Khóa luận Nhập môn lý thuyết Knot

(i) Cho X và Y là hai không gian đồng phôi. Khi đó ta có: ( ) ( )1 0 1 0, ,X x Y yπ π≅ . (ii) Cho X và Y là hai không gian bất kì thì ta có : ( )( ) ( ) ( )1 0 0 1 0 1 0, , , ,X Y x y X x Y yπ π π× ≅ ⊕ Chứng minh (i) Do X Y≈ nên tồn tại song ánh liên tục :f X Y→ GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 18 Xét ánh xạ cảm sinh ( ) ( )1 0 1 0: , ,f X x Y yπ π∗ → [ ] [ ] X Xl f la o ( ) ( )1 0 1 0: , ,f Y y X xπ π∗ → [ ] 1 Y Yl f l−⎡ ⎤⎣ ⎦a o Dễ thấy: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) π π − − ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ⎧ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = ⇒ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪⎨ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = ⇒ =⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎩ o o o o o o o o o o 1 0 1 0 1 1 , 1 , Y Y Y Y Y y X X X X X x f f l f f l f f l l f f Id f f l f f l f f l l f f Id Ta chứng minh đồng cấu cảm sinh *f là một đẳng cấu. Thật vậy : ⊕Với [ ] *KerflX ∈ ta có [ ]( ) [ ]ε=Xlf* (với [ ]ε là phần tử đơn vị của ),( 01 yYπ ). [ ] [ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ]( )[ ] [ ]ε εεε=⇒ =⇒=⇒=⇒ X XXXl flffflfflf *** oooo Suy ra *f là đơn cấu. (1) ⊕ Với mọi [ ] ),( 01 yYlY π∈ ta có : [ ] [ ] [ ] ( )* **Y Y Yl f f l f f l⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦o ( 1 0[ ] ( , )Yf l X xπ∈o vì nếu Yl là phép đồng luân của các đường đóng tại 0y trong ),( 0yY thì [ ]Yf lo là phép đồng luân của các đường đóng tại 0x trong ),( 0xX ). Do đó *f là toàn cấu. (2) Từ (1), (2) suy ra f∗ là đẳng cấu hay ( ) ( )1 0 1 0, ,X x Y yπ π≅ . (ii) Xét ánh xạ: ( )( ) ( ) ( )1 0 0 1 0 1 0: , , , ,X Y x y X x Y yθ π π π× → ⊕ [ ] [ ] [ ]( )1 2 ,l l lρ ρa o o trong đó : ( ) ( ) 1 2 : , : , X Y X x y x X Y Y x y y ρ ρ × → × → a a GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 19 Dễ thấy θ là một song ánh và đồng thời là một đồng cấu. Do vậy nên ta có: ( )( ) ( ) ( )1 0 0 1 0 1 0, , , ,X Y x y X x Y yπ π π× ≅ ⊕ . 5.3. Định lý 3 (i) Nếu , :f g X Y→ là các ánh xạ liên tục và ( )Ff g thì ta có f g∗ ∗= . (ii) Nếu X và Y là hai không gian liên thông đường và X Y thì ta có ( ) ( )1 1X Yπ π≅ . Chứng minh (i) Với mỗi [ ]0,1t∈ xét ánh xạ :F X I Y∗ × → thoả ( ) ( )( ), ,F x t F l x t∗ = . Hiển nhiên ta thấy: • F∗ liên tục. • ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ),0 ,0F x F l x f l x f l x∗ = = = o . • ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ),1 ,1F x F l x g l x g l x∗ = = = o . Do đó ( )F f l g l ∗o o hay nói cách khác f g∗ ∗= . (ii) Do X Y nên tồn tại các ánh xạ liên tục : : : f X Y g X Y → → thỏa mãn tính chất: Y X f g Id g f Id ⎧⎨⎩ o o Khi đó ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 Y Y Y X X X f g Id f g f g Id Id g f Id g f g f Id Id π π ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ⇒ = = = ⇒ = = = o o o o o o Vậy ta có ( ) ( )1 1:f X Yπ π∗ → là đẳng cấu (theo phần chứng minh định lý 2i). Do đó nên ( ) ( )1 1X Yπ π≅ . GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 20 Tóm lại, chương này chúng ta đã xây dựng thế nào là hai không gian đồng luân. Từ đó nêu lên mối liên hệ giữa quan hệ đồng luân và đồng phôi: mọi không gian đồng phôi thì cùng kiểu đồng luân. Mặc khác chúng ta cũng đã xây dựng định nghĩa nhóm cơ bản của không gian tôpô X tại điểm 0x bằng phép toán nối các đường đóng trên ( )1 0,X xπ . Qua đó cho ta thấy được rằng nhóm cơ bản là một bất biến tôpô thông qua việc chứng minh nó là bất biến đồng luân, tức là hai không gian cùng kiểu đồng luân thì có các nhóm cơ bản đẳng cấu (điều này cho phép chứng minh tính không đồng phôi của hai không gian tôpô bằng cách chỉ ra nhóm cơ bản của chúng là không đẳng cấu). GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 21 CHƯƠNG II: KNOT Trong phần này ta sẽ nghiên cứu knot (nút) – hình ảnh của một knot dây trong thực tế. Qua đó ta đi đến các khái niệm liên quan như cung, crossing, ảnh đối xứng, tích liên thông, mã số,…. I. KNOT 1. Định nghĩa 1.1. Sự hiểu biết trực quan về knot Ta lấy một sợi dây rồi thắt một cái gút lỏng trên nó, sau đó nối hai đầu sợi dây lại ta sẽ được một knot. Ta hiểu một cách trực quan ban đầu: knot là một đường cong đóng có thắt gút trong không gian mà nó không cắt nhau tại bất cứ chỗ nào trên nó . Cùng một knot có rất nhiều hình ảnh khác nhau biểu diễn nó (chẳng hạn như các hình bên dưới biểu diễn cho cùng knot hình số 8). Sau đây là cách định nghĩa knot thông qua công cụ tôpô ( phép đồng phôi ). 1.2. Định nghĩa Một không gian con K của 3R được gọi là một knot nếu nó là ảnh đồng phôi của đường tròn 1S . Tức là : (K là knot)⇔ ( 1:f S K∃ → là một phép đồng phôi). GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 22 1.3. Ví dụ Xét 1 1:Id S S→ Hiển nhiên Id là một phép đồng phôi từ 1S lên 1S . Do đó ta có 1S là một knot. Ta gọi 1S là knot tầm thường ( unknot ). 1.4. Nhận xét • Một knot là một đường đóng trong 3R . • Mọi knot trong 3R đều đồng phôi với nhau. Một vài knot thường gặp: Vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào chúng ta có thể biết được những knot có hình biểu diễn khác nhau có phải là những knot khác nhau hay không? Để làm rõ điều này ta sẽ đi tìm hiểu về đồ thị của knot. 2. Đồ thị của knot Những hình vẽ dùng để biểu diễn cho knot được gọi là đồ thị của knot, nó là đại diện trong 2R của một vật thể ba chiều. 2.1. Định nghĩa Knot ba lá Knot hình số 8 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 23 Một đồ thị của knot trong 2R được tạo thành từ một số hữu hạn các cung và các crossing (nơi giao nhau giữa cung dưới và cung trên). Tại mỗi crossing, ta thu được thông tin về sự chênh lệch độ cao giữa hai cung tương ứng trên knot. 2.2. Chú ý 2.2.1. Trong đồ thị của một knot không tồn tại những hình ảnh sau: 2.2.2. Trong một đồ thị nếu ta bỏ qua ý nghĩa của crossing thì khi đó đồ thị trở thành một vết trong 2R . 2.3. Nhận xét 2.3.1. Một knot có thể được biểu diễn bởi nhiều đồ thị khác nhau. Chẳng hạn như ta có ba đồ thị biểu diễn của knot hình số 8. đồ thị vết Cung trên Cung dưới Cung dưới crossing GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 24 2.3.2. Số crossing nhỏ nhất trong tất cả các đồ thị cùng biểu diễn một knot được gọi là số crossing của knot đó và được kí hiệu là c(K). 2.3.3. Dễ thấy rằng không có knot nào có số crossing là 1 và 2. Vì nếu một knot có một crossing thì nó sẽ có dạng giống như một trong các hình sau. Khi đó ta có thể dễ dàng tháo crossing đơn này để thu được knot tầm thường. 2.3.4. Một đồ thị của knot K với số crossing bằng c(K) được gọi là đồ thị tối tiểu của nó. Ta thấy 1D và 2D đều là những đồ thị biểu diễn knot 3 lá nhưng số crossing của 1D lớn hơn số crossing của 2D . Đồng thời do (3) nên 2D được gọi là đồ thị tối tiểu của knot ba lá. 2.4. Ví dụ 1D 2 D c(K) =8 c(K) =5 c(K) =8 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 25 3. Bài toán chưa giải quyết Chứng minh rằng một đồ thị đã cho là đồ thị của knot tầm thường. Nhiều lý thuyết về knot có cách nhìn nhận và giải quyết vấn đề khác nhau. Nội dung bài toán được hiểu một cách đơn giản là : nếu như ta cho trước đồ thị của một knot thì ta có thể kết luận đó là knot tầm thường không? Đương nhiên nếu lấy một knot từ một mẫu dây và cố gắng sắp xếp để tháo các gút trên knot đó ra. Nếu tất cả các gút trên sợi dây đều được tháo gỡ thì đó là knot tầm thường. Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu như trong hai tuần mà ta vẫn không thể nào tháo gỡ hết được tất cả các gút trên sợi dây. Ta cũng không thể kết luận đó không phải là knot tầm thường vì có thể ta chưa đủ thời gian để tháo gỡ knot đó ra chăng? Trên thực tế đã có người tìm ra cách chứng minh một đồ thị đã cho có phải là knot tầm thường không? Đó là Wolfgang Haken. Theo lý thuyết của ông (1961), chúng ta có thể đưa đồ thị của knot vào máy tính, máy tính sẽ chạy thuật toán và cho chúng ta kết quả. Nhưng đáng tiếc, thuật toán mà Haken tìm ra cách đây hơn 40 năm quá phức tạp đến nỗi chưa có ai viết được chương trình này trên máy tính để thực hiện nó. 4. Link 4.1. Định nghĩa Một không gian con L của 3R được gọi là một link nếu nó là hợp hữu hạn của những knot rời rạc. L là một link 1 2 3 ... nL K K K K⇔ = U U U U trong đó iK là một knot 1,i n∀ = và ,i jK K i j= ∅ ∀ ≠I Khi đó ta gọi L là một link có n thành phần ( kí hiệu: Comp( L ) n= ). Hiển nhiên một knot là một link với một thành phần. Nhận xét: Cũng giống như knot, một link có thể có hai hay nhiều đồ thị biểu diễn nó. 4.2 Ví dụ unlink Hopf link Borromean rings Whitehead link GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 26 4.3. Link tách được Link tách được là loại link mà các thành phần của link có thể tách rời ra thành các link đơn tầm thường bằng cách thay đổi tính chất của một số croosing trên đồ thị . 4.4. Link Brunman Một link được gọi là link Brunman nếu bản thân nó không là link tầm thường nhưng sự di chuyển của bất kỳ một thành phần nào của link ra khỏi link đều làm cho link trở thành link tầm thường . VD : Link được cho ở hình bên dưới là link Brunman vì khi ta tách bất cứ một vòng nào của link ra khỏi link thì lập tức hai vòng còn lại trở thành link tầm thường. 4.5. Sự tương đương giữa các link Cho hai link L và L’ trong 3R . Ta nói L tương đương với L’ (kí hiệu : 'L L ) nếu tồn tại một ánh xạ liên tục f sao cho: ( ) ' f Id f L L ⎧⎨ =⎩ Dễ thấy quan hệ tương đương giữa hai link là một quan hệ tương đương. II. PHÉP DỊCH CHUYỂN 1. Phép dịch chuyển ( )∆ 1.1. Định nghĩa Xét L là một link và một tam giác phẳng trong 3R . Giả sử tam giác đó có một cạnh nằm trên L. Khi đó, ta có thể chuyển L thành L’ tương đương với nó theo cách sau : trên L ta xóa đoạn chung với tam giác rồi lắp vào chổ hổng trên L hai cạnh còn lại của tam giác ta thu được L’. GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 27 Rõ ràng trong một tam giác, ta luôn có tương ứng 1-1 sau : Do đó dễ thấy tồn tại một song ánh liên tục thỏa mãn ( ) ' f Id f L L ⎧⎨ =⎩ Vậy 'L L . Phép dịch chuyển trên được gọi là phép dịch chuyển ( )∆ . 1.2.Định lý Hai link L và L’ được gọi là tương đương với nhau nếu và chỉ nếu L’ là sản phẩm của L qua hữu hạn các phép dịch chuyển ( )∆ (hoặc ngược lại). 2. Phép dịch chuyển Reidemeister 2.1. Định nghĩa Phép dịch chưyển Reidemeister là phép biến đổi đồ thị của một knot bằng cách thay đổi tính chất của các crossing. Trong 3R các phép dịch chuyển sau đây được gọi là phép dịch chuyển Reidemeister: - Phép dịch chuyển 0R cho phép ta thay đổi toàn bộ tính chất “trên, dưới” tại các crossing của knot. - Phép dịch chuyển Reidemeister 1R cho phép ta tạo hay tháo một crosing trên đồ thị của knot. 0R L L’ GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 28 - Phép dịch chuyển Reidemeister 2R cho phép ta tạo thêm hay bớt ra hai crossing trên đồ thị của knot. - Phép dịch chuyển Reidemeister 3R cho phép ta di chuyển một cung trên đồ thị từ hai chỗ giao nhau này đến hai chỗ giao nhau khác. 2.2. Nhận xét - Mỗi phép dịch chuyển Reidemeister làm thay đổi đồ thị của knot nhưng không biến knot đã cho thành knot khác. - Mỗi phép dịch chuyển Reidemeister trên đồ thị của knot K tương ứng với một dãy hữu hạn phép dịch chuyển ( )∆ trên K . Thật vậy : Điều này hiển nhiên đối với 0R và 1R (qua hữu hạn phép phân hoạch trên K) còn đối với 2R và 3R thì có thể minh hoạ như dưới đây: a) Minh hoạ đối với 2R 1R 2R 3R GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 29 b) Minh hoạ đối với 3R Từ nhận xét trên ta có định lý : 2.3. Định lý Reidemeister Hai knot K và K’ có đồ thị tương ứng là D và D’. Ta nói K tương đương K’ nếu và chỉ nếu D’ là sản phẩm của D qua hữu hạn các phép dịch chuyển Reidemeister (hoặc ngược lại) . Ví dụ: Từ knot hình số 8 ta thực hiện một chuỗi các phép dịch chuyển Reidemeister ta thu được knot ba lá. Ta nói knot hình số 8 và nút ba lá tương đương nhau. Ngoài ra, Reidemeister còn chứng minh được nếu ta có hai đồ thị khác nhau của cùng một knot thì ta có thể biến đổi đồ thị này thành đồ thị kia bằng một chuỗi các phép dịch chuyển Reidemeister. 2R ∆ ∆ GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 30 Ví dụ: Hai đồ thị của knot hình số 8 tương đương nhau qua một chuỗi các phép dịch chuyển Reidemeister (hình bên dưới). III. MỘT SỐ KNOT ĐẶC BIỆT 1. Ảnh đối xứng của một knot 1.1. Định nghĩa Cho knot K, ảnh đối xứng của nó qua một mặt phẳng trong 3R cũng là một knot và knot đó được gọi là ảnh đối xứng của K. Kí hiệu : K Ví dụ Dễ thấy rằng để xác định ảnh đối xứng của một knot, ta chỉ cần thay đổi tính “trên, dưới” của các cung tại mỗi crossing. 1.2. Knot tự đối xứng Một knot được gọi là tự đối xứng nếu nó tương đương với ảnh đối xứng của nó. Ví dụ : Knot hình số 8 là một knot tự đối xứng. K K III I GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 31 Thật vậy : 2. Knot định hướng 2.1.Định nghĩa Cho knot K, lấy một điểm M trên K, di chuyển M dọc trên K theo một hướng nhất định. Khi đó, ta đã định hướng cho knot K và K được gọi là một knot định hướng. Để biểu diễn một knot định hướng ta gắn trên đồ thị của K các mũi tên tương ứng theo chiều của nó. Ví dụ K K GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 32 2.2.Knot nghịch đảo Nghịch đảo của một knot định hướng K (kí hiệu r(K)) cũng chính là nó nhưng được lấy theo hướng ngược lại. Ví dụ : 2.3. Knot xen kẽ a. Một đồ thị D của knot K được gọi là đồ thị xen kẽ nếu ta lấy trên D một điểm M bất kì, khi di chuyển dọc trên D theo một hướng nhất định thì tại hai crossing liên tiếp bất kì thì tính “trên , dưới” xen kẽ nhau. b. Một knot K được gọi là một knot xen kẽ nếu nó có đồ thị tối tiểu là một đồ thị xen kẽ. Ví dụ: Knot ba lá là một knot xen kẻ Knot hình số 8 là một knot xen kẻ Nhận xét : K r(K) GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 33 - Từ một vết trong mặt phẳng ta có thể biến nó thành một knot xen kẻ trong không gian bằng cách thay thế một cách hợp lý các giao điểm trên vết thành những crossing mà tính chất “ trên, dưới ” của các crossing được thay đổi đều đặn liên tục. Chẳng hạn như vết này - Bất kỳ một đồ thị của knot nào cũng có thể biến đổi về đồ thị của knot xen kẻ. - Bằng cách thay đổi tính “trên, dưới” của các cung tại các crossing, bất kỳ một knot nào đều có thể biến đổi về knot tầm thường. Ví dụ : 2.4. Link định hướng Một link L gọi là được định hướng nếu các thành phần của nó đều có hướng. Ví dụ : Crossing cần thay đổi ⇒ GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 34 3. Tích liên thông - Knot nguyên tố 3.1. Tích liên thông a. Cho hai knot định hướng K và K’. Ta nói K và K’ cùng chiều khi hai hướng trên K và K’ là cùng chiều (và ngược lại ). b. Tích liên thông của hai knot K và K’ (kí hiệu: K # K’) là một knot được sinh ra bởi quá trình sau : • Chọn M trên K và N trên K’. • Cắt K tại M và cắt K’ tại N. • Dán lần lượt từng đầu mút của K với từng đầu mút của K’( tại M và N ) sao cho bảo đảm không vi phạm về hướng. Ví dụ 3.2. Điều kiện để phép nối hai knot là tích liên thông - Sau khi thực hiện phép nối thì hướng trên hai knot K và K’ khớp với nhau. - Hai cung tạo thành do nối hai đầu mút trên knot K với hai đầu mút trên knot K’ phải thoả mãn điều kiện là không tạo thành các crosing mới với các cung của hai đồ thị ban đầu. Ví dụ Crossing mới không thoả điều kiện Crossing mới không thoả điều kiện GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 35 3.3. Nhận xét - Tích liên thông của hai knot cũng tương tự như tích của hai số nguyên dương. Nếu như phép nhân trong Z + : : .1x Z x x+∀ ∈ = thì trong lý thuyết knot ta có tích của knot K với knot tầm thường là knot K. Các thành phần trong knot tích gọi là các knot thừa số ( hình vẽ). Từ đó, dễ thấy tập { }= taát caû caùc knotX cùng với phép toán tích liên thông tạo thành một vị nhóm với phần tử đơn vị là knot tầm thường. - Sự khác nhau giữa phép nhân của knot với phép nhân trong Z + là luôn có nhiều hơn một cách để thực hiện tích của hai knot. Nó phụ thuộc vào việc ta chọn điểm M trên K và N trên K’. Với những cách chọn khác nhau ta sẽ được những cách nhân khác nhau của cùng một knot tích. Vì có vô số cách chọn nên có vô số cách thực hiện phép nhân hai knot. 3.4. Tích liên thông của hai knot định hướng Khi ta thực hiện nhân hai knot định hướng K và K’ thì sẽ có hai khả năng xảy ra: hoặc là hướng trên K và K’ khớp nhau – kết quả ta thu được một hướng duy nhất cho knot tích K#K’; hoặc là hướng của K và K’ không khớp nhau – khi đó hướng trên K#K’ không đồng nhất. Tất cả các phép nhân hai knot K và K’ mà hướng trùng khớp nhau luôn cho ta knot tích giống nhau (hình vẽ). K K Knot tầm thường GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 36 Tất cả các phép nhân hai knot K và K’ mà hướng không trùng khớp nhau sẽ cho ta knot tích đơn. Knot này khác với các knot tích được tạo ra khi hướng của hai knot thừa số khớp nhau (vì nó không còn là knot định hướng nữa). (hình vẽ) 3.5. Knot nguyên tố Một knot K được gọi là knot nguyên tố nếu nó không là tích liên thông của hai knot bất kỳ ( khác knot tầm thường ). Hay nói cách khác một knot không là knot nguyên tố nếu nó là tích liên thông của hai knot khác knot tầm thường. Ví dụ: IV. MỘT VÀI BẤT BIẾN CỦA KNOT Trong phần này ta sẽ đi tìm hiểu một số bất biến của knot. Trước tiên, ta bắt đầu với một bất biến mang tính trực quan nhất – đó là không số của knot. - Knot nguyên tố : vì nó là tích của knot 3 lá với knot tầm thường. - Knot không nguyên tố : vì nó là tích liên thông của hai knot 3 lá. GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 37 1. Không số của knot (unknotting number) 1.1.Định lý Đồ thị của một knot bất kì luôn có thể chuyển được về đồ thị của một knot tầm thường sau hữu hạn lần thay đổi tính “trên , dưới” tại các crossing. Chứng minh: Xét knot K, giả sử K có đồ thị là D. Trên D ta chọn crossing bất kì, ta cắt cung dưới tại crossing đó và sau đó đưa hai đầu cung đó lên trên cung còn lại rồi dán chúng lại. Sau khi dán, nếu đồ thị nhận được chưa tương đương với đồ thị của một knot tầm thường thì ta tiếp tục làm như trên cho đến khi đồ thị nhận được tương đương với đồ thị của một knot tầm thường thì dừng. Quá trình trên sẽ kết thúc sau hữu hạn bước bởi ta chỉ xét trên các knot với c(K) là số hữu hạn. 1.2. Định nghĩa Không số của knot K là số crossing nhỏ nhất mà tại đó nếu ta thay đổi tính “trên, dưới” thì knot đó trở thành một knot tầm thường. Kí hiệu: u(K). Ví dụ: Vậy u( knot ba lá ) =1. cắt dán GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 38 1.3. Nhận xét - Không số của knot là một số hữu hạn do các knot ta xét đều có số crossing hữu hạn. - Không số của một knot rất khó xác định vì mỗi một knot có rất nhiều đồ thị biểu diễn. Ví dụ: Nếu ta thay đổi tính chất “ trên,dưới” một số crosing của knot 47 ( hình bên dưới ) thì dường như ta thấy nó có không số u(K) = 2. Tuy nhiên, ta không thể biết được có đồ thị nào khác của knot 47 mà chỉ cần thay đổi tính chất một crossing ta đã thu được nút tầm thường. Khi đó, u(K) = 1. - Knot tích liên thông có không số lớn hơn 1 vì nếu ta thay đổi tính chất của một crossing thì ta chỉ tháo được một trong hai thành phần tạo nên knot tích chứ không thể tháo được cả knot tích thành knot tầm thường. 2. Độ xoắn của đồ thị 2.1.Quy ước dấu Trên đồ thị của một knot định hướng, ta chỉ có hai dạng crossing và chúng được quy ước dấu tại mỗi crossing như sau: +1 -1 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 39 2.2.Định nghĩa Độ xoắn của một đồ thị định hướng D được tính bằng tổng các dấu tại mỗi crossing trên đồ thị. Kí hiệu: w(D). Ví dụ: 2.3.Nhận xét Khi ta đổi hướng tất cả các thành phần trên đồ thị của một link thì độ xoắn của đồ thị đó là không đổi. Với nhận xét trên ta thấy rằng: • w(D) = w(r(D)) với r(D) là đồ thị của r(K). • w(D) = -w( D ) với D là đồ thị của K . Ví dụ W(D) = -3 W(D) = -1 W(D) = 2 +1 -1 w(D) = -3 w(r(D)) = -3 w( D ) = 3 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 40 3. Số link 3.1. Định nghĩa Cho D là đồ thị của một link định hướng có n thành phần 1 2 3, , ,...., nC C C C . Ta định nghĩa số link giữa iC và jC là nửa tổng các dấu của các crossing tạo bởi iC và jC (ta không tính dấu của các crossing được tạo ra bởi một thành phần nào đó của link với chính nó). Khi đó, ta gọi số link của D là: ( ) ( ) 1 ,i j i j n lk D lk C C ≤ < ≤ = ∑ . Ví dụ 3.2.Nhận xét : ( )lk D ∈ . Thật vậy, với hai thành phần bất kì của một link thì số crossing tạo bởi chúng luôn là một số chẵn. Do đó nên : ( ), ;i jlk C C i j∈ ∀ ≠ và từ đó ta có ( )lk D ∈ . 3.3. Định lý Nếu D và D’ là hai đồ thị của cùng một link định hướng thì ( ) ( )'lk D lk D= . Do vậy nên số link của đồ thị là một bất biến . Chứng minh: Do D và D’ là đồ thị của cùng một link nên ta có thể giả sử D’ là sản phẩm của D qua một số hữu hạn các phép dịch chuyển Reidemeister. Vì thế, ta chỉ cần ( ) ( ) ( )1 2 2 3 1, .8 4 2 7 1, .6 3 2 lk C C lk D lk C C ⎫= = ⎪⎪⇒ =⎬⎪= = ⎪⎭ 1C 2C 3C GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 41 chứng minh các phép dịch chuyển Reidemeister không làm thay đổi số link. Thật vậy: • 0R và 1R là hiển nhiên đúng. Vì 1R có thể tạo ra hay làm mất đi một crossing của một thành phần nào đó của link với chính nó, nhưng nó không làm ảnh hưởng đến các crossing chung của cả hai thành phần trong link. Do đó nó không làm ảnh hưởng đến số link. • Đối với 2R Theo hình trên, ta đã chọn một hướng xác định trên mỗi cung của link. Ta thừa nhận một điều là: hai cung tương ứng với hai thành phần của link khi di chuyển theo hai cách của phép 2R đều không làm ảnh hưởng đến số link. Thật vậy, một crossing mới sẽ đóng góp giá trị +1 vào tổng liên kết trong khi đó crossing mới thứ hai lại đóng góp giá trị -1 vào tổng link nên sự đóng góp cuối cùng của phép 2R vào số link là 0. • 3R đúng vì: 4. Số crossing của knot Chúng ta đã nói đến bất biến này ở phần trước của bài luận. Số crossing của knot chính là số crossing nhỏ nhất trong tất cả các đồ thị cùng biểu diễn knot đó. Hay nói cách khác nó là số crossing của đồ thị tối tiểu biểu diễn cho knot đó (kí hiệu là c(K)). (1) (2) (3) (1) (2) (3) GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 42 Tuy nhiên việc tìm số crossing của một knot không phải là chuyện đơn giản. Giả sử đầu tiên ta có đồ thị của knot K với n crossing, khi đó ta cũng không thể kết luận số crossing của knot K là n được vì có thể còn đồ thị khác của knot K có số crossing nhỏ hơn n. Nếu tất cả các đồ thị khác có ít hơn n crossing đều khác knot K hay nói cách khác không có đồ thị nào của knot K có ít hơn n crossing thì ta kết luận knot K có số crossing là n. Ví dụ: Knot 37 có số crossing là 7 vì nó có một đồ thị với 7 crossing và đồ thị này phân biệt với tất cả các các đồ thị có ít hơn 7 crossing (hình vẽ). Nói chung, rất khó để xác định được số crossing của một knot đã cho. Vì mỗi knot có rất nhiều đồ thị, ta không biết đồ thị đang xét có phải là đồ thị tối tiểu hay chưa? ™ Tuy nhiên, đối với knot xen kẽ ta có nhận xét sau: - Nếu đồ thị của knot xen kẻ K có n điểm chéo thì số crossing c(K) sẽ bằng chính n. - Nếu 1 2,K K đều là hai knot xen kẽ thì 1 2 1 2( # ) ( ) ( )c K K c K c K= + . 5. Mã số của knot xen kẽ Ở phần trước ta đã nắm khái niệm thế nào là knot xen kẽ, liên quan đến knot xen kẽ ta có định lý sau: 1 2#K K GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 43 5.1. Định lý Một vết bất kì trong 2R đều đại diện duy nhất một knot xen kẽ không định hướng. Chứng minh: Trước hết ta chứng minh bổ đề sau đây: Mọi vết trong 2R đều có thể được tô màu theo kiểu bàn cờ. Thật vậy: Giả sử ta có vết D, kẻ một đường thẳng đứng L và di chuyển L dọc từ biên trái sang biên phải của mặt phẳng. Ta sẽ tô màu D như sau: • Chỉ tô màu khi L không cắt D tại crossing. • Trên những miền mà L cắt đồng thời trên D, ta tô màu xen kẽ đen trắng từ trên xuống dưới. Vì L luôn cắt D tại hữu hạn điểm nên cách tô trên là hợp lý. Trở lại định lý, giả sử có vết D. Ta tiến hành tô màu D theo kiểu bàn cờ L D GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 44 Để đưa về đồ thị của một knot xen kẽ, ta quy ước tính “trên, dưới” tại mỗi crossing như sau: (i) Lấy một điểm trên D, di chuyển điểm đó dọc trên D theo một hướng nhất định. (ii) Tại mỗi crossing ta quy ước: • Nếu miền trắng nằm bên trái hướng dịch chuyển thì cung đó nằm dưới. • Nếu miền trắng nằm bên phải hướng dịch chuyển thì cung đó nằm trên. Do trên D ta tô màu theo kiểu bàn cờ nên đồ thị nhận được từ vết đã cho cùng với quy ước bên trên hiển nhiên sẽ là một đồ thị xen kẽ và nó đại diện cho một knot xen kẽ . 5.2. Mã số của knot xen kẽ 5.2.1.Định nghĩa Cho đồ thị D của một knot xen kẽ, lấy điểm M trên D, di chuyển M trên D theo một hướng xác định. Qua mỗi crossing ta đánh số thứ tự tăng dần 1,2,….. Đặt { }X= taäp caùc soá leû taïi caùc crossing . { }Y= taäp caùc soá chaún taïi caùc crossing . Ta xây dựng song ánh : →: X Yf x ya với ,x y là số thứ tự tại cùng crossing. Dãy số ( ) ( ) ( )1 , 3 , 5 ,......f f f được gọi là mã số của knot xen kẽ đã cho. Kí hiệu là Cd(K). Ví dụ : do (1) 4, (3) 6, (5) 2f f f= = = nên Cd(K) = 4 6 2 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 45 5.2.2.Nhận xét a. Số phần tử trong dãy mã cũng chính là số crossing của đồ thị của knot đó. b.Ứng với mỗi bộ mã 1,...., na a ta có sự tương ứng ( ) ( ) ( )1 21, ; 3, ;.....; 2 1, na a n a− . c. Nếu ta quy ước rằng tại mỗi crossing, cung mang số lẻ là cung nằm dưới, còn cung mang số chẵn là cung nằm trên; thì khi đó ta có thể dựng lại đồ thị của một knot xen kẽ tương ứng với bộ mã 1,..., na a cho trước theo cách sau: • Lấy một điểm M bất kì.Trên mặt phẳng, ta lấy n điểm bất kì và đánh số 1 2 3, , ,....., na a a a . • Sau đó, tại mỗi điểm ta gán thêm tạo ảnh của nó: Gán 1 cho 1a . Gán 3 cho 2a . ………….. Gán 2n-1 cho na . Nối điểm M với các điểm đó theo thứ tự 1,2,3,… ; và tuân theo quy ước trên ta sẽ được đồ thị cần dựng. Ví dụ : Với Cd(K) = 4 6 2; thì đồ thị tương ứng của K là: 1 2 6 4 53 GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 46 V. TÍNH CHẤT BA MÀU CỦA KNOT 1. Định nghĩa Một giả định được đặt ra ở đây là: mỗi đồ thị của knot K (khác knot tầm thường) đều bắt đầu từ đồ thị của knot tầm thường được làm rối lên, nghĩa là qua một chuỗi các phép dịch chuyển Reidemeister knot tầm thường được biến thành knot không tầm thường. Giả định này đã làm xuất hiện một mâu thuẫn: chẳng lẽ mỗi knot đều tương đương với knot tầm thường? Điều đó là không đúng, ta sẽ chứng minh có ít nhất một knot khác knot tầm thường. Đó chính là knot ba lá (trefoil knot). Để chứng minh được điều này ta cần đi tìm hiểu tính chất ba màu của knot. Ta định nghĩa một “cung” trên đồ thị của knot là một phần của đồ thị, nó được tính từ crossing phía dưới này đến crossing phía dưới khác, ở giữa hai crossing này có duy nhất một crossing mà nó nằm trên. Ta nói đồ thị của knot có tính chất ba màu nếu mỗi cung trên đồ thị được tô bởi một màu trong ba màu khác nhau. Vì thế ở mỗi crossing, hoặc có tới ba màu khác nhau hoặc chỉ có một màu duy nhất. Để một đồ thị được tô ba màu thì cần có ít nhất hai màu được sử dụng. Ở hình bên dưới có hai đồ thị của knot 3 lá được tô ba màu. Ở đồ thị thứ nhất, ba màu khác nhau gặp nhau ở mỗi crossing. Còn ở đồ thị thứ hai, một số crossing chỉ có duy nhất một màu xuất hiện (màu trắng). Tuy nhiên không có chỗ giao nhau nào có đúng hai màu xuất hiện nên nó vẫn thoã tính chất ba màu của knot. 2.Ví dụ 1 “cung” ba màu khác nhau tại crossing 1 màu duy nhất tại crossing GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 47 Một trong ba đồ thị của các knot 16 , 26 , 36 sẽ có đồ thị có tính chất ba màu (đồ thị của knot 16 ) (bạn đọc tự tô màu). 3. Sự ảnh hưởng của các phép dịch chuyển Reidemeister đối với tính ba màu của knot Mục đích của chúng ta là muốn nghiên cứu xem nếu một knot được tô ba màu thì qua phép dịch chuyển Reidemeister nó còn bảo toàn tính chất ba màu hay không? Đối với 0R thì hiển nhiên tính chất ba màu của knot vẫn được bảo toàn vì 0R chỉ biến knot K thành knot đối xứng của nó. Đối với 1R : vì 1R chỉ tạo ra hay làm mất đi một crossing trên một cung nào đó trong đồ thị nên ta chỉ cần giữ nguyên lại màu ban đầu của cung đó khi thực hiện phép di chuyển 1R thì đồ thị của knot vẫn đảm bảo tính ba màu. Tiếp theo ta xét đối với phép dịch chuyển 2R : nếu như ta thực hiện phép dịch chuyển 2R để tạo ra hai crossing mới trên đồ thị của knot thì khi đó ta có hai trường hợp: hoặc là hai đoạn dây gốc ban đầu có màu khác nhau thì ta chỉ cần đổi màu của đoạn dây mới tạo ra bằng một màu thứ ba; hoặc màu trên hai đoạn dây gốc ban đầu 16 26 36 1R không làm thay đổi tính chất ba màu của knot GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 48 giống nhau thì ta vẫn giữ màu như cũ cho đoạn dây mới, lúc đó đồ thị thu được vẫn sẽ đảm bảo tính ba màu. Ngược lại, nếu dùng phép dịch chuyển 2R để làm mất đi hai crossing trên đồ thị của knot thì nó vẫn đảm bảo tính ba màu. Tương tự ta cũng dễ dàng chứng minh được phép dịch chuyển 3R sẽ không làm mất đi tính chất ba màu của knot. 4. Nhận xét - Vì các phép dịch chuyển Reidemeister không làm ảnh hưởng đến tính chất ba màu của knot nên một knot có tính chất ba màu hay không là tuỳ thuộc vào bản chất của knot đó. - Đối với một knot hoặc tất cả các đồ thị của nó có tính ba màu hoặc không đồ thị nào của nó có tính chất ba màu . Chẳng hạn, mọi đồ thị của knot 3 lá đều có tính chất ba màu và đồ thị thông dụng nhất của knot tầm thường (đường tròn) không có tính ba màu (do không thể dùng ba màu khác nhau để tô màu cho đường tròn) nên knot ba lá là hoàn toàn phân biệt với knot tầm thường. Như vậy, dựa vào tính chất ba màu của knot mà ta đã chứng minh được có ít nhất một knot khác knot tầm thường. Thực chất thì bất kỳ một knot nào có tính chất ba màu đều khác knot tầm thường. Hay tổng quát hơn, ta có thể kết luận rằng bất kỳ một knot nào có tính chất ba màu đều là phân biệt so với những knot không có tính chất ba màu. hoặc 2R không làm thay đổi tính chất 3 màu của knot GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 49 Kết thúc chương II ta đã có một cái nhìn tổng quát về knot bằng hai phương pháp: trực quan và toán học. Từ việc tìm hiểu một số knot đặc biệt cũng như nghiên cứu các bất biến của chúng đã giúp cho ta nắm được những tính chất cơ bản nhất của đối tượng này. Ngoài ra, ta đã có thể chứng minh được sự khác nhau giữa các knot thông qua tính ba màu trên đồ thị của nó. Đây là những cơ sở lý thuyết rất quan trọng cho việc nghiên cứu nhóm cơ bản của knot ở chương sau. GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 50 CHƯƠNG III : NHÓM CƠ BẢN CỦA KNOT Trong phần này ta sẽ chứng minh một định lý cơ bản của tôpô đại số - định lý Van Kampen. Bằng cách áp dụng định lý Van Kampen ta sẽ chứng minh một công cụ để tính số nhóm cơ bản của knot- định lý Wirtinger. Sau đó ta sẽ đi tìm hiểu nhóm cơ bản của vài knot đơn giản. I. ĐỊNH LÝ VAN-KAMPEN 1. Định lý Cho X là không gian tôpô. Giả sử 1U và 2U là hai tập mở thỏa mãn: ⎧ =⎪⎨⎪⎩ U I 1 2 1 2 1 2, , laø caùc taäp lieân thoâng ñöôøng X U U U U U U Lấy ∈ I1 2p U U . Xét biểu đồ giao hoán : Trong đó 1 2 1 2, , ,i i j j là các đồng cấu. Nếu có một nhóm G và các đồng cấu φ φ1 2, sao cho: ( ) φ φ φ π ⎧ =⎪⎨ →⎪⎩ o o1 1 2 2 1: , vôùi m = 1,2m m i i U p G thì tồn tại đồng cấu ( )1: ,X p Gφ π → sao cho ; 1,2m mj mφ φ= ∀ =o . ( )π I1 1 2 ,U U p ( )π1 ,X p 1i 1j ( )π1 1,U p ( )π1 2 ,U p 2i 2j GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 51 Chứng minh : Đặt ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2, , , , , , ,L U U p L U p L U p L X pI là không gian các đường đóng tại p trong 1 2U UI , 1U , 2U , X . Nếu α là một đường đóng trong ( ),L M p với { }1 2 1 2, , ,M U U U U X∈ I thì lớp tương đương của α trong M được ghi là [ ]Mα . Xét ( ) ( )1 2: , ,L U p L U p Gϕ →U với ( ) [ ]( ) ( )[ ]( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 , , , , φ α α ϕ α φ α α ⎧ ∈⎪= ⎨ ∈⎪⎩ U U L U p L U p Do ( ) ( ) ( )1 2 1 2, , ,L U p L U p L U U p=I I nên: ( )1 2 ,L U U pα∀ ∈ I thì ( ) ( )1 2, ,α ∈ IL U p L U p , do đó ta có: ( ) [ ]( ) [ ]( )( ) [ ]( )( ) [ ]( ) ( ) 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2U U U U U U i iϕ α φ α φ α φ α φ α ϕ α= = = = =I I Từ đó ta có ϕ là một ánh xạ. Ngoài ra do 1 2,φ φ là các đồng cấu nhóm nên ta có : ( 1,2m∀ = ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) 1 2 3 : , , , : , , , : , , m m m mU U m m mU L U p L U p L U p ϕ α β ϕ α ϕ β α β ϕ ϕ α β ϕ α ϕ β α β ϕ ϕ α φ α α = ⇒ = ∀ ∈ ∗ = ∀ ∈ = ∀ ∈ Tiếp theo, lấy ( ),L X pα ∈ . Giả sử: : I Xα → thỏa mãn ( ) ( )0 1 pα α= = . Ta phân hoạch I như sau : 0 1 2 3 10 .... 1n ns s s s s s−= < < < < < < = sao cho [ ] [ ]( )1 1, ,k k k ks s s sα α− −= sẽ nằm trong 1U hoặc 2U , 1,∀ =k n G ( )π1 2 ,U p ( )π1 ,X p ( )π1 1,U p ( )π I1 1 2 ,U U p 1i 2i 1j 2j 1φ 2φ φ GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 52 Ngoài ra, xét :k I Xγ → thỏa mãn ( ) ( ) ( )0 ; 1 , 1, 1k k kp s k nγ γ α= = = − . và nếu ( )k ms Uα ∈ thì Im k mUγ ⊂ . Nếu xét 0 , :γ γ →n I X thỏa mãn ( ) ( ) ( )0 0 10 ; 1γ γ α= =p s ( ) ( ) ( )10 ; 1γ γ α −= =n n np s thì ta có thể viết như sau : [ ] [ ] [ ]1 20 1 10 1 1 2 1,, ,... n nn ns ss s s sα γ α γ γ α γ γ α γ−−= ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Ta thấy rằng với cách xây dựng kγ và [ ]1 ,k ks sα − như trên thì [ ] ( ) ( )11 1 2, , , , 1,k kk ks s L U p L U p k nγ α γ−− ∗ ∗ ∈ ∀ =U Đặt ( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )1 20 1 10 1 1 2 1,, ,... n nn ns ss s s sϕ α ϕ γ α γ ϕ γ α γ ϕ γ α γ−−= ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Ta sẽ chứng minh rằng cách đặt trên là không phụ thuộc vào việc chọn iγ và việc phân hoạch I . a.Giả sử ta thay kγ bởi /γ k , 0,k n= . Đặt [ ] [ ]1 11 1 1, ,;k k k kk k k ks s s sβ γ α β α γ− +− − += ∗ = ∗ Trường hợp n = 3 1s 2s 0 0s = 3 1=s ( )1sα ( )2sα 1γ 2γ 0γ 3γ p GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 53 Ta thấy rằng nếu ( )k ms Uα ∈ thì ( ) / /; ,γ γ γ γ∗ ∗ ∈k k k k mL U p . Do đó ta có: ( ) ( ) ( ) / / / /ϕ γ γ ϕ γ γ ϕ γ γ γ γ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ =k k k k k k k k Ge . Ngoài ra ta còn có: • Nếu ( ) /1 ,β γ− ∗ ∈k k mL U p thì ( ) / ,γ γ∗ ∈k k mL U p . • Nếu ( ) / ,γ β∗ ∈k k mL U p thì ( ) / ,γ γ∗ ∈k k mL U p . Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) / / / /1 1 1ϕ β γ ϕ γ γ ϕ β γ γ γ ϕ β γ− − −∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ = ∗k k k k k k k k k k ( ) ( ) ( ) ( ) / / / /ϕ γ γ ϕ γ β ϕ γ γ γ β ϕ γ β∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ = ∗k k k k k k k k k k Từ đó ta suy ra: ( ) ( ) / /1ϕ β γ ϕ γ β− ∗ ∗k k k k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / / / 1 1 . k k k k k k k k k k k k ϕ β γ ϕ γ γ ϕ γ γ ϕ γ β ϕ β γ ϕ γ β − − = ∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ Vậy khi thay kγ bởi /γ k thì ta có ( )ϕ α không thay đổi. b. Lấy ( )1' ,k ks s s−∈ đặt ' : I Xγ → thỏa mãn ( ) ( ) ( )' 0 ; ' 1 'p sγ γ α= = và nếu ( )' ms Uα ∈ thì Im ' mUγ ⊂ . p ( )1ksα + ( )1ksα − ( )ksα /γ k kγ 1kγ − 1kγ + GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 54 Do [ ]( ) ( )1, ,α − ∈k k ms s L U p nên ta có : [ ]11 , ' 'γ α γ−− ∗ ∗kk s s và [ ] ( )',' ,k k ms s L U pγ α γ∗ ∗ ∈ Vì vậy nên : [ ]( ) [ ]( )11 , ' ',' 'k kk ks s s sϕ γ α γ ϕ γ α γ−− ∗ ∗ ∗ ∗ [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ]( ) 1 1 1 1 , ' ', 1 , ' ', 1 , ' ' . k k k k k k k ks s s s k ks s s s k ks s ϕ γ α γ γ α γ ϕ γ α α γ ϕ γ α γ − − − − − − = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ Vậy ( )ϕ α không phụ thuộc vào việc phân hoạch I. Bây giờ ta sẽ chứng minh một số tính chất sau : ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) : ; , , . : ; , , . : ; , . m X X m mU I L X p II L X p III L U p α β ϕ α ϕ β α β ϕ α β ϕ α ϕ β α β ϕ α φ α α = ⇒ = ∀ ∈ ∗ = ∀ ∈ = ∀ ∈ Có thể thấy ( )II và ( )III một cách rõ ràng; ta sẽ chứng minh ( )I . Lấy ( ), ,L X pα β ∈ sao cho [ ] [ ]α β=X X .Khi đó tồn tại : :H I I X× → thoả ( ) ( ) ( ) ( ),0 ; ,1H x x H x xα β= = . Ta phân hoạch I thành các đoạn [ ]1,k ks s− và [ ]1,l lt t− sao cho [ ] [ ]( )1 1, ,− −× ⊂k k l l mH s s t t U , , 0,k l n∀ = Đặt ( ) ( )( ) ,l ls H s tα = thì ta có ( )( ) ,l L X pα ∈ . p ( )ksα ( )1ksα − ( )'sα 1kγ − kγ 'γ GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 55 Đặt kγ là đường nối p với ( )( 1)l ksα − . kδ là đường nối ( )( 1)l ksα − với ( )( )l ksα . Khi đó /γ γ δ= ∗k k k là đường nối p với ( )( )l ksα . Ngoài ra [ ] [ ]1 1 ( ) ( 1) 1 , ,k k k k l l k ks s s sδ α δ α− −−− ∗ ∗ . Mặt khác : [ ] [ ]( )1 1, ,− −× ⊂k k l l mH s s t t U nên [ ] ( )1( 1)1 , ,γ α γ−−− ∗ ∗ ∈k klk k ms s L U p và [ ] ( )1 / ( ) /1 , ,γ α γ−− ∗ ∗ ∈k klk k ms s L U p . Do đó : [ ]1 / ( ) / 1 ,γ α γ−−⎡ ⎤∗ ∗⎣ ⎦k k m l k ks s U [ ] [ ] 1 1 ( ) 1 1 , ( 1) 1 , . k k m k k m l k k k ks s U l k ks s U γ δ α δ γ γ α γ − − − − − − ⎡ ⎤= ∗ ∗ ∗ ∗⎣ ⎦ ⎡ ⎤= ∗ ∗⎣ ⎦ (1)α (2)α (0)α α= (3)α β= ( )( ) 1l ksα − ( ) ( )l ksα ( )( ) 1l ksα + kγ 1kγ + 1kδ + kδ p ( )( 1) 1l ksα − − ( )( 1)l ksα − ( )( 1) 1l ksα − + 1kγ − 1kδ − GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 56 Kết hợp ( )1ϕ ta có : [ ]( ) [ ]( )1 1 / ( ) / ( 1)1 1, ,ϕ γ α γ ϕ γ α γ− −−− −∗ ∗ = ∗ ∗k k k kl lk k k ks s s s . Từ đó ta có : ( ) ( )( 1) ( ) , 0l l lϕ α ϕ α− = ∀ > hay ( ) ( )ϕ α ϕ β= ( theo cách đặt ( )ϕ α ) Vậy ( )I đúng. Đặt ( )1: ,X p Gφ π → [ ] ( ) α ϕ αa Từ ( )I và ( )II ta suy ra φ là một đồng cấu nhóm. Từ ( )III ta có: [ ]( )( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( ), , m m m m mU U j L U pφ α φ α ϕ α φ α α= = = ∀ ∈ Hay [ ]( ) [ ]( ) m mm mU U jφ α φ α=o Vậy , 1,2m mj mφ φ= ∀ =o . Vậy định lý được chứng minh xong. 2. Nhận xét 2.1. Một sơ đồ giao hoán: thoả mãn định lý Van-Kampen được gọi là một sơ đồ Amalgate. 2.2.Trong sơ đồ giao hoán dạng trên, nếu ta lấy: 1 2G H H N= ∗ trong đó ( ) ( ){ }11 2 1 2,N i k i k k K H H−= ∈ ⊂ ∗ Đồng thời nếu ta lấy 1 2,j j thoả ( ) ,m mj h hN h H= ∀ ∈ với 1,2m = . Thì khi đó sơ đồ sẽ trở thành sơ đồ Amalgate. Chứng minh Xét sơ đồ sau: 1H 1i 1j 2i 2j K 2H G GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 57 trong đó, 1 2 1 2, , , ,i i j j G được cho như trên. k K∀ ∈ , ta thấy rằng: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )111 1 1 2 1 2 2 2 2j i k i k N i k i k i k N i k N j i k−−= = = = Vậy 1 1 2 2j i j i=o o hay sơ đồ là giao hoán. Xét G là một nhóm bất kì. với :m mH Gφ → là một đồng cấu nhóm thoả 1 1 2 2i iφ φ=o o . Ta sẽ xây dựng φ . Đặt 1 2 1 2: H H Gφ φ∗ ∗ → Do 1 2,φ φ là đồng cấu nên 1 2φ φ∗ là đồng cấu . Mặt khác, do 1 1 2 2i iφ φ=o o nên: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )11 11 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 Gi k i k i k i k i k i k eφ φ φ φ φ φ−− −∗ = = = . nên ( ) ( ) ( )11 2 1 2eri k i k k φ φ− ∈ ∗ do đó ( )1 2erN k φ φ⊂ ∗ . Từ đó ta nhận được φ cảm sinh từ 1 2φ φ∗ như sau: 1 2: H H N Gφ ∗ → ( )1 2 hN hφ φ∗a Ngoài ra: ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 ,m m mj h hN h h h Hφ φ φ φ φ= = ∗ = ∀ ∈ . Do đó nên ta có điều phải chứng minh. 3. Hệ quả Với các giả thiết của định lý Van-Kampen. Nếu ta lấy nhóm ( ) ( )1 1 1 2, ,G U p U p Nπ π= ∗ G 1i 2i 1j 2j 1φ 2φ φ 2H 1H K G GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 58 với [ ]( ) [ ]( ) [ ] ( ){ }11 2 1 1 2, ,N i i U U pα α α π−= ∈ I thì ta sẽ có: ( )1 ,X p Gπ ≅ . Chứng minh Xét sơ đồ: Từ định lý Van-Kampen và nhận xét ở trên, ta có thể xây dựng: ( )1: ,X p Gφ π → sao cho , 1,2m mj mφ φ= ∀ =o . ( )1' : ,G X pφ π→ sao cho ' , 1,2m mj mφ φ= ∀ =o . X ét ' :G Gφ φ →o ta có: Vậy ' GIdφ φ =o . Tương tự ta có: ( )1 ,' X pIdπφ φ =o . Vậy ( )1 ,X p Gπ ≅ hay nói cách khác: ( ) ( ) ( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ] ( ){ }1 1 1 1 2 1 2 1 1 2, , , ; , ,X p U p U p i i U U pπ π π α α α π≅ ∗ = ∈ I . II. NHÓM CƠ BẢN CỦA KNOT 1. Định nghĩa Cho knot K, nhóm cơ bản của knot K là nhóm cơ bản ( )31 \R Kπ . Ví dụ: nhóm cơ bản của knot tầm thường là ( )3 11 \R Sπ . Ta sẽ chứng minh rằng ( )3 11 \R S Zπ ≅ hay nói cách khác nhóm cơ bản của knot tầm thường là một nhóm xyclic vô hạn. Thật vậy, trên 1S ta lấy một hướng nhất định. Khi đó ta xác định hướng của một đường đóng tại p cố định trong 3 1\R S như sau: G ( )π1 2 ,U p ( )π1 ,X p ( )π1 1,U p ( )π I1 1 2 ,U U p 1i 2i 1j 2j 1φ 2φ φ 'φ GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 59 Ta thấy rằng một đường đóng f tại p trong 3 1\R S chỉ có ba loại là: • Không vòng qua 1S . • Vòng qua 1S theo chiều vặn vào của đinh ốc. • Vòng qua 1S theo chiều vặn ra của đinh ốc. Do đó nếu ta đặt: { } [ ]{ } [ ]{ } 0 1 2 , , p n n A c A f n N A f n N ∗ ∗ − ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ = ∈ = ∈ trong đó: • pc là đường đóng hằng tại p . • nf là đường đóng xoắn quanh 1S theo chiều vặn vào của đinh ốc n lần. • nf− là đường đóng xoắn quanh 1S theo chiều vặn ra của đinh ốc n lần. Thì dễ dàng thấy rằng: ( )3 11 0 1 2\π ≅ ≅U UR S A A A Z . 2. Đại diện Wirtinger của knot 2.1. Định lý Wirtinger Giả sử K là một knot định hướng có n crossing và m cung 1 2 3, , ,..., ma a a a liên tiếp theo thứ tự cho trước. Tại crossing c đặt cr như sau: p p 1 1 c i k j kr a a a a − −= 1 1c i k j kr a a a a− −= ia ka ia ka ja ja GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 60 Khi đó, định lý Wirtinger được phát biểu như sau: Với knot K như trên thì nhóm cơ bản của K đẳng cấu với nhóm G được xác định như sau: 1 2 1 2, ,..., ; , ,...,m nG a a a r r r= . Chứng minh Không mất tính tổng quát, ta giả sử K là knot có các cung trên nằm trong mặt phẳng 1z = và các cung dưới nằm trong mặt phẳng 0z = như sau : Gọi N’ là một khối trụ lân cận của K. Giả sử N’ nhận cạnh của K làm trục và có đường kính đáy là 2δ với 2 1δ < . Khi đó dễ thấy: ( ) ( )3 31 1\ \ 'R K R Nπ π≅ . Vì vậy nên ta sẽ thay việc tính ( )31 \R Kπ bằng việc tính ( )31 \ 'R Nπ . Đặt ( ){ }1 , , | 0 \ '= >U x y z z N . 0=z 1=z GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 61 ( ){ }2 , , | \ 'δ= <U x y z z N . Dễ thấy 1U và 2U là các không gian liên thông đường và 3 1 2 \ 'U U R N=U . Khi đó theo định lý Van-Kampen ta có: ( ) ( ) ( )31 1 1 1 2\ 'R N U U Nπ π π= ∗ với [ ]( ) [ ]( ) [ ] ( ){ }1 2 1 1 2,N i i U Uα α α π= = ∈ I . a. Bây giờ ta tính ( )1 1Uπ và ( )1 2Uπ . Gọi các cung nằm trên 1z = là 1 2, ,..., mA A A . Các cung nằm trên 0=z là 1 2, ,..., nB B B . Thấy rằng, 1U là một nửa không gian đã bị khoét bởi m ống trụ lân cận của 1 2, ,..., mA A A . Ngoài ra trên 1U còn có các rãnh do ống trụ lân cận của 1 2, ,..., nB B B tạo ra , tuy nhiên các rãnh đó không làm ảnh hưởng đến ( )1 1Uπ . Lấy 1 2p U U∈ I , ta thấy rằng mỗi đường đóng tại p trong 1U có dạng: - Hoặc là không vòng qua lỗ hổng nào trên 1U và ta dễ thấy rằng những đường đóng này co rút về đường đóng hằng tại p . - Hoặc là có vòng qua ít nhất một lỗ hổng trên 1U . Đặt các đường đóng đó là 1 2, ,..., mx x x tương ứng với các lỗ hổng 1 2, ,..., mA A A . ix jx kx kA iA jA 1U iB p GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 62 Đồng thời giả sử đường đóng ix vòng quanh iA (hay cung ia ) theo chiều vặn vào của đinh ốc (và đi từ dưới vòng lên trên). Khi đó ta có tương ứng 1-1 giữa ix và ia . Dễ thấy rằng 1U sẽ đồng phôi với hình bó hoa gồm m vòng tròn dán với nhau tại p . Thật vậy, giả sử có một đường đóng bao quanh hai lỗ hổng thì nó chính là tích của hai đường đóng tại hai lỗ hổng đó. Do vậy nên ( )1 1 1 2 1 2, ,..., , ,...,m mU x x x a a aπ ≅ ≅ . Mặt khác ta có ( )1 2Uπ là tầm thường . [ ] [ ]0, ,1s sα α γ γ α= ∗ ∗ ∗ ( )sα γ p 0=z p p GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 63 Vậy ( ) ( )1 1 1 2 1 2, ,..., mU U a a aπ π∗ ≅ . (1) b. Bây giờ ta xét tập quan hệ N Ta có : [ ]( ) [ ]( ) [ ] ( ){ }1 2 1 1 2,N i i U Uα α α π= = ∈ I [ ]( ) [ ] ( ){ }1 1 1 21,i U Uα α π= = ∈ I (vì ( )1 2Uπ là tầm thường ). [ ] [ ] ( ){ }1 1 21, U Uα α π= = ∈ I (vì 1i là đồng cấu nhúng ) (×) Ta sẽ xác định ( )1 1 2U Uπ I . Thấy rằng 1 2U UI là một phần không gian bị khoét n lỗ hổng tại n crossing của K. Khi đó tương tự như cách tính ( )1 1Uπ ta cũng có: ( )1 1 2 1 2, , ,..., nU U p l l lπ ≅I trong đó il là đường đóng tại lỗ hổng thứ i theo chiều vặn vào của đinh ốc. Xét tại crossing thứ c, ta luôn có một trong hai dạng sau: • Dạng 1: Do ( )1 2 ,∈ Icl L U U p nên cl sẽ nằm dưới các cung ia , ja , ka của K. Tại các cung ia , ja , ka , ta có các đường đóng , ,i j kx x x (đã được xác định ở trên) như sau: ia ja ka 0=z δ=z GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 64 Ta thấy rằng 1 1c i k j kl x x x x − − .Thật vậy: • Dạng 2: Xét tương tự như trên ta có: ix ia j a ka ia ka ja ia ja ka jx kx kx kx kx ix jx p p p p ja ka ia kx ix 1 jx − 1 kx − GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 65 Do: Nên 1 1c i k j kl x x x x − − . Vậy ta có: hay [ ] 1c i k j kl x x x xε ε− −⎡ ⎤⎣ ⎦ với ε là dấu của crossing thức. Do ix và ia có sự tương ứng 1-1 nên kết hợp với (×) ta có: { }ε ε− −= =1 1;( , , ) laø caùc cung taïo thaønh moät crossingi k j k i j kN a a a a a a a = 1 2, ,..., nr r r (2) Từ (1) và (2) theo định lý Van-Kampen ta có: ( )π ≅31 1 2 1 2\ ' , ,..., , ,...,m nR N a a a r r r hay viết cách khác: ( )π ≅31 1 2 1 2\ ' , ,..., ; , ,...,m nR N a a a r r r . Vậy: ( )π ≅31 1 2 1 2\ , ,..., ; , ,...,m nR K a a a r r r . 2.2. Chú ý a.G là thương của nhóm tự do 1 2, ,..., ma a a với tập các quan hệ 1 2, ,..., nr r r . b. Thực tế, dễ dàng thấy rằng trong n quan hệ 1 2, ,..., nr r r ta chỉ cần tối đa (n- 1) quan hệ là đủ; bởi nếu ta lấy tích tự do của (n-1) quan hệ nào đó thì sẽ sinh ra quan hệ cuối cùng. [ ] 1 1c i k j kl x x x x− −⎡ ⎤⎣ ⎦ [ ] 1 1c i k j kl x x x x− −⎡ ⎤⎣ ⎦ p p ia ka ka ja ja ia kx ix 1 jx − 1 kx − GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 66 c.Đồng thời, do có tập quan hệ 1 2, ,..., nr r r nghĩa là quan hệ ε ε− − =1 1i k j ka a a a có thể được viết lại: ε ε−=i k j ka a a a nên đôi khi ta có thể giảm bớt được số lượng phần tử trong tập sinh 1 2, ,..., ma a a . 3. Ví dụ 3.1. Knot tầm thường ( Unknot ) Vậy ( )3 11 \π ≅ ≅R S a Z . 3.2. Knot ba lá ( Trefoil knot ) Ta có các quan hệ: 1 1 2 3 2 1 2 3 1 3 1 3 1 2 1 − − − = = = a a a a a a a a a a a a Từ định lý Wirtinger ta có: ( )3 1 11 1 2 3 1 2 3 2 2 3 1 3\ , , ; ,π − −≅ = =R K a a a a a a a a a a a . Thấy rằng: 11 2 3 2 −=a a a a Suy ra: 1 12 3 2 3 2 3 − −=a a a a a a Hay 2 3 2 3 2 3=a a a a a a . Vậy cuối cùng ta có: ( )31 2 3 2 3 2 3 2 3\ , ;π ≅ =R K a a a a a a a a . a 1a 2a 3a GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 67 3.3. Knot hình số 8 Ta có các quan hệ: 1−=a c dc (1) 1−=b dad (2) 1−=c a ba (3) 1−=d bcb (4) Ta chọn (2),(3),(4) là các quan hệ cần dùng.Thấy rằng: (4)⇒ =db bc Từ (3) 1−⇒ =bc ba ba 1−⇒ =db ba ba 1 1− −⇒ =b db a ba (*) Lấy (2) thay vào (*) ta được: 1 1 1 1 1− − − − −=da d ddad a dad a 1 1 1 1− − − −⇒ =da dad a dad a 1 -1−⇒ =ada da dad ad Vậy : ( )3 1 -11 \ , ; dadπ −≅ =R K a d ada da ad . Trong chương này, chúng ta đã tính được số nhóm cơ bản của một vài knot đơn giản như knot tầm thường, knot ba lá hay knot hình số 8 thông qua một công cụ hữu hiệu là định lý Wirtinger. Việc tính số nhóm cơ bản của các knot khác cũng tương tự nhưng hơi phức tạp hơn ( nếu có thời gian em sẽ nghiên cứu tiếp nhóm cơ bản của các knot này ). a b c d GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 68 KẾT LUẬN FÂG ƒ Qua khoá luận này ta biết được một phần nào về Tôpô đại số như lý thuyết đồng luân, nhóm cơ bản,…Đồng thời ta cũng thấy được một sự ứng dụng của toán học vào đời sống thực tại thông qua việc khảo sát nhóm cơ bản của knot. ƒ Trong khóa luận ta chỉ chứng minh được một phương pháp tính nhóm cơ bản của knot. Ta đã biết rằng nhóm cơ bản là một vấn đề tương đối cơ bản đối với Tôpô đại số nên đã có rất nhiều nhà toán học quan tâm. Chính vì lẽ đó, không chỉ có đại diện Wirtinger mà còn các cách khác để tính nhóm cơ bản của knot. Không chỉ vậy, người ta còn dùng đa thức để khảo sát tính bất biến của các knot. ƒ Do tính hạn chế về thời gian và kiến thức nên em đã không thể trình bày được hết những gì muốn trình bày, em hy vọng sẽ được các thầy giúp đỡ trong việc nghiên cứu thêm những gì còn dang dỡ đằng sau luận văn này. ƒ Em xin chân thành cảm ơn các thầy trong hội đồng phản biện đã theo dõi bài luận văn của em. GVHD: PGS-TS LÊ ANH VŨ SVTH: LÊ THÀNH TUẤN Khóa Luận Tốt Nghiệp 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Colin.C. Adams . The knot book. 2. Đậu Thế Cấp. NXBGD. Tôpô Đại Cương. 3. Nguyễn Văn Đoành. NXBĐHSP. Giáo trình nhập môn tôpô. 4. Hoàng Xuân Sính. NXBGD. Đại số đại cương. 5. Lê Văn Chua. 2007. Bài giảng: Lý thuyết nhóm. 6. Trần Phi Thoàn. Năm 2001. Nhóm cơ bản và một vài ứng dụng. Luận văn tốt nghiệp cử nhân ngành Toán. Khoa sư phạm - Trường ĐHAG. 7. Nguyễn Hoàng Anh. Năm 2007. Nhóm cơ bản của knot. Khoá luận tốt nghiệp cử nhân Toán - Tin trường ĐHSP TPHCM. \\ y y [[