độ đo radon và định lý biểu diễn riesz
LỜI NÓI ĐẦU
Độ đo và tích phân Lebesgue là một trong những nội dung khá quan trọng của giải tích. Việc xây dựng độ đo xuất phát từ vấn đề: Trên đường thẳng, có những tập được gán một số không âm gọi là độ dài, chẳng hạn như độ dài đoạn thẳng. Nhưng cũng có những tập mà trực quan ta không biết được độ dài của nó xác định như thế nào, chẳng hạn như tập những số hữu tỉ trong đoạn [0, 1]. Người ta đã xây dựng lý thuyết độ đo để có thể đo được những tập như thế.
Về tích phân Riemann, tích phân này có một số hạn chế. Với tích phân này, nhiều vấn đề của giải tích đã không được giải quyết một cách thỏa đáng, chẳng hạn vấn đề qua giới hạn dưới dấu tích phân.
Tuy nhiên những vấn đề kể trên đã được trình bày rõ trong một số giáo trình nên trong khuôn khổ của bản khoá luận này tôi không trình bày lại. Bạn đọc quan tâm có thể tham khảo “ Hàm Thực & Giải Tích Hàm ” của Hoàng Tụy. Trong bản khóa luận tôi trình bày về một độ đo mới mà với độ đo này thì độ đo của một tập Borel có thể được xấp xỉ bằng độ đo của các tập compact, đó là độ đo Radon. Đối với độ đo Radon ta có một tính chất khá thú vị, thể hiện ở định lý Lusin, ý nghĩa của định lý này là ta có thể xấp xỉ một hàm đo được bằng một hàm liên tục, điều này rất quan trọng trong việc tính tích phân của một hàm đo được. Tôi cũng trình bày về mối quan hệ giữa một độ đo Radon trên một không gian mêtric có một dãy vét cạn compact với một phiếm hàm tuyến tính dương trên không gian các hàm số thực liên tục có giá compact. Một độ đo Radon sinh ra một phiếm hàm tuyến tính dương trên không gian các hàm số thực liên tục có giá compact, nhưng điều ngược lại có đúng không ? Điều này sẽ được khẳng định trong định lý biểu diễn Riesz.
Nội dung bản khoá luận gồm có 3 chương:
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về độ đo và tích phân Lebesgue gồm một số định nghĩa và định lý làm cơ sở cho các chương sau. Do đây không phải là nội dung chính nên một số kết quả không được chứng minh.
Chương 2: ĐỘ ĐO RADON VÀ ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ
Đây là nội dung chính của bản luân văn. Chương này nói về định nghĩa độ đo Radon, một số tính chất của nó và trình bày chứng minh chi tiết định lý biểu diễn Riesz.
Chương 3: MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ
Đây là chương cuối, trình bày một áp dụng của định lý biểu diễn Riesz. Do nhiều nguyên nhân, một trong những nguyên nhân đó là lần đầu tiên tôi làm một bài nghiên cứu khoa học và cũng hạn chế về thời gian, trình độ nên những thiếu sót chắc chắn không thể tránh khỏi. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ quý thầy cô và các bạn.
48 trang |
Chia sẻ: maiphuongtl | Lượt xem: 2075 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Khóa luận Độ đo radon và định lý biểu diễn riesz, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
u hạn
Định nghĩa. Độ đo µ được gọi là độ đo σ −hữu hạn nếu X có thể biễu diễn
dưới dạng:
1
n
n
X A
∞
=
=U với nA ∈ C, ( )µ < +∞nA
1.5.4. Các tính chất cơ bản của độ đo dương
Giả sử µ là độ đo dương trên đại số C . Khi đó:
1) A, B ∈ C, B ⊆ A⇒ µ (B) ≤ µ (A)
2) A, B ∈ C, B ⊆ A , µ (B) < +∞ ⇒ µ (A\B)= µ (A) - µ (B).
3) Ai∈ C ( i=1, 2,…, n), A∈ C, A ⊆
1
i
i
A
=
∞
U ⇒ ( )Aµ ≤
1
( )µ
=
∞∑ i
i
A
4) A i∈ C (i=1, 2,…, n), Ai ∩A j= ∅ ∀ i≠ j, A∈C,
1=
∞
U i
i
A ⊆A
⇒
1
( )µ
=
∞∑ i
i
A ( )µ≤ A
Chứng minh
1) Vì B A⊆ nên ( \ )A A B B= ∪ do đó ( ) ( ) ( ) ( )\A A B B Bµ µ µ µ= + ≥ .
2) Nếu ( )Bµ < ∞ thì từ ( ) ( ) ( )\A A B Bµ µ µ= + có thể suy ra:
( ) ( ) ( )\A B A Bµ µ µ− = .
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 9
3) Trước hết để ý rằng, bất cứ các tập iB như thế nào ta cũng có thể chọn
các /iB để có
/
1 1
∞ ∞
= =
=U Ui i
i i
B B , đồng thời các /iB rời nhau từng đôi một, và nếu
iB ∈ C thì /iB ∈ C. Thật vậy chỉ cần đặt
( )/ / /1 1 2 2 1 3 3 1 2, \ , \B B B B B B B B B= = = ∪ ,
…,
1
/
1
\
n
n n i
i
B B B
−
=
= U ,…
ta thấy các /iB có những tính chất đã nêu. Bây giờ ta chứng minh tính chất 3
Vì
1
∞
=
⊆U i
i
A A nên
1
∞
=
⎛ ⎞= ∩⎜ ⎟⎝ ⎠U iiA A A ( )1 1i ii iA A B
∞ ∞
= =
= ∩ =U U , với = ∩ ∈i iB A A C
(do Ai, A ∈ C ).
Theo nhận xét trên A = /
1 1
∞ ∞
= =
=U Ui i
i i
B B , trong đó /iB ∈ C , /i i iB B A⊆ ⊆ nên
theo tính chất 1: ( ) ( )/µ µ≤i iB A và các /iB rời nhau nên theo tính chất σ -
cộng tính ( ) ( ) ( )/
1 1
µ µ µ∞ ∞
= =
= ≤∑ ∑i i
i i
A B A .
4) Từ
1
i
i
A A
∞
=
⊆U ta suy ra với mọi n:
1
n
i
i
A A
=
⊆U , do đó theo tính chất 1, vì
1=
∈U
n
i
i
A C (do C là đại số) nên ( )
1
µ µ
=
⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠U
n
i
i
A A . Mặt khác các iA rời nhau
nên: ( )
11
µ µ
==
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑U
n n
i i
ii
A A .
Vậy ( ) ( )
1
µ µ
=
≤∑n i
i
A A và cho →+∞n ta được bất đẳng thức cần chứng
minh.
1.6. Không gian độ đo
Định nghĩa. Cho X là một không gian mêtric, F là σ − đại số các tập con của
X, µ là một độ đo trên F thì bộ ba (X, F, µ ) được gọi là không gian độ đo.
1.7. Độ đo ngoài
1.7.1. Định nghĩa
Cho X là một tập hợp khác rỗng.
Hàm tập * :µ P(X) +→ được gọi là một độ đo ngoài nếu:
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 10
a) *µ là σ - cộng tính dưới: ( )
11
* *µ µ∞ ∞
==
⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑U i iii A A , { }∀ ⊆iA P(X)
b) ( )* 0µ ∅ =
c) ( )* 0, A A Xµ ≥ ∀ ⊆
1.7.2. Định lý Caratheodory
Cho *µ là một độ đo ngoài trên X và L là lớp tất cả các tập con A của X
sao cho ( ) ( ) ( )* * * \µ µ µ= ∩ +E E A E A , với mọi ⊆E X . Khi ấy L là một
σ - đại số và hàm *µ µ= / L (thu hẹp của *µ trên L) là một độ đo trên L.
Độ đo µ gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài *µ .
Các tập ⊆A X thoả điều kiện ( ) ( ) ( )* * * \µ µ µ= ∩ +E E A E A , với mọi
⊆E X gọi là *µ - đo được.
Chứng minh
¾ Trước hết ta chứng minh L là một σ - đại số.
Chứng minh X ∈ L
∀ ⊆E X : ( ) ( )* * \µ µ∩ +E X E X = ( ) ( )* *µ µ+ ∅E = ( )*µ E
Suy ra X ∈ L
A∈ L chứng minh \ ∈X A L
Vì A∈ L nên với mọi ⊆E X : ( ) ( ) ( )* * * \µ µ µ= ∩ +E E A E A
Ta có: ( )\ \∩ =E A E X A
( )\ \= ∩E A E X A , với mọi ⊆E X
Suy ra: ( ) ( )( ) ( )( )* * \ \ * \µ µ µ= + ∩E E X A E X A
Vậy \ ∈X A L.
∀ ∈iA L , i=1, 2, …cần chứng minh
1
∞
=
∈U i
i
A L .
1 ∈A L nên ∀ ⊆E X : ( ) ( ) ( )1 1* * * \µ µ µ= ∩ +E E A E A
2 ∈A L nên 1 1\∀ = ⊆E E A X :
( ) ( )( ) ( )( )1 1 2 1 2* \ * \ * \ \µ µ µ= ∩ +E A E A A E A A
Suy ra ( )*µ E = ( )1*µ ∩E A + ( )( ) ( )( )1 2 1 2* \ * \ \µ µ∩ +E A A E A A
3 ∈A L nên ( )2 1 2\∀ = ∪ ⊆E E A A X :
( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 1 2 3 1 2 3* \ * \ * \ \µ µ µ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∪ = ∪ ∩ + ∪⎣ ⎦ ⎣ ⎦E A A E A A A E A A A
Suy ra ( )*µ E = ( )1*µ ∩E A + ( )( )1 2* \µ ∩E A A
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 11
+ ( )( )1 2 3* \µ ⎡ ⎤∪ ∩⎣ ⎦E A A A + 3
1
* \µ
=
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠U iiE A
……………………………………
( )*µ E = 1
1 1
* \µ
−
= =
⎛ ⎞⎛ ⎞∩⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ U
jk
i j
j i
E A A +
1
* \µ
=
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠U
k
j
j
E A
Do đó ( )*µ E ≥ 1
1 1
* \µ
−
= =
⎛ ⎞⎛ ⎞∩⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ U
jk
i j
j i
E A A +
1
* \µ ∞
=
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠U jjE A
Vì điều này đúng với mọi k nên
( )*µ E ≥ 1
1 1
* \µ
−∞
= =
⎛ ⎞⎛ ⎞∩⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ U
j
i j
j i
E A A +
1
* \µ ∞
=
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠U jjE A (1)
Mặt khác:
1
1 1
\
−∞
= =
⎛ ⎞⎛ ⎞∩⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠U U
j
i j
j i
E A A =
1
∞
=
⎛ ⎞∩⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠U jjE A
và
1 1
\
∞ ∞
= =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⊆ ∩ ∪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠U Uj jj jE E A E A
Suy ra ( )
1 1
* * * \µ µ µ∞ ∞
= =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ ∩ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠U Uj jj jE E A E A
≤
1
1 1
* \µ
−∞
= =
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞∩⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦U U
j
i j
j i
E A A +
1
* \µ ∞
=
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠U jjE A
≤
1
1 1
* \µ
−∞
= =
⎛ ⎞⎛ ⎞∩⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ U
j
i j
j i
E A A +
1
* \µ ∞
=
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠U jjE A
( )*µ≤ E (từ (1))
Vậy ( )
1 1
* * * \µ µ µ∞ ∞
= =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ∩ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠U Uj jj jE E A E A
Do đó
1
∞
=
∈U i
i
A L .
¾ Chứng minh *µ µ= / L là một độ đo
A∀ ∈ L ta có ( ) ( )* 0A Aµ µ= ≥
Ta có ∅∈ L nên ( ) ( )* 0µ µ∅ = ∅ =
Cho ∈iA L , i=1, 2, … rời nhau từng đôi một.
Ta chứng minh: ( )
11
*µ µ∞ ∞
==
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑U i iii A A
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 12
Đặt
1
∞
=
= ∈U i
i
E A L. Khi đó:
( ) ( ) ( ) ( )
1 11
* * *µ µ µ µ µ∞ ∞ ∞
= ==
⎛ ⎞= = ≤ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑ ∑U i i ii iiE E A A A
Từ bất đẳng thức (1) ta có ( ) ( )
1
µ µ∞
=
≥∑ j
j
E A
Suy ra ( ) ( )
1
µ µ∞
=
= ∑ j
j
E A
Vậy µ là σ - cộng tính do đó µ là một độ đo.
2. TÍCH PHÂN LEBESGUE
2.1. Hàm số đo được
2.1.1. Hàm đo được
Định nghĩa. Cho (X, F, µ ) là một không gian độ đo, Y là một không gian
tách Hausdorff. Ta nói rằng hàm :f X Y→ là đo được ( theo độ đo µ ) nếu
nó thoả mãn các điều kiện sau:
a) ( )1f G− ∈ F với mọi tập mở G Y⊆ .
b) f có ảnh hầu khả ly, tức là tồn tại một tập đếm được H Y⊆ và một
tập N X⊆ có độ đo 0, sao cho ( )\f X N H⊆ .
2.1.2. Hàm số đo được với giá trị trong không gian các số thực mở rộng
Định nghĩa. Cho (X, F, µ ) là một không gian độ đo. Một hàm số f : X →
gọi là đo được trên X đối với σ - đại số F nếu:
( ) ( ){ } :a x X f x a∀ ∈ ∈ < ∈ F .
Từ đây về sau khi nói hàm số đo được và không nói gì thêm thì ta hiểu
hàm số đó nhận giá trị trong .
2.1.3. Hàm bậc thang
Định nghĩa. Cho (X, F, µ ) là một không gian độ đo. Một hàm số f : X →
được gọi là hàm bậc thang trên X nếu nó chỉ nhận một số hữu hạn giá trị
1 2, , ..., nα α α .
f là hàm bậc thang đo được trên X nó sẽ được biểu diễn như sau:
f(x) = ( )
1
i
n
i A
i
xα χ
=
∑
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 13
với iα ∈ , iA ∈ F, i=1,……n, i jA A∩ =∅ với i j≠ và
1
n
i
i
X A
=
=U
2.1.4. Định lý ( Cấu trúc của hàm số đo được)
Mỗi hàm số f đo được trên X là giới hạn của một dãy hàm bậc thang đo
được fn nhận giá trị trong hội tụ đến f .
Nếu ( ) 0f x ≥ với mọi x X∈ thì có thể chọn các fn để cho ( ) 0;nf x ≥
( ) ( )1 n nf x f x+ ≥ với mọi n và với mọi x X∈
Chứng minh
¾ Giả sử trước hết f(x) 0≥ ta đặt: ( )
( )
( )
khi
1 -1 khi
2 2 2
n
n n n
n f x n
f x i i if x
⎧ ≥⎪= ⎨ − ≤ <⎪⎩
Khi đó:
i) nf là hàm bậc thang, đo được không âm
ii) 1 2 ...f f≤ ≤ và ( ) ( )lim nnf x f x→∞=
Thật vậy, nếu đặt: ( )1:
2 2i n n
i iX x X f x−⎧ ⎫= ∈ ≤ <⎨ ⎬⎩ ⎭ , 1, 2, ..., 2
ni n=
( ){ }2 1 :nnX x X f x n+ = ∈ >
thì iX ( 1, 2, ..., 2 1)
ni n= + là các tập đo được và:
( ) ( ) ( )
2 1
2
1
1
2
n
i nn
n
n X Xn
i
if x x n xχ χ
+=
−= +∑ nghĩa là fn thoả mãn i).
Để chứng tỏ { fn } đơn điệu tăng , ta chú ý:
1 1 1 1
1 2 2 2 1 2 1 2, , ,
2 2 2 2 2 2n n n n n n
i i i i i i
+ + + +
− − − −⎡ ⎞ ⎡ ⎞ ⎡ ⎞= ∪⎟ ⎟ ⎟⎢ ⎢ ⎢⎣ ⎠ ⎣ ⎠ ⎣ ⎠ (*)
Lấy tuỳ ý x X∈ nếu ( )f x n≥ thì ( ) ( )1 1n nf x n n f x+ = + ≥ = còn nếu
( )f x n< thì ắt phải tồn tại 2ni n≤ sao cho: ( )1
2 2n n
i if x− ≤ <
Từ đẳng thức (*) suy ra: ( ) ( )1 12 22n nn
if x f x+ +
−= =
hoặc ( ) ( )1 12 12n nn
if x f x+ +
−= ≥
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 14
Vậy trong mọi trường hợp ta đều có: ( ) ( )1n nf x f x+≤
Ta hãy chứng minh rằng ( ) ( )lim nnf x f x→∞=
Nếu ( )f x < +∞ thì với n đủ lớn f(x) < n, cho nên tồn tại i để:
( )1
2 2n n
i if x− ≤ < , do đó ( ) 1
2n n
if x −=
chứng tỏ rằng: ( ) ( ) ( )1 0
2n n
f x f x n− ≤ → →∞
Nếu ( )f x = +∞ thì ( ) , f x n n≥ ∀ , cho nên ( )nf x n= →∞ .
Vậy trong mọi trường hợp: ( ) ( )nf x f x→ .
¾ Bây giờ giả sử f (x) bất kỳ, ta đặt:
( ) ( ){ }max ; 0f x f x+ = , ( ) ( ){ }max ; 0f x f x− = −
Ta có ( ) ( ) ( )f x f x f x+ −= − , các hàm số , f f+ − đo được không âm, cho
nên theo trên có hai dãy hàm bậc thang đo được nf
+ và nf
− hội tụ tới f + và
f − . Đặt ( ) ( ) ( )n n nf x f x f x+ −= − thì { }nf là dãy hàm bậc thang đo được, và
( ) ( )lim nnf x f x→∞=
2.1.5. Hội tụ hầu khắp nơi
Định nghĩa. Dãy hàm {fn} đo được trên X gọi là hội tụ hầu khắp nơi tới hàm
f nếu tồn tại tập con A X⊆ và ( ) 0Aµ = sao cho: ( ) ( )lim nn f x f x→∞ = với mọi
\x X A∈
2.1.6. Hội tụ theo độ đo
Định nghĩa. Cho f, fn , (n = 1, 2, …) là các hàm đo được trên A ∈ F. Ta nói
rằng dãy hàm { }nf hội tụ theo độ đo µ đến f và ký hiệu nf fµ⎯⎯→ nếu với
mọi số 0ε > ta có: ( ) ( ){ }lim : 0nn x A f x f xµ ε→∞ ∈ − ≥ =
2.1.7. Định lý Egorov
Cho một dãy hàm số nf đo được , hữu hạn hầu khắp nơi và hội tụ hầu
khắp nơi trên một tập đo được A có độ đo ( )Aµ tồn tại
một tập đo được B A⊆ sao cho ( )\A Bµ ε< và dãy nf hội tụ đều trên tập B.
Nói vắn tắt, mọi sự hội tụ trên một tập có độ đo hữu hạn có thể biến thành
hội tụ đều sau khi bỏ đi một tập có độ đo nhỏ tuỳ ý.
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 15
Chứng minh
Không giảm tính tổng quát ta có thể giả thiết các ( )nf x hữu hạn khắp nơi
và hội tụ khắp nơi trên A.
Cho ( )f x là giới hạn của dãy ( )nf x . Đặt
( ) ( ) 1:kn i
i n
A x A f x f x
k
∞
=
⎧ ⎫= ∈ − <⎨ ⎬⎩ ⎭U
ta thấy rằng nếu x A∈ thì với mỗi k phải tồn tại một n nào đó để knx A∈ . Vậy
với mọi k
kn
i n
A A
∞
=
=U
Nhưng rõ ràng 1 2 ...
k kA A⊆ ⊆ , cho nên ( ) ( )lim knnA Aµ µ→∞= và với 0ε >
cho trước có thể tìm kn để ( )\ 2kkn kA A εµ < .Khi ấy đặt: 1 kknkB A
∞
=
=I ta có
( )
1
\ \
k
k
n
k
A B A A
∞
=
=U , nên ( ) ( )
1 1
\ \
2k
k
n k
k k
A B A A εµ µ ε∞ ∞
= =
≤ < =∑ ∑
Dễ thấy rằng dãy ( )nf x hội tụ đều trên tập B, vì với mọi k cho trước:
( ) ( ) 1
k
k
n ix B x A f x f x k
∈ ⇒ ∈ ⇒ − < với mọi ki n≥ .
2.2. Tích phân Lebesgue
2.2.1. Tích phân của hàm bậc thang đo được không âm
Định nghĩa. Giả sử (X, F, µ ) là một không gian độ đo và :f X → là hàm
bậc thang đo được không âm. Viết f dưới dạng:
f(x) = ( )
1
i
n
i A
i
xα χ
=
∑
với iα ∈ , iA ∈ F, i=1,……n, i jA A∩ =∅ với i j≠ và
1
n
i
i
X A
=
=U
Ta gọi tổng ( )
1
n
i i
i
a Aµ
=
∑ (*) là tích phân của f (theo độ đo) trên X và ký
hiệu là
X
fdµ∫ hay đơn giản là
X
f∫ khi µ đã cố định.
Khi tổng (*) hữu hạn ta nói f khả tích trên X.
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 16
Nhận xét:
Giả sử f có biểu diễn khác:
f(x) = ( )
1
j
m
j B
j
xβ χ
=
∑
với jβ ∈ , jB ∈ F, j =1,……m, i jB B∩ =∅ với i j≠ và
1
n
j
j
X B
=
=U .
Khi đó: ( )
1 1
m m
i i i j i j
j j
A A A A B A B
= =
⎛ ⎞= ∩ = ∩ = ∩⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠U U trong đó các tập i jA B∩
rời nhau nên:
( ) ( )
1 1 1
n n m
i i i i j
i i j
A A Bα µ α µ
= = =
⎡ ⎤= ∩⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ ∑ ( )1 1
n m
i i j
i j
A Bα µ
= =
= ∩∑∑
và cũng như thế:
( )
1
m
j j
j
Bβ µ
=
∑ ( )
1 1
m n
j i j
j i
A Bβ µ
= =
= ∩∑∑ .
Mặt khác:
i jα β= nếu i jA B∩ ≠ ∅
Thật vậy trong trường hợp này với 0 i jx A B∈ ∩ ta có ( )0i jf xα β= = .
Do đó: ( )
1
n
i i
i
Aα µ
=
∑ = ( )
1
m
j j
j
Bβ µ
=
∑ .
Vậy tích phân của một hàm bậc thang đo được không âm bao giờ cũng
được xác định một cách duy nhất.
2.2.2. Tích phân của hàm đo được không âm
Định nghĩa. Giả sử :f X +→ là hàm đo được không âm. Ta gọi tích phân
của f trên X mà ký hiệu bởi
X
fdµ∫ là lim nn
X
f dµ→∞ ∫
Ở đây { }nf là một dãy tăng các hàm bậc thang đo được không âm hội tụ
tới f.
Khi
X
fdµ∫ hữu hạn ta nói f khả tích trên X.
Nhận xét
1) ( )
X X X
f g d fd gdµ µ µ+ = +∫ ∫ ∫
với f và g là các hàm đo được không âm trên X.
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 17
2)
X X
fd fdα µ α µ=∫ ∫
với mọi 0α > và mọi f đo được không âm trên X
2.2.3. Tích phân của hàm đo được tuỳ ý
Định nghĩa. Giả sử :f X → là hàm đo được tuỳ ý.
Viết f f f+ −= − với { } { }max ,0 , max ,0 .f f f f+ −= = −
đó là các hàm đo được không âm.
Nếu cả hai tích phân
X
f dµ+∫ và
X
f dµ−∫ không đồng thời bằng +∞ , ta có
thể đặt:
X X X
fd f d f dµ µ µ+ −= −∫ ∫ ∫ và gọi là tích phân của f trên X.
Khi cả hai
X
f dµ+∫ và
X
f dµ−∫ đều hữu hạn, f sẽ gọi là khả tích trên X.
2.2.4. Định lý
Nếu f là hàm đo được trên X và A, B là các tập rời nhau, , A B∈ F thì:
A B A B
fd fd fdµ µ µ
∪
= +∫ ∫ ∫
miễn là vế trái hoặc vế phải có nghĩa.
Chứng minh
¾ f là hàm bậc thang đo được không âm trên A B∪
( )
1
,
i
n
i E i
i
f x Eα χ
=
=∑ rời nhau,
1
n
i
i
E A B
=
= ∪U
Ta có: ( ) ( )i i iE A E B E= ∩ ∪ ∩ và A, B rời nhau nên ( )iA E∩ và ( )iB E∩
cũng rời nhau.
( )
1
n
i i
iA B
f Eα µ
=∪
=∑∫ ( ) ( )
1
n
i i i
i
A E B Eα µ
=
⎡ ⎤= ∩ ∪ ∩⎣ ⎦∑
( ) ( )
1 1
n n
i i i i
i i
A E B Eα µ α µ
= =
= ∩ + ∩∑ ∑
A B
f f= +∫ ∫
¾ f là hàm đo được không âm
Khi đó tồn tại một dãy hàm bậc thang đo được không âm { }, n nf f f
Ta có n n n
A B A B
f f f
∪
= +∫ ∫ ∫
Cho n →∞ ta có:
A B A B
f f f
∪
= +∫ ∫ ∫
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 18
¾ f đo được có dấu bất kỳ
Giả sử
A B
f
∪
∫ có nghĩa:
A B A B A B
f f f+ −
∪ ∪ ∪
= −∫ ∫ ∫
Giả sử
A B
f +
∪
< ∞∫
A B A B
f f f+ + +
∪
⇒ = + < ∞∫ ∫ ∫ A
B
f
f
+
+
⎧ < ∞⎪⎪⇒ ⎨ < ∞⎪⎪⎩
∫
∫
A B A B
f f f− − −
∪
= +∫ ∫ ∫
A B A B A B A B A B
f f f f f f f+ − + + − −
∪ ∪ ∪
⎛ ⎞= − = + − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
A A B B
f f f f+ − + −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ A Bf f= +∫ ∫
Hệ quả
Cho A ∈ F , nếu ( ) 0Aµ = và f đo được trên A thì 0
A
f =∫ .
2.2..5. Định lý
Giả sử ( )Xµ < ∞ , khi đó nếu f đo được và bị chặn trên X thì f khả
tích trên X.
2.2.6. Định lý ( Tính chất tuyến tính của tích phân)
a) Nếu f và g là các hàm đo được trên X thì :
( )
X X X
f g d fd gdµ µ µ+ = +∫ ∫ ∫ miễn là vế phải có nghĩa.
b) Nếu α ∈ và f đo được trên X thì:
X X
fd fdα µ α µ=∫ ∫
Chứng minh
Ta cần bổ đề sau:
2.2.7. Bổ đề
Nếu u v w= − , ở đây u, v và w là các hàm đo được trên X, và nếu v u+≥
thì
X X X
ud vd wdµ µ µ= −∫ ∫ ∫ miễn là vế phải có nghĩa.
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 19
Chứng minh
Do v u+≥ , từ đẳng thức v w u u+ −− = − suy ra 0h v u w u+ −= − = − ≥ hay
0v h u+= + ≥ và 0w h u−= + ≥
Ta có:
X X X
vd hd u dµ µ µ+= +∫ ∫ ∫
X X X
wd hd u dµ µ µ−= +∫ ∫ ∫
bởi vì
X
vdµ∫ và
X
wdµ∫ không đồng thời nhận hai giá trị +∞ nên
X
hdµ < +∞∫
. Suy ra:
X X X X X
vd wd u d u d udµ µ µ µ µ+ −− = − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Chứng minh định lý 2.2.6
a) Vì
X X
fd gdµ µ+∫ ∫ có nghĩa nên có thể viết:
X X X X X X
fd gd f d f d g d g dµ µ µ µ µ µ+ − + −+ = − + −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
X X
f g d f g dµ µ+ + − −= + − +∫ ∫
Bởi vì 0, 0f g f g+ + − −+ ≥ + ≥
( ) ( )f g f g f g+ + − −+ = + − + và ( )f g f g ++ ++ ≥ +
Áp dụng bổ đề trên với u f g= + và v f g+ += + và w f g− −= + ta được:
( ) ( ) ( )
X X X
f g d f g d f g dµ µ µ+ + − −+ = + − +∫ ∫ ∫
X X
fd gdµ µ= +∫ ∫
b) Do định nghĩa của tích phân hàm đo được tuỳ ý và nhận xét 2) dễ thấy
rằng khẳng định b) đúng với mọi 0α ≥ .
Như vậy chỉ cần kiểm tra lại ( )
X X
f d fdµ µ− = −∫ ∫ với mọi hàm đo được f
trên X. Tuy nhiên đẳng thức trên là rõ ràng vì ( ) ( ), f f f f−+ − += − = và do
đó:
( )
X X X X
f d f d f d fdµ µ µ µ− +− = − = −∫ ∫ ∫ ∫
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 20
Hệ quả
Nếu , f g khả tích thì f gα β+ khả tích với , α β ∈ và:
( )
X X X
f g d fd gdα β µ α µ β µ+ = +∫ ∫ ∫
2.2.8. Định lý
Giả sử { fn } là một dãy các hàm đo được không âm và ( ) ( )
1
n
n
f x f x
∞
=
= ∑ .
Khi đó:
1
n
nX X
fd f dµ µ∞
=
= ∑∫ ∫
Chứng minh
Với mọi k ≥ 1 ta có:
1
k
n
n
f f
=
≤∑ do đó:
1 1
k k
n n
n nX X X
f d f d fdµ µ µ
= =
⎛ ⎞= ≤⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫ ∫
cho k →∞ , ta được:
1
n
n X X
f d fdµ µ∞
=
≤∑∫ ∫
Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, với mọi 1n ≥ , xét dãy tăng các
hàm bậc thang đo được không âm{ }, 1n m mf ≥ hội tụ đến nf . Đặt ,
1
m
m n m
n
g f
=
= ∑ .
Khi đó mg là các hàm bậc thang đo được không âm và:
1
1 , 1 , 1 1, 1
1 1
m m
m n m n m m m
n n
g f f f
+
+ + + + +
= =
= = +∑ ∑ ,
1
m
n m m
n
f g
=
≥ =∑
Mặt khác với1 p m≤ ≤ ta có: , ,
1 1 1
p m m
n m n m m n
n n n
f f g f f
= = =
≤ = ≤ ≤∑ ∑ ∑
cho m →∞ ta được:
1
lim
p
n mmn
f g f
→∞=
≤ ≤∑
Do p tuỳ ý nên lim mm g f→∞ = . Vì mg là dãy tăng các hàm bậc thang ta có:
,
1 1
lim lim
m
m n m nm m n nX X X X
fd g d f d f dµ µ µ µ∞
→∞ →∞ = =
= = ≤∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫
2.2.9. Định lý Lebesgue – Levi về hội tụ đơn điệu
Nếu { }nf là dãy tăng các hàm đo được không âm trên X hội tụ tới f thì:
lim nn
X X
f d fdµ µ
→∞
=∫ ∫
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 21
Chứng minh
Có thể xem nf khả tích với mọi 1n ≥ , vì nếu không thì n
X
f dµ = +∞∫ với n
đủ lớn. Thành thử lim nn
X X
f d fdµ µ
→∞
= +∞ =∫ ∫
Đặt ( ) ( ) ( )0 1 10, u x u x f x= = với mọi x X∈ và
( ) ( )( ) ( ) ( )1 1
0 khi
khi
n
n
n n n
f x
u x
f x f x f x+ +
⎧ = +∞⎪= ⎨ − < +∞⎪⎩
Khi đó { }nu là các hàm đo được không âm và
1
lim n nn n
f u
∞
→∞ =
= ∑
Áp dụng định lí 2.2.8, ta có: ( )
1 1
lim n n nn n nX X X
f d u d u dµ µ µ∞ ∞→∞ = =
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫ ∫
1
1
limn n nnn X X X
f d f d f dµ µ µ∞ − →∞=
⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∫ ∫ ∫
2.2.10. Bổ đề Fatou
Nếu { }nf là dãy hàm đo được không âm trên X thì: ( )lim limn n
X X
f d f dµ µ≤∫ ∫
Chứng minh
Với mỗi 1n ≥ đặt: { }1inf , ,...n n ng f f += . Khi đó { }ng là dãy tăng các hàm
đo được không âm và , lim limn n n nng f g f→∞≤ =
Áp dụng định lý Lebesgue – Levi cho dãy { }ng ta có:
( )lim lim lim limn n n nn n
X X X X
f d g d g d f dµ µ µ µ→∞ →∞= = ≤∫ ∫ ∫ ∫
2.2.11. Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn
Giả sử { }nf là dãy các hàm đo được trên X thỏa mãn:
(i) fn bị chặn bởi một hàm không âm khả tích trên X:
( ) ( ) , 1, nf x g x n x X≤ ∀ ≥ ∀ ∈
(ii) Dãy { }nf hội tụ hầu khắp nơi hoặc hội tụ theo độ đo µ tới f .
Khi đó f khả tích và lim nn
X X
f d fdµ µ→∞ =∫ ∫
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 22
Chứng minh
Trước hết do g khả tích nên nó hữu hạn hầu khắp nơi. Do đó có thể xem g
hữu hạn khắp nơi.
a) Trường hợp hknnf f⎯⎯→ trên X. Do {( : nx X fµ ∈ → ( )}) 0f x =
Có thể xem ( ) ( )nf x f x→ với mọi x X∈ .Vậy từ bất đẳng thức
( ) ( ) , 1, nf x g x n x X≤ ∀ ≥ ∀ ∈
suy ra ( ) ( ) , f x g x x X≤ ∀ ∈
Bất đẳng thức này chứng tỏ rằng hàm g khả tích kéo theo hàm f khả tích
và do đó f cũng khả tích.
Ta còn phải chứng minh rằng: lim nn
X X
f d fdµ µ→∞ =∫ ∫
Áp dụng bổ đề Fatou cho dãy { }ng f+ ta được:
( ) ( )lim limn n
X X
g f d g f dµ µ+ ≤ +∫ ∫
hay: lim limn n
X X X X
gd f d gd f dµ µ µ µ+ ≤ +∫ ∫ ∫ ∫
do g khả tích ta có: lim limn n
X X X
fd f d f dµ µ µ= ≤∫ ∫ ∫
Hoàn toàn tương tự, do: 0ng f− ≥ và ( )lim limn ng f g f− = −
Theo bổ đề Fatou ta lại có: ( ) ( )lim limn n
X X
g f d g f dµ µ− ≤ −∫ ∫
hay: lim limn n
X X X X
gd f d gd f dµ µ µ µ− ≤ −∫ ∫ ∫ ∫
vì g khả tích, nên: lim limn n
X X X
f d f d fdµ µ µ≤ =∫ ∫ ∫
Vậy: lim nn
X X
f d fdµ µ→∞ =∫ ∫
b) Trường hợp nf f
µ⎯⎯→ . Bởi vì dãy { }nf có một dãy con { }knf hội tụ
hầu khắp nơi đến f, nên tính khả tích của f suy ra từ a).
Từ định nghĩa giới hạn trên tồn tại dãy { }kn , để limkn n
X X
f d f dµ µ→∫ ∫
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 23
Mặt khác vì nf f
µ⎯⎯→ nên tồn tại dãy { }jkn , sao cho: kj hknnf f⎯⎯→
Theo a): lim
kjnj
X X
f d fdµ µ→∞ =∫ ∫
Và do đó lim n
X X
f d fdµ µ=∫ ∫
Hoàn toàn tương tự lim n
X X
f d fdµ µ=∫ ∫
Vậy: lim nn
X X
f d fdµ µ→∞ =∫ ∫
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 24
Chương 2
ĐỘ ĐO RADON VÀ ĐỊNH LÝ
BIỂU DIỄN RIESZ
1. ĐỘ ĐO RADON
1.1. Định nghĩa
1.1.2. Độ đo xác suất
Định nghĩa . Cho không gian mêtric X, C là đại số các tập con của X. Độ đo µ
được gọi là độ đo xác suất nếu:
µ : C [ ]0,1→ và ( ) ( )0, 1Xµ µ∅ = =
1.1.2. Không gian xác suất
Định nghĩa. Cho X là một không gian mêtric, F là σ − đại số các tập con
của X, µ là một độ đo xác suất trên F. Khi đó bộ ba (X, F, µ ) được gọi là
không gian xác suất.
1.1.3. Độ đo Borel
Định nghĩa. Cho không gian mêtric X . Độ đo µ xác định trên σ− đại số Borel
B(X) được gọi là độ đo Borel.
1.1.4. Độ đo Radon
Định nghĩa.
Cho không gian tôpô tách Hausdorff X
¾ Một độ đo Borel µ trên X được gọi là độ đo Radon nếu:
i) ( )Kµ < +∞ với mọi K compact, K X⊆
ii) ( ) ( ){ }sup : compact, B K K K Bµ µ= ⊆ , ∀B∈ B(X).
¾ Độ đo µ được gọi là chặt nếu:
( ) ( ){ }sup : compact, X K K K Xµ µ= ⊆
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 25
1.1.5. Độ đo Borel chính quy
Định nghĩa. Một độ đo Borel hữu hạn µ được gọi là chính quy nếu:
µ(B) = sup{µ(F): F đóng, F ⊆ B}, ∀B∈ B(X). (1)
Mệnh đề tương đương ta có:
Một độ đo Borel hữu hạn µ là chính quy khi và chỉ khi:
µ(B) = inf{µ(G): G mở, B ⊆ G}, ∀B∈ B(X). (2)
Ta chứng minh định nghĩa (2) là tương đương với định nghĩa (1). ( )⇒ Ta có:
µ(B) = sup{µ(F): F đóng, F ⊆ B}, ∀B∈ B(X).
Do đó ∀B∈ B(X) ε∀ >, 0 , ∃ F đóng, ⊆F B sao cho:
( ) ( )B Fµ µ ε< +
( ) ( ) ( ) ( )X B X Fµ µ µ µ ε⇒ − > − −
( ) ( )C CB Fµ µ ε⇒ > −
Mặt khác ta có:
F đóng , CF B F⊆ ⇒ mở và C CF B⊇
B∈ B(X) CB⇒ ∈ B(X)
Vậy:
µ(B) = inf{µ(G): G mở, B ⊆ G}, ∀B∈ B(X)
( )⇐ Ta có:
µ(B) = inf{µ(G): G mở, B ⊆ G}, ∀B∈ B(X)
Do đó ∀B∈ B(X) ε∀ >, 0 , ∃ G mở, B G⊆ sao cho:
( ) ( )B Gµ µ ε> −
( ) ( ) ( ) ( )X B X Gµ µ µ µ ε⇒ − < − +
( ) ( )C CB Gµ µ ε⇒ < +
Mặt khác ta có:
G mở , CB G G⊆ ⇒ đóng và C CG B⊆
B∈ B(X) CB⇒ ∈ B(X)
Vậy:
µ(B) = sup{µ(F): F đóng, F ⊆ B}, ∀B∈ B(X).
1.2. Một số tính chất của độ đo Radon
1.2.1. Định lý
Độ đo hữu hạn µ là độ đo Radon khi và chỉ khi µ là độ đo chính quy chặt
trên không gian tôpô X tách Hausdorff.
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 26
Chứng minh
( )⇒ µ là độ đo Radon nên theo định nghĩa:
( ) ( ){ }sup : compact, , B K K K B Bµ µ= ⊆ ∀ ∈ B(X)
K compact trong không gian X tách Hausdorff nên K đóng.
Vậy µ là độ đo chính quy.
Từ định nghĩa độ đo Radon, do X ∈ B(X) nên:
( ) ( ){ }sup : compact, X K K K Xµ µ= ⊆
Vậy µ là độ đo chặt.
( )⇐ Theo giả thiết µ là độ đo chính quy nên:
( ) ( ){supA Fµ µ= , F đóng, }, F A A⊆ ∀ ∈ B(X)
Suy ra với A∈ B(X), 0ε∀ > , Fε∃ đóng sao cho F Aε ⊆ và ( )\ 2A Fε
εµ <
Mặt khác µ là độ đo chặt nên tồn tại tập Kε compact sao cho :
( )\
2
X Kε
εµ <
Đặt K K Fε ε= ∩
vì compact, K Fε ε đóng nên K đóng mà K Kε⊆ ⇒K compact
Hơn nữa K F Aε⊆ ⊆ và
( ) ( ) ( ) ( )\ \ \ \A K A F K A F A Kε ε ε εµ µ µ ⎡ ⎤= ∩ = ∪⎣ ⎦
( ) ( )\ \A F A Kε εµ µ≤ +
( ) ( )\ \A F X Kε εµ µ≤ +
2 2
ε ε ε< + =
Hay ( ) ( )A Kµ µ ε− <
( ) ( ){ } sup : compact, ,A K K K A Aµ µ⇒ = ⊆ ∀ ∈ B(X)
⇒ µ là độ đo Radon.
1.2.2. Định lý
Độ đo hữu hạn µ là độ đo chính quy khi và chỉ khi A∀ ∈ B(X),
0, Fεε∀ > ∃ đóng và Gε mở sao cho:
( )
)
) \
i F A G
ii G F
ε ε
ε εµ ε
⊆ ⊆
<
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 27
Chứng minh
Ta có µ là độ đo chính quy khi và chỉ khi:
A∀ ∈ B(X), 0, Fεε∀ > ∃ đóng, ( ) ( ): 2F A F Aε ε
εµ µ⊆ > −
Và
A∀ ∈ B(X), 0, Gεε∀ > ∃ mở, ( ) ( ): 2G A G Aε ε
εµ µ⊇ < +
Suy ra F A Gε ε⊆ ⊆ và
( ) ( ) ( )\G F G Fε ε ε εµ µ µ= −
( ) ( )
2 2
A Aε εµ µ ε⎛ ⎞< + − − =⎜ ⎟⎝ ⎠
1.2.3. Định lý
Giả sử X là không gian tôpô sao cho mỗi tập đóng của nó là tập δG (giao
đếm được các tập mở). Khi đó mỗi độ đo hữu hạn trên X là chính quy.
Chứng minh
Giả sử U là lớp gồm tất cả các tập A∈ B(X) thoả mãn các điều kiện sau:
( ) ( ){sup :A F Fµ µ= đóng, }F A⊆
( ) ( ){inf :A G Gµ µ= mở, }G A⊇
¾ Trước hết ta chứng minh U là σ − đại số:
Vì ∅ và X là hai tập vừa đóng vừa mở nên ∅∈ U , X ∈ U
Với A∈ U thì A∈ B(X) và ∃ F đóng, , 0F A ε⊆ ∀ > thoả mãn
( ) ( )A Fµ µ ε< +
( ) ( ) ( ) ( )X A X Fµ µ µ µ ε⇒ − > − −
( ) ( )C CA Fµ µ ε⇒ > −
Ta có F đóng , CF A F⊆ ⇒ mở và C CF A⊇
Vậy ∈CA U .
Ta phải chứng minh U đóng kín với phép hợp đếm được
Giả sử { }nA ⊆U ,
1
n
n
A A
∞
=
=U . Ta cần chứng minh A∈ U
Thật vậy, do nA ∈ U nên nA ∈ B(X) và 0, nFεε∀ > ∃ đóng, nGε mở sao
cho:
n n
nF A Gε ε⊆ ⊆ và ( )\ 3n n nG Fε ε εµ <
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 28
Đặt
1 1
, n n
n n
F F G Gε ε
∞ ∞
= =
= =U U thì F và G là các tập mở do hợp đếm được các
tập mở là tập mở.
Do µ là độ đo hữu hạn nên tồn tại k ∈ N sao cho:
1
\
2
k
n
n
F Fε
εµ
=
⎛ ⎞ <⎜ ⎟⎝ ⎠U
Đặt
1
k
n
n
F Fε ε
=
=U thì Fε là tập đóng
Ta thấy Fε đóng, G Gε= mở, F A Gε ε⊆ ⊆ và:
( ) ( ) ( )\ \ \G F G F F Fε ε εµ µ µ≤ +
( )
1
\
2
n n
n
G Fε ε
εµ∞
=
≤ +∑
1 3 2nn
ε ε ε∞
=
< + =∑
A⇒ ∈ U
Vậy U là σ − đại số.
¾ Như vậy U là σ − đại số, U ⊆ B(X) nên nếu ta chứng minh mỗi tập
đóng đều thuộc U thì U = B(X)
Do F đóng nên F có dạng
1
n
n
F G
∞
=
= I với nG mở
Ta có thể xem nG F (đặt /
1
n
n k
k
G G
=
= I ) suy ra ( ) ( )nG Fµ µ
⇒
00
: nn N F G∃ ∈ ⊆ và ( )0 \nG Fµ ε<
F⇒ ∈ U
⇒ U = B(X)
Nên mỗi độ đo hữu hạn trên không gian tôpô mà mỗi tập đóng của nó là
tập Gσ là chính quy.
1.2.4. Mệnh đề
Mọi độ đo hữu hạn trên không gian mêtric bất kỳ là chính quy.
Chứng minh
Thật vậy, trong không gian mêtric với mỗi tập A đóng thì
1
n
n
A A
∞
=
=I
với ( ) 1: ,nA x X d x A n
⎧ ⎫= ∈ <⎨ ⎬⎩ ⎭ mở
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 29
Áp dụng định lý 1.2.3 suy ra mọi độ đo hữu hạn trên không gian mêtric bất
kỳ là độ đo chính quy.
1.2.5. Định lý
Giả sử X là không gian mêtric khả ly và đủ. Khi đó, mọi độ đo xác suất
trên X là độ đo Radon.
Chứng minh
Vì X là không gian khả ly nên có thể phủ X bằng một số đếm được các
hình cầu đóng bán kính 1
n
tức là:
( )
1
nj
j
X B
∞
=
=U
Giả sử µ là một độ đo xác suất trên X, khi đó tồn tại nk N∈ sao cho:
1
1
2
nk
nj n
j
B εµ
=
⎛ ⎞ > −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠U
Đặt
1
nk
n nj
j
X B
=
=U và
1
n
n
K Xε
∞
=
=I
Ta thấy rằng Kε là tập đóng và hoàn toàn bị chặn. Do X là không gian đủ
nên Kε là tập compact. Hơn nữa ta có:
( ) ( )
1 1
\ \
2n nn n
X K X Xε
εµ µ ε∞ ∞
= =
≤ < =∑ ∑
Suy ra µ là độ đo chặt.
Theo mệnh đề 1.2.4 µ là một độ đo xác suất trên không gian mêtric nên µ
là độ đo chính quy. Do đó theo định lý 1.2.1 thì µ là độ đo Radon trên X.
1.2.6. Họ có hướng tăng ( giảm )
Định nghĩa. Một họ ( )j j JB ∈ khác rỗng được gọi là họ có hướng tăng (giảm)
nếu với bất kỳ 1 2,j j J∈ tồn tại 3j J∈ sao cho:
( )1 2 3 1 2 3j j j j j jB B B B B B∪ ⊆ ∩ ⊇
1.2.7. Độ đo τ - Trơn
Định nghĩa. Một độ đo Borel µ trên không gian tôpô X được gọi là τ - trơn
nếu với mỗi lưới có hướng tăng ( )Uλ λ∈Λ các tập con mở của X thì
( )limU Uλ λλλµ µ∈Λ
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠U
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 30
1.2.8. Định lý
a) Mọi độ đo Borel trên không gian tôpô X với cơ sở đếm được (đặc biệt là
trên không gian mêtric khả ly) là τ - trơn.
b) Mọi độ đo hữu hạn τ - trơn trên không gian tôpô chính quy là chính
quy.
c) Mọi độ đo Radon trên không gian tôpô tách Hausdorff là τ - trơn.
Chứng minh
a) Do X có cơ sở đếm được nên hợp của một họ tuỳ ý các tập con mở của X
trùng với một họ đếm được các tập con mở của X. Suy ra, với họ nA các tập
mở có hướng tăng trên X thì:
( )
1
limn nnn
A Aµ µ∞
=
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠U
µ⇒ là độ đo τ - trơn.
b) Đặt F0 ={B∈ B(X) ( ) ( ){: sup , , B F F B Fµ µ= ⊆ đóng }}
F {B= ∈ B(X) : , CB B ∈ F0 }
Trước hết ta chứng minh F là σ − đại số.
Vì ∅ và X là hai tập vừa đóng vừa mở nên ∅ , X thuộc F.
Giả sử B∈ F , CB B⇒ ∈ F0 và , CB B ∈ B(X)
Ta có
CB ∈ F0 ( )CCB B⇒ = ∈ F0⇒ CB ∈ F
Giả sử nB ∈ F, n =1, 2,… đặt
1
n
n
B B
∞
=
=U . Ta cần chứng minh B ∈ F
Thật vậy, từ nB ∈ F với ∀n=1, 2, … ta có: , Cn nB B ∈ F0 , ∀n=1, 2, …
nên 0, nFεε∀ > ∃ đóng, nGε mở sao cho:
n n
nF B Gε ε⊆ ⊆ và ( )\ 3n n nG Fε ε εµ <
Đặt
1 1
, n n
n n
F F G Gε ε ε
∞ ∞
= =
= =U U
Vìµ là độ đo hữu hạn nên
1
: \
2
k
n
n
k N F Fε
εµ
=
⎛ ⎞∃ ∈ <⎜ ⎟⎝ ⎠U
Đặt
1
k
n
n
F F Fε ε ε
=
= ⇒U đóng, F Fε ⊆
F B Gε ε⇒ ⊆ ⊆ . Ta lại có:
( ) ( ) ( )\ \ \G F G F F Fε ε ε εµ µ µ≤ +
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 31
1 1
\
2
n n
n n
G Fε ε
εµ ∞ ∞
= =
⎡ ⎤≤ +⎢ ⎥⎣ ⎦U U
( )
1
\
2
n n
n
G Fε ε
εµ ∞
=
⎡ ⎤≤ +⎢ ⎥⎣ ⎦U
( )
1
\
2
n n
n
G Fε ε
εµ∞
=
≤ +∑
1 3 2 2 2nn
ε ε ε ε ε∞
=
< + = + =∑
1
n
n
B B
∞
=
⇒ = ∈U F
Vậy F là σ − đại số.
Mặt khác do X là không gian tôpô chính quy nên với mỗi tập mở U ⊆ X
tồn tại các tập con mở jV U⊆ sao cho:
1
, j j
j
V U V U
∞
=
⊆ =U
Do µ là độ đo τ - trơn nên:
( ) ( ){ }sup :j j
j J
U V V Uµ µ
∈
= ⊆
Khi đó với 0ε > bé tuỳ ý, 0j J∃ ∈ sao cho:
( ) ( )0jU Vµ µ ε< +
( ) ( )0jU Vµ µ ε⇒ < +
U⇒ ∈ F
Vậy F = B(X) hay µ là độ đo chính quy trên X.
c) Giả sử ( )Uλ λ∈Λ là họ các tập con mở có hướng tăng của X.
Đặt U Uλ
λ∈Λ
= U
Vì µ là độ đo Radon trên không gian tôpô Hausdorff nên với mỗi 0ε >
tồn tại một tập compact K Uε ⊆ sao cho ( )\U Kεµ ε<
Mặt khác Kε là tập compact nên tồn tại phủ mở Uλ phủ Kε suy ra tồn tại
ελ sao cho K U εε λ⊆ , do đó
( ) ( ) ( ) ( ) ,U U U U ελ λ εµ µ µ µ λ λ−
( ) ( )U Kεµ µ ε< − <
( ) ( )U Uλµ µ ε⇒ < +
( ) ( ){ }supU U
ε
λλ λ
µ µ
>
⇒ =
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 32
⇒ µ là độ đo τ - trơn.
1.2.9. Định lý Lusin
Giả sử µ là độ đo xác suất Radon trong không gian tôpô hoàn toàn chính
quy X và : f X → là hàm số đo được ( theo Borel ). Khi đó, 0ε∀ > ,
Kε∃ ∈ K sao cho ( )\X Kεµ ε< và |Kf ε liên tục.
Chứng minh
Giả sử { }nf là dãy hàm bậc thang đo được trên X hội tụ tới f . Theo định
lý Egorov, 0ε∀ > , Aε∃ ∈ B(X) sao cho ( )\ 4X Aε
εµ < và nf hội tụ đều tới
f trên Aε . Ta có nf cũng là hàm bậc thang đo được trên Aε nên có thể biểu
diễn nf dưới dạng
1 1
,
nn
nj
kk
n nj A nj
j j
f x A Aεχ
= =
= =∑ U , { }njA ⊆ B(X)
Bây giờ có njK ∈ K sao cho nj njK A⊆ và ( )\ 4nj nj n nA K k
εµ < ( vì µ là độ
đo Radon ). Đặt
1
nk
n nj
j
K K
=
=U , bởi vì X hoàn toàn chính quy, nf bằng hằng số
trên njK và njK đóng, rời nhau nên | nn Kf liên tục. Đặt
1
n
n
K Kε
∞
=
=I , khi đó
Kε ∈ K và:
( ) ( ) ( )\ \ \X K X A A Kε ε ε εµ µ µ= +
( ) ( )
1
\ \ n
n
X A A Kε εµ µ
∞
=
≤ +∑
12 4
n n
n n
k
k
ε ε ε∞
=
< + =∑
Cuối cùng, nK Kε ⊆ nên |Kf ε liên tục ( bởi nó là giới hạn đều của dãy
hàm liên tục |n Kf ε )
2. ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ
Cho một không gian mêtric X. Ta ký hiệu các hàm liên tục φ : X→ có giá
compact là Cc(X).
Khi đó Cc(X) là một không gian vectơ.
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 33
Cho µ là độ đo Radon trên X. Xét hàm số sau:
: ( ) Λ → CC X
φ a ( )φ φ µΛ = ∫
X
d
Khi đó Λ là phiếm hàm tuyến tính.
Thật vậy: do tính chất tuyến tính của tích phân ta có:
( ) ( )1 2 1 2 1 2
X X X
d d dφ φ φ φ µ φ µ φ µΛ + = + = +∫ ∫ ∫ , ( )1 2, CC Xφ φ∀ ∈
( ) ( )
X X
d dαφ αφ µ α φ µ α φΛ = = = Λ∫ ∫ , ( )C, C Xα φ∀ ∈ ∈
Phiếm hàm tuyến tính này là xác định dương theo nghĩa ( ) 0φΛ ≥ với mọi
φ 0≥
Như vậy mỗi độ đo Radon µ trên X sinh ra một phiếm hàm tuyến tính trên
Cc(X). Vậy với Λ là một phiếm hàm tuyến tính xác định dương trên Cc(X),
liệu có tồn tại hay không một độ đo Radon µ trên X thoả mãn: ( )φ φ µΛ = ∫
X
d ?
Định lý sau đây sẽ trả lời cho điều này:
2.1. Định lý biểu diễn Riesz
Giả sử X là một không gian mêtric có một vét cạn compact. Nếu Λ là một
phiếm hàm tuyến tính dương trên Cc(X) thì tồn tại duy nhất một độ đo Radon µ
trên X sao cho: ( )φ φ µΛ = ∫
X
d (φ ∈Cc(X))
(Ta nói rằng X có một vét cạn Compact nghĩa là tồn tại một dãy các tập con
Compact ( ) 1≥n nK sao cho: 1 intn nK K +⊆ với mọi n và U n
n
K = X )
Chứng minh
Việc chứng minh định lý này được chia thành hai phần: Sự tồn tại và tính
duy nhất.
¾ Trước hết ta chứng minh tính duy nhất:
Giả sử µ1 và µ2 là hai độ đo Radon trên X thoả mãn
( ) 1
X
dφ φ µΛ = ∫ 2
X
dφ µ= ∫ ( ( )CC Xφ∀ ∈ )
Ta chứng minh µ1 = µ2. Thật vậy ta có: ( )1 2 ,φ µ φ µ φ= ∀ ∈∫ ∫ c
X X
d d C X
Lấy K là tập con compact bất kỳ của X, khi đó ta xét các hàm nφ có dạng:
nφ ( ) ( ){ }max 0,1- . , , x n dist x K x X= ∈
Ta thấy: ( ) ( ) ,φ ∈ ∀n cx C X n =1, 2, …
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 34
Thật vậy, ta cần chứng minh nφ (x) là hàm liên tục và supp nφ là tập
compact trong X.
Chứng minh ( )n xφ là hàm liên tục:
Nếu \x K K∈ ∂ thì ( ) 1n xφ = , x K∀ ∈ khi đó nφ (x) là hàm liên tục
Nếu \x X K∈ và ( ) 1,dist x K
n
< thì ( ) ( )1 ,n x ndist x Kφ = − .
Khi đó:Với mỗi 0 \x X K∈ , ( )0 1,dist x K n< .
0,ε∀ > ( )0min , , 1dist x K n
εδ ⎧ ⎫∃ = ⎨ ⎬+⎩ ⎭ 0> sao cho \x X K∀ ∈ , ( )
1,dist x K
n
<
thỏa ( )0,dist x x δ< ta đều có:
( ) ( ) ( ) ( )0 01 , 1 ,n nx x ndist x K ndist x Kφ φ− = − − +
( ) ( )0 , ,n dist x K dist x K= −
( )0 0( , ) ( , )n dist x K dist x K δ≤ − −
nδ≤ .
1
n
n
ε≤ + ε<
Vậy ( )n xφ là hàm liên tục trên \X K với ( ) 1,dist x K n<
Nếu \x X K∈ và ( ) 1,dist x K
n
> thì ( ) 0n xφ = . Đó là hàm liên tục.
Tại x K∈∂ : Với mỗi 0x K∈∂ , 0, 01n
εε δ∀ > ∃ = >+ sao cho x X∀ ∈
thỏa: ( )0,dist x x δ< ta có:
( ) ( ) ( )0 1 , 1n nx x ndist x Kφ φ− = − − 1n n n
εδ≤ ≤ + ε<
Vậy ( )n xφ liên tục tại những điểm x K∈∂ .
Tại ( ) 1, ,x X dist x K
n
∈ = : Với mỗi ( )0 0 1, ,x X dist x K n∈ = , 0, ε∀ >
( )0min , , 0 sao cho1dist x K n
εδ ⎧ ⎫∃ = >⎨ ⎬+⎩ ⎭ x X∀ ∈ thỏa ( )0,dist x x δ< ta có:
( ) ( ) ( ){ }0 max 0, 1 ,n nx x ndist x Kφ φ− = − ( )1 ,ndist x K≤ −
( )01 ( , )n dist x K δ≤ − − 1n n n
εδ= ≤ + ε< .
Vậy ( )n xφ liên tục tại những điểm ( ) 1, ,x X dist x K n∈ = .
Vậy ta đã chứng minh được nφ (x) là hàm liên tục trên X.
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 35
Chứng minh supp nφ là tập compact trong X:
Ta có: 1supp : ( , )n x X dist x K n
φ ⎧ ⎫= ∈ <⎨ ⎬⎩ ⎭ là tập compact trong X.
Ta thấy: ( ) ( )0 , n nx xφ φ≤ bị chặn trên X ( ( )0 1n xφ≤ ≤ )
( ) ( ) 1, lim
0, \nn
x K
x x
x X K
φ φ→∞
∈⎧= = ⎨ ∈⎩
Theo định lý hội tụ bị chặn ta có:
1 2
X X
lim limn nn nd dφ µ φ µ→∞ →∞=∫ ∫
1 2φ µ φ µ⇒ =∫ ∫
X X
d d
1 2φ µ φ µ⇒ =∫ ∫
K K
d d
( ) ( )1 2µ µ⇒ =K K
Suy ra µ1(B) = µ2(B) với mọi tập Borel B.
Suy ra µ1 = µ2.
¾ Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại của µ
Trước hết ta đưa ra một số khái niệm:
Cho một tập con compact K của X. Ta viết Kp φ nghĩa là:
( ) ,0 1φ φ∈ ≤ ≤cC X và 1φ = trên K.
Tương tự, cho một tập hợp con mở U của X, ta viết φ p U, nghĩa là:
( ) , 0 1cC Xφ φ∈ ≤ ≤ , supp Uφ ⊆
Để chứng minh sự tồn tại của µ ta cần bổ đề phân hoạch đơn vị sau đây:
2.2. Bổ đề
Giả sử X là một không gian mêtric có một dãy vét cạn compact, cho K là
một tập con compact của X và U1,U2,…UN là một phủ mở của K. Khi đó tồn
tại ( )1 2, ,...,ψ ψ ψ ∈N cC X sao cho n nUψ p với mỗi n và
1
N
n
n
K ψ
=
∑p
Chứng minh
Với mỗi x ∈ K, tồn tại một lân cận mở mà bao đóng của nó là một tập con
compact của một trong các Un. Tồn tại hữu hạn những lân cận như thế phủ K.
Ta ký hiệu Vn là hợp các tập đó nằm trong Un. Khi đó ta được một phủ mở V1,
V2, …, VN của K sao cho nV là một tập con compact của Un với mọi n. Với mỗi
x∈ X ta xác định hàm sau:
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 36
( ) ( )
( ) ( )
1
, \
, , \
n
n N
k
k
dist x X V
x
dist x K dist x K V
ψ
=
=
+∑
Ta thấy: ( )• 0 1n xψ≤ ≤
( )• n xψ là hàm liên tục
( ){ }• s upp : 0n n n nx X x V Uψ ψ= ∈ ≠ = ⊆
Suy ra ( ), , n n n cU C X nψ ψ ∈ ∀p
Hơn nữa: ( ) ( ) ( ) ( )1 2
1
...ψ ψ ψ ψ
=
= + + +∑N n N
n
x x x x
( )
( ) ( )
1
1
, \
, , \
N
k
K
N
k
K
dist x X V
dist x K dist x X V
=
=
=
+
∑
∑
Với x K∈ thì ( ), 0=dist x K
Suy ra ( )
1
1
N
n
n
xψ
=
=∑
Vậy
1
ψ
=
∑p N n
n
K
Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại của độ đo Radon µ.
Ta xác định hàm tập hợp µ* trên X như sau:
Nếu U là mở trong X thì:
( ) ( ){ } ( )* sup : 1U Uµ φ φ= Λ p
Nếu E là một tập con tuỳ ý của X thì:
( ) ( ){* *inf : E U Uµ µ= mở, }U E⊇ (2)
¾ Trước hết ta cần chứng minh µ* là một độ đo ngoài:
Thật vậy, ta có:
( ) ( ){ }* sup , µ φ φ∅ = Λ ∅p
( ){ }sup , 0φ φ= Λ = = 0
(vì Λ là phiếm hàm tuyến tính dương nên ( ) ( )0 0φΛ = Λ = )
Và µ*(E1) ≤ µ*(E2) với E1 ⊆ E2 ⊆ X.
Ta còn phải chứng minh µ*(
1
n
n
E
∞
=
U ) ≤ µ
∞
=
∑ *
1n
(En), với nE X⊆ , 1n ≥
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 37
Nếu tồn tại n để µ*(En) = +∞ thì bất đẳng thức trên luôn đúng nên ta giả
sử µ*(En) < +∞ với mọi n
Từ định nghĩa (2), 0ε∀ > tuỳ ý, với mỗi n ta có thể chọn tập mở Un sao
cho n nE U⊆ và µ* (Un) < µ* (En) + 2n
ε (3)
Đặt
1
n
n
U U
∞
=
=U . Cho ( )CC Xφ ∈ với Uφ p . Khi đó các tập ( ) 1n nU ≥ lập
nên một phủ mở của suppφ . Do suppφ là tập compact nên tồn tại một phủ
con hữu hạn U1,….,UN
Theo bổ đề 2.2 ta tìm được ( )1,..., N CC Xψ ψ ∈ sao cho n nUψ p với mọi n
và φ ψ
=
∑p N
1
supp n
n
.
Khi đó ta có: φ φ ψ
=
=∑N
1
n
n
và n nUφ ψ p với mọi n.
Do đó:
( ) ( )
1 1
N N
n n
n n
φ φψ φψ
= =
⎛ ⎞Λ = Λ = Λ⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ (Do Λ là phiếm hàm tuyến tính)
( )*
1
µ
=
≤∑N n
n
U (do định nghĩa (1))
( )*
1
n
n
Uµ∞
=
≤∑
Vì điều này đúng với mọi φ thỏa mãn φ pU , nên ta có:
sup ( ){ }, Uφ φΛ p ( )*
1
n
n
Uµ∞
=
≤∑
⇒ ( ) ( )**
1
n
n
U Uµ µ∞
=
≤∑
Do đó: ( )
1
* *
n
n
E Uµ µ∞
=
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
≤U ( vì
1
n
n
E U
∞
=
⊆U )
( )*
1
n
n
Uµ∞
=
≤∑
( )*
1
n
n
Eµ ε∞
=
≤ +∑ (do (3))
Cho 0ε → ta được:
( )* *
11
µ µ
∞ ∞
==
⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑U n nnn E E , với nE X⊆ , 1n ≥
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 38
Vậy µ* là độ đo ngoài.
¾ Tiếp theo ta chứng tỏ các tập mở là µ* - đo được.
Tức là phải chứng minh nếu U là mở trong X và E là một tập con tuỳ ý
của X thì:
( ) ( ) ( )* * * \E E U E Uµ µ µ≥ ∩ +
Để chứng minh điều này ta giả sử V là một tập mở chứa E và giả sử:
( ) ( ), \ suppV U Vφ ψ φ∩ pp
Ta thấy
supp V Uφ ⊆ ∩ , supp \ suppVφ φ⊆
( )supp \ suppV U V Vφ ψ φ+ ⊆ ∩ ∪ ⊆
Suy ra Vφ ψ+ p
Do đó: ( ) ( ) ( ) ( )* Vµ φ ψ φ ψ≥ Λ + = Λ + Λ (do định nghĩa (1) và Λ là phiếm
hàm tuyến tính)
Và điều này đúng với mọi ψ mà ( )\suppVψ φp , nên ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * *\ supp \V V V Uµ φ µ φ φ µ≥ Λ + ≥ Λ +
Nhưng điều này lại đúng với mọi φ mà ( )V Uφ ∩p nên suy ra:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
* * *
* *
V V \
\
U V U
E U E U
µ µ µ
µ µ
≥ ∩ +
≥ ∩ +
Cuối cùng vì điều này đúng với mọi tập mở V chứa E nên ta có:
( )*inf{ , V Vµ mở, } ( ) ( )* * \V E E U E Uµ µ⊇ ≥ ∩ +
⇒ ( ) ( ) ( )* * * \E E U E Uµ µ µ≥ ∩ +
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ta áp dụng định lý Caratheodory. Gọi L là tập hợp các tập µ*- đo được thì
L là một σ- đại số. Nhưng ta đã chỉ ra mọi tập mở là µ*- đo được nên mọi tập
Borel là µ*- đo được và hạn chế của µ* trên σ - đại số Borel là độ đo Borel và
ký hiệu là µ.
¾ Ta chứng tỏ µ là một độ đo Radon.
Thật vậy, nếu K là một tập con compact của X thì ta chứng minh được:
( ) ( ){ }inf :K Kµ φ φ≤ Λ p (là điều ta cần chứng minh)
Để chứng minh được điều này ta lấy ( )CC Xφ ∈ với K φp
Cho ( )0,1α ∈ .
Nếu ta đặt ( ){ }:U x X xφ α= ∈ > thì U là tập mở ( vì ( )1 , ,U φ α φ−= +∞
liên tục nên nghịch ảnh của tập mở là tập mở), K U⊆ và ψφψ α≤ với Uψ p
Do đó:
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 39
( ) ( ) ( ){ }
( ){ }
( )
sup :
sup / :
K U U
U
µ µ ψ ψ
ψφ α ψ
φ
α
≤ ≤ Λ
≤ Λ
Λ≤
p
p
Cho: 1α → ( ) ( )
( ) ( ){ }K inf :
K
K
µ φ
µ φ φ
⇒ ≤ Λ
⇒ ≤ Λ p
Từ điều này ta thấy:
( ) , compact, K K K Xµ < +∞ ∀ ⊆
Hơn nữa: với V là tập mở, V X⊆ ta có:
( ) ( ){ }
( )
sup ,
,0 1¸ supp Vc
V V
C X
µ φ φ
φ φ φ
= Λ
∈ ≤ ≤ ⊆
p
(phía sau ta chứng minh được ( )
suppX
d d
φ
φ φ µ φ µΛ = =∫ ∫
suppφ là tập compact trong X )
Nên ( ) ( ){ }sup , compact ,V K K K Vµ µ= ⊆
Vậy µ là độ đo Radon theo định nghĩa.
¾ Công việc còn lại ta còn chứng tỏ ( )φ φΛ = ∫
X
du
Thật vậy, lấy ( )CC Xφ ∈ và ký hiệu = suppK φ .
Cố định 0β > sao cho ( ) ( ),Kφ β β⊆ − . Với 0ε > , chọn 0 1 ... Nγ γ γ< < <
sao cho 0 , nγ β γ β= − = và ( )1 1n n n Nγ γ ε−− < ≤ ≤
Với mỗi n đặt: ( ){ }1:n n nE x K xγ φ γ−= ∈ ≤ <
Khi đó, do định nghĩa của *µ ta có thể tìm được một tập mở nU chứa nE
sao cho
( ) ( )n nU E N
εµ µ< +
Ta có thể giả thiết thêm nφ γ< trên nU .
Do bổ đề 2.2 tồn tại ( )1,..., N cC Xψ ψ ∈ sao cho n nUψ p với mọi n và:
1
ψ
=
∑p N n
n
K .
Khi đó
1
φ φψ
=
=∑N n
n
và n n nφψ γ ψ≤
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 40
Do đó ( ) ( ) ( )
1 1
N N
n n n
n n
φ φψ γ ψ
= =
Λ = Λ ≤ Λ∑ ∑
Vì n nUψ p với mọi n nên ( ) ( )n nUψ µΛ ≤
Ta có, vì
1
ψ
=
∑p N n
n
K suy ra ( )
1
N
n
n
Kµ ψ
=
⎛ ⎞≤ Λ⎜ ⎟⎝ ⎠∑
Do đó: ( ) ( ) ( )
1 1
N N
n n n
n n
φ γ β ψ β ψ
= =
⎛ ⎞Λ ≤ + Λ − Λ⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑
( ) ( ) ( )
1
N
n n
n
U Kγ β µ βµ
=
≤ + −∑
( ) ( ) ( )1
1
εγ ε β µ βµ−
=
⎛ ⎞≤ + + + −⎜ ⎟⎝ ⎠∑
N
n n
n
E K
N
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1
N
n n
n
E K Kγ µ ε β µ β ε β ε βµ−
=
≤ + + + + + −∑
( )( )2φ µ ε µ β ε≤ + + +∫
X
d K
Cho 0ε → ta được ( )
X
dφ φ µΛ ≤ ∫
Lập lại lặp luận trên với φ được thay bởi φ− ta được:
( )
X
dφ φ µΛ ≥ ∫
Do đó
( )
X
dφ φ µΛ = ∫
Như vậy định lý được chứng minh.
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 41
Chương 3
MỘT ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ
BIỂU DIỄN RIESZ
1. Định nghĩa
Cho U là tập mở trong , cho r >0. Ta xác định:
( ){ }: dist ,rU z U z U r= ∈ ∂ >
Cho hàm u: U → khả tích và cho :φ → là một hàm liên tục với
( )supp 0,rφ ⊆ ∆ (hình tròn mở tâm O, bán kính r)
Khi đó tích chập của u và φ là hàm
* : ru Uφ →
cho bởi ( ) ( ) ( ) ( )* , ru z u z dA z Uφ ω φ ω ω= − ∈∫
Ta đổi biến số t = z - ω
( ) ( ) ( ) ( )* ,u z u t z t dA t z Urφ φ= − ∈∫
Nếu ta chọn Cφ ∞∈ . Khi đó ta có * u Cφ ∞∈
Trong không gian ( )CC D ta định nghĩa chuẩn là:
( )( )sup , C
D
C Dφ φ φ∞ = ∈
2. Định lý
Cho ( )CC Dφ ∈ và cho U là tập compact tương đối, mở con của D ( với D
là một miền trong ) sao cho supp Uφ ⊆ . Khi đó tồn tại ( ) ( )1 ,n n Cn C Dφ φ∞ ∞= ∈
sao cho supp ,n U nφ ⊆ ∀ và 0nφ φ ∞− → .
Hơn nữa nếu 0φ ≥ , ta có thể chọn ( ) 1n nφ ∞= sao cho 0,n nφ ≥ ∀
Chứng minh
Ta mở rộng φ lên toàn bộ bằng cách đặt 0φ ≡ trên \ D .
Ta xét hàm :χ → là một hàm thoả mãn:
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Anh Đào
GVHD Ths. Phạm Thị Thu Hường Trang 42
( ) ( ) ( ), 0, , supp 0,1C z zχ χ χ χ χ∞∈ ≥ = ⊆ ∆
1dAχ =∫
( Một ví dụ về hàm χ thoả mãn các tính chất trên là:
( )
2
1
1 4 1 ,
2
10 ,
2
zCe z
z
z
χ
−
−
⎧⎪ <⎪= ⎨⎪ ≥⎪⎩
với C là hằng số được chọn sao cho: 1dAχ =∫
)
Với r > 0 ta định nghĩa:
( ) 21 ,r zz zr rχ χ
⎛ ⎞= ∈⎜ ⎟⎝ ⎠
Ta thấy: ( ) , 0r C rφ χ ∞∗ ∈ ∀ >