Luận văn Bài toán điều khiển H – vô cùng cho một lớp hệ phương trình vi phân không ôtônôm

o tr­íc. Khi ®ã øng víi mçi ®iÒu khiÓn chÊp nhËn ®­îc u(t), bµi to¸n Cauchy cña hÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh (1.3) lu«n cã nghiÖm x(t, x0, u) t¹i thêi ®iÓm t ®­îc cho bëi x(t, x0, u) = U(t, 0)x0 + ∫ t 0 U(t, s)B(s)u(s)ds, t ≥ 0 trong ®ã U(t, s) lµ ma trËn nghiÖm c¬ b¶n cña hÖ tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt: x˙(t) = A(t)x(t), t ≥ 0. §Þnh nghÜa 1.2.1: Cho hai tr¹ng th¸i x0, x1 ∈ Rn, cÆp (x0, x1) ®­îc gäi lµ ®iÒu khiÓn ®­îc sau thêi gian t1 > 0, nÕu tån t¹i ®iÒu khiÓn chÊp nhËn ®­îc u(t) sao cho nghiÖm x(t, x0, u) cña hÖ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x(0, x0, u) = x0, x(t1, x0, u) = x1. §Þnh nghÜa 1.2.2: HÖ [A(t), B(t)] gäi lµ ®iÒu khiÓn ®­îc hoµn toµn vÒ 0 nÕu víi bÊt k× tr¹ng th¸i x0 ∈ Rn, tån t¹i mét thêi gian t1 > 0 sao cho (x0, 0) lµ ®iÒu khiÓn ®­îc sau thêi gian t1. Hay nãi c¸ch kh¸c tån t¹i T > 0 sao cho:∫ T 0 U(T, s)B(s)BT (s)UT (T, s)ds > 0. Tr­íc tiªn chóng ta xÐt kÕt qu¶ c¬ së ®Çu tiªn vÒ tÝnh ®iÒu khiÓn ®­îc cña hÖ tuyÕn tÝnh dõng d¹ng x˙(t) = Ax(t) +Bu(t), t ≥ 0, (1.4) 12 trong ®ã x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rm, A,B lµ c¸c ma trËn h»ng cã sè chiÒu t­¬ng øng. §Þnh lý 1.2.3: (Tiªu chuÈn h¹ng Kalman) HÖ tuyÕn tÝnh dõng (1.4) lµ ®iÒu khiÓn ®­îc hoµn toµn vÒ 0 khi vµ chØ khi rank[B,AB, ..., An−1B] = n. Nh­ vËy ®Ó xÐt tÝnh ®iÒu khiÓn ®­îc cña mét hÖ tuyÕn tÝnh dõng (1.4), ta chØ cÇn x¸c lËp ma trËn [B,AB, ..., An−1B]−(n×m), sau ®ã kiÓm tra h¹ng cña nã lµ ®ñ. Ma trËn nµy ®­îc gäi lµ ma trËn ®iÒu khiÓn ®­îc, kÝ hiÖu lµ [A/B]. VÝ dô 1.2.4: XÐt tÝnh ®iÒu khiÓn ®­îc cña hÖ x˙1 = −2x1 + 2x2 + u x˙2 = x1 − x2. Ta cã A = −2 2 1 −1  B = 1 0  . V× rank[A/B] = rank 1 −2 0 1  = 2 nªn hÖ ®· cho lµ ®iÒu khiÓn ®­îc hoµn toµn vÒ 0. Bªn c¹nh ®ã chóng ta cã thÓ kiÓm tra ®­îc tÝnh ®iÒu khiÓn ®­îc hoµn toµn cho hÖ tuyÕn tÝnh kh«ng dõng d­íi d¹ng ®iÒu kiÖn Kalman. §Þnh lý 1.2.5: [2] Gi¶ sö c¸c ma trËn A(t), B(t) lµ c¸c hµm gi¶i tÝch trªn [t0,∞). HÖ (1.3) lµ ®iÒu khiÓn ®­îc hoµn toµn vÒ 0 khi vµ chØ khi ∃t1 ∈ [t0,∞) : rank[M0(t1),M1(t1), ...,Mn(t1)] = n, trong ®ã M0(t) = B(t), 13 Mk+1(t) = −A(t)Mk(t) + d dt Mk(t), k = 0, 1, ..., n− 1. Chó ý r»ng nÕu hÖ lµ dõng, tøc lµ c¸c ma trËn A(.), B(.) lµ h»ng sè, th× c¸c ®iÒu kiÖn Kalman trong hai ®Þnh lý 1.2.3 vµ 1.2.5 lµ ®ång nhÊt. VÝ dô 1.2.6: XÐt hÖ (1.3) trong ®ã A(t) = 12 cos t 0 0 −12 sin t  , B(t) = e− sin t 0 0 e− cos t  . Ta cã M0(t) = B(t) = e− sin t 0 0 e− cos t  , M1(t) = −A(t)B(t) + d dt M0(t) = −32 cos te− sin t 0 0 32 sin te − cos t  . V× ma trËn [M0(t),M1(t)] cã h¹ng b»ng 2 víi mäi t > t0 = 0 nªn theo ®Þnh lý 1.2.5, hÖ [A(t), B(t)] lµ ®iÒu khiÓn ®­îc hoµn toµn vÒ 0. §Þnh nghÜa 1.2.7: [9] HÖ [A(t), B(t)] gäi lµ ®iÒu khiÓn ®­îc ®Òu hoµn toµn nÕu tån t¹i N > 0, c1, c2, c3, c3, c4 > 0 sao cho víi mäi t ∈ R+: i) c1I ≤ W (t, t+N) ≤ c2I ii) c3I ≤ U(t, t+N)W (t, t+N)U(t, t+N) ≤ c4I trong ®ã W (t, t+N) = ∫ t+N t U(N, s)B(s)B T (s)UT (N, s)ds. 14 1.3 Bµi to¸n æn ®Þnh ho¸ XÐt hÖ ®iÒu khiÓn m« t¶ bëi hÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n x˙(t) = f(t, x(t), u(t)), t ≥ 0 x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ Rm. (1.5) §Þnh nghÜa 1.3.1: HÖ (1.5) gäi lµ æn ®Þnh ho¸ ®­îc nÕu tån t¹i hµm h(x) : Rn → Rm sao cho víi hµm ®iÒu khiÓn nµy hÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n x(t) = f(t, x(t), h(x(t))), t ≥ 0, lµ æn ®Þnh tiÖm cËn. Hµm h(x) th­êng gäi lµ hµm ®iÒu khiÓn ng­îc. Tr­êng hîp hÖ (1.5) lµ hÖ tuyÕn tÝnh x˙ = Ax+Bu th× hÖ lµ æn ®Þnh ho¸ ®­îc nÕu tån t¹i ma trËn K sao cho ma trËn (A+BK) lµ æn ®Þnh. §Þnh lý 1.3.2: HÖ tuyÕn tÝnh (1.5) lµ æn ®Þnh ho¸ ®­îc nÕu nã lµ ®iÒu khiÓn ®­îc hoµn toµn vÒ 0. VÝ dô 1.3.3: XÐt hÖ ®iÒu khiÓn tuyÕn tÝnh (1.5) trong ®ã A = −1 0 0 0  , B = 1 0  . Ta cã hÖ x˙ = Ax lµ æn ®Þnh, do ®ã hÖ ®· cho lµ æn ®Þnh ho¸ ®­îc víi K = 0. Tuy nhiªn hÖ kh«ng lµ GNC v× rank[A/B] = 1 < 2. VÝ dô trªn chØ ra r»ng nÕu hÖ lµ æn ®Þnh ho¸ ®­îc th× hÖ ®ã ch­a ch¾c ®· lµ GNC. Do ®ã phÇn ®¶o cña ®Þnh lý 1.3.2 kh«ng ®óng. 15 Tr­êng hîp hÖ (1.5) lµ hÖ phi tuyÕn, ta cã ®Þnh lý sau: §Þnh lý 1.3.4: XÐt hÖ ®iÒu khiÓn phi tuyÕn (1.5). Gi¶ sö tån t¹i hµm V (t, x) vµ hµm vÐct¬ h(x) : Rn → Rm sao cho i) V (t, x) x¸c ®Þnh d­¬ng ii) Tån t¹i γ(.) ∈ K : ∂V ∂x f(x, h(x)) ≤ −γ(‖x‖), ∀x ∈ Rn \ 0. Khi ®ã hÖ lµ æn ®Þnh ho¸ ®­îc víi ®iÒu khiÓn ng­îc u(t) = h(x(t)). VÝ dô 1.3.5: XÐt tÝnh æn ®Þnh ho¸ ®­îc cña hÖ phi tuyÕn x˙1 = x2 − x31 − u31 x˙2 = −x1 − x32 − u32 XÐt c¸c hµm V (x1, x2) = x 2 1 + x 2 2, a(t) = γ(t) = t 2, b(t) = 2t2, u = h(x) = x víi u = (u1, u2), x = (x1, x2). Ta cã V (0, 0) = 0, a(‖(x1, x2)‖ ≤ V (x1, x2) ≤ b(‖(x1, x2)‖) vµ ∂V ∂x f(x, h(x)) = 2x1.x˙1 + 2x2.x˙2 = −4x41 − 4x42 ≤ −x21 − x22 = −γ(‖(x1, x2)‖, ∀(x1, x2) ∈ R2. Do ®ã hÖ ®· cho lµ æn ®Þnh ho¸ ®­îc víi ®iÒu khiÓn ng­îc u(t) = h(x(t)) = x(t). 16 1.4 Bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ XÐt hÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng «t«n«m x˙(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t) +B1(t)ω(t), t ≥ 0, z(t) = C(t)x(t) +D(t)u(t), t ≥ 0, (1.6) x(0) = x0, x0 ∈ Rn, trong ®ã x(t) ∈ Rn lµ vect¬ tr¹ng th¸i, u(t) ∈ Rm lµ hµm ®iÒu khiÓn, ω(t) ∈ Rr lµ biÕn nhiÔu, z(t) ∈ Rl lµ hµm quan s¸t, A(t) ∈ Rn×n, B(t) ∈ Rn×m, B1(t) ∈ Rn×r, C(t) ∈ Rl×n, D(t) ∈ Rl×m lµ c¸c hµm ma trËn liªn tôc cho tr­íc trªn R+. Hµm nhiÔu ω(t) lµ chÊp nhËn ®­îc nÕu ω ∈ L2([0,∞),Rr). §Þnh nghÜa 1.4.1: [9] Cho γ > 0. Bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ cho hÖ (1.6) lµ bµi to¸n t×m ®iÒu khiÓn ng­îc u(t) = K(t)x(t) tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: (i) Víi ω = 0, mäi nghiÖm cña hÖ ®ãng x˙(t) = [A(t) +B(t)K(t)]x(t) (1.7) æn ®Þnh tiÖm cËn Lyapunov; (ii) Tån t¹i c0 > 0 sao cho sup ∫∞ 0 ‖z(t)‖2dt c0‖x0‖2 + ∫∞ 0 ‖ω(t)‖2dt ≤ γ (1.8) víi supremum trªn mäi gi¸ trÞ ban ®Çu x0 ∈ Rn vµ mäi hµm nhiÔu kh¸c kh«ng ω ∈ L2([0,∞),Rr). §Þnh nghÜa 1.4.2: [7] Cho γ > 0. Bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ bÒn v÷ng cho hÖ (1.6) lµ bµi to¸n t×m ®iÒu khiÓn ng­îc u(t) = K(t)x(t) tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: (i) Mäi nghiÖm cña hÖ ®ãng x˙(t) = [A(t) +B(t)K(t)]x(t) +B1(t)ω(t) (1.9) 17 thuéc L2([0,∞),Rn) víi mäi nhiÔu chÊp nhËn ®­îc ω(t); (ii) Tån t¹i c0 > 0 sao cho sup ∫∞ 0 ‖z(t)‖2dt c0‖x0‖2 + ∫∞ 0 ‖ω(t)‖2dt ≤ γ (1.10) víi supremum trªn mäi gi¸ trÞ ban ®Çu x0 ∈ Rn vµ mäi hµm nhiÔu kh¸c kh«ng ω ∈ L2([0,∞),Rr). 1.5 Mét sè bæ ®Ò bæ trî Bæ ®Ò 1.5.1: [7] (BÊt ®¼ng thøc ma trËn Cauchy) Cho Q, S lµ hai ma trËn ®èi xøng vµ S > 0, khi ®ã 2〈Qy, x〉 − 〈Sy, y〉 ≤ 〈QS−1QTx, x〉, ∀x, y ∈ Rn. Bæ ®Ò 1.5.2: Víi mäi ma trËn ®èi xøng x¸c ®Þnh d­¬ng W ∈ Rn×n, v« h­íng ν ≥ 0 vµ hµm vÐct¬ ω : [0, ν]→ Rn sao cho c¸c tÝch ph©n cã liªn quan ®Òu x¸c ®Þnh, ta cã(∫ ν 0 ω(s)ds )T W (∫ ν 0 ω(s)ds ) ≤ ν ∫ ν 0 ωT (s)Wω(s)ds. Bæ ®Ò 1.5.3: [7] Víi bÊt k× ma trËn A(t) bÞ chÆn trªn R+, tån t¹i Q ∈ BM+(0,∞) tho¶ m·n Q(t)− A(t) ≥ 0. KÕt hîp víi hÖ ®iÒu khiÓn (1.3), xÐt ph­¬ng tr×nh vi ph©n Riccati P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t)− P (t)B(t)BT (t)P (t) +Q(t) = 0 (1.11) ta cã mét sè bæ ®Ò sau: Bæ ®Ò 1.5.4: [7] Gi¶ sö A(t), B(t) bÞ chÆn trªn R+. NÕu hÖ [A(t), B(t)] lµ ®iÒu khiÓn ®­îc hoµn toµn vÒ 0 th× víi bÊt k× ma trËn Q ∈ BM+(0,∞), ph­¬ng tr×nh vi ph©n Riccati (1.11) cã nghiÖm P ∈ BM+(0,∞). 18 Bæ ®Ò 1.5.5: [9] NÕu hÖ [A(t), B(t)] lµ ®iÒu khiÓn ®­îc ®Òu hoµn toµn th× kh¼ng ®Þnh sau lu«n ®óng: Ph­¬ng tr×nh Riccati vi ph©n (1.11), trong ®ã Q(t) = I , cã nghiÖm P ∈ M(Rn+) bÞ chÆn ®Òu trªn vµ d­íi, tøc lµ tån t¹i β1, β2 ≥ 0 tho¶ m·n β1 ≤ ‖P (t)‖ ≤ β2, ∀t ∈ R+. 19 Ch­¬ng 2 Mét sè kÕt qu¶ vÒ bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ cho hÖ tuyÕn tÝnh kh«ng «t«n«m víi gi¶ thiÕt ®iÒu khiÓn ®­îc PhÇn ®Çu ch­¬ng 2, luËn v¨n tr×nh bµy kÕt qu¶ gi¶i ®­îc cña bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ cho hÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n kh«ng «t«n«m kh«ng cã trÔ dùa trªn mèi quan hÖ gi÷a tÝnh ®iÒu khiÓn ®­îc ®Òu hoµn toµn vµ sù tån t¹i nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh Riccati vi ph©n. TiÕp ®ã ®­a ra mét sè kÕt qu¶ më réng trong [7] vÒ bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ bÒn v÷ng cho hÖ tuyÕn tÝnh kh«ng «t«n«m cã trÔ h»ng trªn biÕn tr¹ng th¸i víi c¸c gi¶ thiÕt vÒ ®iÒu khiÓn ®­îc nhÑ h¬n. 2.1 TÝnh ®iÒu khiÓn ®­îc vµ ®iÒu khiÓn H∞ cho hÖ tuyÕn tÝnh liªn tôc kh«ng «t«n«m XÐt hÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng «t«n«m x˙(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t) +B1(t)ω(t), t ≥ 0, z(t) = C(t)x(t) +D(t)u(t), t ≥ 0, (2.1) x(0) = x0, x0 ∈ Rn, 20 trong ®ã x(t) ∈ Rn lµ vect¬ tr¹ng th¸i, u(t) ∈ Rm lµ hµm ®iÒu khiÓn, ω(t) ∈ Rr lµ biÕn nhiÔu, z(t) ∈ Rl lµ hµm quan s¸t, A(t) ∈ Rn×n, B(t) ∈ Rn×m, B1(t) ∈ Rn×r, C(t) ∈ Rl×n, D(t) ∈ Rl×m lµ c¸c hµm ma trËn liªn tôc cho tr­íc trªn R+. Hµm nhiÔu ω(t) lµ chÊp nhËn ®­îc nÕu ω ∈ L2([0,∞),Rr). XÐt hÖ (2.1) víi c¸c hµm ma trËn B1(t), C(t) liªn tôc bÞ chÆn trªn [0,∞) vµ gi¶ thiÕt DT (t)[C(t), D(t)] = [0, I], ∀t ≥ 0 (2.2) ®Ó gi¶m sù phøc t¹p khi ®¸nh gi¸ c¸c ®iÒu kiÖn. Ta cã ®Þnh lý sau: §Þnh lý 2.1.1: Gi¶ sö hÖ [A(t), B(t)] lµ ®iÒu khiÓn ®­îc ®Òu hoµn toµn. Bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ cho hÖ (2.1) cã lêi gi¶i nÕu tån t¹i P ∈ M(Rn+) tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh vi ph©n Riccati (RDE) P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) −P (t)[B(t)BT (t)− 1 γ B1(t)B T 1 (t) ] P (t) + I = 0, (2.3) vµ hµm ®iÒu khiÓn ng­îc lµ u(t) = −BT (t)P (t)x(t), t ≥ 0. Chøng minh. Gi¶ sö hÖ [A(t), B(t)] lµ ®iÒu khiÓn ®­îc ®Òu hoµn toµn, theo bæ ®Ò 1.5.5, ph­¬ng tr×nh RDE (2.3) cã nghiÖm P (t) ∈ M(Rn+) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn β1 ≤ ‖P (t)‖ ≤ β2, ∀t ∈ R+. Víi hµm ®iÒu khiÓn ng­îc u(t) = −BT (t)P (t)x(t) vµ hÖ ®ãng víi ω = 0: x˙(t) = [A(t)−B(t)BT (t)P (t)]x(t) xÐt hµm Lyapunov d¹ng sau V (t, x) = 〈P (t)x, x〉. 21 Ta cã β1‖x(t)‖ ≤ V (t, x(t)) ≤ β2‖x(t)‖. LÊy ®¹o hµm cña V (.) däc theo nghiÖm cña hÖ ®ãng, víi ω = 0, ta cã V˙ (t, x(t)) = 〈P˙ (t)x(t), x(t)〉+ 2〈P (t)x(t), x˙(t)〉 = −‖x(t)‖2 − 〈P (t)B(t)BT (t)P (t)x(t), x(t)〉 −1 γ 〈P (t)B1(t)BT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉 − 〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉 ≤ −‖x(t)‖2 bëi v× 〈P (t)B(t)BT (t)P (t)x(t), x(t)〉 ≥ 0 〈P (t)B1(t)BT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉 ≥ 0 〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉 ≥ 0, ∀t ≥ 0. VËy theo §Þnh lý 1.1.3, hÖ ®ãng víi ω = 0 lµ æn ®Þnh tiÖm cËn. TiÕp theo chóng ta chøng minh ®iÒu kiÖn (1.8) cña víi mäi gi¸ trÞ ban ®Çu x0 ∈ Rn vµ hµm nhiÔu chÊp nhËn ®­îc ω(t). Ta cã V˙ (t, x(t)) = −‖x(t)‖2 − 〈P (t)BT (t)B(t)P (t)x(t), x(t)〉 −1 γ 〈P (t)BT1 (t)B1(t)P (t)x(t), x(t)〉 − 〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉 +2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 H¬n n÷a, víi u(t) = −BT (t)P (t)x(t) vµ ®iÒu kiÖn (2.2) cã ‖z(t)‖2 = 〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉+ 〈P (t)B(t)BT (t)P (t)x(t), x(t)〉. Do ®ã ∫ ∞ 0 [‖z(t)‖2 − γ‖ω(t)‖2]dt ≤ ∫ ∞ 0 [‖z(t)‖2 − γ‖ω(t)‖2 + V˙ (t, x(t))]dt− ∫ ∞ 0 V˙ (t, x(t))dt 22 ≤ ∫ ∞ 0 [ − ‖x(t)‖2 − 1 γ 〈P (t)BT1 (t)B1(t)P (t)x(t), x(t)〉 +2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 − γ‖ω(t)‖2 ] dt+ 〈P (0)x0, x0〉. Sö dông bæ ®Ò (1.5.1) ta cã 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 − γ‖ω(t)‖2 ≤ 1 γ 〈P (t)B1(t)BT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉. Khi ®ã ∫ ∞ 0 [‖z(t)‖2 − γ‖ω(t)‖2]dt ≤ 〈P (0)x0, x0〉 ≤ ‖P (0)‖‖x0‖2. VËy sup ∫∞ 0 ‖z(t)‖2dt c0‖x0‖2 + ∫∞ 0 ‖ω(t)‖2dt ≤ γ víi c0 = ‖P (0)‖ γ > 0 v× ‖P (0)‖ > β1 > 0, supremum lÊy trªn x0 ∈ Rn vµ hµm nhiÔu chÊp nhËn ®­îc ω ∈ L2([0,∞),Rr). Do ®ã theo ®Þnh lý 1.4.1, bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ cho hÖ (2.1) cã lêi gi¶i.  VÝ dô 2.1.2: Cho γ > 0. XÐt hÖ (2.1) trong ®ã A(t) = sin 2t 0 0 −1  , B(t) = e− cos2 t 0 0 e−t  , B1(t) = √γ8 e− sin2 t−4 0 0 √ γ 8 e − cos2 t−5  , C(t) =  0 0 √ 11 4 sin t √ 11 4 cos t 0 0  , D(t) =  1 0 0 0 0 1  . Ta cã DT (t)C(t) = 0, DT (t)D(t) = I vµ ma trËn U(t, s) ®­îc cho bëi U(t, s) = ecos2 s−cos2 t 0 0 es−t  . 23 Víi x = (x1, x2) ∈ R2 ta cã∫ t+N t ‖BT (s)UT (N, s)x‖2ds = e−2 cos2Nx21N + e−2Nx22N. V× e−2 cos 2N ≥ e−2N , e−2 cos2N ≤ 1, ∀N ≥ 1 nªn chän N = 1 ta cã e−2‖x‖ ≤ ∫ t+N t ‖BT (s)UT (N, s)x‖2ds ≤ ‖x‖ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (i) cña §Þnh nghÜa 1.2.7 víi c1 = e −2, c2 = 1. MÆt kh¸c ‖U(t, s)‖2 = e2(cos2 s−cos2 t) + e2(s−t) ≤ e2 + 1 víi s < t nªn ®iÒu kiªn (ii) cña §Þnh nghÜa 1.2.7 tho¶ m·n. Khi ®ã ta cã hÖ [A(t), B(t)] lµ ®iÒu khiÓn ®­îc ®Òu hoµn toµn. VËy bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ (2.1) cã lêi gi¶i víi u(t) ®­îc x¸c ®Þnh bëi u(t) = −BT (t)P (t)x(t) trong ®ã nghiÖm P (t) = p1(t) 0 0 p2(t)  cña RDE (2.3) ®­îc ®Þnh nghÜa bëi ph­¬ng tr×nh vi ph©n p˙1(t) + 2 sin 2tp1(t)− ( e−2 cos 2 t − e −2 sin2 t−8 64 ) p21(t) + 11 4 sin2 t = −1 p˙2(t) + 2p2(t)− ( e−2t − 1 64 e−2 cos 2 t−10)p22(t) + 14 cos2 t+ 1 = 0. 2.2 Mèi liªn hÖ gi÷a ®iÒu khiÓn H∞ vµ tÝnh ®iÒu khiÓn ®­îc cña hÖ tuyÕn tÝnh kh«ng «t«n«m XÐt hÖ (2.1) víi gi¶ thiÕt DT (t)[C(t), D(t)] = [0, I], ∀t ≥ 0. (2.4) 24 ta cã bæ ®Ò sau: Bæ ®Ò 2.2.1: Bµi to¸n ®iÒu khiÓnH∞ cho hÖ (2.1) cã lêi gi¶i nÕu tån t¹i ma trËn X ∈ BMU+(0,∞), R ∈ BMU+(0,∞) sao cho ph­¬ng tr×nh vi ph©n Riccati sau tho¶ m·n X˙ + ATX +XA−X[BBT − 1 γ B1B T 1 ]X + C TC +R = 0, t ≥ 0. (2.5) Hµm ®iÒu khiÓn ng­îc lµ u(t) = −BT (t)X(t)x(t), t ≥ 0. Chøng minh. Víi hµm ®iÒu khiÓn ng­îc u(t) = −BT (t)X(t)x(t) vµ hÖ ®ãng víi ω(t) = 0 x˙(t) = [A(t)−B(t)BT (t)X(t)]x(t), (2.6) xÐt hµm Lyapunov d¹ng: V (t, x) = 〈X(t)x, x〉. Do X ∈ BMU+(0,∞) nªn tån t¹i λ1, λ2 > 0 sao cho λ1‖x‖2 ≤ V (t, x) ≤ λ2‖x‖2, ∀t ≥ 0 §¹o hµm V˙ (.) däc theo nghiÖm cña hÖ ®ãng ta cã V˙ (t, x) = 〈X˙(t)x(t), x(t)〉+ 2〈X(t)x(t), x˙(t)〉 = 〈(X˙(t) + AT (t)X(t) +X(t)A(t)x(t), x(t)〉 −2〈X(t)B(t)BT (t)X(t)x(t), x(t)〉 = −〈X(t)B(t)BT (t)X(t)x(t), x(t)〉 − 〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉 −1 γ 〈X(t)B1(t)BT1 (t)X(t)x(t), x(t)〉 − 〈R(t)x(t), x(t)〉 ≤ −〈R(t)x(t), x(t)〉 25 bëi v× 〈XBBTXx(t), x(t)〉 ≥ 0, 〈XB1BT1 X(t), x(t)〉 ≥ 0, 〈CTCx(t), x(t)〉 ≥ 0. MÆt kh¸c R ∈ BMU+(0,∞) nªn tån t¹i λ3 > 0 sao cho 〈Rx(t), x(t)〉 ≥ λ3‖x‖2. Do ®ã V˙ (t, x) ≤ −λ3‖x‖2 ≤ −λ3 λ2 V (t, x). Tõ ®ã ta cã V (t, x(t)) ≤ V (0, x0)e− λ3 λ2 t, ∀t ≥ 0 mµ λ1‖x(t)‖2 ≤ V (t, x(t)) nªn ‖x(t)‖ ≤ √ V (0, x0) λ1 e− λ3 2λ2 t, ∀t ≥ 0. VËy hÖ ®ãng (2.6) æn ®Þnh mò nªn æn ®Þnh tiÖm cËn. §Ó hoµn thµnh chøng minh, chóng ta chøng minh ®iÒu kiÖn (1.8) víi mäi gi¸ trÞ ban ®Çu x0 ∈ Rn vµ hµm nhiÔu chÊp nhËn ®­îc ω(t). Víi u(t) = −BT (t)X(t)x(t) vµ ®iÒu kiÖn (2.4) ta cã ‖z‖2 = 〈CTCx, x〉+ 〈X(t)B(t)BT (t)X(t)x, x〉. 26 Khi ®ã∫ t 0 [‖z(s)‖2 − γ‖ω(s)‖2]dt = ∫ t 0 [‖z(s)‖2 − γ‖ω(s)‖2 + V˙ (s, x(s))]dt− ∫ t 0 V˙ (s, x(s))ds〉 ≤ ∫ t 0 [ − 1 γ 〈X(s)B1(s)BT1 (s)X(s)x(s), x(s)〉 − 〈R(s)x(s), x(s)〉 +2〈X(s)B1(s)ω(s), x(s)〉 − γ‖ω(s)‖2 ] dt+ V (0, x0) ≤ ∫ t 0 [ 2〈X(s)B1(s)ω(s), x(s)〉 − 1 γ 〈X(s)B1(s)BT1 (s)X(s)x(s), x(s)〉 −γ‖ω(s)‖2 − 〈R(s)x(s), x(s)〉 ] ds+ 〈X(0)x0, x0〉. Sö dông bæ ®Ò (1.5.1) ta cã 2〈X(t)B1(t)ω(t), x(t)〉 − γ‖ω(t)‖2 ≤ 1 γ 〈X(t)B1(t)BT1 (t)X(t)x(t), x(t)〉 vµ −〈R(t)x(t), x(t)〉 ≤ −λ3‖x(t)‖2. Do ®ã ∫ t 0 [‖z(s)‖2 − γ‖ω(s)‖2]dt ≤ −λ3 ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds+ 〈X(0)x0, x0〉 ≤ 〈X(0)x0, x0〉. Cho t→∞ ta cã sup ∫∞ 0 ‖z(t)‖2dt c0‖x0‖2 + ∫∞ 0 ‖ω(t)‖2dt ≤ γ víi supremum x¸c ®Þnh trªn x0 ∈ Rn vµ hµm nhiÔu chÊp nhËn ®­îc ω ∈ L2([0,∞),Rr), c0 = ‖X(0)‖ γ > 0 v× X  0. Bæ ®Ò ®­îc chøng minh.  §Þnh lý sau ®©y cho kÕt qu¶ gi¶i bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ cho hÖ (2.1) víi yªu cÇu gi¶ thiÕt nhÑ h¬n. 27 Gi¶ sö A(t), B(t), B1(t) lµ c¸c hµm liªn tôc, bÞ chÆn trªn R+. Cho γ > 0, ®Æt Aγ(t) = A(t) + 1 γ B1(t)B T 1 (t)−B(t)BT (t), Bγ(t) = [B(t)B T (t)− 1 γ B1(t)B T 1 (t)] 1 2 . §Þnh lý 2.2.2: Gi¶ sö B(t)BT (t)− 1γB1(t)BT1 (t) ≥ 0, t ≥ 0, vµ hÖ ®iÒu khiÓn [Aγ(t), Bγ(t)] lµ ®iÒu khiÓn ®­îc ®Òu hoµn toµn. Khi ®ã bµi to¸n ®iÒu khiÓnH∞ cho hÖ (2.1) cã lêi gi¶i. H¬n n÷a, hµm ®iÒu khiÓn lµ u(t) = −BT (t)[P (t) + I]x(t), t ∈ R+, trong ®ã P ∈ BM+(0,∞) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh vi ph©n Riccati P˙ + ATγP + PAγ − PBγBTγ P + A+ AT + CTC + εI = 0 (2.7) víi ε > 0. Chøng minh. Chän ε > 0, bëi Bæ ®Ò 1.5.4, sao cho Q(t) = A(t) + AT (t) + CT (t)C(t) + εI ≥ 0. KÕt hîp víi (2.7) cã P˙ + ATγP + PAγ − PBγBTγ P +Q(t) = 0, (2.8) ¸p dông Bæ ®Ò 1.5.5 víi ®iÒu kiÖn ®iÒu khiÓn ®­îc ®Òu hoµn toµn cña hÖ [Aγ(t), Bγ(t)]; Aγ(t), Bγ(t) bÞ chÆn, Q ∈ BM+(0,∞), ph­¬ng tr×nh (2.8) cã nghÖm P ∈ BM+(0,∞). Do ®ã P˙ + (AT + 1 γ BT1 B1 −BBT )P + P (A+ 1 γ BT1 B1 −BBT ) −P (B(t)BT (t)− 1 γ B1(t)B T 1 (t))P + A+ A T + CTC + εI = 0 28 suy ra P˙ + AT (P + I) + (P + I)A− (P + I)[B(t)BT (t)− 1 γ B1(t)B T 1 (t)](P + I) +CTC +B(t)BT (t)− 1 γ B1(t)B T 1 (t) + εI = 0. §Æt X(t) = P (t) + I, R(t) = [ B(t)BT (t)− 1 γ B1(t)B T 1 (t) ] + εI. Ta cã P ∈ BM+(0,∞), B(t)BT (t)− 1 γ B1(t)B T 1 (t) ≥ 0 nªn X(t) 0, R(t) 0. H¬n n÷a X˙ + ATX +XA−X[BBT − 1 γ B1B T 1 ]X + C TC +R = 0, t ≥ 0. VËy ¸p dông Bæ ®Ò 2.2.1, bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ cho hÖ (2.1) cã lêi gi¶i víi hµm ®iÒu khiÓn ng­îc u(t) = −BT (t)X(t)x(t) = −BT (t)[P (t) + I]x(t), ∀t ≥ 0. §Þnh lý ®­îc chøng minh.  VÝ dô 2.2.3: XÐt hÖ (2.1) trong ®ã A(t) = 12(−1− e−2t) −1 1 12e −2t  , B(t) =  2√3e−t 0 0 2√ 3 e−t  , B1(t) = √11√6 e−t 0 0 √ 11√ 6 e−t  , C(t) =  1√2e−t − 1√2e−t − 1√ 2 e−t 1√ 2 e−t  , D(t) =  1√2 1√ 2  . 29 Ta cã DT (t)C(t) = 0, DT (t)D(t) = I . Víi γ = 32 th× B(t)BT (t)− 2 3 Bt(t)B T 1 (t) = 19e−2t 0 0 19e −2t  , Bγ(t) = √ B(t)BT (t)− 2 3 Bt(t)BT1 (t) = 13e−t 0 0 13e −t  , Aγt = A(t)−B(t)BT (t) + 2 3 Bt(t)B T 1 (t) = −12 − 1118e−2t −1 1 −1118e−2t  . Ma trËn Aγ(t), Bγ(t) gi¶i tÝch vµ xÐt M0(t) = Bγ(t), M1(t) = −Aγ(t)Bγ(t) + d dt M1(t), tån t¹i t0 > 0 tho¶ m·n rank[M0(t0),M1(t0)] = 2. Theo §Þnh lý 1.2.5, hÖ [Aγ(t), Bγ(t)] lµ ®iÒu khiÓn ®­îc hoµn toµn vÒ 0 vµ bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ cã lêi gi¶i. Chän ε = 2 vµ Q(t) = A(t) + AT (t) + CT (t)C(t) + εI =  1 −12e−2t −12e−2t 2  ≥ 0, theo Bæ ®Ò 1.5.4, ph­¬ng tr×nh vi ph©n Riccati P˙ + ATγP + PAγ − PBγBTγ P +Q = 0 cã nghiÖm P ∈ BM+(0,∞) vµ hµm ®iÒu khiÓn ng­îc bÒn v÷ng lµ u(t) = −BT (t)P (t)x(t), ∀t ≥ 0. 30 2.3 Bµi to¸n æn ®Þnh trong L2 vµ ®iÒu khiÓnH∞ bÒn v÷ng cho hÖ tuyÕn tÝnh kh«ng «t«n«m cã trÔ XÐt hÖ ®iÒu khiÓn tuyÕn tÝnh kh«ng «t«n«m cã trÔ h»ng trªn biÕn tr¹ng th¸i x˙(t) = A(t)x(t) + A1(t)x(t− h) +B(t)u(t) +B1(t)ω(t), t ≥ 0, z(t) = C(t)x(t) +D(t)u(t), t ≥ 0, (2.9) x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], h ≥ 0, trong ®ã x(t) ∈ Rn lµ vect¬ tr¹ng th¸i, u(t) ∈ Rm lµ hµm ®iÒu khiÓn, ω(t) ∈ Rr lµ biÕn nhiÔu, z(t) ∈ Rl lµ hµm quan s¸t, A(t), A1(t) ∈ Rn×n, B(t) ∈ Rn×m, B1(t) ∈ Rn×r, C(t) ∈ Rl×n, D(t) ∈ Rl×m lµ c¸c hµm ma trËn liªn tôc cho tr­íc trªn R+. XÐt hÖ (2.9) víi c¸c hµm ma trËn A1(t), B1(t) liªn tôc bÞ chÆn trªn [0,∞) vµ gi¶ thiÕt DT (t)C(t) = 0, DT (t)C(t) = I, ∀t ≥ 0. (2.10) KÝ hiÖu a1 = sup t∈R+ ‖A1(t)‖, b1 = sup t∈R+ ‖B1(t)‖. XÐt ph­¬ng tr×nh vi ph©n Riccati P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t)− P (t)B(t)BT (t)P (t) +Q(t) = 0. (2.11) §Þnh lý sau cho ta lêi gi¶i bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ bÒn v÷ng víi gi¶ thiÕt ®iÒu khiÓn ®­îc vÒ 0 cña hÖ [A(t), B(t)]. §Þnh lý 2.3.1: Gi¶ sö hÖ [A(t), B(t)] lµ ®iÒu khiÓn ®­îc hoµn toµn vÒ 0. Bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ bÒn v÷ng cho hÖ (2.9) cã lêi gi¶i nÕu tån t¹i ε, ε1, ε2 > 0 sao cho ε− p2(ε−11 a21 + 1 γ b21) ≥ 0, (2.12) 31 trong ®ã p = supt∈R+ ‖P (t)‖, P ∈ BM+(0,∞) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh vi ph©n Riccati (2.11) víi Q(t) = CT (t)C(t)+(ε+ ε1+ ε2h)I . H¬n n÷a hµm ®iÒu khiÓn ng­îc lµ u(t) = −BT (t)P (t)x(t), ∀t ≥ 0. Chøng minh. Gi¶ sö hÖ [A(t), B(t)] lµ ®iÒu khiÓn ®­îc hoµn toµn. Theo bæ ®Ò 1.5.4, ph­¬ng tr×nh Riccati (2.11) víi Q(t) = CT (t)C(t) + (ε+ ε1 + ε2h)I cã nghiÖm P ∈ BM+([0,∞), X). Víi hµm ®iÒu khiÓn ng­îc u(t) = −BT (t)P (t)x(t), ∀t ≥ 0 vµ hÖ ®ãng víi ω = 0 x˙(t) = [A(t)−B(t)BT (t)P (t)]x(t) + A1(t)x(t− h), (2.13) xÐt hµm Lyapunov d¹ng : V (t, xt) = V1(t, xt) + V2(t, xt) + V3(t, xt), trong ®ã V1(t, xt) = 〈P (t)x(t), x(t)〉, V2(t, xt) = ε1 ∫ t t−h ‖x(s)‖2ds, V3(t, xt) = ε2 ∫ 0 −h ∫ t t+τ ‖x(s)‖2dsdτ. §¹o hµm cña V (.) däc theo nghiÖm x(t) cña hÖ ®ãng, ta cã V˙1(t, xt) = 〈P˙ (t)x(t), x(t)〉+ 2〈P (t)x˙(t), x(t)〉 = 〈(P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t)− 2P (t)B(t)BT (t)P (t))x(t), x(t)〉 +2〈P (t)A1(t)x(t− h), x(t)〉+ 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 V˙2(t, xt) = ε1‖x(t)‖2 − ε1‖x(t− h)‖2 V˙3(t, xt) = ε2h‖x(t)‖2 − ε2 ∫ t t−h ‖x(s)‖2ds. 32 Do ®ã V˙ (t, xt) = 〈[P˙ (t) + AT (t)P (t) + P9t)A(t)− 2P (t)B(t)BT (t)P (t) +(ε1 + ε2h)I]x(t), x(t)〉+ 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 +2〈P (t)A1(t)x(t− h), x(t)〉 − ε1‖x(t− h)‖2 − ε2 ∫ t t−h ‖x(s)‖2ds. V× ε2 ∫ t t−h ‖x(s)‖2ds ≥ 0, t ≥ 0, vµ sö dông Bæ ®Ò 1.5.1 cã 2〈P (t)A1(t)x(t− h), x(t)〉 − ε1‖x(t− h)‖2 ≤ ε−11 〈P (t)A1(t)AT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉 nªn V˙ (t, xt) = 〈[P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t)− 2P (t)B(t)BT (t)P (t) +(ε1 + ε2h)I]x(t), x(t)〉+ 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 +ε−11 〈P (t)A1(t)AT1 (t)x(t), x(t)〉 ≤ −ε‖x(t)‖2 − 〈[CT (t)C(t) + ε−11 P (t)A1(t)AT1 (t)P (t)]x(t), x(t)〉 −〈P (t)B(t)BT (t)P (t)x(t).x(t)〉+ 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 ≤ −(ε− ε−11 p2a21)‖x(t)‖2 + 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 ≤ −η‖x(t)‖2 + 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉, (2.14) trong ®ã η = ε− ε−11 p2a21 > 0 do ®iÒu kiÖn (2.12). TÝch ph©n hai vÕ cña (2.14) tõ 0 ®Õn t ta cã V (t, xt)− V (0, x0) ≤ −η ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds+ 2 ∫ t 0 〈P (s)B1(s)ω(s), x(s)〉ds 33 mµ V (t, xt) > 0 nªn∫ t 0 ‖x(s)‖2ds ≤ η−1 [ 〈P (0)φ(0), φ(0)〉+ ε1 ∫ 0 −h ‖φ(s)‖2ds+ ε2 ∫ 0 −h ∫ 0 τ ‖φ(s)‖2ds ] +2η−1pb1 {∫ t 0 ‖ω(s)‖2ds } 1 2 {∫ t 0 ‖x(s)‖2ds } 1 2 ≤ η−1[‖P (0)‖+ ε1h+ ε2h2]‖φ‖2 + 2η−1pb1ω{∫ t 0 ‖x(s)‖2ds } 1 2 trong ®ã ω = {∫ t 0 ‖ω(s)‖2ds } 1 2 . §Æt α = η−1 [‖P (0)‖+ ε1h+ ε2h2]‖φ‖2, β = η−1pb1ω, ta cã∫ t 0 ‖x(s)‖2ds ≤ α + 2β {∫ t 0 ‖x(s)‖2ds } 1 2 , do ®ã ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds ≤ β + √ β2 + α, ∀t ≥ 0. Cho t→∞, ta cã x(t) ∈ L2([0,∞), X). §Ó hoµn thµnh chøng minh cña ®Þnh lý, ta cÇn chøng minh ®iÒu kiÖn (1.8). XÐt biÓu thøc∫ t 0 [‖z(s)‖2 − γ‖ω(s)‖2]ds = ∫ t 0 [‖z(s)‖2 − γ‖ω(s)‖2 + V˙ (s, xs)]ds− ∫ t 0 V˙ (s, xs)ds. V× V (t, xt) ≥ 0, t ≥ 0 nªn − ∫ t 0 V˙ (s, xs)ds = V (0, x0)− V (t, xt) ≤ V (0, x0), ∀t ≥ 0 H¬n n÷a víi hµm ®iÒu khiÓn ng­îc vµ ®iÒu kiÖn (2.10) ta cã ‖z(t)‖2 = 〈[CT (t)C(t) + P (t)B(t)BT (t)P (t)]x(t), x(t)〉. 34 Do ®ã ∫ t 0 [‖z(s)‖2 − γ‖ω(s)‖2]ds ≤ ∫ t 0 [−ε‖x(s)‖2 + ε21p2a21‖x(s)‖2 + 2〈P (s)B1(s)ω(s), x(s)〉 −γ‖ω(s)‖2]ds+ V (0, x0) ≤ ∫ t 0 (−ε+ ε21p2a21 + 1 γ p2b2)‖x(s)‖2ds+ V (0, x0) ≤ V (0, x0) ≤ η−1(‖P (0)‖+ ε1h+ ε2h2)‖φ‖2 bëi v× 2〈P (s)B1(s)ω(s), x(s)〉 − γ‖ω(s)‖2 ≤ 1 γ 〈P (s)B1(s)BT1 (s)P (s)x(s), x(s) ≤ 1 γ p2b21‖x(s)‖2. Cho t→∞, vµ ®Æt c0 = η−1(‖P (0)‖+ ε1h+ ε2h2)‖φ‖2 γ , ta cã ∫∞ 0 ‖z(t)‖2dt c0‖φ‖2 + ∫∞ t ‖ω(t)‖2dt ≤ γ, víi mäi hµm kh«ng ©m ω ∈ L2([0,∞),Rr), φ(t) ∈ C. §Þnh lý ®­îc chøng minh.  B»ng c¸ch chøng minh t­¬ng tù, §Þnh lý 2.3.1 cã thÓ më réng cho hÖ ®iÒu khiÓn víi nhiÒu trÔ d¹ng x˙(t) = A(t)x(t) + N∑ i=1 Ai(t)x(t− hi) +B(t)u(t) +B1(t)ω(t), t ≥ 0, z(t) = C(t)x(t) +D(t)u(t), t ≥ 0, (2.15) x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], h ≥ 0. víi h = max{h1, h2, ..., hN}, ta cã ®Þnh lý sau 35 §Þnh lý 2.3.2: Gi¶ sö hÖ ®iÒu khiÓn [A(t), B(t)] lµ ®iÒu khiÓn ®­îc hoµn toµn vÒ 0. Bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ bÒn v÷ng cho hÖ (2.15) cã lêi gi¶i nÕu tån t¹i ε, ε1, ε2 > 0 tho¶ m·n ε− p2( N∑ i=1 ε−11 a 2 i + 1 γ b21 ) ≥ 0, trong ®ã ai = supt∈R+ ‖Ai(t)‖, P ∈ BM+(0,∞) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh vi ph©n Riccati (2.11) víi Q(t) = CT (t)C(t) + (ε+ ε1 + ε2h)I . H¬n n÷a, hµm ®iÒu khiÓn ng­îc lµ u(t) = −BT (t)P (t)x(t), ∀t ≥ 0. VÝ dô 2.3.3: XÐt trong Rn, x ∈ Rn, x = (x1, x2, ..., xn) víi chuÈn ‖x‖ = [ n∑ i=1 x2i ] 1 2 < +∞. XÐt hÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng «t«n«m cã trÔ x˙(t) = A(t)x(t) + A1(t)x(t− 3) +B(t)u(t) +B1(t)ω(t), t ≥ 0, z(t) = C(t)x(t) +D(t)u(t), t ≥ 0, (2.16) víi A(t) =  − sin 2t 0 0 ... 0 0 −1 0 ... 0 0 0 −1 ... 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 ... −1  , B(t) =  1 t+ 1 0 0 ... 0 0 e−t 0 ... 0 0 0 e−t ... 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 ... e−t  , 36 C(t) =  e2 sin 2 t (1 + t)2 − 1.5 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0  , D(t) =  0 0 0 ... 0 0 1 0 0 ... 0 0 0 1 0 ... 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 1 0  , A1(t) = B1(t) = aI, trong ®ã a > 0 x¸c ®Þnh bëi 9a2 sup t≥0 ‖P (t)‖2 ≤ 1, víi P (t) lµ nghiÖm cña RDE (2.15) víi ε = 1, ε1 = ε2 = 0.125, Q(t) = CT (t)C(t) + 1.5I. Ta cã DT (t)C(t) = 0, DT (t)D(t) = I. H¬n n÷a, ®Ó kiÓm tra ®iÒu kiÖn ®iÒu khiÓn, chóng ta t×m ma trËn U(t, s) b»ng c¸ch gi¶i ph­¬ng tr×nh ma trËn h÷u h¹n chiÒu d dt U(t, s) = A(t)U(t, s), U(t, t) = I. 37 Ta cã U(t, s) =  esin 2 s−sin2 t 0 0 ... 0 0 0 es−t 0 ... 0 0 0 0 es−t ... 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0 es−t  , Khi ®ã, víi mäi x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn vµ T > 0 ‖UT (T, 0)xT‖2 = e−2 sin2 Tx21 + e−2T n∑ i=2 x2i vµ ∫ T 0 ‖BT (s)UT (T, s)xT‖2ds = e−2 sin 2 Tx21 ∫ T 0 1 (s+ 1)2 e2 sin 2 sds+ e−2T n∑ i=2 x2i ∫ T 0 e2sds ≥ e−2 sin2 Tx21 ∫ T 0 1 (s+ 1)2 ds+ e−2T n∑ i=2 x2i ∫ T 0 ds = (1− 1 T + 1 )e−2 sin 2 Tx21 + Te −2T n∑ i=2 x2i . Do ®ã, víi T = 1, ®iÒu kiÖn ®iÒu khiÓn hoµn toµn vÒ 0 trong kho¶ng thêi gian h÷u h¹n T > 0∫ T 0 ‖BT (s)UT (T, s)xT‖2ds ≥ c‖UT (T, 0)‖2,∀x ∈ Rn tho¶ m·n víi c = 12 , vµ hÖ [A(t), B(t)] lµ ®iÒu khiÓn ®­îc hoµn toµn vÒ 0. Cho γ = 1. Tõ chøng minh cña §Þnh lý 2.3.1, ta cã thÓ thay viÖc gi¶i RDE (2.11) b»ng c¸ch gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh Riccati P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t)− P (t)B(t)BT (t)P (t) +Q(t) ≤ 0, 38 nghiÖm cña RDE (2.11) ®­îc ®Þnh nghÜa bëi P (t) =  esin 2 t 0 0 ... 0 0 0 1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0 1  . Ta cã p = e, chän a tho¶ m·n 3ae ≤ 1, ®iÒu kiÖn (2.12) tho¶ m·n, do ®ã bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ bÒn v÷ng cho hÖ (2.16) cã lêi gi¶i. 39 Ch­¬ng 3 Bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ cho hÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng «t«n«m cã trÔ Trong ch­¬ng nµy, luËn v¨n tr×nh bµy nghiªn cøu ph¸t triÓn c¸c kÕt qu¶ trong ch­¬ng 2 vÒ ®iÒu kiÖn gi¶i ®­îc cña bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ bÒn v÷ng cho hÖ PTVP tuyÕn tÝnh kh«ng «t«n«m cã trÔ h»ng trªn c¶ biÕn tr¹ng th¸i vµ biÕn quan s¸t dùa trªn sù tån t¹i nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh vi ph©n Riccati vµ tÝnh ®iÒu khiÓn ®­îc hoµn toµn vÒ 0 cña hÖ ®iÒu khiÓn. Cuèi ch­¬ng luËn v¨n nghiªn cøu më réng h¬n kÕt qu¶ gi¶i ®­îc cña bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ bÒn v÷ng cho hÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng «t«n«m cã trÔ biÕn thiªn trªn biÕn tr¹ng th¸i vµ biÕn quan s¸t kh«ng cÇn gi¶ thiÕt ®iÒu khiÓn ®­îc vÒ 0. 40 3.1 §iÒu khiÓn H∞ bÔn v÷ng cho hÖ tuyÕn tÝnh kh«ng «t«- n«m cã trÔ h»ng XÐt hÖ ®iÒu khiÓn tuyÕn tÝnh kh«ng «t«n«m víi trÔ h»ng trªn biÕn tr¹ng th¸i vµ biÕn quan s¸t x˙(t) = A(t)x(t) + A1(t)x(t− h) +B(t)u(t) +B1(t)ω(t), t ≥ 0, z(t) = C(t)x(t) + C1(t)x(t− h) +D(t)u(t), t ≥ 0, (3.1) x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], h ≥ 0, trong ®ã x(t) ∈ Rn lµ vect¬ tr¹ng th¸i, u(t) ∈ Rm lµ hµm ®iÒu khiÓn, ω(t) ∈ Rr lµ hµm nhiÔu, z(t) ∈ Rl lµ hµm quan s¸t; A(t), A1(t) ∈ Rn×n, B(t) ∈ Rn×m, B1(t) ∈ Rn×r; C(t), C1(t) ∈ Rl×n, D(t) ∈ Rl×m lµ c¸c hµm ma trËn liªn tôc cho tr­íc trªn R+, φ ∈ C([−h, 0],Rn), h ≥ 0 lµ hµm ban ®Çu víi chuÈn ‖φ‖ = sup t∈[−h,0] ‖φ(t)‖. Gi¶ sö c¸c hµm A1(t), B1(t), C(t), C1(t) liªn tôc vµ bÞ chÆn. Nh­ th­êng lÖ ta vÉn gi¶ thiÕt ®iÒu kiÖn DT (t)[C(t), C1(t), D(t)] = [0, 0, I], ∀t ≥ 0. (3.2) §Æt a1 = sup t∈R+ ‖A1(t)‖, b1 = sup t∈R+ ‖B1(t)‖, c1 = sup t∈R+ ‖C1(t)‖, c = sup t∈R+ ‖C(t)‖, p = sup t∈R+ ‖P (t)‖. §Þnh lý 3.1: Gi¶ sö hÖ [A(t), B(t)] lµ ®iÒu khiÓn ®­îc hoµn toµn vÒ 0. Khi ®ã bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ bÒn v÷ng (3.1) cã lêi gi¶i nÕu 1 > 2pa1, 1 > 2c 2 1, (3.3) (1− 2c21)(1− 2p2b21 γ ) > 2c2 + 4p2a21 + 8pa1cc1. (3.4) 41 H¬n n÷a hµm ®iÒu khiÓn ng­îc lµ u(t) = −BT (t)P (t)x(t) trong ®ã P (t) lµ nghiÖm cña RDE P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t)− P (t)B(t)BT (t)P (t) + I = 0. (3.5) Chøng minh. Gi¶ sö hÖ [A(t), B(t)] lµ ®iÒu khiÓn ®­îc hoµn toµn vÒ 0 th× RDE (3.5) cã nghiÖm P ∈ BM(Rn+). XÐt hµm Lyapunov cho hÖ ®ãng V (t, xt) = 〈P (t)x(t), x(t)〉+ 1 2 ∫ t t−h ‖x(s)‖2ds. Víi hµm ng­îc u(t) = −BT (t)P (t)x(t) th× x˙(t) = [A(t)−B(t)BT (t)P (t)]x(t) + A1(t)x(t− h) +B1(t)ω(t). LÊy ®¹o hµm cña V (.) däc theo quü ®¹o nghiÖm cña hÖ ®ãng ta cã V˙ (t, xt) = 〈P˙ (t)x(t), x(t)〉+ 2〈P (t)x˙(t), x(t)〉+ 1 2 ‖x(t)‖2 − 1 2 ‖x(t− h)‖2 = −〈P (t)B(t)BT (t)P (t)x(t), x(t)〉+ 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 +2〈P (t)A1(t)x(t− h), x(t)〉 − 1 2 ‖x(t)‖2 − 1 2 ‖x(t− h)‖2 (3.6) ≤ −1 2 ‖x(t)‖2 + 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 +2〈P (t)A1(t)x(t− h), x(t)〉 − 1 2 ‖x(t− h)‖2. (3.7) TÝch ph©n hai vÕ cña (3.7) tõ 0 ®Õn t ®­îc: V (t, xt)− V (0, x0) ≤ −1 2 ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds+ 2 ∫ t 0 〈P (s)B1(s)ω(s), x(s)〉ds +2 ∫ t 0 〈P (s)A1(s)x(s− h), x(s)〉ds− 1 2 ∫ t 0 ‖x(s− h)‖2ds 42 ≤ −1 2 ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds+ 2pb1 ∫ t 0 ‖ω(s)|‖x(s)‖ds +2pa1 ∫ t 0 ‖x(s)‖‖x(s− h)‖ds− 1 2 ∫ t 0 ‖x(s− h)‖2ds víi p = supt∈R+ ‖P (t)‖. Ta cã V (t, xt) ≥ 0, 2pa1 ∫ t 0 ‖x(s)‖‖x(s− h)‖ds− 1 2 ∫ t 0 ‖x(s− h)‖2ds ≤ 2p2a21 ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds, ∫ t 0 ‖ω(s)|‖x(s)‖ds ≤ (∫ t 0 ‖ω(s)|2ds ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds ) 1 2 ≤ ω( ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds) 12 , trong ®ã ω2 = ∫ t 0 ‖ω(s)‖2ds (v× ω ∈ L2([0,∞)),Rr)). Nªn −V (0, x0) ≤ −(1 2 − 2p2a21) ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds+ 2pb1ω ( ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds) 12 mµ V (0, x0) = 〈P (0)x(0), x(0)〉+ 1 2 ∫ 0 −h ‖φ(s)‖2ds ≤ (‖P (0)‖+ 1 2 h)‖φ‖2 = α, víi α = ‖P (0)‖+ 1 2 h, do ®ã ( 1 2 − 2p2a21) ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds− 2pb1ω ( ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds) 12 − α ≤ 0, ¸p dông gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh bËc hai víi 1 2 − 2p2a21 > 0 (theo (3.3)) cã∫ t 0 ‖x(s)‖2ds ≤ (β +√β2 + ηα η )2 43 trong ®ã β = pb1ω, η = 1 2 − 2p2a21. Cho t→∞ ta cã x(t) ∈ L2([0,∞),Rn). TiÕp theo chóng ta chøng minh ®iÒu kiÖn (1.10) víi mäi hµm ban ®Çu φ ∈ C([−h, 0],Rn) vµ hµm kh«ng ch¾c ch¾n kh¸c kh«ng chÊp nhËn ®­îc ω(t). Víi u(t) = −BT (t)P (t)x(t) vµ ®iÒu kiÖn (3.2) ta cã ‖z(t)‖2 = 〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉+ 〈P (t)BT (t)B(t)P (t)x(t), x(t)〉 +2〈C(t)x(t), C1(t)x(t− h)〉+ 〈CT1 (t)C1(t)x(t− h), x(t− h)〉 Khi ®ã ∫ ∞ 0 [‖z(t)‖2 − γ‖ω(t)‖2]dt = ∫ ∞ 0 [‖z(t)‖2 − γ‖ω(t)‖2 + V˙ (t, x(t))]dt− ∫ ∞ 0 V˙ (t, x(t))dt ≤ ∫ ∞ 0 [ 〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉+ 2〈C(t)x(t), C1(t)x(t− h)〉 +〈CT1 (t)C1(t)x(t− h), x(t− h)〉 − γ‖ω(t)‖2 − 1 2 ‖x(t)‖2 +2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉+ 2〈P (t)A1(t)x(t− h), x(t)〉 −1 2 ‖x(t− h)‖2 ] dt+ V (0, x0) ≤ (c2 − 1 2 ) ∫ ∞ 0 ‖x(t)‖2dt+ 2(pa1 + cc1) ∫ ∞ 0 ‖x(t)‖‖x(t− h)‖dt −(1 2 − c21) ∫ ∞ 0 ‖x(t− h)‖2dt+ 2pb1 ∫ ∞ 0 ‖x(t)‖‖ω(t)‖dt −γ ∫ ∞ 0 ‖ω(t)‖2dt+ α ≤ (c2 − 1 2 + 2(pa1 + cc1) 2 1− 2c21 + p2b21 γ ) ∫ ∞ 0 ‖x(t)‖2dt+ α ≤ α v× tõ ®iÒu kiÖn (3.4) cã c2 − 1 2 + p2b21 γ + 2(pa1 + cc1) 2 1− 2c21 < 0. Do ®ã∫ ∞ 0 [‖z(t)‖2 − γ‖ω(t)‖2]dt ≤ α 44 nªn sup ∫∞ 0 ‖z(t)‖2dt c0‖φ‖2 + ∫∞ 0 ‖ω(t)‖2dt ≤ γ víi supremum x¸c ®Þnh trªn φ ∈ C([−h, 0],Rn) vµ hµm kh¸c kh«ng ω ∈ L2([0,∞),Rr), c0 = α γ = 2‖P (0)‖+ h 2γ ≥ 0. §Þnh lý ®­îc chøng minh.  VÝ dô 3.2: Cho γ = 1. XÐt hÖ ®iÒu khiÓn (3.1) víi A(t) = 12 cos t 0 0 −12 sin t  , A1(t) =  14e sin t 0 0 14e cos t  , B(t) = e− sin t 0 0 e− cos t  , C1(t) = 0, B1(t) =  116(sin2 t+ 1) 0 0 √ 2 8e cos 2 t+ 3)  , C(t) =  0 0 1 2 cos t 1 2 sin t 0 0  , D(t) =  1 0 0 0 0 1  . Ta cã hÖ [A(t), B(t)] lµ ®iÒu khiÓn ®­îc hoµn toµn vÒ 0 (theo vÝ dô 1.2.8), khi ®ã ph­¬ng tr×nh vi ph©n Riccati cã nghiÖm P (t) = esin t 0 0 ecos t  . H¬n n÷a DT (t)C(t) = 0, DT (t)C1(t) = 0, D T (t)D(t) = I, a1 = 1 4e , b1 =√ 2 8e , c1 = 0, c = 1 2 , p = e tho¶ m·n 1 > 2pa1, 1 > 2c 2 1, (1− 2c21)(1− 2p2b21) > 2c2 + 4p2a21 + 8pa1cc1. 45 VËy bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ bÒn v÷ng cho hÖ (3.1) cã lêi gi¶i víi hµm ®iÒu khiÓn ng­îc ®­îc x¸c ®Þnh bëi u(t) = −e− sin2 t 0 0 −e− cos2 t x(t). Tõ ®Þnh lý 3.1, cho A1(t) = C1(t) = 0, x(0) = x0, chóng ta cã ngay ®iÒu kiÖn gi¶i ®­îc cña hÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n kh«ng «t«n«m kh«ng cã trÔ (2.1) víi gi¶ thiÕt [A(t), B(t)] lµ ®iÒu khiÓn ®­îc hoµn toµn. Ta cã hÖ qu¶ sau: HÖ qu¶ 3.3: Gi¶ sö hÖ [A(t), B(t)] lµ ®iÒu khiÓn ®­îc hoµn toµn vÒ 0. Khi ®ã bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ bÒn v÷ng cho hÖ (2.1) cã lêi gi¶i nÕu 1 > 2c2 + 2p2b21 γ . H¬n n÷a hµm ®iÒu khiÓn ng­îc ®­îc x¸c ®Þnh bëi u(t) = −BT (t)P (t)x(t) trong ®ã P (t) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh RDE (3.5). 3.2 §iÒu khiÓn H∞ bÒn v÷ng cho hÖ tuyÕn tÝnh kh«ng «t«- n«m cã trÔ biÕn thiªn XÐt hÖ ®iÒu khiÓn tuyÕn tÝnh kh«ng «t«n«m cã trÔ biÕn thiªn rêi r¹c x˙(t) = A(t)x(t) + A1(t)x(t− h(t)) +B(t)u(t) +B1(t)ω(t), t ≥ 0, z(t) = C(t)x(t) + C1(t)x(t− h(t)) +D(t)u(t), t ≥ 0, (3.8) x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], h ≥ 0, trong ®ã x(t) ∈ Rn lµ vect¬ tr¹ng th¸i, u(t) ∈ Rm lµ hµm ®iÒu khiÓn, ω(t) ∈ Rr lµ hµm vµo kh«ng ch¾c ch¾n, z(t) ∈ Rl lµ hµm ra bÞ quan s¸t, A(t), A1(t) ∈ Rn×n, B(t) ∈ Rn×m, B1(t) ∈ Rn×r, C(t), C1(t) ∈ Rl×n, D(t) ∈ Rl×m lµ c¸c hµm ma trËn liªn tôc cho tr­íc trªn R+, φ ∈ C([−h, 0],Rn) lµ hµm ban ®Çu víi 46 chuÈn ‖φ‖ = supt∈[−h,0] ‖φ(t)‖. Hµm trÔ biÕn thiªn tho¶ m·n ®iÖu kiÖn 0 ≤ h(t) ≤ h, h˙(t) ≤ δ < 1. XÐt hÖ (3.8) víi hµm B1(t), C1(t) liªn tôc bÞ chÆn vµ gi¶ thiÕt DT (t)[C(t), C1(t), D(t)] = [0, 0, I], ∀t ≥ 0, (3.9) c1 = sup t∈R+ ‖CT1 (t)C1(t)‖. (3.10) vµ chän ε > 1 + 2c1 1− δ . §Þnh lý 3.4: Bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ bÒn v÷ng cho hÖ (3.8) cã lêi gi¶i nÕu tån t¹i ma trËn P ∈ BM+(0,∞) tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh Riccati sau P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t)− P (t)[B(t)BT (t)− A1(t)AT1 (t)− −1 γ B1(t)B T 1 (t) ] P (t) + 2CT (t)C(t) + εI = 0 (3.11) Hµm ®iÒu khiÓn ng­îc ®­îc x¸c ®Þnh bëi: u(t) = −BT (t)P (t)x(t), t ≥ 0. Chøng minh. Víi hµm ng­îc u(t) = −BT (t)P (t)x(t) th× hÖ ®ãng lµ x˙(t) = [A(t)−B(t)BT (t)P (t)]x(t) + A1(t)x(t− h(t)) +B1(t)ω(t). XÐt hµm Lyapunov: V (t, xt) = V1(t, xt) + V2(t, xt) trong ®ã V1(t, xt) = 〈P (t)x(t), x(t)〉 V2(t, xt) = 1 + 2c1 1− δ ∫ t t−h(t) ‖x(s)‖2ds. 47 LÊy ®¹o hµm cña V1(.) däc theo quü ®¹o nghiÖm cña hÖ ®ãng ta cã V˙1(t, xt) = 〈P˙ (t)x(t), x(t)〉+ 2〈P (t)x˙(t), x(t)〉 = −‖x(t)‖2 − 〈P (t)B(t)BT (t)P (t)x(t), x(t)〉 −1 γ 〈P (t)B1(t)BT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉 − 2〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉 −〈P (t)A1(t)AT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉+ 2〈P (t)A1(t)x(t− h(t)), x(t)〉 +2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 ≤ −‖x(t)‖2 − 〈P (t)B(t)BT (t)P (t)x(t), x(t)〉 −1 γ 〈P (t)B1(t)BT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉 − 2〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉 +‖x(t− h(t))‖2 + 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 v× ¸p dông bæ ®Ò 1.5.1 cã 2〈P (t)A1(t)x(t− h(t)), x(t)〉 ≤ 〈P (t)A1(t)AT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉+ ‖x(t− h(t))‖2. T­¬ng tù lÊy ®¹o hµm cña V2(.) ta cã V˙2(t, xt) = 1 + 2c1 1− δ [‖x(t)‖2 − (1− h˙(t))‖x(t− h(t))‖2] ≤ 1 + 2c1 1− δ [‖x(t)‖2 − (1− δ)‖x(t− h(t))‖2] ≤ 1 + 2c1 1− δ ‖x(t)‖ 2 − (1 + 2c1)‖x(t− h(t))‖2. Do ®ã V˙ (t, xt) ≤ (1 + 2c1 1− δ − ε )‖x(t)‖2 − 〈P (t)B(t)BT (t)P (t)x(t), x(t)〉 −1 γ 〈P (t)B1(t)BT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉 − 2〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉 +2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 − 2c1‖x(t− h(t))‖2 (3.12) ≤ (1 + 2c1 1− δ − ε )‖x(t)‖2 + 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉. (3.13) 48 bëi v× 〈P (t)B(t)BT (t)P (t)x(t), x(t)〉 ≥ 0, 〈P (t)B1(t)BT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉 ≥ 0, 〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉 ≥ 0. LÊy tÝch ph©n hai vÕ cña (3.13) tõ 0 ®Õn t ®­îc: V (t, xt)− V (0, x0) ≤ (1 + 2c1 1− δ − ε) ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds+ 2 ∫ t 0 〈P (s)B1(s)ω(s), x(s)〉ds ≤ (1 + 2c1 1− δ − ε) ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds+ 2‖P‖‖B1‖ ∫ t 0 ‖ω(s)‖‖x(s)‖ds Ta cã V (t, xt) ≥ 0,∫ t 0 ‖ω(s)‖‖x(s)‖ds ≤ (∫ t 0 ‖ω(s)‖2ds ) 1 2 (∫ t 0 ‖x(s)‖2ds ) 1 2 . Do ®ã víi ω2 = ∫∞ 0 ‖ω(s)‖2ds (v× ω(t) ∈ L2([0,∞)),Rr)) th× −V (0, x0) ≤ (1 + 2c1 1− δ − ε) ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds+ 2‖P‖‖B1‖ω ( ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds) 12 mµ V (0, x0) ≤ 〈P (0)x(0), x(0)〉+ 1 + 2c1 1− δ ∫ 0 −h(0) ‖φ(s)‖2ds ≤ (‖P (0)‖+ (1 + 2c1)h 1− δ )‖φ‖ 2 = α trong ®ã α = (‖P (0)‖+ (1 + 2c1)h 1− δ )‖φ‖ 2 , nªn (ε− 1 + 2c1 1− δ ) ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds− 2‖P‖‖B1‖ω ( ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds) 12 − α ≤ 0, ¸p dông gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh bËc hai víi ε− 1 + 2c1 1− δ > 0 suy ra∫ t 0 ‖x(s)‖2ds ≤ (β +√β2 + ηα η )2 49 trong ®ã β = ‖P‖‖B1‖ω, η = ε− 1 + 2c1 1− δ . Cho t→∞ ta cã x(t) ∈ L2([0,∞),Rn). §iÒu kiÖn (1.9) ®­îc tháa m·n. TiÕp theo chóng ta chøng minh ®iÒu kiÖn (1.10) víi mäi hµm ban ®Çu φ ∈ C([−h, 0],Rn) vµ hµm nhiÔu chÊp nhËn ®­îc ω(t). Víi u(t) = −BT (t)P (t)x(t) vµ ®iÒu kiÖn (3.9) ta cã ‖z(t)‖2 = 〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉+ 〈P (t)BT (t)B(t)P (t)x(t), x(t)〉 +2〈C(t)x(t), C1(t)x(t− h(t))〉+ 〈CT1 (t)C1(t)x(t− h(t)), x(t− h(t))〉. KÕt hîp víi (3.12) ta ®­îc∫ ∞ 0 [‖z(t)‖2 − γ‖ω(t)‖2]dt = ∫ ∞ 0 [‖z(t)‖2 − γ‖ω(t)‖2 + V˙ (t, xt)]dt− ∫ ∞ 0 V˙ (t, xt)dt ≤ ∫ ∞ 0 [ − 〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉+ 2〈C(t)x(t), C1(t)x(t− h(t))〉 + 〈CT1 (t)C1(t)x(t− h(t)), x(t− h(t))〉 − γ‖ω(t)‖2 − 1 γ 〈P (t)B1(t)BT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉+ 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 +( 1 + 2c1 1− δ − ε)‖x(t)‖ 2 − 2c1‖x(t− h(t))‖2 ] dt+ α. Sö dông bæ ®Ò 1.5.1 víi 2〈C(t)x(t), C1(t)x(t− h(t))〉 − 〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉 ≤ 〈CT1 (t)C1(t)x(t− h(t)), x(t− h(t))〉 ≤ c1‖x(t− h(t))‖2, 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 − γ‖ω(t)‖2 ≤ 1 γ 〈P (t)B1(t)BT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉, 50 nªn ∫ ∞ 0 [‖z(t)‖2 − γ‖ω(t)‖2]dt ≤ α. §Æt c0 = α γ = (‖P (0)‖+ (1 + 2c1)h 1− δ )‖φ‖ 2 γ ta cã sup ∫∞ 0 ‖z(t)‖2dt c0‖φ‖2 + ∫∞ 0 ‖ω(t)‖2dt ≤ γ víi supremum lÊy trªn φ ∈ C([−h, 0],Rn) vµ hµm nhiÔu kh¸c kh«ng ω ∈ L2([0,∞),Rr). §Þnh lý ®­îc chøng minh.  VÝ dô 3.5: Víi γ > 0 cho tr­íc. XÐt hÖ tuyÕn tÝnh kh«ng «t«n«m (3.8) víi hµm trÔ biÕn thiªn h(t) = 12 sin 2 t vµ A(t) = a(t) 0 0 b(t)  , A1(t) = sin t 0 0 2 cos t  , B(t) = cos2 t+ 1 0 0 sin2 t+ 2  , B1(t) = √3γ cos(t− 12 sin2 t) 0 0 √ 8γ sin(t− 12 sin2 t)  , C(t) =  0 0 0 0 0 1√ 2 e− 1 2 t  , C1(t) =  0 0 0 0 1 0  , D(t) =  sin t cos t − cos t sin t 0 0  , 51 trong ®ã a(t) = 1 2 (e−t cos4 t+ 1)− 4et, b(t) = 1 2 e−t sin4 t− 4et. Ta cã h = 12 , δ = 1 2 , c1 = 1 vµ ε = 8 tho¶ m·n ε > 1 + 2c1 1− δ . NghiÖm cña RDE (3.11) ®­îc cho bëi P (t) = e−t 0 0 e−t  Khi ®ã bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ bÒn v÷ng cho hÖ (3.8) cã lêi gi¶i. Hµm ®iÒu khiÓn ng­îc ®­îc x¸c ®Þnh bëi u(t) = −(cos2 t+ 1)e−t 0 0 −(sin2 t+ 2)e−t x(t). H¬n n÷a ta cã mét ®iÒu kiÖn kh¸c ®Ó hÖ ®iÒu khiÓn (2.1) kh«ng cã trÔ gi¶i ®­îc khi cho A1(t) = C1(t) = 0 mµ kh«ng cÇn ®iÒu kiÖn hÖ [A(t), B(t)] lµ ®iÒu khiÓn ®­îc ®Òu hoµn toµn hoÆc ®iÒu khiÓn ®­îc hoµn toµn vÒ 0. HÖ qu¶ 3.6: Bµi to¸n ®iÒu khiÓnH∞ bÒn v÷ng cho hÖ (3.8) víi A1(t) = C1(t) = 0 (hay hÖ (2.1)) cã lêi gi¶i nÕu tån t¹i ma trËn P ∈ BM+(0,∞) tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh Riccati P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t)− P (t)[B(t)BT (t)− −1 γ B1(t)B T 1 (t) ] P (t) + 2CT (t)C(t) + εI = 0. (3.14) víi ε > 1. H¬n n÷a hµm ®iÒu khiÓn ng­îc ®­îc x¸c ®Þnh bëi: u(t) = −BT (t)P (t)x(t), t ≥ 0. 52 3.3 §iÒu khiÓn H∞ cho hÖ tuyÕn tÝnh kh«ng «t«n«m cã trÔ hçn hîp XÐt hÖ ®iÒu khiÓn tuyÕn tÝnh kh«ng «t«n«m cã trÔ rêi r¹c vµ tÝch ph©n x˙(t) = A(t)x(t) + A1(t)x(t− h(t)) + A2(t) ∫ t t−k(t) x(s)ds +B(t)u(t) +B1(t)ω(t), t ≥ 0 z(t) = C(t)x(t) + C1(t)x(t− h(t)) + C2(t) ∫ t t−k(t) x(s)ds (3.15) +D(t)u(t), t ≥ 0, x(t) = φ(t), t ∈ [−max(h, k), 0], h ≥ 0, k ≥ 0. trong ®ã x(t) ∈ Rn lµ vect¬ tr¹ng th¸i, u(t) ∈ Rm lµ hµm ®iÒu khiÓn, ω(t) ∈ Rr lµ hµm vµo kh«ng ch¾c ch¾n, z(t) ∈ Rl lµ hµm ra bÞ quan s¸t, A(t), A1(t), A2(t) ∈ Rn×n, B(t) ∈ Rn×m, B1(t) ∈ Rn×r, C(t), C1(t), C2(t) ∈ Rl×n, D(t) ∈ Rl×m lµ c¸c hµmma trËn liªn tôc cho tr­íc trªnR+, φ ∈ C([−max(h, k), 0],Rn) lµ hµm ban ®Çu víi chuÈn ‖φ‖ = sup t∈[−max(h,k),0] ‖φ(t)‖. C¸c hµm trÔ biÕn thiªn tho¶ m·n ®iÖu kiÖn 0 ≤ h(t) ≤ h, h˙(t) ≤ δ < 1, 0 ≤ k(t) ≤ k, k˙(t) ≤ θ < 1. Gi¶ sö B1(t), C1(t), C2(t) liªn tôc bÞ chÆn vµ DT (t)[C(t), C1(t), C2(t), D(t)] = [0, 0, 0, I], ∀t ≥ 0, (3.16) c1 = sup t∈R+ ‖CT1 (t)C1(t)‖, c2 = sup t∈R+ ‖CT2 (t)C2(t)‖, ε > 1 + 3c1 1− δ + (1 + 3c2)k 2 1− θ , (3.17) ta cã kÕt qu¶ sau: 53 §Þnh lý 3.7: Bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ bÒn v÷ng cho hÖ (3.15) cã lêi gi¶i nÕu tån t¹i ma trËn P ∈ BM+(0,∞) tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t)− P (t)[B(t)BT (t)− A1(t)AT1 (t) −A2(t)AT2 (t)− 1 γ B1(t)B T 1 (t) ] P (t) + 3CT (t)C(t) + εI = 0 (3.18) H¬n n÷a hµm ®iÒu khiÓn æn ®Þnh bÒn v÷ng ®­îc x¸c ®Þnh bëi: u(t) = −BT (t)P (t)x(t), t ≥ 0. Chøng minh.Víi hµm ®iÒu khiÓn ng­îc u(t) = −BT (t)P (t)x(t) th× hÖ ®ãng lµ x˙(t) = [A(t)−B(t)BT (t)P (t)]x(t) + A1(t)x(t− h(t)) +A2(t) ∫ t t−k(t) x(s)ds+B1(t)ω(t). XÐt hµm Lyapunov d¹ng V (t, xt) = V1(t, xt) + V2(t, xt) + V3(t, xt) trong ®ã V1(t, xt) = 〈P (t)x(t), x(t)〉 V2(t, xt) = 1 + 3c1 1− δ ∫ t t−h(t) ‖x(s)‖2ds V3(t, xt) = (1 + 3c2)k 1− θ ∫ t t−k(t) ∫ t s ‖x(ξ)‖2dξds LÊy ®¹o hµm cña V1(.) däc theo quü ®¹o nghiÖm cña hÖ ®ãng ta cã V˙1(t, xt) = 〈P˙ (t)x(t), x(t)〉+ 2〈P (t)x˙(t), x(t)〉 = −‖x(t)‖2 − 〈P (t)B(t)BT (t)P (t)x(t), x(t)〉 −〈P (t)A1(t)AT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉 − 〈P (t)A2(t)AT2 (t)P (t)x(t), x(t)〉 54 −1 γ 〈P (t)B1(t)BT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉 − 3〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉 +2〈P (t)A1(t)x(t− h(t)), x(t)〉+ 2〈P (t)A2(t) ∫ t t−k(t) x(s)ds, x(t)〉 +2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 Tõ bæ ®Ò 1.5.1 vµ 1.5.2 ta cã 2〈P (t)A1(t)x(t− h(t)), x(t)〉 − 〈P (t)A1(t)AT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉 ≤ ‖x(t− h(t))‖2, 2〈P (t)A2(t) ∫ t t−k x(s)ds, x(t)〉 − 〈P (t)A2(t)AT2 (t)P (t)x(t), x(t)〉 ≤ 〈 ∫ t t−k(t) x(s)ds, ∫ t t−k(t) x(s)ds〉 ≤ k(t) ∫ t t−k(t) ‖x(s)‖2ds ≤ k ∫ t t−k(t) ‖x(s)‖2ds, nªn V˙1(t, xt) ≤ −ε‖x(t)‖2 − 〈P (t)B(t)BT (t)P (t)x(t), x(t)〉 −1 γ 〈P (t)B1(t)BT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉 − 3〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉 +‖x(t− h(t))‖2 + k ∫ t t−k(t) ‖x(s)‖2ds+ 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 T­¬ng tù lÊy ®¹o hµm V˙2(.), V˙3(.) däc theo quü ®¹o nghiÖm cña hÖ ®ãng, ta ®­îc V˙2(t, xt) = 1 + 3c1 1− δ [‖x(t)‖2 − (1− h˙(t))‖x(t− h(t))‖2] ≤ 1 + 3c1 1− δ [‖x(t)‖2 − (1− δ)‖x(t− h(t))‖2] ≤ 1 + 3c1 1− δ ‖x(t)‖ 2 − (1 + 3c1)‖x(t− h(t))‖2, 55 V˙3(t, xt) = (1 + 3c2)k 1− θ [ k(t)‖x(t)‖2 − (1− k˙(t)) ∫ t t−k(t) ‖x(s)‖2ds] ≤ (1 + 3c2)k 2 1− θ ‖x(t)‖ 2 − (1 + 3c2)k ∫ t t−k(t) ‖x(s)‖2ds. KÕt hîp V˙1(.), V˙2(.), V˙3(.) ta cã V˙ (t, xt) ≤ (1 + 3c1 1− δ + (1 + 3c2)k 2 1− γ − ε )‖x(t)‖2 −〈P (t)B(t)BT (t)P (t)x(t), x(t)〉 − 〈P (t)B1(t)BT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉 −3〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉+ 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 −3c1‖x(t− h(t))‖2 − 3c2k ∫ t t−k(t) ‖x(s)‖2ds (3.19) ≤ (1 + 3c1 1− δ + (1 + 3c2)k 2 1− θ − ε )‖x(t)‖2 + 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉. (3.20) LÊy tÝch ph©n hai vÕ cña (3.19) tõ 0 ®Õn t ®­îc: V (t, xt)− V (0, x0) ≤ (1 + 3c1 1− δ + (1 + 3c2)k 2 1− θ − ε ) ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds +2 ∫ t 0 〈P (s)B1(s)ω(s), x(s)〉ds ≤ (1 + 3c1 1− δ + (1 + 3c2)k 2 1− θ − ε ) ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds +2‖P‖‖B1‖ ∫ t 0 ‖ω(s)‖‖x(s)‖ds. Ta cã V (t, xt) ≥ 0, V (0, x0) = 〈P (0)x(0), x(0)〉+ 1 + 3c1 1− δ ∫ 0 −h(0) ‖φ(s)‖2ds + (1 + 3c2)k 1− θ ∫ 0 −k(0) ∫ 0 s ‖φ(ξ)‖2dξds ≤ [‖P (0)‖+ (1 + 3c1)h 1− δ + (1 + 3c2)k 2 2(1− θ) ]‖φ‖ 2 = α, 56 ∫ t 0 ‖ω(s)|‖x(s)‖ds ≤ (∫ t 0 ‖ω(s)‖2ds ) 1 2 (∫ t 0 ‖x(s)‖2ds ) 1 2 ≤ ω (∫ t 0 ‖x(s)‖2ds ) 1 2 , trong ®ã α = [‖P (0)‖+ (1 + 3c1)h 1− δ + (1 + 3c2)k 2 2(1− θ) ]‖φ‖ 2 > 0 ω2 = ∫ ∞ 0 ‖ω(s)‖2ds. Do ®ã ( ε− 1 + 3c1 1− δ − (1 + 3c2)k 2 1− θ ) ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds −2‖P‖‖B1‖ω ( ∫ t 0 ‖x(s)‖2ds) 12 − α ≤ 0, ¸p dông gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh bËc hai víi ε− 1 + 3c1 1− δ − (1 + 3c2)k 2 1− θ > 0 ta cã∫ t 0 ‖x(s)‖2ds ≤ (β +√β2 + ηα η )2 , trong ®ã β = ‖P‖‖B1‖ω, η = ε − 1 + 3c1 1− δ − (1 + 3c2)k 2 1− θ . Cho t → ∞ ta cã x(t) ∈ L2([0,∞),Rn). TiÕp theo chóng ta chøng minh ®iÒu kiÖn (1.10) víi mäi hµm ban ®Çu φ ∈ C([−max(h, k), 0],Rn) vµ hµm nhiÔu kh¸c kh«ng chÊp nhËn ®­îc ω(t). Víi u(t) = −BT (t)P (t)x(t) vµ (3.16) ta cã ‖z(t)‖2 = 〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉+ 〈P (t)BT (t)B(t)P (t)x(t), x(t)〉 +〈CT1 (t)C1(t)x(t− h(t)), x(t− h(t))〉 +〈CT2 (t)C2(t) ∫ t t−k(t) x(s)ds, ∫ t t−k(t) x(s)ds〉 57 +2〈C(t)x(t), C1(t)x(t− h(t))〉+ 2〈C(t)x(t), C2(t) ∫ t t−k(t) x(s)ds〉 +2〈C1(t)x(t− h(t)), C2(t) ∫ t t−k(t) x(s)ds〉 KÕt hîp víi (3.18) ta ®­îc∫ ∞ 0 [‖z(t)‖2 − γ‖ω(t)‖2]dt = ∫ ∞ 0 [‖z(t)‖2 − γ‖ω(t)‖2 + V˙ (t, xt)]dt− ∫ ∞ 0 V˙ (t, xt)dt ≤ ∫ ∞ 0 [ − 2〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉 +〈CT1 (t)C1(t)x(t− h(t)), x(t− h(t))〉 +〈CT2 (t)C2(t) ∫ t t−k(t) x(s)ds, ∫ t t−k x(s)ds〉 +2〈C(t)x(t), C1(t)x(t− h(t))〉 +2〈C(t)x(t), C2(t) ∫ t t−k(t) x(s)ds〉 +2〈C1(t)x(t− h(t)), C2(t) ∫ t t−k x(s)ds〉 −1 γ 〈P (t)B1(t)BT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉+ 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 −γ‖ω(t)‖2 − 3c1‖x(t− h(t))‖2 − 3c2k ∫ t t−k(t) ‖x(s)‖2ds + (1 + 3c1 1− δ + (1 + 3c2)k 2 1− θ − ε )‖x(t)‖2]dt+ α. L¹i ¸p dông Bæ ®Ò 1.5.1 vµ 1.5.2 cã 2〈C(t)x(t), C1(t)x(t− h(t))〉 − 〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉 ≤ 〈CT1 (t)C1(t)x(t− h(t)), x(t− h(t))〉 ≤ c1‖x(t− h(t))‖2, 58 2〈C(t)x(t), C2(t) ∫ t t−k(t) x(s)ds〉 − 〈CT (t)C(t)x(t), x(t)〉 ≤ 〈CT2 (t)C2(t) ∫ t t−k(t) x(s)ds, ∫ t t−k(t) x(s)ds〉 ≤ c2k ∫ t t−k(t) ‖x(s)‖2ds, 2〈C1(t)x(t− h(t)), C2(t) ∫ t t−k(t) x(s)ds〉 ≤ 〈CT1 (t)C1(t)x(t− h(t)), x(t− h(t))〉 +〈CT2 (t)C2(t) ∫ t t−k x(s)ds, ∫ t t−k x(s)ds〉 ≤ c1‖x(t− h(t))‖2 + c2k ∫ t t−k(t) ‖x(s)‖2ds 2〈P (t)B1(t)ω(t), x(t)〉 − γ‖ω(t)‖2 ≤ 1 γ 〈P (t)B1(t)BT1 (t)P (t)x(t), x(t)〉, 〈CT1 (t)C1(t)x(t− h(t)), x(t− h(t))〉 ≤ c1‖x(t− h(t))‖2 〈CT2 (t)C2(t) ∫ t t−k(t) x(s)ds, ∫ t t−k(t) x(s)ds〉 ≤ c2k ∫ t t−k(t) ‖x(s)‖2ds, Do ®ã ∫ ∞ 0 [‖z(t)‖2 − γ‖ω(t)‖2]dt ≤ α. VËy sup ∫∞ 0 ‖z(t)‖2dt c0‖φ‖2 + ∫∞ 0 ‖ω(t)‖2dt ≤ γ víi supremum x¸c ®Þnh trªn φ ∈ C([−h, 0],Rn) vµ hµm kh¸c kh«ng ω(t) ∈ L2([0,∞),Rr), c0 = α γ . §Þnh lý ®­îc chøng minh.  VÝ dô 3.8: XÐt hÖ tuyÕn tÝnh kh«ng «t«n«m (3.17) víi hµm gi¸ trÞ ban ®Çu φ(t) ∈ C([−1, 0],Rn), hµm trÔ biÕn thiªn h(t) = 12 sin2 t, k(t) = sin2 t2 vµ A(t) = a(t) 0 0 b(t)  , A1(t) = √3 cos t 0 0 √ 2(cos t+ 1)  , 59 A(t) =  1√2(sin t+ 1) 0 0 2 sin t  , B(t) = sin t 0 0 cos2 t+ 1  , B1(t) = √γ(sin2 t+ 12) 0 0 √ γ cos t  , C(t) =  0 0 0 0 0 1√ 3 e 1 2 sin t  , C1(t) =  0 0 0 0 1 0  , C2(t) =  0 0 0 0 1√ 3 1√ 3  , D(t) =  sin t cos t − cos t sin t 0 0  , trong ®ã a(t) = −1 2 ecos t(sin4 t− 5 2 sin2 t+ sin t+ 15 4 ) + 1 2 sin t− 6e− cos t b(t) = 1 2 esin t(cos4 t+ 3 cos2 t− 4 cos t− 5)− 1 2 cos t− 1− 6e− sin t. Ta cã h = δ = k = θ = 12 , c1 = 1, c2 = 1 3 vµ ®iÒu kiÖn (3.16) ®¹t ®­îc. Cho ε = 10 tho¶ m·n ε > 1 + 3c1 1− δ + (1 + 3c2)k 2 1− γ . NghiÖm cña RDE (3.18) ®­îc cho bëi P (t) = ecos t 0 0 esin t  Khi ®ã bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ bÒn v÷ng cho hÖ (3.17) cã lêi gi¶i. Hµm ®iÒu khiÓn æn ®Þnh bÒn v÷ng ®­îc ®Þnh nghÜa bëi u(t) = − sin t.ecos t 0 0 −(cos2 t+ 1)esin t x(t). T­¬ng tù nh­ phÇn 3.2, chóng ta cã hÖ qu¶ ®èi víi hÖ ®iÒu khiÓn kh«ng «t«n«m cã trÔ cè ®Þnh vµ hÖ «t«n«m. 60 HÖ qu¶ 3.9: Gi¶ sö h(t) = h, k(t) = k. Bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ bÒn v÷ng cho hÖ (3.17) cã lêi gi¶i nÕu tån t¹i ma trËn P ≥ 0 tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh ma trËn P˙ (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t)− P (t)[B(t)BT (t)− A1(t)AT1 (t) −A2(t)AT2 (t)−B1(t)BT1 (t) ] P (t) + 3CT (t)C(t) + εI = 0. víi ε > 1 + 3c1 + (1 + 3c2)k 2 . H¬n n÷a hµm ®iÒu khiÓn æn ®Þnh bÒn v÷ng ®­îc x¸c ®Þnh bëi: u(t) = −BT (t)P (t)x(t), t ≥ 0. Tr­êng hîp hÖ (3.19) lµ hÖ «t«n«m, bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ (3.19) cã lêi gi¶i mµ kh«ng cÇn ®iÒu kiÖn ®¹o hµm cña c¸c hµm trÔ bÞ chÆn bëi 1, h˙(t) ≤ δ < 1, k˙(t) ≤ γ < 1. Víi ε x¸c ®Þnh nh­ trong §Þnh lý 3.7, ta cã hÖ qu¶ sau: HÖ qu¶ 3.10: XÐt hÖ (3.17) lµ hÖ «t«n«m. Khi ®ã bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ cho hÖ (3.17) cã lêi gi¶i nÕu tån t¹i ma trËn P ≥ 0 tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh Riccati ®¹i sè PA+ ATP − P (BBT − A1AT1 − A2AT2 − 1 γ B1B T 1 )P + 3C TC + εI = 0. Hµm ®iÒu khiÓn æn ®Þnh bÒn v÷ng ®­îc x¸c ®Þnh bëi u(t) = −BTPx(t). 61 KÕt luËn LuËn v¨n ®· tr×nh bµy bµi to¸n ®iÒu khiÓnH∞ cho mét líp hÖ ph­¬ng tr×nh vi ph©n kh«ng «t«n«m cã trÔ. Ngoµi phÇn giíi thiÖu nghiªn cøu vµ kÕt qu¶ cña bµi to¸n ®iÒu khiÓn H∞ cho c¸c hÖ tuyÕn tÝnh cã trÔ, luËn v¨n ®· ph¸t triÓn vµ më réng c¸c kÕt qu¶ cña [9, 10] cho hÖ tuyÕn tÝnh kh«ng «t«n«m cã trÔ hçn hîp. C¸c kÕt qu¶ ®¹t ®­îc cña luËn v¨n lµ míi vµ më réng tr­êng hîp cho hÖ tuyÕn tÝnh: ◦ Kh«ng «t«n«m. ◦ Cã nhiÔu. ◦ Cã trÔ xuÊt hiÖn trong c¶ biÕn tr¹ng th¸i vµ biÕn quan s¸t, trÔ biÕn thiªn theo thêi gian vµ trÔ hçn hîp. Trong hai tr­êng hîp sau c¸c kÕt qu¶ kh«ng cÇn gi¶ thiÕt ®iÒu khiÓn ®­îc cña hÖ, bµi to¸n ®iÒu khiÓn H - v« cïng cã lêi gi¶i ®Òu dùa vµo gi¶ thiÕt sù tån t¹i cña ph­¬ng tr×nh vi ph©n Riccati. LuËn v¨n ®· ®­a ra nhiÒu vÝ dô minh häa cho c¸c kÕt qu¶ lý thuyÕt. Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu chÝnh sö dông trong luËn v¨n lµ c¸c ph­¬ng ph¸p cña §¹i sè tuyÕn tÝnh, Gi¶i tÝch vµ Gi¶i tÝch hµm, Lý thuyÕt æn ®Þnh vµ Lý thuyÕt ®iÒu khiÓn. C«ng cô chñ ®¹o lµ ph­¬ng ph¸p hµm Lyapunov-Krasovskii vµ nghiÖm cña c¸c ph­¬ng tr×nh vi ph©n Riccati liªn quan ®Õn hµm Lyapunov. Tuy nhiªn, do kh¶ n¨ng cßn h¹n chÕ vµ thêi gian kh«ng cho phÐp nªn mét sè kÕt qu¶ cßn ch­a ®¹t ®­îc nh­ mong muèn (vÝ dô nh­ trong §Þnh lý 3.4, §Þnh lý 3.7, c¸c hµm trÔ biÕn thiªn ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®¹o hµm bÞ chÆn bëi 1, h˙(t) ≤ δ < 1, k˙(t) ≤ γ < 1). Chóng t«i hi väng cã thÓ gi¶i quyÕt triÖt ®Ó c¸c vÊn ®Ò nµy trong mét thêi gian kh«ng xa. 62 Tµi liÖu tham kh¶o TiÕng ViÖt [1] NguyÔn T. Hoµn, Ph¹m Phu (2003), C¬ së ph­¬ng tr×nh vi ph©n vµ lÝ thuyÕt æn ®Þnh, NXB Gi¸o dôc. [2] Vò N. Ph¸t (2001), NhËp m«n lý thuyÕt ®iÒu khiÓn to¸n häc, NXB §¹i häc Quèc Gia Hµ Néi. TiÕng Anh [3] B.A. Francis (1987), A course inH∞ control theory, Springer-Verlag, Berlin. [4] B.A.Francis and J.C.Doyle, Linear control theory with anH∞ potimality cri- terion, SIAM J. Control Optim, Vol. 25, 815-832. [5] Ikeda M., H. Maeda and S. Komada (1972), Stabilization of linear systems, SIAM J. Control, 10, pp. 716-729. [6] B. van Keulen (1993), H∞ control for distributed parameter systems: A statespace approach. Birkhauser, Boston. [7] P.NIAMSUP and VN Phat (2009), "H∞ optimal control of linear time-varying systems via controllability approach", ScienceAsia, Vol.35, 231-242. [8] VN Phat and Q.P.Ha (2009), "H∞ control and exponential stability for a class of nonlinear non-autonomous with time-varying delay", J.Optim. Theory Appl., Vol. 142, 603-6018. [9] Vu N. Phat and Do Q. Vinh, (2007) "Controllability and H∞ Control for lin- ear Continuous Time-Varying Uncertain Systems", Differential Equations and Applications, Vol.4, 105-111. [10] Vu N. Phat, Do Q. Vinh and Nguyen S. Bay (2008), "L2−stabilization and H∞ control for Linear Non-autonomous Time-delay Systems in Hilbert Spaces 63 via Riccati Equations", Advances in Nonlinear Variational Inequalities, Vol. 11, Number 2, 75-86. 64