Hướng dẫn ôn thi cao học môn Hình Học

TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN – TIN HỌC Tài liệu hỗ trợ môn HÌNH VI PHÂN Trích bài giảng và bài tập của thầy Nguyễn Hà Thanh sinh viên thực hiện Nguyễn Thành An Học phần MẶT TRONG KHÔNG GIAN 3¡ Tp. Hồ chí minh – 8/2008 2 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Mặt tham số. Cho U là tập mở trong 2¡ , hàm véctơ ( ) ( ) 3: , , r U u v r u v ® ¡ a là mặt tham số nếu r là ánh xạ khả vi trên U . Khi đó ( )r U là giá của mặt tham số. Hai mặt tham số ~~3 3: , :r U r U® ®¡ ¡ là tương đương nếu tồn tại vi phôi ~:U Uj ® sao cho ~ 0r r j= , ký hiệu ~r r: . Nếu hai mặt tham số tương đương với nhau thì giá của chúng trùng nhau. 2. Mặt đơn. Cho mặt ( )S có tham số hóa r , nếu r đơn ánh thì ( )S là mặt đơn. 3. Mặt chính qui. Cho mặt ( )S có tham số hóa ( ) ( ) 3: , , r U u v r u v ® ¡ a . Khi đó ( )0 0,M r u v= là điểm chính qui của mặt ( )S nếu hai véctơ ( ) ( )0 0 0 0' , , ' ,u vr u v r u v độc lập tuyến tính. Nếu mặt ( )S chính qui tại mọi điểm ( ),M r u v= , với ( ),u v UÎ thì ( )S là mặt chính qui. Điểm không chính qui là điểm kỳ dị. Tính chính qui của mặt ( )S không phụ thuộc vào biểu diễn tham số (các bạn tự chứng minh). Nếu tại điểm ( )0 0,M r u v= là điểm chính qui của mặt ( )S thì phương trình mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện tại điểm ( )0 0 0, ,M x y z nhận ( ) ( )0 0 0 0' , , ' ,u vr u v r u v làm cặp véctơ chỉ phương có dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ' , ' , ' , 0 ' , ' , ' , u u u v v v x x y y z z x u v y u v z u v x u v y u v z u v - - - = . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc tại điểm ( )0 0,M r u v= là pháp tuyến có phương trình 0 0 0x x y y z z a b c - - - = = với , , a b c được tính bởi ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 ' , ' , ' , ' , u u v v y u v z u v a y u v z u v = , ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 ' , ' , ' , ' , u u v v z u v x u v b z u v x u v = , ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 ' , ' , ' , ' , u u v v x u v y u v c x u v y u v = , hơn nữa không gian sinh bởi ( ) ( )0 0 0 0' , , ' ,u vr u v r u v tại điểm ( )0 0,M r u v= là không gian tiếp xúc với mặt ( )S tại điểm M , ký hiệu ( )MT S . Khi đó ( ) ( ) ( ) M M S T S T S Î = U là tập tất cả các không gian tiếp xúc. 4. Đường trên mặt. Phaàn 1 3 Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa ( ) ( ) 3: , , r U u v r u v ® ¡ a và ( )x là đường trong U có tham số ( ) ( ) u u t v v t ì =ï í =ïî , t IÎ qua r cho ta đường cong ( ) ( )Sx Ì có ( ) ( ) ( )( ) 3: , I t t r u t v t j j ® = ¡ a . Ta khảo sát 2 trường hợp đặc biệt sau. Trường hợp 1. 0v v= tương ứng với đường ( ) ( ) 0 ru u t v v x ì =ï ¾¾®í =ïî có ( ) ( )( )0,t u t vj = . Ta nói đây là họ tham số thứ nhất trên mặt ( )S . Các tiếp tuyến của đường tham số thứ nhất có phương là ( )' ,ur u v . Trường hợp 2. 0u u= tương ứng với đường ( ) ( ) 0 r u u v v t x =ìï ¾¾®í =ïî có ( ) ( )( )0 ,t u v tj = . Ta nói đây là họ tham số thứ hai trên mặt ( )S . Các tiếp tuyến của đường tham số thứ hai có phương là ( )' ,vr u v . 5. Mặt định hướng, véctơ pháp tuyến đơn vị trên mặt định hướng. Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa ( ) ( ) 3: , , r U u v r u v ® ¡ a , theo trên hai mặt tham số hóa gọi là tương đương nếu tồn tại vi phôi ~:U Uj ® sao cho ~0r r j= . Như ta đã biết ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ' ' ' 'u v u v J d u d v du dvr r r r d u d v dv du Ù = Ù 14243 , nếu 0J > thì ( )S là mặt định hướng được. Cho mặt ( )S định hướng ta luôn có ~ ~ ~ ~ ' ' ' ' ' ' ' ' u v u v u v u v r r r r r r r r Ù Ù = Ù Ù . Tại mọi điểm ( ),M r u v= ta luôn có một véctơ đơn vị ( ) ' ', ' ' u v u v r r n u v r r Ù = Ù là véctơ pháp tuyến đơn vị của ( )S . 6. Dạng toàn phương cơ bản thứ nhất. Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa ( ) ( ) 3: , , r U u v r u v ® ¡ a . Xét dạng toàn phương ( ) ( ) : , MI T S a I a a a ® = ¡ a . Khi đó công thức dạng toàn phương cơ bản thứ nhất có dạng 4 ( ) ( ) ( )2 22u u v vI a E a Fa a G a= + + với , , E F G được xác định bởi ( )( ) 2 ' ,uE r u v= , ( ) ( )' , . ' ,u vF r u v r u v= , ( )( ) 2 ' ,vG r u v= . Đối với dạng toàn phương cơ bản thứ nhất ta thường quen nhìn ở dạng ( ) ( ) ( )2 22I a E du Fdudv G dv= + + . 7. Công thức tính độ dài cung trên mặt. Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa ( ) ( ) 3: , , r U u v r u v ® ¡ a và đường cong ( )x có tham số ( ) ( ) ( )( ) [ ], , ,t r u t v t t a bj = Î . Khi đó công thức tính độ dài cung trên mặt là ( ) ( )2 2' 2 ' ' ' b t t t t a l E u Fu v G v dt= + +ò , với , , E F G được xác định như trên. 8. Công thức góc giữa hai đường cong trên mặt. Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa ( ) ( ) 3: , , r U u v r u v ® ¡ a và hai đường cong ( )1x có ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 11 1 1 1 1 1, , ' ' ' ' 'u vt r u t v t t r u r vj j= = + ( )2x có ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 22 2 2 2 2 2, , ' ' ' ' 'u vt r u t v t t r u r vj j= = + ( 1 2 1 2, , ,u u v v đều lấy đạo hàm theo biến t ). Khi đó công thức tính góc giữa 2 đường cong ( )1x và ( )2x là ·( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 1 2 1, 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 ' ' ' ' ' ' ' ' os ' 2 ' ' ' ' 2 ' ' ' Eu u F u v u v Gv v c E u Fu v G v E u Fu v G v x x + + + = + + + + . Trong trường hợp đặc biệt. Nếu ( )1x có ( ) ( )( )1 0,t r u t vj = , ( )2x có ( ) ( )( )2 0 ,t r u v tj = thì ( )1' ' 'u tt r uj = , ( )2' ' 'v tt r vj = . Khi đó ·( )1, 2os Fc EG x x = . 9. Ánh xạ Weingarten. Xét ánh xạ ( ) ( ): M Mh T S T S® thỏa mãn ( ) ( ) ' ' ' ' ' ' h u u u h v v v r h r n r h r n ì ¾¾® = -ï í ¾¾® = -ïî và ( ) ( ) ( ): ' ' ' ' ' 'hu u v v u u v v u u v vM Sa T a a r a r a a n a n a n a nÎ = + ¾¾® = - + - = - - . ta gọi ánh xạ h được xác định như trên là ánh xạ Weingarten (ánh xạ định dạng của ( )S ). Khi đó [ ]det h là độ cong Gauss của ( )S và các giá trị riêng của ma trận [ ]h gọi là độ cong chính. Nhận xét. h là ánh xạ tuyến tính, cách xác định ánh xạ tuyến tính h không phụ thuộc vào tham số. Ma trận của ánh xạ tuyến tính h là ma trận cấp 2, l là giá trị riêng của ma trận h nếu 0A Il- = . Ánh xạ Weingarten là ánh xạ tuyến tính đối xứng, tự liên hợp. 5 10. Dạng toàn phương cơ bản thứ hai. Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa ( ) ( ) 3: , , r U u v r u v ® ¡ a Ánh xạ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : , , . . M MII T S T S a b I a b h a b a h b ® = =a là dạng song tuyến tính đối xứng. Khi đó ( ) ( ) ( ), . .II a a a h a h a a= = là dạng toàn phương cơ bản thứ hai có công thức dạng ( ) ( ) ( )2 22u u v vII a L a Ma a N a= + + , với , , L M N được tính bởi ( ) ( )' , ' ,u uL n u v r u v= - , ( ) ( ) ( ) ( )' , ' , ' , ' ,u v v uM n u v r u v n u v r u v= - = - , ( ) ( )' , ' ,v vN n u v r u v= - . Nếu mặt ( )S có tham số hóa dạng ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , , , ,r u v x u v y u v z u v= thì , , L M N được tính 2 '' '' '' 1 ' ' ' ' ' ' uu uu uu u u u v v v x y z L x y z EG F x y z = - , 2 '' '' '' 1 ' ' ' ' ' ' uv uv uv u u u v v v x y z M x y z EG F x y z = - , 2 '' '' '' 1 ' ' ' ' ' ' vv vv vv u u u v v v x y z N x y z EG F x y z = - 11. Độ cong pháp dạng. Lấy ( ) : ' 'M u u v va T S a a r a rÎ = + . Độ cong pháp dạng của ( )S tại điểm M theo phương a được ký hiệu ( )MK a và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 u u v v M u u v v L a Ma a N aII a K a I a E a Fa a G a + + = = + + . Lưu ý. ( ) ( )M MK a K al = 12. Phương chính. Giả sử h là ánh xạ Weingarten của mặt ( )S , ( ) , 0Ma T S aÎ ¹ . Ta nói a là phương chính của mặt ( )S nếu a là véctơ riêng của ma trận ánh xạ tuyến tính h hay ( )h a al= với l là độ cong chính. Thấy rằng ( ) ( ) ( ): ' , ' ,M u u v va T S a a r u v a r u vÎ = + ta sẽ xác định ,u va a dựa vào định thức 2 2 0 v u v ua a a a E F G L M N - = . Khi đó 2 2 LN M K EG F - = - là độ cong Gauss, ( )2 2 2 EN GL FM H EG F + - = - là độ cong trung bình. 6 Lưu ý. Việc tính độ cong chính của mặt ( )S ta có thể dựa vào phương trình ( ) ( ) ( )2 2 22 0EG F EN LG MF LN Ml l- - + - + - = để ý rằng 1 21 2. , 2K H l ll l += = . 13. Phân loại điểm trên mặt. Cho mặt ( )S chính qui có tham số hóa ( ) ( ) 3: , , r U u v r u v ® ¡ a và độ cong Gauss tại điểm ( ) ( ),A r u v S= Î có công thức 2 2 LN M K EG F - = - , độ cong chính tương ứng là 1 2,l l . Nếu 0K > thì A là điểm Eliptic. Nếu 0K < thì A là điểm Hyperbolic. Nếu 0K = thì A là điểm Parabolic. Nếu 1 2l l= thì A là điểm rốn. Nếu 1 2 0l l= ¹ thì A là điểm cầu. Nếu 1 2 0l l= = thì A là điểm dẹt. BÀI TẬP MINH HỌA Bài 1. Viết phương trình tham số hóa của các mặt tròn xoay sau trong 3¡ . a) Mặt Elipxoit tròn xoay. b) Mặt Hyperboloit 1 tầng tròn xoay. c) Mặt Hyperboloit 2 tầng tròn xoay. d) Mặt Paraboloit tròn xoay. Giải. a) Phương trình Elipxoit tròn xoay quay quanh trục ( )0x có dạng 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b b + + = . Đặt 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin x y u a b z u b ì = +ïï í ï =ïî . Khi đó ta được .cos .cos .cos .sin .sin x a u v y b u v z b u =ì ï =í ï =î . Do vậy phương trình tham số hóa của mặt Elipxot tròn xoay quay quanh trục ( )0x là ( ) ( ), .cos .cos , .cos .cos , .sinr u v a u v b u v b u= . Phương trình Elipxoit tròn xoay khi quay quanh trục ( )0y có dạng 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b a + + = . Tương tự như trên cho ta phương trình tham số hóa của mặt Elipxoit tròn xoay quay quanh trục ( )0y là ( ) ( ), .cos .cos , .cos .cos , .sinr u v a u v b u v a u= . b) Phương trình Hyperboloit 1 tầng tròn xoay có dạng 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b a - + = . Phaàn 2 7 Đặt 2 2 2 2 2 2 2 2 os sin x y c u a b z u a ì = -ïï í ï =ïî . Khi đó ta được .cos . . os. .sin x a u chv y b c shv z a u =ì ï =í ï =î . Do vậy phương trình tham số hóa của Hyperboloit 1 tầng tròn xoay là ( ) ( ), .cos . , .cos . , .sinr u v a u chv b u shv a u= . c) Phương trình Hyperboloit 2 tầng tròn xoay có dạng 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b b - - = . Đặt 2 2 2 2 2 2 2 2 x y ch u a b z sh u a ì = -ïï í ï =ïî . Khi đó ta được . . . . . x a chu chv y b chu shv z b shu =ì ï =í ï =î . Do vậy phương trình tham số hóa của Hyperboloit 2 tầng tròn xoay là ( ) ( ), . . , . . , .r u v a chu chv b chu shv a shu= . d) Phương trình Parabolit tròn xoay có dạng 2 2 2x y pz+ = . Đặt 21 2 os.c .siny u z u p x u v v ì ï ïï í ï = = î = ï ï . Khi đó phương trình tham số hóa của Paraboloit tròn xoay là ( ) 21.c , sin ,, 2 os .r u v u v u v u p æ ö = ç ÷ è ø . Bài 2. Cho [ ] [ ]0,2 0,2U p p= ´ và hai hàm véctơ ~~3 3: , :r U I r U U® Ì = ®¡ ¡ xác định bởi công thức ( ) ( ) ( )( ) ( ) ~ ~ ~ ~~ ~ , 2 cos cos , 2 cos sin ,sin , 2 cos cos , 2 cos sin ,sin r u v u v u v u r u v v u v u v ì = + + ï í æ öæ ö æ ö= + +ï ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè øî a) Chứng minh rằng r và ~r là các mặt tham số hóa và ( ) ~~r U r Uæ ö= ç ÷ è ø . b) r và ~r có tương đương không? Vì sao? Giải. a) Dễ dàng kiểm tra được r , ~r là 2 ánh xạ khả vi vì các hàm os, sinc u là các hàm số sơ cấp. Do ~U U= nên ( ) ~~r U r Uæ ö= ç ÷ è ø . 8 b) Giả sử r và ~r tương đương tức là tồn tại phép biến đổi tham số ~:U Uj ® sao cho ~ 0r rj= . Khi đó j là vi phôi bảo toàn hướng từ ~U lên U tức là det 0Jj > với 1 1 2 2 ~ ~ ~ ~ u vJ u v j j j j j æ ö¶ ¶ ç ÷¶ ¶ç ÷= ç ÷¶ ¶ ç ÷ ¶ ¶è ø . Ta lại có ( )~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ 1 20, , , , , ,r u v r u v r u v r u v u vj j jæ öæ ö æ ö æ ö æ ö æ ö= Û =ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è ø è ø è ø è øè ø ~ ~ ~ ~ ~ ~1 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~1 2 ~ ~ ~1 2 cos cos 2 os , os , 2 cos sin 2 os , sin , sin sin , v u c u v c u v v u c u v u v u u v j j j j j ì æ öæ ö æ ö æ ö+ = +ç ÷ ç ÷ ç ÷ï ç ÷è ø è ø è øè øï ï æ öïæ ö æ ö æ öÛ + = +íç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è ø è øè øï ï æ ö=ï ç ÷ è øïî . Suy ra ~ ~ ~1 ~ ~ ~2 , , u v v u v u j j ì æ ö =ç ÷ïï è ø í æ öï =ç ÷ï è øî Do đó 1 1 1 0 Jj æ ö = ç ÷ è ø có det 1 0Jj = - < (mâu thuẫn). Vậy ta có điều cần chứng minh. Bài 3. Cho U mở trong ¡ , mặt ( )S có 3:r U ® ¡ xác định bởi ( ) ( )2 2, , ,r u v u v u v= - , với mọi ( ),u v UÎ . a) Chứng minh r là tham số hóa chính qui. b) Tìm giao tuyến giữa mặt phẳng tiếp xúc ( )p tại điểm ( )0,1A r= với mặt ( )S . Giải. a) Xét tại điểm tùy ý ( ),A r u v U= Î . Lấy đạo hàm theo biến , u v cho ta ( ) ( ) ( ) ( )' , 1,0,2 , ' , 0,1, 2u vr u v u r u v v= = - . Suy ra ( )( ) ( )' ' , 2 ,2 ,1u vr r u v u vÙ = - Theo trên ta lại được ( )( ) ( )2 2' ' , 4 4 1 0, ,u vr r u v u v u v UÙ = + + ¹ " Î . Do đó 2 véctơ ( ) ( )' , , ' ,u vr u v r u v độc lập tuyến tính. Vậy r là tham số hóa chính qui hay ( )S là mặt chính qui. b) Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p tại ( ) ( )0,1A r S= Î có dạng là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ' 0,1 ' 0,1 ' 0,1 0 ' 0,1 ' 0,1 ' 0,1 u u u v v v x x y y z z x y z x y z - - - = (3.1), trong đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 00,1 , , 0,1, 1 ' 0,1 1, ' 0,1 0, ' 0,1 0 ' 0,1 0, ' 0,1 1, ' 0,1 2 u u u v v v A r x y z x y z x y z ì = = = - ï = = =í ï = = = -î . 9 Thế vào (3.1) ta được 1 1 1 0 0 0 0 1 2 x y z- + = - hay 2 1 0y z+ - = . Do vậy phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p là 2 1 0y z+ - = . Lấy ( ) ( ) 2 2 , , , x u M x y z r u v y v z u v ì = ïÎ Û =í ï = -î . Khi đó mặt ( ) 2 2:S z x y= - . Từ đó cho ta 2 2 2 1 0 z x y y z ì = - í + - =î suy ra 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 x y y z x y y z é + - =ì íê + - =îê ê - + =ìêí + - =êîë Do vậy giao tuyến giữa mặt phẳng tiếp xúc ( )p với ( )S là cặp đường thẳng có phương trình 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 x y y z x y y z é + - =ì íê + - =îê ê - + =ìêí + - =êîë . Bài 4. Trong 3¡ với mục tiêu trực chuẩn 0xyz cho ( ) 2: 0,P y z ax= = a) Viết phương trình mặt tròn xoay sinh ra khi ( )P quay quanh trục 0z . b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc tại điểm tùy ý của mặt tròn xoay. Giải. a) Quay ( ) 2 1 : 0 x z P a y ì =ï í ï =î quanh trục 0z cho ta mặt tròn xoay ( )S có phương trình 2 2 1x y z a + = . b) Phương trình tham số hóa của mặt ( )S là ( ) ( )2, cos , sin ,r u v u v u v au= . Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p tại điểm ( ) ( )0 0,A r u v S= Î có dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ' , ' , ' , 0 ' , ' , ' , u u u v v v x x y y z z x u v y u v z u v x u v y u v z u v - - - = (4.1). Với ( ) ( ) ( )20 0 0 0 0 0 0 0 0 0, , , cos , sin ,A r u v x y z u v u v au= = = ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0' , ' , ' , ' cos ,sin ,2u u u ur u v x y z v v au= = ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0' , ' , ' , ' sin , cos ,0v v v vr u v x y z u v u v= = - . Thế vào (4.1) cho ta mặt phẳng ( )p là ( ) ( )2 2 30 0 0 0 0 02 cos 2 sin 0au v x au v y u z au+ - - = . 10 Bài 5. Cho f là hàm trơn trên tập mở 2U Ì ¡ và mặt ( )S có tham số hóa 3:r U ® ¡ xác định bởi ( ) ( )( ), , , ,r u v u v f u v= , với mọi ( ),u v UÎ . a) Tìm dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai của r . b) Tính độ cong Gauss K của ( )S tại một điểm tùy ý. Giải. a) Dạng cơ bản thứ nhất của r có dạng ( ) ( ) ( )2 22u u v vI a E a Fa a G a= + + (5.1) Với ( )( ) ( )2 2' , 1 'u uE r u v f= = + , ( ) ( )' , ' , ' . 'u v u vF r u v r u v f f= = ( )( ) ( )2 2' , 1 'v vG r u v f= = + . Thế vào (5.1) ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 ' 2 ' ' 1 'u u u v u v v vI a f a f f a a f aé ù é ù= + + + +ë û ë û . Dạng cơ bản thứ hai của r có dạng ( ) ( ) ( )2 22u u v vII a L a Ma a N a= + + (5.2). Với ( ) ( )2 2 2 '' '' '' ''1 ' ' ' 1 ' '' ' ' uu uu uu u u u u u v v v v x y z f L x y z EG F f fx y z = = - + + ( ) ( )2 2 2 '' '' '' ''1 ' ' ' 1 ' '' ' ' uv uv uv uv u u u u v v v v x y z f M x y z EG F f fx y z = = - + + ( ) ( )2 2 2 '' '' '' ''1 ' ' ' 1 ' '' ' ' vv vv vv vv u u u u v v v v x y z f N x y z EG F f fx y z = = - + + Thế vào (5.2) ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 21 '' 2 '' '' 1 ' ' u u uv u v v v u v II a f a f a a f a f f = + + + + . b) Độ cong Gauss tại một điểm tùy ý được tính theo công thức 2 2 LN M K EG F - = - theo câu a) ta được ( ) ( ) ( ) 2 2 2 '' '' '' 1 ' ' u v uv u v f f f K f f - = + + . Bài 6. Cho [ ] [ ]0,2 0,2U p p= ´ và mặt xuyến ( )S có 3:r U ® ¡ xác định bởi công thức ( ) ( ) ( )( ), 2 cos cos , 2 cos sin ,sinr u v u v u v u= + + a) Xác định các đường tọa độ ( ) ( )0 0, , ,r u v r u v của r . b) Lập phương trình tổng quát của các mặt phẳng tiếp xúc tại 2 điểm ( )0,0 , ,0 2 A r B r pæ ö= = ç ÷ è ø . Giải. 11 a) Với 0v v= tương ứng với đường ( ) ( ) 0 ru u t v v x ì =ï ¾¾®í =ïî . Với mọi điểm ( )M xÎ cho ta ( ) ( ) 0 0 0 0 2 cos cos sin cos 0 2 cos sin suy ra sin 0 sin x u v x v y v y u v z u z u ì = + - =ï ì = +í í - =îï =î Do vậy họ tham số 0v v= là những đường thẳng có phương trình 0 0 sin cos 0 sin 0 x v y v z u - =ì í - =î . Khi 0v thay đổi các đường thẳng này tạo thành lưới tọa độ thứ nhất. Với 0u u= tương ứng với đường ( ) ( ) 0 r u u v v t x =ìï ¾¾®í =ïî . Với mọi điểm ( )M xÎ cho ta ( ) ( ) 0 0 0 2 cos cos 2 cos sin sin x u v y u v z u ì = + ï = +í ï =î suy ra ( )22 2 0 0 2 cos sin 0 x y u z u ì + = +ï í - =ïî . Do vậy họ tham số 0u u= là những đường tròn giao giữa mặt phẳng 0sin 0z u- = và mặt trụ. Khi 0u thay đổi các đường thẳng này tạo thành lưới tọa độ thứ hai. b) Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )Ap tại điểm ( ) ( )0,0A r S= Î có dạng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ' 0,0 ' 0,0 ' 0,0 0 ' 0,0 ' 0,0 ' 0,0 u u u v v v x x y y z z x y z x y z - - - = (6.1) với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0, , 3,0,0 ' 0,0 0,0,1 ' 0,0 0,3,0 u v x y z r r ì = ï =í ï =î . Thế vào (6.1) cho ta phương trình mặt phẳng là 3 0x - = . Tương tự phương trình mặt phẵng tiếp xúc ( )Bp tại điểm ( ),02B r S pæ ö= Îç ÷ è ø là 3 0x z+ - = . Bài 7. Cho [ ] [ ] 20,2 0,2U p p= ´ Ì ¡ và mặt giả cầu ( )S có 3:r U ® ¡ xác định bởi công thức ( ), sin cos , sin sin , cos ln tan 2 u r u v a u v a u v a u æ öæ ö= +ç ÷ç ÷è øè ø . a) Xác định dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai của mặt ( )S . b) Tính độ cong Gauss, độ cong trung bình, độ cong chính của ( )S . c) Xác định các điểm Hyperbolic, Eliptic và Parabolic của ( )S . Giải. a) Dạng cơ bản nhất của mặt ( )S có dạng ( ) ( ) ( )2 22u u v vI a E a Fa a G a= + + (7.1). Với ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 2 2 2' , cot , ' , ' , 0, ' , sinu u v vE r u v a an u F r u v r u v G r u v a u= = = = = = . 12 Thế vào (7.1) cho ta ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2cot sinu vI a a an u a a u a= + . Dạng cơ bản thứ hai của mặt ( )S có dạng ( ) ( ) ( )2 22u u v vII a L a Ma a N a= + + (7.2). Với ( ) ( ) ( ) ( )' , ' , cot an , ' , ' , 0 u u u vL n u v r u v a u M n u v r u v= - = - = - = ( ) ( ) 1' , ' , sin 2 2v v N n u v r u v a u= - = . Thế vào (7.2) cho ta ( ) ( )( ) ( )2 21cot an sin 2 2u v II a a u a a u aæ ö= - + ç ÷ è ø . b) Độ cong Gauss được tính theo công thức 2 2 LN M K EG F - = - theo câu a) ta tính được 1K a = - . Độ cong trung bình được tính theo công thức ( )2 2EN LG FM H EG F + - = - theo câu a) ta tính được 1 cot an sin 2 2 2 a H u uæ ö= - +ç ÷ è ø . Độ cong chính l của mặt ( )S tại một điểm tùy ý là nghiệm của phương trình ( ) ( ) ( )2 2 22 0EG F EN LG MF LN Ml l- - + - + - = (7.3) theo câu a) ta thế vào (7.3) cho ta phương trình ( )2 2os sin cos cot an os 0a c u a u u u c ul l- - - = điều kiện cos 0u ¹ . Với 2 2 0sin a u D = > khi ,20,u p p¹ cho ta 2 nghiệm ( ) ( ) 1 2 2 2 sin cos cot an sin 2 cos sin cos cot an sin 2 cos a a u u u u a u a a u u u u a u l l é - +ê ê = ê ê - -ê ê = êë Vậy độ cong chính của mặt là ( ) ( ) 1 2 2 2 sin cos cot an sin 2 cos sin cos cot an sin 2 cos a a u u u u a u a a u u u u a u l l é - +ê ê = ê ê - -ê ê = êë khi 0, , 3 22 , ,2u p pp p¹ . c) Vì 1 0K a = - < với mọi ( ),u v UÎ nên điểm nào của mặt ( )S luôn là điểm Hyperbolic. Bài 8. Cho mặt tròn xoay ( )S có tham số hóa ( ) ( ) ( ) ( )( ), cos , cos ,r u v u v u u uj j x= , với ,j x là các hàm một biến trơn thỏa ( ) ( )2 20, ' ' 0j j x> + ¹ . a) Xác định các dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai của ( )S . b) Tính độ cong Gauss tại điểm tùy ý của ( )S . 13 Giải. a) Dạng cơ bản thứ nhất có công thức dạng ( ) ( ) ( )2 22u u v vI a E a Fa a G a= + + (8.1). Ta lại có ( ) ( )( )' , 'cos , 'cos sin , 'ur u v v u u uj j j x= - , ( ) ( )( )' , sin ,0,0ur u v u vj= - Suy ra ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 22 2' , 'cos 'cos sin 'uE r u v v u u uj j j x= = + - + ( ) ( ) ( )' , ' , ' sin cosu vF r u v r u v u v vj j= = - , ( )( ) ( )( ) 2 2 ' , sinvG r u v u vj= = Thế vào (8.1) ta được ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 2'cos 'cos sin ' uI a v u u v aj j j xé ù= + - + +ë û ( )( )2 ' sin cos u vu v v a aj j- ( )( ) ( ) 2 2 sin vu v aj+ Dạng cơ bản thứ hai có công thức dạng ( ) ( ) ( )2 22u u v vII a L a Ma a N a= + + (8.2). Hơn nữa ( ) ( ) ( )( )'' , ''cos , ''cos ' sin cos cos , ''ur u v v u u u u uj j j j x= - + - ( ) ( ) ( ) ( )( )'' , 'sin ,0,0 , '' , sin ,0,0uv vr u v v r u v u vj j= - = - Suy ra 0, 0M N= = thế vào (8.2) cho ta ( ) ( )2uII a L a= , với L được tính như trên. b) Độ cong Gauss được tính theo công thức 2 2 LN M K EG F - = - theo câu a) ta được 0K = . Bài 9. Cho [ ] [ ] 20,2 0,2U p p= ´ Ì ¡ và mặt xuyến ( )S có 3:r U ® ¡ xác định bởi công thức ( ) ( ) ( )( ), 2 cos cos , 2 cos sin ,sinr u v u v u v u= + + , với mọi ( ),u v UÎ . a) Xác định các dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai của ( )S . b) Tìm phương chính, độ cong Gauss và độ cong chính của ( )S . c) Xác định các điểm Hyperbolic, Eliptic và Parabolic của ( )S . d) Trên ( )S có điểm rốn không? Tại sao? Giải. a) Dạng cơ bản thứ nhất có công thức dạng ( ) ( ) ( )2 22u u v vI a E a Fa a G a= + + (9.1). Với ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2' , 1, ' , ' , 0, ' , 2 cosu u v vE r u v F r u v r u v G r u v u= = = = = = + . Thế vào (9.1) cho ta công thức dạng cơ bản thứ nhất là ( ) ( ) ( ) ( )2 222 osu vI a a c u a= + + . Dạng cơ bản thứ hai có công thức dạng ( ) ( ) ( )2 22u u v vII a L a Ma a N a= + + (9.2) Với ( ) ( ) ( ) ( )'' , cos cos , cos sin , sin , '' , sin sin , sin cos ,0u uvr u v u v u v u r u v u v u v= - - - = - ( ) ( ) ( )( )'' , 2 cos cos , 2 cos sin ,0vr u v u v u v= - + - + nên theo công thức tính , ,L M N cho ta 21, 0, 2cos cosL M N u u= = = + . Thế vào (9.2) ta công thức dạng cơ bản thứ hai là ( ) ( ) ( )( )2 222cos osu vII a a u c u a= + + . 14 b) Độ cong Gauss được tính theo công thức 2 2 LN M K EG F - = - theo kết quả câu a) ta được cosK u= . Theo lý thuyết ta biết rằng độ cong chính của mặt ( )S là nghiệm của phương trình ( ) ( ) ( )2 2 22 0EG F EN LG MF LN Ml l- - + - + - = theo kết quả câu a) cho ta phương trình ( ) ( )22 cos 2cos 2 cos 0u u ul l+ - + + = suy ra 1 cos 2 cos u u l l =é ê ê = +ë . Do vậy độ cong chính của mặt ( )S tại điểm bất kỳ là 1 cos 2 cos u u l l =é ê ê = +ë . Gọi phương chính của mặt ( )S tại điểm bất kỳ là ( ) ( )' , ' ,u u v va a r u v a r u v= + (9.3). Dựa vào ( ) ( )2 2 0 v u v ua a a a E F G L M N - = và kết quả câu a) ta được 0u va a = . Trường hợp 1. 0ua = suy ra ( ) ( )( )2 cos sin , 2 cos cos ,0v va a u v a u v= - + + nên ta có thể chọn phương chính tại điểm bất kỳ là ( ) ( )( )2 cos sin , 2 cos cos ,0a u v u v= - + + . Trường hợp 2. 0va = suy ra ( )sin cos , sin sin , cosu u ua a u v a u v a u= - - nên ta có thể chọn phương chính tại điểm bất ký là ( )sin cos , sin sin ,cosa u v u v u= - - . c) Nếu 0 cos 0 , 2 2 K u u p pæ ö> Û > Û Î -ç ÷ è ø thì tại mọi điểm ( ),A r u v= thỏa , 2 2 u p pæ öÎ -ç ÷ è ø là điểm Eliptic. Nếu 0 cos 0 2 2 3 ,K u u p pæ ö< Û < Û Îç ÷ è ø thì tại mọi điểm ( ),A r u v= thỏa 3, 2 2 u p pæ öÎç ÷ è ø là điểm Hyperbolic. Nếu 0 c ,os 0 2 K u u k k p p= Û = Û = + ΢ thì tại mọi điểm ( ),A r u v= thỏa 2 ,u k k p p= + ΢ là điểm Parabolic d) Giả sử mặt ( )S có điểm rốn tức là 1 2 cos 1 2 cos u u l l= Û = + (vô lí). Vậy mặt ( )S không có điểm rốn. 15 Bài 10. Cho mặt ( )S trong 3¡ được tham số hóa sao cho dạng cơ bản thứ nhất có dạng ( ) ( ) ( )2 2u vI a a G a= + . Chứng minh rằng độ cong Gauss của ( )S cho bởi 1 2 1 2 1 uu K G G æ ö = - ç ÷ è ø . Giải. Như ta đã biết độ cong Gauss tại một điểm tùy ý được tính theo công thức 1 1 1 . 2 E G K v v u uEG EG EG æ ö¶ ¶ ¶ ¶æ ö æ ö= +ç ÷ç ÷ ç ÷¶ ¶ ¶ ¶è ø è øè ø . Theo giả thiết ta có 1E = nên ( ) 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 42 uu uu u G G K G G u u G GG G G æ ö ç ÷ æ ö¶ ¶æ ö æ ö è ø= - = - + = -ç ÷ ç ÷ç ÷¶ ¶ è øè øè ø . Bài 11. Mặt trong 3¡ gọi là mặt tối tiểu nếu độ cong trung bình triệt tiêu tại mọi điểm. Chứng minh rằng mặt ( )S có tham số hóa ( ), . .cos , . .sin ,u ur u v a ch v a ch v u a a æ ö= ç ÷ è ø là mặt tối tiểu. Giải. Độ cong trung bình tại một điểm bất kỳ có công thức là ( )2 2 2 EN LG FM H EG F + - = - (11.1). Ta lại có ( )' , .cos , .sin ,1u u ur u v sh v sh va a æ ö= ç ÷ è ø , ( )' , . .sin , . .cos ,0v u u r u v a ch v a ch v a a æ ö= -ç ÷ è ø ( ) 1 1'' , .cos , .sin ,0u u u r u v ch v ch v a a a a æ ö= ç ÷ è ø , ( )'' , .sin , .cos ,0uv u u r u v sh v sh v a a æ ö= -ç ÷ è ø ( )'' , . .cos , . .sin ,0v u u r u v a ch v a ch v a a æ ö= - -ç ÷ è ø Suy ra 2 2 21, 0, u u E sh F G a ch a a æ ö æ ö= + = =ç ÷ ç ÷ è ø è ø và 21 , 0, a L M N a a = - = = Thế vào (11.1) ta được 0H = tức là mặt ( )S là mặt tối tiểu. Bài 12. Cho mặt tham số hóa ( )S trong 3¡ có ( ) ( ), cos , sin ,r u v u v u v u v= + . a) Xác định các dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai và độ cong Gauss của ( )S . b) Tìm độ cong chính và phương chính của ( )S tại điểm ( )0,0A . Giải. a) Dạng cơ bản thứ nhất có công thức dạng ( ) ( ) ( )2 22u u v vI a E a Fa a G a= + + (12.1). Với ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2' , 2, ' , ' , 1, ' , 1u u v vE r u v F r u v r u v G r u v u= = = = = = + . Thế vào (12.1) công thức dạng cơ bản thứ nhất là ( ) ( ) ( )( )2 222 2 1u u v vI a a a a u a= + + + . Dạng cơ bản thứ hai có công thức dạng ( ) ( ) ( )2 22u u v vII a L a Ma a N a= + + (12.2). 16 Với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'' , 0,0,0 , '' , sin ,cos ,0 , '' , cos , sin ,0u uv vr u v r u v v v r u v u v u v= = - = - - nên theo công thức tính , ,L M N cho ta 2 2 1 0, , 2 1 2 1 u L M N u u = = - = - + + . Thế vào (12.2) công thức dạng cơ bản thứ hai là ( ) ( )2 2 2 2 2 1 2 1 u v v u II a a a a u u = - - + + . b) Theo lý thuyết ta biết rằng độ cong chính của mặt ( )S tại điểm ( )0,0A r= là nghiệm của phương trình ( ) ( ) ( )2 2 22 0EG F EN LG MF LN Ml l- - + - + - = (12.3). Tại điểm ( )0,0A r= cho ta 2, 1, 1E F G= = = và 0, 1, 0L M N= = - = Thế vào (12.3) cho ta phương trình 2 2 1 0l l+ - = suy ra 1 2 1 2 1 2 l l é = - + ê = - -êë . Gọi phương chính của mặt ( )S tại điểm ( )0,0A r= là ( ) ( )' 0,0 ' 0,0u u v va a r a r= + (12.4). Với ( ) ( ) ( ) ( )' 0,0 1,0,1 , ' 0,0 0,0,1u vr r= = , tại điểm ( )0,0A r= ta được 2, 1, 1E F G= = = và 0, 1, 0L M N= = - = dựa vào ( ) ( )2 2 0 v u v ua a a a E F G L M N - = ta được ( ) ( )2 22 0u va a- = . Suy ra 2 2 v u v u a a a a é = ê = -êë Trường hợp 1. 2v ua a= suy ra phương chính ( )( ),0, 1 2u ua a a= + nên ta có thể chọn phương chính là ( )1,0,1 2a = + . Trường hợp 2. 2v ua a= - suy ra phương chính ( )( ),0, 1 2u ua a a= - nên ta có thể chọn phương chính là ( )1,0,1 2a = - . Bài 13. Chứng minh rằng các mặt phẳng tiếp xúc ( )p với mặt ( )S : . yz x f x æ ö= ç ÷ è ø luôn đi qua một điểm cố định. Giải. Đặt . x u y v v z u f u ì ï =ïï =í ï æ öï = ç ÷ï è øî cho ta tham số hóa của mặt ( )S là ( ), , , . vr u v u v u f u æ öæ ö= ç ÷ç ÷è øè ø . 17 Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p tại điểm ( ) ( )0 0,M r u v S= Î có dạng là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ' , ' , ' , 0 ' , ' , ' , u u u v v v x x y y z z x u v y u v z u v x u v y u v z u v - - - = (13.1). Với ( ) 00 0 0 0 0 0 0 , , , , . v x y z u v u f u æ öæ ö = ç ÷ç ÷ç ÷è øè ø , ( ) ( ) 0 0 00 0 0 0 0 ' , ' , ' , ' 1,0, 'u u u u v v v r u v x y z f f u u u æ öæ ö æ ö = = -ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø ( ) ( ) 00 0 0 ' , ' , ' , ' 0,1, 'v v v v v r u v x y z f u æ öæ ö = = ç ÷ç ÷ç ÷è øè ø . Thế vào (13.1) cho ta 0 0 0 0 0 0 0 0 ' ' 0 v v v v f f x f y z u u u u é ùæ ö æ ö æ ö - - + =ê úç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è øë û . Dễ thấy rằng mặt phẳng tiếp xúc ( )p luôn đi qua điểm cố định 0 . Bài 14. Cho mặt ( )S có phương trình tham số ( ) 3 3 3 3 3 2 2 2 sin os x u v y u c v z a u ì =ï ï =í ï ï = -î . Chứng minh rằng tổng bình phương các đoạn chắn tạo bởi mặt phẳng tiếp xúc ( )p của ( )S với các trục tọa độ là không đổi, với aΡ . Giải. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p tại điểm ( ) ( )0 0,M r u v S= Î có dạng là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ' , ' , ' , 0 ' , ' , ' , u u u v v v x x y y z z x u v y u v z u v x u v y u v z u v - - - = (14.1). Với ( ) ( ) 3 3 3 3 3 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0, , sin , os ,x y z u v u c v a u æ ö = -ç ÷ è ø ( ) ( ) ( ) 1 2 3 2 3 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0' , ' , ' , ' 3 sin ,3 os , 3u u u ur u v x y z u v u c v u a u æ ö = = - -ç ÷ è ø ( ) ( ) ( )3 2 3 20 0 0 0 0 0 0 0' , ' , ' , ' 3 sin cos , 3 os sin ,0v v v vr u v x y z u v v u c v v= = - Thế vào (14.1) cho ta ( ) ( ) 1 1 4 2 2 2 4 2 2 22 2 0 0 0 0 0 0 0 09 os sin 9 cos sinu a u c v v x u a u v v y æ ö æ ö - + -ç ÷ ç ÷ è ø è ø ( ) ( ) 1 5 2 2 2 5 2 2 2 22 0 0 0 0 0 0 09 os sin 9 os sin 0u c v v z a u a u c v v+ - - = . 18 Ta lại có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 2 0 0 1 2 2 2 2 0 0 sin ,0,0 0 0, cos ,0 0 0,0, x A a u v y B a u v z C a a u p p p ì ï Ç =ï ï Ç =í ï æ öï Ç = -ç ÷ï è øî . Do đó yêu cầu của bài toán tương đương với việc tính 2 2 2 2 4 2 2 4 2 6 4 2 60 0 0 0 0sin osOA OB OC u a v u a c v a a u a+ + = + + - = . Bài 15. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p và pháp tuyến của mặt ( )S có tham số hóa ( ) ( ), cos , sin ,r u v v u v u ku= tại một điểm bất kỳ, với kΡ . Giải. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p tại điểm ( ) ( )0 0,M r u v S= Î có dạng là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ' , ' , ' , 0 ' , ' , ' , u u u v v v x x y y z z x u v y u v z u v x u v y u v z u v - - - = (15.1). Với ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0, , cos , sin ,x y z v u v u ku= , ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0' , ' , ' , ' sin , cos ,u u u ur u v x y z v u v u k= = - ( ) ( ) ( )0 0 0 0' , ' , ' , ' cos ,sin ,0u v v vr u v x y z u u= = . Thế vào (15.1) cho ta mặt phẳng tiếp xúc ( )p là ( ) ( )0 0 0 0 0sin cos 0k u x k u y v z kv u- + - + = . Phương trình pháp tuyến tại điểm ( ) ( )0 0,M r u v S= Î có dạng 0 0 0 x x y y z z a b c - - - = = (15.1) Với ( ) ( ) ( ) ( ) 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 cos' , ' , sin sin 0' , ' , u u v v v u ky u v z u v a k u uy u v z u v = = = - ( ) ( ) ( ) ( ) 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 sin' , ' , cos 0 cos' , ' , u u v v k v uz u v x u v b k u uz u v z u v - = = = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 sin cos' , ' , cos sin' , ' , u u v v v u v ux u v y u v c v u ux u v y u v - = = = - Thế vào (15.1) cho ta phương trình pháp tuyến là 0 0 0 0 0 0 0 0 cos sin sin cos x v u y v u z ku k u k u v - - - = = - - . Bài 16. Chứng minh rằng thể tích của tứ diện tạo bởi từ các mặt phẳng tọa độ và mặt phẳng tiếp xúc ( )p của mặt ( )S có phương trình tham số hóa ( ) 3 , , , a r u v u v uv æ ö = ç ÷ è ø không phụ thuộc vào tiếp điểm, với aΡ . 19 Giải. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p tại điểm ( ) ( )0 0,M r u v S= Î có dạng là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ' , ' , ' , 0 ' , ' , ' , u u u v v v x x y y z z x u v y u v z u v x u v y u v z u v - - - = (17.1). Với ( ) ( ) 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , , a M r u v x y z u v u v æ ö = = = ç ÷ è ø , ( ) ( ) 3 0 0 2 0 0 ' , ' , ' , ' 1,0,u u u u a r u v x y z u v æ ö = = -ç ÷ è ø ( ) ( ) 3 0 0 2 0 0 ' , ' , ' , ' 0,1,v v v v a r u v x y z u v æ ö = = -ç ÷ è ø . Thế vào (17.1) cho ta phương trình mặt phẳng tiếp xúc ( )p là 3 3 3 2 2 0 0 0 0 0 0 3 0 a a a x y z u v u v u v + + - = . Ta lại có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 3 0 0 0 3 ,0,0 0 0,3 ,0 3 0 0,0, x A u y B v a z C u v p p p ì ï Ç =ï ï Ç =í ï æ öï Ç = ç ÷ï è øî .Do đó 3 3 0 0 0 0 1 1 3 9 3 3 6 6 2ABCD A B C a V x x x u v a u v = = = điều này chứng tỏ thể tích tứ diện ABCD không phụ thuộc vào việc chọn điểm ( ) ( )0 0,M r u v S= Î . Bài 17. Xây dựng ánh xạ Weingarten của mặt ( )S có tham số hóa ( ) 2 2 , , , 2 u v r u v u v æ ö+ = ç ÷ è ø . Giải. Lấy đạo hàm theo biến ,u v ta có ( ) ( ) ( ) ( )' , 1,0, , ' , 0,1,u vr u v u r u v v= = Suy ra ( ) 2 2 2 2 2 2 ' ' 1 , , , ' ' 1 1 1 u u u u r r u v n u v r r u v u v u v æ öÙ = = - -ç ÷Ù + + + + + +è ø Nên ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 2 2 2 2 2 22 2 2 1 ' , , , 1 1 1 u v uv u n u v u v u v u v æ ö ç ÷- - - = ç ÷ ç ÷+ + + + + +è ø ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 2 2 2 2 2 22 2 2 1 ' , , , 1 1 1 v uv u v n u v u v u v u v æ ö ç ÷- - - = ç ÷ ç ÷+ + + + + +è ø Xây dựng ánh xạ ( ) ( ): M Mh T S T S® thỏa mãn ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 2 2 2 2 2 22 2 2 1 ' ' , , 1 1 1 h u u v uv u r n u v u v u v æ ö ç ÷+ ¾¾®- = ç ÷ ç ÷+ + + + + +è ø 20 ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 2 2 2 2 2 22 2 2 1 ' ' , , 1 1 1 h v v uv u v r n u v u v u v æ ö ç ÷- + ¾¾®- = ç ÷ ç ÷+ + + + + +è ø Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 2 2 22 2 2 3 3 2 2 2 22 2 1 ' ' ' 1 1 1 ' ' ' 1 1 u u v v u v v uv n r r u v u v uv v n r r u v u v ì + - = -ï ï + + + +ï í +ï- = - +ï + + + +ïî Suy ma trận của phép biến đổi là ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 2 2 22 2 2 3 3 2 2 2 22 2 1 1 1 1 1 1 v uv u v u v A uv u u v u v é ù+ - ê ú ê ú+ + + + ê ú= ê ú- + ê ú ê ú+ + + +ë û Do vậy h là ánh xạ Weingarten. Bài 18. Cho mặt ( )S có dạng toàn phương cơ bản thứ nhất ( )2 2 2 2u vI a u b a= + + . Tính góc tại giao điểm của 2 đường cong ( ) ( )1 2: 0, : 0C u v C u v+ = - = . Giải. Gọi ( ) ( )1 2A C C= Ç có tọa độ là nghiệm của hệ ( ) 0 0,0 0 u v A u v + =ì Û =í - =î Dạng tham số của ( ) 11 1 : u t C v t =ì í = -î và ( ) 12 1 : u t C v t =ì í =î Áp dụng công thức tính góc giữa hai đường cong ( ) ( )1 2,C C cho ta 2 2 2 2 1 os 1 a u c a u f - - = + + Suy ra góc giữa hai đường cong ( ) ( )1 2,C C tại điểm ( )0,0A = là 2 2 1 os 1 a c a f -= + . Bài 19. Cho mặt ( )S có dạng toàn phương cơ bản thứ nhất ( ) ( )( )2 22 2u vI a u a a= + + . Tìm chu vi của tam giác cong trên ( )S xác định bởi 21 2 1 u av v ì = ±ï í ï =î . Giải. Xét hệ trục tọa độ ( )0uv cho ta cách xác định các đỉnh của tam giác ABC . Ta thấy rằng 21 2 u av= giao với đường 21 2 u av= - cho ta một điểm ( )0,0A = Tương tự đường 21 2 u av= giao với đường 1v = cho ta một điểm ,1 2 a C æ ö= ç ÷ è ø 21 Tương tự đường 21 2 u av= - giao với đường 1v = cho ta một điểm ,1 2 a B æ ö= -ç ÷ è ø Khi đó: » : 1 u t BC v =ì í =î , , 2 2 a a t é ùÎ -ê úë û Áp dụng công thức tính độ dài cung ta được » ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ' 2 ' ' ' a a BC a a l E u Fu v G v dt dt a - - = + + = =ò ò . » 2 1 : 2 u at AC v t ì =ï í ï =î , [ ]0,1tÎ Áp dụng công thức tính độ dài cung ta được » ( ) ( ) 1 2 2 0 ' 2 ' ' ' AC l E u Fu v G v dt= + + =ò ( ) 1 2 0 7 2 2 6 a t dt a= + =ò Tương tự ta cũng có » 76ABl a= . Do vậy chu vi tam giác là » » » 10 3AB AC BC l l l a+ + = . BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1. Chứng minh rằng ánh xạ ( ){ } ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 : , | 0, 0 , , , , r U u v u v u v r u v u uv v = Î > > ® = ¡ ¡ a là tham số hóa mặt trong 3¡ . Bài 2. Xét tham số hóa ( ) ( ), ,u v r u va của mặt ( )S trong 3¡ . Chứng minh rằng véctơ ( ) : ' 'M u u v va T S a a r a rÎ = + xác định một phương chính của ( )S tại ( ),M r u v= khi và chỉ khi 2 2 0 v u v ua a a a E F G L M N - = , với , , ; , ,E F G L M N là hệ số của dạng toàn phương cơ bản thứ nhất, thứ hai. Bài 3. Chứng minh rằng điểm M thuộc ( )S trong 3¡ là điểm rốn của ( )S khi và chỉ khi có một trong hai điều kiện: Phaàn 3 22 i) Trong mọi tham số hóa ( ) ( ), ,u v r u va của mặt ( )S trong một lân cận của điểm M , giá trị tại M của các hệ số của dạng cơ bản thứ hai tỉ lệ với dạng cơ bản thứ nhất i.e. L M N E F G = = . ii) 2H K= Bài 4. Cho mặt tròn xoay ( )S có tham số hóa ( ) ( ) ( ) ( )( ), cos , sin ,r u v u v u v uj j f= với ( ) ( )2 2' ' 1j f+ = . Chứng minh rằng độ cong Gauss ''K j j = - . Bài 5. Cho mặt ( )S có tham số hóa ( ) ( ), sin , cos ,r u v u v u v v= . a) Tính diện tích của tam giác cong trên ( )S xác định bởi 0 0 sin 0 u v v v £ £ì í £ £î . b) Tính chu vi của tam giác này. c) Tìm các góc của tam giác. Bài 6. Tìm những đường cong giao với đường onsv c t= tạo thành một góc không đổi f trên mặt ( )S có tham số hóa ( ) ( )( )2 2, cos , sin , lnr u v u v u v a u u a= + - . Bài 7. Tìm dạng toàn phương cơ bản thứ của các mặt có tham số hóa. a) ( ) ( ), cos cos , cos sin , sinr u v R u v R u v R u= b) ( ) ( ), cos cos , cos sin , sinr u v a u v a u v c u= c) ( ), sin cos , sin sin , ln tan cos 2 u r u v a u v a u v a u æ öæ ö= +ç ÷ç ÷è øè ø Bài 8. Tìm dạng toàn phương cơ bản thứ hai của mặt 3xyz a= . Bài 9. Cho mặt ( )S có tham số hóa ( ) ( ) ( ) ( )( ), , os , sinr u v u u c uc m j m j= , với ( ) 0um > . a) Tìm dạng toàn phương cơ bản thứ hai của mặt ( )S . b) Tính độ cong Gauss tại một điểm tùy ý trên mặt ( )S . c) Tinh độ cong Gauss với trường hợp đặc biệt ( ) 2 2 2 2ln a a u u a a u u c æ ö+ - = ± - -ç ÷ç ÷ è ø , ( )u um = . d) Tính độ cong trung bình của mặt ( )S . e) Tìm phương trình ( )um m= trong trường hợp ( )u uc = để 0H = tại mọi điểm trên mặt. Bài 10. Tìm độ cong chính của trên mặt ( ) ( ), , 2 2 2 a b uv x u v y u v z= - = + = . 23 Bài 11. Véctơ a r là phương tiệm cận nếu ( ) 0II a = . Một đường thẳng trên mặt là tiệm cận nếu tiếp tuyến tại mọi điểm có phương tiệm cận. Đường tiệm được xác định bởi ( ) 0MK a = v hay phương trình ( ) ( )2 22 0L du Mdudv N dv+ + = . Tìm đường tiệm cận của mặt sau đây. a) 2 3 4 2 2 , , 3 x u v y u uv z u u v= + = + = + . b) 2z xy= c) x y z a y x æ ö = +ç ÷ è ø Lời kết ! Hình vi phân là môn học khó, đòi hỏi người học phải có sự trừu tượng và có kỷ năng tính toán tốt mà tài liệu tiếng việt viết về Hình Học Vi Phân rất ít, chủ yếu là tài liệu tiếng anh. Vì thời gian hoàn thành tài liệu hỗ trợ này rất gấp nên không tránh những sai xót mong nhận được ý kiến đóng góp của các bạn. Mọi ý kiến đóng góp các bạn gởi về theo địa chỉ mail thanhansp@gmail.com . Xin chân thành cám ơn! ----------------HẾT--------------