Luận văn Đặc trưng của các tính chất ( D N D Z) và ( WD Z ) trong lớp các không gian frechet

a bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 Giả sử E GÍ và ( )H a¥Í L là các không gian con phân bậc và E có tính chất ( )DZW với 0b = , tức là với mọi n p³ và mọi 0r > ta có , 0 n p n p m n p m n m m n m m m n p U r U c r U - ¥ - - - - = = - æ öæ ö ÷ç÷çÐ + ÷çè ø è ø I I . Ký hiệu . n , . n theo thứ tự là bậc của 1 ( )a¥L , 2 ( )a¥L và . n : là bậc cảm sinh bởi các nửa chuẩn thương trên H . Chọn ,b d cố định sao cho với y HÎ bất kỳ, ta có n nn n b n d y c y c y + + ¢ ¢£ £ : và 2 jd j e a- < + ¥å , do đó , ( )n n dx c x x a+ ¥¢£ Î L . Ký hiệu nH là là bao đóng của H trong { }2 1 2( ) ( , ,...) : jn nl e x x x x a = = < + ¥ , 2: ( )j n n nl e H a p ® là phép chiếu chính tắc; ,n nE G (tương ứng nH % ) là bổ sung của ,E G (tương ứng H ) đối với . Gn (tương ứng . n : ) và nhận được dãy khớp 0 0n ni qn n nE G H® ¾ ¾® ¾ ¾¾® ® % . Ký hiệu ( )je a¥Î L là véc tơ đơn vị thứ n , và chọn n j nd GÎ sao cho ( ) , j n bn n n j n b j j nn q d e d c e a p + + ¢= £ . Đặt 1 , ( )n nj j j R x x d x a ¥ ¥ = = Î Lå . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 Ta nhận được ( , )n nR H GÎ L , n n bnn R x c x +¢£ . Vì n nq R id=o , nên ta có 1: ( , )n n n nS R R H E += - Î L và 1( , ) n n b d nS L H E+ + +Î , bằng cách thác triển liên tục đến 1n b dH + + + . Đặt 1 n n n b dT S p + + += o . Khi đó ,n nj jT T e= và ( ) , : 1j n an j nn T c e a b d a+¢¢£ = + + . Chọn ( ) jn an j n nT c e U E a+¢¢Î Í% sao cho 2n n nj jT T -- £% , và chọn 11 n nc c +£ £ sao cho ,1: 2 , 0 m n nm p m p m p n n c c D c sup m c + + + + ¢¢ = < + ¥ ³ . Áp dụng điều kiện ( )DZW cho n jT % với 1(2 )jnr c e a -= , ta được n jt EÎ : ( ) 2 j m a pn n j mm t D e a+ +-£ với mọi ,m n p< - ( ) 2 j m a pn n n j j mm T t D e a+ +-- £% với mọi m n p³ - . Từ đó, 0 ( ( ))n n nj j j j n t t T T ¥ = = + -å % hội tụ trong nE . Đặt 0 1 , ( )j j j Rx R x t x x H a ¥ ¥ = = + Î Í Lå ta nhận được 0( , )R L H GÎ . Vì 1 0 1 m p m p n j j n j Rx R x T x t x + ¥ + + = = = - +å å 1 1 0 1 ( ) ( ( )) m p m p n n n n n j j j j j j j n n m p R x T T t T T x +¥ ¥ + + = = = + + æ ö ÷ç= - - - + - è ø å å å% % , nên ta có 1 3 ,m a p m a pm p mmRx c x D x x H+ + + ++ +¢£ + Î . Từ đó, mRx GÎ với mọi m và ta có ánh xạ tuyến tính tame :R H G® sao cho q R id=o . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 1.3.1.4. Hệ quả. Nếu E có tính chất ( )DZW , H là hạch và có tính chất ( )DNDZ , thì mỗi dãy khớp tame 0 0E G H® ® ® ® đều là chẻ tame. 1.3.2. Đặc trƣng của tính chất ( )DZW . 1.3.2.1. Mệnh đề. Cho E là không gian Frechet hạch phân bậc. )i Nếu E có tính chất ( )DNDZ , thì tồn tại dãy khớp tame 0 0,E s F F se d® ® ® ® Í không gian con phân bậc. )ii Nếu E có các tính chất ( )DNDZ và ( )DZW , thì E là tổng trực tiếp tame của , 0se e > . Chứng minh. Theo định lý 1.2.2.2 tồn tại dãy khớp tame 0 0, 0pE s Qt t® ® ¾ ¾® ® > . Vì Q là hạch tame nên tồn tại dãy khớp tame 0 0,qs F Q F sd d® ® ¾ ¾® ® Í không gian con phân bậc, 0d > . Đặt { }( , ) :H x y F s qx pyt= Î ´ = ta nhận được các dãy khớp tame 2 10 0iE H Fp® ¾ ¾® ¾ ¾¾® ®, 1 20 0is H spd t® ¾ ¾® ¾ ¾¾® ® . Như vậy, ta có đẳng cấu tame min( , )H s s sd t d t@ ´ @ . Từ đó suy ra )i . Cuối cùng định lý chẻ 1.3.1.3 suy ra )ii . 1.3.2.2. Hệ quả. Nếu E là không gian Frechet hạch phân bậc có tính chất ( )DNDZ , thì tồn tại dãy khớp tame 0 0, 0E s se e e® ® ® ® > . Chứng minh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 Không gian F xuất hiện trong mệnh đề 1.3.2.1 có tính chất ( )DNDZ và ( )DZW , nên F đẳng cấu tame với ( )a¥L . Vì F sdÍ và sd đẳng cấu tame với không gian con phân bậc của F , nên suy ra F đẳng cấu tame với ,sd d e³ . Từ đó thay ánh xạ :q id s s s se e d e´ ´ ® ´ đối với ánh xạ :q s se d® , ta nhận được dãy khớp tame cần tìm. 1.3.2.3. Định lý. Với mỗi không gian Frechet phân bậc E , các mệnh đề sau là tương đương: )i E có tính chất ( )DNDZ và ( )DZW . )ii E đẳng cấu tame với không gian các chuỗi luỹ thừa kiểu hữu hạn ( )a¥L . )iii E là tổng trực tiếp của , 0se e > nào đó. )iv E đẳng cấu tame với không gian với không gian con phân bậc của , 0se e > , và đẳng cấu tame với không gian thương của , 0sd d > nào đó. Bây giờ chúng ta sẽ giới thiệu điều kiện *( )D ZW của dãy khớp tame, là điều kiện đủ đối với ( )DZW - tính chất ba không gian. Chú ý rằng trong chứng minh đặc trưng của không gian thương của s trong trường hợp tôpô, 'tính chất ba không gian" đã được áp dụng cho dãy tiêu chuẩn [19] 0 0s E E® ® ® ®% 1.3.2.4. Định nghĩa. Cho 0 0F E Ej® ® ¾ ¾® ®% là dãy khớp các không gian Frechet phân bậc, { }: : 1nnU x E x= Î £% . )i Dãy khớp ( hoặc j ) có tính chất *( )D ZW , nếu tồn tại 0s ³ và các hằng số 0nc > sao cho với mọi ,n s k s³ ³ - và , 0n kc > tồn tại , 0n kc >% sao cho với mọi 0 1r< < thì (*) và (**) xảy ra: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 0 1 ( ) n n i i s n i n n i i i r U c r Uj j -- - = = æ ö ÷çÍ ÷çè ø I I , (*) , , 0 ( ) n k n k n k n kk k s k k s c c U U r r j j ¥ ¥ + ++ = = - æ ö ÷çÍ çè ø % I I . (**) )ii Dãy ( hoặc j ) có tính chất *( )DW , nếu với 0s = (*) và (**) xảy ra với mọi 0r > . 1.3.2.5. Mệnh đề. Cho 0 0F E Ej® ® ¾ ¾® ®% là dãy khớp tame các không gian Frechet phân bậc. Dãy có tính chất *( )D ZW , E và F có tính chất ( )DZW . Khi đó E% cũng có tính chất ( )DZW . Chứng minh. Giả sử { }n nU EÐ % . Ta xét dãy tương đương tame { }n nU F FÆ Ð , tương ứng { }( )n nU Ej Ð , và giả sử F có tính chất ( )DZW với 0b = và q , E với 0b = và p . Lấy , 0 1, np s p q r x U³ + + < < Î . Áp dụng tính chất *( )D ZW cho n p- , ta nhận được , ( ) ( ) ( ) ( ) n n ki p n n n i n kk p i p k p c x U c r U U r j j j j ¥ - - ++ = = - æ ö æ ö ÷ ÷ç çÎ Í + è ø è ø I I , ( ) ( ) n p n ki s n n i p n p kk s i s k s c c r U U r j j j j - ¥ - - - - ++ = = - æ ö æ ö ÷ ÷ç çÍ + è ø è ø % % I I , ( ) ( ) n n ki s p n n i n kk s p i s p k s p c c r U U r j j j j ¥ - - - ++ + = + = - - æ ö æ ö ÷ ÷ç ç= + ç çè ø è ø % % I I . Từ đó, ta được x a b z= + + với z FÎ , và ( ) n i s p q n n i i s p q a c r U- - - - = + + Î % I , ,n k n kk s p q k s p q c b U r ¥ ++ + + = - - - Î % I , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 , n s p n ki q n n s p n n s p i n s p kk q i q k q c z c U F c r U U r - - ¥ - - - - - - - - ++ = = - æ ö æ ö ÷ ÷ç çÎ Æ Í + è ø è ø % % I I , n n ki s p q n n i n kk s p q i s p q k s p q c c r U U r ¥ - - - - ++ + + = + + = - - - æ ö æ ö ÷ ÷ç ç= + ç çè ø è ø % % I I . 1.3.2.6. Mệnh đề. [11] "Dãy Borel" [ ] [ ] [ ]0 1, 0 0,1 1,1 0iD D D b w® - ´ ¾ ¾® - ¾ ¾® ® , i là ánh xạ nhúng, ( ) ( (0), (0), (0),...)f f f fb ¢ ¢¢= , là dãy khớp tame đẳng cự. Chứng minh. Theo định lý Borel, b là toàn ánh. Từ đó khẳng định về i là tầm thường và khẳng định về b dễ dàng được chứng minh. 1.3.2.7. Mệnh đề. Dãy Borel có tính chất *( )DW . Chứng minh. Chọn cố định [ ]1,1 , 0 1, 1Dy y yÎ - £ £ º trong 1 1 , 2 2 é ù -ê ú ê úë û . )i Lấy [ ]10, 1, , ..., 1,1nn r f f D³ > Î - sao cho i i i f r£ và 0( ) ( )if fb b= với mọi 0 i n£ £ . Đặt ( ) 0 1 ( ) (0) , ( ) ( ) ( ) ! n i i i i p x f x g x p x rx i y = = =å % . Với 0 i n£ £ , ta có i ni g c r£% và ( ) ( )(0) (0)i iig f=% . Chọn [ ]1,1h DÎ - với 1 n h £ sao cho 0( ) ( )h f gb b= - % và đặt g g h= +% . Khi đó ( ) ( )ig fb b= và i ni g c r£ với mọi 0 i n£ £ . )ii Lấy [ ]1 ,0, 1, , , ... 1,1 , 1n n n kn r f f D c+³ > Î - ³ sao cho , k n k n kn k f c r+ + £ và ( ) ( )n k nf fb b+ = với mọi 0k ³ . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 Đặt ( ) ,( ) (0) (2 ! i i n n i n i n x g x f rc x i y ¥ - = = å% . Ta có [ ]1,1g DÎ -% và , k n k n kn k g c r+ + £% % , ( ) ( )(0) (0)n k n kng f + += với mọi 0k ³ . Chọn [ ]0 1,..., 1,1ng g D- Î - sao cho ( )(0)ji ijg d= với mọi 0j ³ , và đặt 1 ( ) 0 (0) n i n i i g f g g - = = +å % . Ta nhận được ( ) ( )n kg fb b += và , k n k n kn k g c r+ + £ % với mọi 0k ³ . Bây giờ nếu ,E F là các không gian Frechet phân bậc, thì e - tích : ( , )e cE F F Ee ¢= L là không gian Frechet phân bậc với bậc { }0: ( ) : E n nn u sup u f f U F¢ ¢ ¢= Î Í , u E FeÎ . Hiển nhiên, ta có E F F Ee e= , E F E Fpe = Ä% là các đẳng cấu tame trong đó E FeÄ% và E FpÄ% được phân bậc một cách tự nhiên. Cùng với 1 2:u E E® và 1 2:v F F® là 1 1 2 2: , ( )u v E F E F u v x u x ve e e e® = o o đẳng cự tame, đơn ánh tame, và mở tame. Nếu u là toàn ánh và một trong các không gian 1 2, ,E E F là hạch, thì Fu ide cũng là toàn ánh. 1.3.2.8. Mệnh đề. Cho 0e > tuỳ ý. Dãy Borel ( )se - giá trị [ ] [ ] [ ]0 1, 0 0,1 1,1 0i id idD D s D s se bee e ee e we® - ´ ¾ ¾ ¾® - ¾ ¾ ¾® ® là dãy khớp tame. Chứng minh. Theo mệnh đề 1.3.2.6 ta có dãy khớp tame Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 [ ] [ ] [ ]0 1, 0 0,1 1,1 0iD D D b w® - ´ ¾ ¾® - ¾ ¾® ® Lấy e - tích đối với si ide , p - tích đối với sidbe suy ra điều phải chứng minh. 1.3.2.9. Bổ đề. Cho : F Gj ® có tính chất *( )DW và 0e > tuỳ ý. Khi đó :sid F s G se ej e e e® có tính chất *( )D ZW . Chứng minh. Xét các bậc , ,n n nU F V s W F se eeÍ Í Í . Khi đó { }0: ( )n n nW T F s T V Uee= Î Í . Chọn 1 s e > . Lấy n s³ và 1r > . Ký hiệu je s¢ ¢Î là hàm toạ độ thứ j . )i Lấy 0, ..., nT T F seeÎ sao cho i i iT rWÎ và 0iT Tj j=o o với mọi 0 i n£ £ . Vì 0( ( )) ( ( ) ( )i i ii j i i iT e T j V j r U e ej j j- -¢ Î Í , nên ta có 0 0 0 ( ( )) ( ) i i n n j i n i i i r r T e U c U j je e j j j = = æ öæ ö æ ö ÷ç÷ ÷ç ç¢ Î Í ç ÷ç çè ø è øè ø I I . Với mỗi j sao cho j re £ , ta chọn 0 ) i n j n i i r u c U j e= æ ö ÷çÎ ç ÷çè ø I sao cho 0( ) ( ( ))j ju T ej j ¢= , còn với j mà j re ³ , thì ta đặt ( )j n ju T e¢= . Khi đó ( )j jT e u¢ = xác định T F seeÎ , với iT Tj j=o o , với mọi 0 i n£ £ . Hơn nữa, ta có 0 ) n s i s n i i T c r W - + = Î I , vì với 0 i n s£ £ - và 0 j ia V¢Î , thì Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 ( ) i s i i i s j j n ni i s j i j i r T a j u c j c r j e e e +¥ ¥ + + = = æ ö ÷ç¢ £ £ £ è ø å å . )ii Lấy 1, ,...n nT T F see+ Î sao cho , k n k n k n kT c r W+ +Î và n k nT Tj j+ =o o với mọi 0k ³ . Vì ( ) ,( ) k n k n k j n k n kT e c r j U e- + + + ¢ Î , nên ta có ( ) ( ) , , 0 0 ( ( )) ( )k n k k n kn j n k n k n k n k k k T e c r j U c r j Ue ej j j ¥ ¥ - + - + + + = = æ ö ÷ç¢ Î Í è ø %I I . Ta chọn ( ) , 0 k n k j n k n k k u c r j Ue ¥ - + + = Î %I sao cho ( ( ( ))j n ju T ej j ¢= . Khi đó ( )j jT e u¢ = xác định T F seeÎ , với n kT Tj j +=o o , với mọi 0k ³ . Vì 0 ,( ) k n k s n k n kT V c r U+ - +Í % với mọi 0k ³ , nên ta có , k s n k n k k s T c r W ¥ + + = - Î %I . Từ đó Dãy Borel ( )se - giá trị là khớp tame và có tính chất *( )D ZW . 1.3.2.10. Bổ đề. )i Nếu 2 ( )b¥L đẳng cấu tame với không gian con phân bậc của 2 ( )a¥L , thì lim 1 j j j sup a b® ¥ £ . )ii Cho ( ), ( )a b¥ ¥L L là hạch. Khi đó ( ) ( )a b¥ ¥L @L là đẳng cấu tame khi và chỉ khi lim 1 j j j a b® ¥ = 1.3.2.11. Mệnh đề. Nếu a b< , thì [ ],D a b s@ là đẳng cấu tame. 1.3.2.12. Mệnh đề. )i s s se @ là đẳng cấu tame. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 )ii Cho , 0d e > . Khi đó min( , )s s sd e d ee @ là đẳng cấu tame Chứng minh. Ta trang bị cho s se bậc tương đương tame 1 1 ( ) ( )j j nn i in i j u a a i j ¥ ¥ = = = = å å , trong đó 1 2( , ,...) : ( ), j j j ja a u e e s¢ ¢ ¢= Î là véc tơ đơn vị thứ n . Chọn song ánh : ( , )k i j y ® ´¥ ¥ ¥ a sao cho 1 2 1 1 2ik k i j i j£ Þ £ . Ta định nghĩa ánh xạ 1, ( ) ( ) j i k ks s s a ae ¥ =® a sao cho : jk ia a= nếu ( ) ( , )k i jy = . Với { }( ) : ( , ) :k card i j i j kj = £ , ta nhận được 1 1 ( ) (1) ( ) ( ) k k i i k k k O k log k O k i i j = = é ù æ ö ÷ç= = + = +ê ú è øë û å å . Như vậy, nếu ( ) ( , )k i jy = , thì ta có 1( ) ( ) ( )n n n nni j k i j c i jj +£ £ £ . )ii Trường hợp d e= , chứng minh giống như )i .Như vậy )ii là hệ quả của định lý 1.3.2.3 và bổ đề 1.3.2.10. 1.3.2.13. Định lý. )i Tồn tại một dãy khớp tame có tính chất *( )D ZW 0 0s s w® ® ® ® . )ii Với 0e > tuỳ ý, tồn tại dãy khớp tame có tính chất *( )D ZW 0 ( ) 0, ( ,1)s s s mine e e e e® ® ® ® = ¥ % % % . )iii Nếu E là ( )e - hạch tame, thì tồn tại dãy khớp tame có tính chất *( )D ZW Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 0 0,s E E E se e® ® ® ® Í% % % % là không gian con phân bậc, ( ,1)mine e=% . 1.3.2.14. Định lý. Cho E là ( )e - hạch tame, 0e > có tính chất ( )DZW , đặt ( ,1)mine e=% . Khi đó )i Tồn tại dãy khớp tame có tính chất *( )D ZW 0 0s s Ee e® ® ® ®% % )ii E đẳng cấu tame với không gian thương phân bậc của se% . Chứng minh. Ta xét dãy khớp tame của định lý 1.3.2.13. )iii . E% (theo mệnh đề 1.3.2.5) có tính chất ( )DNDZ và ( )DZW . Từ đó, theo định lý 1.3.2.3, E% đẳng cấu tame với ( )a¥L . Như vậy, phép nhúng tame s Ee ®% % , E seÍ % % đã chỉ ra rằng E se@ % % là đẳng cấu tame. Để chứng minh tính cần của ( )DZW đối với định lý chẻ, ta cần bổ đề 1.3.2.15 sau, mà phép chứng minh của nó giống trường hợp tôpô. 1.3.2.15. Bổ đề ([18] và [19]). Nếu 1 20 0 hE E Q® ® ¾ ¾® ® , 1 20 0F F Q j® ® ¾ ¾® ® là các dãy khớp tame và 2 2: F Ey ® là ánh xạ tuyến tính tame với h y j=o , thì tồn tại dãy khớp tame 1 1 2 20 0F E F E® ® ´ ® ® . 1.3.2.16. Định lý. Với mỗi không gian Frechet phân bậc E , các mệnh đề sau là tương đương )i E là hạch tame và có tính chất ( )DZW . )ii E đẳng cấu tame với không gian thương phân bậc của , 0se e > . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 )iii E là hạch tame và với mỗi ( )DNDZ - không gian hạch H , mỗi dãy khớp tame 0 0E G H® ® ® ® đều là chẻ tame. Chứng minh. Do định lý 1.3.2.13 tồn tại không gian con phân bậc E sdÍ % và các dãy khớp tame 0 ( ) 0hE s Qe® ® ¾ ¾® ® ¥ , 0 0s E Qje® ® ¾ ¾® ® % . Vì định lý chẻ được thoả mãn nên tồn tại ánh xạ nâng tame : ( )E sey ® ¥% sao cho h y j=o (xem [19]). Do bổ đề 1.3.2.15 và định lý 1.3.2.13 tồn tại các dãy khớp tame 0 ( ) 0s E E sd e® ® ´ ® ® ¥% , 0 ( ) 0s s se e e® ® ® ® ¥ % % . Áp dụng lập luận tương tự tồn tại dãy khớp tame 0 0, ( , )s s E E mine t t d e® ® ® ´ ® =% % % . Phần còn lại là chỉ ra rằng ) )iii iÞ (xem [18]). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 CHƢƠNG 2 ĐẶC TRƢNG CỦA CÁC TÍNH CHẤT ( )DNDZ VÀ ( )DZW TRONG LỚP CÁC KHÔNG GIAN FRECHET Chương này chúng tôi sẽ trình bày các đặc trưng của các tính chất ( )DNDZ , ( )DZW . Cụ thể sẽ trình bày hai kết quả chính sau đây: không gian Frechet phân bậc E có tính chất ( )DNDZ khi và chỉ khi tồn tại tập chỉ số I sao cho E đẳng cấu tame tuyến tính với không gian con của không gian Frechet phân bậc ˆ( )l I sp ¥ Ä . Không gian Frechet phân bậc E có tính chất ( )DZW khi và chỉ khi tồn tại tập chỉ số I sao cho E đẳng cấu tame tuyến tính với không gian thương phân bậc của 1 ˆ( )l I spÄ . Trước tiên chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm và kết quả về các tính chất ( )DNDZ và ( )DZW . 2.1. Các tính chất ( )DNDZ và ( )DZW . Cho E là không gian Frechet phân bậc với 0 1 2. . . ...£ £ £ 2.1.1 Định nghĩa. Cho E là không gian Frechet phân bậc . Ta nói rằng E có tính chất: )i ( )DNDZ Nếu tồn tại 0, 0, 0a b p> ³ ³ và hằng số , 0n kC > sao cho 2 2 ( ) ,0 0 0 , , a n b n km p n n m k pa n am a n ak m p k p C U C r U U r - ¥ + -- + = - = æ ö æ ö ÷ ÷ç çÐ + ç çè ø è ø I I với mọi 0r > . )ii ( )DNDZ , nếu 1a = . )iii ( )DND , nếu E có tính chất ( )DNDZ với 0b p= = . 2.1.2. Định nghĩa. Cho E là không gian Frechet phân bậc. Ta nói rằng E có tính chất: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26 )i ( )DZW nếu tồn tại 0, 0, 0a b p> ³ ³ và hằng số , 0m nC > sao cho 2 2 ( ) , , a n b m nm p n m n k pa n am a n am m p m p C U C r U U r - ¥ - +- + = = - æ ö æ ö ÷ ÷ç çÐ + ç çè ø è ø I I . )ii ( )DZW nếu 1a = . )iii ( )DW nếu E có tính chất ( )DZW với 0b p= = . 2.1.3. Mệnh đề. Các tính chất ( )DNDZ và ( )DZW là các bất biến tôpô tuyến tính qua các đẳng cấu tame tuyến tính. Chứng minh. Giả sử :T E F® là đẳng cấu tame tuyến tính giữa các không gian Frechet phân bậc E và F . Hiển nhiên có thể xét E F= và T là ánh xạ đồng nhất. )a Giả sử E có tính chất ( )DNDZ . Chọn 1a ³ sao cho 2 2 ,0 0 0 , 0 0 , an n km n n m ka n am a n ak m k C U C r U U r ¥ - + = = æ ö æ ö ÷ ÷ç çÐ + è ø è ø I I với mọi 0, 0r n> ³ . (1) trong đó 0b p= = . Vì các bậc của E và F là tương đương tame tuyến tính nên ta có thể lấy 1b ³ sao cho n nU W bÇ và n nW UbÇ với mọi 1n ³ . Từ đó 0 0 n nU W bÐ và 0 0 n nW UbÐ . Từ (1) suy ra 2 2 ,0 0 0 0 , 0 0 a n n km n n n m ka n am a n ak m k C W U C r U U r b b b b b b ¥ - + = = æ ö æ ö ÷ ÷ç çÐ Ð + è ø è ø I I 2 2 2 2 ,0 0 , 0 0 a n n km n m ka n a m a n a k m k C C r W W r b b b b b b b ¥ - + = = æ ö æ ö ÷ ÷ç çÍ + è ø è ø I I với mọi 0, 0r n> ³ . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27 Từ đó E có tính chất ( )DNDZ đối với các bậc của E xác định bởi cơ sở lân cận { }nW . )b trường hợp E có tính chất ( )DZW chứng minh tương tự như )a . 2.2. Đặc trƣng của các tính chất ( )DNDZ . 2.2.1. Mệnh đề. Giả sử ˆ0 ( ) 0e ql I s E Ep ¥® Ä ¾ ¾® ¾ ¾® ®% là dãy khớp tame tuyến tính các không gian Frechet phân bậc và E có tính chất ( )DNDZ . Khi đó q có ngược phải tame tuyến tính. Tức là tồn tại ánh xạ tame tuyến tính :R E E® % sao cho Eq R id=o . Chứng minh. Do mệnh đề 2.1.3 và định nghĩa của dãy khớp tame tuyến tính ta có thể giả sử rằng các bậc của ˆ( )l I sp ¥ Ä và E được cảm sinh bởi bậc của E% . Như vậy, với mọi y EÎ ta có { }:nny inf x qx y= = và n nex x= với 0n ³ . Hơn nữa, không mất tính tổng quát, ta giả sử E có tính chất ( )DNDZ với 0b p= = . Từ đó tồn tại hằng số , 0m nC > sao cho 2 2 ,0 0 0 , 0 0 an m nm n n m ma n am a n am m m C U C r U U r ¥ - + = = æ ö æ ö ÷ ÷ç çÐ + è ø è ø I I 0 0 , , n n p q an an a a p n p q n q p A q B C r U C r U - - Î Î æ ö æ ö ÷ ÷ç ç= +ç ç÷ ÷è ø è ø % %I I , trong đó { }2 : 0nA a n ka k na= - £ £ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 và { }2 : 0nB a n ka k= + ³ . Với mỗi ( , )i j IÎ ´ ¥ , xét phiếm hàm tuyến tính trên ˆ( )l I sp ¥ Ä cho bởi ˆ( : ) , : ( )i j ij i j i jf x I x x I l I sp ¥é ùé ù´ = ´ Î Äê úë û ë û ¥ ¥ . Ta có { } , * , : 1 : k l i j i j k l n x I f sup f x I é ù´ £ê úë û é ù= ´ë û ¥ ¥ { } , : 1 j k l nn i j x I sup x j e a-- é ù´ £ê úë û = = = ¥ . Theo định lý Hahn - Banach ta thác triển i jf tới ( )n ijF E ¢Î % sao cho * ( ) jnn n ij n F j e a--= . Ta có * * * ( 1) ( ) ( 1) ( ) 1 1 1 n n n n ij ij ij ijn n n F F F F+ + + + + - £ + * * ( 1)( 1) ( ) 1 2j j j n n nn n ij ijn n F F e e e a a a- + - -+ + £ + £ + £ . Mặt khác, ta có ( 1) ( ) 0n nij ijF F + - = trên ˆ( )l I sp ¥ Ä , vì thế ( 1) ( )n n ij ijF F + - cảm sinh một phiếm hàm tuyến tính liên tục ( ) 0 12 jnn ij nG e U E a- + ¢Î Ð sao cho ( ) ( 1) ( )n n n ij ij ijG q F F += -o . Chọn 11 n nC C +£ £ với , 1 2 p np p p p n n C D C sup C += < + ¥ % với mọi 1 1n np A B+ +Î È . Vì Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 1 1 ( 1) ( 1) 0 0 0 1 , 1 , 1 n n p q a n a n a a n p n p q n q p A q B U C r U C r U + + + - + - + + + Î Î æ ö æ ö ÷ ÷ç çÐ + ç çè ø è ø % %I I nên suy ra 1 1 ( 1) ( 1) 0 0 0 1 , 1 , 12 2 2 j j j n n p q a n a nn n na a n p n p q n q p A q B e U e C r U e C r U a a a + + + - + -- - - + + + Î Î Ð +% %I I . Lấy 1 1 2 j a a a n r e C a + = và chọn 2 2 (( 1) ) ( ) 0 , 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 2 2 j j p nnn a ij p n pa n p a n p n g e C e U C aa + -- + + - + - + Î ×% , 1np A +Î . Từ đó 2 2 2 (1 )* ( ) 1 , 1 ( 1) ( 1) 1 2 2 j ppp n n a ij p n a n a np n C g C e C a- + + + + + £ ×% 2 (1 ) 1 , 1 ( 1) ( 1) 1 2 2 2 j ppp n a p n n n n C C e C a- + + + + + £ ×% 2 (1 ) , 1 1 1 1 2 2 j pp p np p n n a p p n n p n C C C e C C C a- + - + + + £ × % 2(1 ) 2 j p n a pD e a- -£ , với 1np A +Î . Mặt khác, ( ) 0 12 jnn ij ng e U a- +Î và 1 ( 1) ( ) ( ) 0 , 12 j n q a nnn n a ij ij q n q q B G g e C r U a + + -- + Î - Î %I , suy ra 2 (1 )* ( ) ( ) 2 j p n n n a ij ij qp G g D e a- -- £ , với 1nq B +Î . Bây giờ ta xét chuỗi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 ( ) 0 n ij ij n g g ¥ = = å hội tụ trong { }{ }*0 0: ( ) : 1nE u E u sup u x x¢ ¢= Î = £ < + ¥ , vì * ( ) 00 0 0 2jn nij n n g D e a ¥ ¥ - = = £ < + ¥å å . Từ đó ijg E ¢Î với mọi , 1i I jÎ ³ . Đặt (0) ij ij ijF g qj = + =o ( 1) ( ) ( ) ( ) 0 1 ( ) k k n n n ij ij ij ij n n K F G g g q ¥ + = = + í üï ï = - - -ì ý ï ïî þ å å o với mỗi ( , )i j IÎ ´ ¥ . Ta có 2 2 2 2 * * ** ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0 1 k k n n n ij ij ij ij ija k a k a k a k n n k F G g gj ¥ + + + + + = = + £ + - +å å 2 22 * (1 ( 1)) (1 ( 1))( 1) ( 1) ( 1)( 1) 0 1 2 2j j k k kk n n ij a k a ka k n n k F D e D e a a ¥ - + - ++ - - + ++ = = + £ + +å å 2 ( 1) (1 ( 1)) ( 1) 0 2j j k k n a k n e D e a a ¥ - + - + - + = £ + å 2 2( 1) ( 1) 2 (1 2 )j j j k k k a k a k e D e D e a a a- - - + + £ + = + . Từ đó 2 2 ( 1)( 1) ( ) (1 2 ) j k a kij a k x D e x a j - ++ £ + với mọi x EÎ % . Đặt ( ) ( ) : ( , ) ,ijx x i j I x Ej jé ù= Î ´ Îë û %¥ . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 Bây giờ ta kiểm tra ˆ( ) ( )x l I spj ¥Î Ä với x EÎ % và j là ngược trái tame của e . Thật vậy 1 ( ) ( ) j k ijk i j x sup x e a j j ³ = å 2 2 (2 1)(2 1) 1 (1 2 ) j k a ka k i j D x sup e a- ++ ³ £ + å 2 2 (2 1)(2 1) 1 1 (1 2 ) a k ka k j D x j ++ ³ £ + å 2 2 (2 1)(2 1) 1 1 (1 2 ) a kka k j D x j ++ ³ æ ö ÷ç£ + ç ÷è ø å 2 2 (2 1)(2 1) ) a ka kD x ++£ % với 2.k ³ Từ đó 2 2 (2 1)(2 1) ( ) ) a ka kkx D xj ++£ % . Hơn nữa ( : ) ( : )ij ij ije x I e x Ij j é ùé ù é ù´ = ´ê úë û ë ûë û ¥ ¥ ( 1) ( ) ( ) ( ) 0 1 ( : ) ( ) ( : ) : n k n n n ij ij ij ij ij ij k n k F e x I G g g q e x I I ¥ + = = + é ùí üï ïê úé ù é ù= ´ - - - ´ ´ì ýë û ë ûï ïî þë û å å¥ ¥ ¥ ( : ) :ij ijf x I I é ùé ù= ´ ´ê úë ûë û ¥ ¥ ˆ( ) :ij l I sx I id p¥ Ä é ù= ´ =ë û¥ . 2.2.2. Bổ đề. ([6] ) Tồn tại dãy khớp tame 0 0s s w® ® ® ® , ở đó w là không gian các dãy số phức với 0 1 0 ( , ..., ) n n i i x x x x = = å . 2.2.3. Bổ đề. Với mỗi không gian Banach B tồn tại dãy khớp tame 0 ( ) ( ) 0s B s B B® ® ® ®¥ , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 ở đó ( )s B là không gian Frechet với bậc được cho bởi 1 ( ) : 1 : : 1 kj j j k j s B x j B x j x j ³ í üï ï é ù é ù= ³ Ð ³ = < + ¥ì ýë û ë ûï ï î þ å . Chứng minh. Theo bổ đề trên, ta có dãy khớp tame 0 0e qs s w® ¾ ¾® ¾ ¾® ® . Từ đó ta có dãy sau là khớp tame ˆ ˆ 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0e qc c cB s B s B w¢ ¢ ¢® ¾ ¾® ¾ ¾® ®L L L . Mặt khác, lại có ( , ) ( ) tame cB s s B¢ ºL và ( , ) ( ) tame tame cB B Bw w¢ º ºL ¥ . Vậy ta có 0 ( ) ( ) 0s B s B B® ® ® ®¥ là dãy khớp tame. Bổ đề được chứng minh. 2.2.4. Định nghĩa. Không gian Frechet phân bậc E gọi là có hệ các toán tử trơn { }: 0Tq q > , nếu tồn tại các ánh xạ tuyến tính : , 0T E Eq q® > và ,0, 0m np C³ > sao cho với mọi 0q > và x EÎ , n p m mm nn T x C xq q + -£ với m n p£ + , , n p m mm nn x T x C xq q + -- £ với m n p£ + . Trong [6] ta biết rằng E có các toán tử trơn, nếu E có các tính chất ( )DNDZ và ( )DZW . Bây giờ ta sẽ chứng minh bổ đề sau 2.2.5. Mệnh đề. ˆ( )l I sp ¥ Ä có tính chất ( )DNDZ đối với mọi tập chỉ số .I Chứng minh. Theo [7] , s có họ các toán tử trơn { }: 0Tq q > thoả mãn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 , n p m mm nn T x C xq q + -£ với ,m n p x s£ + Î , , n p m mm nn x T x C xq q + -- £ với ,n x s£ + Î . Xét họ [ ] [ ] ˆ ˆ ˆ: ( ) ( ) , ,i i T l I s l I s x I T x I q p p q ¥ ¥Ä ® Ä a trong đó ix và iT xq thuộc s với mọi i IÎ . Ta có [ ] [ ]ˆ , ,i i i nnn i T x I T x I sup T xq q q= = [ ], , , n p m n p m m n i m n im m i C sup x C x Iq q+ - + -£ = với m n p£ + . Tương tự, ta có [ ] [ ] [ ]ˆ, , ,i i i i nn x I T x I x T x Iq q- = - , n p m i i m n in m i i sup x T x C sup xq q + -= - £ [ ], , n p m m n i m C x Iq + -£ với m n p³ + . Từ đó, ˆ( )l I sp ¥ Ä có họ các toán tử trơn và do [6] nó có tính chất ( )DNDZ và do đó có tính chất ( )DNDZ . 2.2.6. Mệnh đề. Cho E là không gian Frechet phân bậc. Khi đó tồn tại tập chỉ số I và phép nhúng tame [ ]: ( )e E l I¥® ¥ , ở đó [ ]( )l I¥ ¥ được phân bậc với hệ các nửa chuẩn 1 n k k n x sup x £ £ = , ở đó ( )kx l I ¥Î và [ ]1( , ..., , ...) ( )nx x x l I ¥= Î ¥ . Chứng minh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 Giả sử { } 1. k k ³ là hệ các nửa chuẩn xác định bậc trên E . Với mỗi 1k ³ , đặt 0 k kI U= và 1 k k I I ³ = U . Theo định lý Hahn - Banach, với mỗi x EÎ ta có { }( ) :k kx sup u x u I= Î . Xét ánh xạ : ( )k ke E l I ¥® cho bởi [ ]( ) ( ) :k ke x u x u I= Î . Ta có ( ) ( ) k kk l I e x x¥ = với x EÎ . Xét ánh xạ 1 : ( )k k e E l I ¥ ¥ = ® Õ xác định bởi [ ]( ) ( ) : 1ke x e x k= ³ , ở đó 1 ( )k k l I ¥ ¥ = Õ được phân bậc bởi hệ các nửa chuẩn 1 n k k k n x sup x £ £ = , ở đó ( )k kx l I ¥Î và ( )k k kk l I x x ¥= . Ta có [ ] 1 ( ) ( ) : 1 ( )k kn kn k n e x e x k sup e x £ £ = ³ = { }: 1 .k nsup x k n x= £ £ = Từ đó e là phép nhúng tame. Mặt khác, 1 k k I I ³ = U và do định nghĩa bậc trên 1 ( )k k l I ¥ ¥ = Õ và [ ]( )l I¥ ¥ , ta có dạng [ ] [ ]: ( ) :k k ke f e f=¥ ¥ , ở đó Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 ( ), ( ) 0, k k k k k f i i I e f i I í Îïï = ì ï Ïïî xác định phép nhúng tame từ 1 ( )k k l I ¥ ¥ = Õ vào [ ]( )l I¥ ¥ . 2.2.7. Định lý. Không gian Frechet phân bậc E có tính chất ( )DNDZ khi và chỉ khi tồn tại tập chỉ số I sao cho E đẳng cấu tame tuyến tính với không gian con của không gian Frechet phân bậc ˆ( )l I sp ¥ Ä . Chứng minh. Điều kiện đủ. Vì không gian con phân bậc của không gian Frechet phân bậc có tính chất ( )DNDZ cũng có tính chất ( )DNDZ và theo mệnh đề 2.2.5 điều kiện đủ được chứng minh. Điều kiện cần. Do mệnh đề 2.2.6 tồn tại phép nhúng tame [ ]: ( )E l Ij ¥® ¥ . Mặt khác, theo bổ đề 2.2.3 ta có dãy khớp tame [ ]ˆ ˆ0 ( ) ( ) ( ) 0e ql I s l I s l Ip p ¥ ¥ ¥® Ä ¾ ¾® Ä ¾ ¾® ® ¥ . Đặt 1( ).E q E-= Khi đó ta có dãy khớp tame ˆ0 ( ) 0e ql I s E Ep ¥® Ä ¾ ¾® ¾ ¾® ®% với không gian con phân bậc E% của ˆ( )l I sp ¥ Ä . Vì E có tính chất ( )DNDZ nên theo mệnh đề 2.2.1 suy ra q có ngược phải tame tuyến tính. Từ đó E đẳng cấu tame tuyến tính với không gian con phân bậc của ˆ( )l I sp ¥ Ä . Nhận xét: Định lý vẫn còn đúng nếu E có tính chất ( )DNDZ . Trong trường hợp này, E đẳng cấu tame với không gian con của ˆ( )l I sp ¥ Ä khi và chỉ khi E có tính chất ( )DNDZ . Vì ˆ( )l I sp ¥ Ä có tính chất ( )DNDZ nên từ định lý 2.2.7 suy ra Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 2.2.8. Hệ quả. Mỗi không gian Frechet phân bậc E có tính chất ( )DNDZ đều đẳng cấu tame tuyến tính với không gian Frechet phân bậc F có tính chất ( )DNDZ . 2.2.9. Hệ quả. Cho E là không gian Frechet hạch phân bậc. Khi đó E có tính chất ( )DNDZ khi và chỉ khi E đẳng cấu tame tuyến tính với không gian con của s . 2.3. Đặc trƣng của các tính chất ( )DZW . Tượng tự như mệnh đề 2.2.5 ta có 2.3.1. Mệnh đề. 1 ˆ( )l I spÄ có tính chất ( )DZW . 2.3.2. Mệnh đề. Cho dãy khớp tame tuyến tính 1 ˆ0 ( ) 0e qE G l I sp® ¾ ¾® ¾ ¾® Ä ® , ở đó 1 ˆ( )l I spÄ được phân bậc với hệ các nửa chuẩn 1 k k ij ij k i I j x x I x j Î ³ é ù= Î ´ = < + ¥ë û å å¥ . Khi đó q có ngược phải tame tuyến tính nếu E có tính chất ( )DZW . Chứng minh. Do mệnh đề 2.1.3 ta có thể giả sử rằng các bậc của E và 1 ˆ( )l I spÄ được cảm sinh bởi bậc của G . Từ đó với mỗi 1n ³ ta có dãy khớp 1 ˆ0 ( ( ) ) 0n ne qn n nE G l I sp® ¾ ¾¾® ¾ ¾¾® Ä ® giữa các không gian Banach, trong đó {1 ˆ( ( ) ) : : :n ij ij n l I s x I x Ip é ù é ùÄ = Î ´ Î ´ë û ë û¥ ¥ 1 1 ˆ( )nij n i I j x j l I sp Î ³ üï = < + ¥ = Äý ï þ å å . Với mỗi ( , )i j IÎ ´ ¥ , do định lý ánh xạ mở, tồn tại ( )n ij nd GÎ sao cho ( )( ) : ,n kln ij ij ijq d e Idé ù= = Î ´ë û¥ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 trong đó 1, , 0, t rong cac t ruong hop khac kl ij i k j l d í = =ï = ì ï î và ( ) 2 2 .n nij ij nn d e j£ = Xét ánh xạ ( ) 1 ˆ: ( ( ) )n n nR l I s GpÄ ® xác định bởi ( ) ( ) 1 : .n nij ij ij i I j R x I x d Î ³ é ù´ =ë û å å¥ Ta có ( ) ( ) 1 . : . .n nij ij ij nn i I j R x I x d Î ³ é ù´ £ë û å å¥ 1 1 2 . 2 . 2 : ( , )nij ij ij ijn n i I j i I j x e x j x i j I Î ³ Î ³ £ = = Î ´å å å å ¥ . Do đó ( )nR liên tục với mọi 1n ³ . Mặt khác ( ) ( ) 1 : ( )n nn ij n ij ij i I j q R x I q x d Î ³ é ù´ =ë û å å¥ ( ) 1 1 ( ) : .nij n ij ij ij ij i I j i I j x q d x e x I Î ³ Î ³ é ù= = = ´ë ûå å å å ¥ Từ đó ta có 1 ( ) ˆ( ( ) )n n n l I q R id pÄ =o . Đặt ( ) ( 1) ( ) 1 , n n n n nT R Rw + += -o trong đó 1 1: n n n nG Gw + + ® là ánh xạ chính tắc. Từ biểu đồ giao hoán Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ˆ0 ( ( ) ) 0 ˆ0 ( ( ) ) 0 n n n n e q n n n n n n n n n e q n n n E G l I s E G l I s p p w w w + + + + + + + + ® ¾ ¾ ¾® ¾ ¾ ¾® Ä ® ¯ ¯ ¯ ® ¾ ¾¾® ¾ ¾¾® Ä ® ta có ( ) ( 1) ( ) 1 n n n n n n nq T q R q Rw + += -o ( 1) ( ) 1 1 0 n n n n nq R q Rw + + += - = trên 1 1 ˆ( ( ) )nl I sp +Ä . Do đó ( ) 1 1 1 1 ˆ ˆ: ( ( ) ) ( ) .n n n n n nT l I s l I s kerq ime Ep p+ +Ä = Ä ® = = Đặt ( ) ( )( ) .n nij ij nT T e E= Î Ta có ( ) ( ) ( 1) ( ) 1( ) ( ) ( ) n n n n n ij ij ij ijn n n T T e R e R ew ++= = - ( 1) ( ) ( 1) ( ) 1 1 . ( ) ( )n n n n nij ij ij ijn n n n R e R e d dw + ++ + £ + £ + ( 1) ( 1) 1 2 2 2 2 4j j j n n n ij ijn n e e e e e a a a+ + + £ + £ + £ với mọi ,i j . Chọn ( 1)( ) 4 j nn ij nT e U E a+ Î Î% sao cho ( ) ( ) 2n n nij ij n T T -- £% . Vì E có tính chất ( )DZW , nên ta có thể giả sử 0b p= = và 2 2 , , 0 0 an m nm n m n ma n am a n am m m C U C r U U r ¥ - + = = Ð +I I , ,( ) ( ) n n p p an an a a p n p q n q p A q B C r U C r U - - Î Î Ð +% %I I , trong đó { }2 : 0nA a n ka k na= - £ £ và { }2 : 0nB a n ka k= + ³ . Chọn 11 n nC C +£ £ sao cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 ,4 2 p np p p p n n C D C sup C = < + ¥ % với mọi .n np A BÎ È Ta có ( 1) ( 1) ( 1) , ,4 4 ( ) 4 ( ) j j j n n p p an ann n na a n p n p q n q p A q B e U e C r U e C r U a a a- -+ + + Î Î Ð +% %I I . Lấy 1 2 j a a a n r C e a= và chọn 2 2 2 ( 1)( ) , 1 4 2 j j j nn pij p n pn a n p a n p a n t e C U C e a a a + - - - Î % với np AÎ . Khi đó 2 2 2 (1 ) ( ) , 2 4 2 j p p p n na ij p n a n a np n C t C e C a+ £ ×% 2 (1 ) ,4 2 2 j pp p np p nn a p p n n n n C C C e C C C a+ -£ × % 2(1 ) 2 j p na pD e a+ -£ với 2 , .np a n p A£ Î Vì ( 1)( ) 4 j nn ij nT e U a+ Î% , nên suy ra rằng ( 1)( ) ( ) ,4 j n p annn n a ij ij q n q q B T t e C r U a -+ Î - Î %% I . Từ đó 2 (1 ) ( ) ( ) 2 j p n n na ij ij q q T t D e a+ -- £% với nq BÎ . Xét chuỗi ( ) ( ) ( ) 0 ( ( )).k k kij ij ij ij k t t T T ¥ = = + -å % Chuỗi hội tụ đều trong { }22 : a na nE x E x < + ¥= Î . Thật vậy, ta có đánh giá sau Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 2 2 2 ( ) ( ) ( )( )k k kij ij ija n a n k a n t T T + ¥ = + -å % 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) 2 2 2 2j j n nk k k k a n a n k a n k a n k a n k a n D e D e a a + ¥ + ¥ + ¥ + ¥ + +- - - - = = = = £ + = +å å å å 2 2 (1 ) ( 1) 2j n k a n k a n D e a + ¥ + - = £ + < + ¥å . Từ đó 2ij a n t EÎ với mọi 0.n ³ Đặt 0 1 ( : ( , ) ) ( : ( , ) )ij ij ij ij i I j R x i j I R x i j I t x Î ³ é ù é ùÎ ´ = Î ´ +ë û ë û å å¥ ¥ , trong đó 1 1 0 ˆ ˆ: ( , ) ( ( ) ) ( ) .ijx i j I l I s l I sp pé ùÎ ´ Î Ä = Äë û¥ Khi đó 1 0 ˆ: ( )R l I s GpÄ ® là ánh xạ liên tục. Ta có 2 ( : ( , ) ) ( : ( , ) )a nij ijR x i j I R x i j Ié ù é ùÎ ´ = Î ´ -ë û ë û¥ ¥ 2 1 ( ) 0 1 : ( , ) ) a n k ij ij ij k i I j T x i j I t x - = Î ³ é ù- Î ´ +ë ûå å å¥ 2 2 1 ( ) 1 0 1 ( : ) a n a n k ij ij ij ij ij i I j k i I j R x I T x t x - Î ³ = Î ³ æ ö ÷çé ù= ´ - +ë û çè ø å å å å å¥ 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 ( : ) ( ( ( ))) a n a n k k k k ij ij ij ij ij ij i I j k i I j k R x I T x t T T x - ¥ Î ³ = Î ³ = æ ö ÷çé ù= ´ - + + -ë û è ø å å å å å å %¥ 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 a n a n a n k k k k ij ij ij ij ij i I j k k R x T t T T - - Î ³ = = æ çé ù= - - + - -ë û è å å å å % 2 ( ) ( ) ( )( ( )k k kij ij ij ij k a n t T T x ¥ = ö ÷- + - ÷ø å % 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 ( ) . a n a n k k k k k ij ij ij ij ij ij ij i I j k k a n R x T t t T T x - ¥ Î ³ = = æ ö ÷çé ù= - - - + -ë û è ø å å å å% % Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 Từ bất đẳng thức này ta nhận được ước lượng sau đây 2 22 2 ( ) ( ) ( ) 1 0 n a n k k ij ij ij ij a na n a n i I j k R x R x T t Î ³ = æ çé ù é ù£ + - +ë û ë û è å å å % 2 22 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 nq k k k k k ij ij ij ij ij ija na n a n k n k a n k a n T t t T T x - ¥ ¥ = + = = ö ÷+ - + + - ø å å å% % 2 2 (1 ) 1 0 2 2j n n k ij a na n i I j k x D e a+ - Î ³ = æ çé ù£ + +ë û è å å å 22 2 ( ) ( ) 1 1 ( 1) k kij ij a nn k a n a n n max T t + £ £ - + - - - + 2 2 2 (1 ) 2 2j n k k ija n k a n k a n D e x a ¥ ¥ + - - = = ö ÷+ + ÷ø å å ( )2 2 22 (1 ) (1 ) (1 ) 1 2 2 2 2j j j n n n ij ija n a n a na n i I j x D e D e D e x a a a+ + + Î ³ é ù£ + + + +ë û å å % ( )2 22 (1 ) 1 2 4 2 j n ij ija n a na n i I j x D D e x a+ Î ³ é ù£ + + +ë û å å % ( ) 2 2 2 2 (1 ) 1 2 4 2 j a n ij ija n a na n i I j x D D e x a+ Î ³ é ù£ + + +ë û å å % ( )2 22 21 12 4 2ij ija n a na n a nx D D x+ + é ù é ù£ + + +ë û ë û % ( )2 2 2 14 4 ija n a n a nD D x + é ù£ + + ë û % . Mặt khác 2ij ijn a n R x R xé ù é ù£ë û ë û , do đó ( )2 2 2 14 4ij ija n a nn a nR x D D x + é ù é ù£ + +ë û ë û % . Điều đó đã chỉ ra rằng R là tame tuyến tính và 1 ˆl s q R id pÄ =o . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 42 2.3.3. Bổ đề. Cho E là không gian Frechet phân bậc. Khi đó tồn tại dãy khớp tame 1 1 0 0e qk k k k E E E ³ ³ ® ¾ ¾® ¾ ¾® ®Õ Õ , trong đó kE là không gian Banach chính tắc kết hợp với các nửa chuẩn . k trên E và 1 k k E ³ Õ là không gian Frechet phân bậc với tôpô sinh bởi hệ các nửa chuẩn 1 1 , ( ) ,m k k k k kk k m x sup x x x x E³ £ £ = = Î và { } { } 1 11( ) ( ) , ( ) ( ), k k k k kk e x e x q x x xw + +³= = - :k ke E E® và 1 1: k k k kE Ew + + ® là các ánh xạ chính tắc. Chứng minh. Dễ thấy e là đẳng cấu tame lên ảnh, bởi vì 1 1 1 . ( ) ( ( ) , ..., ( ) ) ( , ..., ) nk k n k e x max e x e x max x x x = = = Mặt khác, với mỗi 1n ³ , q cảm sinh một toàn ánh tuyến tính liên tục 1 1 1 : n n n k k k k q E E + = = ®Õ Õ cho bởi 1 1 2 2 1 1 1( ,..., ) ( ,..., ) n n n n nq x x x x x xw w + += - - . Hiển nhiên nq là toàn ánh và do đó là mở và 1n nE kerq+ = . Từ đó, ta có 1 1 1 1 1 1 ( / ) / ( ) n n tame k n k n k k n k k k k E kerq E kerq E E ¥ + ¥ + = = = = = @ =Õ Õ Õ Õ . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 43 2.3.4. Định lý. Không gian Frechet phân bậc E có tính chất ( )DZW khi và chỉ khi tồn tại tập chỉ số I sao cho E đẳng cấu tame tuyến tính với không gian thương phân bậc của 1 ˆ( )l I spÄ . Chứng minh. Điều kiện đủ. Do mệnh đề 2.3.1 , 1 ˆ( )l I spÄ có tính chất ( )DZW . Hơn nữa, tính chất ( )DZW được di truyền qua không gian thương. Do đó kết luận của điều kiện đủ được chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử E có tính chất ( )DZW . Khi đó theo bổ đề 2.3.3 tồn tại dãy khớp tame tuyến tính 1 1 0 0e qk k k k E E E ³ ³ ® ¾ ¾® ¾ ¾® ®Õ Õ . Chọn không gian Banach F sao cho mỗi kE là không gian con bù của F , tức là ( ) :k k k k k k k F x x E x x í üï ï = = Î = < + ¥ì ý ï ïî þ åÕ . Với k bất kỳ, lấy kF là phần bù tôpô của kE trong F , tức là k kF E F= Å . Tổng trực tiếp của hệ thức trên với dãy khớp 0 0idk k k k E E E® ® ¾ ¾¾® ®Õ Õ có thể được xét như là dãy khớp tame 0 0E F F® ® ® ®¥ ¥. Vì mỗi không gian Banach là không gian thương của 1( )l I với tập chỉ số I nào đó, nên ta có dãy khớp 10 ( ) 0K l I F® ® ® ® . Xét dãy khớp tame 0 0s s w® ® ® ® . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 Ta có biểu đồ giao hoán sau với các dòng và cột là khớp tame 11 1 1 2 0 0 0 ˆ ˆ0 0 ˆ ˆ0 ( ) ( ) ( ) 0 ˆ ˆ0 0 0 0 0 i F s F s F l I s l I s l I i K s K s K p p p p p p - - - ® Ä ¾ ¾® Ä ® ® - - - ® Ä ¾ ¾® Ä ® ® - - - ® Ä ¾ ¾® Ä ® ® - - - ¥ ¥ ¥ Từ đó ta được dãy khớp tame sau 1 2 21 1ˆ ˆ ˆ0 ( ( ) ) ( ) 0i i ql I s K s l I s Fp p p Å® Ä Å Ä ¾ ¾ ¾® Ä ¾ ¾¾® ®¥ . Đặt 2M kerq= . Ta có biểu đồ giao hoán sau với dòng và cột là khớp tame Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 45 1 2 1 2 1 0 0 0 0 ˆ0 ( ) 0 0 0 q p E F F p q E H l I s M M p - - ® ® ¾ ¾¾® ¾ ¾® - - ® ® ¾ ¾¾® Ä ¾ ¾® - - - - ¥ ¥ trong đó { }1 1 2ˆ( , ) ( ( ) ) :H x y F l I s q x q yp= Î ´ Ä = ¥ và 1 2( , ) , ( , )p x y x p x y y= = . Do mệnh đề 2.3.2, 2p có ngược phải tame tuyến tính. Từ đó ta có biểu đồ giao hoán sau với các dòng và cột là khớp 1 1 2 1 0 0 ˆ0 ( ( ) ) 0 ˆ0 ( ) 0 0 0 g M E l I s F p q M G l I s M M p p - - ® ® Å Ä ® ® - - ® ¾ ¾® ¾ ¾® Ä ® - - - - ¥ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 trong đó G là tích thớ của 1 ˆ( ( ) )E l I spÅ Ä và 1 ˆ( )l I spÄ trên F ¥ . Vì 2 1 2( )M kerq Im i i= = Å , nên M là không gian thương của 1 1ˆ ˆ ˆ( ( ) ) ( ( ) ) tame l I s K s l I K sp p pÄ Å Ä º Å Ä . Chọn tập chỉ số J sao cho K là không gian thương của 1( )l J . Từ đó M là không gian thương tame của 1 1 1ˆ ˆ( ( ) ( )) ( ) tame l I l J s l I J sp pÅ Ä º È Ä . Hơn nữa, 1 ˆ( )l I J spÈ Ä có tính chất ( )DZW nên M cũng có tính chất ( )DZW . Điều đó đã chỉ ra rằng dòng thứ hai của biểu đồ là chẻ tame 1 ˆ0 ( ) 0gM G l I sp® ® ¾ ¾® Ä ® . Từ cột thứ nhất ta được dãy khớp tame 1 1ˆ ˆ0 ( ( ) ) ( ( ) ) 0M M l I s E l I sp p® ® Å Ä ® Å Ä ® . Từ đó E là không gian thương tame của 1 ˆ( ( ) )M l I spÅ Ä do đó là không gian thương tame của 1 1 ˆ( ( ) ( ))l I J l I spÈ Å Ä . Vậy E là không gian thương tame tuyến tính của 1 ˆ( )l I J I spÈ È Ä . Vì 1 ˆ( )l I spÄ có tính chất ( )DZW nên từ định lý 2.3.4 suy ra 2.3.5. Hệ quả. Mỗi không gian Frechet phân bậc E có tính chất ( )DZW đều đẳng cấu tame tuyến tính với không gian Frechet phân bậc F có tính chất ( )DZW . 2.3.6. Hệ quả. Cho E là không gian Frechet hạch phân bậc. Khi đó E là hạch tame và có tính chất ( )DZW khi và chỉ khi E đẳng cấu tame tuyến tính với không gian thương của s . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 2.4. Tính ổn định của các tính chất ( )DNDZ và ( )DZW đối với không gian đối ngẫu thứ hai. Áp dụng các định lý 2.2.7 và 2.3.4 trong phần này chúng ta sẽ thiết lập mối qua hệ giữa các tính chất ( )DNDZ và ( )DZW với không gian Frechet phân bậc E và không gian đối ngẫu thứ hai của nó. Cho E là không gian Frechet phân bậc với cơ sở lân cận giảm cố định { } 1n n U ³ xác định tôpô của nó. Khi đó ta xét không gian đối ngẫu thứ hai của nó E b¢¢ là không gian Frechet phân bậc với cơ sở lân cận giảm cố định { }00 1n n U ³ . Ta có kết quả sau: 2.4.1. Định lý. Không gian Frechet phân bậc E có tính chất ( )DNDZ nếu và chỉ nếu E b¢¢ cũng có tính chất ( )DNDZ . Chứng minh. Trước tiên chú ý rằng nếu E là không gian con Frechet phân bậc của không gian Frechet phân bậc F , thì E b¢¢ cũng là không gian con phân bậc của Fb¢¢ . Điều kiện đủ là hiển nhiên. Điều kiện cần. Giả sử E có tính chất ( )DNDZ . Do định lý 2.2.7 tồn tại tập chỉ số I sao cho E đẳng cấu tame tuyến tính với không gian con F của ˆ( )l I sp ¥ Ä , trong đó ˆ( )l I sp ¥ Ä được phân bậc bởi hệ các nửa chuẩn 1 1 ˆ( ) ( ) ( ) : ( ) ,kj j j jk j l I s x l I x x j kp ¥ ¥ ³ ³ í üï ï Ä = Î = < + ¥ "ì ý ï ï î þ å . Dễ thấy rằng ˆ ˆ( ( ) ) ( ) ( ) tame l I s l I s DNDZp b p ¥ ¥¢¢Ä º Ä Î . Do đó E b¢¢ cũng có tính chất ( )DNDZ . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 2.4.2. Định lý. Không gian Frechet phân bậc E có tính chất ( )DZW nếu và chỉ nếu E b¢¢ cũng có tính chất ( )DZW . Chứng minh. Tương tự như 2.4.1, ta chú ý rằng nếu E là không gian thương phân bậc của không gian Frechet phân bậc F , thì E b¢¢ cũng là không gian thương phân bậc của Fb¢¢ . Giả sử E có tính chất ( )DZW . Do định lý 2.3.4 tồn tại tập chỉ số I sao cho E đẳng cấu tame tuyến tính với không gian thương của 1 ˆ( )l I spÄ . Theo chú ý ở trên mỗi tập bị chặn của E đều là ảnh của tập bị chặn trong 1 ˆ( )l I spÄ qua ánh xạ thương. Từ đó E b¢ là không gian con của 1 ˆ( ( ) )l I sp b¢Ä . Suy ra E b¢¢ đẳng cấu tame tuyến tính với không gian thương của 1 1ˆ ˆ( ( ) ) ( ) ( ) tame l I s l I s DZp b p¢¢Ä º Ä Î W . Vậy ( )E DZb¢¢Î W . Ngược lại, giả sử ( )E DZb¢¢Î W . Khi đó tồn tại ,0, 0, 0, 0m na b p C> ³ ³ > sao cho 2 2 ( ) ,00 00 00 , a n b m nm p n m n m pa n am a n am m p m p C U C r U U r - ¥ - +- + = = - æ ö æ ö ÷ ÷ç çÐ + ç çè ø è ø I I . Trước tiên ta sẽ chỉ ra rằng nU BÐ , trong đó đặt 2 2 ( ) , , a n b m nm p m n n pa n am a n am m p m p C B C r U U r - ¥ - +- + = = - = +I I . Trong trường hợp ngược lại, giả sử rằng tồn tại na UÎ nhưng a BÏ . Theo định lý Hahn - Banach tồn tại u E ¢Î sao cho với mỗi : ( ) 1x B u xÎ £ và ( ) 2u a = . Tuy vậy 2 2 00 ( , )E E a n am a n am Cl U U s ¢¢ ¢ - - = và 2 2 00 ( , )E E a n am a n am Cl U U s ¢¢ ¢ + + = nên suy ra Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 2 2 ( ) ,00 00 ,( , ) a n b m nm p m nE E m pa n am a n am m p m p C Cl B C r U U r s - ¥ - ¢¢ ¢ +- + = = - Ê +I I . Mặt khác, ( , ( , ))E E E Es¢ ¢¢ ¢¢ ¢ ¢= nên u là ( , )E Es ¢¢ ¢ - liên tục. Từ đó ( ) 1u x £ với 2 2 ( ) ,00 00 , a n b m nm p m n m pa n am a n am m p m p C x C r U U r - ¥ - +- + = = - æ ö ÷çÎ + çè ø I I . điều này là không thể. Vậy nU BÐ . Vì 2 ( ) , a n b m p m n a n am m p C r U - - - = I là lân cận của 0 trong E , nên suy ra 2 2 ( ) , ,2 a n b m nm p n m n m pa n am a n am m p m p C U C r U U r - ¥ - +- + = = - Ð +I I 2 2 ( ) , , 2 2 a n b m nm p m n m pa n am a n am m p m p C C r U U r - ¥ - +- + = = - Ð +I I 2 2 ( ) , , a n b m nm p m n m pa n am a n am m p m p C C r U U r - ¥ - +- + = = - Ð + % %I I . Vậy E có tính chất ( )DZW . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 KẾT LUẬN - Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất ( )DNDZ và ( )DZW trong lớp các không gian Frechet phân bậc cùng đặc trưng của các tính chất ( )DNDZ và ( )DZW . - Chứng minh chi tiết một số kết quả về các tính chất ( )DNDZ và ( )DZW trong lớp các không gian Frechet phân bậc cùng đặc trưng của các tính chất ( )DNDZ và ( )DZW . Cụ thể đã: + Chứng minh: Không gian Frechet phân bậc E có tính chất ( )DNDZ khi và chỉ khi tồn tại tập chỉ số I sao cho E đẳng cấu tame tuyến tính với không gian con của không gian Frechet phân bậc ˆ( )l I sp ¥ Ä . + Chứng minh: Không gian Frechet phân bậc E có tính chất ( )DZW khi và chỉ khi tồn tại tập chỉ số I sao cho E đẳng cấu tame tuyến tính với không gian thương phân bậc của 1 ˆ( )l I spÄ . - Trình bày các kết quả về tính ổn định của các tính chất ( )DNDZ và ( )DZW đối với không gian đối ngẫu thứ hai. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] L.M.Hai, N.V.Khue and B.D. Tac, Characterization of ( )DNDZ and ( )DZW in class of Frechet spaces, Pubblications of CFCA. Vol. 3 (1999), 35 - 62. [2]. G.Kửthe, Topological vector spaces, I. Berlin-Heidelberg-New York, Springer - Verlag 1969. [3]. Komura, Tund Y, Uber die Einbettung der nuklearn Raume in (s) ^ , Math. Ann (1966),162. [4] J. Leiterer, Banach coherent analytic Frechet sheaves, Math. Nachr. 85 (1978), 91-109. [5] M Poppenberg, Cheracterization of the subspaces of ( )s in the tame category, Arch. Math. 54 (1990),274 - 283. [6] M Poppenberg, Cheracterization of the quotient spaces of ( )s in the tame category, Math. Nachr. 150 (1991), 127 - 141. [7] M Poppenberg, Simultaneous smoothing and interpolation with respect to E.Borel's Theorem, Arch. Math. 61 (1993) , 150 - 159. [8] M Poppenberg, A sufficient condition of type ( )W for tame splitting of short exact sequences of Frechet spaces, Manuscripta Math. 72 (1994), 257 - 274. [9] H. H. Schaefer, Topological vector spaces, Berlin - Heidenberg, New York, 1971. [10]. A.Pietsch, Nuclear locally convex spaces. Berlin-Heidelberg-New York, Springer 1972. [11] D.Vogt, Subspaces and quotient spaces of ( )s , In functional Analysis: Surveys and Recent Results, North - Holland Math. Stud. 27 (1997), 167 - 187. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 [12] D.Vogt, Tame spaces and power series spaces, Math. Z., 196 (1987), 532 - 536. [13] D.Vogt, Frechtraume, zwischen denen jede stetige linear Abbildung beschrankt ist, J. Reine Angew Math. 345 (1983), 182 - 200. [14] D.Vogt, On two classes of (F) – spaces, Arch. Math, 45 (1985), 255-266. [15]. D.Vogt, Charakterisierung der Unterrọume von s. Math 155 (1997), 109-117. [16]. D.Vogt, Charakterisierung der Unterrọume eines nuklearen stabilen Potenzreihen-rọumes von endlicher Typ, Studia Math. [17]. D.Vogt, Eine Charakterisierung der Potenzreihenrọume von endlichen Typ und ihre Folgerungen, Manuser Math, 37(1982), 269-301. [18]. D.Vogt and M.Wagner, Charakterisierung der Potenzreihenrọume und Quotientenrọme der nuklearen stabilen Potenzreihenrọume von unendlichen Typ, studia Math, 70 (1981), 63-80 [19]. D.Vogt and M.Wagner, Charakterisierung der quotientenrọume von sund eine vermutung von Martineau , Stud. Math, 67 (1980), 225-240.