Khóa luận Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và ứng dụng

= +α + −α = +α + −α − +α − −α⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 1 sin 2x 1 sin 2 2 cos x .cos x a 2 cos x .cos x 2 sin 2x sin 2sin 2x sin 2 A . 2cos x .cos x a Bcos 2x cos 2 α= ++α − +α −α + α+ α= = =+α − + α Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 23 A đạt giá trị nhỏ nhất khi sin 2x = 0 (vì 2sin 2x 0≥ ) . Khi đó: cos 2x = 1 hay cos 2x = −1. Do đó B đạt giá trị lớn nhất bằng ( )21 cos 2+ α khi cos 2 0 cos 2 1 α ≥⎧⎨ =⎩ x hay bằng ( )21 cos 2− + α khi cos 2 0 cos 2x 1 α≤⎧⎨ =−⎩ . Vậy : i) Nếu cos 2 0α ≥ thì ( ) 2 2 2 2sin 2min y 2 tan 1 cos 2 α= = α+ α khi x k (k )= π ∈ . ii) Nếu cos 2 0α < thì ( ) 2 2 2 2sin 2min y 2cot 1 cos 2 α= = α− α khi x k2 π= + π . 4. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRỊ TUYỆT ĐỐI CƠ BẢN : Bài 9 : Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số ( ) 5 1f x x x 2 2 = − − + . Giải: Xét ( ) 5 1 5 1f x x x x x 2 2 2 2 = − − + = − − + . ( ) 5 1f x x x 3 2 2 ⎛ ⎞⇒ ≤ − − + =⎜ ⎟⎝ ⎠ . Do đó : ( )3 f x 3− ≤ ≤ (*). Dấu “ = ” trong (*) xảy ra khi và chỉ khi 5 1 1 5x . x 0 x x 2 2 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + ≥ ⇔ ≤− ∨ ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ . Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho là −3, đạt được khi 5x 2 ≥ . giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 3, đạt được khi 1x 2 ≤− . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 24 Bài 10 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : ( )f x x 3 4 x 1 x 15 8 x 1= + − − + + − − . Giải : Điều kiện : x 1≥ . Ta có : ( )f x x 3 4 x 1 x 15 8 x 1= + − − + + − − x 1 4 x 1 4 x 1 8 x 1 16= − − − + + − − − + ( ) ( )2 21 2 1 4x x= − − + − − = − − + − − = − − + − − ≥ − − + − − = 1 2 1 4 1 2 4 1 1 2 4 1 2. x x x x x x ( ) ( ) ( )x 1 2 . 4 x 1 0 2 x 1 4f x 2 5 x 17 x 1x 1 ⎧ ⎧− − − − ≥ ≤ − ≤⎪ ⎪= ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤⎨ ⎨ ≥⎪≥ ⎩⎪⎩ . Vậy, ( ) [ ] x 1 min f x =2 khi x 5; 17≥ ∈ . III. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP MIỀN GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ : Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 2 3y 4xyu x y −= + . Giải : Điều kiện : 2 2x y 0+ ≠ . Ta giả sử x 0≠ . Khi đó, chia tử và mẫu số của u cho 2x ta được : 2 2 y y3 4 x xu y1 x ⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠= ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ . Đặt yt x = , khi đó : 2 2 3t 4tu 1 t −= + . Giả sử 0u là một giá trị bất kì của hàm số 2 2 3t 4tu 1 t −= + . Khi đó, tồn tại t∈ sao cho phương trình ( ) 20 0u 3 t 4t u 0− + + = (*) có nghiệm t. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 25 • 0u 3= : (*) trở thành 4t + 3 = 0 34t⇔ = − . Do đó nhận 0u 3= . • 0u 3≠ : (*) có nghiệm khi và chỉ khi ( )0 04 u u 3 0− − ≥ 2 0 0 0 u 3u 4 0 1 u 4. ⇔ − + + ≥ ⇔ − ≤ ≤ Do đó, với 01 u 4− ≤ ≤ thì (*) có nghiệm. Từ đó suy ra: 1 u 4− ≤ ≤ với mọi (x, y) thỏa 2 2x y 0+ ≠ . Vậy, min u = − 1 và max y = 4. Bài 12: Cho k 2k cos x k 1y cos x sin x 2 + += + + . Tìm k để giá trị lớn nhất của ky nhỏ nhất. Giải : Miền xác định của hàm ky là D = . Giả sử y là một giá trị bất kì của hàm ky . Khi đó, tồn tại x∈ sao cho phương trình 2k cos x k 1y cos x sin x 2 + += + + có nghiệm. hay phương trình ( )y 2k cos x ysin x k 1 2y− + = + − có nghiệm x. ( ) ( )2 22 2 2 2 2 y 2k y k 1 2y 2y 4y 3k 2k 1 0 2 21 3k 2k 1 y 1 3k 2k 1. 2 2 ⇔ − + ≥ + − ⇔ − − + + ≤ ⇔ − − + ≤ ≤ + − + Từ đó ta có : 2k 2max y 1 3k 2k 1 2 = + − + 22 1 2 2 2 31 3 k 1 . 1 2 3 3 2 33 ⎛ ⎞= + − + ≥ + = +⎜ ⎟⎝ ⎠ . Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 1k 3 = . Vậy giá trị lớn nhất của ky đạt giá trị nhỏ nhất là 31 3 + khi 1k 3 = . IV. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ CHẴN : Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 26 Bài 13: Cho tam giác ABC, tìm giá trị lớn nhất của ( )P 3 cos B 3 cos A cosC= + + . Giải : Ta có : A C A CP 3 cos B 6cos . cos 2 2 + −= + = B A C3 cos B 6sin .cos 2 2 −= + (vì A B C+ + =π nên A C B Bcos sin sin 2 2 2 2 + π⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠ ). Suy ra : P 2 B B3 1 2sin 6sin 2 2 ⎛ ⎞≤ − +⎜ ⎟⎝ ⎠ ( vì A Ccos 1 2 − ≤ ) . hay P 2 B B2 3 sin 6sin 3 2 2 ≤ − + + 2 B 3 5 3 5 32 3 sin 2 2 2 2 ⎛ ⎞≤− − + ≤⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ( vì 2 B 3sin 0 2 2 ⎛ ⎞− ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ). Dấu “ = ” xảy ra khi 0 0 A Ccos 1 A C 302 B 3 B 120sin 2 2 −⎧ =⎪ ⎧ = =⎪ ⎪⇔⎨ ⎨ =⎪⎩⎪ =⎪⎩ . Vậy max P = 5 3 2 khi 0 0 A C 30 B 120 ⎧ = =⎪⎨ =⎪⎩ . Bài 14: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2T x y= + biết x và y là nghiệm của phương trình 2 25x 8xy 5y 36+ + = (*) . Giải : Ta có : ( ) ( ) ( )2 2 2 2* x y 4 x 2xy y 36⇔ + + + + = ( ) ( )( ) 2 2 T 4 x y 36 T 36 do x y 0 . ⇔ + + = ⇒ ≤ + ≥ Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi : 2 2 25x 8xy 5y 36 x 18 x y 0 y x ⎧ ⎧+ + = =⇔⎨ ⎨+ = = −⎩ ⎩ Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 27 x 3 2 x 3 2 y 3 2 y 3 2 ⎧ ⎧= = −⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨= − =⎪ ⎪⎩ ⎩ . Vậy, max T = 36 x 3 2 x 3 2 y 3 2 y 3 2 ⎧ ⎧= = −⎪ ⎪⇔ ∨⎨ ⎨= − =⎪ ⎪⎩ ⎩ . Mặt khác, ta lại có : ( ) ( ) ( )2 2 2 2* 9 x y 4x 8xy 4y 36⇔ + − − + = ( ) ( )( ) 2 2 9T 4 x y 36 36T 4 do 4 x y 0 . 9 ⇒ − − = ⇒ ≥ = − ≥ Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi : 2 2 25x 8xy 5y 36 x 2 x y 0 y x ⎧ ⎧+ + = =⇔⎨ ⎨− = =⎩ ⎩ . x y 2 x y 2⇔ = = ∨ = = − . Vậy, min T = 4 x y 2 x y 2⇔ = = ∨ = = − . V. SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LỒI, LÕM CỦA HÀM SỐ Bài 15: Cho biểu thức 1 1 1F cos A cos B cos C = + + (A, B, C nhọn). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của F. Giải : Xét hàm số 1y f (x) , x 0; cos x 2 π⎛ ⎞= = ∈ ⎜ ⎟⎝ ⎠ , ta có : 2 sin xy ' cos x = . 3 2 2 4 3 cos x 2sin x.cos x( sin x) cos x 2sin xy" 0 cos x cos x − − += = > với mọi x 0; 2 π⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠ . Suy ra f(x) là hàm lồi trên 0; 2 π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ . Do đó : ( ) ( ) ( ) A B Cf A f B f C 3f 3 + +⎛ ⎞+ + ≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 1 1 13 A B Ccos A cos B cos C cos 3 1 1 1 13 6. cos A cos B cos C cos 3 ⇔ + + ≥ + + ⇔ + + ≥ =π Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 28 Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi A B C 3 π= = = . Vậy min F = 6 khi A B C 3 π= = = . Bài 16: Cho a, b, c là ba số dương và a + b + c = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 10 10 101 1 1P a b c a b c ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . Giải : Do a, b, c là các số dương và a + b + c = 1 nên 0 a 1 0 b 1 0 c 1 < <⎧⎪ < <⎨⎪ < <⎩ . Xét hàm số ( ) 101f x x x ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ với ( )x 0;1∈ . Ta có : ( ) 9 21 1f ' x 10 x 1x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . ( ) 8 2 92 31 1 1 2f " x 90 x . 1 10 x . 0x x x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + + >⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ với mọi ( )x 0;1∈ . Suy ra f(x) là hàm lồi trên trên (0;1) . Do đó, ta có : ( ) ( ) ( )1 a b cf a f b f c f 3 3 + +⎛ ⎞+ + ≥⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ . hay 1010 10 10 10 9 1 1 1 a b c 3 10a b c 3 a b c 3 a b c 3 ⎡ ⎤ ⎛ ⎞+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + ≥ + =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ( do a + b + c = 1 ). Suy ra 10 9 10P 3 ≥ . Dấu “ = ” trong (*) xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 3 . Vậy, min P = 10 9 10 3 khi a = b = c = 1 3 . VI. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ - VECTƠ : Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số u y 2x 5= − + biết rằng x và y thỏa mãn phương trình 2 236x 16y 9+ = . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 29 Giải : Ta có 1 1u 5 4y. 6x. 4 3 ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠ . Xét 2 vectơ ( ) 1 1a 4y; 6x ,b ; 4 3 ⎛ ⎞= − = ⎜ ⎟⎝ ⎠ r r . Ta có : ( )2 2 2a. b a . b≤r r ur ur . Nên : ( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 1 1 1 25 25 254y. 6x. 4y 6x . 16y 36x 9. 4 3 16 9 16.9 16.9 16 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤− ≤ + − + = + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 22 2 36 6 6x x x36x 16y 9 225 15 15 4 3 9 9 9y x y x y y3 2 8 20 20 ⎧ ⎧ ⎧⎧ = = =−+ = ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨ ⎨=−⎪ ⎪ ⎪ ⎪= − =− =⎩ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩ ⎩ . Vậy : Giá trị nhỏ nhất của u là 15 4 , đạt được khi 6 9x , y 15 20 = = − . Giá trị lớn nhất của u là 25 4 , đạt được khi 6 9x , y 15 20 = − = . Bài 18: Cho điểm A thuộc mặt cầu tâm O có bán kính bằng R. Xét các tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu và gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD. Tìm vị trí của điểm G khi biết 2 2 2 2 2 2AB AC AD BC CD DB+ + − − − đạt giá trị nhỏ nhất. Giải : O A C D A ' B G Kẻ đường kính AA’ của mặt cầu ta có OA ' OA= −uuuur uuur . Ta có : + + − − − =2 2 2 2 2 2AB AC AD BC CD DB Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 30 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − + − + − + − − − − − − = − + + + + + = + uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur 2 2 2 2 2 2 OB OA OC OA OD OA OC OB OD OC OB OD 2OA. OB OC OD 2OC.OB 2OB.OD 2OD.OC 2OA'.OB 2OA'.OC ( ) + + + + = + + + − ≥ − uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur 2 2 2 2OA '.OD 2OC.OB 2OB.OD 2OD.OC OA' OB OC OD 4R 4R . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : OA OB OC OD= + +uuur uuur uuur uuur (1). mà GA GB GC GD 0+ + + =uuur uuur uuur uuur r . 4GO OA OB OC OD 0 (2)⇔ + + + + =uuur uuur uuur uuur uuur r . Từ (1), (2) suy ra 4GO 2OA 0+ =uuur uuur r hay OA 2OG=uuur uuur . Vậy, khi G là trung điểm của đoạn OA thì G sẽ thỏa yêu cầu đề bài. VII. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA : Bài 19: Cho hai số thực a và b thỏa điều kiện 2 2a b 1+ = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( ) ( ) ( )5 5 3 3F 16 a b 20 a b 5 a b= + − + + + Giải : Đặt : [ ]a sin x (a, b 1;1 ) b cos x =⎧ ∈ −⎨ =⎩ . Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 3 3 5 3 5 3 F 16 sin x cos x 20 sin x cos x 5 sin x cos x 16cos x 20cos x 5cos x 16sin x 20sin x 5sin x A B = + − + + + = − + + − + = + Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 24 2 2 A cos x. 16cos x 20cos x 5 cos x. 4 1 cos 2x 10 1 cos 2x 5 cos x 4cos 2x 2cos 2x 1 cos x 2 1 cos 4x 2cos 2x 1 cos x 2cos 4x 2cos 2x 1 2cos x.cos 4x 2cos x.cos 2x cos x cos5x cos3x cos3x cos x cos x cos5x. ⎡ ⎤= − + = + − + +⎣ ⎦ = − − = + − −⎡ ⎤⎣ ⎦ = − + = − + = + − + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 24 2 2 B sin x. 16sin x 20sin x 5 sin x. 4 1 cos 2x 10 1 cos 2x 5 sin x 4cos 2x 2cos 2x 1 sin x 2 1 cos 4x 2cos 2x 1 ⎡ ⎤= − + = − − − +⎣ ⎦ = + − = + + −⎡ ⎤⎣ ⎦ ( )sin x 2cos 4x 2cos 2x 1 2sin x.cos 4x 2sin x.cos 2x sin x= + + = + + ( ) ( )sin 5x sin 3x sin 3x sin x sin x sin 5x.= − + − + = Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 31 Do đó: F cos5x sin 5x 2 cos 5x 2. 4 π⎛ ⎞= + = − ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 2cos 5x 1 x k ( k ) 4 20 5 π π π⎛ ⎞− = ⇔ = + ∈⎜ ⎟⎝ ⎠ . Vậy, max F = 2 khi 2a sin k 20 5 ( k ) 2b cos k 20 5 ⎧ π π⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠ ∈⎨ π π⎛ ⎞⎪ = +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩ . Bài 20: Cho bốn số thực a, b, c, d thỏa mãn các điều kiện ( ) ( )( ) 2 2 2 2 a b 12 a b * c d 12 c d 3 ⎧ + = +⎪⎨ + = + −⎪⎩ . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của ( ) ( )2 2T a c b d= − + − . Giải : Ta có: ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 a 6 b 6 72 * c 6 d 6 36 ⎧ − + − =⎪⇔ ⎨ − + − =⎪⎩ Đặt a 6 6 2 cos c 6 6cos , d 6 6sinb 6 6 2 sin ⎧ = + α = + β⎧⎪⎨ ⎨ = + β= + α ⎩⎪⎩ . Khi đó, ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2T 36 2 cos cos 2 sin sin 36 3 2 2. cos .cos sin .sin 36 3 2 2 cos . ⎡ ⎤= α − β + α − β⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤= − α β+ α β⎣ ⎦ = − α −β Ta có : ( )1 cos 1− ≤ α −β ≤ ( )3 2 2 3 2 2 cos 3 2 2⇔ − ≤ − α −β ≤ + ( ) ( )2 2236 2 1 T 36 2 1⇔ − ≤ ≤ + . ( ) ( )6 2 1 T 6 2 1⇒ − ≤ ≤ + . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 32 Vậy, max T = ( )6 2 1+ khi ( ) cos coscos 1 sin sinα = β⎧α −β = ⇔ ⎨ α = β⎩ và min T = ( )6 2 1− khi ( ) cos coscos 1 sin sinα = − β⎧α −β = − ⇔ ⎨ α = − β⎩ . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 33 C. ỨNG DỤNG CỦA GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀO VIỆC GIẢI TOÁN I. ỨNG DỤNG VÀO VIỆC GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, … - Phương trình ( )f x , x D= α ∈ có nghiệm khi và chỉ khi x D x D m min f (x) max f (x) M ∈ ∈ = ≤ α ≤ = . - Bất phương trình ( )f x , x D≥ α ∈ có nghiệm khi và chỉ khi M ≥ α . - Bất phương trình ( )f x ≥ α nghiệm đúng với mọi x D∈ khi và chỉ khi m ≥ α . - Bất phương trình ( )f x , x D≤ β ∈ có nghiệm khi và chỉ khi m ≤ β . - Bất phương trình ( )f x ≤ β nghiệm đúng với mọi x D∈ khi và chỉ khi M ≤ β . Bài 1: Với giá trị nào của m thì 4mx 4x m 0− + ≥ với mọi x. Giải : Ta có : 4mx 4x m 0− + ≥ với mọi x 44xm x 1⇔ ≥ + với mọi x. (1) Đặt ( ) 44xf x x 1= + . Từ (1) suy ra max f (x) m≤ . ( ) ( )( ) 4 24 4 1 3x f ' x 1 x −= + . ( ) 4 4 1x 3f ' x 0 1x 3 ⎡ =⎢⎢= ⇔ ⎢ = −⎢⎣ . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 34 4 27 0 0 0 4 1 34 1 3 − +∞−∞ ( )f x′ x f(x) −+− 0 4 27− Bảng biến thiên : Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy 4max f (x) 27= ( khi 4 1x 3 = ). Vậy 4m 27≥ là giá trị cần tìm thỏa đề bài. Bài 2: Cho phương trình : 4 4 21sin x cos x cos 2x sin 2x a 0 4 + − + + = (1). Với giá trị nào của a, phương trình đã cho có nghiệm ? Giải : ( ) 2 21 11 1 sin 2x cos 2x sin 2x a 0 2 4 ⇔ − − + + = ( )2 2 1 1 cos 2x cos 2x a 1 0 4 cos 2x 4cos 2x 4a 3 0. (2) ⇔ − − − + + = ⇔ − + + = Đặt t = cos2x, với 1 t 1− ≤ ≤ . Phương trình (2) trở thành: 2 2t 4t 4a 3 0 4a t 4t 3− + + = ⇔ =− + − . (3) Xét hàm số 2f (t) t 4t 3= − + − trên đoạn [−1; 1], ta có : ( ) ( ) [ ] f ' t 2t 4. f ' t 0 t 2 1; 1 . = − + = ⇔ = ∉ − Suy ra ( )f t 0′ > trên đoạn [−1; 1]. mà f (−1) = − 8 ; f ( 1 ) = 0 . nên [ ]t 1 ; 1min f (t) 8 khi t 1∈ − = − = − và [ ]t 1 ; 1max f (t) 0 khi t 1∈ − = = . Phương trình (1) có nghiệm x khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm [ ]t 1;1∈ − [ ] ( ) [ ] ( )t 1; 1 t 1; 1min f t 4a max f t∈ − ∈ −⇔ ≤ ≤ 21 sin 2x cos 2x a 1 0 4 ⇔ − − + + = Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 35 8 4a 0 2 a 0⇔ − ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ 0 Vậy, với [ ]a 2; 0∈ − thì phương trình (1) có nghiệm. Bài 3 : Với những giá trị nào của m thì hệ bất phương trình ( ) ( ) 2 2 x m 2 x 2m 0 x m 7 x 7m 0 ⎧ − + + <⎪⎨ + + + <⎪⎩ (I) có nghiệm? Giải : Ta có : ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 x m 2 x 2m 0 x 2 x m 0 (1) x 7 x m 0 (2)x m 7 x 7m 0 ⎧ − + + < − − <⎧⎪ ⎪⇔⎨ ⎨ + + <+ + + < ⎪⎪ ⎩⎩ . (II) * Nếu ( m = 2 hay m = 7 ) thì hệ (II) vô nghiệm. Suy ra hệ (I) vô nghiệm. * Nếu ( m 0≥ và m 2, m 7≠ ≠ ) thì : { } { } (1) x min 2;m 0. (3) (2) x max 7; m 0. (4) ⇒ > ≥ ⇒ < − − ≤ Từ (3) và (4) suy ra x 0 x 0 >⎧⎨ <⎩ ( vô lí ). Do đó (I) vô nghiệm. * Nếu m < 0 thì (II) { } { }m x 2 max 7;m x min 2; m 7 x m < <⎧⇔ ⇔ − < < −⎨− < < −⎩ . Suy ra (I) có nghiệm. Vậy, với m < 0 thì hệ bất phương trình đã cho có nghiệm. Bài 4: Tìm số k lớn nhất để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x: ( )k sin x cos x 1 sin 2x sin x cos x 2+ + ≤ + + + . (1) Giải : Đặt t sin x cos x , t 0.= + > 2 2t 1 sin 2x 1 t 2 1 t 2⇒ = + ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ . Bất phương trình (1) trở thành : ( ) 22 t t 1kk t 1 t t 1 t 1 1 t 2 1 t 2 ⎧ + +⎧ ≤+ ≤ + +⎪ ⎪ +⇔⎨ ⎨≤ ≤⎪ ⎪⎩ ≤ ≤⎩ . Xét hàm số ( ) 2t t 1f t t 1 + += + trên miền 1; 2⎡ ⎤⎣ ⎦ . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 36 Ta có ( ) ( ) 2 2 t 2tf ' t t 1 += + . Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có : 3 f (t) 2 2 1 2 ≤ ≤ − . Bài toán thỏa khi và chỉ khi 1 t 2 3k min f (t) k 2≤ ≤ ≤ ⇔ ≤ . Vậy giá trị lớn nhất của k phải tìm là 3 2 . + t 0− 2 +∞ + 3 2 2 2 1− + +0−0 1 2−∞ ( )f ' t f(t) Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 37 II. ỨNG DỤNG VÀO VIỆC TÌM ĐIỀU KIỆN SAO CHO HÀM SỐ CÓ CHỨA THAM SỐ ĐỒNG BIẾN HOẶC NGHỊCH BIẾN TRÊN MỘT KHOẢNG XÁC ĐỊNH. Bài 5: Định m để hàm số ( ) ( )y m 3 x 2m 1 cos x= − − + luôn luôn nghịch biến. Giải : Xét hàm số ( ) ( )y m 3 x 2m 1 cos x, x= − − + ∈ . Ta có ( ) ( )y ' m 3 2m 1 sin x= − + + . Hàm số đã cho luôn luôn nghịch biến khi và chỉ khi y ' 0≤ với mọi x∈ . ( ) ( )m 3 2m 1 sin x 0, x⇔ − + + ≤ ∀ ∈ . Đặt sin x = t với 1 t 1− ≤ ≤ . Khi đó, ta đi tìm các giá trị của m để ( ) ( )f t 2m 1 t m 3 0= + + − ≤ với mọi t ∈[−1; 1]. ( )2t 1 m 3 t ⇔ + ≤ − với mọi t ∈[−1; 1]. ( ) ( ) 3 t 1m g t vôùi moïi t ; 1 2t 1 2 3 t 1m g t vôùi moïi t 1; 2t 1 2 ⎧ − ⎛ ⎤≤ = ∈ −⎜⎪ ⎥+ ⎝ ⎦⎪⇔ ⎨ − ⎡ ⎞⎪ ≥ = ∈ − − ⎟⎢⎪ + ⎣ ⎠⎩ . ( ) ( )2 7g ' t 0 2 t 1 −= <+ với mọi t. Bảng biến thiên: Do đó ta có ( ) ( ) 1 t 1 2 11 t 2 2m min g t 3 24 m 3m max g t 4 − < ≤ − ≤ ≤ − ⎧ ≤ =⎪⎪ ⇔ − ≤ ≤⎨⎪ ≥ = −⎪⎩ . −∞ −∞ +∞ −1 − 4 1 2 − ( )g ' t t 1 g(t) − − 2 3 +∞ Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 38 Vậy, với 24 m 3 − ≤ ≤ thì hàm số đã cho nghịch biến. Bài 6 : Định m để hàm số ( ) ( )3 2y x 3 2m 1 x 12m 5 x 2= − + + + + đồng biến trong các khoảng ( ]; 1−∞ − và [ )2; +∞ . Giải : Ta có : ( ) ( )2y ' x 3x 6 2m 1 x 12m 5= − + + + . Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ( ]; 1−∞ − và [ )2; +∞ khi và chỉ khi ( )y ' x 0≥ với mọi x ( ; 1] [2; )∈ −∞ − ∪ +∞ . ( ) 212 x 1 m 3x 6x 5⇔ − ≤ − + với mọi x ( ; 1] [2; )∈ −∞ − ∪ +∞ . Trong khoảng ( ]; 1−∞ − , ta có 23x 6x 512m x 1 − +≥ − . (1) Trong khoảng [ )2; +∞ , ta có 23x 6x 512m x 1 − +≤ − . (2) Xét hàm số ( ) 23x 6x 5f x x 1 − += − trên miền D = ( ; 1] [2; )−∞ − ∪ +∞ . Ta có : ( ) ( ) 2 2 3x 6x 1f ' x x 1 − += − . ( ) 3 6x 3f ' x 0 3 6x 3 ⎡ +=⎢⎢= ⇔ ⎢ −=⎢⎣ . Bảng biến thiên : Dựa vào bảng biến thiên, ta có : ( ) x 1 max f x 7 ≤ − = − và ( ) x 2 min f x 5≥ = . 3 6 3 +3 6 3 − + ∞ 0+ + + +0−− 5 - 7 + ∞ − ∞ − ∞ f(x) ( )f ' x - 1 1 2 x Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 39 Từ (1) và (2) suy ra 7m12m 7 12 12m 5 5m 12 ⎧ ≥−⎪≥−⎧ ⎪⇔⎨ ⎨≤⎩ ⎪ ≤⎪⎩ . Vậy, với 7 5m ; 12 12 ⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦ thì hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ( ]; 1−∞ − và [ )2; +∞ . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 40 III. ỨNG DỤNG VÀO CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN : Bài 7: Một công ty đánh giá rằng sẽ bán được N lô hàng nếu tiêu phí hết số tiền là x vào việc quảng cáo, N và x liên hệ với nhau bằng biểu thức 2N(x) x 30x 6,= − + + 0 30x≤ ≤ (x được tính theo đơn vị triệu đồng ). Hãy tìm số lô hàng lớn nhất mà công ty có thể bán sau đợt quảng cáo và số tiền đã dành cho việc quảng cáo đó ? Giải : Ta có : N(x) = ( )22x 30x 6 231 x 15 231− + + = − − ≤ ( vì ( )2x 15 0− ≥ ). Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = 15 . Do đó: [ ]x 0;30max N(x) 231∈ = khi x = 15. Vậy, nếu công ty dành 15 triệu cho việc quảng cáo thì công ty sẽ bán được nhiều nhất là 231 lô hàng. Bài 8: Một công ty xác định rằng tổng thu nhập (tính bằng $) từ việc sản xuất và bán x đơn vị sản phẩm được cho bởi công thức : 2 150000P x 60x 1000 = − + . Hãy tìm số x đơn vị sản phẩm cần sản xuất và bán để tổng thu nhập lớn nhất ? Giải : Ta có : ( )22 150000 150000P 1500 x 60x 1000 x 30 100 = = ≤− + − + (vì ( )2x 30 100 100− + ≥ ). Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = 30. Vậy, để tổng thu nhập lớn nhất thì cần sản xuất và bán 30 đơn vị sản phẩm. Bài 9: Nhiệt độ T của một người trong cơn bệnh được cho bởi công thức T(t)= - 0.1t 2 + 1.2 t + 98.6, 0 t 12≤ ≤ , trong đó T là nhiệt độ ( 0 F ) theo thời gian t trong ngày. Tìm nhiệt độ lớn nhất của người bệnh trong ngày và thời điểm mà nó xảy ra. Giải: Xét hàm số T(t) = - 0.1 t 2 + 1.2t + 98.6 = 102.2 - 0.1 (t – 6) 2 ≤ 102.2. Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi t = 6. Do đó, max T = 102.2 khi t = 6. Vậy, nhiệt độ lớn nhất của người bệnh trong ngày là 102.2 0 F khi t = 6. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 41 Bài 10: Một công ty đang lập kế hoạch cải tiến sản phẩm và xác định rằng tổng chi phí dành cho việc cải tiến là : ( ) 2C x 2x 4 x 6 = + + − ( với x > 6 ) trong đó x là số sản phẩm được cải tiến. Tìm số sản phẩm mà công ty cần cải tiến để tổng chi phí là thấp nhất ? Giải: Ta có : ( ) 22 2 8 222 4 6 6 x xC x x x x − −= + + =− − . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2x 24x 70C ' x 2 . x 6 x 6 x 7 C' x 0 2x 24x 70 0 (do x 6) . x 5 − += − =− − =⎡= ⇔ − + = > ⇔ ⎢ =⎣ Vì x > 6 nên loại x = 5. Vậy, để tổng chi phí là thấp nhất thì công ty cần cải tiến 7 đơn vị sản phẩm. Bài 11 : Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo tại C. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1. Khoảng cách từ B đến A là 4. Mỗi km dây điện đặt dưới nước mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD. Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất. Giải : Gọi x là khoảng cách từ S tới B. Khi đó khoảng cách từ S tới A là 4 – x ( 0 < x < 4 ). Chi phí khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là : ( ) ( )2f x 5000 1 x 3000 4 x= + + − . ( ) 2 2 2 5000x 5x 3 x 1 3f x 3000 1000 0 x 4x 1 x 1 ⎛ ⎞− +′ = − = = ⇒ =⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ . C S x 4 4 - x B A Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 42 ( ) ( )32 5000f x 0 1 x ′′ = > + với mọi x . Do đó : ( ) 0 x 4 3 3min f x f 16000 (khi x ) 4 4< < ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠ . Vậy, để chi phí ít tốn kém nhất thì điểm S phải cách A là 13 4 . Bài 12: Một con đường được xây dựng giữa 2 thành phố A và B. Hai thành phố này bị ngăn cách một con sông có chiều rộng r. Người ta cần xây 1 cây cầu bắt qua sông biết rằng A cách con sông một khoảng bằng a, B cách con sông một khoảng bằng b ( a b≤ ) (hình vẽ). Hãy xác định vị trí xây cầu để tổng khoảng cách giữa các thành phố là nhỏ nhất. Giải : Gọi CF = x . Khi đó ED = p - x . Khoảng cách giữa các thành phố là : ( ) ( )22 2 2f x x a r b p x= + + + + − . ( ) ( )2 2 22 x x pf ' x x a b p x −= ++ + − . ( ) ( ) ( )22 2 2f ' x 0 x b p x p x x a= ⇒ + − = − + . ( ) ( ) ⎡ = ∈⎢ +⎢⇔ − − + = ⇔ ⎢ =⎢ −⎣ 2 2 2 2 2 2 apx 0;p a b a b x 2a px a p 0 apx (loaïi) a b . C a b F A p - x r x p D E B sông Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 43 20 - x x ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 22 2 22 2 a bf x 0 x a b p x ′′ = + > ⎡ ⎤+ + −⎣ ⎦ . Do đó : ( ) apmin f x f a b ⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠ . Vậy để khoảng cách giữa 2 thành phố nhỏ nhất thì apx a b = + . Bài 13: Một nhà máy sản xuất máy tính vừa làm ra x sản phấm mới và bán với giá là p = 1000 – x ($) cho mỗi sản phẩm. Nhà sản xuất xác định rằng tổng chi phí làm ra x sản phẩm là C(x) = 3000 + 20x ($). a/-Tìm tổng thu nhập R(x). b/-Tìm tổng lợi nhuận P(x). c/-Nhà máy phải sản xuất và bán bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận lớn nhất. d/-Lợi nhuận lớn nhất là bao nhiêu trong trường hợp c. e/-Giá mỗi sản phẩm là bao nhiêu để lợi nhuận lớn nhất. Giải : a/ R(x) = x ( 1000 – x ) = 1000x – x 2 . b/ P(x) = R(x) – C(x) = − x 2 + 980x − 3000. c/ P(x) = 237 100 − ( x – 490 ) 2 ≤ 237 100 ( do ( x – 490 ) 2 ≥ 0 ). Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = 490 . Vậy nhà máy phải sản xuất và bán 490 sản phẩm thì lợi nhuận sẽ lớn nhất. d/ max P = $237100. Do đó lợi nhuận lớn nhất là $237100 bằng cách sản xuất và bán 490 sản phẩm. e/ Để lợi nhuận lớn nhất thì giá mỗi sản phẩm là :1000 – 490 = $510. Bài 14: Một cửa hàng bán thú kiểng cần làm một chuồng thú hình chữ nhật sao cho phần cần làm hàng rào là 20 m. Chú ý rằng, hình chữ nhật này có hai cạnh trùng với mép của hai bức tường trong góc nhà nên không cần rào. Các cạnh cần rào của hình chữ nhật là bao nhiêu để diện tích của nó là lớn nhất ? Và diện tích lớn nhất đó là bao nhiêu ? Giải : Gọi x là chiều dài một cạnh cần rào của chuồng thú thì 0 < x < 20. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 44 Khi đó chiều dài cạnh còn lại cần rào của chuồng thú là 20−x . Diện tích của chuồng thú là : S(x) = x.( 20 – x ) = 20x – x 2 = 100 – (x – 10) 2 ≤ 100 ( vì (x – 10) 2 ≥ 0 ). Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi x = 10. Vậy, để diện tích của chuồng thú lớn nhất thì ta rào mỗi cạnh của chuồng dài 10m. Khi đó, chuồng thú có diện tích lớn nhất là 100m 2. Bài 15: Một công ty Container cần thiết kế các thùng đựng hàng hình hộp chữ nhật, không nắp, có đáy là hình vuông, thể tích là 108 m 3 . Các cạnh hình hộp và cạnh đáy là bao nhiêu để tổng diện tích xung quanh và diện tích của một mặt đáy là nhỏ nhất ? Và tổng diện tích nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu ? Giải : Gọi x, y lần lượt là chiều dài cạnh đáy và chiều cao của hình hộp ( x > 0, y > 0 ). Tổng diện tích xung quanh và diện tích của một mặt đáy của thùng đựng hàng là : 2S x 4xy= + . Thể tích của thùng đựng hàng là : 2 2 108V x y 108 y x = = ⇒ = . 2 2 2 108 432S x 4x x x x ⎛ ⎞⇒ = + = +⎜ ⎟⎝ ⎠ . Do S và x phải luôn dương nên ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của S trên khoảng ( )0; +∞ . Ta có : 2 432S' 2x x = − . 2 432S' 0 2x 0 x = ⇔ − = 32 432 0⇔ − =x (vì x > 0) 3x 216 x 6⇔ = ⇔ = . 3 864S" 2 0 x = + > với mọi ( )0;∈ +∞x . Do đó min S = S(6) = 26 4.6.3 108+ = và 2108 108y 36 36= = = . Vậy, để diện tích xung quanh của thùng đựng hàng nhỏ nhất thì cạnh hình hộp sẽ là 3 m, cạnh đáy của hình hộp là 6 m và diện tích xung quanh nhỏ nhất là 108 (m 2 ). x x y Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 45 Bài 16:Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái tivi mỗi năm. Chi phí gởi trong kho là $ 10 một cái trong một năm. Để đặt hàng, chi phí cố định là $20, cộng thêm $9 mỗi cái. Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần mỗi năm và mỗi năm bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất ? Giải : Gọi x là số tivi của mỗi lần đặt hàng thì x [ ]1; 2500∈ . Khi đó, số lượng tivi trung bình gởi trong kho là x 2 . Do đó, chi phí gởi hàng trong kho mỗi năm là 10. x 2 = 5x. Số lần đặt hàng mỗi năm là : 2500 x . Do đó, chi phí đặt hàng mỗi năm là : (20 + 9x) 2500 x = 50000 x + 22500. Suy ra, chi phí hàng tồn kho là : C(x) = 5x + 50000 x + 22500. Ta có : ( ) 250000C' x 5 x= − . ( ) 2C ' x 0 5x 50000= ⇔ = (do x [ ]1; 2500∈ ) 2 x 100x 10000 x 100 =⎡⇔ = ⇔ ⎢ = −⎣ . Vì x [ ]1; 2500∈ nên ta loại x = – 100. ( ) 3100000C" x 0x= > với mọi x [ ]1; 2500∈ nên [ ] ( ) ( )x 1;2500min C x C 100 23500∈ = = . Khi đó, số lần đặt hàng mỗi năm là 2500 25 100 = . Vậy, để chi phí hàng tồn kho nhỏ nhất thì cửa hàng nên đặt hàng 25 lần mỗi năm và 100 cái mỗi năm. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 46 2a 0 3a 27 a 2 + ∞0 0 0 + − ++ a 2 − ∞ V ' V x Bài 17: Từ một tấm bìa cứng hình vuông cạnh a, người ta cắt bốn góc bốn hình vuông bằng nhau rồi gấp lại tạo thành một hình hộp không nắp. Tìm cạnh của hình vuông bị cắt để thể tích hình hộp lớn nhất ? Và thể tích lớn nhất đó là bao nhiêu? Giải : Gọi x là cạnh hình vuông bị cắt thì a0 x 2 < < . Khi đó, hình hộp tạo thành có đáy hình vuông cạnh a – 2x và có chiều cao là x. Thể tích hình hộp là : ( )2V a 2x .x= − với a0 x 2 < < . Khi đó : ( ) ( ) ( )2 2 2V ' 2 a 2x . 2 x a 2x 12x 8ax a= − − + − = − + . a aV ' 0 x x 6 2 = ⇔ = ∨ = . Vì a0 x 2 < < nên loại ax 2 = . Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, 3amax V 27 = khi ax 6 = . Vậy, để thể tích hình hộp lón nhất thì cần cắt các hình vuông có cạnh là a 6 và thể tích lớn nhất của hình hộp là 3a 27 . x a – 2x a – 2x a x Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 47 Bài 18: Giám đốc của nhà hát A đang phân vân trong việc xác định giá vé xem các chương trình được trình chiếu trong nhà hát. Việc này rất quan trọng, nó sẽ quyết định nhà hát thu được lợi nhuận hay bị tổn thất. Theo những cuốn sổ ghi chép, ông ta xác định rằng : nếu giá vé vào cửa là $20 thì trung bình có 1000 người đến xem. Nhưng, nếu tăng tiền vé lên $1 mỗi người thì sẽ mất 100 khách hàng trong số trung bình. Trung bình, mỗi khách hàng dành $1.8 cho việc uống nước trong nhà hát. Hãy giúp giám đốc nhà hát này xác định xem cần tính giá vé vào cửa bao nhiêu để tổng thu nhập lớn nhất. Giải : Gọi x là số tiền cần tăng thêm của giá vé vào cửa ( $20), nếu x < 0 thì có nghĩa là giá vé nên giảm. Giả sử R là tổng thu nhập của nhà hát thì R = ( 1000 −100x ).( 20 + x ) + 1.8 (1000 - 100x) = 20000 – 2 000x + 1000x −100x 2 + 1800 −180x = −100x 2 − 1180x + 21800 = 25281 − ( 10x + 59 )2 ≤ 0. (*) Dấu “ = ” trong (*) xảy ra khi và chỉ khi x = −5.9 . Do đó: max R = 25281. Vậy, để tổng thu nhập lớn nhất, nhà hát nên tính giá tiền mỗi vé là $20+(− $ 5.9) = $ 14.1. Giá vé này sẽ hấp dẫn nhiều người đến xem hơn, cụ thể là 1000 – 100 (−5.9 ) = 1590 khách hàng. Khi đó tổng thu nhập lớn nhất là $ 25281. Bài 19 : Một cơ sở in sách xác định rằng: Diện tích của toàn bộ trang sách là S (cm2). Do yêu cầu kĩ thuật nên dòng đầu và dòng cuối đều phải cách các mép ( trên và dưới ) trang sách là a (cm). Lề bên trái và bên phải cũng phải cách mép trái và mép phải b (cm). Các kích thước của trang sách là bao nhiêu để cho diện tích phần in các chữ có giá trị lớn nhất. Khi đó hãy xác định tỷ số các kích thước của trang sách. Giải : Giả sử P, S lần lượt là diện tích phần in chữ của trang sách và diện tích trang sách. Gọi x, y lần lượt là chiều rộng và chiều dài của trang sách (x, y > 0). Ta có ( )( )P x 2b y 2a= − − . (*) mà S = xy nên Sy = x , thay vào (*) ta được : x y a a b b Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 48 C D B A sông 240 – 3x x ( ) S 2bSP x 2b 2a S 4ab 2ax x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . P đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi 2bS2ax x ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ đạt giá trị nhỏ nhất mà 2bS2ax 4 Sab x + ≥ ( Bất đẳng thức Cauchy ). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2bS bS2ax x x a = ⇔ = ( do x > 0 ). Do đó P đạt giá trị lớn nhất khi bS aSx , y a b = = . Khi đó : 2y S ax x b= = . Bài 20 : Một chủ trang trại nuôi gia súc muốn rào thành 2 chuồng hình chữ nhật sát nhau và sát một con sông, một chuồng cho cừu, một chuồng cho gia súc. Đã có sẵn 240m hàng rào. Hỏi diện tích lớn nhất có thể bao quanh là bao nhiêu ? Giải : Xét hình chữ nhật ABCD, đặt AB = x thì 0 < x < 80. Khi đó BC = 204 – 3x. Diện tích của hình chữ nhật ABCD là : S = x ( 240 – 3x ) = 240x – 3x 2 . Ta có : S(x) = 240x – 3x 2 = 4800 - 3(x – 40) 2 ≤ 4800. Do đó ( ) ( )x 0;80max S x 4800∈ = m khi x = 40. Vậy, diện tích lớn nhất có thể bao quanh là 4800 m. Bài 21: Một người thợ mộc cần xây dựng một căn phòng hình chữ nhật bằng gỗ với chu vi là 54 m. Các cạnh của căn phòng là bao nhiêu để diện tích của nó lớn nhất ?Diện tích lớn nhất đó là bao nhiêu ? Giải : Gọi x, y lần lượt là chiều dài và chiều rộng của căn phòng thì 0 < x < 27 và 0 < y < 27. Khi đó ta có : 2 ( x + y ) = 54 nên x + y = 27. Diện tích của căn phòng là S = xy. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm x và y, ta được : xy 2x y 729 2 4 +⎛ ⎞≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ .(*) Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 49 Dấu “ = ” trong (*) xảy ra khi và chỉ khi x y 27 27x y x y 2 + =⎧ ⇔ = =⎨ =⎩ . Vậy, để diện tích của căn phòng lớn nhất thì nên xây mỗi cạnh của căn phòng là 27 2 m. Khi đó, diện tích lớn nhất của căn phòng là 729 4 m. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 50 D. KHẢO SÁT THỰC TẾ I. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU : Đợt khảo sát thực tế nhằm biết được những ý kiến của giáo viên và học sinh ở trường phổ thông về các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và ứng dụng của nó trong thực tiễn. Đồng thời cũng nắm được mức độ yêu thích, hứng thú của học sinh đối với môn toán. Trên cơ sở đó, người thực hiện khảo sát có thể rút ra được những kinh nghiệm, nhận xét bổ ích cho bản thân và phục vụ tốt cho việc dạy học sau này. II. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN : Để tiến hành khảo sát, tôi đã soạn một số câu hỏi thăm dò ý kiến giáo viên và học sinh. Bộ câu hỏi này được phát cho một số thầy (cô) tổ toán Trường THPT Nguyễn Khuyến ( Huyện Thoại Sơn – An Giang ). Ngoài ra, có một số giáo viên của trường THPT Nguyễn khuyến được phỏng vấn trực tiếp, không tiến hành phát “ Phiếu hỏi ý kiến giáo viên “ . Đối với học sinh, tôi phát phiếu thăm dò ở hai lớp 10 ( một lớp tự nhiên và một lớp cơ bản ), hai lớp 11 (một lớp tự nhiên và một lớp cơ bản ) và ba lớp 12 ( một lớp chọn và hai lớp cơ bản) của trường THPT Nguyễn Khuyến. III. KẾT QUẢ : 1. Đối với giáo viên : - Phỏng vấn trực tiếp 2 giáo viên trường THPT Nguyễn Khuyến. - Phát phiếu cho 6 giáo viên trường THPT Nguyễn Khuyến, thu lại được 3 phiếu. Một số ý kiến của thầy ( cô ) được phỏng vấn trực tiếp : ¾ Ý kiến của thầy Nguyễn Thanh Tú – Tổ trưởng tổ toán - tin trường THPT Nguyễn Khuyến (phỏng vấn lúc 13 giờ 40 phút ngày 25/03/2008 tại phòng giáo viên trường THPT Nguyễn Khuyến): Mặc dù chúng ta có nhiều phương pháp để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nhưng thầy không thể dạy hết cho học sinh được. Tùy theo từng đối tượng học sinh mà thầy giới thiệu các phương pháp khác nhau. Đối với học sinh khối 10 thì giới thiệu phương pháp dùng bất đẳng thức Cauchy hay đồ thị của hàm số bậc hai, học sinh khối 11 thì dùng các bất đẳng thức lượng giác cơ bản. Còn đối với học sinh khối 12, thầy chỉ hướng dẫn phương pháp đạo hàm vì nó gần gũi với các em. Thầy cho rằng, nếu có điều kiện thì việc cung cấp cho học sinh nhiều phương pháp giải là rất có ích, nhất là đối với những học sinh giỏi. Thầy cũng cho biết thêm, sự hiểu biết của học sinh về các ứng dụng của toán trong thực tiễn rất hạn chế. Việc giới thiệu cho các em biết ứng dụng của các bài toán cực trị là cần thiết. Điều đó sẽ giúp cho các em thích thú hơn trong việc học toán. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 51 ¾ Ý kiến của cô Châu Thị Phương Thùy – GV trường THPT Nguyễn Khuyến (phỏng vấn lúc 3 giờ 15 phút ngày 27/03/2008 tại thư viện trường THPT Nguyễn Khuyến) : Đây là một dạng toán khó, thường xuất hiện trong các cuộc thi học sinh giỏi ( Tuy trong đề thi tốt nghiệp THPT cũng thường có dạng này nhưng đó chỉ là những bài toán rất đơn giản). Học sinh thường chỉ biết một cách giải, thậm chí có những học sinh còn không làm được. Đa số học sinh thường không thích học toán nhưng khi học phần thống kê ( lớp 10 ), xác suất ( lớp 11 ) các em lại tỏ ra hứng thú hơn. Bởi vì các em thấy được ứng dụng của các phần này trong thực tế. Cho nên, việc chỉ ra cho học sinh biết một vài ứng dụng của toán (nói chung) là cần thiết. Dưới đây là một số ý kiến của các thầy cô được phát phiếu hỏi ý kiến giáo viên: ¾ Thầy Lê Hoàng Thanh Giang – GV trường THPT Nguyễn Khuyến : Bài toán tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất là bài toán khó nên việc cung cấp cho học sinh các phương pháp giải và chỉ ra một số ứng dụng trong thực tế là cấn thiết nhưng phải phù hợp với từng đối tượng học sinh. Giới thiệu nhiều cách làm dạng toán này chỉ thích hợp khi đối tượng là các học sinh khá, giỏi. Còn đối với học sinh trung bình, yếu thì không cần thiết. Nhưng, việc chỉ ra ứng dụng trong thực tiễn thì rất cần thiết đối với mọi học sinh. Nó sẽ giúp cho các em biết vận dụng những điều đã học vào cuộc sống hàng ngày . Từ đó, các em sẽ hứng thú học toán hơn. ¾ Thầy Trương Quang Thiện – GV trường THPT Nguyễn Khuyến : Ý kiến như thầy Thanh Giang. Việc dạy nhiều phương pháp giải toán cực trị cho học sinh là rất cần thiết đối với những học sinh khá, giỏi, chuyên cần, tích cực và say mê học toán. Việc đó giúp cho năng lực tư duy của các em phát triển tốt. ¾ Thầy Nguyễn Hoàng Giang – GV trường THPT Nguyễn Khuyến : Thầy cho rằng, đây là một dạng toán phức tạp và rất rộng, đòi hỏi học sinh phải hiểu sâu, rộng mới giải được. Các bài toán trong chương trình sách giáo khoa chỉ là những bài toán rất đơn giản nên không cần giới thiệu nhiều phương pháp. Việc đó chỉ làm cho học sinh thêm khó hiểu. Trong thực tế, mọi người đều gặp nhiều vấn đề cần thiết phải có phương án tối ưu. Do đó, giới thiệu với các em ứng dụng của bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong thực tiễn cuộc sống là rất cần thiết.Từ đó, các em sẽ có cái nhìn khác về môn toán. Các em sẽ được “ học đi đôi với hành”, biết áp dụng những điều đã học vào thực tế. Tổng hợp các ý kiến của giáo viên : Tổng số giáo viên tham gia góp ý cho đề tài này là 5, trong đó có thầy cho rằng việc cung cấp cho học sinh các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và một số ứng dụng của nó trong thực tiễn là cần thiết, cũng có thầy cho rằng việc Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 52 làm này là rất cần thiết. Và hầu hết các giáo viên đều cho rằng việc dạy cho học sinh nhiều cách giải dạng toán này là cần thiết cho học sinh khá, giỏi nhưng không thích hợp cho học sinh trung bình, yếu, kém. Còn việc giới thiệu cho học sinh thấy một số ứng dụng của toán học trong cuộc sống là rất cần thiết đối với tất cả học sinh. Thực tế ở phổ thông, các thầy cô chỉ dạy cho các em phương pháp gần gũi với chương trình học của các em nhất. Ví dụ như học sinh lớp 12 thì chủ yếu dùng phương pháp đạo hàm để giải bài toán loại này, còn học sinh lớp 11 thì dùng các bất đẳng thức lượng giác cơ bản, học sinh lớp 10 thì dùng định lý về dấu của tam thức bậc hai hay bất đẳng thức Cauchy, … Và các thầy cô cũng ít khi, thậm chí là không có giới thiệu cho học sinh một số bài toán thực tế được. Bởi vì một số nguyên nhân chính sau : - Không có điều kiện về trường lớp, thời gian. - Trình độ học sinh thường không đồng đều nên khả năng tư duy không như nhau. - Học sinh phải có tính chuyên cần. Cần chú ý khi vận dụng các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất : mỗi phương pháp đều có ưu, nhược điểm riêng. Phải tùy theo đặc điểm của từng bài mà vận dụng cho phù hợp. Nếu không dùng được phương pháp này thì ta sẽ lựa chọn phương pháp khác. Còn đối với những bài có nhiều cách giải thì lựa chọn cách giải tùy thuộc vào người làm. 2. Đối với học sinh : - Phát phiếu thăm dò cho 217 học sinh trường THPT Nguyễn Khuyến, ở các lớp 10A1, 10A2, 11A1, 11A5, 12A1,12A2,12A7 ( Phiếu thăm dò nêu trong phần phụ lục ) và cho học sinh lớp 12A2 làm kiểm tra 1 tiết. - Tổng cộng số phiếu thu là 197. BẢNG KẾT QUẢ THEO TỪNG LOẠI Trả lời ( đơn vị phần trăm ) Số học sinh Câu hỏi a b c d 1 66.67 11.11 22.22 0 2 22.22 33.33 33.33 11.12 3 55.56 44.44 0 0 4 22.22 55.56 22.22 0 5 11.11 66.67 22.22 0 6 0 77.78 11.11 11.11 9 học sinh giỏi 7 22.22 77.78 0 0 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 53 1 33.67 58.16 8.17 0 2 13.27 58.16 25.51 3.06 3 54.08 38.78 5.10 2.04 4 7.14 83.67 9.19 0 5 26.53 57.14 14.29 2.04 6 18.37 60.20 17.35 4.08 98 học sinh khá 7 20.41 57.14 20.41 2.04 1 50 37.5 12.5 0 2 6.25 25 31.25 37.5 3 37.5 25 31.25 6.25 4 31.25 68.75 0 0 5 25 31.25 43.75 0 6 12.5 37.5 18.75 31.25 74 học sinh trung bình 7 6.25 43.75 37.5 12.5 1 50 37.5 12.5 0 2 6.25 25 31.25 37.5 3 37.5 25 31.25 6.25 4 31.25 68.75 0 0 5 25 31.25 43.75 0 6 12.5 37.5 18.75 31.25 16 học sinh yếu 7 6.25 43.75 37.5 12.5 Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 54 BẢNG KẾT QUẢ TỔNG HỢP Trả lời ( đơn vị phần trăm ) Câu hỏi a b c d 1 39.59 52.79 7.62 0 2 11.68 51.27 25.89 11.16 3 51.78 34.52 11.17 2.53 4 17.77 74.62 7.61 0 5 22.34 54.82 21.32 1.52 6 17.77 51.78 23.35 7.10 7 19.29 55.33 21.83 3.55 Kết quả bài kiểm tra : lớp 12A2 có sĩ số là 43, làm kiểm tra 43 học sinh. Kết quả kiểm tra cho thấy : đa số học sinh chỉ dùng phương pháp đạo hàm để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số (41 học sinh, chiếm 95.35%). Chỉ có 2 học sinh dùng phương pháp miền giá trị của hàm số (chiếm 4.65%) Lược ghi vài ý kiến của học sinh : - Đa số học sinh thích giải toán khi có sẵn phương pháp giải. Khi giải một bài toán các em thích có nhiều phương pháp để lựa chọn. - Đối với phần lớn học sinh, bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là một bài toán khó mà các em không biết nhiều phương pháp giải, thậm chí là không biết làm ra sao nên các em rất thích biết nhiều phương pháp để giải và mong muốn thầy cô cung cấp nhiều phương pháp cho mình. - Rất nhiều học sinh biết rất ít về sự ứng dụng của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong cuộc sống. - Đa số các em đều thích học toán hơn nếu biết được một số ứng dụng của toán học nói chung trong cuộc sống ( 55.33 % ). Và, do trong thực tế, các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất diễn ra nhiều nhất nên các em cũng rất mong muốn thầy cô giới thiệu nhiều bài toán thực tế. NHẬN XÉT : Dựa vào bảng kết quả theo từng loại và bảng kết quả tổng hợp kết hợp các ý kiến của các em (câu 8) ta thấy có trên một nửa số học sinh thích học và giải toán hơn khi biết được nhiều phương pháp giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và một số ứng dụng của nó trong thực tiễn. Đặt biệt, các em học sinh có chủ động hơn trong học tập. Đây là dấu hiệu đáng mừng nhưng còn rất ít học sinh không tự nghĩ phải hệ thống lại kiến thức cũ để học tốt hơn (11.17%). Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 55 Những học sinh khác tuy có suy nghĩ đó và có những em đã từng làm nhưng tính thường xuyên của ý nghĩ ấy chưa tốt lắm. Mặc dù vậy, kết quả khảo sát cho thấy việc cung cấp cho học sinh các phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và giới thiệu một số ứng dụng của nó trong thực tế là cần thiết. Và, việc làm này sẽ giúp cho học sinh biết liên hệ giữa lý thuyết và thực tiễn cuộc sống, tăng cường sự hứng thú, say mê học toán của học sinh, nâng cao chất lượng học tập môn toán. Đối chiếu kết quả phiếu thăm dò học sinh, bài kiểm tra của các em với kết quả các phiếu hỏi ý kiến của giáo viên, ta cũng thấy có sự tương đồng. Phỏng vấn thêm một số học sinh, các em cho biết, ở trường, thầy cô cũng có hệ thống lại các kiến thức cũ, phương pháp giải bài tập. Nhưng chưa cung cấp cho các em các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Ngoài ra, các thầy cô cũng chỉ thỉnh thoảng mới giới thiệu cho các em ứng dụng của toán học trong cuộc sống chứ chưa cho các em thấy một bài toán thực tế tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất như thế nào. Hiện nay, sự hiểu biết của học sinh về ứng dụng của toán học chưa nhiều ( chỉ có 19.29% học sinh có hiểu biết nhiều ). Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 56 PHẦN KẾT LUẬN 1. Việc nghiên cứu lý thuyết cho phép tôi rút ra một số kết luận sau : - Hệ thống các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho học sinh là vấn đề cần thiết. Bởi vì, đây là một bài toán khó và phức tạp. Cần biết nhiều phương pháp để dễ dàng hơn trong việc giải toán dạng này. Đây cũng là dạng toán giúp phát triển tư duy học sinh rất tốt. Ngoài ra, đây cũng là bài toán mà trong thực tế cuộc sống chúng ta gặp rất nhiều. Nội dung sách giáo khoa hiện nay chưa có phần hệ thống lại các phương pháp giải dạng toán này. Tuy trong quá trình giải toán, học sinh đã được hình thành phương pháp giải nhưng chúng không đầy đủ và không có tính hệ thống dẫn đến mau quên. Vì vậy, giáo viên cần hệ thống hóa các phương pháp để học sinh dựa vào đó mà có thể định hướng đi cho bài giải. - Toán học có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Chúng ta bắt gặp nhiều nhất trong cuộc sống hàng ngày là các bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, ít nhất, … Sách giáo khoa cũ và các sách toán tham khảo đề cập rất ít đến ứng dụng của toán học trong thực tiễn. Tuy bộ sách giáo khoa mới (sách trung học cơ sở, trung học phổ thông) có thêm vào một số bài toán và hình ảnh thực tế nhưng vẫn không đủ để học sinh nhận thấy rằng việc học toán là rất có ích. Do đó, giáo viên cần giới thiệu thêm nhiều ứng dụng của toán học cũng như các bài toán cực trị trong thực tiễn. Từ đó sẽ nâng cao được sự hứng thú, say mê học toán ở học sinh. - Luận văn có đề cập đến một số bài toán đơn giản, xem như một ví dụ ban đầu để áp dụng từng phương pháp. - Các phương pháp và bài toán được đề cập trong luận văn có chú ý đến tính phổ thông. Ngoài ra, còn có một số bài tập nâng cao và bài tập tham khảo cho học sinh . - Vì thời gian có hạn nên quá trình hệ thống lại các phương pháp giải bài toán cực trị không tránh khỏi thiếu xót. Kính mong được sự đóng góp của thầy, cô, bạn bè để luận văn được hoàn chỉnh hơn. 2. Từ kết quả khảo sát thực tế, tôi có những nhận định như sau : - Khả năng học sinh phổ thông nắm được các phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là có thể, vì về mặt lý thuyết, các phương pháp này đều là kiến thức phổ thông, vừa sức và có tính hiện đại. Thực tế các em cũng đã dược làm quen một số phương pháp nhưng các em lại quên đi. Ví dụ, ở cấp hai, có sử dụng phương pháp lũy thừa với số mũ chẵn, bất đẳng thức trị tuyệt đối. Lớp 10 thì áp dụng bất đăng thức Cauchy, lớp 12 thì dùng đạo hàm… Chỉ cần giáo viện nhắc lại thì rất có thể học sinh nắm được và triển vọng có nhiều học sinh yêu thích môn toán hơn, chất lượng học tập môn toán tốt hơn. - Ở trường phổ thông, mặc dù các giáo viên biết việc cung cấp cho học sinh nhiều phương pháp giải toán là cần thiết nhưng các thầy cô chỉ dừng lại ở việc hướng dẫn các em một cách giải. Chưa có hoặc rất hiếm thầy cô cung cấp cho học sinh các cách giải bài toán cực trị và giới thiệu cho các em một số bài toán thực tiễn dạng này. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 57 Những nghiên cứu lí luận và khảo sát thực tế đã chứng tỏ rằng, giả thuyết khoa học của luận văn là chấp nhận được, đó là : “Nếu học sinh được trang bị các phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng và thấy được những ứng dụng của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong thực tế thì học sinh sẽ dễ dàng hơn trong việc giải những bài toán cực trị và học sinh sẽ hứng thú học toán hơn ”. Nhiệm vụ nghiên cứu hoàn thành. Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 58 HỆ THỐNG BÀI TẬP THAM KHẢO 1. Cho hàm số ( ) x x 1y f x 4 m2 m 2+= = − + + . Xác định các giá trị của m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số không thể vượt quá 2. 2. Gọi 1 2x , x là hai nghiệm của phương trình : ( ) ( )2 2f x 2x 2 m 1 m 4m 3 0= + + + + + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( )1 2 1 2A x x 2 x x= − + 3. Cho ba số không âm a, b, c có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 33F a b c= + + . 4. Cho ba số dương a, b, c thỏa điều kiện : a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a + bT = abc . 5. Cho hai số thực a, b thỏa điều kiện 3 3a b 2+ = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2T a b= + . 6. Định a và b để biểu thức 2 2 x ax b x 1 + + + có giá trị lớn nhất bằng 9 và giá trị nhỏ nhất bằng –1. 7. Biết rằng hệ 2 2 2mx y 3m x y 4y + =⎧⎨ + =⎩ có nghiệm ( ) ( )1 1 2 2x , y , x , y . Tìm giá trị lớn nhất của ( ) ( )2 22 1 2 1P x x y y= − + − . 8. Biết rằng a + b + c = 2 và ax + by + cz = 6 ( a, b, c ≠ 0 ). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau 2 2 2 2 2 2 2 2 2P 16a a x 16b b y 16z c z= + + + + + . 9. Cho tứ diện ABCD. Hãy xác định điểm M để biểu thức 2 2 2 2T MA MB MC MD= + + + bé nhất. 10. Cho tứ diện ABCD. Hãy xác định điểm M ∈ (ABC) để biểu thức 2 2 2P MB MC MD= + + bé nhất. 11. Cho 2x + 2y – z – 9 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của ( ) ( ) ( )2 2 2A 1 x 2 y 3 z= − + − + − Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 59 12. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d : x t y t z a t =⎧⎪ =⎨⎪ = −⎩ sao cho MA + MB nhỏ nhất, với A(a, 0, a) và B 4a 2a 4a; ; 3 3 3 ⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠ 13. Cho tam thức ( ) 2f x ax bx c= + + . Biết ( ) ( ) ( )f 1 1; f 0 1; f 1 1− ≤ ≤ ≤ . Tìm giá trị lớn nhất của ( )f x trên đoạn [– 1; 1]. 14. Biết rằng phương trình 4 3 2x ax bx ax 1 0+ + + + = có ít nhất một nghiệm thực, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2F a b= + . 15. Cho 4 số a, b, c, d thỏa mãn hệ 2 2a b 1 c d 3 ⎧ + =⎨ + =⎩ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = ac + bd + cd. 16. Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa đường cong (C) : 2y x 9= + và đường thẳng d : 4x – 5y – 32 = 0. 17. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) ( )3 3 3 3y x 2 1 x 1 x 2 1 x 1= + + + + + − + . 18. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : ( )f x 3cos 2x 6 sin x= + 19. Cho x, y, z ( )0;∈ π và thỏa điều kiện x + y + z = π . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = cos x + k (cos y + cos z) với k là một số thực cho trước. 20. Cho x, y, z > 0 và thỏa điều kiện x + y + z = π . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = (1 – cos x)(1 – cos y)(1 – cos z). 21. Cho bốn số thực a, b, c, d thỏa mãn các điều kiện ( ) ( ) 2 2 2 2 a b 12 a b c d 12 c d 3 ⎧ + = +⎪⎨ + = + −⎪⎩ . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của ( ) ( )2 2T a c b d= − + − . 22. Định a để phương trình x x x5.16 2.81 a. 36+ = vô nghiệm. 23. Định m để bất phương trình ( ) ( )2m 1 x 2m 3 x m 3 0− + − + − > có ít nhất một nghiệm nhỏ hơn 1. 24. Định a để hệ bất phương trình sau vô nghiệm : cos 2x cos x m 0 0 x + + ≤⎧⎨ ≤ ≤π⎩ . Luận văn tốt nghiệp GVHD: Th. S Vương Vĩnh Phát SV Bùi Lê Phạm Mỹ Phương 60 25. Cho hế bất phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 x x x 1 lg 2 lg 2 1 lg 7.2 12 log x 2 2 +⎧ − + + ⎪⎩ . Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình ( )2x xm.2 2m 1 .2 m 4 0− −− + + + = có hai nghiệm phân biệt 1x và 2x ( 1x < 2x ) sao cho 1x nằm ngoài và 2x nằm trong khoảng nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. 26. Định m để hàm số ( )22x 1 m x 1 my x m + − + += − đồng biến trong khoảng ( )1; +∞ . 27. Tìm giá trị lớn nhất của tham số m sao cho hệ phương trình sau : ( ) ( ) 2 2 m 3 9x 4y 5 log 3x 2y log 3x 2y 1 ⎧ − =⎪⎨ + − − =⎪⎩ có nghiệm (x, y) thỏa mãn 3x 2y 5+ ≤ .