Luận văn Dạy học giới hạn ở lớp 11 THPT theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động học tập của học sinh

oán học để vẽ hình, đồ thị.. Ví dụ 4: Với các quy tắc, phương pháp tìm giới hạn trong giờ dạy một cách hợp lí có hiệu quả sẽ làm cho giờ học sinh động hơn, học sinh hứng thú say mê, tích cực hoạt động học tập hơn, tuy nhiên nếu lạm dụng phương tiện dạy học một cách thái quá thì kết quả giờ học sẽ ngược lại so với mong đợi . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 69 3.3.5. Kiểm tra đánh giá Học sinh là đối tượng của giáo dục, là chủ thể của quá trình giáo dục đồng thời thể hiện sản phẩm của giáo dục, đánh giá HS là nhiệm cụ trực tiếp của mỗi GV trong quá trình dạy học. Trong dạy học việc đánh giá HS đều nhằm các mục đích sau: + Đối với học sinh, việc đánh giá kích thích các hoạt động học tập cung cấp cho HS thông tin phản hồi về quá trình học tập của bản thân HS để từ đó có sự điều chỉnh quá trình học tập, việc đánh giá nếu khai thác tốt sẽ kích thích học tập không những về mặt lĩnh hội tri thức, rèn luyện kỹ năng mà còn cả về mặt phát triển năng lực trí tuệ, tư duy sáng tạo và trí thông minh, việc kiểm tra đánh giá nếu được tổ chức tốt sẽ giúp cho HS nâng cao được tinh thần trách nhiệm trong học tập, có ý trí vươn lên để đạt được kết quả cao hơn, củng cố niềm tin vào khả năng của minh, nâng cao ý thức tự giác khắc phục tính chủ quan tự mãn và đặc biệt là phát triển năng lực tự đánh giá. + Đối với giáo viên: Việc kiểm tra đánh giá HS cung cấp những thông tin cần thiết giúp cho GV xác định đúng điểm xuất phát hoặc điểm kế tiếp của quá trình dạy học biết được kết quả học tập của từng HS, những sai sót của từng HS, nguồn gốc của những sai sót đó, và cung thông qua việc kiểm tra đánh giá GV biết được hiệu quả của những phương pháp, phương tiện và hình thức tổ chức dạy học mà mình đang thực hiện Để đạt được các mục tiêu trên yêu cầu của GV trong quá trình kiểm tra đánh giá là: + Phải khách quan + Phải toàn diện + Phải có hệ thống +Phải công khai Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 70 Những cách thông thƣờng khi kiểm tra đánh giá a. Quan sát theo dõi học sinh thƣờng xuyên Đây là phương pháp kiểm tra đánh giá có hiệu quả, nó được thực hiện nhờ quan sát có hệ thống hoạt động của lớp học và cá nhân từng HS trong tất cả các khâu của quá trình dạy học chẳng hạn: Trong một giờ học, HS sôi nổi hào hứng, nét mặt tươi vui phấn khởi sẵn sàng trả lời các câu hỏi mà GV đặt ra điều đó chứng tỏ HS hiểu bài, tiếp thu được bài. Theo dõi quá trình làm bài tập của HS vì ở quá trình này thể hiện sự tư duy sáng tạo của HS hay những sai lầm mà HS thường mắc phải. b. Kiểm tra miệng Hình thức kiếm tra này giúp GV có được thông tin phản hồi một cách nhanh nhất để hình thức kiểm tra này đạt kết quả cao giáo viên cần chú ý 1 số yêu cầu sau: + Phải căn cứ vào chương trình, tình hình lớp học để xác định rõ mục tiêu và nội dung kiểm tra + Câu hỏi kiểm tra phải phù hợp với đối tượng HS cần kiểm tra, chú ý tránh dạng câu hỏi vụn vặt, hạn chế những câu hỏi chỉ yêu cầu tái hiện kiến thức một cách thuần túy. + Nêu câu hỏi chung cho cả lớp cùng suy nghĩ rồi mới chỉ định HS trả lời. + GV lắng nghe câu trả lời của HS, tránh cắt ngang nếu cần thì gợi ý, khuyến khích HS hoàn thành phần trả lời + Sau mỗi câu trả lời của HS yêu cầu cả lớp nhận xét bổ xung khi cần thiết. Cần có cả câu hỏi đòi hỏi cần vận dụng cả kiến thức tổng hợp, khuyến khích suy nghĩ tích cực, qua đó sẽ thu hút được mọi đối tượng học sinh c. Kiểm tra viết: Để làm tốt việc kiểm tra viết Giáo viên cần lưu ý một số điểm sau: + Đề bài phải phù hợp với nội dung chương trình có tác dụng phân loại học sinh. + Đáp án rõ ràng, thang điểm hợp lý. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 71 + Nên sử dụng phối hợp đề kiểm tra tư luận với chắc nghiệm khách quan để phát huy được thế mạnh của từng loại đề kiểm tra d, Kiểm tra bài tập về nhà của học sinh Công việc này có tác dụng giáo dục ý thức của HS, qua làm bài tập ở nhà HS củng cố, đào sâu kiến thức. KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 Để thực hiện mục tiêu dạy học giới hạn lớp 11 THPT theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của HS. Luận văn đã đề cập đến những vấn đề cụ thể trong dạy học giới hạn đó là: Dạy học khái niệm, dạy học định lý, dạy học quy tắc và dạy học bài tập. Với các biện pháp: Tổ chức các hoạt động của HS phù hợp với nội dung bài dạy, truyền thụ tri thức phương pháp qua mỗi bài dạy, kết hợp nhiều phương pháp dạy học, sử dụng phương tiện hợp lý có hiệu quả và kiểm tra đánh giá. Được thể hiện trong các bài soạn ở chương 3. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 72 Chƣơng 3 THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1 Mục đích thực nghiệm - Nhằm kiểm tra tính khả thi và tính hiệu quả của phương án dạy học theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động học tập của HS khi dạy phần giới hạn. 3.2 Nội dung thực nghiệm Xây dựng một số giáo án giảng dạy phần giới hạn ở lớp 11 THPT theo hướng phát huy tính tích cực học tập của học sinh (Theo chương trình sách giáo khoa ban cơ bản). Các tiết dạy thực nghiệm bao gồm các tiết dạy lý thuyết và dạy bài tập.Thể hiện các tình huống điển hình với các biện pháp đã nêu ở chương II. MỘT SỐ GIÁO ÁN DẠY THỰC NGHIỆM Tiết 49: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. Mục tiêu 1. Mục đích sư phạm Vận dụng các biện pháp tích cực vào tình huống dạy học khái niệm. Nhằm phát huy tính tích cực của học sinh làm cho học sinh học trong hoạt động và bằng hoạt động. 2. Kiến thức + Học sinh nắm được định nghĩa giới hạn 0, giới hạn a của dãy số + Nắm được các giới hạn đặc biệt 3. Kỹ năng + Vận dụng định nghĩa, các giới hạn đặc biệt, giới hạn hữu hạn để tìm giới hạn của dãy số. + Vận dụng định nghĩa để chứng minh một dãy số có giới hạn là a Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 73 4. Thái độ + Tự giác tích cực trong học tập + Tư duy các vấn đề toán học một cách logic và có hệ thống. B. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh 1 Học sinh : + Ôn lại các kiến thức về dãy số + Đọc trước phần 1 của bài giới hạn của dãy số 2. Giáo viên + Các câu hỏi gợi mở + Phiếu học tập + Bảng phụ, máy chiếu và các đồ dùng khác. C. Hoạt động dạy học Hoạt động 1: Đảm bảo trình độ xuất phát + Chia lớp thành 4 nhóm + Mỗi nhóm hoàn thành phiếu học tập của mình Nhóm 1 Nhóm 2 Phiếu 2: Cho dãy số (vn) với 2 1 v n n n a.Xét tính tăng giảm, bị chặn của (vn) b. Biểu diễn các số hạng của (vn) trên trục số, có nhận xét gì về sự sắp xếp các số hạng của (vn) trên trục số. Phiếu 1: Cho dãy số (un) với 1 un n a.Xét tính tăng giảm, bị chặn của (un) b. Biểu diễn các số hạng của (un) trên trục số, có nhận xét gì về sự sắp xếp các số hạng của (un) trên trục số. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 74 Nhóm 3 Nhóm 4 Học sinh + Các nhóm hoàn thành phiếu học tập của mình trong 5 phút + Cử đại diện trình bày kết quả (dùng máy chiếu) + Các nhóm khác nhận xét bổ xung vào kết quả của nhóm bạn khi cần GV Nhận xét bổ xung vào bài làm của học sinh và thông báo đáp án đúng (dùng máy chiếu) Nhìn vào hình biểu diễn của (Un), (Vn),(Kn), ta thấy khi n càng tăng thì các số hạng của (Un) càng càng dần sát tới 0, các số hạng của (Vn) tiến sát tới 2, các số hạng của (Kn) luôn tiến từ 2 phía dần về 0.Khi đó ta nói rằng các dãy số (Un), (Vn),(Kn) có giới hạn hữu hạn khi n càng lớn. Vậy thế nào là giới hạn hữu hạn của dãy số. Phiếu 3: Cho dãy số (Hn) với ( 1)nHn a.Xét tính tăng giảm, bị chặn của (Hn) b. Biểu diễn các số hạng của (Hn) trên trục số, có nhận xét gì về sự sắp xếp các số hạng của (Hn) trên trục số. Phiếu 4: Cho dãy số (Kn) với 2 ( 1)n K nn a.Xét tính tăng giảm, bị chặn của (Kn) b. Biểu diễn các số hạng của (Kn) trên trục số, có nhận xét gì về sự sắp xếp các số hạng của (Kn) trên trục số. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 75 I.Giới hạn hữu hạn của dãy số 1.Định nghĩa: Hoạt động 2: Xây dựng định nghĩa giới hạn 0 và giới hạn a của dãy số Xét dãy số (Un) với 1 un n ( ở trên) Nhận xét khoảng cách từ (Un) tới 0 thay đổi như thế nào khi n trở nên rất lớn? + Khoảng cách từ (Un) đến 0 trở nên rất nhỏ, nhỏ hơn 1 số dương bé tùy ý khi n rất lớn. Với n bằng bao nhiêu thì khoảng cách từ (Un) tới 0 bằng 0,01; 0,0001; 0,0000001 + Với n = 100 thì khoảng cách từ (Un) tới 0 bằng 0,01 + Với n = 10000 thì khoảng cách từ (Un) tới 0 bằng 0,0001 + Với n = 1000000 thì khoảng cách từ (Un) tới 0 bằng 0,0000001 Bắt đầu từ số hạng nào của (Un) thì khoảng cách từ (Un) tới 0 nhỏ hơn 0,0000001. Bắt đầu từ số hạng 10.000.001 của (Un) thì khoảng cách từ (Un) tới 0 nhỏ hơn 0,0000001. GV cho học sinh quan sát lại một lần nữa hình ảnh của dãy (Un) khi biểu diễn trên trục số, và quan sát bảng: Rồi kết luận : khi n càng lớn thì Un càng nhỏ, người ta cũng chứng minh được rằng 1 un n có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là un có thể nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là chọn n đủ lớn. n 1 2 … 10000 100001 … 10.000.000 10.000.001 … Un 1 10 -1 … 10 -4 10 -5 … 10 -7 10 -8 … ? ! ? ! ? ! Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 76 10 -4 Khi đó ta cũng nói rằng dãy số (Un) với 1 un n có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực Một dãy số như thế nào được gọi là có giới hạn là 0 ? GV: Nhận xét câu trả lời của HS, sửa chữa lại và yêu cầu HS khác đọc định nghĩa trong SGK Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (Un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý,kể từ số hạng nào đó trở đi. Ký hiệu 0n n LimU hay 0nU khi n Dựa vào định nghĩa lấy vài ví dụ dãy số có giới hạn là 0 Dãy 2 1 n nU n , Dãy 1 1 nU n Phát biểu định nghĩa trên ở dạng khác dựa vào ví dụ trên. Dãy (Un) có giới hạn là 0 khi n tiến tới dương vô cực Nếu (Un) có thể gần 0 bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn. GV Ta quay lại dãy (Vn) với 2 1 v n n n ở phiếu 2, với hình biểu diễn của Vn trên trục số( dùng máy chiếu) Ta nhận thấy Các số hạng của Vn tiến tới điểm 2 khi n tăng dần Dựa vào định nghĩa 1 xét dãy V ’ n với (V ’ n) = Vn – 2 Tìm , n n LimV , 2 1 1lim ( 2) lim 0n n nn n LimV n n GV Khi đó ta nói rằng dãy Vn có giới hạn là 2 khi n Vậy trong trường hợp tổng quát với dãy (Vn ) bất kỳ khi nào thì (Vn) được gọi là có giới hạn là a khi n ? ? ! ? ! ? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 77 Nêu định nghĩa giới hạn a GV Nhận xét Hoàn chỉnh định nghĩa giới hạn a của dãy số (Vn) Định nghĩa 2 Ta nói rằng dãy số (Vn) có giới hạn là a ( Hay Vn dần tới a) khi n nếu lim ( ) 0n n V a Ký hiệu lim n n V a hay nV a khi n Hoạt động 2 Củng cố định nghĩa Hãy phát biểu định nghĩa 2 theo các cách khác nhau (Hoạt động ngôn ngữ) Cách 1: Dãy (Un) được gọi là có giới hạn là a nếu khoảng cách từ Un tới a càng dần tới 0 khi n càng lớn. Cách 2: Ta nói dãy (Vn) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu *, n nn N V a U trong đó LimUn Cách 3: Dãy (Un) gọi là có giới hạn là a, khi n tăng lên vô hạn nếu có thể làm cho Un sai khác a với một lượng nhỏ bao nhiêu tùy ý miến là chọn n đủ lớn Cách 4: Dãy (Un) gọi là có giới hạn là a, khi n tăng lên vô hạn nếu Un chụm lại xung quang điểm a. Ví dụ :Bằng định nghĩa hãy chứng minh rằng ( Hoạt động nhận dạng và thể hiện) a. 3 1 lim 3 n n n b. 5 1 5 lim 2 2n n n c. 1 4 lim 4 n n n a. Ta có 3 1 3 1 3 1 3 n n n n n n mà 1 lim 0 n n ? ! Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 78 Vậy 3 1 lim 3 n n n Các ý còn lại làm tương tự 2. Một vài giới hạn đặc biệt Từ định nghĩa tìm a 1 lim n n b, lim n n q với 1q c, 1 lim kn n d, Nếu Un = C thì Lim C = ? Ta thấy : a, 1 lim 0 n n , 1 lim 0 kn n , lim 0n n q , Lim C = C (C là hằng số) GV: Các giới hạn trên được gọi là các giới hạn đặc biệt.Ta có thể áp dụng các giới hạn đặc biệt này để tìm giới hạn của dãy số khác. Hoạt động 4: Vận dụng các giới hạn đặc biệt. Tìm các giới hạn sau: a. 2 lim 1n n , b, 1 lim 2008 n n , c, lim 2008 n d, 2 2008 1 lim ( 2 1)n n n n e, lim 1 n n n n dành cho học sinh khá giỏi Giải a, 2 lim 0 1n n dựa vào định nghĩa 1 lim 0 n n b, 1 lim 0 2008 n n vì 1 1 2008 c, lim 2008 2008 n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 79 2 2008 2.2008 4007 1 , lim ( 2 1) 1 1 lim lim 0 ( 1)1 n n n n d n n n nn Chú ý : Ta có thể viết lim n n U a là lim Un = a Hoạt động 5: Củng cố toàn bài Trong bài học hôm nay chúng ta nghiên cứu những vấn đề gì? Giới hạn 0, giới hạn a, các giới hạn đặc biệt. Có phải bất kỳ dãy số (Un) cũng có giới hạn hữu hạn không? Không. Ví dụ dãy (Hn) với Hn = (-1) n là dãy không có giới hạn hữu hạn. Làm các bài tập trắc nghiệm sau: Bài 1 Mệnh đề nào sau đây đúng A. Một dãy số có giới hạn hữu hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm B. Dãy số không đổi (Un) với Un = m có giới hạn là 0 C. Dãy số q, q 2 , q 3 , q 4 , ….q n ,…. Có giới hạn là 0 D. Dãy số Un có giới hạn là 0 khi và chỉ khi dãy số nU có giới hạn là 0 Bài 2: Dãy số (Un) với 22 1 n n U n bằng E. A. 2 B. 1 2 C. 1 D. 2 Bài 3: Các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng A. Một dãy số đơn điệu tăng và bị chặn trên không có giới hạn hữu hạn B. Một dãy số đơn điệu giảm và bị chặn dưới không có giới hạn hữu hạn C. Một dãy số có giới hạn thì đơn điệu và bị chặn D. Một dãy số đơn điệu tăng (giảm) thì không có giới hạn hữu hạn. Bài tập về nhà: bài 1,2 (SGK) ? ! ? ! Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 80 Dụng ý sƣ phạm: Bài soạn trên đã thể hiện tình huống dạy học khái niệm giới hạn hữu hạn của dãy số.GV đã hướng dẫn HS tiếp cận khái niệm theo con đường quy nạp. Đồng thời thể hiện được các hoạt động củng cố khái niệm như hoạt động nhận dạng và thể hiện, hoạt động ngôn ngữ … Trong hoạt động 1 GV sử dụng phương pháp hoạt động hợp tác theo nhóm nhỏ kết hợp với phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề. Nhằm giúp HS ôn lại kiến thức về dãy số và nhận xét sự biểu diễn của các số hạng của dãy trên trục. Từ đó gợi cho HS vấn đề là vậy thì các dãy (Un),(Vn),(Kn),có tính chất gì chung? Có thể tổng quát hoá tính chất đó được không ? Tiết 52: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. Mục tiêu 1. Mục đích sư phạm Vận dụng các biện pháp tích cực vào dạy khái niệm và định lý nhằm phát huy tính tích cực hoạt động học tập của học sinh. 2. Kiến thức + Học sinh nắm được định nghĩa giới hạn tại vô cực + Các giới hạn đặc biệt + Định lý về giới hạn vô cực của dãy số 3. Kỹ năng: Vận dụng định lý và các giới hạn đặc biệt để tìm giới hạn của dãy số 4. Thái độ: + Tự giác tích cực hoạt động học tập + Tư duy các vấn đề toán học một cách logic và có hệ thống B. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh 1. Học sinh - Học và chuẩn bị nài tập về nha - Đọc trước phần IV SGK117 gạch chân phần chưa hiểu câu hỏi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 81 2. Giáo viên - Chuẩn bị câu hỏi và ví dụ sinh động - Phiếu học tập, hình vẽ - Bảng phụ, máy chiếu C. Hoạt động dạy học Hoạt động 1: Đảm bảo trình độ xuất phát Chia lớp thành 4 nhóm: Mỗi nhóm hoàn thành một phiếu học tập Nhóm 1 Nhóm 2 Nhóm 3 Nhóm 4 Phiếu 1 Cho dãy số (un) với 3 1 n n u n a, Hãy biểu diễn hình học của dãy un b, Tìm giới hạn của un Phiếu 2 Cho dãy số (vn) với vn = n+1 a, Hãy biểu diễn hình học của dãy vn b, Tìm giới hạn của vn Phiếu 4 Cho dãy số (hn) với hn = (-1 ) n (n+ 1 ) a, Hãy biểu diễn hình học của dãy hn b, Tìm giới hạn của hn Phiếu 3 Cho dãy số (wn) với wn = 3 - 2n a, Hãy biểu diễn hình học của dãy wn b, Tìm giới hạn của wn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 82 GV: + các nhóm hoàn thành phiếu học tập trong 5 phút + Các nhóm cử đại diện lên trình bầy bài giải của nhóm Dãy un có giới hạn là 3 Dãy vn tăng lên vô hạn khi n tăng lên vô hạn, vậy vn không có giới hạn hữu hạn Dãy wn càng giảm dần theo chiều âm của trục số khi n tăng lên vô hạn, vậy dãy wn không có giới hạn hữu hạn (Un) (Vn) (Wn) (Hn) GV Khi đó ta nói rằng dãy số (Vn) và (Wn) có giới hạn là vô cực Vậy thế nào là giới hạn vô cực của dãy số? 1. Định nghĩa Hoạt động 2 : Tiếp cận khái niệm GV hướng dẫn học sinh thực hiện hoạt động 2 trong SGK 117 a. Quan sát bảng sau và nhận xét về giá trị của Un khi n tăng lên vô hạn U1 … U1000 … U1000000 … Un … 0,1 … 100 … 100000 … n/10 … ! ? v4 v3 v1 v2 3 1 5 7 n+1 … w1 w2 w3 wn w4 -5 3-2n -3 -1 1 … h2 h1 h6 h3 h5 h4 -4 - 6 -2 3 5 7 0 … … u5 u4 u3 u1 u2 4 3 … Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 83 b.Với n như thế nào thì đạt được những chồng giấy có bề dày lớn hơn khoảng từ trái đất đến mặt trăng (Cho biết khoảng cách này ở một thời điểm xác định là 384000km hay 384.10 9 mm a.Khi n tăng lên vô hạn thì Un tăng lên vô hạn b.Với n = 284.10 8 thì chồng giấy có bề dày lớn hơn khoảng cách từ trài đất tới mặt trăng. GV: Người ta đã chứng minh được rằng với Un = n/10 có thể lớn hơn một số dương bất kỳ kể từ số hạng nào đó trở đi, khi đó ta nói rằng dãy số Un nói trên được gọi là dần tới dương vô cực. Vậy trong trường hợp tổng quát với dãy (Un) bất kỳ khi nào thì (Un) được gọi là dần tới dương vô cực. HS phát biểu định nghĩa theo ý hiểu của mình GV Nhận xét chính xác hóa định nghĩa HS : Nêu định nghĩa trong SGK Định nghĩa: Ta nói rằng dãy Un có giới hạn là khi n nếu Un có thể lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi Ký hiệu lim nU hay nU khi n Dãy số Un được gọi là có giới hạn khi n nếu lim( )nU Ký hiệu lim nU hay nU khi n Ví dụ : lim(2 3)n thì lim(3 2 )n GV Nhận xét + lim( ) lim( )n nU U + , không phải là các số thực cho nên không được hiểu , là các số rất lớn hay rất bé + Nếu dãy Un có giới hạn là vô cực thì hình biểu diễn của Un khi n tăng ra xa mãi theo chiều dương hoặc chiều âm của trục số. ! ? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 84 Hoạt động 3: Củng cố khái niệm Ví dụ: Cho (Un) nới Un = n 2 Khi biểu diễn (Un) trên trục số ta thấy khi n tăng lên vô hạn thì Un trở nên rất lớn chẳng hạn như khi n >100 thì Un >10.000 vậy Un >10.000 kể từ số hạng thứ 101 trở đi Tương tự Un >10 20 hay n 2 > 10 20 khi n> 10 10 Un > 10 20 kể từ số hạng thứ 10 10 +1 trở đi Theo định nghĩa trên thì lim( )nU Với 3 dãy (Vn), (Wn), (Hn) và Vn= n+1; Wn=3-2n; Hn = (-1) n (n+1) đã xét ở trên a. CMR lim( )nV và lim( )nW b. Dãy (Hn) có giới hạn là vô cực hay không? Lấy một vài ví dụ về dãy số dần tới vô cực 2. Một vài giới hạn đặc biệt HS suy ra từ định nghĩa các giới hạn sau a. lim kn b. lim nq với q >1 Dựa vào các giới hạn đặc biệt để tìm các giới hạn sau a. 2008lim(3 1)n b. 3 1lim(2008) n ta có a. 2008lim(3 1)n theo lim kn b. 3 1lim(2008) n vì lim nq , q =2008 >1 3. Định lý Hoạt động 4: Phát hiện và dự đoán định lý Tìm các giới hạn sau a. 7 lim 2 1n b. 4 lim 1 2 n c. lim12.(n+2) 2008 ? ! ? ? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 85 Dựa vào định nghĩa và các giới hạn đặc biệt ta thấy a. 7 lim 0 2 1n b. 4 lim 1 2 n c. 2008lim12.( 2)n GV Nhận xét bài làm của HS, gợi ý cho HS phân tích phát hiện và dự đoán định lý a. Ta thấy lim(2 1)n , lim 7 = 7 đặt Un =7 và Vn =2n+1 ta thấy lim 0n n U V vậy phải chăng nếu limUn = a và lim nV thì lim 0n n U V b. Ta thấy đặt Un = 4 và 1 2 n nV thì limUn = 4 và limVn = 0 4 lim 1 2 n nên lim n n U V vậy phải chăng nếu limUn = a > 0 và limVn = 0 thì lim n n U V c. Ta thấy đặt Un = 12 và V n = (n+2) 2008 thì limUn = 12 và lim nV vì 2008lim12.( 2)n nên lim( . )n nU V vậy phải chăng nếu limUn = a > 0 và lim nV thì lim( . )n nU V Học sinh nêu dự đoán của mình Gv nhận xét và khẳng định người ta đã chứng minh được rằng Định lý 2: + Nếu LimUn = a và lim nV thì lim 0n n U V + Nếu LimUn = a >0 và limVn = 0 , Vn > 0 với mọi n ! Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 86 thì lim n n U V + Nếu lim nU và limVn = a > 0 thì lim( . )n nU V HS Đọc lại một lần nữa định nghĩa Hoạt động 5: Củng cố định lý Phát biểu lại định lý theo cách khác a .Trong giới hạn của một thương nếu tử số có giới hạn là một hằng số và mẫu số có giới hạn là vô cực thì giới hạn thương đó bằng 0 b.Nếu tử số có giới hạn là 1 hằng số, mẫu số có giới hạn là 0 thì thương có giới hạn vô cực c.Trong 1 tích nếu thừa số thứ nhất có giới hạn là 1 hằng số và số thứ 2 có giới hạn vo cực thì tích có giới hạn vô cực. Ví dụ 1: Tìm 2 5 lim .3n n n GV: Đã áp dụng được định lý 2 chưa ? vì sao Ta chưa áp dụng được định lý 2 vì nó không thỏa mãn được điều kiện của định lý là cả tử và mẫu đều có giới hạn vô cực, Làm thế nào để áp dụng được định lý Chia cả tử và mẫu cho n ta được 5 2 2 5 lim lim 0 .3 3n n n n n ( Vì 5 lim(2 ) 2 n và lim(3)n ) Nêu các bước tính giới hạn trên Bước 1 Chia cả tử và mẫu cho n ( Vì tử có chứa n 1 và là lũy thừa bậc cao nhất) Bước 2 : áp dụng định lý 2 ? ? ! Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 87 Ví dụ 2 Tìm giới hạn Lim(n 2 – 2n - 1 ) Đã áp dụng được định lý 2 chưa ? Vì sao? Chưa áp dụng được định lý 2 vì đây là giới hạn của một tổng mà 2limn và lim2n Làm thế nào để áp dụng được định lý 2 Trong định lý 2 chỉ phát biểu cho giới hạn của một tích và 1 thương vậy ta đưa giới hạn trên về giới hạn của 1 tích Ta có: 2 2 2 2 1 lim( 2 1) lim .(1 )n n n n n Vì 2limn và 2 2 1 lim(1 ) 1 n n Nêu các bước tính giới hạn trên ? Bước 1 : Đặt thừa số chung, đưa giới hạn về dạng giới hạn của 1 tích Bước 2 : áp dụng định lý 2 Hoạt động 6: Củng cố toàn bài Hãy nêu sự khác biệt giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực của dãy số - Đối với giới hạn hữu hạn : Khi n tăng các điểm biểu diễn của Un chụm lại quanh điểm 0 - Đối với giới hạn vô cực : Khi n tăng thì các điểm biểu diễn của Un trên trục số đi ra xa mai theo chiều dương hoặc chiều âm. GV Chú ý : + Giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực của dãy số có ý nghĩa hoàn toàn khác nhau + Không được áp dụng định lý 1 về giới hạn hữu hạn cho các dãy số có giới hạn vô cực ? ! ? ! ! ? ? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 88 + Một dãy số bất kỳ có thể có giới hạn hữu hạn hoặc giới hạn vô cực hoặc không có giới hạn Ví dụ dãy số (Un) vơi Un = (-1) n (n+1) là dãy không có giới hạn Dụng ý sƣ phạm : Bằng sự kết hợp nhiều phương pháp dạy học. Bài soạn thể hiện tình huống dạy học khái niệm và dạy học định lý.Với hoạt động tiếp cận khái nệm theo con đường quy nạp HS tự hình thành được khái niệm một cách tự nhiên không gò ép.GV giúp HS khắc sâu định nghĩa bằng cách thực hiện các ví dụ củng cố. Thông qua các câu hỏi ở hoạt động 4 giúp HS phát hiện và dự đoán định lý.Trong hoạt động 5 củng cố định lý GV không những giúp HS khắc sâu định lý mà còn trang bị cho các em tri thức phương pháp khi làm bài tập giới hạn Tiết 54 BÀI TẬP A . Mục đích Mục đích sư phạm Vận dụng các biện pháp tích cực vào dạy bài tập nhằm phát huy tính tích cực học tập của học sinh. Nhằm củng cố kiến thức và kỹ năng về các vấn đề sau; + Tìm giới hạn của các dãy số (un) bất kỳ + Tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn B. Chuẩn bị của Giáo viên và học sinh 1. Học sinh : Làm trước bài tập giáo viên cho về nhà 2. Giáo viên : Chuẩn bị câu hỏi và bài tập, máy chiếu bảng phụ, máy tính điện tử Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 89 C. Hoạt động dạy học Kiểm tra bài cũ : hãy điền Đ (đúng), S ( sai) vào ô trống Thứ tự Câu hỏi Đáp án 1 Ta nói rằng dãy (Un) có giới hạn là 0 nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi 2 Ta nói rằng dãy số Un có giới hạn là số thực a nếu tồn tại giới hạn lim (Un – a ) 3 Dãy số (Un) có giới hạn là 0 khi và chỉ khi nU có giới hạn là 0 4 Dãy q; q 2 ; q 3 ;.. có giới hạn là 0 5 Giả sử limUn = a và limVn = b ta có lim n n U a V b 6 Giả sử lim nU và lim nV ta có lim(Un –Vn) = 0 7 Giả sử limUn =a và lim nV thì lim n n U V Kiểm tra: Tình hình làm bài làm bài tập về nhà Bài mới Hoạt động 1: Luyện tập các bài toán chứng minh một dãy số có giới hạn hữu hạn Bài 1 (121SGK) Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng cứ sau một khoảng thời gian T = 24000 năm thì nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe con người (T được gọi là chu kỳ bán rã) Gọi Un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ n a.Tìm số hạng tổng quát Un của dãy (Un) b.CMR (Un) có giới hạn là 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 90 c.Từ kết quả của câu b chứng tỏ sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại Bước 1 Tìm hiểu nội dung đề bài Đây là bài toán thể hiện ứng dụng thực tế của khái niệm giới hạn đối với môn học khác Em hiểu thế nào là giả thiết của bài toán? + Có 1 kg chất phóng xạ độc hại + T = 24.000năm là một chu kỳ + Sau 1 chu kỳ thì một nửa chất phóng xạ bị phân rã thành chất khác không còn độc hại đối với sức khỏe con người. Bước 2 Tìm cách giải + Phải lập được một dãy số ứng với giả thiết của đề bài : Un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ n + Tìm số hạng tổng quát Un của (Un) theo quy nạp + Dựa vào ĐN giới hạn để chứng minh sau 1 năm nào đó khối lượng của chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người. Bước 3: Trình bày lời giải + Ta gọi U1 là số lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ nhất + Ta gọi U2là số lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ hai 2 1 4 U + Ta gọi U3 là số lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ ba 3 1 8 U + Ta gọi U4 là số lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ tư 4 1 16 U ………………………………………………….. Như vậy dãy số cần lập là 1 1 1 1 ; ; ; ;...;... 2 4 8 16 ! ? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 91 Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được số hạng tổng quát của dãy số là 1 2 n n U Vậy số hạng tổng quát của dãy (Un) là 1 2 n n U + Ta có : 1 lim lim 0 2 n n U vì theo tính chất lim 0nq do 1q + Ta biết rằng chất phóng xạ không còn độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 6 9 1 10 10 g kg Theo b ta thấy limUn = 0 nên 0nU khi n tức là 1 2 n n U có thể bé hơn 1 số dương bé tùy ý kể từ 1 số hạng nào đó trở đi. Nghĩa là sau 1 năm ứng với chu kỳ này khối lượng chất phóng xạ không còn độc hại đối với sức khỏe con người nữa. Tức là muốn cho 9 1 1 2 10n ta cần chọn 0 92 10 n chẳng hạn n0 = 36 thì 2 36 = 16 9 > 10 9 vậy sau chu kỳ thứ 36 ( sau 36 x 24.000 = 864.000 năm) chúng ta không còn lo lắng về sự độc hại của chất phóng xạ còn lại. Bài 2 Cho dãy số ( Un) với 3 5 n n U n Chứng minh rằng limun = 3 Giải Theo định nghĩa 3 5 5 3 3n n U n n vậy 5 lim( 3) lim 0nU n vậy limun = 3 Nêu phương pháp tổng quát để giải dạng bài tập 2 Muốn chứng minh Limun = a ta thực hiện các bước sau: Bước 1 :Tính un- a ? ! Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 92 Bước 2 :Tìm lim(un – a) nếu lim(un = a) = 0 thì limun = a Hoạt động 2: Tìm giới hạn của một dãy số Bài 3 (121 SGK) Tìm các giới hạn sau: a. 6 1 lim 3 2 n n b. 2 2 3 5 lim 2 1 n n n c. 3 5.4 lim 4 2 n n n n d. 29 1 lim 4 2 n n n Giải b.Chia cả tử và mẫu cho n 2 ta được 2 2 2 2 1 5 3 3 5 3 lim lim 12 1 2 2 n n n n n n c. 3 5 3 5.4 4 lim lim 5 4 2 2 1 4 n n n nn n Ý a và d làm tương tự Hãy nêu phương pháp giải bài tập trên Đối với giới hạn có dạng ( ) ( ) P n Q n + Chia cả tử và mẫu cho n với số mũ cao nhất có mặt ở tử và mẫu + áp dụng định lý 1 để tìm giới hạn Theo phương pháp trên có thể đoán được giới hạn của dãy số không? đối với giới hạn có dạng ( ) ( ) P n Q n với P(n) có bậc m, P(n) = a1n m + a2n m-1 + …+am với P(n) có bậc q, Q(n) = b1n q + b2n q-1 + …+bq ? ! ? ! Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 93 Nếu m > q thì ( ) lim ( ) P n Q n Nếu m = q thì 1 1 ( ) lim ( ) aP n Q n b Nếu m < q thì ( ) lim 0 ( ) P n Q n Điều này rất cần thiết khi giải các bài toán trắc nghiệm Bài 4: Tính các giới hạn sau a. lim(n 3 + 2n 2 -n +1) c. 3 2 3 2 1 lim 2 n n n n b. lim(-n 2 + 5n -2 ) d. 32 lim 3 2 n n n Giải a. 3 2 3 2 3 2 1 1 lim( 2 1) lim (1 )n n n n n n n vì 3limn và 2 3 2 1 1 lim(1 ) 1 n n n nên lim (n 3 + 2n 2 -n +1) = b. 2 2 2 5 2 lim( 5 2) lim( )(1 )n n n n n vì 2lim( )n , 2 5 2 lim(1 ) 1 n n Nên lim(-n 2 + 5n -2 ) = c. 3 2 3 2 2 2 1 3 3 2 1 lim lim 2 12 n n n n n n n n vì 2 3 2 1 lim(3 ) 3 n n và 2 2 1 lim( ) 0 n n nên 3 2 3 2 1 lim 2 n n n n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 94 d. 3 2 2 3 1 2 2 lim lim 3 23 2 n n n n n n vì 2 1 lim( 2 ) 2 0 n và 2 3 3 2 lim( ) 0 n n và 2 3 3 2 0 n n nên 32 lim 3 2 n n n Từ bài toán trên và từ định lý 2. hãy tìm quy tắc để tính giới hạn của 1 tích, thương hai dãy số Nếu lim nu và limvn = L khác 0 thì limun.vn được tính như sau limun Dấu của L limun.vn + - + - Nếu limun = L khác 0 và limvn = 0 thì lim n n u v được cho trong bảng sau Dấu của L Dấu của vn lim n n u v + + + - - + - - ? ! Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 95 Hoạt động 3: Dựa vào giới hạn để tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau Bài 5: Tính tổng sau: a. 1 2 1 1 1 ( 1) 1 ... ... 10 10 10 n n S b. 2 2 1 1 1 ... 22 1 2 2 S Nhận xét các số hạng của tổng. Tìm q a.Ta thấy 2 1 1 1 ( 1) 1; ; ;...; ;... 10 10 10 n n lập thành cấp số nhân lùi vô hạn có công bội 1 10 q b.Ta thấy 2 1 1 1 ; ; ;... 22 1 2 2 lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với 2 2 2 q Tính tổng của cấp số nhân đó + 1 ( 1) 10 1 11 1 10 S + 2 ( 2 1) 4 3 2 2 2 2 1(1 ) 2 S Bài tập về nhà: tr 60 - 61 Dụng ý sƣ phạm: Bài soạn trên thể hiện tình huống điển hình trong dạy bài tập. Mỗi dạng bài bập GV ngầm truyền thụ cho HS tri thức phương pháp giải dạng đó.Với hoạt động 1 GV hướng dẫn HS phân tích và giải bài toán theo gợi ý của Pôlya. Đồng thời qua bài tập làm cho HS thấy được ứng dụng của giới hạn để giải các bài toán thực tế đời sống. ? ! ? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 96 Tiết 55: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A.Mục tiêu 1. Mục đích sư phạm: Vận dụng các biện pháp tích cực vào dạy quy tắc theo hướng phát huy tính tích cực học tập của học sinh. 2. Kiến thức + Giúp học sinh nắm được định nghĩa giới hạn tại vô cực + Các giới hạn đặc biệt + Các quy tắc về giới hạn vô cực 3. Kỹ năng + Biết áp dụng quy tắc để tìm giới hạn vô cực 4. Thái độ: Tự giác tích cực trong hoạt động học tập B. Chuẩn bị của Giáo viên và Học sinh 1. Học sinh Học và làm bài tập về nhà Đọc trước phần III giới hạn vô cực của hàm số 2. giáo viên Chuẩn bị hình vẽ, các câu hỏi, phiếu học tập, máy chiếu và các đồ dùng khác C. Hoạt động dạy học Hoạt động 1: Đảm bảo trình độ xuất phát Tìm giới hạn của các hàm số sau: a. 2 17 lim 1x x b, 1 3 2 lim 7 1x x x c. 24 1 lim 1x x x Giải a. 2 17 lim 0 1x x ? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 97 b, 1 3 2 5 lim 7 1 6x x x c. 24 1 lim 1x x x ta thấy hàm số 24 1 ( ) 1 x f x x không có giới hạn hữu hạn khi x GV hàm số 24 1 ( ) 1 x f x x khi x được gọi là có giới hạn vô cực. Vậy thế nào là hàm số có giới hạn vô cực khi x 1. Định nghĩa Hoạt động 2 :Tiếp cận khái niệm GV Cho học sinh quan sát đồ thị của hàm số y = x 3 – 3x +1 Khi x thì y dần tới bao nhiêu? Khi x thì y dần tới bao nhiêu? Khi x thì y dần tới Khi x thì y dần tới GV: Khi đó ta nói rằng hàm số y = x 3 – 3x +1 có giới hạn là khi x và có giới hạn là khi x Vậy thế nào là giới hạn vô cực của hàm số Giáo viên Nhận xét và bổ xung câu trả lời của học sinh, chính xác hóa định nghĩa HS: nêu định nghĩa Định nghĩa 4: Cho hàm số y = f(x) có giới hạn là khi x Nếu dãy số (xn) bất lỳ, xn > a, nx ta có ( )nf x Ký hiệu lim ( ) x f x hay ( )f x khi x GV Nhận xét lim ( ) lim ( ( )) x x f x f x ? ! ? 3 -1 1 2 0 -2 x y Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 98 Hoạt động 3: Củng cố khái niệm Hãy phát biểu định nghĩa tương tự cho các trường hợp giới hạn vô cực khác Chứng minh rằng 3lim ( 1) x x Thật vậy + TXĐ D = R + Cho dãy (xn) bất kỳ; nx khi n Ta có 3 3 3 1 ( ) ( ) 1 (1 )n n n n f x x x x 3 3 1 lim ( )1 lim( (1 ))n n n f x x x Vậy 3lim ( 1) x x 2. Một vài giới hạn đặc biệt Từ định nghĩa có thể xẩy ra a, lim k x x b, lim k x x nếu k lẻ c, lim k x x nếu k chẵn 3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực Hoạt động 4: Hình thành quy tắc giới hạn vô cực của một tích GV chia lớp thành 4 nhóm Mỗi nhóm hoàn thành 1 phiếu học tập Nhóm 1 Nhóm 2 ? ! Phiếu 1 Cho hàm số f(x)= (x 3 – 2x) a.Tìm giới hạn của f(x) khi x b. Có nhận xét gì về cách làm trên? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 99 Nhóm 2 Nhóm 3 Nhóm 4 GV Các nhóm hoàn thành phiếu học tập trong 5 phút Cử đại diện trình bày lời giải HS: Nhóm 1 a. 3 3 2 2 lim ( ) lim ( 2 ) lim (1 ) x x x f x x x x x Vì 3lim x x và 2 2 lim (1 ) 1 0 x x Vậy đặt f(x) = x 3 và 2 2 ( ) 1g x x ta có lim ( ). ( ) x f x g x Nếu lim ( ) x f x và lim ( ) 0 x g x a thì lim ( ). ( ) x f x g x Các ý còn lại HS nhận xét tương tự GV Qua VD trên ta rút ra được quy tắc tìm giới hạn vô cực của tích f(x).g(x) Phiếu 3 Cho hàm số f(x) = 5x- x 5 a.Tìm giới hạn của lim ( ) x f x b. Có nhận xét gì về cách làm trên? Phiếu 4 Cho hàm số f(x) = 5x- x 5 a.Tìm giới hạn của lim ( ) x f x b. Có nhận xét gì về cách làm trên? Phiếu 2 Cho hàm số f(x)= (x 3 – 2x) a.Tìm giới hạn của f(x) khi x b. Có nhận xét gì về cách làm trên? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 100 Nếu 0 lim ( ) 0 x x f x L 0 lim ( ) x x g x ( hoặc ) thì 0 lim ( ). ( ) x x f x g x được tính như bảng sau: HS điền vào bảng 0 lim ( ) x x f x 0 lim ( ) x x g x 0 lim ( ). ( ) x x f x g x L > 0 L < 0 Hoạt động 5: Hình thành quy tắc giới hạn vô cựu của thương ( ) ( ) f x g x GV Phát phiếu học tập Nhóm 1 Nhóm 2 Nhóm 3 Cho hàm số 5 1 ( ) 2 x f x x a.Tìm 2 lim ( ) x f x b. Có nhận xét gì về cách tìm giới hạn trên? Cho hàm số 5 1 ( ) 2 x f x x a.Tìm 2 lim ( ) x f x b. Có nhận xét gì về cách tìm giới hạn trên? Cho hàm số 5 ( ) 1 x f x x a.Tìm 1 lim ( ) x f x b. Có nhận xét gì về cách tìm giới hạn trên? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 101 Nhóm 4 Các nhóm hoàn thành phiếu học tập trong 5 phút Cử đại diện trình bầy lời giải GV Nhận xét bổ xung nếu cần Từ các ví dụ cụ thể ta có thể rút ra quy tắc tìm giới hạn vô cực cho thương ( ) ( ) f x g x Quy tắc: Nếu 0 lim ( ) 0 x x f x L và 0 lim ( ) x x g x (hoặc ) hoặc 0 lim ( ) 0 x x g x . Thì 0 ( ) lim ( )x x f x g x được tính như trong bảng sau 0 lim ( ) x x f x 0 lim ( ) x x g x Dấu của g(x) 0 ( ) lim ( )x x f x g x L > 0 0 + 0 - L < 0 0 + 0 - L Tùy ý 0 Hoạt động : Củng cố VD a. tìm 1 2 3 lim 1x x x b. 1 2 3 lim 1x x x Giải a. 1 2 3 lim 1x x x do 1 lim( 1) 0, 1 0, 1 x x x x Cho hàm số 5 ( ) 1 x f x x a.Tìm 1 lim ( ) x f x b. Có nhận xét gì về cách tìm giới hạn trên? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 102 và 1 lim(2 3) 1 0 x x b 1 2 3 lim 1x x x vì do 1 lim( 1) 0, 1 0, 1 x x x x và 1 lim(2 3) 1 0 x x Bài tập về nhà: Bài 7,8.9 (SGK) Dụng ý sƣ phạm :Bài soạn thể hiện tình huống dạy học quy tắc.Với cách tổ chức hoạt động của HS đa dạng phù hợp với nội dung bài dạy và kết hợp các phương pháp dạy học khác nhau làm cho HS tự giác tích cực trong hoạt động học tập. Hoạt động 1nhằm tạo cho HS tình huống gợi vấn đề. Hoạt động 2, giúp HS tiếp cận khái niệm giới hạn vô cực một cách trực quan dựa vào hình vẽ, dẫn tới định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của hàm số. Hoạt động 4,5 GV sử dụng phương pháp hợp tác theo nhóm nhỏ chia lớp thành 4 nhóm cùng thảo luận để hoàn thành phiếu học tập của nhóm. Thông qua các bài tập cụ thể đó HS tổng kết thành các quy tắc tìm giới hạn vô cực. Tiết 57 : BÀI TẬP A. Mục tiêu Mục đích sư phạm: Vận dụng các biện pháp tích cực vào dạy bài tập giới hạn hàm số theo hướng phát huy tính tích cực học tập của học sinh. + Rèn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng các định lý, quy tắc để tìm giới hạn của hàm số với thái độ tự giác, tích cực học tập B. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh HS làm bài tập về nhà GV Chuẩn bị bài tập câu hỏi gợi mở, bảng biểu, máy chiếu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 103 C.Hoạt động dạy học Hoạt động 1 : Bài 1: Tính các giới hạn sau a. 2 3 1 lim 1x x x b. 2 1 lim(3 2 1) x x x Học sinh đứng tại chỗ nêu cách làm a. 2 3 1 8 lim 4 1 2x x x b. 2 1 lim(3 2 1) 6 x x x Nêu các bước làm bài trên từ đó rút ra phương pháp tính giới hạn của dạng bài tập trên Cho hàm số f(x) xác định trên K, x0 thuộc K khi đó 0 0lim ( ) ( ) x x f x f x Hoạt động 2: Bài 2: Tính các giới hạn sau a. 2 2 4 lim 2x x x b. 6 3 3 lim 6x x x HS đứng tại chỗ giải : Nêu các bước giải bài trên từ đó rút ra phương pháp tính giới hạn của 2 dạng bài tập trên Với ý a ta thấy khi tử số dần tới 0, mẫu dần tới 0 Vậy giới hạn có dạng 0 0 + Phân tích đa thức thành tích, đơn giản với mẫu + Tính giới hạn như bài tập 1 Vậy với bài toán tổng quát có dạng 0 ( ) lim ( )x x P x Q x ? ! ? ! ? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 104 mà 0 0 lim ( ) 0 lim ( ) x x x x P x Q x Ta làm như sau: Bước 1 Phân tích đa thức tử và mẫu 0 1 0 1 ( ). ( )( ) ( ) ( ). ( ) x x P xP x Q x x x Q x Bước 2 0 1 1 ( ) lim ( )x x P x Q x GV Nhận xét Tổng kết thành phương pháp tìm giới hạn dạng 0 0 đối với hàm ( ) ( ) P x Q x ý b ta thấy khi x dần tới 6 thì tử số dần tới 0 và mẫu số dần tới 0 6 6 6 3 3 ( 3 3)( 3 3) lim lim 6 ( 6)( 3 3) 1 1 lim 63 3 x x x x x x x x x x Nêu các bước giải dạng bài trên, từ đó rút ra phương pháp giải cho từng loại bài tập này Bài tập trên có dạng 0 0 đối với hàm chứa căn bậc hai Bước1: Nhân chia với biểu thức liên hợp Bước 2: Đưa về dạng bài tập 1 Bài 3: (Bài tập đề nghị) Tìm 3 1 7 3 lim 1x x x x (Giành cho học sinh khá giỏi) Gọi học sinh đứng tại chỗ giải ? ! ! Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 105 Ta có 3 3 1 1 3 1 1 7 3 ( 7 2) ( 3 2) lim lim 1 1 7 2 3 2 lim lim 1 1 x x x x x x x x x x x x x x Cách giải 2 bài này tương tự như bài 2 ý b Nêu cách giải bài 3 tù đó suy ra phương pháp giải chung cho dạng bài tập này Phương pháp : Đối với dạng bài toán tìm 0 0 ( ) ( )( ) lim lim ( ) ( ) m n x x x x U x V xf x g x G x với 0 ( ) ( ) ( ) 0 m nU x V x c g x Ta làm như sau 0 0 0 0 ( ( ) ) ( ( ) )( ) lim lim ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) m n x x x x m n x x x x U x c V x cf x I g x G x U x c V x c G x G x Tính giới hạn trên như bài tập 2 Hoạt động 3: Bài 4 : Tìm giới hạn a. 2 2 5 6 1 lim 2 1x x x x b. lim ( 1 ) x x x Giải: a. 2 2 5 6 1 5 lim 2 1 2x x x x làm tương tự như đối với dãy số ? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 106 ( 1 )( 1 ) lim ( 1 ) lim 1 1 lim 0 1 x x x x x x x x x x x x x c. 2 2 1 lim ( 1 ) lim 21 1 1 x x x x x x x Nêu cách giải ý b và c bài tập trên, từ đó suy ra phương pháp cho các dạng bài tập này Cách giải ý b và c Phương pháp + Đối với giới hạn có dạng b ta làm như sau : biến đổi đưa về dạng nhân và chia với lượng liên hợp.. + Đối với giới hạn dạng 0. ta làm như sau: Biến đổi đưa về dạng Nhân và chia với lượng liên hợp Hoạt động 4: Củng cố: Dùng bảng phụ hướng dẫn HS cách tìm giới hạn dạng vô định một cách tổng quát. Bài tập về nhà: Bài 3,4,5 (sgk), Dụng ý sƣ phạm :Bài soạn thể hiện tình huống dạy bài tập.Với mỗi hoạt động GV hướng dẫn HS giải bài tập cụ thể đồng thời qua bài tập cụ thể đó HS phát hiện ra tri thức phương pháp để giải các bài toán cùng dạng.Với mục đích chính của giờ dạy là trang bị chính thức phương pháp để giải bài tập giới hạn dạng vô định. 3.3. Tổ chức thực nghiệm ? ! Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 107 + Đối tượng thực nghiệm; Là học sinh gồm 2 lớp 11D và 11E của trường THPT Trại cau - Đồng Hỷ - Thái Nguyên. lớp 11E làm lớp thực nghiệm còn lớp 11D làm lớp đối chứng, theo khảo sát trình độ nhận thức của 2 lớp là tương đương + Tiến hành thực nghiệm : Quá trình thực nghiệm được tiến hành theo đúng phân phối chương trình và theo sự xắp xếp của nhà trường để đánh giá kết quả thực nghiệm, ngoài việc quan sát lớp học, trao đổi ý kiến với các giáo viên dự giờ, cả 2 lớp cùng làm bài kiêm tra 1 tiết Nội dung như sau: Đề kiểm tra 45 phút A.Trắc nghiệm ( 4 điểm) Câu 1: Tính 3 3 2 2 5 3 lim 3 n n n n ta được kết quả sau A. 3 B. C, 3 2 D. 2 3 Câu 2: Tính 2 1 2 3 lim 1x x x x ta được kết quả là A. 2 B. -2 C, 1 D. kết quả khác Câu 3 : Tính 1 4 1 lim 2x x x được kết quả là A. 4 B. 1 2 C, 3 D. -3 Câu 4: Tính 1 3 1 lim 1x x x kết quả là A. 3 B. -1 C, D. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 108 B: Tự luận (6 điểm) Câu 5 : Tính tổng 1 1 9 3 1 ... 3 9 S Câu 6: Tính các giới hạn sau a. 3 2lim ( 2 1) x x x x b. 2 2 4 2 16 lim 2x x x x Câu 7: Tính a. lim ( ( 1 ) x x x x b. 23 2 1 3 lim 1 1x x x x 3.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm 3.4.1 Đánh giá định lượng Kết quả học tập của HS trong quá trình thử nghiệm được thể hiện trong bảng sau: Điểm Lớp thực nghiệm Lớp đối chứng 1 Tần số (n=40) Tần xuất (%) Tần số (n= 43) Tần xuất (%) 0 2 4,7 2 1 2,5 3 6,9 3 1 2,5 5 11,6 4 4 10 6 14,0 5 8 20 13 30,2 6 7 17,5 5 11,6 7 7 17,5 2 4,7 8 5 12,5 4 9,43 9 3 7,5 2 4,7 10 4 10 1 2,3 Khá giỏi 19 47,5 9 20,9 Tb trở lên 34 85 27 62,8 Yếu kém 6 15 16 37,2 6,4 5,0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 109 Từ kết quả trên cho thấy + Tỷ lệ học sinh ở lớp thực nghiệm đạt TB trở lên cao hơn nhiều so với lớp đối chứng chênh lệch là 22,2% + Tỷ lệ học sinh khá giỏi lớp thực nghiệm cũng cao hơn lớp đối chứng, chênh lệch là 26,6% + Điểm trung bình của lớp đối chứng là 5,0 chênh lệch 1,4 điểm so với lớp thực nghiệm. Như vậy nếu dạy học theo hướng phát huy tính tích cực học tập của học sinh làm cho học sinh quen với tác phong làm việc độc lập, tự giác, tích cực, nắm trắc kiến thức từ đó dẫn tới kết quả học tập sẽ cao hơn. 3.4.2. Đánh giá định tính - Qua các giờ dạy, phần giới hạn theo hướng phát huy tính tích cực học tập của học sinh cho thấy + Học sinh chủ động xây dựng kiến thức, phát hiện và chiếm lĩnh các đơn vị kiến thức trong bài, điều đáng kể là các em không những hiểu bài mà còn phát biểu được các khái niệm về giới hạn, các định lý về giới hạn, các quy tắc để làm bài tập về giới hạn. + Thông qua các hoạt động học sinh bị cuốn hút vào các công việc học tập, tạo cho học sinh lòng ham học, kích thích tính tích cực chủ động sáng tạo, khơi dạy khả năng tiềm ẩn của mỗi học sinh + Việc sử dụng phương pháp và phương tiện dạy học hợp lí đã tăng tính tích cực, chủ động sáng tạo, tạo niềm tin vào khả năng của mỗi học sinh. + Sau thời gian thực nghiệm học sinh cảm thấy yêu thích môn toán hơn, đặc biệt là kiến thức về giới hạn 3.5 Kết luận chung về thực nghiệm Qua việc đánh giá các kết quả thực nghiệm sư phạm cho thấy : Việc xây dựng phương án giảng dạy phần giới hạn ở lớp 11 trường THPT Trại Cau theo hướng phát huy tính tích cực học tập của học sinh đã thu được những kết quả nhất định như: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 110 Học sinh phải làm việc nhiều hơn, suy nghĩ nhiều hơn, qua đó phát huy được tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh. Giờ dạy tạo sự lạc quan, niềm vui hứng thú say mê học tập hơn nữa phẩm chất tư duy cũng được hình thành và phát triển tốt hơn, Như vậy qua thực nghiệm sư phạm cho thấy phương án dạy học theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động của học sinh bước đầu có hiệu quả và có tính khả thi cao, qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học phần giới hạn ở lớp 11 THPT. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 111 KẾT LUẬN Quá trình nghiên cứu đề tài “Dạy học giới hạn ở trường THP T theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động học tập của học sinh”,có thể rút ra một vài kết luận sau: 1. Trong khoa học giáo dục nhà trường,dù ở thời điểm nào cũng cần có những biện pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực,tự giác,chủ động,sáng tạo của HS. Nhờ đó mới có thể khuyến khích,khơi dậy nội lực của HS – là nguồn tài nguyên quý giá tiềm ẩn trong mỗi con người,mỗi dân tộc. 2. Luận văn đã hệ thống hóa được một số vấn đề cơ sở lý luận của việc dạy học theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động học tập của học sinh. Làm sáng tỏ khái niệm tính tích cực hoạt động học tập của học sinh, các yếu tố ảnh hưởng tới tính tích cực, những biểu hiện của tính tích cực, qua đó thấy được sự cần thiết phải phát huy tính tích cực học tập của học sinh. 3. Luận văn đã nêu lên các tình huống điển hình trong dạy học và vận dụng tình huống đó vào dạy học giới hạn lớp 11 THPT. Đồng thời nêu lên năm biện pháp nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh 4. Luận văn đã trình bầy sự vận dụng các biện pháp trên vào xây dựng một số bài soạn giới hạn theo phân phối chương trình lớp 11(ban cơ bản) và đã tiến hành thực nghiệm sư phạm. Kết quả thực nghiệm cho thấy rằng luận văn có tính khả thi và có tác dụng phát huy tính tích cực hoạt động học tập của học sinh. Có thể kết luận rằng giả thiết khoa học của luận án là chấp nhận được. Nhiệm vụ nghiên cứu đã hoàn thành. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 112 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Vũ Hữu Bình: Kinh nghiệm dạy toán và học toán -NXB Giáo dục năm 1998. 2. Nguyễn Cam (Chủ biên)-ThS Nguyễn Văn Phước: Tuyển chọn 400 Bài tập Đại số và Giải tích 11 – NXB Đại học quốc gia Hà Nội 3. Lương Mậu Dũng-Nguyễn Khắc Báu –Nguyễn Hữu Ngọc –Trần Hữu Nho-Lê Đức Phúc –Lê Mậu Thống: Rèn luyện kỹ năng giải bì tập trắc nghiệm Đại số và giải tích 11 -.NXB Giáo dục năm 2007 4. Nguyễn Hữu Điển: Sáng tạo trong giải toán phổ thông - NXB Giáo dục, năm 2002 5. Nguyễn Hữu Điển: Những phương pháp điển hình trong giải toán phổ thông - NXB Giáo dục, năm 2002 6. Lê Hồng Đức (Chủ biên) - Đào Thiện Khải –Lê Bích Ngọc –Lê Hữu Trí: Phương pháp giải toán giải tích- NXB Giáo dục 7. Nguyễn Thị Lan Hương: Dạy học phương trình lượng giác ở trường trung học chuyên nghiệp theo hướng phát huy tính tích cực,chủ động của người học Luận văn thạc sỹ khoa học giáo dục, Thái nguyên, năm 2005. 8. Trần Văn Hạo –Vũ Tuấn -Đào Ngọc Nam – Lê Văn Tiến-Vũ Viết Yên: Đại số và giải tích 11,sách giáo khoa thí điểm ban khoa học tự nhiên . NXB giáo dục năm 2004 9. Nguyễn Bá Kim: Phương pháp dạy học môn toán –NXB Đại học sư phạm, năm 2007. 10. Nguyễn Bá Kim: Học tập trong hoạt động và bằng hoạt động (Sách bồi dưỡng thừng xuyên chu kỳ 1997 - 2000)-NXB Giáo dục, năm 1999 11. Nguyễn Bá Kim – Vũ Dương Thụy – Phạm Văn Kiều: Phát triển lý luận trong dạy học môn toán –NXB Giáo dục, năm 1997 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 113 12. Nguyễn Bá Kim - Đinh Nho Chương –Nguyễn Hạnh Cảng –Vũ Dương Thụy – Nguyễn Văn Thường: Phương pháp dạy học môn toán (phần II)- NXB Giáo Dục năm 1994 13. Nguyễn Bá Kim –Vương Dương Minh –Tôn Thân: Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của học sinh môn toán ở trường THCS - NXB Giáo dục năm 1998. 14. Phan Huy Khải –Nguyễn Đạo Phương: Các phương pháp giải toán đại số và giải tích 11- NXB Hà Nội 15. Trần Luận: Một hướng nghiên cứu triển khai dạy học nêu vấn đề vào thực tiễn - Tạp chí nghiên cứu giáo dục Số 4,1999. 16. Vương Dương Minh: Soạn bài dạy toán ở trương THPT theo hướng đổi mới phương pháp dạy học. Hội nghị tập huấn phương pháp dạy học toán PTTH Bộ giáo dục và đào tạo. 17. Trần Phương: Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn toán hàm số- .NXB Hà Nội 18. Đoàn Quỳnh (Chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) - Nguyễn Xuân Liêm –Nguyễn Khắc Minh -Đặng Hùng Thắng: Đại số và giải tích 11 cơ bản, nâng cao-NXB Giáo dục, năm 2006 19. Lê Mậu Thống –Trần Đức Huyên –Lê Mậu Thảo: Phân loại và phương pháp giải toán đại số –giải tích .NXB Hà nội 20. Trần Vinh: Thiết kế bài giảng đại số và giải tích 11- NXB Hà Nội năm 2007. 21. Ô Kôn .V. Những cơ sở của dạy học nêu vấn đề – NXB Giáo dục, năm 1976 22. Khar la môp.I..F: Phát huy tính tích cực học tập của học sinh như thế nào- NXB Giáo dục, năm 1979.