Luận văn Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học giải bài tập hình học

ng mµ c¸ch dùng ë trªn chØ lµ mét c¸ch. Ta cßn cã thÓ dùng theo c¸c c¸ch sau: - Coi c¹nh AD lµ dùng ®­îc, ta dùng BC//AD vµ sau khi ®Æt trªn nã ®¸y nhá ta nèi ®iÓm C t×m ®­îc víi ®iÓm D Khi ®ã ta ph¶i chøng minh r»ng: CD = BD' - Coi C lµ giao ®iÓm cña hai cung t©m D, b¸n kÝnh DC = d vµ t©m B b¸n kÝnh BC = b th× trong hai giao ®iÓm C vµ C1 chØ cã C lµ ®iÓm ph¶i t×m, v× ta cßn ph¶i chøng minh BC // AD hoÆc CD // BD'. - NÕu dùng ®­êng th¼ng qua B song song víi AD vµ ®Æt BC2 vÒ bªn tr¸i th× ®iÓm C2 sÏ kh«ng thÝch hîp vµ chØ cã ®iÓm C lµ ®iÓm ph¶i t×m. Bµi to¸n 3: Dùng h×nh b×nh hµnh ABCD biÕt mét c¹nh AB = a, tæng hai ®­êng chÐo AC + BD = d vµ gãc t¹o bëi hai ®­êng chÐo b»ng a. - Ph©n tÝch: Gi¶ sö ABCD lµ h×nh b×nh hµnh ®· dùng ®­îc . Trong ®ã O lµ giao ®iÓm hai ®­êng chÐo vµ . Ta cã . DAOB cã thÓ dùng ®­îc ngay v× viÕt mét gãc xen gi÷a hai c¹nh. Tõ ®ã x¸c ®Þnh tiÕp c¸c ®Ønh C vµ D cßn l¹i cña h×nh b×nh hµnh. - C¸ch dùng: Dùng DAEB biÕt hai c¹nh EA =, AB = a, vµ gãc ®èi víi c¹nh a b»ng . + Dùng ®iÓm O trªn c¹nh AE b»ng c¸ch dùng tia Bx sao cho , c¾t AE t¹i O. + Trªn Ox dùng ®iÓm D sao cho OD = OB, råi trªn AE kÐo dµi lÊy ®iÓm C sao cho OC = OA. Nèi AD, DC, CB ta ®­îc h×nh b×nh hµnh ABCD cÇn dùng. - Chøng minh: + V× OE = OB nªn OA + OB = OA +OE = AE = mµ OC ≠ OD = OA + OB = nªn AC +BD = d. Tø gi¸c ABCD cã hai ®­êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm O cña mçi ®­êng nªn lµ h×nh b×nh hµnh mµ mét c¹nh AB = a. Ngoµi ra (gãc ngoµi cña DOEB) b»ng a. VËy h×nh b×nh hµnh ABCD võa dùng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Ò bµi. - BiÖn luËn: NÕu th× bµi to¸n kh«ng cã nghiÖm h×nh - NÕu th× sau khi dùng ®­îc AE vµ gãc AEB, cung trßn t©m A b¸n kÝnh a cã thÓ kh«ng gÆp EB hoÆc cã thÓ gÆp EB t¹i mét ®iÓm hoÆc c¾t nhau t¹i hai ®iÓm. Do ®ã bµi to¸n cã khi v« nghiÖm, cã khi cã mét hoÆc hai nghiÖm h×nh. - Chó ý: 1) NÕu víi bµi to¸n trªn ta thÊy tæng hai ®­êng chÐo b»ng hiÖu hai ®­êng chÐo lµ AC - BD = h th× c¸ch gi¶i sÏ nh­ sau: - §Æt trªn ®o¹n OA mét ®o¹n OF = OB - Dùng DAFB biÕt hai c¹nh AB = a, vµ gãc ®èi víi c¹nh AB lµ (V× ) -T¹i B dùng gãc FBC b»ng gãc F1 tøc b»ng ®Ó ®­îc DAOB. Tõ ®ã bæ sung cho thµnh h×nh b×nh hµnh ABCD b»ng nhiÒu c¸ch kh¸c nhau. 2) Ngoµi ra cã thÓ gi¶i thªm bµi to¸n sau: "Dùng h×nh b×nh hµnh biÕt hai ®­êng chÐo vµ mét gãc" Gi¶ sö ph¶i dùng h×nh b×nh hµnh ABCD biÕt hai ®­êng chÐo AC = p vµ BD = q vµ gãc nhän t¹i A b»ng a. Ta chØ cÇn dùng DABD biÕt gãc A b»ng a, c¹nh BD = q vµ trung tuyÕn . Dùng ®­îc tam gi¸c nµy chØ cÇn bæ sung nã cho thµnh h×nh b×nh hµnh ABCD. Nh­ vËy, ta ®· quy viÖc gi¶i bµi to¸n nµy vÒ viÖc "dùng mét tam gi¸c biÕt ®¸y, trung tuyÕn vµ gãc ë ®Ønh" Bµi to¸n 4: Dùng tø gi¸c ABCD biÕt hai c¹nh ®èi AD = a, BC =b, c¸c gãc vµ ®o¹n EF nèi trung ®iÓm hai c¹nh ®èi AD, BC. - Ph©n tÝch: Gi¶ sö ABCD lµ tø gi¸c ®· dùng ®­îc. NÕu dêi chæ song song AD ®Õn CG, AC ®Õn BH th× ba tø gi¸c ACGD, ABHC vµ DBHG ®Òu lµ h×nh b×nh hµnh. C¸c gãc . Nh­ vËy DCGB dùng ®­îc ngay (BiÕt hai c¹nh vµ mét gãc). Tõ ®ã dùng ®­îc cx. Ngoµi ra cã thÓ x¸c ®Þnh ®­îc vÞ trÝ trung ®iÓm M cña BG vÞ trÝ cña H n»m trªn cx v× F lµ trung ®iÓm cña AH vµ cña BC (giao ®iÓm cña hai ®­êng chÐo). EF = DH = MH = m. X¸c ®Þnh ®­îc vÞ trÝ cña D th× dùng ®­îc ngay ®Ønh A. - C¸ch dùng: DCGB biÕt hai c¹nh CG = a, CB = b, vµ . - Tõ trung ®iÓm M cña BG lÊy lµm t©m dùng cung trßn b¸n kÝnh m c¾t cx t¹i H. - Nèi HM vµ kÐo dµi ®Õn D sao cho MD = m. - Tõ D dùng DA song song vµ b»ng GC. - Tø gi¸c ABCD chÝnh lµ tø gi¸c cÇn dùng. -Bµi to¸n cã mét nghiÖm h×nh + Chó ý: Cã thÓ gi¶i thªm bµi to¸n sau ®©y. "Dùng tam gi¸c ABC biÕt hai c¹nh AB = a, BC = b vµ ba gãc A,B, gãc M gi÷a hai ®­êng chÐo". C¸ch dùng nh­ sau: - Dùng DABC trong ®ã gãc B b»ng gãc ®· cho, AB = a, BC = b. - Dùng t¹i C mét gãc ACx b»ng gãc M ®· cho vµ dùng By// (cx). - Dïng A lµm ®Ønh vµ AB lµm mét c¹nh dùng mét gãc b»ng gãc A ®· cho, c¹nh kia ®· c¾t By t¹i D. Tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c ph¶i dùng. Bµi to¸n cã mét nghiÖm h×nh. *) Bµi tËp tù gi¶i. Bµi 1: Cho hai ®­êng th¼ng a vµ b c¾t bëi ®­êng th¼ng thø ba. Dùng mét ®o¹n th¼ng AB = m sao cho AB//C vµ hai ®Çu mót A vµ B lÇn l­ît n»m trªn hai ®­êng th¼ng a vµ b. Bµi 2: Cho mét ®­êng th¼ng P vµ hai ®iÓm A, B cïng n»m mét phÝa cña p. H·y t×m trªn P hai ®iÓm P vµ Q sao cho PQ = a cho tr­íc vµ AP = BQ. Bµi 3: Dùng tø gi¸c ABCD biÕt hai c¹nh ®èi AD = a, BC = b vµ gãc = ; ; . 2.1.9. Dùng ®­êng trßn. Bµi to¸n 1: Dùng ®­êng trßn néi tiÕp trong mét tam gi¸c cho tr­íc. - Ph©n tÝch: Gi¶ sö DABC lµ tam gi¸c cho tr­íc vµ O lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ®ã, tiÕp xóc c¹nh AB t¹i M. O a Ta cã OM AB , v× O c¸ch ®Òu ba c¹nh cña tam gi¸c nªn OA, OB, OC lµ c¸c tia ph©n gi¸c trong cña c¸c gãc cña DABC. - C¸ch dùng: - Tr­íc hÕt dùng c¸c tia ph©n gi¸c cña hai gãc bÊt kú cña D ®· cho råi lÊy giao ®iÓm O cña chóng. - Qua O dùng ®­êng vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng AB. ®­îc ®iÓm M lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc nµy. - Dùng ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh OM. Chøng minh: §­êng th¼ng AB tiÕp xóc víi ®­êng trßn (.) v× nã vu«ng gãc b¸n kÝnh OM. T©m O l¹i c¸ch ®Òu ba c¹nh cña D, (V× O lµ giao ®iÓm cña c¸c tam gi¸c trong cña D nªn OM = ON = OP). Do ®ã c¸c ®­êng th¼ng AC vµ BC theo thø tù vu«ng gãc víi c¸c b¸n kÝnh cña ON vµ OP t¹i ®Çu mót cña chóng; suy ra mçi ®­êng th¼ng trªn tiÕp xóc víi ®­êng trßn (O). VËy (O, OM) lµ ®­êng trßn ph¶i dùng. - BiÖn luËn; Bµi to¸n cã mét nghiÖm h×nh. Chó ý: Cã thÓ gi¶i bµi to¸n t­¬ng nh­ sau: "Dùng ®­êng trßn ngo¹i tiÕp 1 tam gi¸c cho tr­íc". T©m M cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ph¶i c¸ch ®Òu 3 ®Ønh cña D. nªn M lµ giao ®iÓm ba ®­êng trung trùc cña D ®· cho. NÕu lµ : "Dùng ®­êng trßn bµng tiÕp cña 1 tam gi¸c cho tr­íc" th× ta cã thÓ t×m t©m lµ giao ®iÓm cña ph©n gi¸c trong 1gãc vµ ph©n gi¸c ngoµi cña hai gãc cßn l¹i. Ta dùng ®­îc ba ®­êng trßn bµng tiÕp cña D. Bµi to¸n 2: Dùng mét ®­êng trßn tiÕp xóc víi mét ®­êng trßn cho tr­íc t¹i mét ®iÓm cho tr­íc thuéc ®­êng trßn ®ã vµ tiÕp xóc víi mét ®­êng th¼ng cho tr­íc. - Ph©n tÝch: Gi¶ sö ®­êng trßn (O) ®· dùng ®­îc qua ®iÓm M trªn ®­êng trßn (I) cho tr­íc vµ ®ång thêi tiÕp xóc víi (I) vµ víi ®­êng th¼ng d cho tr­íc. T©m O ph¶i n»m trªn ®­êng th¼ng IM. Hai ®­êng trßn t©m (O) vµ (I) ph¶i cã chung mét tiÕp tuyÕn MT qua M nªn O l¹i ph¶i n»m trªn ph©n gi¸c ®i qua giao ®iÓm P cña d vµ Mt. + C¸ch dùng: - Dùng tia IM. - Qua M dùng tiÕp tuyÕn MT cña (I) c¾t t¹i P. - Dùng ph©n gi¸c cña gãc c¾t tia IM t¹i O. - Dùng ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh OM. §ã chÝnh lµ ®­êng trßn ph¶i dùng. + Chøng minh: - Ta cã OQ d. V× OQ = OM (O n»m trªn ph©n gi¸c gãc ) nªn ®­êng trßn (O) tiÕp xóc víi d. §­êng trßn (O) l¹i tiÕp xóc víi (I) v× ®iÓm M n»m trªn ®­êng th¼ng OI nèi t©m cña chóng. + BiÖn luËn: - V× Ph­¬ng tr×nh vµ d c¾t nhau t¹o thµnh hai gãc cña gãc tpx c¾t MI kÐo dµi t¹i mét ®iÓm O', ®­êng trßn t©m O' nµy tiÕp xóc víi d ®ång thêi tiÕp xóc trong víi (I). Do ®ã bµi to¸n cã hai nghiÖm h×nh. - NÕu IM d th× chØ cã mét nghiÖm h×nh. Chó ý; Ta cã c¸c bµi to¸n t­¬ng tù sau ®©y. 1) Dùng ®­êng trßn tiÕp xóc víi 1 c¹nh cña gãc cho tr­íc vµ tiÕp xóc víi c¹nh kia t¹i mét ®iÓm cho tr­íc. Gi¶ sö ®­êng trßn (O) ®· dùng ®­îc tiÕp xóc víi c¹nh Px vµ víi c¹nh Py t¹i ®iÓm M cña gãc xPy. Tia cã c¸ch dùng nh­ nhau. - Dùng ph©n gi¸c cña gãc xPy. - Dùng ®­êng vu«ng gãc víi Dy t¹i M. Giao ®iÓm O tia ph©n gi¸c vµ ®­êng vu«ng gãc chÝnh lµ t©m ®­êng trßn ph¶i dông. 2) §­êng trßn ®i qua mét ®iÓm cho tr­íc vµ tiÕp xóc víi 1 ®­êng trßn cho tr­íc t¹i mét ®iÓm cho tr­íc. Gi¶ sö ®­êng trßn (I) ®· dùng ®­îc tiÕp xóc víi 1 ®­êng trßn (O) ®· cho t¹i ®iÓm A vµ ®i qua ®iÓm B. Ta thÊy r»ng t©m I ph¶i n»m trªn. - §­êng th¼ng OA v× tiÕp xóc víi ®­êng trßn ®· cho t¹i A. - §­êng trung trùc xy cña AB v× ®­êng trßn ph¶i ®i qua A vµ B. Giao ®iÓm cña OA vµ xy lµ t©m I cña ®­êng trßn ph¶i dùng. Bµi to¸n cã mét nghiÖm h×nh nÕu B kh«ng n»m trªn tiÕp tuyÕn chung MN vµ v« nghiÖm nÕu B n»m trªn MN. NÕu A trïng víi B th× mäi ®­êng trßn cã t©m O trªn OA ®i qua A sÏ tho¶ m·n bµi to¸n; Cã v« sè nghiÖm h×nh. 3) Dùng ®­êng trßn tiÕp xóc ngoµi víi 3 ®­êng trßn b»ng nhau cho tr­íc. Gi¶ sö ®­êng trßn (O) ®· dùng ®­îc tiÕp xóc víi 3 ®­êng trßn b»ng nhau (O1), (O2), (O3). Ta thÊy r»ng t©m O ph¶i c¸ch ®Òu t©m ba ®­êng trßn ®· cho tøc lµ OO1 = OO2 = OO3 = R + r, trong ®ã R lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn cÇn t×m vµ r lµ b¸n kÝnh c¸c ®­êng trßn b»ng nhau cho tr­íc. Suy ra c¸ch dùng sau: Dùng ®­êng trung trùc cña O1O2 vµ ®­êng trung trùc cña O2O3. Chóng c¾t nhau t¹i O lµ t©m ®­êng trßn ph¶i dùng. Râ rµng nÕu ba ®iÓm O1, O2, O3 th¼ng hµng th× bµi to¸n v« nghiÖm. Bµi tËp: Bµi 1: Cho tr­íc ba ®iÓm M,N,P, dùng DABC sao cho ch©n ba ®­êng cao cña nã theo thø tù lµ M,N,P. Bµi 2: Dùng DABC biÕt ®¸y BC, gãc A = vµ trung tuyÕn AM = m. Bµi 3: Cho ®o¹n th¼ng AB = a. Dùng trªn ®o¹n AB ®iÓm M sao cho AM2 = a (A - AM). (Bµi to¸n vÒ phÐp ph©n chia hoµng kim). Gîi ý: Bµi 1: Gi¶ sö DABC ®· dùng ®­îc vµ ba ®­êng cao AM, BN, CP c¾t nhau t¹i H. VËn dông tÝnh chÊt "ch©n ba ®­êng cao cña mét tam gi¸c t¹o thµnh ba ®Ønh cña 1 tam gi¸c míi mµ ba ®­êng cao lµ ph©n gi¸c cña ba gãc cña tam gi¸c míi". Ta cã c¸ch dùng sau: - Nèi ba ®iÓm M,N,P ®­îc DMNP. - Dùng hai ph©n gi¸c cña DMNP c¾t nhau t¹i H. - Dùng qua M,N,P c¸c ®­êng vu«ng gãc víi HM, HN, HP c¾t nhau t¹i A, B, C. Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c cÇn dùng. Bµi 2: Dùng ®­îc ®¸y BC ta chØ cÇn x¸c ®Þnh vÞ trÝ ®Ønh A, ®Ønh A ph¶i n»m trªn cung chøa gãc dùng trªn BC ®ång thêi n»m trªn ®­êng trßn t©m lµ trung ®iÓm cña BC b¸n kÝnh b»ng m. Ta ®­îc 4 tam gi¸c b»ng nhau, nh­ng bµi to¸n chØ cã 1 nghiÖm h×nh. Bµi 3: L­u ý: BiÓu thøc x2 = a(a - x) cã thÓ viÕt . Nh­ vËy x lµ ®o¹n trung b×nh nh©n gi÷a a vµ a - x ta cßn nãi r»ng ®©y lµ phÐp chia AB theo trung vµ ngo¹i tû. Bµi to¸n dùng h×nh næi tiÕng nµy ®­îc gäi lµ phÐp chia hoµng kim. 2.1.10. Dùng thiÕt diÖn (mÆt c¾t) * Ph­¬ng ph¸p dùng: - Cho khèi ®a diÖn (K) vµ mét mÆt ph¼ng (P). NÕu (P) c¾t c¸c mÆt cña (K) mét sè ®o¹n th¼ng th× h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®o¹n th¼ng Êy gäi lµ thiÕt diÖn cña (K) víi (P). - Dùng thiÕt diÖn thùc chÊt lµ dùng giao ®iÓm cña mÆt ph¼ng víi ®­êng th¼ng hoÆc dùng giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng. - L­u ý ®Õn c¸c tÝnh chÊt song song trong qu¸ tr×nh dùng giao tuyÕn: 1. 2. * Bµi to¸n 1: Cho tø diÖn ABCD; M lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BC. 1) Mét mÆt ph¼ng (P) qua M vµ song song víi CD c¾t c¸c c¹nh BD, AD vµ AC t¹i N, R, S. Tø gi¸c MNRS lµ h×nh g×? 2) NÕu (P) song song víi CD vµ c¶ AB n÷a th× tø gi¸c MNRS lµ h×nh g×? Gi¶i: A B C D M N S R A B C D M N S R 1) (P) // CD. ThiÕt diÖn lµ h×nh g×? (1) T­¬ng tù: (ACD) c¾t (P) theo RS nªn: RS // CD (2) 2) (P) // CD vµ (P) // AB. ThiÕt diÖn lµ h×nh g×? Lý gi¶i nh­ trªn c©u 1) ta cã thªm MS // NR. VËy thiÕt diÖn MNRS lµ h×nh b×nh hµnh. * Bµi to¸n 2: Cho h×nh chãp S. ABCD lµ mét tø gi¸c låi. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD. VÏ thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng qua I, song song víi AB vµ SC. ThiÕt diÖn lµ h×nh g×? Gi¶i: * Dùng thiÕt diÖn - Gäi (a) lµ mÆt ph¼ng qua I song song víi AB vµ SC. (a) c¾t AD t¹i M vµ BC t¹i N th×: S Q P B A M N C D I MN // AB (a) c¾t SB t¹i P vµ SA t¹i Q th×: NP // SC vµ PQ // AB * C¸ch dùng - Qua I dùng MN // AB (M Î AD; N Î BC) - Tõ N dùng NP // SC (P Î SB) - Tõ P dùng PQ // AB (Q Î SA) ThiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (a) qua I song song víi AB vµ SC lµ tø gi¸c MNPQ. * ThiÕt diÖn lµ h×nh g×? Nh­ trªn ®· thÊy: * Bµi to¸n 3: J A' A N P B' B M R C C' I Cho l¨ng trô tam gi¸c ABCA'B'C'. Gäi M, N, P lÇn l­ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AB, AA' vµ A'C'. H·y dùng thiÕt diÖn cña l¨ng trô víi mÆt ph¼ng (MNP). Gi¶i: · §­êng th¼ng MN c¾t c¸c ®­êng th¼ng BB', B'A' lÇn l­ît t¹i I vµ J (MN, BB' vµ B'A' cïng ë trong mÆt ph¼ng (ABB'A')). · Nèi JP. §­êng th¼ng nµy c¾t BC t¹i Q. · Nèi IQ. §­êng th¼ng nµy c¾t BC t¹i R. ThiÕt diÖn cña l¨ng trô víi mÆt ph¼ng (MNP) lµ ®a gi¸c MNPQR. Ghi chó: (i) Do (ABC) // (A'B'S') nªn MR // PQ. Ngoµi ®Æc ®iÓm nµy ra th× thiÕt diÖn kh«ng cã ®Æc ®iÓm g× kh¸c. (ii) Hai ®­êng th¼ng chØ c¾t nhau khi chóng cïng mÆt ph¼ng vµ kh«ng song song. * Bµi to¸n 4: Cho h×nh chãp SABCD, ®¸y lµ tø gi¸c låi ABCD. H·y dùng thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (P) qua A vµ song song víi BD. Gi¶i: - Gäi O lµ giao ®iÓm cña hai ®­êng chÐo AC vµ BD trong mÆt ®¸y ABCD. MÆt ph¼ng (P) c¾t SO t¹i O' vµ c¾t mÆt ph¼ng (SBD) theo giao tuyÕn B'D' song song víi BD // (P). Do ®ã c¸ch dùng: * C¸ch dùng: S A B C D O B' C' D' O' · Nèi SO; lÊy mét ®iÓm O' trªn ®o¹n SO. · Qua O' dùng ®­êng th¼ng song song víi BD, ®­êng th¼ng nµy c¾t SB vµ SD t¹i B' vµ D'. · AO' c¾t SC t¹i C'. ThiÕt diÖn lµ tø gi¸c AB'C'D'. 2.2. VÊn ®Ò 2: KhuyÕn khÝch häc sinh t×m ra nhiÒu c¸ch gi¶i cho mét bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian. VÊn ®Ò nµy ®­îc x©y dùng dùa trªn c¬ së mét vÊn ®Ò To¸n häc cã nhiÒu c¸ch nh×n nhËn theo c¸c gãc ®é kh¸c nhau. Víi mét bµi to¸n ®­îc gi¶i b»ng nhiÒu c¸ch gi¶i kh¸c nhau, häc sinh sÏ ®­îc tiÕp cËn theo nhiÒu ®­êng lèi, kiÕn thøc réng h¬n, s©u s¾c h¬n. Tõ c¸c ph­¬ng thøc tiÕp cËn ®ã cã thÓ gi¶i quyÕt ®­îc vÊn ®Ò mét c¸ch nhanh chãng, linh ho¹t. Tuy nhiªn, kh«ng ph¶i bµi to¸n nµo còng gi¶i ®­îc theo nhiÒu ph­¬ng ph¸p, c¸ch gi¶i kh¸c nhau, song ®èi víi mét sè bµi to¸n vÒ h×nh häc kh«ng gian, ®Æc biÖt lµ c¸c bµi to¸n vÒ h×nh hép, tø diÖn vu«ng, h×nh chãp … ta cã thÓ gi¶i ®­îc theo nhiÒu c¸ch kh¸c nhau. Cô thÓ, sau khi gi¶i xong mét c¸ch nµo ®ã cña bµi to¸n, gi¸o viªn còng nªn hái häc sinh: "Bµi to¸n nµy cã c¸ch gi¶i nµo kh¸c n÷a hay kh«ng?". NÕu gi¸o viªn kh«ng ®Æt ra c©u hái nµy e cã nhiÒu häc sinh sÏ tá ra bøc xóc vµ biÕt ®©u c¸c em cßn cã nhiÒu c¸ch gi¶i, ph­¬ng ph¸p kh¸c hay h¬n nhiÒu c¸ch gi¶i võa ®­îc tr×nh bµy. Mçi häc sinh cã kh¶ n¨ng liªn t­ëng, huy ®éng kiÕn thøc kh¸c nhau tuú vµo kh¶ n¨ng t­ duy gi¶i quyÕt vÊn ®Ò cña c¸c em. VÝ dô 1: Cho tø diÖn ABCD. Gäi M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, CD, vµ G lµ trung ®iÓm cña ®o¹n MN. Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng AG ®i qua träng t©m A' cña DBCD. Ph¸t biÓu kÕt luËn t­¬ng tù ®èi víi c¸c ®­êng th¼ng BG; CG; DG. C¸ch 1: + Chøng minh AG ®i qua A'. Û Chøng minh A, G, A' th¼ng hµng. Û Chøng minh A, G, A' cïng thuéc hai mÆt ph¼ng. Do G Î MN nªn G Î mÆt ph¼ng (ABN) Do A' lµ träng t©m DBCD nªn A' Î BN Þ A' Î mp (ABN) Þ A, G, A' Î mp (ABN) (1) Gäi I, J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm BC, AD. Ta dÔ dµng chøng minh ®­îc tø gi¸c MIJ lµ h×nh b×nh hµnh hay G Î IJ Þ G Î mp (ADI) MÆt kh¸c A' Î DI Þ A' Î mp (ADI) Þ A, G, A' Î mp (ADI) (2) Tõ (1) vµ (2) Þ A, G, A' th¼ng hµng hay AG ®i qua A'. C¸ch 2: 1) Chøng minh AG ®i qua A'. Trong DABN gäi A'' lµ giao cña BN vµ AG. ¸p dông ®Þnh luËt Men ®e lªuyt cho ba ®iÓm A, G, A'' ta cã: Trong ®ã: Thay vµo ta cã: hay BA'' = 2A'N (1) MÆt kh¸c v× A' lµ träng t©m DBCD nªn (2) Tõ (1) vµ (2) Þ A'' º A'. VËy AG ®i qua A' C¸ch 3: 1) Chøng minh A, G, A' th¼ng hµng. Û Chøng minh AA', GA' cïng song song mét ®­êng th¼ng. Dùng ®­êng th¼ng MH // AA' (H Î BN) (1) Khi ®ã MH lµ ®­êng trung b×nh DABA'. Þ H lµ trung ®iÓm BA Þ BH = HA'. MÆt kh¸c: BA' = 2A'N hay 2HA' = 2A'N. Þ A' lµ trung ®iÓm HN Þ GA' // MH (2) Tõ (1) vµ (2) Þ A, G, A' th¼ng hµng hay AG ®i qua A' . C¸ch 4: Do A' lµ träng t©m DBCD Þ A' = BN Ç DI (I lµ trung ®iÓm BC). Nªn A, G, A' th¼ng hµng. Þ AG, BN, DI ®ång quy. Gäi J lµ trung ®iÓm AD. Khi ®ã ta cã tø gi¸c MINJ lµ h×nh b×nh hµnh. Þ G Î IJ, G Î MN Þ AG lµ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (ABN) vµ (ADI). DI lµ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (ADI) vµ (BCD). BN lµ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (BCD) vµ (ABN) Mµ DI Ç BN = A' (träng t©m DBCD). Suy ra (theo ®Þnh luËt vÒ giao tuyÕn cña ba mÆt ph¼ng) AG, BN, DI ®ång quy t¹i A' hay A, G, A' th¼ng hµng. VËy AG ®i qua träng t©m A' cña DBCD. () VÝ dô 2: Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD A1B1C1D1 Chøng minh A, G, C1 th¼ng hµng (G lµ träng t©m DA1BD). C¸ch 1: A, G, C1 th¼ng hµng Û A, G, C1 ®ång thêi thuéc hai mp ph©n biÖt. Gäi O lµ t©m h×nh vu«ng ABCD. Þ A1O Ì (AA1C1C) V× G Î A1O Þ G Î (AA1C1C) VËy A, G, C1 Î (AA1C1C) (1) Gäi O1 lµ t©m cña h×nh vu«ng ABB1A1 Þ DO1 lµ trung tuyÕn cña DA1B1D Þ G Î DO1 Ì (ADC1B1) Þ G Î (AD C1B1) VËy A; G; C1 Î (ADC1B1) (2) Do mÆt ph¼ng (ADC1B1) vµ mÆt ph¼ng (AA1C1C) lµ hai mÆt ph¼ng ph©n biÖt nªn tõ (1) vµ (2) suy ra A, G, C1th¼ng hµng. C¸ch 2: A, G, C1 th¼ng hµng Û AC1 chøa G. Gäi O lµ t©m h×nh vu«ng ABCD. Ta cã A1O Î (AA1C1C) Gäi G lµ giao ®iÓm AC1 vµ A1O. Khi ®ã G lµ giao ®iÓm cña AC1 vµ mÆt ph¼ng (A1BD). Ta sÏ chøng minh G lµ träng t©m DA1BD Û Chøng minh A1G = 2GO. XÐt DAOG vµ DC1GA1. Cã AO // A1C1 Þ Hay A1G = 2GO. VËy G lµ träng t©m DA1BD. C¸ch 3: V× G lµ träng t©m DA1BD Þ G = A1O Ç DO1 VËy A1, G, C1 th¼ng hµng Û AC1, A1O, DO1 ®ång quy (O, O1 lÇn l­ît lµ t©m cña h×nh vu«ng ABCD, ABB1A1). Ta cã: AC1lµ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (ADC1B1) vµ (ACC1A1) DO1lµ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (ADC1B1) vµ (A1BD). A1O lµ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (A1BD) vµ (ACC1A1) (V× O1 Î A1B Þ DO1 Ì (A1BD); O = AC Ç BD. Þ A1O Î (ACC1A1) Mµ DO1 Ç A1O = G. VËy theo ®Þnh lý vÒ giao tuyÕn cña ba mÆt ph¼ng ta cã AC1, DO1, A1O ®ång quy t¹i G (G lµ träng t©m DA1BD) Hay A, G, C1th¼ng hµng. C¸ch 4: Hai gãc ë vÞ trÝ ®èi ®Ønh Trong mÆt ph¼ng (ACC1A1). XÐt DAOG vµ DC1OA1 cã (V× O lµ trung ®iÓm AC, G lµ träng t©m DA1BD) (Gãc so le trong) VËy DC1OA1 ~ DAOG hay (ë vÞ trÝ ®èi ®Ønh). Þ A, G, C1 th¼ng hµng. VÝ dô 3: Cho h×nh chãp S ABCD cã SA ^ mÆt ph¼ng (ABCD); SA = 2. §¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt, AB = 1, BC = 3. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng AC vµ SD. C¸ch 1: Xem kho¶ng c¸ch lµ ®é dµi ®o¹n ^ gãc chung. Tõ D dùng Dx // AC. Tõ A dùng AF ^ Dx (F Î Dx) vµ AH ^ SF (H Î SF) Qua H kÎ ®­êng th¼ng HP // FD (P Î SD) KÎ PQ // AH (Q Î AC) Khi ®ã PQ lµ ®o¹n ^ gãc chung cña AC vµ SD. ThËt vËy: Þ FD ^ (SAF) Þ FD ^ AH. Mµ AH ^ SF Þ AH ^ (SFD) Þ AH ^ SD. Do AH // PQ Þ PQ ^ SD (1) MÆt kh¸c AH ^ FD Þ AH ^ AC Þ PQ ^ AC (2) Tõ (1) vµ (20 Þ PQ lµ ®o¹n vu«ng gãc chung. XÐt DAFD vu«ng vµ DCDA vu«ng cã VËy DAFD ~ DCDA Þ . VËy d(AC, SD) = AH = . C¸ch 2: Kho¶ng c¸ch gi÷a AD vµ SD lµ kho¶ng c¸ch tõ ®­êng th¼ng AC ®Õn mÆt ph¼ng (SFD). Tõ D dùng Dx // AC. Gäi (P) lµ mp qua SD vÊn ®Ò Dx. Khi ®ã (P) // AC. VËy d (AC, SD) = d(AC, (P)) = d(A, (P)). Dùng AH ^ Dx (F Î Dx) AH ^ SF (H Î F) Sauy ra AH ^ (SFD) hay AH ^ (P) Do ®ã: d(AC, SD) = d(A, P) = AH = . C¸ch 3: Xem kho¶ng c¸ch gi÷a AC vµ SD lµ kho¶ng c¸ch cña hai mÆt ph¼ng. Tõ D dùng Dx // AC. Gäi (P) lµ mp qua SD vµ Dx, (Q) lµ mp qua AC vµ (P) // (Q). Khi ®ã d(AC, SD) = d((Q), (P)) = d((A), (P)) = AH = C¸ch 4: Xem kho¶ng c¸ch AC vµ SD lµ chiÒu cao h×nh chãp cã ®Ønh A vµ ®¸y lµ DSFD, h×nh chãp SAFD. Ta cã: d(AC, SD) = . Trong ®ã VASFD = SA. AF. FD Ta cã: SA = 2, AF = Suy ra VASFD = . 2 . SD = SF = Suy ra SSFD = Do ®ã d(AC, SD) = . C¸ch 5: Xem kho¶ng c¸ch AC, SD lµ chiÒu cao h×nh hép cã 2 ®¸y lÇn l­ît chøa hai c¹nh AC, SD. Dùng h×nh hép ACEDPQRS. Ta cã: d(AC, SD) = Trong ®ã: ThÓ tÝch h×nh hép V = SA. SACDE Þ V = 2. SA . SACD = SA. AD. DC = 6. Ta cã: SDERS = DS. DE. sin () = DS. DE . sin () = DS. DE . = AC. FS = = 7. VËy d(AC, SD) = . VÝ dô 4: Cho tø diÖn OABC cã OA, OB, OC ®«i mét ^ nhau vµ OA = OB + OC. Chøng minh r»ng tæng ba gãc ph¼ng t¹i ®Ønh A b»ng 900. C¸ch 1: §Æt . Khi ®ã bµi to¸n trë thµnh bµi to¸n chøng minh a + b + g = 900 Û a = 900 - (b + g) Û cos a = sin(b + g) (*) Ta cã VT cña (*) cosa = (§Þnh lý h/s cosin cho DABC) Û a = (1) VÕ ph¶i cña (*): sin (b + g) = sinb . cosg + cosb . sing Þ sin (b + g) = = (2) (V× OA = OB + OC theo gi¶ thiÕt). Tõ (1) vµ (2) Þ (*) ®óng. VËy tæng ba gãc ph¼ng t¹i ®Ønh A b»ng 900. C¸ch 2: Víi c¸ch ®Æt trªn ¸p dông ®Þnh lý h/s cosin cho DABC. cosa = Þ cosa = . Theo gi¶ thiÕt OA = OB + OC Û 1 = Û cosb . cosg = sinb . cosg + sing . cosb Û cosa = sin(b + g) Þ Trong DOAB cã OA > OB nªn b < Þ T­¬ng tù ta cã g < . VËy b + g < . Nªn a = - (b + g) VËy a + b + g = hay tæng ba gãc ph¼ng t¹i ®Ønh A b»ng 900. C¸ch 3: §Æt OA = a; OB = b; OC = c. Khi ®ã v× DOBC ^ t¹i B. Nªn BC = Trong mp bÊt kú ®i qua ®Ønh A, dùng h×nh vu«ng c¹nh b»ng b + c. H×nh vu«ng AA1A2A3 Trªn c¹nh A1A2 lÊy ®iÓm B sao cho A1B' = b. Trªn c¹nh A2A3 lÊy ®iÓm C sao cho A3C' = c Þ B'C' = Khi ®ã ta cã DAA3C' = DAOC; DAA1B' = DOAB DAB'C' = DABC (C. C. C) Þ hay a + b + g = 900. VËy tæng c¸c gãc ph¼ng ë ®Ønh cña tø diÖn b»ng 900. VÝ dô 5: Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCDA1B1C1D1 cã c¹nh b»ng 1. Gäi M, N lÇn l­ît lµ c¸c ®iÓm thuéc c¸c c¹nh AD, BD1 sao cho AM = BN < 1. Gäi I, J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm AB, C1D1. CMR: Bèn ®iÓm M, I, N, J ®ång ph¼ng. C¸ch 1: §Ó chøng minh M, I, N, J ®ång ph¼ng ta sÏ chøng minh MI c¾t NJ ta cã tø gi¸c AIJD1 lµ h×nh ch÷ nhËt (V× AI // = JD1 = vµ = 900). Þ IJ ^ AB vµ IJ ^ C1D1 (1) Ta còng cã: Tø gi¸c DIB1J lµ h×nh thoi Þ IJ ^ B1D1 t¹i trung ®iÓm O cña mçi ®­êng. Khi ®ã thùc hiÖn phÐp ®èi xøng trôc IJ. DIJ: A a B tho¶ m·n AD = BB1 D a B1 AM = BM' M a M' Mµ BN = AM Þ BN = BM' Þ N º M'. VËy DIJ: M a N. Þ Bèn ®iÓm M, I, N, J ®ång ph¼ng. C¸ch 2: (¸p dông ®Þnh lý Minebuyt trong kh«ng gian) XÐt c¸c tø gi¸c ghÒnh ABB1D. Cã (V× I, O lµ trung ®iÓm cña AB, B1D vµ BN = AM Þ DM = NB1) Þ 4 ®iÓm M, I, N, O ®ång ph¼ng. MÆt kh¸c ta l¹i cã tø gi¸c DIB1J lµ h×nh thoi nªn J Î OI. VËy 4 ®iÓm M, I, N, J ®ång ph¼ng. C¸ch 3: §Ó chøng minh bèn ®iÓm M, I, N, J ®ång ph¼ng ta chøng minh mÆt ph¼ng ®i qua ba trong bèn ®iÓm sÏ ®i qua ®iÓm cßn l¹i. Gäi (P) lµ mp ®i qua ba ®iÓm I, M, J. Trong mp (ABCD) DIAM ~ DIBD Þ Þ AM = BD (1) DIAM ~ DQDM Þ Þ PQ = . Trong mp (CDD1C1): DQDE ~ DJD1E. Þ Þ (IA = JD1 = ). D ID1E ~ DJC1R Þ Þ C1R + ED1 = . (E1D1 = Û ED1 - ED1 . AM = AM - ED1 . AM Þ ED1 = AM Þ C1R = AM (2) Tõ (1) vµ (2) Þ DPCR vu«ng c©n (CP = CR) Þ DPBN' ^ c©n hay BD = BM' = AM Þ N' = N hay N Î (P) VËy M, I, N, J ®ång ph¼ng. VÝ dô 6: CHo h×nh ch÷ nhËt ABCDA1B1C1D1 cã c¸c kÝch th­íc lÇn l­ît AB = a, AD = b, AA1 = C. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng AD vµ BD1. C¸ch 1: Tõ D kÎ DH ^ CD1 (H Î CD1) Tõ H kÎ HE // BC (E Î BD1) Tõ E kÎ EF // DH (F Î AD) Khi ®ã EF lµ ®­êng vu«ng gãc chung cña AD vµ BD1. ThËt vËy: Do BC ^ (CDD1C1) nªn BC ^ DH mµ DH ^ CD1 suy ra DH ^ (BCD1) Þ DH ^ BD1. Þ EF ^ BD1 (V× EF // DH) (1) MÆt kh¸c: AD ^ (CDD1C1) Þ AD ^ DH Þ EF ^ AD (V× EF // DH) (2) Tõ (1) vµ (2) Þ EF lµ ®­êng ^ gãc chung cña BD1 vµ AD. Ta cã d (AD, BD1) = EF = DH. Trong ®ã: Þ DH = . VËy d (AD, BD1) = C¸ch 2: Gäi (P) lµ mp qua BD1 vµ BC. Khi ®ã (P) // AD. d (AD, BD1) = d(AD, (P)) = d(D, (P)). Tõ D kÎ DH ^ CD1 (H Î CD1) V× BC ^ (CDD1C1) nªn BC ^ DH Þ DH ^ (BCD1) hay DH ^ (P) Suy ra d (AD, BD) = 10 = d(D, (P)) = DH = C¸ch 3: Gäi (P) lµ mp ®i qua BD1 vµ BC. (Q) lµ mp ®i qua AD vµ // (P) Khi ®ã d (AD, BD1) = d((Q), P) = d(D1, (P)) (D Î (Q)). Qua D kÎ DH ^ CD1 (H Î CD1) V× BC ^ (CDD1C1) nªn BC ^ DH, do ®ã DH ^ (BCD1) hay DH ^ (P) Þ d (AD,BD1) = DH = . C¸ch 4: Kho¶ng c¸ch gi÷a AD vµ BD1 b»ng chiÒu cao h×nh chãp DBD1C. d(AD, BD1) = . Trong ®ã DD1.DC.BC = abc. VËy d (AD, BD1) = = . C¸ch 5: Dùng h×nh hép ADEFA1D1BP. Gäi V lµ thÓ tÝch cña h×nh hép Khi ®ã d ( AD, BD1) = Trong ®ã V = AB . = abc VËy . VÝ dô 7: Cho h×nh tø diÖn ABCD víi P, Q lÇn l­ît lµ trung ®iÓm AB, CD. Gäi R lµ ®iÓm n»m trªn c¹nh BC sao cho BR = 2RC. S lµ ®iÓm n»m trªn c¹nh AD sao cho AS = 2SD. Chøng minh r»ng bèn ®iÓm P, Q, R, S cïng n»m trªn mét mÆt ph¼ng. C¸ch 1: (Sö dông ®Þnh lý Mendeleuyp trong kh«ng gian) XÐt tø gi¸c ghÒnh ABCD cã: (V× P, Q lÇn l­ît lµ trung ®iÓm AB, CD vµ ) Do ®ã: Bèn ®iÓm P, Q, R, S cïng n»m trªn mét mp. C¸ch 2: Bèn ®iÓm P, Q, R, S cïng thuéc 1 mp Û cã 2 ®­êng th¼ng (mçi ®­êng th¼ng ®i qua 2 trong 4 ®iÓm trªn c¾t nhau). Gäi I lµ giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng PR vµ AC. Gäi J lµ giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng SQ vµ AC. Tõ C kÎ CE // AB, CF // AD. Trong mÆt ph¼ng (ABC) DPBR ~ DECR Þ Þ Þ C lµ trung ®iÓm IA (1) Trong mÆt ph¼ng (ACD) DSPQ ~ D FCQ Þ Þ C lµ trung ®iÓm JA (2) Tõ (1) vµ (2) Þ I º J hay PR c¾t SQ t¹i I. VËy 4 ®iÓm P, Q, R, S cïng thuéc mÆt ph¼ng. C¸ch 3: Bèn ®iÓm P, Q, R, S cïng thuéc mét mÆt ph¼ng. Û Cã mét mp ®i qua 3 trong 4 ®iÓm còng sÏ ®i qua ®iÓm cßn l¹i. Gäi (P) lµ mp ®i qua R, P, Q. Tø gi¸c PRQS lµ tiÕt diÖn c¾t bëi (P) vµ h×nh tø diÖn ABCD. Ta sÏ chøng minh S' º S Î (P). ThËt vËy: Tõ C kÎ CE // AB, CF // AD. Trong mÆt ph¼ng (ABC). Do DPBR ~ DECR. Þ Trong DIAD ta cã: (1) Trong mp (ACD) Ta cã theo (1) (2) V× DCFQ ~ DDS'Q nªn hay CF = SD. Thay vµo (2) ta ®­îc Þ AS' = 2S'D. Mµ gi¶ thiÕt AS = 2SD (S, S' Î c¹nh AD). Do ®ã S' º S hay S Î (P) VËy P, Q, R, S cïng thuéc mét mÆt ph¼ng. 2.3. VÊn ®Ò 3. X©y dùng hÖ thèng bµi to¸n gèc gióp häc sinh quy l¹ vÒ quen Quy l¹ vÒ quen lµ qu¸ tr×nh quy viÖc gi¶i mét bµi to¸n vÒ gi¶i c¸c bµi to¸n quen thuéc ®· biÕt. Quy l¹ vÒ quen lµ mét tri thøc ph­¬ng ph¸p gióp häc sinh dÔ dµng thùc hiÖn mét sè ho¹t ®éng quan träng ®­îc quy ®Þnh trong ch­¬ng tr×nh. §ång thêi viÖc th«ng b¸o nh÷ng tri thøc nµy dÔ hiÓu vµ Ýt tèn thêi gian. Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, gi¸o viªn còng cÇn quan t©m cho häc sinh biÕt kiÕn thøc nµo cã thÓ ®Ó häc sinh tù häc hoÆc tù suy luËn ®­îc trªn c¬ së kiÕn thøc ®· ®­îc lùa chän, truyÒn thô cho häc sinh. HoÆc gi¸o viªn còng cã thÓ h­íng dÉn cho häc sinh x©y dùng c¸c bµi to¸n gèc ®Ó cñng cè kh¸i niÖm, ®Þnh lý. HÖ thèng bµi tËp gèc ®ãng vai trß hÕt søc quan träng v× ngoµi chøc n¨ng cñng cè kiÕn thøc cho häc sinh, hÖ thèng bµi tËp gèc cßn gãp phÇn ®Þnh h­íng t×m tßi lêi gi¶i cho c¸c d¹ng to¸n, nhÊt lµ c¸c d¹ng to¸n cã quy tr×nh gi¶i. ViÖc thùc hiÖn quy tr×nh trong d¹y häc to¸n kh«ng nh÷ng h­íng cho häc sinh tíi t­ t­ëng thuËt to¸n mµ cßn t¹o ®iÒu kiÖn cho häc sinh sö dông mÒm m¹i, uyÓn chuyÓn c¸c ph­¬ng ph¸p d¹y häc kh¸c nhau. Gi¸o viªn dùa vµo nh÷ng kiÕn thøc truyÒn ®¹t ®Ó d¹y häc sinh t­ëng t­îng, ph¸t triÓn trùc gi¸c, gióp häc sinh ph¸t triÓn t­ duy tÝch cùc, ®éc lËp s¸ng t¹o. Chóng ta h·y xÐt c¸c vÝ dô sau. VÝ dô 1: Cho tam diÖn vu«ng OABC cã OA = a, OB = b, OC = c. TÝnh kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn (ABC) Gäi H lµ h×nh chiÕu cña O trªn (ABC) ¸p dông tÝnh chÊt cña tam diÖn vu«ng ta cã: Þ OH = Bµi to¸n: Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCDA1B1C1D1 c¹nh b»ng 1. LÊy M trªn c¹nh CC1 sao cho ®é dµi MC = . Trªn c¹nh A1D1 lÊy N sao cho ®é dµi A1N = . O lµ t©m h×nh lËp ph­¬ng. TÝnh kho¶ng c¸ch tõ D ®Õn (MNO)? Khi gÆp bµi to¸n nµy häc sinh sÏ thÊy khã kh¨n khi t×m h×nh chiÕu cña D trªn (MNO). Khi ®ã gi¸o viªn gîi ý ®Ó häc sinh t×m c¸ch ®­a vÒ bµi to¸n gèc. Nh­ vËy: Lµm thÕ nµo ®Ó ®­a vÒ bµi to¸n gèc? NÕu häc sinh ch­a tr¶ lêi ®­îc, gi¸o viªn cã thÓ gîi ý: MÆt ph¼ng (a) trong bµi to¸n gèc c¾t 3 c¹nh cña gãc tam diÖn A, B, C vµ ®é dµi OA, OB, OC ®· biÕt. Lêi gi¶i: Gäi E = MO Ç AA1 P = NE Ç AD Q = NE Ç DD1 vµ R = MQ Ç DC Ta cã AE = MC1 = ; EA1 = CM = Þ Þ . Þ DP = . T­¬ng tù ta tÝnh ®­îc DQ = ; DR = VËy . * Bµi to¸n t­¬ng tù: Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCDA1B1C1D1 c¹nh b»ng 1. Trªn AA1 lÊy E sao cho AE = . Trªn BC lÊy F sao cho ®é dµi BF = . Gäi O lµ t©m h×nh lËp ph­¬ng. T×m kho¶ng c¸ch tõ B1 ®Õn (EFO). VÝ dô 2: Cho h×nh chãp SABC cã DABC ^ ë C; SA ^ (ABC). MÆt ph¼ng (P) qua A vu«ng gãc víi SB c¾t SB, SC t¹i B', C'; B'C' Ç BC = I. Chøng minh a) AC' ^ (SBC) b) DAC'B' ^ t¹i B' c) AI ^ (SAB). Ng­îc l¹i nÕu B', C' lµ h×nh chiÕu cña A trªn SB, SC th× (AB'C') ^ SB. Gi¶i: a) Do Þ BC ^ (SAC) Þ BC ^ AC' Mµ SB ^ AC' Þ AC' ^ (SBC) (1) b) Tõ (1) Þ AC' ^ C'B' hay DAC'B' ^ ë C' c) Do AI Ì (AB'C') nªn AI ^ SB. AI Ì (ABC) Þ AI ^ SA. Þ AI ^ (SAB). Ng­îc l¹i, nÕu AB' ^ SB; AC' ^ SC, ta cã: BC ^ (SAC) Þ BC ^ AC' SC ^AC' Þ AC' ^ SB. KÕt hîp víi SB ^ AB', suy ra SB ^ (AB'C') Khi ®ã ta còng cã c¸c tÝnh chÊt a, b, c. Bµi to¸n 1: Trong (P) cho nöa lôc gi¸c ®Òu ABCD víi AB = BC = CD = a, AD = 2a. Trªn nöa ®­êng th¼ng Ax vu«ng gãc (P) t¹i A, lÊy ®iÓm S. MÆt ph¼ng qua A ^ SD c¾t SB, SC, SD lÇn l­ît t¹i B', C', D'. a) Chøng minh: A'B'C'D' lµ tø gi¸c néi tiÕp. b) Khi S chuyÓn ®éng trªn Ax th× ®­êng th¼ng B'C' ®i qua 1 ®iÓm cè ®Þnh, ®­êng th¼ng C'D' còng ®i qua 1 ®iÓm cè ®Þnh. a) So s¸nh gi¶ thiÕt cña bµi to¸n 1 víi bµi to¸n gèc ë vÝ dô 2 xem cã g× gièng nhau kh«ng? * Gièng: Cã mÆt ph¼ng qua A vµ ^ SD, cã SA ^ ®¸y. * Gi¸o viªn vÏ riªng ®¸y ®Ó häc sinh thÊy ®­îc do ABCD lµ nöa lôc gi¸c ®Òu nªn nã néi tiÕp trong ®­êng trßn ®­êng kÝnh AD Þ = 1V. * XÐt c¸c bé phËn liªn quan tíi bµi to¸n gèc. - Häc sinh sÏ nhËn ra c¸c h×nh chãp ®ã lµ SABD vµ SACD. Quay vÒ chøng minh bµi to¸n gèc ®èi víi 2 h×nh chãp nµy, ta sÏ cã: Tø gi¸c AB'C'D' néi tiÕp ®­êng kÝnh AD'. b) Khi S thay ®æi trªn Ax, nh÷ng yÕu tè nµo cè ®Þnh, nh÷ng yÕu tè nµo thay ®æi? * VÏ vµo tr­êng hîp cña S vµ dù ®o¸n ®iÓm cè ®Þnh mµ B'C' ®i qua? Liªn hÖ víi bµi to¸n gèc häc sinh sÏ nghÜ tíi viÖc gäi I = BC Ç B'C'. Vµ chøng minh I cè ®Þnh: Ta ®· cã I Î BC cè ®Þnh ®Ó chøng minh I cè ®Þnh ta cÇn chøng minh thªm ®iÒu g×? Lóc nµy ®­a bµi to¸n vÒ bµi to¸n gèc ®Ó chøng minh AI ^ (SAD) mµ (SAD) cè ®Þnh nªn AI cè ®Þnh. Bµi to¸n 2: Cho h×nh chãp SABC cã c¹nh SA vu«ng gãc víi ®¸y. Gäi B', C' lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn SB, SC. Gäi I = BC Ç B'C'. Chøng minh r»ng: . * Häc sinh dÔ dµng thÊy ®­îc bµi to¸n 2 cã nhiÒu gi¶ thiÕt gÇn víi bµi to¸n gèc nh­ (SA ^ (ABC), B', C' lµ h×nh chiÕu cña A trªn SB, SC. Nh­ng trong bµi to¸n nµy DABC kh«ng ph¶i lµ D vu«ng. T×m ®Þnh h­íng ®Ó chøng minh ? Víi vÞ trÝ 2 gãc nµy, häc sinh sÏ nghÜ tíi viÖc chøng minh IA lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp DABC. Tõ ®ã ®­a vÒ chøng minh AI ^ AD (lµ ®­êng kÝnh cña ®­êng trßn). Þ Þ AI ^ (SAD) Þ AI ^ SD. ViÖc gi¶i bµi to¸n quy vÒ gi¶i bµi to¸n gèc ®èi víi hai h×nh chãp SABC vµ SACD. Bµi to¸n 3: Trªn mÆt ph¼ng (P), cho ®­êng trßn (C), ®­êng kÝnh AB, M lµ mét ®iÓm trªn ®­êng trßn (C). S lµ mét ®iÓm n»m ngoµi (P), SA ^ (P). D lµ mét ®iÓm trªn ®o¹n SA. Tõ D kÎ DE ^ SM. a) Chøng minh khi M di ®éng trªn ®­êng trßn (C) th× DE kh«ng n»m trªn mét mÆt ph¼ng (p) cè ®Þnh. b) T×m tËp hîp ®iÓm E. Ta ph©n tÝch bµi to¸n: Trong bµi to¸n nµy ta cã SA ^ (AMB). §iÓm M thuéc ®­êng trßn (C), ®­êng kÝnh AB nªn = 1V. Do ®ã cã nhiÒu kh¶ n¨ng cã thÓ liªn hÖ bµi to¸n 3 víi bµi to¸n gèc. Tuy nhiªn, trong bµi to¸n ta l¹i kh«ng cã h×nh chiÕu cña A trªn SM, SB mµ chØ cã h×nh chiÕu cña ®iÓm D thuéc SA lªn SM. Tr­íc hÕt cho häc sinh gi¶i bµi to¸n sau: Víi gi¶ thiÕt nh­ bµi to¸n 3, gäi M' lµ h×nh chiÕu cña A trªn SM. T×m quü tÝch ®iÓm M'. Bµi to¸n nµy gÇn víi bµi to¸n gèc h¬n bµi to¸n 3, häc sinh sÏ nghÜ tíi viÖc gäi B' lµ h×nh chiÕu cña A trªn SB. ViÖc gi¶i bµi to¸n nµy quy vÒ gi¶i bµi to¸n gèc. Ta cã: + (AM'B') ^ SA nªn (AM'B') cè ®Þnh. + AB' cè ®Þnh + = 1V nªn quü tÝch ®iÓm M' lµ ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB' trong mÆt ph¼ng (AM'B'). B©y giê häc sinh cã thÓ liªn hÖ bµi to¸n 3 víi bµi to¸n trªn ®Ó ®i ®Õn: KÎ DF ^ SB, chøng minh (p) = (DEF) cè ®Þnh vµ = 1V Þ quy tÝch ®iÓm E. VÝ dô 3: Cho tø diÖn SABC cã SA ^ mÆt ph¼ng (ABC). Gäi H, K lÇn l­ît lµ trùc t©m cña c¸c tam gi¸c ABC vµ SBC. Chøng minh: 1) SC ^ (BHK) 2) HK ^ (SBC) Gi¶i: 1) Do Þ BH ^ (SAC) Þ BH ^ SC (1) K lµ trùc t©m cña DSBC nªn BK ^ SC (2) Tõ (1) vµ (2) Þ SC ^ (BHK) Gäi I = AH Ç BC th×:Þ BC (SAI) Þ BC SI Þ K Î SI. Do vËy BC ^ (SAI) Þ BC ^ HK (3) Mµ SC (BHK) ( c©u a) Þ JC ^ HK (4) Tõ (3) vµ (4) Þ HK (SBC). Bµi to¸n 1: Trong (P) cho DABC cè ®Þnh, trªn ®­êng th¼ng Ax víi (P) lÊy ®iÓm S. Hy lµ ®­êng th¼ng ®i qua trùc t©m H cña tam gi¸c ABC vµ (SBC). Chøng minh r»ng khi S di ®éng trªn Ax, ®­êng th¼ng Hy lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. + So s¸nh bµi to¸n 1 vµ bµi to¸n gãc. Trong bµi to¸n gèc ®­êng th¼ng nµo ®ãng vai trß cña Hy?. + Quy bµi to¸n 1 vÒ bµi to¸n gèc? + Lêi gi¶i: Gäi K lµ trùc t©m tam gi¸c ABC Þ K cè ®Þnh. Chøng minh bµi to¸n gèc ta cã HK (SBC) Þ K Î Hy. Bµi to¸n 2: Trong mÆt ph¼ng (P) cho mét ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh. Mét ®­êng th¼ng d cè ®Þnh vu«ng gãc víi AB t¹i I Î AB. §­êng trßn (C) thay ®æi lu«n qua AB vµ c¾t d t¹i 2 ®iÓm M,N. Qua A dùng nöa ®­êng th¼ng Ax (P). vµ trªn Ax lÊy ®iÓm chuyÓn ®éng C. Chøng minh r»ng khi (C) thay ®æi, ®­êng th¼ng víi mÆt ph¼ng (CMN) vµ ®i qua trùc t©m cña tam gi¸c CMN lu«n ®i qua 1 ®iÓm cè ®Þnh. + C¸c yÕu tè nµo lµ cè ®Þnh, yÕu tè nµo lµ thay ®æi? + Dù to¸n ®iÓm cè ®Þnh cÇn t×m? NÕu häc sinh ®· gi¶i quyÕt bµi to¸n 1 th× bµi to¸n 2 th× sÏ dù ®o¸n ®ã lµ K víi K lµ trùc t©m tam gi¸c MAN. Tuy nhiªn, trong bµi to¸n 1, tam gi¸c ABC lµ cè ®Þnh, cßn trong bµi to¸n 2 do (C) thay ®æi nªn MN thay ®æi, dÉn ®Õn tam gi¸c AMN thay ®æi? V× riªng mÆt ph¼ng (P) vµ c¸c yÕu tè trªn (P). §Õn ®©y häc sinh sÏ nhí l¹i mét bµi to¸n quen thuéc trong h×nh häc ph¼ng: Tam gi¸c AMN néi tiÕp ( C). K lµ trùc t©m tam gi¸c AMN th× ¶nh ®èi xøng víi K qua c¹nh n»m trªn (C). Bµi to¸n 3: Trong mÆt ph¼ng (P) cho h×nh ch÷ nhËt ABCD, gäi I,J lµ trung ®iÓm cña c¹nh AB, CD. Trong mÆt ph¼ng qua I, J víi (P) dùng nña ®­êng trßn ®­êng kÝnh IJ. S lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn nöa ®­êng trßn ®ã. Gäi H', K' lÇn l­ît lµ c¸c h×nh chiÕu trùc t©m H, K cña c¸c tam gi¸c SAB vµ SCD xuèng (P). CMR tÝch HH'. KK' lµ ®¹i l­îng kh«ng ®æi khi S ch¹y trªn nöa ®­êng trßn ®· cho. Tr­íc hÕt h­íng dÉn häc sinh biÕn ®æitÝch HH'. KK' vÒ 1 tÝch dÔ ®¸nh gi¸ h¬n. Do S Î ®­êng trßn ®­êng kÝnh IJ nªn = 1V. Þ DIHH' DKJK'. Þ Þ HH'.KK' = JK' .IH' + Nªu ®Þnh l­îng chøng minh Jk'.JH' kh«ng ®æi? + Gäi y' cho häc sinh: Vai trß cña H' vµ K' lµ nh­ nhau nªn nÕu H' cè ®Þnh th× K' còng cè ®Þnh. Quy bµi to¸n vÒ chøng minh H', K' cè ®Þnh. §èi víi bµi to¸n nµy, häc sinh rÊt khã ph¸t hiÖn nã cã liªn hÖ víi bµi to¸n gèc v× nh÷ng dÊu hiÖu ®Ó nhËn biÕt kh«ng dÔ thÊy. Tuy nhiªn, ë ®©y ta vÉn cã sù xuÊt hiÖn cña trùc t©m H, vµ HH' (ABCD). Do vËy H' cã thÓ lµ trùc t©m cña mét tam gi¸c nµo ®ã vµ tam gi¸c ®ã sÏ ®ãng vai trß nh­ tam gi¸c SBC trong bµi to¸n gèc. Dù ®o¸n H' lµ trùc t©m cña tam gi¸c nµo? Chó ý ®Õn H' ÎIJ vµ IJ^AB, häc sinh sÏ nghÜ ngay tíi DABJ. H·y vÏ l¹i h×nh chãp SABJ ®Ó dÔ liªn hÖ víi bµi to¸n gèc. B©y giê cßn l¹i lµ chøng minh IJ ^ D(SAB) vµ quy vÒ bµi to¸n gèc ®Ó gi¶i. 2.4. VÊn ®Ò 4: ChuyÓn viÖc t×m tßi lêi gi¶i bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian vÒ bµi to¸n h×nh häc ph¼ng. H×nh häc kh«ng gian ®èi víi häc sinh líp 11 THPT lµ m«n häc cã cÊu tróc chÆt chÏ, cã néi dung phong phó h¬n so víi h×nh häc ph¼ng. Trong qu¸ tr×nh d¹y häc ë tr­êng THPT, chóng t«i nhËn thÊy ho¹t ®éng d¹y häc chuyÓn viÖc nh×n nhËn mét vÊn ®Ò h×nh häc kh«ng gian sang h×nh häc ph¼ng, hay viÖc gi¶i bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian vÒ viÖc gi¶i mét hoÆc nhiÒu bµi to¸n ph¼ng lµ mét viÖc lµm ®óng ®¾n. V× ®ã còng lµ mét trong nh÷ng ho¹t ®éng gãp phÇn rÌn luyÖn n¨ng lùc lËp luËn, sù s¸ng t¹o, tÝnh linh ho¹t vµ kh¶ n¨ng liªn t­ëng tõ kh«ng gian sang ph¼ng nãi riªng vµ trong bé m«n h×nh häc nãi chung cña häc sinh. Trong mèi liªn hÖ gi÷a h×nh häc ph¼ng vµ h×nh häc kh«ng gian, trªn c¬ së coi mÆt ph¼ng lµ mét bé phËn cña kh«ng gian chóng ta cÇn ®Æc biÖt chó träng "t¸ch" bé phËn ph¼ng ra khái kh«ng gian (vÏ h×nh, xÐt trªn chi tiÕt cña bµi to¸n). C¸c bé phËn ®­îc t¸ch ë ®©y cã thÓ lµ mÆt (mÆt cña khèi ®a diÖn), mÆt c¾t (thiÕt diÖn) hay ®­êng giao tuyÕn. VÊn ®Ò ë chç c¸c bé phËn ®­îc t¸ch thÓ hiÖn gi÷a c¸c yÕu tè ®· cho vµ c¸c yÕu tè cÇn t×m, gióp häc sinh tù gi¶i quyÕt ®­îc c¸c yªu cÇu cña bµi to¸n ®Æt ra. Th«ng qua d¹y häc c¸c chñ ®iÓm kiÕn thøc vÒ kho¶ng c¸ch, gãc, mÆt cÇu hoÆc th¼ng hµng, vu«ng gãc, song song, gi¸o viªn cÇn chó ý rÌn luyÖn cho häc sinh n¨ng lùc quy l¹ vÒ quen, chuyÓn c¸c bµi to¸n kh«ng gian vÒ bµi to¸n ph¼ng quen thuéc, ch¼ng h¹n: xÐt tiÕp tuyÕn cña mÆt cÇu quy vÒ xÐt tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn lín, t¹o bëi mÆt ph¼ng qua tiÕp tuyÕn vµ t©m mÆt cÇu. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c yÕu tè quy vÒ tÝnh c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng hoÆc tÝnh ®­êng cao cña tam gi¸c vu«ng. Khi gi¶i c¸c bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian gi¸o viªn vµ häc sinh th­êng gÆp khã kh¨n do mét sè nguyªn nh©n sau: - Häc sinh ph¶i cã trÝ t­ëng t­îng kh«ng gian cao khi ®øng tr­íc c¸c bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian. - V× h×nh häc kh«ng gian cã tÝnh trõu t­îng cao nªn viÖc lÜnh héi vµ sö dông c¸c tri thøc h×nh häc kh«ng gian lµ mét vÊn ®Ò khã kh¨n th­êng gÆp ®èi víi häc sinh còng nh­ c¸c gi¸o viªn. - Häc sinh quen víi h×nh häc ph¼ng nªn khi chuyÓn sang h×nh häc kh«ng gian th× häc sinh khã t×m thÊy c¸c tÝnh chÊt ph¼ng cña h×nh ph¼ng. Vµ do sö dông h×nh häc ph¼ng tõ tr­íc nªn khi chuyÓn sang nghiªn cøu cña h×nh häc kh«ng gian ch­a biÕt vËn dông nh÷ng tÝnh chÊt riªng cña h×nh häc ph¼ng cho h×nh häc kh«ng gian. Mét sè bµi to¸n kh«ng gian sù liªn hÖ gi÷a c¸c yÕu tè ®· cho vµ kÕt luËn cßn ch­a râ rµng nªn häc sinh ch­a lµm quen dÇn víi c¸c ®Þnh h­íng ®­îc. ChÝnh v× nh÷ng lý do trªn, chóng t«i ®­a ra mét sè bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian nh­ng cã thÓ chuyÓn vÒ bµi to¸n ph¼ng ®Ò gi¶i. VÝ dô 1: Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCDA1B1C1D1. Gäi G lµ träng t©m DA1BD. Chøng minh r»ng A, G, G1 th¼ng hµng. §©y lµ bµi to¸n thuéc d¹ng chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng. Nªn ta cã thÓ dïng phÐp chiÕu song song ®Ó gi¶i bµi to¸n trªn b»ng c¸ch chØ ra mét phÐp chiÕu song song mµ 3 ®iÓm ®ã lµ ¶nh trïng nhau hoÆc chøng minh 3 ®iÓm ®ã cã ¶nh qua phÐp chiÕu song song lµ c¸c bé 3 ®iÓm th¼ng hµng. + Chän phÐp chiÕu song song ((A1B1C1D1), AC1) + X¸c ®Þnh c¸c h×nh chiÕu cÇn thiÕt trªn mÆt ph¼ng chiÕu. Ph¸t biÓu bµi to¸n ph¼ng t­¬ng øng. Ta cã phÐp chiÕu song song (A1B1C1D1), AC1) biÕn . A1C1//AO víi O lµ t©m cña ABCD. Do ®ã nÕu lÊy ®iÓm O1 trªn A1C1 kÐo dµi vÒ phÝa C1 sao cho: C1O1 = AO th× OO1//AC1 Tõ ®ã suy ra Þ A1O a A1O1 Tõ gi¶ thiÕt G lµ träng t©m DBDA1 Þ G ÎA1O sao cho A1 G = 2GO Þ G a G1 ÎA1O1 sao cho G1A1 = 2G1O1 Khi ®ã bµi to¸n ®· cho chuyÓn vÒ bµi to¸n ph¼ng ®ã lµ chøng minh G1º C1 Û A1C1 = 2C1O1. + Gi¶i bµi to¸n ph¼ng ®ång thêi chuyÓn kÕt qu¶ vÒ kÕt luËn cña bµi to¸n ban ®Çu. ThËt vËy ta cã: C1O1 = AO = .AC =A1C1 Þ C1O1 = A1C1 Þ G1 = C1 VËy 3 ®iÓm A, G, C1 th¼ng hµng. VÝ dô 2: Cho h×nh tø diÖn ABCD. Gäi M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh AB, CD, vµ O lµ trung ®iÓm ®o¹n MN. Chøng minh r»ng ®­êng chÐo AO ®i qua träng t©m G cña DBCD. (§µo Tam (2005), Ph­¬ng ph¸p d¹y häc h×nh häc ë tr­êng THPT, NXB H§SP HuÕ). ViÖc chøng minh G lµ träng t©m O BCD quy vÒ chøng minh (1). ViÖc chøng minh G lµ träng t©m DBCD. Quy vÒ chøng minh GN = GB (1). ViÖc chøng minh hÖ thøc (1) ®­îc tiÕn hµnh nhê t¸ch bé ph©n ph¼ng (ABN) ra ngoµi. Tõ ®ã dÉn tíi bµi to¸n ph¼ng sau: "Cho tam gi¸c ABN. Gäi M lµ trung ®iÓm cña c¹nh AB, O lµ trung ®iÓm ®o¹n MN. §­êng th¼ng AO c¾t BN t¹i G. Chøng minh r»ng ViÖc gi¶i bµi to¸n nµy thuéc vÒ kiÕn thøc ë cuèi cÊp II. VÏ MK//AG, sö dông tÝnh chÊt ®­êng trung b×nh cña DABG vµ DMKN Þ BK = KG = GM. Tõ ®ã . VÝ dô trªn ®­îc gi¶i th«ng qua viÖc gi¸o viªn t¸ch bé phËn kh«ng gian ra khái tø diÖn vµ ®­a bµi to¸n cÇn gi¶i vÒ bµi to¸n ph¼ng quen thuéc mµ häc sinh ®· biÕt. VÝ dô 3: Cho h×nh hép ABCDA1B1C1D1 cã c¸c c¹nh bªn lµ AA1,BB1, CC1, DD1. X¸c ®Þnh giao ®iÓm G cña ®­êng chÐo AC1 vµ mÆt ph¼ng (A1BD). Chøng minh G lµ träng t©m DA1BD? Gi¶i: Ta cã: AC1 Ì mp(ACC1 A1), A1O//AC1 nªn gäi G = AC1ÇA1O Do A1O Ì mp(A1BD) Þ G Î mp(A1BD) VËy G lµ giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng AC1 vµ mp (A1BD). §Ó chøng minh F lµ träng t©m DA1BD ta cÇn chøng minh A1G = 2GO (O lµ trung ®iÓm BD). Khi ®ã chuyÓn bµi to¸n trong kh«ng gian vÒ bµi to¸n ph¼ng sau: "Cho h×nh b×nh hµnh ACC1A1. Gäi O lµ trung ®iÓm AC, G lµ gi¸o ®iÓm cña c¹nh AC1 vµ ®o¹n th¼ng A1O. Chøng minh A1G = 2GO" ThËt vËy: Do AO//A1C1 Þ ¸p dông ®Þnh lý Talet ta cã: (v× 2AO = AC = A1C1) Þ A1G = 2GO VËy G lµ träng t©m DA1BD. Chó ý: Ta còng cã thÓ chøng minh G lµ träng t©m DA1BD b»ng c¸ch sau: C¸ch 2: Gäi G lµ träng t©m DA1BD. §Ó chøng minh AC1 ®i qua G ta chøng minh AC1, A1O, DO1 ®ång quy (Trong ®ã O1 lµ trung ®iÓm AB) Ta cã: AC1 lµgiao tuyÕn cña mp(ACC1A1) vµ mp(ADC1B1) A1O lµ giao tuyÕn cña mp(A1BD) vµ mp(ACC1A1) DO1 lµ giao tuyÕn cña mp(A1BD) vµ mp(ADC1B1) MÆt kh¸c: A1O ÇDO1 = G VËy AC1, A1O, DO1 ®ång quy t¹i G. Hay giao ®iÓm cña AC1 vµ mp(A1BD) lµ träng t©m DA1BD. VÝ dô 4: Cho tø diÖn ABCD. a) Chøng minh r»ng c¸c ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm cÆp c¹nh ®èi cña tø diÖn c¾t nhau t¹i mét ®iÓm. b) Gäi A1, B1, C1 lÇn l­ît lµ träng t©m cña c¸c mÆt cña tø diÖn t­¬ng øng ®èi diÖn víi c¸c ®iÓm A, B, C, D. Chøng tá r»ng AA1, BB1, CC1, DD1 ®ång quy t¹i G vµ a) Gäi M, N, I, J, P, Q lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, CD, BC, AD, AC, BD. Ta cã: MJ // = BD IN // = BD Suy ra tø gi¸c MJNI lµ h×nh b×nh hµnh Þ MN, IJ c¾t nhau t¹i trung ®iÓm G cña chóng Chøng minh t­¬ng tù ta cã: Tø gi¸c MPNQ lµ h×nh b×nh hµnh. VËy MN, IJ, PQ ®ång quy t¹i G. b) ta cã IJ Ì mp(AID) Þ G Împ(AID) Gäi A1 lµ giao ®iÓm AG vµ ID Ta cÇn chøng minh: A1 lµ träng t©m DBCD vµ . ta ®­a vÒ bµi to¸n ph¼ng nh­ sau: "Cho DAID. Gäi J lµ trung ®iÓm AD, G lµ trung ®iÓm IJ. Gäi A1 lµ giao ®iÓm cña c¹nh ID vµ AG. Chøng minh r»ng A1D = 2A1I vµ " ThËt vËy: KÎ IK // AA1 ( k ÎID) Khi ®ã: JK lµ ®­êng trung b×nh DDAA: (1) GA1 lµ ®­êng trung b×nh DIJK: (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã: Þ ð. 2.5. KÕt luËn ch­¬ng 2. Trong ch­¬ng nµy luËn v¨n ®· nªu ra mét sè vÊn ®Ò nh»m båi d­ìng t­ duy s¸ng t¹o cho häc sinh th«ng qua d¹y häc gi¶i bµi tËp H×nh häc. Qua ®©y chóng t«i muèn nãi r»ng chóng ta hoµn toµn cã kh¶ n¨ng båi d­ìng t­ duy s¸ng t¹o cho häc sinh th«ng qua d¹y häc gi¶i bµi tËp To¸n. Ch­¬ng 3 Thùc nghiÖm s­ ph¹m 3.1. Môc ®Ých thùc nghiÖm Thùc nghiÖm s­ ph¹m ®­îc tiÕn hµnh nh»m kiÓm tra tÝnh kh¶ thi vµ tÝnh hiÖu qu¶ cña c¸c vÊn ®Ò ®· ®­îc ®Ò xuÊt. 3.2. Néi dung thùc nghiÖm Cho häc sinh tiÕp cËn víi nh÷ng h×nh thøc d¹y häc båi d­ìng t­ duy s¸ng t¹o th«ng qua gi¶i bµi tËp. Nh÷ng vÊn ®Ò ®· ®­a ra tiÕn hµnh d¹y häc thùc nghiÖm bao gåm: D¹ng 1: RÌn luyÖn t­ duy s¸ng t¹o qua bµi to¸n dùng h×nh. D¹ng 2: Sö dông bµi to¸n gèc D¹ng 3: Gi¶i bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian chuyÓn vÒ bµi to¸n h×nh häc ph¼ng. D¹ng 4: Gi¶i bµi to¸n b»ng nhiÒu c¸ch 3.3. Tæ chøc thùc nghiÖm 3.3.1. Chän líp thùc nghiÖm ViÖc thùc nghiÖm s­ ph¹m ®­îc thùc hiÖn t¹i tr­êng THPT Nghi Léc 1. Líp thùc nghiÖm: Líp 11A3 cã 47 häc sinh Líp ®èi chøng: Líp 11A7 cã 41 häc sinh Gi¸o viªn d¹y hai líp nµy lµ thÇy gi¸o NguyÔn Träng Ngµ. Dùa vµo kÕt qu¶ kiÓm tra chÊt l­îng ®Çu n¨m th× chÊt l­îng cña hai líp t­¬ng ®èi ®Òu nhau. 3.3.2. H×nh thøc tæ chøc thùc nghiÖm §ît thùc nghiÖm ®­îc tiÕn hµnh tõ 20/10/2007 ®Õn 22/11/2007. 3.3.2.1. VÒ néi dung ViÖc båi d­ìng t­ duy s¸ng t¹o cho häc sinh th«ng qua d¹y häc gi¶i bµi tËp h×nh häc cho häc sinh khèi 11 kh«ng nh÷ng cung cÊp cho c¸c em nh÷ng c¸ch gi¶i kh¸c nhau ®èi víi mét bµi to¸n mµ cßn lµm cho c¸c em n¾m v÷ng kiÕn thøc h×nh häc h¬n. HiÓu vµ vËn dông mét c¸ch s¸ng t¹o h¬n trong qu¸ tr×nh gi¶i to¸n. HÖ thèng c¸c vÝ dô, bµi tËp ®­a ra phï hîp víi tr×nh ®é nhËn thøc, kh¶ n¨ng tiÕp thu cña häc sinh. Lµm häc sinh hiÓu ®­îc b¶n chÊt c¸c vÊn ®Ò khi häc. 3.3.2.2. VÒ h×nh thøc ViÖc ®Ò xuÊt mét sè vÊn ®Ò ®Ó båi d­ìng t­ duy s¸ng t¹o cho häc sinh th«ng qua d¹y häc gi¶i bµi tËp t¹o ®iÒu kiÖn cho häc sinh cã thªm nh÷ng c¸ch gi¶i kh¸c nhau cho mét sè d¹ng to¸n. §ång thêi gióp cho gi¸o viªn cã nh÷ng thuËn lîi trong viÖc gi¶ng d¹y gióp häc sinh tiÕp thu vµ vËn dông kiÕn thøc mét c¸ch linh ho¹t, s¸ng t¹o. Tr­íc khi tiÕn hµnh thùc nghiÖm, t«i trao ®æi víi gi¸o viªn d¹y thùc nghiÖm vÒ môc ®Ých, néi dung, kÕ ho¹ch cô thÓ cho gi¸o viªn d¹y thùc nghiÖm ®Ó ®i tíi viÖc thèng nhÊt môc ®Ých, néi dung vµ ph­¬ng ph¸p d¹y c¸c tiÕt thùc nghiÖm. §èi víi líp ®èi chøng vÉn d¹y nh­ nh÷ng giê b×nh th­êng. ViÖc d¹y häc thùc nghiÖm vµ ®èi chøng ®­îc tiÕn hµnh song song theo lÞch tr×nh d¹y cña nhµ tr­êng. Chóng t«i ®· phèi hîp mét sè ph­¬ng ph¸p d¹y häc nh­: Ph­¬ng ph¸p gi¶i quyÕt vÊn ®Ò, ph­¬ng ph¸p ®µm tho¹i ®Ó thùc hiÖn c¸c biÖn ph¸p ®· ®Ò xuÊt. Th«ng qua c¸c bµi kiÓm tra, th­êng xuyªn theo quy ®Þnh cña ph©n phèi ch­¬ng tr×nh vµ mét bµi kiÓm tra hÕt ch­¬ng. Chóng t«i theo dâi qu¸ tr×nh häc tËp cña häc sinh vµ ®iÒu chØnh ph­¬ng ph¸p kiÕn thøc truyÒn thô. KÕt thóc ch­¬ng tr×nh d¹y thùc nghiÖm chóng t«i cho häc sinh lµm bµi kiÓm tra cïng ®Ò bµi víi líp ®èi chøng. Bµi kiÓm tra sè 1 Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh ABCD; O lµ t©m cña h×nh b×nh hµnh Êy. H·y dùng thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (P) qua ®iÓm I trªn SO song song SB vµ AC. KÕt qu¶ bµi kiÓm tra sè 1: §iÓm Líp 3 4 5 6 7 8 9 10 Tæng sè bµi 11A3 1 4 6 10 11 9 6 0 47 11A7 4 8 8 9 6 4 2 0 41 - Líp thùc nghiÖm cã 42/47 (89%) ®¹t trung b×nh trë lªn. Trong ®ã cã 55% kh¸ giái. Cã 6 em ®¹t ®iÓm 9. Kh«ng cã em nµo ®¹t ®iÓm tuyÖt ®èi. - Líp ®èi chøng cã 29/41 (70%) ®¹t trung b×nh trë lªn. Trong ®ã cã 29% kh¸ giái. Cã 2 em ®¹t ®iÓm 9. Kh«ng cã em nµo ®¹t ®iÓm tuyÖt ®èi. Bµi kiÓm tra sè 2 Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCDA'B'C'D' cã ®­êng chÐo AC' = 2a; vµ AB = AA' = a. 1) Chøng minh r»ng hai ®­êng th¼ng AC' vµ CD' ^ víi nhau. 2) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm D tíi mÆt ph¼ng (ACD') (b»ng 2 c¸ch). 3) X¸c ®Þnh ®­êng vu«ng gãc chung cña AC' vµ CD'. TÝnh ®é dµi cña ®­êng vu«ng gãc chung ®ã. Thang ®iÓm: C©u 1: 3 diÓm C©u 2: 4 ®iÓm C©u 3: 2 ®iÓm VÏ h×nh ®óng, ®Ñp: 1 ®iÓm KÕt qu¶ bµi kiÓm tra sè 2: §iÓm Líp 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tæng sè bµi 11A3 1 1 4 4 7 11 10 8 1 47 11A7 2 4 7 6 10 8 3 1 0 41 - Líp thùc nghiÖm cã 41/47 (87%) ®¹t trung b×nh trë lªn. Trong ®ã cã 63% kh¸ giái. Cã 8 em ®¹t ®iÓm 9. Cã 1 em ®¹t ®iÓm tuyÖt ®èi. - Líp ®èi chøng cã 28/41 (68%) ®¹t trung b×nh trë lªn. Trong ®ã cã 29% kh¸ giái. Cã 1 em ®¹t ®iÓm 9. Kh«ng cã em nµo ®¹t ®iÓm tuyÖt ®èi. 3.4. KÕt luËn chung vÒ thùc nghiÖm 3.4.1. §¸nh gi¸ ®Þnh tÝnh Qua quan s¸t ho¹t ®éng d¹y, häc ë líp thùc nghiÖm vµ líp ®èi chøng, t«i thÊy: - ë líp thùc nghiÖm, häc sinh tÝch cùc ho¹t ®éng, chÞu khã suy nghÜ, t×m tßi vµ ph¸t huy t­ duy ®éc lËp, s¸ng t¹o h¬n ë líp ®èi chøng. H¬n n÷a, t©m lý häc sinh ë líp thùc nghiÖm tho¶i m¸i, t¹o mèi quan hÖ th©n thiÕt, cëi më gi÷a thÇy vµ trß. - Kh¶ n¨ng tiÕp thu kiÕn thøc míi, gi¶i c¸c bµi tËp to¸n cao h¬n h¼n so víi bµi ®èi chøng. C¸c em cã thÓ vËn dông c¸c quy tr×nh hoÆc c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i c¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n cña h×nh häc kh«ng gian vµo gi¶i c¸c bµi tËp cô thÓ. C¸c em biÕt huy ®éng kiÕn thøc c¬ b¶n, c¸c tri thøc liªn quan ®Ó gi¶i c¸c bµi tËp to¸n, kü n¨ng lùa chän cña häc sinh cao h¬n, tr×nh bµy lêi gi¶i bµi to¸n mét c¸ch chÆt chÏ, ng¾n gän vµ râ rµng h¬n. 3.4.2. §¸nh gi¸ ®Þnh l­îng C¶ hai bµi kiÓm tra ®Òu cho thÊy kÕt qu¶ ®¹t ®­îc cña líp thùc nghiÖm cao h¬n so víi líp ®èi chøng, ®Æc biÖt lµ lo¹t bµi ®¹t kh¸, giái cao h¬n h¼n. KÕt qu¶ thu ®­îc trªn b­íc ®Çu cho phÐp kÕt luËn r»ng: NÕu gi¸o viªn cã ph­¬ng ph¸p d¹y häc thÝch hîp vµ häc sinh cã kiÕn thøc c¬ b¶n, v÷ng ch¾c, kh¶ n¨ng huy ®éng kiÕn thøc c¬ b¶n cao th× thuËn lîi h¬n trong viÖc tæ chøc ho¹t ®éng nhËn thøc cho häc sinh. Nhê ®ã häc sinh n¾m v÷ng ch¾c vµ hiÓu s©u c¸c kiÕn thøc ®­îc tr×nh bµy trong s¸ch gi¸o khoa, ®ång thêi ph¸t triÓn t­ duy s¸ng t¹o, gãp phÇn n©ng cao hiÖu qu¶ d¹y häc m«n to¸n. KÕt luËn Qua qu¸ tr×nh nghiªn cøu ®Ò tµi "Båi d­ìng t­ duy s¸ng t¹o cho häc sinh THPT qua d¹y häc gi¶i bµi tËp h×nh häc " chóng t«i ®· thu ®­îc kÕt qu¶ chÝnh sau: 1. Lµm s¸ng tá mét sè kh¸i niÖm liªn quan ®Õn t­ duy, t­ duy s¸ng t¹o. 2. §Ò xuÊt ®­îc mét sè vÊn ®Ò nh»m båi d­ìng t­ duy s¸ng t¹o cho häc sinh. 3. B­íc ®Çu kh¼ng ®Þnh tÝnh kh¶ thi vµ tÝnh hiÖu qu¶ cña nh÷ng vÊn ®Ò ®· ®Ò xuÊt th«ng qua viÖc kiÓm nghiÖm b»ng thùc nghiÖm s­ ph¹m. 4. LuËn v¨n cã thÓ lµm tµi liÖu tham kh¶o cho gi¸o viªn To¸n ë tr­êng THPT. Qua nh÷ng nhËn xÐt trªn, chóng t«i nhËn ®Þnh: Gi¶ thuyÕt khoa häc cña luËn v¨n lµ chÊp nhËn ®­îc, nhiÖm vô nghiªn cøu ®· hoµn thµnh. Tµi liÖu tham kh¶o [1] Lª Quang ¸nh, TrÇn Th¸i Hïng, NguyÔn Hoµng Dòng (1993), TuyÓn tËp nh÷ng bµi to¸n khã vµ ph­¬ng ph¸p gi¶i to¸n H×nh häc kh«ng gian, NXB TrÎ - Thµnh phè Hå ChÝ Minh [2] Ph¹m Xu©n Chung (2001), Khai th¸c tiÒm n¨ng s¸ch gi¸o khoa H×nh häc 10 THPT hiÖn hµnh qua mét sè d¹ng bµi tËp ®iÓn h×nh nh»m ph¸t triÓn n¨ng lùc t­ duy s¸ng t¹o cho häc sinh (LuËn v¨n th¹c sÜ Khoa häc s­ ph¹m) [3] Hoµng Chóng (1969) RÌn luyÖn kh¶ n¨ng s¸ng t¹o to¸n häc ë tr­êng phæ th«ng. NXB Gi¸o dôc [4] Crutexki V.A (1980) Nh÷ng c¬ së cña T©m lý häc s­ ph¹m, NXB Gi¸o dôc. [5] Crutexki V.A (1973) T©m lý n¨ng lùc To¸n häc cña häc sinh, NXB Gi¸o dôc. [6] G. Polya (1968) To¸n häc vµ nh÷ng suy luËn cã lý, NXB Gi¸o dôc [7] G. Polya (1978) S¸ng t¹o To¸n häc, NXB Gi¸o dôc [8] Ph¹m V¨n Hoµn, NguyÔn Gia Cèc, TrÇn Thóc Tr×nh (1981), Gi¸o dôc häc m«n To¸n, NXB Gi¸o dôc. [9] NguyÔn Th¸i HoÌ (2001), RÌn luyÖn t­ duy qua viÖc gi¶i bµi tËp to¸n, NXB Gi¸o dôc. [10] Phan Huy Kh¶i (1998), To¸n häc n©ng cao cho häc sinh H×nh häc 11, NXB §¹i häc Quèc gia Hµ Néi. [11] NguyÔn B¸ Kim, Vò D­¬ng Thuþ (1996), Ph­¬ng ph¸p d¹y häc m«n To¸n, NXB Gi¸o dôc. [12] Lene (1977) D¹y häc nªu vÊn ®Ò, NXB Gi¸o dôc [13] Th¸i V¨n Long (1999), Kh¬i dËy vµ ph¸t huy n¨ng lùc tù häc, s¸ng t¹o cña ng­êi häc trong gi¸o dôc ®µo t¹o, Nghiªn cøu gi¸o dôc. [14] TrÇn LuËn (1995), D¹y häc s¸ng t¹o m«n to¸n ë tr­êng phæ th«ng, Nghiªn cøu gi¸o dôc. [15] TrÇn LuËn (1995), Ph¸t triÓn t­ duy s¸ng t¹o cho häc sinh th«ng qua hÖ thèng bµi tËp to¸n, Nghiªn cøu gi¸o dôc. [16] §µo Tam, NguyÔn V¨n Léc (1996), Gi¸o tr×nh H×nh häc s¬ cÊp vµ ph­¬ng ph¸p d¹y häc h×nh häc ë tr­êng phæ th«ng NXB Gi¸o dôc. [17] §µo Tam (2005), Ph­¬ng ph¸p d¹y häc H×nh häc ë tr­êng THPT, NXB §¹i häc s­ ph¹m Hµ Néi. [18] T«n Th©n (1995), X©y dùng hÖ thèng c©u hái vµ bµi tËp nh»m båi d­ìng mét sè yÕu tè cña t­ duy s¸ng t¹o cho häc sinh kh¸ vµ giái ë tr­êng THCS ViÖt Nam, ViÖn Khoa häc gi¸o dôc. [19] NguyÔn V¨n ThuËn (2004), Gãp phÇn ph¸t triÓn n¨ng lùc t­ duy l«gic vµ sö dông chÝnh x¸c ng«n ng÷ To¸n häc cho häc sinh ®Çu cÊp THPT trong d¹y häc §¹i sè, LuËn ¸n TiÕn sÜ gi¸o dôc häc, Vinh. [20] NguyÔn C¶nh Toµn (1997), Ph­¬ng ph¸p luËn duy vËt biÖn chøng víi viÖc häc, d¹y, nghiªn cøu To¸n häc, NXB §¹i häc Quèc gia Hµ Néi. [21] Vò D­¬ng Thuþ, Vò Quèc Chung (1999), Ph¸t triÓn t­ duy s¸ng t¹o cho häc sinh TiÓu häc trong qu¸ tr×nh d¹y c¸c yÕu tè h×nh häc, Nghiªn cøu gi¸o dôc. [22] TrÇn Träng Thñy (2000), S¸ng t¹o, mét chøc n¨ng quan träng cña trÝ tuÖ, Th«ng tin khoa häc [23] TrÇn Thóc Tr×nh (1998), T­ duy vµ ho¹t ®éng To¸n häc, ViÖn Khoa häc gi¸o dôc [24] §øc Uy, T©m lý häc s¸ng t¹o, NXB Gi¸o dôc