0 4 M t d t D t d tsin ( ) sin( ) pi α α     = ω ω + ω ω  pi      ∫ ∫ 2 2 0 4 tM d t D t d tcos( )( ) sin ( ) pi α α     − ω = ω + ω ω  pi      ∫ ∫ 2 0 4 1 2 2 M tt D tsin( )( ) cos( ) pi α α    ω = ω − − ω  pi      2 0 4 2 2 2 M sin( ) sin cos= α − α + α α  pi 2 2 2 4 M sin( )= α + α  pi 2 2 V ậy: N sin( )= α + α  pi 1 2 2 3- Rơle ba vị trí có trễ Các hệ số NA K t d tsin( ) pi−α α = ω ω pi ∫ 2 1 1 2 NB K t d tcos( ) pi−α α = ω ω pi ∫ 2 1 1 2 NA K t( cos( )) pi−α α − = ω pi 2 1 1 2 NB K t( sin ( )) pi−α α = ω pi 2 1 1 2 NKA (cos cos )= α + α pi 1 1 2 2 NKB (sin sin )= α − α pi 1 2 1 2 N NK KN j A D h A D h (cos cos ) (sin sin )( ) ( )= α + α − α − αpi + pi +1 2 1 2 2 2 D MA A M D h sin , sin ,α = α = = + 1 2 1 x t M t M D h( ) sin ( ),= ω > + − HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 335 4- Khâu so sánh có trễ (Trigger Schmitt không đảo) A V t d tma x sin( ) pi+α α = ω ω pi ∫1 0 4 B V t d tma x cos( ) pi+α α = ω ω pi ∫1 0 4 A V tma x( cos( )) pi+α α − = ω pi 1 0 2 B V tma x( sin ( )) pi+α α = ω pi 1 0 2 4VA max cos= α pi 0 1 -4VB ma x sin= α pi 0 1 H V N j AV m a x (co s s in )= α − α pi 04 H M MA A D V sin ,α = = =1 5- Hàm bậc hai đối xứng CHƯƠNG 9 336 x x F x x x M t t Y M t t ( )( ) ( ) sin ( ) (sin ( ) ) sin ( ) (sin ( ) )  > =  − <  ω ω > =  − ω ω < 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 Y là hàm lẻ, nên B 1=0 A M t t d tsin ( ) sin( ) pi = ω ω ω pi ∫ 2 2 2 1 0 4 A M t d t( cos ( )) (cos( )) pi − = − ω ω pi ∫ 2 2 2 1 0 4 1 M tA t cos ( )(cos( ) ) pi ω = ω − pi 02 3 1 2 4 3 M MA  = − = pi pi  2 2 1 4 1 81 3 3 V ậy: MN = pi 8 3 6- Hàm bậc ba Tương tự hàm bậc hai trên Hàm bậc ba cũng là hàm lẻ nên B1=0 F x x Y M t ( ) sin ( ) = = ω 3 3 3 Ta có: A M t t d tsin ( )sin ( ) ( )pi= ω ω ω pi ∫ 2 3 3 1 0 1 M tA t d tcos( )( cos( ) ) ( )pi + ω= − ω + ω pi ∫ 3 2 1 0 1 41 2 2 4 2 M t tA tcos( ) sin ( )( sin ( ) ) pi ω ω = − ω + pi 23 1 0 3 4 2 8 M MA ( )= pi = pi 3 3 1 33 4 4 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 337 V ậy: MN = 23 4 Ví dụ: Hàm truyền hở của phần tuyến tính một hệ phi tuyến Hình 9.8 KG j H j j j j ( ) ( ) ( , )( , )ω ω = ω + ω + ω1 0 5 1 0 1 Phương trình đặc tính của phần tuyến tính liên tục có hệ số Khuếch đại bằng K A s s s s K A s s s s K ( ) ( , )( , ) ( ) , , = + + + = + + +3 2 1 0 5 1 0 1 0 05 0 6 Hệ số khuếch đại giới hạn được xác định theo tiêu chuẩn Hurwitz cho hệ bậc ba là: gh ghK K, ,∆ = − = ⇒ =2 0 6 0 05 0 12 Đường cong Nyquist cho ba trường hợp K khác nhau được vẽ ở hình 9.7. Giao điểm của đồ thị - 1/N(M ) với đường cong Nyquist của phần tuyến tính G j( )ω có K = 17 ký hiệu là điểm B. Tại điểm B tồn tại dao động không ổn định vì đi theo chiều tăng của CHƯƠNG 9 338 biên độ theo đặc tính - 1/N(M ) của khâu phi tuyến, chuyển động từ vùng ổn định (gạch sọc bên trái G j( )ω ) sang vùng không ổn định của phần tuyến tính ( )G jω . Ngược lại, chế độ dao động là ổn định, nếu đi theo chiều tăng của biên độ theo đặc tính - 1/N(M) của khâu phi tuyến, chuyển từ vùng không ổn định sang ổn định của phần tuyến tính G j( )ω . Trong trường hợp K = 2, đặc tính -1/N của khâu phi tuyến nằm hoàn toàn ở vùng ổn định củaG j( )ω , ≤ ω < +∞0 , kết luận hệ phi tuyến là ổn định ở trạng thái cân bằng: R(t) = 0. Ví dụ: Hệ phi tuyến đặc tính rơle 3 vị trí không trễ với phần tuyến tính: KG s s s s ( ) ( . )( )= + +1 0 2 1 2 Phi tuyến tính hình 9.17 có D = 0,1; h = 0; K1 = 6 Phương trình cân bằng điều hòa gần đúng: ( )G j N M( )+ ω =1 0 (9.25) Hình 9.9 Giải bằng phương pháp đồ thị. Trước tiên tìm −piω - là tần số dao động tại B. HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 339 arctg artg, −pi −pi pi + ω + ω = pi0 2 2 2 suy ra −piω =1,58 sec - 1 * Đặt D A M = ; Tính A từ (9.25) ta có: 1 2 A =1,1 M M A =2,59 , ; ,  ⇒ = =  1 20 11 0 259  Phương trình (9.25) viết cho ví dụ cụ thể khi D = 0 (rơle 2 vị trí) K G j M . ( )ω + = pi 14 1 0 Tại điểm B ta có: K G j M . ( ) −piω + = pi 14 1 0 hay M , ( , )− + = pi 4 6 0 0364 1 0 suy ra M = 0,278 Kết luận: trong trường hợp rơle 3 ở vị trí không trễ, dao động ổn định tại điểm B có biên độ 2A = 2,59 ; tần số , sec − −piω = 11 58 . Nếu giữ nguyên phần tuyến tính, thay khâu phi tuyến là rơle 2, vị trí D = 0 ta có chế độ dao động tại B là: m t t( ) , sin ,= 0 278 1 58 chế độ tự dao động. 9.5 PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HÓA TỪNG ĐOẠN 9.5.1 Đặt vấn đề Xấp xỉ bất cứ phi tuyến nào đồng nghĩa với việc phân đoạn tuyến tính từng khúc là công cụ có hiệu quả cho việc phân tích. M ỗi đoạn dẫn đến phương trình vi phân tuyến tính tương ứng đơn giản hơn. Phương pháp này, không hạn chế cho hệ gần tuyến tính, có ích lợi là tạo ra lời giải chính xác cho bất cứ bậc phi tuyến nào nếu bản thân phi tuyến có thể tuyến tính hóa từng đoạn hay có thể xấp xỉ bằng các đoạn tuyến tính. Ta sẽ chứng minh ứng dụng của nó qua ví dụ sau: CHƯƠNG 9 340 9.5.2 Ví dụ ứng dụng Hình 9.10 Hệ điều khiển hồi tiếp chứa bão hòa Hình 9.10 minh họa một hệ điều khiển hồi tiếp đơn giản chứa bộ tích phân và bộ khuếch đại bão hòa. Độ lợi bộ khuếch đại là 5 trong một tầm điện áp vào 1± V . Đối với các điện áp vào lớn hơn, bộ khuếch đại bão hòa. Hoàn toàn rõ ràng có hai vùng hoạt động tuyến tính phân biệt của bộ khuếch đại. M ỗi vùng hoạt động tuyến tính này có thể xem xét một cách độc lập bằng phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn để có được đáp ứng tổng hợp của hệ thống. Đối với vùng không bão hòa, đẳng thức hoạt động hệ thống là e t r t c t( ) ( ) ( )= − (9.26) f t e t( ) ( )= 5 (9.27) c t f t dt( ) ( )= ∫ (9.28) Suốt quá trình bão hòa, phương trình (9.26) và (9.28) vẫn có giá trị. Tuy nhiên (9.27) thay đổi thành f(t) = 5 khi e(t) > 1 (9.29) f(t) = -5 khi e(t) < -1 (9.30) Giả sử điều kiện đầu là không và đầu vào hàm nấc 10V , biểu thức đầu ra trong vùng hoạt động bão hòa ( )satc t được cho bởi HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 341 t satc t dt t( ) = =∫ 0 5 5 (9.31) Biểu thức đầu ra trong suốt khu vực không bão hòa được cho bởi t usc t c dt( ) ( )= −∫ 0 5 10 hoặc usdc t c dt ( ) + =5 50 (9.32) Thời gian t1 là thời gian mà ở đó bộ khuếch đại làm việc tuyến tính chưa bão hòa. Khi c = 9, e = 1, t1 là 1,8 sec. Dùng các kỹ thuật thông thường tính đáp số cho phương trình (9.32): t usc t e ( . )( ) − −= − 5 1 810 (9.33) Giá trị ban đầu đối với vùng này, usc (0) , giống giá trị cuối cùng của vùng bão hòa satc ( , ) =1 8 9 . Sự liên tục ở ngõ ra là do tác động của bộ tích phân. V ì vậy, đáp số tổng hợp đối với bài toán này, có được bằng phân tích tuyến tính từng khúc là satc t t( ) = 5 khi 0 1,8≤ <t (9.34) t usc t e ( . )( ) − −= − 5 1 810 (9.35) Đáp ứng của hệ đối với đầu vào hàm nấc 10V được vẽ trên hình 9.11 Phương pháp tuyến tính từng đoạn trong bài trên có thể mở rộng sang các phi tuyến phức tạp khác. Cần lưu ý là các điều kiện biên giữa các vùng tuyến tính là liên tục tại bất cứ thời điểm nào, hàm truyền đạt theo sau phi tuyến là một hàm hữu tỉ riêng. Phương trình vi phân dẫn ra trên mỗi vùng phân đoạn là tuyến tính và có thể giải được dễ dàng bằng các kỹ thuật tuyến tính thông dụng. CHƯƠNG 9 342 Hình 9.11 Đáp ứng bậc thang của hệ bão hòa được tính bằng phân tích tuyến tính từng đoạn 9.6 TIÊU CHUẨN LYAPUNOV 8.6.1 Khái niệm về ổn định Đối với hệ tuyến tính bất kỳ một quá trình quá độ nào cũng có thể xem xét ở dạng tổng của thành phần quá độ hay còn gọi là tự do và thành phần cưỡng bức. Hệ tuyến tính được gọi là ổn định nếu thành phần quá độ tiến tới không khi thời gian tiến tới vô cùng. V ấn đề xét ổn định hệ phi tuyến phức tạp hơn rất nhiều vì không áp dụng được nguyên lý xếp chồng và trong hệ thống có khả năng xuất hiện tự dao động. Tính chất của hệ phi tuyến là có nhiều trạng thái cân bằng, song hệ tuyến tính chỉ có một trạng thái cân bằng. Tính ổn định của hệ phi tuyến phụ thuộc vào biên độ của tín hiệu tác động vào hệ. Phụ thuộc vào sự có mặt của tín hiệu tác động vào hệ mà tất cả các hệ thống được chia thành hai loại thuần nhất và không thuần nhất. Trong hệ thuần nhất không có tín hiệu tác động vào hệ. Đặc tính cơ bản đặc thù cho hệ phi tuyến thuần nhất là hai quá trình cân bằng và tự dao động. Đối với hệ phi tuyến không thuần nhất tồn tại khái niệm ổn định của quá trình sinh ra do tác động bên ngoài. Hệ phi tuyến ở trạng thái cân bằng có thể ổn định trong phạm vi hẹp, phạm vi rộng và toàn cục phụ thuộc vào vùng sai lệch cho phép khỏi trạng thái cân bằng. Ngoài ra đối với hệ phi tuyến vấn đề ổn định còn bao gồm ổn định của chuyển động và ổn định của quỹ đạo. Trong thực tế không tránh khỏi tác động của các nhiễu, nên bài toán ổn định chuyển động có ý nghĩa rất quan trọng về mặt lý thuyết cũng như về mặt thực tiễn. Chính vì lẽ đó mà nhiều nhà cơ học và toán học lỗi lạc đã tập trung nghiên cứu vấn đề này. Vào năm 1892 trong luận văn tiến sĩ khoa học “Bài toán tổng quát về ổn định chuyển động” A. M . Lyapunov đã đặt bài toán ổn định chuyển động dưới dạng tổng quát nhất và đưa ra HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 343 những phương pháp chặt chẽ, độc đáo, rất có hiệu lực để giải quyết bài toán. Công trình nổi tiếng này là điểm xuất phát của nhiều công trình nghiên cứu về lý thuyết ổn định cho đến ngày nay. Để xác định một cách ổn định việc sử dụng phương trình biến trạng thái dạng thường x Ax Bu= +& cho hệ tuyến tính (9.36) và x f x t u( , , )=& cho hệ phi tuyến (9.37) Ký hiệu chuyển động không bị nhiễu là ox t u t x *[ , ( ), ] Chuyển động bị kích thích có dạng + ∆o ox t u t x x[ , ( )], ] Đặc trưng cho độ lệch của chuyển động bị nhiễu so với chuyển động không bị nhiễu là x x x*∆ = − Xác định trị tuyệt đối của hiệu hai véctơ tương ứng với chuyển động bị nhiễu và không bị nhiễu x x x x x x x x* * * *( ) ( ) .... ( )− = − + − + + −2 2 2 (9.38) Phương trình viết cho độ lệch nx x x x x....∆ = ∆ + ∆ + ∆ + + ∆ 2 2 2 2 1 2 3 (9.38) CHƯƠNG 9 344 Hình 9.12 Biểu diễn hình học định nghĩa ổn định chuyển động Định nghĩa: Chuyển động không bị nhiễu được gọi là ổn định nếu với mọi số dương ε nhỏ tuỳ ý cho trước, có thể tìm được một số dương ( )δ ε sao cho với mọi độ lệch của chuyển động bị nhiễu so với chuyển động không bị nhiễu tại thời điểm đầu thỏa mãn điều kiện x x*− ≤ δ (9.39) cũng sẽ thỏa mãn tại mọi thời điểm sau ot t> x x*− ≤ ε (9.40) Trên hình 9.12 biểu diễn về mặt hình học định nghĩa ổn định chuyển động. Ký hiệu ρ là khoảng cách giữa hai quỹ đạo không bị nhiễu (1) và quỹ đạo bị nhiễu (2). Quỹ đạo khép kín (1) là ổn định nếu với mọi số dương ε nhỏ tùy ý, có thể tìm được một số dương δ < ε sao cho ρ không vượt ra khỏi giới hạn ε . Nếu chuyển động không bị nhiễu ổn định và nếu thỏa mãn điều kiện: t x x*lim →∞ − = 0 (9.41) thì chuyển động không bị nhiễu được gọi là ổn định tiệm cận. Bài toán ổn định chuyển động theo nghiên cứu của Lyapunov có một số đặc điểm sau: 1- Ổn định được xét đối với các nhiễu đặt lên điều kiện ban đầu. 2- Sự ổn định được xét trong khoảng thời gian hữu hạn, nhưng lớn tùy ý. 3- Các nhiễu được giả thiết là bé. 9.6.2 Phương pháp thứ nhất của Lyapunov Để giải quyết bài toán ổn định chuyển động, Lyapunov đã xây dựng những phương pháp riêng, độc đáo, chúng có thể phân thành hai loại chủ yếu. Loại thứ nhất bao gồm những phương pháp khảo sát trực tiếp chuyển động bị nhiễu dựa trên việc xác định các nghiệm tổng quát hoặc nghiệm riêng của phương trình HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 345 vi phân của chuyển động bị nhiễu. Hệ thống ổn định hay không ổn định được xác định từ lời giải này. Sử dụng phương pháp tuyến tính hóa viết phương trình vi phân phi tuyến của chuyển động bị nhiễu bằng một hệ phương trình tuyến tính gần đúng đã bỏ qua các số hạng bậc cao, về thực chất là thay thế một bài toán này bằng một bài toán khác mà chúng có thể không có tính chất nào chung với nhau. Tuy nhiên cũng có trường hợp trong đó từ sự ổn định hoặc không ổn định của nghiệm phương trình gần đúng thứ nhất có thể biết được sự ổn định hay không ổn định của phương trình vi phân phi tuyến. Hay nói cách khác, đáp số gần đúng trong phương pháp thứ nhất của Lyapunov thường cung cấp thông tin hữu ích về tính ổn định của chuyển động bị nhiễu. Giả thiết phi tuyến là đơn trị và tồn tại đạo hàm ở mỗi cấp trong lân cận điểm cân bằng (). Hàm phi tuyến: i ix f x i n( ); ,= = 1& (9.42) có thể khai triển thành chuỗi Taylor như sau c c i i i x x x x f f x x x x ... = = ∂ ∂∆ = ∆ + ∆ + + ∂ ∂1 21 2 (9.43) hay ix x∆ = Α∆ (9.44) với cX f f x x f fA x x ..... ..... ... ... ..... Χ= ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ 1 1 1 2 2 2 1 2 (9.45) Thành lập phương trình đặc trưng tương ứng với phương trình xấp xỉ tuyến tính det(SI-A) = 0 (9.46) V ới I là ma trận đơn vị có rank là n (bậc của phương trình). Lyapunov chứng minh rằng nếu nghiệm của phương trình đặc trưng (9.46) có phần thực khác không thì các phương trình xấp xỉ tuyến tính luôn cho đáp số đúng đối với câu hỏi ổn định của hệ phi tuyến. CHƯƠNG 9 346  Nếu tất cả các nghiệm của phương trình đăïc trương có phần thực âm thì hệ phi tuyến sẽ ổn định trong phạm vi hẹp. iS i nRe , ,< =0 1 (9.47)  Nếu chỉ có một trong số các nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực dương thì hệ phi tuyến không ổn định.  Nếu có dù chỉ là một nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực bằng không và tất cả nghiệm còn lại đều có phần thực âm thì không thể kết luận về tính ổn định của hệ phi tuyến theo đánh giá nghiệm của phương trình tuyến tính gần đúng được. Hình 9.13 Sơ đồ tùy động đơn giản Ví dụ: Xét một hệ tùy động đơn giản có sơ đồ như hình 9.13. NU sin= θ (đặc tính phi tuyến) Hàm truyền của động cơ: KG s s Ts ( ) ( )= + 1 (9.48) UM - điện áp tương ứng với momen tải đặt vào động cơ. Xét ổn định của hệ ở trạng thái cân bằng theo phương pháp thứ nhất của Lyapunov Thành lập hệ phương trình biến trạng thái cho hệ Đặt x = θ1 ta có: M dx x dt dx K Kx x U dt T T T sin = = − − + 1 2 1 1 2 1 (9.49) hay x fdx f x x f x x fdt ( ); ; ( )= = =1 11 2 2 (9.50) HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 347 Phương trình chứa thành phần sinx, do đó là phương trình phi tuyến. Trạng thái cân bằng được định nghĩa dx dt ;= 0 do vậy f f = = 1 2 0 0 (9.51) Phương trình trạng thái cân bằng: x =2 0 (9.52) M Mx U Usin = ⇒ ≤1 1 (9.53) Sử dụng phương pháp thứ nhất để khảo sát đối với phi tuyến nhỏ f f x x A f f K xx x T T cos ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂ ∂ − −∂ ∂ 1 2 1 2 2 2 1 1 2 0 1 1 (9.54) KsI A s s x T T det ( ) ( ) cos− = + + =1 1 0 (9.55) Xét các trường hợp cụ thể: 1- MU = 0 ( ) không có tác động nhiễu Từ phương trình của trạng thái cân bằng ta có Mx Usin = =1 0 (9.56) * x m ( , , ...)⇒ = pi ± pi ± pi1 2 0 2 4 xcos =1 1 Phương trình đặc trưng có dạng: Ks s T T ( )+ + =1 0 (9.57) với K > 0, ReS1 ,2 < 0 theo tiêu chuẩn Huwitz Áp dụng được phương pháp thứ nhất Lyapunov, hệ ổn định trong phạm vi hẹp. * x m( )⇒ = + pi1 2 1 ; m - là số nguyên bất kì xcos = −1 1 Phương trình đặc trưng có dạng Ks s T T ( )+ − =1 0 (9.58) CHƯƠNG 9 348 M ột nghiệm có phần thực dương và một nghiệm có phần thực âm, áp dụng phương pháp thứ nhất kết luận hệ không ổn định trong phạm vi hẹp và điểm cân bằng không ổn định trong phạm vi hẹp. HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 349 2- MU = 1 (9.59) M x U x sin cos = = = 1 1 1 0 Phương trình đặc trưng có dạng s s T ( )+ =1 0 (9.60) M ột nghiệm s1 = 0 và một nghiệm s = -1/T< 0, không áp dụng được phương pháp thứ nhất của Lyapunov. Nhấn mạnh quan trọng là phương pháp thứ nhất của Lyapunov xác định sự ổn định trong lân cận tức thời của điểm cân bằng. 9.6.3 Phương pháp thứ hai của Lyapunov M ột trong những phương pháp có hiệu lực nhất để khảo sát bài toán ổn định chuyển động là phương pháp thứ hai hay còn gọi là phương pháp trực tiếp của Lyapunov. Theo phương pháp này tiêu chuẩn ổn định chuyển động có thể áp dụng trực tiếp vào hệ phương trình vi phân của chuyển động bị nhiễu mà không thông qua việc tích phân hệ phương trình. Giá trị của phương pháp thứ hai không chỉ ở việc xác lập những tiêu chuẩn ổn định của chuyển động mà còn ở chỗ nó cho phép xác định miền biến thiên của các thông số, xác định thời gian chuyển tiếp và đánh giá chất lượng điều chỉnh trong các hệ thống tự động. Phương pháp này dựa trên hàm V ( nx x x, ,...1 2 ) có tính chất đặc biệt, nó có thể so sánh với tổng động năng và thế năng và khảo sát đạo hàm toàn phần theo thời gian dV/dt, trong đó các biến nx x x, ,...1 2 là biến trạng thái của phương trình vi phân mô tả chuyển động bị nhiễu. Định lý Lyapunov về ổn định tiệm cận Nếu tìm được một hàm V(x) với mọi biến trạng thái nx x x, ,...1 2 là một hàm xác định dấu dương, sao cho đạo hàm của nó dV x dt ( ) dựa theo phương trình vi phân của chuyển động bị CHƯƠNG 9 350 nhiễu: nx f x x x( , ,... )= 1 2& (9.61) cũng là hàm xác định dấu, song trái dấu với hàm V(x) thì chuyển động không bị nhiễu sẽ ổn định tiệm cận Ta giới thiệu phương pháp thứ hai của Lyapunov qua ví dụ minh họa một hệ cơ học khối lượng (M )-lò xo (K)-bộ giảm chấn (B) đơn giản có thể biểu diễn bằng phuơng trình bậc hai: d x t dx tM B Kx t f t dtdt ( ) ( ) ( ) ( )+ + = 2 2 (9.62) Giả sử M B K= = = 1 và f t( ) = 0 ; ta có x t x t x t( ) ( ) ( )+ + = 0&& & (9.63) Đặt x t x t x t x t( ) ( ); ( ) ( )= =1 2 & ; ta có x t x t x t x t x t ( ) ( ) ( . ) ( ) ( ) ( ) ( . ) = = − − 1 2 2 1 2 & & ( ) ( ) ( . ) ( ) ( ) ( ) ( . ) 9 64 9 65 Hệ tuyến tính đơn giản này có thể giải dễ dàng. Giả sử các điều kiện đầu là 1(0) 1x = (9.66) 2 (0) 0x = (9.67) Khi đó các đáp số có dạng sau: tx t e t/( ) , sin ( , / )−= + pi21 1 15 0 866 3 (9.68) tx t e t/( ) , sin ( , )−= − 22 1 15 0 866 (9.69) Các phương trình (9.67) và (9.68) được vẽ trong miền thời gian ở hình 9.14 và ở mặt phẳng pha ở hình 9.15. Hai hình này hoàn toàn xác định sự ổn định của hệ thống cơ học đơn giản này. Hệ thống là ổn định và trạng thái x t x t( ), ( )1 2 hoạt động như đã chỉ ra. HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 351 Hình 9.14 Đáp ứng miền thời gian của một hệ cơ học đơn giản Hình 9.15 Mặt phẳng pha của một hệ cơ học đơn giản Bây giờ, ta hãy xét hệ thống đơn giản này trên quan điểm năng lượng. Tổng năng lượng lưu trữ được cho bởi V t Kx t Mx t( ) ( ) ( )= +2 21 2 1 1 2 2 (9.70) Do K = M = 1 trong ví dụ đơn giản V t x t x t( ) ( ) ( )= +2 21 2 1 1 2 2 (9.71) Tổng năng lượng này bị tiêu tán dưới dạng nhiệt ở bộ giảm chấn tại vận tốc V t Bx t x t Bx t( ) ( ) ( ) ( )= − = − 21 2 2& & (9.72) Do B = 1 ta được V t x t( ) ( )= − 22& (9.73) Phương trình (9.71) xác định quỹ tích của năng lượng tích trữ hằng số ở mặt phẳng x1(t) và x2 (t). Với ví dụ đơn giản này, chúng chuyển động vòng tròn. Nhận xét từ phương trình (9.73) là vận tốc năng lượng luôn luôn âm và do đó các đường tròn này phải ngày càng nhỏ dần theo thời gian. Hình 9.16 minh họa đặc điểm này trên mặt phẳng pha đối với ví dụ đơn giản đã cho, ta có thể xác định thời gian thay đổi của V(t) và V t( )& một cách tường minh bằng cách thay thế phương trình (9.68) và (9.69) vào phương trình (9.72) và (9.73). Kết quả như sau: tV t e t t( ) , [sin ( , ) sin ( , / )]−= + + pi2 20 667 0 866 0 866 3 (9.72) tV t e t( ) , sin ( , )−= − 21 333 0 866 (9.73) Hình 9.17 minh họa thời gian thay đổi của V(t) và V t( )& . So sánh hình 9.16 và 8.17, ta kết luận năng lượng tích trữ tổng cộng tiến đến không khi thời gian tiến ra vô cùng. Điều này ngụ ý rằng hệ thống là tiệm cận ổn định, nghĩa là trạng thái sẽ trở về gốc từ bất cứ điểm x(t) nào trong vùng R xung quanh gốc. Ổn định tiệm cận là một dạng ổn định được chú ý của các kỹ sư điều khiển bởi vì nó loại trừ dao động giới hạn ổn định. CHƯƠNG 9 352 Hình 9.16 Quỹ tích hằng số năng lượng trên mặt phẳng pha minh họa sự gia tăng năng lượng theo thời gian Hình 9.17 Sự thay đổi năng lượng và tốc độ năng lượng theo thời gian Sự ổn định của các hệ phi tuyến phụ thuộc vào trạng thái không gian riêng trong đó véctơ trạng thái được thêm vào đối với dạng và độ lớn của đầu vào. V ì vậy, sự ổn định của các hệ phi tuyến cũng có thể phân loại trên cơ sở vùng như sau: a) Ổn định cục bộ hay ổn định trong phạm vi nhỏ b) Ổn định hữu hạn c) Ổn định toàn bộ M ột hệ phi tuyến được biểu thị là ổn định cục bộ nếu nó giữ nguyên tình trạng trong một vùng rất nhỏ quanh một điểm bất thường khi đưa vào một dao động nhỏ. Ổn định hữu hạn đề cập đến một hệ thống trở lại điểm bất thường từ bất cứ điểm x(t) nào trong khu vực R kích thước hữu hạn bao quanh nó. Hệ thống được gọi là ổn định toàn bộ nếu khu vực R bao gồm toàn bộ không gian trạng thái hữu hạn. Sự ổn định của mỗi loại khác nhau cục bộ, hữu hạn hoặc toàn bộ không loại trừ các dao động giới hạn, nhưng chỉ loại trừ tình huống có thể tồn tại điểm trạng thái có xu hướng di chuyển đến vô cùng. Nếu điểm trạng thái đến gần điểm bất thường khi thời gian tiến ra vô cùng, đối với bất cứ điều kiện ban đầu nào trong vùng đang được xem xét, lúc đó hệ thống được mô tả như là ổn định tiệm cận. Ổn định tiệm cận loại trừ dao động giới hạn ổn định là một điều kiện cân HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 353 bằng động học có thể xảy ra. Điều kiện mạnh nhất có thể được đặt lên một hệ điều khiển phi tuyến với các thông số bất biến theo thời gian là ổn định tiệm cận toàn bộ. Yếu tố chính trong phép phân tích này là việc chọn hàm năng lượng V(t) V t x t x t( ) ( ) ( )= +2 21 2 1 1 2 2 (9.74) Hàm này có hai tính chất rất thú vị. Thứ nhất, nó luôn dương đối với các giá trị khác không của ( )x t1 và x2(t). Thứ hai, nó bằng không khi x t x t( ) ( )= =1 2 0 . M ột hàm vô hướng có các tính chất này gọi là hàm xác định dương. Bằng cách thêm V (t) như một chiều thứ ba đối với mặt phẳng ( )1x t và x2(t), hàm xác định dương V(x1, x2) xuất hiện là mặt ba chiều làm thành dạng hình chén như minh họa trên hình 9.18. Định lý ổn định Lyapunov: Bây giờ có thể được tóm tắt cho không gian trạng thái n chiều: M ột hệ động lực bậc n là ổn định tiệm cận nếu hàm xác định dương V(t) được tìm thấy có đạo hàm theo thời gian là âm dọc theo quỹ đạo của hệ thống. Trong thực tế dễ tìm một hàm là xác định dương, nhưng thêm vào đó hàm V có đạo hàm dV/dt < 0 dọc theo các quỹ đạo lại rất khó tìm.  Dạng toàn phương của hàm V(x) n n ij i j ij ji i j V x q x x q q( ) ; ( ) = = = =∑∑ 1 1 1 2 (9.75) Định lý Sylvester: Điều kiện cần và đủ để dạng toàn phương V (x) là hàm xác định dương là tất cả các định thức đường chéo chính của ma trận đối xứng Q phải dương: Hình 9.18 Hàm xác định dương CHƯƠNG 9 354 q q q q q q Q q q q .... .... .... = 11 12 13 21 22 23 13 32 33 ; ij jiq q= nghĩa là: n q q q q q ;∆ = > ∆ = ∆ > 11 12 1 11 2 21 22 0 0 (9.76) Nếu hàm V(x) là hàm xác định âm thì điều kiện (9.76) được thay thế bằng điều kiện n; ;....;∆ ∆ ∆ <1 2 0 (9.77)  Dạng bình phương của hàm V(x) V(x) = QTx x (9.78) Q là ma trận đối xứng ij jiq q= V ới n = 2 q q Q q q = 11 12 21 22 vì q q=12 21 Điều kiện để hàm V(x) xác định dương theo định lý Sylvester là: q q Q q q = 11 12 21 22 vì q q q q ∆ = > ∆ = − > 1 11 2 2 11 22 12 0 0 Hàm V(x) là hàm xác định dương. Ví dụ: ( )V x x x x x x x( ) = + = + +2 2 21 2 1 1 2 12 Q = 1 1 1 1 ; ∆ = ∆ = 1 0 1 0 Không thỏa mãn định lý Sylvester ∆ =2 0 hàm V(x) là hàm có dấu không đổi: V x( ) = 0 tại x x= =1 2 0 và x x= −1 2 Phương pháp thứ hai của Lyapunov là điều kiện đủ, nếu điều kiện thỏa mãn thì hệ ổn định. Nếu như điều kiện không thỏa mãn thì không thể kết luận hệ thống ổn định hay không. Trong trường hợp này vấn đề ổn định chưa có lời giải. M ột hàm Lyapunov V(x) đối với bất kỳ hệ thống cụ thể nào không phải là HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 355 duy nhất. Do đó, nếu một hàm riêng V không thành công trong việc chứng minh một hệ cụ thể ổn định hay không, không có nghĩa là không thể tìm ra một hàm V khác để xác định được tính ổn định của hệ. Chọn hàm V(x) là hàm xác định dương sao cho: * dV dt ≤ 0 : hệ ổn định * dV dt : là hàm xác định âm Hệ ổn định tiệm cận * dV dt không âm, không dương. V ấn đề về ổn định của hệ còn để ngỏ. Ghi chú: Phương pháp trực tiếp của Lyapunov phụ thuộc vào - Cách chọn biến trạng thái - Cách chọn hàm Lyapunov  Định lý về không ổn định Cho hệ thống bậc hai được mô tả bởi hệ phương trình biến trạng thái ( ) ( ) x x x x x x x x x x = + + = − + + 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 & & (9.79) Cho hàm V(x) để xét tính ổn định của hệ. Định lý: Nếu tìm được một hàm V(x) sao cho đạo hàm dV/dt V( )& dựa vào phương trình vi phân của chuyển động bị nhiễu là hàm xác định dấu, còn trong lân cận tùy ý bé của gốc tọa độ có những điểm tại đó hàm V& lấy giá trị cùng dấu với V thì chuyển động không bị nhiễu không ổn định. Áp dụng cho ví dụ minh họa, chọn hàm V ( )V x x V x x x x = + = + 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 & & & (9.80) Thế phương trình (9.79) vào (9.80) ta được CHƯƠNG 9 356 ( ) ( ) ( ) V x x x x x x x x x x V x x = + + + + − = + 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 22 2 1 2 & & (9.81) V& là hàm xác định dương, cũng như hàm V, điều kiện không ổn định thỏa mãn cho ví dụ được nêu. Nếu hệ được mô tả bằng phương trình biến trạng thái ở dạng chính tắc y y y y = λ = λ 1 1 1 2 2 2 & & (9.82) Chọn hàm V y y= +2 21 2 là hàm xác định dương. V y y( )= λ + λ2 21 1 2 22& (9.83) Nếu chọn hàm V có dạng V y y( )= λ + λ2 21 1 2 22& thì V y y y y( )= λ + λ2 21 1 1 2 2 24& (9.84) V y y( )= λ + λ2 2 2 21 1 2 24& (9.85) Hàm V& (9.85) là hàm xác định dương, điều kiện để hàm V& (9.84) cũng là hàm xác định dương là λ >1 0 và λ >2 0 Điều kiện không ổn định của chuyển động cũng chỉ là điều kiện đủ. Câu trả lời về tính ổn định hoàn toàn phụ thuộc vào cách chọn biến trạng thái và cách chọn hàm V. Trước năm 1940 phương pháp thứ hai của Lyapunov hầu như chưa được áp dụng. Sau năm1940 phương pháp này bắt đầu được sử dụng để phân tích các hệ điều khiển phi tuyến. Ngày nay kết quả của nó và của nhiều công trình khoa học nghiên cứu về lý thuyết ổn định được phát triển sau này, đã được đưa vào áp dụng ngày càng rộng rãi trong nhiều ngành như vật lý, thiên văn, hóa học và cả sinh vật và đặc biệt trong các ngành kỹ thuật hiện đại như kỹ thuật điện tử, điều khiển tự động... HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 357 9.7 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TUYỆT ĐỐI V. M. POPOV M ột tiêu chuẩn ổn định lý thú và rất mạnh đối với các hệ phi tuyến bất biến theo thời gian được giới thiệu vào năm 1959 do nhà toán học người Rumani V. M . Popov. Ổn định tuyệt đối được gọi là ổn định tiệm cận của trạng thái cân bằng trong toàn bộ đối với những phi tuyến thuộc một thể loại xác định. Tiêu chuẩn tần số của Popov là điều kiện đủ để xét ổn định tiệm cận các hệ hồi tiếp vòng đơn (H.9.19). Hình 9.19 Hệ điều khiển hồi tiếp phi tuyến được đề cập bởi Popov Phương pháp này được Popov phát triển từ đầu, có thể áp dụng cho các hệ hồi tiếp vòng đơn chứa phần tử tuyến tính và phi tuyến bất biến theo thời gian. Điểm nổi bật quan trọng của phương pháp Popov là nó có thể áp dụng được cho các hệ thống bậc cao. Ngay khi đã biết được đáp ứng tần số của phần tử tuyến tính có thể xác định sự ổn định của hệ thống điều khiển phi tuyến. Đó chính là sự mở rộng biểu đồ Nyquist sang hệ phi tuyến. M ục này trình bày tiêu chuẩn ổn định Popov với khái niệm về sự ràng buộc dưới dạng bất đẳng thức cho phần phi tuyến, phần gắn với đồ thị tần số biến dạng của phần tử tuyến tính. Đặc điểm nổi bật quan trọng nhất và hấp dẫn nhất của tiêu chuẩn Popov là nó chia sẻ tất cả các đặc tính tần số mong muốn của phương pháp Nyquist. Để giới thiệu phương pháp Popov, ta xét hệ phi tuyến được minh họa ở hình 9.19. Đầu vào khảo sát r(t) được giả thiết là bằng không. Do đó đáp ứng của hệ thống này có thể biểu diễn như sau: t oe t e t g t u d( ) ( ) ( ) ( )= − − τ τ τ∫0 (9.86a) CHƯƠNG 9 358 trong đó: g t L G s( ) ( )−=   1 - đáp ứng kích thích đơn vị ( )oe t - đáp ứng điều kiện ban đầu Trong phép phân tích này phần tử phi tuyến N[e(t)] thỏa mãn điều kiện giới hạn riêng. Ta giả sử mối liên hệ vào ra của phần tử phi tuyến được giới hạn nằm trong vùng minh họa trên hình 9.20. Hình 9.20 Vùng giới hạn của phi tuyến Điều kiện giới hạn cho phần tử phi tuyến: N e t K( )≤ ≤  0 (9.86b) và u t N e t e t( ) ( ) ( )=    Tại mọi thời điểm t tồn tại giá trị giới hạn mu t u( ) ≤ < ∞ nếu me t e( ) ≤ (9.87) Giả thiết duy nhất liên quan đến phần tử tuyến tính G(s) là đáp ứng đầu ra ổn định bậc n. Trường hợp phần tuyến tính không ổn định, phải dùng phương pháp hiệu chỉnh để đưa về ổn định, sau đó mới xét theo tiêu chẩn Popov. Phương pháp Popov liên quan đến hoạt động tiệm cận của tín hiệu điều khiển u(t) và ngõ ra –e(t) của phần tử tuyến tính. Do đó thêm vào các định nghĩa ổn định tiệm cận, ổn định cục bộ, ổn định hữu hạn, ổn định toàn bộ đã giới thiệu ở mục 9.6 kết hợp tiêu chuẩn ổn định Lyapunov, ở đây ta quan tâm đến điều khiển HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 359 tiệm cận và đầu ra tiệm cận. Điều khiển tiệm cận bậc n tồn tại nếu một giá trị thực n có thể được tìm thấy cho mỗi tập các điều kiện ban đầu như sau: ( )nte u t dt ∞ −  < ∞  ∫ 2 0 (9.88) Đầu ra tiệm cận bậc n tồn tại nếu một giá trị thực n được tìm thấy cho bởi tập các điều kiện ban đầu như ( )nte e t dt ∞ −  < ∞  ∫ 2 0 (9.89) Các định nghĩa ổn định này có thể làm rõ bằng các bổ đề sau: Nếu phần tử tuyến tính G(s) của hình 9.20 là ổn định đầu ra bậc n, đầu vào và đầu ra của phần tử phi tuyến được giới hạn, thỏa phương trình (9.87) và hệ thống hồi tiếp là điều khiển tiệm cận bậc n, khi đó nt t e e tlim ( )− →∞ = 0 (9.90) V ì vậy nếu bổ đề này là thỏa, e(t) hội tụ về zero nhanh hơn nte− đối với n > 0. Định lý cơ bản của Popov được dựa trên hệ thống điều khiển hồi tiếp minh họa ở hình 9.19. Hình 9.21 Đặc tính phi tuyến có từ trễ thụ động Giả sử hệ thống tuyến tính là ổn định. CHƯƠNG 9 360 Định lý phát biểu rằng đối với hệ thống hồi tiếp là ổn định tuyệt đối, khi [ ]0 ( )N e t K≤ ≤ (9.91) đủ để một số thực q tồn tại sao cho đối với tất cả ω thực 0≥ và một số nhỏ tùy ý 0δ > điều kiện sau được thỏa: j q G j KRe ( ) ( ) /+ ω ω + ≥ δ >  1 1 0 (9.92) Hệ thức (9.92) là tiêu chuẩn Popov. Tùy theo dạng phi tuyến hiện diện, các giới hạn về q và K là bắt buộc: a) Đối với phi tuyến đơn trị bất biến theo thời gian q−∞ < < ∞ nếu K< < ∞0 q≤ < ∞0 nếu K = ∞ b) Đối với phi tuyến có từ trễ thụ động (H.9.22) q−∞ < ≤ 0 và K< < ∞0 c) Đối với phi tuyến có từ trễ tích cực ( xem hình 9.23) q≤ < ∞0 và K< ≤ ∞0 d) Đối với phi tuyến biến thiên theo thời gian: q = 0 (H.9.24) Kiểm tra bốn dạng phi tuyến có thể có này nói lên rằng định lý cho phép một sự trao đổi giữa các yêu cầu đối với các phần tử phi tuyến và tuyến tính. Ta hãy viết lại (9.92) như sau G j q G j K Re ( ) Im ( )ω > − + ω ω1 (9.93) Hệ thức (9.93) phát biểu rằng với mỗi ω đồ thị Nyquist của ( )G jω phải nằm bên phải của đường thẳng G j q G j K Re ( ) Im ( )ω = − + ω ω1 (9.94) Đường thẳng này gọi là đường Popov được minh họa ở hình 9.23. Góc α và β ø là HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 361 q q t an tan − − α = ω β = ω 1 1 1 (9.95) Hình 9.22 Đặc tính phi tuyến có từ trễ tích cực Hình 9.23 Phương pháp Popov khi q là xác định Rõ ràng độ dốc của đường thẳng này phụ thuộc vào ω . Sự ổn định phụ thuộc vào việc chọn giá trị q sao cho đối với mỗi tần số ω , G (j ω ) nằm bên phải của đường Popov có độ dốc phụ thuộc vào tần số (9.95). Để tìm đường Popov không nhạy cảm theo tần số, sử dụng phép biến đổi: G j G j j G j*( ) Re ( ) Im ( )ω = ω + ω ω (9.96) trong đó G j*( )ω là đặc tính tần số đã được sửa đổi (phần ảo của G j( )ω được nhân thêm ω của phần tuyến tính nguyên thủy ban đầu G j( )ω . Do đó phương trình (9.92) có thể viết lại G j q G j K * *Re ( ) Im ( )ω > − + ω1 (9.97) CHƯƠNG 9 362 Hình 9.24 Đường Popov trong mặt phẳng G j*( )ω đối với trường hợp 0q ≥ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 363 Trong mặt phẳngG j*( )ω đường Popov được xác định G j q G j K * *Re ( ) Im ( )ω = − + ω1 (9.98) và không nhạy cảm theo tần số. Đường Popov trong mặt phẳng G j*( )ω được minh họa ở hình 9.24 và 9.25. Góc γ được định nghĩa như sau: qt an −γ = 1 (9.99) Chú ý từ các hình 9.24 và 9.25 quỹ tích G j*( )ω đi qua bên phải của tiếp tuyến đến quỹ tích ở điểm mà G j*( )ω giao với trục thực âm. Điểm này có giá trị -1/K. Do đó K biểu thị độ lợi cho phép cực đại đối với hệ thống. Đối với trường hợp mà q = 0, biểu thức đường Popov rút gọn và hệ thống là ổn định nếu nó nằm bên phải của đường thẳng đứng đi qua điểm -1/K như hình 9.25. * Chú ý trường hợp q = 0, đường thẳng Popov vuông góc với trục hoành tại điểm -1/K (H.9.25). Ví dụ: Xét hệ minh họa ở hình 9.26. Đối với phần tử tuyến tính, đáp ứng điều kiện đầu oe t( ) được cho bởi: t t t oe t e e e e e e( ) − − −= + +2 310 20 30 (9.99) trong đó e e,10 20 phụ thuộc vào điều kiện đầu. Hình 9.26 Ví dụ về hệ thống điều khiển phi tuyến Hình 9.25 Đường Popov trong mặt phẳng G j*( )ω đối với trường hợp 0q ≥ CHƯƠNG 9 364 Đáp ứng xung đơn vị g(t) được cho bởi t t tg t e e e u t( ) , , ( )− − − = − +   2 30 5 0 5 (9.100) V ới u(t) là hàm nấc đơn vị 1(t). Phương trình (9.100) chỉ ra rằng phần tử tuyến tính cho kết quả ổn định và thỏa một trong những điều kiện cần thiết để sử dụng phương pháp Popov. Đặc tính tần số đã sửa đổi G j*( )ω của phần tuyến tính được vẽ ở hình 9.27. Từ biểu đồ này kết luận rằng nếu phần tử phi tuyến đơn trị và nếu q = 0,5 thì điều kiện Popov thỏa mãn khi K< ≤0 60 Kết luận: Phương pháp Popov đưa ra điều kiện chính xác và đủ để xác định điều kiện ổn định tuyệt đối của hệ thống hồi tiếp có cấu hình minh họa ở hình 9.19, với các giới hạn bắt buộc cho một lớp phi tuyến nào đó và phần tuyến tính là ổn định. Bất đẳng thức (9.92) đối với thành phần ( )G jω và một hằng số thực q là yếu tố then chốt của kỹ thuật này. Phương pháp Popov chia sẻ tất cả đặc tính tần số của phương pháp Nyquist và dễ dàng áp dụng vào các hệ thống bậc cao. Hình 9.27 Đặc tính tần số G*(jω ) cho ví dụ hình 9.26 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 365 Tiêu chuẩn đường tròn tổng quát hóa - phương pháp Popov mở rộng sang các dạng hệ thống khác, mà không nhất thiết bị giới hạn ở các hệ có phần tuyến tính ổn định và phi tuyến bất biến theo thời gian. 9.8 TỔNG KẾT Sau khi đã nghiên cứu các phương pháp khác nhau dùng để phân tích các hệ phi tuyến, cần xác định một cách hợp lý phương pháp nào nên dùng cho một hệ thống điều khiển cụ thể. Lưu đồ lôgich chọn lựa phương pháp phân tích hệ thống điều khiển phi tuyến được trình bày ở hình 9.28. Trong các hệ gần tuyến tính, phương pháp xấp xỉ tuyến tính hóa cho phép sử dụng kỹ thuật tuyến tính quy ước của phép phân tích như biểu đồ Nyquist, giản đồ Bode hay phương pháp Quỹ đạo nghiệm số Đối với loại hệ thống điều khiển này, có thể dùng lý thuyết điều khiển tự động tuyến tính để phân tích và thiết kế. Đó cũng là lý do tại sao hệ thống ĐKTĐ tuyến tính được phân tích kỹ và sâu trong phần đầu của quyển sách này. Nếu một hệ thống không thể xấp xỉ tuyến tính được, khi đó phải dùng một hay nhiều các phương pháp khảo sát hệ phi tuyến đã trình bày trong chương này. Nếu hệ thống phi tuyến là bất biến theo thời gian và có phần tuyến tính là ổn định hoặc ở biên giới ổn định (không có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng S), khi đó nên vận dụng phương pháp hàm mô tả. Đây là một phương pháp gần đúng, xấp xỉ hàm truyền đạt phức số của khâu phi tuyến bằng cách chỉ xét các thành phần cơ bản đầu ra. Trong thực tế phương pháp hàm mô tả hay còn gọi là phương pháp cân bằng điều hòa là một phương pháp rất đắc lực để khảo sát các hệ bậc cao và tìm điều kiện tồn tại chế độ tự dao động trong hệ. Tuy nhiên trong một số trường hợp đặc biệt phương pháp này không cho câu trả lời đúng, chính xác về chế độ tự dao động. Cách khắc phục là cần phải xét ảnh CHƯƠNG 9 366 hưởng của các họa tần bậc cao lên hàm mô tả của phần tử phi tuyến và kết quả là hàm mô tả sẽ là một họ đường cong phụ thuộc vào biên độ và tần số tín hiệu vào. Phương trình cân bằng điều hòa sẽ có dạng: N M G j( , ) ( )+ ω ω =1 0 Kết quả nhận được cần phải kiểm tra lại bằng cách mô phỏng hệ thống hay dùng phương pháp khác. Nếu hệ điều khiển phi tuyến là bậc hai, khi đó phương pháp mặt phẳng pha và Lyapunov là các phương pháp thích hợp nhất được sử dụng. Phương pháp Lyapunov cũng có thể dùng kiểm tra nếu hệ bậc ba. Nếu hệ là bậc ba hay cao hơn, lúc đó phương pháp Popov được sử dụng để xét ổn định tuyệt đối cho hệ. Nếu phần tử phi tuyến là hàm biến thiên theo thời gian và phần tử tuyến tính là không ổn định, khi đó dùng tiêu chuẩn đường tròn tổng quát xác định vùng giá trị các độ lợi để hệ thống ổn định. Phương pháp mô phỏng hệ thống được dùng để kiểm tra lần cuối sự ổn định của hệ thống. Nó sẽ trợ giúp trong việc kiểm tra các yếu tố biến thiên từ sự bất định có liên quan tới tính hiệu lực của giả thiết và đối với các khó khăn thuộc về phân tích do hệ phức tạp gây ra. M ô phỏng hệ thống cũng cần thiết bởi vì kỹ thuật điều khiển tự động (ĐKTĐ) hiện nay vẫn còn bất lực trong việc chứng minh sự ổn định của hệ phi tuyến một cách thuyết phục. M ột ví dụ về điều này là phương pháp thứ hai của Lyapunov là điều kiện đủ, nhưng không phải là điều kiện cần cho sự ổn định. Do đó, nếu không tìm ra một hàm Lyapunov, không có nghĩa là hệ điều khiển phi tuyến là không ổn định. Như minh họa trên hình 9.28, phương pháp mô phỏng là không bắt buộc trong vài trường hợp và được ký hiệu bằng đường gạch đứt nét. HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG PHI TUYẾN 367 Hình 9.28 368 Phụ lục A. BẢNG BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ Z No Hàm Laplace F(s) Hàm thời gian f(t) Hàm z F(z) 1 1/s u(t) z/(z - 1) 2 1/s2 t Tz/(z - 1)2 3 1/s3 t2/2 T2z(z + 1)/2(z - 1)3 4 3s 1 3t !3 1 4 23 )1z(6 )1z4z(zT − ++ 5 )as( 1 + e–at aTez z − − 6 2)as( 1 + te–at 2aT aT ez Tze      − − − 7 3)as( 1 + −at21 t e 2 3aT aT aT 2 )ez( )ez(z e 2 T − − − − + 8 )as(s a + 1 – e–at )ez)(1z( )e1(z aT aT − − −− − 9 )as(s a 2 + − − − at1 e t a )ez()1z(a )]aTee1(z)e1aT[(z aT2 aTaTaT − −−− −− −−++− 10 )bs)(as( ab ++ − e–at – e–bt )bz)(ez( z)ee( bTaT bTaT −− −− −− − 11 2)as( a + (1– at)e–at 2aT aT )ez( )]aT1(ez[z −− − − +− 12 2 2 )as(s a + 1 – (1 + at) e–at 2aT aT aT )ez( zaTe ez z 1z z − − − − − − − − 13 )bs)(as( s)ab( ++ − be–bt–ae–at )ez)(ez( )]aebe()ab(z[z bTaT bTaT −− −− −− −−− 14 22 as a + sin at 1z)aTcos2(z aTsinz 2 +− 15 22 as s + cos at 1z)aTcos2(z )aTcosz(z 2 +− − 16 22 b)as( b ++ e–atsinbt aT2aT2 aT ez)bT(cose2z bTsinze −− − +− 17 22 b)as( as ++ + e–atcosbt aT2aT2 aT ez)bT(cose2z )bTcosez(z −− − +− − 18 )bs)(as(s 1 ++ ( ) ( ) − − + + − − at at1 e be ab a a b b b a )1z)(ez)(ez( z)BAz( bTaT −−− + −− )ab(ab )e1(a)e1(b A bTaT − −−− = −− )ab(ab )e1(be)e1(ae B aTbTbTaT − −−− = −−−− 19 1 δ(t) 1 20 1 S ( ) ( ) lim ( ) +∞ → = = = δ −∑ T 0 n 0 u t 1 t t nT − = − − TS 1 z z 11 e 369 B. TÓM TẮT MỘT VÀI TÍNH CHẤT VÀ ĐỊNH LÝ CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI Z No Dãy tín hiệu Biến đổi Z Miền hội tụ Ghi chú x(n) y(n) X(z) Y(z) Rx– < |z|< Rx+ Ry– < |z| < Ry+ 1 a.x(n) + b.y(n) a.X(z) + b.Y(z) max[Rx–, yy–] < |z| < min [Rx+, Ry+] Tính tuyến tính 2 x(n – no) x(n + no) no nguyên dương onz− . X(z) onz . X(z) Rx– < |z| < Rx+ Tính trễ (dịch chuyển theo thời gian) 3 an. x(n)       a z X |a|.Rx– < |z| < |a| Rx+ Thay đổi thang tỉ lệ (Nhân dãy với hàm mũ an) 4 n. x(n) dz )z(dX z− Rx– < |z| < Rx+ Đạo hàm của biến đổi z 5 x*(n) X*(z*) Rx– < |z| < Rx+ Dãy liên hợp phức 6 x(–n)       z 1 X −xR 1 < |z| < +xR 1 Đảo trục thời gian 7 Nếu x(n) = 0 với n < 0 x(0) = )z(Xlim z ∞→ Định lý giá trị đầu 8 x(n) * y(n) X(z). Y(z) max[Rx–, Ry–] < |z| < min [Rx+, Ry+] Tích chập của hai dãy 9 x(n). y(n) pi 1 2 j ( ) ⋅∫ C X V dvV V z Y 1−×      Rx–Ry– < |z| < Rx+ Ry– Tích của hai dãy 10 rxy(n) = ( ) ( ) ∞ =−∞ −∑ m x m y m n Rxy(z) = X(z). Y       z 1 Rx– < |z| < Rx+ +yR 1 < |z| < −yR 1 Tương quan của hai tín hiệu 11 ( ) +∞ =−∞ ∑ n x n )z(X z1 1 1− − Tối thiểu là giao của Rx và |z| > 1 12 Tính giá trị xác lập X(∞)= )z(X)z1(lim 1 1z − − − Định lý giá trị cuối 370 C. HÀM MÔ TẢ CÁC KHÂU PHI TUYẾN ĐIỂN HÌNH 1. Khâu có vùng chết sin sin N D , x(t) Msin t M M D α + α = − pi α = = ω > 2 21 2. Khâu bão hòa sinN α + α= pi 2 2 3. Khâu khe hở sin cos sin N j M; A A D α α α = − + − pi pi pi α = − = 21 2 2 2 2 1 4. Rơle 3 vị trí có trễ (cos cos )( ) (sin sin ) sin N N 2 K N A D h 2K -j A(D h) D M; sin ; A A M D h = α + α pi + α − α pi + α = α = = + 1 2 1 2 1 2 1 5. Khâu so sánh có trễ Trigger Schmit không đảo max (cos sin ) sin H H V N j AV M M , A A D V = α + α pi α = = = 04 1 6. y x MN y x =  ⇒ = pi= −  2 2 8 3 7. 23M y x ; N 4 = = 3 45 o x-D F(x) 0 -D D 45 o 0 x F(x) V H 0 V L V omax F(x) V i x -K N D + h D -D 0 -D - h K N h x F(x) F(x) 0 x Y = -x 2 Y = x 2 -D 45 o D x F(x) 371 Tài liệu tham khảo 1. Nguyễn Thị Phương Hà, Điều khiển tự động, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, 1996. 2. Nguyễn Thị Phương Hà, Bài tập Điều khiển tự động, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, 1996. 3. Benjamin C. Kuo, Automatic Control Systems, Prentice-Hall Intermational Editions, Seventh Edition, 1995. 4. Stanley M . Shinners, Modem Control System Theory and Design, New York, 1992. 5. John Van De V egte, Feedback Control Systems, Prentice- Hall, 1991. 6. Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering, Prentice- Hall, 1990. 7. Charlex L. Phillips & H. Troy Nagle, Digital Control System Analysis and Design, Prentice-Hall, 1992. 8. Leigh J. R., Applied Digital Control Theory, Design and Implementation, London, 1984. 9. Karl J. Åstrưm and Bjưrn W ittemmark, Computer Controlled Systems Theory and Design, Prentice-Hall Information and System Sciences, Thomas Kailath, Editor, 1984.