1. hàm phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân
1.1. các kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
1.2. phép chiếu và mối quan hệ với bất đẳng thức biến phân
1.3. phương pháp chiếu
1.4. phương pháp hàm phạt
1.5. phương pháp kết hợp phạt – chiếu giải bài tóan bất đẳng thức biến phân
1.6. ví dụ
2. hàm phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu
2.1. điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu
2.2. bài toán phạt
2.3. các định lý hội tụ
3. hàm phạt cho bài toán tối ưu đa mục tiêu
3.1. điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu đa mục tiêu
3.2. bài toán phạt
3.3. các định lý hội tụ
Kết luận và kiến nghị
74 trang |
Chia sẻ: maiphuongtl | Lượt xem: 1721 | Lượt tải: 1
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận án Phương pháp hàm phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
huyển sang Bước k với k := k + 1.
a2) Nếu x(k) /∈ D, đặt b := tk và tk := (a+b)/2. Đặt k := k+1
và quay lại Bước k.
b) Nếu ||y(j) − PK(y(j) − λf (tk)(y(j)))|| > εk, chuyển sang Bước
k2.
• Bước k2: Tính
y(j+1/2) := PK(y
(j) − ηf (tk)(y(j))),
y(j+1) := PK(y
(j) − ηf (tk)(y(j+1/2))).
Gán j := j + 1 và quay lại Bước k1.
Trên đây PK(x) là hình chiếu của x lên K. Khi K có hình dạng đặc
biệt, ta có thể tính PK(x) dễ dàng nhờ vào một công thức hiển (xem
phần 1.2).
Từ Định lý 1.3.1 và Định lý 1.4.2, vì εk → 0, ta có kết quả sau.
1.5.1 Định lí. Giả sử f là một ánh xạ đơn điệu trên miền lồi đóng
K ⊃ D, P là một hàm phạt lồi khả vi của D. Hơn nữa giả sử P bị
chặn dưới trên K, f và ∇P liên tục Lipschitz trên K. Gọi {x(k)}
là dãy sinh bởi Thuật toán 3. Khi đó, một điểm giới hạn bất kỳ của
{x(k)} là nghiệm của bài toán ban đầu VIP(D,f).
Chứng minh. Không giảm tổng quát, vì nếu cần cho qua dãy con, ta có
thể giả sử
x
(k)
∗ → x∗,
25
và
x(k) → x¯,
khi k → +∞. Theo Định lý 1.4.2 ta có x∗ là một nghiệm của bài toán
ban đầu VIP(D,f). Mặt khác, theo phương pháp chiếu hai lần và do
εk > 0 nên vòng lặp j sẽ kết thúc sau một số hữu hạn bước và tại bước
lặp cuối cùng của vòng lặp j, ta có
y(j) = x(k)
thỏa mãn
‖x(k) − x(k)∗ ‖ ≤ εk.
Qua giới hạn, do x
(k)
∗ → x∗, x(k) → x¯, và εk → 0, ta được
‖x∗ − x¯‖ ≤ 0.
Từ đó suy ra x¯ = x∗. Do x∗ là nghiệm của VIP(D,f), x¯ cũng là một
nghiệm của VIP(D,f).
1.6 Ví dụ
1.6.1 Ví dụ. Xét
D = {x ∈ Rn : g(x) ≤ 0} ∩K,
trong đó
K = {x = (x1, x2, . . . , xn)T ∈ Rn : 0 ≤ xi ≤ ai , i = 1, 2, . . . , n},
ai = 5 +
i
3i− 1, g(x) =
1
n2
∑
i
exi − e
5 + n− 1
n2
.
26
Dễ thấy g(x) là một hàm lồi trên Rn. Chọn hàm P (x) ≡ g(x) trên Rn.
Khi đó, P (x) ≤ 0, x ∈ D,P (x) > 0, x ∈ K \D.
Ta sẽ bao D bởi K, do đó P là một hàm phạt của D. Hơn nữa,
∇P (x) = 1
n2
(ex1, ex2, . . . , exn)T .
Do đó, ∇P (x) liên tục Lipschitz trên D với hằng số Lipschitz e6/n2.
Ngoài ra, dễ thấy ∇P (x) còn đơn điệu mạnh với hằng số đơn điệu 1/n2.
Do đó nếu f đơn điệu thì f (t) sẽ đơn điệu mạnh. Ánh xạ f được lấy theo
mô hình Nash ([28]).
f(x) = H(x)− p(σx)e− p′(σx)x,
trong đó
e = (1, . . . , 1)T ∈ Rn,
σx = 〈x, e〉 =
∑
j
xj,
H(x) = (α1x1 + β1, . . . , αnxn + βn)
T ,
với αi, βi, i = 1, . . . , n lấy ngẫu nhiên trong khoảng [0, 10]. Hàm p(t)
được cho bởi
p(t) =
γ
t+ 1
,
trong đó γ lấy ngẫu nhiên trong khoảng [0, 15].
Ta có f chọn như trên là ánh xạ đơn điệu (tham khảo [28]). Ngoài ra,
f liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz
Ln =
√
2(α2 + 4n2γ2),
trong đó
α = max
i
αi.
27
Thật vậy, giả sử f = (f1, f2, . . . , fn), ta có
fi(x) = αixi + βi − γ
1 +
∑
j xj
+
γxi
(1 +
∑
j xj)
2
.
Do đó
fi(x)− fi(y) = αi(xi − yi) + γ
( 1
1 +
∑
j yj
− 1
1 +
∑
j xj
+
xi
(1 +
∑
j xj)
2
− yi
(1 +
∑
j yj)
2
)
.
Đặt
N =
1
1 +
∑
j yj
− 1
1 +
∑
j xj
,
Ni =
xi
(1 +
∑
j xj)
2
− yi
(1 +
∑
j yj)
2
,
và Mi = N +Ni. Ta có
fi(x)− fi(y) = αi(xi − yi) + γMi.
Do đó (
fi(x)− fi(y)
)2 ≤ 2((αi(xi − yi))2 + (γMi)2). (1.6)
Ta có
M2i = (N +Ni)
2 ≤ 2(N2 +N2i ). (1.7)
N2 =
(∑
j(xj − yj)
)2(
(1 +
∑
j yj)(1 +
∑
j xj)
)2
≤ n
∑
j(xj − yj)2
1
= n‖x− y‖2.
(1.8)
Ta ước lượng
N2i =
( xi
(1 +
∑
j xj)
2
− yi
(1 +
∑
j yj)
2
)2
.
28
Đặt
ϕi(x) =
xi
(1 +
∑
r xr)
2
.
Theo công thức số gia hữu hạn, tồn tại c ∈ [x,y] sao cho
ϕi(x)− ϕi(y) =
∑
j
∂ϕi
∂xj
(c)(xj − yj).
Do đó
N2i =
(
ϕi(x)− ϕi(y)
)2
=
(∑
j
∂ϕi
∂xj
(c)(xj − yj)
)2
,
trong đó
∂ϕi
∂xj
(c) =
−2ci
(1 +
∑
r cr)
3
=: Pi, j 6= i,
1 +
∑
r cr − 2ci
(1 +
∑
r cr)
3
=: Qi, j = i.
Ta suy ra
N2i =
(
Pi
∑
j 6=i
(xj − yj) +Qi(xi − yi)
)2
≤
(
|Pi|
∑
j 6=i
|xj − yj|+ |Qj||xi − yi|
)2
.
Hơn nữa, vì ci ≥ 0 ta có
|Pi| =
∣∣∣ −2ci
(1 +
∑
j cj)
3
∣∣∣
=
2ci
(1 +
∑
j cj)
3
≤ 2ci
(1 +
∑
j cj)
2
≤ 2ci
2
∑
j cj
≤ 1.
29
Bây giờ xét
|Qi| =
|1 +∑j cj − 2ci|
(1 +
∑
j cj)
3
.
Nếu ci ≤ 1, ta có
|Qi| =
(1− ci) +
∑
j 6=i cj
(1 +
∑
j cj)
3
≤ 1 +
∑
j cj
(1 +
∑
j cj)
3
=
1
(1 +
∑
j cj)
2
≤ 1.
Nếu ci > 1, ta có
(1 +
∑
j
cj)
3 > (1 +
∑
j
cj)
2
= 1 + 2
∑
j
cj + (
∑
j
cj)
2
≥ 1 + 3
∑
j
cj
= |1 +
∑
j
cj|+ |2
∑
j
cj|
≥ |1 +
∑
j
cj|+ |2ci|
≥ |1 +
∑
j
cj − 2ci|.
Do đó trong trường hợp này ta cũng có
|Qi| ≤ 1.
Tóm lại ta luôn có
|Pi| ≤ 1,
30
và
|Qi| ≤ 1.
Do vậy,
N2i ≤
(∑
j 6=i
|xj − yj|+ |xi − yi|
)2
=
(∑
j
|xj − yj|
)2
≤ n
∑
j
|xj − yj|2
= n‖x− y‖2.
(1.9)
Kết hợp (1.6), (1.7), (1.8), và (1.9) ta có(
fi(x)− fi(y)
)2 ≤ 2(α2i (xi − yi)2 + γ2M2i )
≤ 2(α2i (xi − yi)2 + 2γ2(N2 +N2i )
≤ 2(α2i (xi − yi)2 + 2γ2(n‖x− y‖2 + n‖x− y‖2))
= 2
(
α2i (xi − yi)2 + 4nγ2‖x− y‖2
)
.
Cuối cùng ta có
‖f(x)− f(y)‖2 =
∑
i
(
fi(x)− fi(y)
)2
≤ 2
(∑
i
α2i (xi − yi)2 + 4nγ2
∑
i
‖x− y‖2
)
≤ 2(α2‖x− y‖2 + 4n2γ2‖x− y‖2)
= 2(α2 + 4n2γ2)‖x− y‖2,
trong đó
α = max
i
αi.
Như vậy,
‖f(x)− f(y)‖ ≤ Ln‖x− y‖,
31
trong đó
Ln =
√
2(α2 + 4n2γ2).
Như vậy, ví dụ này thỏa mãn các giả thiết của Định lý 1.5.1. Do đó, dãy
sinh bởi Thuật toán 3 có tính chất bất kỳ điểm giới hạn nào của dãy đó
đều là một nghiệm của bài toán ban đầu. Chúng tôi đã cài đặt Thuật
toán 3 dùng ngôn ngữ C và kết quả số được mô tả dưới đây. Sai số cho
phép của thuật toán chiếu là ε = 10−6.
Bảng I
γ\n 5 10 20
5 [15 - 18] - 1s [15 - 28] - 1s [13 - 24] - 8s
10 [17 - 25] - 1s [15 - 25] - 3s [10 - 24] - 9s
15 [19 - 25] - 2s [14 - 24] - 5s [14 - 22] - 12s
Bảng II
γ\n 30 40 50
5 [13 - 15] - 10s [15 - 25] - 28s [10 - 24] - 70s
10 [15 - 22] - 50s [12 - 22] - 60s [13 - 21] - 210s
15 [17 - 22] - 90s [13 - 21] - 225s [13 - 20] - 420s
Dữ liệu trong hai bảng trên được đọc như sau. Chẳng hạn lấy ô nằm ở
hàng 3, cột 3, bảng 1, tương ứng với n = 10 và γ = 10 : thuật toán chạy
mất 3 giây để đến được vòng lặp thứ 25 (giải hết bài toán phạt thứ 25),
trong đó, các vòng lặp từ 15 đến 25 cho cùng một nghiệm xk (tính đến 6
chữ số thập phân).
Ta xét hai ví dụ tiếp theo, trong đó hàm phạt P sẽ được lấy theo công
thức (1.4). Xét
D = {x = (x1, x2)T ∈ R2 : g1(x) ≤ 0, g2(x) ≤ 0},
32
trong đó g1(x) = x2− x1− 1, g2(x) = −x2 + x21− 1 là các hàm lồi trên
R2. Bây giờ ta xét hai ví dụ ứng với hai ánh xạ f khác nhau.
1.6.2 Ví dụ. Giả sử
f(x) =
(
x1 + x2
x2 + e
x2
4 − 1
)
.
Có thể nhận thấy (0, 0)T là một nghiệm của bài toán trên và là nghiệm
duy nhất, do f đơn điệu mạnh. Ta lấy P theo (1.4).
P (x) = [max{0, x2 − x1 − 1}]2 + [max{0,−x2 + x21 − 1}]2
=
0, x ∈ D,
(x2 − x1 − 1)2, x ∈ (I),
(x2 − x1 − 1)2 + (−x2 + x21 − 1)2, x ∈ (II),
(−x2 + x21 − 1)2, x ∈ (III).
Chú ý rằng D là miền nằm dưới đường thẳng x2 = x1 + 1 và nằm trên
đường cong x2 = x
2
1 − 1, (I) là miền nằm trên cả đường thẳng và đường
cong, (II) nằm trên đường thẳng và dưới đường cong, (III) nằm dưới cả
đường thẳng và đường cong.
Hai giao điểm của đường thẳng và đường cong là (−1, 0) và (2, 3). Do
33
đó có thể bao D bởi hình hộp
K = {x = (x1, x2) ∈ R2 : −1 ≤ x1 ≤ 2, −1 ≤ x2 ≤ 3}.
Không khó để thấy rằng f liên tục Lipschitz trên K với hằng số Lipschitz
l =
√
4.4,
do đó tf (t > 0) liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz
lt = t
√
4.4.
Hơn nữa, f đơn điệu mạnh trên K với hằng số đơn điệu
α =
1
2
.
Do đó tf (t > 0) có hằng số đơn điệu
αt =
t
2
.
Ta có
∇P (x) =
0
0
, x ∈ D,−2(x2 − x1 − 1)
2(x2 − x1 − 1)
, x ∈ (I),−2(x2 − x1 − 1) + 4x1(−x2 + x21 − 1)
2(x2 − x1 − 1)− 2(−x2 + x21 − 1)
, x ∈ (II),4x1(−x2 + x21 − 1)
−2(−x2 + x21 − 1)
, x ∈ (III)
liên tục Lipschitz trên K với hằng số Lipschitz 69. Do đó f (t) liên tục
Lipschitz trên K với hằng số Lipschitz
Lt = 69 + t
√
4.4,
34
và có hằng số đơn điệu
αt =
t
2
.
Trước hết, ta dùng phương pháp hàm phạt đưa bài toán trên về dãy các
bài toán VIP(K,f (t)). Với mỗi t > 0, áp dụng phương pháp chiếu hai
lần, ta chọn độ dài bước η thỏa mãn
0 < η <
1
Lt
=
1
69 + t
√
4.4
.
Do đó, có thể chọn
η =
0.9t
69 + t
√
4.4
.
Dùng Thuật toán 3, với độ chính xác (của thuật toán chiếu) 10−12,
t0 = 1, ngay từ vòng lặp đầu tiên (của thuật toán phạt), với kết quả lấy
đến 9 chữ số thập phân, ta được kết quả (0, 0)T . Có thể nhận thấy tk tiến
ra ∞ nhanh chóng và kết quả ở mỗi bước lặp (của thuật toán phạt) đều
cho ra nghiệm (0, 0)T (đúng đến 10 hoặc 11 chữ số thập phân). Chương
trình chạy tới vòng lặp thứ 1000 chỉ sau 3 giây.
Kết quả trên được giải thích như sau. Do ∇P ≡ 0 trên D (P chọn
theo (1.4), nên nếu nghiệm của VIP(K,f (t)) nằm trong D thì đó cũng
là nghiệm của bài toán ban đầu VIP(D,f). Trong trường hợp t∗ = ∞,
vì t0 0, nên theo Bổ đề 1.4.1, S(t0) ⊂ D. Do đó, nghiệm
của bài toán phạt ứng với t0 cũng chính là nghiệm của bài toán ban đầu.
Điều đó giải thích tại sao nghiệm của bài toán ban đầu lại được tìm ra
ngay sau bước lặp đầu tiên.
1.6.3 Ví dụ. Lấy
f(x) =
(
x1 + x2 + 10
x2 + e
x2 + 10
)
.
Chú ý rằng ở đây f không có nghiệm trên miền D. Tuy vậy, f vẫn đơn
điệu mạnh và liên tục Lipschitz với cùng hằng số như ở ví dụ trước. Với
35
độ chính xác (của phương pháp chiếu) là 10−10, t0 = 1, x(0) = (1, 1)T ,
sau đây là kết quả của vòng lặp 24 đến vòng lặp 28.
Bảng III
Số bước lặp k x(k) tk
889881606 24 (−0.437337405102318,−0.808736590634006)T 0.0000001192
1779680342 25 (−0.437337404356388,−0.808736293018647)T 0.0000000596
3560253327 26 (−0.437337403855591,−0.808736144322769)T 0.0000000298
7128665016 27 (−0.437337403701826,−0.808736069890305)T 0.0000000149
14205655551 28 (−0.437337403325762,−0.808736032935760)T 0.0000000075
Cột đầu tiên cho biết số bước lặp mà thuật toán chiếu thực hiện để
giải bài toán phạt. Có thể thấy là tk → 0, nghĩa là t∗ = 0. Trong trường
hợp t∗ = 0, từ Bổ đề 1.4.1, nghiệm x(k) của bài toán phạt ứng với tk
luôn nằm ngoài miền D và một điểm giới hạn bất kỳ của một dãy {x(k)}
với x(k) ∈ S(tk) và tk → t∗ là một nghiệm của VIP(D,f). Có thể nhận
thấy là nghiệm của những bước cuối cùng xấp xỉ thuộc miền D với sai
số khoảng 10−8, nhưng vẫn nằm ngoài D. Điều này phù hợp với kết luận
của Bổ đề 1.4.1.
Kết luận Chương 1
Trong chương này, luận án đã giải quyết được những vấn đề sau.
- Kết hợp phương pháp hàm phạt và phương pháp chiếu để đưa ra một
thuật toán hoàn chỉnh giải bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(D,f),
với f là ánh xạ đơn điệu và liên tục Lipschitz, D là một miền lồi đóng
khác rỗng của Rn. Với phương pháp này, trở ngại chính của phương pháp
chiếu được khắc phục.
- Áp dụng thuật toán này cho một số ví dụ cụ thể để minh họa các kết
quả đã có trong phần lý thuyết.
CHƯƠNG 2
HÀM PHẠT CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN VECTOR YẾU
Phương pháp hàm phạt thường được sử dụng để đưa một bài toán có
ràng buộc, gọi là bài toán ban đầu, về một dãy các bài toán không ràng
buộc, gọi là các bài toán phạt, sao cho một dãy nghiệm của các bài toán
phạt hội tụ về một nghiệm của bài toán ban đầu. Đã có nhiều nghiên
cứu về cách thức áp dụng phương pháp hàm phạt để giải các bài toán
bất đẳng thức biến phân (tham khảo chẳng hạn [38, 23, 39, 1, 51]). Tuy
nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi, cho tới nay chưa có công trình nghiên
cứu nào về việc áp dụng phương pháp hàm phạt cho bài toán bất đẳng
thức biến phân vector yếu. Trong chương này chúng tôi nghiên cứu mối
quan hệ giữa tập nghiệm S(t) của bài toán phạt WVVIP(K,F (t)), khi
t→ +∞, với tập nghiệm S của bài toán ban đầu WVVIP(D,F ). Chúng
tôi chứng minh được rằng với một số giả thiết nhất định, các bài toán
phạt luôn có ít nhất một nghiệm. Hơn nữa, một dãy nghiệm của các bài
toán phạt luôn có ít nhất một điểm giới hạn và một điểm giới hạn bất kỳ
của dãy này sẽ là nghiệm của bài toán ban đầu WVVIP(D,F ).
Các ký hiệu, định nghĩa sau đây sẽ được sử dụng trong hai chương còn
lại của luận án.
Với
x = (x1, . . . , xk)
T ∈ Rk,
36
37
và
y = (y1, . . . , yk)
T ∈ Rk,
ta dùng các ký hiệu sau
x < y⇐⇒xi < yi, ∀i = 1, . . . , p,
x 6< y⇐⇒∃i : xi ≥ yi.
Tích vô hướng của x và y định nghĩa như sau
〈x,y〉 =
k∑
i=1
xiyi.
Với mỗi
y = (y1, . . . , yk)
T ∈ Rk,
ký hiệu ‖y‖ là chuẩn Euclide của y, tức là
‖y‖ =
√√√√ k∑
i=1
y2i .
Ký hiệu
Rk+ = {x = (x1, . . . , xk)T ∈ Rk : xi ≥ 0, i = 1, . . . , k}.
Giả sử D là một tập con khác rỗng của Rk. Giả sử F : Rk → Rr×k
là một ánh xạ liên tục với miền giá trị là một tập các ma trận thực kích
thước r×k. Bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu với ràng buộc
trên D được định nghĩa như sau
WVVIP(D,F ) : Tìm x ∈ D sao cho F (x)(y − x) 6< 0,∀y ∈ D.
Nếu D = Rk, WVVIP(D,F ) được gọi là một bài toán bất đẳng thức
biến phân vector yếu không ràng buộc.
Bài toán WVVIP(D,F ) dĩ nhiên là một trường hợp tổng quát của bài
toán VIP(D,f) xét ở Chương 1 vì khi r = 1 nó trở thành bài toán bất
38
đẳng thức biến phân vô hướng. Hơn nữa bài toán bất đẳng thức biến phân
vector yếu bao hàm nhiều bài toán quan trọng khác như một trường hợp
riêng, trong đó có bài toán tối ưu vector lồi. Về bài toán bất đẳng thức
biến phân vector yếu có thể tham khảo các tài liệu [16, 6, 4, 3, 31, 12, 17].
Gọi F i : Rk → Rk, i = 1, . . . , r là các ánh xạ thành phần của F ,
nghĩa là F i(x) là hàng thứ i của ma trận F (x). Ta có
F (x)(y − x) = (〈F 1(x),y − x〉, . . . , 〈F r(x),y − x〉)T .
Do đó x ∈ D là một nghiệm của WVVIP(D,F ) nếu và chỉ nếu với mọi
y ∈ D ta có
(〈F 1(x),y − x〉, . . . , 〈F r(x),y − x〉)T 6< 0,
hay nói cách khác là tồn tại chỉ số i sao cho
〈F i(x),y − x〉 ≥ 0.
2.1 Điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán
bất đẳng thức biến phân vector yếu
Chúng tôi nhắc lại một điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài
toán bất đẳng thức biến phân vector yếu được đưa ra trong [6]. Trước hết
chúng ta cần một vài định nghĩa.
2.1.1 Định nghĩa ([6]). Ánh xạ F : Rk → Rr×k được gọi là đơn điệu
trên Rk nếu với mọi x,y ∈ Rk ta có
(F (y)− F (x))(y − x) ≥ 0,
hay nói cách khác, các ánh xạ thành phần F i đều đơn điệu, nghĩa là
〈F i(y)− F i(x),y − x〉 ≥ 0,
với mọi i = 1, . . . , r.
39
2.1.2 Định nghĩa ([6]). Ánh xạ F : Rk → Rr×k được gọi là thỏa mãn
điều kiện bức yếu trên D ⊂ Rk nếu tồn tại s ∈ Rr+ và a ∈ D sao cho
〈sTF (y),y − a〉 → +∞ khi ‖y‖ → +∞, y ∈ D.
Chen và Yang [6] đã đưa ra điều kiện đủ sau đây cho sự tồn tại nghiệm
của WVVIP(D,F ).
2.1.3 Định lí ([6]). Giả sử D 6= ∅ là một tập con lồi đóng của Rk,
và F : Rk → Rr×k là một ánh xạ liên tục và đơn điệu trên Rk. Giả
sử rằng
1. D bị chặn, hoặc
2. F thỏa mãn điều kiện bức yếu trên D.
Khi đó WVVIP(D,F ) có nghiệm.
2.2 Bài toán phạt
Trong mục này ta xây dựng các bài toán phạt và thiết lập điều kiện
đủ để các bài toán đó có nghiệm. Trước hết, ta có định nghĩa sau đây cho
hàm phạt ngoài của một tập D ⊂ Rk.
2.2.1 Định nghĩa. Cho D là một tập con khác rỗng của Rk. Hàm
P : Rk → R được gọi là một hàm phạt (ngoài) của D nếu nó thỏa mãnP (x) = 0, x ∈ D,P (x) > 0, x /∈ D. (2.1)
Ta luôn chọn P sao cho P không những là hàm lồi mà còn khả vi. Ví
dụ, nếu D được cho bởi
D = {x ∈ Rk : gj(x) ≤ 0, j = 1, . . . ,m}, (2.2)
40
trong đó gj : Rk → R, j = 1, . . . ,m là các hàm liên tục, ta có thể lấy
P (x) =
m∑
j=1
[
max{0, gj(x)}
]2
. (2.3)
Như đã chứng minh trong mục 1.4, P chọn như trên không những lồi và
khả vi trên Rk, mà còn thỏa mãn (2.1). Do tính chất của hàm lồi (tham
khảo [45], Hệ quả 25.5.1), nếu P là lồi và khả vi thì ∇P (x) liên tục trên
Rk. Hơn nữa,
〈∇P (x),y − x〉 ≤ P (y)− P (x),
với mọi x và y trong Rk.
Ta định nghĩa bài toán phạt như sau. Đặt
Qi := ∇P,
và
Q : Rk → Rr×k,
với các hàm thành phần Qi : Rk → Rk, i = 1, . . . , r. Cố định một tập
K ⊃ D. Với t > 0 ta xét bài toán phạt sau đây
WVVIP(K,F (t)) : Tìm x(t) ∈ K sao cho (F (t)(x(t)))(y − x(t)) 6< 0,
với mọi y ∈ K,
trong đó F (t) := F + tQ.
2.2.2 Định nghĩa. Ánh xạ f : Rk → Rk được gọi là thỏa mãn điều
kiện D-bức trên K nếu tồn tại a ∈ D sao cho
〈f(y),y − a〉 → +∞ khi ‖y‖ → +∞, y ∈ K.
2.2.3 Ví dụ. Ánh xạ F : R2 → R2 cho bởi F (y) = (y1 + y2, y2 +
ey2/4 − 1)T , thỏa mãn điều kiện D-bức trên R2 với mọi tập con D chứa
41
gốc tọa độ (0, 0) của R2. Thật vậy,
〈F (y),y − 0〉 = (y1 + y2)y1 + (y2 + ey2/4 − 1)y2
= (y21 + y1y2 + y
2
2) + (e
y2/4y2 − y2)
→ +∞,
khi ‖y‖ → +∞.
2.2.4 Định nghĩa. Ánh xạ F : Rk → Rr×k được gọi là thỏa mãn điều
kiện D-bức trên K nếu tồn tại s ∈ Rr+ và a ∈ D sao cho
〈sTF (y),y − a〉 → +∞ khi ‖y‖ → +∞, y ∈ K.
Hiển nhiên khi r = 1 thì hai định nghĩa trên là như nhau vì ta có thể
lấy s = 1. Bổ đề sau đây chỉ ra một điều kiện đủ để cả bài toán ban đầu
và bài toán phạt có nghiệm.
2.2.5 Bổ đề. Giả sử D 6= ∅ là một tập con lồi đóng của Rk và
F : Rk → Rr×k là một ánh xạ liên tục, đơn điệu và thỏa mãn điều
kiện D-bức trên K. Khi đó WVVIP(D,F ) có nghiệm. Hơn nữa, với
mọi t > 0, bài toán phạt WVVIP(K,F (t)) cũng có nghiệm.
Chứng minh. Vì F thỏa mãn điều kiện D-bức trênK, nó cũng thỏa mãn
điều kiện bức yếu trên D nếu D không bị chặn. Do đó theo Định lý 2.1.3,
WVVIP(D,F ) có nghiệm. Bây giờ ta chứng minh rằng WVVIP(K,F (t))
cũng có nghiệm. Hiển nhiên F (t) là ánh xạ liên tục. Hơn nữa F (t) đơn
điệu trên Rk. Ta cần chứng minh rằng với mọi x,y ∈ Rk, vector
(F (t)(y)− F (t)(x))(y − x)
có các tọa độ không âm. Thật vậy
(F (t)(y)− F (t)(x))(y − x) = (F (y) + tQ(y)− F (x)− tQ(x))(y − x)
= (F (y)− F (x))(y − x)
+ t(Q(y)−Q(x))(y − x).
42
Chú ý rằng số hạng thứ nhất luôn không âm, nghĩa là tất cả các tọa độ
của nó đều không âm. Tọa độ thứ i của số hạng thứ hai được biến đổi
như sau
t〈Qi(y)−Qi(x),y − x〉 = −t〈∇P (y),x− y〉 − t〈∇P (x),y − x〉
≥ −t(P (x)− P (y))− t(P (y)− P (x))
= 0.
Chú ý rằng trong bất đẳng thức thứ hai ta sử dụng giả thiết P là hàm
lồi. Do vậy tất cả các tọa độ của số hạng thứ hai đều không âm. Do đó
F (t) đơn điệu trên Rk.
Chúng ta còn phải chứng minh rằng F (t) thỏa mãn điều kiện bức yếu
trên K. Thật vậy, tồn tại s ∈ Rr+ và a ∈ D sao cho
〈sTF (y),y − a〉 → +∞ khi ‖y‖ → +∞,y ∈ K.
Ta có
〈sTF (t)(y),y − a〉 = 〈sT (F (y) + tQ(y)),y − a〉
= 〈sTF (y),y − a〉+ t〈sTQ(y),y − a〉.
Xét số hạng thứ hai sau khi chia cho t. Vì
Q(y)(y − a) = (〈Q1(y),y − a〉, . . . , 〈Qr(y),y − a〉),
ta có
〈sTQ(y),y − a〉 =
∑
i
si〈Qi(y),y − a〉
=
∑
i
si〈∇P (y),y − a〉
≥
∑
i
si(P (y)− P (a))
=
∑
i
siP (y).
43
Tổng cuối cùng là không âm, vì si ≥ 0 và P (y) ≥ 0. Vì F thỏa mãn điều
kiện D-bức trên K, ta có
〈sTF (y),y − a〉 → +∞ khi ‖y‖ → +∞,y ∈ K.
Do vậy ta suy ra
〈sTF (t)(y),y − a〉 → +∞ khi ‖y‖ → +∞,y ∈ K.
Do đó F (t) thỏa mãn điều kiện bức yếu trên K với mọi t > 0. Theo Định
lý 2.1.3, bài toán phạt WVVIP(K,F (t)) có nghiệm.
2.2.6 Ví dụ. Ta lấy miền D như trong Ví dụ 1.6.2
D = {x = (x1, x2)T ∈ R2 : x2 − x1 − 1 ≤ 0,−x2 + x21 − 1 ≤ 0},
và K = R2.
Hình 2.1: Miền ràng buộc D của WVVIP(D,F )
Lấy P theo (2.3).
P (x) = [max{0, x2 − x1 − 1}]2 + [max{0,−x2 + x21 − 1}]2
=
0, x ∈ D,
(x2 − x1 − 1)2, x ∈ (I),
(x2 − x1 − 1)2 + (−x2 + x21 − 1)2, x ∈ (II),
(−x2 + x21 − 1)2, x ∈ (III).
44
Ánh xạ F : R2 → R2×2 được cho bởi
F (x) =
(
x1 + x2 x2 + e
x2/2 − 2
x1 + 2x2 x1 + 3x2 + e
x2 − 1
)
.
Khi đó với mọi x,y ∈ Rk ta có
〈F 1(y)− F 1(x),y − x〉 = (y1 − x1)2 + (y2 − x2)(y1 − x1)
+ (y2 − x2)2 + (ey2/2 − ex2/2)(y2 − x2)
≥ 0,
và
〈F 2(y)− F 2(x),y − x〉 = (y1 − x1)2 + 3(y2 − x2)(y1 − x1)
+ 3(y2 − x2)2 + (ey2 − ex2/2)(y2 − x2)
≥ 0.
Do đó F đơn điệu trên R2. Hơn nữa F thỏa mãn điều kiện D-bức trên
K = R2. Thật vậy, chọn a = 0 ∈ D và s = (1, 1)T , ta có
〈sTF (y),y − a〉 = 〈F 1(y) + F 2(y),y〉
= 2y21 + 4y1y2 + 4y
2
2 + e
y2/2y2 + e
y2y2 − 3y2
→ +∞,
khi ‖y‖ → +∞. Như vậy các miền D, K = R2 và ánh xạ F định
nghĩa như trên thỏa mãn tất cả các giả thiết của Bổ đề 2.2.5. Do đó, cả
WVVIP(D,F ) và WVVIP(K,F (t)) (t > 0) tương ứng với D, K và F
này đều có nghiệm.
2.3 Các định lý hội tụ
Ký hiệu S và S(t) tương ứng là các tập nghiệm của WVVIP(D,F ) và
WVVIP(K,F (t)). Giả sử {tn}n là một dãy số thực dương tăng đơn điệu
tới +∞ khi n→ +∞.
45
2.3.1 Bổ đề. Giả sử x(n) ∈ S(tn) với mọi n ∈ N, {x(nm)}m là một
dãy con hội tụ của {x(n)}n và limm→+∞ x(nm) = x. Khi đó x ∈ D.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử x 6∈ D, ta có
P (x) > 0 và do đó P (x) > ε với ε > 0 nào đó. Lấy y bất kỳ thuộc D.
Vì x(nm) là một nghiệm của (WVVIP)tnm , tồn tại chỉ số inm sao cho
〈F (tnm)inm (x(nm)),y − x(nm)〉 ≥ 0.
Vì inm ∈ {1, 2, . . . , r}, tồn tại một dãy vô hạn các chỉ số {inmk}k nhận
cùng một giá trị, chẳng hạn inmk = 1, với mọi k ∈ N. Để đơn giản hóa
ký hiệu ta giả sử inm = 1 với mọi m ∈ N. Do đó với mọi m ∈ N ta có
〈F (tnm)1 (x(nm)),y − x(nm)〉 ≥ 0. (2.4)
Mặt khác vì
P (x(nm))→ P (x) > ε,
với mọi m đủ lớn ta có
P (x(nm)) > ε.
Do vậy
〈F (tnm)1 (x(nm)),y − x(nm)〉 = 〈F 1(x(nm)),y − x(nm)〉
+ tnm〈∇P (x(nm)),y − x(nm)〉
≤ 〈F 1(x(nm)),y − x(nm)〉
+ tnm(P (y)− P (x(nm)))
= 〈F 1(x(nm)),y − x(nm)〉 − tnmP (x(nm))
< 〈F 1(x(nm)),y − x(nm)〉 − εtnm
→ 〈F 1(x),y − x〉 −∞ = −∞,
khi m→ +∞. Điều này mâu thuẫn với (2.4).
Định lý sau đây chỉ ra rằng nếu một dãy các nghiệm của các bài toán
phạt hội tụ về một điểm x thì x là một nghiệm của bài toán ban đầu
46
WVVIP(D,F ). Chú ý rằng nếu tồn tại n ∈ N sao cho x(n) ∈ S(tn)∩D
thì dễ thấy x(n) cũng là một nghiệm của WVVIP(D,F ).
2.3.2 Định lí. Giả sử rằng x(n) ∈ S(tn) với mọi n ∈ N. Khi đó
một điểm giới hạn bất kỳ của dãy {x(n)}n sẽ là một nghiệm của
WVVIP(D,F ).
Chứng minh. Giả sử x là một điểm giới hạn của dãy {x(n)}n. Gọi {x(nm)}m
là dãy con của {x(n)}n hội tụ về x. Theo Bổ đề 2.3.1, ta có x ∈ D. Giả
sử phản chứng rằng x không phải là nghiệm của WVVIP(D,F ). Khi đó
tồn tại y ∈ D thỏa mãn 〈F i(x),y − x〉 < 0 với mọi i = 1, . . . , r. Vì
x(nm) là một nghiệm của (WVVIP)tnm , với y nói trên, tồn tại một chỉ số
inm thỏa mãn
〈F (tnm)inm (x(nm)),y − x(nm)〉 ≥ 0.
Vì inm ∈ {1, 2, . . . , r}, tồn tại một dãy vô hạn các chỉ số {inmk}k nhận
cùng một giá trị, chẳng hạn inmk = 1, với mọi k ∈ N. Để đơn giản hóa
ký hiệu ta giả sử rằng dãy {inm}m tự nó thỏa mãn tính chất này, nghĩa
là inm = 1 với mọi m ∈ N. Do vậy với mọi m ∈ N ta có
〈F (tnm)1 (x(nm)),y − x(nm)〉 ≥ 0. (2.5)
Vì
〈F 1(x),y − x〉 < 0,
ta suy ra rằng
〈F 1(x),y − x〉 < −ε,
với ε > 0 nào đó. Sử dụng tính liên tục của F và giả thiết x(nm) → x,
ta suy ra với mọi m đủ lớn〈
F 1(x
(nm)),y − x(nm)
〉
< −ε.
Do đó, sử dụng tính chất
P (x(nm)) ≥ 0,
47
và
tnm > 0,
với mọi m ∈ N, với mọi m đủ lớn ta có
〈F (tnm)1 (x(nm)),y − x(nm)〉 =
〈
F 1(x
(nm)),y − x(nm)
〉
+ tnm
〈
∇P (x(nm)),y − x(nm)
〉
≤
〈
F 1(x
(nm)),y − x(nm)
〉
+ tnm(P (y)− P (x(nm)))
=
〈
F 1(x
(nm)),y − x(nm)
〉
− tnmP (x(nm))
< −ε.
Điều này mâu thuẫn với (2.5).
2.3.3 Định nghĩa. Ánh xạ F : Rk → Rr×k được gọi là thỏa mãn điều
kiện D-bức mạnh trên K nếu tất cả các ánh xạ thành phần của nó thỏa
mãn điều kiện D-bức trên K với cùng một vector a, nghĩa là tồn tại
a ∈ D sao cho với mọi j = 1, . . . , r,
〈F j(y),y − a〉 → +∞, khi ‖y‖ → +∞,y ∈ K.
Dễ thấy với ánh xạ F và các miền D và K = R2 định nghĩa trong Ví
dụ 2.2.6 thì F thỏa mãn điều kiện D-bức mạnh trên K. Hiển nhiên nếu
F thỏa mãn điều kiện D-bức mạnh trên K, thì F cũng thỏa mãn điều
kiện D-bức trên K. Tuy nhiên, điều ngược lại không phải lúc nào cũng
đúng. Ví dụ, xét miền D = {0}, K = R2, và
F (x) =
(
x1 + x2 x2/4
x1 x2
)
.
48
Chọn s = (1, 1)T . Vì
〈sTF (y),y − 0〉 = 〈F 1(y) + F 2(y),y〉
= 2y21 + y1y2 +
5
4
y22
→ +∞,
khi ‖y‖ → +∞, ta kết luận rằng F thỏa mãn điều kiện D-bức trên R2.
Mặt khác, vì
〈F 1(y),y − 0〉 = (y1 + y2/2)2 = 0,
với mọi y = (y1,−2y1)T , với y1 → +∞, ta suy ra F 1 thậm chí không
thỏa mãn điều kiện D-bức trên R2. Do vậy F thỏa mãn điều kiện D-bức
trên R2, nhưng không thỏa mãn điều kiện D-bức mạnh trên R2.
2.3.4 Định lí. Cho D 6= ∅ là một tập con lồi đóng của Rk và
F : Rk → Rr×k là một ánh xạ liên tục, đơn điệu, đồng thời
thỏa mãn điều kiện D-bức mạnh trên K. Giả sử x(n) ∈ S(tn) với mọi
n ∈ N. Khi đó dãy {x(n)}n có ít nhất một điểm giới hạn và bất kỳ một
điểm giới hạn nào của dãy này là một nghiệm của WVVIP(D,F ).
Chứng minh. Chú ý rằng vì F cũng thỏa mãn điều kiện D-bức trên K,
theo Bổ đề 2.2.5, S(tn) 6= ∅ với mọi n ∈ N, do đó dãy {x(n)}n nêu trong
định lý được xác định đúng đắn. Ta sẽ chứng minh rằng dãy {x(n)}n bị
chặn, nghĩa là tồn tại một hình cầu B nào đó với bán kính hữu hạn, có
tâm là gốc tọa độ, sao cho x(n) ∈ B với mọi n ∈ N.
Giả sử a là vector hằng trong Định nghĩa 2.3.3. Với mỗi t > 0, gọi
B(t) là hình cầu đóng bé nhất, tâm tại gốc tạo độ 0, thỏa mãn tính chất
sau: với mọi y /∈ B(t) và mọi j = 1, . . . , r, ta có
〈F (t)j (y),y − a〉 > 0,
hay nói cách khác,
〈F j(y),y − a〉+ t〈∇P (y),y − a〉 > 0.
49
Vì mỗi F j thỏa mãn điều kiện D-bức trên K và
〈∇P (y),y − a〉 ≥ P (y)− P (a) = P (y) ≥ 0,
ta suy ra với mọi t > 0, B(t) có bán kính hữu hạn.
Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng rằng S(t) ⊆ B(t) với mọi t > 0.
Thật vậy, giả sử y ∈ S(t)\B(t), khi đó theo định nghĩa của B(t), với
mọi j = 1, . . . , r ta có
〈F (t)j (y),y − a〉 > 0.
Từ đó ta suy ra 〈F (t)j (y),a−y〉 < 0 với mọi j = 1, . . . , r. Điều này mâu
thuẫn với giả thiết y ∈ S(t).
Mặt khác ta sẽ chứng minh rằng nếu t′ > t, thì B(t′) ⊆ B(t). Thật
vậy, với mọi y /∈ B(t), ta có
〈F j(y),y − a〉+ t〈∇P (y),y − a〉 > 0,
kéo theo
〈F j(y),y − a〉+ t′〈∇P (y),y − a〉 > 0, (2.6)
với mọi j = 1, . . . , r. Theo định nghĩa B(t′) là hình cầu nhỏ nhất thỏa
mãn tính chất: với mọi y /∈ B(t′) bất đẳng thức (2.6) được thỏa mãn. Do
đó B(t′) bị chứa trong B(t).
Cuối cùng, vì {tn}n là dãy đơn điệu tăng ta có
B(t1) ⊇ B(t2) ⊇ · · · ⊇ B(tn) ⊇ · · ·
Do đó, với mọi n ∈ N,
x(n) ∈ S(tn) ⊆ B(tn) ⊆ B(t1).
Vì B(t1) có bán kính hữu hạn, ta kết luận rằng dãy {x(n)}n bị chặn. Do
vậy, theo nguyên lý Bolzano-Weierstrass dãy này có ít nhất một điểm giới
hạn. Khẳng định rằng mỗi điểm giới hạn của {x(n)}n là một nghiệm của
WVVIP(D,F ) được suy ra trực tiếp từ Định lý 2.3.2.
50
Kết luận Chương 2
Trong chương này, luận án đã giải quyết được những vấn đề sau.
- Xây dựng mô hình bài toán phạt cho bài toán bất đẳng thức biến
phân vector yếu và chứng minh rằng một điểm giới hạn bất kỳ của một
dãy các nghiệm của các bài toán phạt chính là một nghiệm của bài toán
ban đầu.
- Chứng minh được rằng nếu miền D là lồi đóng, ánh xạ F đơn điệu
và thỏa mãn tính chất bức, thì các bài toán phạt đều có nghiệm. Hơn
nữa, bất kỳ dãy nghiệm nào của các bài toán phạt đều bị chặn, do đó có
ít nhất một điểm giới hạn, và đó chính là một nghiệm của bài toán bất
đẳng thức biến phân vector yếu ban đầu.
CHƯƠNG 3
HÀM PHẠT CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC
TIÊU
Phương pháp hàm phạt áp dụng cho bài toán tối ưu phi tuyến đã được
nghiên cứu một cách khá kỹ lưỡng (tham khảo chẳng hạn [56, 14, 43, 7]).
Phương pháp hàm phạt áp dụng cho bài toán tối ưu đa mục tiêu cũng đã
được nghiên cứu trong một vài công trình gần đây (tham khảo [52, 21,
22, 34]). Trong [34], Liu và Feng đã chứng minh rằng nếu x là một điểm
giới hạn của một dãy các nghiệm Pareto yếu của các bài toán phạt và x
chấp nhận được (nghĩa là x ∈ D), thì x là một nghiệm Pareto yếu của
bài toán ban đầu. Tính chấp nhận được của x là một giả thiết trong các
kết quả của [34]. Trong chương này, chúng tôi sử dụng hàm phạt ngoài và
chứng minh được các kết quả sau:
(1) nếu x là một điểm giới hạn của một dãy các nghiệm Pareto yếu của
các bài toán phạt thì x là chấp nhận được;
(2) một điểm x như thế sẽ là một nghiệm của bài toán ban đầu;
(3) với một số giả thiết đặt lên f , mọi bài toán phạt sẽ có ít nhất một
nghiệm Pareto yếu và mỗi dãy nghiệm Pareto yếu của các bài toán
phạt sẽ có ít nhất một điểm giới hạn, điểm giới hạn đó chính là một
nghiệm của bài toán tối ưu đa mục tiêu ban đầu.
51
52
3.1 Điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán
tối ưu đa mục tiêu
Cho D là một tập con lồi đóng khác rỗng của Rk. Ta xét bài toán tối
ưu đa mục tiêu với ràng buộc trên D sau đây
MOP(D,f) : min
x∈D
f(x) = (f1(x), . . . , fr(x)),
trong đó fi : Rk → R, i = 1, . . . , r là các ánh xạ xác định trên Rk. D
được gọi là miền ràng buộc của MOP(D,f). Nếu x ∈ D thì x được
gọi là một điểm chấp nhận được của MOP(D,f). Nếu D = Rk thì
MOP(D,f) được gọi là bài toán tối ưu đa mục tiêu không ràng buộc.
3.1.1 Định nghĩa. Vector x ∈ D được gọi là một nghiệm Pareto yếu
của MOP(D,f) nếu không tồn tại y ∈ D nào thỏa mãn f(y) < f(x).
Do đó, x ∈ D là một nghiệm Pareto yếu MOP(D,f) nếu và chỉ nếu
với mọi y ∈ D luôn tồn tại một chỉ số i sao cho
fi(y) ≥ fi(x).
Định lý sau đây thiết lập mối quan hệ giữa nghiệm Pareto yếu của một
bài toán tối ưu đa mục tiêu và nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân vector yếu tương ứng, dựa trên giả thiết về tính lồi và khả vi của
hàm mục tiêu.
3.1.2 Định lí ([5]). Giả sử f là một ánh xạ lồi và khả vi, nghĩa là
mỗi ánh xạ thành phần fi của f là lồi và khả vi. Khi đó x là một
nghiệm Pareto yếu của MOP(D,f) nếu và chỉ nếu x là một nghiệm
của WVVIP(D,f ′), trong đó f ′ là đạo hàm của f .
Các kết quả sau đây về sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu đa mục
tiêu sẽ được sử dụng về sau trong chương này.
53
3.1.3 Định lí ([30]). Giả sử f lồi và khả vi. Hơn nữa giả sử rằng D
không bị chặn và tồn tại a ∈ D sao cho
lim
‖y‖→+∞, y∈D
〈∇fi(y),y − a〉 > 0, i = 1, . . . , r.
Khi đó MOP(D,f) có một nghiệm Pareto yếu.
Kết hợp Định lý 3.1.2, Định lý 3.1.3, và Định lý 2.1.3 ta thu được kết
quả sau cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu đa mục tiêu.
3.1.4 Hệ quả. Giả sử f lồi và khả vi. Giả sử thêm rằng một trong
các điều kiện dưới đây thỏa mãn
1. D bị chặn,
2. D không bị chặn và ∇f thỏa mãn điều kiện bức yếu trên D, nghĩa
là tồn tại một vector s ∈ Rr+ và một vector a ∈ D sao cho
lim
‖y‖→+∞, y∈D
r∑
i=1
si〈∇fi(y),y − a〉 = +∞,
3. D không bị chặn và tồn tại a ∈ D sao cho
lim
‖y‖→+∞, y∈D
〈∇fi(y),y − a〉 > 0, i = 1, . . . , r.
Khi đó MOP(D,f) có nghiệm Pareto yếu.
Chứng minh. Do tính lồi của fi, ta có ∇fi liên tục và đơn điệu (Hệ
quả 25.5.1, [45]). Gọi F : Rk → Rr×k là ánh xạ với các ánh xạ thành
phần ∇fi, i = 1, . . . , r. Khi đó hiển nhiên F liên tục và đơn điệu.
Nếu D bị chặn, theo Định lý 2.1.3, WVVIP(D,F ) có một nghiệm x.
Sử dụng Định lý 3.1.2, ta suy ra rằng x cũng là một nghiệm Pareto yếu
của MOP(D,f).
54
Giả sử rằng D không bị chặn. Nếu tính chất thứ hai thỏa mãn, ta
có F thỏa mãn điều kiện bức yếu trên D. Do đó, theo Định lý 2.1.3,
WVVIP(D,F ) có một nghiệm x. Sử dụng Định lý 3.1.2, ta suy ra x là
một nghiệm Pareto yếu của MOP(D,f). Nếu tính chất thứ ba thỏa mãn,
theo Định lý 3.1.3, MOP(D,f) có một nghiệm Pareto yếu.
3.2 Bài toán phạt
Trong mục này ta sẽ xây dựng các bài toán phạt cho MOP(D,f). Cố
định một tập K ⊃ D. Với t > 0 ta định nghĩa bài toán phạt như sau
MOP(K,f (t)) : min
x∈K
f (t) = (f
(t)
1 , . . . , f
(t)
r ),
trong đó f
(t)
i = fi + tP , i = 1, . . . , r, với P là hàm phạt của D. Trong
trường hợp miền K là Rk thì bài toán phạt không có ràng buộc nào. Tiếp
theo ta nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán phạt MOP(K,f (t)).
3.2.1 Bổ đề. Giả sử f : Rk → Rr là lồi và khả vi. Hơn nữa giả thiết
rằng một trong các điều kiện sau đây thỏa mãn
1. K bị chặn,
2. K không bị chặn và tồn tại các vector s ∈ Rr+ và a ∈ D sao cho
lim
‖y‖→+∞, y∈K
r∑
i=1
si〈∇fi(y),y − a〉 = +∞,
3. K không bị chặn và tồn tại a ∈ D sao cho
lim
‖y‖→+∞, y∈K
〈∇fi(y),y − a〉 > 0, i = 1, . . . , r.
Khi đó MOP(K,f (t)) có một nghiệm Pareto yếu.
55
Chứng minh. Hiển nhiên f
(t)
i = fi + tP lồi và khả vi. Nếu K bị chặn,
theo Hệ quả 3.1.4, MOP(K,f (t)) có một nghiệm Pareto yếu.
Giả sử rằng điều kiện thứ hai thỏa mãn. Ta có
r∑
i=1
si〈∇f (t)i (y),y − a〉 =
r∑
i=1
si〈∇fi(y),y − a〉+ t
r∑
i=1
si〈∇P (y),y − a〉
≥
r∑
i=1
si〈∇fi(y),y − a〉+ t(P (y)− P (a))
≥
r∑
i=1
si〈∇fi(y),y − a〉
→ +∞, khi ‖y‖ → +∞,y ∈ K.
Trong bất đẳng thức thứ hai ta sử dụng tính chất P (y) ≥ 0 và P (a) = 0
vì a ∈ D. Do đó, theo Hệ quả 3.1.4 MOP(K,f (t)) có một nghiệm Pareto
yếu.
Giả sử điều kiện thứ ba thỏa mãn. Với mỗi i = 1, . . . , r ta có
〈∇f (t)i (y),y − a〉 = 〈∇fi(y),y − a〉+ t〈∇P (y),y − a〉
≥ 〈∇fi(y),y − a〉+ t(P (y)− P (a))
≥ 〈∇fi(y),y − a〉.
Do đó
lim
‖y‖→+∞, y∈K
〈∇f (t)i (y),y − a〉 > 0.
Theo Hệ quả 3.1.4, ta kết luận rằng MOP(K,f (t)) có một nghiệm Pareto
yếu.
3.3 Các định lý hội tụ
Ký hiệu S và S(t) tương ứng là các tập nghiệm của MOP(D,f) và
MOP(K,f (t)). Lấy {tn}n là một dãy các số thực dương tăng đơn điệu tới
+∞ khi n→ +∞.
56
3.3.1 Bổ đề. Giả sử f liên tục và x(n) ∈ S(tn) với mọi n ∈ N. Giả
sử rằng x là một điểm giới hạn của dãy
{
x(n)
}
n
. Khi đó x ∈ D.
Chứng minh. Ta chứng minh bổ đề này bằng phương pháp phản chứng.
Giả sử x là giới hạn của dãy con
{
x(nm)
}
m
của
{
x(n)
}
n
và x /∈ D. Khi
đó P (x) > 0 và do vậy P (x) > ε với ε > 0 nào đó. Lấy y ∈ D bất kỳ.
Vì x(nm) ∈ S(tnm), tồn tại inm sao cho
f
(tnm)
inm
(y) ≥ f (tnm)inm (x(nm)).
Vì inm ∈ {1, 2, . . . , r}, tồn tại một dãy vô hạn {inm`}` các chỉ số có cùng
một giá trị, chẳng hạn inm` = 1, với mọi ` ∈ N. Để đơn giản ký hiệu, ta
giả sử inm = 1 với mọi m ∈ N. Do đó với mọi m ∈ N
f
(tnm)
1 (y) ≥ f (tnm)1 (x(nm)). (3.1)
Vì P (x(nm))→ P (x) > ε, với mọi m đủ lớn ta có P (x(nm)) > ε. Do vậy
với m đủ lớn
f
(tnm)
1 (x
(nm))− f (tnm)1 (y) = f1(x(nm))− f1(y) + tnm(P (x(nm))− P (y))
≥ f1(x(nm))− f1(y) + tnmε
→ f1(x)− f1(y) +∞ = +∞, as m→ +∞.
Điều này mâu thuẫn với (3.1). Chú ý rằng ở đây P (y) = 0 vì y ∈ D.
Định lý sau đây chứng tỏ rằng nếu một dãy các nghiệm Pareto yếu
của các bài toán phạt hội tụ tới một điểm x thì x là một nghiệm Pareto
yếu của bài toán ban đầu. Để ý rằng nếu tồn tại n ∈ N sao cho x(n) ∈
S(tn) ∩D, dễ thấy x(n) cũng là một nghiệm của MOP(D,f).
3.3.2 Định lí. Giả sử rằng f liên tục và x(n) ∈ S(tn) với mọi n ∈ N.
Khi đó một điểm giới hạn bất kỳ của dãy
{
x(n)
}
n
sẽ là một nghiệm
Pareto yếu của MOP(D,f).
57
Chứng minh. Ta giả sử rằng x là một điểm giới hạn của dãy
{
x(n)
}
n
.
Gọi
{
x(nm)
}
m
là dãy con của
{
x(n)
}
n
hội tụ tới x. Theo Bổ đề 3.3.1,
x ∈ D.
Giả sử phản chứng rằng x /∈ S. Khi đó tồn tại y ∈ D thỏa mãn
fi(y) < fi(x), i = 1, . . . , r.
Vì x(nm) ∈ S(tnm), tồn tại inm sao cho
f
(tnm)
inm
(y) ≥ f (tnm)inm
(
x(nm)
)
.
Vì inm ∈ {1, 2, . . . , r}, tồn tại một dãy vô hạn các chỉ số
{
inm`
}
`
nhận
cùng một giá trị, chẳng hạn inm` = 1, với mọi ` ∈ N. Để đơn giản ký
hiêu, ta lại giả sử rằng chính dãy
{
inm
}
m
thỏa mãn tính chất này, tức là
inm = 1 với mọi m ∈ N. Do đó với mọi m ∈ N đủ lớn ta có
f
(tnm)
1 (y) ≥ f (tnm)1
(
x(nm)
)
. (3.2)
Vì f1(y) 0 nào đó.
Vì x(nm) → x khi m→ +∞, với m đủ lớn ta có
f1(y)− f1
(
x(nm)
)
< −ε.
Do vậy với m đủ lớn
f
(tnm)
1 (y)− f (tnm)1
(
x(nm)
)
= f1(y)− f1
(
x(nm)
)
+ tnm
(
P (y)− P(x(nm)))
< −ε− tnmP
(
x(nm)
)
≤ −ε.
Điều này mâu thuẫn với (3.2).
3.3.3 Định lí. Giả sử f : Rk → Rr lồi và khả vi. Giả sử thêm rằng
một trong các điều kiện sau đây thỏa mãn
1. K bị chặn,
58
2. K không bị chặn và tồn tại a ∈ D sao cho
lim
‖y‖→+∞, y∈K
〈∇fi(y),y − a〉 > 0, i = 1, . . . , r.
Giả sử x(n) ∈ S(tn) với mọi n ∈ N. Khi đó dãy
{
x(n)
}
n
có ít nhất
một điểm giới hạn và mỗi điểm giới hạn của dãy này là một nghiệm
Pareto yếu của MOP(D,f).
Chứng minh. Trước hết để ý rằng theo Bổ đề 3.2.1, ta có S(tn) 6= ∅. Do
đó dãy
{
x(n)
}
n
nêu trong định lý luôn tồn tại.
Nếu K bị chặn thì dãy
{
x(n)
}
n
⊆ K cũng bị chặn. Do đó theo nguyên
lý Bolzano-Weierstrass, dãy này sẽ có ít nhất một điểm giới hạn. Khẳng
định rằng điểm giới hạn này là một nghiệm Pareto yếu của MOP(D,f)
được suy ra trực tiếp từ Định lý 3.3.2.
Bây giờ giả sử rằng K không bị chặn và tồn tại a ∈ D sao cho
lim
‖y‖→+∞, y∈K
〈∇fi(y),y − a〉 > 0, i = 1, . . . , r.
Ta chỉ cần chứng tỏ rằng dãy
{
x(n)
}
n
bị chặn là đủ. Với t > 0, gọi B(t)
là hình cầu đóng nhỏ nhất của Rk tâm tại gốc tọa độ sao cho với mọi
y /∈ B(t) và với mọi i = 1, . . . , r, ta có〈∇f (t)i (y),y − a〉 > 0,
hay nói cách khác〈∇fi(y),y − a)〉+ t〈∇P (y),y − a〉 > 0.
Vì 〈∇fi(y),y − a)〉 > 0
khi ‖y‖ đủ lớn, và
t
〈∇P (y),y − a〉 ≥ t(P (y)− P (a)) ≥ 0,
59
ta suy ra B(t) có bán kính hữu hạn.
Tiếp theo, ta chứng minh rằng S(t) ⊆ B(t). Thật vậy, giả sử phản
chứng rằng tồn tại y ∈ S(t)\B(t). Khi đó theo định nghĩa của B(t), với
mọi i = 1, . . . , r ta có 〈∇f (t)i (y),y − a〉 > 0,
hay nói một cách tương đương,〈∇f (t)i (y),a− y〉 < 0, i = 1, . . . , r.
Do đó y không phải là một nghiệm của WVVIP(K, (f (t))′). Theo Định
lý 3.1.2, ta suy ra rằng y /∈ S(t), mâu thuẫn. Do vậy S(t) ⊆ B(t).
Mặt khác, với t′ > t, ta có B(t′) ⊆ B(t). Thật vậy, với mọi y /∈ B(t)
và với mọi i = 1, . . . , r, ta có〈∇fi(y),y − a)〉+ t〈∇P (y),y − a〉 > 0,
kéo theo 〈∇fi(y),y − a)〉+ t′〈∇P (y),y − a〉 > 0, (3.3)
vì 〈∇P (y),y − a〉 ≥ P (y)− P (a) ≥ 0.
Theo định nghĩa, B(t′) là hình cầu đóng nhỏ nhất sao cho với mọi y /∈
B(t′), bất đẳng thức (3.3) thỏa mãn với mọi i = 1, . . . , r. Do đó B(t′) là
một tập con của B(t).
Cuối cùng, vì {tn}n đơn điệu tăng, ta có
B(t1) ⊇ B(t2) ⊇ · · · ⊇ B(tn) ⊇ · · ·
Do đó với mọi n ∈ N ta có
x(n) ∈ S(tn) ⊆ B(tn) ⊆ B(t1).
Vì bán kính của B(t1) là hữu hạn, ta kết luận rằng dãy
{
x(n)
}
n
bị
chặn.
60
3.3.4 Ví dụ. Xét
D = {x = (x1, x2)T ∈ R2 : x2 − x1 − 1 ≤ 0,−x2 + x21 − 1 ≤ 0}.
Hình 3.1: Miền ràng buộc D
Lấy P theo (2.3)
P (x) = [max{0, x2 − x1 − 1}]2 + [max{0,−x2 + x21 − 1}]2
=
0, x ∈ D,
(x2 − x1 − 1)2, x ∈ (I),
(x2 − x1 − 1)2 + (−x2 + x21 − 1)2, x ∈ (II),
(−x2 + x21 − 1)2, x ∈ (III).
Cho f(x) = (f1(x), f2(x)), trong đó
f1(x) =
x21
2
+
x22
2
+ x1x2 + 2e
x2/2 − 2x2,
f2(x) = e
x1 + x21 − x1 +
x22
2
+ 1.
Dễ thấy f định nghĩa như trên là lồi và khả vi trên R2. Lấy K = R2 và
a = 0 ∈ D. Khi đó ta có
〈∇f1(y),y〉 = (y1 + y2)2 + y2ey2/2 − 2y2,
〈∇f2(y),y〉 = 2y21 + y22 + y1ey1 − y1,
61
hiển nhiên là các số dương khi ‖y‖ → +∞. Do đó, theo Định lý 3.3.3 một
dãy bất kỳ các nghiệm Pareto yếu của các bài toán phạt MOP(K,f (tn)),
n = 1, 2, . . . sẽ có ít nhất một điểm giới hạn và mọi điểm giới hạn của
dãy đó là một nghiệm Pareto yếu của MOP(D,f).
Kết luận Chương 3
Trong chương này, luận án đã giải quyết được những vấn đề sau.
- Nghiên cứu mối quan hệ giữa tập các nghiệm Pareto yếu của bài toán
tối ưu đa mục tiêu ban đầu và các tập nghiệm Pareto yếu của các bài
toán phạt tương ứng.
- Chứng minh được rằng nếu miền D là lồi đóng, ánh xạ f lồi, khả vi
và thỏa mãn tính chất bức, thì các bài toán phạt đều có nghiệm Pareto
yếu. Hơn nữa, bất kỳ dãy nghiệm Pareto yếu nào của các bài toán phạt
đều bị chặn, do đó có ít nhất một điểm giới hạn và đó chính là một nghiệm
Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu ban đầu. Định lý 3.3.2 chứng
minh rằng một điểm giới hạn bất kỳ của dãy các nghiệm Pareto yếu của
các bài toán phạt là một nghiệm Pareto yếu của bài toán ban đầu, chỉ
cần giả thiết về tính liên tục của hàm mục tiêu f . Ta không yêu cầu f lồi
hoặc khả vi trong định lý này. Tuy nhiên, Định lý 3.3.3 đòi hỏi những tính
chất đó của f . Một vài công trình gần đây đã nghiên cứu nghiệm Pareto
yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu với các giả thiết được giảm nhẹ cho
f , chẳng hạn, khi f không lồi và không khả vi (tham khảo [27, 30, 46]).
Dựa trên những kết quả này, ta cũng có thể giảm nhẹ các giả thiết đặt
lên hàm f nêu trong Định lý 3.3.3.
62
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1 Kết luận
Luận án nghiên cứu phương pháp hàm phạt áp dụng cho bài toán bất
đẳng thức biến phân, bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu và bài
toán tối ưu đa mục tiêu. Kết quả chính của luận án như sau.
1. Đưa ra thuật toán kết hợp hai phương pháp hàm phạt và phương
pháp chiếu để giải bài toán bất đẳng thức biến phân. Thuật toán kết hợp
đã khắc phục được nhược điểm cơ bản của phương pháp chiếu là sự khó
khăn khi tính hình chiếu của một điểm lên một miền lồi bất kỳ và tận
dụng được ưu điểm của thuật toán này là khối lượng tính toán nhỏ, thuật
toán đơn giản. Thuật toán được minh họa bởi các ví dụ trong trường hợp
hai chiều và nhiều chiều, kết quả giải số của các ví dụ được phân tích và
so sánh.
2. Xây dựng mô hình hàm phạt để giải bài toán bất đẳng thức biến
phân vector yếu. Chứng minh được các kết quả hội tụ cơ bản của phương
pháp.
3. Nghiên cứu áp dụng phương pháp hàm phạt để tìm nghiệm Pareto
yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu. Chứng minh được các kết quả hội
tụ cơ bản của phương pháp. Cải tiến các kết quả nêu trong [34].
Kết quả chính của luận án được công bố trong [37], [35] và [36].
2 Kiến nghị
Thời gian tới, chúng tôi mong muốn tiếp tục nghiên cứu những vấn đề sau.
1. Nghiên cứu thêm về tính hiệu quả và tốc độ hội tụ của thuật toán
63
kết hợp phương pháp hàm phạt và phương pháp chiếu cho bài toán bất
đẳng thức biến phân.
2. Giảm nhẹ các giả thiết nêu trong các điều kiện đủ đã thiết lập trong
Chương 2 và Chương 3. Trước hết là nghiên cứu kỹ hơn các điều kiện đủ
này trong trường hợp hàm mục tiêu là không trơn và không đơn điệu.
3. Nghiên cứu mở rộng phương pháp hàm phạt cho các dạng tổng quát
hơn của bài toán bất đẳng thức biến phân vector.
DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA
NGHIÊN CỨU SINH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
1. Đậu Xuân Lương (2003), “Ánh xạ tự bức và ứng dụng vào bất đẳng
thức biến phân,” Thông báo khoa học – Các ngành khoa học tự
nhiên, Trường Đại học Vinh.
2. D. X. Luong and L. D. Muu (2010), “Combining the projection meth-
ods and the penalty function method to solve the variational inequal-
ities with monotone mappings”, Int. J. Optim. Theory Methods
Appl., 2(2), pp. 124–137.
3. D. X. Luong (2010), “Penalty functions for the vector variational
inequality problem”, submitted to Acta Mathematica Vietnamica for
publication.
4. D. X. Luong and T. V. An (2010), “Penalty functions for the mul-
tiobjective optimization problem”, J. Math. Sci. Adv. Appl., 6(1),
pp. 177–192.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Alber Y. I. (1995), “The penalty method for variational inequali-
ties with nonsmooth unbounded operators in banach space”, Numer.
Funct. Anal. Optim., 16(9&10), 1111–1125.
[2] Chen G. Y. (1988), “Vector variational inequality and vector opti-
mization”, Lecture Notes in Econom. and Math. Systems, 285,
408–416.
[3] Chen G. Y. (1992), “Existence of solutions for a vector variational
inequality: An extension of the Hartman-Stampacchia theorem”, J.
Optim. Theory Appl., 74, 445–456.
[4] Chen G. Y. and Craven B. D. (1990), “A vector variational inequality
and optimization over an efficient set”, ZOR-Meth. Models Oper.
Res., 34, 1–12.
[5] Chen G. Y. and Craven B. D. (1994), “Existence and continuity of
solutions for vector optimization”, J. Optim. Theory Appl., 81(3),
459–468.
[6] Chen G. Y. and Yang X. Q. (1990), “The vector complementary prob-
lem and its equivalences with the weak minimal element in ordered
spaces”, J. Math. Anal. Appl., 153, 136–158.
[7] Cominetti R. and Dussault J. P. (1994), “Stable exponential-penalty
algorithm with superlinear convergence”, J. Optim. Theory Appl.,
83(2), 285–309.
64
65
[8] Dafermos S. C. (1980), “Traffic equilibria and variational inequali-
ties”, Transportation Science, 14(1), 42–54.
[9] Dafermos S. C. (1990), “Exchange price equilibria and variational
inequalities”, Math. Program., 46, 391–402.
[10] Dafermos S. C. (1990), “Exchange price equilibria and variational
inequalities”, Math. Program., 46(3), 391–402.
[11] Dafermos S. C. and McKelvey S. C. (1992), “Partitionable variational
inequalities with applications to network and economic equilibria”, J.
Optim. Theory Appl., 73(2), 243–268.
[12] Daniilidis A. and Hadjisavvas N. (1996), “Existence theorems for vec-
tor variational inequalities”, Bull. Austral. Math. Soc., 54, 473–481.
[13] Edgeworth F. Y. (1881), Mathematical Psychics, Kegan Paul, Lon-
don, England.
[14] Evans J. P. and Gould F. J. (1974), “An existence theorem for penalty
function theory”, SIAM J. Control., 12, 505–516.
[15] Facchiney F. and Pang J.-S. (2003), Finite Dimensional Variational
Inequalities and Complementarity Problems, Springer Series in Op-
erations Research and Financial Engineering.
[16] Giannessi F. (1980), “Theorems of alternative, quadratic programs
and complementary problems”, 151–186, in Variational inequality
and complementary problems, edited by Cottle R. W., Giannessi F.
and Eds J.-L. Lions, Wiley, New York.
[17] Giannessi F. (2000), Vector Variational Inequalities and Vector
Equilibria, Kluwer Academic Publishers.
[18] Goh C. J. and Yang X. Q. (1999), “Vector equilibrium problem and
vector optimization”, European J. Oper. Res., 116(3), 615–628.
66
[19] Goh C. J. and Yang X. Q. (2000), “Scalarization methods for vector
variational inequality”, in Vector variational inequalities and vector
equilibria, edited by Giannessi F., Kluwer Acadamic Publishers.
[20] Hartman P. and Stampacchia G. (1966), “On some nonlinear elliptic
differential functional equations”, Acta Mathematica, 115, 153–188.
[21] Huang X. Q. and Yang X. Q. (2002), “Nonlinear Lagrangian for mul-
tiobjective optimization and applications to duality and exact penal-
ization”, SIAM J. Optim., 13(3), 675–692.
[22] Huang X. Q., Yang X. Q. and Teo K. L. (2006), “Convergence analysis
of a class of penalty methods for vector optimization problems with
cone constraints”, J. Global Optim., 36(4), 637–652.
[23] Ito K. and Kunisch K. (1990), “An augmented Lagrangian technique
for variational inequalities”, Appl. Math. Optim., 21(1), 223–241.
[24] Jahn J. (2004), Vector Optimization: Theory, Applications, and
Extensions, Springer Verlag, New York.
[25] Jofre A., Rockafellar R. T. and Wets R. J-B. (2005), “A varia-
tional inequality scheme for determining an economic equilibrium”,
in Variational Analysis and Applications, edited by Giannessi F.
and Maugeri A., Kluwer Acadamic Publishers.
[26] Jofré A., Rockafellar R. T. and Wets R. J-B. (2007), “Variational
Inequalities and Economic Equilibrium”, Math. Oper. Res., 32(1),
32–50.
[27] Kazmi K. R. (1996), “Existence of solutions for vector optimization”,
Appl. Math. Lett., 9, 19–22.
67
[28] Konnov I. V. (2001), “Combined relaxation methods for variational
inequalities”, Lecture Notes in Economics and mathematical Sys-
tems, 495.
[29] Konnov I. V. (2007), Equilibium Models and Variational Inequali-
ties, Elsevier B. V., Amsterdam.
[30] Lee G. M. and Kim D. S. (1994), “Existence of Solutions for vector
optimization problems”, J. Optim. Theory Appl., 81(3), 459–468.
[31] Lee G. M., Kim D. S., Lee B. S. and Cho S. J. (1993), “Generalized
vector variational inequalities and fuzzy extensions”, Appl. Math.
Lett., 6, 47–51.
[32] Lions J. L. and Stampacchia G. (1967), “Variational inequalities”,
Comm. Pure Appl. Math., 20, 493–519.
[33] Liu G. P., Yang J. B. andWhidborne J. F. (2002),Multiobjective Op-
timization and Control, Research Studies Press Ltd, Baldock United
Kingdom.
[34] Liu S. and Feng E. (2010), “The exponential penalty function method
for multiobjective programming problems”, Optim. Methods Softw.,
25(5), 667–675.
[35] Luong D. X. (2010), “Penalty functions for the vector variational
inequality problem”, Submitted to Acta Mathematica Vietnamica for
publication.
[36] Luong D. X. and An T. V. (2010), “Penalty functions for the mul-
tiobjective optimization problem”, J. Math. Sci. Adv. Appl., 6(1),
177–192.
[37] Luong D. X. and Muu L. D. (2010), “Combining the projection meth-
ods and the penalty function method to solve the variational inequal-
68
ities with monotone mappings”, Int. J. Optim. Theory Methods
Appl., 2(2), 124–137.
[38] Muu L. D. (1989), “An augmented penalty function method for solv-
ing a class of variational inequalities”, U.S.S.R. Comput. Math. and
Math. Phys., 26(6), 117–122.
[39] Muu L. D. (1992), “On a Lagrangian penalty function method for
nonlinear programming problems”, Appl. Math. Optim., 25(1), 1–9.
[40] Nagurney A. (1989), “Migration Equilibrium and Variational Inequal-
ities”, Econom. Lett., 31(1), 109–112.
[41] Nagurney A. (1999), Network Economics: A Variational Inequality
Approach, Edition 2, Springer Series in Advances in Computational
Economics.
[42] Nagurney A. and Dafermos S. C. (1984), “General spatial economic
equilibrium problem”, Oper. Res., 32, 1069–1086.
[43] Nguyen V. H. and Strodiot J. J. (1979), “On the convergence rate for
a penalty function method of exponential type”, J. Optim. Theory
Appl., 27(4), 495–508.
[44] Pareto V. (1906), Manual of Political Economy, Societa Editrice
Libraria, Milano, Italy.
[45] Rockafellar R. T. (1970), Convex Analysis, Princeton Univ. Press,
Princeton, New Jersey.
[46] Santos L. B., Ruiz-Garzon G., Rojas-Medar M. A. and Rufian-Lizana
A. (2008), “Existence of weakly efficient solutions in nonsmooth vec-
tor optimization”, Appl. Math. Comput., 200(2), 547–556.
[47] Smith M. J. (1979), “The existence, uniqueness and stability of traffic
equilibria”, Transportation Science, 13B, 295–304.
69
[48] Stadler W. (1979), “A survey of multicriteria optimization or the
vector maximum problem, part I: 1776–1960”, J. Optim. Theory
Appl., 29(1), 1–52.
[49] Stadler W. (1988), Multicriteria Optimization in Engineering and
in the Sciences, Springer Verlag, New York.
[50] Stampacchia G. (1964), “Formes bilineares coercives sur les ensembles
convexes”, Comptes Rendus Academie Sciences Paris, 258, 4413–
4416.
[51] Tang Y. C. and Liu L. W. (2010), “The penalty method for a new
system of generalized variational inequlities”, Int. J. Math. Math.
Sci., 25(2010), 1–9.
[52] White D. J. (2002), “Multiobjective programming and penalty func-
tions”, J. Optim. Theory Appl., 13(3), 675–692.
[53] Yang X. Q. (1993), “Vector complimentary and minimal element
problems”, J. Optim. Theory Appl., 77, 483–495.
[54] Yang X. Q. (1993), “Vector variational inequality and its duality”,
Nonlinear Anal., 21(11), 869–877.
[55] Yang X. Q. and Goh C. J. (1997), “On vector variational inequality:
applications to vector traffic equilibria”, J. Optim. Theory Appl.,
95, 431–443.
[56] Zangwill W. I. (1969), Nonlinear Programming: A Unified Ap-
proach, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ.
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- Ton_v259n_lu7853n_n_c7911a_NCS_2727853u_Xun_L432417ng_111.pdf