Giáo trình Toán cao cấp A2

, 012 212 BA . Chương 6: Ánh xạ tuyến tính 84 b) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−= 010 001 , 022 222 BA . c) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−= 110 001 , 212 012 BA . d) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−= 012 311 , 524 123 BA . Câu 28: Cho ma trận ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 324 202 423 A . Tìm đa thức đặc trưng ( ) ( )IAP λλ −= det a) 2)1)(8()( λλλ +−=P . b) )1()8()( 2 λλλ +−−=P . c) )1()8()( 2 λλλ −+=P . d) 2)1)(6()( λλλ −−=P . Câu 29: Cho ánh xạ tuyến tính 33:  →f có công thức xác định ảnh )776,874,43(),,( zyxzyxzyxzyxf +−+−+−= . Tìm đa thức đặc trưng ( ) ( )3det IdfP λλ −= . a) )3)(1)(8()( λλλλ −+−=P . b) )1()3()( 2 λλλ +−−=P . c) 2)1)(3()( λλλ +−=P . d) 2)1)(6()( λλλ −−=P . Câu 30: Cho ánh xạ tuyến tính 33:  →f có công thức xác định ảnh )776,874,43(),,( zyxzyxzyxzyxf +−+−+−= . Tìm một cơ sở của không gian riêng ứng với giá trị riêng 1−=λ . Chương 6: Ánh xạ tuyến tính 85 a) { })1,2,1( . b) { })3,1,2(,)1,2,1( − . c) { })0,1,1(),3,1,2( − . d) { })1,1,0(,)3,1,2( −− . Câu 31: Cho ma trận ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −= 321 202 121 A . Tìm đa thức đặc trưng ( ) ( )IAP λλ −= det a) 2)1)(4()( λλλ +−=P . b) )2()4()( 2 λλλ −−=P . c) 2)2()( λλλ −−=P . d) )2)(1)(6()( λλλλ −−−=P . Câu 32: Cho ma trận ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −= 321 202 121 A . Tìm một cơ sở của không gian riêng ứng với giá trị riêng 2=λ . a) { })3,1,2( − . b) { })1,0,1( . c) { })0,1,1(),3,1,2( − . d) { })1,1,0(,)3,1,2( −− . Câu 33: Cho ma trận ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 382 140 575 A . Tìm ma trận P sao cho APP 1− có dạng chéo. Chương 6: Ánh xạ tuyến tính 86 a) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −= 123 012 101 P , ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =− 300 020 001 1APP . b) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −= 123 012 101 P , ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =− 300 010 001 1APP . c) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= 123 102 112 P , ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =− 200 020 001 1APP . d) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −= 123 111 112 P , ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =− 300 020 001 1APP . Câu 34: Cho ma trận ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 132412 101910 6127 A . Tìm ma trận P sao cho APP 1− có dạng chéo. a) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −= 123 012 101 P , ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − =− 100 010 001 1APP . b) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −= 123 012 101 P , ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =− 300 010 001 1APP . c) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 610 501 312 P , ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − =− 100 010 001 1APP . d) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= 523 110 112 P , ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −=− 100 010 001 1APP . Chương 6: Ánh xạ tuyến tính 87 Câu 35: Cho ma trận ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 621 511 1562 A . Tìm ma trận P sao cho APP 1− có dạng chéo. a) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −= 123 512 121 P , ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =− 300 030 001 1APP . b) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= 223 011 112 P , ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =− 300 010 001 1APP . c) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 610 501 311 P , ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =− 300 020 001 1APP . d) Không tồn tại ma trận P . Câu 36: Cho ánh xạ tuyến tính 22: PP →f có công thức xác định ảnh ( ) 22102102102210 )33()53()3( xaaaxaaaaaaxaxaaf +−++−++−=++ . Tìm đa thức đặc trưng ( ) ( )2det PIdfP λλ −= . a) )3)(1)(8()( λλλλ −+−=P . b) )1()3()( 2 λλλ +−−=P . c) 2)2)(1()( λλλ +−=P . d) 2)1)(2()( λλλ −−=P . Câu 37: Cho ánh xạ tuyến tính 33:  →f có công thức xác định ảnh )4,2,22(),,( zyxzyxzyxzyxf ++−−+++= . Tìm một cơ sở của 3 gồm các véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính f : a) )1,0,1(,)1,1,1(,)2,1,2( 321 ==−= vvv ; 332211 3)(,3)(,)( vvfvvfvvf === . Chương 6: Ánh xạ tuyến tính 88 b) )1,0,1(,)0,1,1(,)1,1,2( 321 ==−= vvv ; 332211 3)(,3)(,)( vvfvvfvvf === . c) )1,0,1(,)1,1,2(,)1,1,2( 321 ==−−= vvv ; 332211 3)(,3)(,)( vvfvvfvvf −=−== . d) )1,0,1(,)1,1,0(,)3,1,2( 321 =−=−= vvv ; 332211 3)(,)(,)( vvfvvfvvf === . Câu 38: Cho ánh xạ tuyến tính 33:  →f có công thức xác định ảnh )3,242,3(),,( zyxzyxzyxzyxf ++++++= . Tìm một cơ sở của 3 để ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở này có dạng chéo: a) { })1,1,0(,)1,0,1(,)1,2,1( −− , ma trận của f ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 200 020 006 . b) { })1,1,0(,)1,2,1(,)1,0,1( −− , ma trận của f ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 200 060 002 . c) { })2,1,1(,)1,2,1(,)1,0,1( −− , ma trận của f ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 200 060 002 . d) Cả ba trường hợp trên đều đúng. Câu 39: Cho ánh xạ tuyến tính 33:  →f có công thức xác định ảnh )496,375,254(),,( zyxzyxzyxzyxf +−+−+−= . Tìm một cơ sở của 3 gồm các véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính f : a) )1,2,1(,)1,2,2(,)1,0,1( 321 −−=−=−= vvv 332211 3)(,2)(,)( vvfvvfvvf === . b) )1,,1,0(,)1,0,1(,)1,2,1( 321 −=−== vvv Chương 6: Ánh xạ tuyến tính 89 332211 2)(,2)(,6)( vvfvvfvvf === . c) Không tồn tại cơ sở gồm các véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính f . d) )1,1,0(,)0,0,1(,)2,1,1( 321 −=== vvv 332211 )(,)(,4)( vvfvvfvvf === . Câu 40: Cho ánh xạ tuyến tính 22: PP →f có công thức xác định ảnh ( ) 221212102210 )32()2()( xaaxaaaaaxaxaaf ++++++=++ . Tìm một cơ sở B của 2P gồm các véc tơ riêng của ánh xạ tuyến tính f : a) { }321 ,, vvv=B ; 21 21 xxv ++= , 12 =v , 23 xxv −= . 332211 )(,)(,4)( vvfvvfvvf === . b) { }321 ,, vvv=B ; 21 1 xxv +−= , 22 21 xxv ++= , 23 xxv −= . 332211 )(,4)(,)( vvfvvfvvf === . c) { }321 ,, vvv=B ; 21 xxv −= , 22 1 xxv −+= , 23 422 xxv ++= . 332211 4)(,)(,)( vvfvvfvvf === . d) Cả ba trường hợp trên đều đúng. Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương 90 7. CHƯƠNG 7: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE DẠNG TOÀN PHƯƠNG 7.1 MỤC TIÊU, YÊU CẦU, Ý NGHĨA Euclide là người đầu tiên đã trình bày toán học một cách hệ thống trong bộ sách "Cơ sở", trong đó Euclide đã xây dựng môn hình học chỉ dựa trên năm tiên đề. Cuốn sách này được dùng làm sách giáo khoa cho đến tận thế kỷ 19. Không gian Euclide ban đầu được hiểu như là không gian thực 3 chiều với hệ tiên đề Euclide. Sự mở rộng sang không gian nhiều chiều xuất phát từ những công trình của Banach (1892-1945), nhà toán học Ba Lan. Không gian afin được xây dựng trên cơ sở không gian véc tơ, trong đó ta chỉ khảo sát các phẳng và quan hệ song song. Không gian Euclide được xây dựng trên cơ sở không gian véc tơ Euclide, trong đó ta có thể tính được độ dài, quan hệ trực giao, khái niệm góc.... Mặt phẳng và không gian ta gặp trong chương trình phổ thông là các không gian Euclide. Không gian véc tơ Euclide là một không gian véc tơ với tích vô hướng. Tích vô hướng là một dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương. Khái niệm tích vô hướng được khái quát hoá từ khái niệm tích vô hướng đã gặp ở phổ thông, trong đó tích vô hướng của hai véc tơ vu , là số thực ( )vuvuvu ,cos⋅=⋅ . Hai véc tơ được gọi là trực giao nhau nếu tích vô hướng của chúng bằng 0. Hệ véc tơ gồm các véc tơ trực giao nhau được gọi là một hệ trực giao. Véc tơ có tích vô hướng với chính nó bằng 1 được gọi là véc tơ đơn vị. Một hệ trực giao gồm các véc tơ đơn vị được gọi là hệ trực chuẩn. Cho một hệ véc tơ độc lập tuyến tính thì ta có thể tìm được một hệ trực chuẩn sao cho không gian sinh bởi hai hệ này là trùng nhau. Để tìm hệ trực chuẩn này ta sử dụng lược đồ trực chuẩn hoá Gram-Shmidt. Trong viễn thông người ta hay dùng phương pháp này trong lý thuyết truyền dẫn tín hiệu, trong đó mỗi tín hiệu được biểu diễn dưới dạng một hàm số theo thời gian t. Tích vô hướng của hai tín hiệu )(),( tgtf là ∫= b a dttgtftgtf )()()(),( . Lúc đó người ta tìm một hệ các tín hiệu chuẩn là một hệ trực chuẩn (bằng cách trực Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương 91 chuẩn hoá Gram-Shmidt), còn các tín hiệu khác được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu chuẩn này. Ma trận trực giao là ma trận vuông có các véc tơ cột là một hệ trực chuẩn. Ma trận chuyển cơ sở của hai cơ sở trực chuẩn là ma trận trực giao. Ma trận của ánh xạ trực giao trong cơ sở trực chuẩn là ma trận trực giao. Ma trận trực giao khả nghịch và ma trận nghịch đảo bằng ma trận chuyển vị của nó. Bài toán chéo hoá trực giao ma trận vuông A là tìm ma trận trực giao T sao cho ATT t là ma trận chéo. Ma trận vuông chéo hoá trực giao được khi và chỉ khi nó là ma trận đối xứng. Để chứng minh điều này ta sử dụng tự đồng cấu đối xứng. Khái niệm dạng toàn phương có rất nhiều ứng dụng. Một dạng toàn phương được xác định bởi duy nhất một dạng song tuyến tính đối xứng được gọi là dạng cực của dạng toàn phương đó. Ma trận của dạng cực cũng còn gọi là ma trận của dạng toàn phương. Vậy ma trận của một dạng toàn phương là ma trận đối xứng, do đó có thể chéo hoá trực giao được. Bằng phương pháp này ta có thể đưa biểu thức toạ độ của một dạng toàn phương về dạng chính tắc (chỉ chứa các thành phần bình phương, ma trận của nó có dạng chéo). Ngoài ra ta có thể đưa về dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange và phương pháp Jacobi, thuật biến đổi ma trận.... Khi đưa biểu thức toạ độ của một dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng những phương pháp khác nhau thì các hệ số trên đường chéo của ma trận chéo có thể khác nhau, nhưng số các hệ số dương và hệ số âm luôn bằng nhau, được gọi là chỉ số quán tính của dạng toàn phương. Định lý Sylvester cho ta một tiêu chuẩn để nhận biết một dạng toàn phương là xác định dương hay xác định âm dựa vào các định thức con chính góc bên trái. Dựa vào tính bất biến của chỉ số quán tính của dạng toàn phương ta có thể ứng dụng để phân loại các đường bậc 2 trong mặt phẳng (các đường cô níc: đường êlíp, hyperbol, parabol. Đây là 3 đường cong cơ bản đã được khảo sát ở phổ thông dưới dạng phương trình chính tắc) và các mặt bậc 2 trong không gian. Thực hiện phép đổi trục toạ độ để đưa đường bậc 2 trong mặt phẳng và mặt bậc 2 trong không gian về dạng chính tắc. Hàm số chỉ đạt cực trị tại những điểm tới hạn (đạo hàm bậc nhất bằng 0 hoặc không tồn tại đạo hàm). Khi hàm một biến số có đạo hàm bậc 1 triệt tiêu tại một điểm nào đó thì số gia của hàm phụ thuộc vào dấu của đạo hàm bậc 2 tại điểm này. Khi hàm nhiều biến có các đạo hàm riêng cấp 1 bằng 0 tại điểm tới hạn tại một điểm nào đó thì số gia của hàm tại điểm này phụ thuộc vào vi phân bậc 2, đó là một dạng toàn phương. Tuỳ theo tính chất xác định dương, xác định âm hay không xác định của dạng toàn phương này ta có thể kết luận hàm số đạt cực tiểu, cực đại Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương 92 hay không đạt cực trị tại điểm đã xét. Khi vi phân bậc 2 bằng 0 thì bài toán sẽ phức tạp hơn nhiều, nhưng rất may là trường hợp này ít gặp trong thực tế. Dạng toàn phương còn được sử dụng trong bài toán bình phương cực tiểu, trong quy hoạch động, phân loại các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 ... Học viên nên áp dụng thành thạo lược đồ trực chuẩn hóa Gram-Shmidt. Đổi cơ sở để đưa biểu thức toạ độ của một dạng toàn phương về dạng chính tắc, đặc biệt chú trọng phương pháp chéo hóa trực giao. 7.2 TÓM TẮT NỘI DUNG 7.2.1 Dạng song tuyến tính Một dạng song tuyến tính trên không gian véc tơ V là một ánh xạ  : →×VVη ),( ),( vuvu ηa sao cho khi cố định mỗi biến thì nó trở thành ánh xạ tuyến tính đối với biến kia. Dạng song tuyến tính η được gọi là có tính: i) Đối xứng: Nếu ),(),( uvvu ηη = với mọi Vvu ∈, ; ii) Không âm: Nếu 0),( ≥uuη với mọi Vu∈ ; iii) Không dương: Nếu 0),( ≤uuη với mọi Vu∈ ; iv) Xác định: Nếu 0),( =uuη khi và chỉ khi 0=u . Một dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương được gọi là tích vô hướng. Ta thường ký hiệu tích vô hướng của u và v là vu, thay cho ),( vuη . 7.2.2 Không gian Euclide Một không gian véc tơ V với một tích vô hướng được gọi là không gian véc tơ Euclide. 7.2.3 Chuẩn của véc tơ Với mỗi véc tơ Vv∈ ta định nghĩa và ký hiệu chuẩn hay mô đun của véc tơ v qua biểu thức: vvv ,:= . Nếu 1=v thì v được gọi là véc tơ đơn vị. Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương 93 7.2.4 Trực giao, trực chuẩn Hai véc tơ Vvu ∈, gọi là trực giao nhau, ký hiệu vu ⊥ , nếu 0, =vu . Hệ các véc tơ { }nvvS ,...,1= của V được gọi là hệ trực giao nếu hai véc tơ bất kỳ của hệ S đều trực giao nhau. Hệ trực giao các véc tơ đơn vị được gọi là hệ trực chuẩn. 7.2.5 Trực chuẩn hoá Gram-Shmidt Giả sử { }nuuS ,...,1= là một hệ độc lập tuyến tính các véc tơ của không gian Euclide .V Khi đó ta có thể tìm được hệ trực chuẩn { }nvvS ,...,' 1= sao cho { } { } nkuuvv kk ,...,1;,...,span,...,span 11 == . 9 1=k : Vì hệ S độc lập nên 01 ≠u . Đặt 1 1 1 u uv = . 9 2=k : Xét 21122 , uvvuv +−= , ta có 02 ≠v . Đặt 2 2 2 v vv = , hệ { }21, vv trực chuẩn và { } { }2121 ,span,span uuvv = . 9 Giả sử đã xây dựng được đến 1−k . Tức có { }11,..., −kvv trực chuẩn sao cho { } { }1111 ,...,span,...,span −− = kk uuvv . Tương tự trên ta xét ∑− = +−= 1 1 , k i kiikk uvvuv ta cũng có 0≠kv Đặt k k k v vv = thì 1,...,1; −=⊥ kivv ik . Vậy hệ { }kvv ,...,1 trực chuẩn và { } { } { }kkkkk uuuvvvvv ,,...,span,,...,span,...,span 11111 −− == . 7.2.6 Cơ sở trực chuẩn Một cơ sở của không gian véc tơ V mà là hệ trực chuẩn được gọi là một cơ sở trực chuẩn. Mọi hệ trực chuẩn của V đều có thể bổ sung thêm để trở thành cơ sở trực chuẩn. Giả sử { }nee ,...,1 là một cơ sở trực chuẩn của V thì với mọi Vvu ∈, , ta có Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương 94 22 1 2 11 11 ,..., ,,...,,, ,..., n nn nn evevv eveueveuvu eeveevv ++= ++= ++= 7.2.7 Không gian con trực giao, phần bù trực giao Véc tơ Vv∈ được gọi là trực giao với tập con VS ⊂ , ký hiệu Sv ⊥ , nếu uv ⊥ với mọi Su∈ . Tập con 1S trực giao với tập con 2S , ký hiệu 21 SS ⊥ , nếu uv ⊥ với mọi 21, SuSv ∈∈ . Nếu Sv ⊥ thì Sv span⊥ . Giả sử { }kee ,...,1 là một cơ sở của W thì Wv ⊥ khi và chỉ khi iev ⊥ , với mọi ki ,...,1= . Với mọi tập con VS ⊂ . Ta ký hiệu { }SuuvVvS ∈∀⊥∈=⊥ , . Tập ⊥S là không gian véc tơ con của V . Với mọi không gian con W của V . Ta có ⊥ ⊥⊕= WWV , ( ) WW =⊥⊥ Hai không gian con ⊥WW , được gọi là phần bù trực giao của nhau. 7.2.8 Ma trận trực giao Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao nếu IAAt = . Như vậy ma trận trực giao A là khả nghịch và có tAA =−1 . Ma trận A trực giao khi và chỉ khi các véc tơ cột và các véc tơ hàng của A tạo thành hai hệ trực chuẩn. Ta có 11 ±=⇒== AIAAt . Mọi ma trận vuông cấp 2 trực giao đều có dạng ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= ϕϕ ϕϕ cossin sincos A hay ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= ϕϕ ϕϕ cossin sincos A . Ma trận của một hệ trực chuẩn viết trong cơ sở trực chuẩn là một ma trận trực giao. Đặc biệt mọi ma trận chuyển từ cơ sở trực chuẩn sang cơ sở trực chuẩn là ma trận trực giao. Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương 95 7.2.9 Ánh xạ tuyến tính trực giao Giả sử ( )VV , , và ( )' , ,' VV là hai không gian véc tơ Euclide. ánh xạ tuyến tính ': VVf → được gọi là ánh xạ trực giao nếu với mọi Vvu ∈, : VV vuvfuf ,)(),( ' = Tự đẳng cấu f là trực giao khi và chỉ khi ma trận của tự đẳng cấu f trong một cơ sở trực chuẩn là một ma trận trực giao. 7.2.10 Bài toán chéo hoá trực giao Cho ma trận A tìm ma trận trực giao T sao cho ATT t là ma trận chéo. A chéo hoá trực giao được khi và chỉ khi A là ma trận đối xứng. 7.2.11 Thuật toán chéo hoá trực giao Muốn chéo hoá trực giao một ma trận đối xứng A , nghĩa là tìm ma trận trực giao T sao cho ATT t có dạng chéo, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm các giá trị riêng của ma trân đối xứng A (nghiệm của đa thức đặc trưng). Bước 2: Trong mỗi không gian riêng tìm một cơ sở và trực chuẩn hoá Gram- Shmidt cơ sở này. Bước 3: Gộp các cơ sở đã được trực chuẩn hoá ở bước 2 ta có một cơ sở trực chuẩn của V . Ma trận các véc tơ của cơ sở này là ma trận trực giao T cần tìm. 7.2.12 Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương Giả sử →×VV:η là một dạng song tuyến tính trên không gian véc tơ V . { }nee ,...,1=B là một cơ sở của V Ma trận [ ]ijaA = , ),( jiij eea η= được gọi là ma trận của dạng song tuyến tính η trong cơ sở B . nnexexuVu ++=∈∀ ...; v, 11 và nneyeyv ++= ...11 ∑∑ == == ++++= n ji jiij n ji jiji nnnn yxayxee eyeyexexvu 1,1, 1111 ),( )...,...(),( η ηη được gọi là biểu thức toạ độ trong cơ sở B . Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương 96 Ngược lại ánh xạ →×VV:η xác định bởi ∑ = = n ji jiij yxavu 1, ),(η là một dạng song tuyến tính có ma trận [ ]ijaA = , ),( jiij eea η= . Giả sử →×VV:η là dạng song tuyến tính trên không gian véc tơ V . Ánh xạ  : →VQ ),()( vvvQv η=a được gọi là một dạng toàn phương trên V . Do đó ∑ = = n ji jiij xxavQ 1, )( , với ∑ = = n i iiexv 1 là biểu thức toạ độ trong cơ sở B . Một dạng toàn phương  : →VQ là một hàm số xác định trong không gian véc tơ V có công thức xác định ảnh )(vQ là một đa thức thuần nhất bậc hai đối với các toạ độ của véc tơ v trong cơ sở bất kỳ. Mỗi dạng toàn phương Q chỉ có duy nhất một dạng song tuyến tính đối xứng η , được gọi là dạng cực của Q , sao cho ),()( vvvQ η= . Nếu A là ma trận của dạng cực η của Q thì A cũng còn được gọi là ma trận của dạng toàn phương Q . 7.2.13 Biểu thức toạ độ của dạng toàn phương trong các cơ sở khác nhau Giả sử Q là dạng toàn phương trong không gian véc tơ V . [ ]ijaA = , [ ]ijaA ''= là hai ma trận của Q trong hai cơ sở { }nee ,...,1=B . { }nee ',...,'1'=B của V . Gọi [ ]ijtT = là ma trận chuyển từ cơ sở B sang 'B thì ATTA t=' . 7.2.14 Biểu thức toạ độ dạng chính tắc của một dạng toàn phương Ta cần tìm một cơ sở của V để trong cơ sở này ma trận của dạng toàn phương là ma trận chéo, nghĩa là biểu thức toạ độ có dạng chính tắc: 22 222 2 111 ...)( nnnxaxaxavQ +++= Đưa về chính tắc bằng chéo hoá trực giao: Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương 97 Giả sử Q là dạng toàn phương trong không gian Euclide V với cơ sở trực chuẩn { }nee ,...,1=B có ma trận [ ]ijaA = (ma trận đối xứng). Chéo hoá trực giao ma trận [ ]ijaA = , nghĩa là ta tìm được ma trận trực giao T để ATT t là ma trận chéo. T là ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở trực chuẩn 'B gồm các véc tơ riêng của A . Vì vậy biểu thức toạ độ của Q trong cơ sở 'B có dạng chính tắc. Đưa về dạng chính tắc theo phương pháp Lagrange: Giả sử trong cơ sở { }nee ,...,1=B của không gian véc tơ V (không giả thiết không gian Euclide) biểu thức toạ độ của dạng toàn phương Q có dạng: ∑ = = n ji jiij xxavQ 1, )( , jiij aa = , ∑ = = n i iiexv 1 . Ta thực hiện các phép đổi toạ độ sau: ♦ Trường hợp 1: Giả sử có 0≠iia , chẳng hạn 011 ≠a thì ta có thể sắp xếp lại: ∑∑ == +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += n ji jiij n i i i xxax a axxavQ 2,2 11 1 1 2 111 2)( ∑∑ == +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += n ji jiij n i i i xxax a axa 2, 2 2 11 1 111 ' Đặt ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ == += ∑ = njxy x a axy jj n i i i ,...,2 ; 2 11 1 11 thì ∑ = += n ji jiij yyayavQ 2, 2 111 ')( Tiếp tục quá trình này với biểu thức ∑ = n ji jiij yya 2, ' . ♦ Trường hợp 2: Nếu mọi 0=iia thì tồn tại 0≠ija , chẳng hạn 012 ≠a . Đặt ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ == −= += njyx yyx yyx jj ,...,3 ; 212 211 thì ∑∑ == == n ji jiij n ji jiij yyaxxavQ 1,1, ')( Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương 98 có 0' 1211 ≠= aa , vì vậy ta có thể đưa về trường hợp 1. Đưa về dạng chính tắc theo phương pháp Jacobi: Cho dạng toàn phương Q trong không gian véc tơ V (không giả thiết không gian Euclide) với dạng cực tương ứng η và có ma trận trong cơ sở { }nee ,...,1=B là [ ]ijaA = : ),( jiij eea η= ; nji ,...,1, = . Nếu các định thức con chính của A đều khác không: 0111 ≠= aD , 0 2221 1211 2 ≠= aa aa D , ... , 0 ... ... 1 111 ≠= nnn n n aa aa D MOM thì với mỗi nj ,...,1= các hệ phương trình Cramer sau 1... ............................................. 0... 0... 2211 2222121 1212111 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =+++ =+++ =+++ jjjjj jj jj xaxaxa xaxaxa xaxaxa luôn có nghiệm duy nhất ký hiệu là ( )jjjj ααα ,....,, 21 . Xét hệ véc tơ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ +++= += = nnnnnn eeef eef ef ααα αα α .... ......................................... 2211 2221122 1111 thì biểu thức toạ độ của Q trong cơ sở { }nff ,...,' 1=B có dạng chính tắc: nn fyfyv ++= ...11 ⇒ 2122 2 12 1 1 ...1)( n n n y D Dy D Dy D vQ −+++= . 7.2.15 Luật quán tính Số các hệ số dương và số các hệ số âm trong dạng chính tắc của một dạng toàn phương Q là những bất biến của dạng đó (tức là không phụ thuộc vào việc lựa chọn cơ sở). Số các hệ số dương được gọi là chỉ số quán tính dương và số các hệ số âm được gọi là chỉ số quán tính âm. Giả sử ),( qp là cặp chỉ số quán tính dương và âm của dạng toàn phương Q trong không gian n chiều V thì rqp =+ (hạng của Q ). Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương 99 Nếu nr = thì Q được gọi là không suy biến; np = thì Q được gọi là xác định dương; nq = thì Q được gọi là xác định âm. Định lý Sylvester: Giả sử dạng toàn phương Q có ma trận là A trong một cơ sở nào đó của V . Khi đó: (i) Q xác định dương khi và chỉ khi các định thức con góc trái của A luôn dương. (ii) Q xác định âm khi và chỉ khi các định thức con góc trái cấp chẵn là dương và cấp lẻ là âm. 7.3 CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP Câu 1: 22211 ),(),,( ∈∀ yxyx , biểu thức nào sau đây của η xác định một dạng song tuyến tính của không gian véc tơ 2 . a) ( ) 2222112211 )()(),(),,( yxyxyxyx ++−=η . b) ( ) 2212212211 )()(),(),,( yyxxyxyx −+−=η . c) ( ) 2121212211 5132),(),,( yyyxxxyxyx −+=η . d) ( ) 2121212211 532),(),,( yyyxxxyxyx +−+=η . Câu 2: 22211 ),(),,( ∈∀ yxyx , dạng song tuyến tính η nào sau đây của không gian véc tơ 2 có tính xác định. a) ( ) 2121212211 5132),(),,( yyyxxxyxyx −+=η . b) ( ) 211221212211 4263),(),,( yyyxyxxxyxyx −+−=η . c) ( ) 211221212211 10452),(),,( yyyxyxxxyxyx +++=η . d) ( ) 2112212211 58),(),,( yyyxyxyxyx ++=η . Câu 3: 22211 ),(),,( ∈∀ yxyx , dạng song tuyến tính η nào sau đây của không gian véc tơ 2 có tính đối xứng. a) ( ) 2121212211 62),(),,( yyyxxxyxyx ++=η . b) ( ) 211221212211 323),(),,( yyyxyxxxyxyx +++=η . Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương 100 c) ( ) 211221212211 2442),(),,( yyyxyxxxyxyx −+−=η . d) ( ) 2112212211 3),(),,( yyyxyxyxyx −+=η . Câu 4: 22211 ),(),,( ∈∀ yxyx , dạng song tuyến tính η nào sau đây của không gian véc tơ 2 là một tích vô hướng. a) ( ) 2121212211 82),(),,( yyyxxxyxyx −+=η . b) ( ) 211221212211 253),(),,( yyyxyxxxyxyx +++=η . c) ( ) 211221212211 32),(),,( yyyxyxxxyxyx +−+=η . d) ( ) 2112212211 32),(),,( yyyxyxyxyx ++=η . Câu 5: Giả sử , là một tích vô hướng của không gian véc tơ V . Điều nào sau đây không đúng. a) Nếu 0, =vu với mọi Vv∈ thì 0=u . b) vvuuvuvu ,,, +=++ . c) 0, >uu với mọi Vu∈ và 0≠u . d) vukkvkukVvu ,,;,, 2=∈∀∈∀  . Câu 6: 22211 ),(),,( ∈∀ yxyx , ( ) 211221212211 3),(),,( yyyxyxxxyxyx +−−=η xác định một tích vô hướng của không gian véc tơ 2 . Tìm mô đun v , )4,3(=v . a) 33=v . b) 5=v . c) 12=v . d) 1=v . Câu 7: Trong không gian véc tơ 3 xét tích vô hướng thông thường. Tìm véc tơ u trực chuẩn hoá của véc tơ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−= 5 1,1, 5 2v . a) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−= 5 1,1, 5 2u . Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương 101 b) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−= 5 1,5, 5 2u . c) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−= 30 1, 30 5, 30 2u . d) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−= 30 1,30, 30 2u . Câu 8: Ký hiệu vvv ,= là mô đun của véc tơ v trong không gian véc tơ Euclide V . Điều nào sau đây không đúng. a) 0≥v ; và 0=v khi và chỉ khi 0=v . b) vkkv = . c) uvuv +≤+ . d) uvuv −≤− . Câu 9: Cho không gian véc tơ Euclide V với tích vô hướng , . Điều nào sau đây không đúng. a) vu = khi và chỉ khi 0, =−+ vuvu . b) 22 2 1 2 1, vuvuvu −−+= . c) 222 vuvu +=+ khi và chỉ khi vu ⊥ . d) 22 4 1 4 1, vuvuvu −−+= . Câu 10: Ta gọi vuvud −=),( là hàm khoảng cách trong không gian véc tơ Euclide V . Điều nào sau đây không đúng. a) 0),( ≥vud ; và 0),( =vud khi và chỉ khi vu = . b) ),(),( 2 vudkkvkud = . c) ),(),(),( vwdwudvud +≤ . d) ),(),( uvdvud = . Câu 11: Trong không gian véc tơ 3 xét tích vô hướng thông thường. Tìm một véc tơ đơn vị w trực giao với hai véc tơ ( ) ( )3,1,0,3,2,1 21 == uu . Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương 102 a) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= 11 1, 11 3, 11 1w . b) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= 10 1, 10 3,0w . c) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−= 11 1, 11 3, 11 1w . d) ( )13,1 −−=w . Câu 12: Trong không gian véc tơ 2 xét tích vô hướng thông thường. Trực chuẩn hoá Gram-Shmidt của hệ véc tơ ( ) ( )0,2,2,1 21 =−= uu . a) ( )0,1, 5 2, 5 1 21 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= vv . b) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= 5 1, 5 2, 5 2, 5 1 21 vv . c) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= 0, 5 2, 5 2, 5 1 21 vv . d) ( )1,2, 5 2, 5 1 21 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= vv . Câu 13: Trong không gian véc tơ 3 xét tích vô hướng thông thường. Trực chuẩn hoá Gram-Shmidt của hệ véc tơ ( ) ( ) ( )1,0,0,1,1,0,1,1,1 321 === uuu . a) ( )1,0,0, 2 1, 2 1,0, 3 1, 3 1, 3 1 321 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= vvv . b) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 2 1, 2 1,0, 6 2, 6 1, 6 1, 3 1, 3 1, 3 1 321 vvv . c) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 2 1,0, 2 1, 6 1, 6 1, 6 2, 3 1, 3 1, 3 1 321 vvv . d) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 2 1, 2 1,0, 6 1, 6 1, 6 2, 3 1, 3 1, 3 1 321 vvv . Câu 14: Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương 103 2 2211 ),(),,( ∈∀ yxyx , ( ) 211221212211 522),(),,( yyyxyxxxyxyx +−−=η xác định một tích vô hướng của không gian véc tơ 2 . Trực chuẩn hoá Gram- Schmidt cơ sở { })1,0(,)0,1( 21 == ee của 2 . a) )1,0(,)0,1( 2211 ==== evev . b) )1,2(,)0,1( 211 === vev . c) )1,0(,)2,1( 221 === evv . d) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 5 1, 5 2, 5 2, 5 1 21 vv . Câu 15: Trong không gian véc tơ 4 xét tích vô hướng thông thường. Tìm một cơ sở của không gian W gồm các véc tơ trực giao với hai véc tơ ( ) ( )8,7,5,3,4,3,2,1 21 −=−= uu . a) )4,5,3,1(),4,0,1,3( 21 −=−= vv . b) )2,3,1,1(),0,3,1,2(),6,0,1,4( 321 −=−== vvv . c) )1,0,4,4(),0,1,2,1( 21 == vv . d) )2,1,6,5(),0,2,4,2( 21 == vv . Câu 16: Trong không gian véc tơ 5 xét tích vô hướng thông thường. Tìm một cơ sở của phần bù trực giao ⊥W của không gian ( ) ( ){ }1,2,7,4,2,2,1,3,2,1span 21 −=−== uuW . a) ( ) ( ) ( ){ }0,1,4,0,13,1,0,5,0,17,0,0,0,1,2 321 −=−=−= vvv . b) ( ) ( ){ }1,0,5,0,17,0,0,0,1,2 21 −=−= vv . c) ( ) ( ) ( ){ }0,1,4,0,13,1,0,5,0,7,0,0,0,1,2 321 −==−= vvv . d) ( ) ( ) ( ){ }1,0,5,1,15,1,0,5,0,17,0,0,0,1,2 321 −−=−=−= vvv . Câu 17: Giả sử 21, WW là hai không gian véc tơ con của không gian véc tơ Euclide V . Điều nào sau đây không đúng. a) ( ) ⊥⊥⊥ ∩=+ 2121 WWWW . b) ( ) ⊥⊥⊥ +=∩ 2121 WWWW . c) ( ) ⊥⊥⊥ ∪=∩ 2121 WWWW . Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương 104 d) ⊥⊥ ⊃⇒⊂ 2121 WWWW . Câu 18: Xác định xem cơ sở nào sau đây là cơ sở trực chuẩn của không gian véc tơ 3 . a) ( ) ( ) ( ){ }1,0,2,1,1,0,1,1,1 − . b) ( ) ( ) ( ){ }1,0,1,1,0,2,2,2,1 − . c) ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − 3 2, 3 2, 3 1, 3 2, 3 1, 3 2, 3 1, 3 2, 3 2 . d) ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −− 2 1, 6 1, 3 1, 2 1, 6 1, 3 1, 2 1, 6 1, 3 1 . Câu 19: Ma trận nào sau đây không phải là ma trận trực giao a) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 100 0cossin 0sincos ϕϕ ϕϕ . b) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 5 3 5 4 5 4 5 3 . c) ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −− − 3 2 3 2 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3 1 3 2 . d) ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − 0 2 1 2 1 2 10 2 1 2 1 2 10 . Câu 20: Cho ma trận trực giao A . Điều nào sau đây không đúng a) Hệ các véc tơ cột của A là một hệ trực chuẩn. b) Hệ các véc tơ hàng của A là một hệ trực chuẩn. Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương 105 c) Định thức của A luôn bằng 1. d) Tồn tại ma trận nghịch đảo tAA =−1 . Câu 21: Điều nào sau đây không đúng. a) Ma trận của một hệ trực chuẩn trong cơ sở bất kỳ là một ma trận trực giao. b) Nếu A là ma trận trực giao thì tA cũng là ma trận trực giao. c) Ma trận trực giao chỉ nhận các giá trị riêng là 1 hoặc 1− . d) Nếu BA, là hai ma trận trực giao thì AB cũng là ma trận trực giao. Câu 22: Tìm zyx ,, sao cho ma trận ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 2 1 2 10 3 2 3 2 3 1 zyxA là ma trận trực giao và 1det =A . a) 3 1, 3 1, 3 2 =−== zyx . b) 23 1, 23 1, 23 4 −=−== zyx . c) 23 1, 23 1, 23 4 ==−= zyx . d) 2,2,24 ==−= zyx . Câu 23: Điều nào sau đây không đúng a) Tự đồng cấu f là tự đồng cấu trực giao khi và chỉ khi ma trận của f một trong cơ sở trực chuẩn là ma trận trực giao. b) Tự đồng cấu f là tự đồng cấu đối xứng khi và chỉ khi ma trận của f một trong cơ sở trực chuẩn là ma trận đối xứng. c) Mọi ma trận đối xứng đều chéo hoá trực giao được. d) Ma trận đối xứng chỉ nhận các giá trị riêng khác 0. Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương 106 Câu 24: Cho ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −= 312 132 220 A . Tìm ma trận trực giao P sao cho APPt có dạng chéo. a) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −= 612131 612131 62031 P , ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =− 900 050 003 1APP . b) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − = 312161 312161 31062 P , ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡− =− 400 040 002 1APP . c) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −= 62031 612131 612131 P , ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =− 300 030 000 1APP . d) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −= 31062 312161 312161 P , ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =− 600 060 000 1APP . Câu 25: Cho ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 222 251 215 A . Tìm ma trận trực giao P sao cho APPt có dạng chéo. a) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −= 612131 612131 62031 P , ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =− 900 050 003 1APP . b) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − = 312161 312161 31062 P , ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡− =− 400 040 002 1APP . c) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −= 62031 612131 612131 P , ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =− 300 030 000 1APP . Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương 107 d) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −= 31062 312161 312161 P , ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =− 600 060 000 1APP . Câu 26: Viết ma trận của dạng toàn phương Q trong cơ sở chính tắc: 323121 2 3 2 2 2 1321 24223),,( xxxxxxxxxxxxQ +−+−+= a) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − = 124 222 423 A . b) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 100 220 423 A . c) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − = 112 121 213 A . d) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − −− = 124 222 423 A . Câu 27: Cho dạng toàn phương  : 2 →Q xác định bởi 22 62),( yxyxyxQ +−= . Tìm ma trận của Q trong cơ sở { })1,1(,)0,1( 21 == vv a) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − 13 32 . b) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −− − 31 12 . c) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − − 16 62 . d) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − 10 62 . Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương 108 Câu 28: Cho dạng toàn phương  : 3 →Q xác định bởi yzxzxyzyxQ ++=),,( . Tìm chỉ số quán tính dương p và chỉ số quán tính âm q . a) 2,1 == qp . b) 1,2 == qp . c) 1,1 == qp . d) 2,0 == qp . Câu 29: Cho dạng toàn phương  : 4 →Q xác định bởi ytyzxytzyxtzyxQ 242223),,,( 2222 +−+−−+= . Tìm chỉ số quán tính dương p và chỉ số quán tính âm q . a) 3,1 == qp . b) 1,3 == qp . c) 2,2 == qp . d) 2,1 == qp . Câu 30: Cho dạng toàn phương  : 3 →Q xác định bởi yzxzxyzyxzyxQ 444),,( 222 +++++= . Tìm một cơ sở { }321 ,, vvv của 3  sao cho biểu thức toạ độ của Q trong cơ sở này có dạng chính tắc. 321),,( ZvYvXvzyx ++= ; 222),,( ZYXzyxQ γβα ++= a) ; 6 2, 6 1, 6 1,0, 2 1, 2 1, 3 1, 3 1, 3 1 321 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= vvv 1,1,5 ==−= γβα . b) ; 6 2, 6 1, 6 1,0, 2 1, 2 1, 3 1, 3 1, 3 1 321 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= vvv 1,1,5 −=−== γβα . c) ; 3 2, 3 1, 3 2, 3 2, 3 2, 3 1, 3 1, 3 2, 3 2 321 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= vvv 1,1,3 −=−== γβα . Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương 109 d) ; 3 2, 3 1, 3 2, 3 2, 3 2, 3 1, 3 1, 3 2, 3 2 321 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= vvv 1,5,5 −=== γβα . Câu 31: Cho dạng toàn phương  : 3 →Q có ma trận trong cơ sở chính tắc ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− −− = 1442 4142 2217 A . Tìm một cơ sở { }321 ,, vvv của 3 sao cho biểu thức toạ độ của Q trong cơ sở này có dạng chính tắc. 321),,( ZvYvXvzyx ++= ; 222),,( ZYXzyxQ γβα ++= . a) ; 18 1, 18 1, 18 4, 2 1, 2 1,0, 3 2, 3 2, 3 1 321 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= vvv 18,18,9 === γβα . b) ; 6 2, 6 1, 6 1,0, 2 1, 2 1, 3 1, 3 1, 3 1 321 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= vvv 10,10,5 === γβα . c) ; 3 2, 3 1, 3 2, 3 2, 3 2, 3 1, 3 1, 3 2, 3 2 321 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= vvv 1,5,3 −=== γβα . d) ; 3 2, 3 1, 3 2, 3 2, 3 2, 3 1, 3 1, 3 2, 3 2 321 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= vvv 2,1,1 === γβα . Câu 32: Với giá trị nào của tham số m thì dạng toàn phương  : 3 →Q , xzmxyzyxzyxQ 2232),,( 222 ++++= xác định dương. a) 1=m . b) 3 5<m . c) 0≠m . d) 0>m . Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương 110 Câu 33: Cho dạng toàn phương  : 3 →Q có ma trận trong cơ sở chính tắc ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 521 21 11 m m A . Với giá trị nào của tham số m thì dạng toàn phương Q , xác định dương. a) 1>m . b) 3 1<m . c) 0≠m . d) 0 5 4 <<− m . Câu 34: Với giá trị nào của tham số m thì dạng toàn phương  : 3 →Q , yzmxzmxymzyxzyxQ 44244),,( 222 +−++−−= xác định âm. a) 1−>m . b) 2<m . c) 12 −<<− m . d) 2−≥m . Câu 35: Tìm k để dạng song tuyến tính xác định như sau 2 2211 ),(),,( ∈∀ yxyx , ( ) 211221212211 33),(),,( ykyyxyxxxyxyx +−−=η là một tích vô hướng của không gian véc tơ 2 . a) 9>k . b) 0>k . c) 90 << k . d) 0≠k . Câu 36: Tìm điều kiện dcba ,,, để dạng song tuyến tính xác định như sau 2 2211 ),(),,( ∈∀ yxyx , ( ) 211221212211 ),(),,( ydyycxybxxaxyxyx +++=η là một tích vô hướng của không gian véc tơ 2 . a) 0,0,0,0 >>>> dcba . b) 0,0,0 >−>> bcadda . Chương 7: Không gian Véc tơ Euclide dạng toàn phương 111 c) 0,,0 >−=> bcadcba . d) 0,0,0 > bcadda . Câu 37: Hãy đưa các đường bậc hai có phương trình sau về dạng chính tắc và viết tên chúng 0180383 22 =+−+ yxyx . Câu 38: Hãy đưa các đường bậc hai có phương trình sau về dạng chính tắc và viết tên chúng 01641294 22 =++−++ yxyxyx . Câu 39: Hãy đưa các mặt bậc hai có phương trình sau về dạng chính tắc và viết tên chúng 246012124421077 222 =++−+−−++ zyxyzxzxyzyx . Câu 40: Hãy đưa các mặt bậc hai có phương trình sau về dạng chính tắc và viết tên chúng 01266222 =−−−++ zyxyzxzxy . Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 112 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Câu Đáp án Câu Đáp án 1 c 21 a) 120, b) 48, c) 72, d) 250 2 d 22 c 3 b 23 d 4 c 24 d 5 d 25 b 6 d 26 b 7 b 27 a) 210, b) 62, c) 203, d) 70 8 a 28 d 9 d 29 a 10 30 b 11 d 31 c 12 32 a 13 c 33 c 14 34 b 15 d 35 c 16 c 36 a,c,d tương đương 17 b 37 b 18 c 38 b 19 b 20 Câu 3, 4, 5, 6, 7: Sử dụng lôgích mệnh đề. Câu 9: a) Không đối xứng. b), c) Không bắc cầu. Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 113 Câu 10: Lớp tương đương của a là { }0)1)(( 22 =−++−∈= axxaxaxa  { } { } { }⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =− ≠<⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −±− =− > = 322, 3132234, 312, 32 2 aaa aaaaa aaa aa a nÕu vµ nÕu nÕu nÕu a) { }a b) { }aa 2,− c) ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −±− 234, 2aaa d) { } 2, aa − Câu 12: a) { }1≤∈= xxA 4 , { }22 <∈= xxB 4 . b) { }22 <∈= xxA 4 , { }2<∈= xxB 4 . c) { }2<∈= xxA 4 , { }2≤∈= xxB 4 . d) { }2,0 2 <<∈= xxxA 4 Câu 13: Giải phương trình yxf =)( . Câu 14: a) ⎩⎨ ⎧ −= lÎ nÕu ch½n nÕu nn nn ngf 1 )(o , b) nngnfg == )2()(o ; với mọi số nguyên n . c) nnff 4)( =o d) ffgf =oo Câu 20: a) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= 1342 4321μσ o , b) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= 2431 4321σμ o c) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=− 2143 43211σ d) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=− 1423 43211μ . Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 114 Câu 15, 16, 17, 18, 19: Sử dụng lôgích mệnh đề, định nghĩa và các tính chất của ánh xạ. Câu 29: ∑ = −=+ 31 0 31 31 31 1937)1937( k kkkC ; Đặt kkkk Ca −= 3131 1937 Xét 14,20 56 11281 37 19 31 1 1937 1937 13111 31 31 31 1 =<⇔<⋅− +== −−++ − + k k k C C a a kkk kkk k k ⇒ 20≤∀k ta có: 211 aaaa kkk <⇒< + 21≥∀k ta có: 211 aaaa kkk ≤⇒> + Vậy 10211031 102121 3121 19.3719.37 CCaaMax === . Câu 30, 31, 32, 33, 34: Sử dụng trực tiếp định nghĩa phép hợp thành, nhóm, vành và trường. Câu 35: a) Nếu yxxy = thì ( ) ∑ = −=+ m k kmkk m m yxCyx 0 . Giả sử 0,0 21 == nn yx thì ( ) 021 =+ +nnyx . b) Nếu yxxy = thì ( ) mmm yxxy = . Giả sử 0,0 21 == nn yx thì ( ) 021 =+nnxy . d) Nếu 0=nx thì ( )( ) 1....11 1 =+++− −nxxx . ( ) 11 ....11 −− +++=−⇒ nxxx . Câu 37: Từ xzxx =∧∨ )'( và zzyzy =∧∨∧ )()'( ⇒ mạng tương đương đơn giản hơn có dạng zx∨ . Câu 38: Công thức Boole tương ứng của mạng [ ]( ))'()'()( zyzyxzyxA ∧∨∧∧∨∧∧= [ ] )()'()'()( zyxzyzyzyx ∨∧=∧∨∧∨∧∧= ⇒ mạng tương đương đơn giản hơn có dạng )( zyx ∨∧ . Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 115 CHƯƠNG 2 Câu Đáp án Câu Đáp án 1 d 16 a) 3 ; b) 2 ; c) 3 ; d) 3 2 c 17 c 3 b 18 a 4 c 19 c 5 c 20 c 6 21 b 7 b 22 c 8 a 23 d 9 c 24 a 10 b 25 c 11 c 26 d 12 c 27 13 b 28 14 a) 3 ; b) 2 ; c) 1 ; d) 3 29 15 c 30 Câu 1, 2, 3, 4, 5: Sử dụng trực tiếp định nghĩa không gian véc tơ và không gian véc tơ con. Câu 6: a) Giải hệ phương trình ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =++ −=−+ =++ 15 85 2673 7 32 γβα γβα γβα ⇒ 0;5;11 =−== γβα ⇒ 321 0)5(11 vvvu +−+= . Giải các hệ phương trình tương tự ta có các kết quả sau b) 321 )1(53 vvvu −++= c) 321 32 vvvu ++= . d) 321 vvvu ++= . Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 116 Câu 7: Bài toán tương đương với việc tìm giá trị của λ để hệ phương trình sau có nghiệm ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =++ −=−+ =++ λγβα γβα γβα 85 2673 7 32 ⇒ λ = 12. Câu 8: Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp và áp dụng định lý 2.17 suy ra: a) là một hệ sinh của 3 ; b) c) d) không phải là hệ sinh của 3 . Hoặc hệ phương trình ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+−− =−+ =++ c b a 5 3 2 32 γβα γβα γβα luôn có nghiện với mọi 3),,( ∈cba còn hệ phương trình tương ứng với trường hợp b) c) d) không phải luôn có nghiện với mọi 3),,( ∈cba . Câu 10: a) Hai véc tơ vu, tỷ lệ với nhau nên phụ thuộc tuyến tính; Bằng hai phương pháp như câu 8) suy ra: b) độc lập tuyến tính; c) d) phụ thuộc tuyến tính. Câu 11: Áp dụng định lý 2.17 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +− +− −−−− ↔ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− −− 21021 02121 2121 2121 2121 2121 λ λ λλλ λ λ λ (nếu 21−≠λ ) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + −−−−− ↔ 2100 0210 21211 λ λ λλλ Vậy hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính khi 1=λ hay 21−=λ . Câu 17: Bằng phương pháp tương tự ví dụ 2.14, thực hiện các phép biến đổi sơ cấp và áp dụng định lý 2.17, nhận xét 2.18 suy ra: { } 2,,dim 3211 == vvvrV , { } 2,,dim 3212 == uuurV , ( ) { } ( ) 1322dim3,,,,,dim 2132132121 =−+=∩⇒==+ VVuuuvvvrVV . Câu 18, 19: được giải tương tự. Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 117 CHƯƠNG 3 Câu Đáp án Câu Đáp án 1 b 11 a 2 c 12 a 3 a 13 c 4 d 14 a 5 c 15 b 6 a 16 d 7 b 17 c 8 d 18 c 9 d 19 a 10 b 20 b Câu 11: Quy nạp theo n . Câu 12: I=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − 4 01 10 ⇒ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −⋅⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ − 01 103 01 104 01 10 01 10 5002003 . Câu 13: Nếu tồn tại BA, sao cho IBAAB =− thì ( ) 0Tr =− BAAB nhưng nI =Tr vô lý. Câu 14: ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡= n nn z xA 0 * 1 ,1 1 ±=±=⇒==⇒= zxzxIA nnn . ♦ 1±== zx ⇒ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ±= 10 1 ny An ⇒ 0=y . ♦ 1±=−= zx ⇒ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡= 10 012A ⇒ y tùy ý. Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 118 CHƯƠNG 4 Câu Đáp án Câu Đáp án 1 b 14 c 2 c 15 b 3 a 16 d 4 d 17 b 5 c 18 a 6 c 19 c 7 a 20 b 8 b 21 a 9 d 22 d 10 c 23 c 11 b 24 b 12 a 25 c 13 a Câu 9: Khai triển Laplace theo 2 hàng đầu ta được ( ) 790 152 324 321 1 31 42 2121 = − −−−= +++D . Câu 10: Áp dụng định thức Vandermond có các phần tử tương ứng x,4,2,1− ta có )4)(2)(1(30 −−+= xxxD . Câu 11: Khai triển Laplace theo hàng thứ ba và thứ tư ta được ( ) 115 531 323 102 1 54 23 2143 −= −− −−−= +++D . Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 119 Câu 14: )1)(5)(4( 41 14 23 det −+−== mmm m m m A . Vậy A khả nghịch khi 1,4,5−≠m . Câu 17: Áp dụng cônh thức 4.19 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 247 341 114 A có 7det −=A . 4 24 34 )1( 1111 −=− −−= +A , 23 27 31 )1( 2112 −=−−= +A , 32 47 41 )1( 3113 −=−−= +A , 2 24 11 )1( 1221 =− −−= +A , 15 27 14 )1( 2222 =−−= +A , 2347 14 )1( 3223 =−−= +A , 1 34 11 )1( 1331 =− −−= +A , 11 31 14 )1( 2332 =− −−= +A , 15 41 14 )1( 3333 =−= +A , Vậy ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − −= ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −= − 152332 111523 124 7 1 15111 23152 32234 7 11 t A . Câu 19: a) ( )( ) 111 ...... −−− +++=⇒=+++− mm AAIAIAAIAI . b) ( ) AIAIAAAAI −=⇒=−=− − 333 12 . d) CBACAABAAA =⇒=⇒∃⇒≠ −−− 111 )()(0det . Câu 22: 3)1)(3()det( −+= mmA . Khi 1,3−≠m hạng 4)( =Ar . Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 120 Khi 1=m ma trận ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = 1111 1111 1111 1111 A suy ra hạng 1)( =Ar . Khi 3−=m ma trận ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 1113 1131 1311 3111 A , định thức 0 113 131 311 ≠ − − − suy ra hạng 3)( =Ar . Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 121 CHƯƠNG 5 1 d 16 b 2 b 17 d 3 a 18 b 4 b 19 a 5 b 20 c 6 c 21 b 7 a 22 d 8 c 23 b 9 b 24 a 10 d 25 c 11 b 26 b 12 d 27 d 13 b 28 a 14 a 29 c 15 c 30 b Sử dụng phương pháp khử Gauss ta có trhể giải các bài tập từ câu 7- câu 25. Câu 17: Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương lên các hàng của ma trận bổ sung của hệ phương trình ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −− − −−↔ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − ↔ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −= 53280 02280 01140 23152 7332 471144 45364 23152 471144 45364 7332 23152 ~ mm m A ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − −−↔ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − −−↔ 51000 00000 01140 24092 51000 00000 01140 23152 mm . Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 122 Hệ tương đương ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =− =−+− =++ 5)1( 04 2492 4 432 421 xm xxx xxx Khi 1=m hệ vô nghiệm. Khi 1≠m hệ có nghiệm , 1 10 2 91, 1 54, 1 5 21234 −−−=−+=−= mxxmxxmx 2x tùy ý. Câu 24: Véc tơ ),,( cba thuộc vào không gian con sinh bởi 321 ,, vvv khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =− =+− =+ czy bzyx ayx 42 3 2 Ma trận bổ sung ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − − ↔ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ↔ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −= ba c b a c b c b a A 2630 420 311 012 420 311 420 311 012 ~ Vậy véc tơ ),,( cba thuộc vào không gian con sinh bởi 321 ,, vvv khi và chỉ khi )2(23 bac −= hay cba 342 += . Câu 26: Ma trận hệ số của hệ )(I là ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −−− −−− 2121 4453 2332 có hạng bằng 2. Do đó 224dim 1 =−=V . Tương tự ta cũng có 224dim 2 =−=V . Không gian con 21 VV ∩ là không gian nghiệm của hệ )(I và hệ )(II có ma trận hệ số ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − −−− −−− −−− 4653 3421 91012 2121 4453 2332 có hạng bằng 3. Do đó 134)dim( 21 =−=∩VV . Suy ra 3122)dim(dimdim)dim( 212121 =−+=∩−+=+ VVVVVV . Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 123 CHƯƠNG 6 Câu Đáp án Câu Đáp án 1 b 21 d 2 c 22 a 3 a 23 c 4 d 24 b 5 c 25 a 6 b 26 c 7 d 27 b 8 b 28 a 9 a 29 c 10 b 30 a 11 c 31 c 12 b 32 b 13 a 33 d 14 c 34 c 15 b 35 d 16 a 36 c 17 b 37 b 18 d 38 d 19 c 39 c 20 b 40 d Các câu 1, 2, 3, 4, 5 áp dụng trực tiếp định nghĩa ánh xạ tuyến tính. Câu 10: Ma trận của f trong cơ sở chính tắc của 4 là ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − − = 5114 1352 35110 2131 A 1)(4Kerdim3)(3)( =−=⇒=⇒= frffrAr . Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 124 Câu 18: Định thức của ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cở sở chính tắc trong các trường hợp tương ứng a) 1 111 110 101 −= , b) 4 111 111 111 = − − − , c) 36 031 413 823 = , d) 0 011 101 110 = − − − . Vậy ánh xạ trong trường hợp d) không đẳng cấu. Câu 20: Đặt ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ +−= +−= +−= = ⇒ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ +++= ++= += = 434 323 212 11 43214 3213 212 11 '' '' '' ' ' ' ' ' eee eee eee ee eeeee eeee eee ee ( ) ( ) ( )4332211432111 ''''2''3'23)()'( eeeeeeeeeeeefef +−++−++−+=+++== 4321 ''''2 eeee +++−= . Tương tự ta tính được 4322 '3'4'4)'( eeeef ++−= . 43213 '4'6'8')'( eeeeef ++−= . 4324 '7'4'7)'( eeeef ++−= . Vậy ma trận của f trong cơ sở mới là ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−− − = 7431 4641 7841 0102 'A . Câu 36: Ma trận của f trong có sở chính tắc của 2P là ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 133 153 131 A Đa thức đặc trưng của A 133 153 022 133 153 131 )( λ λ λλ λ λ λ λ −− −− +−− = −− −− −− =P Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 125 .)2)(1( 103 123 002 2λλ λ λ λ +−= − −− −− = Câu 37: Ma trận của f trong có sở chính tắc là ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −= 411 121 221 A Đa thức đặc trưng của A .)3)(1( 300 131 201 330 121 221 411 121 221 )( 2−−= − −− − = −− −− − = −− −− − = λλ λ λ λ λλ λ λ λ λ λ λP Do đó A có các giá trị riêng 11 =λ và 32 =λ (kép). *) Giá trị riêng 1=λ có véc tơ riêng ),,( zyxv = là nghiệm của hệ phương trình: ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 0 0 0 311 111 220 z y x có hệ phương trình tương đương: ⎩⎨ ⎧ −= −=⇒⎩⎨ ⎧ =+ =+ yz yx zy yx 2 0 0 2 ( ) )1,1,2(,,2 −−=−−= yyyyv chọn )1,1,2(1 −=v . **) Giá trị riêng 3=λ có véc tơ riêng ),,( zyxv = là nghiệm của hệ phương trình ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − 0 0 0 111 111 222 z y x Hệ phương trình trên tương đương với phương trình: 0=−− zyx . ( ) )1,0,1()0,1,1(,, zyzyzyv +=+= chọn )1,0,1(,)0,1,1( 32 == vv . { }321 ,, vvv là một cơ sở gồm các véc tơ riêng của f 332211 3)(,3)(,)( vvfvvfvvf === . Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 126 CHƯƠNG 7 Câu Đáp án Câu Đáp án 1 c 19 d 2 a 20 c 3 d 21 a 4 c 22 b 5 b 23 d 6 a 24 b 7 c 25 d 8 d 26 c 9 b 27 b 10 b 28 a 11 a 29 c 12 b 30 b 13 d 31 a 14 b 32 b 15 c 33 d 16 a 34 c 17 c 35 a 18 c 36 c Câu 30: Ma trận của dạng toàn phương Q trong cơ sở chính tắc là ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 122 212 221 A . Đa thức đặc trưng λλ λλ λ λ λ λ λ −− −− − = − − − =− 15 15 225 12 12 221 2 2 2 2IA Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 127 )5()1( 01 01 001 2 1 1)5( λλ λ λλ −+= −− −−−= ♦Với giá trị riêng 51 =λ , véc tơ riêng ),,( zyxv = là nghiệm của hệ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 0 0 0 422 242 224 z y x Hệ phương trình trên tương đương với hệ ⎩⎨ ⎧ =− =− 0 0 zy yx có nghiệm zyx == ⇒ )1,1,1(),,( xxxxv == . Chọn )1,1,1(1 =u . Trực chuẩn hoá được )31,31,31(1 =v . ♦ Với giá trị riêng 12 −=λ (nghiệm kép), véc tơ riêng ),,( zyxv = là nghiệm của hệ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 0 222 222 222 z y x Hệ phương trình trên tương đương với phương trình 0=++ zyx ⇒ ( ) ( ) ( )1,0,10,1,1,,),,( −+−=−−== zyzyzyzyxv . Chọn ( ) ( )1,0,1 , 0,1,1 32 −=−= uu . Trực chuẩn hoá hai véc tơ này ta có ( )0,21,212 −=v , ( )62,61,613 −=v . ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −= ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Z Y X z y x 62031 612131 612131 ; 2225 ZYXQ −−= Câu 37: Xét dạng toàn phương có biểu thức tọa độ trong cơ sở chính tắc 22 383),( yxyxyxQ −+= Đáp án và hướng dẫn giải bài tập 128 Ma trận của Q trong cơ sở chính tắc là ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −= 34 43 A chéo hóa trực giao ma trận này ta tìm được cơ sở trực chuẩn mới ( ) ( )51;52,52;51 21 =−= vv ; 21);( YvXvyx += 22 55),( YXyxQ +−=⇒ . Như vậy nếu đổi tọa độ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ Y X y x 5152 5251 thì đường bậc 2 đã cho có dạng chính tắc 1 3636 22 =− YX : Hyperbol Câu 38. ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ Y X y x 133132 132133 ; 01 13 24 13 1013 2 =+−+ XYY : Parabol Câu 39. ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Z Y X z y x 31062 312161 312161 ; ( ) ( ) 1 34 3 3417 6 222 =++++ ZYX : Ellipsoid Câu 40. ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −= ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Z Y X z y x 62031 612131 612131 ; ( ) ( ) 1 18 6 189 32 222 =−−−− ZYX : Hyperbolic 2 tầng Tài liệu tham khảo 129 8. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. G. M. FICHTENGÔN, Giáo trình phép tính vi tích phân, Tập 1,2,3. Nauka, Moskva,1969. (tiếng Nga) 2. G. M. FICHTENGÔN, Cơ sở giải tích toán học, Tập 1,2,3. NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà nội, 1977. 3. K. MAURIN, Analiza, .1,,cCzes PWN, Warszawa, 1976. 4. R. A. ADAMS, Calculus-a complete, Addison,Wesley, New York,Don Mills, 1991. 5. NGUYỄN ĐÌNH TRÍ (chủ biên), Toán học cao cấp ,Tập 1,2,3. NXB Đại học và Giáo dục chuyên nghiệp, Hà nội, 1990. 6. JEAN-MARIE MONIER, Giáo trình toán, Tập 1,2,3,4. NXB Giáo dục, Hà nội, 1999 (dịch từ tiếng Pháp, DUNOD, Paris,1999)