Khóa luận Sử dụng hàm Green để giải một số bài toán truyền nhiệt

g trình vi phân thuần nhất 1( ) 0L u = và 2( ) 0L u = được dùng đến. Giải phương trình trên suy ra /W c p= hay là pW c= . Tiểu kết : Trong chương này chúng tôi đã nêu lên khái niệm về bài tập vật lý, tầm quan trọng của bài tập vật lý. Trình bày các cơ sở toán học cơ bản, cần thiết cho việc xây dựng phương pháp hàm Green. - 17- CHƯƠNG II: XÂY DỰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN 2.1. Khái niệm hàm Green. Tính đối xứng của hàm Green Để đưa vào khái niệm hàm Green, chúng ta bắt đầu với các toán tử vi phân cấp 2 có dạng đồng nhất với hàm Green. Mọi toán tử vi phân cấp 2 có dạng )1.1.2()()()()( 212 2 0 yxadx dyxa dx ydxayLx ++= Các toán tử liên hợp đồng dạng với nó là: )2.1.2()()]()(2[)()( )(])([])([)( 21 / 02 2 0 * 2102 2 * yxa dx dyxaxa dx ydxayL yxayxa dx dyxa dx dyL x x +−+=⇒ +−= Cho hai hàm u(x) và v(x) là hai hàm liên tục tùy ý cùng với đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của nó. Dùng hai toán tử (2.1.1) và (2.1.2) để xác định đồng nhất thức Lagrange của hai hàm u(x) và v(x) như sau )3.1.2()],([)()( * vuP dx dvuLuvL xx =− Trong đó )4.1.2()()()()(),( /0010 uvxadx dvxavuxa dx duxavuP ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ += Được gọi là hàm song tuyến. Đồng nhất thức Lagrange của 2 hàm khả vi u(x) và v(x) được xác định trên miền { }bxaxI ≤≤= / . Tích phân đồng nhất thức (2.1.3) ta có đồng nhất thức các hàm Green. [ ] )5.1.2(,),()]()([ *∫ =−b a b axx vuPdxvuLuvL Trong đó [ ] )()]()()()([)()]()()()([ )()]()()()([)()]()()()([),( / 0 / 01 / 0 / 0 / 01 / 0 auavaaavaaavauaaauaa bubvbabvbabvbubabubavuP ba +−+− −+−+= Định nghĩa tích hàm của đồng nhất thức Green: ∫= b a xx dxuvLuLv )6.1.2(.)())(,( Tích phân từng phần tích hàm thu được += ))(,())(,( * vLuuLv xx các hạng thức trên biên. - 18- Sử dụng đồng nhất thức Green cho thích hợp để tìm nghiệm phương trình với biên ở hai điểm như sau )7.1.2( )(;)( );()( 2211⎩⎨ ⎧ == = gyBgyB xfyLx Trong đó: Lx là toán tử tuyến tính cho bởi (2.1.1); g1; g2 là các hằng số và B1, B2 là các toán tử biên tuyến tính dạng Robin: bx ax xy dx xdyyB xy dx xdyyB = = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ += ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ += )()()( ;)()()( 222 111 βα βα (2.1.8) Sử dụng đồng nhất thức Green để giải bài toán biên Dirichlet 1 2 ( ) ( ); (2.1.9) ( ) ( ) 0, ( ) ( ) 0 (2.1.10) xL y f x B y y a B y y b = = = = = Để giải phương trình này, đổi biến x trong phương trình (2.1.1) và (2.1.5) thành biến mới ξ và viết đồng nhất thức Green theo biến mới [ ] )11.1.2(,))(),(()]()()()([ *∫ =−b a b avuPdvLuuLv ξξξξξ ξξ Trong phương trình (2.1.11), biến ξ được dùng như một biến giả của phép lấy tích phân và vì thế các toán tử *ξξ LvàL là toán tử đạo hàm đối với ξ . Để giải phương trình (2.1.9) với điều kiện (2.1.10), đặt u(ξ ) = y(ξ ) là nghiệm của phương trình (2.1.9) với x thay bằng ξ và u thay bằng y trong đồng nhất thức Green. Như vậy, đồng nhất thức Green (2.1.11) thay )()( ξξ fyL = ta có ∫∫ =− b a b a b a vyPdvLydfv )12.1.2())](),(([)()()()( * ξξξξξξξ ξ Trong đó: [ ] )()]()()()([)()]()()()([ )()]()()()([)()]()()()([),( / 0 / 01 / 0 / 0 / 01 / 0 ayavaaavaaavayaaayaa bybvbabvbabvbybabybavyP ba +−+− −+−+= (2.1.13) Chọn v(ξ ) = G*(ξ ;x) là hàm Green thỏa mãn điều kiện )14.1.2(,),());(( ** baxxGL ≤≤−= ξξδξξ Nó là phương trình liên hợp với đạo hàm trong *ξL (đạo hàm theo biến ξ ), )( ξδ −x là hàm Delta Dirac có tính chất - 19- ∫ += −= =− εξ εξ ξξδξ x x xydxy )15.1.2()()()( Thay v(ξ )=G*(ξ ;x) vào đồng nhất thức Green (2.1.12),rút gọn thành )16.1.2());(),(());(),(()()()();( *** xaGayPxbGbyPxydfxG b a ∫ −=−ξξξ Nghiệm y(x) trong bài toán (2.1.9) có thể thu được bằng kết quả của tích phân (2.1.16) . Chúng ta sẽ nghiên cứu kỹ hơn tích phân (2.1.16). Hàm f(ξ ) đã cho từ phương trình (2.1.9), hàm G*(ξ ;x) thu được từ việc giải phương trình (2.1.14) có dạng ).());(( ** ξδξξ −= xxGL Theo điều kiện (2.1.10) ta có )17.1.2(0);(][,0);(][ );()]()([);()]()([)];(),([ *** 2 *** 1 */ 0 */ 0 * ==== −= == ab b a xGGBxGGB xaGayaaxbGbybaxGyP ξξ ξξ ξξ Điều kiện biên này được gọi là điều kiện biên liên hợp. Từ đó ta có nghiệm của (2.1.16) là )18.1.2()();()( *∫= b a dfxGxy ξξξ Trong đó G*(ξ ;x) là hàm Green thỏa mãn phương trình baxxGL ≤≤−= ξξδξξ ),());(( ** , với các điều kiện biên )19.1.2(0);(][,0);(][ ***2 *** 1 ==== xbGGBxaGGB Như vậy, để tìm nghiệm của phương trình (2.1.9), ta đi tìm hàm Green G*(ξ ;x) . Đó chính là phương pháp tìm nghiệm mới, được gọi là phương pháp hàm Green. Nhằm mục đích xây dựng phương pháp hàm Green ta đưa ra 2 hàm Green G và hàm Green liên kết G* thỏa mãn các toán tử Lx và L*x cho bởi phươnng trình (2.1.20) và (2.1.21) sau: )21.1.2(),();( )20.1.2(),();( ** bxaxxGL bxaxxGL x x ≤≤−= ≤≤−= ξδξ ξδξ Với các điều kiện biên 0);(][,0);(][ ***2 *** 1 ==== xbGGBxaGGB Trong các phương trình trên, các vi phân lấy theo biến x các toán tử ( Lx, B1, B2) có dạng liên hợp của nó là ( *2 * 1 * ,, BBLx ), điều kiện biên liên hợp được chọn là 0),( * =baGGP . Hàm Green cho bởi phương trình (2.1.20) và (2.1.21) thỏa mãn quan hệ đối xứng G*(x;ξ ) = G(ξ ;x) (2.1.22) - 20- Để chứng minh tính đối xứng trên, nhân phương trình (2.1.20) với G*(x;t) và sau đó thay biến ξ trong phương trình (2.1.21) bằng biến t, rồi nhân phương trình (2.1.21) với G*(x;ξ ) ta thu được: )();();( )();();( ** txtxGLxG xxGLtxG x x −= −= δξ ξδξ (2.1.23) Trừ hai phương trình trên và sau đó tích phân từ a đến b ta thu được đồng nhất thức Green )24.1.2(0);();()]();()();([ ))];(();());(();([],[ *** ***** =−=−−−= =−= ∫ ∫ ξξδξξδ ξξ tGtGtxxGxtxG txGLxGxGLtxGGGP b a b a xx b a Từ đó suy ra (2.1.22), và gọi là tính chất đối xứng của hàm Green. Như vậy nghiệm của bài toán Dirichlet (2.1.18) có dạng )25.1.2()();()();()( * dxxfxGdfxGxy b a b a ∫∫ == ξξξξ 2.2. Xây dựng phương pháp hàm Green Xét phương trình truyền nhiệt tổng quát có nguồn nhiệt, điều kiện biên thuần nhất: 2 2 2 ( , ) 0 (0, ) 0, ( , ) 0 (2.1) ( ,0) ( ) u ua Q x t x l t x u t u l t u x xϕ ⎧∂ ∂= + < <⎪ ∂ ∂⎪⎪ = =⎨⎪ =⎪⎪⎩ Bước 1: Áp dụng phương pháp tách biến Fourier và phương pháp mở rộng hàm riêng ta chọn nghiệm có dạng ∑ ∑ ∞ = ∞ = = = 1 1 sin)(),( sin)(),( n n n n l xntqtxQ l xntutxu π π Bước 2: Thay vào phương trình (2.1), tìm nghiệm: Phương trình truyền nhiệt )()( )( 2 tqtu l an dt tdu nn n =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+ π . Nghiệm có dạng : - 21- ∫ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− += t t l an n t l ant l an nn deqeeutu 0 222 )()0()( ττ πππ Dựa vào điều kiện ban đầu tìm hàm un(0) ∫ ∑ =⇒ = ∞ = l n n n d l n l u l xnux 0 1 sin)(2)0( sin)0()( ξπξξϕ πϕ ∑∞ = = 1 sin)(),( n n l xntqtxQ π ∫=⇒ l n dl nQ l tq 0 sin),(2)( ξπξτξ Cuối cùng ta thu được ∑ ∫∞ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= 1 0 2 sin)(2),( t l anl ed l n l txu π ξπξξϕ l xnded l nQ l e t t l anlt l an πτξπξτξ ππ sinsin),(2 0 0 22 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+ ∫ ∫ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− Đổi thứ tự giữa tổng và tích phân ta thu được ξτππξτξ ξππξξϕ τπ π dde l xn l n l Q de l xn l n l txu n t l anl t n t l anl ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = ∑∫ ∫ ∑∫ ∞ = −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− ∞ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− 1 )( 0 0 10 2 2 sinsin2),( sinsin2)(),( Bước 3: Đưa ra hàm Green ∑∞ = −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−= 1 )( 2 sinsin2),;,( n t l an e l xn l n l txG τπππξτξ Như vậy để tìm nghiệm của phương trình ta đi tìm hàm Green. Đó chính là phương pháp tìm nghiệm mới được gọi là phương pháp hàm Green. 2.3 Hàm riêng, trị riêng cho hàm Green Xét phương trình vi phân không thuần nhất Sturm_ Liouville tổng quát: L(u) = f(x) - 22- Giả thiết hai điều kiện biên là thuần nhất, ta đưa vào một bài toán trị riêng tương ứng: λσφφ −=)(L có cùng điều kiện biên thuần nhất, hàm σ có thể tùy ý. Ta tìm nghiệm u(x) bằng cách khai triển vào chuỗi Fourier của các hàm riêng: ∑∞ = = 1 )( n nnaxu φ Tác động toán tử L vào hai vế của đẳng thức trên, thu được ∑∑ ∞ = ∞ = =−= 11 )()( n nnn n nn xfaLa σφλφ Ta có các hàm riêng trực giao nhau theo công thức ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≠ ≠ = ∫∫ /2 / , ,0 )()( / nndx nn dxxx b a n b a nn σφφσφ Suy ra dx dxxf a b a n b a n nn ∫ ∫ =− 2 )( σφ φ λ Nghiệm của bài toán giá trị biên cho phương trình vi phân không thuần nhất là ξξξξ σφλ ξφφξ dxGfd dx xfxu b an b a nn nn b a ),()(( )()( )(()( 1 2 ∫∑ ∫∫ = − = ∞ = Trong đó ∑ ∫ ∞ = − = 1 2 )()( ),( n b a nn nn dx xxG σφλ ξφφξ Áp dụng kết quả trên để giải bài toán: 0)(,0)0();(2 2 === luuxf dx ud Ta có các trị riêng và hàm riêng tương ứng là: 2 n n l πλ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ và ( ) sinn n xX x l π= , với 1,2,...n = - 23- Ta có: 0 ( ) ( ) ( , ) l u x f G x dξ ξ ξ= ∫ 2 1 sin sin2( , ) n n x n l lG x l n l π πξ ξ π ∞ = = − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑ 2.4 Hàm điều hoà. Biễu diễn Green Giả sử Ω là một miền trong nR còn u là hàm thuộc lớp 2 ( )C Ω .Hàm ( )u x thỏa mãn phương trình Laplaxơ 0u∆ = (2.4.1) với mọi x thuộc Ω được gọi là hàm điều hoà trong Ω . Dạng không thuần nhất của phương trình Laplaxơ được gọi là phương trình Poisson. Nghiệm của phương trình Poisson trong miền Ω là hàm ( )u x thuộc lớp 2 ( )C Ω sao cho ( )u f x∆ = (2.4.2) với bất kỳ x thuộc Ω .Nghiệm như thế còn được gọi là nghiệm cổ điển của phương trình Poisson trong miền Ω . Giả sử c là một miền bị chặn trong nR với biên ∂Ω thuộc lớp 1B và giả sử ( ), ( )u x v x là các hàm thuộc lớp 2 1( ) ( )C CΩ ∩ Ω . Công thức Gauss- Ostrogradsky : 1 1 , n n j j j j jj u dx u ds x υ = =Ω ∂Ω ∂ =∂∑ ∑∫ ∫ Trong đó υ là pháp vectơ đơn vị ngoài tới ∂Ω , ds là phần tử diện tích ∂Ω . Từ công thức này ta nhận được công thức tính tích phân từng phần: 2 2 j j j j j u v u uv dx dx v dS x x x x υ Ω Ω ∂Ω ∂ ∂ ∂ ∂= − +∂ ∂ ∂ ∂∫ ∫ ∫ (2.4.3) Lấy tổng đẳng thức (2.4.3) theo j từ 1 đến n ta nhận được công thức Green thứ nhất: 1 n j j j v u uv udx dx v dS x x υ=Ω Ω ∂Ω ∂ ∂ ∂∆ = − +∂ ∂ ∂∑∫ ∫ ∫ (2.4.4) Đổi vai trò u và v trong công thức (2.4.4), sau đó lấy (2.4.4) trừ đi công thức vừa nhận được, ta có công thức Green thứ hai ( ) ( ) u vv u u v dx v u dSυ υΩ ∂Ω ∂ ∂∆ − ∆ = −∂ ∂∫ ∫ (2.4.5) Các công thức (2.4.4) và (2.4.5) được sử dụng để nghiên cứu phương trình Laplaxơ và phương trình Poisson. - 24- Phương trình Laplaxơ có một nghiệm đối xứng xuyên tâm 2 nr − đối với 2n > và lnr đối vớii 2n = , ở đây r là khoảng cách đến một điểm cố định. Ta cố định điểm y∈Ω và đưa vào một nghiệm cơ bản chuẩn tắc của phương trình Laplaxơ: 21 , 2, (2 )( ) ( ) 1 ln , 2, 2 n n x y n n n wx y x y x y nπ −⎧ − >⎪ −⎪Γ − = Γ − = ⎨⎪ − =⎪⎩ ở đây nw là thể tích hình cầu đơn vị trong nR . Qua một số phép tính ta nhận được { }2 2 1( ) ( ) , 1( ) ( )( ) , i i j n x i i n n x x ij i i j j n D x y x y x y nw D x y x y n x y x y x y nw δ − − − Γ − = − − Γ − = − − − − − ở đây 1ijδ = nếu i j= và 0ijδ = nếu i j≠ . Đương nhiên Γ là hàm điều hoà khi x y≠ . Trong trường hợp khi x y= không thể thay thế hàm Green trong công thức (2.4.5) bằng hàm Γ được. Tuy nhiên việc khó khăn này có thể khắc phục được nhờ việc thay thế Ω bằng \ , ( )B B B yρ ρ ρΩ = là quả cầu tâm y bán kính ρ đủ nhỏ. Công thức (2.4.5) khi đó có dạng \ ( ) ( ) . B B u uudx u ds u ds ρ ρ υ υ υ υΩ ∂Ω ∂ ∂ ∂Γ ∂ ∂ΓΓ∆ = Γ − + Γ −∂ ∂ ∂ ∂∫ ∫ ∫ (2.4.6) Hơn nữa 1( ) ( ) max 0nn B B u u uds ds nw ρ ρ ρ ρ ρυ υ υ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂Γ = Γ ≤ Γ →∂ ∂ ∂∫ ∫ 0khi ρ → và / ( ) ( ) ( ) B B u ds uds u x u yρ ρ ρ ρυ∂ ∂ ∂Γ = −Γ = − → −∂∫ ∫ Khi 0, x Bρ ρρ → ∈∂ . Từ đó khi cho 0ρ → trong đẳng thức (2.4.6) ta nhận được công thức ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) , .uu y u x y x y ds x y udx yυ υ∂Ω Ω ∂Γ ∂= − −Γ − + Γ − ∆ ∈Ω∂ ∂∫ ∫ (2.4.7) Nếu 0u∆ = trong c thì từ (2.4.7) ta rút ra ( ) ( ( ) ( ) ) ,uu y u x y x y ds yυ υ∂Ω ∂Γ ∂= − −Γ − ∈Ω∂ ∂∫ (2.4.8) - 25- Công thức (2.4.8) cho biễu diễn Green của hàm điều hoà thuộc lớp 2 ( )C Ω tại điểm bất kỳ y∈Ω qua giá trị của ( )u x trên ∂Ω và giá trị của đạo hàm theo pháp tuyến u υ ∂ ∂ trên ∂Ω . Bởi vì trong đẳng thức (2.4.8) các hàm dưới dấu tích phân là các hàm khả vi vô hạn, hơn nữa giải tích theo y , nên hàm ( )u y cũng giải tích trong Ω . Như vậy các hàm điều hoà giải tích trong toàn miền xác định của nó. Do đó chúng được xác định đơn trị nhờ các giá trị của mình trên một tập con mở bất kỳ của miền xác định. Tính chất đáng chú ý này của hàm điều hoà cũng đúng cho lớp các phương trình elliptic với các hệ số giải tích. Tích phân dạng 2 0 0( ) ( ) , 2, nu y a x x y dx n− Ω = − >∫ (2.4.9) được gọi là thế vị khối hay thế vị Newton với mật độ 0 ( )a x trong Ω . Tích phân dạng 2 1 1( ) ( ) , 2, nu y a x x y ds n− ∂Ω = − >∫ (2.4.10) được gọi là thế vị lớp đơn với mật độ 1( )a x trên ∂Ω , còn tích phân dạng 2 2 2( ) ( ) , 2, nx y u y a x ds nυ − ∂Ω ∂ −= >∂∫ (2.4.12) được gọi là thế vị lớp kép với mật độ 2 ( )a x trên ∂Ω . Trong trường hợp n = 2 tương tự ta cũng có các định nghĩa thế vị Newton hay logarit và các thế vị lớp đơn, thế vị lớp kép. Khi đó các công thức (2.4.9) (2.4.10) (2.4.11) cần thay hàm 2 nx y −− bằng hàm ln x y− − . Từ công thức (2.4.8) suy ra một hàm điiều hoà thuộc lớp 2 ( )C Ω có thể biểu diễn dưới dạng tổng của một thế vị lớp đơn và một thế vị lớp kép trên ∂Ω , mật độ của chúng được xác định bởi các giá trị /u υ∂ ∂ vàu trên ∂Ω . Về ý nghĩa vật lý, gradien của thế vị Newton (2.4.9) xác định cường độ của trường tĩnh điện trong 3 \R ∂Ω được tạo thành bởi điện tích phân bố trong Ω với mật độ 0 ( )a x . Thế vị lớp đơn (2.4.10) là thế vị của trường tĩnh điện trong 3 \R ∂Ω được sinh ra bởi điện tích phân bố trên ∂Ω với mật độ 1( )a x . Gradien của thế vị lớp kép (2.4.11) xác định cường độ của trường tĩnh điện được gây ra bởi ngẫu cực phân bố trên ∂Ω với mật độ mặt 2 ( )a x . Bởi vì 20 , 2 n x x n −− > là hàm khả vi vô hạn theo x và 0x khi 0x x≠ , nên 20 1 1 2 0 2 2 0, 0. n n u a x x ds u a x x dsυ − ∂Ω − ∂Ω ∆ = ∆ − = ∂∆ = ∆ − =∂ ∫ ∫ - 26- Do đó các hàm 01( )u x và 0 2 ( )u x là các hàm điều hoà trong \ nR ∂Ω nếu a1 và a2 là các hàm thuộc lớp 0 ( )C ∂Ω . Như vậy các tích phân (2.4.10) và (2.4.11) xác định hai họ nghiệm của phương trình Laplace trong Ω . Cũng lý lụân như vậy ta nhận được thế vị Newton (2.4.9) là hàm điều hoà trong \nR Ω nếu 00 ( ) ( ).a x C∈ Ω Bây giờ giả thiết hàm 2 1( ) ( )h C C∈ Ω ∩ Ω thoả mãn phương trình 0u∆ = trong Ω . Khi đó nhờ công thức Green thứ hai (2.4.5) ta nhận được ( )h uu h ds h udxυ υ∂Ω Ω ∂ ∂− − = ∆∂ ∂∫ ∫ . Cộng đẳng thức này với (2.4.7) và đặt G h= Γ + ta nhận được biễu diễn Green tổng quát hơn ( ) ( ) .G uu y u G ds G udxυ υ∂Ω Ω ∂ ∂= − + ∆∂ ∂∫ ∫ Nếu bổ sung G = 0 trên ∂Ω thì ( ) .Gu y u ds G udxυ∂Ω Ω ∂= + ∆∂∫ ∫ (2.4.12) Hàm ( , )G G x y= như thế được gọi là hàm Green ( của bài toán Dirichlet) đối với miền Ω . Đôi khi nó còn được gọi là hàm Green loại một đối với Ω . Như vậy việc tồn tại được một hàm Green kéo theo khả năng biểu diễn được một hàm điều hoà bất kỳ thuộc 2 1( ) ( )C CΩ ∩ Ω qua các giá trị biên của nó. Tiểu kết: Ở chương này đã xây dựng xong phương pháp hàm Green làm cơ sở cho việc áp dụng nó để giải bài toán truyền nhiệt ở chương sau. Phương pháp hàm Green là phương pháp không giải trực tiếp phương trình vi phân mà tìm hàm Green thông qua việc giải phương trình khác. Rồi biễu diễn nghiệm cần tìm thông qua hàm Green. - 27- CHƯƠNG III: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM GREEN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT 3.1 Thiết lập phương trình truyền nhiệt: Nhiệt truyền từ nơi có nhiệt độ cao sang nơi có nhiệt độ thấp theo ba cách: quá trình dẫn nhiệt, quá trình bức xạ nhiệt và quá trình đối lưu. Quá trình dẫn nhiệt bên trong vật là do sự chuyển động của các phân tử bên trong vật. Trong vật rắn, dòng nhiệt chuyển từ nơi có nhiệt độ cao (là nơi có một số lớn các phân tử chuyển động có vận tốc lớn hay động năng lớn) sang nơi có nhiệt độ thấp hơn ( là nơi có vận tốc và động năng các phân tử nhỏ hơn). Quá trình bức xạ nhiệt giữa hai vật xảy ra khi nhiệt truyền qua không gian từ vật nóng hơn sang vật lạnh hơn ( không tính đến nhiệt độ không gian giữa hai vật), đó chính là chuyển động nhiệt dưới dạng sóng. Một ví dụ là sự truyền nhiệt độ của Mặt Trời cho Trái Đất. Nhiệt truyền do đối lưu xảy ra do một số loại chuyển động nhiệt di chuyển từ nơi này sang nơi khác. Cường độ của dòng đối lưu xảy ra khi cánh quạt thổi dòng nhiệt từ nơi này sang nơi khác. Có một loại truyền nhiệt khác sinh ra do bay hơi hoặc ngưng tụ. Tất cả các quá trình truyền nhiệt này được nghiên cứu trong các môn học đại cương và chuyên đề về nhiệt. Trong chương này chủ yếu tập trung nghiên cứu quá trình truyền nhiệt trong vật dẫn. Chúng ta nhắc lại định lý Gauss thường dùng để chuyển tích phân mặt sang tích phân 3 lớp. Nếu ),,,( tzyxFF rr = là một trường vectơ liên tục, xác định mọi nơi bên trong thể tích V với bề mặt kín S bao quanh nó, thì theo định lý Gauss ∫∫∫ ∫∫= V S dnFdFdiv ,. στ rrr (3.1.1) trong đó: τd là yếu tố thể tích và σd là yếu tố diện tích bề mặt; nr là pháp tuyến ngoài của bề mặt có độ dài bằng đơn vị. Sử dụng định lý Gauss, định luật Fourier về quá trình truyền nhiệt và định luật bảo toàn năng lượng để xây dựng phương trình truyền nhiệt, theo định luật Fourier về quá trình truyền nhiệt. ,⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂−=∇−=−= k z uj y ui x ukukugradkq rrrr (3.1.2) trong đó: qr là lượng nhiệt truyền qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian; k là hệ số dẫn nhiệt phụ thuộc vào tính chất của vật liệu khi nhiệt truyền qua; hàm ),,( zyxuu = biễu diễn nhiệt độ của vật. Bề mặt có nhiệt độ không đổi ),,( zyxu = const được gọi là mặt đẳng nhiệt. Ta thấy rằng, vectơ gradient trùng với pháp tuyến tại bất kỳ điểm nào trên bề mặt và hướng theo chiều tăng của nhiệt độ. Vì dòng nhiệt hướng từ nóng sang lạnh nên trong công thức (3.1.2) của định luật Fourier về quá trình truyền nhiệt lấy dấu trừ. Như vậy định luật Fourier về quá trình truyền nhiệt có thể được giải thích là dòng nhiệt truyền theo hướng tăng của nhiệt độ. Đại lượng vectơ qr được gọi là vectơ dòng nhiệt, bằng lượng nhiệt truyền qua một đơn vị diện tích. Sử dụng các đại lượng nhiệt sau: - 28- ),,( zyxcc = là nhiệt dung của vật rắn; ),,( zyxρρ = là mật độ khối lượng tính trên một đơn vị thể tích; ),,( zyxkk = là hệ số dẫn nhiệt của chất rắn; ),,,( tzyxqq rr = là dòng nhiệt truyền qua một đơn vị diện tích; ),,,( tzyxHH = là nguồn nhiệt tự sinh ra trên một đơn vị thể tích; ),,,( tzyxuu = là nhiệt độ tại mọi điểm của vật. Viết định luật bảo toàn năng lượng cho một miền tùy ý V với bề mặt kín S bao quanh. Gọi HS là lượng nhiệt thay đổi trong V với khoảng thời gian t∆ . Hc là lượng nhiệt đi qua bề mặt S trong khoảng thời gian t∆ . HG là lượng nhiệt sinh ra trong V trong khoảng thời gian t∆ . Định luật bảo toàn được viết dưới dạng 0=−+⇒+= SGCGCS HHHHHH (3.1.3) Lượng nhiệt có trong yếu tố thể tích τd của V và τρudc . HS là lượng nhiệt thay đổi trong V trong khoảng thời gian t∆ có dạng ∫∫∫∂∂= VS udctH .τρ (3.1.4) HC là lượng nhiệt đi qua bề mặt S trong thời gian )( ucρ , nói cách khác là thông lượng đi qua bề mặt S là ∫∫−= S C dnqH ,. σvv (3.1.5) trong đó dấu trừ để đổi dấu cho vectơ pháp tuyến ngoài có độ dài đơn vị là nv . Theo định lý Gauss, tích phân bề mặt được chuyển thành ∫∫∫−= V C dqdivH .τv (3.1.6) Nhiệt lượng sinh ra trong V được cho bởi ∫∫∫= V C HdH .τ (3.1.7) Kết quả từ các công thức (3.1.4), (3.1.6) và (3.1.7) cho phép viết định luật bảo toàn bởi phương trình τρ duc t Hqdiv V ∫∫∫ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ∂ ∂−+− )(r (3.1.8) Kết quả trên cho một thể tích V tùy ý và thời gian tùy ý t∆ , như vậy số hạng trong dấu ngoặc {} phải bằng không. Thay biểu thức của vectơ qr vào phương trình (3.1.2) biểu thị định luật Fourier của quá trình truyền nhiệt ta thu được phương trình truyền nhiệt trong vật dẫn - 29- ).()( uc t Hugradkdiv ρ∂ ∂=+ (3.1.9) Hoặc có thể viết dưới dạng mở rộng ).( uc t H z k zy k yx k x ρ∂ ∂=+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ (3.1.10) Trong trường hợp đặt biệt, nếu k là hằng số ta có .)()( 2 ukukukugradkdiv ∆=∇=∇∇= (3.1.11) ∆=∇ 2 được gọi là toán tử Laplace. Khi các hệ số đều là hằng số, có thể viết phương trình truyền nhiệt dưới dạng ,,,2 ρρ c HQ c kaQua t u ==+∆=∂ ∂ (3.1.12) hệ số a được gọi là độ khuếch tán của vật liệu. Nếu 0lim =∂ ∂ ∞→ t u t thì có thể nói nhiệt độ ở trạng thái dừng hay ổn định. Trong trường hợp trạng thái dừng 0=∂ ∂ t u , trong phương trình (3.1.12) nhiệt độ chỉ phụ thuộc vào các vị trí bên trong. Nếu không có nguồn nhiệt, tức là 0=Q , phương trình truyền nhiệt trở thành phương trình thuần nhất. Ta có thể lập bảng sau cho phương trình truyền nhiệt trong hệ tọa độ Đề- các. Các dạng khác nhau của phương trình truyền nhiệt trong hệ tọa độ Đề- các. Các trường hợp Dạng toán tử Dạng một chiều Tổng quát ( ) t ucHuk ∂ ∂=+∇∇ ρ t ucH x uk x ∂ ∂=+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ Vật liệu đồng chất t u k c k Hu ∂ ∂=+∇ ρ2 t u k c k H x u ∂ ∂=+∂ ∂ ρ 2 2 Trạng thái dừng ( ) 0=+∇∇ Huk 0=+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ H x uk x Trạng thái dừng với vật liệu đồng chất 02 =+∇ k Hu 02 2 =+ k H dx ud - 30- Các điều kiện ban đầu và điều kiện biên cho phương trình truyền nhiệt Cho vật thể V với mặt S bao quanh, các điều kiện biên khác nhau có thể đặt trên mặt biên S như sau: 1. Điều kiện biên Dirichlet hay bài toán biên loại I đòi hỏi nhiệt độ được xác định trên biên của miền, mà tại đó phương trình truyền nhiệt giải được. Loại điều kiện biên này có dạng ),,,,(),,,( 1),,( tzyxftzyxu Szyx =∈ (3.1.13) trong đó 1f là nhiệt độ đã được xác định. 2. Điều kiện biên Neumann hay bài toán biên loại II đòi hỏi dòng nhiệt đi qua biên được xác định rõ trên biên của miền, mà tại đó phương trình truyền nhiệt giải được. Loại điều kiện biên này có dạng ( , , ) ( , , ) 2 ( , , ) ( , , , ) . ( , , , ) ,x y z S x y z S x y z S u x y z t gradu n f x y z t n ∈ ∈ ∈ ∂ = =∂ r (3.1.14) Trong đó 2f là dòng nhiệt đã được xác định. Đối với biên cách nhiệt thì . 0. Bien Bien u gradu n n ∂ = =∂ r (3.1.15) 3. Điều kiện biên Robin hay bài toán biên loại III đòi hỏi dòng nhiệt đi qua biên và nhiệ độ trao đổi với môi trường xung quanh được xác định rõ trên biên của miền, mà tại đó phương ttrình truyền nhiệt giải được. Loại điều kiện bhiên này có dạng ( , , ) 3 ( , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ,x y z S x y z S u x y z t hu x y z t f x y z t n ∈ ∈ ∂ + =∂ (3.1.16) Trong đó: h >0 là hằng số, 3f là dòng nhiệt đã được xác định. 4. Điều kiện biên hổn hợp là kết quả của các điều kiện biên loại I và II. 3.2 Bài toán biên phụ thuộc thời gian 3.2.1 Phương pháp tách biến Fourier cho bài toán truyền nhiệt Tìm sự phân bố nhiệt trong thanh hữu hạn trên đoạn [0, L] nằm dọc theo trục x. Biết hai đầu x = 0 và x = L được giữ ở nhiệt độ bằng không, phân bố nhiệt ban đầu của thanh là ( )f x . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2( ) 0, 0 . 0, , 0; . ,0 u uL u a x L t x u t u L t u x f x ⎧ ∂ ∂= − = < <⎪ ∂ ∂⎪⎪ = =⎨⎪ =⎪⎪⎩ (3.2.1) - 31- đây là bài toán Dirichlet xác định nhiệt độ tại các đầu mút của thanh và f(x) là nhiệt độ phân bố lúc ban đầu. Dùng phương pháp tách biến. Nghiệm tìm được có dạng: ( ) ( ) ( )tTxXtxuu == , (3.2.2) thay (3.2.2) vào phương trình (3.2.1), ta được: ( ) ( ) ( ) ( )tTxXatTxX ′′=′ 2 tiếp tục, chia hai vế của phương trình cho ( ) ( )tTxXa2 , ta được: ( ) ( ) ( ) ( )xX xX tTa tT ′′=′2 trong đó, vế trái chỉ phụ thuộc vào t, còn vế phải chỉ phụ thuộc vào x, nghĩa là cho dù các biến số thay đổi, nhưng tỷ số luôn luôn bằng nhau. Điều đó chỉ xảy ra khi tỷ số này là một hằng số và được chọn là λ− , với Const=λ .Tức là: ( ) ( ) ( ) ( ) λ−= ′′=′ xX xX tTa tT 2 , ta nhận được hai phương trình vi phân sau: ( ) ( ) ( ) ;0,02 ≠=+′ tTtTatT λ (3.2.3) ( ) ( ) ( ) ;0,0 ≠=+′′ xXxXxX λ (3.2.4) Sử dụng điều kiện biên ban đầu (3.2.1) cho ta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎩⎨ ⎧ == == 0, 00,0 tTLXtLu tTXtu do ( ) 0≠tT ( ) ( )⎩⎨ ⎧ = =⇒ 0 00 LX X (3.2.5) Xét phương trình (3.2.4): Nếu 0,0 <= λλ , ta có: u (x,t)=0 ( loại) Nếu 0>λ , đặt 2c=λ , ta có nghiệm không tầm thường: ( ) cxBcxAxX sincos += theo điều kiện ban đầu (3.2.5), ta có ( ) ( )⎩⎨ ⎧ == == 0sin 00 cLBLX AX 0B⇒ ≠ và phương trình tìm trị riêng: sincL=0 - 32- L nc π=⇒ Do đó, bài toán chỉ có nghiệm không tầm thường khi giá trị riêng: 2 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=== L ncn πλλ với: n=1,2,3….. Với mỗi trị riêng có một hàm riêng tương ứng được viết là: ( ) sinn nX x xL π= Xét phương trình (3.2.3): ( )2222 caca T T −=−=′ ( ) tcann eAtT tca A T AtcaT 22 22 22 ln lnln −=⇒ −=⇒ +−=⇒ với nA là hằng số tuỳ ý. Nghiệm riêng của phương trình truyền nhiệt (3.2.2) là: ( ) ( ) ( ) L xneAtTxXtxuu t L an nnnnn ππ sin, 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−=== (3.2.6) Nghiệm tổng quát là tổng của tất cả các nghiệm riêng ứng với các giá trị khả dĩ của n ( ) ( ) ∑∑ ∞ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−∞ = == 11 sin,, 2 n t L an nn n L xneAtxutxu π π (3.2.7) Điều kiện ban đầu (3.2.1) cho ta xác định tuỳ ý nA . Ta có: ( ) ( ) ∑∞ = == 1 sin0, n n L xnAxfxu π (3.2.8) Theo lý thuyết chuỗi Fourier, có thể tìm được các hệ số nA là: ( ) ( ) dx L xnxf LX XfA L n n n πsin2, 0 2 ∫== (3.2.9) - 33- 3.2.2 Phương pháp hàm Green cho bài toán truyền nhiệt Tìm sự phân bố nhiệt trong thanh hữu hạn trên đoạn [0, l] nằm dọc theo trục x. Biết hai đầu x = 0 và x = l được giữ ở nhiệt độ bằng không, phân bố nhiệt ban đầu của thanh là ( )xϕ và trong thanh có nguồn nhiệt Q (x, t) Giải: 2 2 2 ( , ) 0 (0, ) 0, ( , ) 0 (3.2.10) ( ,0) ( ) u ua Q x t x l t x u t u l t u x xϕ ⎧∂ ∂= + < <⎪ ∂ ∂⎪⎪ = =⎨⎪ =⎪⎪⎩ Áp dụng phương pháp mở rộng hàm riêng ta chọn nghiệm có dạng ∑ ∑ ∞ = ∞ = = = 1 1 sin)(),( sin)(),( n n n n l xntqtxQ l xntutxu π π Thay vào phương trình (3.2.10), tìm nghiệm: Phương trình truyền nhiệt )()( )( 2 tqtu l an dt tdu nn n =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+ π . Nghiệm có dạng : ∫ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− += t t l an n t l ant l an nn deqeeutu 0 222 )()0()( ττ πππ Dựa vào điều kiện ban đầu tìm hàm un(0) ∫ ∑ =⇒ = ∞ = l n n n d l n l u l xnux 0 1 sin)(2)0( sin)0()( ξπξξϕ πϕ ∑∞ = = 1 sin)(),( n n l xntqtxQ π ∫=⇒ l n dl nQ l tq 0 sin),(2)( ξπξτξ Cuối cùng ta thu được - 34- ∑ ∫∞ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= 1 0 2 sin)(2),( t l anl ed l n l txu π ξπξξϕ l xnded l nQ l e t t l anlt l an πτξπξτξ ππ sinsin),(2 0 0 22 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+ ∫ ∫ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− Đổi thứ tự giữa tổng và tích phân ta thu được ξτππξτξ ξππξξϕ τπ π dde l xn l n l Q de l xn l n l txu n t l anl t n t l anl ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = ∑∫ ∫ ∑∫ ∞ = −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− ∞ = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− 1 )( 0 0 10 2 2 sinsin2),( sinsin2)(),( Hàm Green có dạng: ∑∞ = −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−= 1 )( 2 sinsin2),;,( n t l an e l xn l n l txG τπππξτξ Nghiệm của phương trình (3.3.1) có thể viết dưới dạng 0 0 0 ( , ) ( ) ( , , ,0) ( , ) ( , , ,0) . t l t u x t G x t d Q G x t d dϕ ξ ξ ξ ξ τ ξ τ ξ= +∫ ∫ ∫ Như vậy chúng ta đã tìm được sự phân bố nhiệt trên thanh, nghiệm này được biễu diễn thông qua hàm Green. Phương pháp tìm nghiệm được trình bày ở trên là phương pháp hàm Green. Ta nhận thấy phương pháp này có phần đơn giản vì không trực tiếp giải phương trình vi phân không thuần nhất. Đối với bài toán này, để tìm sự phân bố nhiệt độ trong thanh bằng phương pháp tách biến Fourier ta phải đi giải phương trình vi phân không thuần nhất dạng: 2 2 2 ( , ) u ua Q x t t x ∂ ∂= +∂ ∂ . Nghiệm của phương trình này là u(x, t) chính là sự phân bố nhiệt độ trong thanh. Để giải được phương trình đó phải qua nhiều bước: - Dùng phương pháp tách biến tìm nghiệm của phương trình thuần nhất ở dạng u(x,t) = X(x).T(t). Thay nghiệm này vào phương trình thuần nhất một chiều từ đó di đến việc giải các phương trình vi phân. - Sử dụng các điều kiện biên để suy ra dạng của nghiệm u(x,t) của phương trình thuần nhất. - Cho nghiệm u(x,t) của phương trình thuần nhất thoả mãn điều kiện ban đầu, kết hợp với việc áp dụng chuỗi Fourier khai triển hàm 1( , ) ( , )Q x t q x t cρ= - 35- - Thay vào phương trình truyền nhiệt không thuần nhất, từ đó mới suy ra nghiệm cần tìm u(x,t). Như vậy phương pháp hàm green giúp chúng ta giải bài toán này đơn giản hơn, ngắn gọn hơn. 3.2.3 Bài toán truyền nhiệt trong miền tròn Xác định sự phân bố nhiệt độ trong miền tròn bàn kính R, tâm O. Miền tròn D có biên Γ . Giải: Ở đây chúng tôi sẽ giải bài toán này bằng hai phương pháp: tách biến Fourier và phương pháp hàm Green. Cách 1: Phương pháp tách biến Fourier: Giả sử hình tròn bán kính R với tâm tại cực O của hệ toạ độ cực. Ta tìm hàm ( , )u r θ điều hoà trong hình tròn, và trên vòng tròn của nó thoả mãn điều kiện ( ) r R u f θ= = trong đó ( )f θ là hàm cho trước, liên tục trên vòng tròn. Hàm cần tìm phải thỏa mãn trong hình tròn phương trình Laplaxơ. 2 2 2 2 2 0 u u ur r r r θ ∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂ (3.2.11) Giả sử nghiệm riêng được tìm dưới dạng: ( ) ( ).u Q r T θ= Khi đó ta được: 2 // / //. ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) 0r Q r T rQ r T Q r Tθ θ θ+ + = Tách biến: // 2 // /( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T r Q r rQ r T Q r θ θ += − Cho mỗi vế của đẳng thức nhận được bằng hằng số 2k− , ta có hai phương trình vi phân thường // 2 2 // / 2 ( ) ( ) 0, ( ) ( ) ( ) 0. T k T r Q r rQ r k Q r θ θ+ = + − = Từ đó, khi 0k = ta nhận được ( ) (3.2.12) ( ) ln . (3.2.13) T A B Q r C D r θ θ= + = + Nếu 0k > , thì ( ) cos sin ,T A k B kθ θ θ= + (3.2.14) Còn nghiệm phương trình thứ hai sẽ tìm dưới dạng ( ) ,mQ r r= và được 2 2 1 2( 1) 0,m m mr m m r rmr k r− −− + − = hay 2 2( ) 0,mr m k− = tức là .m k= ± Do đó - 36- ( ) .k kQ r Cr Dr−= + (3.2.15) Nhận xét rằng ( , )u r θ như là hàm của θ là hàm tuần hoàn chu kỳ 2π , vì đối với hàm đơn trị các đại lượng ( , )u r θ và ( , 2 )u r θ π+ trùng nhau. Bởi vậy , từ (3.2.12) suy ra B=0, còn trong (3.2.14) k có thể nhận một trong các giá trị 1, 2, 3,…( 0k > ). Tiếp theo, trong các đẳng thức (3.2.13) và (3.2.15) phải cho D=0, nếu không hàm số sẽ gián đoạn tại điểm r =0 và do đó không điều hoà trong hình tròn. Vậy ta nhận được vô số nghiệm riêng của phương trình (3.2.11), liên tục trong hình tròn. Chúng có thể viết dưới dạng: 0 0 ( , ) ,2 ( , ) ( cos sin ) ( 1,2,...)nn n n A u r u r A n B n r n θ θ θ θ = = + = Bây giờ ta lập hàm 0 1 ( , ) ( cos sin ) 2 n n n n A u r A n B n rθ θ θ∞ = = + +∑ Do tính tuyến tính và thuần nhất của phương trình Laplaxơ, hàm này cũng là nghiệm của nó. Ta còn xác định A0, An, Bn để hàm đó thoả mãn điều kiện ( ) r R u f θ= = Tức là 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 n n n n A f A n B n rθ θ θ∞ = = + +∑ Ở đây ta khai triển hàm ( )f θ thành chuổi Fourier trong đoạn [ ],π π− . Theo công thức đã biết ta có: 0 1 1( ) , ( )cos , 1 ( )sin . n n n n A f d A f n d R B f n d R π π π π π π τ τ τ τ τπ π τ τ τπ − − − = = = ∫ ∫ ∫ Như vậy 1 1 1( , ) ( ). .cos ( ) . 2 n n ru r f n d R π π θ τ τ θ τπ ∞ =− ⎡ ⎤⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∑∫ Đặt 1 , ,t R ρ τ θ= − = và biểu diễn biểu thức trong ngoặc vuông dưới dạng - 37- 1 0 1 1cos cos . 2 2 n n n n nt ntρ ρ∞ ∞ = = + = −∑ ∑ Xét chuổi ( ) 0 0 0 cos sin n it n n n n n e nt i ntρ ρ ρ∞ ∞ ∞ = = = = +∑ ∑ ∑ Chuổi này hội tụkhi 1ρ < và tổng của nó bằng 2 1 1 1 cos sin . 1 1 cos sin 1 2 cosit t i t e t i t t ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ − += =− − − − + Do đó 2 2 2 0 1 1 cos 1 1cos 2 1 2 cos 2 2(1 2 cos ) n n tnt t t ρ ρρ ρ ρ ρ ρ ∞ = − −− = − =− + − +∑ . Hay trở về ký hiệu cũ ta được: 2 2 2 2 1( , ) ( ). . 2 2 cos( ) R ru r f d R Rr r π π θ τ τπ τ θ− −= − − +∫ Ta tìm được nghiệm ( , )u r θ là sự phân bố nhiệt độ trong miền tròn thoả mãn điều kiện bài toán. Cách 2: Dùng phương pháp hàm Green: Ta cần tìm hàm u thoả mãn phương trình 0u∆ = trên miền D có biên Γ . O, R là tâm, bán kính của Γ . Hàm u thoã mãn điều kiện biên ( ) ( , )u f x yΓ = vì ( , ) 0,u g x y∆ = = nên áp dụng công thức Green cho u tại điểm M0, ta được: 0 ( ) ( ) ( , ) Gu M f x y ds nΓ ∂= − ∂∫ Ta chọn / 1 1ln 2 v rπ= − thì 0v∆ = và ( )/( ) / 1 1ln 2 1 1 1(ln ln ) 2 v r G n n r r π π ΓΓ = − ∂ ∂= −∂ ∂ Ta tính được / / 1 1(ln ) cos( , ) 1 1(ln ) cos( , ) r n n r r r n n r r ∂⎧ = −⎪⎪∂⎨ ∂⎪ = −⎪∂⎩ r r r r o R M0 ρ ( )Γ - 38- Mặt khác: 2 2 2 cos( , ) , 2 R rr n Rr ρ+ −=r r với 0OMρ = 2 2 2 /cos( , ) 2 r Rr n r ρ ρ + −=r r Vậy 2 2 2 ( ) 1 ( ) 2 G R n Rr ρ πΓ ∂ −=∂ Để xác định u tại điểm M0 trên miền tròn, ta có công thức 2 2 0 2 ( ) 1 )( ) ( , ) 2 Ru M f x y ds R r ρ π Γ ⎛ ⎞−= ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ Với toạ độ cực, ta có: 0 2 2 2 ( , ), ( , ) 2 cos( ) M M R r R R ds Rd ρ ϕ θ ρ ρ θ ϕ θ = + − − = Do đó trong toạ độ cực, ta có 2 2 2 2 2 0 1( , ) ( ) 2 2 cos( ) Ru f d R R π ρρ ϕ θ θπ ρ θ ϕ ρ −= − − +∫ Cả hai phương pháp trên chúng ta đều đi đến cùng một kết quả, tìm được sự phân bố nhiệt độ trong miền tròn là như nhau. Nhưng ta nhận thấy đối với bài toán truyền nhiệt trên miền tròn thì giải bằng phương pháp hàm Green là đơn giản, tìm được nghiệm hiệu quả hơn, nhanh hơn. 3.3 Bài toán biên truyền nhiệt dừng Bài toán: Tìm sự phân bố nhiệt độ ở trạng thái dừng trong thanh hữu hạn trên đoạn [0,L].Thanh có nguồn nhiệt Q(x,t) = Q(x). Các điều kiện biên có dạng: u(0) = 0,u(L) = 0 Giải: Ở trạng thái dừng, ta có ( , ) ( ); 0uQ x t Q x t ∂= =∂ Và 2 2 2 ( ) u ua Q x t x ∂ ∂= +∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 0 ( ); ( )( ) ( ) ua Q x x Q x d uf x f x a dx ∂⇔ = +∂ = − ⇒ = - 39- (0) 0; ( ) 0u u L= = Ta sử dụng phương pháp biến thiên tham số cho phương trình 2 2 ( ) d u f x dx = bằng cách xét bài toán không thuần nhất tổng quát ( ) ( )L u f x= . Trong đó toán tử L có dạng: .d duL p q dx dx ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ ta đang xét bài toán truyền nhiệt dừng nên p =1, q = 0, ta có hai nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng là 1 và x. Nếu chọn: 1 2; ,u x u L x= = − vì 1,p c L= = − nên thu được: 1 1 0 2 2 0 1( ) ( )( ) , 1( ) ( ) . x x v x f L d c L v x f d c L ξ ξ ξ ξ ξ ξ = − + = − + ∫ ∫ Đây là hai công thức cần thiết trong phương pháp biến thiên hằng số 1 1 2 2( )u u v u v= + . Từ điều kiện biên suy ra: 1 1 2 2 2 1 0 ( ); (0) 0 0 ; ( ) 0 0 ( )( ) . L u u v u v u c L u L f L d c Lξ ξ ξ = + = → = = → = − +∫ Nghiệm của bài toán biên không thuần nhất là ( ) ( )( ) ( ) , L L x o x L xu x f L d f d L L ξ ξ ξ ξ ξ ξ−= − − −∫ ∫ Hay ( ) ( ) ( , ) , L o u x f G x dξ ξ ξ= ∫ Trong đó ( ) ( , ) ( ) x L x LG x L x x L ξ ξ ξ ξ ξ −⎧− ⎪⎩ Ta nhận thấy tính đối xứng của hàm Green ( , ) ( , ).G x G xξ ξ= - 40- Bài toán: Xét phân bố dừng của nhiệt độ trong quả cầu đồng nhất bán kính q với điều kiện nữa trên được giữ ở nhiệt độ không, nữa dưới ở nhiệt độ 1. Giải: Bài toán này ta phải giải phương trình Laplaxơ với điều kiện biên: 0 0 2( , ) 1 2 khi f khi πθ θ ϕ π θ π ⎧ < <⎪⎪= ⎨⎪ < <⎪⎩ Trước hết ta cần đưa ra hàm Green Ta xét vùng V là quả cầu bán kính q, tâm ở góc toạ độ, P0 là một điểm bất kỳ trong đó. Bao quanh V là mặt cầu S0. Kí hiệu V0 là phần của vùng V nằm ngoài S0. Do đó V0 được giới hạn bởi hai mặt S và S0. Công thức Green đối với vùng v0 là: 0 0 ) V S S u v u vv u u v dV v u dS v u dS n n n n ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ − ∆ = − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ (3.3.1) Trong công thức này ta xem u là nghiệm của bài toàn Đirichlet, còn v được chọn là hàm Green G(P) xác định như sau: 0 1( ) ( ) P P G P H p r = + Trong đó 0P P r là khoảng cách giữa P0 và một điểm biến thiên P(x, y, z), H(P) là một hàm thoã mãn phương trình Laplaxơ trong vùng V và nhận giá trị 0 1 P Mr − đối với các điểm M của mặt S 0 1( ) P M H M r = − Do đó 0 1( ) ( ) 0 P M G M H M r = + = Bây giờ ta lấy điểm *0P nằm trên một tia đi từ góc toạ độ, qua điểm P0, sao cho * 20 0r r q= trong đó 2 2 2 *0 0 0 0 0,r x y z r= + + là khoảng cách từ *0P đến tâm quả cầu. Vậy ta có 2 2 2 * 0 0 0 02 2 2 0 0 0 , ,q q qP x y z r r r ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ P0 M O - 41- * 0P nằm ngoài quả cầu( bởi vì r0 < q, nên 2 * 0 0 qr q r = > ). Các điểm P0 và *0P là đối xứng đối với mặt cầu S, giới hạn quả cầu V. M là một điểm bất kỳ trên mặt S, ta chứng minh tỉ số các khoảng cách từ M đến P0 và *0P là một đại lượng không đổi, không phụ thuộc vào M. Nếu kí hiệu P0M và * 0P M qua *0P M r và 0P Mr , ta có * 0 0 rq r q = Từ đó ta rút ra * 0 0 0 P M P M r q const r r = = (3.3.2) Ta chọn hàm Green cho quả cầu V là hàm * 0 0 0 1 1( ) P P P P qG P r r r = − Ta chỉ cần kiểm nghiệm lại là * 0 0 1( ) P P qH P r r = − Thoả mãn phương trình Laplaxơ trong quả cầu V và 0 1 S P M H r = − Vì *0P nằm ngoài quả cầu V, nghĩa là H(P) được xác định ở tất cả các điểm bên trong V và do đó * 0 1 0 P P r ⎛ ⎞⎜ ⎟∆ =⎜ ⎟⎝ ⎠ Mặt khác: * 00 0 1 1( ) S P MP M qH H M r r r = = − = − Đạo hàm theo pháp tuyến ngoài G n ∂ ∂ trên mặt cầu S. Bởi vì đạo hàm theo pháp tuyến ngoài ở điểm M của mặt cầu S trùng với đạo hàm theo phương bán kính; z P0 P O θ γ 0θ - 42- 2 2 2 S r q G G n r r x y z = ∂ ∂=∂ ∂ = + + Nên ta chuyển sang toạ độ cầu. Giả sử toạ độ cầu của điểm P là , , ;r θ ϕ của điểm P0 là 0 0 0, , ;r θ ϕ khi đó *0P sẽ có toạ độ cầu là 2 0 0 0 , ,q r θ ϕ . Các vectơ đơn vị theo các phương OP r và 0OP r là: sin cos sin sin cosi j kθ ϕ θ ϕ θ+ + rr r Và 0 0 0 0 0sin cos sin sin cosi j kθ ϕ θ ϕ θ+ + rr r nên ta có thể tìm góc γ giữa 0OP va OP r r qua tích vô hướng của hai vectơ đơn vị 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0) cos sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin (cos cos sin sin ) cos cos cos cos sin sin cos( γ θ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ θ θ θ θ ϕ ϕ ϕ ϕ θ θ θ θ θ θ ϕ ϕ = + + = + + = + − (3.3.3) Từ công thức 0 2 2 0 02 cosP Pr r r rr γ= + − ta rút ra 0 0 0 3 cos1 P P P P r r r r r γ⎛ ⎞ −∂ = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ Và 0 0 0 0 3 2 2 3 0 0 cos cos1 ( 2 cos )P P P P r q q r q r r r r q r qr γ γ γ= ⎛ ⎞ − −∂ = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ + −⎝ ⎠ Nếu thay thế 0r cho 2 0 q r , ta tìm được * 0 2 0 4 2 2 3 2 0 0 2 0 0 2 2 2 3 0 0 cos 1 ( 2 cos ) cos ( 2 cos ) P P r q qq r r r q qq q r r r r q q q r qr γ γ γ γ = −⎛ ⎞∂ ⎜ ⎟ = − =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ + − −= − + − Từ công thức Green v đối với vùng V0, ta tìm được 0 1 1( ) ( ) 4 S Gu P f M ds nπ ∂= − ∂∫ Đối với quả cầu có tâm ở góc toạ độ, ta có - 43- 2 2 0 0 12 2 2 3 0 0 1( ) ( ) 4 ( 2 cos )S q r u P f M dS q q r qrπ γ −= + −∫ Hay 2 2 2 0 0 2 2 3 0 0 0 0 ( ) ( , )sin 4 ( 2 cos ) q rqu P f d d q r qr π π θ ϕ θ θ ϕπ γ −= + −∫ ∫ (3.3.4) Trong đó hàm 1( )f M là hàm của các toạ độ cầu vaθ ϕ trên mặt S giới hạn bởi quả cầu V kí hiệu là 2( , ), sin ,f dS q d dθ ϕ θ θ ϕ= còn cosγ được tính bằng (3.3.3). Sử dụng các điều kiện biên 0 0 2( , ) 1 2 khi f khi πθ θ ϕ π θ π ⎧ < <⎪⎪= ⎨⎪ < <⎪⎩ ta được 2 2 2 0 0 2 2 3 0 0 0 2 ( ) sin 4 ( 2 cos ) q rqu P d d q r qr π π π θ θ ϕπ γ −= + −∫ ∫ Ta tìm phân bố nhiệt độ trên bán kính với 0 0θ = và 0θ π= . Khi 0 0, cos cosθ γ θ= = và 2 2 2 0 0 2 2 3 0 0 0 2 2 2 0 2 2 0 0 0 2 2 2 0 2 2 0 00 ( ) sin 4 ( 2 cos ) 2 2 cos 1 1 1 2 q rqu P d d q r qr q rq qr q r qr q r r q rq r π π π θ π πθ θ θ ϕπ θ θ = = −= + − ⎡ ⎤−⎢ ⎥= −⎢ ⎥+ −⎣ ⎦ ⎛ ⎞− ⎜ ⎟= −⎜ ⎟+−⎝ ⎠ ∫ ∫ (3.3.5) Còn khi 0 , cos cosθ π γ θ= = và 2 2 0 0 2 2 0 0 0 1 1 1( ) 2 q r u P r q r q r ⎛ ⎞− ⎜ ⎟= −⎜ ⎟− +⎝ ⎠ (3.3.6) Cả hai công thức này khi 0 0r → cho ta nhiệt độ ở tâm quả cầu. - 44- 00 0 1( ) 2r u P = = ta tìm được nhiệt độ của nó ở giữa bán kính thẳng đứng phía trên ( 0 1 2 r q= trong công thức (3.3.5) và phía dưới ( 0 1 2 r q= trong công thức (3.3.6)) 0 0 0 1 2 0 1 2 3 1 1 3( ) 1 2 22 5 2 5 3 3 1 3( ) 1 2 22 5 2 5 r qtren r qduoi u P u P = = ⎛ ⎞= − = − −⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞= − = + −⎜ ⎟⎝ ⎠ Tiểu kết: Ở chương này chúng tôi đã áp dụng phương pháp hàm Green để giải một số bài toán truyền nhiệt. Qua đó cho thấy khi sử dụng phương pháp hàm Green thì việc giải các bài toán này là đơn giản và tìm được nghiệm nhanh hơn. - 45- PHẦN III: KẾT LUẬN Chương I đã trình bày các cơ sở toán học cơ bản, cần thiết cho việc xây dựng phương pháp hàm Green như: Bài toán biên để sử dụng cho phương trình toán lý, khái niệm toán tử, hàm riêng, trị riêng để ứng dụng vào các chuỗi, một số phương pháp như phương pháp tách biến, phương pháp biến thiên tham số. Từ đó ở chương II tiến hành xây dựng phương pháp hàm Green. Để xây dựng phương pháp hàm Green chúng tôi đã đi từ phương trình truyền nhiệt tổng quát có nguồn nhiệt, điều kiện biên thuần nhất: 2 2 2 ( , ) 0 (0, ) 0, ( , ) 0 ( ,0) ( ) u ua Q x t x l t x u t u l t u x xϕ ⎧∂ ∂= + < <⎪ ∂ ∂⎪⎪ = =⎨⎪ =⎪⎪⎩ và tìm được hàm Green có dạng ∑∞ = −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−= 1 )( 2 sinsin2),;,( n t l an e l xn l n l txG τπππξτξ Tuy nhiên đối với mỗi bài toán truyền nhiệt cụ thể thì hàm Green sẽ có biểu thức cụ thể khác nhau. Vậy kết thúc chương II ta đã xây dựng xong phương pháp hàm Green và nêu lên được tính chất của hàm Green. Trên cơ sở đó, ở chương III chúng tôi đã áp dụng phương pháp hàm Green để giải một số bài toán truyền nhiệt, bên cạnh đó chúng tôi cũng đã trình bày cách giải các bài toán này bằng phương pháp khác để so sánh và thấy được rằng dùng phương pháp hàm Green thì việc giải các bài toán này là đơn giản và tìm được nghiệm nhanh hơn. Do đặc trưng của mỗi bài tập phương trình truyền nhiệt là khá dài nên trong giới hạn của đề tài, chúng tôi chưa đưa ra được nhiều bài tập. Phương pháp toán lý là một học phần rất quan trọng trong chương trình đào tạo giáo viên trung học phổ thông. Học tốt học phần này người học sẽ có những bước đi vững chắc khi học các học phần tiếp theo như: cơ học lượng tử, điện động lực,…Khoá luận này đã bổ sung một phương pháp giải hiệu quả cho bài toán truyền nhiệt trong học phần phương pháp toán lý, từ đó giúp sinh viên học tốt hơn học phần này. Hiện tại khoá luận chỉ dừng lại ở việc sử dụng phương pháp hàm Green để giải một số bài toán truyền nhiệt. Đây là một loại bài tập cơ bản trong học phần phương pháp toán lý. Nếu có thể thì trong tương lai, khoá luận sẽ không dừng lại ở một số bài mà mở rộng ra cho tất cả các dạng phương trình truyền nhiệt. Nếu tiến xa hơn nữa thì áp dụng phương pháp hàm Green để tìm nghiệm của phương trình truyền sóng. Hy vọng khoá luận sẽ được phổ biến và là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn sinh viên ngành sư phạm vật lý khi học đến học phần phương pháp toán lý. - 46- PHỤ LỤC 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG : Phương trình đạo hàm riêng là một phương trình chứa hàm cần tìm của hai hoặc nhiều biến với các đạo hàm riêng theo các biến này. Cấp của phương trình đạo hàm riêng là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình. Thí dụ: 2 2u x y x y ∂ = −∂ ∂ là phương trình đạo hàm riêng cấp hai. Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng là một hàm, nó thỏa mãn đồng nhất phương trình Nghiệm tổng quát là nghiệm có chứa số hàm tùy ý độc lập bằng số cấp của phương trình (khác với phương trình vi phân thường, nó có nghiệm phụ thuộc vào hằng số) Nghiệm riêng là một nghiệm có thể nhận được từ nghiệm tổng quát bằng cách chọn thích hợp hàm tùy ý Thí dụ: bằng cách thế vào phương trình ta thấy: 2 21( , ) +F(x)+G(y) 2 u x y x y xy= − là nghiệm của PTDHR trong thí dụ trên. Nó chứa hai hàm độc lập tùy ý F(x) và G(y), vậy nó là nghiệm tổng quát. Trường hợp riêng 2 5F(x)=sin x; G(y)=2y +3 ta được một nghiệm riêng: 2 2 2 51( , ) +sin x+2y +3 2 u x y x y xy= − Nghiệm đặc biệt là nghiệm không thể nhận được từ nghiệm tổng quát bằng cách chọn thích hợp hàm tùy ý. Bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng là bài toán tìm kiếm các nghiệm của phương trình trong miền xác định nào đấy thỏa mãn các điều kiện trên biên của miền, gọi là bài toán biên. Định lý liên quan đến tồn tại và duy nhất nghiệm như vậy của bài toán gọi là định lý tồn tại và duy nhất. Ở đây ta chỉ xét các phương trình đạo hàm tuyến tính cấp hai. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai của hàm hai biến u(x,y) có dạng: 2 2 2 2 2 A u u u u uB C D E Fu G x x y y x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (1.1) trong đó A, B, …., G có thể là hàm của x,y nhưng không phụ thuộc u . Phương trình cấp hai của hàm hai biến không có dạng nêu trên thì ta gọi là hàm phi tuyến. Nếu G = 0, phương trình gọi là thuần nhất, nếu G≠ 0 thì ta gọi là phương trình không thuần nhất. Điều này có thể tổng quát hóa cho phương trình cấp cao hơn. Tùy thuộc vào dấu của 2 4B AC− ta phân loại phương trình đạo hàm riêng : - 47- 2 4B AC− >0 – phương trình loại Hyperbolic 2 4B AC− <0 – phương trình loại Eliptic. 2 4B AC− =0 – phương trình loại parabolic - 48- PHỤ LỤC 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI: Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp hai dạng 1 1 2 2( ) ( ) .... ( )c n ny C y x C y x C y x= + + + Giả sử { }1 2y (x),y (x) là tập nghiệm cơ bản của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai: 2 0 1 22( ) ( ) ( ) ( ) 0 d y dyL y a x a x a x y dxdx = + + = Suy ra nghiệm tổng quát có dạng : 1 1 2 2( ) ( )= +cy C y x C y x (2.1) trong đó: 1 2,C C là các hằng số tuỳ ý. Dùng phương pháp biến thiên hằng số tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần nhất: 2 0 1 22( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d y dyL y a x a x a x y F x dxdx = + + = (2.2) có dạng : 1 2( ) ( ) ( ) ( )cy u x y x v x y x= + trong đó: ( ), ( )u x v x là các hàm thay thế hằng số 1 2,C C trong (2.1) Các hàm u ,v cần tìm thoả mãn hệ phương trình : 1 2 ' ' 1 2 0 0 '( )y (x)+ '( )y (x)=0 F(x)'( )y (x)+ '( )y (x)= ( ) 0 ( ) u x v x u x v x a x a x ⎧⎪⎨ ≠⎪⎩ (2.3) Dùng qui tắc Cramer giải hệ phương trình (2.3) đối với ', 'u v ta được: Các phương trình (2.3) sau khi tích phân sẽ thu được các hàm ( ), ( )u x v x : 2 0 1 0 y ( )F( )( ) ( ) ( ) y ( )F( )( ) ( ) ( ) x x u u x d a W v v x d a W α α ξ ξ ξξ ξ ξ ξ ξξ ξ = = − = = ∫ ∫ (2.4) trong đó α là hằng số nào đó và 1 2 ' ' 1 2 y (x) y (x) ( ) y (x) y (x) w x = là định thức Wronskian. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là : - 49- [ ]2 1 1 2 1 1 2 2 y (x)y ( )-y (x)y ( ) F( ) y (x)+ y (x)+ ( ) ( ) x c py y y C C dp Wα ξ ξ ξ ξξ ξ= + = ∫ (2.5) Một trong những phương trình vi phân cấp hai có cách giải đơn giản là 2 2 0 d F F dx λ+ = (2.6) Phương trình này xuất hiện do việc nghiên cứu nhiều phương trình vi phân đạo hàm riêng trong toạ độ Đế các (Descartesian) đối với các hiện tượng vật lý và kỹ thuật. Phương trình vi phân (2.6) chứa tham số λ , vì thế ta sẽ xét 3 trường hợp của tham số: âm, dương và bằng không . 1 Trường hợp 1: 2λ ω= − ( 0ω > ) Phương trình vi phân có dạng: 2 2 2 0 d F F dx ω− = (2.7) là phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng số, vì thế người ta có thể giả thiết nó có một nghiệm mũ mxF e= ; ta có phương trình đặc trưng là 2 2 0m ω− = với nghiệm đặc trưng m m ω ω =⎧⎨ = −⎩ và tập nghiệm cơ bản là { },x xe eω ω− . Nếu biết được tập nghiệm cơ bản của các nghiệm, có thể tạo nên một tổ hợp tuyến tính của các nghiệm này và sinh ra một tập hợp vô hạn các nghiệm khác. 1 2( ) x xF x C e C eω ω−= + trong đó 1 2,C C là các hằng số tuỳ ý, nó phụ thuộc vào các điều kiện bổ sung là điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên. 2 Trường hợp 2: 0λ = Nghiệm phương trình vi phân 2 2 0 d F dx = có các dạng sau: 1 2 1 2 0 ( ) ( ) ( ) F x C C x F x K K x x = + = + − 3 Trường hợp 3: 2 ( 0)λ ω ω= > Phương trình vi phân 2 2 2 0 d F F dx ω+ = là phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng số, vì thế có thể giả thiết nó có một nghiệm mũ mxF e= , ta có phương trình đặc trưng 2 2 0m ω+ = với các nghiệm đặc trưng: m i m i ω ω =⎧⎨ = −⎩ và tập nghiệm cơ bản là - 50- { },i x i xe eω ω− . Nếu biết được tập nghiệm cơ bản có thể tạo nên một tổ hợp tuyến tính của các nghiệm này và sinh ra một tập hợp vô hạn các nghiệm khác 1 2( ) i x i xF x C e C eω ω−= + trong đó: 1 2,C C là các hằng số tuỳ ý, nó phụ thuộc vào các điều kiện bổ sung là điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên. - 51- TÀI LIỆU THAM KHẢO Đỗ Đình Thanh. 2002. Phương Pháp Toán Lý. NXB Giáo Dục. Đỗ Đình Thanh .1996. Phương Pháp Toán Lý. NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội. Đỗ Đình Thanh. 2002. Phương Pháp Toán Lý. NXB Giáo Dục. Đỗ Đình Thanh. 2002. Phương Trình Đạo Hàm Riêng Trong Vật Lý. NXB Đại Học Quốc Gia TPHCM Đỗ Văn Thông. 2003. Phương Pháp Nghiên Cứu Khoa Học. ĐHAG. Hồ Xuân Huy. 2005. Phương Pháp Toán Lý. ĐHAG. Lê Đình Thịnh- Lê Trọng Vinh. 1994. Bài tập Toán Học cao Cấp. NXB Giáo Dục. Lê Công Triêm. 2005. Phân Tích Chương Trình Vật Lý Phổ Thông. ĐHAG. Nguyễn Mạnh Hùng. 2007. Phương Trình Đạo Hàm Riêng. NXB Đại Học Sư Phạm. Nguyễn Ngọc Giao. 2003. Phép Tính Toán Tử. NXB Đại Học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh. Nguyễn Văn Hạp. 1999. Giáo Trình Phương Trình Vi Phân Và Phương Trình Đạo Hàm Riêng. NXB Đại Học Huế. Phan Huy Thiện 2006. Phương Trình Toán Lý. NXB Giáo Dục. Trần Thể. 2005. Lý Luận Vật Lý Phổ Thông. ĐHAG. Trần Thể. 2005. Bài Tập Vật Lý Phổ Thông, ĐHAG.