Luận văn Các dạng hội tụ của dãy hàm đo được

ược trên .¡ Nhưng, ( ) 1,f x x= " ÎR nên f đo được trên ¡ . ( )ii Nếu f và g đo được, hữu hạn trên A thì f g+ đo được trên A . Gọi { }n nr là dãy các số hữu tỷ. ,a" Î ¡ f g a+ < f a gÛ < - : .nn f r a gÛ $ Î < < -¥ { } { } { }( ) 1 .n nA A A n f g a f r g a r ³ Þ + < < Ç < - ÎU F f gÞ + đo được trên .A * Tuy nhiên, mệnh đề đảo của mệnh đề trên nói chung không đúng. Nghĩa là, nếu ta có f g+ đo được thì chưa suy ra được f và g đo được. Ví dụ: Xét các hàm số ( ) î í ì Ï Î = Ax Ax xf ,0 ,1 và ( ) 1, ; 0, . x A g x x A - Îì = í Ïî Với ,A AÌ ¡ là tập không đo được Lebesgue. Ta có: ( )1 ,0f A- -¥ = và ( ) Ag =+¥- ,01 . nên gf , là những hàm số không đo được trên .¡ Nhưng, ( )( ) 0,f g x x+ = " ÎR nên gf + đo được trên .¡ ( )iii Nếu f và g đo được và hữu hạn trên A thì f g- cũng đo được trên A . Thật vậy, vì g đo được nên g- đo được. Do đó, ( )f g f g- = + - đo được trên A . ( )iv Nếu f và g đo được, hữu hạn trên A thì .f g đo được trên A . LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 22 - Thật vậy, ( ) ( )2 21. 4 f g f g f gé ù= + - -ë û nên .f g đo được trên .A * Tuy nhiên, mệnh đề đảo của mệnh đề ( )iv không đúng. Ví dụ: Xét các hàm số ( ) 1, ; 0, . x A f x x A Îì = í Ïî và ( ) 0, ; 1, . x A g x x A Îì = í Ïî Với ,A AÌ ¡ là tập không đo được Lebesgue. Rõ ràng, ,f g không đo được trên ¡ . Nhưng, ( )( ). 0,f g x x= " Ρ nên gf . là hàm đo được trên .¡ Nhận xét: Hàm f đo được A Û hàm f + và f - đo được trên .A Trong đó: { }max ,0 ;f f+ = { }max ,0f f- = - ( )v Nếu f và g đo được, hữu hạn trên A thì { } { }max , , min ,f g f g đo được trên .A Thật vậy, ta có: { } ( )1max , 2 f g f g f gé ù= + + -ë û ; { } ( )1min , 2 f g f g f gé ù= + - -ë û là những hàm đo được trên .A Do đó { }min ,f g , { }max ,f g đo được trên A . ( )vi Nếu f và g đo được và hữu hạn trên A , ( ) 0, ,g x x A¹ " Î thì f g đo . được trên .A Thật vậy, do ( ) 0,g x x A¹ " Î nên: ,a" Î ¡ 22 , 0; 1 1 , 0 A A a a g ag a Æ £ì ì ü ï >í ýî þ ïî þî LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 23 - Þ 2 1 . A a g ì ü < Îí ý î þ F Như vậy, 2 1 g đo được trên .A Do 2 1.f f g g g = nên suy ra g f đo được trên .A ( )vii Nếu dãy ( ){ }n nf x ÎN là một dãy những hàm số đo được và hữu hạn trên A thì các hàm số ( ){ }sup n nn f x ÎN , ( ){ }inf n nn f x ÎN , ( ){ }lim n nf x ÎN , ( ){ }lim n nf x ÎN là những hàm đo được, và nêu tồn tại lim nx f f®¥ = , thì f cũng đo được trên A . Thật vậy, ,a" ÎR ( ){ }{ } { } 1 sup n n A n A n f x a f a ³ £ = £ ÎI F ,a" ÎR ( ){ }{ } { } 1 inf n n An A n f x a f a ³ < = < ÎU F Do đó, ( ){ }sup n nn f x ÎN , ( ){ }inf n nn f x ÎN là những hàm đo được trên .A Vì 1 lim inf sup ;n mn m n f f ³ ³ = 1 lim sup infn mm nn f f ³³ = Nên suy ra nn ff lim,lim cũng là những hàm đo được trên .A Do đó, nếu ff nn =¥®lim thì lim nf f= Vậy, f đo được trên A . 1.3- TÍCH PHÂN LEBESGUE 1.3.1. Tích phân của hàm đơn giản không âm Å Định nghĩa Xét một không gian có độ đo ( ), ,X mF , AÎF . LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 24 - Hàm số f xác định trên A được gọi là hàm đơn giản nếu f đo được và nhận một số hữu hạn những giá trị hữu hạn. Như vậy, nếu f là hàm đơn giản không âm xác định trên tập .AÎF Khi đó, f có dạng: ( )å = = n i A xaf i 1 c ( )* Trong đó, iA đo được, rời nhau và U n i iAA 1= = . Người ta gọi ( )å = n i ii Aa 1 m là tích phân của hàm đơn giản f đối với độ đo m trên .A Ký hiệu: A fdmò . Tích phân của hàm đơn giản không âm f được xác định bởi ( )* là duy nhất với mọi cách biểu diễn của hàm f . 1.3.2 Tích phân của hàm đo được không âm Trước khi trình bày định nghĩa tích phân hàm đo được không âm, luận văn đề cập lại định lý về cấu trúc của hàm đo được: Å Định lý Mỗi một hàm số đo được trên A đều là giới hạn của một dãy { }n nf những hàm đơn giản trên A : lim , .nn f f x A®¥ = " Î Hơn nữa, nếu 0,f ³ thì tồn tại { }n nf sao cho: nf đơn giản, 0nf ³ , 1n nf f+ ³ , và lim , .nn f f a®¥ = " Î ¡ Chứng minh • Ta chứng minh cho trường hợp 0³f trên .A Với mỗi số tự nhiên n , ta đặt: LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 25 - ( ){ }nxfAxCn ³Î= :0 ( ) ( )1: , 1, 2,..., 22 2 i n n n n i iC x A f x i-ì ü= Î £ < =í ý î þ Đặt: ( ) 0, 1 , 2 n n i nn n x C f x i x C ì Î ï= í - Îïî Khi đó, nf là hàm đơn giản trên A , 0³nf , và 1n nf f+ ³ Ta chứng minh lim nnf f®¥= + Nếu ( ) ¥<xf thì n$ đủ lớn: nfn < Do đó, :i$ ( ) nn ixfi 22 1 <£ - ( ) nn ixf 2 1- =Þ ( ) ( ) 0 2 1 ®<-Þ nn xfxf khi n ® ¥ Như vậy, .lim nn ff ¥®= + Nếu ( ) +¥=xf thì ( ) ,f x n n> " Do đó ( ) nxfn = và ( ) ( ).lim xfxfnn =+¥=¥® • Xét trường hợp f là hàm đo được bất kỳ trên A . Khi đó, f f f+ -= - Vì -+ ff , là các hàm không âm nên theo chứng minh trên tồn tại hai dãy hàm đơn giản { } { }-+ nn ff , : lim nnf f + + ®¥ = ; lim nnf f - - ®¥ = Đặt: n n nf f f+ -= - Ta được { }nnf là dãy hàm đơn giản và .lim ffffnn =-= -+ ¥® Å Định nghĩa LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 26 - Giả sử f là đo được không âm, xác định trên tập A . Khi đó, tồn tại nf dãy hàm đơn giản, không âm, đơn điệu tăng, và lim .nx f f®¥ = Tích phân của hàm f trên A đối với độ đo m được định nghĩa là: fdmò = lim nn A f dm ®¥ ò . 1.3.3 Tích phân của hàm đo được bất kỳ Nếu f là hàm đo được bất kỳ, ta phân tích: -+ -= fff . Nếu A f dm+ò hoặc A f dm-ò hữu hạn thì hiệu số A f dm+ -ò A f dm-ò có nghĩa và nó được gọi là tích phân của hàm f trên A đối với độ đo .m Hàm f được gọi là khả tích trên A nếu ò A fdm hữu hạn. 1.3.4 Tính chất ( )i Các tính chất đơn giản: Å ( ). A cd c Am m=ò Å ( ) ( ).B A x d A Bac m am= Çò Å ( ) ( ) 1 1 . i n n i B i i i iA x d A Ba c m a m = = = Çå åò ( )ii Nếu f đo được trên A và ( ) 0Am = thì 0. A fdm =ò ( )iii Nếu f đo được, giới nội trên A và ( )Am < ¥ thì f khả tích trên A . ( )iv Tính chất cộng tính: Nếu A BÇ = Æ thì A B A B fd fd fdm m m È = +ò ò ò , nếu một trong hai vế của đẳng thức có nghĩa. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 27 - ( )v Tính bảo toàn thứ tự: Å Nếu gf = h.k.n trên A thì . A A fd gdm m=ò ò ( gf = h.k.n trên A nếu ( ) 0: =Ì$ BAB m và ( ) ( ) B\, Axxgxf Î"= ). Å Nếu f g£ trên A thì A A fd gdm m£ò ò ( )vi Tính chất tuyến tính: Å , A A cfd c gd cm m= " Îò ò .¡ Å ( ) . A A A f g d fd gdm m m+ = +ò ò ò (nếu vế phải có nghĩa). 1.3.5 Giới hạn qua dấu tích phân Định lý hội tụ đơn điệu Cho dãy hàm đo được { }nf . Nếu 0 nf f£ ­ trên A thì lim nn A A f d fdm m ®¥ =ò ò . Chứng minh ● Nếu { }nf là dãy các hàm đơn giản thì hiển nhiên theo định nghĩa tích phân ta có lim .nn A A f d fdm m ®¥ =ò ò ● Xét trường hợp { }nf bất kỳ. Gọi ijh là các hàm đơn giản không âm sao cho : 11131211 ... fhhhh n ­££££ 22232221 ... fhhhh n ­££££ …………………………. Đặt { }1 2max , ,...,n n n nnh h h h= Ta có: nh là dãy hàm đơn giản, không âm, đơn điệu tăng và nn fh £ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 28 - Do đó, ( )*n n A A A h f f£ £ò ò ò Mặc khác, nk £" thì nnkn fhh ££ Cho ¥®n ta được : fhf nnk ££ ¥®lim Cho k ® ¥ , ta có fhnn =¥®lim Kết hợp với (*), và cho ¥®n ta suy ra : lim nn A A f d fdm m ®¥ =ò ò . Å Bổ đề Fatou Nếu 0nf ³ trên A thì lim lim .n n A f d f dm m£ò ò Chứng minh Đặt { },...,inf 1+= nnn ffg Ta có nn fg lim0 ­£ Do đó, òò =¥® A n A nn fg limlim Nhưng vì nn fg £ , n" nên òò £ A n A n fg Do đó: òòò £= ¥® A n A nn A n fgg limlimlim Vậy, lim lim .n n A f d f dm m£ò ò Chú ý: ( )i Nếu ggfn ,³ khả tích trên A thì bổ đề Fatou vẫn còn đúng. Thật vậy, do gfn ³ nên 0³- gfn trên A. Từ kết quả trên ta được: ( ) ( )òò -£- A n A n gfgf limlim Vì ò A g hữu hạn nên : LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 29 - ( ) ( ) òòò ò +-£+- AA n A A n ggfggf limlim hay, òò £ A n A n ff limlim . ( )ii Nếu ggfn ,£ khả tích trên A thì: òò ³ A n A n ff limlim . Thật vậy, Do gfn £ nên gfn -³- và do hàm g- khả tích nên thẻo câu a. ta có: ( ) ( )òò -£- A n A n ff limlim ( ) òò -£-Þ A n A n ff limlim Vậy, òò ³ A n A n ff limlim LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 30 - Chương 2: SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC 2.1 CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC 2.1.1 Hội tụ hầu khắp nơi (converges almost everywhere) § Định nghĩa Cho dãy { }n nf và hàm f đo được trên A . Dãy { }n nf được gọi là hội tụ hầu khắp nơi về hàm f trên A nếu: :B A$ Ì ( ) 0Bm = và ( ) ( )lim nn f x f x®¥ = , \Bx A" Î Ký hiệu: .a enf f¾¾® hay . . .h k nnf f¾¾¾® Ví dụ: Xét các hàm số: 1 2, , 3n n n f nc é ù ê úë û = ³ và 0f = trên [ ]0,1 Khi đó .a enf f¾¾® trên [ ]0,1 . § Tính chất Cho { } gff nn ,, là những hàm đo được trên A . Khi đó, nếu ff ean ¾®¾ . trên A và .a enf g¾¾® trên A thì gf = h.k.n trên .A Chứng minh Vì ff ean ¾®¾ . trên A nên ( ) ( ) ( ): 0, lim , \BnnB A B f x f x x Am ®¥$ Ì = = " Î Vì .a enf g¾¾® trên A nên ( ) ( ) ( ): 0, lim , \CnnC A C f x g x x Am ®¥$ Ì = = " Î Gọi CBD È= Ta có: ( ) 0=Dm , và D\Ax Î" thì ( ) ( )xgxf = Vậy, gf = h.k.n trên .A LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 31 - Như vậy, nếu đồng nhất các hàm số tương đương thì giới hạn h.k.n của một dãy những hàm số đo được là duy nhất. § Định lý hội tụ bị chặn của Lebesgue Nếu , ,nf g n£ " hàm g khả tích, và .a enf f¾¾® (hoặc trong độ đo) trên A thì: lim .nn A A f f ®¥ =ò ò 2.1.2 Hội tụ đều (converges uniformly) § Định nghĩa Cho dãy { }n nf và hàm f đo được trên A . Dãy { }n nf được gọi là hội tụ đều về hàm f trên A nếu: ( ) ( ) ( )0 0 00, : , nn n n n x A f x f xe e e" > $ = " ³ " Î Þ - < Ký hiệu: nf fI . Ví dụ Trên ( )( ), , m¥ ¥P với m là độ đo đếm. Xét dãy hàm ( ) 1 , 1 0 , n x n f x x x n ì £ £ï= í ï >î Ta có ( )nf x I 1 x trên ¥ . Thật vậy, 0 0 10, , ,n n n xe e " > $ > " > " Î¥ ta luôn có: ( ) 0 1 1 nf x x n e- £ < . — Với { } ,n nf f là những hàm đo được trên A . Đặt ( ) { }n k k n T r f f r ¥ = = - >U Khi đó ( )nT r là tập đo được. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 32 - Sau đây là điều kiện cần và đủ để một dãy hàm đo được hội tụ đều. § Định lý Cho { } ,n nf f là những hàm đo được trên tập .A Khi đó nf fI ( ) ( ) ( )0, : n rr n r T rÛ " > $ Î N = Æ . Chứng minh ( )Þ Giả sử nf fI trên A Khi đó: ( ) ( )0, : ,r n r k n r x A" > $ Î N " ³ " Î thì ( ) ( )kf x f x r- £ Þ ( ) ( )n rT r = Æ . ( )Ü Giả sử ta có ( )0, :r n r" > $ Î N ( ) ( )n rT r = Æ ( ) ,k n r x AÞ " ³ " Î thì ( ) ( )kf x f x r- £ Vậy nf fI trên A . 2.1.3 Hội tụ đều hầu khắp nơi (converges uniformly almost gfhfdheverywhere) Cho dãy { }n nf và hàm f đo được trên A . Dãy { }n nf được gọi là hội tụ đều hầu khắp nơi về hàm f trên A nếu: ( ): 0B A Bm$ Ì = và nf fI trên \B.A Ký hiệu: nf fI hầu khắp nơi (hoặc nf fI a.e). 2.1.4 Hội tụ theo độ đo (converges in measure) § Định nghĩa Cho dãy { }n nf và hàm f đo được trên A . Dãy { }n nf được gọi là hội tụ theo độ đo m về hàm f trên A nếu: LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 33 - ( ) ( ){ }0, lim : 0nn x A f x f xe m e®¥" > Î - ³ = Ký hiệu: nf fm¾¾® trên A . Như vậy, nf fm¾¾® ( ) ( ){ }0 00, 0, 0 : , : nn n n x A f x f xe d m e dÛ " > " > $ ³ " > Î - ³ < . Ví dụ: Xét các hàm số: 1 2,n n n f c é ù ê úë û = , với 2n ³ và 0f = trên [ ]0,1 Khi đó nf fm¾¾® trêm [ ]0.1 , với m là độ đo Lebesgue trên .¡ § Tính chất của dãy hàm hội tụ theo độ đo Cho m là độ đo. ( )i Nếu nf fm¾¾® trên A , m là độ đo đủ, và f g= h.k.n thì .nf gm¾¾® ( )ii Nếu nf fm¾¾® và nf gm¾¾® thì f g= h.k.n. Chứng minh ( )i Ta có: n nf g f f f g- £ - + - { } { } { }0, 0n nf g f f f ge e eÞ " > - ³ Ì - ³ È - > { } { } { }0 0n nf g f f f gm e m e mÞ £ - ³ £ - ³ + - > Vì f g= h.k.n nên: { }0 0f gm - > = Do đó, { } { }0 0n nf g f fm e m e£ - ³ £ - ³ ® khi n ® ¥ Vậy, .nf gm¾¾® ( )ii Ta có: n nf g f f f g- £ - + - Do vây, với 0,e > 2 2 n n f f f g f g e e e é - ³ê - ³ Þ ê ê - ³êë Do đó, LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 34 - { } 2 2n n f g f f f ge ee ì ü ì ü- ³ Ì - ³ È - ³í ý í ý î þ î þ Suy ra, { } 2 2n n f g f f f ge em e m mì ü ì ü- ³ £ - ³ + - ³í ý í ý î þ î þ Khi n ® ¥ thì: 2n f f em ì ü- ³í ý î þ 0® 2n f g em ì ü- ³í ý î þ 0® Suy ra { } 0f gm e- ³ = khi n ® ¥ Đặc biệt, 1, 0n f g n m ì ü" - ³ =í ý î þ Mặt khác, { } { } 1 10 n f g f g f g n³ ì ü¹ = - > = - ³í ý î þ U Suy ra { } 1 1 0 n f g f g n m m ³ ì ü¹ £ - ³ =í ý î þ å Vậy, f g= h.k.n. 2.1.5 Hội tụ trung bình (converges in the mean) § Định nghĩa Dãy { }n nf các hàm khả tích được gọi là hội tụ trung bình về hàm khả tích f trên A nếu: ( ), 0n n A f f f f dr m= - ®ò khi n ® ¥ . LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 35 - § Định lý hội tụ trung bình (Mean convergence theorem) Giả sử { }n nf , f là những hàm đo được trên A thỏa mãn: ( ) ( )lim ,nn f x f x x A®¥ = " Î , và tồn tại những hàm khả tích ,h g thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) nAxxhxfxg n "Î"££ ,, ( )1 Khi đó, nf f- khả tích và nf hội tụ trung bình về f . Chứng minh Do { }n nf , f là những hàm đo được nên nf f- cũng đo được. Từ ( )1 cho n ® ¥ ta có: ( ) ( ) ( ) ,g x f x h x x A£ £ " Î ( ) nh g f f h gÞ - - £ - £ - 0 nf f h gÞ £ - £ - , với h g- là hàm khả tích. Kết hợp với điều kiện ( ) ( )lim ,nn f x f x x A®¥ = " Î , áp dụng định lý hội tụ bị chặn của Lebesgue, ta suy ra: lim 0nn A f f ®¥ - =ò Vậy, nf hội tụ trung bình về f . 2.1.6 Hội tụ hầu như đều (converges almost uniformly) § Định nghĩa Dãy hàm đo được { }n nf được gọi là hội tụ hầu như đều về hàm đo được f trên A nếu: 0,e" > ( ):B A Bm e$ Ì < và nf fI trên \BA Ký hiệu: .a unf f¾¾® . LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 36 - § Định lý Cho dãy { }n nf và hàm f đo được trên A . Khi đó: ( )( ) 0. ®Û¾®¾ rTff nuan m khi n ® ¥ . Chứng minh ( )Þ 0e" > cho trước, Be$ đo được: ( )Bem e< , và nf fI trên \A Ee Do đó, với 0r > , ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ): n r n rn r T r B T re m e$ Î N Ì Þ < Do 0e > là tùy ý nên ( ) ( )( ) 0n rT rm ® khi n ® ¥ . ( )Ü Do ( )( ) 0nT rm ® khi n ® ¥ nên: 0e" > cho trước, và với mọi số tự nhiên p sao cho: 1: 2pp n p n T p e m æ öæ ö $ Î N <ç ÷ç ÷ è øè ø Đặt 1 1 np p B T pe ¥ = æ ö = ç ÷ è ø U thì Be đo được và ( ) 1 2 pp Be e m e ¥ = £ =å Do 1 pn T B p e æ ö Ìç ÷ è ø nên , \pk n x A Be" ³ " Î thì ( ) ( ) 1 ,kf x f x pp - < " Như vậy, .a unf f¾¾® trên .A 2.2 CÁC DẠNG DÃY CƠ BẢN 2.2.1 Dãy cơ bản hầu khắp nơi (Cauchy almost everywhere, hoặc fundamental almost everywhere) Dãy { }n nf được gọi là cơ bản hầu khắp nơi trên A nếu: ( ): 0B A Bm$ Ì = , ( )0 0\ , 0, , :x A B n n xe e" Î " > $ = ( ) ( ) 0, ,n mf x f x n m ne- < " ³ . LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 37 - 2.2.2 Dãy cơ bản đều ( uniformly Cauchy) Dãy hàm đo được { }n nf trên A được gọi là cơ bản đều trên A nếu: ( ) ( )0 00, : , , .m nn m n n x A f x f xe e" > $ Î N " ³ " Î Þ - < 2.2.3 Dãy cơ bản hầu như đều (almost uniformly Cauchy) Dãy hàm đo được { }n nf trên A được gọi là cơ bản hầu như đều trên A nếu: ( )0, :E Ed dd m d" > $ < và { }n nf cơ bản đều trên \E .A d 2.2.4 Dãy hàm cơ bản trung bình (Cauchy in the mean hoặc mean fundamental) Dãy { }n nf các hàm khả tích được gọi là cơ bản trung bình nếu: ( ), 0n m n m A f f f f dr m= - ®ò khi ,m n ® ¥ . 2.2.5 Dãy cơ bản trong độ đo (Cauchy in measure, hoặc fundamental in measure). Cho không gian độ đo ( ), , ,X Am ÎF F . Cho dãy { }n nf đo được trên A với m là độ đo. Dãy { }n nf được gọi là cơ bản theo độ đo m trên A nếu: { }0, 0n mf fe m e" > - ³ ® khi , .m n ® ¥ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 38 - 2.3 SỰ LIÊN HỆ GIỮA CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM ĐO ĐƯỢC 2.3.1 Liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ theo độ đo Định lý Cho dãy hàm { }n nf , và hàm f khả tích trên A . Khi đó nếu nf hội tụ trung bình về f thì ffn ¾®¾ m . Chứng minh Với số dương tùy ý 0e > cho trước, đặt: { }n AB f f e= - ³ Ta luôn có: ( )n n A B f f d f f d Bm m em- ³ - ³ò ò Từ giả thiết nf hột tụ trung bình về hàm f , ta có: 0n A f f dm- ®ò khi n ® ¥ Do đó, ( ) 0Bm ® khi n ® ¥ Như vậy, nf fm¾¾® . * Chiều ngược lại của định lý nói chung không đúng, tức là, nếu dãy hàm nf f m¾¾® , thì ta chưa thể suy ra được nf hột tụ trung bình về hàm f . Sau đây là một ví dụ minh họa. Ví dụ: Xét dãy hàm nf trên [ ]1,0 được xác định như sau: ( ) 1, 0, 10, ,1 n n x n f x x n ì é ùÎï ê úï ë û= í æ ùï Îç úï è ûî và hàm 0f = . Ta có: [ ]{ }( ) 1 10,1 : 0; 0nx f f n nm e m é ùÎ - ³ = = ®ê úë û khi .n ® ¥ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 39 - Do đó, .nf fm¾¾® Tuy nhiên, [ ] 1 1 0 0 1, 0,1 n nf f d nd xm m- = = " Îò ò nên nf không hội tụ trung bình về hàm f . 2.3.2 Liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ hầu khắp nơi § Định lý Cho dãy hàm { }n nf khả tích trên A . Ngoài ra, .a e nf f¾¾® . Khi đó nếu tồn tại hàm khả tích không âm g sao cho nf g£ thì nf hội tụ trung bình về hàm f . Chứng minh Do .a enf f¾¾® nên . 0a enf f- ¾¾® Ta còn có: n nf f f f- £ + 2g£ Áp dụng định lý hội tụ bị chặn ta có: 0n A f f- ®ò khi n ® ¥ Vậy, nf hội tụ trung bình về hàm f . * Ví dụ sau cho thấy { }n nf hội tụ hầu khắp nơi về hàm f , nhưng { }n nf dfghdfkhông hộiftụ trung bình về hàm f . Xét ( ) 2 21n nf x n x = + . Ta có: [ ]1,0Î"x , ( ) 2 2 2 1lim lim lim 011nn n n nf x n x nx n ®¥ ®¥ ®¥ = = = + + Do đó, . 0a enf ¾¾® trên đoạn [ ]1,0 . LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 40 - Tuy nhiên, ( ) 1 1 2 2 0 0 lim lim 1nn n nf x dx dx n x®¥ ®¥ = +ò ò [ ] ( )02 0 1lim lim lim 1 2 nu nx n n n n du arctgu arctgn u p= ®¥ ®¥ ®¥ = = = = +ò Như vậy, nf không hội tụ trung bình về 0. § Định lý Cho dãy hàm { }n nf , và f khả tích. Nếu nf hội tụ trung bình về hàm f thì tồn tại dãy con { } { }kn nf fÌ sao cho . . k a e nf f¾¾® Chứng minh: Do nf hội tụ trung bình về hàm f nên nf fm¾¾® Suy ra tồn tại dãy con { } { }kn nf fÌ sao cho . .k a enf f¾¾® 2.3.3 Liên hệ giữa hội tụ theo độ đo và hội tụ hầu khắp nơi § Định lý Cho dãy hàm { }n nf đo được trên A , hội tụ hầu khắp nơi về f trên A và m là độ đo đủ thì f đo được trên A . Nếu ( )Am < ¥ thì .nf fm¾¾® Chứng minh Å Ta chứng minh f đo được trên A . Đặt { }: nB x A f f= Î ®/ , khi đó ( ) 0Bm = Do m đủ nên f đo được trên B . Mặt khác, trên \B,A nf f¾¾® fÞ đo được trên \B.A LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 41 - Như vậy, f đo được trên ( )\BA B A= È . Å Giả sử ta có ( )Am < ¥ , ta cần chứng minh nf fm¾¾® trên .A Với 0e > cho trước, ta có: Nếu , : n in i f f e+" $ - ³ thì x BÎ { } 1 1 n i n i f f Be+ ³ ³ Þ - ³ ÌIU Do m đủ nên { } 1 1 0n i n i f fm e+ ³ ³ æ ö - ³ =ç ÷ è ø IU Đặt { } 1 n n i i E f f e+ ³ = - ³U Như vậy, ta có: 1 0n n Em ³ æ ö =ç ÷ è ø I Khi n tăng, số hạng n if + giảm. Do đó, số phần tử của A trong nE bị ít đi. Vì thế, ta có 1 2 3 ... ...nE E E EÉ É É É É Mặt khác, ( ) ( )1E Am m£ < ¥ . Do đó ta có ( )lim 0nn Em®¥ = ( )1lim 0nn Em -®¥Þ = Ta có: { } { } { }1 1 1 1 2 n n i n n i i i E f f f f f fe e e- - + - + ³ ³ æ ö = - ³ = - ³ È - ³ç ÷ è ø U U Ta có: { }( ) ( )10 n nf f Em e m -£ - ³ £ { }( )lim 0nn f fm e®¥Þ - ³ = Vậy, .nf fm¾¾® * Có những dãy hàm hội tụ hầu khắp nơi nhưng không hội tụ hầu theo độ đo. Ví dụ Xét tập hợp số thực ¡ với độ đo Lebesgue. Chọn [ ], 1n n nf c += . LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 42 - Ÿ Ta có 0nf ® khi n ® ¥ Ÿ Tuy nhiên, nf không hội tụ hầu theo độ đo về 0 vì với 1 2 e = thì: ( ) [ ]10 , 1 1 0 2 x f x n nm mì ü- ³ = + = ®í ý î þ . § Định lý Cho dãy hàm { }n nf , và hàm f đo được trên A . Khi đó, nếu nf f m¾¾® trên A thì tồn tại dãy con { } .: .k k a en nnf f fÎN ¾¾® Chứng minh Chọn dãy số dương { } : 0,k kke e ® và dãy { } 1 : 0, .k k kk k h h h ¥ = > < ¥å Do nf fm¾¾® nên ( ) ( ) { }, : ,k n k kn k n n k f fh m e h" $ " ³ - ³ £ Đặt ( ) ( ){ }1 2 11 , max 1, 2 ,...n n n n n= = + 1 2 ...n nÞ < < và { }( ), kn k kk f fm e h" Î - ³ £¥ Đặt { },ki n k k i Q f f e ¥ = = - ³U và 1 i i B Q ¥ = = I ( ) ( ) { }( ) 0ki n k k k i k i B Q f fm m m e h ¥ ¥ = = Þ £ £ - ³ £ ®å å ( ) 0BmÞ = Mặt khác, \Bx A" Î : ii x QÞ $ Ï , 0 kn k k i f f eÞ " ³ - £ ® khi k ® ¥ Vậy . . k a e nf f¾¾® LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 43 - 2.3.4 Liên hệ giữa hội tụ trung bình và hội tụ đều § Định lý Nếu { }n nf là dãy hàm khả tích hội tụ đều về hàm f trên A , và ( )Am < +¥ , thì nf hội tụ trung bình về hàm f . Chứng minh Do nf fI nên: ( ) ( )0 00, : , ,nn f x f x n n x Ae e" > $ - < " ³ " Î Ta có n nf f f f£ - + nên n n A A A f f f f£ - +ò ò ò ( ). Ae m£ + n A fò < +¥ Vậy, f khả tích trên A . Mặt khác, 0 ,n n" ³ ta có: ( ) , 0n A f f Aem e- £ " >ò 0, .n A f f nÞ - ® ® ¥ò Vậy, nf hội tụ trung bình về hàm f . 2.3.5 Liên hệ giữa hội tụ hầu như đều và hội tụ hầu khắp nơi § Định lý Cho { } ,n nf f là những hàm đo được trên A . Khi đó nếu .a u nf f¾¾® trên A thì .a enf f¾¾® trên .A Chứng minh Do .a unf f¾¾® nên với mỗi số tự nhiên k , tồn tại kE sao cho ( ) 1 kE k m < và nf fI trên .ckE LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 44 - Đặt 1 c k k F E ¥ = = U thì nf f¾¾® trên F Mặt khác, ( ) ( ) 1 ,c kF E kkm m£ < " ( ) 0cFmÞ = Vậy, .a enf f¾¾® trên A . * Chiều ngược lại của định lý nói chung không đúng. Tuy nhiên nếu có thêm một số điều kiện, thì chiều ngược lại sẽ đúng. Cụ thể, ta có định lý sau: § Định lý Cho { } ,n nf f là những hàm đo được trên A , ( )Am < +¥ . Khi đó nếu .a e nf f¾¾® thì .a unf f¾¾® . Chứng minh Với ,k n là những số nguyên dương cho trước, đặt: 1kn m m n E f f k ¥ = ì ü= - <í ý î þ I , và lim knnE E= Từ giả thiết .a enf f¾¾® trên A , suy ra, ( )\E 0Am = Do vậy, với 0e > cho trước, ( )kn: \E ,2k kkn A n n e m$ < " ³ Đặt 1 k k n k F E ¥ = = I , thì F đo được, và: ( ) ( ) ( )k kn n 11 \F \E \Ek kk A A Am m e ¥ ¥ == æ ö = £ <ç ÷ è ø åU Mặt khác, 1, : , k k n k nx F E n n f f kk " Î Ì " ³ - < " Î¥ Vậy, nf hội tụ hầu như đều về .f LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 45 - 2.3.6 Liên hệ giữa hội tụ theo độ đo và hội tụ hầu như đều § Định lý Cho dãy hàm { }n nf , f là những hàm đo được trên A . Khi đó, nếu .a u nf f¾¾® thì nf fm¾¾® . Chứng minh Do .a unf f¾¾® nên với mọi số tự nhiên m , tồn tại tập đo được mE thỏa: ( ) 1mE mm < , và nf fI trên m\EA ( ) ( ), : ,N m n N me eÞ $ Î N " > thì { }n mf f Ee- ³ Ì Þ { }( ) ( ) 1 ,n mf f E mmm e m- ³ £ < " { }( ) 0nf fm eÞ - ³ = Vậy, nf fm¾¾® . * Chiều ngược lại của định lý này nói chung không đúng. Tuy nhiên, ta có định lý sau: § Định lý Cho dãy hàm { }n nf , f là những hàm đo được trên A . Nếu nf fm¾¾® , thì tồn tại dãy con { }kn kf Ì { }n nf sao cho .k a unf f¾¾® . Chứng minh Do nf fm¾¾® nên ta có: k" Î ¥ , đặt ( ) ( ) 1n nE x f x f x k ì ü = - ³í ý î þ thì ( ) 0nEm ® khi n ® ¥ Chọn kn sao cho kn n" > ta có ( ) 2 knEm -< LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 46 - Đặt ( ) ( ) 1 kk n A x f x f x k ì ü = - ³í ý î þ và j k k j G A ¥ = = U Khi đó, với C Cj kx G x AÎ Þ Î , với k j³ Suy ra, ( ) ( ) 1 kn f x f x k - < , với k j³ Đặt jG G= Ç , ta có: ( ) ( ) ( ) 12 2 ,k jj k k j k j G G A jm m m ¥ ¥ - - + = = £ £ = = "å å Suy ra, ( ) 0Gm = . Nếu ,jx G x G jÏ Þ Ï " Þ ( ) ( ) 1 kn f x f x k - < , k" Với 0e > , chọn k sao cho 1 k e< . Khi đó ta có: ,x G" Ï l kn n" > Þ ( ) ( ) 1 ln f x f x k e- < < Do kn không phụ thuộc vào x nên ta có .k a u nf f¾¾® . § Định lý Riesz Nếu { }n nf là dãy hàm đo được là cơ bản theo độ đo trên ( ),A Am < +¥ , thì tồn tại dãy con { }kn kf , và hàm đo được f sao cho knf hầu khắp nơi, hầu như đều, và theo độ đo về f trên .A Chứng minh Å Do dãy hàm đo được { }n nf là cơ bản trong độ đo, do đó: ( ) ( ) { }( )0, : , m nN m n N f fa a a m a a" > $ Î N " ³ Þ - ³ £ Đặt ; 2 1 1 ÷ ø ö ç è æ= Nn 1 1max 1, , 1 2k k k n n N k+ ì üæ ö= + ³í ýç ÷ è øî þ Xét dãy knk fg = là dãy con của { }nnf , dãy hàm { }kkg có tính chất sau: LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 47 - Nếu đặt þ ý ü î í ì ³-= + kkkk ggE 2 1 1 thì ( ) 1 2k k Em £ Đặt IU ¥ = ¥ = = 1n nk kEF thì ( ) 0=Fm Mặt khác, \ , : \ ,x k xx A F k x A E k k" Î $ Î " ³ Do vậy, kij ³>" , ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xgxgxgxgxgxg iijjij -++-£- +- 11 ... 1 1 1... 2 2j i- < + + 1 1 2i- < ( )xgkÞ là dãy cơ bản trong , \R x A F" Î ( )xgkÞ là dãy hội tụ Đặt: ( ) ( )lim , \ 0 , \ kk g x x A F f x x A F ®¥ ì Îï= í Ïïî Như vậy, fg eak ¾®¾ . trên .A Å Với 0>"g cho trước, và số tự nhiên k thỏa mãn 1 1 2k g- £ . Đặt: U ¥ = = kj kk EF Khi đó: ( ) gm <£ -12 1 kkF Mặt khác, nếu ckFx Î thì ,cjx E j kÎ " ³ Do đó, nếu kij ³> thì: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xgxgxgxgxgxg iijjij -++-£- +- 11 ... ij 2 1... 2 1 1 ++£ - LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 48 - 12 1 -£ i Cho ¥®j ta có: ( ) ( ) 1 1 1 1 , , 2 2 C i Ki kf x g x x F i kg- -- £ < £ " Î " ³ Suy ra, ig hội tụ đều về f trên ckF Vậy, fg uai ¾®¾ . trên .A Å Mọi dãy hội tụ hầu như đều thì hội tụ hầu khắp nơi. Do đó, ta có thể chon dãy con { }iig để ta có .fgi ¾®¾m 2.3.8 Liên hệ giữa hội tụ hầu khắp nơi và hội tụ đều § Định lý Egoroff Cho ( ) ¥<Am , dãy hàm nf , và f đo được trên A . Nếu ff ean ¾®¾ . , thì với mỗi số 0>e , tồn tại ( ): CE A Em eÌ < , và nf hội tụ đều về hàm f trên E . Chứng minh Do .a enf f¾¾® trên A nên: C A$ Ì : ( ) 0Cm = và ( ) ( )lim nn f x f x®¥ = \x B A C" Î = Với mỗi ,m n , đặt: ( ) ( ), 1:m n j j n B x B f x f x m ¥ = ì ü= Î - <í ý î þ I Ta có: { },m nB là dãy đơn điệu tăng: ,1 ,2 ...m mB BÌ Ì Vì ( ) ( )lim ,nn f x f x x B®¥ = " Î nên ,1 m nn B B ¥ = = U Do đó: ( ) ( ),lim m nnB Bm m®¥= Với mỗi m , :mn$ ( ) ( ) ( ), ,\ 2m mm n m n mB B B B e m m m= - < LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 49 - Đặt , 1 \ mm n m D A B ¥ = = I Ta có: ( ) ( ), 1 1 \ 2mm n mm m D B B em m e ¥ ¥ = = £ £ <å å Gọi , 1 mm n m E B ¥ = = I Ta có: E đo được, E AÌ và ( ) ( )\A E Dm m e= < , ,mm nx E x B m" Î Þ Î " . Do đó: ( ) ( ) 1 ,j mf x f x j nm- < " ³ Điều này chứng tỏ nf fI trên E . 2.3.9 Liên hệ giữa hội tụ trung bình và cơ bản trung bình § Định lý Giả sử ,nf f là những hàm khả tích trên A sao cho nf hội tụ trung bình về hàm f trên A . Khi đó { }n nf là dãy cơ bản trung bình. Chứng minh ,m n" ÎN , ta luôn có: n m n mf f f f f f- £ - + - Þ n m n m A A A f f f f f f- £ - + -ò ò ò Cho ,m n ® ¥ , kết hợp với điều kiện nf hội tụ trung bình về hàm f , suy ra: 0n m A f f- ®ò Þ { }n nf là dãy cơ bản trung bình. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 50 - 2.3.10 Liên hệ giữa cơ bản trung bình và cơ bản theo độ đo Nếu dãy { }n nf các hàm khả tích là cơ bản trung bình thì { }n nf là cơ bản trong độ đo. Chứng minh Với số dương tùy ý 0e > cho trước, đặt: { }mn n m AA f f e= - ³ Ta luôn có: ( ) mn n m n m mn A A f f d f f d Am m em- ³ - >ò ò Do { }n nf là dãy cơ bản trung bình, suy ra 0n m A f f dm- ®ò khi ,n m ® ¥ ( ) 0mnAmÞ ® khi , .n m ®¥ Như vậy, { }n nf là cơ bản trong độ đo. 2.3.11 Liên hệ giữa cơ bản trung bình và hội tụ hầu như đều § Định lý Cho { }n nf là những hàm khả tích trên A . Khi đó nếu { }n nf là cơ bản trung bình trên A thì tồn tại dãy con { }kn kf của dãy { }n nf , và hàm đo được f trên A sao cho . k a u nf f¾¾® trên A . Chứng minh Vì dãy { }n nf là cơ bản trung bình trên nên { }n nf là cơ bản trong độ đo. Theo định lý Riesz, tồn tại dãy con { }kn kf của { }n nf , và hàm f sao cho . k a u nf f¾¾® trên A . 2.3.12 Liên hệ giữa cơ bản hầu như đều và hội tụ hầu như đều § Định lý LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 51 - a. Dãy hàm đo được { }n nf thỏa .a u nf f¾¾® trên A thì { }n nf là dãy cơ bản hầu như đều trên .A b. Nếu { }n nf là cơ bản hầu như đều trên A thì tồn tại hàm đo được f sao cho .a u nf f¾¾® Chứng minh a. Do .a unf f¾¾® nên ( )0, :B A Be m e" > $ Ì < , và nf fI trên \B.A Khi đó, ( ) ( )0 00, : , \B2nn n n f x f x x A e e" > $ Î " > Þ - < " Î¥ Như vậy, 0 00, : ,n n m ne" > $ Î N " > , ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , \Bm n m nf x f x f x f x f x f x x Ae- £ - + - < " Î Þ { }n nf là cơ bản đều trên \BA . Vậy, { }n nf là cơ bản hầu như đều trên .A b. Lấy 1 , 1, 2,...k k e = = Khi đó, kE$ : ( ) 1 kE k m < và { }n nf là cơ bản đều trên \ kA E Đặt 1 k k E E ¥ = = I Ta có: ( ) 1 ,E k k m < " Do đó: ( ) 0Em = Nếu :c Ckx E k x EÎ Þ $ Î Þ ( ){ }n nf x là dãy cơ bản Do đó, tồn tại ( )f x : ( ) ( )lim nn f x f x®¥ = Ta xem ( ) 0f x = trên E Ta có: .a enf f¾¾® LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 52 - Với 0, 0, ,F ne d > $ Î¥ sao cho: ( )Fm e Đặt CG F E= Ç ta có ( )Gm e< Cho m ® ¥ ta có ( ) ( ) 0, ,nf x f x x G n nd- < " Î " ³ Do đó nf fI trên CG Như vậy .a unf f¾¾® . 2.3.13 Liên hệ giữa cơ bản theo độ đo và cơ bản hầu như đều Cho dãy hàm { }nnf đo được trên A . Khi đó, nếu { }nnf là cơ bản theo độ đo thì tồn tại dãy con { } knk f sao cho { } knk f là cơ bản hầu như đều. Chứng minh Do { }nnf là cơ bản trong độ đo trên A nên , :kk m" Î $¥ 1 1 , , 2 2m n kk k f f m n mm æ öì ü- ³ < " ³í ýç ÷ î þè ø ( )1 Đặt: ;11 mn = { };,1max 212 mnn += { };,,1max 323 mnn += ……… Khi đó, dãy số .....,, 21 nn sẽ xác đinh cho ta dãy con { }knkf của { }nnf Với mỗi k , đặt: 1 1 2k kk n n k E f f + ì ü= - ³í ý î þ ,i k k i B E i ¥ = = Î¥U Ta chứng minh kn f là cơ bản đều trên ciB . Với mỗi i và số thực 0>e bất kỳ, ta chọn sr, sao cho ,isr ³³ và 1 1 2s e- < LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 53 - Với mọi Cix BÎ , ta có: 1r s k kn n n n k s f f f f + ¥ = - £ -å 1 2kk s ¥ = £ å 12 1 -£ s e< Như vậy, dãy con { } knk f là cơ bản đều trên ciB Mặt khác, 0>"h , 1 1: 2i i h-$ < Kết hợp với ( )1 ta có: ( ) ( ) 1 1 1 2 2i k k ik i k i B Em m h ¥ ¥ - = = £ £ = <å å Như vậy, { } knk f là cơ bản hầu như đều trên .A 2.3.14 Liên hệ giữa cơ bản theo độ đo và hội tụ theo độ đo Định lý Cho { } ,n nf f là những hàm đo được. Khi đó, nf f m¾¾® thì dãy { }n nf là cơ bản trong độ đo. Ngược lại, nếu { }n nf là cơ bản trong độ đo, thì tồn tai hàm đo được f thỏa mãn nf fm¾¾® . Chứng minh ( )Þ Với mỗi 0e > cho trước, ta luôn có: m n m nf f f f f f- £ - + - { } 2 2m n m n f f f f f fe ee ì ü ì üÞ - ³ Ì - ³ È - ³í ý í ý î þ î þ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 54 - { }( ) 2 2m n m nf f f f f f e e m e m m æ ö æ öì ü ì üÞ - ³ Ì - ³ + - ³í ý í ýç ÷ ç ÷î þ î þè ø è ø Cho ,m n ® ¥ , kết hợp với điều kiện nf fm¾¾® trên A , ta có: { }( )m nf fm e- ³ 0® Vậy, { }n nf là dãy cơ bản trong độ đo. ( )Ü Giả sử { }n nf là cơ bản trong độ đo. Khi đó, tồn tại dãy con là { }kn kf sao cho { }kn kf là dãy cơ bản hầu như đều. Gọi ( ) ( )lim knk f x f x ®¥ = , vơi x mà tại đó giới hạn tồn tại. Ta có, với mỗi 0e > : { } 2 2k kn n n n f f f f f fe ee ì ü ì ü- ³ Ì - ³ È - ³í ý í ý î þ î þ Suy ra: { }( ) 0nf fm e- ³ ® khi n ® ¥ Vậy, .nf fm¾¾® 2.3.15 Lược đồ thể hiện mối liên hệ giữa các dạng hội tụ. Như vậy, sự hội tụ của các dãy hàm đo được có mối quan hệ với nhau. Đễ dễ nắm được các mối quan hệ này, sau đây là lược đồ thể hiện mối quan hệ giữa chúng. Tuy nhiên, mối quan hệ này có sụ thay đổi, tùy thuộc có hay không điều kiện ( )Am < ¥ . Sau đây là hai trường hợp này: Kí hiệu: uni: hội tụ đều (uniformly). au: hội tụ hầu như đều (almost uniformly). a.e: hội tụ hầu khắp nơi (almost everywhere). meas: hội tụ trong độ đo (in measure). mean: hội tụ trung bình (in mean). LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 55 - § Trường hợp ( )Am < ¥ § Trường hợp tổng quát a.e mean a.u meas uni mean a.u meas a.e uni LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 56 - Chương 3: BÀI TẬP Bài giải Ta định nghĩa hàm nf như sau: ( ) ï ï î ïï í ì £< ££ = .11,0 ;10, x n n xn xf n Å . 0a enf ¾¾® . Thật vậy, [ ]0, 0,1xe" > " Î , tồn tại số 0 0 1:n x n < Khi đó: 0n n" > ta có: 1 x n < ( ) 0nf x eÞ = < . Å Tuy nhiên, ta có: [ ] 01 1,01,0 ®/== òò úû ù êë é n n nddf mm khi n ® ¥ Vậy, { }nnf không hội tụ trung bình về .f Bài giải Trên không gian độ đo [ ]1,0=X với độ đo Lebesgue trên r , đặt: ( ) nn xxf = và ( ) 0=xf . ( )1 Chứng minh ff n ® hầu như dều. Bài 1: Cho ví dụ về dãy hàm { } [ ]1,01Lf nn Ì sao cho .a enf f¾¾® nhưng { }nnf không hội tụ trung bình về .f Bài 2: Cho ví dụ về dãy hàm đo được thỏa mãn các điều kiện sau: ( )1 Hội tụ hầu như đều. ( )2 Không hội tụ đều. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 57 - Với 0>e , đặt { } 2 1,min e h = , và [ ]1,1 he -=A Ta có: ( )m Ae h e= < , ( ) ( ) ( )nn xfxf h-£- 1 , \Ax X e" Î Vậy, nf hội tụ hầu như đều trên X . ( )2 Chứng minh nf không hội tụ đều về f trên X . Ta thấy tại 1=x thì ( ) 1®xf n nên ff n ®/ Vậy, nf không hội tụ đều về hàm f trên [ ]0,1 . Bài giải ( )Þ Vì nf fm¾¾® nên: ( ) ( ){ }0, 0, , : : nN n N x f x f xe d m e d" > " > $ " ³ - ³ < Chọn d e= ta có: ( ) ( ){ }0, , : : nN n N x f x f xe m e e" > $ " ³ - ³ < ( )Ü 0, 0, :m m e e d d" > > $ < Với 0 m e > theo giả thiết ta có: , :N n N$ " ³ ( ) ( ): nx f x f x m m e e m dì ü- ³ < <í ý î þ Do ( ) ( ){ }: nx f x f xm e- ³ £ ( ) ( ): nx f x f x m e m ì ü- ³í ý î þ nên suy ra: ( ) ( ){ }: nx f x f xm e d- ³ < Vậy, nf f m¾¾® . Bài 3: Chứng minh rằng: ( ) ( ){ }0, , : :n nf f N n N x f x f xm e m e e¾¾® Û " > $ Î " ³ - ³ <¥ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 58 - Bài giải Ta có: nf f m¾¾® trên ¥ ( ) ( ){ }0, lim : 0nn x f x f xe m e®¥Û " > Î - ³ =¥ ( ) ( ){ }0, , : : nN n N x f x f xe eÛ " > $ " ³ Î - ³ = Æ¥ Û ( ) ( )0, , , : nN n N x f x f xe e" > $ " ³ Î - <¥ Û nf fI trên ¥ . Bài giải Đặt nnn fgh -= , nnn fgk += , khi đó ta có 0nh ³ và 0³nk . Áp dụng bổ đề Fatou cho dãy { }nnh ta có: òò £ A n A n hh limlim Þ ( ) ( )lim limn n n n A A g f g f- £ -ò ò Þ ( ) ( )( ) ( )lim lim lim limn n n n n A A A A A g f g f g f g f- = - = + - £ -ò ò ò ò ò ( ) ( )lim lim lim limn n n n n A A A A A g f g f g f£ - £ + - £ -ò ò ò ò ò lim n A A f fÞ £ò ò ( )1 Tương tự, áp dụng bổ đề Fatou cho dãy hàm { }nnk ta có: lim n A A f f³ò ò ( )2 Bài 4: Cho m là độ đo đếm trên ¥ . Chứng minh rằng: nf f m¾¾® Û nf fI Bài 5: Cho { } 1,, Lgfg nn Î , và gg ean ¾®¾ . . Giả sử dãy hàm đo được { }nnf thỏa nn gf £ và .a enf f¾¾® , và òò =¥® AA nn gglim . Chứng minh rằng: òò =¥® AA nn ff .lim LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 59 - Từ ( )1 và ( )2 ta có: òò =¥® AA nn ff .lim Bài giải ( )a Vì j liên tục nên: ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }: :n nx f x f x x f x f xj j® Ì ®/ /o o Þ ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }( ): :n nx f x f x x f x f xm j j m® £ ®/ /o o Từ giả thiết: ff ean ¾®¾ . suy ra: ( ) ( ){ }( ): nx f x f xm ®/ 0= Þ ( ) ( ){ }( ): nx f x f xm j j®/o o 0= Vậy, . .a enf fj j¾¾®o o ( )b Do j là liên tục đều nên: ( ) ( ) ( ) ( ) .:0,0 ejjedede $>" yxyx Å Trường hợp ff n ® đều. Do nf hội tụ đều về hàm f nên: ( ) ( ) ( ) ( )eded "$> xfxfAxnnn n,:,0 00 Do đó, ( )( ) ( )( ) 0, ,nf x f x n n x Aj j e- " Îo o . Vậy, nf fj j®o o đều trên A . Å Trường hợp ff n ® hầu như đều. Bài 6: Cho dãy hàm { }nnf , và hàm f những hàm đo được trên A, và hàm :j ®¡ ¡ . Chứng minh rằng: ( )a Nếu j liên tục và ff ean ¾®¾ . thì . .a enf fj j¾¾®o o ( )b Nếu j liên tục đều và ff n ® đều, hầu như đều, hay theo độ đo thì ff n .. jj ® đều, hầu đều, hay theo độ đo. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 60 - Do ff n ® hầu như đều trên A nên: Với 01 >"e , E$ : ( ) 1em <E , và nf hội tụ đều về f trên E.\A Từ kết quả trên ta có: Þ nfj o hội tụ đều về fj o trên E.\A Vậy, .a unf fj j¾¾®o o trên .A Å Trường hợp nf f m¾¾® Do f liên tục đều nên: ( ) ( )0, 0 : .x y x ye d d j j e" > $ > - < Þ - < Do đó nếu: ( ) ( ) ( ) ( )n nf x f x f x f xd j j e- < Þ - <o o Vậy, ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }: :n nx f x f x x f x f xj j e d- ³ Ì - ³o o Suy ra: ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }: : 0n nx f x f x x f x f xm j j e m d- ³ £ - ³ ®o o khi n ® ¥ Do đó: ( ) ( ){ }: nx f x f xm j j e- ³o o 0® khi n ® ¥ Do vậy, nf f mj j¾¾®o o trên A . Bài giải ( )Þ Với số thực 0>e cho trước, đặt: { }e³-= ffE nn Khi đó: Bài 7: Cho ( )m,X là không gian độ đo thỏa mãn ( ) ¥<Xm . Đặt: ( ), 1 n n nX f f d f f f f - = + -ò Chứng minh rằng: Û¾®¾ ffn m ( ) 0, ®ffd n khi ¥®n . LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 61 - ( ) òò -+ - + -+ - = nn EX n n E n n n ff ff ff ff ffd \ 11 , ( ) ( )\n nE X Em em£ + Do e là số dương tùy ý, và ( ) ¥<Xm , nên khi ¥®n thì ( ) 0, ®ffd n . ( )Ü Do hàm số ( ) t tth + = 1 là hàm tăng 0,t" > nên 0e" > , ta có: ( ) ³ffd n , ò -+ - nE n n ff ff 1 ( ) 1 n Ee m e ³ + Vì ( ) 0, ®ffd n nên ( )nEm 0® Vậy, nf f m¾¾® Bài giải Cách 1: Vì dãy hội tụ đều về hàm f nên N$ nguyên dương thỏa: 1,nf f n N- < " ³ Như vậy, 1+< Nff Hàm 1+Nf là hàm khả tích vì Nf là hàm khả tích và ( ) ¥<Xm Áp dụng định lý hội tụ bị chặn, ta có .lim òò =¥® XX nn fddf mm Cách 2: Do nf hội tụ đều về hàm f nên: 0e" > ( )0 0 : ,nn f f x X n nX e m $ Î - ¥ Mặt khác, 0nn ³" , ta có : Bài 8: Giả sử ( )m,, FX là một không gian độ đo hữu hạn . Giả thiết { }nf là dãy hàm khả tích hội tụ đều về hàm f . Chứng minh rằng: òò =¥® XX nn fddf mmlim LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 62 - ( ) ( )n n nX X X X X f d fd f f d f f d d A e m m m m m e m - = - £ - < =ò ò ò ò ò Như vậy, lim .nn X X f d f dm m ®¥ =ò ò Bài giải ( )a Ta đã biết, ( )xfnn ¥®lim tồn tại khi và chỉ khi : ( ) ( )lim limn nf x f x= . Như vậy, L = ( ) ( ){ }:lim limn nx f x f x= Ta có nflim và nflim là những hàm đo được vì nf đo được . Đặt nn fff limlim -= Ta có f là hàm đo được Do đó, { }( )01-= fL đo được. ( )b Do ff ea n . ® nên ( ) 0: =Î$ CEFE m và ff n ® trên E Với Ra Î , ta có ( ){ } ( ){ } ( ){ }axfExaxfExaxfXx C >ÎÈ>Î=>Î ::: ( ){ } ( ){ }axfExaxfEx Cn >ÎÈ>Î= :lim: Tập thứ nhất ở vế phải là tập đo được , tập thứ hai là tập con của CE là đo được ( do m đủ) Do đó ( ){ }axfXx >Î : là đo được Suy ra f đo được. Bài 9: Cho { }nf là dãy hàm đo được . Chứng minh rằng : ( )a L = ( ){ }:lim nnx X f x tôn tai®¥Î đo được. ( )b Nếu ( )m,, FX , với m là độ đo đủ, và .a enf f¾¾® thì f đo được. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 63 - Bài giải ,0>"e đặt ( ){ }.: e³= xfxA nn Ta có : ( )0 n n n n A A A f d f de m m m£ £ £ò ò Vì 0®ò mdf A n nên ( ) 0®nAm khi ¥®n Vậy, .0¾®¾mnf Bài giải Vì ffn ¾®¾m nên { } { }nn ff k Ì$ thỏa ff ea nk ¾®¾ . trên ¡ . Do đó, peap n ff k ¾®¾ . trên ¡ . Áp dụng bổ đề Fatou, ta có, ( )lim lim 1k kp p pn n R R R f d f d f dm m m= £ £ò ò ò Vậy, .Bf Î Bài giải Đặt n n A a f dm= ò và naa lim= Khi đó, tồn tại dãy { } aaa kk nn ®: khi k ® ¥ Bài 10: Cho dãy hàm đo được không âm { }nf trên A thỏa mãn: .0lim =ò mdf A n Chứng minh rằng: .0¾®¾mnf Bài 11: Với 0>p , đặt =B { RRf ®: thỏa f đo được và 1£ò mdf p R }. Giả sử rằng { } Bf nn Ì và .ffn ¾®¾m Chứng minh rằng: .Bf Î Bài 12: Cho dãy hàm đo được { }nf , f là những hàm khả tích Lebesgue. Chứng minh rằng: nếu ffn ¾®¾m trên A thì .lim mm dfdf A n A òò £ LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 64 - Do ffn ¾®¾m nên knf f khi k m¾¾® ® ¥ Và như vậy, tồn tại dãy con { } { } .:k k km m a en n nkmf f f fÌ ¾¾® Theo bổ đề Fatou, ta có: lim lim lim k k km m mn n nm m mA A A f d f d f d a am m m ®¥ ®¥ ®¥ æ ö= £ = =ç ÷ è øò ò ò Như vậy, .lim mm dfdf A n A òò £ Bài giải Bởi vì ( ) ( )xgxfn £ hầu khắp nơi và ( )g x khả tích trên ¡ nên nf khả tích trên ¡ . Áp dụng bổ đề Fatou, ta có: lim n R R R f d f d gdm m m æ ö £ £ < ¥ç ÷ è ø ò ò ò Suy ra f khả tích Lebesgue trên ¡ . Vậy, theo định lý hội tụ bị chặn, ta có: lim nn R R f d f dm m ®¥ =ò ò Do vậy, 0lim =-ò¥® mdff R nn Với 20 00, : n R n f f d n ne m e> $ - ò Đặt ( ) ( ){ }e>-Î= xfxfRxB n: thì ( ) 21 n R B f f d em m e e e < - < =ò Đặt \A B= ¡ . Bài 13: Cho nff , là các hàm đo được trên ¡ thỏa .a enf f¾¾® trên R và tồn tại hàm g khả tích trên R thỏa ( ) ( )xgxfn £ hầu khắp nơi. Chứng minh rằng ffn ® hầu như đều. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 65 - Trên A ta có ( ) ( ) 0nnxfxf n >"£- e Suy ra ffn ® hầu như đều trên ¡ . Bài giải Do ffn ¾®¾ m nên { } { } :k kn n nnkf f f f$ Ì ¾¾® khi k ® ¥ Vì kn f g£ , g là hàm khả tích, nên theo định lý hội tụ bị chặn, ta có: lim knk f f ®¥ =ò ò ( )* Mà lim lim kn nk k f f ®¥ ®¥ =ò ò , kết hợp với ( )* ta có: lim nn f f®¥ =ò ò . Bài giải Theo định nghĩa của lim nfò ta có: { } { }kn n nkf f$ Ì : l im limkn nk f f®¥ = ò Vì kn f fm¾¾® nên .: k k kj j a e n n nf f f f$ Ì ¾¾® Theo bổ đề Fatou ta có: lim lim k kj jn n f f f= £ =ò ò ò l im knk f®¥ = lim nfò Vậy, lim nf f£ò ò Bài 16: Cho ( ) , nn E Em c< ¥ hội tụ trung bình về hàm f . Chứng minh Ef c= h.k.n với E là một tập đo được. Bài 15: Cho 0nf ³ và nf f m¾¾® . Chứng minh rằng: limf f£ò ò Bài 14: Cho nf g£ , g là hàm khả tích và nf f m¾¾® . Chứng minh rằng: lim nf f=ò ò LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 66 - Bài giải Đặt ÷ ø öç è æ Ç= ³ ¥ = jnjn EE 1 U ta có E đo được và EEn cc ® khi n ® ¥ Do nE c hội tụ trung bình về hàm f nên f nE ¾®¾mc . Từ đó tồn tại dãy con feaE kn ¾®¾ .c . Vậy Ef c= h.k.n. Bài giải a. Với ,0>e ta luôn có: ( ) ( ){ } : :2 2n n n nf g f g x f f x g g e e e ì ü ì ü+ - + ³ Ì - ³ È - ³í ý í ý î þ î þ Þ ( ) ( ){ } : :2 2n n n nf g f g x f f x g g e e m e m mì ü ì ü+ - + ³ £ - ³ + - ³í ý í ý î þ î þ Cho ¥®n , ta có: ( ) ( ){ } 0n nf g f gm e+ - + ³ ® Vậy, gfgf nn +¾®¾+ m . b. Ta có: ( )i Nếu nf fm¾¾® thì, naf afm¾¾® , a Ρ . ( )ii Nếu nf fm¾¾® thì 2 0nf m¾¾® Điều này suy ra từ { } { }.2 ee ³=³ nn ff ( )iii .gfgfn ¾®¾m Bài 17: Cho { }nnf , { }nng là các dãy hàm đo được trên A , ffn ¾®¾m , ggn ¾®¾m . Chứng minh rằng: ( )a gfgf nn +¾®¾+ m . ( )b gfgf nn .. ¾®¾m nếu ( ) +¥<Am . LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 67 - Chứng minh: Ta có: { }=>I n ng Æ . Do ( )Am ® Với 0,e > và 0d > tồn tại 1n sao cho { }( ) 21 d m ng , chọn 0n sao cho: 0 1 2 nn n f f n e d m æ öì ü " ³ Þ - ³ <ç ÷í ýç ÷î þè ø Khi đó, 0nn ³" , ta có: { }( ) { } { }( )1nggfgfgfgf nn £Ç³-=³- emem { } { }( )1ngf gf g nm e+ - ³ Ç > ddd =+£ 22 Vậy, .gfgfn ¾®¾ m ( )iv Ta chứng minh ffn ¾®¾m thì 22 ffn ¾®¾m . Vì ffn ¾®¾ m nên .0¾®¾- mffn Do đó, theo ( )ii ta có: ( )2 0nf f m- ¾¾® Theo ( )i , ( )iii , và ( )a ta có: ( )22 2 2 2 0n n nf f f f f f f m- = - + - ¾¾® Vậy, 22 ffn ¾®¾ m ( )v Sau cùng, áp dụng các bước trên và kết quả từ câu a, ta có: ( ) ( )2 22 2 2 21 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2n n n n n n f g f g f g f g f g fgm= + - - ¾¾® + - - = Vậy gfgf nn .¾®¾ m LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 68 - Bài giải ( ) ( )iii Û do định nghĩa hội tụ theo độ đo. ( )ii ( )iiiÞ do { } { }.aa ³-Í>- ffff nn ( ) ( )iiiii Þ ,0,0 >>" ea nếu e a , 2 Nn ³ thì : { }( )am ³- ffn ÷÷ ø ö çç è æ þ ý ü î í ì >-£ 2 a m ffn e< . ( ) ( )ivii Þ Khi .ae = ( ) ( )viv Þ Do { } { }.aa ³-Í>- ffff nn ( ) ( )iiv Þ ,0,0 >>" ea chon þ ý ü î í ì= e a g , 2 min . Khi đó, nếu n Pa³ thì: { }( )am ³- ffn ÷÷ ø ö çç è æ þ ý ü î í ì >-£ 2 a m ffn £ { }( )nf fm g- > e£ . Bài 18: Cho ffn , là những hàm đo được trên A . Chứng minh rằng các mệnh đề sau là tương đương. ( )i .ffn ¾®¾m ( )ii eaaeea ,:,0,0 NnN ³"$>>" thì { }( ) .eam £³- ffn ( )iii ,0, 0, :N n Nae a ea e" > > $ " ³ thì { }( ) .eam £>- ffn ( )iv aaa PnP ³"$>" :,0 thì { }( ) .aam £³- ffn ( )v 0, :P n Pa aa" > $ " ³ thì { }( ) .aam £>- ffn Bài 19: Gọi { }nnE là dãy những tập con đo được của [ ]ba, . Chứng minh rằng: ( )a Chứng minh rằng nE c hội tụ đều về 0 trên [ ]ba, nếu và chỉ nếu =nE Ø với n đủ lớn. ( )b Chứng minh rằng 0¾®¾mc nE trên [ ]ba, nếu và chỉ nếu ( ) = ¥® nn Emlim 0. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 69 - Bài giải ( )a ( )Þ Với , 2 1 =e chọn 0N sao cho 0Nn >" thì 2 1 < nE c , [ ],x a b" Î Do đó, =nE Ø, 0Nn >" . ( )Ü Nếu =$ nEN :0 Ø, 0Nn >" thì ( ) 0=xnEc . Do đó 00 0,nE n Nc - = " > Vậy, nE c hội tụ đều về 0 trên [ ]ba, . ( )b Với 10 << a . Ta có: { } nE En =³- ac 0 nên ta có 0¾®¾mc nE Û ( ) =¥® nn Emlim 0. Bài giải Đặt ( ) { }rffrB kk >-= . Khi đó, ( )rBk đo được và ( )( ) ò -£ A nk ffr rB 1m Với ( ) ( )U ¥ = = nk kn rBrT , từ giả thiết ta có: ( )( ) ®-£ åò ¥ =nk A kn ffr rT 1m 0 khi 0®n Vậy, ff uak ¾®¾ . . Bài giải Chọn 1 2,.n n n f n c é ù ê úë û = Bài 20: Giả sử { } ff kk , là những hàm khả tích trên A thỏa mãn ¥<-åò ¥ =1k A k ff . Chứng minh rằng ff uak ¾®¾ . . Bài 21: Cho ví dụ về một dãy hàm đo được { }n nf hội tụ hầu như đều về hàm đo được f nhưng không hội tụ trung bình về f . LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 70 - Ÿ Với 0e > , chọn 2:N N e < Đặt 20,A N é ù= ê úë û Ta có ( ) 2A N m e= < Mặt khác, Cx A" Î , ta có: 2 2 ,x n N N n > > " ³ Do đó, n N" > và Cx A" Î thì ( ) 0nf x = Vậy, nf hội tụ hầu như đều về hàm 0f = . Ÿ Tuy nhiên, 1 2, 1. . 1n n n f d n n n m c é ù ê úë û = = =ò ò Do đó, 0nf f- ®ò khi n ® ¥ Vậy, nf không hội tụ trung bình về f . Bài giải Do m là độ đo s -hữu hạn nên tồn tại các tập , 1, 2,...jA j = sao cho: 1 j j X A ¥ = = U , và ( ) ,jA jm < ¥ " Khi đó, với mỗi j , tồn tại j jE AÌ sao cho: ( ) 1\j jA E jm < , và nf fI trên jE Ta có: ( )( ) 1 1 \ \j j j j j j E A A E ¥ ¥ = = =U U Bài 22: Cho m là độ đo s -hữu hạn, .a enf f¾¾® . Chứng minh rằng tồn tại các tập 1 2, ,...E E trong X sao cho 1 0 C j j Em ¥ = æ öæ ö ç ÷ =ç ÷ ç ÷è øè ø U và nf fI trên ,jE j" LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 71 - ( )( ) 1 \ \j j j X A E ¥ = = U ( ) 1 \ \j j j X A E ¥ = = I Do đó: ( ) ( ) 1 1 1\ \ C j j j j j j j E A E A E j m m m ¥ ¥ = = æ öæ ö æ ö ç ÷ = < <ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è øè ø U I Vậy, 1 0 C j j Em ¥ = æ öæ ö ç ÷ =ç ÷ ç ÷è øè ø U . LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 72 - KẾT LUẬN Như vậy, đối với dãy hàm đo được có những dạng hội khác nhau như: hội tụ theo độ đo, hội tụ hầu khắp nơi, hội tụ hầu như đều, hội tụ trung bình,… Và giữa các dạng hội tụ này có mối liên hệ với nhau. Các mối liên hệ này có sự thay đổi khi chúng được xét trong không gian độ đo hữu hạn. Tuy nhiên, có thể luận văn chưa kịp khai thác hết sự đa dạng của các dạng hội tụ cũng như là mối liên hệ giữa chúng. Trong tương lai, nếu có điều kiện, em sẽ tiếp tục nghiên cứu sâu hơn để khai thác thêm về đề tài này. LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Huỳnh Việt Khánh SP. Toán 01-K.30 - 73 - TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Thị Thanh Thúy, Độ đo và tích phân lebesgue, Đại học Cần thơ, 2007. [2] Đậu Thế Cấp, Độ đo và tích phân, NXB Giáo dục, 2007. [3] Robert G. Bartle, A Modern Theory of Integration, American Mathematical Society, 2001. [4] Robert G. Bartle, Solution Manual to A Modern Theory of Integration, American Mathematical Society, 2001. [5] Shmuel Kantorovitz, Introduction to Modern Analysis, Oxford Mathematics, 2004. [6] Avner Friedman, Foundations of Modern Analysis, Dover Publications, 2001.