1. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Để tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số trong miền D, chúng ta phải tìm các điểm
tới hạn, (điểm cực đại (cực tiểu)), của hàm số sau đó so sánh giá trị hàm tại các điểm
đó với nhau và với các điểm cực đại (cực tiểu) trên biên của D, từ đó rút ra kết luận về
giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) cũng như vị trí những điểm đạt các giá trị này.
2. Cực trị có điều kiện, phương pháp nhân tử Lagrange
Người ta gọi cực trị của hàm số z = f(x,y) (*), trong đó các biến số x và y bị ràng buộc
bởi hệ thức g(x,y) = 0 (**) là cực trị có điều kiện.
Giả sử M0(x0,y0) là điểm cực trị có điều kiện của hàm số (*) với điều kiện (**), đồng
thời:
a) Ở lân cận M0, các hàm số f(x,y), g(x,y) có các đạo hàm riêng cấp một liên tục.
b) Các đạo hàm riêng g’x, g’y không đồng thời bằng không tại M0.
139 trang |
Chia sẻ: hachi492 | Ngày: 08/01/2022 | Lượt xem: 480 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Giáo trình môn Giải tích 1, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
xdx)1ncos(xsin f)
4/
0
1n2
dx
xcosxsin
xcosxsin
7. Với giả thiết các hàm là khả tích trên miền đang xét, chứng minh rằng
a)
b
a
dx)x(f =
1
0
dx]x)ab(a[f b)
a
0
23 dx)x(fx =
2a
0
dx)x(xf
2
1 (a > 0)
c)
a
a
dx)x(f = 0 (f là hàm lẻ) d)
a
a
dx)x(f = 2
a
0
dx)x(f (f là hàm chẵn)
e)
Ta
a
dx)x(f =
T
0
dx)x(f (f là hàm tuần hoàn chu kỳ T)
8. Chứng minh rằng nếu f(x) liên tục trên [0,1] thì
a)
2/
0
dx)x(sinf =
2/
0
dx)x(cosf b)
0
dx)x(sinxf =
0
dx)x(sinf
2
Áp dụng tính các tích phân sau
c)
0
2 xcos1
xdxsinx d)
2/
0
33
3
xcosxsin
xdxcos e)
2/
0 xcosxsin
dxxsin
f)
2/
0
2)tgx(1
dx g)
2/
0
33
3
2xcosxsin
dx)1x(sin h)
2/
0 4xcosxsin
dx)2xcos(
9. Cho f(x), g(x) là hai hàm số khả tích trên [a,b]. Khi đó f2(x), g2(x) và f(x)g(x)
cũng khả tích trên [a,b], với a < b, chứng minh
2b
a
dx)x(g)x(f
≤
b
a
2 dx)x(f
b
a
2 dx)x(g
Giải tích 1 Tuần VII. Tích phân xác định
Lê Chí Ngọc Khoa Toán-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 94
10. Cho hàm f(x) khả tích và nghịch biến trên [0,1], chứng minh rằng α (0,1), ta
có:
0
dx)x(f ≥ α
1
0
dx)x(f
Giải tích 1 Tuần VIII. Tích phân suy rộng
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 95
Tuần VIII. Tích phân suy rộng
A. Tổng quan
1. Nội dung vắn tắt: Tích phân suy rộng.
2. Mục tiêu: Cung cấp cho sinh viên các khái niệm về tích phân suy rộng: có cận
vô hạn và hữu hạn, định nghĩa, ý nghĩa hình học; các khái niệm: hội tụ, phân kỳ, giá trị
của tích phân, hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ, dấu hiệu so sánh.
3. Các kiến thức cần có trước: Các kiến thức về hàm số, liên tục, đạo hàm của
hàm số, tích phân bất định và tích phân xác định.
Giải tích 1 Tuần VIII. Tích phân suy rộng
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 96
B. Lý thuyết
I Cận lấy tích phân là vô hạn
1. Định nghĩa
Định nghĩa 8.1.1: Cho hàm số f(x) xác định trên [a,+∞) và khả tích trên bất kỳ đoạn
hữu hạn [a,A]. Nếu tồn tại
A
a
A
dx)x(flim thì giới hạn đó được gọi là tích phân suy
rộng của hàm số f(x) trên [a,+∞), ký hiệu là
a
dx)x(f (*), và ta nói tích phân (*) là hội
tụ. Ngược lại (giới hạn không tồn tại) thì ta nói rằng tích phân (*) là phân kỳ. Tương
tự, ta có tích phân suy rộng của hàm số f(x) từ -∞ đến a:
a
dx)x(f =
a
A '
A '
lim f (x)dx
(với giả thiết f(x) khả tích trên đoạn hữu hạn [A’,a] bất kỳ) và tích phân suy rộng từ -∞
đến +∞:
dx)x(f =
A
'A'A
A
dx)x(flim (với giả thiết f(x) khả tích trên đoạn hữu hạn [A’,A]
bất kỳ).
Chú thích: Ta cũng có thể viết:
dx)x(f =
a
dx)x(f +
a
dx)x(f (tích phân suy rộng ở
vế trái sẽ hội tụ khi và chỉ khi cả hai tích phân suy rộng ở vế phải là hội tụ).
II Hàm số lấy tích phân không bị chặn
1. Định nghĩa
Định nghĩa 8.2.1: Cho hàm số f(x) bị chặn và khả tích trong khoảng đóng [a,b-η] với 0
< η < b - a bất kỳ, nhưng không khả tích trong đoạn [b-μ,b] với 0 < μ ≤ b - a bất kỳ,
đồng thời
x b
lim
f(x) = ∞. Nếu tồn tại giới hạn
0
lim
b
a
f (x)dx
hữu hạn, thì giới hạn đó
được gọi là tích phân suy rộng của hàm f(x) lấy trên [a,b], ta nói tích phân
b
a
f (x)dx hội
tụ và đặt:
b
a
f (x)dx = 0lim
b
a
f (x)dx
, ngược lại, ta nói tích phân
b
a
f (x)dx phân kỳ.
Giải tích 1 Tuần VIII. Tích phân suy rộng
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 97
Tương tự, nếu f(x) bị chặn và khả tích trong khoảng đóng [a + η’,b] với 0 < η’ < b - a
bất kỳ, nhưng không khả tích trong đoạn [a,a + μ’] với 0 < μ’ ≤ b - a bất kỳ, đồng thời
x a
lim
f(x) = ∞, nếu tồn tại giới hạn
' 0
lim
b
a '
f (x)dx
hữu hạn, thì giới hạn đó được gọi là
tích phân suy rộng của hàm f(x) lấy trên [a,b], ta nói tích phân
b
a
f (x)dx hội tụ và đặt:
b
a
f (x)dx = ' 0lim
b
a '
f (x)dx
.
Định nghĩa 8.2.2: Nếu f(x) không bị chặn tại c thuộc (a,b), ta định nghĩa tích phân suy
rộng
b
a
f (x)dx bởi biểu thức
b
a
f (x)dx =
c
a
f (x)dx +
b
c
f (x)dx . Tích phân suy rộng ở vế
trái sẽ hội tụ khi và chỉ khi cả hai tích phân suy rộng ở vế phải hội tụ.
Chú thích: Những điểm mà tại đó hàm số không bị chặn trong các định nghĩa trên
được gọi là điểm bất thường của hàm số.
III Cách tính
Xét
a
dx)x(f . Giả sử f(x) trên [a,+∞) có nguyên hàm F(x), khi đó, ta có:
a
dx)x(f =
A
a
A
dx)x(flim =
A
lim
(F(A) - F(a))
nếu
a
dx)x(f hội tụ, ta có
A
lim
F(A) hữu hạn, ký hiệu F(+∞) =
A
lim
F(A), như thế:
a
dx)x(f = F(+∞) - F(a) = aF(x)
Với các ký hiệu tương tự và giả thiết tương tự, ta cũng có:
a
dx)x(f = aF(x)
và
dx)x(f = F(x)
Giải tích 1 Tuần VIII. Tích phân suy rộng
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 98
Ví dụ: Xét sự hội tụ của
a
dx
x
a) α = 1, ta có:
a
dx
x
= Alim (lnA - lna) = +∞, vậy tích phân phân kỳ khi α = 1
b) α ≠ 1, ta có:
a
dx
x
= Alim
1 1A a
1 1
=
1a khi 1
1
khi 1
vậy tích phân đã cho hội tụ khi α > 1 và phân kỳ khi α ≤ 1.
Cũng như đối với tích phân xác định thông thường, tích phân suy rộng cũng có
thể thực hiện phép đổi biến và lấy tích phân từng phần.
Ví dụ:
0
2 xx e dx
=
02 xx e
- 2
0
xxe dx
= -2
0xxe
+ 2
0
xe dx
=
0xe
= 1.
IV Mối quan hệ của các tích phân suy rộng
Ta cũng có thể viết
a
dx)x(f =
a
f ( t)dt
(thực hiện phép đổi biến x = -t) như thế tích
phân suy rộng dạng
a
dx)x(f có thể quy về dạng
a
f (x)dx
.
Giải tích 1 Tuần VIII. Tích phân suy rộng
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 99
Tương tự, xét tích phân suy rộng
b
a
f (x)dx (f(x) không bị chặn tại a) bằng phép
đổi biến t = 1
x a
, ta có
b
a
f (x)dx = 2
1
b a
1f a
t dt
t
(với ý nghĩa
b
a
f (x)dx và
2
1
b a
1f a
t dt
t
sẽ cùng phân kỳ hoặc cùng hội tụ và có giá trị bằng nhau).*
Với ý nghĩa tương tự như trên, ta có, trong trường hợp f(x) không bị chặn tại b,
b
a
f (x)dx = 2
1
b a
1f b
t dt
t
thông qua phép đổi biến t =
1
b x
, và nếu f(x) không bị chặn
tại c (a,b), ta có:
b
a
f (x)dx =
c
a
f (x)dx +
b
c
f (x)dx =
1
a c
2
1f c
t dt
t
+ 2
1
b c
1f c
t dt
t
thông qua phép đổi biến t = 1
x c
Chú thích: Với nhận xét trên, đối với tích phân suy rộng có cận vô hạn, ta cũng coi các
điểm ∞ là điểm bất thường.
Ví dụ: Xét sự hội tụ của
b
a
dx
(b x) , đổi biến t =
1
b x
, ta có
b
a
dx
(b x) =
2
1
b a
t dt
, hội
tụ khi α < 1, phân kỳ khi α ≥ 1. Tương tự, ta cũng có
b
a
dx
(x a) cũng hội tụ khi α < 1,
phân kỳ khi α ≥ 1.
* Có thể dễ dàng kiểm chứng được, nếu f(x) hữu hạn và khả tích trên đoạn [A,b] với a < A < b
bất kỳ thì f(x) cũng sẽ hữu hạn và khả tích trên đoạn hữu hạn 1 , A
b a
với A > 1
b a
bất
kỳ.
Giải tích 1 Tuần VIII. Tích phân suy rộng
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 100
V Tính chất của tích phân suy rộng
1. Tính hội tụ hay phân kỳ của tích phân suy rộng
b
a
f (x)dx không phụ thuộc vào a
(trường hợp b là điểm bất thường duy nhất của tích phân) và không phụ thuộc vào b
(trường hợp a là điểm bất thường duy nhất của tích phân).
2. Cho các tích phân suy rộng
b
a
f (x)dx và
b
a
g(x)dx với cùng các điểm bất thường
(a có thể là -∞, b có thể là +∞), nếu
b
a
f (x)dx và
b
a
g(x)dx hội tụ thì
b
a
(f )x) g(x))dx hội
tụ và
a
(f (x) g(x))dx
=
a
dx)x(f +
a
g(x)dx
.
3. Nếu tích phân suy rộng
b
a
f (x)dx = I thì
b
a
cf (x)dx = cI, ngược lại nếu
b
a
f (x)dx
phân kỳ thì
b
a
cf (x)dx phân kỳ.
VI Các tiêu chuẩn xét hội tụ
1. f(x) ≥ 0*
Dựa vào định nghĩa tích phân suy rộng và điều kiện tồn tại giới hạn, ta có nhận xét sau.
Xét trường hợp tích phân suy rộng
b
a
f (x)dx với b là điểm bất thường (b có thể là
+∞), khi đó ta có Φ(A) =
A
a
f (x)dx (a ≤ A < b) là hàm đơn điệu tăng theo biến A. Tức
là
b
a
f (x)dx hội tụ khi và chỉ khi
A
a
f (x)dx bị chặn trên khi A tăng. Tương tự, ta cũng có
* Trường hợp f(x) ≤ 0, nhờ tính chất 3 của tích phân suy rộng, được xét tương tự.
Giải tích 1 Tuần VIII. Tích phân suy rộng
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 101
tích phân suy rộng
b
a
f (x)dx với a là điểm bất thường (a có thể là -∞) hội tụ khi và chỉ
khi
b
B
f (x)dx bị chặn trên khi B giảm.
Định lý 8.6.1: Cho hai tích phân suy rộng
b
a
f (x)dx và
b
a
g(x)dx , (a có thể là -∞, và b có
thể là +∞), với cùng các điểm bất thường. Nếu 0 ≤ f(x) ≤ g(x) tại mọi điểm không bất
thường, khi đó:
i) Nếu
b
a
g(x)dx hội tụ thì
b
a
f (x)dx hội tụ
ii) Nếu
b
a
f (x)dx phân kỳ thì
b
a
g(x)dx phân kỳ
(+)Chứng minh: Ta sẽ chứng minh cho trường hợp tích phân suy rộng có cận trên là
+∞, các trường hợp khác chứng minh tương tự.
i) Giả sử
a
g(x)dx
hội tụ, ta có A > a:
A
a
f (x)dx ≤
A
a
g(x)dx ≤
a
g(x)dx
=>
A
a
f (x)dx
bị chặn trên khi A tăng hay
a
f (x)dx
hội tụ.
ii) Giả sử
a
f (x)dx
phân kỳ. Ta có A > a:
A
a
f (x)dx ≤
A
a
g(x)dx , mà
A
a
f (x)dx không
bị chặn khi A tăng theo giả thiết, nghĩa là
A
a
g(x)dx không bị chặn khi A tăng, hay
b
a
g(x)dx phân kỳ.■
Ví dụ: Xét sự hội tụ của các tích phân:
a) 10
1
dx
1 x
, ta có 10
1
1 x
< 10
1
x
, mà 10
1
dx
x
hội tụ => 10
1
dx
1 x
hội tụ.
Giải tích 1 Tuần VIII. Tích phân suy rộng
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 102
b)
1
xdx
1 x
, ta có với 1 < x,
x
1 x
> x
2x
= 1
2 x
, mà
1
dx
2 x
phân kỳ =>
1
xdx
1 x
phân kỳ.
c)
1 n
2
0
x dx
1 x
, ta có, với 0 < x < 1,
n
2
x
1 x
< 1
1 x
, mà
1
0
dx
1 x hội tụ =>
1 n
2
0
x dx
1 x
hội tụ.
Định lý 8.6.2: Cho hai tích phân suy rộng
b
a
f (x)dx và
b
a
g(x)dx , (a có thể là -∞, và b có
thể là +∞), với duy nhất điểm bất thường c. Nếu
x c
lim
f (x)
g(x)
= k (0 < k < +∞) thì các tích
phân
a
dx)x(f và
a
g(x)dx
hoặc cùng hội tụ, hoặc cùng phân kỳ.
(+)Chứng minh: Ta sẽ chứng minh cho trường hợp c là điểm bất thường thuộc (a,b) (a
và b hữu hạn), các trường hợp khác chứng minh tương tự.
Theo định nghĩa giới hạn, ta có ε > 0, δ > 0 sao cho: x (c - δ) (c + δ),
ta có: k - ε < f (x)
g(x)
< k + ε, hay (k - ε)g(x) < f (x)
g(x)
< (k + ε)g(x), dựa vào tính chất thứ
hai của tích phân suy rộng và định lý 7.8.1, ta có đpcm.■
Nhận xét: Trong trường hợp k = 0 (k = +∞), ta có với x đủ gần c (đủ lớn trong trường
hợp c là +∞, đủ bé trong trường hợp c là -∞), thì f(x) ≤ g(x) (g(x) ≤ f(x)), từ tính chất
thứ nhất của tích phân suy rộng, ta có các kết luận của định lý 8.4.1.
Ví dụ: Xét tính hội tụ của các tích phân sau:
a)
1 2
3 2
0
cos xdx
1 x
, ta có x 1lim
2
3 2
3
cos x
1 x
1
1 x
=
2
3
cos 1
2
, mà
1
3
0
dx
1 x hội tụ =>
1 2
3 2
0
cos xdx
1 x
hội tụ.
Giải tích 1 Tuần VIII. Tích phân suy rộng
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 103
c)
1
dx
x ln(1 x)
, ta có, khi x → +∞: ln(1+x) ~ lnx, mà 1
dx
x ln x
=
1
d(ln x)
ln x
phân kỳ,
nên
1
dx
x ln(1 x)
phân kỳ.
2. f(x) có dấu bất kỳ
Định lý 8.6.3: Cho tích phân suy rộng
b
a
f (x)dx (a có thể là -∞, và b có thể là +∞), nếu
b
a
| f (x) | dx hội tụ thì
b
a
f (x)dx hội tụ.
Ví dụ:
3 2
/ 2
cos xdx
x
, ta có 3 2
| cos x |
x
≤
3 2
1
x
, mà
3 2
/ 2
dx
x
hội tụ => 3 2
/ 2
cos xdx
x
hội tụ.
Chú ý: Điều ngược lại chưa chắc đúng.
Từ đó, ta có các khái niệm sau.
Định nghĩa 8.6.1: Cho tích phân suy rộng
b
a
f (x)dx (a có thể là -∞, và b có thể là +∞),
i) Nếu
b
a
| f (x) | dx hội tụ thì
b
a
f (x)dx gọi là hội tụ tuyệt đối.
ii) Nếu
b
a
f (x)dx hội tụ, nhưng
b
a
| f (x) | dx phân kỳ thì
b
a
f (x)dx gọi là bán hội tụ.
Định lý 8.6.4 (Tiêu chuẩn hội tụ Dirichlet): Cho tích phân suy rộng
a
f (x)g(x)dx
, nếu
khi x → +∞, g(x) khả vi, giảm dần về 0, còn f(x) có nguyên hàm F(x) giới nội, thì tích
phân hội tụ.
Ví dụ: Xét tính hội tụ của
a
sin x dx
x
(0 ≤ α ≤ 1, a > 0)
Giải tích 1 Tuần VIII. Tích phân suy rộng
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 104
i) α > 1, ta có trên [a,+∞) | sin x |
x
≤ 1
x
, mà
a
dx
x
hội tụ =>
a
sin x dx
x
hội tụ tuyệt
đối.
ii) 0 < α ≤ 1, ta có 1
x
khả vi và
x
lim
1
x
= 0, còn sinx có nguyên hàm -cosx giới nội
(|-cosx| ≤ 1) =>
a
sin x dx
x
hội tụ.
Mặt khác, giả sử
a
sin x dx
x
hội tụ tuyệt đối, ta có |sinx| ≥ sin
2x =>
2
a
sin x dx
x
hội tụ, mà
2
a
sin x dx
x
=
1
2 a
dx
x
-
1
2 a
cos 2x dx
x
, ta có tích phân thứ hai ở vế phải là
hội tụ, vậy
a
dx
x
hội tụ, mâu thuẫn =>
a
sin x dx
x
bán hội tụ.
iii) α = 0, ta có
a
sin xdx
phân kỳ.
Giải tích 1 Tuần VIII. Tích phân suy rộng
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 105
C. Bài tập
1. Tính các tích phân
a) 3
0
dx
1 x
b) 2
dx
1 x
c)
2xxe dx
d)
2
22
2
dx
x 4
e)
2
4
0
x 1dx
x 1
f) 2 2
0
x ln xdx
(1 x )
g)
1
x
2
1
e dx
x
h) 2
2
dx
x x 1
i) 2
2
dx
x x 1
j) 220
x ln xdx
1 x
k) 2
dx
x x 2
l) 2 2
dx
(x x 1)
m) 2 3 / 2
0
arctgxdx
(1 x )
n) 10 50
dx
x x x 1
2. Tính các tích phân
a)
1
2
0
xdx
1 x
b)
1
2
0
x ln xdx c)
2 5
2
0
x dx
4 x
d)
2
1
dx
x ln x e)
1
2
0
ln xdx
1 x
f)
1
1 x
3
0
e dx
x g)
/ 2
0
x cot gxdx
h)
/ 2
0
ln(sin x)dx
i)
0
x ln(sin x)dx
j)
3
2
1
dx
4x x 3
k)
1 3
3
1
ln(2 x ) dx
x
l)
1 b a
0
x x dx
ln x
(b > a > 0)
3. Xét sự hội tụ các tích phân
a) n 1
0
dx
ch x
b)
n
0
x dx
(1 x)(1 x)
c)
n x
0
x e dx
4. Xét sự hội tụ các tích phân sau
a)
2x
2
1
e dx
x
b)
2
tgx
cos x
0
e dx
c)
x
2
0
e dx
x
f)
2
3
1
x 4 dx
x
g) x
0
xe dx
h) 2
1
2 sin x dx
x
i) 2
2
x sin x dx
x x
j)
2
4 2
0
x dx
x x 1
k)
2
1
dx
x x 1
l) 3
1
xarctgxdx
1 x
m) 3 2
0
dx
1 x 2 x
n)
2
1
ln(1 x ) dx
x
Giải tích 1 Tuần VIII. Tích phân suy rộng
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 106
o)
3
dx
x(x 1)(x 2)
p)
1
21 cos dx
x
q)
2
13 arcsin
xdx
1 x x
5. Xét sự hội tụ các tích phân sau
a)
1
1sin dx
x
b)
1
cos x dx
x
c)
0
x cos x dx
x 10
d) 3 2/ 2
cos xdx
x
e) 2
0
sin x dx
f) 4
0
2x cos x dx
g)
2
cos xdx
x 1
h)
2
1
x
0
sin xe dx
i)
1
1cos x ln 1 dx
x
j)
0
x sin xdx
k)
x
2
0
cos xe dx
l)
0
sin xdx
6. Xét sự hội tụ các tích phân sau
a)
1
0
dx
tgx x b)
1
2
0
sin xdx
1 x
c)
1
4
0
xdx
1 x
d)
1 2
2
1
x dx
1 x
e) 4
1
x
0
dx
e 1
f)
2
3
0
dx
(x 1) g)
2
2
2
xdx
x 1
h)
1
1
2
dx
ln(1 x)
i)
1
arcsin x
0
xdx
e 1 j)
2
2
0
dx
(x 1)
k) k
0
dx
sin x
l)
1
p q
0
1x ln dx
x m)
/ 2
m
0
1 cos x dx
x
n)
1 2
2 53
0
x dx
(1 x )
o)
1
x
0
dx
e cos x p)
1
0
dx
sin x tgx q)
1
0
dx
(2 x) 1 x r)
/ 2
0
ln sin xdx
7. Xét sự hội tụ của các tích phân sau
a)
m
n
0
x dx
1 x
b) n0
arctgax dx
x
c) n
0
ln(1 x) dx
x
d) 3
0
dx
x x
e) 2
dx
x x 2
f)
/ 2
p q
0
dx
sin x cos x
g)
m
n
0
x arctgx dx
2 x
Giải tích 1 Tuần VIII. Tích phân suy rộng
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 107
8. Nếu
a
f (x)dx
hội tụ thì có suy ra được f(x) → 0 khi x → +∞ không? Xét ví dụ
2
0
sin(x )dx
9. Cho hàm f(x) liên tục trên [a,+∞) và
x
lim f (x)
= A ≠ 0, hỏi
a
f (x)dx
có hội tụ
không?
Giải tích 1 Tuần IX. Ứng dụng của tích phân xác định
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 108
Tuần IX. Ứng dụng của tích phân xác định
A. Tổng quan
1. Nội dung vắn tắt: Ứng dụng của tích phân xác định.
2. Mục tiêu: Cung cấp cho sinh viên các ứng dụng tính toán sử dụng tích phân
suy rộng, trên cơ sở phân tích tổng tích phân, vi phân: tính diện tích, thể tích vật thể
bất kỳ, thể tích khối tròn xoay, độ dài đường cong phẳng, diện tích mặt tròn xoay..
3. Các kiến thức cần có trước: Các kiến thức về hàm số, liên tục, tích phân xác
định.
Giải tích 1 Tuần IX. Ứng dụng của tích phân xác định
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 109
B. Lý thuyết*
I Sơ đồ ứng dụng tích phân xác định
1. Tổng tích phân
Giả sử cần tính một đại lượng A(x,[a,b]) phụ thuộc x và đoạn [a,b] mà x biến thiên trên
đó, A(x) thỏa tính chất cộng tính (theo nghĩa nếu chia [a,b] thành hai đoạn [a,c] và
[c,b] thì A(x,[a,b]) = A(x,[a,c]) + A(x,[c,b]). Như thế, khi cần tính A, ta tiến hành các
bước như sau:
i) Phân hoạch [a,b] thành n đoạn bởi các điểm a = x0 < x1 < x2 < < xn = b
ii) Phân tích A thành tổng n số: A =
n
i
i 1
A
, với Ai = A(x,[xi-1,xi])
iii) Tìm hàm f(x) có thể biểu diễn gần đúng Ai ≈ f(ξi)(xi - xi-1), ξi [xi-1,xi], sai số
không quá Ai.
iv) Như thế A ≈
n
i i i 1
i 1
f ( )(x x )
v) Áp dụng định nghĩa tích phân xác định, ta có: A =
b
a
f (x)dx
2. Sơ đồ vi phân
Nếu có thể biểu diễn hiệu của giá trị A tại xi và xi-1 dạng ΔAi ≈ f(ξi)(xi - xi-1), ta có:
ΔA ≈ f(ξ)Δx, nếu sai số của biểu diễn này không quá Δx, ta có thể thay dA = f(x)dx,
như thế, A =
b
a
f (x)dx
* Các công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường dạng y = y(x), tính thể tích
khối tròn xoay, diện tích mặt tròn xoay đã được học ở chương trình phổ thông, phần này mang
tính chất ôn lại và cung cấp thêm công thức tính thể tích vật thể bất kỳ, độ dài đường cong
phẳng.
Giải tích 1 Tuần IX. Ứng dụng của tích phân xác định
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 110
II Tính giới hạn tổng
n
n i 1
1 ilim f
n n
n
lim
n
i 1
1 if
n n
=
1
0
f (x)dx
Ví dụ:
n
lim
2 2 2
1 1 1
4n 1 4n 4 3n
=
n
lim
1
n
n
2
i 1
1
i4
n
=
1
2
0
dx
4 x
=
1
0
xarcsin
2
=
6
III Tính diện tích hình phẳng
1. Diện tích hình giới hạn bởi các đường
y = f1(x), y = f2(x), x = a, x = b
S =
b
1 2
a
| f (x) f (x) | dx
Ví dụ: Tính diện tích của mảnh parabol có đáy a và
chiều cao h.
Xét mảnh parabol như trong hình 9.2, phương trình
đường parabol là: y = h - 2
4h
b
x2, diện tích mảnh parabol
là: S =
b
2
2
2
b
2
4hh x dx
b
= 2
3
bh
2. Diện tích hình giới hạn bởi các đường
x = φ1(y), y = φ2(y), y = c, x = d
S =
d
1 2
c
| (y) (y) | dy
x
y
a b
y = f1(x)
y = f2(x)
O
Hình 9.1
x
y
c
d
x = φ
2 (x)
x = φ
1 (x)
O
Hình 9.3
x
y
O
Hình 9.2
- b
2
b
2
h
Giải tích 1 Tuần IX. Ứng dụng của tích phân xác định
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 111
3. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường
x (t)
y (t)
(t1 ≤ t ≤ t2), y = 0
Trong công thức ở phần 1, ta chỉ cần thay
dx = φ’(t)dt, f1(x) = ψ(t), f2(x) = 0
S =
2
1
t
t
| (t) '(t) | dt
4. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường
x (t)
y (t)
(t1 ≤ t ≤ t2), x = 0
Trong công thức ở phần 2, ta chỉ cần thay
dy = ψ’(t)dt, φ1(y) = φ(t), φ2(x) = 0
S =
2
1
t
t
| '(t) (t) | dt
5. Diện tích hình phẳng tạo bởi đường cong tham số
không tự cắt
x (t)
y (t)
(t1 ≤ t ≤ t2), x(t1) = x(t2), y(t1) = y(t2)
(đường cong khép kín)
Không mất tổng quát, giả sử t1 là điểm sao cho x(t1) ≤ x(t)
t [t1,t2], t0 là điểm sao cho x(t) ≤ x(t0) t [t1,t2]
Ký hiệu A(x(t1),y(t1)) và B(x(t0),y(t0)) như hình vẽ.
Ta có diện tích hình chắn bởi cung AMB , Ox, x = x(t1), x = x(t0) là:
S1 =
0
1
t
t
| (t) '(t) | dt
Diện tích hình chắn bởi cung ANB , Ox, x = x(t3), x = x(t4) là:
x
y
ψ(t1)
x (t)
y (t)
O
ψ(t2)
Hình 9.3
x
y
φ(t1)
x (t)
y (t)
O φ(t2)
Hình 9.2
x
y
O
Hình 9.3
t1
t0
A
B
N
M
Giải tích 1 Tuần IX. Ứng dụng của tích phân xác định
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 112
S2 =
0
2
t
t
| (t) '(t) | dt
Vậy diện tích cần tính là
S = S2 - S1 =
0
2
t
t
| (t) '(t) | dt -
0
1
t
t
| (t) '(t) | dt = -
2
1
t
t
| (t) '(t) | dt
Tương tự, ta cũng sẽ có
S =
2
1
t
t
| '(t) (t) | dt = -
2
1
t
t
| (t) '(t) | dt =
1
2
2
1
t
t
(| '(t) (t) | | (t) '(t) |)dt
Chú ý: Trong các công thức trên, chúng ta quy ước chiều đi từ t1 tới t2 là chiều
ngược chiều kim đồng hồ.
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường
x = 2t - t2, y = 2t2 - t3
Do x = y = 0 khi t = 0 hoặc t = 2 nên đường cong tự cắt tại
gốc tọa độ.
Ta có S = 1
2
2
4 3 2
0
(t 4t 4t )dt =
8
15
6. Diện tích hình quạt cong cho trong tọa độ cực, giới
hạn bởi r = r(φ) (α ≤ φ ≤ β)
Chia hình quạt thành các hình quạt con bởi các góc
dφ, ta có diện tích của một hình quạt nhỏ được xấp xỉ
bằng: r2dφ, từ đó, ta có: S = 1
2
2r ( )d
Ví dụ: Tính diện tích giới hạn bởi đường r2 = a2cos2φ.
Do tính đối xứng của đường cong, ta có:
S = 4
/ 4
2
0
a cos 2 d
= 2 402a sin 2
= 2a2
P
O
r = r(φ)
α β
Hình 9.4
Giải tích 1 Tuần IX. Ứng dụng của tích phân xác định
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 113
IV Tính độ dài đường cong
phẳng
1. Độ dài đường cong phẳng
y = f(x), a ≤ x ≤ b
Chia đường cong AB thành
n đoạn i 1 iP P , i = 1, n như hình
9.5.
Ta có độ dài cung i 1 iP P
được xấp xỉ bằng độ dài đoạn: Pi-1Pi = 2 2i i 1 i i 1(x x ) (f (x ) f (x ))
Ta lại có, sử dụng khai triển Lagrange tại lân cận xi-1:
f(xi) - f(xi-1) = f’(ξi)Δxi (ξi [xi-1,xi])
Từ đó, ta có: Pi-1Pi = 2 i1 f ' ( ) Δxi => độ dài đường cong AB
s =
b
2
a
1 f ' (x)dx
2. Độ dài đường cong phẳng x = φ(y), c ≤ y ≤ d
Lập luận tương tự phần trước, ta cũng có độ dài đường cong s =
d
2
c
1 ' (y)dy
3. Độ dài đường cong phẳng cho bởi
x x(t)
y y(t)
(t1 ≤ t ≤ t2)
Trong công thức ở phần 1, ta chỉ cần thay dx = x’(t)dt, y’(x) = y '(t)
x '(t)
, ta có độ dài
đường cong: s =
2
1
t
2 2
t
x ' (t) y ' (t)dt
Hình 9.5
O
y
x
A
B
Pi-1
Pi
a = x0
x1 x2 xi xi-1 xn-1
b = xn
y = f(x)
Giải tích 1 Tuần IX. Ứng dụng của tích phân xác định
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 114
4. Độ dài đường cong phẳng cho trong hệ tọa độ cực r = r(φ) (α ≤ φ ≤ β)
Trong công thức ở phần 3, chúng ta thực hiện việc đổi biến t = φ, x = rcosφ, y = rsinφ
=> x’(φ) = r’(φ)cosφ - r(φ)sinφ, y’(φ) = r’(φ)sinφ + r(φ)cosφ, vậy ta có độ dài đường
cong: s =
2
1
t
2 2
t
r ( ) r ' ( )d
V Thể tích vật thể
1. Thể tích vật thể bất kỳ
Cho một vật thể giới hạn bởi mặt
cong và hai mặt phẳng
x = a và x = b
Giả sử diện tích của tiết diện
cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông
góc với Ox tại vị trí x là S(x).
Ta chia vật thể thành từng hình trục bởi các mặt phẳng vuông góc với Ox như
hình 9.6. Khi đó thể tích của phần vật thể giới hạn bởi các thiết diện Si-1, Si có thể tính
bằng S(ξi)Δxi (ξi [xi-1,xi], như thế thể tích vật thể là: V =
b
a
S(x)dx
Tương tự, trong trường hợp vật thể giới hạn bởi các
mặt y = c, y = d, và diện tích tiết diện cắt bởi mặt phẳng
vuông góc với Oy tại điểm y là S(y), ta có thể tích vật thể
là: V =
d
c
S(y)dy
2. Vật thể tròn xoay
Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi bằng cách
quay hình thang cong AabB giới hạn bởi các đường
y = f(x), y = 0, x = a, y = b quanh trục Ox.
Hình 9.6
O
S(x)
x
A
B
Si-1
Si
a = x0
x1
xi xi-1
xn-1
b = xn
y
d
c
S(y)
O
y
x
O
B
b a
A
y = f(x)
Hình 9.7
Giải tích 1 Tuần IX. Ứng dụng của tích phân xác định
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 115
Áp dụng công thức tính thể tích vật thể bất kỳ, ta có, S(x) = πf2(x), như thế, thể
tích vật thể :
V = π
b
2
a
f (x)dx
Tương tự, trường hợp vật thể tròn xoay tạo bởi
bằng cách quay hình thang cong CcdD giới hạn bởi các
đường x = φ(y), x = 0, y = c, y = d quanh trục Oy, ta có
thể tích vật thể: V = π
d
2
c
(y)dy
VI Diện tích mặt tròn xoay
1. Diện tích mặt tròn xoay tạo bởi bằng cách quay
đường cong y = f(x) (a ≤ x ≤ b) quanh trục Ox.
Chia đoạn [a,b] bằng các điểm chia:
a = x0 < x1 < x2 < < xn-1 < xn = b,
Dựng các đường thẳng song song với
Oy, tại các điểm xi, cắt đường y = f(x) tại
các điểm Mi, i = 0, n , ta sẽ tính diện tích
mặt tròn xoay tạo bởi bằng cách quay dây
Mi-1Mi quanh Ox, coi đó là xấp xỉ diện tích
mặt tròn xoay tạo bởi bằng cách quay cung
i 1 iM M quanh Ox.
Ta có, khi quay quay dây Mi-1Mi
quanh Ox, ta được một hình nón, có diện
tích Si = πMi-1Mi(|f(xi-1)| + |f(xi)|), mặt khác, từ phần tính độ dài đường cong phẳng, ta
đã có: Mi-1Mi = 2 i1 f ' ( ) Δxi (ξi [xi-1,xi]) => Si = π
2
i1 f ' ( ) Δxi(|f(xi-1)| + |f(xi)|),
nếu độ dài các đoạn chia đủ nhỏ, ta có f(xi-1) ≈ f(ξi) và f(xi) ≈ f(ξi), vậy:
Si ≈ 2π|f(ξi)| 2 i1 f ' ( ) Δxi
y
x O
c
d
x = φ
(y)
Hình 9.8
y
O x
a = x0 b = xn
y = f(x)
x1
xi-1 xi
xn-1
Mi-1 Mi
Hình 9.9
Giải tích 1 Tuần IX. Ứng dụng của tích phân xác định
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 116
Vậy diện tích mặt tròn xoay cần tính là S =
b
2
a
| f (x) | 1 f ' (x)dx
2. Diện tích mặt tròn xoay tạo bởi bằng cách quay
đường cong x = φ(y) (c ≤ y ≤ d) quanh trục Oy.
Lập luận tương tự phần 1, ta có S =
d
2
c
| (y) | 1 ' (y)dy
3. Diện tích mặt tròn xoay tạo bởi bằng cách quay
đường cong
x x(t)
y y(t)
(t1 ≤ t ≤ t2) quanh trục Ox.
Trong công thức ở phần 1, ta chỉ cần thay dx = x’(t)dt,
f(x) = y(t), y’(x) = y '(t)
x '(t)
, ta sẽ có:
S =
2
1
t
2 2
t
| y(t) | x ' (t) y ' (t)dt
4. Diện tích mặt tròn xoay tạo bởi bằng cách quay đường cong
x x(t)
y y(t)
(t1 ≤ t ≤ t2)
quanh trục Oy.
Trong công thức ở phần 2, ta chỉ cần thay dy = y’(t)dt, φ(y) = x(t), x’(y) = x '(t)
y '(t)
, ta sẽ
có: S =
2
1
t
2 2
t
| x(t) | x ' (t) y ' (t)dt
y
x O
c
d
x = φ
(y)
Hình 9.8
Giải tích 1 Tuần IX. Ứng dụng của tích phân xác định
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 117
Giải tích 1 Tuần IX. Ứng dụng của tích phân xác định
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 118
C. Bài tập
1. Tìm các giới hạn
a)
n
n1...
n
21
n
11
n
1lim
n
b)
222n n
1n...
n
2
n
1lim
c)
nn
1...
2n
1
1n
1lim
n
d)
222222n nn
n...
2n
n
1n
nlim
e)
n
1nsin...
n
2sin
n
sin
n
1lim
n
f)
1n
n...21lim p
ppp
n
(p > 0)
g)
4
3
4
3
4
3
n n
)1n4(...
n
2
n
1lim h) n...21
n
1lim
3n
i)
n
!nlim
n
n
j)
)1n(3n
n...
6n
n
3n
n1
n
1lim
n
k)
)1n(n
1...
2n
1
n
1
n
1lim
n
2. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi
a) y = x2 + 4, x - y + 4 = 0 b) y = x3, y = x, y = 2x c) x2 + y2 = 2x, y2 = 2x
d) x2 + y2 = 2x, y2 = 2x e) y = x2, x + y = 2 f) x + y = 0, y = 2x - x2
g) y = 2x, y = 2, x = 0 h) y2 = x2(a2 - x2) i)
g) y2 = 2px, 27py2 = 8(x - p)3 h) y = x, y = x + sin2x (0 ≤ x ≤ π)
i) y = (x + 1)2, x = sinπy, 0 ≤ y ≤ 1 j) y = |lgx|; y = 0; x = 0,1; x = 10
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a) x =
2c
a
cos3t, y =
2c
a
sin3t (c2 = a2 - b2) b) x = a(2cost - cos2t), y = a(2sint - sin2t)
c) x = acost, y =
2a sin t
2 sin t
Giải tích 1 Tuần IX. Ứng dụng của tích phân xác định
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 119
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong trong tọa độ cực sau
a) r = asin3φ b) r = p
1 cos
c) r = 3 + 2cosφr = p
1 cos
(0 < ε < 1)
Giải tích 1 Tuần X. Hàm nhiều biến
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 120
Tuần X. Hàm nhiều biến
A. Tổng quan
1. Nội dung vắn tắt: Tích phân suy rộng.
2. Mục tiêu: Cung cấp cho sinh viên các khái niệm về tích phân suy rộng: có cận
vô hạn và hữu hạn, định nghĩa, ý nghĩa hình học; các khái niệm: hội tụ, phân kỳ, giá trị
của tích phân, hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ, dấu hiệu so sánh.
3. Các kiến thức cần có trước: Các kiến thức về hàm số, liên tục, đạo hàm của
hàm số, tích phân bất định và tích phân xác định.
Giải tích 1 Tuần X. Hàm nhiều biến
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 121
B. Lý thuyết
1. Một số khái niệm cơ bản
a) Cho M(x1,x2,,xn) và N(y1,y2,,yn) Rn, khoảng cách giữa hai điểm ấy, kí hiệu
d(M,N) =
2
1
n
1i
2
ii )yx(
b) Cho M0 Rn, quả cầu mở tâm M0 bán kính r là tập những điểm M sao cho d(M,M0)
< r, lân cận ε của M0 là quả cầu mở tâm M0 bán kính ε
c) Cho E Rn, điểm M E được gọi là điểm trong của E, nếu tồn tại một lân cận ε
nằm hoàn toàn trong E.
d) Điểm N Rn gọi là điểm biên của E nếu mọi lân cận ε của E đều chứa những điểm
thuộc E và những điểm không thuộc E. Tập những điểm biên gọi là biên của E.
e) E gọi là mở nếu mọi điểm thuộc E đều là điểm trong.
f) E gọi là đóng nếu E chứa mọi điểm biên
g) E gọi là bị chặn nếu tồn tại một quả cầu nào đó chứa nó.
h) E gọi là liên thông nếu có thể nối hai điểm bất kỳ bằng một đường liên tục nằm
hoàn toàn trong E.
i) E gọi là đơn liên nếu biên của E là liên thông, ngược lại E gọi là đa liên.
2. Hàm nhiều biến
a) D Rn, một phần tử x Rn là một bộ n số thực (x1, x2, , xn). Ánh xạ:
f : D → R
x = (x1,x2,,xn) u = f(x) = f(x1,x2,,xn)
là một hàm số n biến số xác định trên D, D gọi là miền xác định của hàm số, f(D) là
miền giá trị của hàm số.
b) Nếu hàm số u cho bởi u = f(M) thì khi đó miền xác định là tập những điểm làm hàm
số có nghĩa.
Giải tích 1 Tuần X. Hàm nhiều biến
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 122
Ví dụ: z = 22 yx1 , z = 33 yx
yx
3. Ý nghĩa hình học của hàm hai biến
4. Giới hạn của hàm hai biến
Cho D là miền, f là hàm xác định trên D.
a) Nói rằng dãy điểm {Mn(xn,yn)} D hội tụ về điểm M0(x0,y0) D khi n → ∞, nếu
)M,M(dlim 0nn
= 0, hay nn xlim = x0 và nn ylim = y0.
b) Nói rằng hàm số f(M) có giới hạn l khi M(x,y) → M0(x0,y0) nếu với mọi dãy điểm
{Mn(xn,yn)} D hội tụ về M0 D đều có
n
lim f(xn,yn) = l
c) Tiêu chuẩn Cauchy: Hàm số f(M) có giới hạn l khi M dần tới M0 khi và chỉ khi:
( ε > 0) (δ > 0) : M D | d(M,M0) |f(M) - l| < ε.
d) Ta cũng có khái niệm giới hạn tại ∞ và giới hạn bằng ∞ tương tự như đối với hàm
một biến.
e) Các kết quả về giới hạn của tổng, tích, thương, hàm sơ cấp cũng giống như của hàm
một biến.
Ví dụ:
)3,1()y,x(
lim
(x - 1)2 + (y - 2)2, 22
22
)0,0()y,x( yx
yxlim
, 22
2
)0,0()y,x( yx
yxlim
5. Tính liên tục của hàm hai biến
a) f(M) xác định trong miền D, M0 là một điểm thuộc D. Nói rằng f(M) liên tục tại M0
nếu
0MM
lim
f(M) = f(M0).
Chú ý: Trong định nghĩa này, tính liên tục được xét với một điểm thuộc tập xác định
và là điểm tụ.
Theo tiêu chuẩn Cauchy, nói hàm f(M) liên tục tại M0 khi và chỉ khi ( ε > 0) (δ > 0)
: d(M,M0) |f(M) - f(M0)| < ε.
b) Hàm f(M) được gọi là liên tục trong miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D.
Giải tích 1 Tuần X. Hàm nhiều biến
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 123
c) Trong tiêu chuẩn về tính liên tục của hàm nhiều biến, nói chung, δ = δ(ε,M0). Nếu
trong miền D, δ = δ(ε), ta có khái niệm liên tục đều. Hàm số f(M) gọi là liên tục đều
trên miền D nếu:
( ε > 0) (δ > 0) : M1,M2 D | d(M1,M2) |f(M1) - f(M2)| < ε
d) Hàm nhiều biến số liên tục cũng có các tính chất và các phép toán tương tự như đối
với hàm liên tục một biến số.
Giải tích 1 Tuần X. Hàm nhiều biến
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 124
C. Bài tập
1. Tìm miền xác định của các hàm số sau:
a) z =
1yx
1
22
b) z = )yx4)(1yx( 2222 c) z = arcsin
x
1y
d) z = ysinx e) z = ysinx f) z = arctg 22yx1
yx
g) z = ln 22
22
yx
yx
h) z = arcsin
2
x + xy i) z = )yx(sin 22
2. Tìm các giới hạn (nếu có) của các hàm số sau
a) 22
22
)0,0()y,x( yx
yxlim
b)
yx2
xsinlim
),()y,x(
c) 22)0,0()y,x( yx
xylim
d) 22),()y,x( yxyx
yxlim
e) yx
x
)a,()y,x(
2
x
11lim
f)
22yx22
)0,0()y,x(
)yx(lim
g)
x
xysinlim
)2,0()y,x(
h)
22 xyyx
y
2
)3,0()y,x(
)xy1(lim
i)
)yx(yx
)yxcos(1lim 2222
22
)0,0()y,x(
j) )yx(22
),()y,x(
e)yx(lim
k) xyyx
y
2
)0,0()y,x(
22
)xy1(lim
3. Khảo sát tính liên tục của hàm số f(x,y) =
)0,0()y,x(:0
)0,0()y,x(:
yx
|xy|
22
Giải tích 1 Tuần XI. Đạo hàm và vi phân hàm nhiều biến
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 125
Tuần XI. Đạo hàm và vi phân hàm nhiều biến
A. Tổng quan
1. Nội dung vắn tắt: Tích phân suy rộng.
2. Mục tiêu: Cung cấp cho sinh viên các khái niệm về tích phân suy rộng: có cận
vô hạn và hữu hạn, định nghĩa, ý nghĩa hình học; các khái niệm: hội tụ, phân kỳ, giá trị
của tích phân, hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ, dấu hiệu so sánh.
3. Các kiến thức cần có trước: Các kiến thức về hàm số, liên tục, đạo hàm của
hàm số, tích phân bất định và tích phân xác định.
Giải tích 1 Tuần XI. Đạo hàm và vi phân hàm nhiều biến
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 126
B. Lý thuyết
1. Đạo hàm riêng
a) Cho hàm số u = f(x,y) xác định trong một miền D; M0(x0,y0) D, nếu hàm số một
biến số x f(x,y0) có đạo hàm tại x = x0 thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng
của f đối với x tại x0, ký hiệu f’x(x0,y0), hay x
f
(x0,y0). Ta có:
f’x(x0,y0) = x
)y,x(f)y,xx(f
lim 0000
0x
b) Tương tự, ta có khái niệm đạo hàm riêng của f tại y
f’y(x0,y0) = y
)y,x(f)yy,x(f
lim 0000
0y
Ví dụ: z = xy => z’x = yxy-1, z’y = xylnx
2. Vi phân toàn phần
a) Cho hàm số z = f(x,y) xác định trong miền D, M0(x0,y0) D, biểu thức:
Δf = f(x0 + Δx,y0 + Δy) - f(x0,y0)
gọi là số gia toàn phần của f tại M0. Nếu có thể biểu diễn dưới dạng:
Δf = A.Δx + B.Δy + α 22 yx
trong đó α → 0 khi 22 yx → 0, A,B là các hằng số, thì ta nói f là khả vi tại M0
và biểu thức A.Δx + B.Δy gọi là vi phân toàn phần của z = f(x,y) tại M0, ký hiệu dz
hay df.
b) Nếu hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng tại lân cận điểm M0(x0,y0), và các đạo
hàm riêng đó liên tục tại M0 thì f(x,y) khả vi tại M0, và ta có dz = f’xΔx + f’yΔy.
c) Ta có công thức tính gần đúng: f(x0 + Δx,y0 + Δy) ≈ f(x0,y0) + df.
3. Đạo hàm hàm hợp
Cho φ : D R2 → φ(D) R2
(x,y) (u,v) = (u(x,y),v(x,y))
Giải tích 1 Tuần XI. Đạo hàm và vi phân hàm nhiều biến
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 127
và f : φ(D) → R, đặt F = foφ: F(x,y) = f(φ(x,y)) = f(u(x,y),v(x,y)).
Khi đó, nếu f có các đạo hàm riêng
u
f
,
v
f
liên tục trong D, và u, v có các đạo hàm
riêng
x
u
,
y
u
,
x
v
,
y
v
trong D thì trong D có các đạo hàm riêng
x
F
,
y
F
, đồng thời
x
F
=
u
f
x
u
+
v
f
x
f
và
y
F
=
u
f
y
u
+
v
f
y
v
Vi phân của toàn phần của hàm số z = f(u,v) có cùng một dạng cho dù u, v là các biến
độc lập hay là các hàm số của những biến số độc lập khác.
4. Khái niệm hàm ẩn
Cho phương trình F(x,y) = 0 (*), trong đó F : U → R là một hàm số xác định trên tập
D R2. Phương trình này xác định một hay nhiều hàm số ẩn theo x trong một khoảng
I nào đó. Hàm số f : I → R là một hàm số ẩn xác định bởi (*) nếu x I, (x,f(x))
D, đồng thời F(x,f(x)) = 0.
Tương tự như thế, phương trình F(x,y,z) = 0 có thể xác định một hay nhiều hàm số ẩn
z của các biến số x,y.
Hệ hai phương trình
0)v,u,z,y,x(G
0)v,u,z,y,x(F
, trong đó F : U → R và G : U → R, với U
R5 có thể xác định một hay nhiều cặp hàm số ẩn u, v của các biến số x,y,z.
5. Định lý về sự tồn tại hàm ẩn
Cho phương trình F(x,y) = 0 (*), trong đó F : U R là một hàm số có các đạo hàm
riêng liên tục trên một tập hợp mở U R2. Giả sử (x0,y0) U, F(x0,y0) = 0. Nếu
F’y(x0,y0) ≠ 0 thì phương trình xác định duy nhất một hàm số ẩn y = f(x) trong lân cận
nào đó của x0, hàm đó có giá trị bằng y0 khi x = x0, liên tục và có đạo hàm liên tục
trong lân cận đó.
Cho phương trình F(x,y,z) = 0 (**), trong đó F : U → R là một hàm số có các đạo hàm
riêng liên tục trên một tập mở U R3, Giả sử (x0,y0,z0) U, F(x0,y0,z0) = 0. Nếu
F’z(x0,y0,z0) ≠ 0 thì phương trình (**) xác định trong một lân cận nào đó của điểm
Giải tích 1 Tuần XI. Đạo hàm và vi phân hàm nhiều biến
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 128
(x0,y0) một hàm số ẩn duy nhất z = f(x,y), hàm số ấy có giá trị bằng z0 khi x = x0, y =
y0, liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trong lân cận nói trên.
Cho hệ hai phương trình
0)v,u,z,y,x(G
0)v,u,z,y,x(F
(***), trong đó F : U → R và G : U → R là
hai hàm số có các đạo hàm riêng liên tục trên một tập hợp mở U R5. Giả sử
(x0,y0,z0,u0,v0) U, F(x0,y0,z0,u0,v0) = 0, G(x0,y0,z0,u0,v0) = 0, thì hệ (***) xác định
một cặp hàm số ẩn duy nhất u = f(x,y,z), v = g(x,y,z), các hàm số ấy có giá trị theo thứ
tự bằng u0, v0 khi x = x0, y = y0, z = z0, chúng liên tục và có đạo hàm riêng liên tục
trong lân cận nói trên.
6. Đạo hàm của hàm ẩn
Giả sử phương trình (*) xác định một hàm số ẩn y = y(x), khi đó
dx
dy =
y
x
'F
'F
Giả sử phương trình (**) xác định một hàm số ẩn z = z(x,y), khi đó z’x =
z
x
'F
'F
, z’y =
z
y
'F
'F
Giả sử hệ phương trình (***) xác định một cặp hàm số ẩn u = u(x,y,z), v = v(x,y,z),
khi đó ta có u’x = -
)v,u(D
)G,F(D
)v,x(D
)G,F(D
, v’x = -
)v,u(D
)G,F(D
)x,u(D
)G,F(D
, tương tự cho u’y, v’y, u’z, v’z.
Giải tích 1 Tuần XI. Đạo hàm và vi phân hàm nhiều biến
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 129
C. Bài tập
1. Tìm các đạo hàm riêng của các hàm số sau
a) z = (1 + xy)y b) z = x
ysin
e c) z = y2sin
y
x d) z =
yx
yx
e) z =
22 yx
x
f) z =
3yx (x,y > 0 g) z = ln(x + 22 yx ) h) z = arctg 22
22
yx
yx
i) u =
zyx (x,y,z > 0) j) u =
222 zyx
1
e k) z = (sinx)xy l) z = )yx(xy
22
e
m) u = z
y
x
2. Khảo sát sự liên tục, sự tồn tại, liên tục của các đạo hàm riêng của hàm số f(x,y)
sau:
a) f(x,y) =
0xkhi0
0xkhi
x
yxarctg
2
b) f(x,y) =
)0,0()y,x(khi0
)0,0()y,x(khi
yx
xsinyysinx
22
c) f(x,y) =
)0,0()y,x(khi0
)0,0()y,x(khi
yx
xy
22 d) f(x,y) =
)0,0()y,x(khi0
)0,0()y,x(khi
yx
y
22
4
3. Giả sử z = yf(x2 - y2), trong đó f là hàm số khả vi. Chứng minh rằng đối với hàm
số z, hệ thức sau luôn thoả mãn:
x
'z x +
y
'z y = 2y
z
4. Tìm đạo hàm các hàm số hợp sau đây
a) z =
22 v2ue , u = cosx, v = 22 yx b) z = ln(u2 + v2), u = xy, v = x/y
c) z = eusinv, u = x2 + y2, v = xy d) z = (1 + uv)v, u = x2 - y2, v = x + y
e) z = ln
vu
vu
, u = x, v = 22 yx f) z = arcsin(x - y), x = 3t, y = 4t3
Giải tích 1 Tuần XI. Đạo hàm và vi phân hàm nhiều biến
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 130
g) z = sin2(x + y2), x = cos3t, y = sin3t h) z = arctg
y
x , x = cost, y = sin2t
i) z = ex-2y, x = sint, y = t3 j) z = arcsin(x - y), x= sint, y = t3
5. Tìm vi phân toàn phần của các hàm số
a) z = lntg
x
y b) z = xy c) z = 22
33
yx
yx
d) z = yx + xy e) z =
2xe sin2y
g) z = arcsin
x
y h) z = sin(x2 + y2) i) z = arctg
yx
yx
j) u =
222 zyx
1
k) u = zy
2
x l) u = zxy m) u = (xy)z n) u = sinyzx
6. Tính gần đúng
a) A = 3 22 )05,0()02,1( b) B = ln( 3 03,1 + 4 98,0 - 1) c) C = (0,97)2,02
7. Tìm đạo hàm y’ của các hàm số ẩn xác định bởi các phương trình sau
a) x3y - y3x = a4 b) arctg
a
yx =
a
y c) y + tg(x + y) = 0 d) y = arctg(x + y)
e) xy = yx f) y + cos(x + y) = 0 g) arctg(xy) + ex-y = 0
8. Tính các đạo hàm z’x, z’y của hàm số ẩn z = z(x,y) xác định bởi
a) z2 +
x
2 = 22 zy b) x + y + z = ez c) x3 + y3 + z3 - 3xyz = 0
d) x2 + z3 - 3xyz = a3 e) z3 - x3 - y3 = a3 f) x3 + y3 - z3 = sin(xyz)
g) x + y + z = xyz h) z = arctg
xz
y
Giải tích 1 Tuần XI. Đạo hàm và vi phân hàm nhiều biến
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 131
9. Cho u =
zy
zx
, tính u’x, u’y biết rằng z là hàm số ẩn của x,y xác định bởi phương
trình zez = xex + yey
10. Tìm đạo hàm của các hàm số ẩn y(x), z(x) xác định bởi hệ
1zyx
0zyx
222
11. Phương trình z2 +
x
2 = 22 zy , xác định hàm ẩn z = z(x,y). Chứng minh rằng
x2z’x + y
'z y =
z
1
Giải tích 1 Tuần XII. Đạo hàm và vi phân cấp cao, cực trị hàm nhiều biến
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 132
Tuần XII. Đạo hàm và vi phân cấp cao, cực trị hàm nhiều biến
A. Tổng quan
1. Nội dung vắn tắt: Tích phân suy rộng.
2. Mục tiêu: Cung cấp cho sinh viên các khái niệm về tích phân suy rộng: có cận
vô hạn và hữu hạn, định nghĩa, ý nghĩa hình học; các khái niệm: hội tụ, phân kỳ, giá trị
của tích phân, hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ, dấu hiệu so sánh.
3. Các kiến thức cần có trước: Các kiến thức về hàm số, liên tục, đạo hàm của
hàm số, tích phân bất định và tích phân xác định.
Giải tích 1 Tuần XII. Đạo hàm và vi phân cấp cao, cực trị hàm nhiều biến
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 133
B. Lý thuyết
1. Định lý Schwartz
Nếu trong lân cận U nào đó của điểm M0(x0,y0), hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm
riêng f’’xy, f’’yx và các đạo hàm ấy liên tục tại M0 thì f’’xy = f’’yx tại M0.
Chú ý rằng tính bất biến của vi phân cấp cao (lớn hơn hay bằng 2) của hàm số nhiều
biến không còn đúng.
2. Công thức Taylor
Giả sử hàm số f(x,y) có các đạo hàm riêng đến cấp (n + 1) liên tục trong một lân cận
nào đó của điểm M0(x0,y0), nếu điểm M(x0 + Δx,y0 + Δy) cũng nằm trong lân cận đó,
thì ta có:
f(x0 + Δx,y0 + Δy) - f(x0,y0) = df(x0,y0) + !2
1 d2f(x0,y0) + + !n
1 dnf(x0,y0) + )!1n(
1
f(x0
+ θΔx,y0 + θΔy) (0 < θ < 1)
3. Cực trị của hàm nhiều biến
Cho hàm số z = f(x,y) xác định trong một miền D nào đó, M0(x0,y0) là một điểm trong
của D. Ta nói rằng f(x,y) đạt cực trị tại M0 nếu với mọi điểm M trong một lân cận nào
đó của M0, nhưng khác M0, hiệu số f(M) - f(M0) có dấu không đổi. Nếu f(M) - f(M0) >
0, ta có cực tiểu, nếu f(M) - f(M0) < 0, ta có cực đại.
4. Quy tắc tìm cực trị
Đặt p = f’x(M), q = f’y(M), r = f’’xx(M), s = f’’xy(M), t = f’’yy(M)
Nếu hàm số f(x,y) đạt cực trị tại M0 và tại đó các đạo hàm riêng p = f’x(M), q = f’y(M)
tồn tại, thì các đạo hàm riêng đó bằng không: p = q = 0 tại M0.
Giả sử hàm số z = f(x,y) có các đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục trong một lân cận
nào đó của M0(x0,y0). Giả sử tại M0 ta có p = q = 0. Khi đó, tại M0, ta có:
a) Nếu s2 - rt 0 và cực đại nếu r < 0.
b) Nếu s2 - rt > 0 thì f(x,y) không đạt cực trị tại M0.
c) Nếu s2 - rt = 0, thì f(x,y) có thể hoặc không đạt cực trị tại M0 (trường hợp nghi ngờ).
Giải tích 1 Tuần XII. Đạo hàm và vi phân cấp cao, cực trị hàm nhiều biến
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 134
Giải tích 1 Tuần XII. Đạo hàm và vi phân cấp cao, cực trị hàm nhiều biến
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 135
C. Bài tập
1. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số sau
a) z =
3
)yx( 322 b) z = x2ln(x+y) c) z = arctg
x
y d) z = 2x2y3
e) z = sinxcosy f) z =
2yxe g) z = xsinxy + ycosxy
2. Tìm đạo hàm các hàm ẩn sau
a) sin(x + y) - y = 0, tính y’, y’’ b) x + y2 = 1, tính y’, y’’, y’’’
c) ln 22 yx = arctg
x
y , tính y’’
3. Lấy vi phân cấp hai của các hàm số sau
a) z = xy2 - x2y b) z =
)yx(2
1
22
c) z = exsiny d) z = xy
e) z = ln(x - y) g) z = (x + y)ex+y h) z = arctg(xy) i) z = sinxsiny
j) z = cos(x + y)
4. Tìm cực trị của các hàm số sau
a) z = x2 + xy + y2 + x - y + 1 b) z = x + y - xey c) z = x3 + y3 - 3xy
d) z = x2 + y2 - )yx(
22
e e) z = 2x4 + y4 - x2 - 2y2 f) z = x3 + y3 - 9xy + 27
g) z = xy 22 yx1 i) z = xy2(1 - x - y) j) z = (x - 1)2 + 2y2
k) z = x3 + y3 - 3x - 6y l) z = 1 + 6x - x2 - xy - y2
m) z = x2 + xy + y2 - 2x - y
Giải tích 1 Tuần XII. Đạo hàm và vi phân cấp cao, cực trị hàm nhiều biến
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 136
Tuần XIII. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, cực trị có điều kiện
A. Lý thuyết
1. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Để tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số trong miền D, chúng ta phải tìm các điểm
tới hạn, (điểm cực đại (cực tiểu)), của hàm số sau đó so sánh giá trị hàm tại các điểm
đó với nhau và với các điểm cực đại (cực tiểu) trên biên của D, từ đó rút ra kết luận về
giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) cũng như vị trí những điểm đạt các giá trị này.
2. Cực trị có điều kiện, phương pháp nhân tử Lagrange
Người ta gọi cực trị của hàm số z = f(x,y) (*), trong đó các biến số x và y bị ràng buộc
bởi hệ thức g(x,y) = 0 (**) là cực trị có điều kiện.
Giả sử M0(x0,y0) là điểm cực trị có điều kiện của hàm số (*) với điều kiện (**), đồng
thời:
a) Ở lân cận M0, các hàm số f(x,y), g(x,y) có các đạo hàm riêng cấp một liên tục.
b) Các đạo hàm riêng g’x, g’y không đồng thời bằng không tại M0.
Khi đó, ta có, tại M0:
yx
yx
'g'g
'f'f
= 0 (***)
Điều kiện (***) tương ứng với việc tồn tại số λ sao cho tại M0, ta có:
0)y,x('g)y,x('f
0)y,x('g)y,x('f
yy
xx (****)
Hệ (****) cùng với (**) cho ta tìm được λ, x0, y0, nghĩa là tìm được những điểm mà
tại đó hàm (*) có cực trị với điều kiện (**). Số λ gọi là nhân tử Lagrange, phương pháp
trên gọi là phương pháp nhân tử Lagrange.
Có thể tóm lược như sau: đặt F(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y), giải hệ
0'F
0'F
0'F
y
x
để tìm các
điểm cực trị của (*) thoả điều kiện (**).
Giải tích 1 Tuần XII. Đạo hàm và vi phân cấp cao, cực trị hàm nhiều biến
Lê Chí Ngọc Bộ môn Toán Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 137
B. Bài tập
1. Tìm cực trị có điều kiện
a) z =
x
1 +
y
1 với 2x
1 + 2y
1 = 2a
1 b) z = xy với x + y = 1
c) z = x2 + y2 với ax + by + c = 0 d) z = 22 yx1 với x + y - 1 = 0
e) z = 6 - 4x - 3y với x2 + y2 = 1 f) z = x + 2y với x2 + y2 = 5
2. Tính giá trị lớn nhất và bé nhất của các hàm số
a) z = x2y(4 - x -y) trong hình tam giác giới hạn bởi x = 0, y = 6, x + y = 6
b) z = sinx + siny + sin(x + y) trong hình chữ nhật giới hạn bởi x = 0, x = π/2, y = 0, y
= π/2
c) z = 8x2 + 3y2 + 1 - (2x2 + y2 + 1)2 trong miền x2 + y2 ≤ 1
d) z = x2 + y2 -xy + x + y trong miền x,y ≤ 0, x + y ≥ -3
e) z = 2x2 + 2y2 + (x - 1)2 + (y - 1)2 trong tam giác O(0;0), A(1;0), B(0;1)
f) z = x2 + y2 - xy - 4x trong miền x,y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 12
g) z = xy trong miền x2 + y2 ≤ 1 h) z = x2 - y2 trong miền x2 + y2 ≤ 4
i) z = x2y(2 - x - y) trong miền x,y ≥ 0, x + y ≤ 6
j) z = x + y trong miền x2 + y2 ≤ 1
k) z = x3 - y3 - 3xy trong miền 0 ≤ x ≤ 2, -1 ≤ y ≤ 2
l) z = x2 + y2 - 12x + 16y trong miền x2 + y2 ≤ 25
PDF Merger
Thank you for evaluating AnyBizSoft PDF
Merger! To remove this page, please
register your program!
Go to Purchase Now>>
Merge multiple PDF files into one
Select page range of PDF to merge
Select specific page(s) to merge
Extract page(s) from different PDF
files and merge into one
AnyBizSoft
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- giao_trinh_mon_giai_tich_1.pdf