Luận văn Chui ngầm Ballistic và Shot Noisetrong các cấu trúc Nano Graphene

ên Trái ñất và là thành phần cơ bản của tất cả các hợp chất hữu cơ. Do tính linh ñộng của các nguyên tử cácbon trong khả năng tạo thành liên kết, các hợp chất cácbon ña dạng cả về loại và tính chất. Các nguyên tử cácbon có thể liên kết với các nguyên tử khác như Hidro, Oxi hay cũng có thể liên kết trực tiếp với nhau tạo thành các mạng nguyên tử Cacbon. Trong các dạng thù hình ñó phải kể ñến Graphene, một lớp ñơn nguyên tử cácbon 2 chiều có dạng hình tổ ong (H1), ñóng một vai trò vô cùng quan trọng trong việc tạo thành các dạng thù hình khác của Cácbon. Tập hợp nhiều lớp Graphene xếp chồng lên nhau sẽ tạo ra vật liệu Graphite (than chì) 3 chiều. Một tấm Graphene mà cuộn lại sẽ tạo thành một ống nano cácbon 1 chiều hay tạo thành quả cầu cácbon không chiều (Fullerene) [3]. Hình 1. Một số dạng thù hình của Cacbon: Graphene, Graphite, nanotube, Fulerence (Quả cầu C60) Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 5 ðiều ñặc biệt là Graphene có thế dễ dàng ñược tạo ra trong khi viết hay vẽ bằng bút chì. Khi lấy bút chì vạch lên giấy, chúng ta ñã vô tình tạo ra ñược các lớp Graphene, và trong số ñó sẽ có những chỗ chỉ là một lớp Graphene riêng biệt. Mặc dù bút chì ñã ñược khám phá ra vài trăm năm trước (1600) nhưng mà mãi tới tận năm 2004, một nhà vật lý người Anh (University of Manchester) mới tách ra ñược một lớp cácbon riêng biệt, gọi là Graphene, bằng thực nghiệm ñể quan sát và nghiên cứu. Nguyên nhân nào mà mãi tới năm 2004 mới phát hiện ra Graphene? Thứ nhất, trước ñó không một ai có thể ngờ rằng một lớp ñơn nguyên tử có thế tồn tại bền vững ở trạng thái tự do trên nền ñế của một vật liệu khác. Thứ hai, trước ñó chưa có bất kì máy móc hay thiết bị nào có thể xác ñịnh sự tồn tại của một lớp ñơn nguyên tử cácbon [3]. Chính ñiều ñó mà mãi gần ñây người ta mới biết ñược sự tồn tại của Graphene và nghiên cứu ñược về nó. 1.2 Cấu tạo mạng Graphene Các bon là nguyên tử ở vị trí thứ 6 trong bảng tuần hoàn, có cấu hình vỏ nguyên tử là 2 2 21 2 2s s p . Tuy nhiên, ở ñây ñã có sự kích thích lên trạng thái 2 1 31 2 2s s p ñể lớp vỏ p ñạt tới trạng thái bán bão hòa. Tiếp ñó có sự lai hóa 2sp ñể tạo thành 3 liên kết σ bền vững và một liên kết pi . Trong ñó liên kết pi kém bền hơn và vuông góc với ba liên kết kia. Do ñó toàn bộ các electron pi ñều tham gia vào dẫn và có ảnh hưởng quyết ñịnh ñến các tính chất ñặc trưng của Graphene. Một vài thông số của mạng Graphene [4]: Hình 2. Cấu trúc mạng Graphen và vùng Bruiluin thứ nhất Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 6 Hằng số mạng : 3 2, 46 o cca a A= = Véc tơ cơ sở: 1 3 1( ; ) 2 2 a a= ; 2 3 1( ; ) 2 2 a a= − Véc tơ mạng ñảo: 1 2 1( ;1) 3 b a pi = ; 2 2 1( ; 1) 3 b a pi = − Như ñã nói tới ở trên, Graphene là một lớp ñơn nguyên tử các bon có cấu trúc mạng hình tổ ong. Ta thấy, mạng bravai này thực chất là hai mang tam giác lồng vào nhau. Do ñó vector cơ của mạng là 1 2à aa v , mỗi ô nguyên tố có 2 nguyên tử là A và B. Từ ñó ta vẽ ñược vùng Bruiluin thứ nhất như trên hình 2. Ở ñây ta chú ý tới 4 ñiểm ñối xứng là Γ , M, K và 'K trong ñó hai ñiểm K và 'K là không hoàn toàn ñối xứng.(Tuy nhiên trong các bài toán của ta thi ta có thể coi hai ñiểm này là ñối xứng, chỉ khi xét bài toán có từ trường ngoài, tương tác spin… thì mới cần phân biệt hai ñiểm này) 1.3. Cấu trúc vùng năng lượng Khi xem xét một vật liệu mới thì việc ñầu tiên cần làm là ñi tìm cấu trúc vùng năng lượng của vật liệu ñó. Từ cấu trúc vùng năng lượng chúng ta có thế biết ñược chất ñó là kim loại, bán dẫn, hay ñiện môi, ngoài ra chúng ta có thể tinh ñoán một số tính chất của nó và tính ñược một số ñại lượng như khối lượng hiệu dụng chẳng hạn. ðể tìm cấu trúc vùng năng lượng của một mạng tinh thể người ta thường dùng hai phương pháp là: 1. Phương pháp chính xác: ab-initio (hay còn gọi là first principle). Nội dung chủ yếu của phương pháp này là tính chính xác cấu trúc vùng năng lượng cho Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 7 hệ có từ vài tới vài trăm nguyên tử bằng cách mô phỏng thông qua máy tính. ðặc ñiểm của phương pháp này là sự chính xác tuyệt ñối nhưng mà nhược ñiểm của nó là không thế thực hiện ñược với hệ có nhiều nguyên tử. Mà trên thực tế một mạng ma ta nghiên cứu có rất nhiều nguyên tử nên không thể chỉ dùng phương pháp này ñược. 2. Phương pháp tính gần ñúng: Tight-binding (gần ñúng liên kết mạnh). ðây là một phương pháp cơ bản trong vật lý chất rắn. Hiện nay người ta ñã kết hợp ñồng thời cả hai phương pháp này và cho kết quả rất tốt. Tức là lúc ñầu tính bằng ab-initio cho hệ ít nguyên tử, dùng ñó là ñiều kiện ban ñầu cho phương pháp Tight-binding. Trong khuôn khổ nghiên cứu ở ñây, tôi xin trình bày phương pháp Tight-binding và so sánh kết quả với phương pháp ab-initio. Hàm sóng của electron trong gần ñúng liên kết mạnh (tight binding) ñược tìm dưới dạng [4]: A A B BC Cψ ϕ ϕ= + (1.1) Trong ñó: ik R AA z R0 ik R BB z R0 1( k ,r ) e p ( r R R ) N 1( k ,r ) e p ( r R R ) N ϕ ϕ = − − = − − ∑ ∑















(1.2) Với zp ( r )
là hàm nút nguyên tử trong vật lý chất rắn (orbital zp ( r )
của nguyên tử Carbon), 0N là số ô nguyên tố mà trên ñó ta áp dụng ñiều kiện biên tuần hoàn {Bohr-Openheimer}. Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 8 Dưới dạng ñơn giản nhất, năng lượng của trạng thái electron là trị riêng của Hamiltonian (Phương pháp LCAO-trực giao): AA AB BA BB H H H H H   =     (1.3) Trong ñó: ik( R' R ) A,R A,R' AA 0 z z R,R' ik( R' R ) A,R B,R' AB 0 z z R ,R' H 1 / N e p p H 1 / N e p p Η Η − − = = ∑ ∑













(1.4) Với A / B ,R A / Bz zp p ( r R R )= − − 



Tính toán ñối với các mạng vô hạn ( 0N → ∞ ), ta lưu ý rằng trong các biểu thức trên khi cho một trong hai chỉ số ( R,R'

) biến ñổi ta thấy tổng có tính ñối xứng ñối với tất cả các vị trí khác nhau trên mạng của chỉ số kia, do ñó có thể viết lại tổng dưới dạng: ik R' A,0 A,R' AA z z R' ik R' A,0 B,R' AB z z R' H e p p H e p p Η Η = = ∑ ∑









(1.5) Khai triển hệ thức, giữ lại ñến các lân cận gần nhất ta có: p p 1 1 2 2 6 A,0 A,0 ik R A,0 A,R AA z z z z p 1 A,0 B,0 ik .a A,0 B , a ik .a A,0 B , a AB z z z z z z H p | H | p e p | H | p H p H p e p H p e p H p = − − − − = + = + + ∑








(1.6) Trong ñó biểu thức của AAH gồm một số hạng cấp không và sáu số hạng cấp một tương ứng với năng lượng nút là sự xen phủ với sáu nguyên tử cùng loại lân cận Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 9 gần nhất, biểu thức của ABH gồm ba số hạng cấp một tương ứng với ba số hạng xen phủ của ba nguyên tử khác loại lân cận gần nhất. Ngoài ra ta có BB AAH H= , AB BAH H ∗= . Như ñã nói với phương pháp LCAO trực giao, ta không cần tính ñến các số hạng xen phủ của hàm sóng. ðặt: A,0 A,0 z zp | H | pα = , iA,0 A,Rz zp | H | pβ = 
1 2A,0 B,0 A,0 B, a A,0 A, a z z z z z zp | H | p p | H | p p | H | pγ − −= = =

Ta có: i 21 6 ik R AA BB i 1 ik a* ik a AB BA H H e H H (1 e e ) α β γ = − − = = + = = + + ∑





(1.7) Hamiltonian liên kết mạnh như vậy có thể chéo hóa dễ dàng kết quả là ta thu ñược hệ thức tán sắc dưới dạng: E ( k ) f ( k ) 3 f ( k )α β γ± = + ± +


(1.8) Trong ñó : 1 2 2 1f ( k ) 2cos( k.a ) 2cos( k.a ) 2cos[ k.( a a )]= + + −







(1.9) Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 10 Hoặc khai triển theo các tọa ñộ trực giao: y y2x k a k a3k af ( k ) 12(cos cos cos ) 2 2 2 = +
(1.10) Trong ñó α là năng lượng ion hóa của electron pi trong hệ Graphene và trong các bài toán chúng ta có thể chọn nó làm gốc tính năng lượng, tức là chọn 0α = .Các giá trị khác ñã ñược tính toán cụ thể trong [4] 0.1meVβ ≈ − , 2.8 meVγ ≈ . Chúng ta có thể so sánh kết quả của phương pháp gần ñúng liên kết mạnh với phương pháp ab- initio (H3) Ở ñây dấu trừ mô tả vùng hóa trị còn dấu cộng mô tả vùng dẫn. Ở dưới vùng hóa trị là các trạng thái bị lấp ñầy bởi các electron còn trên vùng dẫn là hoàn toàn bỏ trống. Hai vùng này tiếp xúc với nhau tại các ñiểm là ñỉnh của hình lục giác của vùng Brillouin (H4). Một vật liệu khi vùng dẫn và vùng hóa trị tiếp xúc với nhau thì vật liệu ñó sẽ là kim loại, nhưng ñiều ñặc biệt ở ñây là hai vùng này chỉ tiếp xúc với nhau tại từng ñiểm rời rạc nên người ta thường gọi nó là semimental (bán kim loại). Một ñiều ñặc biệt hơn nữa là tại lân cận những ñiểm tiếp xúc này thì gần như E (năng lượng của electron) tỉ lệ tuyến tính bậc nhất với véc tơ sóng của nó. Hệ thức này giống như là hệ thức của các hạt tương ñối tính không có khối lượng. Do ñó tại các ñiểm tiếp xúc K,K’ (gọi là các ñiểm ðirac) các electron trong Graphene hành xử như những hạt tương ñối tính có khối lượng bằng không mặc dù vận tốc của electron trong Graphene chỉ bằng cỡ 1/300 vận tốc ánh sáng. ðiều ñó giúp các nhà thực nghiệm có thể quan sát ñược một số hiệu ứng tương ñối tính mà không cần tới các máy gia tốc cực lớn. Cụ thể là nó giúp chúng ta có thể kiểm tra trực tiếp phương trình ðirắc bằng thực nghiệm, một phương trình vốn có nhiều ñiểm lạ kì. Trong phương pháp gần ñúng liên kết mạnh, chúng ta ñã bỏ qua số hạng xen phủ của hàm sóng và chỉ tính tới số hạng bậc nhất nên vùng dẫn và vùng hóa trị là hoàn toàn ñối xứng với nhau qua mặt Fermi. Tuy nhiên ñiều ñó là không hoàn toàn Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 11 trùng khớp với phương pháp ab-initio (H3). Mặc dù vậy trong các tính toán thông thường ta vẫn coi như ñối xứng và phương trình cho electron sẽ có dạng ñơn giản nhất có thể. Ngoài ra do có các ảnh hưởng nào ñó mà có thể hai vùng năng lượng này không hoàn toàn tiếp xúc với nhau mà còn có một khe năng lượng nhỏ cỡ vài chục meV mà ta có thể coi là năng lượng nghỉ của electron trong các phương trình tính toán. Hình 3. Cấu trúc vùng năng lượng tính bằng phương pháp ab-initio và phương pháp gần ñúng liên kết mạnh Hình 4. Cấu trúc vùng năng lượng của vẽ dưới dạng không gian Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 12 Chương 2. Phương trình mô tả electron trong Graphene và phương pháp T_matrix 2.1. Từ phương trình Srodinger tới phương trình ðirac Như ñã thảo luận ở trên, trong Graphen, tại những ñiểm ðirac electron hành xử như những hạt tương ñối tính có khối lượng nghỉ bằng không. Do ñó một ñiều hiển nhiên là chúng ta không thể mô tả nó bằng phương trình Srodinger như trong cơ học lượng tử ñược. Vậy một câu hỏi ñược ñặt ra là chuyển ñộng của nó tuân theo phương trình nào? Trên thực tế, khi xem xét electron tại những ñiểm gần bề mặt Fermi thì người ta thường dùng phương pháp gần ñúng khối lượng hiệu dụng. Kết quả phép gần ñúng khối lượng hiệu dụng ñối với Grphene chính là phương trình tựa Dirac hai chiều cho electron trong mạng Graphene.Việc này ñã ñược D.P DiVincenzo và E.J.Mele thực hiện năm 1984 [14] , trong ñó hai ông ñã sử dụng khai triển .k p tại lân cận ñiểm K. Bằng cách viết phương trình hàm sóng, thay vào phương trình Srodinger, khai triển và giữ lại số hạng bậc nhất của k
hai ông ñã thu ñược phương trình tựa ðirac cho electron trong Graphen như sau: ( ) 2D 0 z 0H ( x, y ) v . mv U( x, y ) ( x, y ) E ( x, y )ψ σ σ ψ ψ = − ∇ + + = 

ℏ (2.1) Tại vì Graphene là hệ hai chiều nên phương trình của ta ở ñây chỉ viết cho trường hợp hai chiều. Do ñó, ( , )x yσ σ σ= 
và , ,x y zσ σ σ ở ñây là ba ma trận Pauli, U(x,y) là thế bên ngoài ñặt vào còn 2omv là năng lượng nghỉ của electron. Tuy nhiên khối lượng m ở ñây rất nhỏ nên thường ñược bỏ qua trong nhiều bài toán. Phương trình trên có dạng giống như phương trình ðirac cho hạt tương ñối tính tuy nhiên có một ñiều khác biệt là trong phương trình ðirac thì vận tốc là c (vận tốc ánh sáng), còn Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 13 trong phương trình này thì vận tốc là vận tốc ở mức Fermi của electron và nó có giá trị xấp xỉ bằng 1/300 vận tốc ánh sang. ðiều ñó giải thích tại sao chúng ta phải dùng thuật ngữ “Phương trình tựa ðirac”. Có một ñiều cần chú ý là ở trên chỉ là khai triển .k p tại ñiểm K, hoàn toàn tương ñương chúng ta có thể khai triển tại ñiểm K’ và thu ñược kết quả hoàn toàn tương tự. Khi ñó thì Halmiton của ta chỉ là ma trận 2x2 còn hàm sóng có hai thành phần. Tuy nhiên ñiều này chỉ ñúng trong trường hợp ta coi hai ñiêm K và K’ là hoàn toàn ñộc lập, không có liên hệ gì với nhau. Trong trường hợp chúng có liên quan bất ñối xứng thì chúng ta phải viết hàm Halmiton là ma trận 4x4 và hàm sóng sẽ có 4 thành phần (2 ứng với ñiểm K và 2 ứng với ñiểm K’). 2.2 Lời giải của phương trình tựa ðirac 2 chiều Trong bài toán của ta chỉ xét trường hợp là electron chỉ chịu tác dụng của thế tĩnh ñiện và thế này là không ñổi trên từng ñoạn. Khi ñó phương trình ðirac sẽ có lời giải giải tích chính xác, ñầy ñủ. Ta hãy khảo sát trường hợp này bằng cách áp dụng phương trình ðirac ở trên (2.1): ( ) 2D 0 z 0H ( x, y ) v . mv U( x, y ) ( x, y ) E ( x, y )ψ σ σ ψ ψ = − ∇ + + = 

ℏ Trong ñó : ( , )x yσ σ σ= 
và 0 1 1 0x σ   =     , 0 0y i i σ −  =     , 1 0 0 1z σ   =   −  Ta viết hàm sóng dưới dạng hai thành phần spinnor 1 2 ψψ ψ   =     và thay vào phương trình trên ta thu ñược: Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 14 22 2 0 0 1 1 21 1 0 0 2 2 v ( i ) [mv U( x, y )] E x y v ( i ) [-mv U( x, y )] E x y ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ∂ ∂ − − + + = ∂ ∂  ∂ ∂ − + + + =  ∂ ∂ ℏ ℏ (2.2) Hay: 2 2 0 0 1 2 1 0 0 2 ( i ) [E U( x, y ) mv ]/ v x y ( i ) [ E U( x, y ) mv ]/ v x y ψ ψ ψ ψ ∂ ∂ − − = − − ∂ ∂  ∂ ∂ − + = − +  ∂ ∂ ℏ ℏ (2.3) ðặt các ñại lượng không thứ nguyên: 20 0 0mv / vε = ℏ , 0u( x, y ) U( x, y ) / v= ℏ , oE / vε = ℏ , ñồng thời rút thế 2ψ từ phương trình dưới vào phương trình trên ta có: 1 0 1 0 2 1 0 1( i ) ( i ) [ u( x, y ) ] x y [ u( x, y ) ] x y 1 ( i )[ u( x, y ) ] x y ψ ε ε ψ ε ε ψ ψ ε ε ∂ ∂ ∂ ∂ − − − + = − − ∂ ∂ − + ∂ ∂  ∂ ∂ = − +  − + ∂ ∂ (2.4) Trong trường hợp riêng của ta: thế u( x, y ) không ñổi dọc theo trục Oy mà chỉ phụ thuộc vào phương Ox, khi ñó nghiệm có thể tìm dưới dạng hàm riêng của xung lượng theo trụcOy : yik y( x, y ) e ( x )ψ χ= , ta có phương trình cho 1 2 ( )( ) ( ) x x x χχ χ   =     : y y 1 0 1 0 2 y 1 0 1( i ik ) ( i ik ) [ u( x ) ] x [ u( x ) ] x 1 ( i k )[ u( x ) ] x χ ε ε χ ε ε χ χ ε ε ∂ ∂ − − − + = − − ∂ − + ∂  ∂ = − +  − + ∂ (2.5) Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 15 Mặt khác ta xét phương trình trên từng ñoạn không ñổi của thế trên trụcOx , khi ñó phương trình ñơn giản thu về: 2 2 2 2 y 1 0 12 2 1 0 ( k ) +[( u ) ] 0 x 1 ( i )[ u ] x y χ ε ε χ χ χ ε ε  ∂ − − − = ∂  ∂ ∂ = − +  − + ∂ ∂ (2.6) ðặt 2 2 20 yk ( u ) kε ε= − − − thì phương trình cho 1( )xχ có dạng ñơn giản như sau: 2 21 12 +k 0x χ χ∂ = ∂ (2.7) ðây chính là phương trình vi phân bậc hai mà mọi người ñều quen thuộc, nó có dạng như phương trình của dao ñộng ñiều hòa và nghiệm tổng quát của nó có dạng: ikx ikx 1 Ae Beχ −= + (2.8) Thay vào ta ñược nghiệm tổng quát cho thành phần 2χ như sau: ikx ikx 2 y y 0 1 [( k ik )Ae ( k ik )Be ] u χ ε ε − = + − − − + (2.9) ðể ñơn giản hóa ta có thể ñặt các biến phụ ñể biểu thức ñơn giản hơn khiε , nu , 0ε là các số thực : 0 0 0 u t sign( u ) u ε ε ε ε ε ε − − = − − − + ytg( ) k / kϕ = , / 2 / 2pi ϕ pi− < < + Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 16 Khi ñó ta có dạng ñơn giản hơn: i ikx i ikx 2 t( Ae e Be e )ϕ ϕχ − −= − (2.10) Trong ñó ta chú ý là việc ñặt các biến phụ chỉ cho ta biểu diễn một cách hình thức ñơn giản hơn, trong nhiều trường hợp, khi lập trình thì chúng ta sẽ lấy biểu thức gốc trước khi ñặt biến phụ (2.9). Từ các kết quả trên chúng ta thu ñược nghiệm tổng quát trong trường hợp bờ thế không ñổi trên từng ñoạn là: 1 1 y yik y ik yikx ikx i iA e e B e ete teϕ ϕ ψ − −     = +    −    (2.11) Nhận xét: Trong bài toán của ta, electron chuyển ñộng hoàn toàn tự do theo phương y nên yk ở ñây là liên tục và nhận giá trị bất kì. Tuy nhiên nếu chúng ta xét ñiều kiện biên, tức là hệ của chúng ta có chiều dài hữu hạn theo phương y thì lúc ñó xung lượng theo phương y sẽ bị lượng tử hóa, ñiều này ñã ñược xem xét trong [3,12,13]. Hàm sóng ψ dạng tổng quát gồm có hàm sóng truyền theo cùng chiều hay ngược chiều dương.Ở ñây chúng ta phải chú ý tới dấu của xung lượng và của năng lượng mà trạng thái hạt tải trong Graphene có khác nhau. Như ñã giải thích ñối với phương trình của ðirac, nghiệm âm của năng lượng là ứng với trường hợp hạt tải không phải là electron mà là lỗ trống (hole state). Từ hình vẽ ta có thể chia miền năng lượng của electron thành 3 Hình 5. Sơ ñồ các miền hạt tải trong Graphene Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 17 miền như sau (H5): 1.Miền thứ nhất: 2 2( )o f yE U E v k< − + , ứng với trường hợp màu in ñậm trên hình vẽ, hạt tải ở ñây là lỗ trống và véc tơ xung lượng phải có chiều ngược lại so với chiều của electron. 2.Miền thứ hai: 2 2 2 2( ) ( )o f y o f yU E v k E U E v k− + ≤ ≤ + + , ứng với màu trắng trên hình vẽ, ñây là miền cấm với cả electron và lỗ trống. Trong miền này, hàm sóng giảm theo hàm mũ (do giá trị của vecto sóng k ở phương trình trên là âm) 3.Miền thứ ba: 2 2( )o f yE U E v k> + + , ứng với vùng gạch chéo trên hình vẽ, tại những vùng này hạt tải là electron. Từ nhận xét ở trên chúng ta có thể dễ dàng giải thích về mặt ñịnh tính nghịch lý Klein: Trong trường hợp electron tới vuông góc với bờ thế, tức là 0yk = , và khối lượng nghỉ của nó bằng không, tức là 0oE = thì vùng cấm sẽ không còn nữa. Khi ñó electron dễ dàng chui ngầm qua bờ thế thông qua các trạng thái lỗ trống (vì các trạng thái của electron ñều tương ứng có trạng thái của lỗ trống). 2.3 Phương pháp T_matrix Mục ñích quan trọng của ta trong các bài toán liên qua tới hiện tượng truyền là phải tính hệ số truyền qua.Từ hệ số truyền qua chúng ta sẽ tính ñược tất cả các ñại lượng ñặc trưng cho hệ như dòng ñiện, ñộ dẫn, shot noise. Thông thường có hai phương pháp tính hệ số truyền ñó là phương pháp hàm Green và phương pháp T matrix. Trong phương pháp hàm Green thì ta chỉ cần dùng hàm Halmiton rồi suy ra S matrix, từ ñó dẫn ra ñược công thức tính hệ số truyền qua. Trong luân văn này tôi sử dụng phương pháp T matrix, một phần vì nó ñơn giản hơn phương pháp trên, một phần là nó rất hiệu quả trong các bài toán mà chỉ có hệ các bờ thế mà chưa kể tới tương tác. Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 18 Ta ñưa vào khái niệm T ma trận một cách ñơn giản như sau: T ma trận là một ma trận mô tả mối liên hệ giữa biên ñộ sóng tới với biên ñộ sóng truyền qua của một thế nào ñó. Trước hết ta tìm biểu thức của T ma trận cho trường hợp ñơn giản là bờ thế thẳng ñứng ở gốc tọa ñộ và electron chuyển từ vùng có thế không ñổi 1U sang vùng có thế không ñổi 2U (H6) Ta viết hàm sóng trên từng vùng: Hàm sóng tại vùng 1 là : 1 1 1 11 1 1 1 1 1 y yik y ik yik x ik x i iA e e B e et e t eϕ ϕ ψ − −     = +    −    (2.12) Tương tự cho vùng 2: 2 2 2 22 2 2 2 1 1 y yik y ik yik x ik x i iA e e B e et e t eϕ ϕ ψ − −     = +    −    (2.13) Nhiệm vụ của ta bây giờ là tìm ma trận T thỏa mãn ñiều kiện: 2 1 2 1 A A T B B     =        . ðể tìm mối liên hệ này thì chúng ta phải dùng ñiều kiện liên tục của hàm sóng tại ñiểm tiếp giáp giữa hai bờ thế. ðiều kiện liên tục ở ñây chỉ cần cho các thành phần spinor của hàm sóng liên tục mà không cần ñiều kiện ñạo hàm của hàm sóng liên tục. ðiều Hình 6. Sơ ñồ thế Klein ñể tính T ma trận Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 19 này cũng tương tự như ñối với trường hợp của phương trình ðirac, bởi vì phương trình ðirac là phương trình bậc nhất ñối với thời gian nên ñiều kiện liên tục chỉ cần ñối với chính hàm sóng ñó mà thôi, hệ quả tất yếu là ñạo hàm bậc nhất của các thành phần của hàm sóng là gián ñoạn tại ñiểm tiếp giáp. ðiều này là khác với phương trình Srodinger, bởi vì phương trình Srodinger là phương trình ñạo hàm bậc 2 ñối với thời gian nên ñiều kiện liên tục phải tính tới cả sự liên tục của các ñạo hàm. Trở lại với ñiều kiện liên tục của ta tại 0x = : 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 i i i i A B A B t A e t B e t A e t B eϕ ϕ ϕ ϕ− − + = +  − = − (2.14) Giải hệ trên ta dễ dàng tính ñược: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 cos( ) i i i i i i i i s e s e s e s e T t s e s e s e s e ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ − − − −  + − + =   − + +  (2.15) Ta thấy rằng T ma trận có tính chất sau: * *22 11 21 12;T T T T= = . Tính chất này cũng hoàn toàn giống trong trường hợp cổ ñiển. Tuy nhiên ta phải chú ý là trong miền cấm thì các góc ϕ có thể nhận giá trị ảo, khi ñó tính chất trên không còn ñúng nữa. Trong trường hợp mà bờ thế của ta không nằm ở gốc tọa ñộ mà cách một ñoạn là d , thì cũng giống như trong trường hợp cổ ñiển [1] chúng ta phải nhân thêm hệ số cho T ma trận như sau : 2 1 2 1 0 0(2,1) * * 0 0 ik d ik d ik d ik d e e T T e e − −     =         (2.16) Hai ma trận trước và sau T thực ra chỉ có nhiệm vụ là chuyển dịch hàm sóng từ gốc tọa ñộ tới vị trí có tọa ñộ là d mà thôi. Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 20 Khi có nhiều các bờ thế không ñổi trên từng ñoạn thì T ma trận của hệ các bờ thế này sẽ là tích của các T ma trận ñối với từng bờ thế [1] : T( n,0 ) T( n,n 1)* T( n 1,n 2 )* * T(1,0 )= − − − ⋯ (2.17) Trên ñây là nội dung chủ yếu của phương pháp T ma trận. ðối với một bờ thế có dạng bất kì thì ta co thế xấp xỉ nó bằng cách chia nhỏ sao cho thế trên mỗi ñoạn coi là không ñổi, sau ñó áp dụng phương pháp T ma trận ta sẽ thu ñược T ma trận của thế ñó. Trong [11], Chuxu Bai và Xiangdong Zhang ñã sử dụng phương pháp này ñể tính hệ số truyền qua cho trường hợp siêu mạng (H7) Hình 7. Siêu mạng ñối xứng [11] Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 21 2.4. Tính hệ số truyền từ T ma trận Mục ñích của ta là tính hệ số truyền và nó có thể ñược rút ra trực tiếp sau khi ñã biết T ma trận. Tuy nhiên, không giống như trong trường hợp cổ ñiển, trong Graphene chiều của mật ñộ dòng xác suất của hạt tải trong tương quan với chiều xung lượng phụ thuộc vào dấu của năng lượng (ñiều này ñúng trên từng miền riêng lẻ). ðiều này như ñã nói ở trên là do tùy vào dấu của năng lượng mà nó sẽ quyết ñịnh hạt tải ở ñây là lỗ trống hay là electron. Giả sử có một electron ñi tới bờ thế, khi ñó tùy theo hạt tải ở miền ra là electron hay lỗ trống mà chúng ta có hai công thức ñể tính hệ số truyền như sau : (Dùng chỉ số 1 cho sóng tới và chỉ số 2 cho sóng truyền qua) 1.Trường hợp 1 : 2 0t < thì hạt tải trong miền này là lỗ trống, khi ñó ñể tính hệ số truyền qua ta ñặt 1 1 2 21, , 0,A B r A B t= = = = . Ta có : 11 12 21 22 T T0 1 T Tt r      =           (2.18) Giải ra ta dễ dàng có: 11 12r T / T= − và hệ số truyền qua: 211 121 1 ( )T R abs T T= − = − . 2. Trường hợp 2 : 2 0t > thì hạt tải trong miền này là electron, khi ñó tương tự như trường hợp cổ ñiển : 1 1 2 21, , , 0A B r A t B= = = = . Ta có: 11 12 21 22 T Tt 1 T T0 r      =           (2.19) Ta cũng có : 21 22r T / T= − và hệ số truyền qua là : 221 221 1 ( )T R abs T T= − = − . Do ñó, khi tính hệ số truyền qua một bờ thế nào ñó thì chúng ta phải khảo sát xem hạt tải ñiện trong ñó là electron hay lỗ trống ñể sử dụng công thức cho hợp lý. Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 22 Chương 3. Hiện tượng truyền và shot noise trong các hệ Graphene Trước khi ñi vào cụ thể từng hệ trong Graphene, chúng ta nên xem xét một số công thức tính sẽ dùng ñể tính ñộ dẫn (conductance), dòng ñiện (current), và shot noise trong các hệ Graphene hai chiều của ta. 3.1 Các công thức 3.1.1 Công thức tính dòng (current) ðể dẫn ra công thức tính dòng ở ñây ta dùng hình thức luận Landauer- Buttiker ñược trình bày trong [1] Hình thức luận này áp dụng cho trường hợp hệ là ở trạng thái cân bằng và dòng tính ở ñây là dòng trung bình. Công thức tính dòng ñi từ trái qua phải trong trường hợp hai chiều là: 22 ( ) ( ) ( ) ( ) (2 )L L dkI e f k E k v k T k pi +∞ −∞ = ∫




(3.1) Trong ñó ý nghĩa của các ñại lượng trong biểu thức như sau: 1. Thừa số e là cho ta chuyển từ dòng số hạt sang dòng ñiện (chú ý là ở ñây không có dấu trừ vì ta ñã quy ước chiều dòng ñiện) 2. Tích phân ở ñây lấy theo các các giá trị có thể có của k , ở ñây ta chú ý là k có thể lấy giá trị từ âm vô cùng tới dương vô cùng, thừa số 2(2 ) d k pi
ứng với 1 trạng thái trong không gian vector sóng k . Thừa số 2 ở ñằng trước là biểu hiện của spin (spin của electron là 2) 3. ( )Lf k
là hàm phân bố Fermi-ðirac, là xác suất trạng thái ñó có bị chiếm hay không ? Khi trạng thái ñó bị chiếm (bị lấp ñầy) thì nó mới tham gia vào dẫn. 4. Thừa số vận tốc ( )v k
cũng có vai trò như trong biểu thức cổ ñiển của mật ñộ dòng ñiện j nqv= Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 23 5. Cuối cùng, hệ số truyền qua ( )T k
là xác suất ñể một electron tới có thể xuyên qua bờ thế và cho ñóng góp vào dòng ñiện. Chú ý là khi phản xạ thì nó sẽ không có ñóng góp gì vào dòng ñiện từ trái qua phải cả. Biểu thức sẽ thuận tiện hơn nếu chúng ta ñổi sang tích phân theo năng lượng hơn là tích phân theo véc tơ sóng. Ta có : ( ) ov k v=
là vận tốc của electron (cỡ 1/300 vận tốc ánh sáng) cos( ) , o dEk kdk d dk v γ γ= =
ℏ Thay vào và ñặt 2 2 o e v h χ = ta có: / 2 / 2 os( ) ( ) ( , )L LI d c dEf E T E E pi pi χ γ γ γ +∞ − −∞ = ∫ ∫ (3.2) Tương tự cho trường hợp dòng ñi từ bên phải qua bên trái: / 2 / 2 os( ) ( ) ( , )R RI d c dEf E T E E pi pi χ γ γ γ +∞ − −∞ = − ∫ ∫ (3.3) Trong ñó dấu “-” là do ta quy ước dòng từ trái qua phải là chiều dương nên dòng từ phải qua trái sẽ là ngược chiều dương. Ta cũng chú ý là với các hệ ñối xứng thì hệ số truyền qua từ trái qua phải cùng bằng hệ số truyền qua từ phải qua trái. Dòng tổng cộng sẽ là tổng của hai dòng: / 2 / 2 os( ) ( ( ) ( )) ( , )L R L RI I I d c dE f E f E T E E pi pi χ γ γ γ +∞ − −∞ = + = −∫ ∫ (3.4) Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 24 Trong các bài toán của ta thường xem xét ở nhiệt ñộ thấp ( 0T = ), khi ñó hai hàm Fermi sẽ trở thành các hàm teta và nó sẽ quy ñịnh các cận lấy tích phân: / 2 / 2 os( ) ( , ) L R I d c dET E E µpi pi µ χ γ γ γ − = ∫ ∫ (3.5) Ở ñây, ,L Rµ µ là các thế hóa học ở bên trái và bên phải bờ thế. ðặc biệt khi bias ñặt vào nhỏ thì L Rµ µ µ≈ ≈ và ta có công thức ñơn giản: / 2 / 2 os( )T( , )I d c pi pi χµ γ γ µ γ − = ∫ (3.6) 3.1.2 Công thức tính ñộ dẫn (conductance) Công thức cho ñộ dẫn (Conductance) có dạng ñơn giản : IG V = (3.7) do ñó sau khi tính ñược I ta dễ dàng tính ñược G. Tuy nhiên, trong trường hợp bias nhỏ và nhiệt ñộ thấp thì theo [1] ta có công thức tính ñộ dẫn ñơn giản: 22 ( )eG T h µ= (3.8) Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 25 Trong ñó số 2 là chỉ spin của electron, 2e h thường ñược xem là ñơn vị lượng tử của conductance và tương ứng là trở lượng tử 2 25.8 hR k e = = Ω . Trong trường hợp có nhiều kênh dẫn thì trở dẫn sẽ là tổng của các kênh dẫn ñó: 22 ( ) ( )n o n eG T E G T E h = =∑ ∑ (3.9) 3.1.3 Công thức tính noise Biểu thức tổng quát ñể tính noise ñã ñược Ya.M.Blanter và M.Buttiker dẫn ra trong [2]. Việc ñi ñến công thức này là khá phức tạp nên ta sẽ không trình bày ở ñây. Chuyển sang trường hợp hai chiều ta sẽ có công thức như sau: [ ] [ ][ ]2L R =R,L S 2e T(E, ) f ( E ) 1 f ( E ) T( E, ) 1 T( E, ) f ( E ) f ( E ) EdE cos( )dα α α χ γ γ γ γ γ = − + − −    ∑∫ (3.10) Trong ñó 2 2 o e v h χ = có giá trị như trong trường hợp tính dòng. Biểu thức trên là tương ñối phức tạp, tuy nhiên ta có thế ñơn giản hóa trong trường hợp riêng là nhiệt ñộ thấp [10] : [ ]S 2e T( E, ) 1 T( E, ) EdE cos( )dχ γ γ γ γ= −∫ (3.11) Hay cụ thể các cận tích phân ra ta có : [ ] L R / 2 / 2 S 2e d cos( ) dET( E, ) 1 T( E, ) E µpi pi µ χ γ γ γ γ − = −∫ ∫ (3.12) Trong trường hợp lượng tử hóa thành các kênh riêng biệt thì ta có thể có công thức tương tự như ñối với conductance: Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 26 [ ]o n n n S S T( E ) 1 T( E )= −∑ (3.13) Sau khi tính ñược noise và dòng thì ta có thể dễ dàng suy ra hệ số Fano: SF 2eI = (3.14) Trong trường hợp các kênh riêng biệt thì ta có công thức [2]: n nn nn T (1 T ) F T − = ∑ ∑ (3.15) 3.2 Hệ Graphene một bờ thế (H8) Ta xét một hệ bờ thế như hình vẽ (H8). Trong ñó E là năng lượng vào, U là ñộ cao bờ thế khi chưa có hiệu ñiện thế V ñặt vào. Ta nhận thấy rằng việc làm trên của ta chỉ có ý nghĩa khi hiệu ñiện thế ñặt vào nhỏ, vì nếu hiệu ñiện thế lớn thì bờ thế sẽ có dạng khác ñi nhiều mà ta không xét tới ở ñây. ðể tính hệ số truyền qua hệ thì ta có thể áp dụng trực tiếp phương pháp T ma trận như ñã trinh bày ở trên . Tuy nhiên ñây là trường hợp khá là ñơn giản nên trong nhiều bài báo người ta viết trực tiếp hàm sóng trên từng miền rồi dùng ñiều kiện liên tục tại các ñiểm ñể tìm ra biểu thức của hàm truyền[6,7,8]. Trong luận văn này tôi không muốn viết ra biểu thức cụ thể vì nó cũng khá dài, những tính toán cụ thể dành cho việc lập trình trong Matlab. Ở ñây ta có thể Hình 8. Sơ ñồ hệ một bờ thế Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 27 phân tích một biểu thức ñịnh lượng dạng ñơn giản trong [6]. Xét trường hợp bờ thế ñối xứng và bờ thế rất cao (V E≫ ): 2 2 2 x cos ( )T 1-cos (q d)sin ( ) Φ Φ = (3.16) Trong ñó Φ là góc tới của electron, 2 2 2x o o yq ( E V ) /( v ) k= − −ℏ là vector sóng theo phương ox khi ở trong bờ thế, d là ñộ rộng bờ thế. Từ biểu thức trên chúng ta thấy rằng, với một góc tới xác ñịnh thì hệ số truyền qua bằng 1 khi: xq d n ,n 0, 1, 2....pi= = ± ± (3.17) Do ñó, khi tăng ñộ rộng bờ thế lên sẽ làm tăng số ñỉnh cộng hưởng. ðiều này chúng ta sẽ thấy rõ hơn trong các hình vẽ sau này. Một ñiều ñáng chú ý nữa là khi góc tới 0Φ = , tức là khi electron tới vuông góc với bờ thế thì hệ số truyền qua luôn luôn bằng 1. ðiều này ñã ñược chúng ta thảo luận trước ñây, và nó chính là hiện tượng Klein paradox. Ở bên là hình vẽ T theo góc với các số liệu là ñộ cao bờ thế oU 100meV= , ñộ rộng của bờ thế L 50nm= . Trong ñó ñường nét liền, ñường nét ñứt và ñường chấm chấm ứng với các năng lượng vào lần lượt là E 45,50,55( meV )= . Từ ñồ thị ta thấy rằng khi electron tới vuông góc bờ thế thì -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Transmision coefficient as a function of the incident angle teta T Hình 9. ðồ thị hê số truyền qua như là hàm của góc tới với các năng lượng Fermi khác nhau Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 28 hệ số truyền qua bằng 1. Ngoài vị trí ñó ra thì vẫn còn tại một số ñiểm khác nữa cũng cho ta hệ số truyền qua bằng 1, ñúng như ta ñã dự ñoán. Một ñiều dễ nhận thấy nữa là hệ số truyền có dạng ñối xứng ñối với góc tới, ñiều này là hiển nhiên tại vì dấu của góc là do ta chọn còn ñối với hàm sóng thì nó hoàn toàn ñối xứng. ðồ thị hệ số truyền qua theo mức Fermi với các góc tới khác nhau. Trong ñó ñường nét liền, ñường nét ñứt và ñường chấm chấm tương ứng với góc / 10, / 15, / 20ϕ pi pi pi= . Từ ñồ thị ta có nhận xét sau: Khi góc tới càng nhỏ thì hệ số truyền qua càng lớn, ñiều ñó ñược thể hiện trên hình vẽ là khi góc tới nhỏ hơn sẽ nằm hoàn toàn ở phía trên. Ngoài ra, như ñã phân tích ở trên thì khi electron ñi tới bờ thế sẽ có một vùng cấm 2 2 2 2( ) ( )o f y o f yU E v k E U E v k− + ≤ ≤ + + hàm sóng trong vùng này giảm theo hàm số mũ ứng với thung lũng trên hình vẽ. Ta nhận thấy rằng ñộ rộng của nó phụ thuộc vào yk hay góc tới của Graphene. Góc tới càng lớn thì ñộ rộng này càng lớn. ðồ thị bên dưới là ñồ thị I-V cho các góc tới khác nhau là / 10, / 15, / 20ϕ pi pi pi= ứng với các ñường liền, ñường chấm chấm và ñường nét ñứt. Trên ñồ thị ta ñặc biệt chú ý một ñặc ñiểm ñó là có hiện tượng ñiện trở vi phân âm. Trong các bán dẫn thong thường thì ít nhất phải hệ hai bờ thế mới có hiện tượng này. ðiều này là một ñặc trưng của hệ Graphene. 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Transmission coefficent as a function of the incident energy Ef(meV) T Hình 10. ðồ thị hàm truyền qua như là hàm của năng lượng Fermi với các góc tới khác nhau. Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 29 3.3 Hệ Graphene hai bờ thế (H12) Ta xét một hệ hai bờ thế như hình vẽ, trong ñó 1 2U ,U là ñộ cao của hai bờ thế, 1 2V ,V là ñộ giảm thế trên từng bờ thế do ñặt bias vào hệ. Hai bờ thế có ñộ rộng là 1 2L ,L và khoảng cách giữa chúng là d. Tuy nhiên trong các bài toán cụ thể thì ta thường xét trường hợp ñơn giản là 0 100 200 300 400 500 600 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 current I(m A) V(mV) Hình 11. ðồ thị I-V với các góc tới khác nhau Hình 12. Sơ ñồ hệ hai bờ thế Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 30 bờ thế ñối xứng và hiệu ñiện thế ñặt vào là nhỏ. Áp dụng phương pháp T ma trận ta tính ñược hệ số truyền qua hệ, sau ñó áp dụng các công thức tính dòng, conductance, noise và hệ số Fano. Ta lấy các số liệu và lặp lại cách làm giống như trong [10], 1 2 oU U U 100meV= = = , 1 2L L d / 2 50nm= = = , 1 2V V 0= = . Hình bên là ñồ thị của ñồ thị của T theo góc với năng lượng khác nhau, E 78,85meV= . Ta thấy trường hợp này cũng gần giống như trường hợp một bờ thế. Tuy nhiên, trong trường hợp này ta chú ý là khi có năng lượng nghỉ nó sẽ làm electron không còn có khả năng chui ngầm Klei nữa, tức là ngay cả khi tới vuông góc với bờ thế thì hệ số truyền qua cũng khác 1. Hình bên là ñồ thị hệ số truyền theo mức Fermi ứng -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 teta T -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Transmision coefficient as a function of the incident angle teta T Hình 13. Hệ số truyền qua như là hàm của góc tới với các năng lượng Fermi khác nhau 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Transmission coefficent as a function of the incident energy Ef(meV) T 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Ef(meV) T Hình 14. ðồ thị hệ số truyền như là hàm của năng lượng Fermi ứng với các góc khác nhau Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 31 với các góc khác nhau. Ta thấy rằng trong trường hợp này có nhiều ñiểm cộng hưởng hơn trường hợp một bờ thế, ñăch biệt là ở trong vùng cấm vẫn có cộng hưởng, trường hợp này là giống với trường hợp cộng hưởng của hai bờ thế trong bán dẫn thông thường. Trong trường hợp này ta thấy răng khi tăng góc tới (tức là tăng yk ) và khi tăng khối lượng của electron thì ñộ rộng vùng cấm tăng. Trong trường hợp vẽ về ñộ dẫn (conductance) thì ta chỉ xét trường hợp thế ñặt vào là nhỏ (V 0.1mV= ). Ta thấy một ñặc ñiểm là khi ñộ dẫn cực ñại thì noise ñạt cực tiểu và ngược lại, khi ñộ dẫn cực tiểu thì noise cực ñại. Ngoài ra, khối lượng cũng làm ảnh hưởng tới ñộ dẫn, cụ thể là nó làm giảm ñộ dẫn (H15). Trong hình bên, ñường nét liền ứng với khối lượng electron bằng không, ñường nét ñứt ứng với 2omv 10meV= . 0 20 40 60 80 100 120 140 160 0 0.02 0.04 0.06 0.08 conductance G( e2 /h ) Ef(meV) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 0 2 4 6 noise Ef(meV) S/ 2e ) Hình 15. ðồ thị conductance và shot noise như là hàm của năng lượng Fermi Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 32 Hình bên dưới là ñồ thị hệ số fano cho hai trường hợp : khối lượng của electron bằng không và bằng 2omv 10meV= . Ta nhận thấy là trong trường hợp khối lượng bằng 0 thì cực ñại của hệ số fano dao ñộng quanh giá trị F 1 / 3= . ðây là giá trị ñã ñược tiên ñoán trong các hệ Graphene lý tưởng. Ngoài ra, ta nhận thấy rằng khi có khối lượng ñã làm tăng hệ số fano lên rất nhiều. Hệ số fano lớn nhất chính là ở vùng cấm của electron, còn khi ñi ra năng lượng của electron lớn thì hệ số này bằng 0. 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 fanofactor F meV Hình 16. ðồ thị hệ số Fano như là hàm của năng lượng Fermi Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 33 3.4 Quantum dot Graphene Chấm lượng tử (Quantum dot QD) là hệ lượng tử không chiều. QD thông thường ñược chế tạo bằng cách dùng thế tĩnh ñiện cầm tù electron theo cả 3 chiều Ox,Oy,Oz. Tuy nhiên, như ta ñã biết, electron ðirac trong Graphene dễ dàng chui ngầm qua các bờ thế có hình dạng bất kì. Do vậy, việc cầm tù electron ðirac ñể tạ thành quantum dot Graphene (QDG) là một việc làm rất khó khăn. May mắn là chúng ta vẫn có thể cầm tù electron trong hệ Graphene khi nó có xung lượng ngang (và cả khối lượng của nó cũng ñóng vai trò như xung lượng ngang trong việc cầm tù). Xung lượng ngang (khối lượng) càng lớn thì việc cầm tù càng tốt. ðể tạo thành một QD trong một dây bán dẫn thông thường thì phải cần ít nhất hai bờ thế ñể cầm tù electron. Tuy nhiên, một ñiều kì thú là trong Graphene ta chỉ cần một bờ thế là ñủ. Trạng thái giả liên kết xuất hiện ngay trong bờ thế mà mỗi bên thành của bờ thế có vai trò như là ‘các bờ thế ’ trong bán dẫn thông thường. Sự xuất hiện các trạng thái giả liên kết (mức cộng hưởng) không phụ thuộc vào hình dạng của dải (ñiều kiện biên). Tuy nhiên vị trí, ñộ rộng của từng mức cộng hưởng và ñặc biệt là giá trị của ñộ dẫn nền (back ground conductance) giữa các mức cộng hưởng phụ thuộc vào dạng của biên. ðiều này ñã ñược Efetov chỉ ra trong [13]. Do ñó, trước khi tính toán với QDG, chúng ta hãy xem qua ñiều kiện biên, xem nó có ảnh hưởng như thế nào vào bài toán của ta. Hãy tưởng tưởng ta có một tấm Graphene (Graphene sheet) rộng vô hạn, bây giờ ta dùng kéo cắt tấm này ra ñể tạo thành một dải Graphene (Graphene strip). Khi ñó ứng với mỗi kiểu cắt sẽ cho ta một dạng biên khác nhau, ứng với một ñiều kiện biên khác nhau. Có vô số kiểu cắt và cũng sẽ có vô sô dạng biên khác nhau của dải Graphene. Trong khuôn khổ luận văn này tôi chỉ xem xét hai loại ñiều kiện biên ñơn giản và thông dụng nhất là zigzag và airchair. Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 34 1. ðiều kiện biên zigzag Từ hình vẽ ta thấy, ñối với ñiều kiện biên zigzag thì tại một biên gồm toàn các nguyên tử loại A, còn tại biên còn lại gồm toàn các nguyên tử loại B. ðiều kiện biên của ta là hàm sóng tại các nguyên tử ở biên phải triệt tiêu. Giả sử L là chiều rộng của tấm Graphen thì ta có hàm sóng của nguyên tử A (tại y=L) và của nguyên tử B (tại y=0) phải triệt tiêu : A B( y L ) 0, ( y 0 ) 0Ψ Ψ= = = = . Hay viết dưới dạng tương minh hơn như sau : ' 'A A B B( L ) ( L ) (0 ) (0 ) 0ϕ ϕ ϕ ϕ= = = = , trong ñó A B,ϕ ϕ là thành phần spinor của hàm sóng tại ñiểm K còn ' 'A B,ϕ ϕ là thành phần spin của hàm sóng tại ñiểm 'K . Bằng các giải phương trình trị riêng của Hamilton tại ñiểm K và 'K (như ta ñã giải ở mục ) ñể tìm hàm sóng và áp dụng ñiều kiện biên trên, ta có thể dẫn ra phương trình tìm yk cho hàm sóng tại K ( 2 2 2y xk kε= − ) : y2k L x y x y k k e k k − − = + (3.18) Phương trình trên có lời gải thực cho yk bất cứ khi nào xk là dương. Ngoài lời giải thực thì ta cũng có thể lời giải cho trường hợp yk ảo, viết dưới dạng y nk ik= : n x n kk tan( k L )= (3.19) Hình 17. Một mảnh Graphene với ñiều kiện biên zigzag Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 35 Lời giải ñể tìm cụ thể ra yk phụ thuộc vào từng bài toán riêng biệt với ñiều kiện hàm sóng ở biên như thế nào. Làm tương tự cho trường hợp tại ñiểm 'K ta cũng thu ñược phương trình có dạng giống như trường hợp ñiểm K nhưng mà phải ñổi x xk k→ − . Ở ñây ta chú ý một ñiều là ñiều kiện biên này là tách rời (decouple) giữa hai ñiểm K và 'K nhưng lại có sự ràng buộc (couple) giữa phương Ox và Oy (thể hiện qua việc trong phương trình của yk có mặt của xk ), ñiều này là ngược lại so với trường hợp armchair mà ta xét ở phần sau. Các tính toán ñã ñược cụ thể hóa trong [3] nên ta sẽ không nhắc tới ở ñây. 2. ðiều kiện biên armchair. Hình vẽ mô tả cả hai trường hợp của ñiều kiện biên zigzag và airchair. Ta thấy với ñiều kiện biên armchair thì tại hai biên ñều gồm cả hai loại nguyên tử A và B. Khi ñó ñiều kiện biên ứng với trường hợp hàm sóng tại cả hai nguyên tử ñều bằng không. A A B B(0 ) ( L ) (0 ) ( L ) 0Ψ Ψ Ψ Ψ= = = = . Bằng cách giải tìm hàm sóng tại K và 'K và áp dụng ñiều kiện biên trên ta có : Hình 18. Một mẫu Graphene với cả ñiều kiện biên zigzag và armchair Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 36 n o n 4k L 3a pi pi = − (3.20) Trong ñó oa là hằng số mạng. Một ñiều thú vị ñã ñược L.Brey chỉ ra trong [14] là, với ñiều kiện biên armchair, khi chiều dài là oL 3Ma= với M là số nguyên thì hệ là kim loại, còn trong các trường hợp còn lại thì hệ là ñiện môi. Trởi lại với bài toán QDG, Efetov ñã xét thế giam cầm là thế Parabol, trong luận văn này tôi thực hiện tính toán với bờ thế có dạng hình thang cân. Tương tự như trường hợp chia miền hạt tải ñã xét ở trên, trong trường hợp này ta có thể chia miền năng lượng thành 5 miền như sau 1. Miền thứ nhất: ( )2 20 y 0E v p E< − + : miền này tương ứng với năng âm nhỏ hơn bờ thế của electron, electron ñi qua thế mà không gặp vùng cấm nào cả. 2. Miền thứ hai: ( ) ( )2 22 20 y 0 0 y 0v p E E v p E− + < < + : electron phản xạ giữa qua lại giữa hai miền cấm bán vô hạn tương ứng với các trạng thái liên kết của electron trong bờ thế. 3. Miền thứ ba: ( ) ( )2 22 20 y 0 0 0 y 0v p E E U v p E+ < < − + : electron ñi vào chịu phản xạ qua lại của hai thành cấm dày hữu hạn, ñây chính là miền cho phép tồn tại các trạng thái giả liên kết, tương ứng với các cộng hưởng trong QDG. 4. Miền thứ tư: ( ) ( )2 22 20 0 y 0 0 0 y 0U v p E E U v p E− + < < + + : electron truyền qua một vùng cấm tương ứng với miền suy giảm mạnh của hệ số truyền qua. Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 37 5. Miền thứ năm: ( )2 20 0 y 0U v p E E+ + < : năng lượng electron lớn, cao hơn ñộ cao bờ thế, do ñó hệ số truyền qua sẽ xấp xỉ ñơn vị. Trong [13], Efetov ñã ñưa ra biểu thức cụ thể của thành phần xung lượng ngang khi bị lượng tử hóa : yp ( n ) ( n ) / Lυ pi= − ℏ . Trong ñó 0υ = ứng với trường hợp kim loại và 2 3υ = ± ñối với trường hợp ñiện môi. Trong các kết quả tính số dưới ñây ta chỉ vẽ cho trường hợp hệ là kim loại ( yp ( n ) n / Lpi= ℏ ). Hình 19.Sơ ñồ phân miền năng lượng của electron tới trong thế hình thang. 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 1 2 3 4 5 6 Ef(meV) G/ Go conductance Hình 20. ðồ thị conductance như là hàm của năng lượng Fermi Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 38 Trong các kết quả tính số, ta vẽ cho trường hợp bờ thế hình thang có ñộ cao U 70meV= , mỗi bên bờ dốc có chiều chiều dài 200nm, ñáy nhỏ hình thang là 100nm, còn chiều dài theo phương y là 200nm. Trên ñồ thị ñộ dẫn (conductance), ta thấy khi năng lượng của electron nhỏ hơn năng lượng của bờ thế, như thảo luận ở trên thì nó tương ứng với miền 3 tức là miền tồn tại các trạng thái giả liên kết, do ñó conductance ở ñây có dạng dao ñộng. Tại miền năng lượng tiếp theo ứng với miền cấm nên conductance gần bằng 0. Vùng tiếp theo là vùng năng lượng của electron cao hơn bờ thế nên hệ số truyền qua gần bằng 1, do ñó conductance có dạng hình bậc thang. Mỗi bước nhảy ở ñây có ñộ cao oG 2G∆ ≈ tương ứng với sự xuất hiện hai kênh dẫn mới. Trên ñây là ñồ thị shot noise và hệ số fano theo năng lượng Fermi, kết quả này ñược vẽ dựa trên công thức 3.13 và 3.15. Cũng như trong trường hợp hai bờ thế, khi Hình 21. ðồ thị shot noise như là hàm của năng lượng Fermi Hình 21. ðồ thị hệ số Fano như là hàm của năng lượng Fermi Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 39 nào ñộ dẫn cực ñại thì noise cực tiểu và ngược lại. Trong ñồ thị tính hệ số fano, ta thấy rằng ở vùng có trạng thái giả liên kết thì noise cũng có dạng dao ñộng và cực ñại của nó xấp xỉ bằng 1. Khi năng lượng Fermi cao hơn ñộ cao bờ thế thì shot noise cũng giảm gần về 0. Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 40 Kết luận Graphene là một vật liệu mới có những tính chất ñặc thù mà các vật liệu bán dẫn khác không có. Các hệ trong Graphene mà chúng ta nghiên cứu trong luận văn này là hoàn toàn cổ ñiển nhưng electron chuyển ñộng trong ñó thì mang tính chất “giả tương ñối”. Bằng một phương pháp cổ ñiển là T ma trận, chúng ta ñã xem xét ñược chuyển ñộng chui ngầm ballistics và tính ñược các ñặc trưng như shot noise qua một số hệ nano Graphene ñơn giản. Tuy nhiên, trong khuôn khổ luận văn này, chúng ta mới chỉ giới hạn trong việc nghiên cứu chuyển ñộng của electrong là ballistics, tức là chuyển ñộng một cách tự do mà chưa xét ñến các tương tác như tương tác electron-electron, electron-phonon, tương tác spin quỹ ñạo…ðây cũng chính là những hướng nghiên cứu mà các nhà khoa học ñang quan tâm vì nó phù hợp với thực tế hơn. Tuy nhiên ñể giải quyết những bài toán như thế này thì cần dùng công cụ toán phức tạp và phương pháp hàm Green sẽ là phương pháp chủ ñạo khi tính tới các tương tác ñó. Hy vọng sau khi tốt nghiệp tôi sẽ có thời gian và cơ hội ñể tiếp tục nghiên cứu về các vấn ñề này. Hoàng Mạnh Tiến Trường Đại học khoa học Tự nhiên Luận văn tốt nghiệp Hà Nội ngày 25 tháng 5 năm 2008 41 Tài liệu tham khảo 1. John H. Davies (1996), The Physics of low-dimentional semiconductors, Cambridge University press. 2. Ya.M.Blanter, M.Buttiker (2000), Shot noise in mesoscopic conductors, Physics Reports 336,1-166. 3. A.H.Castro Neto, F.Guinea, N.M.R.Peres, K.S.Novoselov, A.K.Geim, The electronic properties of Graphene, arXiv:0709.1163v1 [cond-mat.other] 7 Sep 2007. 4. Jean-Christophe Charlier (2007), Xavier Blasé, Stephan Roche, Electronic and transport properties of nanatubes Rev. Mod. Phys 79 (2) 667. 5. A.Calogeracos, N.Dombey (2006), History and physics of the Klein paradox, Contemporary Physics 40 (5) 313. 6. M.I. Katsnelson, K.S.Novoselov, A.K.Geim, Chiral tunnelling and the Klein paradox in graphene, Nature Physics, Vol 2, September 2006 . 7. D. Dragoman, M. Dragoman (2007), Negative differential resistance of electrons in graphene barrier, Appl. Phys. Lett. 90, 143111. 8. J. Milton Pereira Jr., V. Mlinar, F. M. Peeters, P. Vasilopoulos (2006), Confined states and direction -dependent transmission in graphene quantum wells, Phys. Rev. B 74, 045424. 9. J. Milton Pereira, P. Vasilopoulos, F. M. Peeters (2007), Graphene-based resonant- tunneling structures, Appl. Phys. Lett. 90, 132122. 10. Rui Zhu, Yong Guo (2007), Short noise in the graphene-based double-barrier structure, Appl. Phys. Lett 91, 252113. 11. Chuxu Bai, Xiangdong Zhang (2007), Klei paradox and resonant tunneling in a graphene superlatice, Phys. Rev. B 76, 075430. 12. L.Brey, H.A.Fertig (2006), Electronic State of Graphene Nanoribbons, Phys. Rev. B 73, 235411. 13. P.G.Silvestrov, K.B.Efetov (2007), Quantum Dots in Graphene, Phys. Rew. Lett 98, 016802. 14. D.P.DiVincenzo, E.J.Mele (1984), Seft-consitent effective-mass theory for intrslayer screening in graphite intercalation compounds. Phys. Rev B 29 (4)1984