Luận văn Đặc trưng của môđun Cohen–Macaulay dãy qua tính chất phân tích tham số

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------------------------- LÊ THỊ MAI QUỲNH ĐẶC TRƯNG CỦA MÔĐUN COHEN–MACAULAY DÃY QUA TÍNH CHẤT PHÂN TÍCH THAM SỐ Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN TỰ CƯỜNG THÁI NGUYÊN NĂM 2008 1Môc lôc Môc lôc 1 Lêi c¶m ¬n 2 PhÇn më ®Çu 3 Ch­¬ng I. KiÕn thøc chuÈn bÞ 5 1.1. HÖ tham sè 5 1.2. D·y chÝnh quy vµ m«®un Cohen-Macaulay 7 1.3. M«®un Cohen-Macaulay d·y 10 Ch­¬ng II. Ph©n tÝch tham sè vµ m«®un Cohen-Macaulay d·y 14 2.1. §Æc tr­ng cña m«®un Cohen-Macalay d·y 14 2.2. §a thøc Hilbert-Samuel cña m«®un Cohen-Macaulay d·y 27 2.3. VÝ dô 31 Tµi liÖu tham kh¶o 38 2Lêi c¶m ¬n LuËn v¨n ®­îc hoµn thµnh d­íi sù h­íng dÉn cña GS.TSKH NguyÔn Tù C­êng. T«i xin bµy tá lßng kÝnh träng vµ biÕt ¬n s©u s¾c nhÊt cña m×nh ®Õn thÇy. T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n tíi PGS.TS Lª ThÞ Thanh Nhµn, PGS.TS NguyÔn Quèc Th¾ng cïng toµn thÓ c¸c thÇy c« gi¸o ë Khoa To¸n vµ Phßng §µo t¹o sau §¹i häc tr­êng §¹i häc S­ ph¹m - §¹i häc Th¸i Nguyªn ®· tËn t×nh gi¶ng d¹y vµ gióp ®ì t«i trong suèt thêi gian häc tËp t¹i tr­êng. T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n sù gióp ®ì nhiÖt thµnh vµ chu ®¸o cña NCS TrÇn Nguyªn An, b¹n Hoµng Lª Tr­êng phßng ®¹i sè trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn luËn v¨n nµy. 3Lêi nãi ®Çu Cho R lµ vµnh ®Þa ph­¬ng Noether víi i®ªan tèi ®¹i m vµ M lµ R− m«®un h÷u h¹n sinh víi dimM = d. Cho x = x1, . . . , xd lµ hÖ tham sè cña M vµ q = (x1, . . . , xd) lµ i®ªan tham sè cña M sinh bëi x. Víi mçi sè nguyªn d­¬ng n, ký hiÖu Λd,n = {(α1, . . . , αd) ∈ Zd | αi ≥ 1,∀1 ≤ i ≤ d, d∑ i=1 αi = d+ n− 1} vµ q(α) = (xα11 , . . . , x αd d ) víi ∀α = (α1, . . . , αd) ∈ Λd,n. Ta nãi r»ng hÖ tham sè x cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè nÕu ®¼ng thøc qnM = ⋂ α∈Λd,n q(α)M ®óng víi ∀n ≥ 1. VËy khi nµo mét hÖ tham sè cho tr­íc cña M cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè. VÊn ®Ò nµy Heinzer, Ratliff vµ Shah ®· chøng minh r»ng mét d·y c¸c phÇn tö R− chÝnh quy lu«n cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè. Sau ®ã, Goto vµ Shimoda ®· chØ ra r»ng ®iÒu ng­îc l¹i còng ®óng khi mçi phÇn tö cña d·y kh«ng lµ ­íc cña kh«ng trong R. H¬n n÷a, hä cßn ®­a ra mét ®Æc tr­ng kh¸c cña R víi dimR ≥ 2, trong ®ã mäi hÖ tham sè cña R cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè. Ta nãi m«®un M lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y khi vµ chØ khi tån t¹i mét hÖ tham sè x nµo ®ã sao cho x cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè. B©y giê, ta h¹n chÕ sù quan t©m cña c©u hái trªn cho hÖ tham sè tèt cña M . Khi ®ã mét m«®un Cohen-Macaulay d·y cã thÓ ®­îc ®Æc tr­ng bëi tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè cña mét hÖ tham sè tèt nh­ thÕ nµo. Néi dung ®ã ®­îc tr×nh bµi trong bµi b¸o Parametric decomposition of powers of parameter ideals and sequentially Cohen-Macaulay modules cña t¸c gi¶ NguyÔn Tù C­êng vµ Hoµng Lª Tr­êng. Bµi b¸o sÏ ra ë t¹p chÝ " Proc. Amer. Math. Soc." Môc ®Ých cña luËn v¨n nµy lµ tr×nh bµy l¹i mét c¸ch hÖ thèng vµ chi tiÕt kÕt qu¶ cña bµi b¸o trªn. LuËn v¨n ®­îc chia lµm 2 ch­¬ng. Ch­¬ng 1 "KiÕn thøc chuÈn bÞ" lµ ch­¬ng giíi thiÖu mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ ®¹i sè giao ho¸n nh­ hÖ tham sè, d·y chÝnh quy, m«®un Cohen- Macaulay, m«®un Cohen-Macaulay d·y. 4Ch­¬ng 2 "Ph©n tÝch tham sè vµ m«®un Cohen-Macaulay d·y" tr×nh bµy mét sè bæ ®Ò tõ ®ã ®i ®Õn ®Þnh lý chÝnh cña ch­¬ng nãi vÒ ®Æc tr­ng cña m«®un Cohen-Macaulay d·y qua ph©n tÝch tham sè vµ hÖ qu¶ cña nã. §Þnh lý ph¸t biÓu r»ng §Þnh lý 2.1.6. Cho (R,m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng Noether.M lµ R− m«®un h÷a h¹n sinh. Khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: (i) M lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y. (ii) Mäi hÖ tham sè tèt cña M cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè. (iii) Tån t¹i hÖ tham sè tèt cña M cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè. Ngoµi ra ch­¬ng nµy cßn tr×nh bµy mèi quan hÖ gi÷a m«®un Cohen- Macaulay d·y M vµ biÓu thøc cña hµm Hilbert-Samuel th«ng qua ®Þnh lý §Þnh lý 2.2.3. Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M lµ läc chiÒu cña M vµ ®Æt Di = Di/Di−1 víi mäi i = 1, . . . , t,D0 = D0. Khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: (i) M lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y. (ii) Víi bÊt kú i®ªan tham sè tèt q cña M , ®¼ng thøc l(M/qn+1M) = t∑ i=0 ( n+ di di ) l(Di/qDi) ®óng víi mäi n ≥ 0. (iii) Tån t¹i i®ªan tham sè tèt q cña M sao cho ®¼ng thøc l(M/qn+1M) = t∑ i=0 ( n+ di di ) l(Di/qDi) ®óng víi mäi n ≥ 0. PhÇn cuèi cïng cña ch­¬ng sÏ x©y dùng vÝ dô nh»m lµm s¸ng tá c¸c kÕt qu¶ chÝnh ®· nªu ë trªn. Ch­¬ng 1 KiÕn thøc chuÈn bÞ Môc ®Ých cña ch­¬ng nµy lµ nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ ®¹i sè giao ho¸n ®­îc sö dông trong luËn v¨n bao gåm ®Þnh nghÜa, c¸c mÖnh ®Ò vµ bæ ®Ò vÒ hÖ tham sè, d·y chÝnh quy, m«®un Cohen-Macaulay, m«®un Cohen-Macaulay d·y. 1.1 HÖ tham sè Trong phÇn nµy ta sÏ ®­a ra kh¸i niÖm vµ mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n vÒ hÖ tham sè, ®©y lµ mét kh¸i niÖm quan träng xuyªn suèt qu¸ tr×nh thùc hiÖn luËn v¨n nµy. 1.1.1 §Þnh nghÜa. Cho (R,m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng Noether, M lµ R− m«®un h÷u h¹n sinh víi dimM = d. TËp c¸c phÇn tö x = (x1, x2, . . . , xd), xi ∈ m ,∀i = 1, . . . , d tho¶ m·n lR(M/xM) < ∞ ®­îc gäi lµ mét hÖ tham sè cña M . Gi¶ sö (R,m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng Noether, M lµ R− m«®un h÷u h¹n sinh víi dimM = d. MÖnh ®Ò sau ®©y nªu lªn mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n cña hÖ tham sè. 5 61.1.2 MÖnh ®Ò. [1, MÖnh ®Ò A.4] Cho x1, x2, . . . , xt ∈ m khi ®ã dim(M/(x1, . . . , xt)M) ≥ dimM − t. §¼ng thøc s¶y ra khi vµ chØ khi x1, x2, . . . , xt lµ mét phÇn cña hÖ tham sè cña M . 1.1.3 MÖnh ®Ò. [8, Chó ý 15.20] NÕu x1, . . . , xd lµ hÖ tham sè cñaM th× víi mäi sè nguyªn d­¬ng α1, . . . , αd ta cã x α1 1 , . . . , x αd d còng lµ hÖ tham sè cña M . NhËn xÐt. (1) Cho x ∈ m khi ®ã x lµ mét phÇn tö cña hÖ tham sè cña M khi vµ chØ khi x 6∈ p víi mäi p ∈ AssR sao cho dimR/p = d. (2) Cho x1, . . . , xd ∈ m x¸c ®Þnh bëi xi+1 6∈ p,∀p ∈ AssR(M/(x1, . . . , xi)M), dimR/p = d− i víi i = 0, . . . , d− 1. Khi ®ã {x1, . . . , xd} lµ hÖ tham sè cña M . TiÕp theo ta sÏ ®­a ra ®Þnh nghÜa vÒ hµm Hilbert-Samuel vµ ®Þnh lý ®a thøc Hilbert, ®©y lµ mét ®Þnh lý næi tiÕng vµ cã øng dông nhiÒu trong ®¹i sè giao ho¸n. Trong luËn v¨n nµy ta chØ nh¾c l¹i ®Þnh nghÜa vµ ®Þnh lý dïng cho ch­¬ng sau mµ kh«ng chøng minh. 1.1.4 §Þnh nghÜa. Cho M lµ m«®un h÷u h¹n sinh trªn vµnh ®Þa ph­¬ng Noether (R,m) víi dimM = d, q lµ i®ªan ®Þnh nghÜa cña M ( tøc lµ l(M/qM) < ∞). Khi ®ã ta ®Þnh nghÜa mét hµm sè gäi lµ hµm Hilber- Samuel Fq,M(n) = l(M/q n+1M). 71.1.5 MÖnh ®Ò. [7, §Þnh lý 13.2] Cho R = ⊕ t≥0Rt lµ vµnh ph©n bËc Noether. R0 lµ vµnh Artin vµ M lµ R- m«®un ph©n bËc h÷a h¹n sinh. Gi¶ sö r»ng R = R0[x1, . . . , xr] vµ xi bËc di khi ®ãFq,M(n) lµ mét hµm h÷u tû cña n h¬n n÷a tån t¹i ®a thøc Pq,M(n) víi hÖ sè h÷u tû bËc d sao cho víi n ®ñ lín th× Fq,M(n) = Pq,M(n). vµ tån t¹i nh÷ng sè nguyªn e0(q,M)(> 0), e1(q,M), . . . , ed(q,M) sao cho Pq,M(n) = e0(q,M) ( n+ d d ) +e1(q,M) ( n+ d− 1 d− 1 ) +· · ·+ed(q,M). Sè e0(q,M) ®­îc gäi lµ sè béi Zaziski-Samuel. Khi q sinh bëi mét hÖ tham sè x = {x1, x2, . . . , xd} ta ký hiÖu e0(q,M) = e(x,M). 1.2 D·y chÝnh quy vµ m«®un Cohen-Macaulay Trong phÇn nµy ta sÏ tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm vÒ d·y chÝnh quy, ®ã lµ kh¸i niÖm c¬ b¶n ®Ó ®Þnh nghÜa ®é s©u cña mét m«®un tõ ®ã ®­a ®Õn ®Þnh nghÜa cña vµnh vµ m«®un Cohen-Macaulay. 1.2.1 §Þnh nghÜa. ChoR lµ vµnh giao ho¸n vµM lµR−m«®un. Mét phÇn tö x ∈ R ®­îc gäi lµ M− chÝnh quy nÕu 0 :M x = 0, tøc lµ xa 6= 0 víi ∀a ∈M,a 6= 0. Mét d·y c¸c phÇn tö x1, . . . , xn cñaR ®­îc gäi lµM−d·y chÝnh quy nÕu (x1, . . . , xn)M 6= M vµ xi lµ M/(x1, . . . , xi−1)M− chÝnh quy víi mäi i = 1, . . . , n. C¸c mÖnh ®Ò sau ®©y nªu lªn c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña d·y chÝnh quy. 1.2.2 MÖnh ®Ò. [8, Bæ ®Ò 16.4] Cho M lµ R− m«®un khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau t­¬ng ®­¬ng: 8(i) D·y x1, . . . , xn lµ d·y M− chÝnh quy. (ii) D·y x1, . . . , xi lµ d·y M− chÝnh quy vµ xi+1, . . . , xn lµ d·y M/(x1, . . . , xi)M− chÝnh quy víi mäi 1 ≤ i ≤ n− 1. 1.2.3 MÖnh ®Ò. [7, §Þnh lý 16.1] NÕu x1, . . . , xn lµ d·y M− chÝnh quy th× víi mäi sè nguyªn d­¬ng α1, . . . , αn ta cã {xα11 , . . . , xαnn } còng lµ d·y M− chÝnh quy. 1.2.4 MÖnh ®Ò. [8, §Þnh lý 16.9] NÕu x1, . . . , xn lµ d·y M− chÝnh quy th× víi mäi ho¸n vÞ cña c¸c phÇn tö x1, . . . , xn ta vÉn ®­îc mét d·y M− chÝnh quy. 1.2.5 MÖnh ®Ò. [1, MÖnh ®Ò 1.2.12] NÕu M lµ R− m«®un h÷u h¹n sinh trªn vµnh ®Þa ph­¬ng Noether vµ x1, . . . , xt lµ d·y M− chÝnh quy th× x1, . . . , xt lµ mét phÇn cña hÖ tham sè cña M . Víi ®Þnh nghÜa vÒ d·y chÝnh quy nªu trªn cho phÐp ®i ®Õn kh¸i niÖm ®é s©u cña mét m«®un, ®Ó tõ ®ã ®i ®Õn kh¸i niÖm m«®un Cohen-Macaulay. 1.2.6 §Þnh nghÜa. Cho I lµ i®ªan cña vµnh R, M lµ R− m«®un h÷u h¹n sinh sao choM 6= IM . Khi ®ã ®é dµi cùc ®¹i cña d·yM− chÝnh quy cña I gäi lµ ®é s©u cña i®ªan I ®èi víi R− m«®unM , kÝ hiÖu depthR(I,M). NÕu (R,m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng Noether, ta cã thÓ kÝ hiÖu ®é s©u cña R− m«®un M lµ depthRM hoÆc cã thÓ ®¬n gi¶n h¬n lµ depthM . 1.2.7 MÖnh ®Ò. [1, MÖnh ®Ò 1.2.13] Cho (R,m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng Noether, M lµ R− m«®un h÷u h¹n sinh. Ta cã kh¼ng ®Þnh sau. depthM ≤ dimR/p ≤ dimM, ∀p ∈ AssM . Vµ tiÕp theo ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm m«®un Cohen- Macaulay. 91.2.8 §Þnh nghÜa. M«®un M ®­îc gäi lµ m«®un Cohen-Macaulay nÕu M = 0 hoÆc M 6= 0 vµ depthM = dimM. Vµnh R gäi lµ vµnh Cohen- Macaulay nÕu nã lµ R− m«®un Cohen-Macaulay. MÖnh ®Ò sau nªu lªn c¸c ®Æc tr­ng c¬ b¶n cña m«®un Cohen-Macaulay. 1.2.9 MÖnh ®Ò. [7, §Þnh lý 17.3] (1) NÕu M lµ m«®un Cohen-Macaulay th× víi ∀p ∈ AssM ta cã dimR/p = dimM . (2) NÕu x1, . . . , xd ∈ m lµ d·y M− chÝnh quy th× M lµ m«®un Cohen- Macaulay khi vµ chØ khi M/(x1, . . . , xd)M lµ m«®un Cohen-Macaulay. 1.2.10 MÖnh ®Ò. [7, Chó ý 136] NÕu M lµ m«®un Cohen-Macaulay th× mäi hÖ tham sè cña M lµ d·y M− chÝnh quy. 1.2.11 Bæ ®Ò. [3, Bæ ®Ò 2.2] Cho N lµ m«®un con cña M tho¶ m·n dimN < dimM vµ M/N lµ m«®un Cohen-Macaulay. Cho x1, . . . , xi lµ mét phÇn cña hÖ tham sè cñaM khi ®ã (x1, . . . , xi)M∩N = (x1, . . . , xi)N . Chøng minh. Ta chøng minh b»ng quy n¹p theo i. Víi i = 1 ta ph¶i chøng minh x1M ∩ N = x1N . Ta lu«n cã x1N ⊆ x1M ∩N ta chøng minh x1M ∩N ⊆ x1N . ThËt vËy, lÊy y ∈ x1M ∩N khi ®ã y ∈ x1M vµ y = x1m víi m ∈ M suy ra y = x1m ∈ N hay x1m + N = 0 + N trong M/N tøc x1(m + N) = 0 suy ra m + N = 0 hay m ∈ N . Do ®ã y = x1m ∈ x1N Gi¶ sö i > 1. Ta lu«n cã (x1, . . . , xi)N ⊆ (x1, . . . , xi)M ∩ N (1). LÊy a ∈ (x1, . . . , xi)M ∩N khi ®ã a = x1a1 + · · ·+xiai trong ®ã aj ∈M víi mäi j = 1, . . . , i v× a ∈ N nªn ai ∈ (N + (x1, . . . , xi−1)M) : xi. MÆt kh¸c, v× d·y x1, . . . , xi lµ M/N− chÝnh quy vµ (N + (x1, . . . , xi−1)M) :M xi = N + (x1, . . . , xi−1)M 10 nªn ta cã ai ∈ N + (x1, . . . , xi−1)M , ai = x1b1 + · · ·+ xi−1bi−1 + c trong ®ã bj ∈M , j = 1, · · · , i− 1 vµ c ∈ N . Suy ra theo gi¶ thiÕt quy n¹p ta cã a− xic ∈ (x1, . . . , xi−1)M ∩N = (x1, . . . , xi−1)N Do ®ã a ∈ (x1, · · · , xi)N . VËy (x1, . . . , xi)M∩N ⊆ (x1, . . . , xi)N (2). Tõ (1) vµ (2) ta cã (x1, . . . , xi)M ∩N = (x1, . . . , xi)N 1.3 M«®un Cohen-Macaulay d·y Trong phÇn nµy ta ®­a ra ®Þnh nghÜa vµ mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n vÒ läc chiÒu vµ m«®un Cohen-Macaulay d·y, tr­íc tiªn ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm läc chiÒu cña m«®un. 1.3.1 §Þnh nghÜa. (1) Mét läc c¸c m«®un con cña M lµ mét hä F : M0 ⊂M1 ⊂ . . . ⊂Mt = M trong ®ã Mi lµ c¸c m«®un con cña M . Läc c¸c m«®un con F cña M ®­îc gäi lµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu nÕu dimMi−1 < dimMi víi mäi i = 1, 2, . . . , t. (2) Mét läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M ®­îc gäi lµ läc chiÒu cña M nÕu nã tho¶ m·n 2 ®iÒu kiÖn sau (a) D0 = H 0 m(M) lµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng thø 0 cña M øng víi i®ªan tèi ®¹i m. (b) Di−1 lµ m«®un con lín nhÊt cña Di sao cho dimDi−1 < dimDi víi mäi i = 1, 2, . . . , t. 11 MÖnh ®Ò sau sÏ cho ta thÊy sù tån t¹i cña läc chiÒu. 1.3.2 MÖnh ®Ò. [2, Chó ý 2.3] Läc chiÒu cña m«®un M lu«n tån t¹i vµ duy nhÊt. H¬n n÷a nÕu D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M lµ läc chiÒu cña M víi dimDi = di th× ta cã Di = ⋂ dim(R/pj)≥di+1 Nj víi mäi i = 1, 2, . . . , t− 1 trong ®ã 0 = n⋂ j=1 Nj lµ ph©n tÝch nguyªn s¬ thu gän cña m«®un 0 cñaM vµ Nj lµ pj− nguyªn s¬ víi mäi j = 1, 2, . . . , n. NhËn xÐt. Cho N lµ m«®un con cña M vµ dimN < dimM . Tõ ®Þnh nghÜa läc chiÒu, tån t¹i m«®un Di sao cho N ⊆ Di vµ dimN = dimDi. Do ®ã nÕu F : M0 ⊂M1 ⊂ . . . ⊂Mt = M lµ läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu th× víi mçi Mj lu«n tån t¹i Di sao cho Mj ⊆ Di vµ dimMj = dimDi. HÖ tham sè tèt lµ mét kh¸i niÖm quan träng ®­îc sö dông trong luËn v¨n nµy, tõ ®Þnh nghÜa vÒ läc chiÒu nªu trªn ta cã ®Þnh nghÜa vÒ hÖ tham sè tèt nh­ sau. 1.3.3 §Þnh nghÜa. Cho F : M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M lµ läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu vµ dimMi = di. Mét hÖ tham sè x = {x1, x2, . . . , xd} cña M ®­îc gäi lµ hÖ tham sè tèt t­¬ng øng víi läc F nÕu Mi ∩ (xdi+1, xdi+2, . . . , xd)M = 0 víi mäi i = 1, 2, . . . , t− 1. 12 Mäi hÖ tham sè tèt t­¬ng øng víi läc chiÒu ®­îc gäi lµ hÖ tham sè tèt cña M . NhËn xÐt (1) NÕu hÖ tham sè x = {x1, x2, . . . , xd} lµ hÖ tham sè tèt t­¬ng øng víi läc F th× xα11 , . . . , x αd d còng lµ hÖ tham sè tèt t­¬ng øng víi läc F víi mäi sè nguyªn d­¬ng α1, . . . , αd. (2) Mét hÖ tham sè tèt cña M còng lµ hÖ tham sè tèt t­¬ng øng víi bÊt kú läc tho¶ m·n tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu nµo cña M . 1.3.4 Bæ ®Ò. [2, Bæ ®Ò 2.5] Lu«n tån t¹i hÖ tham sè tèt cña M . Chøng minh. Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M lµ läc chiÒu cñaM víi dimDi = di. Theo mÖnh ®Ò 1.3.2 ta cã Di = ⋂ dim(R/pj)≥di+1 Nj trong ®ã 0 = n⋂ j=1 Nj lµ sù ph©n tÝch nguyªn s¬ thu gän cña m«®un 0 cña M . §Æt Ni = ⋂ dim(R/pj)≤di Nj khi ®ã Di ∩Ni = 0 vµ dimM/Ni = di. Theo ®Þnh lý Tr¸nh nguyªn tè sÏ tån t¹i mét hÖ tham sè x = {x1, x2, . . . , xd} tho¶ m·n xdi+1, xdi+2, . . . , xd ∈ AnnM/Ni. Suy ra Di ∩ (xdi+1, xdi+2, . . . , xd)M ⊆ Di ∩Ni = 0. 1.3.5 Bæ ®Ò. [3, Bæ ®Ò 2.1] Cho x = {x1, x2, . . . , xd} lµ hÖ tham sè tèt cña M khi ®ã Di = 0 :M xj víi mäi j = di + 1, . . . , di+1, i = 0, 1, . . . , t − 1 vµ do ®ã 0 :M x1 ⊆ 0 :M x2 ⊆ . . . ⊆ 0 :M xd. Chøng minh. Ta cã Di ⊆ 0 :M xj víi mäi j ≥ di. ThËt vËy, lÊy x ∈ Di v× Di lµ m«®un con cña M nªn x ∈ M . Suy ra xjx ∈ (xdi+1, . . . , xd)M , ∀j = di+1, . . . , d h¬n n÷a xjx ∈ Di. Nªn suy ra xjx = 0 hay x ∈ 0 :M xj. Ta cßn ph¶i chøng minh r»ng 0 :M xj ⊆ Di víi mäi di < j < di+1. 13 Gi¶ sö 0 :M xj 6⊆ Di vµ s lµ sè nguyªn lín nhÊt sao cho 0 :M xj 6⊆ Ds−1 khi ®ã t ≥ s > i vµ 0 :M xj = 0 :Ds xj. V× ds ≥ di+1 ≥ j, xj lµ phÇn tö tham sè cña Ds vµ dim 0 :M xj < ds do ®ã 0 :M xj ⊆ Ds−1 ®iÒu nµy v« lý víi viÖc chän s. Do vËy 0 :M xj = Di. Trong phÇn tiÕp theo ta sÏ tr×nh bµy kh¸i niÖm vµ mét vµi tÝnh chÊt ®Æc tr­ng cña m«®un Cohen-Macaulay d·y ®­îc sö dông trong luËn v¨n nµy. Tr­íc hÕt ta cã ®Þnh nghÜa sau. 1.3.6 §Þnh nghÜa. M«®un M ®­îc gäi lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y nÕu víi läc chiÒu D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M mçi m«®un Di/Di−1 lµ Cohen-Macaulay víi i = 1, 2, . . . , t. MÖnh ®Ò tiÕp theo coi nh­ ®iÒu kiÖn t­¬ng ®­¬ng víi ®Þnh nghÜa m«®un Cohen-Macaulay d·y. 1.3.7 MÖnh ®Ò. [2, §Þnh lý 3,9] Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M lµ läc chiÒu cña M víi dimDi = di vµ x = (x1, x2, . . . , xd) lµ hÖ tham sè tèt cña M . Khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: (1) M lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y. (2) (x1, . . . , xdi) lµ d·y chÝnh quy trªn M/Di−1 víi i = 1, . . . , t. (3) depthM/Di−1 = di víi i = 1, . . . , t. 1.3.8 Bæ ®Ò. [3, HÖ qu¶ 2.3] Cho x = {x1, x2, . . . , xd} lµ hÖ tham sè tèt cña m«®un Cohen-Macaulay d·y M . Khi ®ã (x1, . . . , xd)M ∩ Di = (x1, . . . , xdi)Di víi mäi i = 1, . . . , t− 1. Chøng minh. Ta cãDi lµ m«®un con cñaM , dimDi < M vµM lµ m«®un 14 Cohen-Macaulay d·y nªn (x1, . . . , xd)M ∩Di = (x1, . . . , xdi, xdi+1, . . . , xd)M ∩Di = (x1, . . . , xdi)M ∩Di + (xdi+1, . . . , xd)M ∩Di = (x1, . . . , xdi)M ∩Di mµ (x1, . . . , xdi) lµ mét phÇn cña hÖ tham sè cñaM nªn theo bæ ®Ò 1.2.11 ta cã (x1, . . . , xdi)M ∩Di = (x1, . . . , xdi)Di. Ch­¬ng 2 Ph©n tÝch tham sè cña luü thõa i®ªan tham sè vµ m«®un Cohen-Macaulay d·y Trong ch­¬ng nµy ta sÏ tr×nh bµy néi dung chÝnh cña luËn v¨n. Néi dung ch×nh ®­îc chia lµm ba tiÕt. TiÕt mét tr×nh bµy vÒ ®Æc tr­ng cña m«®un Cohen-Macaulay d·y qua ph©n tÝch tham sè. TiÕt hai sÏ tr×nh bµy vÒ ®a thøc Hilbert-samuel cña m«®un Cohen-Macaulay d·y vµ trong tiÕt ba sÏ ®­a ra mét sè vÝ dô nh»m lµm s¸ng tá c¸c kÕt qu¶ ®· nªu ë trªn. 2.1 §Æc tr­ng cñam«®un Cohen-Macaulay d·y qua ph©n tÝch tham sè Cho (R,m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng Noether, M lµ R− m«®un h÷a h¹n sinh víi dimM = d. Cho x = {x1, x2, . . . , xd} lµ hÖ tham sè cña m«®un M vµ q lµ i®ªan sinh bëi x1, x2, . . . , xd. Víi sè nguyªn d­¬ng n, s ta cã tËp Λd,n = {(α1, . . . , αd) ∈ Zd | αi ≥ 1,∀1 ≤ i ≤ d, d∑ i=1 αi = d+ n− 1} víi α = (α1, . . . , αd) ∈ Λd,n. Ký hiÖu q(α) = (xα11 , . . . , xαdd ). 15 16 2.1.1 Bæ ®Ò. Víi c¸c ký hiÖu trªn ta cã qnM ⊆ ⋂ α∈Λd,n q(α)M Chøng minh. V× q(α)M = (xα11 , . . . , x αd d ) nªn q nM ®­îc sinh bëi c¸c phÇn tö cã d¹ng xβ11 . . . x βd d m trong ®ã βi ∈ N,∀i = 1, . . . , d vµ d∑ i=1 βi = n. LÊy tuú ý α = (α1, . . . , αd) ∈ Λd,n. Ta cã d∑ i=1 βi > d∑ i=1 (αi − 1) nªn tån t¹i βi > αi víi i nµo ®ã. Suy ra x β1 1 . . . x βd d m ∈ q(α)M . VËy víi mäi n ta cã qnM ⊆ ⋂ α∈Λd,n q(α)M . NÕu ë mÖnh ®Ò trªn dÊu b»ng x¶y ra víi mäi n tøc qnM = ⋂ α∈Λd,n q(α)M ®óng víi mäi n th× ta nãi x = x1, . . . , xd cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè. Ta sÏ chøng minh trong tiÕt nµy r»ng M lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y khi vµ chØ khi tån t¹i mét hÖ tham sè tèt x nµo ®ã cñaM ®Ó sao cho x cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè . Ta b¾t ®Çu b»ng bæ ®Ò vÒ tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè cña d·y c¸c phÇn tö chÝnh quy. 2.1.2 Bæ ®Ò. Cho s lµ mét sè nguyªn d­¬ng vµ y1, . . . , ys lµM− d·y chÝnh quy cña c¸c phÇn tö trong m. Khi ®ã (y1, . . . , ys) nM = ⋂ α∈Λs,n (yα11 , . . . , y αs s )M víi mäi n ≥ 1. Chøng minh. Ta kÝ hiÖu y = (y1, . . . , ys) vµ y(α) = (y α1 1 , . . . , y αs s ). ViÖc chøng minh bæ ®Ò trªn trong vµnh R lµ hoµn toµn t­¬ng tù nh­ xÐt trong vµnh ®a thøc Z[X1, . . . , Xs] vµ do ®ã ta cã thÓ thay thÕ y bëi X = X1, . . . , Xs. Ta biÕt r»ng d·y X lµ Z[X1, . . . , Xs]− chÝnh quy, vËy cã thÓ gi¶ sö y lµ Z[X1, . . . , Xs]− chÝnh quy. 17 §Æt S = R nM lµ i®ªan ho¸ cña M trªn R. Khi ®ã S = R nM lµ nhãm céng vµ phÐp nh©n trong S ®­îc ®Þnh nghÜa nh­ sau (a, x)(b, y) = (ab, ay + bx),∀a, b ∈ R, ∀x, y ∈M. §Æt fi = (yi, 0), (i = 1, . . . , s), ta sÏ chøng minh d·y f = f1, . . . , fs lµ S− chÝnh quy, tøc lµ (f1, . . . , fi)S : fi+1 = (f1, . . . , fi)S, i = 0, . . . , s− 1. Ta lu«n cã (f1, . . . , fi)S : fi+1 ⊇ (f1, . . . , fi)S do ®ã ta chØ cÇn ph¶i chøng minh (f1, . . . , fi)S : fi+1 ⊆ (f1, . . . , fi)S, i = 0, . . . , s − 1 lµ ®ñ. LÊy bÊt kú g ∈ (f1, . . . , fi)S : fi+1, tøc lµ g = (u, x), u ∈ R, x ∈ M vµ gfi+1 ∈ (f1, . . . , fi)S, suy ra (u, x)(yi+1, 0) = i∑ j=1 (yj, 0)(uj, xj) hay lµ (uyi+1, xyi+1) = ( i∑ j=1 yjuj, i∑ j=1 yjxj), trong ®ã uj ∈ R, xj ∈ M . VËy uyi+1 = i∑ j=1 yjuj vµ xyi+1 = i∑ j=1 yjxj. Tõ ®ã uyi+1 ∈ (y1, . . . , yi)R vµ xyi+1 ∈ (y1, . . . , yi)M tøc lµ u ∈ (y1, . . . , yi)R : yi+1 = (y1, . . . , yi)R x ∈ (y1, . . . , yi)M : yi+1 = (y1, . . . , yi)M víi i = 0, . . . , s−1. Suy ra (u, x) ∈ (f1, . . . , fi)S do ®ã g ∈ (f1, . . . , fi)S. VËy (f1, . . . , fi)S : fi+1 ⊆ (f1, . . . , fi)S, víi mäi i = 0, . . . , s − 1 nªn (f1, . . . , fi)S : fi+1 = (f1, . . . , fi)S,∀i = 0, . . . , s − 1 tøc lµ ta cã f = f1, . . . , fs lµ S− chÝnh quy. Tõ ®©y ¸p dông [6, §Þnh lý 2.4] ta cã (f)nS = ⋂ α∈Λs,n f(α)S,∀n ≥ 1 (1) 18 TiÕp theo ta sÏ chøng minh r»ng (f)nS = (y)nR× (y)nM. ThËt vËy, lÊy tuú ý t = ∑ Cβf β1 1 . . . f βs s ∈ (f)nS, trong ®ã βi ≥ 0, i = 1, . . . , s, s∑ i=1 βi = n, Cβ = (rβ,mβ) ∈ R×M . Ta cã t = ∑ (rβ,mβ)(y β1 1 . . . y βs s , 0) = ( ∑ rβy β1 1 . . . y βs s , ∑ mβy β1 1 . . . y βs s ) ∈ (y)nR× (y)nM. Ng­îc l¹i, cho t ∈ (y)nR×(y)nM , tøc lµ t = (∑ rβyβ11 . . . yβss ,∑mβyβ′11 . . . yβ′ss ), trong ®ã βi, β ′ i ≥ 0, s∑ i=1 βi = n, s∑ i=1 β′i = n, r ∈ R,m ∈ M . §Æt fβii = (yβii , 0), f β′i i = (y β′i i , 0), 1 ≤ i ≤ s. Ta cã t = ∑ (rβy β1 1 . . . y βs s , 0) + (0, ∑ mβy β′1 1 . . . y β′s s ) = ∑ (rβ, 0)(f β1 1 . . . f βs s ) + ∑ (0,mβ)(f β′1 1 . . . f β′i i ) ∈ (f)nS. VËy (f)nS = (y)nR× (y)nM (2) T­¬ng tù nh­ chøng minh ®¼ng thøc (2) ta còng cã f(α)S = y(α)R× y(α)M,n ≥ 1, α ∈ Λs,n. Suy ra ⋂ α∈Λs,n f(α)S = ⋂ α∈Λs,n y(α)R× ⋂ α∈Λs,n y(α)M (3) Tõ (1),(2),(3) dÉn ®Õn kÕt qu¶ sau (y)nR× (y)nM = ⋂ α∈Λs,n y(α)R× ⋂ α∈Λs,n y(α)M. Tõ ®©y suy ra (y)nM = ⋂ α∈Λs,n y(α)M,n ≥ 1 hay (y1, . . . , ys) nM = ⋂ α∈Λs,n (yα11 , . . . , y αs s )M víi mäi n ≥ 1. 19 2.1.3 Bæ ®Ò. Cho s lµ mét sè nguyªn d­¬ng vµ y1, . . . , ys lµ mét d·y c¸c phÇn tö cña m tho¶ m·n (y1, . . . , ys) nM = ⋂ α∈Λs,n (yα11 , . . . , y αs s )M víi mäi n ≥ 1. Khi ®ã (i) (y1, . . . , yi) nM = ⋂ α∈Λi,n (yα11 , . . . , y αi i )M víi mäi n ≥ 1 vµ i < s. (ii) yki+1M ∩ (y1, . . . , yi)mM ⊆ (y1, . . . , yi, yi+1)k+mM víi ∀k,m ≥ 1 vµ i < s. Chøng minh. (i) Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ sö s ≥ 2 vµ chØ cÇn chøng minh bæ ®Ò ®óng víi i = s− 1 lµ ®ñ. Ta lu«n cã (y1, . . . , ys−1)nM ⊆ ⋂ α∈Λs−1,n (yα11 , . . . , y αs−1 s−1 )M víi mäi n ≥ 1. ThËt vËy, v× y(α) = (yα11 , . . . , y αs−1 s−1 ) nªn y n = (y1, . . . , ys−1)n ®­îc sinh bëi c¸c phÇn tö cã d¹ng yβ11 . . . y βs−1 s−1 , trong ®ã βi ∈ N,∀i = 1, . . . , s − 1 vµ s−1∑ i=1 βi = n. LÊy tuú ý phÇn tö α = (α1, . . . , αs−1) ∈ Λs−1,n. Khi ®ã ta cã s−1∑ i=1 βi = n > s−1∑ i=1 (αi − 1) nªn tån t¹i i(1 ≤ i ≤ s − 1) sao cho βi > αi. Suy ra y β1 1 . . . y βs−1 s−1 ∈ y(α). VËy (y1, . . . , ys−1)nM ⊆⋂ α∈Λs−1,n (yα11 , . . . , y αs−1 s−1 )M. Gi¶ sö ph¶n chøng r»ng kh«ng x¶y ra bao hµm thøc trªn, khi ®ã sÏ tån t¹i x ∈ ⋂ α∈Λs−1,n (yα11 , . . . , y αs−1 s−1 )M mµ x 6∈ (y1, . . . , ys−1)nM . Ta chän sè tù nhiªn k ®ñ lín sao cho x ∈ (y1, . . . , ys−1)nM + yksM,x 6∈ (y1, . . . , ys−1)nM + yk+1s M. ViÖc chän nh­ vËy lµ hoµn toµn x¸c ®Þnh v× nÕu k = 0 th× hiÓn nhiªn ta cã x ∈ (y1, . . . , ys−1)nM+y0sM = M . MÆt kh¸c, nÕu x ∈ (y1, . . . , ys−1)nM+ 20 yk+1s M,∀k ≥ 1 th× dÉn ®Õn x ∈ ⋂ k≥1 ((y1, . . . , ys−1)nM + yk+1s M) = (y1, . . . , ys−1) nM. §iÒu nµy tr¸i víi c¸ch chän x ban ®Çu. VËy ta lu«n cã thÓ biÓu diÔn x = y+ yk+1s a trong ®ã y ∈ (y1, . . . , ys−1)nM,a ∈M . §Ó chøng minh bæ ®Ò ta cÇn chøng minh 2 kh¼ng ®Þnh sau. (1) x− y ∈ ⋂ α∈Λs,k+n (yα11 , . . . , y αs s )M = (y1, . . . , ys) k+nM, ∀k, n ≥ 1. (2) (y1, . . . , ys) k+nM ⊆ (y1, . . . , ys−1)nM + yk+1s M . Ta chøng minh (1) nh­ sau. LÊy tuú ý α = (α1, . . . , αs) ∈ Λs,k+n. NÕu αs ≤ k, dÔ thÊy yksM ⊆ (yα11 , . . . , yαss )M , tõ ®ã suy ra x − y ∈ (yα11 , . . . , y αs s )M. NÕu αs ≥ k + 1 th× ta cã ⋂ α∈Λs−1,n (yα11 , . . . , y αs−1 s−1 )M ⊆ (yα11 , . . . , yαss )M . ThËt vËy, víi mäi β = β1, . . . , βs−1 ∈ Λs−1,n ta cã s−1∑ i=1 βi = s+ n− 2 ≥ s−1∑ i=1 αi = s+ n+ k − 1− αs, suy ra tån t¹i i(1 ≤ i ≤ − 1) sao cho βi ≥ αi. VËy (yβ11 , . . . , yβs−1s−1 )M ⊆ (yα11 , . . . , y αs−1 s−1 , y αs s )M , tøc lµ ta cã ⋂ α∈Λs−1,n (yα11 , . . . , y αs−1 s−1 )M ⊆ (yα11 , . . . , yαss )M . Tõ ®©y suy ra x ∈ (yα11 , . . . , yαss )M . MÆt kh¸c, dÔ thÊy (y1, . . . , ys−1)nM ⊆ (yα11 , . . . , yαs−1s−1 )M ⊆ (yα11 , . . . , yαs−1s−1 , yαss )M vËy y ∈ (y1, . . . , ys−1)nM ⊆ (yα11 , . . . , yαss )M . Tãm l¹i ta lu«n cã x− y ∈ (yα11 , . . . , y αs s )M, ∀α ∈ Λs,k+n, do ®ã ta cã x− y ∈ ⋂ α∈Λs,k+n (yα11 , . . . , y αs s )M = (y1, . . . , ys) k+nM. 21 §Ó chøng minh (2) ta lÊy phÇn tö sinh tuú ý f cña (y1, . . . , ys) k+nM, gi¶ sö f viÕt d­íi d¹ng f = yβ11 . . . y βs s a trong ®ã s∑ i=1 βi = k + n, βi ≥ 0,∀i = 1, . . . , s vµ a ∈ M . XÐt tr­êng hîp βs ≥ k + 1, hiÓn nhiªn f ∈ yk+1s M , vËy (y1, . . . , ys)k+nM ⊆ yk+1s M . XÐt tr­êng hîp βs ≤ k. Ta cã (y1, . . . , ys−1)nM sinh bëi c¸c phÇn tö d¹ng yα11 . . . y αs−1 s−1 a, trong ®ã s−1∑ i=1 αi = n, αi ≥ 0,∀i = 1, . . . , s− 1 vµ a ∈M . Do s−1∑ i=1 βi = k+n−βs ≥ s−1∑ i=1 αi = n nªn ta suy ra y β1 1 . . . y βs s a ∈ (y1, . . . , ys−1)nM . §iÒu nµy chøng tá f ∈ (y1, . . . , ys−1)nM . Tãm l¹i ta lu«n cã f ∈ (y1, . . . , ys−1)nM + yk+1s M. VËy (y1, . . . , ys) k+nM ⊆ (y1, . . . , ys−1)nM + yk+1s M . Ta sÏ chøng minh bæ ®Ò dùa vµo hai kh¼ng ®Þnh trªn. ThËt vËy theo (1) ta cã x− y ∈ (y1, . . . , ys)k+nM , suy ra x ∈ (y1, . . . , ys−1)nM + (y1, . . . , ys)k+nM. MÆt kh¸c theo (2) ta cã (y1, . . . , ys) k+nM ⊆ (y1, . . . , ys−1)nM + yk+1s M , tõ ®ã dÉn ®Õn x ∈ (y1, . . . , ys−1)nM + yk+1s M. §iÒu nµy m©u thuÉn víi c¸ch chän ban ®Çu. VËy (y1, . . . , ys−1)nM = ⋂ α∈Λs−1,n (yα11 , . . . , y αs−1 s−1 )M. Tõ ®ã ta cã (y1, . . . , yi) nM = ⋂ α∈Λi,n (yα11 , . . . , y αi i )M víi mäi n ≥ 1, i ≤ s. (ii) Gi¶ sö ng­îc l¹i, tøc lµ tån t¹i x ∈ yki+1M ∩ (y1, . . . , yi)mM mµ x 6∈ (y1, . . . , yi, yi+1)k+mM = ⋂ α∈Λi+1,k+m (yα11 , . . . , y αi i , y αi+1 i+1 )M víi k,m ≥ 1, i < s. Khi ®ã ta chän ®­îc α = (α1, . . . , αi+1) ∈ Λi+1,k+m sao cho x 6∈ (yα11 , . . . , yαii , yαi+1i+1 )M . V× x ∈ yki+1M nªn ta cã αi+1 ≥ k + 1. MÆt kh¸c do x ∈ (y1, . . . , yi)mM nªn x sinh bëi c¸c phÇn tö d¹ng 22 yβ11 . . . y βi i a víi a ∈ M vµ β1 + · · · + βi = m > α1 + · · · + αi. Suy ra x ∈ (yα11 , . . . , yαii , yαi+1i+1 )M . §iÒu nµy m©u thuÉn víi c¸ch chän x. VËy bæ ®Ò ®­îc chøng minh. 2.1.4 Bæ ®Ò. Cho s lµ mét sè nguyªn d­¬ng vµ y1, . . . , ys lµ mét d·y c¸c phÇn tö cña m tho¶ m·n (y1, . . . , ys) nM = ∩α∈Λs,n(yα11 , . . . , yαss )M víi mäi n ≥ 1. Khi ®ã víi 1 ≤ i < s ta cã yki+1M ∩ (y1, . . . , yi)mM ⊆ yki+1(y1, . . . , yi, yi+1)M + (y1, . . . , yi)m+1M víi ∀k,m ≥ 1. Chøng minh. Theo bæ ®Ò 2.1.3(ii) ta cã yki+1M ∩ (y1, . . . , yi)mM ⊆ (y1, . . . , yi, yi+1)k+mM do vËy nÕu ta chøng minh ®­îc (y1, . . . , yi, yi+1) k+mM ⊆ yki+1(y1, . . . , yi, yi+1)M + (y1, . . . , yi)m+1M víi ∀k,m ≥ 1 th× bæ ®Ò ®­îc chøng minh. ThËt vËy, lÊy a ∈M vµ (n1, . . . , ni, ni+1) ∈ Zi+1 sao cho n1+· · ·+ni+1 = k +m. NÕu ni+1 ≥ k khi ®ã n1 + · · · + ni + (ni+1 − k) = m ≥ 1 suy ra yn11 . . . y ni i y ni+1 i+1 a = y k i+1(y n1 1 . . . y ni i y ni+1−k i+1 )a ∈ yki+1(y1, . . . , yi+1)M . NÕu ni+1 < k hay ni+1 ≤ k − 1 khi ®ã n1+· · ·+ni = k+m−ni+1 ≥ m+1 suy ra yn11 . . . y ni i y ni+1 i+1 a ∈ (y1, . . . , yi)m+1M do ®ã yn11 . . . y ni i y ni+1 i+1 a ∈ yki+1(y1, . . . , yi+1)M + (y1, . . . , yi)m+1M. VËy ta cã (y1, . . . , yi, yi+1) k+mM ⊆ yki+1(y1, . . . , yi+1)M + (y1, . . . , yi)m+1M víi mäi k,m ≥ 1 vµ 1 ≤ i < s. 23 2.1.5 Bæ ®Ò. Cho x = {x1, x2, . . . , xd} lµ mét hÖ tham sè cña m«®un M cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè. Khi ®ã víi ∀1 ≤ i < j ≤ d sÏ tån t¹i mét sè nguyªn k ≥ 1 sao cho qiM : xnj = qiM + 0 :M xkj víi ∀n ≥ k. Chøng minh. §Ó chøng minh bæ ®Ò tr­íc hÕt ta chøng minh xnjM ∩ qiM ⊆ xnj (xj, qi)M, ∀n ≥ 1. ThËt vËy, gi¶ sö ng­îc l¹i. Khi ®ã, theo ®Þnh lý Giao Krull sÏ tån t¹i mét sè nguyªn n ≥ 1 sao cho xnjM ∩ qiM ⊆ xnj (xj, qi)M + qmi M nh­ng xnjM ∩ qiM 6⊆ xnj (xj, qi)M + qm+1i M . V× vËy xnjM ∩ qiM ⊆ xnjM ∩ [xnj (xj, qi)M + qmi M ] = xnj (xj, qi)M + x n jM ∩ qmi M. MÆt kh¸c, theo bæ ®Ò 2.1.4 vµ gi¶ thiÕt ta cã xnjM ∩ qmi M ⊆ xnj (xj, qi)M + qm+1i M suy ra xnjM ∩ qiM ⊆ xnj (xj, qi)M + qm+1i M (®iÒu nµy v« lý). Do ®ã xnjM ∩ qiM ⊆ xnj (xj, qi)M . Nh­ vËy xnj (qiM : x n j ) ⊆ xnjM ∩ qiM ⊆ xnj (xj, qi)M . Do ®ã qiM : xnj ⊆ (xj, qi)M + 0 :M x n i . LÊy k  0 sao cho qiM : x k j = qiM : x k+1 j 0 :M x k j = 0 :M x k+1 j Khi ®ã qiM : x n j ⊆ (xj, qi)M + 0 :M xkj víi ∀n ≥ k. LÊy a ∈ qiM : xnj , ta viÕt a = xjb+x1b1 + · · ·+xibi+c trong ®ã c ∈ 0 :M xkj . V× xnj a ∈ qiM 24 vµ n ≥ k, b ∈ qiM : xn+1j do vËy a ∈ xj(qiM : xn+1j ) + qiM + 0 :M xkj . Suy ra víi ∀n ≥ k ta cã qiM : x n j = xj(qiM : x n+1 j ) + qiM + 0 :M x k j = xj(qiM : x n j ) + qiM + 0 :M x k j Khi ®ã theo bæ ®Ò Nakayama ta cã qiM : x n j = qiM + 0 :M x k j víi mäi n ≥ k. KÕt qu¶ d­íi ®©y lµ ®Þnh lý chÝnh cña ch­¬ng nµy 2.1.6 §Þnh lý. Cho (R,m) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng Noether.M lµ R− m«®un h÷a h¹n sinh. Khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: (i) M lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y. (ii) Mäi hÖ tham sè tèt cña M cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè. (iii) Tån t¹i hÖ tham sè tèt cña M cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè. Chøng minh. (i)⇒ (ii). Cho x = x1, . . . , xd lµ hÖ tham sè tèt cña M . Ta ph¶i chøng minh ®¼ng thøc qnM = ⋂ α∈Λd,n q(α)M ®óng víi q lµ i®ªan tham sè sinh bëi x vµ q(α) = (xα11 , . . . , x αd d ), (α1, . . . , αd) = α ∈ Λd,n. KÝ hiÖu D : D0 ⊂ D1 ⊂, . . . , Dt = M lµ läc chiÒu cñaM . Ta sÏ chøng minh b»ng quy n¹p theo ®é dµi t cña läc chiÒu D cña M r»ng x cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè. ThËt vËy, víi t = 1 khi ®ã M lµ R− m«®un Cohen-Macaulay, x1, . . . , xd lµ d·y M− chÝnh quy do ®ã nã cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè. Víi t > 1 ®Æt M = M/Dt−1. V× x = x1, . . . , xd lµ hÖ tham sè cña M nªn x lµ hÖ tham sè cñaM mÆt kh¸c v×M lµ m«®un Cohen-Macaulay víi dimRM = d nªn x lµ M− chÝnh quy ta cã qnM = ⋂ α∈Λd,n q(α)M, ∀n ≥ 1. 25 Cho x ∈ ⋂ α∈Λd,n q(α)M khi ®ã ta cã x ∈ qnM, trong ®ã x lµ ¶nh cña x trong M do ®ã x ∈ qnM + Dt−1. VËy ⋂ α∈Λd,n q(α)M ⊆ qnM + Dt−1. V× xα11 , . . . , x αd d lµ hÖ tham sè tèt cñaM víi ∀α ∈ Λd,n vµ theo bæ ®Ò 1.3.8 lµ q(α)M ∩Dt−1 = (xα11 , . . . , x αdt−1 dt−1 )Dt−1. Do vËy⋂ α∈Λd,n q(α)M = [ ⋂ α∈Λd,n q(α)M ] ∩ [qnM +Dt−1] = [ ⋂ α∈Λd,n q(α)M ∩ qnM ] + [ ⋂ α∈Λd,n q(α)M ∩Dt−1] = qnM + ⋂ α∈Λd,n [q(α)M ∩Dt−1] = qnM + ⋂ α∈Λd,n (xα11 , . . . , x αdt−1 dt−1 )Dt−1 Ta lu«n cã (β1, . . . , βdt−1, 1, . . . , 1) ∈ Λd,n víi bÊt kú (β1, . . . , βdt−1) ∈ Λdt−1,n vµ ®é dµi cña läc chiÒu cña m«®un Cohen-Macaulay d·y Dt−1 lµ t− 1. Do ®ã theo gi¶ thiÕt quy n¹p ta cã⋂ (α1,...,αd)∈Λd,n (xα11 , . . . , x αdt−1 dt−1 )Dt−1 ⊆ ⋂ (β1,...,βdt−1)∈Λdt−1,n (xβ11 , . . . , x βdt−1 dt−1 )Dt−1 = (x1, x2, . . . , xdt−1) nDt−1 ⊆ qnM Suy ra ⋂ α∈Λd,n q(α)M = qnM . (ii)⇒(iii). V× mäi hÖ tham sè cña M cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè nªn lu«n tån t¹i mét hÖ tham sè nµo ®ã cñaM cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè. (iii)⇒ (i). Cho x = x1, . . . , xd lµ hÖ tham sè tèt cñaM cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè. Ta ph¶i chøng minh M lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y hay t­¬ng ®­¬ng víi chøng minh Ds/Ds−1,∀s = 1, . . . , t lµ m«dun Cohen- 26 Macaulay víi D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M lµ läc chiÒu cña M . §Ó chøng minh ®iÒu ®ã tr­íc hÕt ta chøng minh r»ng (qiM +Ds) : xi+1 = qiM +Ds víi ∀i < ds+1 vµ s = 0, . . . , t− 1. ThËt vËy, theo bæ ®Ò 2.1.5 sÏ tån t¹i sè nguyªn k sao cho qiM : x k i+1 = qiM + 0 :M x k i+1 qiM : x k+1 ds+1 = qiM + 0 :M x k ds+1 . H¬n n÷a theo bæ ®Ò 1.3.5 cã 0 :M x k i+1 ⊆ 0 :M xkds+1. Khi ®ã ta cã (qiM + 0 :M xds+1) : x k i+1 ⊆ qiM : xds+1xki+1 = (qiM + 0 :M x k i+1) : xds+1 ⊆ qiM : xk+1ds+1 = qiM + 0 :M x k ds+1 mµ theo bæ ®Ò 1.3.5 cã Ds = 0 : x k ds+1 do ®ã (qiM +Ds) : x k i+1 = qiM ⊆ (qiM +Ds) : xi+1 víi ∀i < ds+1 suy ra (qiM +Ds) : xi+1 = qiM +Ds. Ta cã depthM/Ds ≥ ds+1 víi s = 0, . . . , t− 1. nªn tõ d·y khíp ng¾n 0 −→ Ds/Ds−1 −→M/Ds−1 −→M/Ds −→ 0 kÐo theo Ds/Ds−1 lµ m«®un Cohen-Macaulay víi ∀s = 1, . . . , t hayM lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y. 2.1.7 HÖ qu¶. Cho dimM ≥ 2 vµ H0m(M) lµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph­¬ng thø 0 cña M øng víi i®ªan tèi ®¹i m. Khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: (i) M/H0m(M) lµ m«®un Cohen-Macaulay vµ mH 0 m(M) = 0. (ii) Mäi hÖ tham sè cña M cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè. 27 Chøng minh. (i)⇒ (ii). Theo gi¶ thiÕtM/H0m(M) lµ m«®un Cohen-Macaulay nªn M lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y víi läc chiÒu D : H0m(M) ⊂ M . H¬n n÷a, theo bæ ®Ò 1.2.11 ta cã (x1, . . . , xd)M ∩H0m(M) = (x1, . . . , xd)H0m(M) mÆt kh¸c (x1, . . . , xd)H 0 m(M) ⊆ mH0m(M) = 0 víi bÊt kú hÖ tham sè x1, . . . , xd cña M . Suy ra (x1, . . . , xd)M ∩ H0m(M) = 0. §iÒu nµy cã nghÜa r»ng mäi hÖ tham sè cña M lµ tèt, do ®ã theo ®Þnh lý chÝnh nã cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè. (ii)⇒ (i). V× mäi hÖ tham sè cñaM cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè nªn theo ®Þnh lý chÝnh M lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y hay ta cã M/H0m(M) lµ m«®un Cohen-Macaulay. Ta cßn ph¶i chøng minh mH0m(M) = 0.Ta sÏ chøng minh mDt−1 = 0. ThËt vËy gi¶ sö ng­îc l¹i. Khi ®ã tån t¹i mét phÇn tö x1 ∈ m sao cho x1Dt−1 6= 0 vµ dimM/x1M = d−1. V× d ≥ 2 nªn ta cã thÓ chän x2 ∈ m sao cho x2Dt−2 = 0 vµ dimM/(x1, x2)M = d− 2. Ta dÔ thÊy r»ng d·y x1, x2 vµ x1, x1 + x2 lµ c¸c phÇn tö cña hÖ tham sè cña M . Do ®ã, theo gi¶ thiÕt vµ bæ ®Ò 2.1.3(i) ta cã (x21, x1 + x2)M ∩ (x1, (x1 + x2)2)M = (x1, x1 + x2)2M = (x1, x2) 2M = (x21, x2)M ∩ (x1, x22)M. V× M/Dt−1 lµ m«®un Cohen-Macaulay, tõ bæ ®Ò 1.2.11 cã x1Dt−1 = (x21, x1 + x2)Dt−1 ∩ (x1, (x1 + x2)2)Dt−1 = (x21, x2)Dt−1 ∩ (x1, x22)Dt−1 = x21Dt−1. Theo bæ ®Ò Nakayama ta cã x1Dt−1 = 0. Suy ra mDt−1 = 0. 28 2.2 §a thøc Hilbert-Samuel cñam«®un Cohen-Macaulay d·y PhÇn trªn ®· cho ta thÊy mét m«®un Cohen-Macaulay d·yM cã thÓ ®­îc ®Æc tr­ng bëi tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè cña hÖ tham sè tèt nh­ thÕ nµo, trong phÇn nµy ta sÏ chØ ra r»ng víiM lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y th× hµm Hilbert-Samuel Fq,M(n) = l(M/q n+1M) lµ mét biÓu thøc ®Æc biÖt víi hÖ sè kh«ng ©m, nã cã thÓ tÝnh to¸n ®­îc b»ng läc chiÒu vµ hµm nµy trïng víi ®a thøc Hilbert-Samuel Pq,M(n) víi bÊt k× i®ªan tham sè tèt q nµo cña M vµ víi mäi n ≥ 1. H¬n n÷a m«®un Cohen-Macaulay d·y M cã thÓ ®­îc ®Æc tr­ng bëi biÓu thøc nµy cña hµm Hilbert-Samuel. Tr­íc tiªn ta b¾t ®Çu b»ng viÖc chøng minh hai bæ ®Ò sau. 2.2.1 Bæ ®Ò. Cho q lµ i®ªan tham sè tèt cña m«®un Cohen-Macaulay d·y M . Khi ®ã qnM ∩Di = qnDi víi ∀n ≥ 1 vµ i = 0, . . . , t. Chøng minh. Cho q lµ i®ªan tham sè tèt cña M vµ x1, . . . , xd lµ hÖ tham sè tèt cña m ta ký hiÖu qM = (x1, . . . , xd)M . Víi ∀n ≥ 1 vµ i = 0, . . . , t ta lu«n cã qnDi ⊆ qnM ∩Di. Ta cßn ph¶i chøng minh qnM ∩Di ⊆ qnDi. ThËt vËy ta cã qnM ∩Di = [ ⋂ α∈Λd,n q(α)M ] ∩Di = ⋂ α∈Λd,n (q(α)M ∩Di) = ⋂ α∈Λd,n (xα11 , . . . , x αdi di )Di. 29 MÆt kh¸c ta lu«n cã (β1, . . . , βdi, 1, . . . , 1) ∈ Λd,n víi ∀(β1, . . . , βdi) ∈ Λdi,n. Do ®ã theo ®Þnh lý 2.1.6 ta cã⋂ α∈Λd,n (xα11 , . . . , x αdi di )Di ⊆ ⋂ (β1,...,βdi)∈Λdi,n (xβ11 , . . . , x βdi di )Di = (x1, . . . , xdi) nDi. Suy ra qnM ∩Di ⊆ (x1, . . . , xdi)nDi ⊆ qnDi. VËy ta cã qnM ∩Di = qnDi víi ∀n ≥ 1 vµ i = 0, . . . , t. 2.2.2 Bæ ®Ò. Cho q lµ i®ªan tham sè cña m«®un M.Khi ®ã l(M/qn+1M) ≤ ( n+ d d ) l(M/qM). H¬n n÷a, bÊt ®¼ng thøc trë thµnh ®¼ng thøc khi vµ chØ khi M lµ m«®un Cohen-Macaulay. Chøng minh. Gi¶ sö q = (x1, . . . , xd) lµ i®ªan tham sè cña M . Ta ®Æt N = (M/qM)[X1, . . . , Xd] vµ grq(M) = ∞⊕ i=0 qiM/qi+1M khi ®ã ta cã toµn cÊu ϕ : N −→ grq(M) x¸c ®Þnh bëi ϕ(Xi) = xi = xi + q2M ∈ qM/q2M . §Æt Q = Kerϕ. Theo ®Þnh lý ®ång cÊu m«®un cã N/Q ∼= grq(M). Gäi J lµ i®ªan sinh bëi X1, . . . , Xd suy ra N/JN ∼= M/qM vµ M/qnM ∼= N/JnN +Q. Do ®ã l(M/qn+1M) = l(N/Jn+1N +Q) = l(N/Jn+1N)− l(Jn+1N +Q/Jn+1N) ≤ l(N/Jn+1N) 30 mÆt kh¸c ta cã l(N/Jn+1N) = ( n+ d d ) l(N/JN) = ( n+ d d ) l(M/qM). Suy ra l(M/qn+1M) ≤ ( n+ d d ) l(M/qM). H¬n n÷a, bÊt ®¼ng thøc trë thµnh ®¼ng thøc khi vµ chØ khi ϕ lµ ®¼ng cÊu hay M lµ m«®un Cohen-Macaulay. 2.2.3 §Þnh lý. Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M lµ läc chiÒu cña M vµ ®Æt Di = Di/Di−1 víi mäi i = 1, . . . , t,D0 = D0. Khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau lµ t­¬ng ®­¬ng: (i) M lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y. (ii) Víi bÊt kú i®ªan tham sè tèt q cña M , ®¼ng thøc l(M/qn+1M) = t∑ i=0 ( n+ di di ) l(Di/qDi) ®óng víi mäi n ≥ 0. (iii) Tån t¹i i®ªan tham sè tèt q cña M sao cho ®¼ng thøc l(M/qn+1M) = t∑ i=0 ( n+ di di ) l(Di/qDi) ®óng víi mäi n ≥ 0. Chøng minh. (i)⇒ (ii). Ta chøng minh b»ng quy n¹p theo ®é dµi t cña läc chiÒu D cña M. Tr­êng hîp t = 0 lµ hiÓn nhiªn v×M lµ m«®un Cohen-Macaulay nªn theo bæ ®Ò trªn l(M/qn+1M) = ( n+d d ) l(M/qM) = ( n+d0 d0 ) l(D0/qD0). 31 Gi¶ sö t > 0. Ta lu«n cã d·y khíp ng¾n sau 0 −→ qn+1M+Dt−1/qn+1M −→M/qn+1M −→M/qn+1M+Dt−1 −→ 0. Theo ®Þnh lý ®ång cÊu m«®un ta cã qn+1M +Dt−1/qn+1M ∼= Dt−1/qn+1M ∩Dt−1. MÆt kh¸c theo bæ ®Ò 2.2.1 ta cã qn+1M ∩ Dt−1 = qn+1Dt−1 nªn suy ra qn+1M +Dt−1/qn+1M ∼= Dt−1/qn+1Dt−1. Do ®ã ta cã d·y khíp ng¾n 0 −→ Dt−1/qn+1Dt−1 −→M/qn+1M −→M/qn+1M +Dt−1 −→ 0, suy ra ta cã l(M/qn+1M) = l(Dt−1/qn+1Dt−1) + l(Dt/qn+1Dt). V×Dt−1 lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y vµ läc chiÒu cña nã cã ®é dµi t−1 theo gi¶ thiÕt quy n¹p ta cã l(Dt−1/qn+1Dt−1) = t−1∑ i=0 ( n+ di di ) l(Di/qDi) mÆt kh¸c Dt lµ m«®un Cohen-Macaulay víi chiÒu d = dt, ta cã l(Dt/q n+1Dt) = ( n+ d d ) l(Dt/qDt). Suy ra l(M/qn+1M) = t∑ i=0 ( n+ di di ) l(Di/qDi) ®óng víi mäi n ≥ 0. (ii)⇒ (iii) lµ hiÓn nhiªn. 32 (iii)⇒ (i). V× d·y sau lµ khíp Dt−1/qn+1Dt−1 −→M/qn+1M −→M/qn+1M +Dt−1 −→ 0, nªn ta cã l(M/qn+1M) ≤ l(Dt−1/qn+1Dt−1) + l(Dt/qn+1Dt). Do ®ã, tõ sù quy n¹p theo ®é dµi cña läc chiÒu ta cã thÓ chØ ra r»ng l(M/qn+1M) ≤ t∑ i=0 l(Di/q n+1Di). MÆt kh¸c theo bæ ®Ò 2.2.2 cã l(Di/q n+1Di) ≤ ( n+ di di ) l(Di/qDi) víi ∀i = 0, . . . , t, nªn theo gi¶ thiÕt (iii) ta cã l(M/qn+1M) ≤ t∑ i=0 l(Di/q n+1Di) ≤ t∑ i=0 ( n+ di di ) l(Di/qDi). do ®ã l(Di/qDi) = ( n+di di ) l(Di/qDi) víi ∀i = 0, . . . , t. Do vËy Di lµ m«®un Cohen-Macaulay víi ∀i = 0, . . . , t (còng theo bæ ®Ò 2.2.2). Do ®ã M lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y. 2.3 VÝ dô Cho S lµ vµnh ®Þa ph­¬ng chÝnh quy víi dimS = 3, m lµ i®ªan tèi ®¹i cña S vµ gi¶ söm = (X, Y, Z) víiX, Y, Z ∈ S. §Æt R = S/(X, Y )∩(Z). Gäi x, y, z t­¬ng øng lµ ¶nh cñaX, Y, Z trong R, ®ång thêi ®Æt Q = (x+z, y). Khi ®ã ta cã 33 (1) Qn = ⋂ α∈Λ2,n (x+ z, y;α) vµ lR(R/Q n) = n 2+3n 2 víi ∀n ≥ 1. (2) §Æt b1 = x + z vµ b2 = x + y + z khi ®ã Q = (b1, b2) vµ víi ∀n ≥ 1 th× lR(R/ ⋂ α∈Λ2,n (b;α)) =  n2 + 2n 2 nÕu n = 2q, q ∈ Z (n+ 1)2 2 nÕu n = 2q + 1, q ∈ Z do ®ã hµm lR(R/ ⋂ α∈Λ2,n (b;α)) kh«ng trïng víi mét ®a thøc cña n nªn Qn 6= ⋂ α∈Λ2,n (b;α) víi n ≥ 2 nµo ®ã vµ supn>0 lR([ ⋂ α∈Λ2,n (b;α)]/Qn) =∞. Chøng minh. (1) Tr­íc hÕt ta chøng minh dimR = 2. ThËt vËy, tõ gi¶ thiÕt bµi to¸n ta cã R/(X, Y ), R/(Z) lµ vµnh ®Þa ph­¬ng chÝnh quy vµ v× vËy lµ miÒn nguyªn, suy ra (X, Y ), (Z) lµ c¸c i®ªan nguyªn tè vËy AssR = Ass(S/(X, Y ) ∩ (Z)) = {(X, Y ), (Z)}. Do S/(0) vµ S lµ miÒn nguyªn nªn (0) lµ i®ªan nguyªn tè cña S. Gi¶ sö P0 ⊂ P1 ⊂ . . . ⊂ Pd lµ d·y c¸c i®ªan nguyªn tè trong S chøa P ∈ AssR th× lu«n cã (0) ⊂ P1 ⊂ . . . Pd lµ d·y c¸c i®ªan nguyªn tè trong S. VËy dimR < dimS h¬n n÷a (Z) ⊂ (Z,X) ⊂ (Z,X, Y ) = m lµ mét d·y c¸c i®ªan nguyªn tè chøa (Z) ∈ AssR vµ cã ®é dµi b»ng 2 vËy ta cã dimR = 2. TiÕp theo, ®Æt a1 = x + z, a2 = y, I = (z). §Ó chøng minh Q n = ⋂ α∈Λ2,n (a1, a2;α) ta sÏ chøng minh (i) Vµnh R = S/(X, Y ) ∩ (Z) lµ vµnh Cohen-Macaulay d·y víi läc (0) ⊂ (Z)/(X, Y ) ∩ (Z) ⊂ R. (ii) (a1, a2) lµ hÖ tham sè tèt cña R. ThËt vËy, ta cã R/I = S/((X, Y ) ∩ (Z))/(Z)/((X, Y ) ∩ (Z)) ∼= S/(Z). Do S lµ vµnh chÝnh quy vµ Z lµ mét phÇn cña hÖ tham sè chÝnh quy nªn 34 S/(Z) còng lµ vµnh chÝnh quy, vËy S/(Z) lµ vµnh Cohen-Macaulay vµ dimR/I = 2 hay R/I lµ vµnh Cohen-Macaulay (*). TiÕp theo ta cã I = (Z)/((X, Y ) ∩ (Z)) ∼= (X, Y, Z)/(X, Y ) do X, Y, Z lµ R− chÝnh quy nªn Z lµ S/(X, Y )− chÝnh quy tõ ®©y ta cã S− ®ång cÊu θ : S/(X, Y ) −→ S/(X, Y ) x¸c ®Þnh bëi θ(u) = uZ. Ker(θ) = AnnS/(X,Y )(Z) = 0 vµ Im(θ) = Z(S/(X, Y )) = (X, Y, Z)/(X, Y ) = m/(X, Y ) Suy ra S/(X, Y ) ∼= m/(X, Y ) ∼= I . MÆt kh¸c S/(X, Y ) lµ vµnh Cohen- Macaulay vµ dimS/(X, Y ) = 1 nªn I lµ R− m«®un Cohen-Macaulay vµ dimR I = dimS/(X, Y ) = 1 (**). Tõ (*) vµ (**) suy ra R lµ vµnh Cohen-Macaulay d·y. Ta cã (a1, a2) lµ hÖ tham sè tèt cña R. ThËt vËy, gäi a1, a2 lµ ¶nh cña a1, a2 trong R/(z). Ta cã (a1, a2)R/(z) = (x+z, y, z)/(z) = (x, y, z)/(z) lµ i®ªan cùc ®¹i cñaR/(z), MÆt kh¸c dimR = dimR/(z) = 2 nªn (a1, a2) lµ hÖ tham sè cña R/(z)vµ còng suy ra (a1, a2) lµ hÖ tham sè cña R h¬n n÷a ta cã a2I = (yz) = 0 nªn (a1, a2) lµ hÖ tham sè tèt cña R. Tõ (i) vµ (ii) theo ®Þnh lý 2.1.5 ta cã Qn = ⋂ α∈Λ2,n (a1, a2;α). Cuèi cïng ta sÏ chøng minh lR(R/Q n) = n 2+3n 2 ,∀n ≥ 1. Tr­íc hÕt ta thÊy nÕu ϕ : M −→ N lµ R− ®ång cÊu m«®un th× ta cã d·y khíp 0 −→ M/Kerϕ −→ N −→ N/ Imϕ −→ 0 víi α : M/Kerϕ −→ N x¸c ®inh bëi α(m+ Kerϕ) = ϕ(m) vµ β lµ toµn cÊu tù nhiªn. Ta cã R− ®ång cÊu m«®un ϕ : I −→ R/(al1, am2 ) trong ®ã ϕ = pi víi i : I −→ R lµ ®¬n cÊu chÝnh t¾c vµ p : R −→ R/(al1, am2 ) lµ toµn cÊu tù nhiªn vËy ta cã d·y khíp 0 −→ I/Kerϕ −→ R/(al1, am2 ) −→ (R/(al1, am2 ))/ Imϕ −→ 0 35 víi ϕ ®Þnh nghÜa nh­ trªn th× ta cã Imϕ = (I + (al1, a m 2 ))/(a l 1, a m 2 ) vµ Kerϕ = I ∩ (al1, am2 ). Do R/I ∼= S/(Z) nªn ta cã (R/(al1, a m 2 ))/ Imϕ ∼= R/(I + (al1, am2 )) ∼= (S/Z)/((X + Z)l, Y m, Z)S/(Z) ∼= S/((X + Z)l, Y m, Z) = S/(X l, Y m, Z). Ta cã Kerϕ = I ∩ (al1, am2 ) nh­ng (al1, am2 ) lµ R/I− chÝnh quy nªn I ∩ (al1, a m 2 ) = (a l 1, a m 2 )I . MÆt kh¸c I ∼= S/(X, Y ) nªn I/Kerϕ = I/(al1, a m 2 )I ∼= S/(X, Y )/((X + Z)l, Y m)S/(X, Y ) ∼= S/((X + Z)l, Y m, X, Y ) = S/(X, Y, Z l). VËy ta cã d·y khíp 0 −→ S/(X, Y, Z l) −→ R/(al1, am2 ) −→ S/(X l, Y m, Z) −→ 0, ∀l,m ≥ 1. Do ®ã ta cã lR(R/(a l 1, a m 2 )) = lR(S/(X, Y, Z l)) + lR(S/(X l, Y m, Z)) = e(X, Y, Z l;S) + e(X l, Y m, Z;S) = l.e(X, Y, Z;S) +ml.e(X, Y, Z;S) = l(m+ 1). 36 VËy ta cã lR(R/Q n) = lR(R/ ⋂ α∈Λ2,n (a1, a2;α)) = n∑ i=1 lR(R/(a n+1−i 1 , a i 2))− n−1∑ i=1 lR(R/(a n−i 1 , a i 2)) = n∑ i=1 (n+ 1− i)(i+ 1)− n−1∑ i=1 (n− 1)(i+ 1) = n∑ i=1 (i+ 1) = n2 + 3n 2 . (2) DÔ thÊy Q = (x+ z, x+ y + z) = (x+ z, y) hay Q = (b1, b2). Gäi b1, b2 lµ ¶nh cña b1, b2 trong R/(z). Khi ®ã cã (b1, b2)R/(z) = (x+ z, x+ y + z, z)/(z) = (x, y, z)/(z) lµ i®ªan cùc ®¹i cña R/(z) nªn b1, b2 lµ hÖ tham sè cña R/(z) hay lµ hÖ tham sè cña R/I . Chøng minh t­¬ng tù nh­ (1) víi ϕ = pi trong ®ã i : I −→ R lµ ®¬n cÊu chÝnh t¾c vµ p : R −→ R/(bl1, bm2 ) lµ toµn cÊu tù nhiªn ta cã (R/(bl1, b m 2 ))/ Imϕ = R/(I + (b l 1, b m 2 )) ∼= (S/Z)/((X + Z)l, (X + Y + Z)m, Z)S/(Z) ∼= S/(X l, (X + Y )m, Z) MÆt kh¸c Kerϕ = I ∩ (bl1, bm2 ) = (bl1, bm2 )I vµ I/Kerϕ = I/(bl1, b m 2 )I ∼= S/(X, Y )/((X + Z)l, (X + Y + Z)m, X, Y )S/(X, Y ) ∼= S/(X, Y, (Z l, Zm)). 37 VËy ta cã d·y khíp ng¾n 0 −→ S/(X, Y, (Z l, Zm)) −→ R/(bl1, bm2 ) −→ S/(X l, (X+Y )m, Z) −→ 0. Do ®ã lR(R/(b l 1, b m 2 )) = lR(S/(X, Y, (Z l, Zm))) + lR(S/(X l, (X + Y )m, Z)) = e(X, Y, (Z l, Zm);S) + e(X l, (X + Y )m, Z;S). VËy lR(R/(b l 1, b m 2 )) = lm + min{l,m}. Khi ®ã theo [4, MÖnh ®Ò 4.3] ta cã lR(R/ ⋂ α∈Λ2+n (b1, b2;α)) = = n∑ i=1 lR(R/(b n+1−i 1 , b i 2))− n−1∑ i=1 lR(R/(b n−i 1 , b i 2)) = n∑ i=1 (n+ 1− i)i+ min{n+ 1− i, i} − n−1∑ i=1 (n− i)i+ min{n− i, i} = n+ 1 + (n− 1)n/2 + n−1∑ i=1 (min{n+ 1− i, i} −min{n− i, i}). NÕu n ch½n tøc lµ n = 2q, q ∈ Z th× lR(R/ ⋂ α∈Λ2+n (b1, b2;α)) = n2+n 2 . NÕu n lÎ tøc lµ n = 2q + 1, q ∈ Z th× lR(R/ ⋂ α∈Λ2+n (b1, b2;α)) = (n+1)2 2 . Tõ ®ã ta thÊy lR(R/ ⋂ α∈Λ2+n (b1, b2;α)) kh«ng ph¶i lµ ®a thøc cña nmµ ta biÕt ph¶i tån t¹i sè tù nhiªn N ®ñ lín sao cho lR(R/Q n) trïng víi mét ®a thøc Èn n víi ∀n ≥ N . Do ®ã ⋂ α∈Λ2,n (b1, b2;α) 6= Qn. Cho n = 2q, q ≥ 1 38 th× ta cã lR(R/ ⋂ α∈Λ2,n (b1, b2;α)/Q n) = lR(Q n)− lR(R/ ⋂ α∈Λ2,n (b1, b2;α)) = n2 + 3n 2 − n 2 + 2n 2 = n 2 = q. §iÒu nµy chøng tá supn>0 lR([ ⋂ α∈Λ2,n (b;α)]/Qn) <∞. Tµi liÖu tham kh¶o [1] W. Bruns and J. Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge Univer- sity Press. [2] N. T. Cuong and D. T. Cuong, On sequentially Cohen-Macaulay mod- ules, Kodai Math. J, 30 (2007), 409-428. [3] N. T. Cuong and H. L. Truong, Parametric decomposition of powers of parameter ideals and sequentially Cohen-Macaulay modules, to appear in Proc. Amer. Math. Soc. 2008. [4] S. Goto and Y. Shimoda, Parametric decomposition of powers of ideals versus regularity of sequences, Proc. Amer. Math. Soc., 132 (2003), 229-233. [5] S. Goto and Y. Shimoda On the parametric decomposition of powers of parameter ideals in a Noetherian local ring, Tokyo J. Math, 27 (2004), 125-134. [6] W. Heinzer, L. J. Ratliff and K. Shah, Parametric decomposition of monomial ideals (I), Houston J. Math., 21 (1995), 29-52. [7] H. Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986. [8] R. Y. Sharp, Steps in Commutative Algebra, Cambridge University Press, 1980. 39