KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NĂM HỌC 2010 - 2011
Luận văn: Biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp.
Dài 43 trang chia làm 3 chương.
Thực hiện tháng 5/2011
44 trang |
Chia sẻ: maiphuongtl | Lượt xem: 3187 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Khóa luận Biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
và M là các không gian con của Cn thì L+M cũng là không gian con của
Cn. Nếu có thêm điều kiện L∩M = {0} thì L+M được gọi là tổng trực tiếp của
L và M , được ký hiệu bởi L⊕M . Hai không gian con L và M của Cn được gọi là
bù nhau nếu
Cn = L⊕M.
Trong trường hợp này, mỗi vectơ x ∈ Cn được biểu diễn duy nhất dưới dạng
x = y + z,y ∈ L, z ∈M.
Ta gọi y là ảnh của phép chiếu x lên L.
4
3. Tập hợp các ma trận cấp m× n trên C được ký hiệu là Cm×n. Một ma trận
A ∈ Cm×n với m = n được gọi là ma trận vuông.
Cho ma trận A = (aij)m,n ∈ Cm×n. Ma trận A được gọi là ma trận chéo nếu
aij = 0 với mọi i 6= j. Đường chéo của ma trận A cấp m × n được ký hiệu là
A = diag(a11, a22, ..., app) trong đó p = min{m,n}.
Cho ma trận A = (aij) ∈ Cm×n
+ Ma trận chuyển vị của nó ký hiệu là AT ∈ Cn×m.
+ Ma trận liên hợp của nó ký hiệu là A∗ = (a∗ji) ∈ Cn×m với a∗ji = aij với mọi
i = 1, ...,m và j = 1, ..., n.
Một ma trận vuông A được gọi là
- Hermit nếu A = A∗. Đặc biệt, A là ma trận thực thì A là Hermit nếu A = AT .
- Chuẩn nếu AA∗ = A∗A.
- Trực giao nếu A∗ = A−1. Đặc biệt, A là ma trận thực thì A trực giao nếu
AT = A−1.
4. Cho hai không gian vectơ U ,V trên C có số chiều lần lượt là n và m. Ký hiệu
L(U ,V) là tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ U vào V . Ta đã biết rằng L(U ,V) là
C− không gian vectơ đẳng cấu với không gian Cm×n. Do đó với ma trận A ∈ Cm×n,
ta có thể đồng nhất với một ánh xạ tuyến tính
A : Cn −→ Cm,
với Im(A) = {y ∈ Cm : y = Ax, ∀x ∈ Cn} được ký hiệu là R(A)
và Ker(A) = {x ∈ Cn : Ax = 0} ký hiệu là N(A).
5. Cho A ∈ Cn×n và λ ∈ C. Nếu trong Cn tồn tại x 6= 0 sao cho Ax = λx thì
ta nói λ là một giá trị riêng của A. Khi đó, vectơ x được gọi là vectơ riêng ứng với
giá trị riêng λ. Tập hợp tất cả các giá trị riêng của A được gọi là phổ của A và
được ký hiệu là λ(A). Nếu λ là một giá trị riêng của A thì tập hợp
{x ∈ Cn : Ax = λx}
là một không gian con của Cn và được gọi là không gian con riêng của A ứng với
λ.
6. Một ma trận vuông A trên C được gọi là chéo hóa được nếu tồn tại một ma
trận khả nghịch C sao cho B = C−1AC có dạng chéo.
5
Nếu xem A là một tự đồng cấu tuyến tính trên Cn thì có thể nói A chéo hóa
được nếu tồn tại một cơ sở S của Cn sao cho ma trận của tự đồng cấu A đối với
cơ sở S có dạng chéo.
7. Một ma trận vuông A được gọi là chéo hóa Jordan được nếu tồn tại một ma
trận khả nghịch P sao cho
J = P−1AP =
J1
J2
. . .
Jk
,
trong đó Ji là các ma trận vuông có dạng
Ji =
λi 1 0 ... 0
0 λi 1
. . .
...
...
. . . . . . . . . 0
...
. . . λi 1
0 · · · · · · 0 λi
.
Mỗi ma trận con Ji ở trên được gọi là một khối Jordan ứng với giá trị riêng λi.
Ma trận J trong định nghĩa được gọi là biểu diễn chuẩn tắc Jordan của A, hay còn
gọi là dạng chuẩn tắc Jordan của A. Rõ ràng một ma trận A chéo hóa được thì ma
trận chéo đồng dạng với A là một trường hợp đặc biệt của biểu diễn dạng chuẩn
tắc Jordan của A. Người ta có thể chứng minh được rằng mọi ma trận vuông trên
C đều có thể chéo hóa Jordan được.
8. Cho A ∈ Cm×n, ta xem A là một ánh xạ tuyến tính A : Cn −→ Cm.
- A là đơn cấu khi và chỉ khi rank(A) = n.
- A là toàn cấu khi và chỉ khi rank(A) = m.
Trường hợp rank(A) = n thì ta nói A là ma trận đầy đủ hạng theo cột. Nếu
rank(A) = m thì ta nói A là ma trận đầy đủ hạng theo dòng.
Gọi P : Cn −→ Cn/Ker(A) là phép chiếu chính tắc. Lúc đó theo định
lý về nhân tử hóa ánh xạ tuyến tính, tồn tại duy nhất đơn cấu tuyến tính
Q : Cn/Ker(A) −→ Cm sao cho A = QP . Do P là toàn cấu nên có thể xem
P là ma trận đầy đủ hạng theo dòng và Q là đơn cấu nên có thể xem Q là ma trận
đầy đủ hạng theo cột. Như vậy với mỗi ma trận A ∈ Cm×n, luôn luôn tồn tại duy
nhất một cách phân tích thành nhân tử A = QP . Lúc đó, ta nói A được phân tích
6
thành nhân tử hóa đầy đủ hạng P và Q.
9. Chuẩn của ma trận A ∈ Cm×n, ký hiệu ‖A‖ là một hàm: Cm×n −→ R thỏa
mãn các điều kiện sau:
‖A‖ ≥ 0, ‖A‖ = 0⇔ A = 0,
‖αA‖ = |α|‖A‖,
‖A+B‖ ≤ ‖A‖+ ‖B‖,
với mọi A,B ∈ Cm×n, α ∈ C.
Nếu thỏa mãn thêm điều kiện ‖AB‖ ≤ ‖A‖‖B‖ thì ‖‖ được gọi là chuẩn nhân.
Sau đây là một số mệnh đề và bổ đề mà chúng ta sẽ sử dụng đến trong các
phần sau.
Giả sử L là không gian con bù của M trong Cn, tức là Cn = L ⊕ M và
A ∈ Cn×n. Ta có thể xem A là tự đồng cấu tuyến tính trên Cn. Với mỗi x ∈ Cn,
tồn tại duy nhất (y, z) ∈ L ×M sao cho x = y + z, nếu Ax = y thì ta nói A là
phép chiếu của Cn lên L. Ta dễ dàng nhận thấy rằng A2 = A. Một cách tổng quát,
một ma trận vuông A được gọi là ma trận phép chiếu nếu A2 = A. Một tính chất
mà chúng ta đều biết qua đại số tuyến tính đó là nếu A là ma trận phép chiếu
thì Fn = R(A)⊕N(A). Điều ngược lại của khẳng định trên là không đúng. Mệnh
đề sau đây cho chúng ta biết điều kiện cần và đủ để Cn là tổng trực tiếp của hai
không gian con R(A) và N(A).
Mệnh đề 1.1.1. ([3, Mệnh đề 1.1.2]) Cho A ∈ Cn×n. Lúc đó, R(A) và N(A) là
các không gian con bù nhau trong Cn khi và chỉ khi rank(A) = rank(A2).
Bây giờ chúng ta sẽ nhắc lại một số vấn đề liên quan đến không gian bất biến.
Định nghĩa 1.1.2. ([2, Chương 5, Mục 5.2]) Cho E là một không gian vectơ hữu
hạn sinh trên trường C và ϕ là một toán tử tuyến tính của E. Một không gian con
E′ của E được gọi là một không gian bất biến của ϕ nếu ϕ(E′) ⊆ E′.
Không gian {0} và E đều là những không gian bất biến của ϕ. Người ta gọi
chúng là các không gian bất biến tầm thường của ϕ.
Có thể thấy ngay rằng kerϕ và Imϕ cũng là các không gian con bất biến của
ϕ. Nếu ϕ không phải là một tự đẳng cấu thì kerϕ 6= {0} sẽ là một không gian bất
biến không tầm thường của ϕ.
7
Bổ đề 1.1.3. ([2, Bổ đề 5.2.1]) Không gian con E′ của E là một không gian bất
biến khi và chỉ khi ảnh của một hệ sinh của E′ nằm trong E′.
Bổ đề 1.1.4. ([2, Bổ đề 5.2.2]) Cho E′ là một không gian con của E với dimE′ =
r. Giả sử S = {x1, ..., xn} là một cơ sở của E sao cho R = {x1, ..., xr} là một cơ
sở của E′. E′ là một không gian bất biến của ϕ khi và chỉ khi ma trận A của ϕ
theo S có dạng
A =
[
A′ B
0 C
]
với A′ là một ma trận vuông cấp r. Khi đó A′ là ma trận của ánh xạ thu hẹp ϕ′
của ϕ theo R.
Bổ đề 1.1.5. Cho A, B là hai ma trận sao cho tích AB xác định. Ta luôn có
rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)}.
Chứng minh. Giả sử A ∈ Cm×n và B ∈ Cn×p thì AB ∈ Cm×p. Với mọi x ∈ Cp,
Bx = 0. Suy ra ABx = 0. Do đó N(B) ⊂ N(AB), nên dim(B) ≤ dim(AB). Điều
này dẫn đến p − rank(B) ≤ p − rank(AB). Suy ra rank(AB) ≤ rank(B). Tương
tự ta có rank(BTAT ) ≤ rank(AT ). Nhưng vì rankAT = rankA nên ta suy ra
rank(AB) ≤ rank(A). Vậy rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)}.
Định nghĩa 1.1.6. Cho A ∈ Cn×n và 1 ≤ i1 < ... < ir ≤ n (r = 1, ..., n) là
một dãy số tùy ý. Lúc đó ma trận gồm các phần tử nằm trên các dòng và các cột
i1, ..., ir của A được gọi là ma trận con chính cấp r của A và định thức của ma
trận đó được gọi là định thức con chính cấp r của A.
Nhận xét 1.1.7. Giả sử dr là tổng các định thức con chính cấp r của A ∈ Cn×n.
Lúc đó đa thức đặc trưng pA(t) của ma trận A có thể biểu diễn như sau:
pA(t) = det(tI − A) = tn − d1tn−1 + d2tn−2 − · · ·+ (−1)ndn.
1.2 Chỉ số của ma trận
Cho A là một ma trận vuông cấp n trên C. Ta luôn có
R(A0) ⊃ R(A) ⊃ · · · ⊃ R(Ak−1) ⊃ R(Ak) = R(Ak+1) = R(Ak+2) = · · ·
và
N(A0) ⊂ N(A) ⊂ · · · ⊂ N(Ak−1) ⊂ N(Ak) = N(Ak+1) = N(Ak+2) = · · ·
8
Từ dãy thứ nhất ta suy ra rằng
rank(A0) ≥ rank(A) ≥ · · · ≥ rank(Ak) = rank(Ak+1) = rank(Ak+2) = · · ·
Như vậy sẽ luôn tồn tại số tự nhiên k sao cho rank(Am) = rank(Ak), với mọi
m ≥ k. Từ nhận xét trên ta đi đến định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 1.2.1. Cho A là ma trận vuông cấp n trên C. Số nguyên không âm
nhỏ nhất k sao cho rank(Ak) = rank(Ak+1) được gọi là chỉ số của ma trận A, ký
hiệu là ind(A).
Từ định nghĩa trên ta dễ thấy được rằng ma trận 0 có chỉ số là 1.
Ta có một số tính chất đơn giản sau đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
Mệnh đề 1.2.2. ([3, Mệnh đề 2.2.2]) Cho A là ma trận vuông cấp n và k =
ind(A). Khi đó,
(1) 0 ≤ k ≤ n.
(2) k = 0 khi và chỉ khi A không suy biến.
(3) Nếu A là ma trận phép chiếu và A suy biến thì ind(A) = 1.
(4) R(Al) = R(Ak) và N(Al) = N(Ak) với mọi l ≥ k.
Ta đã biết rằng k = ind(A) = 1, tức là rank(A) = rank(A2) khi và chỉ khi
Cn = R(A)⊕N(A). Trong trường hợp tổng quát thì ta có mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 1.2.3. ([3, Mệnh đề 2.2.3]) Giả sử A là ma trận vuông cấp n và k =
ind(A). Khi đó, Cn = R(Al)⊕N(Al) khi và chỉ khi l ≥ k.
1.3 Nghịch đảo nhóm
Định nghĩa 1.3.1. Cho A ∈ Cn×n. Nếu ma trận X ∈ Cn×n thỏa mãn
AXA = A, (1)
XAX = X, (2)
AX = XA. (3)
thì X được gọi là nghịch đảo nhóm của A và được ký hiệu là A#.
Từ định nghĩa ta có thể suy ra rằng
- Nếu A khả nghịch thì A# = A−1.
- Nếu A là ma trận phép chiếu thì A# = A.
9
Không phải mọi ma trận vuông A đều tồn tại nghịch đảo nhóm. Chẳng hạn
ta xét ma trận sau đây:
A =
1 0 0
0 0 1
0 0 0
.
Ta có rank(A) = 2 và rank(A2) = rank(A3) = 1. Do đó ind(A) = 2. Giả sử A có
nghịch đảo nhóm là X =
x11 x12 x13
x21 x22 x23
x31 x32 x33
. Lúc đó X phải thỏa mãn 3 điều kiện
(1), (2), (3).
Ta có AXA =
x11 0 x12
x31 0 x32
0 0 0
. Từ (1) ta suy ra
x11 = 1
x12 = 0
x31 = 0
x32 = 1
. (*)
Ta lại có AX =
x11 x12 x13
x31 x32 x33
0 0 0
và XA =
x11 0 x12
x21 0 x22
x31 0 x32
.
Từ (3) ta suy ra
x12 = x13 = x21 = x31 = x32 = 0x33 = x22 (∗∗)
Rõ ràng có sự mâu thuẫn giữa (*) và (**). Vậy không thể tồn tại ma trận X
nào đồng thời thỏa mãn cả 3 điều kiện (1), (2), (3) ở trên. Tức là A không tồn tại
nghịch đảo nhóm. Vậy thì khi nào nghịch đảo nhóm của một ma trận vuông A bất
kỳ sẽ tồn tại? Định lý sau đây sẽ cho chúng ta câu trả lời.
Định lý 1.3.2. Một ma trận vuông A có nghịch đảo nhóm khi và chỉ khi ind(A) ≤
1, tức là rank(A) = rank(A2). Hơn nữa nếu nghịch đảo này tồn tại thì nó là duy
nhất.
Chứng minh. Nếu A là ma trận khả nghịch thì định lý hiển nhiên đúng. Ta xét
trường hợp A là ma trận suy biến. Ta đã biết nghịch đảo của ma trận A tồn tại
khi và chỉ khi Cn = R(A) ⊕ N(A). Điều này lại tương đương với chỉ số của ma
trận A bằng 1.
Ta chứng minh sự tồn tại duy nhất của nghịch đảo nhóm.
Giả sử X, Y là nghịch đảo nhóm của ma trận A.
Ta có
AX = AY AX = Y AXA = Y A.
10
Như vậy
AX = XA = AY = Y A.
Do đó
X = XAX = Y AX = Y AY = Y.
Mệnh đề 1.3.3. ([3, Mệnh đề 2.3.3]) Cho A ∈ Cn×n và A tồn tại nghịch đảo
nhóm. Khi đó,
(1) (A#)# = A;
(2) (A∗)# = (A#)∗;
(3) (AT )# = (A#)T ;
(4) (Al)# = (A#)l với mọi số nguyên dương l.
Các độc giả có thể xem phần chứng minh của mệnh đề này trong tài liệu tham
khảo [3].
Định lý 1.3.4. Cho A là ma trận vuông và A có sự phân tích đầy đủ hạng là F
và G,
A = FG.
Khi đó, A có nghịch đảo nhóm nếu và chỉ nếu GF là không suy biến, trong trường
hợp này ta có công thức
A# = F (GF )−2G.
Chứng minh. Giả sử rank(A) = r. Khi đó GF ∈ Cr×r. Ta có
A2 = FGFG
và
rank(A2) = rank(GF ).
Nếu GF không suy biến thì rank(GF ) = r. Do đó rank(A) = rank(A2). Điều
này lại tương đương với A có nghịch đảo nhóm. Bằng cách kiểm chứng trực tiếp
các điều kiện (1), (2), (3) với ma trận A = FG và ma trận X = F (GF )−2G thì ta
được các đẳng thức đúng. Vậy ta đã chứng minh xong định lý.
Định lý 1.3.5. Cho A ∈ Cn×n. Lúc đó A có chỉ số bằng 1 khi và chỉ khi giới hạn
lim
λ→0
(λIn + A)−1A tồn tại.
Ngoài ra
lim
λ→0
(λIn + A)
−1A = AA#.
11
Chứng minh. Giả sử rank(A) = r và A có sự phân tích đầy đủ hạng là A = FG.
Lúc đó ta luôn có đẳng thức
(λIn + A)
−1A = F (λIr +GF )−1G.
Do đó sự tồn tại của lim
λ→0
(λIn + A)−1A tương đương với sự tồn tại của
lim
λ→0
(λIr+GF )−1. Điều này lại tương đương với GF là không suy biến. Theo Định
lý 1.3.4 thì tương đương với A có chỉ số 1.
Ta lại có
lim
λ→0
(λIn + A)
−1A = lim
λ→0
F (λIr +GF )
−1G
= F (GF )−1G = FGF (GF )−2G = AA#.
Định lý đã được chứng minh xong.
1.4 Định nghĩa nghịch đảo Drazin
Chúng ta đã biết một ma trận vuông A tồn tại nghịch đảo nhóm khi và chỉ khi
ind(A) ≤ 1. Trong trường hợp tổng quát, tức là với ind(A) = k bất kỳ, người ta
đã tìm cách mở rộng khái niệm nghịch đảo của ma trận. Năm 1958, nhà toán học
Drazin đã mở rộng khái niệm nghịch đảo cho ma trận bất kỳ. Ông ta gọi là nghịch
đảo suy rộng mà sau đó người ta gọi là nghịch đảo Drazin.
Định nghĩa 1.4.1. Cho A ∈ Cn×n và ind(A) = k. Nếu ma trận X ∈ Cn×n thỏa
mãn
AkXA = Ak, (4)
XAX = X, (5)
AX = XA. (6)
thì X được gọi là nghịch đảo Drazin của A và được ký hiệu là AD.
Ví dụ 1. Nghịch đảo nhóm là trường hợp đặc biệt của nghịch đảo Drazin khi
k ≤ 1.
Ví dụ 2. Nghịch đảo Drazin của ma trận lũy linh là ma trận 0.
Ví dụ 3. Ta xét lại ma trận A =
1 0 0
0 0 1
0 0 0
với ind(A) = 2. Ta đã chứng minh
được A không tồn tại nghịch đảo nhóm nhưng ta kiểm chứng được rằng ma trận
12
X =
1 0 0
0 0 0
0 0 0
là nghịch đảo Drazin của A bằng cách thử trực tiếp các điều kiện
(4), (5), (6).
Như vậy một ma trận vuông bất kỳ có thể không tồn tại nghịch đảo nhóm
nhưng nghịch đảo Drazin của nó thì luôn luôn tồn tại. Điều này sẽ được khẳng
định bằng định lý sau đây.
Định lý 1.4.2. Cho A ∈ Cn×n và ind(A) = k. Khi đó nghịch đảo Drazin của A
luôn tồn tại và duy nhất.
Chứng minh. Vì A là một ma trận vuông nên có thể xem A như là một phép biến
đổi tuyến tính.
Ta có AR(Ak) = R(Ak+1) = R(Ak). Do đó A|R(Ak) là một đẳng cấu nên
A|R(Ak) khả nghịch.
Bây giờ ta cho X ∈ Cn×n được định nghĩa như sau:
Xu =
A
−1
|R(Ak)u nếu u ∈ R(Ak),
0 nếu u ∈ N(Ak).
Từ đây ta suy ra
Với u ∈ R(Ak), ta có AXu = XAu = u và XAXu = Xu.
Với u ∈ N(Ak), ta có AXu = A0 = 0. Đồng thời do u ∈ N(Ak) nên Au ∈ N(Ak).
Suy ra XAu = 0. Vậy X thỏa mãn điều kiện (5),(6).
Mặt khác, với mọi x ∈ Cn×n thì sẽ tồn tại u ∈ R(Ak) và v ∈ N(Ak) sao cho
x = u+ v. Ta có AXx = AX(u+ v) = AX(u) = u. Suy ra AkXAx = Aku = Akx.
Vậy X thỏa mãn điều kiện (4).
Tóm lại X là nghịch đảo Drazin của A. Như vậy nghịch đảo Drazin của một
ma trận vuông A bất kỳ luôn tồn tại. Bây giờ ta chứng minh sự duy nhất của
nghịch đảo Drazin.
Giả sử X và Y là nghịch đảo Drazin của ma trận A, lúc đó ta có
AX = AXAX = AXAXAX = ...
Suy ra AX là ma trận lũy đẳng, tức là AX = AmXm với m là số nguyên dương.
Do đó
XA = XkAk = XkAkY A = XAY A = AXAY = AY.
13
Như vậy
XA = AX = AY = Y A.
Suy ra
X = XAX = Y AX = Y AY = Y.
Vậy nghịch đảo Drazin của một ma trận vuông A bất kỳ luôn tồn tại và duy
nhất.
1.5 Các tính chất của nghịch đảo Drazin
Định lý 1.5.1. ([3, Định lý 2.4.5]) (Nghịch đảo Drazin bảo toàn tính đồng dạng
của ma trận)
Cho B là một ma trận vuông. Nếu X là ma trận khả nghịch thì
(XBX−1)D = XBDX−1.
Định lý 1.5.2. ([3, Định lý 2.4.6]) Cho A ∈ Cn×n. Khi đó,
(1) (A∗)D = (AD)∗;
(2) (AT )D = (AD)T ;
(3) (Al)D = (AD)l; với l = 1, 2, ...
(4) (AD)D = A nếu và chỉ nếu A có chỉ số bằng 1.
Các tính chất trên đã được chứng minh chi tiết trong khóa luận của Nguyễn
Tý (2010). Các độc giả có thể xem trong tài liệu tham khảo [3].
Sau đây chúng tôi sẽ bổ sung thêm một số tính chất khác nhằm phục vụ cho
việc đi tìm công thức biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp.
Định lý 1.5.3. Cho A ∈ Cn×n và ind(A) = k > 0. Lúc đó luôn tồn tại một ma
trận P không suy biến sao cho
A = P
[
C 0
0 N
]
P−1,
trong đó C là ma trận không suy biến và N là ma trận lũy linh bậc k. Đồng thời
AD = P
[
C−1 0
0 0
]
P−1.
Chứng minh. Vì A là ma trận vuông nên có thể xem A như là một phép biến đổi
tuyến tính. Giả sử E = {e1, e2, ..., er, er+1, ..., en} là cơ sở của Cn và rank(Ak) = r.
14
Vì Cn = R(Ak) ⊕ N(Ak) nên S = {e1, e2, ..., er} và T = {er+1, ..., en} lần lượt là
cơ sở của R(Ak) và N(Ak).
Mặt khácR(Ak) vàN(Ak) là các không gian con bất biến củaA vàAk(N(Ak)) =
{0} nên theo Bổ đề 1.1.4 thì A sẽ có dạng như trên với C là không suy biến và N
là ma trận luỹ linh bậc k.
Ta cũng dễ dàng kiểm chứng được AD = P
[
C−1 0
0 0
]
P−1 thoả mãn 3 điều
kiện trong định nghĩa nghịch đảo Drazin.
Ak+1AD = Ak,
ADAAD = AD,
AAD = ADA.
Vậy ta đã chứng minh xong định lý.
Định lý này đóng một vai trò rất quan trọng, nó sẽ giúp ta chứng minh được
rất nhiều tính chất của nghịch đảo Drazin.
Định nghĩa 1.5.4. Cho A ∈ Cn×n, lúc đó ta có CA = AADA = A2AD = ADA2
được gọi là nhân của ma trận A.
Một cách trực giác, ta thấy rằng "nhân" của A có nghĩa nó là cơ sở trong cấu
trúc của A. Tức là nếu loại bỏ CA từ A thì phần còn lại sẽ không đáng kể. Định
lý sau đây sẽ cho chúng ta thấy điều cảm giác trên là đúng.
Định lý 1.5.5. Cho A ∈ Cn×n và ind(A) = k thì A − CA = NA là một ma trận
lũy linh bậc k.
Chứng minh. Nếu ind(A) = 0 thì CA = A. Do đó NA = 0. Nếu ind(A) ≥ 1 thì ta
có
(NA)
k = (A− AADA)k = (A(I − AAD))k = Ak(I − AAD) = Ak − Ak = 0.
Mặt khác Al−Al+1AD 6= 0 ∀l < k nên k là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn
(NA)k = 0. Vậy NA là ma trận lũy linh bậc k.
Định nghĩa 1.5.6. Cho A ∈ Cn×n, ma trận NA = A − CA = (I − AAD)A được
gọi là phần lũy linh của ma trận A.
Định lý 1.5.7. Nếu A ∈ Cn×n và ind(A) = k thì A sẽ có sự phân tích duy nhất
thành A = CA + NA sao cho ind(CA) ≤ 1, NA là ma trận lũy linh bậc k và
NACA = CANA = 0.
15
Chứng minh. Giả sử A được viết dưới dạng
A = P
[
C 0
0 N
]
P−1,
trong đó C là ma trận không suy biến và N là ma trận lũy linh bậc k. Lúc đó ta
dễ dàng thấy rằng CA = P
[
C 0
0 0
]
P−1 và NA = P
[
0 0
0 N
]
P−1. Đồng thời CA và
NA thỏa mãn các điều kiện của định lý trên.
Ta chứng minh sự phân tích trên là duy nhất.
Giả sử A có một sự phân tích khác thành A = X+Y sao cho XY = Y X = 0,
ind(X) ≤ 1 và Y là ma trận lũy linh bậc k = ind(A).
Nếu ind(X) = 0 thì Y = 0 và A = X là ma trận khả nghịch.
Nếu ind(X) = 1 thì sẽ tồn tại P,X1 là hai ma trận khả nghịch sao cho
X = P
[
X1 0
0 0
]
P−1. Suy ra Y = P
[
0 0
0 Y2
]
P−1 vì XY = Y X = 0 và X1 là khả
nghịch. Do Y là ma trận lũy linh bậc k = ind(A) nên Y2 cũng là ma trận lũy linh
bậc k. Nhưng A = X + Y = P
[
X1 0
0 Y2
]
P−1, do đó X = CA, Y = NA.
Hệ quả 1.5.8. Cho A ∈ Cn×n và p là một số nguyên dương, ta có CpA = CAp,
NpA = NAP , và A
p = CAp +NAp = C
p
A +N
p
A. Nếu p ≥ ind(A) thì Ap = CpA.
Định lý 1.5.9. Cho A ∈ Cn×n. Lúc đó tồn tại một đa thức p(x) sao cho AD =
p(A).
Chứng minh. Giả sử A được viết dưới dạng
A = P
[
C 0
0 N
]
P−1,
trong đó C là ma trận không suy biến và N là ma trận lũy linh bậc k. Vì C là ma
trận không suy biến nên sẽ tồn tại một đa thức q(x) sao cho C−1 = q(C). Giả sử
p(x) là đa thức được viết dưới dạng p(x) = xk[(q(x)]k+1. Lúc đó ta có
p(A) = Ak[q(A)]k+1 = P
[
Ck 0
0 0
] [
q(C) 0
0 q(N)
]k+1
P−1
= P
[
Ck[q(C)]k+1 0
0 0
]
P−1 = P
[
C−1 0
0 0
]
P−1 = AD.
16
Định lý 1.5.10. Cho A,B ∈ Cn×n. Khi đó
i) (AB)D = A[(BA)2]DB;
Nếu AB = BA thì
ii) (AB)D = BDAD = ADBD;
iii) ADB = BAD và ABD = BDA.
Chứng minh. i) Ta đặt Y = A[(BA)2]DB. Rõ ràng ta thấy rằng Y ABY = Y và
ABY = Y AB = A(BA)DB.
Đặt k = max{ind(AB), ind(BA)}. Khi đó ta có
(AB)k+2Y = (AB)k+2A[(BA)2]DB = (AB)k+1ABA[(BA)2]DB
= (AB)k+1A(BA)DB = A(BA)k+1(BA)DB = A(BA)kB = (AB)k+1.
Vậy Y = (AB)D.
ii) và iii) Theo Định lý 1.5.9 ta có AD là một đa thức trong A và BD là một đa
thức trong B. Do đó ta chứng minh được ii) và iii).
Định lý 1.5.11. Cho A ∈ Cn×n, B ∈ Cn×n là ma trận sao cho Al+1B = Al với
mọi l ≥ ind(A) = k. Lúc đó AD = AlBl+1.
Chứng minh. Ta giả sử A được biểu diễn dưới dạng A = P
[
C 0
0 N
]
P−1 và
Al+1B = Al. Ta có
P
[
C l+1 0
0 0
]
P−1B = P
[
C l 0
0 0
]
P−1.
Suy ra
B = P
[
C−1 0
B1 B2
]
P−1.
Do đó
AlBl+1 = P
[
C l 0
0 0
] [
C−l−1 0
X1 X2
]
P−1 = P
[
C−1 0
0 0
]
P−1 = AD.
Để thấy được một cách tường minh về nghịch đảo Drazin thì định lý sau đây
sẽ giúp chúng ta tìm được nghịch đảo của một ma trận vuông bất kỳ. Bằng cách
biểu diễn ma trận A dưới dạng Jordan ta sẽ dễ dàng tìm được nghịch đảo Drazin
của nó.
17
Định lý 1.5.12. Giả sử A được viết dưới dạng Jordan
A = PJP−1 = P
[
J1 0
0 J0
]
P−1,
trong đó J0 và J1 là thành phần của J tương ứng với giá trị riêng 0 và khác 0. Khi
đó
AD = P
[
J−11 0
0 0
]
P−1.
Chứng minh. Rõ ràng ta thấy có sự tương ứng giữa J1 và J0 với ma trận C và
N trong Định lý 1.5.3. Dựa vào định lý đó ta suy ra được điều cần phải chứng
minh.
1.6 Các ví dụ
Ví dụ 1.6.1. Cho ma trận A =
1 0 0
0 1 1
0 1 1
. Hãy tìm nghịch đảo Drazin của ma
trận A.
Lời giải: Ta kiểm chứng được rank(A) = rank(A2) = 2. Suy ra ind(A) = 1.
Dạng chuẩn tắc Jordan của A là
J = P−1.A.P
với
J =
0 0 0
0 1 0
0 0 2
và
P =
0 1 0
1
2 0
1
2
−1
2 0
1
2
.
Ma trận A có ba giá trị riêng là λ = 0(bội 1), λ = 1(bội 1), λ = 2(bội 1).
Theo Định lý 1.5.12 ta có
AD = P.
0
(J1(1))−1
(J1(2))−1
.P−1 = P.
0 0 0
0 1 0
0 0 12
.P−1 =
1 0 0
0 14
1
4
0 14
1
4
.
18
Ví dụ 1.6.2. Cho ma trận
A =
1 1 −1 0 1
0 1 0 −1 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
0 −1 0 −2 1
.
Hãy tìm nghịch đảo Drazin của ma trận A.
Lời giải: Ta kiểm chứng được rank(A2) = rank(A3) = 3 nên ind(A) = 2.
Dạng chuẩn tắc Jordan của A
J = P−1.A.P
với
J =
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1
và
P =
1 −3 2 −3 1
0 1 0 0 −2
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 3 0 2 −1
.
Ma trận A có hai giá trị riêng là λ = 0(bội 2) và λ = 1(bội 3).
Theo Định lý 1.5.12 ta có
AD = P.
[
0
(J3(1))−1
]
.P−1 = P.
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 1 −1 1
0 0 0 1 −1
0 0 0 0 1
.P−1
=
1 −2 −1 8 −1
0 1 0 −1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 1 0 −4 1
.
19
Ví dụ 1.6.3. Cho ma trận A =
3 1 −2 0
0 0 2 0
0 −2 4 2
0 1 0 −1
. Hãy tìm nghịch đảo Drazin
của ma trận A.
Lời giải: Ta kiểm chứng được rank(A2) = rank(A3) = 2 nên ind(A) = 2.
Dạng chuẩn tắc Jordan của A là
J = P−1.A.P
với
J =
3 1 0 0
0 3 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
và
P =
8
9
5
27
−4
9
−5
27
0 −49
4
3
13
9
0 −23 0
2
3
0 −19
4
3
1
9
.
Ma trận A có hai giá trị riêng là λ = 3(bội 2) và λ = 0(bội 2).
Theo Định lý 1.5.12 ta được
AD = P.
[
(J2(3))−1
0
]
.P−1 = P.
1
3
−1
9 0 0
0 13 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
.P−1
=
1
3
−1
27
4
27
4
27
0 −427
8
27
4
27
0 −29
4
9
2
9
0 −127
2
27
1
27
.
Ví dụ 1.6.4. Cho ma trận A =
1 2 3 5 −2
1 1 2 3 0
0 −1 −1 −2 1
0 3 4 6 −3
1 6 9 13 −5
. Hãy tìm nghịch đảo
Drazin của ma trận A.
20
Lời giải: Ta kiểm chứng được rank(A3) = rank(A4) = 2 nên ind(A) = 3.
Dạng chuẩn tắc Jordan của A là
J = P−1.A.P
với
J =
1 1 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
và
P =
0 3 1 −2 −5
3 3 2 −6 −3
0 0 0 −1 1
0 0 −1 4 0
3 3 0 1 −3
.
Ma trận A có hai giá trị riêng là λ = 0 (bội 3) và λ = 1 (bội 2).
Theo Định lý 1.5.12 ta được
AD = P.
[
(J2(1))−1
0
]
.P−1 = P.
1 −1 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
.P−1
AD =
1 3 5 7 −3
−1 −1 −2 −3 2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
−1 −1 −2 −3 2
.
21
Chương 2
BIỂU DIỄN NGHỊCH ĐẢO DRAZIN
QUA MA TRẬN PHỤ HỢP
Trước hết chúng ta quy ước sử dụng một số ký hiệu trong chương này như sau:
- ai. là dòng thứ i của ma trận A.
- a.j là cột thứ j của ma trận A.
- Ak = (a(k)ij )n.
- a
(k)
i. và a
(k)
.j lần lượt là dòng thứ i và cột thứ j của ma trận A
k.
- A.j(b) là ma trận thu được từ A bằng cách thay cột thứ j của A bằng cột b.
- Ai.(a) là ma trận thu được từ A bằng cách thay dòng thứ i của A bằng dòng a.
Với α := {α1, ..., αk} ⊆ {1, ..., n} và 1 ≤ k ≤ n, ta ký hiệu
- Lk,n := {α = (α1, ..., αk), 1 ≤ α1 ≤ ... ≤ αk ≤ n}.
- Lk,n(β) := {J : J ∈ Lk,n, J ⊇ β}.
- Jk,n{i} := {α : α ∈ Lk,n, i ∈ α}.
- |Aαα| là định thức con chính được xác định bởi các dòng và các cột α.
Ví dụ. Với α ∈ Ln,n thì |Aαα| = |A|. Khi α ∈ L1,n({i}) thì α = (i), trong trường
hợp này thì |Aαα| = aii là phần tử thuộc đường chéo chính.
L2,3({1}) = {α1 = (1, 2), α2 = (1, 3)}. Lúc đó |Aα1α1| là định thức con chính
xác định bởi các dòng và các cột 1, 2. |Aα2α2| là định thức con chính xác định bởi
các dòng và các cột 1, 3.
- Cn×nr là tập con của Cn×n bao gồm các ma trận vuông cấp n và có hạng bằng r.
- ‖.‖ = ‖.‖2 là ký hiệu của chuẩn Euclid.
Nếu ma trận vuông A khả nghịch (indA = 0) thì ta đã biết một công thức
quen thuộc biểu diễn ma trận nghịch đảo của A là
A−1 =
1
det(A)
(A˜), (7)
22
trong đó (A˜) là ma trận phụ hợp của A được định nghĩa như sau:
A˜ = (a˜ij)n = (A)
T ,
với A là ma trận gồm các phần tử aij = (−1)i+jDij, trong đó Dij là định thức con
cấp n− 1 của ma trận A thu được bằng cách xóa hàng i và cột j của A. Một câu
hỏi đặt ra liệu rằng có hay không một biểu diễn tương tự như thế đối với nghịch
đảo Drazin của một ma trận vuông bất kỳ. Câu hỏi này đã thu hút nhiều nhà toán
học quan tâm. Ta đã biết rằng nếu rank(A) ≤ n − 1 và với định nghĩa ma trận
phụ hợp theo quan niệm như trên thì A˜ = 0, với n ≥ 2. Do đó nếu tồn tại một
công thức tương tự thì khái niệm ma trận phụ hợp nhất thiết phải được mở rộng.
2.1 Mở rộng ma trận phụ hợp
Như vậy là chúng ta đã biết khái niệm ma trận phụ hợp trong trường hợp A
là ma trận khả nghịch, tức là k = ind(A) = 0 và r = rank(A) = n, còn trong
trường hợp A là ma trận suy biến, k = ind(A) > 0 và r = rank(A) < n thì ma
trận phụ hợp sẽ được biểu diễn như thế nào? Dựa theo kết quả bài báo "Analogues
of the adjoint matrix for generalized inverses and corresponding Cramer rules" của
Kyrchei, sau đây chúng tôi sẽ đưa ra một khái niệm mở rộng hơn về ma trận phụ
hợp. Theo khái niệm này thì ma trận phụ hợp được biểu diễn qua các định thức
và nó sẽ bao quát hết tất cả các trường hợp.
Trước tiên chúng ta để ý đến trường hợp A là ma trận không suy biến, tức là
k = ind(A) = 0 và r = rank(A) = n. Trong trường hợp này A˜ là ma trận phụ hợp
của A sẽ gồm các phần tử a˜ij được xác định bởi công thức
a˜ij = |A.i(a(0).j )| (8)
tức là các phần tử a˜ij bằng định thức của ma trận thu được từ A bằng cách thay
cột i bởi cột j của ma trận A0 = I.
Thật vậy, ta có |A.i(a(0).j )| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 ... 0 ... a1n
a21 a22 ... 0 ... a2n
...
...
...
...
aj1 aj2 ... 1 ... ajn
...
...
...
...
an1 an2 ... 0 ... ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (−1)j+iDji = aji = a˜ij.
23
Ví dụ 2.1.1. Cho ma trận A =
1 1 0
0 1 2
1 0 1
. Hãy tìm ma trận phụ hợp của A.
Lời giải. Rõ ràng A là ma trận khả nghịch. Ta sẽ đi tìm ma trận phụ hợp của ma
trận A như sau. Phần tử a˜11 sẽ bằng định thức của ma trận thu được từ A bằng cách
thay cột 1 bởi cột 1 của ma trận A0 = I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
, tức là a˜11 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 0
0 1 2
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1.
Tương tự
a˜12 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
0 1 0
1 1 2
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −1, a˜13 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
0 1 0
0 1 2
1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 2.
Tương tự như vậy ta sẽ tính được:
a˜21 = 2, a˜22 = 1, a˜23 = −2, a˜31 = −1, a˜32 = 1, a˜33 = 1.
Vậy ma trận phụ hợp của A là A˜ =
1 −1 2
2 1 −2
−1 1 1
.
Tiếp theo chúng ta sẽ quan tâm đến trường hợp k = ind(A) = 1 và rank(A2) =
rank(A) = r < n. Đối với trường hợp này ta có công thức ma trận phụ hợp
A˜ = (a˜ij)n với các a˜ij được xác định như sau:
a˜ij =
∑
β∈Jr,n{i}
∣∣∣(A2.i(a.j))ββ∣∣∣ , (∀i, j = 1, n). (9)
Để có thể hiểu rõ hơn về công thức này chúng ta hãy xem ví dụ sau đây.
Ví dụ 2.1.2. Ta xét lại Ví dụ 1.6.1, A =
1 0 0
0 1 1
0 1 1
. Hãy tìm ma trận phụ hợp
của ma trận A.
Lời giải. Ta đã có rank(A) = rank(A2) = 2, ind(A) = 1 và A2 =
1 0 0
0 2 2
0 2 2
.
Ma trận phụ hợp của A là A˜ = (a˜ij).
A2.1(a.1) =
1 0 0
0 2 2
0 2 2
. Do đó a˜11 =
∣∣∣∣∣1 00 2
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣1 00 2
∣∣∣∣∣ = 4.
24
A2.1(a.2) =
0 0 0
1 2 2
1 2 2
. Do đó a˜12 =
∣∣∣∣∣0 01 2
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣0 01 2
∣∣∣∣∣ = 0.
Tương tự như vậy chúng ta tính được:
a˜13 = 0, a˜21 = 0, a˜22 = 1, a˜23 = 1, a˜31 = 0, a˜32 = 1, a˜33 = 1.
Vậy ma trận phụ hợp của A là A˜ =
4 0 0
0 1 1
0 1 1
.
Trong trường hợp tổng quát, nhà toán học Kyrchei đã đưa ra công thức biểu
diễn ma trận phụ hợp như sau:
Cho A ∈ Cn×n, nếu ind(A) = k và rank(Ak+1) = rank(Ak) = r ≤ n thì ma
trận phụ hợp của A là A˜ gồm các phần tử a˜ij được xác định bởi công thức sau:
a˜ij =
∑
β∈Jr,n{i}
∣∣∣∣(Ak+1.i (a(k).j ))ββ
∣∣∣∣ , (∀i, j = 1, n). (10)
Lý do vì sao ma trận A˜ được xác định như trên được gọi là ma trận phụ hợp
của A chúng ta sẽ được giải thích ở phần sau. Bây giờ chúng ta đi xét mối liên hệ
giữa nghịch đảo Drazin và ma trận phụ hợp. Trước hết chúng ta xét trường hợp
đặc biệt là nghịch đảo nhóm.
2.2 Mối liên hệ giữa nghịch đảo nhóm và ma trận
phụ hợp
Ta đã biết nghịch đảo nhóm chính là trường hợp đặc biệt của nghịch đảo
Drazin trong trường hợp chỉ số của ma trận nhỏ hơn hoặc bằng 1 và chúng ta cũng
đã bàn đến khái niệm ma trận phụ hợp đối với trường hợp này. Vậy thì nghịch đảo
nhóm sẽ được biểu diễn qua ma trận phụ hợp như thế nào?
Trước tiên chúng ta xét đến trường hợp ind(A) = 0 và rank(A) = n. Trường
hợp này thì ta đã biết
A−1 =
1
det(A)
(A˜),
với A˜ = (a˜ij)n là ma trận phụ hợp của A theo nghĩa thông thường. Ta có thể viết
lại a˜ij = |A.i(a(0).j )|. Kết quả trường hợp này đã rõ ràng nên không có gì để bàn.
Bây giờ chúng ta xét đến trường hợp ind(A) = 1 và rank(A) = rank(A2) = 1.
Lớp các ma trận thỏa mãn điều kiện này có dạng tổng quát như sau. Đó là các ma
25
trận có một cột khác không và các cột còn lại tỷ lệ với cột khác không đó. Không
mất tính tổng quát, ta giả sử
A =
a1 k2a1 ... kna1
a2 k2a2 ... kna2
...
...
...
an k2an · · · knan
,
với a1, ..., an không đồng thời bằng 0. Trong trường hợp này, Nguyễn Tý [3] đã
chứng minh được rằng
A# =
1
(Tr(A))2
A. (11)
Đây là công thức cho một biểu diễn nghịch đảo nhóm khá đẹp. Tuy nhiên, tác giả
vẫn chưa mở rộng được trong trường hợp tổng quát. Việc mở rộng công thức này
cũng gặp khó khăn ngay cả trường hợp rank(A) = 2. Ta có thể viết lại nghịch đảo
nhóm của ma trận A trong kết quả của Nguyễn Tý như sau:
A# =
A˜
d1(A2)
, (12)
với A˜ chính là ma trận phụ hợp của A, tức là
a˜ij =
∑
β∈J1,n{i}
∣∣∣(A2.i(a.j))ββ∣∣∣ , (∀i, j = 1, n)
và
d1(A
2) =
∑
β∈J1,n
∣∣∣(A2)ββ∣∣∣ .
Thật vậy,
a˜ij =
∑
β∈J1,n{i}
∣∣∣(A2.i(a.j))ββ∣∣∣ = aij.
Như vậy trong trường hợp này A˜ = A. Ngoài ra
d1(A
2) =
∑
β∈J1,n
∣∣∣(A2)ββ∣∣∣ = Tr(A2) = (Tr(A))2.
và Tr(A2) = (Tr(A))2 vì A2 = (a1 + k2a2 + ...+ knan)A = Tr(A)A.
Dựa vào hai trường hợp trên, chúng ta có thể dự đoán được công thức của
nghịch đảo nhóm trong trường hợp ind(A) = 1 và rank(A) = rank(A2) = r < n
là
A# =
A˜
dr(A2)
, (13)
26
với
a˜ij =
∑
β∈Jr,n{i}
∣∣∣(A2.i(a.j))ββ∣∣∣ , (∀i, j = 1, n)
và
dr(A
2) =
∑
β∈Jr,n
∣∣∣(A2)ββ∣∣∣ .
Chúng tôi không trình bày chứng minh các kết quả ở phần này mà sẽ chứng
minh cho trường hợp tổng quát sẽ được trình bày ở phần sau. Sau đây là một số
ví dụ.
Ví dụ 2.2.1. Trở lại Ví dụ 2.1.2 với A =
1 0 0
0 1 1
0 1 1
, ta đã tính được ma trận phụ
hợp của A, bây giờ chúng ta sẽ tính đại lượng d2(A2).
d2(A
2) =
∣∣∣∣∣1 00 2
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣1 00 2
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣2 22 2
∣∣∣∣∣ = 2 + 2 + 0 = 4.
Vậy nghịch đảo nhóm của A là A# =
A˜
d2(A2)
=
1 0 0
0 14
1
4
0 14
1
4
.
Ví dụ 2.2.2. Cho A =
1 −1 0 0
2 −2 0 0
1 −4 1 1
1 0 0 1
. Ta sẽ đi tìm nghịch đảo nhóm của A như
sau. Ta có A2 =
−1 1 0 0
−2 2 0 0
−5 3 1 2
2 −1 0 1
và rank(A) = rank(A2) = 3 nên ind(A) = 1.
d3(A
2) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
−1 1 0
−2 2 0
−5 3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣
−1 1 0
−2 2 0
2 −1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣
−1 0 0
−5 1 2
2 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 0 0
3 1 2
−1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0 + 0 + (−1) + 2 = 1.
A2.1(a.1) =
1 1 0 0
2 2 0 0
1 3 1 2
1 −1 0 1
. Do đó a˜11 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 0
2 2 0
1 3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 0
2 2 0
1 −1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0
1 1 2
1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 1.
27
Tương tự ta tính được các a˜ij, ∀i, j = 1, 4 còn lại. Cuối cùng ta được
A# =
1 −1 0 0
2 −2 0 0
−2 −3 1 −1
1 0 0 1
.
2.3 Biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ
hợp trong trường hợp tổng quát
Để có thể đi đến công thức biểu diễn tổng quát của nghịch đảo Drazin, chúng
ta cần phải chứng minh một số bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.3.1. Nếu A ∈ Cn×n và ind(A) = k thì
rankAk+1.i
(
a
(k)
.j
)
≤ rankAk+1, (∀i, j = 1, n).
Chứng minh. Ta ký hiệu Pil(−ajl) ∈ Cn×n, (l 6= i) là ma trận với −ajl ở vị trí thứ
(i, l), 1 trên đường chéo chính và 0 ở các vị trí còn lại. Đó là ma trận của một phép
biến đổi sơ cấp. Lúc đó ta có
∏
l 6=i
Pil(−ajl) =
1 0 · · · 0 · · · 0
0 1 · · · 0 · · · 0
...
...
. . .
...
...
...
−aj1 −aj2 · · · 1 · · · −ajn
...
...
...
...
. . .
...
0 0 · · · 0 · · · 1
.
Mặt khác
Ak+1.i
(
a
(k)
.j
)
=
n∑
l=1
a
(k)
1l al1 · · · a(k)1j · · ·
n∑
l=1
a
(k)
1l aln
· · · · · · · · · · · · · · ·
n∑
l=1
a
(k)
nl al1 · · · a(k)nj · · ·
n∑
l=1
a
(k)
nl aln
.
Do đó
Ak+1.i
(
a
(k)
.j
)∏
l 6=i
Pil(−ajl) =
∑
l 6=j
a
(k)
1l al1 · · · a(k)1j · · ·
∑
l 6=j
a
(k)
1l aln
· · · · · · · · · · · · · · ·∑
l 6=j
a
(k)
nl al1 · · · a(k)nj · · ·
∑
l 6=j
a
(k)
nl aln
.
28
Ma trận trên có thể phân tích thành thừa số như sau
∑
l 6=j
a
(k)
1l al1 · · · a(k)1j · · ·
∑
l 6=j
a
(k)
1l aln
· · · · · · · · · · · · · · ·∑
l 6=j
a
(k)
nl al1 · · · a(k)nj · · ·
∑
l 6=j
a
(k)
nl aln
=
a
(k)
11 a
(k)
12 · · · a(k)1n
a
(k)
21 a
(k)
22 · · · a(k)2n
· · · · · · · · · · · ·
a
(k)
n1 a
(k)
n2 · · · a(k)nn
a11 · · · 0 · · · a1n
· · · · · · · · · · · · · · ·
0 · · · 1 · · · 0
· · · · · · · · · · · · · · ·
an1 · · · 0 · · · ann
.
Trong đó Â :=
a11 · · · 0 · · · a1n
· · · · · · · · · · · · · · ·
0 · · · 1 · · · 0
· · · · · · · · · · · · · · ·
an1 · · · 0 · · · ann
là ma trận thu được từ A bằng cách
thay tất cả các hạng tử ở hàng thứ j và cột thứ i bởi 0, ngoại trừ hạng tử
ở vị trí (j, i) là bằng 1. Ta biết rằng các phép biến đổi tuyến tính sơ cấp của
một ma trận sẽ không làm thay đổi hạng của nó. Từ Bổ đề 1.1.5 ta suy ra
rankAk+1.i
(
a
(k)
.j
)
≤ min{rankA(k), rank Â}. Vì rank  ≥ rankA ≥ rank(Ak) và
rank(Ak) = rank(Ak+1) nên ta có điều cần phải chứng minh, tức là
rankAk+1.i
(
a
(k)
.j
)
≤ rankAk+1.
Bổ đề 2.3.2. Cho A ∈ Cn×n và λ ∈ R+. Nếu indA = k > 0 thì ma trận Ak+1+λI
khả nghịch.
Chứng minh. Xem [7]
Định lý 2.3.3. Cho A ∈ Cn×n, indA = k và λ ∈ R+. Lúc đó
AD = lim
λ→0+
(λI + Ak+1)−1Ak.
Chứng minh. Theo Định lý 1.5.3 A được biểu diễn dưới dạng
A = P
[
C 0
0 N
]
P−1,
29
trong đó C là không suy biến và N là ma trận luỹ linh bậc k. Ngoài ra
AD = P
[
C−1 0
0 0
]
P−1.
Với λ ∈ R+ theo Bổ đề 2.3.2, ta có ma trận Ak+1 + λI khả nghịch. Lúc đó
(Ak+1 + λI)−1Ak = P
[
(Ck+1 + λI)−1Ck 0
0 0
]
P−1.
Vì C là ma trận không suy biến và
lim
λ→0+
(Ck+1 + λI)−1Ck = C−1,
điều này dẫn đến
lim
λ→0+
(Ak+1 + λI)−1Ak = P
[
C−1 0
0 0
]
P−1 = AD.
Định lý 2.3.4. Cho A ∈ Cn×n, indA = k và rankAk+1 = rankAk = r ≤ n. Khi
đó,
AD =
A˜
dr(Ak+1)
, (14)
trong đó
dr(A
k+1) =
∑
β∈Jr,n
∣∣∣(Ak+1)ββ∣∣∣
và
a˜ij =
∑
β∈Jr,n{i}
∣∣∣∣(Ak+1.i (a(k).j ))ββ
∣∣∣∣ , (∀i, j = 1, n).
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.3.2, ta có ma trận Ak+1 + λI khả nghịch với mọi
λ ∈ R+. Do đó
(λI + Ak+1)−1 =
1
det(λI + Ak+1)
L11 L21 · · · Ln1
L12 L22 · · · Ln2
· · · · · · · · · · · ·
L1n L2n · · · Lnn
,
trong đó Lij, ∀i, j = 1, n là phần bù đại số ứng với phần tử aij của ma trận
λI + Ak+1.
30
Mặt khác theo Định lý 2.3.3, ta có
AD = lim
λ→0+
(λI + Ak+1)−1Ak
= lim
λ→0+
det(λI + Ak+1).1(a
(k)
.1 )
det(λI + Ak+1)
· · · det(λI + A
k+1).1(a
(k)
.n )
det(λI + Ak+1)
· · · · · · · · ·
det(λI + Ak+1).n(a
(k)
.1 )
det(λI + Ak+1)
· · · det(λI + A
k+1).n(a
(k)
.n )
det(λI + Ak+1)
. (i)
Theo Nhận xét 1.1.6, ta có
det(λI + Ak+1) = λn + d1λ
n−1 + d2λn−2 + · · ·+ dn,
trong đó dr (∀r = 1, n− 1) là tổng các định thức con chính cấp r của Ak+1 và
dn = det(Ak+1). Vì rankAk+1 = rankAk = r nên dn = dn−1 = · · · = dr+1 = 0.
Suy ra
det(λI + Ak+1) = λn + d1λ
n−1 + d2λn−2 + · · ·+ drλn−r. (ii)
Tương tự như vậy ∀i, j = 1, n ta cũng có
det(λI + Ak+1).i(a
(k)
.j ) = d
(ij)
1 λ
n−1 + d(ij)2 λ
n−2 + · · ·+ d(ij)n ,
trong đó d
(ij)
k =
∑
β∈Jk,n{i}
∣∣∣∣(Ak+1.i (a(k).j ))ββ
∣∣∣∣ , 1 ≤ k ≤ n−1 và d(ij)n = det(Ak+1.i (a(k).j )).
Vì rankAk+1.i
(
a
(k)
.j
)
≤ rankAk+1 = r nên nếu k > r thì
∣∣∣Ak+1.i (a(k).j )ββ∣∣∣ = 0, (∀β ∈
Jk,n{i}, ∀i, j = 1, n). Do đó nếu r+1 ≤ k < n thì d(ij)k =
∑
β∈Jk,n{i}
∣∣∣Ak+1.i (a(k).j )ββ∣∣∣ = 0
và d
(ij)
n = det
(
Ak+1.i (a
(k)
.j )
)
= 0 (∀i, j = 1, n).
Vậy
det(λI + Ak+1).i(a
(k)
.j ) = d
(ij)
1 λ
n−1 + d(ij)2 λ
n−2 + · · ·+ d(ij)r λn−r. (iii)
Thay (ii) và (iii) vào (i) ta được
AD = lim
λ→0+
d
(11)
1 λ
n−1+d(11)2 λ
n−2+···+d(11)r λn−r
λn+d1λn−1+d2λn−2+···+drλn−r · · ·
d
(1n)
1 λ
n−1+d(1n)2 λ
n−2+···+d(1n)r λn−r
λn+d1λn−1+d2λn−2+···+drλn−r
· · · · · · · · ·
d
(n1)
1 λ
n−1+d(n1)2 λ
n−2+···+d(n1)r λn−r
λn+d1λn−1+d2λn−2+···+drλn−r · · ·
d
(nn)
1 λ
n−1+d(nn)2 λ
n−2+···+d(nn)r λn−r
λn+d1λn−1+d2λn−2+···+drλn−r
=
d
(11)
r
dr(Ak+1)
· · · d(1n)r
dr(Ak+1)
· · · · · · · · ·
d
(n1)
r
dr(Ak+1)
· · · d(nn)r
dr(Ak+1)
=
(
a˜ij
dr(Ak+1)
)
n×n
,
31
với
a˜ij =
∑
β∈Jr,n{i}
∣∣∣Ak+1.i (a(k).j )ββ∣∣∣
và
dr(A
k+1) =
∑
β∈Jr,n
∣∣∣(Ak+1)ββ∣∣∣ .
Hệ quả 2.3.5. Nếu A ∈ Cn×n, ind(A) = k và rankAk+1 = rankAk = r ≤ n thì
ADA =
(
vij
dr(Ak+1)
)
n×n
,
với
vij =
∑
β∈Jr,n{i}
∣∣∣(Ak+1.i (a(k+1).j ))ββ∣∣∣ , (∀i, j = 1, n).
Chứng minh. Bằng cách thay AD =
(
a˜ij
dr(Ak+1)
)
n×n
ta được
ADA =
(
a˜ij
dr(Ak+1)
)
n×n
.(aij)n×n =
(
vij
dr(Ak+1)
)
n×n
.
Với mọi 1 ≤ i, j ≤ n ta có
vij =
∑
s
∑
β∈Jr,n{i}
∣∣∣∣((Ak+1).i(a(k).s ))ββ
∣∣∣∣ asj =
=
∑
β∈Jr,n{i}
∑
s
∣∣∣∣((Ak+1).i(a(k).s .asj))ββ
∣∣∣∣ = ∑
β∈Jr,n{i}
∣∣∣(Ak+1.i (a(k+1).j ))ββ∣∣∣ .
Chú ý. Với A là ma trận khả nghịch, từ công thức A−1 =
1
detA
(A˜) ta có thể viết
lại dưới dạng như sau
A˜.A = detA.I, (15)
với A˜ là ma trận phụ hợp của A theo khái niệm thông thường mà chúng ta đã biết.
Giả sử ta đặt AAD = P và từ Công thức (14) ta suy ra được
A˜A = dr(A
k+1).P,
trong đó A˜ được xác định như (10) và P là ma trận lũy đẳng. Điều này đã được
chứng minh trong Định lý 1.4.2. Ta biết rằng tất cả các giá trị riêng của một ma
trận lũy đẳng chỉ là 0 hoặc 1. Do đó sẽ tồn tại một ma trận Unita U sao cho
A˜A = dr(A
k+1)Udiag(1, ..., 1, 0, ..., 0)U∗. (16)
32
Rõ ràng ta thấy có sự tương tự giữa (15) và (16). Đây chính là lý do vì sao ma
trận A˜ xác định như ở (10) được xem như là ma trận phụ hợp của ma trận A bất
kỳ.
2.4 Các ví dụ
Ví dụ 2.4.1. Trở lại Ví dụ 1.6.3, A =
3 1 −2 0
0 0 2 0
0 −2 4 2
0 1 0 −1
. Ta sẽ đi tìm nghịch
đảo Drazin của A thông qua ma trận phụ hợp như sau. Ta tính được
A2 =
9 7 −12 −4
0 −4 8 4
0 −6 12 6
0 −1 2 1
, A3 =
27 29 −52 −20
0 −12 24 12
0 −18 36 18
0 −3 6 3
,
rankA = 3, rank(A2) = rank(A3) = 2 nên ind(A) = 2.
d2(A
3) =
∣∣∣∣∣27 290 −12
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣27 −520 36
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣27 −200 3
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣−12 24−18 36
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣−12 12−3 3
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣36 186 3
∣∣∣∣∣ = 729.
A3.1(a
2.1) =
9 29 −52 −20
0 −12 24 12
0 −18 36 18
0 −3 6 3
.
Suy ra
a˜11 =
∣∣∣∣∣9 290 −12
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣9 −520 36
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣9 −200 3
∣∣∣∣∣ = 243.
A3.1(a
2
.2) =
7 29 −52 −20
−4 −12 24 12
−6 −18 36 18
−1 −3 6 3
.
Suy ra
a˜12 =
∣∣∣∣∣ 7 29−4 −12
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣ 7 −52−6 36
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣ 7 −20−1 3
∣∣∣∣∣ = −27.
33
A3.2(a
2
.2) =
27 7 −52 −20
0 −4 24 12
0 −6 36 18
0 −1 6 3
.
Suy ra
a˜22 =
∣∣∣∣∣−4 24−6 36
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣−4 12−1 3
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣27 70 −4
∣∣∣∣∣ = −108.
Tương tự a˜13 = 108, a˜14 = 108, a˜21 = 0, a˜23 = 216, a˜24 = 108, a˜31 = 0, a˜32 =
−162, a˜33 = 324, a˜34 = 162, a˜41 = 0, a˜42 = −27, a˜43 = 54, a˜44 = 27.
Vậy
AD =
1
3
−1
27
4
27
4
27
0 −427
8
27
4
27
0 −29
4
9
2
9
0 −127
2
27
1
27
.
Ví dụ 2.4.2. Ta xét lại Ví dụ 1.6.4, A =
1 2 3 5 −2
1 1 2 3 0
0 −1 −1 −2 1
0 3 4 6 −3
1 6 9 13 −5
. Ta sẽ đi tìm
nghịch đảo Drazin của A như sau. Ta có
A3 =
1 3 5 7 −3
3 11 18 25 −10
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
3 11 18 25 −10
, A4 =
1 3 5 7 −3
4 14 23 32 −13
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
4 14 23 32 −13
,
rank(A3) = rank(A4) = 2 nên ind(A) = 3.
d2(A
4) =
∣∣∣∣∣1 34 14
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣1 50 0
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣1 70 0
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣1 −34 −13
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣14 230 0
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣14 320 0
∣∣∣∣∣
+
∣∣∣∣∣14 −1314 −13
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣0 00 0
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣ 0 023 −13
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣ 0 032 −13
∣∣∣∣∣ = 1.
34
A4.1(a
3
.1) =
1 3 5 7 −3
3 14 23 32 −13
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
3 14 23 32 −13
.
Suy ra
a˜11 =
∣∣∣∣∣1 33 14
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣1 50 0
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣1 70 0
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣1 −33 −13
∣∣∣∣∣ = 1.
Tương tự như vậy ta tính các a˜ij còn lại, ∀i, j = 1, 5. Cuối cùng ta được nghịch
đảo Drazin của A là
AD =
1 3 5 7 −3
−1 −1 −2 −3 2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
−1 −1 −2 −3 2
.
2.5 Quy tắc Cramer
Một ứng dụng lớn của công thức biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ
hợp chính là quy tắc Cramer cho hệ phương trình tuyến tính qua nghịch đảo suy
rộng. Chúng ta đã biết quy tắc Cramer cho hệ phương trình tuyến tính có dạng
A.x = b, (17)
trong đó A ∈ Cn×n là ma trận hệ số và A không suy biến. Lúc đó hệ (17) luôn có
nghiệm duy nhất và các thành phần x0i của nghiệm x = (x
0
1, x
0
2, ..., x
0
n)
T được biểu
diễn bởi công thức
x0i =
|Di|
|A| ,
với |Di| là định thức của ma trận thu được từ A bằng cách thay cột thứ i bởi cột hệ
số tự do b. Còn nếu trong trường hợp ma trận hệ số A là suy biến thì ta không thể
sử dụng được quy tắc này. Do đó dựa vào công thức biểu diễn nghịch đảo Drazin
qua ma trận phụ hợp, nhà toán học Kyrchei đã tìm ra được quy tắc Cramer mở
rộng hơn cho hệ phương trình tuyến tính bất kỳ. Để ý rằng nghiệm của hệ phương
trình tuyến tính trong trường hợp này được định nghĩa như sau.
35
Định nghĩa 2.5.1. Cho hệ phương trình tuyến tính
A.x = b (18)
trong đó ma trận hệ số A ∈ Cn×nr và cột hệ số tự do b = (b1, ..., bm)T ∈ Cm. Lúc
này ta định nghĩa nghiệm có tổng bình phương nhỏ nhất của hệ (18) là vector
x0 ∈ Cn thỏa mãn
‖x0‖ = min
x˜∈Cn
{‖x˜‖/‖A.x˜− b‖ = min
x∈Cn
‖A.x− b‖}.
Định lý 2.5.2. Cho A ∈ Cn×n và ind(A) = k thì ADb vừa là nghiệm duy nhất
trong R(Ak) của hệ phương trình
Ak+1x = Akb (19)
vừa là nghiệm có tổng bình phương nhỏ nhất duy nhất theo chuẩn P của hệ (18).
Chú ý. Chuẩn P được định nghĩa như sau: ‖x‖P = ‖P−1x‖, x ∈ Cn, trong đó P
chính là ma trận chuyển đổi không suy biến của A về dưới dạng Jordan.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh ADb là nghiệm duy nhất trong R(Ak) của
hệ (19). Rõ ràng ta thấy rằng hệ (19) luôn tồn tại nghiệm và ADb là một nghiệm
của nó. Bây giờ ta giả sử hệ (19) tồn tại một nghiệm khác là u ∈ R(Ak). Lúc đó
u − ADb ∈ R(Ak). Ngoài ra u − ADb ∈ N(Ak+1) vì u và ADb đều là nghiệm của
(19). Do đó u−ADb ∈ R(Ak)∩N(Ak). Mà R(Ak)∩N(Ak) = {0}. Vậy u = ADb.
Phần chứng minh ADb là nghiệm có tổng bình phương nhỏ nhất duy nhất theo
chuẩn P bạn đọc có thể xem trong ([13, Theorem 3.2]).
Sau đây là quy tắc Cramer cho hệ phương trình tuyến tính (18) qua nghịch đảo
suy rộng.
Định lý 2.5.3. Cho A ∈ Cn×n và indA = k. Lúc đó nghiệm có tổng bình phương
nhỏ nhất theo chuẩn P của hệ (18) là x̂ = (x̂1, ..., x̂n)T với các thành phần x̂i được
biểu diễn bởi công thức sau
x̂i =
∑
β∈Jr,n{i}
∣∣∣(Ak+1.i (Akb))ββ∣∣∣∑
β∈Jr,n
∣∣∣(Ak+1)ββ∣∣∣ , (∀i = 1, n). (20)
36
Chứng minh. Bằng cách áp dụng Định lý 2.3.4 và Định lý 2.5.2 ta có
x̂ =
x̂1
· · ·
x̂n
= ADb = 1dr(Ak+1)
n∑
s=1
d1sbs
· · ·
n∑
s=1
dnsbs
.
Do đó
x̂i =
1
dr(Ak+1)
n∑
s=1
∑
β∈Jr,n{i}
∣∣∣(Ak+1.i (a(k).s ))ββ∣∣∣ .bs
=
1
dr(Ak+1)
∑
β∈Jr,n{i}
n∑
s=1
∣∣∣(Ak+1.i (a(k).s ))ββ∣∣∣ .bs
=
1
dr(Ak+1)
∑
β∈Jr,n{i}
n∑
s=1
∣∣∣(Ak+1.i (a(k).s .bs))ββ∣∣∣
=
∑
β∈Jr,n{i}
∣∣∣(Ak+1.i (Akb))ββ∣∣∣∑
β∈Jr,n
∣∣∣(Ak+1)ββ∣∣∣ ∀i = 1, n.
Ví dụ 2.5.4. Tìm nghiệm có tổng bình phương nhỏ nhất theo chuẩn P của hệ
phương trình tuyến tính
x1 + 2x2 + x3 − x4 = 1,
x1 + x2 + x3 = 2,
−x1 − x3 + x4 = 1,
x1 + 2x2 + x3 + x4 = 3.
Ta có ma trận hệ số A =
1 2 1 −1
1 1 1 0
−1 0 −1 1
1 2 1 1
, A2 =
1 2 1 −1
1 3 1 0
1 0 1 1
3 6 3 1
và rankA =
rankA2 = 3. Do đó indA=1.
Ab =
1 2 1 −1
1 1 1 0
−1 0 −1 1
1 2 1 1
1
2
1
3
=
3
4
1
9
,
37
d3(A
2) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 1
1 3 1
1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 −1
1 1 1
3 3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 −1
1 3 0
3 6 1
∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣
3 1 0
0 1 1
6 3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 4,
A2.1(Ab) =
3 2 1 −1
4 3 1 0
1 0 1 1
9 6 3 1
.
Suy ra
x̂1 =
1
4
∣∣∣∣∣∣∣∣
3 2 1
4 3 1
1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣
3 2 −1
4 3 0
9 6 1
∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣
3 1 −1
1 1 1
9 3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 3.
Tương tự
x̂2 =
1
4
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 3 1
1 4 1
1 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 3 −1
1 4 0
3 9 1
∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣
4 1 0
1 1 1
9 3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 1,
x̂3 =
1
4
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3
1 3 4
1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 3 −1
1 1 1
3 9 1
∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣
3 4 0
0 1 1
6 9 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
= −2,
x̂4 =
1
4
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 3
1 3 4
3 6 9
∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 3
1 1 1
3 3 9
∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣
3 1 4
0 1 1
6 3 9
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0.
Vậy nghiệm có tổng bình phương nhỏ nhất theo chuẩn P của hệ là
x̂ =
3
1
−2
0
.
Ví dụ 2.5.5. Tìm nghiệm có tổng bình phương nhỏ nhất theo chuẩn P của hệ
phương trình tuyến tính sau đây
3x1 + x2 − 2x3 = 1,
2x3 = 0,
−2x2 + 4x3 + 2x4 = 2,
x3 − x4 = 2.
38
Ma trận hệ số A =
3 1 −2 0
0 0 2 0
0 −2 4 2
0 1 0 −1
, A chính là ma trận trong Ví dụ 1.6.3. Ta
đã có ind(A) = 2 và rankA2 = rankA3 = 2.
A2 =
9 7 −12 −4
0 −4 8 4
0 −6 12 6
0 −1 2 1
, A3 =
27 29 −52 −20
0 −12 24 12
0 −18 36 18
0 −3 6 3
,
A2b =
9 7 −12 −4
0 −4 8 4
0 −6 12 6
0 −1 2 1
1
0
2
2
=
−23
24
36
6
.
Ta có A3.1(A
2b) =
−23 29 −52 −20
24 −12 24 12
36 −18 36 18
6 −3 6 3
và trong Ví dụ 2.4.1 ta đã tính được
d2(A3) = 729. Do đó
x̂1 =
1
729
(∣∣∣∣∣−23 2924 −12
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣−23 −5236 36
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣−23 −206 3
∣∣∣∣∣
)
=
675
729
.
Tương tự ta tính được
x̂2 =
1
729
(∣∣∣∣∣27 −230 24
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣24 2436 36
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣24 126 3
∣∣∣∣∣
)
=
648
729
,
x̂3 =
1
729
(∣∣∣∣∣27 −230 36
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣−12 24−18 36
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣36 186 3
∣∣∣∣∣
)
=
972
729
,
x̂4 =
1
729
(∣∣∣∣∣27 −230 6
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣−12 24−3 6
∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣36 366 6
∣∣∣∣∣
)
=
162
729
.
Vậy nghiệm có tổng bình phương nhỏ nhất theo chuẩn P của hệ là
x̂ =
1
729
675
648
972
162
.
39
KẾT LUẬN
Khóa luận đã hoàn thành với các kết quả đạt được sau đây:
- Trong Chương 1, chúng tôi đã trình bày một cách tổng quan các
khái niệm và tính chất liên quan đến nghịch đảo Drazin. Ngoài việc
phát biểu lại các tính chất đã có trong khóa luận của Nguyễn Tý [3],
chúng tôi còn bổ sung thêm một số tính chất khác nhằm phục vụ cho
việc đi tìm biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp. Chúng
tôi cũng đã cố gắng trình bày lại một số chứng minh một cách rõ ràng
hơn.
- Trong Chương 2, chúng tôi đã trình bày lại các kết quả của nhà
toán học Kyrchei trong bài báo [12] theo cách hiểu của riêng mình. Đồng
thời, chúng tôi trình bày một cách rõ ràng hơn cho phần chứng minh
công thức biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp.
- Chúng tôi đã đưa ra được nhiều ví dụ minh họa với nhiều trường
hợp cụ thể để bạn đọc có thể hiểu rõ hơn về các công thức có trong
khóa luận.
Tuy nhiên, do bản thân còn hạn chế nên chắc chắn khóa luận còn
nhiều thiếu sót. Vì vậy rất mong nhận được sự góp ý từ các Thầy Cô
và các bạn để khóa luận được hoàn chỉnh hơn.
Huế, ngày 4 tháng 5 năm 2011
Sinh viên
Nguyễn Thị Thanh Hương
Lớp Toán 4B, Khoa Toán, Khóa 2007-2011
40
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập, Nhà xuất bản Đại
học Quốc gia Hà Nội, (2005).
[2] Ngô Việt Trung, Giáo trình đại số tuyến tính, Nhà xuất bản Đại học Quốc
gia Hà Nội, (2001).
[3] Nguyễn Tý, Đồ thị hai thành phần và nghịch đảo Drazin của ma trận, Khoá
luận tốt nghiệp, Trường Đại học Sư phạm Huế, (2010).
TIẾNG ANH
[4] R. B. Bapat, K. P. S. Bhaskara, K. Manjunatha Prasad, Generalized inverses
over integral domains, Linear Algebra Appl. 140 (1990), 181-196.
[5] A. Ben-Israel, Generalized inverses of marices: a perspective of the work of
Penrose, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 100 (1986), 401-425.
[6] A. Ben-Israel and T. N. E Greville, Generalized Inverses: Theory and Appli-
cations, 2nd Edition, Springer-Verlag, NewYork, (2003).
[7] S. L. Cambpbell and C. D. Meyer, Generalized Inverses of Linear Transfor-
mations, Pitman, London, (1979).
[8] Y. Chen, A Cramer rule for solution of the general restricted linear equation,
Linear and Multilinear Algebra 34 (1993), 177-186.
[9] M.P. Drazin, Pseudoinverses in associative rings and semigroups, Amer. Math.
Monthly 65 (1958), 506-515.
[10] R. A. Horn, C. R. Johnson, The Matrix analysis, Cambridge University Press,
(1986).
[11] J. Ji, Explicit expressions of the generalized inverses and condensed Cramer
rules, Linear Algebra Appl. 404 (2005), 183-192.
41
[12] I. I. Kyrchei, Analogues of the adjoint matrix for generalized inverses and
corresponding Cramer rules, Pidstrygach Institute for Applied Problems of
Mechanics and Mathematics, (2010).
[13] Y. M. Wei, H. B. Wu, Additional results on index splittings for Drazin inverse
solutions of singular linear systems, The Electronic Journal of Linear Algebra
8 (2001), 83-93.
42
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- NguyenThiThanhHuong.pdf