Kiểm tra cuối kì Nhập môn tối ưu - Đề 01

Chú ý: Đề nghị sinh viên ghi rõ các thông tin sau và Nộp lại đề thi Họ và tên sinh viên: Lớp: Ngày - tháng - năm sinh: Đề 1 – Kiểm tra cuối kì: MI3052 Nhập môn Tối ưu – HK20181 (Thời gian làm bài: 90 phút) (Không sử dụng điện thoại di động trong phòng thi) Ký hiệu: β := ngày sinh và α := tháng sinh. 1. Cho ( )1 3,0 T x = và ( )2 0,5 . T x = Xét bài toán ( ) ( ) 22 1 2min 7f x x x α= + − + v.đ.k .x M ( )1P Trong đó  2 1 2 2 1 2| 2 9, 5, 0, 0 .M x x x x x x=  +     a. Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, kiểm tra 1x và 2x có phải là nghiệm tối ưu của bài toán ( )1P không? Có thể kiểm tra bằng cách nào khác không? b. Véc tơ 2 1d x x= − có phải là hướng giảm chấp nhận được của bài toán ( )1P tại 1x không? 2. Lấy tùy ý 0 nx  . Xét bài toán ( ) 1 min 2 T Tφ x x Qx b x α= − + v.đ.k .nx ( )2P Trong đó Q là ma trận cấp n n , đối xứng xác định dương, không suy biến và .nb Tính điểm 2x bằng phương pháp Newton thuần túy. Chứng minh rằng 1x là nghiệm tối ưu của bài toán ( )2P . 3. Cho bài toán ( )3P như sau ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 min 2 8 3 v. .k. 2 2 1 4 3 1 , , 0 đ f x x x x x x x x x x x x x = + + − + +  + −   a. Viết bài toán tối ưu ( )3D của bài toán ( )3P và giải bài toán ( )3D bằng pp hình học. b. Bài toán ( )3P có nghiệm tối ưu không? Trả lời bằng ít nhất hai cách? c. Dựa vào quan hệ đối ngẫu, kiểm tra xem ( )0,3,1 T x = có phải là nghiệm tối ưu của bài toán ( )3P không?