Luận văn Bài toán Moment Hausdorff và biến đổi Laplace ngược

sinh bởi hệ các ña thức trực giao ( ) 0,1,2,...i n=iL , trong ñó iL là ña thức Muntz (Phương pháp moment hữu hạn). Nội dung của luận văn này dựa trên kết quả bài báo của Dũng, Huy, Quân, Trọng ([18]), có thêm phần tính số ñể minh họa cho kết quả của bài toán (0.4). Toàn bộ luận văn này sẽ chia thành các chương sau ñây: Chương mở ñầu là phần giới thiệu tổng quát về bài toán và ñiểm qua các kết quả trước ñó, ñồng thời giới thiệu bố cục của luận văn. Chương 1 là phần giới thiệu ký hiệu và các không gian hàm, các hệ trực chuẩn ñặc biệt trong ( )2 0,1L như: ña thức Legendre, ña thức Muntz. 4 Chương 2 khảo sát chi tiết bài toán (0.4), kết quả chính của chương này là ñịnh lý 2.1 và ñịnh lý 2.4 phương pháp xấp xỉ nghiệm u và ñánh giá sai số. Chương 3 khảo sát bài toán (0.1) dựa trên kết quả ñã trình bày trong chương 2. Chương 4 là phần tính số minh họa cho bài toán (0.4). Chương 5 là phần kết luận về các kết quả thu ñược trong luận văn. Sau cùng là tài liệu tham khảo. 5 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian Hilbert 1.1.1. ðịnh nghĩa Cho H là không gian vectơ tuyến tính trên ℝ (hay trên ℂ ). Ta ñịnh nghĩa trên H một ánh xạ H H× → ℝ ( , ) , .x y x y〈 〉֏ Thỏa i) , 0,x x x H〈 〉 ≥ ∀ ∈ . ii) , 0 0.x x x〈 〉 = ⇔ = iii) , , , ,x y y x x y H〈 〉 = 〈 〉 ∀ ∈ . iv) , , , , , ,x y z x z y z x y z Hα α α〈 + 〉 = 〈 〉 + 〈 〉 ∀ ∈ ∈ℝ; . Khi ñó ta nói .,.〈 〉 là một tích vô hướng (dạng Hermite) trên H . Hơn nữa, trên H ta có thể ñịnh nghĩa chuẩn của một vectơ thông qua tích vô hướng , ,x x x x H= 〈 〉 ∀ ∈ . Nếu với chuẩn ñịnh nghĩa như trên, mà H là không gian Banach thì H ñược gọi là không gian Hilbert. Khái niệm về tính trực giao , 0.x y x y⊥ ⇔ 〈 〉 = M H⊆ , ta kí hiệu : { }: ,M x H x y y M⊥ = ∈ ⊥ ∀ ∈ là không gian trực giao với M . M H⊆ là không gian vectơ con ñóng. Với mỗi x H∈ , tồn tại duy nhất ,y M z M ⊥∈ ∈ thỏa x y z= + và 6 ( , ) ,d x M x y z= − = Họ vectơ ( )i i Ix H∈ ⊂ ñược gọi là hệ trực giao nếu ( ), , .i jx x i j I i j I⊥ ∀ ∈ ≠ là tập ñánh chỉ số. Họ vectơ ( )i i Ix H∈ ⊂ ñược gọi là hệ trực chuẩn nếu ( )i i Ix ∈ trực giao và 1,ix i I= ∀ ∈ . ðịnh lý 1.1 1) Cho họ 1,( )i i nx = là họ trực giao, ta có 2 2 1 1 . n n i i i i x x = = =∑ ∑ 2) Cho họ 1,( )i i nx = là họ trực chuẩn, ( ) 1,i i nt = là n số thực hay phức, ta có 2 2 1 1 . n n i i i i i t x t = = =∑ ∑ 3) ðặt 1 2, ,... .n nX x x x= Họ ( )i ix ∈ℕ là cơ sở trực chuẩn của H nếu H X ∞ ∪ n n=1 = Khi ñó i) x H∀ ∈ , tồn tại duy nhất 1 : n n n i i ni x X x c x x⊥ = ∈ = +∑ , ii) 1 ( , )n i i n nix c x x d x X=− = =∑ , iii) 1 0n ni iix c x →∞ = − →∑ , iv) 22 1 n ii c x = ≤∑ (Bất ñẳng thức Bessel), v) 2 2 1 ii x c ∞ = =∑ (ñẳng thức Bessel–Parseval), với ,i ic x x= 〈 〉 là hệ số Fourier của x ứng với hệ trực chuẩn ( )i ix ∈ℕ . 1.1.2. Không gian pL Một số ñịnh lý của lý thuyết tích phân. 7 ðịnh lý 1.2 (ðịnh lý hội tụ ñơn ñiệu). Cho ( )nf là dãy tăng các hàm khả tích Lesbesgue trên Ω ⊂ ℝ sao cho supn nf < ∞∫ . Khi ñó, nf hội tụ h.k.n (hầu khắp nơi) trên Ω về một hàm khả tích trên Ω và ( ) ( )1 0n nf f f x f x dxΩ− = − →∫ khi n → ∞ ( 1. là chuẩn trong không gian ( )1L Ω ). ðịnh lý 1.3 (ðịnh lý hội tụ bị chặn Lesbesgue). Cho ( )nf là một dãy các hàm (thực hoặc phức) khả tích trên Ω . Giả sử i) ( ) ( )nf x f x→ h.k.n trên Ω , ii) tồn tại hàm g khả tích sao cho với mỗi ( ) ( ), nn f x g x< h.k.n trên Ω . Khi ñó f khả tích và ( ) ( )1 0n nf f f x f x dxΩ− = − →∫ khi n → ∞ Hệ quả: Cho f là hàm ño ñược và g khả tích trên Ω . Ta có Nếu ( ) ( )f x g x< h.k.n trên Ω thì f khả tích trên Ω . Nếu f khả tích thì f khả tích và ngược lại. ðịnh lý 1.4 (Fubini). Cho F khả tích trên 1 2Ω × Ω . Khi ñó, với hầu hết 1x ∈Ω ( ) ( ),. : ,F x y F x y֏ khả tích trên 2Ω và ( ) 2 ,x F x y dy Ω∫֏ khả tích trên 1Ω . Kết luận tương tự khi ñổi vai trò x cho y , 1Ω cho 2Ω . Hơn nữa, ta có ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 , , ,dx F x y dy dy F x y dx F x y dxdy Ω Ω Ω Ω Ω ×Ω = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . 8 Không gian ( ) ,1pL pΩ ≤ ≤ ∞ . Giả sử nΩ ⊂ ℝ là một tập ño ñược, ta có các ñịnh nghĩa Với 1 p≤ < ∞ {( ) :pL f fΩ = ño ñược trên , pfΩ khả tích Lebesgue trên Ω }, Với p = ∞ {( ) :L f f∞ Ω = ño ñược trên Ω và tồn tại ( ) }: . .C f x C h k n≤ , và ký hiệu ( )( ) 1p ppf f x dxΩ= ∫ , ( ){ }inf ; . .f C f x C h k n ∞ = ≤ , là các chuẩn tương ứng. Không gian ( ) ,1pL pΩ ≤ ≤ ∞ là một không gian ñịnh chuẩn ñầy ñủ Trong không gian này ta ñồng nhất ( ) ( ) . .f g f x g x h k n= ⇔ = . ðặc biệt 2p = , ta ñịnh nghĩa {2( ) :L f fΩ = ño ñược trên 2, fΩ khả tích Lebesgue trên Ω }, với tích trong ñược ñịnh nghĩa , ( ) ( )f g f x g x dx Ω 〈 〉 = ∫ và chuẩn ( )( )12 22f f x dxΩ= ∫ , thì 2 ( )L Ω là không gian Hilbert. ðịnh lý 1.5 (Bất ñẳng thức Holder). Cho ( )pf L∈ Ω và ( )qg L∈ Ω , với 1 p≤ < ∞ và 1 1 1 p q + = . Khi ñó ( )1f g L⋅ ∈ Ω và ( ) ( ) p qf x g x dx f gΩ ≤ ⋅∫ Tích chập Cho hai hàm số f và g xác ñịnh trên ℝ thì hàm số f g∗ ñịnh bởi ( ) ( ) ( )f g x f x y g y dy∗ = −∫ℝ , 9 với giả thiết là tích phân ở trên tồn tại, ñược gọi là tích chập của f và g . 1.1.3. Không gian Sobolev ( ) ( )1 ,H Ω Ω ⊆ ℝ . ( ) ( ){ :cC f f C∞ ∞Ω = ∈ Ω tức là f khả vi vô hạn lần, }suppf ⊆ Ω . Với 1 p≤ < ∞ ( p ≠ ∞ ) thì ( )cC∞ Ω trù mật trong ( )pL Ω . ( )1H Ω = ( ){ 2u L∈ Ω : tồn tại duy nhất ( )2 ', ,g L u gϕ ϕ Ω Ω ∈ Ω = −∫ ∫ ( )}cCϕ ∞∀ ∈ Ω , trong ñó g thỏa ñiều kiện trên ñược gọi là ñạo hàm suy rộng của u , ký hiệu 'u g= . Ta ñịnh nghĩa trên ( )1H Ω tích trong và chuẩn tương ứng như sau 1 2 2 ' ' , , , H L L u v u v u v〈 〉 = 〈 〉 + 〈 〉 , ( )1 2 2 122 2' .H L Lu u u= + Khi ñó, ( )1H Ω là một không gian Hilbert. Từ ñây về sau nếu không sợ nhầm lẫn, ta quy ước sử dụng chuẩn ⋅ thay cho tất cả các chuẩn 2 1 1, ,L H L⋅ ⋅ ⋅ . 1.1.4. Quá trình trực giao hóa Hilbert-Schmidt Cho họ ( )i ix H∈ ⊂ℕ là các vectơ ñộc lập tuyến tính, nghĩa là { }( ) 0 : 0 0, 0,1,2,..., , 0,1,2,..., ,... n i i i i n a x a i n n = ∀ ∈ = ⇔ = ∀ = =∑ℕ ℕ . ðặt 0 0 0 , xy x = 1 0 , , i i i i k k k i k i w w x x y y y w − = = − 〈 〉 =∑ . Thì ( )i iy ∈ℕ là hệ trực chuẩn và hơn nữa { } { }( ) ( )i i i ispan y span x∈ ∈=ℕ ℕ . 10 1.2. Các hệ trực chuẩn ñặc biệt trong ( )2 0,1L 1.2.1. ða thức Legendre Ta trực giao hóa trong ( )2 1,1L − hệ các hàm lũy thừa 21, , ,..., 1 1x x x− < < thì ta ñược hệ các ña thức trực giao. Các ña thức cùng bậc của các hệ này chỉ sai khác một thừa số hằng. Trong các hệ ña thức trực giao này, ta xét hệ sau ñây, ñược gọi là hệ ña thức Legendre. 1.2.1.1. Dạng ña thức và dạng vi phân ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 0 1! 11 , 2 !! !2 n nn k n n nk k d tn k P t t n dtk n k= −+ = − = ⋅ − ∑ ( )0 1, .P t n= ∈ℕ Khi ñó, ta có các tính chất i) 1 1 ( ) ( ) 0,n mP t P t dt n m − = ≠∫ . ii) ( )1 2 1 2( ) , 2 1n P t dt n n− = ∀ ∈ +∫ ℕ . iii) ( )nP t thỏa phương trình vi phân cấp hai thuần nhất ( ) ( )'2 '1 1 0x y n n y − + + =  . Thực vậy, lấy vi phân n+1 lần ñẳng thức ( )2 '1 2x u nxu− = Chú ý ( )2 1 nu x= − , ( ) ( )2 !n n nu n P x= , ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 12 ' 21 1 2 1n n n nx u n n u nxu x u− +− = − + + − , ( )( ) ( ) ( )( )12 2n n nnxu n nu xu−= + . iv) ( ){ }n nP t ∈ℕ là một cơ sở trực giao của không gian ( )2 1,1L − . 11 Nếu ñổi biến 1 2t x= − và ñặt ( ) ( )2 1 1 2n nL x n P x= + − , thì hệ ( ){ }n nL x ∈ℕ là một cơ sở trực chuẩn trong không gian ( )2 0,1L . 1.2.1.2 Dạng tích phân Theo tính chất iii) ( ) n P t là nghiệm của phương trình vi phân ( ) ( )'2 '1 1 0x y n n y − + + =  ( ) ( )2 " '1 2 1 0x y xy n n y− − + + = (1.1) ðặt ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 1 2 1 , p x x p x x p x n n n  = − +  = −  = + ∈ ℕ (1.2) Ta tìm nghiệm của (1.1) dưới dạng ( ) ( ) ( ) C y x x t v t dt µ = −∫ (1.3) với ,vµ sẽ xác ñịnh sau, trong ñó v là hàm có ñạo hàm cấp hai trên C . Trong ñóC là ñường lấy tích phân, ñiều kiện sẽ tìm sau. Từ (1.1) - (1.3) suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ 2 10 11C p x x t p x x tµ µµ µ µ− −− − + −∫ ( ) ( ) } ( )2 0.p x x t v t dtµ+ − ⋅ = (1.4) Biểu diễn 0 1 2, ,p p p thông qua ( )x t− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2' "0 0 0 012p x p t p t x t p t x t= + − + − , ( ) ( ) ( ) ( )'1 1 1p x p t p t x t= + − , ( ) ( ) ( )2 2 1p x p t n n= = + . Thế vào (1.4) ( ) ( ) ( ){ ( ) ( ) ( ) ( )2 1'0 0 11 1C p t x t p t p t x tµ µµ µ µ µ µ− − − − + − + − ∫ 12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )" '0 1 21 1 ( ) 02 p t p t p t x t v t dt µµ µ µ  + − + + − =    . Thu gọn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ' 0 0 12 1C x t x t p t p t p t v t dt t t µ µ µ  ∂ − ∂ −  − − +  ∂ ∂   ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )" '0 1 21 1 ( ) 02C p t p t p t x t v t dt µµ µ µ  + − + + − =    ∫ . (1.5) Trong (1.5) ta tìm µ thỏa ( ) ( ) ( ) ( )" '0 1 21 1 02 p t p t p tµ µ µ− + + = ( ) ( )1 2 1 0n nµ µ µ− − − + + = ( )2 1 0n nµ µ− − + + = . (1.6) ( )1 n n µ µ =  = − + Khi ñó (1.5) tương ñương ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 '0 0 12 1 0C x t x tp t v t p t p t v t dtt t µ µ µ  ∂ − ∂ −  − − + =  ∂ ∂   ∫ (1.7) Tích phân từng phần (1.7) ta ñược ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 '0 0 11 C p t v tx t p t v t p t p t v t x t t t µ µµ   ∂∂ −  − + − + −    ∂ ∂    ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )'2 0 10 2 1 0 C p t p t v tp t v t x t dt t t µµ   ∂ − +∂   + + − = ∂ ∂     ∫ . (1.8) Trong (1.8) ta tìm ( )v t thỏa ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 '0 11 0p t v t p t p t v tt µ  ∂  + − + =   ∂  . (1.9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' '0 0 1 0p t v t p t p t v tµ + + =  13 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ' ' 0 1 0 p t p t v t v t p t µ + = −     . ( ) ( )( ) ( ) ( ) ' 0 1 0 0 exp p t p t v t A dt p t p t µ      = ⋅ − +         ∫ ( ) ( )210 2 0 ( ) 2( ) exp 1 exp( ) 1 p t tA p t dt A t p t t µµ −−     = ⋅ − = ⋅ −    −   ∫ ∫ ( ) ( )( ) ( ) 12 2 21 exp ln 1 1A t t A tµ µ− − −= ⋅ − − − = ⋅ − . Vậy ( ) ( ) 121v t A t µ− −= ⋅ − . (1.10) Nếu µ thỏa (1.6), ( )v t thỏa (1.9) và chọn C sao cho ( ) ( ) ( )0 0 C x t p t v t t µ ∂ − =  ∂  và 1nµ = − − , thì ( ) ( ) ( )1 21 nn C y x A x t t dt− −= ⋅ − −∫ . là nghiệm của phương trình (1.1). Bây giờ chọn C là ñường tròn tâm x , bán kính 1 2 21x − , [ ){ }2: 1 , ,iC t t x x e ϕ ϕ pi pi= = + − ∈ − . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 12 2 1 1 2 1 1 1 1 n i i i n n i n x x e x x e y x A x e id x e ϕ ϕ pi ϕ pi ϕ ϕ+ − + +   − − − − −   = − − − ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 cos 2cos 2 1 1 1 n n in n n in e x x x A id x e ϕ pi pi ϕ ϕ ϕ ϕ − +   − − + −   = − − ∫ ( ) ( ) 2 22 2 2 2 1 1cos 1 n n n n x x x A id x pi pi ϕ ϕ −   − + −   = − − ∫ 14 22 1cos n n iA x x d pi pi ϕ ϕ −  = − + −  ∫ . (1.11) Mặt khác ( ) ( )( ) ( ) ( )12 2 1 1 11 2 .lim ! n nn n n nC t x t d t y x A dt A i n dtx t pi + + → − − − = = − ∫ ( )2 12 ! n n n d xiA n dx pi − = − (1.12) ( ) ( ) ( )2 11 2 ! n n n n n d x y x P x n dx − = = ⋅ (1.13) Từ (1.12)- (1.13) suy ra 1 2 2n A ipi − = . Thế vào (1.11) thì nghiệm của phương trình là ( ) 2 2 0 1 11cos 1cos 2 n n y x x x d x x d pi pi pi ϕ ϕ ϕ ϕ pi pi−     = + − = + −    ∫ ∫ . Vậy dạng tích phân của ( )nP x là ( ) 2 0 1 1cos , . n nP x x x d n pi ϕ ϕ pi   = + − ∈  ∫ ℕ 1.2.2. ða thức Muntz . Cho ( )i iα ∈ℕ là một dãy các số thực rời nhau từng ñôi một. Ta ñịnh nghĩa ña thức Muntz (hệ số thực) thứ m xác ñịnh trên ( )0,∞ như sau 1 0 1 2 1( ) 2 tm m k m C k k m t x x dt i t t α α pi α α − = +  + + = ⋅  − −  ∏∫L . Trong ñó C là một ñường cong ñóng, ñơn, ñịnh hướng dương và bao các cực ñiểm. Mệnh ñề 1.6 Giả sử ( )i iα ∈ℕ rời nhau từng ñôi một thì 15 ( ) 0 ( ) ; 0,k m m mk k x x x α = = ∈ ∞∑L C , (1.14) với 1 0 0, ( 1) 1 2 ( ) m k rr mk m m k rr r k α α α α α − = = ≠ + + = + − ∏ ∏C . Chứng minh Nhắc lại Thặng dư: Giả sử a là một ñiểm bất thường cô lập của hàm giải tích ( )f z và C là một ñường cong Jordan kín trơn từng khúc xác ñịnh dương, giới hạn một miền D chứa a . ( )f z giải tích trong D trừ a . Khi ñó thặng dư của ( )f z tại a là [ ] 1Re ( ), ( ) 2 C s f z a f z dz ipi = ∫ . ðịnh lý thặng dư: Nếu ( )f z giải tích trong miền kín D giới hạn bởi ñường cong C trừ một số ñiểm bất thường cô lập 1 2, ,..., na a a nằm trong D thì [ ] 1 ( ) 2 Re ( ), n kC k f z dz i s f z api = = ∑∫ (1.15) Áp dụng (1.15) với 1 0 1 2 1( ) 2 tm m r r r m t xf z i t t α α pi α α − = + + + = ⋅ − − ∏ và n ñiểm bất thường 1 2, ,..., ma a a . ta suy ra ñược (1.14). ðịnh lý 1.7. (về tính trực chuẩn) Cho ( )i iα ∈ℕ là một dãy các số thực rời nhau từng ñôi một và 1 ,2i iα > − ∀ ∈ℕ thì 1 0 ( ) ( )m n mnx x dx δ=∫L L , trong ñó ,m n ∈ℕ , và 1 , 0,mn m n m n δ ==  ≠ là hằng số Kroneker. 16 Chứng minh Từ giả thiết 1 2i α > − ta có thể chọn ñược một ñường cong ñơn, ñóng C nằm trong nửa mặt phẳng có phần thực lớn hơn 1 2 − , tiếp xúc với ñường thẳng 1Re( ) 2 z = − và bao 1n + cực ñiểm. Khi t C∈ thì Re( ) 1kt α+ > − nên 1 0 1 , 1 nt n x dx n t α α + = ∀ ∈ + +∫ ℕ . Theo ñịnh lý Fubini ta có 11 1 0 0 0 1 2 1( ) 2 n n tm m k m C k k m t x x x dx x dt dx i t t α α α α pi α α − =  + + +  = ⋅  − −   ∏∫ ∫ ∫L 1 1 0 0 1 2 1 1 2 n m tm k C k k m t dt x dx i t t αα α pi α α − + = + + + = ⋅ − − ∏∫ ∫ ( ) ( ) 1 0 1 2 1 1 2 1 m m k C k k m n t dt i t t t α α pi α α α − = + + + = ⋅ − − + + ∏∫ Tích phân sau cùng có thêm cực ñiểm mới ( )1mt α= − + nếu n m= . Còn nếu n m< thì không có thêm cực ñiểm mới, do tử số chứa thừa số ( )1nt α+ + . Xét { } 0,max 1i i mt R α == > + .Thì ñường tròn này bao tất cả các cực ñiểm kể cả cực ñiểm mới . Khi ñó ( ) ( ) 11 0 0 1 2 1 1( ) 2 1 n m m k m k k m nt R t x x dx dt i t t t α α α pi α α α − == + + + = ⋅ − − + + ∏∫ ∫L 1 0 11 2 m mn m k k m km δ α α α αα − = − + + ++ ∏ ðổi biến [ ), 0,2it Re ϕ ϕ pi= ∈ . Ta ñược 17 ( ) ( ) 2 11 0 00 1 2 1( ) 2 1 n i im m k mn m i i i k k mmm n R Re e d x x dx Re Re Re pi ϕ ϕ α ϕ ϕ ϕ α α ϕ δ pi α α α − = + + + = ⋅ + − − + + ∏∫ ∫L C . ðặt ( ) ( )( ) 1 0 1 21 1 iim mk i i i k k m n ReReF Re Re Re ϕϕ ϕ ϕ ϕ ααϕ α α α − = ++ + = ⋅ − − + + ∏ Do R trên tử số có bậc nhỏ hơn mẫu số, nên 0RF →∞→ Áp dụng bất ñẳng thức tam giác ( ) ( ) ( ) 3 1 2 2 20 0 2 2 2 11 1 1 m mm m mm n kn kk k R R R RF R R R R R R α αα α + + + = = ≤ ≤    + − − + − −        ∏ ∏ 1 2 0 2 1 1 1 1 m mn k k n k R α α α α + = ≤     − −    + +    ∏ 1 2 0 2 1 1 1 1 m m k n k R α α + = ≤         + +    ∏ ( ) ( ) 1 2 2 0 2 0,2 1 1 1 1 m m k n k g Lϕ pi α α + = ≤ = ∈         + +    ∏ Theo ñịnh lý hội tụ bị chặn Lebesgue ( )( ) 2 1 00 1 2 1 0 2 1 i im Rm k i i i k k m n R Re e d Re Re Re pi ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ α α ϕ pi α α α − →∞ = + + + ⋅ → − − + + ∏∫ Suy ra 1 0 ( ) n mn m mm x x dxα δ=∫ L C (1.16) Trong phần chứng minh trên ta luôn giả sử n m≤ , ngược lại ta thay ñổi vai trò của ,m n cho nhau. 18 Áp dụng (1.16). Ta suy ra 1 1 1 00 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n n k m n m kn mm m mn k x x dx x x dx x x dxα δ = = = =∑∫ ∫ ∫L L L LC C . 1.3.Tính trù mật . ðịnh lý 1.8 { } [ ]21, , ,..., ,... 0,1nspan x x x C= . Chứng minh ðặt ( ) ( )21 , 1 1 0 , 1 n n n t tF t c t  −  − ≤ ≤ =   > với ( )1 2 1 1 n nc s ds − = −∫ , ta có ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 0 0 0 22 1 2 1 1 1 1 n n n n n c s ds s s ds s ds n = − = − + ≥ − = +∫ ∫ ∫ Vì vậy ( )nF t thỏa i) ( ) 0, ,nF t n t≥ ∀ ∀ . ii) ( )( ) 21 1 1 2 1 1 1 1( ) ( ) 1 1 n n n n t F t dt F t dt dt s ds ∞ −∞ − − − − = = = − ∫ ∫ ∫ ∫ . iii) ( ) ( )1 1 21( ) ( ) 12 n n n n F t dt F t dt dt δ δ δ δ ∞ + = ≤ −∫ ∫ ∫ . ( ) ( ) ( )21 1 1 02 n nn δ δ →∞+≤ − − → (vì 20 1 1δ< − < ). Lấy [ ]0,1f C∈ ta có thể giả sử (0) (1) 0f f= = (ngược lại ( )( ) ( ) (0) ( ) (0h x f x f x f x f= − − − ), và kéo dài f trên ℝ bằng cách 19 [ ] ( ), 0 1( ) 0, 0,1 f x xf x x ≤ ≤ =  ∉ . Khi ñó f liên tục trên ℝ . Xét ( ) ( )1 0 ( ) ( ) ( )n n nf x f t F x t dt f t F x t dt ∞ −∞ = − = −∫ ∫ . (1.19) là một ña thức . Thật vậy ( )nF x t− là ña thức theo x ( ) 20 1 2( ) ( ) ... ( ) nn nF x t g t g t x g t x− = + + + trong ñó 0 1 2, ,..., ng g g là các ña thức theo t . Thì 2 0 1 2( ) ... nn nf x a a x a x= + + + trong ñó các hệ số của ña thức 1 0 ( ) ( ) , 0,1,...,2 .i ia f t g t dt i n= =∫ Mặt khác 1 0 ( ) ( ) ( ) n f x f x F t dt= ∫ (do ii)) Trong (1.19) ñổi biến ( ) 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n f x f x t F t dt f x t F t dt∞ −∞ = − = −∫ ∫ . Khi ñó 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n f x f x f x t F t f x F t dt− = − −∫ ( )1 0 ( ) ( ) ( ) n n f x t f x F t dt= − −∫ 1 0 ( ) ( ) ( ) n n f x t f x F t dt≤ − −∫ Do tính liên tục ñều của f trên [ ]0,1 . Nên [ ]0,1 , 0, 0 :x tε δ δ∀ ∈ ∀ > ∃ > < thì ( ) ( ) 2n f x t f x ε− − < Do [ ]0,1f C∈ nên tồn tại :M f M≤ 20 sao cho ( ) ( ) 2nf x t f x M− − ≤ . Khi ñó, chúng ta chọn N sao cho nếu n N≥ , thì 1 ( ) 4n F t dt Mδ ε <∫ (do iii)) Suy ra 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n f x f x f x t f x F t dt f x t f x F t dtδ δ − ≤ − − + − −∫ ∫ 1 0 2 ( ) ( ) 2n n M F t dt F t dt δ δ ε≤ +∫ ∫ 2 2 ε ε ε≤ + = . Như vậy các hàm ña thức trù mật trong [ ]0,1C . ðịnh lý 1.9. (về tính trù mật của ña thức Muntz trong ( )2 0,1L ) Cho ( )i iα ∈ℕ là dãy các số thực rời nhau từng ñôi một và 12iα > − ta có ñiều kiện cần và ñủ ñể { } ( )0 11 2, ,..., ,... 0,1nspan x x x Lα αα − = là ( )20 2 1 2 1 1 i i i α α ∞ = + = ∞ + + ∑ . (1.20) Chứng minh Ta sẽ xấp xỉ mx bởi { }0 11, ,..., nspan x x xα αα − trong ( )2 0,1L . Giả sử ( ); , 0,1,2,..., 1im N m i nα∈ ≠ = − . Xét hệ { }0 1 1, ,..., ,n mα α α − theo ñịnh nghĩa phần trước ta có ña thức trực chuẩn Muntz thứ n như sau: 1 0 ( ) i n m m n i i x a x a x α − = = +∑L với 1 0 ( 1)2 1 0( ) n i n i i m a m m α α − = + + = + ≠ − ∏ . Ta có 21 1 1 1 0 0 0 ( ) i i i n n n m m i i i i i in n x a x b x x b x a a α α α − − − = = = − = − −∑ ∑ ∑ L . Mà { }0 11( ) , ,..., nm x span x x xα αα −⊥L và { }0 111 1 0 0 , ,..., i i n n n i i i in a x b x span x x x a α α α αα − − − = = + ∈∑ ∑ Suy ra 1 1 0 0 ( ) 1 1 min 12 1 i i n n m m i ib R i in n i x m x b x a a mm α α α − − ∈ = = − − = = = + ++ ∑ ∏L . Do ñó giả sử { }0 110 , , ,..., nmim x span x x xα ααα −< ≠ ∈ khi và chỉ khi 1 0 lim 0 1 n i n i i m m α α − →∞ = − = + + ∏ 1 0 2 1lim 1 0 1 n i n i im α α − →∞ = + − = + + ∏ 1 2 1 1 0 0 2 1 2 1lim 1 1 0 1 1 mi mi n n i n i ii i m m m α α α α α > − < < − − →∞ = = + + − − = + + + + ∏ ∏ 1 2 1 1 0 0 2 1 2 1lim exp 0 1 1 mi mi n n i n i ii i m m m α α α α α > − < < − − →∞ = =      + + − + =  + + + +      ∑ ∑ 1 2 1 1 0 0 2 1 2 1lim 1 1 mi mi n n i n i ii i m m m α α α α α > − < < − − →∞ = =    + + + = ∞ + + + +    ∑ ∑ ( )20 2 1 2 1 1 i i i α α ∞ = + = ∞ + + ∑ . Mặt khác ( ) ( )20,1 0,1C L= 22 Kết hợp với ñịnh lý 1.8. Suy ra { } ( )2 21, , ,..., ,... 0,1nspan x x x L= . Nên { } ( )0 11 2, ,..., ,... 0,1nspan x x x Lα αα − = . Nhận xét ñịnh lý 1.9. i ) Với ñiều kiện (1.20) thì hệ ( )( )n nx ∈ℕL là hệ trực chuẩn ñầy ñủ trong ( )2 0,1L . ii ) Giả sử ( )2 0,1u L∈ thỏa ( )1 0 0,nu x x dx nα⋅ = ∀ ∈∫ ℕ thì 0u = h.k.n trên ( )0,1 . Chứng minh nhận xét ii ) ( )1 0 0,ju x x dx jα⋅ = ∀ ∈∫ ℕ . Khi ñó với mỗi n ∈ℕ , ta có ( )1 0 0 0,j n nj j u x x dx nα = = ∀ ∈∑∫ ℕC ( )1 0 ( ) 0,nu x x dx n= ∀ ∈∫ ℕL Do hệ ( )( )n nx ∈ℕL là trực chuẩn ñầy ñủ trong ( )2 0,1L và ( )2 0,1u L∈ . Nên ( )1 22 0 0u u x dx= =∫ . suy ra 0 . .u h k n= trên ( )0,1 . 1.4. Bài toán không chỉnh. Cho ,X Y là hai không gian ñịnh chuẩn. Xét toán tử :K X Y→ , khi ñó phương trình Kx y= ñược gọi là bài toán chỉnh, nếu thỏa ñồng thời ba tính chất sau: i ) Tồn tại nghiêm: , :y Y x X Kx y∀ ∈ ∃ ∈ = . ii ) Duy nhất nghiệm: y Y∀ ∈ tồn tại duy nhất :x X Kx y∈ = . iii ) Ổn ñịnh: x phụ thuộc liên tục vào y . Nghiệm phải phụ thuộc liên tục vào dữ liệu, nghĩa là ( )nx X∀ ⊂ thỏa nKx Kx→ thì nx x→ 23 Ngược lại bài toán vi phạm một trong ba tính chất trên thì ta nói bài toán ñó không chỉnh. ðịnh lý sau ñây cho ta một dấu hiệu nhận biết một bài toán là không chỉnh. ðịnh lý 1.10 Cho ,X Y là hai không gian ñịnh chuẩn. Xét toán tử :K X Y→ tuyến tính, compac với ( ) { }: 0Ker K x X Kx= ∈ = và ( )dim Ker K = ∞ , thì tồn tại ( ) : 0n nx X Kx⊂ → nhưng nx không hội tụ và ta có thể chọn dãy ( )nx sao cho nx → ∞ . Hơn nữa nếu K là ñơn ánh thì ánh xạ ngược ( )1 :K Y K X X− ⊃ → không bị chặn. 1.5. Biến ñổi Laplace. Cho hàm số f thỏa các tính chất sau i) f ño ñược trên ( )0,∞ . ii) f tăng không nhanh hơn một hàm mũ khi t → ∞ , nghĩa là ( )0, 0, , 0tM f t Me tαα∃ > ∃ > ≤ ∀ > . Số 0 infα α= , với tất cả α thỏa (ii), ñược gọi là chỉ số tăng của f . Hàm f có các tính chất (i)-(ii) ñược gọi là hàm gốc. Khi ñó hàm biến phức F ñịnh bởi ( ) ( ) 0 ptF p e f t dt∞ −= ∫ , xác ñịnh trên miền 0Re p α> , ñược gọi là biến ñổi Laplace của f . Bài toán tìm hàm gốc F có thể xem là biến ñổi Laplace ngược hay bài toán giải phương trình tích phân cấp một sau ñây ( ) ( ) 0 pte f t dt F p∞ − =∫ . (1.21) Bài toán tìm hàm f thỏa phương trình ( 1.21 ) là bài toán không chỉnh, vì có thể vô nghiệm, hoặc nghiệm không phụ thuộc liên tục vào vế phải, nghĩa là sự nhiễu rất nhỏ của vế phải có thể dẫn ñến sự nhiễu lớn của f . 24 Chương 2 BÀI TOÁN MOMENT HAUSDORFF VÀ PHƯƠNG PHÁP MOMENT HỮU HẠN Trong chương này chúng tôi khảo sát bài toán tìm hàm 2(0,1)u L∈ thỏa 1 0 ( ) , 0,1,2,...k ku x x dx kα µ= =∫ (2.1) Trong ñó ( )kα là dãy các số thực phân biệt thỏa : 1 2k α −> với mọi 0,1,2,...k = và ( )kµ là dãy các số thực bị chặn. 2.1. Tính không chỉnh của bài toán. Ta xét bài toán trong trường hợp dãy ( )kα là các số thực phân biệt dương thỏa 2 0 1 k k k α α ∞ = = ∞ + ∑ . (2.2) Khi ñó theo nhận xét i) và ii) của ñịnh lý 1.9 thì bài toán (2.1) có nghiệm duy nhất hoặc xem phần chứng minh tính duy nhất nghiệm trong ñịnh lý 2.1. Sau ñây ta xét hai ví dụ ñể minh họa tính không chỉnh của bài toán (2.1). (Tính duy nhất nghiệm ñược thỏa nếu nghiệm tồn tại). 2.1.1.Ví dụ 1. Tồn tại nghiệm Xét bài toán (2.1) với , 0,1,2,...k k kα = = ,và ( )k kµ là dãy số thực bị chặn, thỏa 1 , 2k kµ > ∀ ∈ℕ . Giả sử ( )2 0,1u L∈ là nghiệm của bài toán. Nghĩa là 25 1 0 ( ) , 0,1,2,...k ku x x dx kµ= =∫ . Khi ñó 1 1 0 0 ( ) ( )k kk u x x dx u x x dxµ = ≤∫ ∫ ( ) ( )1 11 12 2 220 0 1( ) ,2 1ku x dx x dx u kk≤ = ∀ ∈+∫ ∫ ℕ . Nên 2 1,ku k kµ≥ + ∀ ∈ℕ . Suy ra không tồn tại ( )2 0,1u L∈ nghiệm bài toán. Ổn ñịnh Xét bài toán (2.1) với 0, , 0,1,2,...k k k kµ α= = = tức là ( )1 0 0, 0,1,2,...ku x x dx k= =∫ thì 0u ≡ là nghiệm chính xác của bài toán. Mặt khác xét bài toán (2.1) với dữ liệu nhiễu là ,k kα = , 2 , ;1n k n k n k n µ = ∈ + + ℕ thì ( ) 2nnu x nx= là nghiệm duy nhất của bài toán ( )1 20 , 0,1,2,..1 k nu x x dx k k n = = + +∫ Tuy nhiên , sup 0, n k k k nµ µ− → → ∞ . Nhưng 2 212 2 2 20 1 2 1 2 nn n n u u n x dx n →∞ − = = → +∫ . Suy ra bài toán (2.1) không thoả tính ổn ñịnh. Vậy bài toán (2.1) không chỉnh. 26 2.1.2. Ví dụ 2. Tồn tại nghiệm Ta xét bài toán (2.1) với ( )kα là dãy các số thực dương tùy ý thỏa (2.2) và dãy 1 1 2 k k µ α = + , khi ñó ( ) 1u x x = là nghiệm bài toán ( )1 0 1 , 0,1,2,...1 2 k k u x x dx kα α = = + ∫ Nhưng ( ) 2 1 0 0 1 lim lndx x δ δ →   = − = ∞    ∫ . Suy ra ( )2 0,1u L∉ . Ổn ñịnh Xét ( )kα là dãy các số thực dương thỏa (2.2). Với 0, 0,1,2,...k kµ = = ta thấy 0u ≡ là nghiệm duy nhất của bài toán 2.1. Mặt khác với dữ liệu nhiễu , 2 ,1n k k n n n µ α = ∈ + + ℕ . Khi ñó , sup 0µ µ− →n k k k khi n→ ∞ . và ( ) 2nnu x nx= là nghiệm duy nhất của bài toán nhiễu tương ứng ( )1 20 , 0,1,2,...1k k n u x x dx k n α α = = + +∫ Tuy nhiên 2 212 2 2 20 1 2 1 2 nn n n u u n x dx n →∞ − = = → +∫ . Suy ra bài toán (2.1) không thỏa tính ổn ñịnh. Vậy bài toán (2.1) không chỉnh. 27 2.2. Chỉnh hóa bằng phương pháp moment hữu hạn. Cho 0 ( ) j m m mj j x x α = =∑L C Trong ñó 1 0 0, ( 1) 2 1 ( ) m j rr mj m m j rr r j α α α α α − = = ≠ + + = + − ∏ ∏C (2.3) Nếu , 0,1,2,...k k kα = = thì ta có ña thức Legendre 0 ( ) m j m mj j L x C x = =∑ , với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ... 2 1( 1) ... 1 1 ...( )mj j j j m C m j j j j j m j + + + = + − − + − − − ( )!2 1 ! !( )!( 1)m j m j m j j m j − + = + − − 2 ( )!2 1( 1) ( !) ( )! m j m jm j m j − + = + − − . (2.4) Với mỗi dãy ( )kµ µ= , chúng ta ñịnh nghĩa dãy ( ) ( )kλ λ µ λ= = , 0 ( ) k k k j j λ λ µ µ = = =∑ kjC . ðặt 1 1 0 0 0 ( ) ( ) j n n k n n k k k k k j p p x xαµ λ λ − − = = =   = = =     ∑ ∑ ∑L kjC . (2.5) Khi ñó bài toán (2.1) tương ñương với bài toán tìm hàm 2(0,1)u L∈ thỏa 1 0 ( ) ( ) , 0,1,2,...k ku x x dx kλ= =∫ L (2.6) Chú ý (2.6) ñúng với mọi 0,1,2,...k = 28 Ký hiệu : ,n nP ρ là các toán tử chiếu trực giao tương ứng lên các không gian { }2 11, , ,..., mspan x x x − và { }0 11, ,..., nspan x x xα αα − . ðịnh lý 2.1. cho ( )kµ µ= là dãy các số thực bị chặn và ( )kα là dãy các số thực phân biệt thỏa 2 0 2 1 (2 1) 1 k k k α α ∞ = + = ∞ + + ∑ (2.7) Thì bài toán (2.1) có nhiều nhất là một nghiệm . Nghiệm ñó tồn tại khi và chỉ khi 2 2 0 0 0 k k j k k j λ µ ∞ ∞ = = =   = ∞    ∑ ∑ ∑ kjC < (2.8) với mjC như trong (2.3) nếu j k≤ . Nếu u là nghiệm của (2.1) thì 2( ) (0,1) .np u trong L khi nµ → → ∞ Hơn nữa , nếu nghiệm 1(0,1)u H∈ và lim 0 , 0 2 1 ,k kk kα α δ α→∞ = + ∀< < < (δ là hằng số), (2.9) thì với mỗi 1n δ> , ta có ( ) ( ) n np uµ ρ= và ( ) 1 1 1 32( ) 1 ( ) , 3 n n r np u F u c u q r µ − −  − ≤ − +    (2.10) trong ñó r và q là những số thực tùy ý thỏa 1 2 0 ln(3 2 2) , (3 2 2) , ( ) (1 ) '( ) .rr q e F u x x u x dxδδ − + = + = −∫> (2.11) và . là chuẩn trong 2(0,1)L . 29 Chú ý : Nếu lim 0kk α α→∞ = ≥ , chúng ta ñặt 1 4 1( ) ( ) , . 4 k k kw x u x x α β α α+= = − − Khi ñó bài toán (2.1) tương ñương với bài toán tìm 2 (0,1)Lω ∈ thỏa mãn 1 ,0 ( ) 0,1,2,...,k kw x x dx kβ µ= =∫ trong ñó 1lim 0 4kk β →∞ = − < . Chứng minh Tính duy nhất nghiệm . Giả sử ( )21 2, 0,1u u L∈ là hai nghiệm của bài toán (2.1). Nghĩa là 1 10 ( ) ,k ku x x dx kα µ= ∀ ∈∫ ℕ , 1 20 ( ) ,k ku x x dx kα µ= ∀ ∈∫ ℕ . Suy ra ( )1 2 10 ( ) ( ) 0, .ku x u x x dx kα− = ∀ ∈∫ ℕ ( )1 2 10 ( ) ( ) 0, , .ku x u x x dx k nα− = ∀ ∈∫ ℕnkC ( )1 2 10 0 ( ) ( ) 0, , .k n k u x u x x dx k nα =   − = ∀ ∈    ∑∫ ℕnkC ( ) ( )1 2 10 ( ) ( ) 0, .nu x u x x dx n− = ∀ ∈∫ ℕL Vì ( )k k Nα ∈ thỏa ñiều kiện (2.7). Do ñó theo ñịnh lý 1.9 thì hệ ( )n n∈ℕL là hệ trực chuẩn ñầy ñủ trong ( )2 0,1L và ( ) ( )22 1 0,1u u L− ∈ . 30 Do ñó ( )2 1 0 n n n u u δ ∞ = − =∑ L . Nên chúng ta có 12 2 2 1 2 10 ( ) ( ) 0u u u x u x dx− = − =∫ . Suy ra ( )2 1 0u u− ≡ h.k.n. Vậy bài toán 2.1 có nhiều nhất một nghiệm. Tồn tại nghiệm. Do tính ñầy ñủ của hệ ( )k k N∈L trong ( )2 0,1L và 2 2 0 0 0 k k j k k j λ µ ∞ ∞ = = =   = ∞    ∑ ∑ ∑ kjC < thì chuỗi ( )2 0 0,1k k k u Lλ ∞ = = ∈∑ L là nghiệm của bài toán 2.1. Ngược lại, nếu ( )2 0,1u L∈ là nghiệm của bài toán 2.1 thì do hệ ( )k k∈ℕL là hệ trực chuẩn ñầy ñủ trong ( )2 0,1L , nên chúng ta có ( ) 1 1 0 0 0 ( ) ( ) j n n k n n k k k k k j p u x xαµ ρ λ λ − − = = =   = = =     ∑ ∑ ∑L kjC , ( ) 0 0 0 ( ) j k k k k k k j u x x x αλ λ ∞ ∞ = = =   = =     ∑ ∑ ∑L kjC . Suy ra 2 2 2 0 0 0 k k j k k j u λ µ ∞ ∞ = = =   = = ∞    ∑ ∑ ∑ kjC < và ( ) 2 2 2 2 0 0 k nn n k j k n k n j p u u uµ ρ λ µ ∞ ∞ →∞ ≥ ≥ =   − = − = = →    ∑ ∑ ∑ kjC . 31 Các kết quả ñánh giá. Dưới ñây ta xét trường hợp ( )1 0,1u H∈ . Do ( ) { }0 11, ,..., nn mP u span x x xα ααρ −∈ , ta có ( ) ( )n n n mu p u u u P uµ ρ ρ− = − ≤ − ( )m m n mu P u P u P uρ≤ − + − . Do ñó, việc chứng minh phần còn lại của ñịnh lý ñược thực hiện thông qua ba bước như sau: Bước 1: a ) j j n x xρ− . b) m n mL Lρ− . c) ( )m n mP u P uρ− . Bước 2: mu P u− . Bước 3: nu uρ− . Bước 1 a) Ước lượng j j n x xρ− . Vì lim 0kk α α→∞ = < , nên ta có thể giả sử 1 , . 2 k kα− ∀< <0 Do ñó 2 1 < 1 1 k kj α α + + + và từ 0 ∀ . Chúng ta có 1 1 0 0 1 2 1 1 2 11 exp 1 12 1 2 1 n n j j k k n k kk k x x j jj j α αρ α α − − = =  + + − = − ≤ − + + + ++ +   ∏ ∑ ( )1 0 1 1 exp 2 1 2 12 1 n k kjj α − =  ≤ − + ++   ∑ . 32 Do ñó từ (2.9) suy ra 2 11 . 2 1 n j j j nx x ej δ ρ − + − ≤ + Bổ ñề 2.2 .Cho mjC là hệ số của ña thức Legendre trong (2.4) thì ( ) 0 3 2 22 3 2 2 . 2 m m mj j C pi= +≤ +∑ Chứng minh ðặt ( )20 ( )!( ) ( 1) .( !) !2 m j m j j m jP t tj m j = + = − − ∑ ( )20 0 ( )! (1 2 1)( ) 2 1( 1) ( !) ! 2 jm m j m m mj j j j m j xL x C x m j m j = = + − − = = + − ⋅ − ∑ ∑ 2 1( 1) (1 2 )m mm P x= + − − . Suy ra 0 ( 1) ( 1) 2 1 (3) . m m mj m m j C L m P = = − ⋅ − = +∑ Ta có ( )2 0 1( ) 1cos m mP x x x d pi φ φ pi = + −∫ , (là dạng tích phân của ( )mP x ). ( ) 0 1(3) 3 2 2 cos mmP d pi φ φ pi = +∫ ( ) ( ){ }201 3 2 2 cos 3 2 2 cosm m dpi φ φ φpi= + + −∫ ( )202 3 2 2 cos md pi φ φ pi ≤ +∫ . ðổi biến cost φ= ( ) ( )1 1 20 0 3 2 2 3 2 22 2(3) 11 m m m t t P dt dt ttpi pi + + ≤ ≤ − − ∫ ∫ . 33 ðổi biến 1 s t= − ( )( )1 204(3) 3 2 2 1 .mmP s dspi≤ + −∫ ðổi biến 2 2= s 3 2 2 ξ + . Chúng ta có ( )( )2 2 23 2 204 3 2 2(3) 3 2 2 3 2 22 2 m m P dξ ξ pi + +≤ + − +∫ ( ) ( )1 204 3 2 2 3 2 2 12 2 m m dξ ξ pi +≤ + −∫ . ðổi biến cosξ ϕ= . ( ) 1 2 104 3 2 2(3) 3 2 2 sin2 2 m m m P dϕ ϕ pi ++≤ + ∫ . (2.12) Xét tích phân 2 0 sin , 1.n n I d n pi ϕ ϕ= ≥∫ ( )1 2 222 0 0 cos sin 1 sin cosn nn d pipi ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− −= − + − ∫ ( ) ( ) ( ) ( )2 22 201 sin 1 sin 1 1n n nn d n I n I pi ϕ ϕ ϕ− − = − − = − − −∫ . ( ) ( ) ( )2 4 1 31 ... 2n n n n nnI I I n n n − − − − − = = = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 2 1 2 3 ...3.1 2 1 2 3 ...3.1 2 2 2 ...4.2 2 2 2 ...4.2 2k k k k k I I k k k k pi− − − − = = ⋅ − − , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 2 2 4 ...4.2 2 2 2 4 ...4.2 . 2 1 2 3 ...3.1 2 1 2 3 ...3.1k k k k k I I k k k k− − − − − = = − − − − Suy ra 1 , 1.2n n I I n n pi − = ∀ ≥ Ta lại có 34 12 2 1 0 0 sin sin .n n n n I d d I pi pi ϕ ϕ ϕ ϕ− − = ≥ =∫ ∫ Nên 2 1 2 2n n n n I I I I n n pi pi − ≤ = ⇒ ≤ . (2.13) Từ (2.12) và (2.13) ta ñược ( ) ( )4 3 2 2(3) 3 2 2 2 2 12 2 m mP m pi pi +≤ + + ( )3 2 2 12 3 2 2 .2 2 1 m mpi + = + + Suy ra ( ) 0 3 2 22 1 (3) 2 3 2 2 2 m m mj m j C m P pi= + = + ≤ +∑ . (2.14) b) Ước lượng m n mL Lρ− . 1 0 0 0 , m n m j j n n n mj mj k k j k j L C x C xρ ρ − = = =   = = 〈 〉    ∑ ∑ ∑ L L 1 1 0 0 0 0 0 , , . m n m n m j j j mj k k mj k k mj n j k j k j C x C x C xρ − − = = = = = = 〈 〉 = 〈 〉 =∑∑ ∑ ∑ ∑L L L L Ta có ( ) 2 2 2 0 0 0 m m m j j j j m n m mj mj n mj n j j j L L C x C x C x xρ ρ ρ = = = − = − = −∑ ∑ ∑ 22 2 1 0 0 1 2 1 nm m j j j mj n mj j j C x x C ej δ ρ − + = =     ≤ − ≤    +     ∑ ∑ 2 2 2 1 00 1 max . 2 1 nm j mj j mj C ej δ− + ≤ ≤ =   ≤   +  ∑ ( ) 22 2 1 0 3 2 2 14 3 2 2 max . 2 12 n m j j m ej δ pi − + ≤ ≤  +≤ +  +  (2.15) 35 Chú ý ( ) 21 ,1 2 1. n tf t e t m t δ− = ≤ ≤ + ( ) 2 2 ' 2 2 1 1 2n nt t nf t e e t t t δ δ δ− − = − + ⋅ 2 2 1 2 1 > 0, 0 < t < 2n n t ne t t δ δ δ −   = −    . Do ñó f la hàm tăng trên ( ]0,2nδ . 2 2 1 0 1 1 max , : 2 1 2 , > . 2 1 n m j m f e m m n n m δ δ δ − + ≤ ≤ = ∀ + ≤ + (2.16) Từ (2.15) và (2.16) ta suy ra ( ) 2 13 2 2 12 3 2 2 ,2 2 1 n m m m n mL L e m δ ρ pi − + + − ≤ + + (2.17) 1 :2 1 2 , > .m m n nδ δ∀ + ≤ c) Ước lượng ( )m n mP u P uρ− . ðặt 1 0 m m j j j P u a L − = =∑ , với 1 0 , ( ) ( )j j ja u L u x L x dx= 〈 〉 = ∫ và mP u là ảnh của phép chiếu trực giao của u lên { }2 11, , ,..., mspan x x x − . Chúng ta có ( ) ( )( ) 2 2 1 1 12 0 0 0 m m m m n m j j n j j j j n j j j j P u P u a L a L a L Lρ ρ ρ − − − = = =   − = − = −    ∑ ∑ ∑ ( )( ) ( )( )1 1 12 22 2 0 0 0 . m m m j j n j j n j j j j a L L u L Lρ ρ − − − = = =   ≤ ⋅ − ≤ −    ∑ ∑ ∑ Kết hợp với (2.17) suy ra 36 ( ) ( )12 2 0m n m m n m P u P u P u P u dxρ ρ− = −∫ ( )( ) ( )1 1 2212 20 0 0 m m j n j j n j j j u L L dx u L Lρ ρ − − = = ≤ − = −∑ ∑∫ ( ) ( )2 22 2 14 3 2 2 3 2 2 . 2 12 m n m m u e m δ pi − + + + ≤ ⋅ + (2.18) Bước 2 : Ước lượng ( )mu P u− Bổ ñề 2.3 ( ) ( )1mu P u F u m − ≤ . Với ( )F u như trong (2.11). Chứng minh ðặt 1 0 ( ) ( ) , 0,1,2,...k kl u x L x dx k= =∫ Do hệ ña thức Legendre { }kL là hệ trực chuẩn ñầy ñủ trong ( )2 0,1L , nên 1 0 0 , m m k k k k k k P u l L u l L − ∞ = = = =∑ ∑ và 2 2 0 ,k k u l ∞ = =∑ ( ) 2 212 2 0 0 . m m k k k k k k k k k k m k m u P u l L l L l L l ∞ − ∞ ∞ = = = = − = − = =∑ ∑ ∑ ∑ (2.19) Và từ tính chất của nP ( ) ( ) ( ) ( )'2 '1 1 0.m mt P t m m P t − + + =  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 2 "2 1 1 0m m mt P t t P t m m P t− ⋅ + − + + = . (2.20) ðổi biến 1 2t x= − . (2.21) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 1 2 1 .m mm m mL x m P x m P t= − + ⋅ − = − + ⋅ (2.22) 37 ( ) ( ) ( )' '1 1 2 1 . 2 m m mL x m P t   − = − + ⋅    (2.23) ( ) ( ) ( )" "1 1 2 1 . 4 m m mL x m P t   = − + ⋅    (2.24) Thế (2.21)-(2.24) vào (2.20) ta ñược ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' "1 2 1 1 0m m mx L x x x L x m m L x− + − + + = ( ) ( ) ( ) ( )''1 1 0 .m mx x L x m m L x − + + =  (2.25) Do ñó ( ) ( ) ( ) ( )1 12' ' ' 0 0 0 1 ( ) 1 ( ) k k k F u x x u x dx x x u x l L x dx ∞ =   = − = −     ∑∫ ∫ ( ) ( )( )1 ' ' 0 0 1 ( )k k k l x x L x u x dx ∞ =   = −    ∑∫ . ðặt ( ) ( ) ( )2'1 ( ) , 0,1G x x x u x x= − ∀ ∈ , ( ) ( ) ( )' ' 0 1 ( ) , 0,1,2,... k k j j j G x x x u x l L x k =   = − =    ∑ thì ( )1 0,1u H∀ ∈ thỏa i) ( ) ( ) , . .kkG x G x h k n→∞→ trên ( )0,1 . ii) ( ) ( )< , . .kG x G x h k n trên ( )0,1 , với k∀ ∈ℕ . Mà ( ) ( )1 1 2 2' 0 0 11 ( ) ' 4 G x dx x x u x dx u= − ≤∫ ∫ . Suy ra G khả tích. Theo ñịnh lí hội tụ bị chặn, ( )1 0,1u H∈ và (2.25) ta có ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1' ' ' ' 0 0 0 0 1 ( ) 1 ( )k k k k k k l x x L x u x dx l x x L x u x dx ∞ ∞ = =   − = −    ∑ ∑∫ ∫ ( ) ( )( )1 '' 0 0 1 ( )k k k l x x L x u x dx ∞ = = − −∑ ∫ ( ) ( ) 1 0 0 1 ( )k k k l k k L x u x dx ∞ = = +∑ ∫ 38 ( ) ( ) ( )1 0 0 0 1k m m k k m l k k l L x L x dx ∞ ∞ = = = +∑ ∑∫ ( ) ( )2 1 0 1 , 0,1 .k k k k l u H ∞ = = + ∀ ∈∑ Suy ra ( ) ( ) ( )2 1 0 1 , 0,1 .k k F u k k l u H ∞ = = + ∀ ∈∑ Vì vậy ( ) ( )2 2 2 2 21k k k k m k m k m m l k l k k l F u ∞ ∞ ∞ = = = ≤ ≤ + ≤∑ ∑ ∑ . Kết hợp với (2.18) ( ) ( )2 21 .mu P u F u m − ≤ Bước 3: Ước lượng nu uρ− Vì ( ) { }0 11, ,..., nn mP u span x x xα ααρ −∈ . Nên từ bổ ñề 2.3 và ( 2.18 ) ta có ( ) ( ) ( )n n m m m n mu u u P u u P u P u P uρ ρ ρ− ≤ − ≤ − + − ( ) ( ) ( ) 2 13 2 21 2 3 2 22 12 n m m mF u u e m m δ pi − + + ≤ + ⋅ + + , (2.26) 1 :2 1 2 , > .m m n nδ δ∀ + ≤ (2.27) Với m thỏa (2.27) . Chọn r thỏa ( ) ( ) ln 3 2 2 1 < < 2 1 n r m mδ + ≤ + , ( )k0 < < 2 1 < 1δ α + . ðặt ( )3 2 2 < 1rq e δ−= + và ( )3 2 22 2c pi + = . 39 Thì ( )1 mnu u F u c u q m ρ− ≤ + , với mọi ,m n thỏa ( ) ( ) 1 ln 3 2 2 n rm m r δ ≥ +   +  >  . Ví dụ chọn 3 n m r   =     là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn 3 n r , và n ñủ lớn thì ta có ( ) ( ) ( ) 1 1 31 . 3 n n r n n u p u u F u c u q r µ ρ − −  − = − ≤ − +    Trong ñịnh lý 2.1 ở trên kết quả (2.10) ñạt ñược trong trường hợp bài toán 2.1 tồn tại nghiệm. Trong trường hợp dữ liệu không chính xác thì 2 2 0 0 0 k k kj j k k j λ µ ∞ ∞ = = =   =     ∑ ∑ ∑C chưa chắc hữu hạn, nên bài toán có thể vô nghiệm. Khi ñó ñịnh lý sau ñây cho ta một ước lượng hữu ích trong trường hợp này. ðịnh lý 2.4 ðặt 2 1 0 0 max , n k n kj k j A n − = =     =        ∑ ∑ C , và f là một hàm số tăng ngặt thỏa ( ) ( ) [ ]1 1( ) 1 , , 1 .n n n nf t A A t n A nA t n n+ += − + + − ∀ ∈ + Cho ( )20 0,1u L∈ là nghiệm duy nhất của bài toán (2.1) tương ứng với dữ liệu chính xác ( )0 0kµ µ= . Với mỗi 0ε > , ñặt ( ) ( )1 1n fε ε− − =   . Với [ ]x là số nguyên lớn nhất không lớn hơn x . 40 Thì tồn tại một hàm ( )η ε sao cho ( ) 0 0εη ε →→ và mọi dãy ( )µ thỏa 0 0 , sup kl kl k l µ µ µ µ ε ∞ − = − < . Khi ñó ta có ( ) ( )0np uµ η ε− < . Hơn nữa, nếu ( )10 0,1u H∈ và ( )k kα ∈ℕ thỏa (2.9) trong ñịnh lý 2.1, thì ( ) ( ) ( ) ( )1 1 3 0 0 013 n n r n p u F u c u q r εεµ ε − −   − ≤ + − +      , (2.28) với ,F q và r như trong (2.11). Chứng minh Do hệ { }k k∈ℕL là hệ trực chuẩn ñầy ñủ trong ( )2 0,1L , nên ta có ( ) ( ) 2 2 20 0 0 0 0 k n k kj j k n k n j p uµ λ µ µ ∞ ∞ ≥ ≥ =   − = =     ∑ ∑ ∑C . (2.29) Ta cũng có ( ) ( ) ( ) ( )( )10 0 0 n n n k k k k p pµ µ λ µ λ µ − = − = − ⋅∑ L ( )1 0 0 0 n k kj j j k k j µ µ − = =   = − ⋅    ∑ ∑ LC . Do ñó ( ) ( ) ( ) 2120 0 0 0 n k n n kj j j k j p pµ µ µ µ − = =   − = −    ∑ ∑C . Theo giả thiết 2 1 0 0 0 , max , n k n kj k j A nµ µ ε − ∞ = =     − < =        ∑ ∑ C . Nên 41 ( ) ( ) 2120 2 2 0 0 n k n n kj n k j p p Aµ µ ε ε − = =   − ≤ ≤    ∑ ∑C . Mặt khác ( ) ( ) ( )1 11n n n n nf n A A n n A nA A+ += − + + − = , và f là song ánh, là hàm tăng ngặt trên ( )0,∞ nên tồn tại 1f − , và lấy ( ) 1 1n fε ε −    =      , ta ñược ( ) ( ) ( )20 2 2n n np p A f nµ µ ε ε− ≤ = ( )( ) ( )( )2 2 1 1f n f fε ε ε ε ε− −≤ = = . (2.30) ðặt ( ) ( ) 1 2 2 0 k kj k n jε η ε ε ∞ ≥ =     = +        ∑ ∑ C , Do ñó từ (2.29)-(2.30) ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 00 0n n n np u p p p uε ε ε εµ µ µ µ− = − + − (2.31) ( ) ( ) 1 2 2 0 k kj k n jε ε η ε ∞ ≥ =    ≤ + =       ∑ ∑ C . Khi 0ε → thì ( )( )1 1 1f f ε ε − − = → ∞ và do f là hàm tăng ngặt, liên tục trên ( )0,∞ . Nên ( )1 1f ε− − → ∞ suy ra ( )n ε → ∞ . Mặt khác do (2.8) suy ra ( ) 2 0 0 0 k kj k n j ε ε ∞ → ≥ =   →    ∑ ∑ C . ( ) ( ) ( ) 00 0np uε εµ η ε →− ≤ → . 42 Hơn nữa, nếu ( )10 0,1u H∈ và kết hợp với (2.9) trong ñịnh lý 2.1 ñược thỏa, thì theo ñịnh lý 2.1 ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 10 3 0 0 013 n n r n p u F u c u q r ε ε εµ − −   − ≤ − +      . (2.32) với ,F q và r như trong (2.11). Khi ñó kết hợp với (2.30), (2.31) và (2.32) suy ra ( ) ( ) ( ) ( )1 1 3 0 0 013 n n r n p u F u c u q r εεµ ε − −   − ≤ + − +      . 43 Chương 3 BÀI TOÁN MOMENT TỪ BIẾN ðỔI LAPLACE Trong chương này, chúng tôi xét bài toán xấp xỉ ( )20 0,u L∈ ∞ thỏa ( ) 00 0 , 0,1,2,...k x ku x e dx k β µ ∞ − = =∫ (3.1) trong ñó ( )kβ là dãy số thực rời nhau. Bài toán (3.1) là biến ñổi Laplace của hàm u , xác ñịnh tại từng ñiểm ( )0,1,2,...β =k k rời rạc. Là bài toán không chỉnh (mục 1.5 chương 1). Ta có thể ñưa bài toán (3.1) về bài toán (2.1) và thu ñược kết quả tương tự như sau ðặt xs e−= và ( ) ( )( )0 0 lnw s u s= − . Thì ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 0 0ln , . kk kx x u x u s w s e e s ββ β− −  = − =  = = Từ (3.1) ta có ( ) ( )1 00 00 0k kx ku x e dx w s s dsβ α µ ∞ − = =∫ ∫ , với 1, 0,1,2,...k k kα β= − = và chú ý rằng ( ) ( )1 2 20 00 0 xw s ds u x e dx ∞ − =∫ ∫ . Do ( )20 0,u L∈ ∞ ( ) ( )2 22 20 0 0 00 0xw u x e dx u x dx u ∞ ∞ − = ≤ = < ∞∫ ∫ . Nên ( )20 0,1w L∈ . Vậy bài toán (3.1) trở thành bài toán xấp xỉ ( )20 0,1w L∈ thỏa 44 ( )1 000 , 0,1,2,...k kw s s ds kα µ= =∫ (3.2) Từ kết quả trên cho ta thấy tính không chỉnh của bài toán (3.1) ñược rõ hơn. Suy ra từ tính không chỉnh của bài toán (3.2) ñã ñề cập trong mục 2.1 của chương 2. ðịnh lý 3.1 Cho ( )20 0,u L∈ ∞ là nghiệm của bài toán ứng với ( )0 0 2k lµ µ= ∈ và ( )kβ thỏa 1 , 2k β > và ( )20 2 1 , 2 1 1 k k k kββ ∞ = − = ∞ ∀ ∈ − + ∑ ℕ . Nghĩa là 1, 0,1,2,...k k kα β= − = thỏa ñiều kiện (2.7) trong ñịnh lý 2.1. Với ( )n ε như trong ñịnh lý 2.4 và ( )np µ như trong (2.9). Ta ñặt ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n xx p eε εµ µ −=∏ . Khi ñó, tồn tại một hàm ( )η ε sao cho ( ) 0 0εη ε →→ và mọi dãy ( )µ thỏa 0 0 , sup kl kl k l µ µ µ µ ε ∞ − = − < . Chúng ta có ( )( ) ( )0n uε ρ µ η ε− ≤∏ , trong ñó ( )( )12 20 xh h x e dxρ ∞ −= ∫ . Hơn nữa, nếu ( )10 0,u H∈ ∞ và dãy ( ) , 1k k kα α β= − thỏa ñiều kiện (2.7) và (2.9) trong ñịnh lý 2.1, thì ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 3 0 0 013 n n r n u u c u q r ε ε ρ εµ ε − −    − ≤ + − Φ +     ∏ , trong ñó ( ) ( ) 2'0 00 1 xu e u dx∞ −Φ = −∫ , r và q như trong (2.11). 45 Chứng minh ðổi biến ( ) ( )( ) ( )0 0 0, lnxs e u x u s w s−= = − = . và chú ý rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 210 00n np w p s w s dsε εµ µ− = −∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 200 n x xp e u x e dxε µ∞ − −= −∫ ( )( ) 20n uε ρ µ= −∏ . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2' '0 0 00 01 1 xF w s s w s ds e u dx u∞ −= − = − = Φ∫ ∫ . Trong ñó ( )( )12 20 xh h x e dxρ ∞ −= ∫ là một chuẩn. Vì thỏa ñịnh nghĩa về chuẩn, ( )2, 0,h g L∀ ∈ ∞ và Rλ∀ ∈ , ta có i) ( )12 20 0xh h e dxρ ∞ −= ≥∫ , và 0 0h hρ = ⇔ = . ii) ( ) ( ) 22 0 xh g h x g x e dxρ ∞ −+ = +∫ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 0 0 0 2x x xh x e dx g x e dx h x g x e dx ∞ ∞ ∞ − − − = + +∫ ∫ ∫ ( )( ) ( )( )1 12 22 2 2 20 0x xh g h x e dx g x e dxρ ρ ∞ ∞− −≤ + + ⋅∫ ∫ ( )22 2 2h g h g h gρ ρ ρ ρ ρ ρ= + + ⋅ = + . iii) ( )( ) ( )( )1 12 22 20 0x xh h x e dx h x e dx hρ ρλ λ λ λ∞ ∞− −= = =∫ ∫ . Do ñó chứng minh của ñịnh lý này giống như chứng minh ñịnh lý 2.4. 46 Chương 4 VÍ DỤ SỐ Trong chương này, ta trình bày chi tiết cách tính số một bài toán cụ thể cho bài toán 2.1 của chương 2. Cho dữ liệu 1 1 4 3k k α = − + và ( )3 41 , 0,1,2,... 3 8 35k k k k k µ α + = = = + + Xét bài toán (2.1) ta thấy ( ) ( )2 2 0,1u x x L= ∈ là nghiệm chính xác của bài toán. Và nghiệm xấp xỉ ( )np µ theo phương pháp moment của bài toán ñược xây dựng như sau: Bước 1. Tính các hệ số của ña thức Munzt thứ m là , ;k m m≤ ∈ℕmkC . 0m = 1m = 2m = 3m = 4m = 47 5m = 6m = 7m = ; 8m = 9m = 48 10m = Các hệ số của ña thức Munzt tiếp theo ñược tính tương tự. Bước 2. Tính , 0,1,2,... m mλ = Theo công thức 0 ( ) m m m j j j λ λ µ µ = = =∑ mC . Ta ñược 49 Bước 3. Tính hệ các ña thức Munzt ( )m m∈ℕL .Theo công thức 0 ( ) , 0,1,2,...k m m mk k x x m α = = =∑L C Ta ñược 50 51 Bước 4. Nghiệm xấp xỉ và sai số so với nghiệm chính xác. Sau ñây ta minh họa kết quả với 5,6,7,10n = . ( ) 25p uµ − = ( ) 26p uµ − = 52 ( ) 27p uµ − = ( ) 210p uµ − = Bây giờ ta nhiễu dữ liệu kµ một lượng 10 -5 như sau ( ) 510 , 0,1,2,...mk k kµ µ −= + = với 1 100000 mµ µ ∞ − = , thì ta ñược nghiệm xấp xỉ tương ứng là ( )( )mnp µ . Sau ñây bằng cách tính tương tự như trên. Ta ñược ( ) 25 mp uµ − = 53 ( ) 26 mp uµ − = = ( ) 27 mp uµ − = ( ) 210 mp uµ − = Thuật toán tính số của bài toán (3.1) ñược thực hiện tương tự. 54 Chương 5 KẾT LUẬN Luận văn sử dụng phương pháp moment hữu hạn: sử dụng hệ các ña thức Muntz ñể chính quy bài toán (0.1), cho kết quả ñánh giá sai số giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác. Phương pháp này không những cho ta cách tính số dễ dàng cho bài toán (0.1) và (0.4). Phần chính của luận văn là ñi vào chứng minh chi tiết các kết quả ñã công bố trong [18] và có thêm phần tính số ñể minh họa cho phương pháp moment. Kết quả chính của luận văn nằm trong chương 2,chương 3 và chương 4. Ở chương 2, chúng tôi sử dụng ña thức Muntz và phép chiếu trực giao ñể xây dựng nghiệm xấp xỉ cho bài toán (0.4) và sai số ñánh giá. Cũng trong chương 2, chúng tôi cũng ñã chỉ ra ñiều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán (0.4). Chương 3 là chứng minh sự liên hệ của hai bài toán (0.1) và bài toán (0.4). Chương 4 thông qua phần tính số, cho thấy phương pháp sử dụng trong luận văn là khả thi. Do thời gian thực hiện luận văn có hạn nên chúng tôi không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong quý thầy cô cùng các bạn học viên cho những ý kiến, góp ý cho luận văn. 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] ðặng ðình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân (2001), Biến ñổi tích phân, NXB Giáo Dục. [2] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích hàm, NXB Giáo Dục. [3] TS Nguyễn Thành Long, Giải tích số. [4] Võ ðăng Thảo (2005), Hàm biến phức và toán tử laplace, NXB ðại Học Quốc Gia TPHCM. [5] PGS.TS ðặng ðức Trọng, Giải tích thực. [6] Hoàng Tụy (2002), Hàm thực và Giải tích hàm, NXB ðại Học Quốc Gia Hà Nội, Hà nội. [7] Trần ðức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân ñạo hàm riêng, NXB ðại Học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội. Tiếng Anh [8] Al-Shuaibi (1997), A., A regularization method for approximating the inverse Laplace transform, Approx. Theory Appl. (N.S.) 13 , no 1 ,58-65. [9] Amano, K., Saitoh,S. and Yamamoto,M.(2000), Error estimates of the real inversion formulas of the Laplace transform, Integral Transforms and Special Functions 10, pp.165-178. [10] D.D.Ang, R.Gorenflo and D.D.Trong (1999), A multidimensional Hausdorff moment problem: regularization by finite moments, Z.Anal. Anwendungen 18, No. 1, 13-25. [11] D.D.Ang, R.Gorenflo, L.K.Vy and D.D.Trong (2002), Moment theory and some inverse problem potential theory and heat conduction, Springer - Verlag, Berlin – Heidelberg. 56 [12] Ang, D.D., Lund,J. and Stenger, F.(1989), Comlex variables and regularizatoin method of inversion of the Laplace transform, Math. Computation 54, No 188, pp.589-608. [13] Andreas Kirsch (1997), An introduction to the Mathematical theory of inverse problem, Springer-Verlag. [14] Borwein,P. and Erdélyi,T. (1995), Polynomials and polynomial inequalities, Springer - Verlag, Berlin - Heidelberg. [15] Boumenir,A. and Al-Shuaibi,A.(1998), The inverse Laplace transform and analytic pseudo-differential operators, J.Math. Anal. Appl. 288, no.1, pp.16-36. [16] Byun,D.-W. and Saitoh,S.(1993), A real inversion formula for the Laplace transform, Z. Anal. Anwendungen 12, 597-603. [17] paul DuChateau, David W. Zachmann (1986), Theory and problem of partial differential equations, MaGraw-Hill. [18] Nguyen Dung, Nguyen Vu Huy, Pham Hoang Quan and D.D.Trong (2006), A Hausdorff - like problem and the inversion of the Laplace transform, Math. Nachr.279, No. 11,1147-1158. [19] Nguyen Vu Huy and D.D.Trong (2004), A Hausdorff moment problems with non – integer power: Approximation by finite moments, Vietnam J.math.32:4, 371-377. [20] Lien, T.N.,Trong, D.D. and Alain Pham Ngoc Dinh (2007), Laguerre polynomials and the inverse Laplace transform using discrete data, Math. AP. [21] Saitoh, S.(1997), Integral transforms, Reproducing kernels and their Application, Pitman, Res. Notes in Math. Series, Addison Wesley Longman Ltd., U.K.. [22] Saitoh, S., Vu Kim Tuan, Yamamoto, M.(2001), Conditional stability of a real inverse formulas for the Laplace transform, Z. Anw. 20, pp. 193-202. [23] Serge Lang (1968), Analysis I, Columbia University, New York, New York. [24] Talenti, G.(1987), Recovering a function from a finite number of moments, Inverse Problem 3, pp. 501-517. [25] Widder, D.V.(1946), The Laplace transform, Princeton University Press.